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UNIVERSIDAD DE SONORA

División de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Matemáticas

Estadística Aplicada a las Licenciaturas:

Administración, Contaduría e Informática

Administrativa.

Fascículo II:

Estadística Descriptiva

Dr. Francisco Javier Tapia Moreno Dr. Francisco Javier Tapia Moreno

Tema II de Estadística I Aplicada a la Administración, Contaduría y Mercadotecnia. Semestre 2016-1

Notas del Dr. Francisco Javier Tapia Moreno.

Departamento de Matemáticas 2 Universidad de Sonora.

Prólogo.

Este es el segundo folleto correspondiente al Tema II de Estadística Aplicada a las Licenciaturas: Negocios y

Comercio Internacionales, Administración, Contaduría e Informática Administrativa que se ofrecen de la

Universidad de Sonora. Los temas presentados aquí son congruentes con el programa vigente de la materia de

Estadística I del área económico- administrativo.

En el segundo tema del programa titulado Estadística descriptiva, el alumno conocerá y utilizará adecuadamente

las herramientas de la estadística descriptiva para recopilar, organizar y analizar adecuadamente la información,

construirá e interpretará correctamente información gráfica y tabular (ver secciones 2.1-2.5).

Calculará e interpretará adecuadamente las medidas estadísticas de localización y dispersión; utilizará

adecuadamente las medidas de tendencia central ante diversas situaciones presentadas; integrará las medidas de localización y dispersión en problemas relacionados con la toma de decisiones; conocerá, utilizará e interpretará

un diagrama de dispersión y sobre la base del mismo, podrá decir si dos variables están correlacionadas o no (ver

secciones 2.6-2.8). Calculará el coeficiente de correlación lineal simple y la recta de regresión en variables correlacionadas e

Interpretará, sobre la base del problema a analizar, el significado del análisis efectuado (ver sección 2.9).

Nuestro propósito al elaborar este segundo folleto, es dotar al alumno de las herramientas necesarias, apegada al

programa vigente, para que el alumno por sí mismo, recopile, organice, represente de manera gráfica, analice e interprete la información recabada ya sea por medio de una muestra o de un censo, y la utilice para la realización

de toma de decisiones. Además, de estudiar, explorar y cuantificar la relación entre variables cuantitativas para

desarrollar una ecuación lineal simple con fines predictivos. Este trabajo se sitúa en el marco de un esfuerzo colectivo realizado por el Departamento de Matemáticas por

dotar al alumno del material didáctico necesario para que éste optimice su proceso de

enseñanza/aprendizaje/formación de las matemáticas.

Hermosillo, Sonora, México. Febrero de 2011.




Tema Pag.

Tema II. Estadística Descriptiva. 5

2.1. Introducción. 5

2.2. Clases de datos. 5

2.3. Agrupamiento en intervalos. 6

2.4. Descripción de datos de una variable. 6

2.4.1. Tabulación y representación gráfica. 7

Tablas de frecuencias. 7

Datos Agrupados. 8

2.5. Representaciones Gráficas 9

Diagramas de frecuencia mediante puntos. 9

Gráficas de línea.

Diagrama de barras. 10

Histogramas. 10

Polígono de frecuencias. 11

Diagramas de tallo y hojas. 12

Diagramas de pastel o circulares. 12

Otras distribuciones de frecuencias y otros gráficos. 13

Distribuciones acumulativas y polígonos acumulativos. 13

Polígonos acumulativos u Ojivas. 14

Diagramas de caja. 15

2.6. Medidas descriptivas de localización y distribución. 16 2.6.1 Medidas de posición o centralización. 16

La media aritmética. 17

La mediana. 18

Cuantiles. 20

Cálculo de los cuartiles 20

a) Para datos agrupados. 20

b) Para datos no agrupados. 21

Cálculo de Deciles 21

a) Para datos agrupados. 21

b) Para datos no agrupados 22

Cálculo de percentiles.

a) Para datos agrupados.

b)Para datos no agrupados

La moda.

2.6.2. Relación entre la Media, la Mediana y la moda. 24

2.7. Medidas de Dispersión. 25




Coeficiente de variación.

2.8. Medidas de forma. 29

Coeficiente de disimetría de Pearson. 30

Coeficiente de Asimetría de Fisher. 30

Curtosis o apuntamiento. 31

Coeficiente de curtosis de Fisher. 32

2.9. Análisis de regresión y correlación lineal simple. 33

2.9.1. Introducción al análisis de regresión y correlación lineal. 33 Regresión lineal.

Correlación lineal.

2.9.2. Gráficos de dispersión. 34

2.9.3. Coeficiente de correlación lineal. 36

2.9.4. Modelo de regresión lineal simple. 38

2.10. Ejercicios teóricos. 39

2.11. Ejercicios prácticos. 40

2.12. Lecturas recomendadas. 43

2.13. Bibliografía recomendada para reforzar este tema. 43

2.11. Referencias. 43




Tema II.

Estadística Descriptiva.

2.1. Introducción. Habitualmente el propósito de la Estadística Aplicada es el de sacar conclusiones de una población en estudio,

examinando solamente una parte de ella denominada muestra. Este proceso, denominado Inferencia Estadística,

suele venir precedido de otro, denominado Estadística Descriptiva (ver el folleto 1), en el que los datos son

ordenados, resumidos y clasificados con objeto de tener una visión más precisa y conjunta de las observaciones, intentando descubrir de esta manera posibles relaciones entre los datos, viendo cuales toman valores parecidos,

cuales difieren grandemente del resto, destacando hechos de posible interés, etc. Al hablar de estadística

descriptiva, uno se refiere a cualquier tratamiento de datos que esté diseñado para resumir o describir algunas de sus características más importantes sin intentar deducir nada que escape al alcance de los datos.

También, entre los objetivos de la Estadística Descriptiva, está el presentar los datos de tal modo que permitan

sugerir o aventurar cuestiones a analizar en mayor profundidad, así como estudiar si pueden mantenerse algunas

suposiciones necesarias en determinadas inferencias como la de simetría, normalidad, homocedasticidad (propiedad fundamental del modelo de regresión lineal), etc.

El propósito de este tema es el de ofrecer los conceptos de la estadística descriptiva y explicar las técnicas que

permitan realizar ambos procesos a los cuales, de forma conjunta, se les suele denominar Análisis de Datos.

2.2. Clases de datos. Como se mencionó en el tema I (ver folleto 1), es habitual denominar a los caracteres variables estadísticaso

simplemente variables, calificándolas de cualitativas o cuantitativas según sea el correspondiente carácter, y hablar de los valores de la variable al referirnos a sus modalidades, aunque de hecho solamente tendremos

verdaderos valores numéricos cuando analicemos variables cuantitativas. En ocasiones, con objeto de facilitar la

toma de los datos, el investigador los agrupa en intervalos. Así por ejemplo, resulta más sencillo averiguar cuántos individuos hay en una muestra con una estatura, por ejemplo, entre 1.70 y 1.80 metros que medirlos a

todos, en especial si tenemos marcas en la pared cada 10 cm. Note que siempre se producirá una pérdida de

información al agrupar los datos en intervalos y, dado que hoy en día la utilización de la computadora suele ser de uso común, un agrupamiento en intervalos es en general no aconsejable. Sin embargo, por razones docentes

admitiremos esta posibilidad, ya que precisamente el agrupamiento en intervalos traerá complicaciones

adicionales en el cálculo de algunas medidas representativas de los datos. En este tema consideraremos, por

tanto, tres tipos posibles de datos: 1) Datos correspondientes a un carácter cualitativo2) Datos sin agrupar correspondientes a un carácter cuantitativo y 3) Datos agrupados en intervalos correspondientes a un carácter

cuantitativo.




2.3. Agrupamiento en intervalos. Si tenemos la opción de poder agrupar los datos en intervalos, lo primero que debemos plantearnos (independientemente de lo que más arriba comentábamos) es la cuestión de cuántos y cuáles intervalos elegir.

Previamente daremos algunas definiciones importantes. Si los intervalos que a menudo se le denominan clases,

son:

k1-kj1-j10 x ,x,,x ,x,,x ,x,x ,x 21 .

Llamaremos amplitud del intervalo j-ésimo a 1j-j -xx , k,1,j , hablando de intervalos de amplitud

constante o variable, según tengan o no todos la misma amplitud. Llamaremos extremos de la clase j-ésima a

1j-x y a jx , y por último, llamaremos centro o marca de clase correspondiente al intervalo j-ésimo al punto

medio del intervalo, es decir, a

2

1j-j

j

xx c

.

En todo este sección, consideraremos que el dato jx pertenece al intervalo 1-k ,... 1,j 1,j , siendo el kx

elk-ésimo dato. Hacemos notar también, que el primer intervalo y el último generalmente tienen,

respectivamente, el extremo inferior y el extremo superior indeterminados con el propósito de incluir

observaciones poco frecuentes. Respecto a la cuestión que nos planteábamos al comienzo de este apartado, podemos considerar como regla

general la de construir, siempre que sea posible, intervalos de amplitud constante o igual, sugiriendo sobre el

número k de intervalos a considerar el propuesto por Sturges

n log 3.322 1 k

Siendo n el número total de datos. Una vez determinado el número k de intervalos a considerar, y si es posible

tomarlos de igual amplitud, esta será:

k

XXAmplitud

)()n( 1

en donde (n)x es el dato mayor y )(x 1 el menor.

2.4. Descripción de datos de una variable.

Durante el proceso de un experimento estadístico, por lo regular obtenemos una sucesión de observaciones o

datos (normalmente números) los cuales anotamos en el orden en que aparecen. Por ejemplo, las ventas realizadas por la tienda departamental Mazón los sábados y domingos durante el año pasado. Estos datos

representan un ejemplo de una muestra tomada de una población de los montos de todas las ventas realizadas

durante el año. La muestra consiste de 31 montos de ventas diferentes, llamados valores de la muestra, aunque

el tamaño de la muestra es de .104n




Antes de entrar en detalle, es importante mencionar que si en un experimento estadístico observamos al mismo

tiempo dos cantidades, por ejemplo las ventas realizadas durante el día y el número de personas que visitó la tienda durante ese día o, el peso y la estatura de las personas adultas, obtendremos una muestra en la que cada

valor de la misma es una pareja ordenada de números. De la misma manera, si observamos o medimos tres

cantidades, se obtendrán muestras que consisten de ternas ordenadas de números, generalizándose esta situación para más de tres cantidades. Cuando se tiene un experimento estadístico donde existe una sola variable de interés

para ser observada, decimos que este experimento es uni-variado. Si en el experimento se tiene interés en

observar más de una variable, decimos que el experimento es multi-variado. En esta sección manejaremos sólo

experimentos en donde se involucra una sola variable para ser observada.

2.4.1. Tabulación y representación gráfica. En esta sección se discuten algunos métodos para obtener representaciones tabulares y gráficas de una serie de

datos. Se muestra como grandes cantidades de datos pueden ser organizados y presentados de manera más eficaz

en formas de tablas y diagramas con el propósito de intensificar el análisis e interpretación de los datos, aspectos claves en la toma de decisiones. Además, se dan a conocer los conceptos de frecuencias absoluta, relativa y

porcentual.

Tablas de frecuencias.

El primer paso al recopilar los datos, es determinar el número de veces con que se presentan los valores en la

muestra y, resumirlos en una tabla llamada tabla de frecuencias o distribución de frecuencias de tal manera que podamos identificar su comportamiento. Al número de veces que se presenta un valor recibe el nombre de

frecuencia absoluta o, más brevemente frecuencia.

Ejemplo 2.1 En una sucursal bancaria de la localidad, se ha tomado el tiempo de atención en ventanilla a 20

clientes, durante sus operaciones bancarias. Los registros de los tiempos y el número de cliente en el orden en que éste llegó aparecen en la Tabla 2.1.

TABLA 2.1.TIEMPOS DE ESPERA DE 20 CLIENTES EN UNA SUCURSAL BANCARIA.

Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Minutos 3 2 5 3 1 5 3 3 2 4 6 2 5 4 7 5 3 6 3 4

Podemos resumir los datos de la Tabla 2.1 como se muestran en la Tabla 2.2.

TABLA 2.2.DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS ABSOLUTAS.

Minutos 1 2 3 4 5 6 7

Frecuencia 1 3 6 3 4 2 1

Si dividimos la frecuencia entre el tamaño de la muestra n, obtenemos la frecuencia relativa para esta cantidad

observada en la muestra. Obtener las frecuencias relativas es muy útil cuando la cantidad de los datos observados

es muy grande. Formalmente podemos definir la frecuencia relativa de un valor dado, como la proporción de ese valor.




Ejemplo 2.2 En la Tabla 2.3 aparecen las frecuencias relativas para cada uno de los valores observados del

Ejemplo 2.1.

TABLA 2.3. DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS RELATIVAS.

Minutos 1 2 3 4 5 6 7

Frecuencia

Relativa 05020

1.

15020

3. 300

20

6. 150

20

3. 200

20

4. 100

20

2. 050

20

1.

Si las frecuencias relativas se multiplican por 100% se obtienen las frecuencias porcentuales para cada uno de

los valores observados.

Ejemplo 2.3 Las frecuencias porcentuales de los valores observados en el Ejemplo 2.2 aparecen en la Tabla 2.4.

TABLA 2.4. DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS PORCENTUALES

Minutos 1 2 3 4 5 6 7

Frecuencia

Porcentual 5% 15% 30% 15% 20% 10% 5%

Datos Agrupados.

Cuando en una muestra se tienen demasiados datos es recomendable juntarlos en grupos o clases. A los datos resultantes se les llama datos agrupados. Cada grupo recibe el nombre de clase o intervalo de clase y la

selección de estas clases es regularmente arbitraria además, su elección debe ajustarse a la exigencia de que no

existan clases vacías, de que cada observación caiga en una y sólo una clase y que su longitud o amplitud sea igual. Existen fórmulas para determinar el número recomendable de clases el cual depende del tamaño de la

muestra.

Ejemplo 2.4. La Tabla 2.5 presenta la cantidad de dinero gastada en electricidad durante el mes de julio de 2010, de 30 familias de bajos recursos de una colonia situada al sur de la ciudad de Hermosillo.

TABLA 2.5. CANTIDAD DE DINERO GASTADA EN ELECTRICIDAD ($)

96 171 202 178 147 102 153 197 127 82

157 185 90 116 172 111 148 213 130 165

141 149 206 175 123 128 144 168 109 167

Utilizaremos estos datos para construir una tabla de frecuencias con clases o intervalos adecuados.

Como se tiene una muestra con pocos datos podemos elegir pocas clases. Por ejemplo, 5. Podemos observar de

la Tabla 2.5 que:1) el monto menor es de $82 y 2) el monto mayor es de $213. Si realizamos la diferencia entre estos dos montos obtenemos la amplitud o rango de los datos dados. Así, el rango = 213-82 = 131 pesos; como

se desean 5 clases, dividimos el rango entre 5 y obtenemos que la amplitud de cada clase debe de ser de

20265

131. pesos. Podemos escoger clases de $27 de amplitud y elegir el valor mínimo de $80 con el propósito

de que el valor menor, y el valor mayor observados, no queden en el extremo de su respectiva clase. Así, las

clases con sus respectivas frecuencias son las que se muestran en la Tabla 2.6.




TABLA 2.6. DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS PARA LOS DATOS DE LA TABLA 2.5.

Clase o Intervalo

de clase

Marcas

de clase

Frecuencia

Absoluta

Frecuencia

Relativa

Frecuencia

Porcentual

De $80 a menos de 107 93.5 4 0.13 13% De107 a menos de 134 120.5 7 0.23 23% De 134 a menos de 161 147.5 7 0.23 23% De 161 a menos de 188 174.5 8 0.27 27% De 188 a menos de $215 201.5 4 0.14 14%

TOTALES 30 1.00 100%

Note que cada monto observado cae en una sola clase, y que las clases tienen la misma amplitud.

2.5. Representaciones Gráficas Como se pudo observar en la sección anterior, las tablas de frecuencia son útiles para la presentación de los datos. Las gráficas que de ellas surgen lo son aún más, ya que en ellas es muy fácil observar la distribución de la

información. Existen varias formas de representar gráficamente las muestras y es suficiente presentar estos

métodos en términos de los ejemplos usados en la sección 2.4.

Diagramas de frecuencia mediante puntos.

La Figura 2.1 presenta el diagrama de puntos para la tabla de frecuencia del Ejemplo2.1. Este diagrama da una mejor idea del comportamiento de los datos obtenidos en la muestra.

Figura2.1 Diagrama de puntos de la muestra dada en la Tabla 2.1

Gráficas de línea.

La Figura 2.2 presenta la gráfica de línea para los datos de la Tabla 2.2.Estos dos tipos de gráficas nos sirven para echar un vistazo rápido a los datos, con el propósito de observar su tendencia. Cuando se requiere una

gráfica más detallada y formal uno echa mano de los diagramas de barras y de los histogramas.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 5 10 15 20 25

Min

uto

s

Número de cliente

Tiempo de atención a clientes




Figura 2.2. Diagrama de línea de los datos de la Tabla 2.2

Diagrama de barras. En los diagramas de barras se utilizan rectángulos para representar gráficamente los datos. La base de cada

rectángulo del diagrama de barras representa una característica de los datos obtenidos en la muestra y la altura

del rectángulo significa la frecuencia con que se dio esta característica. Para dibujar un diagrama de barras, se

marca en el eje horizontal las distintas características que se encontraron en los datos obtenidos y en el eje vertical se marca la frecuencia con que se dio esa observación y se trazan rectángulos separados por cada valor

con la altura correspondiente a cada frecuencia. En el diagrama de la Figura 2.3 podemos observar, por ejemplo,

que un 20% de los clientes fueron atendidos en 2 minutos o menos, o que el 50% de los clientes realizaron sus operaciones en 4 minutos o más.

Figura 2.3. Diagrama de barras para los datos de la Tabla 2.4.

Histogramas. Al igual que en los diagramas de barras, en un histograma la base de cada rectángulo representa una clase o

intervalo de clase de los datos agrupados y la altura del rectángulo representa la frecuencia o número de datos agrupados en esa clase. La única diferencia existente entre estas dos gráficas es que en el diagrama de barras los

rectángulos están separados mientras que en el histograma los rectángulos se unen. Los histogramas son usados

frecuentemente cuando se trata de datos agrupados, y su presentación puede variar un poco ya que el eje horizontal se puede marcar con los puntos extremos de cada una de las clases tal como se muestra en la Figura

2.4 o bien con los puntos medios de cada una de las clases como se puede ver en la Figura 2.5.

0

2

4

6

8

10

1 2 3 4 5

Nú

mero d

e c

lien

tes

Minutos de atención


0% 5% 10% 15% 20% 25% 30%

1

2

3

4

5

Porcentaje de clientes

Min

uto

s d

e a

ten

ció

n





Figura 2.4. Histograma para los datos de la Tabla 2.6.

Note que tanto el histograma con frecuencias absolutas como el de frecuencias relativas tienen la misma forma,

esto se debe a que las frecuencias relativas son proporcionales a las frecuencias absolutas y la elección de una u otra forma depende esencialmente del gusto personal. La diferencia entre gráficas de barras e histogramas se

basa en distinguir entre variables cuantitativas y cualitativas mencionadas en la sección 3.2 del Folleto 1.

Figura 2.5. Histograma con frecuencias relativas para los datos de la Tabla 2.6.

Polígono de frecuencias. Un polígono de frecuencia es el gráfico lineal de una tabla de frecuencias. Los ejes de este gráfico son similares

a los del histograma excepto que el punto medio de cada clase se identifica de manera característica a lo largo

del eje horizontal (ver Tabla 2.6). El número de observaciones o frecuencia de cada clase es representado por un punto arriba del punto medio de esa clase y estos puntos son unidos por una serie de segmentos de línea para

formar un polígono. En la Figura 2.6 se muestra el polígono de frecuencias porcentuales para los datos dados en

la Tabla 2.4.

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

$80-107 107-134 134-161 161-188 188-$215

Porcen

taaje

de f

am

ilia

s

Cantidad de dinero en consumo

Consumo de electricidad

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

$80-107 107-134 134-161 161-188 188-$215

Frecu

en

cia

s rela

tiva

s






Figura 2.6. Polígono de frecuencias porcentuales para los datos de la Tabla 2.6.

Diagramas de tallo y hojas.

Un diagrama de tallo y hojas es un ingenioso artificio el cual ofrece una representación parecida a un histograma. La ventaja de estos diagramas es que no sólo revelan las frecuencias, sino que contienen los datos

reales. En la Figura 2.7 aparece el diagrama de tallo y hojas para los datos de la Tabla 2.5.

Tallo Hojas

8 2

9 6 0

10 2 9

11 6 1

12 7 3 8

13 0

14 7 8 1 9 4

15 3 7

16 5 8 7

17 1 8 2 5

18 5

19 7

20 2 6

21 3

Figura 2.7. Diagrama de tallo y hojas para los datos de la Tabla 2.5.

Este diagrama podría hacerse un poco más claro si se ordenan los datos de menor a menor pero, cuando este

mecanismo se hace a mano puede resultar demasiado tedioso dependiendo del tamaño de la muestra.

Diagramas de pastel o circulares. Cuando en una tabla de frecuencia, los datos están separados en categorías o por cualidades, frecuentemente se utiliza un diagrama circular conocido como diagrama de pastel el cual consiste de un círculo dividido en

sectores que son proporcionales en tamaño a las frecuencias o porcentajes correspondientes. Para construir un

diagrama de pastel se utilizan las frecuencias porcentuales. La Figura 2.6 muestra un diagrama de pastel para los datos de la Tabla 2.4.

0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

66.5 93.5 120.5 147.5 201.5 228.5

Porcen

taje

de f

am

ilia

s






Figura 2.7. Diagrama de pastel para los datos de la Tabla 2.4.

Otras distribuciones de frecuencias y otros gráficos. Otros dos métodos útiles para representar datos, los cuales facilitan el análisis y la interpretación, son las tablas de distribución acumulativas y los diagramas de polígonos acumulativos mejor conocidos como ojivas. Estos

gráficos los podemos generar a partir de las tablas de distribución de frecuencias:1) absolutas, 2) relativas, o 3)

porcentuales, mencionadas en la sección 2.4.

Distribuciones acumulativas y polígonos acumulativos.

Para construir una tabla de distribución de frecuencia acumulada, primeramente decidimos si se desea construirla

con frecuencias absolutas, o con proporciones, o bien con porcentajes. Después escogemos el tipo de distribución acumulativa, ya sea la "menor que" o la distribución acumulativa "mayor que" y por último, nos

basamos en la tabla de frecuencias para ir determinando la frecuencia acumulada de cada clase tal como lo indica

el Ejemplo 2.4.

Ejemplo 2.4. En la Tabla 2.8 aparece la distribución acumulada "menor que" con frecuencias relativas usando

los datos de la Tabla 2.6.

TABLA 2.8.DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS RELATIVAS ACUMULATIVA "MENOR QUE"

Clase o

Intervalo

Frecuencia

Relativa

Frecuencia Relativa

Acumulada "menor que"

Operación

efectuada

menos de $107 0.13 0 ninguna

menos de 134 0.23 0.13 0 + 0.13

menos de 161 0.23 0.36 0 + 0.13 + 0.23

menos de 188 0.27 0.59 0 + 0.13 + 0.23 + 0.23

menos de 215 0.14 0.86 0 + 0.13 + 0.23 + 0.23 +0.27

menos de 242 0 1.00 0 + 0.13 + 0.23 + 0.23 +0.27 +0.14

Como se puede observar, esta tabla se construyó registrando primero los límites inferiores de cada clase a partir

de la distribución de frecuencias relativas, luego se insertó un límite extra al final. Se calcularon las frecuencias

relativas acumulativas en la columna "menor que" determinando la frecuencia relativa de observaciones menores que de cada uno de los valores de los límites establecidos. Es decir, tomamos en cuenta primero sólo

datos menores de $80, después sólo datos menores de $107 y así sucesivamente hasta llegar al último límite

inferior.

1 minuto, 5%

2 minutos, 15%

3 minutos, 30%4 minutos, 15%

5 minutos, 20%

6 minutos, 10%7 minuto, 5%





Ejemplo 2.5 Similarmente se puede construir una tabla acumulativa "mayor que" determinando la frecuencia

relativa de observaciones mayores que de cada uno de los valores de los límites inferiores establecidos. Es decir, tomamos en cuenta primero sólo datos mayores de $80, después sólo datos mayores que $107 y así

sucesivamente hasta llegar al último límite inferior. Operando de esta forma obtenemos la tabla de distribución

acumulativa siguiente.

TABLA 2.9.DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS ACUMULATIVA PORCENTUAL "MAYOR QUE"

DE LOS DATOS DE LA TABLA 2.4.6 Clase o

Intervalo

Frecuencia

porcentual

Frecuencia

Acumulada

"mayor que"

Operación

efectuada

mayor que $107 13% 100% Ninguna

mayor que 134 23% 87% 100 – 13

mayor que 161 23% 64% 100 –(13 + 23)

mayor que 188 27% 41% 100 –(13 + 23 + 23)

mayor que 215 14% 14% 100 –(13 + 23 + 23 + 27)

mayor que 242 0% 0% 100 –(13 + 23 + 23 + 27 + 14) .

Note que se insertó el límite inferior de la séptima clase con el propósito de indicar en la gráfica, la ausencia de observaciones en esa clase y en las clases siguientes.

Polígonos acumulativos u Ojivas.

Para construir un polígono acumulativo u ojiva se colocan los límites inferiores de clase en el eje horizontal y las frecuencias acumulativas (absolutas, relativas o porcentuales) en el eje vertical. En la Figura 2.8 aparece la ojiva

"menor que" basándose en los datos obtenidos en la Tabla 2.8.

Figura 2.8. Ojiva "menor que" de los datos de la Tabla 2.8.

La ojiva "mayor que" surgida a partir de los datos obtenidos en la Tabla 2.9 se muestra en la Figura 2.9.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

menor que

$107

menor que

134

menor que

161

menor que

188

menor que

215

menor que

$242

Frecu

en

cia

rela

tiva

acu

mu

lad

a






Figura 2.9. Ojiva “mayor que” de los datos de la Tabla 2.9.

Diagramas de caja.

Los diagramas de caja es un medio muy útil para representar datos. En dicho diagrama, los valores mínimo y

máximo, los cuartiles inferior (primer 25%de todos los datos) y superior (tercer 25% de todos los datos (también llamados percentiles 25 y 75) respectivamente, y la mediana (primer 50% de todos los datos o percentil 50) se

representan en una caja rectangular alineada ya sea horizontal o verticalmente. La caja se extiende del cuartil

inferior al superior, y es atravesada de un lado al otro por la mediana. A partir de los extremos de la caja se extienden líneas (“bigotes”) hasta los valores mínimo y máximo. Por ejemplo, un gerente de ventas está

interesado en comparar las ventas mensuales realizadas en el año 2008 con las ventas mensuales realizadas en el

año 2009. El gerente ha recolectado las 12 observaciones de cada año. Los datos aparecen en la Tabla 2.10

TABLA 2.10. VENTAS MENSUALES DE LOS AÑOS 2008 Y 2009.

Mes

Venta realizada en el año 2008. (miles de pesos)

Venta realizada en el año 2009

(miles de pesos)

Enero 18.85 17.50

Febrero 16.40 17.63 Marzo 15.21 18.25 Abril 16.35 18.00 Mayo 13.52 17.86 Junio 17.04 15.20 Julio 16.96 10.59

Agosto 12.15 17.89 Septiembre 14.59 19.56

Octubre 16.57 14.00 Noviembre 18.22 15.69 Diciembre 20.25 19.90

La mediana de las ventas realizadas en el año 2008 es 485.162

57.164.16

mientras que los percentiles 25 y 75

son respectivamente 14.59 y 18.22. La mediana de las ventas realizadas en el año 2009 es 745.172

86.1763.17

y

los percentiles 25 y 75 son 15.20 y 18.25 respectivamente. La venta mínima mensual en el año 2008 fue de

12.15 miles de pesos y la máxima de 20.25, mientras que la venta mensual mínima realizada en el año 2009 fue

0%

20%

40%

60%

80%

100%

120%

mayor que

$107

mayor que

134

mayor que

161

mayor que

188

mayor que

215

mayor que

$242

Frecu

en

cia

acu

mu

lad

a

porcen

tual






de 10.59 miles de pesos y la venta mensual máxima fue de 19.9 miles de pesos. En la Figura 2.10 se muestran los diagramas de caja para las ventas realizadas en los dos años.

Figura 2.10. Diagramas de caja para las ventas mensuales de los años 2008 y 2009.

La representación de la Figura 2.10 revela claramente la diferencia en las ventas entre los dos años. También

indica que ambos años producen distribuciones razonablemente simétricas de ventas mensuales con similar variabilidad o dispersión.

2.6. Medidas descriptivas de localización y distribución. En la sección anterior, los datos en bruto se recopilaron y se resumieron en forma apropiada en tablas y gráficas.

En esta sección se desarrollará una amplia variedad de medidas de resumen descriptivas, las cuales son útiles

para analizar e interpretar datos cuantitativos, ya sea recolectados en forma bruta (datos no agrupados) o resumidos en distribuciones de frecuencia (datos agrupados). Para ambos casos, se desarrollarán fórmulas

similares para obtener estas medidas de resumen descriptivas y cuando sea posible se mostrará un planteamiento

gráfico utilizando las gráficas construidas en las secciones anteriores. En orden descendente de importancia, las

tres propiedades o características mayores que describen un conjunto de datos pertenecientes a alguna variable numérica o a un fenómeno de interés son: 1) Posición, 2) Dispersión y 3) Forma. En cualquier análisis o

interpretación de datos numéricos, se puede utilizar una gran variedad de medidas descriptivas que representan

las propiedades de posición, dispersión y forma, para esquematizar y resumir las características salientes del conjunto de datos. Si estas medidas de resumen descriptivas se calculan con una muestra de datos se llaman

estadísticos; si estas medidas descriptivas se calculan a partir de toda la población de datos se llaman

parámetros.

2.6.1 Medidas de posición o centralización. La característica más importante que describe o resume un grupo de datos es su posición. La mayor parte de los

datos muestran una tendencia definida a reunirse en torno de un cierto punto. Existen tres medidas primarias de

posición o de tendencia central estas son en orden de importancia, la media aritmética, la mediana y la moda.

La media aritmética.

La media aritmética mejor conocida como promedio es la medida de tendencia central más conocida y de mayor

uso. Esta medida es muy fácil de calcular a partir de los datos ya sea recopilados en forma bruta o distribuidos en

$

20.25

19.90 18.25

18.22

17.745

16.485

18.25

14.59

12.15 10.59

Año Año

2008 2009

25

20

15

10

V

e

n t

a

s

e

n

m

i

l

e s




una tabla. Esta medida de tendencia central se indica mediante el símbolo X y se calcula sumando todos los datos de la muestra y, se dividen entre el número total de datos recopilados en la muestra. Así, si

nXXXX ,,, 321 son los datos recopilados en la muestra, entonces,

.1321

n

X

n

XXXXX

n

i

i

n

(2.1)

En donde: X es la media aritmética o promedio de la muestra,

nes el tamaño de la muestra,

iX es el dato número i de la muestra tomada,

Ejemplo 2.6. La media aritmética para los datos de la Tabla 2.4.1 es:

minutos. 8.320

76

20

43635745264233513523

X

Si los datos se encuentran resumidos como los de la Tabla 2.2 entonces utilizamos la fórmula (2.2)

.

1

1

321

332211

k

i

i

k

i

ii

k

kk

f

Xf

ffff

XfXfXfXfX

(2.2)


iX es el dato número i de la muestra tomada,

if es la frecuencia con que se repite el dato iX .

k es el número de datos diferentes que aparecen en la muestra.

Ejemplo 2.7. La media aritmética para los datos de la Tabla 2.2 es:

minutos. 8.320

76

1243631

)7)(1()6)(2()5)(4()4)(3()3)(6()2)(3()1)(1(

X

Como se puede observar en los ejercicios anteriores el número 3.8 obtenido, no pertenece a la muestra pero,

podemos observar que en la muestra existen 10 valores menores que 3.8 y 10 valores mayores que 3.8. Por lo

tanto, la media actúa como un punto de equilibrio o como una balanza, de tal manera que las observaciones que son mayores equilibran a las que son menores.

De una manera similar se puede calcular la media aritmética para los datos que aparecen en las Tablas 2.3 y

2.4.Si los datos de la muestra fueron agrupados en una tabla de distribución, para calcular la media utilizamos la fórmula (2.3).

.

1

1

321

332211

k

i

i

k

i

ii

k

kk

f

mf

ffff

mfmfmfmfX

(2.3)


im es el punto medio o marca de clase de la clase i de la distribución de frecuencia,

if es la frecuencia de la clase i de la distribución




k es el número de marcas de clase en la distribución.

≅ significa aproximadamente igual.

Ejemplo 2.8. Para calcular la media aritmética de los datos de la Tabla 2.4.6, primeramente debemos calcular los

puntos medios o marcas de clase de la distribución, colocarlos en una tabla (ver tabla 2.11.) acompañados con

sus respectivas frecuencias y se aplica la fórmula (2.3).

TABLA 2.11. TABLA PARA CALCULAR LA MEDIA A

PARTIR DE UNA TABLA DATOS AGRUPADOS

Puntos Medios 93.5 120.5 147.5 174.5 201.5

Frecuencias absolutas 4 7 7 8 4

.5.148$48774

)5.201)(4()5.174)(8()5.147)(7()5.120)(7()5.93)(4(

X

La media aritmética para los datos no agrupados de la Tabla 2.5 es 4.14830

4452X observe la similitud del

valor calculado para los datos agrupados. Además, en los datos no agrupados, existen 15 datos de la muestra que

son menores que la media calculada y 15 valores mayores que la media. Si el valor calculado de la media para

los datos agrupados lo marcamos en el histograma o en el polígono de frecuencias, este valor será el centro de

gravedad de estos gráficos. Es decir, un eje que pase por el valor representativo de la media aritmética dividirá al histograma o al polígono de frecuencias en dos partes, cada una conteniendo aproximadamente el mismo número

de observaciones.

La mediana. La mediana es la segunda medida de tendencia central en importancia después de la media aritmética y es

utilizada cuando el (o los) valor(es) extremo(s) en un conjunto de datos afecta tanto a la media aritmética que

ésta no es una buena medida de tendencia central en esas circunstancias. Por eso cuando uno de los valores

extremos (o ambos) afecta considerablemente, es más apropiado utilizar la mediana como medida de tendencia central, la mediana no se afecta con cualquiera valores extremos en un conjunto de datos. La mediana es una

medida de tendencia central que aparece en el medio de la serie de datos ordenada. Es decir, la mitad de las

observaciones en el conjunto de datos son menores que ella y la otra mitad son mayores que ella. Para calcular la mediana de un conjunto de datos los cuales se encuentran en su forma bruta, primeramente los

ordenamos ya sea de menor a mayor o bien de mayor a menor. Si el número de observaciones es impar se toma

el valor que esté en la mitad de los datos ordenados. Si el número de datos es par, se toma la media aritmética de

los dos datos intermedios.

Ejemplo 2.9. Para calcular la mediana de los datos que aparecen en la Tabla 2.5, primeramente los ordenamos en forma creciente (pueden ordenarse también en forma decreciente) tal como se muestra en la Tabla 2.1.

TABLA 2.12. DATOS ORDENADOS DE MENOR A MAYOR DE LA TABLA2.5

82 90 96 102 109 111 116 123 127 128 130 141 144 147 148 149 153 157 165 167

168 171 172 175 178 185 197 202 206 213




Como el número de datos es par, ,30n localizamos las dos observaciones intermedias, en este caso las

observaciones que se encuentran en el lugar 15 y 16. Esto es, la última observación de la primera mitad y la

primera observación de la segunda mitad en los datos ordenados. Así,

Mediana = 5.148$2

149148

Si los datos observados en la muestra están resumidos en una tabla de distribución, el valor aproximado de la

mediana se puede calcular mediante la fórmula (2.4).

).(if

fn

B MedianaM

B

M

M

422

En donde, . mediana la a contiene que clase de intervalo delinferior fronteraMB

mediana. la a contiene que clase de intervalo elen nesobservacio de número Mf

mediana. la a contiene que clase de intervalo del antes nesobservacio de totalnúmero MBf

. mediana la a contiene que clase de intervalo del anchoi

mediana.n observació 2

n

Ejemplo 2.10. Para los datos resumidos en la Tabla 2.5, se tiene que el intervalo de clase que contiene a la

mediana es el intervalo de clase que contiene al dato número 152

30

2

n. Este intervalo es "De 134 a menos de

161", su frontera inferior es 134, el número de observaciones que tiene este intervalo son 7, el número de observaciones antes de este intervalo son 11 y el ancho de este intervalo es 134-107 = 27. Así, se tiene que:

;134MB ;7Mf ;11MBf 72i y 15

2

30

2

n

Sustituyendo estos valores en la fórmula (2.4) obtenemos:

42861493617134277

11151342 ..i

f

fn

B MedianaM

B

M

M

Se puede concluir que 15 de las 30 familias muestreadas tuvieron montos menores de $139.43 y las otras 15

familias tuvieron montos mayores que $139.43.

Cuantiles. Los cuantiles son medidas de posición que se determinan mediante un método que determina la ubicación de los valores que dividen un conjunto de observaciones en partes iguales. Cuando se trata de datos agrupados en una

distribución de frecuencias, los cuantiles son los valores de la distribución que la dividen en partes iguales, es

decir, en intervalos que comprenden el mismo número de valores. Cuando la distribución contiene un número alto de intervalos o de marcas y se requiere obtener un promedio de una parte de ella, se puede dividir la




distribución en cuatro, en diez o en cien partes iguales. Los cuantiles más usados son los cuartiles, cuando dividen la distribución en cuatro partes; los deciles, cuando dividen la distribución en diez partes y los

percentiles o porcentiles, cuando dividen la distribución en cien partes. Los cuartiles, como los deciles y los

percentiles, son en cierta forma una extensión de la mediana.

Cálculo de los cuartiles

a) Para datos agrupados.

Para calcular los Cuartiles Q1, Q2, Q3 y Q4 desde una tabla de distribución de frecuencias, se aplica la fórmula (2.5).

𝑄𝑘 = (

𝑘∗𝑛

4− 𝐹𝑄𝑘

𝑓𝑄𝑘

) ∗ 𝑤 + 𝐿𝑄𝑘 (2.5)

Donde,

𝑄𝑘 =k-ésimo cuartil de la muestra, k = 1, 2, 3, 4

n = tamaño de la muestra

𝐹𝑄𝑘 = suma de todas las frecuencias de clase hasta, pero sin incluir la clase del k-ésimo cuartil.

𝑓𝑄𝑘=frecuencia de la clase que contiene al k-esimo cuartil.

w = ancho del intervalo de clase.

𝐿𝑄𝑘=límite inferior del intervalo de la clase que contiene al k-esimo cuartil.

b) Para datos no agrupados.

Si se tienen una serie de valores X1, X2, X3,...,Xn, los cuartiles se localizan mediante las fórmulas(2.6)y(2.7), dependiendo de si el número de datos, n, es par o impar, respectivamente.

𝑄𝑘 =𝑘 ∙ 𝑛

4 (2.6)

𝑄𝑘 =𝑘 ∙ (𝑛 + 1)

4 (2.7)

Siendo k el número del cuartil deseado; (k = 1, 2, 3, 4).

Nota importante: El resultado que se obtiene al aplicar la fórmula (2.6) o (2.7), nos indica el número de dato en

la tabla de datos ordenados, donde se encuentra el cuartil deseado. Por lo tanto, una vez aplicada una de las

fórmulas, debemos identificar al dato que representa a dicho cuartil. Si el resultado que se obtiene al aplicar la fórmula contiene decimales, debemos calcular la parte proporcional usando la diferencia entre los dos números

enteros consecutivos de la tabla de datos ordenados y sumársela al dato menor. Ver ejemplo 2.12.

Cálculo de Deciles

a) Para datos agrupados. Para calcular los DecilesD1, D2, D3,… , D10 desde una tabla de distribución de frecuencias, se aplica la fórmula (2.8).

𝐷𝑘 = (

𝑘∗𝑛

10− 𝐹𝐷𝑘

𝑓𝐷𝑘

) ∗ 𝑤 + 𝐿𝐷𝑘 (2.8)

Donde,

𝐷𝑘 =k-ésimodecil de la muestra, k = 1, 2, 3, 4, …, 10





𝐹𝐷𝑘 = suma de todas las frecuencias de clase hasta, pero sin incluir la clase del k-ésimodecil.

𝑓𝐷𝑘=frecuencia de la clase que contiene al k-ésimodecil.


𝐿𝐷𝑘=límite inferior del intervalo de la clase que contiene al k-ésimodecil.

b) Para datos no agrupados Si se tienen una muestra X1, X2, X3 ...,Xn de valores, los deciles pueden ser localizados usando las

fórmulas(2.9)y(2.10), dependiendo de si el número de datos de la muestra, n, es par o impar, respectivamente.

𝐷𝑘 =𝑘 ∙ 𝑛

10 (2.9)

𝐷𝑘 =𝑘 ∙ (𝑛 + 1)

10 (2.10)

Donde k el número del decil deseado; (k = 1, 2, …, 10).

Nota importante: El resultado que se obtiene al aplicar la fórmula (2.6) o (2.7), nos indica el número de dato en la tabla de datos ordenados, donde se encuentra el decil deseado. Por lo tanto, una vez aplicada una de las

fórmulas, debemos identificar al dato que representa a dicho decil. Si el resultado que se obtiene al aplicar la fórmula contiene decimales, debemos calcular la parte proporcional usando la diferencia entre los dos números


Cálculo de percentiles.

a) Para datos agrupados. Para calcular los percentiles P1, P2, …, P100 desde una tabla de distribución de frecuencias, se aplica la fórmula (2.11).

𝑃𝑘 = (

𝑘∗𝑛

100− 𝐹𝑃𝑘

𝑓𝑃𝑘

) ∗ 𝑤 + 𝐿𝑃𝑘 (2.11)

Donde,

𝑃𝑘 =k-ésimo percentil de la muestra, k = 1, 2, 3, 4, …, 100.


𝐹𝑃𝑘 = suma de todas las frecuencias de clase hasta, pero sin incluir la clase del k-ésimo percentil.

𝑓𝑃𝑘=frecuencia de la clase que contiene al k-esimo percentil.


𝐿𝑃𝑘=límite inferior del intervalo de la clase que contiene al k-esimo percentil.

b) Para datos no agrupados

Si se tienen una muestra de valores X1, X2, ...,Xn, los percentiles pueden ser calculados por medio de las (2.12)y(2.13), dependiendo de si el número de datos de la muestra, n, es par o impar, respectivamente.

𝑃𝑘 =𝑘 ∙ 𝑛

100 (2.12)

𝑃𝑘 =𝑘 ∙ (𝑛 + 1)

100 (2.13)

donde k el número del percentil deseado; (k = 1, 2, …, 100).




Nota importante: El resultado que se obtiene al aplicar la fórmula (2.6) o (2.7), nos indica el número de dato en la tabla de datos ordenados, donde se encuentra el percentil deseado. Por lo tanto, una vez aplicada una de las

fórmulas, debemos identificar al dato que representa a dicho percentil. Si el resultado que se obtiene al aplicar la

fórmula contiene decimales, debemos calcular la parte proporcional usando la diferencia entre los dos números


Es fácil observar que: el primer cuartil coincide con el percentil 25; el segundo cuartil con el decil 5; el percentil

50 y el tercer cuartil con el percentil 75.

Ejemplo 2.11. Para los datos agrupados de la Tabla 2.6, el tercer cuartil se calcula usando la fórmula (2.5),

donde k = 3; n = 30; puesto que el 75% de los datos de la muestra se encuentra en la cuarta clase, 𝐹𝑄𝑘 =4 + 7 + 7

= 18; 𝑓𝑄𝑘= 8;w = (188 – 161) = 27 y 𝐿𝑄𝑘

= 161. Sustituyendo estos valores en la fórmula mencionada arriba se

tiene que:

𝑄3 = ((

3∗30

4) − (18)

8) ∗ 27 + 161 = 176.1875

Para calcular los cuantiles de datos no agrupados, primero debemos ordenar los datos de la muestra de menor a mayor y después aplicar las fórmulas (2.6) o (2.7); (2.9) o (2.10); (2.12) o (2.13) para cuartiles, deciles y

percentiles respectivamente, según sea el caso del tamaño de la muestra (par o impar).

Ejemplo 2.12. Para los datos no agrupados y ordenados de menor a mayor de la Tabla 2.12, el séptimo decil se calcula usando la fórmula (2.9) ya que n es par, con k = 7. Así:

𝐷7 =(7) ∙ (30)

10= 21

El resultado obtenido desde la fórmula (2.9) nos indica que el decil 7 se encuentra en el dato 168. Similarmente, para calcular el percentil 85 usamos la fórmula (2.12) ya que n es par, con k = 65. Así,

𝑃85 =(85) ∙ (30)

100= 25.5

El resultado obtenido desde la fórmula, nos indica que el percentil 85 se encuentra en la mitad de los datos25 y 26 de la Tabla 2.12. Los datos requeridos para realizar la ponderación son respectivamente, 178 y 185. Ahora

calculamos la parte proporcional de la diferencia entre estos dos números(Es decir, la parte decimal del resultado

obtenido en la fórmula). Esto es: (0.5) ∙ (185 − 178) = 3.5

Por lo tanto, el percentil 85 es 178 + 3.5 = 181.5.




La moda.

La moda es la tercera medida de centralización en importancia, es el valor que ocurre con más frecuencia en un

conjunto de observaciones. Si en una muestra de valores existe un solo valor que se repite un número determinado de veces, se dice que esa muestra es unimodal. Cuando dos valores no adjuntos son casi iguales al

tener frecuencias máximas asociadas a ellos, la distribución se describe como bimodal. Las distribuciones de

mediciones con varias modas se denominan multimodales. Si en una muestra pequeña no se repiten valores observados, no hay moda.

Ejemplo 2.13. Para los datos que aparecen en la Tabla 2.1 se observa que esta muestra es unimodal y que su

moda es 3 ya que el 3 es el número que aparece con mayor frecuencia en la muestra tomada. Esto significa que regularmente, el mayor número de personas que sean atendidas en las ventanillas de ese banco tendrán un tiempo

de atención de 3 minutos.

Para los datos agrupados en una distribución de frecuencias con intervalos de clase iguales, primeramente se

determina la clase que contiene a la moda, identificando la clase con el número mayor de observaciones. En

algunos textos designan la moda como el punto medio de la clase modal. Sin embargo en la mayor parte de los textos se realiza una interpolación dentro de la clase modal basándose en la fórmula (2.14).

)14.2(21

1 idd

dBModa M

En donde moda. la a contiene que clase la deinferior frontera MB

anterior. clase laen frecuencia lay modal clase laen frecuencia la entre diferencia 1 d

siguiente. clase laen frecuencia lay modal clase laen frecuencia la entre diferencia 2 d

clase. de intervalo del amaño ti

Ejemplo 2.14. Refiriéndose a la distribución de frecuencia de la Tabla 2.6. La clase modal es la clase con límites

de clase $161 a menos de $188 debido a que de todas las clases en la distribución, ésta es la que tiene mayor frecuencia. Así,

.27161188;448;178;16121

iddBM

y,

75.167274

1161

Moda

El valor encontrado de 167.75 es el valor representativo que ofrece la fórmula y puede ser propuesto como el dato que ocurrirá con mayor frecuencia. Es evidente que este dato no se encuentra en la muestra obtenida pero

sería una buena aproximación en caso de que los datos tuvieran una moda. Por último, si marcamos el valor

encontrado de la moda en el histograma o en el polígono de frecuencias, este valor indicará la cantidad que aparece con mayor frecuencia. Una distribución de frecuencias puede carecer de moda o bien tener varias modas.




2.6.2. Relación entre la Media, la Mediana y la moda. Las diferentes medidas de centralización, tienen ventajas y desventajas una con respecto de las otras, depende mucho de la forma en que estén distribuidos los datos y el propósito de la información que se obtenga. El único

caso en que se puede asegurar que las tres medidas coinciden es cuando la moda existe y es única y, además, los

valores de la muestra están distribuidos simétricamente alrededor de un punto como lo muestra la Figura 2.11.

Figura 2.11. Una distribución simétrica donde las medidas de centralización son iguales.

Puede darse el caso en que la distribución sea simétrica con respecto a un punto y las medidas de centralización

sean distintas como se puede observar en la Figura 2.12. En esta distribución, se da el caso en que la Media y la

Mediana son iguales pero existen 2 o más Modas.

Figura 2.12. Una distribución simétrica donde las medidas de centralización son diferentes.

La situación más común se presenta cuando la distribución de valores de la muestra es asimétrica o disimétrica. Puede presentarse una distribución que sea disimétrica positiva o disimétrica negativa tales como las que se

pueden observar en la Figuras 2.13. a) y 2.13. b).

Fre

cuen

cia

X

Fre

cuen

cia

X




a) Distribución Asimétrica Positiva b) Distribución Asimétrica Negativa.

Figura 2.13. Distribuciones asimétricas o disimétricas.

Basándose en las medidas de centralización Media, Mediana y Moda, podemos saber el tipo de distribución de frecuencias de acuerdo a las relaciones que aparecen la Tabla 2.13.

TABLA 2.13. RELACIÓN ENTRE LA MEDIA, MEDIANA Y MODA.

Condiciones Tipo de distribución

Si Media = Mediana = Moda Simétrica

Si Media Mediana Moda Disimétrica negativa

Si Moda Mediana Media Disimétrica positiva

2.7. Medidas de Dispersión. Como se mencionó en la sección 2.6, la segunda característica que describe un conjunto de datos es la

dispersión. La dispersión es la cantidad de variación o de diseminación de los datos. Existen varias formas

para medir el grado de dispersión en los conjuntos de datos. En esta sección se describen las más importantes,

éstas son la Varianza, la Desviación estándar y el Coeficiente de Variación.

Varianza y Desviación Estándar. Dos medidas que tienen en cuenta cómo se distribuyen todas las observaciones en los datos, son la varianza y la raíz cuadrada positiva de ésta, llamada desviación estándar. Su cálculo varía dependiendo de si se trata de la

población o de una muestra de ésta. Para una población, la varianza se representa por la letra griega minúscula2 la cual se lee "sigma cuadrado", la fórmula para su cálculo es:

N

XN

i

i

1

2

2

(2.15)

en donde es la media poblacional, N es el tamaño y Xi es cada uno de las observaciones de la población.

Cuando se calcula la varianza para una muestra, resulta que regularmente no es exactamente equivalente a la

varianza para la población de donde se tomó la muestra, esto se debe a factores de sesgo, lo cual se explicará en secciones posteriores. Para el cálculo de la varianza de la muestra, se incluye un factor de corrección ya que la

Frecu

en

cia

X

Frecu

en

cia

X




varianza de la muestra, es un estimador no sesgado de la varianza de la población. La varianza de la muestra se

representa por 2s , su fórmula es:

1

1

2

2

n

XX

s

N

i

i

(2.16)

en donde X es la media, n es el tamaño y Xi es cada uno de las observaciones de la muestra. Interpretar el significado del valor de la varianza, resulta regularmente difícil porque las unidades en que se expresa no son las mismas de las observaciones del conjunto de datos. Por este motivo, la raíz cuadrada de la

varianza, la cual se representa por la letra griega o por s si se trata de una muestra y, llamada desviación

estándar, se utiliza con mayor frecuencia y las fórmulas para calcularla son:

N

XN

i

i

1

2

(2.17)

para la población y,

1

1

2

n

XX

s

n

i

i

(2.18)

para la muestra.

Esta desviación estándar será particularmente muy útil para el desarrollo del tema de distribuciones de

probabilidad.

Ejemplo 2.15. Para los datos no agrupados de la Tabla 2.1, la media aritmética resultó ser 3.8 minutos (ver

ejemplo 2.6). Considerando que estos datos fueron extraídos de una población infinita, la desviación estándar se

calcula mediante la fórmula (2.18). Los cálculos aparecen en la Tabla 2.14:

TABLA 2.14. TABLA PARA CALCULAR DE LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR DE DATOS NO AGRUPADOS.

iX XX i 2)( XX i

3 -0.8 0.64

2 -1.8 3.24

5 1.2 1.44

3 -0.8 0.64

1 -2.8 7.84

5 1.2 1.44

3 -0.8 0.64

3 -0.8 0.64

2 -1.8 3.24

4 0.2 0.04

6 2.2 4.84

2 -1.8 3.24

5 1.2 1.44

4 0.2 0.04

7 3.2 10.24

5 1.2 1.44

3 -0.8 0.64

6 2.2 4.84

3 -0.8 0.64

4 0.2 0.04

Total 47.2

Así,




minutos. 576.1

19

2.47

1

1

2

n

XX

s

n

i

i

Este resultado indica el promedio de las distancias entre los datos dados en la Tabla 2.1 y la media de

estos datos. Para calcular la varianza y desviación estándar para datos agrupados, se toma el punto medio de cada clase para

representar todas las observaciones incluidas en esa clase. De acuerdo con lo anterior, las fórmulas para la

población agrupada y para los datos obtenidos de una muestra son:

Para la varianza de la población:

N

mfN

i

ii

1

2

2

(2.19)

Para la varianza de la muestra:

1

1

2

2

n

Xmf

s

n

i

ii

(2.20)

Para la desviación estándar de la población:

N

mfN

i

ii

1

2

(2.21)

Para la desviación estándar de la muestra:

1

1

2

n

Xmf

s

n

i

ii

(2.22)

Ejemplo 2.16. Para los datos agrupados de la Tabla 2.6, la media fue 148.5 (ver ejemplo 2.8) podemos realizar

los cálculos en una tabla de la manera siguiente:

TABLA 2.15. TABLA PARA CALCULAR LA DESVIACIÓN ESTANDAR DE DATOS AGRUPADOS.

Clase o intervalo de clase Punto Medio de clase (mi) Frecuencia Xmi 2

)( Xmi 2

)( Xmf i

De 80 a menos de 107 93.5 4 -55 3,025 12,100

De107a menos de 134 120.5 7 -28 784 5,488

De 134a menos de 161 147.5 7 -1 1 7

De 161a menos de 188 174.5 8 26 676 5,408

De 188a menos de $215 201.5 4 53 2,809 11,236

Total 34,239




Así,

783.33$

29

239,34

11

2

n

Xmf

s

n

i

ii

Este resultado indica el promedio de las distancias entre las marcas de clase de los datos dados en la

Tabla 2.6 y la media de los datos de la Tabla antes mencionada.

La desviación estándar es la medida de dispersión más importante debido a que se utiliza junto con una cantidad

de métodos de inferencia estadística, algunos de ellos se analizan en folletos posteriores y otros quedan fuera del propósito de este curso. Sin embargo, como ejemplo del uso de la desviación estándar, consideremos una

distribución simétrica como la de la Figura 2.11, en el análisis estadístico, una curva de frecuencia de ese tipo se

le llama curva normal. Para una distribución que está normalmente distribuida, se sabe que:

Aproximadamente el 68% de los datos observados se encuentran situadas dentro de una desviación

estándar alrededor de la media. Esto significa que este conjunto de datos se encuentra contenido en el

intervalo

Casi el 95% de las mediciones se encuentran contenidas dentro de dos desviaciones estándar alrededor

de la media. Es decir, se encuentra dentro del intervalo 2

Cerca del 99% de los datos observados se encuentran situadas dentro de tres desviaciones estándar

alrededor de la media. Esto es, se encuentra dentro del intervalo 3

Además, sin importar como se distribuyan los datos con respecto a la media, el porcentaje de observaciones que

están contenidas dentro de k desviaciones estándar alrededor de la media deben ser por lo menos,

%1001

12

k

Esto lo aseguraron los matemáticos Bienaymé y Chebyshev, al realizar estudios por separado de esta propiedad el siglo XVIII [1]. Así, los datos de polígonos que adoptan cualquier forma, cuando menos un

75% de las observaciones caerán dentro del intervalo 2

88.89% de las mediciones estarán contenidas dentro del intervalo 3

93.75% de los datos observados estarán dentro del intervalo 4

Coeficiente de variación.

A diferencia de la varianza y de la desviación estándar, el coeficiente de variación es una media relativa, es

decir, se expresa como un porcentaje en lugar de en términos de las unidades de los datos observados. Es de gran

utilidad al comparar la variabilidad de dos o más conjuntos de datos o distribuciones que se expresan en diferentes unidades de medida. Por ejemplo, un investigador podría estar interesado en medir la variabilidad

existente en las ventas diarias de diferentes compañías. No obstante, de que se podría tratar de la venta de

diferentes productos y de diferentes volúmenes de ventas, es posible medir la variabilidad de estas dos

compañías y hacer las comparaciones.

El coeficiente de variación denotado por V , indica la magnitud relativa de la desviación estándar comparada

con la media de la distribución de las observaciones. Las fórmulas para calcular el coeficiente de variación son:




%100

V (2.23)

para la población y,

%100X

sV (2.24)

para una muestra.

Para interpretar el coeficiente de variación, podemos usar las apreciaciones de la Tabla 2.16, de acuerdo al

resultado obtenido en el cálculo del coeficiente de variación.

TABLA 2.16. INTERPRETACIÓN DEL COEFICIENTE DE VARIACIÓN Coeficiente de Variación Apreciación

26% o más Muy Heterogéneo Del 16% a menos del 26% Heterogéneo Del 11% a menos del 16% Homogéneo

0% a menos del 11% Muy Homogéneo

Ejemplo 2.17. Usando los resultados obtenidos en los ejemplos 2.8 y 2.16, se tiene que:

%75.22%100 148.5

783.33V

Este resultado indica que existe una variabilidad del 22.75% entre los montos muestreados de consumo de electricidad y, por lo tanto podemos asegurar que la distribución de datos dados en la Tabla 2.2 es heterogéneo o

diverso.

2.8. Medidas de forma. La tercera característica de las mencionadas en la sección 2.2 es la forma que presenta el polígono de una

distribución de datos. En esta sección estudiaremos medidas de asimetría y curtosis las cuales comparan la forma que tiene la representación gráfica, bien sea el histograma o el diagrama de barras de la distribución, con la

distribución normal. Como se mencionó en la sección 2.6.2,la distribución de los datos puede ser simétrica,

disimétrica positiva o disimétrica negativa. Si la distribución de datos no es simétrica, se dice que es una distribución sesgada. Los coeficientes de asimetría de Pearson y de Fisher miden qué tan sesgada (a la derecha o

a la izquierda), está la distribución con respecto a la distribución normal la cual es simétrica.

El coeficiente de la curtosis o apuntamiento de Fisher mide la mayor o menor cantidad de datos que se agrupan en

torno a la moda y su pretensión es compararla curva de una distribución con la curva de la variable normal, en función de la cantidad de valores extremos en la distribución.

Las medidas de asimetría, sobre todo el coeficiente de asimetría de Fisher, junto con las medidas de

apuntamiento o curtosis son muy importantes ya que se usan para contrastar si se puede aceptar que una distribución estadística sigue la distribución normal. Esto es necesario para realizar numerosos contrastes

estadísticos en la teoría de inferencia estadística.

Coeficiente de disimetría de Pearson.

Una manera de medir la asimetría o disimetría de una distribución es mediante el coeficiente de Pearson. Este

coeficiente mide el alejamiento de la simetría expresando la diferencia entre la Media y la Mediana en relación

con la desviación estándar del conjunto de datos. Las fórmulas para su cálculo son:




)(3población la de Asimetría

Mediana (2.25)

s

MedianaX )(3 muestra la de Asimetría

(2.26)

Para una distribución simétrica, el valor del coeficiente de disimetría será siempre cero, ya que la media y la

mediana son iguales en valor. Para una distribución sesgada a la derecha, el coeficiente siempre será positivo,

mientras que para una distribución sesgada a la izquierda el coeficiente será siempre negativo. La interpretación

del coeficiente de Pearson se resume en la Tabla 2.17

TABLA 2.17. INTERPRETACIÓN DEL COEFICIENTE DE PEARSON.

Signo del coeficiente de Pearson Tipo de Distribución

Sin signo (igual a cero o muy cercano a cero) Simétrica

Positivo Asimétrica a la derecha

Negativo Asimétrica a la izquierda

Ejemplo 2.18. Para los datos de la Tabla 2.1 de los tiempos de espera de atención a clientes en ventanillas, se

tiene que

571.0576.1

)5.38.3(3 muestra la de Asimetría

Por lo tanto, podemos concluir que la distribución de frecuencias de los datos de los tiempos de espera de atención a clientes de la Tabla 2.1 está ligeramente sesgada a la derecha.

Coeficiente de Asimetría de Fisher. Para calcular el coeficiente de asimetría de Fisher usamos la fórmula (2.27) si se trata de una población

3

1

3)(

N

fX

Ai

k

i

i

f

(2.27)

Donde Af representa el coeficiente de asimetría de Fisher, Xi cada uno de los valores, (µ) la media de la

población, σ la desviación estándar de la población, y (fi) la frecuencia de cada valor.

Si se trata de una muestra entonces usamos la fórmula (2.28).

3

1

3)(

Sn

fXX

Ai

k

i

i

f

(2.28)




Donde Af representa el coeficiente de asimetría de Fisher, Xi cada uno de los valores en la muestra, �̅� la media de la muestra, S la desviación estándar de la muestra, y (fi) la frecuencia de cada valor.

La interpretación del coeficiente de asimetría de Fisher es la misma que la del coeficiente de asimetría Pearson

como lo indica la Tabla 2.18.

TABLA 2.18. INTERPRETACIÓN DEL COEFICIENTE DE FISHER.

Signo del coeficiente de Fisher Tipo de Distribución

Sin signo (igual a cero o muy cercano a cero) Simétrica

Positivo Sesgada a la derecha

Negativo Sesgada a la izquierda

Ejemplo 2.19. El coeficiente de Asimetría de Fisher para la distribución de la Tabla 2.6, podemos calcularlo

elaborando una tabla similar a la Tabla 2.19 y usando la fórmula (2.28) y los resultados obtenidos para la media y desviación estándar en los ejemplos 2.8 y 2.16 respectivamente.

TABLA 2.19. TABLA PARA CALCULAR EL COEFICIENTE DE ASIMETRIA DE FISHER.

Marcas

de clase

iX

Frecuencia

Absoluta

if ii fX 3)5.148(

93.5 4 -665,500

120.5 7 -153,664

147.5 7 -7

201.5 8 1,191,016

228.5 4 2,048,000

Total 30 2,419,845

Así,

092.2)783.33(30

845,419,23

fA

Con este resultado concluimos que debido a que el coeficiente de asimetría de Fisher el positivo, la distribución de los datos de la Tabla 2.6 es asimétrica positiva.

Curtosis o apuntamiento.

El concepto de curtosis o apuntamiento de una distribución surgió al comparar la forma de una distribución con la forma de la distribución normal. De esta forma, se clasifican las distribuciones según sean más o menos

picudas o apuntadas que la distribución Normal.Se define 3 tipos de distribuciones según su grado de curtosis:

1) Distribución mesocúrtica: presenta un grado de concentración promedio alrededor de los valores

centrales de la variable (el mismo que presenta una distribución normal). En ese caso, el coeficiente de

curtosis es cero. Ver Figura 2.14 b). 2) Distribución leptocúrtica: presenta un grado elevado de concentración alrededor de los valores

centrales de la variable. Es decir, está más apuntada que la Normal. En este caso, su coeficiente de

curtosis será positivo. Ver Figura 2.14 a).

3) Distribución platicúrtica: presenta un reducido grado de concentración alrededor de los valores centrales de la variable. Es decir, la distribución está menos apuntada que la normal. En este caso el

coeficiente de Fisher es negativo. Ver Figura 2.14 c).




a) Leptocúrtica b) Mesocúrtica c) Platicúrtica

Figura 2.14. Tipos de distribuciones de acuerdo a su curtosis*.

*Fuente: http://www.tuveras.com/estadistica/estadistica02.htm.

Coeficiente de curtosis de Fisher. El Coeficiente de Curtosis para la población, se calcula usando la fórmula 2.29.

(2.29)3

)(

4

1

4

N

fX

Ci

k

i

i

f

Donde (Cf) representa el coeficiente de curtosis de Fisher, (Xi) cada uno de los valores, (µ) la media de la

población, σ la desviación estándar de la población, y (fi) la frecuencia de cada valor.

Para la muestra se usa la fórmula (2.30),

(2.30)3

)(

4

1

4

Sn

fXX

Ci

k

i

i

f

Donde (Cf) representa el coeficiente de curtosis de Fisher, (Xi) cada uno de los valores, (�̅�) la media de la muestra, S la desviación estándar de la muestra, y (fi) la frecuencia de cada valor.De acuerdo al resultado

obtenido, las distribuciones pueden categorizarse como se indica en la Tabla 2.20.

TABLA 2.20. CATEGORIZACIÓN DE LAS DISTRIBUCIONES DE ACUERDO AL COEFICIENTE DE FISHER.

Signo del coeficiente de Fisher Tipo de distribución

Sin signo ( fC = 0) Mesocúrtica

Positivo ( fC > 0) Leptocúrtica

Negativo ( fC < 0) Platicúrtica

Ejemplo 2.20.El coeficiente de curtosis o apuntamiento de Fisher para la distribución de la Tabla 2.6, podemos

calcularlo elaborando una tabla similar a la Tabla 2.21 y usando la fórmula (2.30) y los resultados obtenidos para la media y desviación estándar en los ejemplos 2.8 y 2.16 respectivamente.

http://www.tuveras.com/estadistica/estadistica02.htm




TABLA 2.21. TABLA PARA CALCULAR EL COEFICIENTE DE CURTOSIS DE FISHER.

Marcas

de clase

iX

Frecuencia

Absoluta

if ii fX 4)5.148(

93.5 4 36,602,500

120.5 7 4,302,592

147.5 7 7

201.5 8 63,123,848

228.5 4 163,840,000

Total 30 267,868,947

855.3333.783)(30

7267,868,944

fC

En consecuencia, podemos deducir que debido a que el coeficiente de curtosis de Fisher es positivo, la

distribución de la Tabla 2.6 es leptocúrtica. Es decir, es más picuda que la distribución normal.

2.9. Análisis de regresión y correlación lineal simple. El análisis de regresión lineal es una técnica estadística utilizada para estudiar la relación entre variables

cuantitativas. Tanto en el caso de dos variables (regresión simple) como en el de más de dos variables (regresión

múltiple). El análisis regresión lineal puede utilizarse para explorar y cuantificar la relación entre una variable

llamada dependiente (de respuesta o predictora) indicada por Y, y una o más variables llamadas independientes (explicativas o regresoras) denotadas por X1, X2, …, Xk, así como para desarrollar una ecuación lineal con fines

predictivos.

En esta sección sólo estudiaremos la regresión, correlación lineal simple y calcularemos el modelo lineal simple. Es decir, analizaremos la relación existente entre una variable independiente (X) y una variable dependiente (Y),

obtendremos un modelo lineal de una variable independiente para predecir o pronosticar la variable

dependiente.

2.9.1. Introducción al análisis de regresión y correlación lineal. Las técnicas de regresión (repercusión) y correlación (afinidad o correspondencia) cuantifican la asociación estadística entre dos o más variables. La regresión lineal simple expresa la relación entre una variable

dependiente Y, y una variable independiente X, en términos de la pendiente y la intersección de la línea con el

eje Y que mejor se ajuste a las variables. La correlación simple expresa el grado de la correspondencia o relación

entre las dos variables en términos de un coeficiente de correlación (r) que proporciona una medida indirecta de la variabilidad de los puntos alrededor de la mejor línea de ajuste. De ninguna manera, la regresión ni la

correlación dan pruebas de relaciones causa – efecto [2]

Regresión lineal. Se define como un procedimiento mediante el cual se trata de determinar si existe o no relación de dependencia

entre dos o más variables. Es decir, conociendo los valores de una variable independiente, se trata de estimar los

valores, de una o más variables dependientes. Por otro lado, la regresión en forma gráfica, trata de lograr que una dispersión de las frecuencias sea ajustada a una línea recta o a una curva. Por lo tanto, la regresión puede ser




lineal y curvilínea (o no lineal). Como se mencionó antes, en este curso sólo estamos interesados en aprender la regresión lineal simple. Este tipo regresión se usa con mucha frecuencia en las ciencias económicas, y sus

disciplinas tecnológicas ya que cualquier función no lineal, es linealizada para su estudio y efectos prácticos. La

regresión lineal simple es útil para: 1) determinar la relación de dependencia que tiene una variable respecto a otra, 2) ajustar la distribución de frecuencias de ambas variables (dependiente e independiente)a una línea recta,

es decir, determinar la ecuación de la línea recta de regresión. 3) Predecir un dato desconocido de una variable

partiendo de los datos conocidos de otra variable. Mediante el coeficiente de correlación de Pearson (ver sección 2.9.3) podemos determinar si la asociación o

relación que existe entre la variable dependiente y la independiente es fuerte o débil. En aquellos casos en que el

coeficiente de correlación (denotado por r) sea “cercano” a +1 o a –1, tendrá sentido considerar la ecuación de la

recta que “mejor se ajuste” a la nube de puntos (conocida como recta de los mínimos cuadrados). Como ya se mencionó anteriormente, uno de los principales usos de dicha recta será el de predecir o estimar los valores de Y

que obtendríamos para distintos valores de X. Estos conceptos quedarán representados en lo que llamamos

diagrama de dispersión (ver sección 2.9.2) [3]. Con el coeficiente de determinación (ver sección 2.9.3), se logra calcular el porcentaje de la variabilidad en las

unidades de variable dependiente (pronóstico) que no puede ser explicada por las unidades de la variable

independiente en la predicción, debido a factores ajenos o externos de las unidades utilizadas en la variable independiente. El coeficiente de determinaciones denotado por r2y oscila entre –1 y +1. Entre más “cercano” a +1 o

a –1 se tendrá un menor porcentaje de la variabilidad que no puede ser explicada entre las unidades de ambas

variables.

Correlación lineal.

En ocasiones nos puede interesar saber si existe o no algún tipo de relación entre dos variables aleatorias. Por

ejemplo, entre el número diario de visitas realizadas por los clientes a un establecimiento comercial y el gasto

diario realizado en publicidad por dicho establecimiento. Una primera aproximación al problema consiste en dibujar en el plano cartesiano (R2) un punto por cada día muestreado: la primera coordenada (o abscisa) de cada

punto sería el número de visitas de los clientes al establecimiento, mientras que la segunda coordenada (u

ordenada) sería la cantidad de dinero gastada en publicidad ese día. Así, obtendríamos una nube de puntos la cual podría indicarnos visualmente la existencia o no de algún tipo de relación lineal, o no lineal entre ambas

variables.

Otro ejemplo similar, consistiría en analizar la facturación de una empresa en un periodo de tiempo dado y de cómo influyen los gastos de promoción y publicidad en dicha facturación. Si consideramos un periodo de tiempo

de 120meses, una posible representación sería situar un punto por cada mes de forma que la abscisa de cada

punto sería la cantidad en pesos invertidos en publicidad y/o promoción, mientras que la ordenada sería la

cantidad en pesos obtenidos de su facturación. De esta manera, obtendríamos una nube de puntos que nos indicaría el tipo de relación existente entre ambas variables. En particular, nos interesa cuantificar la intensidad

de la relación lineal entre las dos variables (abscisas y ordenadas). El parámetro que nos da tal cuantificación es

el coeficiente de correlación lineal de Pearson r2 (ver la sección 2.9.3), cuyo valor oscila entre –1 y +1. En contraste, el análisis de regresión se usa en la predicción, mientras que el análisis de correlación se utiliza

para medir la fuerza de la asociación entre las variables [4].

2.9.2. Gráficos de dispersión. Un gráfico de dispersión muestra una serie de datos como un conjunto de puntos representados en un plano

cartesiano (ver Figura 2.15). Los valores se representan mediante la posición de los puntos en el gráfico. Las

categorías se representan mediante distintos marcadores en el gráfico. Los gráficos de dispersión suelen usarse para comparar datos agregados de las categorías. Uno de los aspectos más poderosos de un gráfico de dispersión,

es su capacidad para mostrar las relaciones lineales o no lineales entre las variables. Además, si los datos son

representados por un modelo de mezcla de relaciones simples, estas relaciones son visualmente evidentes como patrones superpuestos. El diagrama de dispersión es una de las herramientas básicas en control de calidad.




Figura 2.15 Diagramas de dispersión para la explicación del coeficiente de correlación.

En la Figura 2.15 podemos observar distintos diagramas de dispersión los cuales explicarían el valor obtenido en coeficiente de correlación (r) de Pearson.

Ejemplo 2.21.El gerente general de una empresa desea saber si existe relación entre la rentabilidad de la

empresa y la inversión en publicidad y promoción realizada por ésta. El gerente cuenta con los datos del

volumen de ventas y del gasto en publicidad y promoción que se realizaron en los últimos 12 meses expresados

en millones de pesos. Los datos recopilados aparecen en la Tabla 2.22. Para ello, construye el diagrama de dispersión que aparece en la Figura 2.16.

TABLA 2.22. MONTOS MENSUALES DE LAS VENTAS Y GASTOS EN PUBLICIDAD Y PROMOCIÓN.

Año 2009 Año 2010

Mes Jul Ago Sept Oct Nov Dic Ene Feb Mar Abr May Jun

Monto de las ventas 5 10 15 20 30 40 50 65 70 75 80 90

Gasto en publicidad y promoción 1 1.5 1.8 2 2.5 3.5 5 6 6.5 7 7.5 8

0

2

4

6

8

10

0 20 40 60 80 100

Gast

o e

n p

ub

lici

dad

y

pro

moci

ón

(en

mil

lon

es d

e p

esos)

Monto de las ventas mensuales

(en millones de pesos)

Fuerte correlación lineal positiva.

Ninguna correlación lineal.

Correlación lineal positiva intermedia.

Correlación no lineal intermedia.

Fuerte correlación lineal negativa.

Fuerte correlación no lineal.




Figura 2.16. Diagrama de dispersión del monto de las ventas y los gastos en publicidad y promoción.

Con el diagrama de la Figura 2.16 el gerente pudo observar que existe una relación creciente entre las dos variables involucradas, y que ambas variables son directamente proporcionales. Es decir, si una variable sube la

otra también y viceversa. También, el gerente se dio cuenta que la relación existente entre las dos variables se

comporta como una línea recta con pendiente positiva y que dicha relación entre ambas variables parece ser muy

fuerte. Para verificar esta aseveración, el gerente debe calcular el coeficiente de correlación (ver la sección siguiente). Para realizar un pronóstico, el gerente debe determinar la ecuación del modelo lineal que involucra a

estas dos variables (ver sección 2.9.4).

2.9.3. Coeficiente de correlación lineal.

El coeficiente de correlación, r, nos indica qué tan cerca están los datos de la línea de ajuste (ver la sección 2.9.4). La fórmula para calcularlo es:

2222 **

**

YYnXXn

YXXYnr (2.29)

La fórmula del coeficiente de correlación, desarrollada por Karl Pearson, está diseñada para que 11 r , con un valor de r cercano a 1significa que las dos variables crecerán o decrecerán juntas, y existirá una fuerte

relación matemática entre ellas. Como se mencionó al inicio del de la sección 2.9.1, esto no necesariamente

significa que una de las variables tiene efecto directo sobre la otra. Por ejemplo, el hecho de existir una gran correlación entre el crecimiento del número de escuelas en una cierta área de la ciudad y el aumento en la venta

de licor en esta área, no necesariamente quiere decir que los estudiantes y maestros están tomando el licor;

ambos crecimientos reflejan un crecimiento en la población de esta área. Por otro lado, un coeficiente de correlación cercano a –1 indica que hay una fuerte correlación negativa; esto

es, una variable tenderá a decrecer mientras que la otra crecerá. Está generalmente convenido que la correlación

entre –0.2 y 0.2 indica una relación no significativa entre las variables.

Ejemplo 2.22. En referencia al ejemplo 2.21, el gerente decide calcular el coeficiente de regresión de Pearson

para determinar qué tan fuerte es la relación entre las variables involucradas. Para facilitar el cálculo del valor de r, el gerente elaboró la Tabla 2.23.

TABLA 2.23. TABLA PARA CALCULAR EL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN.

Mes X Y XY X2 Y2

Jul-09 5 1 5 25 1

Ago-09 10 1.5 15 100 2.25

Sept-09 15 1.8 27 225 3.24

Oct-09 20 2 40 400 4

Nov-09 30 2.5 75 900 6.25

Dic-09 40 3.5 140 1,600 12.25

Ene-10 50 5 250 2,500 25

Feb-10 65 6 390 4,225 36

Mar-10 70 6.5 455 4,900 42.25

Abr-10 75 7 525 5,625 49

May-10 80 7.5 600 6,400 56.25

Jun-10 90 8 720 8,100 64




Totales 550 52.3 3,242 35,000 301.49

En el renglón de totales de la Tabla 2.19 tenemos calculados respectivamente,X , Y , XY,

2Xy

.2

Y Por lo tanto, sólo se necesita sustituir estos valores con 12n en la fórmula de r . Así,

.995627.0

5320.183,10

139,10

59.882500,117

139,10

3.5212550000,3512

242,312

2249.301

3.52550

r

Con el resultado obtenido de r, podemos concluir que la relación existente entre las dos variables involucradas

(ventas y gasto en publicidad y promoción) es muy fuerte y que podemos utilizar el modelo de regresión lineal

para predecir una de las variables conociendo la otra.

Coeficiente de determinación de Pearson.

El coeficiente de determinación r2 mide la proporción de variabilidad total de la variable dependiente Y respecto a su media que es explicada por el modelo de regresión. En otras palabras, r2 mide la proporción de la variación

total en la variable dependiente Y que está explicada por la variable independiente X, o que se debe a la variación

de la variable independiente X. Es usual expresar esta medida en tanto por ciento, multiplicándola por 100%. La

fórmula para calcular el coeficiente de determinación de Pearson es:

%100

**

**2

2222

2

YYnXXn

YXXYnr (2.30)

Ejemplo 2.23.Si el gerente desea calcular el coeficiente de determinación de Pearson, sólo tiene que elevar

al cuadrado el resultado obtenido en el ejercicio 2.22. Esto es,

𝑟2 = (0.995627)2 ∙ 100% =99.1273%

Este resultado implica que sólo el 0.872687% de las variaciones en Y no pueden ser explicadas por la variable

independiente de las ventas mensuales generadas por la empresa. Un 99.1273% de los casos las variaciones en el gasto mensual en publicidad y promoción pueden ser explicadas por las ventas mensuales realizadas por la

empresa.

2.9.4. Modelo de regresión lineal simple. El modelo de regresión lineal simple toma la forma

Y = a + bX, (2.31)

Donde Y = variable dependiente; X = variable independiente. Los valores de la pendiente (b) y la intersección con el eje Y (a), se obtienen usando las ecuaciones normales escritas en la forma conveniente.




22 *

*

XnX

YXnYXb (2.32)

XbYa * (2.33)

Ejemplo 2.21. En relación al ejemplo 2.19, el gerente general puede determinar el modelo de regresión lineal simple (2.31), basándose en los resultados obtenidos en la Tabla 2.21 y usando las fórmulas (2.32) y (2.33) de la

manera siguiente:

.0.0862893666667.9791

916667.844

)8333.45()12()000,35(

)35833.4()8333.45(12242,32

b

Una vez calculado el valor de la pendiente (b), ya podemos determinar el valor de la intersección con el eje Y usando la

fórmula (2.33). Esto es,

0.40340426)35833.4()0.08628936()8333.45( a

Por lo tanto, el modelo de regresión lineal para los datos de la Tabla 2.20 es:

Y = 0.40340426 + 0.08628936X (2.34)

En dondeX representa el monto de las ventas mensuales y Y el gasto mensual en publicidad y promoción.

Ejemplo 2.22. En relación al Ejemplo 2.20, para el mes de septiembre de 2010, la empresa desea realizar ventas

por 100 millones de pesos. El gerente general usa el modelo de regresión lineal simple calculado en el Ejemplo 2.21, para determinar el gasto que debe hacerse ese mes en publicidad y promoción de la empresa, como sigue:

Y = 0.40340426 + 0.08628936∙(100) = 9.03234026

Esto es, para lograr las ventas deseadas en el mes de septiembre de 2010, la empresa debe realizar un gasto

aproximado de 9 millones de pesos en publicidad y promoción.

Ejemplo 2.23.En referencia al problema anterior, para el mes de octubre la gerencia de publicidad y promoción

de la empresa cuenta con un presupuesto de 11.5 millones de pesos. El gerente general pronostica las ventas esperadas para el mes de octubre usando el modelo de regresión simple (2.34), de la manera siguiente:

11.5 = 0.40340426 + 0.08628936X

Despejando el valor de X se tiene que:

𝑋 =11.5 − 0.40340426

0.08628936= 128.5975

Con el resultado obtenido el gerente general espera que las ventas de octubre serán aproximadamente del orden

de los 128.6 millones de pesos.




2.10. Ejercicios teóricos.

1. Completa las siguientes afirmaciones:

a) La distribución de frecuencias relativas de una variable discreta se puede representar mediante un

_________________.

b) El _________________ es el gráfico más utilizado para representar la distribución de frecuencias simples

(no acumuladas) de una variable continua.

c) Dos diferencias entre el diagrama de frecuencias acumuladas y el polígono de frecuencias acumuladas

son:

(i) El primero permite representar variables _________________ y el segundo variables

_________________.

(ii) El primero es una gráfica _________________ mientras que el segundo es una gráfica

_________________.

d) La _________________ es una medida característica válida para representar variables cualitativas.

e) Las medidas características de posición de tendencia central son: _________________,

_________________y_________________.

f) Los _________________ son _________________ valores que dividen a la muestra en cuatro partes de

igual frecuencia. Análogamente, los _________________ son _________________ valores que dividen

a la muestra en cien partes de igual frecuencia.

g) El límite (bigote) inferior de un diagrama de cajas representa un valor calculado mediante la expresión:

_________________.

h) Las siguientes relaciones entre la media, mediana y moda son indicadores numéricos de la asimetría en

la distribución de los datos:

(i) moda _________________mediana _________________media indica simetría.

(ii) moda _________________mediana _________________media indica asimetría positiva (a la

derecha)

(iii) moda _________________mediana _________________media indica asimetría negativa (a la

izquierda).

i) El signo del coeficiente de curtosis de Fisher es indicador de la forma de la distribución de frecuencia de

los datos:

(i) Un valor _________________indica que la distribución es platicúrtica.

(ii) Un valor _________________indica que la distribución es mesocúrtica.

(iii) Un valor _________________indica que la distribución es leptocúrtica.

2.11. Ejercicios prácticos. 1. Se ha realizado una encuesta en 30 hogares en la quese les pregunta el nº de individuos que conviven en el

domicilio habitualmente. Las respuestas obtenidas han sido las siguientes:

4, 4, 1, 3, 5, 3, 2, 4, 1, 6, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 2, 3, 3, 2, 2, 1, 8, 3, 5, 3, 4, 7, 2, 3.

a) Calcule la distribución de frecuencias de la variable obteniendo las frecuencias absolutas, relativas y sus

correspondientes acumuladas.




b) ¿Qué proporción de hogares está compuesto por tres o menos personas? ¿Qué proporción de individuos vive

en hogares de tres o menos miembros?

c) Dibuje el diagrama de frecuencias absolutas y el diagrama de frecuencias acumuladas.

d) Agrupe por intervalos de amplitud 2 los valores de la variable, calcule su distribución de frecuencias y

represente con los correspondientes gráficos las frecuencias absolutas y acumuladas.

2. El 1 de septiembre 2013 el diario El Imparcial publicó el siguiente gráfico sobre la situación del turismo a

nivel mundial.

Figura 1. Situación del turismo a nivel mundial.

a) ¿Qué variable es la que se está presentando en el gráfico?

b) ¿Qué tipo de variable es?

c) Construya la tabla de distribución de frecuencias

d) Represente la información del gráfico en un diagrama de barras.

3. Se realiza un estudio en una ciudad sobre la capacidad hotelera y se obtienen los siguientes resultados:

Plazas Nº de hoteles

0-10 25

10-30 50

30-60 55

60-100 20 100-120 10

Total 160

a) Represente gráficamente esta distribución de frecuencias mediante un histograma.

b) ¿Cuál es la proporción de hoteles que disponen de entre 11 y 60 plazas?

c) ¿Cuántos hoteles tienen treinta o menos plazas? d) Calcule las marcas de clase de cada intervalo.

e) ¿Cuál es la proporción de hoteles que disponen de entre 15 y 50 plazas? ¿Qué hipótesis hace para este último

cálculo?

4. El total de la población de un lugar está constituido por personas de diferentes edades. Al dividir una

población de acuerdo con su edad y sexo, en un tiempo determinado, se obtiene una pirámide poblacional. La

figura 2 muestra la pirámide poblacional de México del año 2010.




Figura 2. Pirámide poblacional de México de 2010

Fuente: http://2.bp.blogspot.com/_YZNahVoHfWY/TGGr_rIAMqI/AAAAAAAAAL4/bZ3L5sYhUg4/s1600/Pop_Pyramid_Mexico_2010.gif

a) ¿Qué variable está representando el gráfico?

b) ¿Qué tipo de variable es?

c) Construye una tabla de distribución de frecuencias de 10 clases y calcula las marcas de clase.

d) Representa el polígono de frecuencias acumuladas “menor que”. e) Suponiendo que todas las personas se jubilan a los 65 años, ¿Cuántas personas jubiladas hay en México según

el censo del 2010?

5. Visita la Web http://cuentame.inegi.org.mx/poblacion/habitantes.aspx?tema=P y responde a las preguntas

siguientes:

a) El número de personas de 0 a 14 años, ¿ha disminuido o ha aumentado? b) ¿Cómo te imaginas el futuro si cada vez hay más adultos mayores y menos niños?

c) ¿Cómo van a cambiar las necesidades de la población?

d) ¿En qué grupo de edad la población de hombres disminuye en mayor porcentaje que la de mujeres? ¿Cuáles crees que sean las causas?

6. En el Departamento de Personal de una fábrica se ha realizado un estudio estadístico en relación a los salarios

mensuales percibidos por los trabajadores en miles de pesos. El resultado de una muestra de 60 empleados

arrojó los siguientes datos:

3.0 4.0 3.3 3.0 3.4 3.1 3.9 3.8 3.8 4.0 3.9 3.7 3.9 3.2 3.0 3.5 4.0 3.8 4.0 3.6

3.0 3.2 3.5 3.8 3.4 3.8 3.7 3.5 3.5 3.7 3.5 3.3 3.7 3.6 3.2 3.6 3.7 3.4 3.6 3.3

3.6 3.0 3.3 3.9 3.2 3.0 3.9 3.7 3.7 3.4 3.1 3.6 3.8 3.1 3.8 3.6 3.9 3.1 3.6 3.5

http://cuentame.inegi.org.mx/poblacion/habitantes.aspx?tema=P




Con base en la información de la muestra,

a) Construye el diagrama de tallo y hojas para los datos dados.

b) Obtén la distribución de frecuencias para los datos no agrupados de la muestra.

c) Calcula la media, mediana y moda para la distribución de frecuencias del inciso b).

d) Construye una distribución de frecuencias de datos agrupados de cinco intervalos igualmente espaciados.

e) Calcula la media, moda y mediana para los datos agrupados y compara los resultados obtenidos en el caso c).

¿Qué puedes argumentar al respecto?

f) Con la distribución de frecuencias del inciso d), construye los gráficos siguientes;

1) El histograma.

2) El polígono de frecuencias.

3) La ojiva “menor qué”

4) La ojiva “mayor qué”

g) Construye los diagramas de caja para con los datos obtenidos en los incisos c) y e) y compáralos. ¿Qué puedes

decir al respecto?

7. Para la empresa SAMID y Asociados, la cantidad diaria producida (en miles de unidades) está dada por la

siguiente distribución de frecuencias:

Cantidad diaria

producida (en miles)

Frecuencia

Absoluta

De 5 a menos de 15 13

De 15 a menos de 25 x

De 25 a menos de 35 y



El gerente de producción ha perdido dos datos, pero asegura que la suma de las cantidades faltantes es el doble

del promedio de la producción diaria. A partir de la información de la tabla y de lo que asegura el gerente, se

desea saber:

a) El valor de x y de y, si se sabe que la cantidad promedio de la producción diaria es de 26 mil unidades.

b) Los valores de mediana, moda, varianza y desviación estándar para la producción diaria.

c) El tercer cuartil, el noveno decil y el percentil número 15.

d) El coeficiente de variación, el coeficiente de asimetría de Pearson, y los coeficientes de asimetría y curtosis de

Fisher.

e) Conforme a la comparación de las medidas centrales (promedio, mediana y moda) obtenidas en el inciso b), la

distribución de las cantidades diarias de producción es: i) Asimétrica a la derecha, ii) Asimétrica a la izquierda,

iii) Simétrica o iv) Uniforme.

f) De acuerdo al coeficiente de variación obtenido en el inciso d), las cantidades diarias de producción son: i)

Heterogéneos, ii) Homogéneos, iii) Muy heterogéneos o iv) Muy Homogéneos.

g) Conforme al coeficiente de asimetría de Pearson obtenido en el inciso d), la forma de la distribución de los

datos dados en la tabla es i) Disimétrica negativa, ii) Uniforme, iii) Disimétrica positiva o iv) Simétrica.

h) De acuerdo al coeficiente de Asimetría de Fisher obtenido en el inciso d), la distribución de las cantidades

diarias de producción está: i) Sesgada a la Izquierda, ii) Sesgada a la derecha, iii) Insesgada o iv) Invariante.

i) De acuerdo al coeficiente de curtosis de Fisher obtenidos en d), la forma de la distribución de las cantidades

diarias de producción es: i) Leptocúrtica, ii) Mesocúrtica, iii) Cuasicúrtica o iv) Platicúrtica.




8. Una empresa se dedica a la fabricación de barras de acero, para ello usa una máquina, cuyas características

hacen que la longitud de éstas no pueda ser mayor de 50 cm. Se realizó una muestra de la producción de la

máquina en una determinada hora de funcionamiento, las longitudes de las barras producidas fueron las

siguientes:

Longitud (en cm.) Cantidad de barras

Menos de10 3





40 a menos de 45 25

a) Con los datos de la tabla, determina, para esa hora específica, los valores para la longitud de esas barras de la

1) media, 2) mediana, 3) moda, 4) varianza, 5) percentil número 35, 6) segundo decil,7) primer cuartil, 8)

coeficiente de variación, 9) coeficiente de asimetría de Pearson, 10) coeficiente de asimetría de Fisher y 11)

coeficiente de curtosis.

b) Conforme a la comparación de las medidas centrales (promedio, mediana y moda) obtenidas en los puntos 1,

2 y 3 del inciso a), la distribución de la longitud de las barras es: i) Asimétrica a la derecha, ii) Asimétrica a la

izquierda, iii) Simétrica o iv) Uniforme.

c) De acuerdo al coeficiente de variación obtenido en el apartado 8) del inciso a), las longitudes de las barras

son: i) Heterogéneos, ii) Homogéneos, iii) Muy heterogéneos o iv) Muy Homogéneos.

d) Conforme al coeficiente de asimetría de Pearson obtenido en el apartado 9) del inciso a), la forma de la

distribución de los datos es i) Disimétrica negativa, ii) Uniforme, iii) Disimétrica positiva o iv) Simétrica.

e) De acuerdo al coeficiente de Asimetría de Fisher obtenido en el apartado 10) del inciso a), la distribución de la

longitud de las barras está: i) Sesgada a la Izquierda, ii) Sesgada a la derecha, iii) Insesgada o iv) Invariante.

f) De acuerdo al coeficiente de curtosis de Fisher obtenidos en el apartado 11) del inciso a), la forma de la

distribución de la longitud delas barras es: i) Leptocúrtica,ii) Mesocúrtica, iii) Cuasicúrtica o iv) Platicúrtica.

9. En una muestra realizada en las dos sucursales de una empresa determinada, se obtuvieron las siguientes

distribuciones de frecuencias de los montos de las ventas diarias realizadas en miles de pesos.

Sucursal A Sucursal B

Monto de las ventas

(miles de pesos)

Número

de días

Monto de las ventas

(miles de pesos)

Número

de días

Menos de 90 7 Menos de 70 5

De 90 a menos de 150 16 De 70 a menos de 200 28




Total 100 Total 100

a) Con los datos de la tablas, determina, para cada sucursal, los valores para el monto de las ventas de la 1)

media, 2) mediana, 3) moda, 4) varianza, 5) percentil número 35, 6) segundo decil, 7) primer cuartil, 8)

coeficiente de variación, 9) coeficiente de asimetría de Pearson, 10) coeficiente de asimetría de Fisher y 11)

coeficiente de curtosis.




b) Conforme a la comparación de las medidas centrales (promedio, mediana y moda) obtenidas en los puntos 1,

2 y 3 del inciso a), la distribución de las ventas de cada sucursal es: i) Asimétrica a la derecha, ii) Asimétrica a la

izquierda, iii) Simétrica o iv) Uniforme.

c) De acuerdo al coeficiente de variación obtenido en el apartado 8) del inciso a), los montos de las ventas de

cada sucursal son: i) Heterogéneos, ii) Homogéneos, iii) Muy heterogéneos o iv) Muy Homogéneos.

d) Conforme al coeficiente de asimetría de Pearson obtenido en el inciso 9, la forma de la distribución de los

datos para cada sucursal es i) Disimétrica negativa, ii) Uniforme, iii) Disimétrica positiva o iv) Simétrica.

e) De acuerdo al coeficiente de Asimetría de Fisher obtenido en el apartado 10) del inciso a), la distribución de

los montos de las ventas de cada sucursal está: i) Sesgada a la Izquierda, ii) Sesgada a la derecha, iii) Insesgada o

iv) Invariante.

f) De acuerdo al coeficiente de curtosis de Fisher obtenidos en el apartado 11) del inciso a), la forma de la

distribución de los montos de las ventas de cada una de las sucursales es: i) Leptocúrtica, ii) Mesocúrtica, iii)

Cuasicúrtica o iv) Platicúrtica.

g) En base a ambas distribuciones, responde a las siguientes preguntas:

1) ¿Cuál de las dos tiene menor dispersión?

2) ¿Para qué empresa resulta más representativo el monto de ventas promedio?

3) ¿Cuál de las dos empresas se encuentra con una distribución de las ventas más equilibrada o con menos

variabilidad?

10. La dureza de los árboles es difícil de medir directamente, sin embargo la densidad si es relativamente fácil de

medir. Por ello es de gran interés disponer de un modelo que permita predecir la dureza de un árbol a partir de su

densidad. Por este motivo se ha tomado una muestra de 36 eucaliptos y se les midió su densidad (X) y su dureza

(Y ). Los resultados obtenidos son los de la tabla adjunta.

Densidad Dureza Densidad Dureza Densidad Dureza

24.7 484 39.4 1210 53.4 1880

24.8 427 39.9 989 56.0 1980

27.3 413 40.3 1160 56.5 1820

28.4 517 40.6 1010 57.3 2020

28.4 549 40.7 1100 57.6 1980

29.0 648 40.7 1130 59.2 2310

30.3 587 42.9 1270 59.8 1940

32.7 704 45.8 1180 66.0 3260

35.6 979 46.9 1400 67.4 2700

38.5 914 48.2 1760 68.8 2890

38.8 1070 51.5 1710 69.1 2740

39.3 1020 51.5 2010 69.1 3140

Con los datos dados en la tabla,

a) Construye un diagrama de dispersión y comenta si existe algún tipo de relación entre las dos variables

involucradas, ¿la relación es lineal o no lineal?

b) Determine el coeficiente de correlación e interpreta el resultado encontrado.

c) Calcula el coeficiente de determinación y en base al resultado obtenido determina si se puede explicar el

consumo de dureza del árbol por una relación lineal con su densidad.

d) Determine el modelo de regresión lineal simple.




e) Usando el modelo hallado en el inciso anterior, prediga la dureza de un árbol de densidad 20 y 60 unidades

respectivamente

f) Usando el modelo del inciso d), prediga la densidad de un árbol de dureza 300 y 4000 respectivamente.

11. En quince casas de la ciudad de Milton Keynes se observó durante un período de tiempo la diferencia de

temperatura promedio (en grados centígrados) entre la temperatura en la calle y la temperatura en casa, y el

consumo de gas diario en kWh.

Diferencia de

Temperatura. Consumo

Diferencia de


Diferencia de


10.3 69.81 13.4 75.32 15.6 86.35

11.4 82.75 13.6 69.81 16.4 110.23

11.5 81.75 15.0 78.54 16.5 106.55

12.5 80.38 15.2 81.29 17.0 85.50

13.1 85.89 15.3 99.20 17.1 90.02

Con los datos anteriores,

a) Construye un diagrama de dispersión. ¿Existe relación entre estas dos variables?

b) Construye un diagrama de dispersión y comenta el tipo de correlación existente entre las dos variables


c) Determine el coeficiente de correlación e interprete el resultado.

d) Calcule el coeficiente de determinación ¿Se puede explicar la diferencia de la temperatura mediante la

relación lineal con el consumo de gas?

e) Determine el modelo de regresión lineal simple.

f) Usando el modelo hallado en el inciso anterior, prediga el consumo de energía si la diferencia es de 20 y

60 grados respectivamente.

g) Usando el modelo del inciso d), prediga la diferencia en la temperatura si el consumo de energía es de 85

y 90 unidades.

12. La Tabla de abajo presenta una muestra del número de horas trabajadas (X) en una fábrica, y las unidades

producidas (Y) de artículos.

Horas (X) 80 79 83 84 78 60 82 85 79 84 80 62

Producción (Y) 300 302 315 330 300 250 300 340 315 330 310 240

Con los datos dados en la Tabla,



b) Determine el coeficiente de correlación e interprete el resultado.

c) Calcule el coeficiente de determinación e interprete el resultado


e) Usando el modelo hallado en el inciso anterior, prediga la cantidad de unidades que se espera producir si se

trabajan 120 horas.

f) Usando el modelo del inciso d), prediga las posibles horas trabajo, si las unidades producidas fueron de 350.




13. Se ha solicitado a un grupo de 50 individuos información sobre el número de horas que dedican diariamente

a dormir y ver la televisión. La clasificación de las respuestas ha permitido elaborar la tabla siguiente:

Nº de hrs

dormidas (X)

Nº de hrs

de TV

(Y)

Nº de hrs

dormidas (X)

Nº de hrs

de TV

(Y)

Nº de Hrs

dormidas (X)

Nº de Hrs

de TV (Y)

Nº de Hrs

dormidas (X)

Nº de Hrs

de TV (Y)

6 4 8 3 8 3 8 3

7 3 7 3 7 3 7 3

8 3 9 2 8 3 9 2

9 2 6 4 7 3 6 4

7 3 8 3 8 3 7 3

7 3 7 3 9 2 8 3

8 3 7 3 7 3 7 3

9 2 8 3 8 3 8 3

7 3 9 2 9 2 9 2

8 3 7 3 7 3 8 3

8 3 8 3 8 3 9 2

8 3 10 1 8 3

9 2 8 3 7 3

Con los datos dados en la tabla,



b) Determine el coeficiente de correlación e interprete el resultado.

c) Calcule el coeficiente de determinación e interprete el resultado


e) Usando el modelo hallado en el inciso anterior, prediga la cantidad de unidades que se espera duerma una

persona que ve la TV durante 1.5 horas.

f) Usando el modelo del inciso d), prediga las posibles horas que una persona ve TV, si las horas que duerme

son de 8.5 hrs.

Nota: Los datos utilizados en los problemas 5 y 6, han sido tomados del libro “Ahandbook of small data sets”, editado por D.J. Hand, F. Daly, A.D. Lunn,

K.J. McConway y E Ostrowsky. Chapman& Hall.

Nota: Los datos utilizados en los problemas 5 y 6, han sido tomados del libro “Ahandbook of small data sets”, editado por D.J. Hand, F. Daly, A.D. Lunn,

K.J. McConway y E Ostrowsky. Chapman& Hall.

2.14. Lecturas recomendadas. 1) Santiago Fernández Fernández, José María Cordero Sánchez, Alejandro Córdoba Largo. Estadística descriptiva.

http://books.google.com.mx/books?id=31d5cGxXUnEC&pg=PA17&dq=estadistica+descriptiva&cd=1#v=onepage&q=estadistica%20descriptiva&f=false

2) Ma. Victoria Alea Riera. Estadística descriptiva: aplicaciones prácticas

http://books.google.com.mx/books?id=uZX42jrEiJgC&printsec=frontcover&dq=estadistica+descriptiva&cd

=2#v=onepage&q=estadistica%20descriptiva&f=false

http://www.google.com.mx/search?tbs=bks:1&tbo=p&q=+inauthor:%22Santiago+Fern%C3%A1ndez+Fern%C3%A1ndez%22

http://www.google.com.mx/search?tbs=bks:1&tbo=p&q=+inauthor:%22Jos%C3%A9+Mar%C3%ADa+Cordero+S%C3%A1nchez%22

http://www.google.com.mx/search?tbs=bks:1&tbo=p&q=+inauthor:%22Alejandro+C%C3%B3rdoba+Largo%22



http://www.google.com.mx/search?tbs=bks:1&tbo=p&q=+inauthor:%22Ma.+Victoria+Alea+Riera%22

http://books.google.com.mx/books?id=uZX42jrEiJgC&printsec=frontcover&dq=estadistica+descriptiva&cd=2#v=onepage&q=estadistica%20descriptiva&f=false

http://books.google.com.mx/books?id=uZX42jrEiJgC&printsec=frontcover&dq=estadistica+descriptiva&cd=2#v=onepage&q=estadistica%20descriptiva&f=false




2.15. Bibliografía recomendada para reforzar este tema. 1) Joan BaróLlinàs. Estadistica descriptiva: aplicaciones económico-empresariales. Paramón, 1987 Segunda Edición. 2) Hanke.Estadística para negocios. Editorial Irwin – 1995 3) Jorge Galbiati Riesco. Regresión Lineal Simple.Colombia. Enero de2007.

http://www.jorgegalbiati.cl/enero_07/Regresion.pdf

2.11. Referencias.

[1] Yadolah DodgeThe concise encyclopedia of statistics - Página 42, Springer, 2008.

[2]Daniel A. Robles Fabián.Regresión múltiple Lima – Perú. 2005. [3]Alicia Vila; Máximo Sedano; Ana López; Ángel A. Correlación Lineal y Análisis de Regresión.Proyecto e-Math.UOC.

2003.

http://www.uoc.edu/in3/emath/docs/RegresionLineal.pdf

[4] Berenson, Levine. Estadística Básica en Administración. Concepto y Aplicaciones. Editorial Pearson. 1996.

http://books.google.com.mx/books?id=2N09O8-Oe0QC&printsec=frontcover&dq=berenson+y+levine&source=gbs_similarbooks_s&cad=1#v=onepage&q=berenson%20y

%20levine&f=false

http://www.google.com.mx/search?tbs=bks:1&tbo=p&q=+inauthor:%22Yadolah+Dodge%22

http://www.uoc.edu/in3/emath/docs/RegresionLineal.pdf

http://books.google.com.mx/books?id=2N09O8-Oe0QC&printsec=frontcover&dq=berenson+y+levine&source=gbs_similarbooks_s&cad=1#v=onepage&q=berenson%20y%20levine&f=false



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