UNIVERSIDAD REGIONAL AUTONÓMA DE LOS ANDES...

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UNIVERSIDAD REGIONAL AUTONÓMA DE LOS ANDES

UNIANDES

FACULTAD DE EDUCACIÓN Y COMUNICACIÓN

MAESTRÍA EN DOCENCIA DE LAS CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Y ECONÓMICAS

TEMA: GUÍA ESTRUCTURADA PARA EL DESARROLLO DEL PENSAMIENTO LÓGICO

VERBAL PARA LA FORMACIÓN Y PREPARACIÓN DE LOS ASPIRANTES A LAS

UNIVERSIDADES

AUTORA: ING. FABIOLA MERCEDES CASTRO CORONEL

Ambato – Ecuador

2015

2

AGRADECIMIENTO

Agradezco a Dios que con su infinito amor me concede salud, fortaleza y sabiduría para

cumplir mis objetivos en el paso por la vida.

A la Universidad Regional Autónoma de los Andes que nos ha brindado la oportunidad de

acceder al programa de maestrías gratuitas para sus egresados, a mis maestros que guiaron el

camino hacia la profesionalización.

A mi familia que constituye el cimiento de valores y me permiten alcanzar el éxito deseado.

Fabiola Castro

3

DEDICATORIA

Dedico este trabajo de investigación a la juventud que sueña y quiere saber más para servir

mejor, a todas las personas cuyos ideales de superación se basa en el estudio e investigación,

que nos permite ser profesionales calificados al servicio de la sociedad.

Fabiola Castro

4

INTRODUCCIÓN

La Constitución de la República del Ecuador en el Art. 356, inciso segundo, establece que “El

ingreso a las Instituciones Públicas de Educación Superior se regulará a través de un sistema de

nivelación académica, definido en la ley.”, la Ley Orgánica de Educación Superior en el

artículo, 81 señala que: “El ingreso a las instituciones de educación superior públicas estará

regulado a través del Sistema de Nivelación y Admisión, al que se someterán todos los y las

estudiantes aspirantes.”.

Para la presente Guía Estructurada se debe considerar que admisión es el proceso de

inscripción, documentación y rendición de pruebas de cultura general y razonamiento lógico,

comunes para todos los aspirantes y de conocimientos básicos de las asignaturas fijadas por

las carreras, cuyos resultados determinan, en base al rendimiento y cupos, la ubicación del

bachiller en el primer semestre de la carrera como estudiante universitario, o en el Curso

Propedéutico, como aspirante, mientras que Nivelación es el proceso que permite a los

bachilleres no ubicados en el primer semestre de carrera, completar los conocimientos

básicos, habilidades, destrezas y valores, para alcanzar un nivel compatible con el inicio de la

carrera universitaria. Se realiza mediante el Curso Propedéutico, que incluye las materias de

lógica, lenguaje y comunicación y las básicas de la carrera que se evalúan en la prueba de

ubicación.

Los procesos de admisión se sustentan en valores de justicia, equidad y transparencia que

prioricen los méritos de los aspirantes, para evitar toda forma de discriminación. Los

aspirantes admitidos pueden matricularse y obtener la condición de estudiantes universitarios,

con todos los derechos y deberes que establecen las leyes, estatutos, reglamentos y

disposiciones de la Institución.

Para garantizar la calidad, eficacia y eficiencia, las diferentes carreras, establecerán cupos,

para ello considerarán; la capacidad instalada, los promocionados del propedéutico, los

admitidos de la prueba, los índices de repetición y los reingresos

Los aspirantes que obtengan las mejores calificaciones serán admitidos en el primer semestre

de la carrera, según el cupo establecido por cada carrera. Los aspirantes que no ingresen al

primer semestre, con base en el cupo y la prueba de ubicación, podrán inscribirse en el Curso

Propedéutico, que tiene cupo establecido por la Facultad y publicado en la convocatoria y

tiene como propósito su nivelación.

5

La presente Guía Estructurada está compuesta por dos ámbitos la Aptitud verbal y la Aptitud

numérica que va a permitir el desarrollo del pensamiento lógico y verbal en los estudiantes de

bachillerato y así facilitar el ingreso de los estudiantes del Colegio Jefferson de la ciudad de

Riobamba a carreras administrativas.

Los temas que se desarrollan de forma teórica y práctica están divididos en el área de

APTITUD VERBAL, RAZONAMIENTO VERBAL, APTITUD NUMÉRICA Y

GEOMETRÍA.

6

ÍNDICE GENERAL

Páginas

Contenido AGRADECIMIENTO ................................................................................................................... 2

DEDICATORIA ........................................................................................................................... 3

INTRODUCCIÓN ........................................................................................................................ 4

ÍNDICE GENERAL ....................................................................................................................... 6

Aptitud Verbal 1 ....................................................................................................................... 8

Relaciones entre palabras ......................................................................................................... 9

Denotación y Connotación .................................................................................................... 9

Ejercicios de Apoyo ............................................................................................................... 9

Ejercicios Propuestos .......................................................................................................... 10

Sinónimos ........................................................................................................................... 12

Ejercicios de Apoyo ................................................................................................................ 12

Ejercicios Propuestos .......................................................................................................... 12

Homónimos ............................................................................................................................ 16


Ejercicios Propuestos.............................................................................................................. 17

Analogías ................................................................................................................................ 19

Ejercicios Resueltos ................................................................................................................ 20


Sistemas Sémicos y Término Excluido .................................................................................... 23

Campo Semántico .................................................................................................................. 23

Semema ................................................................................................................................. 23

Término Excluido .................................................................................................................... 23

Criterios de Exclusión ............................................................................................................. 23


7


Antónimos .............................................................................................................................. 27

Clases de antónimos............................................................................................................... 27



Oraciones Incompletas ........................................................................................................... 30



El texto y la Referencia ........................................................................................................... 34

Tipos de Referencia ................................................................................................................ 34



Relaciones entre Palabras ...................................................................................................... 40

Los Conectores ....................................................................................................................... 40


Principio de Relación Temática .............................................................................................. 44

Ejercicios Propuestos ........................................................................................................ 212

8

2014

Aptitud Verbal 1

9

Denotación y Connotación

Ejercicios de Apoyo

Relaciones entre palabras

El nivel Denotativo

hace referencia al

sentido exacto de la

palabra expresada

El nivel Connotativo

nos permite usar

diferentes

posibilidades del

lenguaje

Marca la expresión connotativa que corresponde a cada uno de los enunciados denotativos.

1. Tienes un mar de problemas a. Vamos a tener un buen día b. Tienes muchos problemas c. Es un buen día. d. Vamos a navegar el día de hoy.

2. Me muero de pena

a. Estoy feliz b. Estoy cansado c. Estoy muy triste d. Estoy estresado

3. Está loca por Sebastián

a. Sebastián es un loco.

b. Está enamorada de Sebastián.

c. Es una locura de Sebastián.

d. Sebastián se va.

4. Perdió la cabeza por ese vestido a. Ese vestido es lindo b. Ese vestido no me gusta c. Ese vestido es anticuado d. Le encantó es vestido

5. La trigonometría no me entra en la cabeza

a. La trigonometría es muy fácil b. La trigonometría mide la cabeza c. La trigonometría es una locura d. La trigonometría me resulta incomprensible

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Ejercicios Propuestos

Marca El significado que corresponde a cada una de las siguientes expresiones connotativas.

1. Pedir peras al olmo a. Los olmos producen peras b. Pretender algo imposible c. Pedir que te traigan peras d. Los olmos son altos

2. No aguantar pulgas

a. Ser alegre b. Ser optimista c. Ser malhumorado d. Ser paciente

3. Matar el tiempo

a. Estar ocupado b. Tener preocupaciones c. No hacer nada d. Matar a la esposa

4. Tener un nudo en la garganta

a. Estar conforme b. Estar contento c. Estar angustiado d. Estar molesto

5. Aunque la mona se vista de seda, mona se queda.

a. No importa lo que vista una persona, ella siempre será la misma. b. Las monas se visten de seda. c. La seda es apropiada para hacer vestidos d. La mona se queda con el vestido de seda.

6. Dios da pan al que no tiene dientes

a. Al pan, pan y al vino, vino. b. Los dientes pueden tener caries c. Existen personas que a pesar de no merecérselo, reciben ayuda. d. El pan duro es peligroso para los dientes

7. El mero escribano echa un borrón

a. Los escribanos deben tener buena caligrafía b. Los borrones no se ven bien en un escrito c. Es preferible no presentar un escrito con borrones d. Todos cometemos errores.

8. La gran victoria es la que sin sangre se toma. a. Las victorias sin lucha no son relevantes. b. Se deben conseguir las metas sin hacer daño a nadie. c. La sangre es una condición indispensable. d. Se debe tomar las muestras de sangre en la mañana.

9. Poderoso caballero es don dinero.

a. Un caballero poderoso tiene dinero b. Se da gran valor a lo que se consigue con dinero c. El dinero permite que los caballeros sean poderosos d. Un caballero sin dinero no es caballero

Respuestas:

A B C D

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

11

10. A cada cerdo le llega su San Martín a. Los cerdos de la fiesta de San Martín son deliciosos b. A todos les llega la hora de rendir cuentas. c. San Martí n es el patrono de los cerdos. d. San Martín es el santo de criadores de cerdos.

Completa las oraciones denotativas

11. ¿Qué haces saliendo con ese insecto? ¿Acaso te interesa la _____? a. Lingüística b. Física c. Química d. Entomología

12. Mamá dice que no cree en la ______, pero siempre está leyendo el horóscopo. a. Sismología b. Ontología c. Epistemología d. Astrología

Identifica las oraciones connotativas

13. a. Le clavó la mirada b. Clavó un clavo en la pared. c. Tiene una mirada intensa d. Hace falta solo una mirada

14. a. Tenía mucha prisa b. El diablo es un ser maligno c. Se fue como alma que se lleva el diablo. d. El alma es inmaterial

15. a. El sapo es un anfibio b. ¡Qué sapo eres! c. Vamos a ver sapos en el estanque d. Los renacuajos se convierten en sapos

16. a. Ella está en la flor de su vida b. Ella está muy joven c. La flor es muy delicada d. La vida es muy corta

Marca la oración en la que las palabras se usan en sentido connotativo

17. a. Se levantó con el pie izquierdo b. Tiene un problema en el pie c. El pie izquierdo es más grande que el derecho d. Tuvo que levantarse muy temprano

18. a. El plomo es altamente tóxico b. Hay que andarse con pies de plomo c. Tiene los pies planos. d. Es mejor la gasolina sin plomo

Respuestas:

A B C D

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

12

Sinónimos

Dos términos son sinónimos si uno puede ser sustituido por el otro en algún enunciado sin cambiar demasiado su sentido. Existen varias clases de sinónimos.

Ejercicios de Apoyo


Sinónimos Totales

Sinónimos Parciales

Sinónimos de Grado

Se utilizan en distintos contextos sin alterar el mensaje. El asno cargaba sacos de sal El burro cargaba sacos de sal

Sólo pueden intercambiarse en algunos contextos.

Anoche ordené mi cuarto Anoche arreglé mi cuarto

Le ordené que viniera Le arreglé que viniera

Como se puede notar la segunda pareja de sinónimos no son

intercambiables.

Estos se diferencian por la intensidad que expresan.

Ana está triste Ana está desconsolada

En el segundo caso la tristeza de Ana es mayor; aunque las dos

palabras nos dan la idea de dolor, la intensidad varía.

Marca el Sinónimo de las palabras destacadas.

1. Elevar

a. socorrer c. soterrar

b. Levantar d. alcanzar

2. Fortuna

a. Presentes c. riqueza

b. Pobreza d. regalos

3. Escolar

a. Adolescente c. niña

b. Niño d. colegial

4. Tranquilo

a. Apático c. alborotado

b. Calmado d. descuidado

5. Admitir

a. Prohibir c. negar

b. Rechazar d. aceptar

6. Ayudar

a. Abandonar c. socorrer

b. Facilitar d. guarecer

7. Ayudar

c. Abandonar c. socorrer

d. Facilitar d. guarecer

13

Marca el sinónimo de las palabras destacadas

1. Progresar

a. Empeorar b. Desmejorar c. Mejorar d. Estancar

2. Plegaria a. Oración b. Blasfemia c. Imprecación d. Arenga

3. Contento a. Alegre b. Insatisfecho c. Apenado d. Conforme

4. Firmeza a. Fragilidad b. Volubilidad c. Indecisión d. Solidez

5. Amable a. Grosero b. Rudo c. Antipático d. Atento

6. Fecundo a. Fértil b. Ferroso c. Abundante d. Ligero

7. Mazmorra a. Colada b. Prisión c. Zarzamora d. Batido

8. Tenebroso a. Escabroso b. Penoso c. Lúgubre d. Atrasado

9. Ileso a. Hilarante b. Hilván c. Incólume d. Acosado

10. Docto a. Pediatra b. Proctólogo c. Octavo d. entendido

Respuestas:

A B C D

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

14

Marca el sinónimo que tiene mayor intensidad

11. Poner el hombro a. Ayudar b. Interferir c. Solucionar d. Postergar

12. Perder los estribos a. Correr b. Impacientar c. Rescatar d. Colaborar

13. Mover el esqueleto a. Tiritar b. Anonadar c. Bailar d. Estirar

Marca la palabra que no sea sinónima

14. a. Pretérito b. Anterior c. Ayer d. Nuevo

15. a. Presente b. Vigente c. Excluyente d. Contemporáneo

16. a. Futuro b. Mañana c. Despertar d. Porvenir

17. a. Presagio b. Anuncio c. Anterior d. Augurio

18. a. Absurdo b. Ilógico c. Problemático d. Irracional

19. a. Pobre b. Indigente c. Desgraciado d. dichoso

Marca el sinónimo que tiene la mayor intensidad

20. a. Precioso b. Bonito c. Agradable d. Atractivo

21. a. Sonido b. Ruido c. Estruendo d. Zumbido

22. a. Carcajada b. Risa c. Sonrisa d. Gesto

Respuestas

A B C D

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

15

Marca el sinónimo

23. Letargo a. Problema b. Halago c. Actividad d. Modorra

24. Fortaleza a. Vigor b. Flaqueza c. Viveza d. Durable

25. Desanimar a. Persuadir b. Disuadir c. Desamparar d. Dejar

26. Repulsión a. Expulsión b. Eclosión c. Erosión d. Aversión

27. Aciago a. Nefasto b. Feliz c. Sequedad d. Desgracia

28. Linaje a. Apellido b. Riqueza c. Ropa d. Casta

29. Vetusto a. Viejo b. Reciente c. Moderno d. Flamante

30. Discernir a. Confundir b. Oscurecer c. Distinguir d. Mezclar

31. Opíparo a. Pobre b. Mínimo c. Frugal d. Abundante

32. Lacónico a. Locuaz b. Facundo c. Conciso d. Abundante

Respuestas:

A B C D

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

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Homónimos

Los homónimos son palabras que expresan significados diferentes, pero que suenan igual.

Ejemplos: Hola, me dijo y pasó rápidamente.

Casi me arrastra la ola.

Es evidente que estos vocablos no tienen relación alguna de significado.

Las palabras homónimas se clasifican en: homófonas y homógrafas.

Ejercicios de Apoyo

Homófonas

Homógrafas

Estas palabras tienen el mismo significado,

pero se escriben de distinta forma.

Aprobaron la ordenanza en la sesión del

concejo.

Necesito el consejo de un amigo

Estas palabras tienen el mismo sonido y se

escriben de igual forma:

La arena me quemó la planta de los pies.

He sembrado una planta en mi jardín. Han

construido una nueva planta de gas

Marca la opción correcta para cada pareja de palabras

1. abocar- avocar

a. asumir una causa- aproximar

b. aproximar – asumir una causa

c. asumir una causa – obligar

d. obligar – aproximar

2. varón – barón

a. individuo – señor

b. título nobiliario – individuo masculino

c. señor – individuo masculino

d. individuo masculino – título nobiliario

3. combino – convino

a. acordó – pensó

b. acordó – relacionó colores

c. pensó – acordó

d. relacionó colores – acordó

4. vienes – bienes

a. te acercas – propiedades

b. te alejas – propiedades

c. propiedades – te alejas

d. te alejas – te acercas

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Marca la opción correcta para cada pareja de palabras

1. bello – vello

a. pelo corto en cabeza y barba – pelo largo

b. que tiene belleza – que tiene bondad.

c. pelo corto – que tiene belleza

d. que tiene belleza – pelo corto en cabeza y barba

2. votar – botar

a. arrojar- dar su voto

b. arrojar-tirar

c. dar su voto – arrojar

d. arrojar – dar su voto

3. cave – cabe

a. que levante y mueva la tierra – que entierre objete

b. tener capacidad- que levante y mueva la tierra

c. tener capacidad – tener espacio

d. que levante y mueva la tierra – tener capacidad.

4. cabo-cavo

a. extremo de una cosa- que levanto y muevo la tierra

b. extremo de una cosa – que traigo objetos

c. que levanto y muevo la tierra- que traigo objetos.

d. extremo de una cosa - miembro del ejército.

5. casar- cazar

a. buscar animales para matarlos – contraer matrimonio

b. contraer matrimonio – buscar animales para matarlos

c. pedir en matrimonio – contraer matrimonio

d. atrapar animales – contraer matrimonio

6. rebelar – revelar

a. sublevar – descubrir

b. descubrir- establecer

c. descubrir – sublevar

d. sublevar –establecer

7. sabia –savia

a. que posee sabiduría – líquido que circula por los vasos de las plantas

b. que es ignorante – que posee sabiduría

c. líquido que circula por los vasos de las plantas – que es ignorante

d. que quiere poseer sabiduría – que va a tener sabiduría

8. cause- cauce

a. que produzca su efecto – lecho de ríos y arroyos.

b. lecho de ríos y arroyos – que produzcan su efecto

c. lecho de los mares – que no produzca efecto.

d. que produzca efecto – lecho de los mares.

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9. viga – biga

a. madero largo y grueso – carro de cuatro caballos

b. carro de dos caballos – madero largo

c. carro de dos caballos – madero corto y delgado

d. madero largo y grueso – carro de dos caballos.

10. abrace – abrase

a. queme- que ciñe con los brazos

b. que ciñe con los brazos – queme

c. que ciñe con los brazos – abrigue

d. abrigue – que aparta con los brazos

Marca la acepción correcta de las palabras destacadas

11. El doctor dijo que Manuel se rompió el radio

a. hueso contiguo al cúbito

b. Máximo alcance de un agente

c. medio de comunicación

d. elemento químico.

12. Escucho la radio todas las mañanas


b. máximo agente


d. elemento químico

13. el radio es un elemento radioactivo


b. máximo agente


d. elemento químico

14. ¿Cómo se encuentra el radio de una circunferencia?


b. Segmento lineal que une el centro del círculo con la circunferencia

c. máximo agente

d. medio de comunicación

15. Las acacias tienen una raíz poco profunda

a. órgano de las plantas

b. bien inmueble

c. causa u origen de algo

d. parte inferior de una cosa.

e.

16. este problema tiene su raíz en el siglo XVII

a. órgano de las plantas

b. bien inmueble

c. causa u origen de algo

d. parte inferior de una cosa

Respuestas: A B C D

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.

19

Analogías

Se llama analogía a la relación similar que existe entre parejas de palabras distintas. Toda

analogía exige un ejercicio de razonamiento lógico para identificar el tipo de relación que se

establece entre cada par de términos.

Pasos para resolver ejercicios de analogías:

Existen diversos tipos de analogías. Algunas de las más comunes son:

Otros tipos de relaciones son:

Agente es a lugar (maestro escuela)

Agente esa función (médico es a operar)

Agente es a instrumento (mecánico es a desarmador)

Causa es a efecto (golpe es a hematoma)

Parte es a todo (tapa es a botella)

Conjunto es a elemento (bandada es a paloma)

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Ejercicios Resueltos

Marca el tipo de relación que se establece entre los siguientes términos.

1. mano : dedo

a. objeto: cualidad

b. agente : función

c. antónimos

d. todo: parte

2. caserío: casa

a. objeto: cualidad

b. agente: función

c. antónimo

d. conjunto : elemento

3. cerebro : cabeza

a. agente: función

b. sinónimos

c. todo: parte

d. parte: todo

4. arriba : abajo

a. agente : función

b. antónimos

c. todo : parte

d. parte :todo

21


Marca el tipo de relación que se establece entre los siguientes términos.

1. motivar: alentar


b. elemento: conjunto

c. sinónimos

d. efecto: causa

2. pintor : pintar



c. sinónimos

d. efecto: causa

3. llanto: tristeza

a. elemento: conjunto

b. sinónimos

c. efecto :causa

d. parte: todo

4. oveja: rebaño



c. sinónimos

d. efecto: causa

5. profesor : enseñar



c. sinónimos

d. efecto: causa

6. azúcar : dulce

a. objeto: cualidad


c. sinónimos

d. efecto: causa

7. profesor: colegio

a. agente: lugar


c. sinónimo

d. efecto: causa

8. escultor: cincel

a. elemento: conjunto

b. sinónimos

c. agente: instrumento

d. parte: todo

Respuestas:

A B C D

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

22

Marca la analogía que sigue el mismo patrón

9. casa: dormitorio

a. miope: anteojos

b. planta: raíz

c. casa : dueño

d. persona : trabajo

10. huracán : viento

a. tempestad : lluvia

b. sol : verano

c. cubierto : mesa

d. silla : mueble

11. actor : elenco

a. drama : elenco

b. astro : galaxia

c. años : mes

d. ríos : mares

12. pulpo : tentáculos

a. mono: cola

b. elefante : trompa

c. araña : patas

d. calamar : tinta

13. Célula : tejido

a. suegra : madre

b. dermis : piel

c. árbol : bosque

d. guitarra es a cuerdas

14. llanto : pena

a. miseria : pobreza

b. continente: contenido

c. desastre : explosión

d. risa: alegría

15. pasado: futuro

a. hoy: mañana

b. después : antes

c. antes : después

d. hueso : esqueleto

16. oración : rezar

a. Dios: Cristo

b. gramática : vocabulario

c. discurso: declamar

d. sermón: domingo

17. gallina : vaca

a. huevos : cuero

b. gato : perro

c. tierra : agua

d. músculo : estómago

18. escritura : pronunciación

a. ortografía : ortofonía

b. médico : hospital

c. policía : revolver

d. médico :curar

19. caballo : pulpo

a. cuadrúpedo : octópodo

b. huevos : leche

c. calambre: cólico

d. preso : celda

20. nicotina : cafeína

a. pez: cardumen

b. pez : corvina

c. pez : mar

d. tabaco : café

21. fuselaje: carrocería

a. avión : automóvil

b. ratón : ratonera

c. modestia : humildad

d. policía : proteger

22. población : mercadería

a. censo : inventario

b. pez : corvina

c. ramillete : flor

d. modestia :cualidad

Respuestas: A B C D

9. 14. 18.

10. 15. 19.

11. 16. 20.

12. 17. 21.

13. 22.

14.

15.

16.

23

Sistemas Sémicos y Término Excluido

Un sistema sémico es una agrupación de palabras que se relacionan entre sí por rasgos de

significado.

Los semas son unidades mínimas de significado, es decir, rasgos de significado que posee toda

palabra con los cuales podemos establecer semejanzas y diferencias al relacionarlas con otras.

Ejemplo:

Los semas son de dos clases:

Comunes: Son rasgos compartidos por todos los elementos del conjunto. según el

ejemplo: herramienta, usada en algunos oficios, con mango.

Diferenciales: Los rasgos que distinguen a unos elementos de otros. Según el ejemplo:

con cabeza de hierro, con hoja dentada, sirve para golpear, sirve para cortar

Campo Semántico

Es el grupo de palabras que posee uno o más semas comunes y semas diferenciales. Ejemplo:

martillo, serrucho, alicate, desarmador.

Semema

Es el conjunto de semas que define el significado completo de una palabra. Ejemplo: el

semema que define el significado de martillo es: herramienta usada para algunos oficios, con

mango y cabeza de hierro, que sirve para golpear.

Término Excluido

El término excluido es aquel que al interior de un grupo no guarda la misma relación que existe

entre los demás elementos de este.

Criterios de Exclusión

Los siguientes son algunos criterios de exclusión.

he

rram

ien

ta

Usa

da

en

algu

no

s o

fici

os

Co

n M

ango

Co

n c

abez

a d

e

hie

rro

Co

n h

oja

de

nta

da

Sirv

e p

ara

cort

ar

Martillo

x x x x x

Serrucho

x x x x

x

24

Por no pertenecer al mismo campo semántico

Violín - piano - coro - trompeta

coro no pertenece al campo semántico de los instrumentos musicales

Por tratarse de una clase y no de un tipo dentro de una clase.

adjetivo - verbo - artículo – palabra

palabra es el término excluido ya que indica la clase a la que pertenecen los otros

vocablos

Por no pertenecer a la misma categoría gramatical

amable - feliz - suavidad - verde

suavidad se excluye ya que es un sustantivo y los demás son adjetivos.

Por ser una palabra antónima dentro de un grupo de sinónimas

famoso - anónimo - conocido – popular

anónimo es el término excluido ya que es un antónimo de las demás palabras.


Marca el término excluido. mano: dedo

1.

a. exacto

b. puntual

c. concreto

d. evidente

2.

a. piara

b. recua

c. enjambre

d. manada

3.

a. Perú

b. Chile

c. Brasil

d. Argentina

4.

a. sofá

b. sillón

c. mesa

d. diván

25


Marca el término excluido en cada grupo de palabras

1.

a. uno

b. tres

c. dos

d. cinco

2.

a. pistacho

b. nuez

c. haba

d. almendra

3.

a. langosta

b. camarón

c. cangrejo

d. crustáceo

4.

a. verde

b. rosado

c. morado

d. rojo

5.

a. piquero

b. lobo marino

c. pelícano

d. gaviota

6.

a. Manta

b. Esmeraldas

c. Atacames

d. Portoviejo

7.

a. omóplato

b. cúbito

c. radio

d. muslo

8.

a. escandaloso

b. estrepitoso

c. bullanguero

d. grotesco

9.

a. descuido

b. dejadez

c. indisciplina

d. negligencia

10.

a. dilapidar

b. desperdiciar

c. malversar

d. botar

11.

a. indigente

b. barato

c. módico

d. ahorrativo

12.

a. lo

b. el

c. son

d. las

13.

a. tibia

b. cálida

c. húmero

d. peroné

14.

a. morir

b. fallecer

c. desfallecer

d. fenecer

Respuestas A B C D

1. 5. 9.

2. 6. 10.

3. 7. 11.

4. 8. 12.

26

Marca la opción que no tenga relación con las palabras resaltadas.

15. noche

a. oscuridad

b. estrella

c. sueño

d. pensamiento

16. lectura

a. libros

b. información

c. movimiento

d. cultura

17. amistad

a. competencia

b. solidaridad

c. apoyo

d. amigo

18. mano

a. coger

b. recoger

c. asir

d. reír

19. menestra

a. fréjol

b. arveja

c. tomate

d. garbanzo

20. cuerdas

a. guitarra

b. violín

c. batería

d. violonchelo

21. médico

a. pediatría

b. oncólogo

c. biólogo

d. cardiólogo

22. Lisboa

a. Londres

b. París

c. Viena

d. Quito

23. figuras geométricas

a. hexágono

b. flor

c. octógono

d. cuadrado

24. figuras míticas

a. centauro

b. unicornio

c. sirena

d. Popeye

25. culturas prehispánicas

a. inca

b. azteca

c. Valdivia

d. sumeria

26. gastar

a. malgastar

b. despilfarrar

c. ahorrar

d. dilapidar

27. verbos en infinitivo

a. pensar

b. tratar

c. iremos

d. imaginar

Respuestas A B C D

15. 20. 25.

16. 21. 26.

17. 22. 27.

18. 23.

19. 24.

27

Antónimos

Los Antónimos son palabras que tienen un significado opuesto; por ejemplo:

Clases de antónimos

Antónimos extremos: Son aquellos que se ubican al inicio y al final de una gradación.

Ejemplo: frío – tibio- caliente

Antónimos excluyentes: en este caso, la afirmación de un término implica la negación

del otro.

Ejemplo: bueno – malo

Antónimos inversos: son los que establecen una relación de contraposición entre sí.

Ejemplos: maestro- alumno aprender – enseñar

También se puede establecer una relación de antonimia a través de prefijos.

Ejemplos: humano – inhumano tejer – destejer


Ascender Descender

Marca el antónimo en cada caso.

1. osado 4. público

a. animoso a. manifiesto

b. audaz b. privado

c. prudente c. oculto

d. fanfarrón d. principal

2. ostentación 5. exaltación

a. fama a. regeneración

b. modestia b. difamación

c. riqueza c. celebridad

d. lozano d. público

3. liar

a. sujetar

b. atar

c. encarar

d. desatar

28


Marca la palabra que no es un antónimo

1. frivolidad

a. mesura

b. seriedad

c. sensatez

d. banalidad

2. escéptico

a. confiado

b. suspicaz

c. creyente

d. claro

3. glacial

a. gélido

b. ardiente

c. abrasador

d. caliente

4. fuerza

a. debilidad

b. blandura

c. pasividad

d. vigor

5. desafiar

a. eludir

b. provocar

c. evitar

d. esquivar

6. venia

a. condena

b. castigo

c. consentimiento

d. prohibición

7. brotar

a. ocultarse

b. morir

c. desaparecer

d. salir

8. incentivar

a. estimular

b. desmoralizar

c. frenar

d. desanimar

9. inclemencia

a. piedad

b. severidad

c. compasión

d. suavidad

10. genérico

a. individual

b. específico

c. raro

d. común

Marca los antónimos inversos

11.

a) maestro – administrador

b) administrador –alumno

c) maestro-alumno

d) director-alumno

12.

a) suegro-yerno

b) suegro-esposo

c) pariente-hija

d) yerno-hija

13.

a) patrón-hacienda

b) patrón –sirviente

c) agricultor-ganadero

d) conserje-agricultor

14.

a) acreedor-deudor

b) acreedor-vendedor

c) deudor-prestamista

d) tienda –deudor

Respuestas

A B C D

1. 7. 13.

2. 8. 14.

3. 9.

4. 10.

5. 11.

6. 12.

29

Marca los antónimos de las palabras resaltadas

15. semejante

a) afín

b) similar

c) relacionado

d) disímil

16. mermar

a) aumentar

b) menguar

c) perder

d) disminuir

17. orate

a) cuerdo

b) demente

c) loco

d) perturbado

18. incuria

a) abandono

b) cuidado

c) descuido

d) apatía

19. planificar

a) planear

b) programar

c) improvisar

d) preparar

20. luctuoso

a) alegre

b) deplorable

c) lamentable

d) funesto

21. condenado

a) reo

b) procesado

c) absuelto

d) convicto

22. rebelde

a) sublevado

b) dócil

c) amotinado

d) insurrecto

23. confluyente

a) concurrente

b) convergente

c) divergente

d) concentrado

24. superávit

a) exceso

b) déficit

c) ganancia

d) excedente

25. preferencia

a) privilegio

b) prioridad

c) predilección

d) antipatía

26. aspereza

a) rudeza

b) suavidad

c) hosquedad

d) tosquedad

27. frecuente

a) usual

b) habitual

c) inusual

d) corriente

28. rebelión

a) sumisión

b) levantamiento

c) revuelta

d) alzamiento

29. asentir

a) aprobar

b) consentir

c) afirmar

d) negar

30. corrosivo

a) cáustico

b) constructivo

c) mordiente

d) picante

Respuestas: A B C D

15. 23. 28.

16. 24. 29.

17. 25. 30.

18. 26.

19. 27.

20. 21. 22.

30

Oraciones Incompletas

Las oraciones incompletas son un tipo de ejercicio que consiste en contemplar una oración en

la que se han omitido una o más palabras. La actividad consiste en elegir, dentro de las

posibilidades propuestas, la mejor opción. Para cumplir con este último requisito debemos

tomar en cuenta tres criterios importantes.

Gramaticalidad

Precisión

contextual

Precisión

Léxica

Este criterio exige fijarnos en aspectos como género, número,

persona, tiempo, o modo. Ejemplo: “Quien no aprovecha la

sabiduría de los ___________ es un necio” Sabes que la palabra

faltante es un sustantivo masculino en plural: amigos, ancianos,

filósofos, etc.

Las palabras tienen muchos sinónimos y algunos son más

precisos que otros. Si te proponen una oración como esta: El

soldado _________la orden sin hacer preguntas, la palabra

más apropiada para completarla es hizo o ejecutó sino acató u

obedeció.

El término elegido debe encajar armoniosamente con los demás

elementos de la oración. Si tu oración incompleta es: El

_______invitó a salir a la dama, la respuesta no va a ser fulano o

tipo sino caballero o señor.

PASOS PARA RESOLVER LAS ORACIONES

Leer completamente el

enunciado

Tratar de

completarlo

mentalmente

Elegir la

opción mas

acertada

31



Marca las palabras que no puedan sustituir aquellas destacadas en las

siguientes oraciones.

1. La pluralidad cultural del país se manifiesta en la coexistencia de

diversas tradiciones en el territorio

a) variedad-distintas

b) heterogeneidad-distintas

c) heterogeneidad-variadas

d) extensión-pocas

2. Nunca aprendí - ni quiero aprender- a aguantar la estolidez humana

a) cargar-firmeza

b) soportar-estupidez

c) tolerar-torpeza

d) resistir-insensatez

Marca la opción que complete las oraciones de la manera más adecuada.

3. una pizca de práctica vale más que un kilogramo de _______ .

a) cultura

b) teoría

c) reflexión

d) diálogos

Marca la opción correcta para completar las oraciones.

1. Hay que ______________para poder valorar lo que es

_______________.

a) ganar-triunfar

b) perder-ganar

c) perder-derrotar

d) nacer-morir

2. El concierto Provocó __________________entre

los asistentes.

a) miedos

b) entusiasmo

c) risas

d) alaridos

32

4. Una tienda siempre tiene ________.

a) materiales

b) mercadería

c) juegos

d) dinero

5. Cada persona es el _________ de su destino.

a) maestro

b) arquitecto

c) alumno

d) proyectista

6. La ____de que se produzca un desastre es un_____ permanente.

a) necesidad-deber

b) posibilidad-peligro

c) imposibilidad-error

d) seguridad-ajuste

7. A buen ______pocas _________.

a) hablador-ideas

b) recepcionista-mentiras

c) entendedor-peleas

d) entendedor –palabras

8. La mejor almohada es_______ tranquila.

a) amiga

b) muerte

c) conciencia

d) madre

9. No firmes carta que no ______ni bebas agua que no _____.

a) hagas-tomes

b) notes-veas

c) leas-pruebes

d) leas-veas

10. Su abuelo no puede ser maratonista porque es un _______.

a) anciano

b) anticuado

c) ancestral

d) rancio

11. Víctor debe renovar su vestuario; se le ve _____.

a) anciano

b) anticuado

c) ancestral

d) rancio

Respuestas A B C D

1. 5. 9.

2. 6. 10.

3. 7. 11.

4. 8.

33

12. Mis padres me educaron para ser una persona de________.

a) rendimiento

b) logro

c) beneficio

d) provecho

13. El juez lo ____ _culpable del delito.

a) confirmó

b) declaró

c) dijo

d) refirió

14. Ayer el congresista _____ ante la prensa las declaraciones que se habían hecho en su

contra.

a) confirmó

b) declaró

c) dijo

d) refirió

15. Ella me ______claramente que no quería que fueras a la fiesta.

a) confirmó

b) declaró

c) dijo

d) refirió

16. En su Exposición se ______al rol de la mujer en la sociedad ecuatoriana.

a) confirmó

b) declaró

c) dijo

d) refirió

17. Ella_____ que no iba a irse del país para visitar a su prima.

a) declaró

b) dijo

c) refirió

d) afirmó

18. La reforma universitaria tuvo como objetivo inmediato remover algunos

______verdaderamente incapacitados para la ________.

a) catedráticos-administración

b) escritorios-escrituras

c) centros-enseñanzas

d) equipos- educación física

Respuestas A B C D

12. 15. 18.

13. 16.

14. 17.

34

El texto y la Referencia

Un texto es cualquier manifestación verbal completa que se produce en una comunicación. A

partir de eso, los diálogos, las lecturas, los afiches, una exposición, un poema o una canción.

Observa los ejemplos:

Todo texto está conformado por ideas u oraciones que se relacionan y

complementan; en otras palabras, unas ideas <se refieren> a otras. De esta

manera el texto adquiere continuidad y unidad. Esta característica es posible

gracias al uso de la referencia.

Tipos de Referencia

Anáfora: Se produce cuando las palabras del texto se refieren a otras que ya han sido

mencionadas. Son palabras anafóricas los pronombres y los adverbios. Ejemplo:

Ernesto toca la guitarra desde pequeño. Él se ha presentado en varios recitales. Sus amigos lo

Admiran por ello. Su último recital lo realizó en la Cada de la Cultura. Allí fue aclamado por el

público.

Catáfora: Se produce cuando unas palabras hacen referencia a otras que serán mencionadas

posteriormente. Ejemplo:

Se llevó absolutamente todo: sus libros de historia, los prototipos de aviones de colección, sus

máscaras decorativas, sus fotografías. etc.

Elipsis: Se producen cuando se eliminan palabras porque se sobreentienden.

Ejemplo:

Emilio quería ser arquitecto. (Él) Siempre había soñado con diseñar casas y edificios.

Te voy a escribir la canción

más bonita del

mundo/Voy a capturar

nuestra historia en tan

solo un segundo… La oreja

de Van Gogh

Relaciones al interior del Texto

35

Ejercicios de Apoyo

Marca las anáforas o catáforas que completan cada texto

1. Los hermanos Altamirano, nacidos en Cuenca y educados en Argentina, retornaron al

Ecuador el fin de semana pasado. ______llegaron a la capital el sábado.

a. Ellas

b. Ellos

c. Nosotros

d. El

2. Las exalumnas se reunieron en el patio central del colegio después de quince años. ____

revivieron con alegría cada uno de los lindos momentos que experimentaron en su etapa

escolar.

a. Ellos

b. Ellas

c. Ella

d. El

3. El equipo clasificó y los muchachos se sintieron campeones.______ celebraron el triunfo

por todo lo alto.

a. Ellos

b. Ellas

c. El

d. Las

4. Alejandro logró llegar _____, al pico del nevado, y se sintió emocionado frente al

grandioso paisaje, quedó en su memoria para siempre.

a. al sitio

b. al lugar

c. allí

d. entonces

5. Es _____, mi novio; déjalo pasar.

a. la

b. él

c. los

d. las

6. El paseo resultó un éxito porque las chicas del grupo _____ planifican con tiempo.

a. le

b. lo

c. la

d. los

36


Analice el referente de cada una de las anáforas escritas en negritas.

Las mariposas perciben el sabor de las plantas de una manera muy peculiar. Ellas tienen

el sentido del gusto en las patas. Cuando las apoyan sobre flores, hojas u otras

superficies, perciben el sabor, la textura y la temperatura de las mismas.

Las hormigas pueden levantar 50 veces su peso y halar 30 veces el mismo. Durante la

época de verano, estas invaden los jardines y hasta las casas. Por esta razón, las

personas suelen tomar precauciones para evitarlas o finalmente liquidarlas. Si embargo

ellas son ejemplo de tesón y resistencia.

Un grupo de artistas entre ellos Monet, dio inicio entre los años 1860 y 1870 al

movimiento artístico del impresionismo. Este se caracterizó por romper con el tipo de

arte anterior: un arte académico y sofisticado, que los impresionistas transformaron

completamente

37

Marca las catáforas que contemplan las palabras en negritas en las oraciones.

10. Tenemos que estudiar para el examen los diferentes tipos

de gobierno que han existido:

a. monarquía, democracia y dictadura

b. física, química y biología

c. artes, filosofía y pensamiento

d. ciudades, pueblos y países.

11. Presta atención a lo siguiente

a. la noche está estrellada

b. no debes salir de casa después de las once de la noche

c. el río corre cerca de casa

d. las abejas son insectos

12. Las características típicas de los adolescentes son

diversas en cuanto a:

a. altura, equilibrio y trabajo

b. rebeldía, irresponsabilidad y depresión

c. compromiso, altivez y democracia

d. útiles, costo y escuela

Marca a qué se refieren los pronombres destacados

13. en Navidad suelen entregarlos

a. facturas

b. regalos

c. bendiciones

d. pedidos

14. Los malos choferes suelen causarlos

a. felicidades

b. accidentes

c. penales

d. marcadores

15. Las reinas suelen llevarla

a. carpeta

b. celular

c. corona

d. alfombra

Respuestas: A B C D

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.

38

Marca el tipo de referencia que se utiliza en los siguientes textos.

16. Actualmente, los ferrocarriles utilizan

energía eléctrica y necesitan sistemas de control sofisticados. Estos alcanzan

velocidades superiores a los 300 kilómetros por hora.

a. Catáfora

b. elipsis

c. anáfora

d. anáfora –elipsis

17. En 1967 se ensambló el tren de carga

más largo del mundo. Este se caracterizó por lo siguiente: medía 6.4 Km de longitud,

tenía varias locomotoras y arrastraba 500 vagones de carbón.

a. anáfora-elipsis

b. elipsis-anáfora

c. anáfora-Catáfora

d. Catáfora-elipsis

18. Francisco es un buen alumno. Por su

buen rendimiento académico, él recibió el primer premio otorgado a la promoción.

a. anáfora

b. Catáfora

c. elipsis

d. referencia

19. La langosta es un insecto saltador que

se multiplica rápidamente. Esta puede ser peligrosa para la agricultura.

a. anáfora

b. Catáfora

c. elipsis

d. relación

20. Podemos preparar dos tipos de

ensaladas: de verduras y de pollo.

a. anáfora

b. Catáfora

c. elipsis

d. relación

21. Ten cuidado con las tijeras. Pueden ser

peligrosas.

a. anáfora

b. Catáfora

c. elipsis

d. relación

Respuestas:

A B C D

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

39

2014

Aptitud Verbal 2

40

Relaciones entre Palabras

Los Conectores

Redactar es un ejercicio que exige relacionar las ideas que se refiere a un mismo tema. Cuando

redactamos, estamos produciendo un texto. Todo texto es una unidad de coherencia y

uniformidad, por tanto, todas sus oraciones tienen que estar relacionadas. Para cumplir con

este principio utilizamos los conectores. Los Conectores nos permiten establecer relaciones

entre ideas y sonde varios tipos.

Tipos de Conectores

Ayuda a …

Ejemplos

Conexión por adición

Incrementar la información (también, y, más, aún,

igualmente, además, incluso, etc.)

Nicol practica vóley y fútbol. Asimismo, practica en el taller de danza

Conexión por contraste Oponer conceptos o ideas (sin embargo, más bien, no obstante, aunque, etc.)

Viajó a Santiago, pero no pudo conocer Valparaíso.

Conexión por Secuencia Señalar una sucesión de ideas (luego, después, más adelante, etc.)

Primero, le avisó a Marco; luego, buscó a Eliza y, finalmente, llamó a Gabriel.

Conexión por Situación Indicar ubicación espacial (afuera, adentro, en medio, delante de, ante, debajo de, junto a, etc.)

Afuera estaba lloviendo. Adentro se sentía un agradable calorcito.

Conexión por equivalencia Explica algo con otras palabras (es decir, vale, decir, esto es, en otros términos, en otras palabras)

Se mordió la lengua; en otras palabras, no dijo nada.

Conexión por consecuencia Manifiesta un efecto (así que, así pues, entonces, por ello, por esta razón)

Hoy es su cumpleaños, por esta razón dará una fiesta.

Conexión por causa Indica el motivo por el que algo ocurre (porque, ya que, debido a, etc.)

Me voy porque estoy cansada.

Conexión por evidencia Señalar algo que es obvio (por supuesto, naturalmente, obviamente, etc.

Viajé a mi tierra. Naturalmente, visité a, mis abuelos.

RAZONAMIENTO VERBAL

41

Ejercicios de Apoyo

Marca la clase de conector de que se trata en cada oración.

1. Tenemos una tarea de Historia. Además, debemos entregar el trabajo de Química.

a. adición

b. contraste

c. ejemplificación

d. equivalencia

2. Yo me levanté temprano y llegué a tiempo, en cambio tú te quedaste dormido y llegaste

tarde.

a. adición

b. contraste

c. ejemplificación

d. equivalencia

3. Hay deportes que requieren enviar la pelota al campo contrario. Por ejemplo, en el tenis

cada golpe debe enviar la pelota, sin rebotar, al terreno del oponente.

a. adición

b. contraste

c. ejemplificación

d. equivalencia

42


Marca la clase de conectar de que se trata en cada oración

1. Los insectos son animales invertebrados. Es decir, no tienen

esqueleto.

a. adición

b. contraste

c. ejemplificación

d. equivalencia

2. En algunas regiones llueve mucho. Por tal motivo, se construye varios tejados

superpuestos para que no penetre el agua.

a. contraste

b. ejemplificación

c. equivalencia

d. consecuencia

3. El hombre prehistórico primero representó figuras estáticas; después, figuras en

movimiento.

a. adición

b. secuencia

c. ejemplificación

d. equivalencia

4. El vidrio es un material muy duro. Sin embargo, se quiebra fácilmente

a. adición

b. contraste

c. ejemplificación

d. equivalencia

5. Algunas piedras preciosas se usan en la industria. Por ejemplo, el diamante sirve para

realizar perforaciones.

a. adición

b. contraste

c. ejemplificación

d. equivalencia

6. En los desiertos, las tierras fértiles son escasas. Por eso, el desarrollo de la agricultura

requiere grandes esfuerzos e inversiones.

a. contraste

b. ejemplificación

c. equivalencia

d. consecuencia

7. Generalmente estos pueblos se dedican a la caza y a la pesca. También practican el

pastoreo nómada.

a. causa

b. contraste

c. ejemplificación

d. equivalencia

Respuestas: A B C D A B C D A B C D

1. 4. 7.

2. 5.

3. 6.

43

8. Las personas que tienen esta

costumbre son conscientes de ella. Sin embargo, quienes la escuchan se dan cuenta

enseguida.

a. adición

b. contraste

c. ejemplificación

d. equivalencia

9. No ha perdido lo que invirtió; por el

contrario, ha obtenido muy buenas ganancias.

a. adición

b. contraste

c. ejemplificación

d. situación

10. Todos queremos vivir en paz; por lo

tanto, evitemos hacerle daño al prójimo.

a. modo

b. evidencia

c. consecuencia

d. causa

11. Me olvidé de avisarle a Daniel. Por eso

no ha venido.

a. adición

b. consecuencia

c. modo

d. evidencia

Marca el conector correcto

12. _______ la gran belleza del topacio, no

tiene tan alto precio como el diamante.

a. A pesar de

b. de esta manera

c. Naturalmente

d. Es decir

13. Colocó los zapatos debajo del armario.

______colgó su ropa.

a. Adicionalmente

b. Debido a

c. Por eso

d. Vale decir

14. No te quejes, ________ debes estarle

agradecido.

a. No obstante

b. entonces

c. pues

d. luego

Respuestas: A B C D

8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.

44

Decimos que las ideas de un texto son coherentes cuando tiene que ver unas con otras de

manera lógica. Para ello, deben cumplir con los tres principios siguientes: relación temática,

precisión y no contradicción.

Principio de Relación Temática

Este principio se cumple cuando las ideas comparten información: se relacionan entre

sí y con el tema central que desarrollan. Observemos:

PRINCIPIOS DE LA COHERENCIA

Mi papá tiene desde hace muchos años un semanario

hípico. En estas ediciones semanales se presentan

comentarios de cada caballo participante por carrera.

Estos orientan a los lectores para que puedan elegir y

estudiar mejor sus combinaciones antes de jugar.

Mi papá tiene desde hace muchos años un semanario

hípico. En estas ediciones semanales se presentan

comentarios de cada caballo. Estos orientan a los

lectores para que puedan jugar y combinar sus

movimientos. Los casinos son también juegos de azar

han disminuido.

Texto coherente

Todas las ideas se relacionan entre sí.

Texto incoherente

Las últimas oraciones no guardan relación con las

anteriores

45

Principio de Precisión

Este principio se cumple cuando las ideas son claras: tienen una sola interpretación, no se

prestan a confusiones ni ambigüedades.

Ejemplo:

David le regaló un libro de cachorro a Gabriela. Ambos rebosaban de alegría.

¿A quiénes se refiere la palabra ambos? ¿A David y Graciela? ¿Al cachorro y David? ¿A Graciela

y el cachorro?

Principio de No Contradicción

Este principio se cumple cuando las ideas no se contradicen: no firman algo que sea

contradictorio. En el siguiente texto podrás encontrar una contradicción:

Sin ninguna razón, Lizet habló mal de su amiga Miriam. Va a tener que pasar mucho tiempo

para que Lizet perdone a Miriam.

Para entender el principio de contradicción, debes tener en cuenta que un texto puede tener

dos tipos de contenidos:

Lo dicho, es decir, el contenido

explícito de la oración que forma el enunciado. En el ejemplo anterior, ¿por qué Lizet

debe perdonar a Miriam, si esta no fue quien le hizo daño?

Lo comunicado, es decir, los

contenidos implícitos que el receptor infiere de lo dicho. Una idea no solo no debe

contradecir lo dicho por otra idea anterior sino que tampoco debe contradecir lo

implicado por ella.

Para redactar con coherencia se aplican cuatro recursos importantes.

Definición

Consiste en expresar el significado. La definición suele especificar qué es y cómo es el ser o el

objeto.

La mariposa pertenece al orden de los lepidópteros. Tienen cuatro alas cubiertas de escamas

macroscópicas, cuya disposición le dan vistosidad y luminosidad.

Clasificación

Consiste en agrupar los elementos según sus características, atribuciones, finalidades, etc.

Por su proceso de desarrollo, las mariposas pueden clasificarse en orugas, ninfas e insectos

adultos.

46

Comparación

Consiste en contrastar dos elementos o ideas, estableciendo semejanzas o diferencias:

Es usual comparar a las mariposas con frágiles jovencitas en edad de enamorarse, debido a su

vuelo revoltoso y a la sencillez de su belleza.

Ejemplificación

Consiste en la presentación de casos relacionados con lo expuesto.

En algunos países latinoamericanos se encuentran especímenes realmente hermosos, por

ejemplo la Heliconius sara, la Colabura dirce, la Caligo eurilochus y la Parides neophilus, entre

otras.

Los enunciados nos permiten tener una idea aproximada del tema y del tratamiento que se le

dará en el texto desde el comienzo de la lectura.


Después de leer cada texto, marca la oración final que te parezca más coherente.

1. El misterio todavía no estaba resuelto. La angustia y el deseo se acrecentaban con el

pasar de los días. María, Griselda y Ada investigaron cada pista, cada indicio, cada señal

que les permitiera encontrar una respuesta.

a. Poco a poco se sintieron seguras de lo que conocían.

b. Estas querían apoderarse de ellas

c. Las pistas no eran de mucha ayuda

d. Poco a poco empezaron a atar cabos que no parecían tener relación entre sí.

2. Ya salió al mercado el último modelo de radio que ha causado furor en Estados Unidos. Se

trata del Model one, un aparato doméstico que, además de su original diseño, ofrece la

novedad de utilizar tecnología GaAs hasta ahora solo empleada para la telefonía móvil.

a. Además se ha utilizado materiales de probada calidad para la transmisión del

sonido en óptimas condiciones.

b. De esta manera los usuarios no necesitarán más de un chip.

c. Eso le permite sintonizar un número de estaciones más elevado que el resto de

los receptores convencionales.

d. El aparato es de madera y el parlante está montado en configuración Bass-reflex.

47


Después de leer cada texto, marca la oración final que te parezca más coherente como final

propuesto.

1. El método empírico racional tiene su origen en Aristóteles y ha perdurado a lo

largo de la historia y nuestros días. En él se parte de la convicción de que

contamos con dos fuentes de conocimiento: los sentidos y el entendimiento.

a. A través de ellas accedemos a dos niveles de la realidad: el sensible y el

inteligible.

b. Además, las emociones deben ser consideradas poco confiables.

c. Los sentidos nos proporcionan los primeros datos de los objetos, datos que son

cambiantes.

d. Hay que considerar las ilusiones ópticas como una limitación de los sentidos.

2. La lechuza era en Atenas el símbolo de la sabiduría porque esta ave puede ver de

noche.

a. Y como ella, el sabio se retrae a lugares solitarios.

b. Y como ella, el sabio busca un lugar quieto, apartado de la conversación,

puesto que entre la gente no hay reposo para filosofar.

c. Y como ella, los sabios tienen una visión más precisa de las cosas.

d. Y, como ella, el sabio gusta del reposo en la oscuridad y en la soledad.

3. Todo volvió a la normalidad. Los muebles y objetos de la casa recobraron su identidad

de cosas inanimadas; la casa recuperó su aspecto de hogar acogedor.

a. Solo el pequeño auto rojo de mi abuelo quedó algo magullado por los choques

contra el árbol del jardín

b. Y la familia pudo retornar mucho tiempo después a vivir el viejo altillo que

nunca pudo ser poseído.

c. Los vecinos recobraron la tranquilidad que pos largas semanas habían perdido.

d. Y el espíritu maligno que se había apoderado de la comarca huyó a un país

lejano.

Lee los siguientes enunciados y marca aquellos que pueden ser eliminadas sin afectar el

sentido general del texto.

4. I. La Segunda Revolución Industrial, iniciada en el siglo XIX, al mismo tiempo que

significó la industrialización masiva de casi toda Europa, trajo consigo también el inicio

del proceso de depredación de los recursos naturales de dicho continente.

II. Con el paso de los años, y hasta el siglo XX, los recursos naturales de Europa fueron

afectados seriamente, en muchos casos, de manera irreversible.

III. La extracción de carbón en Inglaterra y Escocia durante la segunda mitad del siglo

XIX, fundamental para sus industrias, destruyó casi completamente la vida silvestre en

las cercanías de los centros mineros.

48

IV. Solo durante la segunda mitad del siglo XX los europeos, tomaron masivamente

conciencia de la seriedad del problema e impulsaron entonces movimientos para la

protección del medio ambiente.

a. I

b. II

c. III

d. IV

5. I. Las luchas o guerras son enfrentamientos armados

II. Normalmente, las guerras son luchas violentas que se dan entre dos o más

naciones.

III. Sin embargo, también pueden existir luchas o guerras al interior de una nación.

IV. En las guerras, siempre mueren muchas personas inocentes.

a. I

b. II

c. III

d. IV

6. I. Las ciencias formales son aquellas que no se refieren a hechos de la experiencia.

II. Las ciencias formales se refieren a los razonamientos y las argumentaciones

III. Los axiomas son principios fundamentales indemostrables. Son elementos de las

ciencias formales.

IV. Estas ciencias se rigen por su propia coherencia interna.

a. I

b. II

c. III

d. IV

Marca el tipo de recurso que corresponde al texto destacado en cada caso

7. Las amígdalas son órganos linfoides ubicados en la garganta. Tienen como función la

defensa del organismo, salvaguardándolo de aquellas bacterias que pueden ingresar

por la boca o las vías respiratorias. Las amígdalas se clasifican en faríngea, lingual y

palatina. Un adecuado aseo bucal favorece el buen estado de estos órganos.

a. ejemplificación

b. definición

c. clasificación

d. comparación

8. Las carabelas son embarcaciones de vela, rápidas y amplias. pero de poco tonelaje.

Colón descubrió el Nuevo Mundo con tres carabelas. Este fue el transporte marítimo

más usado durante los siglos XV y XVI. Actualmente, con algunas variaciones, se usan

con fines deportivos.

a. Ejemplificación

b. definición

c. clasificación

d. comparación

49

Marca la alternativa que describa la estructura de los siguientes textos para lograr

coherencia.

9. La colonización es entendida como la acción de ocupación de un pueblo por otro,

quien lo administra y gobierna. Los españoles ejercieron en América una labor

colonizadora con los nativos indígenas. Esta colonización se realizó en los planos

económico, político y cultural.

a. ejemplificación, definición, comparación

b. definición, ejemplificación, clasificación

c. clasificación, definición, ejemplificación

d. clasificación, reflexión, ejemplificación

10. Los artrópodos forman el grupo más numeroso de seres vivos que tienen las patas y el

cuerpo articulado. Los artrópodos se clasifican en cuatro grupos: crustáceos,

miriópodos, arácnidos e insectos.

a. definición, generalización

b. clasificación, identificación

c. generalización, clasificación

d. ejemplificación, definición

11. La literatura es el arte que utiliza la palabra como principal medio de expresión. De

acuerdo con el canal de comunicación, existen dos tipos de literatura: la oral y la

escrita.

a. definición, generalización


c. ejemplificación, definición

d. definición , clasificación

12. Las palabras graves son las que abundan en el idioma castellano.

Por ejemplo: mesa, silla, césped, terma, cambio.

a. Generalización, ejemplificación


c. ejemplificación, definición

d. definición, clasificación

Respuestas:

A B C D

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

50

Relaciones entre palabras

Los Conectores

Las palabras pueden tener una o varias acepciones.

Las palabras son monosémicas si tienen una sola acepción.

Las palabras son polisémicas si tienen más de una acepción.

No siempre es fácil diferenciar a las palabras polisémicas de las palabras homónimas, pero

quizá te ayude a recordar que, mientras los homónimos no tienen distintos y se han

desarrollado de distinta forma, las palabras polisémicas sí tienen coincidencias.

Por ejemplo, la palabra pico puede referirse al pico de un ave o al pico de una montaña, según

el contexto:

Para comprender la diferencia entre palabras homónimas y palabras polisémicas, veamos lo

que ocurre con estas dos parejas de homónimos:

Por más que trates, no encontrarás una relación entre la fruta y la lima con la que arreglas tus

uñas.

Palabras Monosémicas y Polisémicas

El pobre gallo

enterró pico.

Tengo ganas de

comer una lima

jugosa

Emilia

compró

cintas para

su llama

Dani llegó al pico

de la montaña

Pásame la lima

de uñas, por

favor.

El boxeador logró

encender la llama

olímpica

51

En este caso también es difícil hallar vínculos de significado entre la palabra que se refiere al

animal y la que alude al fuego.

Ejercicios de Apoyo

Mi mamá es cabeza

de familia

El clavo se

quedó sin cabeza

Marca la acepción correcta de la palabra destacada para cada una de las siguientes oraciones.

1. Ernesto depositó su dinero en el banco

a. Madero grueso que sirve de mesa para las labores de los carpinteros.

b. Bajo que se prolonga en una gran extensión en mares, ríos y lagos.

c. Conjunto de peces que van juntos en gran número

d. Establecimiento público de crédito

2. Luis Compró un banco de carpintero

a. Asiento en el que pueden sentarse varias personas

b. Madero grueso que sirve de mesa para las labores de los carpinteros.

c. Bajo que se prolonga en una gran extensión en mares, ríos y lagos

d. Conjunto de peces que van juntos en gran número

3. Siéntate en ese banco para ver el paisaje

a. Asiento en el que pueden sentarse varias personas

b. Bajo que se prolonga en una gran extensión en mares, ríos y lagos

c. Conjunto de peces que van juntos en gran número

d. Madero grueso que sirve de mesa para las labores de los carpinteros.

No vayas a

golpearte la cabeza.

Vendió trescientas

cabezas de ganado

52


Marca la acepción correcta de la palabra destacada para cada una de las siguientes

oraciones.

1. Debemos leer el artículo sobre las enmiendas a la Constitución publicado

ayer.

a. Una de las partes en que suelen dividirse los escritos.

b. Escritos de mayor extensión en los periódicos

c. Mercancía

d. Disposiciones numeradas en una ley, tratado o reglamento.

2. Esta tiendo tiene muchos artículos con descuento

a. Una de las partes en que suelen dividirse los escritos.


c. Mercancía

d. Disposiciones numeradas en una ley, tratado o reglamento.

3. El artículo primero de la Constitución establece que el Ecuador es un estado

independiente, soberano, democrático, plurinacional y multicultural.

a. Una de las partes en que suelen dividirse los escritos


c. Mercancía

d. Disposiciones numeradas en una ley, tratado o reglamento

4. El artículo el nunca lleva tilde.

a. Escritos de mayor extensión en los periódicos

b. Mercancía

c. Disposiciones numeradas en una ley, tratado o reglamento

d. Clase de palabras que antecede al sustantivo

5. El asunto sobre el que vamos a hablar es muy complejo

a. Que se compone de elementos diversos

b. Complicado

c. Conjunto de instalaciones agrupadas para una actividad común

d. Conjunto o unión de dos o más cosas

6. Es muy difícil de superar el complejo de inferioridad que tienen algunas personas.

a. Complicado

b. Conjunto de instalaciones agrupadas para una actividad común

c. Conjunto o unión de dos o más cosas

d. Conjunto de emociones reprimidas que perturban el comportamiento del

individuo.

Respuestas: A B C D

1. 2. 3. 4. 5. 6.

53

7. Añade a la mezcla un hilo de aceite de oliva

a. Ropa de lino o cáñamo

b. hebra larga y delgada de una materia textil.

c. Alambre muy delgado que se saca de los metales

d. Chorro muy delgado y sutil de un líquido

8. Lució un traje de hilo muy elegante.


b. hebra larga y delgada de una materia textil

c. Alambre muy delgado que se saca de los metales.

d. Chorro muy delgado y sutil de un líquido

9. Sólo bastó un tirón para que se descosiera debido al hilo de mala calidad que se usó.


b. hebra larga y delgada de una materia textil

c. alambre muy delgado que se saca de los metales

d. chorro muy delgado y sutil de un líquido

10. Vamos a aprovechar el puente de esta semana para ir a la playa

a. Construcción de piedra, ladrillo, hormigón, etc. que se construye sobre los ríos

o fosos para poder pasarlos.

b. Tablilla colocada perpendicularmente en la tapa de los instrumentos de arco,

para mantener levantadas las cuerdas.

c. Pieza metálica que usan los dentistas para sujetar en los dientes naturales los

artificiales

d. Serie de días entre dos festivos que se aprovechan para vacación.

11. Debo mandar a cambiar el puente de mi violín

a. Construcción de piedra, ladrillo, hormigón, etc. que se construye sobre los ríos

o fosos para poder pasarlos.

b. Tablilla colocada perpendicularmente en la tapa de los instrumentos de arco,

para mantener levantadas las cuerdas

c. Pieza metálica que usan los dentistas para sujetar en los dientes naturales los

artificiales

d. Serie de días entre dos festivos que se aprovechan para vacación

12. Francisco es la mejor pluma del colegio

a. Pluma de ave que, cortada en la extremidad, servía para escribir

b. Escritor, autor de libros y otros escritos

c. Estilo o manera de escribir

d. Cada una de las piezas de que está cubierto el cuerpo de las aves.

13. Me imagino que Cervantes utilizaría una pluma para escribir.

a. Pluma de ave que, cortada en la extremidad servía para escribir

b. Escritor

c. Estilo o manera de escribir

d. Cada una de las piezas de que está cubierto el

cuerpo de las aves

Respuestas: A B C D

7. 8. 9.

10.

11.

12.

13.

54

Cuando hablamos o escribimos debemos tener mucho cuidado con la forma en que

organizamos las palabras y las ideas. Estas últimas deben seguir un orden lógico y establecer

relaciones crecientes (de lo particular a lo general) o decrecientes (de lo general a lo

particular). Para organizar las ideas, primero se debe decidir qué modelo ordenador se va a

seguir.

Secuencia Temporal

Llegó a su destino, partió el barco y navegó muchos mares.

Partió el barco, navegó muchos mares y llegó a su destino.

La segunda oración demuestra una mejor secuencia temporal.

Relación Causa -Efecto

Un buen masaje relajará mi stress

Tenía stress y un buen masaje me relajó

La segunda oración señala una relación causa-efecto.

Para ordenar adecuadamente nuestras ideas debemos:

Diferenciar las ideas principalmente de las ideas secundarias

Diferenciar lo general de lo particular

Establecer relaciones coherentes entre las ideas

El Orden de las Palabras

55

Ejercicios de Apoyo

Ejercicios de Apoyo

Marca la secuencia correcta de ideas en los siguientes ejercicios.

1. I. Se echó a dormir

II. Había estudiado toda la noche

III. Dio un buen examen

IV. Al llegar del colegio se sintió muy cansado

a. I, II, III, IV

b. II, III, IV, I

c. III, IV, II, I

d. I, IV, III, II

2. I. El oro era transparentado en grandes barcos que cruzaban el océano hasta llegar a

España

II. De ellas se extrajo la mayor cantidad de oro para el viejo continente.

III. Potosí fue considerado el centro minero más importante durante la colonia.

IV. Quienes eran llevados a trabajar en esas minas sabían que tenían muy pocas

probabilidades de retornar con vida

a. III, IV, II, I

b. I, II, III, IV

c. II, III, I, IV

d. IV, I, III, II

Marca la secuencia correcta de ideas en los siguientes ejercicios

1. I. Sus labios gruesos dejaban ver apenas una dentadura que el tiempo no logró deteriorar.

II. Era de porte alto y fuerte, casi atlético

III. Juan era buen pescador, vivía y permitía que otros viviesen gracias a él.

IV. Su tez oscura y arrugada expresaba toda una vida de trabajo bajo el sol.

a. III, II, IV, I

b. I,II,III, IV

c. IV, I, II, III

d. II,I,III, IV

2. I. La casa era pequeña, pero albergaba a todos con comodidad.

II. La llanura era extensa y solo a lo lejos se podían contemplar algunos arbustos

III. Su techo a dos aguas y sus paredes color terracota le daban un aire pintoresco.

IV. El suelo era fértil, por ello cosechábamos hasta dos veces al año.

56

3. I. Los comuneros sostienen que les es imposible impedir la caza furtiva en las

condiciones en las que se encuentran: sin vehículos, sin armas, etc.

II. Las pieles son vendidas en el mercado negro a 600 dólares el kilo

III. Mas de cinco mil especímenes han sido exterminados por cazadores inescrupulosos

IV. Generalmente estos disparan a las crías, porque saben que sus madres no las

abandonarían. Así aseguran su éxito

V. La caza de camélidos en la sierra sigue siendo un problema sin solución.

a. V, IV, II, III, I

b. V,III, IV, II, I

c. I, II, III, V, IV

d. II, III , I , V, IV

4. I. Redactar el texto

II. Definir el tema

III. Investigar y consultar bibliografía

IV. Esquematizar las ideas

V. Determinar los objetivos

VI. Revisar la redacción y ortografía

a. VI, I ,III, IV, V, II

b. II, V, III, IV, I, VI

c. I, II, V,V I, IV, III

d. III, II, II, IV, V,V I

5. I. Desinfectar la herida

II. Preparar los materiales a utilizar.

III. Poner gasa, si fuera necesario

IV. Lavar la herida

V. Darle seguridad

a. I; II ; III; V;VI; IV

b. II; I ; VI; V; IV; III

c. VI; V; II; IV;I ; III

d. III; VI; V; IV; II; I

6. I. El plazo de la presentación será hasta el lunes 7 de Julio

II. Las becas serán otorgadas a los mejores estudiantes

III. Ofrecen doscientas becas de intercambio estudiantil para jóvenes ecuatorianos

IV. Este ofrecimiento fue difundido por el Ministerio

V. El tiempo de duración del intercambio estudiantil será de tres meses.

Respuestas:

A B C D

1.

2.

3.

4.

5.

6.

57

Marca la conclusión correcta de los siguientes refranes

1. Camarón que se duerme …

a. el que no trabaja, no manduca

b. se lo lleva la corriente

c. solo es cuestión de empezar

d. y te diré quién eres

2. Cría cuervos …

a. El que no trabaja, no manduca


c. y te sacarán los ojos

d. y te diré quién eres

3. Dime con quién andas …

a. El que no trabaja no manduca



d. y te diré quién eres.

4. En esta vida canduca …

a. El que no trabaja, no manduca


c. todo esta frío

d. vamos que si se puede.

5. Aún no ensillamos…

a. se lo lleva la corriente

b. arriba caballito

c. Dios no lo ayuda

d. y ya cabalgamos

6. Comer, besar, y rascar

a. al que le llueve dos veces



d. con sal, pimienta y revienta

Marca la alternativa que complete el texto con las opciones más adecuadas.

7. Los ______de televisión generalmente presentan una _____

muy parcial que poco tiene que ver con la ______

del joven ecuatoriano actual.

a. anuncios, imagen del joven, realidad, problemática

b. asuntos, situación, alimentación, filosofía

c. Problemas, realidad, salud, inquietud

d. noche, rápida, conciencia

Respuestas:

A B C D

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

58

Las series verbales están definidas como un conjunto de palabras o frases que mantienen un

vínculo semántico, es decir que guardan una relación a través de un criterio que las une.

Este criterio bien puede referirse a una relación de graduación entre ellas, o a su significado,

origen etc.

Ejemplos:

Raíz tallo, hojas, flores, frutos

La relación establecida es partes pertenecientes a un todo, en este caso a una planta

Subteniente, capitán, mayor, comandante, general.

Se establece una relación de graduación en este caso en el ámbito de las Fuerzas Armadas.

+Las series verbales también pueden establecerse a partir de la relación entre parejas

de palabras. En estos casos, se debe primero identificar la relación existente entre las

dos primeras palabras y luego encontrar el tipo de relación que existe entre los pares de la

serie+

Por ejemplo:

hermano – hermana ; padre- madre; abuelo- abuela

En este caso se establece una relación parentesco- género

Ejercicios de Apoyo

Series

Marca las palabras que no pertenecen a la serie

1.

a. ciclismo

b. natación

c. tenis

d. ajedrez

2.

a. hobby

b. mouse

c. stand

d. relevo

59


Marca las palabras que no pertenecen a la serie

1.

a. lepra

b. sarna

c. pulmonía

d. soriasis

2.

a. piscis

b. Saturno

c. géminis

d. cáncer

3.

a. peso

b. libra

c. euro

d. bicicleta

4.

a. salmón

b. bacalao

c. corvina

d. raya

5.

a. autocracia

b. absolutismo

c. referéndum

d. tiranía

6.

a. rostro

b. semblante

c. cara

d. cuerpo

7.

a. The Beatles

b. Queen

c. The Rolling Stones

d. Los Chapulines

8.

a. tacto

b. gusto

c. estómago

d. oído

Respuestas:

A B C D

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

60

Marca las parejas de palabras que compartan la misma relación con las parejas en negrita

9. soldado- ejército

a. taza- plato

b. hueso- osamenta

c. polilla- madera

d. cara- tez

10. café- estimulante

a. tilo- tranquilizante

b. agua- beber

c. té- limón

d. cuchillo- hoja

11. agua- bebida

a. huevo- gallina

b. pan- comida

c. arroz- cereal

d. fideo- sopa

12. abnegación-sacrificio

a. heroísmo- riesgo

b. tedio- pereza

c. locura- hospital

d. pena- tristeza

13. música- escuchar

a. poesía- pensar

b. literatura- leer

c. pensamiento- sueño

d. palabra- necia

14. tímpano- oído

a. retina- ojo

b. lengua- diente

c. paladar- muela

d. uña- pintura

15. Bicicleta- pedal

a. auto- acelerador

b. bote- océano

c. tren- riel

d. avión- alerón

Respuestas:

A B C D

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

61

2014

Aptitud Numérica 1

62

Sistemas de Numeración

Todo sistema de numeración, para formar los números, emplea la cantidad de cifras que indica

la base incluyendo el cero

Ejemplo:

*El sistema decimal (Base 10) utiliza las cifras del 0 al 9

*El sistema binario (Base 2) utiliza las cifras 0 y 1

Descomposición polinómica de un número

Base 10:

2685 = 5 + 8 ∙ 101 +6 ∙ 102 +2 ∙ 103

Base 2:

11011(2) = 1 + 1 ∙ 21 + 0 ∙ 22 + 1 ∙ 23 +1 ∙ 24

Criptoaritmético

Es una operación aritmética cuyas cifras representan valores escondidos en letras, casilleros o

figuras.

Ejemplo:

3 4 5 Debemos encontrar el valor de a + 2 a 6 6 0 1 En este ejemplo, el valor de a es 5

Sucesión

Es un conjunto de números que guardan entre sí una relación llamada ley de formación.

Ejemplo:

4 ; 8; 12 ; 16 ; 20 … (son los múltiplos de 4)

Analogía

Es una relación de semejanza entre dos pares de elementos distintos.

Ejemplo: 3 es a 6 como 7 es a 14.

La relación de semejanza entre los números es <el primero es la mitad del segundo>

NÚMEROS NATURALES Y ENTEROS

63

Propiedades de los Números

Por sus divisores los números pueden ser primos o compuestos.

Número primo es el que tiene solo dos divisores: el uno y el mismo.

Son números primos: 2; 3 ; 5; 7…

Número compuesto es el que tiene más de dos divisores. Son números

compuestos: 4; 6; 8; 10; 25, …

Máximo Común divisor (m.c.d) es el menor de los múltiplos comunes de dos o más

números.

Mínimo común múltiplo (m.c.m)es el menor de los múltiplos comunes de dos o más

números.

Número capicúa el que se lee igual de derecha a izquierda que de izquierda a derecha.

Sistemas de Numeración


1. Una empresa exporta cada mes 1250 Kg de quinua a la empresa OAV en Asia. El segundo mes

la empresa OAV hizo un pedido adicional de 2306 (7) de quinua. ¿Cuántos Kilogramos adicionales

han pedido? ¿Cómo se escribirá en el empaque el pedido total de este mes si la empresa asiática

utiliza el sistema de numeración de base 7?

Solución:

*Calculamos los kilogramos del pedido adicional. Convertimos a base decimal descomponiendo el

número de acuerdo con su valor posicional:

2306(7) = 6+ 0 ∙ 71 + 3 ∙72 + 2 ∙ 73 = 839

*Calculamos el total de los kilogramos y los convertimos al sistema de base 7 mediante divisiones

sucesivas:

1250 Kg + 839 Kg = 2089 Kg 2089 7

68 298 7

59 18 42 7

3 4 0 6 6043 (7)

*La empresa OAV hizo un pedido adicional de 839 Kg de quinua.

*En el empaque se escribirá 6043 (7)

2. En base 4 un número se representa por 3210. ¿Cómo se representa en base 5?

Solución

*Para convertir 3210(4) a base 5, primero lo convertimos a base 10, descomponiéndolo:

3 210(4) = 0 + 1 ∙ 4 + 2 ∙ 42 + 3 ∙ 43 = 228

*Luego convertimos 228 a base 5 mediante divisiones sucesivas:

228 5

28 45 5

3 0 9 5

4 1 1 403(5)

64

3. ¿Cuál de los números es el menor?

a. 342(5) b. 10 112(3) c. 140(8) d. 118(9)

Solución:

*Para determinar cuál de ellos es el menor, los convertimos a base decimal:

342(5) = 2 + 4 ∙ 5 + 3 ∙ 52 = 97

10 112(3) = 2 + 1 ∙ 3 +1 ∙ 32 + 0 ∙ 33 + 1 ∙ 34 = 95

140(8) = 0 + 4 ∙ 8 + 1 ∙ 82 = 96

118(9) = 8 + 1 ∙ 9 + 1 ∙ 92 =98

*El menor de los números es 95, es decir, 10 112(3)

4. Si 2ab (3) = 10 101(2) ¿cuál es el valor de 2 a – b?

a. 2 b. 1 c.3 d. 0

Solución

*Convertimos 10 101(2) a base 3:

10 101(2) = 1 + 0 ∙ 2 + 1 ∙ 22 + 0 ∙ 23 + 1 ∙ 24 = 21

21 3

0 7 3

1 2 210(3)

*Luego, 2ab (3) = 210(3) a = 1 y b=0.

*Hallamos el valor de 2 a – b, reemplazando los valores encontrados:

2 a – b = 2 (1) – 0 = 2

5. Si aaaa (4) = 143 (7) ¿Cuál es el valor de a3 - 1?

a. 5 b. 0 c. 7 d.8

Solución:

*Primero convertimos 143 (7) a base 10:

143 (7) = 3 + 4 ∙ 7 + 1 ∙ 72 = 80

*Luego, convertimos 80 a base 3

80 3

20 26 3

2 2 8 3

2 2

*Como aaaa (4) = 2222(3) a =2

*calculamos a3 – 1, reemplazando a por su valor:

23 – 1= 7

6. ¿En qué base está escrita la siguiente adición si se sabe que: 114(n) +254(n) + 331(n) = 1 143?

a. 7 b.5 c. 8 d. 6

Solución:

*Descartamos hasta 5 ya que la base siempre es mayor que cualquiera de sus cifras.

*Ordenamos los sumandos:

65

114(n) * En la primera columna tenemos que 4+4+1 es 9 pero está 3.

+254(n) * Si restamos 9 – 3, obtenemos 6 que es la base del sistema ya que 9 =13(6)

331(n) por ello tenemos 3 y llevamos 1.

1 143(n)

*Comprobamos que 6 es el valor de la base:

*En la segunda columna 1 + 5 + 3 + 1 es 10 = 14(6) confirmamos 4 y llevamos 1.

*En la tercera columna 1 + 2 + 3 + 1 es 7 = 11(6) confirmamos 11.

La adición está escrita en base 6

7. Si a + b + c = 16, halla ab + bc + ca

Solución:

*Ordenamos los sumandos y observamos:

ab *En la primera columna tenemos: b + c +a =16

+ bc * Escribimos 6 y llevamos 1

ca * En la segunda columna tenemos: a + b + c+ 1 = 17

176

Luego, ab + bc + ca = 176

8. ¿Cuál es el resultado de TU x CASA, si CASA X T = 6 453 y CASA X U = 8 604?

Solución:

*Observamos que se trata de una multiplicación. Por tanto, ordenamos los factores y sus

productos parciales.

CASA

X TU

CASA X U 8 6 0 4

CASA X T +6 4 5 3

Sumamos 7 3 1 3 4

*Hemos obtenido el producto sin necesidad de conocer los valores de CASA o de TU

Respuesta : 73 134

66


1. ¿Cuál de los siguientes números es un número capicúa?

a. 222(3)

b. 333(4)

c. 552(7)

d. 322(6)

2. Calcula el valor de abc + bc = bac

a. 980

b. 780

c. 970

d. 890

3. ¿Cuál de estos números es múltiplo de 5?

a. 1002(3)

b. 433(6)

c. 120(4)

d. 342(5)

4. ¿Cuál de los siguientes números es compuesto?

a. 1021(4)

b. 342(5)

c. 215(6)

d. 301(7)

5. ¿Cuál es el resultado de AMOR X MI, si AMOR X M = 10 496 y AMOR X I = 47 232?

a. 142 680

b. 482816

c. 162620

d. 152192

6. Un comerciante envía 144 cajas de zapatos a una distribuidora que emplea el sistema

base 8. ¿Cómo representa la distribuidora el número de cajas que envía el

comerciante?

a. 200(8)

b. 230(8)

c. 220(8)

d. 120(8)

7. ¿Cuál es el resultado de abc + bca + cab si a + b +c es 24?

a. 2664

b. 2444

c. 2644

d. 2464

8. Si aabb + ab = aa76, halla a + b

a. 5

b. 6

c. 8

d. 7

e.

67

9. Halla a ∙ b, si a2a + a4a + a6a + a8a = 30b8

a. 18

b. 12

c. 14

d. 16

10. Si 2 ∙ ab = 72, entonces 3 a + b es:

a. 13

b. 14

c. 15

d. 16

11. Halla el menor valor que puede tomar a, si 28< 3 a

a. 9

b. 10

c. 11

d. 0

12. Halla a + b +c, si a36 + 6b5 +537 = 211c

a. 20

b. 19

c. 18

d. 21

13. Halla abcd + bcda +cdab + dabc, si a + b + c +d = 33

a. 33 333

b. 36 663

c. 36 363

d. 33 663

14. ¿Cuál de los números es múltiplo de 7?

a. 204(7)

b. 502(6)

c. 1 301(4)

d. 740(8)

Respuesta:

A B C D

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

68

Sucesiones, Analogías y Distribuciones

1. Paco y Delia asistieron al teatro, y encontraron que en sus butacas la numeración se

había borrado. Ayúdalos a encontrar sus asientos. ¿Quién se sentará más cerca de la

salida?

*Observamos las letras de las butacas centrales y notamos que entre cada dos falta una

letra; además que van en orden decreciente:

M …… I G E ….. A

H F

*Completamos la sucesión literal:

M K I G E C A

L J H F D B

*Observamos ahora los números, y buscamos alguna característica común o relación entre

ellos: 1……..9 16 25 ……..49

Se trata de una sucesión numérica de los cuadrados de los números naturales.

4 9 16 25 36 49

Se sentará más cerca de la salida Delia.

2. ¿Qué número falta en la sucesión 4; 7; 11; 16 … 29?

a. 19

b. 22

c. 23

d. 21

Solución:

*Buscamos la ley de formación restando el segundo término menos el primero,

el tercero menos el segundo, el cuarto menos el tercero y así sucesivamente.

*La ley de formación nos muestra que es una sucesión creciente que va de 1 en

1.

*Aplicamos la ley de formación y obtenemos los valores de y y z:

y= 5 + 1 = 6 y z= 6 +1 = 7

Calculamos: x= 16 + 6 = 22

3. Hallar el valor de x + y:

65 a. 65 b.12 c. 45 d. 70

y 75

x 11

13

Solución:

*En esta analogía, buscamos una relación entre los números que están colocados uno

frente al otro como 65 y 13: 65: 13 = 5 o 65: 5 = 13

*Aplicamos la misma relación entre y y 11 y: 11 = 5 y: 5 = 11 y=55

*El valor de x + y = 5 y : 5 = 11 y = 55

69

4. Halla el valor de - en la sucesión:

9

25

81

3

5

7

Solución:

*Observamos que los números en los cuadrados forman una sucesión de números impares

a partir del 3. Luego, en el casillero falta el número 9.

*Observamos que los números de los cuadrados verdes: 9; 25 … y 81 son los cuadrados de

los números 3; 5 … y 9, respectivamente. Entonces, el cuadrado verde irá el 49.

*El valor de - = 49 – 9 = 40

5. Halla el valor de x en:

28 70 5

40 x 8

a. 80

b. 160

c. 40

d. 320

Solución:

*Buscamos las posibles relaciones entre los números de las columnas o de las filas.

*En la primera fila, el número central es la mitad del producto de los números de los

extremos:

28 ∙ 5 : 2 = 70

*Llevamos esta relación a la segunda fila, en la que x debe er la mitad del producto de los

números de los extremos:

x = 40 ∙ 8 : 2 ∙ x = 160

70


1. En la siguiente distribución, ¿Cuál es el valor de x?

3 4 5

8 9 10 11 12

13 14 15 16

20 21 22

x

a. 28

b. 29

c. 30

d. 26

2. Continúa la sucesión bFc, cGe, dHg, eIi…

a. flk

b. IMn

c. iFd

d. fJk

3. ¿Cuál es el número que falta?

17

19 15

21 ?

11

a. 15

b. 23

c. 25

d. 24

4. Completa el número y la letra que faltan.

B 12 H 108 N ?

4 E 36 K 324 ?

a. 972,P

b. 648,Q

c. 962, P

d. 872, O

5. hallar el valor de x

14 20 46

12 10 18

42 x 108

a. 45

b. 30

c. 50

d. 60

71

6. Completa la letra y el número que faltan.

12 D 17 H ?

B 13 ? 26 J

a. k,51

b. F, 38

c. F,42

d. L, 52

7. ¿Qué número y letra faltan?

1 C 5

A 3 E

a. F,7

b. H,7

c. G,8

d. G,7

8. Continúa la serie A, B, D, G…

a. L

b. K

c. H

d. I

9. Averigua qué número y qué letra le faltan en:

E 16 J 32

8 G x x

a. 24, N

b. 24, M

c. 26, N

d. 28, Ñ

Respuestas:

A B C D

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

72

Propiedades de los Números

1. Daniel, Manuel y Alfonso practican ciclismo. Daniel recorre una vuelta en 80 segundos,

Manuel lo hace en 60 segundos y Alfonso lo hace en 100 segundos. Si los tres salen juntos,

¿dentro de cuánto tiempo se volverán a encontrar en el punto de partida? ¿Quién dará el

menor número de vueltas?

Solución:

*Descomponemos los números 80, 60, 100 en sus factores primos:

80 2 60 2 100 2

40 2 30 2 50 2

20 2 15 3 25 5

10 2 5 5 5 5

5 5 1 1

1

80 = 24∙ 5 60= 22 ∙ 3 ∙ 5 100 = 22 ∙ 52

*Hallamos el mínimo común múltiplo. Para ello, escogemos los divisores comunes y los no

comunes con el mayor exponte:

m.c.m.= 24 ∙ 3 ∙ 52 = 1200

*Convertimos 1200 segundos en minutos: 1200 : 60 = 20

*Los tres se volverán a encontrar en 20 minutos.

*Calculamos el número de vueltas que dará cada uno:

Daniel 1200 : 80 = 15 vueltas

Manuel 1200 : 60 = 20 vueltas

Alfonso 1000 : 100 = 12 vueltas

El que dará menos vueltas será Alfonso.

2. Una asociación tiene tres terrenos uno de 2 040m2, otro de 2 400m2 y el tercero de

1080m2. Si se desea dividirlos en lotes de la mayor área posible, de modo que todos los

lotes tengan igual área, ¿Cuál es la mayor área posible de cada lote?

Solución:

Descomponemos los números 2040, 2400 y 1080 en sus factores primos.

2040 = 23 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 17

2400 =25 ∙ 3 ∙ 52

1080 =23 ∙ 33 ∙ 5

*Hallamos el máximo común divisor. Para ello, escogemos los divisores comunes con el

menor exponente:

m.c.d = 23 ∙ 3 ∙ 5 = 120

Los lotes deben medir 120m2

3. Rosario tiene una bolsa de caramelos y le dice a su amiga Raquel que se la regala si acierta

cuántos tiene. Le da estas pistas: La bolsa tiene menos de 60 caramelos. si los repartos

entre 9 amigos, no sobra ninguno; pero si los reparto entre 11 sobra 1 caramelo. ¿Cuántos

caramelos tiene la bolsa?

73


1. Flor tiene una colección de estampillas que puede agruparlas de 5 en 5,

de 7 en 7 y de 8 en 8 y en ningún caso le sobra alguna. ¿Cuántas

estampillas tiene, si se sabe que no tiene más de 300 y menos de 600?

a. 540

b. 560

c. 360

d. 350

2. Los espectadores que asisten a una obra de teatro son más de 100 y menos de 120. Si

se agrupan de 5 en 5 sobran 2, si se agrupan de 8 en 8 no sobra ninguno y si se

agrupan de 3 en 3 sobra uno. ¿Cuántos espectadores hay en la sala?

a. 112

b. 107

c. 117

d. 113

3. Ricardo necesita construir una caja para embalar libros cuyas medidas son 24cm de

largo por 18cm de ancho y 4cm de grosor, de modo que no se desperdicie espacio.

¿Cuál debe ser la longitud mínima de las aristas de la caja?

a. 80cm

b. 72cm

c. 64cm

d. 56cm

Soluciones:

*Con el número de caramelos que contiene la bolsa debe ser menor que 60 y múltiplo de 9,

escribimos los múltiplos de 9 menores que 60:

M9 = {0; 9; 18; 27; 36; 45; 54}

*Además, dicho número al restarle 1 (el caramelo que sobra si reparto entre 11 amigos)

debe ser múltiplo de 11. Escribimos los múltiplos de 11 menores que 60, luego les

agregamos 1:

M11 = {0; 11; 22; 33; 44; 55}

M11+1 = {1; 12; 23; 34; 45; 56}

*El único número que cumple con las tres condiciones es 45:

45: 9 = 5 y (45 -1): 11 =4

Por lo tanto la bolsa tiene 45 caramelos

74

4. ¿Qué valor no puede tomar x de modo que el mínimo común múltiplo de x y 30 sea

30?

a. 3

b. 5

c. 15

d. 12

5. Si el m.c.m. de 5 y x es 10, entonces el m.c.m. de 10 y 2x es:

a. 10

b. 20

c. 5

d. 2

6. ¿Cuál es la menor cantidad de tornillos que necesitaré para envasar en un número

exacto de bolsas que contengan 24; 32; 48 o 30 tornillos?

a. 480

b. 360

c. 720

d. 960

7. El m.c.m de 36; 48 y A es 144. ¿Cuál de los siguientes números no podrá ser A?

a. 18

b. 24

c. 15

d. 12

8. Si la suma de dos números es 10 y su m.c.m. es 12, ¿Cuál es el mayor?

a. 8

b. 4

c. 2

d. 6

9. La suma de dos números enteros impares consecutivos es 20. Calcula el m.c.m. de

dichos números.

a. 100

b. 110

c. 99

d. 91

Respuestas:

A B C D

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

75

Analogías:

Con fracciones, se resuelven igual que con los números naturales o enteros.

Distribuciones:

Corresponden a una sucesión o una analogía, donde los números están distribuidos en figuras.

Problemas con fracciones:

En la resolución de problemas no olvides seguir los siguientes pasos:

1. Comprender el enunciado del problema: lee con mucha antelación

2. Plantear la solución: Escoge las operaciones y el orden en que las debes realizar.

3. Resolver las operaciones: hazlo en el orden planteado.

4. Comprobar si la solución es válida.

Operaciones Combinadas:

Es importante el orden de prioridad al resolver las operaciones.

Sin signos de Colección:

1. Potencias y raíces

2. Multiplicaciones y divisiones en el orden que se

presentan

3. Adiciones y sustracciones en el orden que están

Con signos de colección:

1. Operaciones dentro de los signos de colección, más

Internos, hasta suprimir todos.

2. Al operar debes guardar el orden de prioridad.

Operadores:

Son símbolos que representan operaciones matemáticas. Para cada uno de ellos, se establecen

condiciones previas que llamamos “reglas de definición” o “leyes de formación”

Ejemplo:

a ∆ b = a2 - b2

Operador Regla de definición

NÚMEROS RACIONALES

76

Sucesiones, Analogías y Distribuciones


1. ¿Qué valor tiene a?

( )

a

Solución: *Para obtener el término del medio buscamos la relación entre los términos extremos. Observamos, en la 1ª y 2ª fila, que se trata de una sustracción: 2/3 -1/2 = 4-3/6 = 1/6 y 5/3 -3/4 = 20-9/12 = 11/2 *Aplicamos la ley de formación en la 3ª fila para hallar a: a= 3/2 -1/6 = 9-1/6 = 8/6= 4/3 a= 4/3

a=

2. ¿Cuál es el valor de x?

( )

x

77

Solución: * Buscamos la relación y encontramos en la 1ª que: 1/8 * ½ = 1/16 y √1/16 = 1/4 *En la segunda fila se dan las mismas relaciones: 2/5 * 1/10 = 2/50= 1/25 y √1/25 = 1/5 *Aplicamos las relaciones en la tercera fila: x=1/2*8/9 = 4/9 y √4/9 = 2/3 x= 2/3

x=

3. Calcula el valor de a en:

1,5 3 (0.5) 5 4 (a) 3,6 8 (0.45) Solución: *La relación que se cumple en la 1ª y en la 3ª fila es: 1,5 : 3 = 0,5 y 3,6 : 8 = 0,45 *Hallamos a aplicando la relación en la fila 2ª: a= 5 : 4 a= 1,25

4. Distribuye en un cuadrado mágico los números: 0.10; 0.11; 0.12; 0.13; 0.14; 0.15; 0.16; 0.17; 0.18. ¿Cuánto suma una fila? Solución: *Observamos que son 9 números que forman una sucesión creciente que al distribuirlos en un cuadrado mágico, la suma de filas, columnas y diagonales deben ser iguales. *Para ello dibujamos un cuadrado de 3*3=9 *Como el lado del cuadrado tiene número impar de casilleros (3), distribuimos los números, en orden creciente, como se indica en el primer cuadrado: *El número que queda en cada casillero auxiliar se introduce en el casillero vacío del lado opuesto.

0.13 0.18 0.11

0.13 0.13 0.16

0.17 0.10 0.15

Comprobamos que la suma de cualquier columna, diagonal o fila siempre es igual a 0.42

0.42

0.42

78


1. Hallar x en:

2.5 (2) 1,5

3,8 (4) 4,2

(x) 1,75

a. 0

b. 1

c. 2

d. 3

2. Hallar b en:

3,5 7 0,5

7,2 8 0,9

7,5 5 b

a.

b.

c.

d.

3. ¿Qué número falta?

a. 3/8

b. 9/64

c. 6/16

d. 9/6

4. Distribuye en un cuadrado mágico los números 0,2; 0,6; 0,4; 1,8; 1,4; 1,6; 1,2; 0,8

¿Cuál es la suma de la diagonal?

a. 2.4

b. 3

c. 4.2

d. 3.4

Respuestas:

A B C D

1.

2.

3.

4.

5.

79

5. ¿Qué número sigue en 2/3, 2/9; 2/27; 2/81; …?

a. 2/162

b. 2/729

c. 2/108

d. 2/243

Problemas con Fracciones y Decimales


1. Una cabra consume durante una semana 30 kg de alimento, ¿Cuánto consume en

dos días? Solución: *Calculamos el consumo de uno y dos días:

30 : 7 = x = = 4,5 ; 2x 4,5 = 9 Kg

*En dos días consume 9 kg de alimento.

2. Cuatro amigos comen una pizza. Si José come ; Lucía y Mónica ¿Cuánto come

Luis? Solución: Calculamos lo que han comido José, Lucía y Mónica:

+ + =

Entonces, Luis come: - = de pizza

3. Dos ciudades se encuentran separadas por 240km. Un caminante recorre un día

1/6 de esa distancia, otro día ¼ y un tercer día, 1/8 de la misma distancia, ¿A qué distancia se encuentra del punto de llegada después del tercer día? Solución: *Calculamos la distancia que recorre:

1 día 2 día 3 día

1/6 * 240 = 40Km ¼ * 240 = 60km 1/8 *240 =30km

La suma de los tres recorridos es: 130 km Le falta recorrer: 240 km – 130km = 110km

4. Una tubería vierte cada minuto 5/12 litros de agua. ¿Cuánto verterá en 1 hora? Solución: *Si en 1 min vierte 5/12litros en 60 min verterá: 5/12 * 60 = 5x 5 = 25 Verterá 25 litros

80


1. Una empresa ha comprado 150 útiles de oficina entre carpetas,

cuadernos, lápices y lapiceros. Las carpetas son 2/5 del total, los

lápices son 1/6 del resto y los lapiceros son 1/3 del nuevo resto.

¿Cuántos cuadernos se han comprado?

a. 15

b. 50

c. 25

d. 60

2. En una tienda de regalos compraron 40 peluches por un total de $150. Vendieron la

cuarta parte a $5.50 cada peluche; la mitad a $7.50 cada y el resto a $ 1. ¿Cuál fue la

ganancia?

a. $ 65

b. $55

c. $10

d. $150

3. ¿Cuántos metros cuadrados son los 2/3 de los 5/7 de un terreno que mide 37 800m2?

a. 12 000 m2

b. 12 600 m2

c. 15 000 m2

d. 18 000 m2

4. Si gasto 4/9 de mi sueldo en alquiles y 1/3 en comida, ¿qué fracción me queda para

otros gastos?

a. 5/9

b. 5/3

c. 2/9

d. 7/9

5. En un examen, ¾ de los estudiantes aprobaron y el resto reprobó. Si los aprobados son

30, ¿Cuántos alumnos dieron el examen?

a. 40

b. 50

c. 60

d. 70

6. Carlos ha comprado una camisa en $45.80; un pantalón que le ha costado el doble

que la camisa; y una chompa por la que ha pagado $13.20 más de lo que ha pagado

por la camisa ¿Cuánto dinero ha pagado en total?

a. 196.40

b. 195.20

c. 200.80

d. 169.40

Respuestas: A B C D

1. 2. 3. 4. 5. 6.

81

Operaciones Combinadas. Operadores


1. En un concurso de la escuela, en el que participó Fabiola, debían encontrar la llave que abría un baúl y llevarse el premio. Había 40 llaves enumeradas del 1 al 40 y sólo tenían 2 minutos para encontrar la indicada. A Fabiola le pareció muy difícil, pero al ver el baúl encontró unas pistas que le permitieron llevarse el premio. ¿Con qué llave abrió Fabiola el baúl?

Solución: *Por la condición del problema, observamos que a= 5 y b= 4 *Reemplazamos las letras por su valor numérico y resolvemos las operaciones: a ♣ b = a2 + b + 3 5 ♣ 4 = 52 + 4 + 3 5 ♣ 4 = 25 + 4 + 3 = 32

2. Si, L= +[ x ( - ) : ] entonces L es …

Solución: *Es una operación combinada con signos de colección. Resolvemos primero paréntesis y luego corchetes:

L = +[ x ( - ) : ]

= +[ x x ) ]

= +1 =

3. Si, F = x 3 : (1/2), el valor de F es …

Solución: *Resolvemos por orden de prioridad, primero las raíces:

F = x 3 : (1/2) F= ⅔ x ¼ : ½

*Luego, La multiplicación y la división: F= ⅔ x ¼ x 2 = 1/3

4. Si a ♠ b = 2 a – b, calcula 7 ♠ 8 Solución: Por el enunciado, vemos que: a = 7 y b = 8 Reemplazamos las letras por su valor numérico y resolvemos: a ♠ b = 2 a – b 7 ♠ 8 = 2(7) – 8 = 14 – 8 = 6

82


1. Halla B-1 , si B = 1 +

a. 8/11

b. 8/11

c. 11/8

d. 56/11

2. Si M ; halle el triple de M.

a. 4

b. 3

c. 2

d. 1

3. Efectúa y encuentra el valor de C

C= [ ( 1♥ 3) ♥ 4] ♥ [2♥(4♥4)]

♥ 1 2 3 4

1 1 2 3 4

2 2 3 4 1

3 3 4 1 2

4 4 1 2 3

a. 1

b. 2

c. 3

d. 4

4. Si

♣ 2 4 6

2 2 6 4

4 4 6

6 6 2 4

P=

¿Cuál es el valor de P?

a. 2

b. 6

c. ½

d. ¼

Respuestas:

A B C D

1.

2.

3.

4.

83

Problemas Aritméticos

1. Cómo calcular dos números (mayor y menor ) de los que se conoce:

Su suma y su diferencia:

M + m =S

m= , M=

M – m = D

Su suma y su cociente:

M + m = S

m= , M= S-m

M : m = c

Su diferencia y su cociente:

M – m = D

m= , M= m +D

M : m =c

2. Métodos de Solución de problemas

Falsa suposición (del rombo):

Entre dos alternativas, suponemos una.

Empezando por el final: Con el último dato realizamos las

operaciones inversas en forma ordenada hasta llegar al comienzo.

Del rectángulo: Reducimos a la unidad y luego calculamos lo que

pide el problema.

3. Problemas diversos

Grifos tuberías.

Reduciendo a la misma unidad

(Ejemplo: 1/min o 1/h)

Móviles.

Aplicando las fórmulas físicas de movimiento.

e = v ∙ t v= e/t t=e/v

Números.

Reconociendo que una relación fraccionaria es una relación de

proporcionalidad.

Relacionando los múltiplos y los divisores.

Reconociendo y utilizando las fracciones equivalentes.

84

Cuatro Operaciones

Ejercicios Resueltos:

Conociendo la Suma y la Diferencia.

1. Andrea es la hermana mayor de José y sus edades suman 33 años. Si José nació cuando

Andrea tenía 5 años. ¿Cuántos años tiene José y cuántos, Andrea?

Solución:

* Si la suma de las edades le restamos los 5 años de diferencia, nos queda dos veces la

edad del menor. Entonces la edad de José es:

33 – 5= 28 ► 28 : 2 = 14 años

*Como Andrea tiene 5 años más que José, Entonces la edad de Andrea es: 14 + 5 = 19 años José tiene 14 años y Andrea 19 años.

Conociendo la suma y el cociente

2. Un saco y un pantalón cuestan $216. Si el saco cuesta el triple de lo que cuesta el

pantalón, ¿Cuánto cuestan un saco y dos pantalones?

Solución:

*Las dos prendas cuestan $216. Entonces: P+S=216

*El saco cuesta el triple del pantalón. Entonces: S : P =3

*Que el saco cueste tres veces el precio del pantalón, quiere decir que en la suma de los

dos precios (216) está cuatro veces (3+1) el precio del pantalón (P). Es decir, un

pantalón cuesta:

P= = 54 dólares

*El precio del saco es 216 – 54 = 162 dólares.

*Un saco y dos pantalones cuestan:

162 + 54 x 2 = 270 dólares

Conociendo la diferencia

3. Pedro tiene 45 años más que su hijo y el cociente de ambas edades es 4. ¿Cuántos años

tiene el hijo y cuántos, el padre?

Solución.

Identificamos los datos:

edad del padre: P(mayor valor)

edad del hijo: h(menor valor)

Además: P – h = 45 y P: h = 4

85

Que el cociente entre ambas edades sea 4, quiere decir que la edad del padre es 4 veces

la edad del hijo. Si la edad del padre le quitamos la edad del hijo (P – h = 45), quedará

tres veces la edad del hijo (4 -1). Es decir:

Edad del hijo = = = 15 años

Edad del padre = 45 + 15 = 60 años

Conociendo la suma (S) y el cociente © de dos números, estos se calculan así:

m= , M= S-m

Conociendo la diferencia (D) y el cociente (c) de dos números, estos se calculan así:

m= , M= m +D

En general, conociendo la suma y la diferencia de dos números, estos se calculan así:

Nº mayor ► M=

Nº menor ► m=

86


1. A una función de cine asistieron 540 personas. Si el número de niños

fue el doble que el de adultos y las entradas costaron $9 la de adultos y

$5 la de niños. ¿Cuál fue la recaudación total?

a. $ 3 500

b. $ 3 420

c. $ 3 450

d. $ 3 400

2. Hace 7 años, Pablo y Juan tenían juntos 28 años. Dentro de 5 años, Pablo tendrá 10

más que Juan. ¿Cuántos años tendrá Juan dentro de 8 años?

a. 24 años

b. 20 años

c. 19 años

d. 16 años

3. Un cuaderno, un CD y un libro me han costado $115. Si el precio del libro es el

cuádruple del precio del cuaderno y del CD juntos y el Cd costó $7 más que el

cuaderno. ¿Cuánto necesito para comprar 2 cuadernos y un CD?

a. 38

b. 36

c. 31

d. 30

4. Carlos viajará a su pueblo natal para la fiesta patronal. Si conduce a una velocidad

promedio de 100 km/h, calcula que llegaría a las 2 de la tarde, y si fuera a 150 km /h

llegaría a medio día. Si quiere llegar a la una de la tarde, ¿a qué velocidad debe ir?

a. 110 km/h

b. 115 km/h

c. 120 km/h

d. 125 km/h

5. Por una docena de lápices y 1 cuaderno pagué $ 34. Si el cuaderno me costó $14

menos que los lápices, ¿Cuántos dólares más le corresponde al mayor?

a. 24

b. 36

c. 33

d. 30

6. Dos hermanos han ahorrado $ 180. Si lo que corresponde

al mayor es el cuádruple de lo que le corresponde al menor,

¿Cuántos dólares más le corresponde al mayor?

a. 136

b. 144

c. 108

d. 100

Respuestas:

A B C D

1.

2.

3.

4.

5.

6.

87

Métodos de Resolución de Problemas


Métodos de Solución de problemas.

1. Alfonso recibió para su librería un lote de libros. La primera semana vendió la cuarta parte

el total: la segunda semana. 24 libros y la tercera, la mitad de lo que le quedaba. Si le

quedaron 18 libros, ¿Cuántos contenía el lote que recibió?

Solución:

Ordenamos los datos en el siguiente esquema:

: 4 -24 : 2

1ªsem 2ªsem 3ªsem

x 4 + 24 x 2

Como el último dato es el único que conocemos, resolveremos el problema del

final hacia adelante, realizando las operaciones inversas como indican las flechas.

[(18 * 2 + 24)]* 4 = [36 + 24] * 4 = 4 = 60 * 4 = 240

El lote contenía 240 libros.

Generalmente cuando resolvemos un problema vamos utilizando los datos en el orden en

que aparecen. Pero hay otros tipo de problemas que se resuelven mas fácilmente si

empezamos por el dato final y vamos aplicando a este dato las operaciones

correspondientes hasta llegar a utilizar los datos del principio.

Falsa Suposición y método del rombo

2. José ha ahorrado $ 127 en monedas de $5 y de $2. Si tiene 41 monedas en total, ¿Cuántas

de cada tipo tiene?

Solución:

Resolvemos el problema usando dos métodos.

*Haciendo una falsa suposición:

**Calculamos cuánto dinero tendría ahorrado si todas las monedas fueran de $5:

41 x 5= 205 dólares

*Sabemos que hemos cometido error al calcular ya que José solo tiene ahorrado $ 127.

Calculamos el error: 205 – 127 = 78 dólares.

*Este error se debe a que no todas las monedas son de $5 ya que algunas son de $ 2. En

este caso, el error cometido en cada moneda es de:

5 – 2 = 3

¿Lote

inicial?

Saldo

final:18

88

*Para calcular el número de monedas de $2, basta con hallar el siguiente cociente:

= = 26

* Luego las monedas de $5 son:

41 – 26 = 15

*Comprobamos los resultados:

15 (5) + 26 (2) = 75 + 52 = 127 Dólares

Ahora resolveremos por el método del rombo:

Graficamos un rombo y colocamos en los vértices los datos del enunciado como

se indica en el esquema Moneda mayor ($5) $5

x - x -

Total Monedas Total dinero 41 $127

Diferencia entre monedas (5 -2) $3

*Observa que en los vértices opuestos se colocan cantidades que responden a un mismo

concepto, en este caso monedas.

*Partimos siempre de un mismo punto (41) y operamos siguiendo el sentido de las flechas:

M. de $ 2 =

M= de $2 = = = = 26

Hay 26 monedas de $ 2 y (41 – 26)

89

Problemas Sobre Tuberías y Móviles


1. El tanque de una casa tiene 3900 litros de capacidad. Lo surten dos tuberías que vierten

uno 100 litros en 4 minutos y el otro 120 litros en 5 minutos. Si el consumo promedio es

de 45 litros en 4.5 minutos. ¿En cuántas horas se llena el tanque?

Solución:

En 1 minuto:

*Las tuberías vierten: 100: 4 = 25 lt. y 120 : 5 = 24l/min

*Se consume: 45 : 4,5 = 10 lt/min

quedan: 25 lt + 24 lt -10lt = 39 lt/min

El tanque se llena en:

* 3900 lt : 39 lt/min = 100 min

Lo que, en horas, equivale a:

100 : 60 = 1 h 40 min

El tanque se llena en 1 hora 40 minutos.

2. Entre las ciudades A y B hay una distancia de 840 km. Desde A sale un ómnibus a las 6 am

a 60km/h con destino a B. Desde B y destino a A sale un automóvil a las 10 a.m. a una

velocidad de 90 km/h. ¿A qué hora se encuentran y a qué distancia de A y de B?

840 Km

A B

6 am 60km/h 10 am 90 km/h

Solución:

*De 6 a 10am el ómnibus recorre 60 x 4 = 240 Km

*Le falta recorrer 840 – 240 = 600 Km

*Desde las 10 am viajan los dos uno al encuentro del otro, por lo tanto sumamos las

velocidades: 60 +90 = 150Km/h

*Se encuentran:

600 : 150 = 4 h pasadas las 10 am

*Es decir, a las 10+ 4= 14 horas o 2 pm

*En 4h, el automóvil recorre:

90 x 4 = 360 Km desde B

*El ómnibus recorre: 840 – 360= 480 km desde A

Se encuentran a las 2pm a 480Km de A y a 360 Km de B

90

3. Un tanque tiene una capacidad de 10 000litros. Dos tuberías lo llenan, uno en 8h

y otro en 6h y un desagüe lo vacía en 4horas. Estando abiertos los 3 y el tanque

vacío ¿En cuánto tiempo se llena?

Solución:

*En 1 hora las tuberías llenan 1/8 y 1/6 del tanque y el desagüe lo vacía ¼ de

su capacidad.

*Los tres juntos en 1 hora llenan:

=

Como en 1 hora el tanque se llena de su capacidad, entonces se llena

completamente en 24 h.

4. Entre las ciudades A y B hay una distancia de 980 km. Si a las 6 am sale de A un

camión a 50km/h y de B un automóvil a 90km/h, ¿A qué hora se encuentran si

ambos van de una ciudad a la otra?

Solución:

*Los dos en 1h avanzan 50 + 90 = 140Km

*Se encuentran en 980 : 140 = 7 horas

Luego, se encuentran a las 6 + 7 = 13 horas = 1 pm

91


1. Hace 7 años, Pablo y Juan tenían juntos 28 años. Dentro de 5 años,

Pablo tendrá 10 más que Juan. ¿Cuántos años tendrá Juan dentro de 8

años?

a. 24 años

b. 20 años

c. 19 años

d. 16 años

2. Dos amigos llevaron a cabo un negocio y ganaron 6 300 dólares. A Juan le corresponde

3/7 de la ganancia y el resto a Luis. ¿Cuántos dólares son los 3/5 de lo que le

corresponde a Luis?

a. 1 800

b. 2 700

c. 2 160

d. 3 600

3. Se tienen 400 botellas de ¾ de litro y 500 botellas de ½ litro. Si todas contienen aceite,

¿Cuántos litros de aceite hay en total?

a. 300

b. 250

c. 450

d. 550

4. La longitud de la pista atlética de un estadio mide 400m. Un velocista que desarrolla

8m/s le da una vuelta de ventaja a un aficionado que desarrolla 4m/s. ¿En cuánto

tiempo lo alcanza?

a. 2min

b. 1min 40 s

c. 1min 20 s

d. 1min

5. Tres números suman 85. Si el segundo equivale al doble del primero y el tercero es 11

unidades menor que la suma de los dos primeros; ¿Cuánto suman el primero más el

tercero?

a. 50

b. 51

c. 52

d. 53

Respuestas: A B C D

1. 2. 3. 4. 5.

92

Razón

Es el cociente entre dos números, digamos a y b, que se escribe {ab} y se lee “a es a b”.

Los términos de una razón son el antecedente (a) y el consecuente (b).

Serie de razones iguales

Es la igualdad de dos o más razones. La propiedad fundamental es:

Proporción

Dos razones iguales forman una proporción. La proporción {ab} = {dc}.

De tal manera que se lee <<a es a b como c es d>>

Los términos de una proporción se llaman:

Extremo Medio

Medio Extremo

*Cuando las proporciones tienen sus medios iguales se llaman proporciones continuas.

*Cuando sus cuatro términos son diferentes, se llaman proporciones discretas.

Propiedad fundamental de las proporciones

PROPORCIONALIDAD NUMÉRICA

93

Aplicaciones de la Proporcionalidad

Razón y Proporción


1. Isabel tiene 16 años y su padre 48 ¿Cuál es la razón entre la edad de Isabel y la de su

padre?

Solución:

*Relacionamos las edades y hallamos la razón a través de su cociente simplificado:

edad de Isabel 16

edad se su padre 48

2. La razón entre lo que tiene Nora y lo que tiene Tania es como 5 es a 2. Si Nora tiene 605

dólares, ¿Cuánto tiene Tania?

Solución:

*Llamamos x al dinero que tiene Tania y formamos la proporción:

*Hallamos x aplicando la propiedad fundamental de las proporciones:

605 ∙ 2 = x ∙ 5 x=

Tania tiene 242 dólares.

94

3. ¿Cuál es la razón diferente ?

Solución:

* Hallamos fracciones equivalentes a cada razón. Multiplicamos por 10 cada uno

de sus términos y luego, simplificamos:

*Observamos que es diferente a las demás.

4. El mayor de dos números es 144. Calcula el menor, si los dos números están en

relación de 24 es a 3.

Solución:

*Formamos la proporción:

*Aplicando la propiedad fundamental, hallamos x:

24 . x = 144 . 3 x= x = 18

5. En el colegio A hay 65 alumnas y 750 alumnos; en el colegio B hay 700 alumnas y

560 alumnos y en el colegio C hay 350 alumnas y 420 alumnos. ¿Cuál es la razón

entre el número de alumnas y de alumnos de cada colegio? ¿Hay proporción?

Solución:

*La razón entre el número de alumnas y el número de alumnos de cada colegio,

es el cociente entre dichos números:

A= B = C=

*El significado de estas razones es:

En el colegio A, por cada 5 mujeres hay 6 varones,

En el colegio B, por cada 5 mujeres hay 4 varones,

En el colegio C, por cada 5 mujeres hay 6 varones.

*Observamos que el número de alumnas y alumnos de los colegios A y C

tienen razones iguales; por lo tanto, forman una proporción:

*Comprobamos aplicando la propiedad fundamental de las proporciones: <<El

producto de los extremos es igual al producto de los medios>>

(625) (420) = (750) (350)

262 500 = 262 500

95


1. Halla la relación entre 18 : 30 y entre 2 : 0.5

a. 2/3 y 2

b. 3/5 y 4

c. 9/14 y 1

d. 4/5 y 3/2

2. El menor de dos hermanos tiene 12 años. Calcula la edad del mayor si

sus edades están en relación de 4 es a 7?

a. 22

b. 20

c. 24

d. 21

3. Halla la media proporcionalidad entre 81 y 121

a. 99

b. 90

c. 95

d. 101

4. Encuentra la cuarta proporcionalidad de 6; 9 y 10

a. 14

b. 16

c. 12

d. 15

5. La relación entre 70 y 28 es:

a. 6 a 2

b. 7 a 3

c. 5 a 2

d. 5 a 3

6. Halla la cuarta proporcional entre 4, 5 y 10

a. 12.5

b. 10

c. 15

d. 14

7. Halla el valor de x en 88/66 = 24/x

a. 20

b. 18

c. 16

d. 15

8. Si y a+ b +c = 85, halla b.

Respuestas:

A B C D

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

96

Regla de Tres Simple


Regla de tres Simple Directa

1. Una constructora con tres máquinas puede construir 110m2 de carretera al día. Si desea

aumentar 440m2 a la cantidad diaria de construcción, ¿Cuántas máquinas necesitará?

Solución:

*Colocamos los datos en una tabla:

m2 por máquina Nº de máquina

110 3

440 X

*A más m2 de construcción se necesitan más máquinas, por lo tanto: las magnitudes son

directamente proporcionales.

* Escribimos la proporción igualando las razones:

Se necesitarán 12 máquinas para construir 440 m2 de carretera al día.

Si las magnitudes son directamente proporcionales, el problema se resuelve con la regla de tres

simple directa.

2. Cuatro docenas de chocolates cuestan $ 72. ¿Cuánto cuestan 25 chocolates?

Solución:

*Cuatro docenas son: 4*12=48 chocolates.

*Las magnitudes son directamente proporcionales: a más chocolates, mayor costo.

*Formamos la proporción y resolvemos:

48 chocolates $72

25chocolates x

48x = 25 ∙ 72

x=

x= 37.50

97

Regla de tres Simple Inversa

1. 100 trabajadores ejecutan una obra en 16 meses. ¿En cuántos meses la realizarán 80

trabajadores?

Solución:

*Colocamos los datos en una tabla y analizamos:

Nº de trabajadores Nº de mese

100 16

80 X

*Menos trabajadores demorarán más tiempo en ejecutar la obra: las magnitudes son

inversamente proporcionales.

* Escribimos la proporción invirtiendo una las razones:

(

*80 trabajadores realizarán la obra en 20 meses.

Si las magnitudes son inversamente proporcionales, el problema se resuelve con la regla de tres

simple inversa.

2. Una pizarra tiene 9m de largo y 1.20m de ancho. ¿Cuánto se debe disminuir el largo para

que, sin variar la superficie, el ancho aumente a 1,50m?

Solución:

*Las magnitudes son inversamente proporcionales, porque sin alterar la superficie, a

mayor ancho, menor largo.

*Formamos la proporción y resolvemos:

1,20m de ancho 9m largo

1,50m de ancho x

*Formamos la proporción invirtiendo una de las razones y resolvemos:

=

x=

x= 7,20

98


1. Para pintar una pared de 85m2 se han usado 17 litros de pintura. Con

6 litros, ¿qué área de la pared se podrá pintar?

a. 20 m2

b. 35m2

c. 25m2

d. 30m2

2. Cuatro hombres siembran un terreno de 1 400m2 ¿cuántos hombres más se

necesitarán para sembrar otro terreno de 4 200m2?

a. 8

b. 12

c. 6

d. 10

3. Si por un lote de 35 cuadernos se paga $140, ¿Cuánto se paga por un lote de 15

cuadernos más?

a. $60

b. $100

c. $250

d. $200

4. Un edificio de 48 m proyecta una sombra de 20m ¿Qué altura tiene un árbol que, en el

mismo instante, proyecta una sombra de 15m?

a. 40m

b. 45m

c. 36m

d. 30m

5. Una máquina imprime 60 tarjetas en 2 minutos. ¿Cuántas tarjetas imprimirá en 44

segundos?

a. 28

b. 22

c. 24

d. 20

6. Si se ganan $15,50 en cada metro de tela, ¿Cuántos metros se han vendido si la

ganancia ha sido $ 496?

a. 30

b. 32

c. 36

d. 40

Respuestas:

A B C D

1.

2.

3.

4.

5.

6.

99

Porcentaje


1. Teresa tiene una cadena que pesa 68kg. El 75% de la cadena es oro puro. ¿Cuántos

gramos de oro tiene la cadena?

Solución:

*Por los datos del enunciado, 68g representan ell 100%

*Escribimos:

100% 68g

75% x

*Expresamos la proporción y resolvemos:

La cadena tiene 51g de oro puro.

2. Si una tienda en realización ofrece sus artículos con una rebaja del 22%, ¿Cuánto se

pagará por un artículo cuya etiqueta de precio marca 150 dólares?

Solución:

*Si descuentan el 22% significa que se paga:

100% - 22% = 78% del precio del artículo

*Escribimos:

150dólares 68g

x 78%

*Expresamos la proporción y hallamos x:

3. Un padre propone 20 problemas de Matemática a su hijo de Primero de Secundaria y

este resuelve 15. ¿Qué porcentaje de problemas le falta resolver?

Solución:

*Le faltan resolver 20-15 = 5 Problemas.

*Expresamos y Resolvemos:

20 problemas 100%

5 problemas x

100

Le falta resolver 25% de los problemas.

4. ¿Qué fracciones representan el 85% y el 75%?

Solución:

Representamos los porcentajes como fracciones decimales, simplificamos y obtenemos:

y =

5. ¿Qué porcentaje representa la fracción ?

La unidad representa el 100%

Expresamos y resolvemos:

1 100% = 60%

x

La fracción representa el 60%

101


1. Una rueda da 5 400 vueltas en 90 minutos. ¿Cuántas vueltas dará en 2

horas 45 minutos?

a. 8 820

b. 9 900

c. 9000

d. 10 000

2. Un hombre compra 1 104 televisores con la condición de recibir 13 unidades por cada

docena que compre. ¿Cuántos televisores debe recibir?

a. 1 196

b. 1 100

c. 1 136

d. 1 090

3. ¿De qué cantidad es 120 el 5 ?

a. 700

b. 750

c. 720

d. 710

4. ¿Qué porcentaje de 60 es 27?

a. 45 %

b. 40%

c. 25%

d. 18%

5. Calcula el porcentaje que representa 36 de 40

a. 80%

b. 75%

c. 95%

d. 90%

6. El 45% representa la fracción:

a. 7/20

b. 9/20

c. 2/5

d. 3/10

7. ¿Qué porcentaje representa la fracción 1/4?

a. 30%

b. 20%

c. 25%

d. 35%

Respuestas:

A B C D

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

102

Igualdad

Observa las siguientes frases y sus representaciones mediante símbolos:

Frases Expresión Simbólica

Cinco es igual a siete menos dos 5 = 7 - 2

La suma de un número con su doble es igual a su triple

X + 2 * x = 3 * x

Un número aumentado en dos es igual a 9 X + 2 = 9

En estas expresiones aparee el signo igual y se llaman igualdades.

1 5 = 7 – 2 2 X + 2 ∙ x = 3 ∙ x 3 X + 2 = 9

En toda igualdad hay que distinguir el primer miembro (lo escrito antes de signo igual) y el

segundo miembro (lo escrito después del signo igual).

La igualdad 1 es numérica, y las igualdades 2 y 3 son igualdades entre expresiones algebraicas

y se llaman igualdades literales.

Identidad

Son igualdades que como X + 2 ∙ x = 3 ∙ x son ciertas para cualquier valor que se de a la

letra x.

Ecuación

Son igualdades que como x + 2 = 9 son ciertas solo para algunos valores de las letras.

La letra o letras desconocidas de una ecuación, en este caso x, se llaman incógnitas o

variables.

Solución de una ecuación

Hablar de ecuaciones es hablar de varias posibilidades y diferentes métodos para

resolverlas sin embargo debemos tomar en cuenta las siguientes pautas:

Ecuaciones

103

Las ecuaciones que tienen las mismas soluciones se llaman equivalentes.

Si a los dos miembros de una ecuación de les suma o resta un mismo número o se les

multiplica o divide por un mismo número distinto de cero, resulta otra ecuación

equivalente. Por esta propiedad simplificamos así:

Un término que está sumando en un miembro, pasa restando al otro miembro.

Un factor que multiplica a todo un miembro, pasa dividiendo a todo el otro miembro.

Solo se pueden sumar o restar los términos que son semejantes.

Resolución de Problemas con Ecuaciones (Primera parte)


Problemas de edades

1. La edad de un padre dentro de 7 años será el triple de la de su hijo. Si actualmente es el

cuádruplo, halla las edades actuales.

Solución:

Sea x la edad actual del hijo, expresamos

Actual Dentro de 7 años

Padre 4x 4x + 7

Hijo x X + 7

Según el enunciado, planteamos la ecuación y hallamos la edad actual del hijo

(x):

4x + 7 = 3 (x+7) 4x +7 = 3x + 21

x= 14 años

Luego la edad del padre:

4x = 4 (14)

=56

Las edades actuales son 56 y 14 años.

104

Problemas de números:

1. Sabiendo que la suma de dos números enteros pares consecutivos es 222, ¿Cuáles son

estos números?

Solución:

Expresamos los números pares y consecutivos:

x Número par menor

x + 2 Número par mayor

Como la suma de los números es igual a 222, planteamos y resolvemos la

ecuación:

x + x + 2 = 222

2x = 220 x =

x= 110

Los números pares consecutivos son 110 y 112

2. Si la suma de 2 números enteros consecutivos es 537, ¿Cuál es el número mayor?

Solución:

Si los números son consecutivos, se diferencian en 1:

x número menor y x +1 número mayor

Como nos dicen que la suma de los números es 537, planteamos la ecuación, la

resolvemos y hallamos los números:

x + x + 1 = 537

2x = 536 x= = 268

El número mayor es 269.

3. Tres hermanos se reparten $ 339. Si lo que le toca a cada uno es como tres números

enteros impares consecutivos, ¿Cuánto le toca al hermano intermedio?

Solución:

Como los números enteros impares consecutivos se diferencian en 2 unidades.

Representamos:

x número menor

x + 2 número intermedio

x + 4 número mayor

Planteamos la ecuación y resolvemos:

x +2 + x +4 = 339

3x + 6 = 339 3x = 333 x= x = 111

Al hermano intermedio le toca:

x+ 2 = 111 + 2 = 113

Al hermano intermedio le toca $ 113

105


1. La suma de dos números enteros pares consecutivos es 270. Hallar el

menor.

a. 132

b. 130

c. 136

d. 134

2. El doble de la suma de dos números es 148 y la quinta parte de su diferencia 4.

Encuentra el número mayor.

a. 40

b. 45

c. 47

d. 50

3. Si repartes 95 dólares en dos partes de modo que el triple de la parte menor exceda en

49 a la parte mayor, ¿cuál es la diferencia entre ellas?

a. 23

b. 25

c. 20

d. 24

4. La diferencia de las edades de Ricardo y Manuel es 11 años. Si ambas edades suman 25

años, ¿Cuántos tenía Ricardo hace 5 años sabiendo que es menor que Manuel?

a. 3

b. 2

c. 4

d. 1

5. Una madre de 35 años de edad tiene dos hijos cuyas edades son 6 y 10 años. ¿Dentro

de cuántos años la edad de la madre será la suma de las edades de sus hijos?

a. 15

b. 17

c. 19

d. 20

6. La suma de las edades de Eduardo y Jorge es 23 años y el producto es 120. ¿Cuántos

años tiene cada uno?

a. 13 y 10

b. 15 y 8

c. 14 y 9

d. 12 y 11

Respuestas: A B C D

1. 2. 3. 4. 5. 6.

106

Resolución de Problemas con Ecuaciones (Segunda parte)


Problemas de geometría:

1. Para construir una figura en origami, necesitaos un rectángulo cuyo largo exceda al

ancho en 6cm. Si cada medida se aumenta en 56cm2, ¿Cuáles son las medidas

rectangulares?

Solución:

Expresamos las medidas del rectángulo:

ancho x ; largo x+6 ; área x (x+6)

Expresamos cada medida aumentada en 2cm:

ancho x+2 ; largo x+8 ; área (x+2) (x+8)

Con estas medidas, el área aumentada 56 cm2

(x+2) (x+8) = x (x+6) + 56 (propiedad distributiva)

X2 + 8x + 2x +16 = X2 + 6x +56

4x = 40

x =

x= 10

Las medidas del rectángulo son 10 y 16 cm

Problemas de Fracciones

2. El numerador de una fracción excede al denominador en 2. Si el denominador se

aumenta en 7, el valor de la fracción es 1/2 . Encuentra la fracción.

Solución:

Expresamos:

Numerador x + 2; fracción

Denominador x

Interpretando el enunciado del problema, planteamos la ecuación, resolvemos y

hallamos el denominador:

= 2 (x+2) = x + 7

2x + 4 = x+7

2x – x= 7-4 x = 3

Hallamos el numerador: x+ 2 = 3 +2 = 5

=

107

3. El denominador de una fracción excede al numerador en 2. Si ambos términos de la

fracción se aumentan en 1, el valor de la fracción es de 2/3. Halla la fracción.

Solución:

Expresamos:

Numerador x ; fracción

Denominador x + 2

Planteamos la ecuación y hallamos el numerador:

= 3 (x+1) = 2(x + 3)

3x + 3 = 2x +6

x= 3

Ahora hallamos el denominador es x+ 2 = 3 + 2 = 5

La fracción es

4. ¿Cuál es el número que al restarle sus ¾ y sumarle 10 a la diferencia se obtiene 15?.

Solución:

Representamos el número x y los ¾ del número

Planteamos la ecuación y resolvemos:

x - + 10= 15 4x – 3x +40 = 60

4x – 3x = 60 -40

x= 20

5. Pedro tiene los 2/3 de lo que tiene Juan. Si este recibe 20 dólares, entonces tendrá el

doble de lo que tiene Pedro. ¿Cuánto tiene Pedro?

Solución:

Juan tiene x y Pedro tiene

Planteamos la ecuación y hallamos que tiene Juan:

x+ 20 = 2 ( ) x+20 =

3x + 60 = 4x

x = 60

108


1. De un depósito lleno de líquido se saca la mitad del contenido, después la tercera

parte del resto y quedan aún 1 600 litros. ¿Cuántos litros tenía el depósito

cuando estaba lleno?

a. 3 600

b. 4 000

c. 4 800

d. 3 500

2. Hace 8 años la edad de Sonia fue el cuádruple de la edad de Elena y dentro de 12 años

será el doble. La edad actual de Elena es:

a. 18 años

b. 20 años

c. 16 años

d. 21 años

3. Cuando transcurran 10 años, tendré el triple de la edad que tenía hace 6 años.

¿Cuántos años tengo?

a. 10

b. 14

c. 12

d. 16

4. Un padre reparte entre sus dos hijos 48 dólares y al mayor le da 12 dólares más que al

menor. ¿Cuánto recibe el mayor?

a. $28

b. $32

c. $30

d. $18

5. Se ha comprado papa a razón de 1.75 dólares el kilogramo. Los 2/3 de los ¾ de la

cantidad que se ha pagado multiplicada por los 9/4 de los 2/5 de la misma cantidad

dan 2 205. ¿Cuántos kilogramos de papa se compraron?

a. 30

b. 40

c. 50

d. 60

Respuestas:

A B C D

1.

2.

3.

4.

5.

109

Figuras de un solo trazo. Figuras eulerianas

Para reconocer figuras que se pueden realizar con un solo trazo, hay que contar los

puntos de intersección de rectas pares e impares. Solo se podrán dibujar de un solo

trazo las que tengan puntos pares o dos puntos impares.

Puntos pares

Puntos impares

Ángulos y triángulos

Los ángulos pueden se agudos (<90⁰), obtusos (>90⁰) o rectos (90⁰).

Dos ángulos pueden ser complementarios (suman 90⁰), suplementarios (suman 180⁰),

consecutivos, adyacentes y opuestos por el vértice.

Los pares de ángulos formados por dos rectas paralelas cortadas por una secante pueden ser:

Congruentes: Alternos internos, alternos externos, correspondientes.

Suplementarios: Conjugados internos y conjugados externos.

Los triángulos pueden ser:

Según sus ángulos: acutángulos, rectángulos, u obtusángulos.

Según sus lados: equiláteros, isósceles o escalenos

En todo triángulo se cumple que:

La suma de sus tres ángulos internos suman 180⁰

La suma de sus tres ángulos externos suman 360⁰

Figuras y cuerpos geométricos

Perímetros y áreas de figuras planas: cuadrado, rectángulo, triángulo, romboide, rombo y

trapecio.

Áreas y Volúmenes de poliedros: prismas y pirámides. Y de cuerpos redondos: cilindro, cono y

esfera.

Geometría

110

Trazos, Cortes y Conteo de Figuras


Figuras de un solo trazo:

1. ¿Cuáles de las figuras se pueden dibujar de un solo trazo?

Solución:

111

Cortes y Conteo de Figuras

2. Un pescador tiene una soga de 24 metros y la quiere dividir en 4 pedazos iguales. ¿Cuántos

cortes tiene que hacer? ¿Cuánto mide cada pedazo?

Solución:

Hacemos cortes hasta obtener los 4 pedazos:

Nº de cortes Nº de piezas Cada Pieza mide:

1 2 12m

2 3 8m

3 4 6m

Debemos hacer 3 cortes y cada pedazo mide 6m.

3. ¿Cuántos segmentos hay?

a b c d

/…………………./………………../………………/………………../

Solución:

Existen 4 segmentos a simple vista a, b, c, d,

Pero también el segmento ab, bc, cd, ac, abc, bcd, abcd

En total 10 segmentos

4. En la figura, ¿Cuántos triángulos hay?

Solución:

Realizamos un conteo visual y hay 4 triángulos pequeños y uno grande que hacen un

total de 5 triángulos.

112


1. Un tronco de árbol es seccionado en pedazos de 13cm de largo cada

uno. si se efectúan 22 cortes.

¿Cuál era la longitud inicial del tronco?

a. 299cm

b. 286cm

c. 273cm

d. 312cm

2. Se tiene un terreno de forma cuadrada de 77 m de lado. Si deseamos cercarlo con

estacas colocadas a 7m.

¿Cuántas estacas necesitamos?

a. 48

b. 46

c. 42

d. 44

3. En la portería de un colegio se estacionan en paralelo cierto número de bicicletas

separadas 40cm una de otra. Si la distancia de la primera a la última es 9,60m, calcula

el número de bicicletas.

a. 26

b. 25

c. 24

d. 23

4. ¿Cuántos triángulos hay en la figura?

a. 27

b. 29

c. 31

d. 33

113

5. ¿Cuántos hexágonos hay en la figura?

a. 12

b. 10

c. 8

d. 9

6. Halle el total de cuadriláteros en:

a. 32

b. 31

c. 30

d. 28

114

7. ¿De cuántas maneras diferentes se puede recorrer la figura sin repetir el mismo

trazo partiendo de M en la dirección que indica la flecha?

M

a. 7

b. 6

c. 5

d. 4

8. ¿Cuántos segmentos hay en total?

₀ ₀ ₀ ₀ ₀ ₀ ₀

1 2 3 ...……………………………… 9 10

a. 110

b. 100

c. 55

d. 60

Respuestas: A B C D

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

115

Conjunto

Grupo de elementos que tienen por lo menos una característica común.

Determinar un Conjunto:

Por comprensión: A= {x/x N, x 4}

Por extensión: A = {0; 1; 2; 3; 4}

Cardinal

De un conjunto es el número de elementos. Ejemplo: n(A) = 5. En un conjunto unitario su

cardinal es 1 y en un conjunto vacío su cardinal es 0.

Conjunto Potencia

Son todos sus subconjuntos posibles. Ejemplo: n[P(A)]= 25 = 32

Operaciones con Conjuntos

Nombre Simbología

Unión A U B = {x/x A o x B}

Intersección A ∩ B= {x/x ∈ A y x ∈ B}

Diferencia A – B={x/x ∈ A y x ∄ B}

Diferencia Simétrica A∆B = {x/x ∈(A U B) y x ∄( A ∩ B) }

Complemento CA o A´ = {x/x ∈ U y x ∄ A}

Conjuntos y Situaciones Lógicas

Para resolver los

problemas

116

Utilizamos las operaciones con conjuntos, las que mencionamos a continuación.

Unión

A U B

A U B = {x/x A o x B}

Intersección:

∩ A ∩ B A ∩ B = Ǿ

A ∩ B= {x/x ∈ A y x ∈ B}

Diferencia:

A – B A – B

A – B= {x/x ∈ A y x ∄ B}

Diferencia Simétrica: Complemento de un Conjunto

A B

117

A∆B = {x/x ∈(A U B) y x ∄( A ∩ B) } CA o A´ = {x/x ∈ U y x ∄ A}

Operaciones con conjuntos y Situaciones Lógicas

1. ¿Qué operaciones representa la parte sombreada?

I.(A-B) U (B-A)

II.A’ U B’

III.(A U B) – (A ∩ B)

Solución:

En I, la parte sombreada de la izquierda es (A-B), la parte sombreada de la derecha es (B-

A), luego su unión es (A-B) U (A-B). Sí representa.

*En II, A’ – B’ = (A-B)’ el complemento de la intersección no es la sección sombreada. No

representa.

*En III, si a la unión de Ay B le quitamos su intersección nos queda la región sombreada. Sí

representa.

2. En un congreso sobre educación participaron 90 personas entre escolares, universitarios y

profesionales: 8 varones son escolares, 23 varones no son universitarios, 27 varones no

son escolares y 10 damas son profesionales. ¿Cuántas damas son escolares o

universitarias?

Solución:

*Elaboramos un cuadro y completamos datos:

Participantes Damas Varones

Escolares x

8

Universitarios A

profesionales 10 b

23= 8+b

27= a+b

b= 15 y a= 12

*Luego,

90= 8 +27 +10 + x

90-45 = x

x= 45

118


1. Una muestra de 98 adolescentes indica que el número de varones que

usa lentes es al número de mujeres que no usa lentes como 2 es a 5 y

el número de varones que no usa lentes es al número de mujeres que

usa lentes como 7 es a 3. ¿Cuántos adolescentes usan lentes?

a. 30

b. 29

c. 28

d. 32

2. A un espectáculo asisten 820 personas, 546 personas son mayores de edad, 435 son

varones, 176 varones son mayores de edad. ¿Cuántas damas menores de edad

asistieron al espectáculo?

a. 15

b. 17

c. 20

d. 23

3. En el reciente proceso de admisión a una universidad han participado 9 846

postulantes, de los cuales 8 616 no participaron del sistema de ingreso primera opción.

Si habían 4 783 varones y el número de mujeres que se presentaron a primera opción

es el doble del número de varones que se presentaron a primera opción. ¿cuántas

mujeres no postularon a primera opción?

a. 3 243

b. 100

c. 44

d. 36

4. Una agencia de viajes registró la siguiente información en la temporada de fiestas

patrias: 80 varones viajan al extranjero, 74 mujeres viajan al interior del país, 56

casados viajan al extranjero, 90 solteros viajan al interior del país, 84 mujeres son

casadas. ¿Cuántos varones solteros viajan al extranjero?

a. 88

b. 100

c. 44

d. 36

5. Andrea, Fiorella y Ximena radican en tres países distintos: Ecuador, Costa Rica y

España. Ellas estudian: medicina, administración y arte. Si se sabe que:

Andrea no radica en Costa Rica

Fiorella no radica en España

La que radica en Costa Rica no estudia administración.

Fiorella no estudia medicina

La estudiante de arte radica en España

119

¿Dónde radica Ximena y qué estudia?

a. Ecuador-Medicina

b. ºEspaña-Administración

c. Costa Rica-Administración

d. Costa Rica-Medicina

6. Se matriculan 180 personas en un curso de postgrado. El 45% de las personas son

damas, 40 son damas solteras y representan el 40% de todas las personas solteras. El

40% de las personas no solteras son casadas, de las cuales la cuarta parte son varones.

¿Cuántas damas no son solteras ni casadas?

a. 21

b. 19

c. 17

d. 15

7. Una empresa solicita ingenieros y se presentan 92 postulantes de los cuales:

30 son ingenieros de la USFQ y tienen más de 5 años de experiencia laboral.

9son ingenieros USFQ, no son colegiados y tienen menos de 6 años de

experiencia laboral.

26 son colegiados pero no son ingenieros USFQ

16 no son ingenieros USFQ, no son colegiados y tienen menos de 6 años de


4 son ingenieros USFQ, son colegiados y tienen menos de 6 años de


¿Cuántos ingenieros tienen experiencia laboral mayor a 5 años, no son

colegiados, ni han estudiado en la USFQ?

a. 16

b. 7

c. 13

d. 5

8. En un ejercicio de Combate participaron 192 efectivos de las fuerzas combinadas de la

aviación y la marina entre personal de tropa, personal técnico y oficiales. Además se

informó que:

El personal de aviación constituye los 3/13 del personal de la marina.

40 efectivos son personal técnico

En la aviación, el número de oficiales es al número del personal de tropa como

1 es a 2 y el número de no técnicos es 24.

¿Cuántos marinos no eran técnicos?

a. 40

b. 128

c. 116

d. 156

Respuestas: A B C D

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

120

Números Racionales (Q)

Son los que poseen un desarrollo decimal definido. Ejemplos:

Decimal Exacto = 1.5

Decimal periódico puro = 0.4545…

Decimal periódico mixto = 2.166666…

Números Irracionales (I)

Son los que no se pueden expresar como cociente o razón de dos números enteros. Poseen

infinitas cifras decimales no periódicas. Ejemplos:

El número pi: π= 3.141592654

Las raíces de algunos números √2; 3√4; ∜6…

Números Reales (R)

La unión del conjunto Q y el conjunto I es el conjunto R de los números reales. El conjunto R

puede representarse por una recta real, donde a cada punto de esa recta le corresponde un

número real y a cada número real le corresponde un único punto sobre la recta real.

R= Q U I

NÚMEROS REALES

Q I

Z

N

121

Sucesiones Numéricas y Alfanuméricas


1. María y Óscar están formando un cuadrado mágico de 3 * 3 casilleros con los números: 5; 10; 15;

20; 25; 30; 35; 40; 45. ¿Cuánto le sale a María la suma horizontal y cuánto a Óscar la suma

diagonal?

Solución:

Los nueve números los distribuimos así:

20 45 10

15 25 35

40 5 30

Los números 5 y 45 los introducimos en los casilleros opuestos; lo mismo hacemos con 35 y 15.

La suma horizontal es: 20+45+10=75; 15+25+35 = 75 40+5+30 = 77

La suma diagonal es: 20+25+30 = 75; 40+25+10 = 75

A María y a Óscar les sale 75 la suma horizontal y diagonal.

2. Calcula el valor de (b – 2a), sabiendo que a y b son elementos de la sucesión -16; -13; -8; -1; a; b.

Solución:

Analizamos y observamos que la ley de formación está dada por otra sucesión que

debemos completar:

-16 -13 -8 -1 a b

+3 +5 +7 +x +y

+2 +2 +2 +2

Aplicamos la ley de formación y hallamos los valores desconocidos:

x=7 + 2 = 9 y= 9 + 2 = 11

Ahora hallamos a y b:

a= -1 + 9 = 8 b= 8+ 11 = 19

Calculamos b- 2a = 19 – 2(8) = 3

Las distribuciones son ordenamientos numéricos dispuestos, generalmente en filas y

columnas. Las filas, columnas o diagonales en una distribución se encuentran

relacionadas mediante alguna operación. Los cuadrados mágicos son ordenamientos

de números donde la horizontal, vertical y diagonal tienen la misma suma.

122

3. ¿Qué número continua en 0.03, 0.04; 0.06; 0.12; 0.19; 0.3; 0.42; 0.58; …?

Solución:

Buscamos la ley de formación comparando los términos, restantes el 2º menos el 1º.

el 3º menos el 2º … So la regla de formación no está clara, volvemos a comparar la

nueva sucesión que se ha formado:

0.03 0.004 0.06 0.12 0.19 0.3 0.42 0.58 x

+0.001 +0.002 +0.06 +0.07 +0.11 +0.12 +0.16 +y

+0.01 +0.04 +0.01 +0.04 +0.01 +0.04 0.01

Hallamos los valores de x e y: y= 0.16 + 0.01 = 0.17 x= 0.58 + 0.17 = 0.75

4. ¿Qué números continúan en 3; 2 ; 4; 9; 4 ; 9 ; 8;…;...?.

Solución:

Buscamos la ley de formación y observamos que hay dos sucesiones alternadas:

3 2 4 9 4 9 8 x y

x x x x

Luego el valor de x es: x= 9 x = 27

El valor de y es:

y = 8

Los números que continúan son 27 y 8

123


1. Encuentra los números que faltan

2 9 ? 27 50

3 10 9 50 ?

a. 50 ; 81

b. 10 ; 81

c. 10 ; 27

d. 50; 27

2. Calcula A = en -10; -12; -16; -22; b.

a. 6

b. 36

c. -36

d. -6

1. ¿Cuál es el valor de m en la siguiente sucesión? 1; 3; -4; 15; 16; 75; -64; 375; m.

a. 300

b. 439

c. 256

d. 320

2. ¿Qué letra continúa en C; D; F; I; M…?

a. Ñ

b. O

c. P

d. Q

3. Si x4y3; x3y; x2y-1; xy-3; xa yb Calcula a+b

a. -4

b. -5

c. -9

d. 9

4. Completa con la letra y el número que faltan.

11 E 3 ? -5

A 7 i ? P

a. N; -1 b. M; -1 c. M; 1 d. L; 1

Respuestas:

A B C D

1.

2.

3.

4.

5.

6.

124

Razón

Es el resultado de comparar dos magnitudes cualesquiera mediante el cociente.

Si a y b son magnitudes, la razón entre ellas se escribe

a : b o y se lee “a es a b”

= k,k ∈ Q, k es el valor de la razón.

Proporción

En una proporción = ; o bien a : b = c : d.

Los términos extremos son a y d y los términos medios son b y c.

Propiedad fundamental de las proporciones:

= ↔ a· d = b · c

Serie de razones

Es la igualdad de 3 o más razones

Propiedad: = = =

Repartos Proporcionales

Podemos repartir una cantidad en ciertas partes proporcionales a números dados ( x, y , z…)

llamados factores de proporcionalidad.

Un reparto puede ser directamente proporcional cuando las partes son directamente

proporcional cuando las partes son directamente proporcionales a los números dados (a

mayor número proporcional, mayor parte y a menor número proporcional, menor parte). O

inversamente proporcional cuando las partes son inversamente proporcionales a los números

dados (el que tiene el menor número proporcional recibe la mayor parte y viceversa).

Interés

Es la ganancia que se obtiene al depositar o prestar una cantidad llamada capital, por un

tiempo determinado, a una tasa o porcentaje fijado. Para su cálculo se utiliza el año comercial

de 360 días y el mes comercial de 30 días.

PROPORCIONALIDAD NUMÉRICA

125

Repartos Proporcionales


1. Luisa, Rita, María organizan un paseo al campo. Deciden compartir los gastos según el número

de miembros de cada familia. En la familia de Rita hay un miembro menos que en la de Luisa,

pero su número es igual a la mitad del de la familia de María. ¿Cuánto debe pagar cada familia

si gastaron $416.50 en total y la familia de Luisa tiene 5 miembros?

Debemos repartir $416.50 en tres partes (a,b y c) directamente proporcionales al

número de miembros que integra cada familia.

Hallamos el número de miembros de cada familia:

La de Luisa (a) tiene 5 integrantes.

La de Rita (b), uno menos que la de Luisa tiene 4.

La María (c), el doble que la de Rita, tiene 8.

Formamos la proporción y hallamos el valor de la razón.

= = = = = 24.50

Halla los valores de a, b y c:

= 24.50 a= 24.50 · 5 = 122.5

= 24.50 b=24.50 · 4 = 98

= 24.50 c=24.50 · 8 = 196

Las familias de Luisa, Rita y María pagarán 122.5; 98; 196 dólares respectivamente.

Un reparto es directamente proporcional cuando a mayor número, mayor parte y a menor número,

menor parte. Y, un reparto es inversamente proporcional, cuando el que tiene el menor número

proporcional recibe la mayor parte y viceversa.

2. La cuenta de tres carpinteros, por hacer reparaciones en el mobiliario de un salón, asciende a 4

180 dólares. Sí un carpintero trabajó 18 días, otro 15 días y el tercero 11 días, ¿Cuánto le

corresponde al que trabajó 15 días?

Solución:

*debemos repartir $ 4 180 en tres partes (a,b,c) directamente proporcionales a 18; 15 y 11.

*Formamos la proporción:

= = = = = 95

Hallamos la cantidad proporcional a 15 días:

= 95 b= 1 425

126


1. Manuel y Paula ganaron en un negocio $5 200, pero como ambos no

trabajaron lo mismo, se lo reparten en razón de 2 es a 3. ¿Qué cantidad

de dinero le corresponde a Manuel?

a. $ 1200

b. $1500

c. $1000

d. $2080

2. Se reparten 4 200 dólares entre 3 niños en partes inversamente proporcionales a sus

edades. Si éstas son 3; 5 y 6 años, ¿Cuánto le corresponde al menor?

a. $1 200

b. $ 1500

c. $ 1 000

d. $ 2 000

3. tres amigos se van a repartir un premio de 378 000 dólares que ganaron en una lotería.

Uno de ellos aportó $ 3.50 para la compra del boleto, el segundo $2.50 y el tercero $

4.50 ¿Cuánto recibe el que aportó 3.5 dólares?

a. $ 126 000

b. $ 36 000

c. $ 162 000

d. $ 90 000

4. Tres programadores han cobrado por hacer un programa $ 2 040. Uno de ellos trabajó

15 días, el otro 12 y el tercero 7 días. ¿Qué cantidad le corresponde al que trabajó 12

días?

a. $ 720

b. $900

c. $780

d. $960

5. Una empresa entregó 1 200; 800 y 300 dólares a tres madres trabajadoras con hijos

únicos. Se les indicó que el reparto fue en forma inversamente proporcional a las

edades de sus hijos. Si el hijo de la que recibió más tiene 2 años y el de la que recibió

menos tiene 8 años, ¿Cuántos años tiene el hijo de la que recibió 800 dólares?

a. 1

b. 3

c. 4

d. 5

Respuestas:

A B C D

1.

2.

3.

4.

5.

127

Reglas de tres Simple y Compuesta


1. Regla de tres simple directa

Un ómnibus recorre 84km en una hora. ¿Cuántos kilómetros recorrerá en 3 horas si mantiene

su velocidad constante?

Solución:

*Analizamos y observamos que se trata de dos magnitudes directamente proporcionales: “en

más tiempo recorrerá más kilómetros”.

*Ordenamos los datos del problema, planteamos y resolvemos como una proporción directa:

84Km 1hora

x km 3

= 84· = x · 1

x = 273

El ómnibus recorrerá 273Km en 3 ¼ horas.

La regla de tres simple directa permite resolver problemas en los que intervienen dos magnitudes

directamente proporcionales.

2. Regla de tres simple inversa

Un auto de carrera recorre un tramo del circuito a una velocidad constante de 135 Km/h en 42

minutos. Si disminuye su velocidad a 105 km/h, ¿Cuánto tardará en recorrer el mismo tramo?

Solución:

*Observamos que se trata de dos magnitudes inversamente proporcionales; “a menor

velocidad tardará más”.

*Ordenamos los datos del problema, formamos la proporción invirtiendo una de las razones y

resolvemos:

135km 42min

105Km/h x minutos

= x= = 54

El auto tardará 54 minutos.

La regla de tres simple inversa permite resolver problemas en los que intervienen dos

magnitudes inversamente proporcionales.

128

3. Regla de tres compuesta

Por transportar 240 bolsas de cemento una distancia de 100km se paga $ 680.

¿Cuánto costará transportar 180 bolsas de cemento una distancia de 345?

Solución:

*Observamos que intervienen tres magnitudes, por lo tanto, se trata de una regla de tres

compuesta.

*Analizamos qué tipo de magnitudes son entre sí y elegimos como referencia la de mayor

influencia en las demás, es decir, aquella que si aumenta o disminuye causa efecto en las otras.

En este problema es el precio:

*A más bolsas que transportar, se pagará más:

Magnitudes directamente proporcionales (DP).

*A mayor distancia el precio también será mayor: magnitudes directamente proporcionales

(DP)

Precio Nº de bolsas Distancia

$680 240 100km

x 180 345km

*Resolvemos

680 · 180 · 345 = x · 240 · 100

x=

Costará $ 1 759.59

La regla simple de tres es una aplicación de la proporcionalidad. La regla de tres compuesta

permite resolver problemas en los que intervienen tres o más magnitudes directa o

inversamente proporcionales.

129


1. Cinco técnicos ensamblan en 8 días 145 computadoras. ¿Cuántas

computadoras pueden ensamblar 16 técnicos en 15 días?

a. 770

b. 810

c. 870

d. 290

2. En 18 días, 20 trabajadores aran un terreno de 60 hectáreas ¿Cuántos tractores iguales

aran un terreno de 36 hectáreas en 12 días?

a. 18

b. 20

c. 15

d. 21

3. diez focos originan un gasto de $60 al mes si se encienden 6 horas diarias. ¿Cuántos

focos se deben apagar para que el gasto sea de $40 si deben estar encendidos 5 horas

diarias?

a. 1

b. 3

c. 2

d. 5

4. Tres alumnos resuelven 300 problemas de dificultad media en cuatro días trabajando

cinco horas diarias. ¿Cuántos días tardarán en resolver los tres alumnos 90 problemas

similares trabajando 3 horas diarias?

a. 2

b. 4

c. 3

d. 1

5. Una empresa ensambla 10 500 autos en 7 meses trabajando dos turnos de 8 horas.

¿cuántos autos ensamblaran en 2 meses trabajando tres turnos de horas cada uno?

a. 4 500

b. 4 200

c. 4 600

d. 3 500

6. Si 25 obreros construyen una carretera en cuatro meses y medio

trabajando 8 horas diarias ¿Cuántos meses se hubieran

demorado 18 obreros en construir la misma carretera

trabajando 10 horas diarias?

Respuestas: A B C D

1. 2. 3. 4. 5. 6.

130

Porcentaje e Interés Simple


1. Porcentaje

El costo de fabricación de un artículo es de $ 400. El fabricante lo vende al Comerciante

ganando un 15% y éste al consumidor con una ganancia del 24% sobre su precio de compra.

¿Cuánto paga el consumidor por el artículo?

Solución:

*El precio de costo (Pc) del artículo ($400) representa el cien por ciento (100%).

*El fabricante lo vende ganando el 15%, es decir, lo vende a 100% + 15% = 115%

*El comerciante lo vende al consumidor ganando el 24% esto es a 124% de 115%

*Calculamos el 24% de 115% de $ 400:

· · 400 = 570.40

El consumidor paga $ 570.40 por dicho artículo.

Porcentaje es una aplicación de la proporcionalidad. Recuerda que para hallar los porcentajes

puedes utilizar su expresión en forma decimal o en forma fraccionaria según te convenga y así

realizar los cálculos más rápidos.

Porcentaje 100% 50% 25%

Forma Fraccionaria

= =

Forma decimal 1 0.5 0.25

2. Interés Simple

Alberto depositó en un banco $ 2 700 con una tasa de interés del 3.6% anual. ¿Cuál es el

interés generado durante 3 años y cuatro meses?

Solución:

*Observamos que podemos resolver el problema aplicando una regla de tres simple: a mayor

tiempo depositado el capital, éste generará mayor interés. Planteamos:

TIEMPO INTERÉS (I)

1año = 12meses 3.6% de $ 2 700

3años y 4 meses = 40meses x

12 · x = · 2 700

x=

x= 324

131

El interés generado es 324 dólares.

*Si en la ecuación anterior reemplazamos x por I (interés), 40 por t (tiempo) 3.6 por % (porcentaje

anual), $ 2 700 por C (capital); obtenemos la fórmula de Interés Simple:

x= I= (tiempo en meses)

Interés es la ganancia que se obtiene al depositar o prestar una cantidad llamada capital, por un tiempo

determinado, a una tasa o porcentaje fijado. En el interés simple el capital permanece constante.

Años Meses Días

I= I= I=

3. Se realizan dos descuentos sucesivos de 10 y 50%. Si los consideramos en un solo descuento, ¿a

qué porcentaje equivalen?

Solución:

*Como el primer descuento es del 10%, queda el 90%

*El segundo descuento se aplica al primer resto, es decir a 90%. El segundo descuento es 50%

(mitad) de 90%.

* 90 = 45%

*Los dos descuentos equivalen a:

10% +45% = 55%

132


1. A Rocío le prestan $ 32 400 al 20% anual. Si al final paga el interés a la

mitad de lo que se prestó, ¿En cuántos años devolvió el dinero?

a. 2.5

b. 4

c. 3

d. 5

2. ¿Qué monto recibe una persona al cabo de un año tres meses y 12 días de haber

depositado $850 al 4.8% semestral?

a. $850.9

b. $954.72

c. $104.72

d. $745.28

3. ¿Cuál es mi capital si los 2/7 de éste puesto al 4% producen un interés anual de $64?

a. 5 400

b. 4 800

c. 6 000

d. 5 600

4. ¿Qué porcentaje se gana por la venta de un artefacto que costó las 3/5 partes del

precio al que se vendió?

a. 66.67%

b. 60%

c. 33.3%

d. 40%

5. ¿Cuál es el capital que colocado al 21% anual produce un interés de $5 481 en 3 años?

a. $9 700

b. $8 700

c. $8 600

d. $9 200

6. ¿Cuál es el capital que colocando al 19% anual produce un interés de $475 en 2.5

años?

a. $720

b. $860

c. $960

d. $1000

Respuestas:

A B C D

1.

2.

3.

4.

5.

6.

133

Teoría de exponentes

Conjunto de propiedades que nos permiten realizar, en forma abreviada, cálculos con

potencias y raíces.

Observa algunas propiedades básicas:

am · an =a m+n m = am/n = = as

am : an = a m - n a = n r= np y s = mr

(am)n = a m · n = a-m = 1/am

Expresiones Algebraicas

Polinomios P(x). Son un conjunto de números y letras, ligados por los signos de las

operaciones aritméticas.

Grado de un polinomio. Es el grado del término del polinomio que posea mayor grado.

Grado de un monomio. Se obtiene sumando los exponentes de la parte literal.

Polinomio homogéneo. Se llama así al que tiene todos sus términos con igual grado.

Polinomio opuesto. [-P(x)]. Es el polinomio que resulta de cambiar todos los signos a un

polinomio.

Productos notables. Resultan de generalizar ciertos casos de multiplicaciones entre

polinomios.

Cuadrado de la suma o diferencia de un binomio:

(a ± b)2 = a2 ± 2ab +b2

ALGEBRA

134

Suma por diferencia:

(a ± b)3 = a3 ± 3 a2 b + 3ab2 ± b3

Producto de dos binomios con un término común.

(a + b) (a + c) = a2 + (b + c ) a+ bc

Cocientes notables.

Son divisiones de uso frecuente que al igual que los productos notables simplifican el trabajo

operativo.

Algunos de ellos son:

= a b

= ab +

Factorizar.

Es descomponer un producto en sus factores primos. Para factorizar una expresión algebraica

es necesario dominar productos y cocientes notables.

135

Expresiones Algebraicas

Ejercicios resueltos

1. Don José quiere cercar su terreno que tiene la forma de un heptágono:

Si tiene (12x + 28y) metros en listones de madera, ¿Con cuántas vueltas podrá cercar su

terreno?

Solución:

*Necesitamos conocer el perímetro (P) del terreno y para ello sumamos las longitudes de

sus lados:

P = (2x) + (3y –x) + (x) +(y) +(2y) + (y)

*Reducimos términos semejantes

P= 3x + 7y

*El perímetro del terreno es de (3x + 7y) metros.

*Para calcular para cuántas vueltas alcanza la madera dividimos los (12x + 28y) metros

entre el perímetro:

Nº de vueltas =

12x + 28y 3x + 7y

-12x - 28y 4

_ _

Podrá hacer un cerco de 4 vueltas.

2. Si P(x)= - 3 xp + 2 + 7xq – 2 – 8xr – 1 + x s + 2 es un polinomio completo y ordenado en forma

decreciente, halla el valor de

Solución:

*P(x) es un polinomio de cuatro términos:

P(x) = - 3 xp + 2 + 7xq – 2 – 8xr – 1 + x s + 2

*Como se trata de un polinomio completo y ordenado en forma decreciente, los

exponentes de la variable x deben ir de mayor a menor hasta cero. Por tener cuatro

términos los exponentes son 3; 2; 1 y 0.

T1 : p + 2 = 3 p= 1

T2: q – 2 = 2 q=4

T3: r – 1 = 1 r= 2

T4: s + 2 = 0 s=-2

*Calculamos reemplazando los valores obtenidos:

=

= -

136


1. Sabiendo que el grado relativo respecto a x es 7, halla el valor de

3n – 5, si P(x) = 7xn + 8x2n + 1 – 4xn+2 + 4xn -1

a. 3

b. 2

c. 5

d. 4

2. Reduce la expresión algebraica:

2ab + a2b – ab + ab – 3 a2b – ( )2

a. - a2b

b. a2b

c. - a2b

d. ab

3. Calcula el valor de M si:

M (4a – b) = 12 a2 +5ab -4a + b – 2b2

a. 3a +2b

b. 3a – 3 b+1

c. 2a – 3b +1

d. 2a – 2b – 1

4. Reduce la expresión y señala la respuesta correcta.

( + x) ( – 2x) + - ( - + x2 )

a. -2 – x2

b. + x2

c. -2

d. x2

Respuestas:

A B C D

1.

2.

3.

4.

137

Productos y Cocientes Notables. Factorización


1. Gustavo le dice a su hermana que en su clase nadie le gana en matemática. Ella le

responde: “Si eres tan bueno dime, ¿Cuál es el resultado de elevar al cuadrado la edad de

papá y restar le el cuadrado de la edad de mamá?

Además recuerda que él tiene 52 años y ella 48” ¿Cuál es la respuesta que debe dar

Gustavo?

Solución:

*Haciendo uso de una calculadora el problema se ve muy fácil y sin ésta se ve muy tedioso

pues tendríamos que multiplicar y luego restar. Pero si observamos con más atención lo

que Gustavo tiene que calcular es una diferencia de cuadrados:

522 - 482

*Recordamos que una diferencia de cuadrados es igual a:

a2 – b2 = ( a+ b) (a- b)

*Reemplazamos a y b por las edades del papá y la mamá, respectivamente, y resolvemos:

522 – 482 = (52 +48) (52 – 48)

= 100 x 4 = 400

La respuesta que debe dar Gustavo es 400.

Los productos notables son productos que resultan de generalizar ciertos casos de

multiplicaciones entre polinomios. La aplicación de estos productos simplifica el desarrollo

de las operaciones. Lo mismo ocurre con los cocientes notables.

Factorización

2. ¿Cuántas bolsas de cemento utilizará una compañía constructora para llenar las seis

columnas de un puente que está construyendo? Además de los datos que están en el plano

se debe considerar que por cada metro cúbico de concreto se necesitan tres bolsas de

cemento.

Solución:

*Calculamos el volumen de las columnas:

*Las tres primeras que son iguales:

1º V= (a)(a)(x+x+x) = a2 (3x) = a2 (a – b )

*La 4ª y 5ª columnas que son iguales:

2ºV= 2(a)(a - b)(b) = 2ab (a – b)

*La 6ª columna:

3ºV= (a - b)(b)(b) = b2 (a – b )

138

*Sumamos el volumen 1º, 2º y 3º y factorizamos:

a2 (a – b) +2ab (a –b) + b2 (a – b)

=(a2 + 2ab + b2 ) (a – b)

=(a + b) (a + b) (a – b)

*Calculamos el volumen total de concreto que será necesario, reemplazando los datos de la

leyenda:

(a + b) (a + b) (a – b)= (5)(5)(3.4) = 85 m3

Se necesitará 85 x 3 = 255 bolsas de cemento.

Factorizar un polinomio es expresarlo en forma de producto de dos o más factores primos. Esta

descomposición es necesaria para la simplificación de fracciones, para el cálculo del m.c.m y

m.c.d de polinomios para la reducción de fracciones a común denominador, etc.

3. Simplifica

[(a – 5)(a + 7 )+ (a – 5)(a- 7)(a + 5)]

Solución:

*Sacamos factor común (a – 5) y reducimos términos:

[(a – 5)(a + 7 )+ (a – 5)(a- 7)(a + 5)]

[(a – 5)(a + 7 + a- 7)(a + 5)]

=(a -5 )(2a)(a +5)

*Aplicamos suma por diferencia:

(a2 – b5) (2a) = (a2 - 25)2a

2a (a2 – 25)

139


1. Reduce (x - 1)2 + (x + 1)2

a. 2x + 2

b. 2x2 + 2

c. 2x2

d. 4x2 – 2

2. Calcula el cociente (x2 + 4x + 3) : (x + 3)

a. x + 1

b. x

c. x – 1

d. x + 4

3. Calcula el residuo de (a2 -2 a-8) : (a – 4)

a. a

b. 1

c. 2

d. 0

4. Calcula el cociente de

(6m2 + 13m + 6) : (2m + 3)

a. 3m

b. 2m+3

c. 3m+2

d. 3m+4

5. Si se suman dos números, se obtiene 164, y si se restan, se obtiene 36. Calcula la

diferencia entre la raíz cuadrada del número mayor y la del menor.

a. 1

b. 2

c. 3

d. 4

6. Simplifica

a.

b. x – 2

c. x – 3

d.

Respuestas:

A B C D

1.

2.

3.

4.

5.

6.

140

Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones con una variable


Ecuaciones

1. Antonio, Juan y Carmen son buzos. A Juan le faltaron 6 minutos para permanecer

sumergido el doble del tiempo que permaneció Carmen y Antonio permaneció 12 minutos

más que las dos terceras partes del tiempo que permaneció Carmen. Si la suma de los

tiempos que permanecieron bajo el agua es de 1 hora y 45 minutos, ¿Cuánto tiempo buceó

cada uno?

Solución:

*Identificamos el tiempo que permaneció sumergido cada uno:

Carmen x; Juan 2x-6; Antonio +12

*Planteamos la ecuación, sabiendo que el tiempo total que estuvieron sumergidos es 1h 45

minutos = 105 min.

x + 2x – 6 + +12 = 105

*Resolvemos. Eliminamos el denominador multiplicando ambos miembros de la ecuación

por 3 y reducimos términos semejantes:

3 · (x +2x -6 + +12) = 105

3x +6x – 18+2x+36=315

11x + 18 = 315

*Eliminamos 18 restando 18 a ambos miembros:

11x+18 – 18 =315 – 18

11x=297

11x: 11 = 297: 11

x= 27

*cada uno buceó:

Carmen 27min

Juan 2x

Antonio + 12 (27) + 12 = 30 min

Comprobamos: 27 + 48 + 30 =105 min = 1h 45min

Ecuación es una igualdad entre expresiones algebraicas que se verifica para algunos valores

de la incógnita.

Pasos para resolver una ecuación: reducir los signos de agrupación, eliminar

denominadores, reducir términos semejantes, despejar la incógnita y verificar si los

resultados satisfacen la igualdad.

141


1. El largo de una sala excede a su ancho en 9m. Si el largo aumenta en

5m y el ancho disminuye en 3m, el área no varía. Calcula su perímetro.

a. 102m

b. 106m

c. 51m

d. 104m

2. Divide 260 en dos partes de modo que el doble de la mayor parte dividido entre el

triple de la menor, de 2 como cociente y 40 de residuo. ¿cuál es la mitad de la parte

menor?

a. 50

b. 30

c. 35

d. 42

3. Divide el número 1 050 en dos partes tales que el triple de la parte mayor disminuido

en el doble de la parte menor sea 1 825. ¿cuál es la parte mayor?

a. 875

b. 665

c. 725

d. 785

4. Un alpinista sube una montaña y regresa al punto de partida en cuatro horas. Su

velocidad al subir fue de 400metros por hora y la de bajada, cuatro veces mayor. ¿A

qué altura subió? (d= vxt)

a. 1 080m

b. 1000m

c. 1 280m

d. 2 000m

5. La suma de las edades de un padre y de su hijo es 35 años. Dentro de 20 años la edad

del padre será dos veces la del hijo. ¿Qué edad tiene ahora el hijo?

a. 4 años

b. 10 años

c. 6años

d. 5 años

6. En una reunión hay el doble de mujeres que de hombres, y el triple de niños que de

hombres y mujeres juntos. ¿Cuántas mujeres hay si en total son 156 personas?

a. 24

b. 26

c. 36

d. 25

Respuestas:

A B C D

1.

2.

3.

4.

5.

6.

142

Inecuaciones


1. Un canal de regadío es alimentado por tres fuentes, una de caudal fijo que aporta

100m3/s y otras dos de caudales variables. Una de estas dos fuentes tiene un caudal

tres veces mayor que la otra. Si el canal está diseñado para transportar agua, como

mucho, a razón de 460m3/s, ¿Qué cantidad de agua máxima debe aportar cada una

de las fuentes?

Solución:

*identificamos las incógnitas:

x caudal de una de las fuentes variables.

3x caudal de la otra fuente variable

*Planteamos la inecuación y reducimos:

x + 3x +100 ≤ 460

4x + 100 ≤ 460

*Restamos 100 a ambos miembros de la desigualdad:

4x + 100 – 100 ≤ 460 – 100

4x ≤ 360

*Dividimos entre 4 ambos miembros:

≤ x ≤ 90

*Comprobamos los resultados:

x + 3x + 100 ≤ 460

90 + 3(90) + 100 ≤ 460

Una fuente aporta como máximo 90m3/s, la otra fuente aporta un máximo de

270m3/s.

Para resolver inecuaciones se transponen los términos, se reducen los términos semejantes en

ambos miembros de la desigualdad y finalmente, se dividen los miembros de la desigualdad

resultante por el coeficiente de la incógnita, si éste es negativo se cambia el sentido de la

desigualdad:

-x > a x < -a

Los valores que hacen verdadera la desigualdad conforman el conjunto solución de la inecuación.

Notación de las desigualdades:

a <b, se lee a menor que b

a> b, se lee a mayor que b

a≤ b, se lee a menor o igual que b

a≥ b, se lee a mayor o igual que b

Definición: se dice que el número <<a es mayor que

b>> si (a-b) es un número positivo.

143


1. Si el largo de un terreno rectangular es cuatro veces el ancho,

¿Cuáles serán sus mayores dimensiones en números enteros, si el

perímetro es menor que 120 metros?

a. 12 y 48 m

b. 11 y 44m

c. 13 y 52m

d. 10 y 40m

2. Roberto dobla la edad de Miguel. La edad de Rita es la mitad de la de Miguel y la de

Cecilia la mitad de la de Roberto. ¿Quién es mayor, Rita o Cecilia?

a. Rita

b. Cecilia

c. Son de la misma edad

d. Miguel

3. ¿Cuáles son los dos menores números enteros consecutivos cuya suma es mayor que

155?

a. 79 y 80

b. 78 y 79

c. 80 y 81

d. 77 y 78

4. ¿Cuál es el número natural cuyo 5/8 es menor que el 15% de 1400?

a. 316

b. 235

c. 336

d. 335

5. ¿Cuál es el número natural que multiplicado por 7, aumentado en 15 y luego divido

entre 5 es mayor que los 2/3 de 330?

a. 155

b. 156

c. 152

d. 160

Respuestas:

A B C D

1.

2.

3.

4.

5.

144

Operadores Matemáticos

Son símbolos que indican mediante una ley de formación, las operaciones que se deben

realizar con dos o más números. Por ejemplo:

p * q = p2 – 3q

Operaciones Combinadas

El proceso a seguir es:

Propiedades de la Potenciación:

Propiedades de la Potenciación:

a0 = 1 am · bn =

a1 = a am : bn =

(a · b)n = an · bn [(a)m]n =

)n = ( )m = am/n

=

Propiedades de la radicación

Propiedades de la radicación

= · =

= =

OPERADORES

145

Operadores Matemáticos


1. Averigua cuáles son las cifras que están escritas en clave en el siguiente texto: según

el estudio “Panorama Laboral 2 000”, elaborado por la Organización Internacional

de trabajo (OIT); el crecimiento del empleo informal en América Latina, entre los

jóvenes de 7 ◘ 2 al 12 ♠ 4 años de edad, alcanzó una taza promedio anual de 5 ♠ 1%

entre 39.8 ♣ 5 y 39.98 ♣ 5 mientras que el empleo formal quedó prácticamente

constante con una tasa de expansión promedio anual de 0.4 ♠ 4%. (Perú económico

Nº 1 Enero 2001).

Junto con el texto se hallaron las siguientes fórmulas:

a ◘ b = a · b + 1

a ♣ b= 10 ab

a ♠ b=

Solución:

*Para completar la información debemos resolver cada uno de los operadores

indicados reemplazando los valores en sus respectivas leyes de formación o

fórmulas que se hallan junto al texto.

*Seleccionamos del texto las cifras con operadores:

7 ◘ 2; 12 ♠ 4; 5 ♠ 1; 39.8 ♣ 5 y 0.4 ♠ 4

*Aplicamos sus respectivas reglas de formación:

a ◘ b = a · b + 1 7 ◘ 2 = 7 * 2 +1 = 15

a ♠ b= 12 ♠ 4= = 24

5 ♠ 1= = 2.5

a ♣ b= 10 ab 39.8 ♣ 5 = (10)(39.8)(5) = 1990

39.8 ♣ 5 =(10)(39.98)(5)=1999

a ♠ b= 0.4 ♠ 4= = 0.8

*Reemplazando en el texto los datos hallados, queda así:

Según el estudio “Panorama Laboral 2000” elaborado por la Organización

Internacional de trabajo (OIT); el crecimiento del empleo informal en América

Latina, entre los jóvenes de 15 a 24 años de edad, alcanzó una taza promedio anual

de 2.5% entre 1990 y 1999 mientras que el empleo formal quedó prácticamente

constante con una taza de expansión promedio anual de 0.8%.

146

Los operadores representan operaciones matemáticas, cuyas reglas o leyes de formación se

establecen mediante algún símbolo. La ley de formación es una combinación de las operaciones

básicas, las que se resuelven siguiendo el orden operativo de las operaciones combinadas.

Cuando en una operación interviene varios operadores, se dice que son operadores compuestos.

2. Si a ♣ b = b + a,

¿Cuál es el valor de 24 ♣ 6?

Solución:

*Establecemos la relación entre la ley de formación y los datos. Reemplazos a por 24 y b por

6 y resolvemos:

a ♣ b = b + a =

24 ♣ 6 = 6 + (24)

24 ♣ 6 = 3 + 8 = 11

♣ 6 = 3 + 8 = 11

147


1. Si s ♦ t = s2 – 2st + t2 , halla (4 ♦ 5) – (2 ♦ 3)

a. -1

b. 0

c. 1

d. 2

2. Sabiendo que p ♠ q = , halla 5 ♠ 3

a. 2

b. 4

c. -2

d. -4

3. Si p ◘ q = p · , halla ◘ (3 ◘ 8)

a. 0

b. 1

c. 2

d. -1

4. Si x# = x3 + 6 cuando x es impar y

x# = x3 – 6 cuando x es par, halla ( )# + 4

a. 406

b. 407

c. 404

d. 405

5. si G ♥ P = ( )1/2

Entonces 64 ♥ 16 es:

a. 4

b. 3

c. 2

d. 5

Respuestas:

A B C D

1.

2.

3.

4.

5.

148

Operadores gráficos



1. En el parque de diversiones, Rita participa en el juego de tiro al blanco con dardos. Si al

lanzar los 3 dardos en forma consecutiva acierta en los números: 2; 4 y 3, ¿cuál es el premio

que le corresponde?

2.

Para determinar su puntaje, Rita debe resolver la operación que se indica.

Solución:

*Para determinar el puntaje que obtuvo Rita, reemplazamos las

letras a, b, c por los números 2, 3; y 4 respectivamente. En seguida

aplicamos la ley de formación del operador (de acuerdo al cuadro

de tres letras) y resolvemos:

Fórmula para calcular puntajes

a

b

c

( ) x 100

Fórmula para calcular puntajes

2

4

3

( ) x 100

= x 100 = 300

Rita hizo 300 puntos, el premio que le corresponde es un peluche.

Lista de Premios

100pts. Chupete

200pts. Gaseosa

300pts. Peluche

400pts. Cartera

149

ÁNGULOS

Medida de ángulos en el sistema sexagesimal.

1⁰ = 60’ ; 1’ = 60’’ ; 1⁰ = 3 600’’

Complemento de un ángulo

Dos ángulos son complementarios, si la suma de sus amplitudes es de 90°.

No es necesario que los ángulos complementarios sean consecutivos o tengan algún punto en común. Alfa y Beta son complementarios si:

Alfa+ Beta = 90°

Suplemento de un ángulo

Dos ángulos son suplementarios, si la suma de sus amplitudes es de 180°.

No es necesario que los ángulos complementarios sean consecutivos o tengan algún punto en común. Alfa y Beta son suplementarios si:

Alfa+ Beta = 180°

Ángulos adyacentes.

Dos ángulos son adyacentes si tienen un lado y el vértice (esquina) en común

El ángulo ABC es adyacente al ángulo CBD

Porque:

tienen un lado en común (la línea CB)

tienen el vértice en común (el punto B)

GEOMETRÍA

http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/angulos.html

150

Ángulos entre paralelas cortadas por una secante.

Las Paralelas al ser cortadas por una secante, dan como

resultado 8 ángulos interiores, (3, 4, 5,6) y 4exteriores (1, 2,

7,8).

a) ángulos alternos internos (3,5) y (4,6)

b) ángulos alternos externos (1,7) y (2,8)

c) ángulos correspondientes lado izquierdo (2,6) y (3,7)

d) ángulos correspondientes lado derecho (1,5) y (4,8)

e) ángulos colaterales lado izquierdo (2,7) y (3,6)

f) ángulos colaterales lado derecho (1,8) y (4,5)

NOTA . Es importante comentar lo siguiente:

* los ángulos alternos externos miden lo mismo

* los ángulos alternos internos miden lo mismo

* los ángulos correspondientes miden lo mismo

* los ángulos colaterales al sumarse resulta 180 grados

POLÍGONOS

Triángulos: Son los polígonos de 3 lados. Según sus lados: Equiláteros, isósceles, y escalenos.

Según sus ángulos: acutángulos, rectángulos y obtusángulos.

Cuadriláteros: Son los polígonos de 4 lados.

Polígonos regulares: Tienen sus lados y ángulos congruentes (cuadrado, pentágono, regular,

hexágono regular…)

Áreas de polígonos.

151

Cuerpos geométricos: Son los poliedros y los cuerpos redondos.

Poliedros regulares. Son los que tienen todas sus caras iguales y estas son polígonos regulares.

Tetraedro

Hexaedro

Octaedro

Dodecaedro

Icosaedro

Prismas y pirámides

Los prismas son cuerpos poliedros que poseen 2 caras basales iguales, paralelas y poligonales

(triángulo, cuadrilátero, pentágono...) y tantas caras laterales rectangulares como lados tiene

el polígono de sus caras basales.

Cuerpos redondos

Son la esfera, el cono y el cilindro. Los cuerpos redondos son aquellos que tienen, al menos,

una de sus caras o superficies de forma curva. También se denominan cuerpos de revolución

152

Cortes, trazos y Rutas. Ángulos



1. Un jardinero necesita cortar una manguera de 30m de longitud en piezas de 5m cada una.

¿Cuántos cortes debe hacer el jardinero?

Solución:

*Calculamos el número de piezas que se obtienen dividiendo la longitud total entre la

longitud de una pieza:

Nº de piezas = = = 6 piezas

*Graficamos y calculamos el número de cortes que se deben dar para obtener las 6 piezas

de 5m, cada una:

5m 5m 5m 5m 5m 5m

Observamos que se debe realizar 5 cortes.

El número de cortes es siempre uno menos que el número de piezas que se obtienen. En general:

Nº cortes = Nº de piezas – 1; o también

Nº cortes = - 1

Por el contrario si a una vereda de 30m le colocamos un poste cada 5m, la cantidad de postes que

colocaríamos sería igual a 7 es decir, al número de espacios más uno.

En general, cuando se trata de colocar estacas es siempre uno más que el número de piezas.

Nº de estacas= + 1 + 1

2. Desde un helicóptero Andrés observa con admiración la gran obra de ingeniería que es él

trébol de una autopista y realiza la siguiente figura. averigua si Andrés puede hacerla de un

solo trazo.

153


1. María tiene una soga de 2 1203 metros. ¿Cuántos cortes debe

realizar para obtener piezas de 3m cada una?

a. 22

b. 21

c. 24

d. 18

2. Un carpintero tiene un listón de madera de 4m de largo por 30cm de ancho. si se

desea cortarlo para obtener piezas de 25 cm de largo y se demora en cada corte 7

segundos, ¿Cuánto tiempo demora en cortar íntegramente el listón?

a. 100s

b. 112s

c. 105s

d. 50s

3. Para cortar una plancha de aluminio de 216cm en tres piezas cobran $15. Si se

desea obtener piezas de 9 cm cada una, ¿Cuánto cobrarán por cortar toda la plancha?

a. $140

b. $172.5

c. $170

d. $162.5

4. A un cable de 2.4m de largo se le aplican 11 cortes. ¿Cuánto mide cada pieza si

todas son iguales?

a. 20

b. 21

c. 16

d. 24

Solución:

*Hacer el dibujo de un solo trazo significa que no se debe levantar el lápiz ni se debe pasar dos

veces por una misma línea.

*La figura, sí se puede hacer de un solo trazo.

Para construir figuras sin levantar el lápiz o repetir el trazo es necesario:

*Reconocer puntos de inserción par o impar.

*Tener presente las siguientes pautas:

Puntos de intersección ¿Se puede trazar la figura?

Todos son pares Sí. Partiendo de cualquier punto.

Dos impares Sí. Partiendo de un punto impar

Más de dos impares No se puede trazar la figura.

3. Un albañil tiene que cortar piezas de 60 cm de una varilla de 9m para armar unos estribos.

¿Cuántos cortes tendrá que dar para cortar toda la varilla?

Solución:

*Calculamos el número de piezas que se obtienen:

= = 15

*Como el número de cortes es uno menos que el número de piezas entonces: 15 – 1 = 14

cortes.

154

Conteo de Segmentos y figuras


Respuestas:

A B C D

6.

7.

8.

9.

10.

1. Hallar el número total de cuadriláteros que tiene la siguiente figura:

Solución:

*A cada espacio le asignamos una letra o número:

*Contamos los cuadriláteros de:

1 letra: b,e,f,g,h,i =6

2 letras: be, eg,gi,af, fh, hj, ef, gh =8

3 letras: beg, egi, afh, fhj =4

4 letras: begi, afhj, beaf, egfh, gihj =5

6 letras: abegfh, egifhj =2

8 letras: abegfhij =1

Total de cuadriláteros 26

2. Calcula el número de cuadriláteros que hay en la siguiente figura:

155

Solución:

*Observamos que los cuadriláteros están alineados. Aplicamos la fórmula:

Nº de cuadriláteros =

Nº de cuadriláteros = = 15

A través de un conteo visual podemos hallar el mayor número de figuras o segmentos que se

encuentran dentro de otra figura. Pero, cuando las figuras o espacios están alineados, el

problema lo resolvemos de una manera más rápida aplicando la siguiente fórmula:

Nº de Figuras =

4. ¿Cuántos segmentos hay?

1 2 3 4 5 6

Solución:

*Como los espacios están alineados, podemos aplicar la fórmula:

Nº de Segmentos =

Nº de Segmentos = = 21

156


1. En la figura, ¿Cuántos sectores circulares hay?

a. 12

b. 16

c. 18

d. 24

2. ¿Cuántos cuadriláteros tiene la figura?

a. 38

b. 37

c. 28

d. 27

3. Si te ofrecen $2 por cada triángulo que encuentres en una figura, ¿Cuánto recibirías

si hallas el total de los triángulos de la siguiente figura?

a. $108

b. $72

c. $216

d. $224

4. Encuentra el número total de cuadriláteros que tiene la siguiente figura.

a. 19

b. 17

c. 18

d. 20

Respuestas: A B C D

1. 2. 3. 4.

a

b

c

d

e

f g

157

Áreas y volúmenes


Áreas Sombreadas

1. Halla el área sombreada si ABC es equilátero y el diámetro mide 18cm. (π=3.14)

Solución

*Como las tres regiones del triángulo son iguales, trasladamos el área sombreada y resulta

el área equivalente a un sector circular, donde α=60⁰ y r= 9cm

*Calculamos el área aplicando la fórmula del sector circular:

A= A=

A= = =

Fórmulas para calcular el área de regiones básicas:

A= l2 A=bxh A= bxh A= h

Volúmenes

2. Un laboratorio químico distribuye completamente vitamínicos en recipientes cilíndricos de

8cm de diámetro y 15cm de altura. si las vitaminas sólo ocupan 3/5 del envase, ¿Cuál es el

volumen de vitaminas que se utiliza para 3000 envases? (π=3.14)

Solución:

Calculamos el volumen del recipiente:

V= π r2h = π(4)2x15 = 240 πcm3

Las vitaminas ocupan 3/5 del volumen:

x 240 πcm3 = 144 πcm3

=452.16 cm3

Para 3000 envases se utiliza:

452.16 cm3 x 3000 = 1 356 480 cm3

Se utiliza 1 356 480cm3 de vitaminas

158


1. Se tiene una esfera cuyo volumen es 36πcm3. Calcula el radio de la

esfera.

a. 9cm

b. 5cm

c. 4cm

d. 3cm

2. Un cilindro cabe exactamente en un cubo. ¿Cuál es la razón entre el volumen del

cilindro y el volumen del cubo?

a. 3/π

b. π/6

c. π/4

d. 4/π

3. Si un cubo de 2m de arista se corta en cubitos de 1cm de arista, ¿Cuántos cubitos se

obtienen?

a. 8 x 106

b. 8x 107

c. 5 x106

d. 4 x 105

4. El volumen de un prima es 300cm3 Si el largo se cuadriplica, el ancho se quintuplica y la

altura se reduce a la tercera parte, ¿Cuál es el volumen final?

a. 1 500 cm3

b. 2 000 cm3

c. 3 000 cm3

d. 4 000 cm3

5. Calcula la altura de un cono si su volumen es 720 cm3 y su radio mide 6cm (π=3.14)

(aproxima al décimo)

a. 15.6cm

b. 20.1cm

c. 19.1cm

d. 14.6cm

Respuestas:

A B C D

1.

2.

3.

4.

5.

159

2014

Aptitud Numérica 2

160

Notación Científica

Es la expresión de un número como el producto de una potencia de base 10 por un número

cuyo valor absoluto es mayor o igual a 1 y menor que 10. Ejemplos:

Velocidad de la luz = 3000 000 Km/s = 3x105 Km/s

Carga de un electrón= 1.6 x 10-19 C (culombio)

Masa de un electrón= 9.1 x 10-31 Kg

Diámetro del sol= 1.39 x 106 Km

Potenciación: Consideramos el conjunto R* = R – {0}

Potencia de exponente negativo: ∀ a ∈ R*

∀ a ∈ ; =

Potencia de exponente cero: ∀ a ∈ R*

= 1

Propiedades de los Exponentes

Producto y cociente de potencias igual base · = y

Potencia de un producto y cociente de igual exponente

=(a · b)m y =( ∀b 0

Potencia de base 1 = 1, ∀ n ∈ Z

Potencia de una potencia ( =

Potencia de exponentes = = → =t, = u

Radicación

∀ a ∈ R y n ∈ Z+ ; n ≥ 2; = b ↔ = a

= ( )m

=

=

NÚMEROS REALES

161

Radicales Semejantes

Dos o más radicales son semejantes cuando tienen el mismo índice y la misma cantidad

subradical.

Ejemplo:

-21 y 3x

Logaritmos

Logaritmo en base a de un número x positivo (Donde a > 0 y a 1) es el exponente al que hay

que elevar la base a par obtener el número x.

El símbolo loga x se lee : <<logaritmo de x en base a>>

= b ↔ x=

Ejemplos:

= b ↔ →b=2

= 4 ↔ x= → x=625

El logaritmo se define como:

De la definición de logaritmo podemos deducir:

No existe el logaritmo de un número negativo.

No existe el logaritmo de cero.

El logaritmo de 1 es cero.

El logaritmo en base a de a es uno.

El logaritmo en base a de una potencia en base a es igual al exponente.

162

Propiedades de los logaritmos

Propiedades

1. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores:

Ejemplo

2. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del

divisor:

Ejemplo

3. El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base:

Ejemplo

4.El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la

raíz:

Ejemplo

5. Cambio de base:

Ejemplo

163

Números reales. Intervalos


1. Números reales.

Juan y Gustavo salen simultáneamente en bicicleta desde el punto A y con la misma

velocidad. Julia recorre la circunferencia de la pista circular de 500m de radio y Gustavo va y

viene por su diámetro AB. ¿Se encontrarán alguna vez?

Solución:

Si se encuentran, será en los puntos A o B. Debemos buscar un múltiplo común del

diámetro y de la media circunferencia.

Supongamos que Julia recorre n veces la mitad de la circunferencia y Gustavo

recorre k veces el diámetro AB, sabiendo n y k números enteros.

Para que se encuentren, debe cumplirse que:

n · L = k · AB

n · (2πr) = K ∙ 2 ∙ r → π

La igualdad π= es un absurdo ya que π es un número irracional y es un

número racional, por cociente de enteros.

Un número racional no puede ser igual a un número irracional, es decir, Julia y Gustavo no se

encontrarán nunca.

El conjunto formado por los números racionales y los irracionales es el conjunto de los números

reales.

* Los números decimales pueden expresarse como fracciones hallando su fracción generatriz.

Ejemplos:

0.7 =

0,162 = =

0,25 = =

2. Intervalos en R

Marina pesa más de 55kg y máximo 58kg. Si las próximas dos semanas piensa bajar 1,5 kg,

¿Entre qué valores oscilará su peso para entonces?

Expresa el resultado como intervalo

Solución:

Analizamos los datos del enunciado del problema:

Pesa más de 55kg → p> 55

55 <p≤58

Pesa máximo 58kg→ p≤ 58

164

Ubicamos en la recta su peso real p

55 58

Expresado en intervalo, su peso será:

p= [55; 58] = {p ∈ R / 55 < p ≤ 58}

En dos semanas su peso disminuirá 1,5Kg. Esto significa que su peso será más de

(55 – 1.5)Kg y a lo mucho (58 – 1.5)Kg

Ubicamos en la recta real su futuro peso p1:

53.5 56.5

Expresado como intervalo su futuro peso en kg será:

p1= [53,55 ; 56,5] = {p1∈ R /53,5 < p1 ≤ 56,5}


1. En 2AC : B8 = BA, encuentra los valores de A, B y C, sabiendo que la cifra de las decenas del

primer residuo parcial es 5 y que el residuo total es 2

a. A=6;B = 1; D=3

b. A=3 ; B= 2 ; D=6

c. A=3; B=1; C=6

d. A=3; B=6; C=1

2. ¿cuál es el área lateral de un cilindro de 5cm de altura y 2 ?

a. 20 cm2

b. 15 π cm2 6

c. 10 π cm2

d. 30 π cm2

3. dados los intervalos I1 = ]-3; 2] e I2 = [0; 5];

halla I1 – I 2

a. ]-3; 0[

b. ]-3; 0]

c. [-3; 0[

d. [2; 5]

4. ¿cuál es el valor de la superficie de un hexágono regular de 8 ?

a. 192 m2

b. 64 m2

Respuestas:

A B C D

1.

2.

3.

4.

165


1. Después de resolver (1 551)2 – (1 550)2 obtemos:

a. 1 551

b. 1

c. 3 101

d. 2 101

2. Halla x para que = +

a. 2

b.

c.

d.

3. Una expresión equivalente a es:

a. 7

b.

c. 7

d. 49

4. Sea M=

¿Cuál es el valor de M- 1?

a. 3

b. 4

c. 5

d. 25

5. Simplifica P=

a. 1/3

b. 3

c. 9

d. 32

Respuestas:

A B C D

1.

2.

3.

4.

5.

d=

166

1. Potenciación

Vanesa tiene tantos años como el valor de x en la siguiente expresión: · 8 = · 183

¿Cuántos años tiene Vanesa?

Solución:

*Descomponemos en sus factores primos las bases de las potencias:

· 8 = · 183

( )x · = · (2 · )3

· · = ·

=

x= 6

Vanesa tiene 6 años

2. Radicación

Laura y Fernando encontraron en su estudio el plano de un terreno con las siguientes

anotaciones:

4 m 5 m

Solución:

*Aplicamos el teorema de Pitágoras para hallar x:

( = ( + (

= → x= → x=

*Reemplazamos el valor de x y racionalizamos

→ · = = =

5 → 5 = 50

Las dimensiones del terreno son 80 m y 50 m

167

Logaritmos Propiedades


1. Un geólogo explica sobre la intensidad sísmica de los terremotos y dice <<Para medir la

intensidad de los terremotos, se utiliza una escala logarítmica de base 10, llamada escala de

Richter. La magnitud de un terremoto se por M=log P, donde M es el grado del terremoto en

la escala de Richter, y P es la potencia que indica cuántas veces ha sido la amplitud de la

onda sísmica del terremoto que la onda de referencia en situación normal>>

¿Cuántas veces mayor fue la potencia del terremoto de Arequipa del 23 de julio de 2001 de

grado 7 de magnitud en la escala de Richter, que el de Lima del 18 de abril de 1993 de grado

6 de magnitud en la misma escala?

Solución:

*Llamamos P1 a la potencia del terremoto de Arequipa de grado 7 y P2 ala de Lima de grado

6.

*Con la fórmula de intensidad sísmica (M= log P), calculamos la razón entre dichas potencias:

M= log P

7= log P1 P1 =

6= log P2 P2 = = = 10

La potencia del terremoto de Arequipa fue 10 veces mayor que la del terremoto de Lima.

2. ¿Cuántas veces es mayor la potencia de un terremoto de grado 7 que otro de grado 4?

Solución:

*Aplicamos la fórmula de intensidad sísmica y calculamos la razón entre dichas potencias:

M= log P

7= log P1 P1 =

4= log P2 P2 = = = 103 = 1000

La potencia de un terremoto de grado 7 es 1000 veces mayor que la de un terremoto de

grado 4.

168


1. Halla el valor de x en

= +

a. 1

b. 2

c. 3

d. ½

2. Halla el valor de x en

2 - + =

a. 7

b. 6

c. 5

d. 9

3. Calcula el valor de x en la siguiente ecuación:

+ - =

a. 1

b. 2

c. 4

d. 3

4. Calcula el valor de x en la siguiente expresión

+ = 1

a. 4

b. 3

c. 2

d. 6

5. ¿Cuántas veces es mayor la potencia de un terreno de grado 7.3 en la escala de Richter

que otro de grado 6.8?

a.

b. 0.5

c. 10

d. 50

6. Halla = 2 ·

a. 4

b. 0.2

c. 0.4

d. 3

Respuestas: A B C D

1. 2. 3. 4. 5. 6.

169

ECUACIONES

Son igualdades entre expresiones algebraicas que se verifican para algunos valores de la

variable. Las ecuaciones pueden ser de primero o de segundo grado. Ahora trabajaremos las

de segundo grado.

→ x= ±

→ x(ax +b) = 0

→

Siendo el discriminante: ∆= -4ac

Inecuaciones de primer grado

Son relaciones algebraicas que se expresan mediante desigualdades. Cuando se multiplica o

divide ambos miembros de una inecuación por un número negativo, la desigualdad cambia de

sentido.

-x < b → x > - b ; -x > -b → x<b

Los valores que hacen verdadera a la inecuación forman un conjunto solución. En los números

reales, estas soluciones se representan a través de intervalos:

Intervalos cerrados:

-3 ≤ x ≤ 1 → [-3; 1]

Intervalos abiertos:

-7<x < -4 →]7; 7[

Intervalos semiabiertos:

x ≤ 5 → ]-∞; 5]

x > 2 → ] 12; + ∞[

ECUACIONES E INECUACIONES

170

Ecuaciones De Primer Y Segundo Grado


1. Un arquitecto diseña una casa con varios jardines. Quiere calcular las dimensiones de uno

de los jardines, del que sabe que su forma es rectangular y que sus lados tienen relación

con un valor (x) que no conoce: x m y (-2) m. Si su área debe medir (x+4)m2, ¿ué

dimensiones tiene este jardín?

Solución:

*El jardín es rectangular, entonces expresamos el área:

A= largo · ancho → x(x – 2) = x + 4

*Resolvemos y obtenemos una ecuación de 2º grado.

x2 -2x –x -4 = 0 → x2 - 3x – 4 = 0

*Aplicamos la fórmula general:

Dónde: a= 1; b= -3; y c= -4.

*Reemplazamos y hallamos los valores de x:

= = 4

= = -1

Como lo que buscamos son las dimensiones de un jardín, el valor negativo no tiene

sentido, entonces:

Largo → x=4 y ancho→ x-2=4 – 2 = 2

Las dimensiones del jardín son 4 por 2 metros.

Resolver una ecuación significa hallar el valor de la(s) variable(s) la raíz o raíces de la ecuación.

La ecuación de primer grado tiene una sola raíz o una sola solución. La de segundo grado puede

tener dos raíces diferentes; dos raíces iguales o no tener raíces reales. En un sistema de

ecuaciones, de dos o tres variables la solución es u par ordenado o una terna ordenada

respectivamente.

171


1. Resuelve 3(x – 1) (x – 2) -3x (x-5/3) = 7(x – 1)

a. 2

b. 13/11

c. 5/9

d. -2

2. Calcula el producto de las raíces de la ecuación:

x2 – 2x + ½ = 0

a. ½

b. -3

c. -1/2

d. 7/4

3. ¿Cuáles son las raíces de 2x2 -18 = 0?

a. 3; -3

b.

c. ; -3

d. 6; -6

7. ¿Para qué valores de x la fracción ?

a. -4

b. +2; -2

c. 0

d. 2

8. Calcula sabiendo que

x + y + z =5

2x –y +z= 2

3x – y +2z= 5

a. 2

b. 3/2

c. 5/4

d. ¾

9. ¿Cuál es la solución del sistema?

x + y + z =120

x – y - z = -20

2x – y +z= 90

a. (40; 30; 50)

b. (50; 40; 30)

c. (40; 50; 30)

d. (50; -10; 80)

Respuestas:

A B C D

1.

2.

3.

4.

5.

6.

172

Problemas con Ecuaciones


1. Dos camiones parten de una misma fábrica llevando mercadería. Sí salen en direcciones

opuestas, uno de ellos con velocidad de 65km/h y el otro con velocidad de 85 km/h,

¿Después de cuántas horas de viaje estarán separados 750Km?

Solución:

*Trazamos un gráfico para representar el problema:

V1= 65km/h V2= 85km/h

750km

*Elaboramos un cuadro, recordando que d= v · t

VELOCIDAD TIEMPO DISTANCIA

CAMION 1 65km/h X 65x

CAMION2 85 km/h X 85x

*La suma de las distancias recorridas es igual a 750 km:

65x + 85x = 750

150x =750

x = 5

Transcurrirán 5 horas para que los camiones estén separados 750km.

2. Una piscina se llena a través de dos caños. Si se abre solo el caño A, lo llena en 4 horas y el

caño B en 10 horas. ¿En cuánto tiempo los dos caños juntos, llenan la piscina?

Solución:

*Ordenamos los datos en una tabla

Caño Tiempo que tarda en

llenar la piscina Parte de la piscina

que llena en 1 h Llenado en x h

Caño A 4 horas 1/4 x/4

Caño B 10 horas 1/10 x/10

A + B x x/4 + x/10 1

Planteamos la ecuación y resolvemos

→ 10x + 4x = 40

x= 20/7 = 2h + 6/7h

(60min) = = 51+ min; (60s) ≈ 26s

Los dos caños juntos llenan el tanque en 2 h 51 min 26 s

173


1. Dados tres números: el primero es la diferencia entre el segundo y el

doble del tercero, el doble del segundo es igual al primero sumado al

triple del tercero más uno; y el tercero es la diferencia entre el doble

del segundo y el doble del primero menos tres. Calcula la suma de los

tres números.

a. 2

b. 3

c. 5

d. 7

2. Dos móviles están separados 700km y parten al mismo tiempo en sentidos contrarios,

uno al encuentro del otro. Si sus velocidades son 100km/h y 40km/h, ¿Después de

cuánto tiempo estarán separados 280 km?

a. 1.5h

b. 2.5h

c. 3h

d. 2h

3. De un número de dos cifras se sabe que la suma del dígito de las unidades y el de las

decenas es 13. Si a dicho número se le resta 27, las cifras se invierten. ¿cuál es el

producto de las dos cifras del número?

a. 30

b. 32

c. 36

d. 40

4. Carmela tiene el doble de la edad de Marcia y hace 10 años la edad de Carmela era el

cuádruple de la edad de Marcia. La diferencia delas edades es

a. 25 años

b. 15años

c. 45 años

d. 35 años

5. Dos amigos están montando bicicleta y salen de un mismo punto pero en sentidos

contrarios. Si uno de ellos va a 10km/h y el otro a 15km/h ¿Después de cuánto tiempo

estarán separados 10km/h?

a. 20min

b. 24min

c. 1h

d. 50min

Respuestas: A B C D

1. 2. 3. 4. 5.

174

Problemas con Inecuaciones


1. Gustavo contrata un ingeniero para construir una piscina que tenga como mínimo un

área de 40m2y quiere utilizar 50 metros lineales de azulejos portugueses que le regaló su

suegro. Si el largo de la piscina es de 15 metros, ¿Cuánto debe medir el ancho?

Solución:

*Realizamos un esquema los datos

x

15m

*El perímetro tienen que ser menor o igual a 50m:

15 + 15 + x +x ≤ 50

2x + 30 ≤ 50

2x ≤ 20 → x ≤ 10

*El área debe tener como mínimo 40 m2

A ≥ 40 → 15x ≥ 40 → x ≥ 40/15 → x≥ 2.7

*La solución del sistema es la intersección de ambos conjuntos: 2.7m y menor o igual a

10m.

Las inecuaciones se pueden representar a través de intervalos. Por ejemplo:

2.7 ≤ x ≤ 10 → [2.7; 10]

Las inecuaciones son desigualdades en las que desconocemos alguno de sus términos, que

también llamamos variable. Las inecuaciones se resuelven igual que las ecuaciones, salvo cuando

se multiplican por una cantidad negativa, en cuyo caso, cambia el sentido de la desigualdad.

-x > a → x < -a

Para resolver y analizar los resultados de una inecuación en R, utilizamos los intervalos

numéricos y su notación.

Área ≥ 40m2

175


1. La suma de tres números enteros consecutivos es menor que 39. ¿cuál

es el mayor de estos números?

a. 12

b. 13

c. 14

d. 16

2. El mayor número entero pertenece a la solución de es:

a. 4

b. 3

c. 5

d. 2

3. Halla el mayor número natural que satisface la inecuación 5 +x(x-2) >8(x – 1) + x2 .

a. 0

b. 1

c. 2

d. 3

4. Una piscina rectangular tiene un área menor a 72m2 Si el ancho es 8m ¿Cuántos

metros mide el largo?

a. más de 12m

b. menos de 10m

c. menos de 9m

d. más de 1m

5. A un número se le resta 5 ¼ y se obtiene una cantidad menor que la sexta parte del

número. El mayor valor entero que puede tener el número es:

a. 7

b. 6

c. 5

d. 8

Respuestas:

A B C D

1.

2.

3.

4.

5.

176

Función lineal

El gráfico de una función lineal está formado por puntos que pertenecen a una recta. La

fórmula de las funciones lineales es f(x) =ax +b sabiendo a 0

Función cuadrática

Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.

Las parábolas tienen un eje de simetría vertical y un vértice.

La ordenada del vértice puede ser el máximo o el mínimo valor que alcance la función.

f(x) = ax² + bx + c

Representación gráfica de la parábola

Podemos construir una parábola a partir de estos puntos:

FUNCIONES

177

1. Vértice

Por el vértice pasa el eje de simetría de la parábola.

La ecuación del eje de simetría es:

Función valor absoluto

f(x)= ; tal que f(x) = x, si x 0

-x, si x < 0

178

1. Se deja caer una piedra desde lo alto de un precipicio de 180 metros de altura. ¿Cuánto

tiempo tarda la piedra en caer? ¿Qué distancia recorre la piedra en los 3 primeros

segundos de caída? Para resolver, elabora un gráfico que relacione la distancia recorrida

con el tiempo que transcurre.

Solución:

*Cuando se deja caer un cuerpo, este va adquiriendo mayor velocidad a medida que va

cayendo debido a la fuerza de la gravedad (g) que atrae los cuerpos hacia el centro de la

Tierra. A este tipo de movimiento se lo conoce como caída libre de los cuerpos.

*Existe una fórmula que relaciona la altura (h), la aceleración de la gravedad (g) y el

tiempo (t) de caída de un cuerpo. Como g=9.8m/s2 ≈ 10m/s2, reemplazamos y

simplificamos en:

h= → h= → h= 5t2

*Observamos que la altura está en función del tiempo:

h= f(t) = 5t2 → f(t) = 5t2

*Tabulamos y graficamos la función f(t):

t f(t)

0 0

1 5

2 20

3 45

4 80

5 125

6 180

Función como Operador


179

*En el gráfico observamos que a medida que transcurre el tiempo, más rápido cae la piedra, es

decir, alcanza mayor velocidad.

*Al realizar el gráfico podemos saber que la piedra pasados los 3 segundos ha recorrido 45

metros y tarde en caer 6 segundos.

2. Si f(x) = , halla

Solución:

*Hallamos el valor de f(x) para:

f(2)= = = 0

f(3)= = = 1

f(1)= = = 1

*Reemplazamos en la expresión propuesta:

= = 1

3. Si f(x) = 3x + 1, halla +

Solución:

*Resolvemos la función para cada valor asignado:

f(1)=3(1) +1= 4

f(2)= 3(2)+1=7

f(3)=3(3)+1=10

*Reemplazamos en la expresión final.

+ = + = + =

180


1. Si p(x) = , calcula

a. p(5)

b. 2p(6)

c. 3p(6)

d. 24

2. Si m(3x -1 ) = 2x + 4, Calcula M

a. 11

b. 10

c. 9

d. 8

3. Sabiendo que

g(x) = y h(x)= ; halla

a. 3/2

b.

c. 2/3

d.

4. Si f(x+2) = 4x – 2, halla G=

a. -4

b. -3

c. -2

d. -1

5. Si A(x) = - 1 halla

a. 1

b. 2

c. 3

d. 4

Respuestas:

A B C D

1.

2.

3.

4.

5.

181

Funciones. Análisis de Gráficas


1. Los estudiantes de tercer grado quieren viajar a Ibarra. Para ello solicitan

cotizaciones a diferentes empresas. Una de ellas les cobra % 80 por persona si viajan

50 como mínimo; pero les hace una rebaja de $1 por persona si viajan 51; de 2

dólares por persona si viajan 52, y así sucesivamente, pudiendo viajar como máximo

90 personas. ¿Con qué número de estudiantes la empresa obtiene la máxima

ganancia?

Solución:

*El costo del viaje está en función del número de personas que viajen. Elaboramos

una tabla.

Cantidad de estudiantes

Precio por persona ($)

Precio total ($)

50 80 50 · 80

50+1 80-1 (50+1) (80-1)

50+2 80-2 (50+2) (80-2)

50+3 80-3 (50+3) (80-3)

50+x 80-x (50+x) (80-x)

*La función está dada por.

f(x) = (50+x) (80-x)= x2 +30x + 4 000

*La fórmula corresponde a una función cuadrática cuyas raíces son -50 y 80, porque

son los dos valores que hacen nulo el producto: (50+x) (80-x) = 0

*Graficamos la función f(x) = - x2 +30x + 4 000 donde a= -1; b= 30 y c= 4 000

*Observamos que como x es un número natural menor o igual que 90, el gráfico de

f(x) está formado solo por algunos puntos de la parábola.

*Analizamos la función y su gráfica. Para calcular la máxima ganancia que pueda

obtener la empresa, buscamos el máximo valor de f.

*calculamos las coordenadas de su vértice

Sabemos que a= -1; b= 30 y c= 4 000

La abscisa del vértice es: = = 15

182

La ordenada del vértice es:

= = 4 225

El punto máximo de la función es f(x)= (15; 4 225)

La empresa obtiene la máxima ganancia cuando van de viaje 50 + 15 = 65 estudiantes

Cada uno pagará 80 – 15 = 65 dólares.

2. La siguiente gráfica, ¿a qué función corresponde?

Solución:

*La forma general de una función lineal es f(x)=ax + b, siendo a 0. En el gráfico, la

distancia del centro a la ordenada es 3, entonces b=3.

*Para calcular el valor de a, utilizamos el punto de corte de la recta al eje de las abscisas

(3;0) y hacemos x= 3 y f(x)=0:

f(x)= ax + 3

0=3a+3 →a= -1

La gráfica corresponde a la función f(x)= -x + 3

3. A partir del gráfico, determina la ecuación:

Solución:

El gráfico corresponde a una parábola cuyo vértice es V(0;-18). La ecuación tiene como forma:

f(x)=ax2+c y c=-18

*Observamos que (3;0) pertenece al eje delas abscisas. Calculamos el valor de a, sabiendo que

x= 3 y f(x) =0. f(3)= a(3)2-18 → 0=9a-18 → a=2

La ecuación de la parábola es f(x)= 2x2-18

183


1. ¿cuál de las siguientes funciones corresponde a la parábola cuyos

brazos van hacia abajo y cuyo vértice es (0; 3)?

a. f(x)= x2 + 3x - 1

b. f(x)= x2 +3

c. f(x)=-x2 +3

d. f(x)=-2x2 – 3

2. La función g(x) se define como sigue:

g(x)=3x – 5, si x > 1

g(x)= 0, si -1 x 1

g(x)= x+1, si x <-1

Calcular g(4)-g(2/3) +g(-5).

a. 3

b. 6

c. 7

d. 8

3. Dada la ecuación f(x)= 2x2 – 8x – 10, ¿Cuáles son las coordenadas de los puntos

comunes de la gráfica de la parábola y el eje X?

a. (3;0) y (5;0)

b. (4;0) y (5;0)

c. (-2;0) y (6;0)

d. (-1;0) y (5;0)

4. ¿Cuál es el vértice de la parábola cuya ecuación es f(x) = x2 -5x -6?

a. V(2,5 ; -12.25 )

b. V(3.5; 12.75)

c. V(2.5; 12.5)

d. V(5; 12.25)

5. Si la recta representa la función identidad, el área de la región rayada se define por:

a. (x+1) y

b. x2/2

c. x/2

d. (x-1)2

-------------

--------

----

x

Respuestas: A B C D

1. 2. 3. 4. 5.

184

Triángulos

TEOREMA DE PITÁGORAS

Figuras y Cuerpos Geométricos

185

Semejanza de triángulos

CIRCUNFERENCIA

ÁREAS DE FIGURAS

186

Ángulos, Triángulos Y Circunferencia


Ángulos y rectas

1. Si L1 // L2 y m ∡ 𝛃=50⁰ , Calcula m ∡ x x β

Solución: L1

*Trasladamos β y x por ser ángulos correspondientes.

*Los ángulos β y 2α son opuestos por el vértice, entonces:

β≅2α 2α L2

50⁰= 2α →α= 25⁰

α

*Observamos que los ángulos x, 2α y α forman un ángulo de 180⁰

Entonces, podemos calcular m ]x:

x+3α=180⁰ → x+3(25⁰)= 180⁰ → m∡ x= 105⁰

2. Los ángulos consecutivos AOB, BOC, COD, DOE; son tales que DOE mide 48⁰; AOE= 134⁰ y

OC es bisectriz de AOD. Calcula la medida de COE.

3.

Solución: A

Graficamos y ubicamos los datos:

m∡AOD= m∡AOE-m∡DOE 43⁰ B

m∡AOD=134⁰ - 48⁰ C

m∡AOD=86⁰ O

*Por OC, Bisectriz de ∡AOD: 43⁰

m∡AOC=m∡COD=43⁰

*Calculamos la medida del ángulo COE: D

m∡COE= m∡COD+ m∡DOE 48⁰

m∡COE=43⁰+48⁰

m∡COE=91⁰ E

La bisectriz de un ángulo es el rayo que lo divide en dos ángulos congruentes.

187

Relaciones métricas en el triángulo

En un triángulo rectángulo RPQ, la mediatriz respecto a QR corta la prolongación del lado QP en el

punto S. Calcula la medida del ángulo PRS si m∡Q=52

Solución: Q

*Graficamos 52

M

P R

S

*En el triángulo RPQ,Q y R son complementarios

52+R=90

R=38

*QMS y SMR son triángulos congruentes por LAL, entonces:

Q≅R →52 = 38⁰+ → x ∡x=14

Relaciones métricas en la circunferencia

Si m BCD = 126, Calcula x.

Solución:

*El ∡Ces un ángulo inscrito por lo tanto

mAFE=140

*x es un ángulo interior:

x= → x= = 133

x 38⁰

X

52⁰

188


1. En un ∆ EFG, los ángulos se encuentran en progresión aritmética de

razón -10. Halla la medida del menor de los ángulos del triángulo.

a. 20⁰

b. 70⁰

c. 60⁰

d. 50⁰

2. La medida de uno de los ángulos de un triángulo es 14⁰ más que el segundo ángulo y

la medida del tercer ángulo es el triple del segundo menos 24⁰. ¿Cuánto mide el

ángulo mayor?

a. 90⁰

b. 60⁰

c. 38⁰

d. 108⁰

3. Calcula el valor de m si L1 // L2 // L3

a. 4cm L1

b. 8cm 4cm m

c. 3cm L2

d. 7cm m-2 m+4

L3

4. Se tiene los ángulos consecutivos AOX, XOB, BOY

e YOC; en los que se cumple las siguientes condiciones:

∡BOX= ∡AOB/3 y ∡BOY = ∡BOC/3 A

a. 38⁰

b. 61⁰

c. 60⁰ 3a X

d. 51⁰ O a

b B

3b Y

C

Respuestas:

A B C D

1.

2.

3.

4.

189

Razones Trigonométricas

Recíprocas o Inversas

Dos R.T. relativas a un mismo ángulo son recíprocas cuando el producto de éstas resulta la

unidad.

Co – razones trigonométricas

α y β son agudos: senα = cos β

tgα = ctg β α + β = 90⁰

secα= csec β

csec α= sen α · csec α =1

csec α= cosα=sec α=1

ctg α = tg α·ctg α =1

TRIGONOMETRÍA

190

Identidades Trigonométricas

Al relacionar las razones trigonométricas, obtenemos identidades trigonométricas.

Identidades Trigonométricas: Las clasificamos en:

Identidades Pitagóricas:

1+ tg2θ =sec2θ

sen2 𝛉 +cos2θ =1

1+ ctg2θ =cosec2θ

Algunos consejos prácticos para realizar operaciones:

1. Aplicamos la regla para sumar fracciones:

+ =

=

2. Aplicamos factorización o productos notables:

*(1-sen2x) = (1+senx) ( 1 – sen x)

*(senx + cos x)2 = 1 + 2 senx · cos x

3. Estas igualdades son incorrectas

6tg 10⁰ =tg 60⁰

senx2 =(sen x)2

= tg

191

Razones E Identidades Trigonométricas


1. Para el ∡Ф = . Calcula el valor de 6sec Ф

Solución:

*senФ =

*Graficamos el triángulo. Hallamos el cateto que falta aplicando el teorema de Pitágoras:

52+b2= 132

b=12 b 13

5

Calculamos:

6senФ =6 · = 6.5

2. Sea 𝛂un ángulo agudo de un triángulo rectángulo. Si 4tg𝛂=7, Calcula el valor de 21 ctg𝛂.

Solución:

*Trabajamos con la condición dada:

4tg𝛂=7 → tg𝛂=

*Nos piden ctgα que es la recíproca de tg α:

ctgα=

*Calculamos el valor de 21 ctg α:

21 · = 12

3. Si A= cos25⁰+tg42⁰ – sen 65⁰ –ctg48⁰, Calcula el valor de A+sec245⁰

Solución:

*Trabajamos con la condición, observamos y ordenamos convenientemente:

A= cos25⁰- sen 65⁰ + tg42⁰ – ctg48⁰

Co –razones Co- razones

Sus valores son iguales

A= 0 + 0 = 0

*Reemplazando valores, calculamos el valor pedido:

A + sec245⁰ → 0 + = 2

4. Reduce la expresión (tgα + ctgα) cosα

Solución:

*Trabajamos en función de sen y cos, remplazamos:

(tgα + ctgα) cosα = = cosα

*Sumamos y simplificamos:

cos α= =csec α

Ф

192


1. Simplifica (sec x · tg x – sen x)cos2x

a. tg3x

b. tg x

c. sen3x

d. sen x

2. Simplifica cosx

a. tg3x

b. sen2x

c. cos2x

d. tg2x

3. Simplifica C=

a. sec a

b. tg a

c. sen a

d. csec a

4. Simplifica la siguiente expresión: E=

a. 2

b. 4

c. 1

d. 5

5. Si A(-3;-1) es un punto del lado terminal del ángulo x en posición normal, halla el

valor de: F= ctgx+csec2 x – 3tgx.

a. 6

b. 13

c. 12

d. 10

6. Si csec x + ctg x = 2, Calcula el valor de ctg x

a. 2

b. 0.75

c. -2

d. 1

7. Si sen x +cosx = 3/2 Calcula 5senx · cosx

a. 25/8

b. 8

c. 23/8

d. 7/8

Respuestas:

A B C D

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

193

Resolución de Triángulos


Ley de cosenos

1. En un partido de fútbol, al cobrar el árbitro un tiro libre, los jugadores A, B, C se

encuentran ubicados de la siguiente manera el jugador A está a 45m del jugador B y a

30m del jugador C y este a 25m del jugador B. Si al unir las posiciones de los jugadores se

forma un triángulo, ¿Cuánto mide el ángulo mayor?

Solución:

*Graficamos el triángulo que se forma con las posiciones de los jugadores:

B

45m 25m

α

A C

30m

*El ángulo mayor es el ángulo que se opone al lado mayor, es decir, al lado que mide 45

metros. Aplicamos la ley de cosenos:

2025=900 + 625 -1 500 cos𝛂

500=-1500cosα

cosα= -1/3 → α≈ 109,47⁰

En todo triángulo, el cuadrado de uno de sus lados es igual a la suma de los cuadrados de los

otros dos lados, menos el doble del producto de dichos lados, menos el doble del producto

de dichos lados, por el coseno del ángulo comprendido entre ellos.

En todo triángulo ABC:

194

Ley de senos

1. Halla el área de un triángulo, isósceles si su lado y su ángulo desiguales miden 20cm y

32⁰, respectivamente.

Solución:

*Graficamos el triángulo y calculamos su área:

A= = 10h

16⁰ 16⁰

h

10cm 10cm

*Calculamos el calor de ctg 16⁰:

ctg16⁰=

h= 10ctg 16⁰

*Reemplazamos

A= 10h

A= 10(10ctg 16⁰)

A= 348.74

El área del triángulo es 348,74cm2

En todo triángulo, la medida de sus lados es directamente proporcional a los senos de sus

ángulos opuestos.

En todo triángulo ABC:

195


1. Halla el perímetro de un triángulo si sus lados son números

impares consecutivos y el ángulo mayor mide 120⁰

a. 17u

b. 13u

c. 15u

d. 11u

2. Halla el área del triángulo rectángulo ABC , recto en B,

si tg A=4tfC y su hipotenusa mide 10cm.

a. 20cm2

b. 10cm2

c. 18cm2

d. 9cm2

3. Si los lados de un triángulo miden 10, 12 y 14cm,

Halla el coseno de su ángulo mayor.

a. 1/5

b. ¼

c. 1/3

d. 1/6

4. Encuentra el perímetro de un polígono regular de 36 lados inscrito en una

circunferencia de 10cm

a. 43.7cm

b. 56.8cm

c. 76.9cm

d. 62.75cm

Respuestas:

A B C D

1.

2.

3.

4.

196

Trinomio de Segundo grado

y= ax2 +bx +c

y= - ax2+ bx + c

y= ax2 +bx +c

∆=b2 – 4ac < 0 → No corta

∆=b2 - 4ac > 0 → Corta

∆= b2 - 4ac = 0 →Es tangente

Inclinación y Pendiente de una recta

A(x1, y1); B(x2; y2)

x= x2 - x1

y= y2 - y1

Inclinación: ∡a

Pendiente:

mr= tga = =

Solución de una Determinante

En general, podemos simbolizar un determinante de segundo orden de la manera siguiente:

Donde se usa una sola letra, con doble subíndice, para facilitar la generalización de los determinantes de orden superior. El primer número del subíndice indica el renglón en que está el elemento; y el segundo número, la columna. Así, a21 es el elemento situado en el segundo renglón y primera columna.

Cada determinante de segundo orden representa un número real, dado por la siguiente formula:

Geometría analítica

197

Valor de un determinante 2 x 2

Si a, b,.c y d son números, el determinante de la matriz es

El determinante de una matriz 2 x 2 es el número que se obtiene con el producto de los números de la diagonal principal menos el producto de los números de la otra diagonal.

Solución de un sistema de ecuaciones mediante el método de determinantes de segundo orden:

Para resolver el sistema donde x y y son las incógnitas y a, b, c, d, r, s, son números

reales.

1. Consideramos el arreglo que consta de los coeficientes de las variables.

2. Obtenemos el denominador para ambas variables si multiplicamos los números que se encuentran en la esquina superior izquierda e inferior derecha y restando el producto de los números que están en las esquinas inferior izquierda y superior derecha. El número obtenido se llama determinante del arreglo. Aunque parezca complicado, es fácil de recordar si usamos símbolos

Recuerda que para calcular el determinante efectuamos los productos señalados por las flechas que aparecen en el diagrama, asignando a la flecha hacia abajo un signo positivo y hacia arriba un signo negativo y sumando los resultados obtenidos.

3. Con la notación observamos que la solución del sistema es

Conviene observar, para recordar la solución, que el denominador de ambos se obtiene tomando el determinante de los coeficientes de las variables en el sistema y para el numerador consideramos el determinante obtenido al sustituir, en el determinante del sistema en la columna de la variable que se quiere encontrar, los términos independientes.

La recta y sus Ecuaciones

198


1. La policía Nacional del Ecuador, al investigar sobre ciertos asaltos y robos, ha

determinado cuatro posibles lugares donde podrían esconderse los delincuentes. Si

dichos lugares se ubican en un plano cartesiano, sus coordenadas son A(0;4), B(3;7);

C(6;4), y D(3;1). ¿Qué figura se forma al unir dichos puntos?

Solución:

*Al graficar, observamos que la figura es un cuadrado:

AB≅ BC ≅ CD ≅ AD = 32u

AC ≅ BD = 6u

*Ahora comprobamos analíticamente las longitudes de los lados. Para ello, aplicamos la

fórmula de distancia entre dos puntos. (T. Pitágoras):

d(A,B)= = R18 = 3 u

d(B,C)= = R18 = 3 u

d(C,D)= = R18 = 3 u

d(D,A)= = R18 = 3 u

*Al tener los lados de igual longitud, puede ser un cuadrado o un rombo. Para saber con

certeza qué figura es, calculamos la medida de las diagonales:

d(A,C)= = u

d(B,C)= = u

La única figura que tiene cuatro lados congruentes y sus diagonales se igual longitud es el

cuadrado.

199

Conocidas las coordenadas de los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2), podemos determinar:

d(A,B)=

*Punto medio entre dos puntos

M

*Pendiente de la recta AB:

m=

m= tg α

Si dos rectas L1 y L2 son:

*Paralelas: m1 = m2

*-Coincidentes: m1 = m2

*Perpendiculares: m1 · m2 = -1

*Ecuación de la recta (punto pendiente)

y- y1 = m(x – x1)

200


1. Halla el valor de b sabiendo que la recta L: y=3x+b, la recta L1:2y= x+1

y el eje X se intersecan en un solo punto.

a. 7

b. 6

c. 5

d. 3

2. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (2; 3) y cuya abscisa en el origen es

el doble que su ordenada en el origen.

a. x – 2y -8=0

b. x +2y -8 = 0

c. 2x –y +8 = 0

d. 2x + y – 6= 0

3. Halla la ecuación de la recta que determina con los ejes coordenados un segmento

cuyo punto medio es (-4; 3).

a. 3x -4y +24=0

b. 3x + 4y -24=0

c. 4x – 3y +20=0

d. 4x +3y +16 =0

4. Un móvil parte de A(2;3) hacia B(9;8) debiendo tocar P(0;y) y Q(x;0), respectivamente.

Determina P y Q de manera que el recorrido sea mínimo.

a. P(0;-1) y Q(-1;0)

b. P(0;1) y Q(-1; 0)

c. P(0;-1) y Q(1; 0)

d. P(0; 1 ) y Q(1; 0)

5. Tres vértices consecutivos de un paralelogramo son A(-4; 1), B(2; 3) y C(8;9).

Determina las coordenadas del cuarto vértice.

a. (2; 6)

b. (2; 7)

c. (1; 7)

d. (1; 8)

Respuestas:

A B C D

1.

2.

3.

4.

5.

201

Cónicas


1. Parábola

David observa el trayecto del choro de agua de una pileta. La pileta está bajo un

techo de lunas a 4m de altura. El chorro de agua parte el piso y su trayectoria es una

parábola que alcanza 3m de altura. Calcula la mayor longitud que alcanza el chorro

de agua.

Solución:

*El punto donde el chorro de agua alcanza su máxima altura es el vértice de la

parábola: V(0;3)

*Si el techo representa la directriz, entonces la distancia del vértice a la directriz

mide 1m: el parámetro → p=1

*Si h y k son las coordenadas del vértice, la ecuación general de la parábola es

(x - h)2= -4p(y – k)

*Hallamos la ecuación de la parábola:

(x - h)2= -4p(y – k)

=4(1)(y-3)

y= - +3

*Calculamos la máxima longitud que alcanza el chorro hallando los puntos en los

que la parábola corta el eje de las abscisas. Para ello, igualamos la ecuación a 0:

La mayor longitud que alcanza es 4 ≈ 6,9m

202


1. Determina los valores de a para que la recta 3x +2y +a= 0 sea

tangente a la circunferencia 2x2 +2y2 +16x+4y-70=0

a. ±12

b. ±10

c. ±14

d. ±8

2. Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos P(-1;2), Q(1;1) y

R(0;2).

a. 7x2+ 7y2 +11x +y - 26 =0

b. x2 +y2+14y -65x -1=0

c. x +56 -5y-82=0

d. 14x2+56y-58x +4 -1y=0

3. La ecuación de la parábola cuyo foco es (2; -3) y cuyo vértice es el punto(1;-3) es:

a. (y + 5)=(x- 55)

b. (9+y)= 3(8x-1)

c. (y+3)2 = 4(x – 1)

d. (y+3)2 = 4(x + 1)

4. Halla la ecuación de la parábola de eje focal paralelo al eje de las abscisas, si se

sabe que pasa por los puntos (3;3), (6; 5), (6; -3)

a. x -2y +4x +10=0

b. x - 5y -3x + 8 =0

c. y2- 2y - 4x +9= 0

d. y- 2y - 4x +9= 0

5. Halla el valor de n para que la ecuación x2 + y2 – 4x +6y +n =0 represente una

circunferencia de radio 5.

a. 12

b. -11

c. -12

d. 10

6. La directriz de una parábola pasa por el punto (1;2) y es la

Paralela a recta 3x -4y +10 = 0 y su foco es (6; 2).

Halla la distancia del vértice a la directriz

a. 0.5

b. 1

c. 1.5

d. 2

Respuestas:

A B C D

1.

2.

3.

4.

5.

6.

203

La estadística es una ciencia formal que estudia la recolección, análisis e interpretación de

datos de una muestra representativa, ya sea para ayudar en la toma de decisiones o para

explicar condiciones regulares o irregulares de algún fenómeno o estudio aplicado, de

ocurrencia en forma aleatoria o condicional.

En estadística se pueden distinguir diferentes tipos de frecuencias:

Frecuencia absoluta: Es el promedio de una suma predeterminada y además consiste en saber cual es el número o símbolo de mayor equivalencia. (ni) de una variable estadística Xi, es el número de veces que este valor aparece en el estudio. A mayor tamaño de la muestra aumentará el tamaño de la frecuencia absoluta; es decir, la suma total de todas las frecuencias absolutas debe dar el total de la muestra estudiada (N).

Frecuencia relativa (fi), es el cociente entre la frecuencia absoluta y el tamaño de la muestra (N). Es decir,

Siendo el fi para todo el conjunto i. Se presenta en una tabla o nube de puntos en una distribución de frecuencias.

Si multiplicamos la frecuencia relativa por 100 obtendremos el porcentaje o tanto por ciento (pi)

Medidas de tendencia central

Dados los n números , la media aritmética se define como:

Por ejemplo, la media aritmética de 8, 5 y -1 es igual a:

Estadística y Probabilidad

http://es.wikipedia.org/wiki/Ciencia_formal

http://es.wikipedia.org/wiki/Dato

http://es.wikipedia.org/wiki/Toma_de_decisiones

http://es.wikipedia.org/wiki/Aleatoria

http://es.wikipedia.org/wiki/Probabilidad

http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_de_frecuencias

http://es.wikipedia.org/wiki/Porcentaje

204

Se utiliza la letra X con una barra horizontal sobre el símbolo para representar la media de una

muestra ( ), mientras que la letra µ (mu) se usa para la media aritmética de una población, es decir, el valor esperado de una variable.

En otras palabras, es la suma de n valores de la variable y luego dividido por n : donde n es el número de sumandos, o en el caso de estadística el número de datos se da el resultado

Mediana

La mediana representa el valor de la variable de posición central en un conjunto de datos

ordenados.

1. Considerando los datos en forma individual, sin agruparlos. 2. Utilizando los datos agrupados en intervalos de clase.

A continuación veamos cada una de ellas.

Datos sin agrupar

Sean los datos de una muestra ordenada en orden creciente y

designando la mediana como , distinguimos dos casos:

a) Si n es impar, la mediana es el valor que ocupa la posición una vez que los datos han sido ordenados (en orden creciente o decreciente), porque éste es el valor central.

Es decir: .

Por ejemplo, si tenemos 5 datos, que ordenados son: , , , ,

=> El valor central es el tercero: . Este valor, que es la mediana de ese conjunto de datos, deja dos datos por debajo ( , ) y otros dos por encima de él ( , ).

b) Si n es par, la mediana es la media aritmética de los dos valores centrales. Cuando es par,

los dos datos que están en el centro de la muestra ocupan las posiciones y . Es

decir: .

Por ejemplo, si tenemos 6 datos, que ordenados son: , , , ,

, => Hay dos valores que están por debajo del y otros dos

que quedan por encima del siguiente dato .

Por tanto, la mediana de este grupo de datos es la media aritmética de estos dos datos:

.

http://es.wikipedia.org/wiki/%CE%9C

http://es.wikipedia.org/wiki/Esperanza_matem%C3%A1tica

http://es.wikipedia.org/wiki/Variable_%28matem%C3%A1ticas%29

205

Datos agrupados

Al tratar con datos agrupados, si coincide con el valor de una frecuencia acumulada, el valor de la mediana coincidirá con la abscisa correspondiente. Si no coincide con el valor de ninguna abscisa, se calcula a través de semejanza de triángulos en el histograma o polígono de frecuencias acumuladas, utilizando la siguiente equivalencia:

Donde y son las frecuencias absolutas acumuladas tales que , y son los extremos, interior y exterior, del intervalo donde se alcanza la mediana y

es la abscisa a calcular, la mediana. Se observa que es la amplitud de los intervalos seleccionados para el diagrama.

Moda

La moda es el valor con una mayor frecuencia en una distribución de datos.

Hablaremos de una distribución bimodal de los datos adquiridos en una columna cuando encontremos dos modas, es decir, dos datos que tengan la misma frecuencia absoluta máxima.

Una distribución trimodal de los datos es en la que encontramos tres modas. Si todas las variables tienen la misma frecuencia diremos que no hay moda.

El intervalo modal es el de mayor frecuencia absoluta. Cuando tratamos con datos agrupados antes de definir la moda, se ha de definir el intervalo modal.

La moda, cuando los datos están agrupados, es un punto que divide al intervalo modal en dos partes de la forma p y c-p, siendo c la amplitud del intervalo, que verifiquen que:

Siendo la frecuencia absoluta del intervalo modal las frecuencias absolutas de los intervalos anterior y posterior, respectivamente, al intervalo modal.

http://es.wikipedia.org/wiki/Abscisa

http://es.wikipedia.org/wiki/Histograma

206

Medidas de tendencia Central


Tablas con datos no agrupados

1. Los siguientes datos corresponden a las edades de 20 alumnos de una academia

preuniversitaria:

16; 16; 16; 16; 16; 16; 16; 16; 17; 16;

16; 16; 16; 16; 16; 16; 16; 16; 17; 17;

Elabora la tabla de frecuencias y calcula la edad promedio. Cuando las edades están

ordenadas, ¿Cuál es el valor intermedio? ¿Cuál es la edad que se repita?

Solución:

*Elaboramos la tabla:

Dónde:

%: la frecuencia relativa x 100

n: es el número total de datos (en este caso n= 20)

EDAD(x) %

16 13 0.65 65

17 3 0.15 15

18 3 0.15 15

19 1 0.05 5

Total 20 1.00 100

*Calculamos la edad promedio:

x= = = 16,6

*Ordenamos los datos y calculamos el valor central:

16; 16; 16; 16; 16; 16; 16; 16; 16; 16;

16; 16; 16; 17; 17; 17; 18; 18; 18; 19;

Me= = 16años

*Determinamos el dato que más se repite o moda:

Mo= 16

207

Tablas con datos agrupados

Después de medir las estaturas en centímetros de 20 alumnos de 3er. año, resultaron los siguientes

valores:

165; 175; 155; 170; 168; 157; 167; 172; 177; 160;

160; 168; 164; 174; 170; 182; 161; 171; 173; 194

Calcula la media, la mediana y la moda.

Solución:

*Elaboramos la tabla de frecuencias con datos agrupados en intervalos de amplitud 10:

Estatura Intervalo

Marca de Clase(xi) xi - hi %

155-165 160 6 960 0.30 30

165-175 170 3 1700 0.50 50

175-185 180 10 540 0.15 15

185-195 190 1 190 0.05 5

Total n=20 3 390 1.00 100

*Cada uno de los intervalos tiene dos extremos, la diferencia entre ellos se llama amplitud:

165 – 155 = 10

La amplitud de 10 es la misma en todas las clases.

175 – 165 = 10

*Marca de clase es el valor central de cada intervalo:

xi = = 160

*Calculamos la media aritmética:

x= → x = = 169,5 cm

*Para calcular la mediana (me) elaboramos una tabla con la frecuencia acumulada (Fi):

Intervalo 155-165 6 6

165-175 10 16

175-185 3 19

185-195 1 20

n=20

El lugar del dato central es: = 10

*La mediana es el dato número 10 y se ubica en el intervalo [165; 175[

*Determinamos la moda

El intervalo modal es [165; 175[

208


1. Se encuestaron a 25 familias para averiguar el número de televisores

que tienen y se registraron los siguientes datos:

0; 1; 2; 3; 1; 0; 1; 1; 1; 4; 3; 2; 2; 1; 1; 2; 2; 1;

1; 1; 2; 1; 3; 2; 1. Calcula la suma de la media, mediana y moda.

a. 4

b. 2.56

c. 3

d. 3.56

2. La media aritmética de 10 números es 39.5 y el promedio de otros 12 números es 50.5.

Calcula la media aritmética del total de los números.

a. 55.5

b. 45.5

c. 35.5

d. 65.5

3. Una zapatería vende en un día 40 pares de zapatos de las siguientes tallas:

39 39 40 43 39 38 41 40 41 39

40 40 41 37 42 40 41 42 42 43

41 41 41 43 38 41 42 41 42 42

44 41 42 39 41 40 44 43 40 40

¿Qué talla de zapatos corresponden al 12.5% y qué talla corresponde a la mediana?

a. 40 y 41

b. 39 y 38

c. 41 y 42

d. 39 y 41

4. La tabla muestra el peso de 20 estudiantes de tercero de secundaria. Calcula el peso

promedio y el porcentaje correspondiente al intervalo de la moda.

Peso(kg) 45-55 56-65 65-75 75-85

85-95

f1 9 8 1 1 1

a. 59kg y 59%

b. 57.5kg y 41%

c. 58.5kg y 45%

d. 55.5 38 y 38%

Respuestas:

A B C D

1.

2.

3.

4.

209

Análisis de gráficos Estadísticos


En las tablas estadísticas se puede mostrar gran cantidad de información, pero muchas veces

conviene presentar la información de una manera más evidente y clara a través de gráficos.

Estos pueden ser: de barras, histogramas, de sectores, polígonos, pictogramas, etc. e los

siguientes gráficos, a simple vista podemos hacer algunas observaciones.

Diagrama de Barras

Histograma

Diagrama de Sectores

210

1. Observa el histograma con las estaturas de los alumnos de las clases de baile ¿Cuántas

personas conforman la muestra? ¿Cuál es el porcentaje de personas con estatura más baja?

Solución:

*Elaboramos y completamos la tabla estadística:

*El número de personas que conforman la muestra es n=6+10+3+1=20

*El porcentaje del grupo de estatura más baja es 30%

Estatura (cm) fi hi %

155-165 6 0.30 30

165-175 10 0.50 50

175-185 3 0.15 15

185-195 1 0.05 5

Total n 1.00 100

2. El siguiente gráfico muestra los gastos mensuales de las familias Ríos y Pérez durante el

año:

Halla la suma de los promedios de gastos de ambas familias

Solución:

*Calculamos el promedio de gastos de la familia Ríos:

(1050+1050+1350+1200+750+450+600+1050+1050+600+900): 12 = 925 dólares

* Calculamos el promedio de gastos de la familia Pérez:

(750 +600+900+1050+600+600+750+900+1200+750+450+1050): 12= 800dólares

*Sumamos los promedios: 925+800= 1 725 dólares

La suma de promedios de gastos es $ 1 725.

211

Probabilidades


Cálculo de probabilidades

Para calcular probabilidades se utiliza la siguiente fórmula:

Probabilidad = Casos favorables / Casos posibles

El resultado se multiplica por 100 para expresarlo en porcentaje.

Veamos algunos ejemplos:

a) Calcular la probabilidad de que salga "cara" al lanzar una moneda:

Casos favorables: 1 (que salga "cara")

Casos posibles: 2 (puede salir "cara" o "cruz")

Probabilidad = (1 / 2 ) * 100 = 50 %

b) Calcular la probabilidad de que salga "3" al lanzar un dado:

Casos favorables: 1 (que salga "3")

Casos posibles: 6 (puede salir "1, 2, 3, 4, 5 o 6")

Probabilidad = (1 / 6 ) * 100 = 16,6 %

c) Calcular la probabilidad de que salga "un número entre 1 y 4 " al lanzar un dado:

Casos favorables: 4 (sería válido cualquiera de los siguientes resultados "1, 2, 3, o 4")

Casos posibles: 6 (puede salir "1, 2, 3, 4, 5 o 6")

Probabilidad = (4 / 6 ) * 100 = 66,6 %

212

d) Calcular la probabilidad de que salga el número 76 al sacar una bolita de una bolsa con 100 bolitas numeradas del 1 al 100:

Casos favorables: 1 (sacar el número 76)

Casos posibles: 100 (hay 100 números en la bolsa)

Probabilidad = (1 / 100 ) * 100 = 1 %

e) Calcular la probabilidad de que salga "un número entre 1 y 98" al sacar una bolita de una bolsa con 100 bolitas numeradas del 1 al 100:

Casos favorables: 98 (valdría cualquier número entre 1 y 98)

Casos posibles: 100 (hay 100 números en la bolsa)

Probabilidad = (98 / 100 ) * 100 = 98 %

Propiedades.

1.P( ) = 1 - P( A ) 2.P( Ø ) = 0

3.Si A B P( B ) = P( A ) + P( )

4.Si A B P( A ) P( B ) 5.Si A1 , A2 , ... , Ak , son incompatibles dos a dos, entonces: P( A1 A2 ... Ak ) = P( A1 ) + P( A2 ) + ... + P( Ak )

6.P( ) = P( A ) + P( B ) - P( ) 7.Si el espacio muestra E es finito y un sucesos es A={x1 , x2 , ... , xK} , entonces: P( A ) = P( x1 ) + P( x2 ) + ... + P( xK )

213


1. Se lanza un dado. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un número

primo mayor que 2?

a. 20%

b. 30%

c. 40%

d. 33%

2. Se lanzan dos dados simultáneamente. Calcula la probabilidad de obtener como

máximo 5 al sumar las puntuaciones.

a. 29%

b. 28%

c. 35%

d. 47%

3. Se lanzan 4 monedas sucesivamente. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 2 sellos como

mínimo?

a. 0.67

b. 0.69

c. 0.70

d. 0.87

4. En un cajón hay 16 pañuelos de los cuales 4 son blancos, 6 son rosados y el resto de

otros colores. Si se saca sin mirar un pañuelo, ¿Cuál es la probabilidad de que sea

blanco o rosado?

a. 5/8

b. ¼

c. 3/8

d. 7/8

5. En una urna hay 50 bolas numeradas del 1 al 50. Sorteadas una de ellas, ¿Cuál es la

probabilidad de extraer una con un número múltiplo de 3 o 5?

a. 46%

b. 40%

c. 27%

d. 82%

6. En una caja hay 100 boletos para una rifa, numerados del 1 al 100. ¿Qué probabilidad

hay de que el número premiado sea un múltiplo de 5?

a. 50%

b. 40%

c. 20%

d. 30%

214

7. Según la lista de alumnos, en un salón de 3ero. hay 10 alumnos de 13 años, 8 de 14

años y 12 de 15 años. Escogiendo al azar dos alumnos, ¿Cuál es la probabilidad de que

los dos tengan la misma edad?

a. 0.52

b. 0.42

c. 0.32

d. 0.62

8. Una pareja de recién casados decide tener tres hijos. ¿Cuál es la probabilidad de tener

2 varones y una mujer?

a. 62.5%

b. 25.2%

c. 74.5%

d. 37.5%

9. Se tiene dos cajas de lápices de colores. En una hay 6 colores celestes, 2 rosados y uno

marrón; en la otra hay 5 colores celestes y 3 amarillos. Se escoge al azar una caja,

¿Cuál es la probabilidad de que al extraer el color no sea celeste?

a. 45.3%

b. 54.3%

c. 35.4%

d. 53.4%

10. Se lanza un dado tres veces. ¿Cuál es la probabilidad que el primer resultado sea 5 y

los otros dos lanzamientos son menores que 5?

a. 9.4%

b. 8.6%

c. 6.5%

d. 7.4%

11. De una baraja de 52 cartas; ¿Cuál es la probabilidad de sacar una carta cuyo número

sea múltiplo de 4?

a. 53%

b. 42%

c. 23%

d. 32%

Respuestas: A B C D

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

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