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El Mtodo de Elemento Finitos - Aplicacin a la
Mecnica Escalar
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El Mtodo de Elemento Finitos Aplicacin a la Mecnica Escalar
elementos
unidimensionales
En este captulo se cubren aspectos introductorios para el desarrollo y uso
del Mtodo de los Mtodos Finitos (MEF), como el planteamiento de la
forma general del Mtodo de los Residuos Ponderados (MRP) y su forma
dbil con el uso del Mtodo de Galerkin. Se da el planteamiento general
para hallar las soluciones aproximadas a problemas de Mecnica Escalar
como son los problemas de Poisson aplicados a la transferencia de calor y
al Principio de Trabajos Virtuales. Se introducen los conceptos de
Formulacin Paramtrica e Integracin Numrica, ambos muy
importantes para la implementacin del MEF y que se ampliarn ms
adelante en elementos finitos bi y tridimensionales.
El Mtodo de los Elementos Finitos Mecnica Escalar y Vectorial Elementos Unidimensionales
Mediante ecuaciones diferenciales se puede generalizar el comportamiento de un sistema
continuo, y por tanto dicho comportamiento se logra obteniendo la solucin analtica de dichas
ecuaciones. Para obtener la solucin de la ecuacin diferencial se pueden usar los mtodos directos de
integracin, que nos dar la solucin exacta al problema. Otra alternativa es la de abordar dicha ecuacin
por mtodos aproximados. Los mtodos aproximados se dividen en un primer grupo que toma en cuenta
la ecuacin diferencial original (el mtodo de las diferencias finitas), y el segundo grupo que toma la
formulacin integral equivalente. En el segundo grupo se consideran al Mtodo de los Elementos Finitos,
cuya integral equivalente puede ser una formulacin variacional o una formulacin residual.
A continuacin mencionaremos los tres mtodos que se pueden usar para obtener la solucin
numrica de las ecuaciones diferenciales.
Mtodo de las Diferencias Finitas.
En este mtodo se aproximan las derivadas que gobiernan la ecuacin diferencial usando
ecuaciones diferenciales. Este mtodo es usado en problemas de campo como la transferencia de
calor y la mecnica de fluidos. Con este mtodo se trabaja muy bien en regiones de dos
dimensiones y con bordes paralelos a los ejes de coordenadas, lo que es una desventaja cuando
se quiere aplicar este mtodo en regiones curvas o de bordes irregulares, en los que su
implementacin en programas de cmputo se vuelve muy complicada.
Mtodo Variacional.
La solucin aproximada de una ecuacin diferencial se puede obtener, sustituyendo diferentes
funciones de prueba en un funcional apropiado. La funcin de prueba que nos d un mnimo
valor del funcional, ser la solucin aproximada [Seg]. Consideremos la siguiente integral:
0
(
*
1
El valor de puede calcularse mediante una funcin y=f(x). Por clculo variacional, la ecuacin
particular y=g(x) que cumpla con las condiciones de borde y entregue el menor valor de , ser
la solucin para la ecuacin diferencial siguiente:
Mtodo de Residuos Ponderados.
En este mtodo se elige una funcin aproximada y=h(x) y se evala en la ecuacin diferencial
(1.1). El resultado generar un cierto error (no ser igual a cero), lo que indica que la funcin
y=h(x) no satisface la ecuacin diferencial.
En el Mtodo de los Residuos Ponderados, al residuo R(x) se le multiplica por una funcin de
peso y se procede a integrar el producto, el requerimiento es que la integral sea igual a cero. Se
tendrn tantas funciones de peso como coeficientes desconocidos hayan.
El Mtodo de los Elementos Finitos Mecnica Escalar y Vectorial Elementos Unidimensionales
Para la eleccin de las funciones de peso se tienen varios mtodos, entre los cuales los ms
populares son: el mtodo de colocacin puntual, el mtodo de colocacin por subdominios, el
mtodo de Galerkin y el mtodo de mnimos cuadrados.
Se desarrollar el ejemplo de una viga simple sometida a momentos en sus extremos, para
plantear los mtodos descritos anteriormente. Ms adelante se trabajarn slo con los mtodos de
formulacin residual, cuando se desarrolle el mtodo de residuos ponderados en su forma general y en su
forma dbil.
Figura 1.1: Viga sujeta a momentos [Seg].
Las condiciones de borde sern: y(0) = y(L) = 0.
Si se traza el diagrama de momentos se podra notar que toda la viga est sujeta a un valor de Mo
(valor constante para el momento). La ecuacin diferencial que gobierna el comportamiento de la viga es:
EI representa la resistencia de la viga a la flexin, M(x) en este ejemplo tiene un valor constante
igual a Mo. Una solucin aproximada para evaluar la deflexin en la viga es:
La ecuacin (1.3) se considera como una ecuacin apropiada, ya que cumple con las condiciones
de borde y(0) = y(H) = 0 y adems la curva es similar a la curva de deformacin de la viga. La solucin
analtica o exacta de la ecuacin (1.2) es como sigue:
Solucin por el Mtodo Variacional
La integracin para la ecuacin diferencial (1.2), mediante el mtodo variacional es la siguiente:
0
(
*
1
De la ecuacin particular (1.3), el valor de A que nos da la mejor aproximacin a la curva de
deflexin es el valor que hace un mnimo. deber ser escrito en funcin de A y luego ser minimizado
con respecto a A. De la ecuacin (1.3) se tendr:
Reemplazando los valores de (1.3) y (1.4) en el valor de , tendremos:
El Mtodo de los Elementos Finitos Mecnica Escalar y Vectorial Elementos Unidimensionales
0
(
*
1
.
/ (
*
Minimizando :
.
/ (
*
Luego el valor de A, ser igual a:
.
/
La solucin aproximada de la curva de deflexin ser entonces:
.
/
Solucin por el Mtodo de Colocacin Puntual
En este mtodo se requiere que la ecuacin residual sea cero en tantos puntos como incgnitas se
tengan. Como funcin aproximada se tomar la ecuacin (1.3) y sustituyndola en la ecuacin (1.2), nos
dar la ecuacin residual:
Como se tiene un solo coeficiente incgnita, igualaremos la ecuacin residual a cero en slo un
punto. Evaluaremos para el punto = L/2.
(
*
.
/
La solucin aproximada de la curva de deflexin ser entonces:
.
/
De elegir un punto distinto a L/2 la solucin aproximada puede variar.
Solucin por el Mtodo de Colocacin por Subdominios
En este mtodo lo que se requiere es que la integral sea igual a cero en tantos
intervalos como incgnitas se tengan. Se puede elegir cualquier longitud como tamao del intervalo. Para
nuestro ejemplo, se elegir un solo intervalo o subdominio ya que slo se tiene una incgnita a ser
calculada, por tanto el intervalo elegido ser toda la viga (0
El Mtodo de los Elementos Finitos Mecnica Escalar y Vectorial Elementos Unidimensionales
0
1
Resolviendo la integral se tendr:
(
*
.
/
La solucin aproximada de la curva de deflexin ser entonces:
.
/
Solucin por el Mtodo de Galerkin
En este mtodo la integral , es evaluada usando como funcin de peso , la
misma funcin aproximada. En este ejemplo se tendr una sola funcin de peso debido a que se tiene una
sola incgnita.
0
1
Resolviendo la integral se tendr:
.
/
.
/
La solucin aproximada de la curva de deflexin ser entonces:
.
/
Solucin por el Mtodo de Mnimos Cuadrados
El error en este mtodo ser: Er = [ ] :
0
1
Resolviendo la integral se tendr:
.
/
Minimizando Er:
.
/
Luego el valor de A, ser igual a:
El Mtodo de los Elementos Finitos Mecnica Escalar y Vectorial Elementos Unidimensionales
.
/
La solucin aproximada de la curva de deflexin ser entonces:
.
/
De los mtodos usados el mtodo variacional, el mtodo de Galerkin y el mtodo de mnimos
cuadrados nos han entregado resultados iguales; se tendra que elaborar una comparacin de los mtodos
con la solucin analtica para verificar la exactitud de cada uno. La eleccin de la funcin aproximada, as
como los puntos de colocacin o eleccin de subdominio hacen que los mtodos puedan ser ms o menos
precisos.
En lo que sigue del texto se trabajar slo con los mtodos residuales, y entre los mtodos
residuales se dar preferencia al mtodo de Galerkin.
En la figura 1.2 se tiene una barra sometida a una fuerza horizontal H en su extremo libre, y a
cargas axiales distribuidas b(x), no se considerarn las fuerzas de cuerpo como es el peso propio.
Segn se indica en la Figura 1.2, se tomar un elemento diferencial de la barra horizontal. En
dicho elemento diferencial se aplicar el equilibrio por sumatoria de fuerzas, por lo que se tendr:
La relacin esfuerzo-deformacin se expresa por la ley de Hooke:
Figura 1.2: Barra cargada axialmente [OZ]
Si el rea transversal de la seccin es A, el esfuerzo axial N ser:
El Mtodo de los Elementos Finitos Mecnica Escalar y Vectorial Elementos Unidimensionales
Reemplazando N en la ecuacin (1.5):
(
*
La ecuacin (1.6) es la ecuacin de equilibrio de fuerzas en la barra. Las condiciones de
contorno sern:
Desplazamiento para u=0 en x=0 (Condiciones de Dirichlet)
2
(Condiciones de Neumann)
Al desplazamiento se le conoce como primera variable, y est especificado en las condiciones de
contorno de Dirichlet o contorno esencial. A
, se le conoce como la segunda variable y est prescrita
en las condiciones de contorno de Neumann o contorno natural.
La ecuacin de Poisson se puede aplicar a muchos campos como a la electroesttica, flujo en
medios porosos, transferencia de calor, flujo en tuberas, flujo de fluidos viscosos, torsin de barras, etc.
La ecuacin general de Poisson tiene la siguiente forma general [Red]:
(
*
En la tabla a continuacin se enumeran algunos de los campos de estudio donde se puede aplicar
la ecuacin de Poisson.
Como se ha visto anteriormente, en el Mtodo de los Residuos Ponderados se transforma la
ecuacin diferencial en una expresin integral equivalente. Se tiene una ecuacin diferencial A() en el
dominio (0 x L, para la barra de la figura 1.2, donde se satisface dicha ecuacin:
(
*
Campo de EstudioVariable
Primaria (u)a c b
Variable
Secundaria
Transferencia de Calor Temperatura (T)Comductividad
(k)
Superficie de
Conveccin (p)
Fuente de Calor
(Q)Calor (q)
Flujo a travs de Medios
Porosos
Altura
Piezomtrica ()Permeabilidad 0 Infiltracin Flujo (q)
Flujo a travs de Tuberas Presin (P)Resistencia de la
Tubera (1/R)0 0 Flujo (q)
Flujo de Fluidos Viscosos Velocidad (vs) Viscosidad () 0Gradiente de
Presin (-dP/dx)
Esfuerzo de
Corte (xz)
Cables ElsticosDesplazamiento
(u)Tensin (T) 0
Fuerza
Transversal (f)
Fuerza Puntual
(P)
Barras ElsticasDesplazamiento
(u)
Rigidez Axial
(EA)0 Fuerza Axial (f)
Fuerza Puntual
(P)
Torsin de Barrasngulo de Giro
()
Rigidez al Corte
(GJ)0 0 Torque (T)
ElectroestticaPotencial
Elctrico ()
Constante
Dielctrica ()0
Densidad de
Cambio ()
Flujo Elctrico
( E)
El Mtodo de los Elementos Finitos Mecnica Escalar y Vectorial Elementos Unidimensionales
Las condiciones de contorno sern expresadas por las ecuaciones:
8
Donde es el contorno de Dirichlet (x = 0, para la barra de la figura 1.2), que prescribe la
funcin incgnita (desplazamientos, temperaturas, etc.); y es el contorno de Neumann (x = L, para la
barra de la figura 1.2), donde se prescribe el flujo o tensiones en el dominio.
La forma integral equivalente se obtiene multiplicando a las expresiones A() y B(), por
funciones de peso e integrando sobre el dominio de cada ecuacin:
Donde son las funciones de peso. Para cumplirse con la ecuacin integral (1.8),
debe tambin de cumplirse con las siguientes condiciones:
Por tanto se puede indicar que se puede tener cualquier funcin de peso, y tambin indica que la
funcin que satisface con las ecuaciones (1.6) y (1.7) tambin cumplir la ecuacin integral (1.8). Por
tanto se podr solucionar el problema a partir de las ecuaciones (1.6) y (1.7), que sera usar el mtodo de
las diferencias finitas, o mediante la ecuacin integral (1.8) que es la base del mtodo de los elementos
finitos.
1.4.1. Aproximacin de la Incgnita.
Como no es posible encontrar soluciones exactas al problema, se buscarn soluciones
aproximadas .
Por tanto la ecuacin integral podr ser expresada por la integral de residuos
ponderados, mediante:
( ) ( )
A la ecuacin (1.9) se le conoce como la ecuacin de residuos ponderados, ya que al
sustituir en las ecuaciones A y B, al ser una funcin aproximada de , tendremos los
residuos de la solucin (no sern igual a cero).
( )
( )
La ecuacin (1.9) tambin se puede escribir como:
El Mtodo de los Elementos Finitos Mecnica Escalar y Vectorial Elementos Unidimensionales
Si , se cumplir que . La ecuacin (1.10) nos lleva a
interpretarla como la integral de los residuos de la ecuacin diferencial ponderados por las
funciones de peso, de ah el nombre a este mtodo [OZ].
La solucin aproximada se expresa a travs de una combinacin lineal de funciones.
Donde sern los coeficientes a determinar y son las funciones de la variable
independiente x. Para , suelen escogerse:
a. Monomios:
b. Funciones de Fourier:
c. Funciones Exponenciales:
Tomando en cuenta las funciones , la expresin de residuos ponderados ser:
4
5 4
5
La expresin anterior, ordenada adecuadamente, como se ver ms adelante, se puede
escribir en forma matricial como:
Ka = f
La solucin de la ecuacin (1.11), nos dar los valores de las incgnitas .
1.4.2. Aplicacin del Mtodo de Residuos Ponderados a problemas
unidimensionales de transmisin de calor
Se tendrn las siguientes condiciones para el problema a resolver:
La conductividad k ser constante y tendr un valor de 1, Q es el calor generado por
unidad de longitud y es la temperatura. El valor de Q tiene las siguientes condiciones:
{
Se cumplen las siguientes condiciones de contorno:
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{
Se tomarn las funciones de forma globalmente . La aproximacin de se har
por series de Fourier.
La funcin es continua en todo el dominio , adems se cumplen con las
condiciones de contorno.
}
De lo anterior se tiene que en el contorno (x=0, x=L):
( )
Operando en :
( ) (
+
(
+
0 (
*
1
La ecuacin integral ser por tanto:
( ) ( )
80 (
*
1
9
80 (
*
1
9
[
(
*
]
Resolviendo la ecuacin (1.12) para distintos valores de i:
Para i=1
0 (
*
1
El Mtodo de los Elementos Finitos Mecnica Escalar y Vectorial Elementos Unidimensionales
(
)
(
*
(
)
Para i=2
(
)
(
*
(
)
Para i=n
(
)
(
*
(
)
Las ecuaciones integrales anteriores, tambin se pueden expresar en forma matricial:
(
)
[
]
{
}
{
}
O:
[
]
{
}
{
}
En la anterior ecuacin matricial, cada trmino Kij de la matriz K se expresa por:
(
*
La matriz K no es una matriz simtrica, . Cada trmino fi, ser:
1.4.3. Mtodo de Galerkin
Este mtodo consiste en tomar como funciones de peso, las mismas funciones de
aproximacin .
La ecuacin integral general, tendr la siguiente forma con el Mtodo de Galerkin:
( ) ( )
Continuando con la resolucin del problema unidimensional de transmisin de calor, se
tendr:
( ) ( )
El Mtodo de los Elementos Finitos Mecnica Escalar y Vectorial Elementos Unidimensionales
Resolveremos el problema tomando uno y dos trminos.
Para n=1:
[ ]{ } { }
Calculando los trminos de la ecuacin matricial:
(
)
(
)
(
) (
)
(
)
Evaluando la ecuacin matricial:
[ ]{ } { }
0
1 { } {
}
Por tanto:
Para n=2:
[
] ,
- {
}
Calculando los trminos de la ecuacin matricial:
i=1:
(
)
(
)
(
) (
)
(
)
(
*
(
)
(
*
El Mtodo de los Elementos Finitos Mecnica Escalar y Vectorial Elementos Unidimensionales
i=2:
(
)
(
*
(
)
(
*
(
*
(
* (
*
(
*
Evaluando la ecuacin matricial:
*
+ ,
- 2
3
Por tanto, la solucin aproximada es:
Se dir que una funcin tiene continuidad o clase Cm, si la funcin es continua y sus m primeras
derivadas; por ejemplo C1 significar que la funcin y su primera derivada son continuas, C0 indicar que
slo la funcin es continua y C-1 que la misma funcin es discontinua.
Para que la derivada m-sima de una funcin sea integrable, es necesario que la m-1 derivada sea
continua.
Figura 1.3: Integral de una funcin y sus dos primeras derivadas [OZ]
En la figura 1.3, la integral de la funcin f(x) existe en el intervalo [0,xi+1] y se calcula hallando
el rea del tringulo, f(x) es una funcin continua (no presenta ningn salto). La primera derivada f (x)
no es un funcin continua, pero es integrable, la integral de la primera derivada de f(x) se calcula hallando
el rea de los dos rectngulos que forma la funcin en el intervalo [0,xi+1]. Sin embargo, f (x) ya no es
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integrable (m=2), lo que demuestra lo anteriormente mencionado: no es integrable ya que f (x), que es la
derivada m-1, no es una funcin continua. En resumen la funcin mostrada, tendr una continuidad C0.
Considerando la ecuacin diferencial inicial:
(
*
Con las condiciones de contorno:
8
Aplicando el Mtodo de Residuos Ponderados se tendr:
[ ]
Es comn tomar funciones aproximadas que cumplan con las condiciones de contorno de
Dirichlet, es la razn por la que no se toma en cuenta la ponderacin en . Sustituyendo las
ecuaciones diferenciales se tendr:
[
(
* ]
[ (
*
]
En la ecuacin 1.15, aparece derivada 2 veces (m=2), lo que nos indica que para que sea
integrable, la derivada m-1 (primera derivada), debe ser continua; es decir tener una continuidad C1. Esta
condicin tambin la deben de cumplir las funciones de forma.
Tambin se puede evaluar el grado de continuidad para k, ya que est derivada una sola vez
(m=1), es necesario que slo la funcin sea continua (m-1=0), C0.
Por otro lado, W no se encuentra afectada por ninguna derivada, entonces no es necesario
cumplir con ningn requisito de continuidad, pudiendo ser una funcin de peso discontinua. De evaluar
las continuidades para y para W, podemos concluir que los requisitos de continuidad son asimtricos,
lo que nos conducir a obtener sistemas de ecuaciones algebraicas no simtricas (K no sera una matriz
simtrica como se ha indicado, ).
Por el mtodo de integracin por partes podremos generar otra expresin para la ecuacin
integral que nos permita trabajar con expresiones para y W simtricas:
[ ]
[
(
* ] [ (
*]
(
*
[ (
*]
El Mtodo de los Elementos Finitos Mecnica Escalar y Vectorial Elementos Unidimensionales
4
5
6
7
4
5
Reemplazando la integracin por partes en la ecuacin (1.16):
(
*
[
]
[ (
*]
En la ecuacin (1.17), se han modificado los requisitos de continuidad. Para y W se requiere
una continuidad C0 (m=1, m-1=0), mientras que k puede ser discontinua.
La ecuacin integral (1.17) recibe el nombre de forma integral dbil, ya que al usarla se restringe
el campo de seleccin de la funcin W, ya que la forma dbil exige funciones de peso continuas, mientras
que la forma integral original permite cualquier tipo de funciones de peso [OZ].
1.6.1. Condicin de Contorno Natural
Si = -W, simplificando y reordenando la ecuacin se tendr:
(
*
[
]
[ ]
(
*
[ ] [ ]
La variable q0, para el tratamiento de transferencia de calor, es el flujo entrante donde
est prescrito el valor de . Hablando de clculo de estructuras, q0 es la reaccin en x=0. En
ambos casos, q0 puede calcularse una vez que se haya calculado la solucin para .
1.6.2. Solucin de la Ecuacin Diferencial por la forma dbil del MRP
Sustituyendo:
En la ecuacin (1.18):
4
5
[ ] [ ]
Si se dan valores sucesivos a i, se obtiene un sistema de n ecuaciones:
Para n=1
(
*
[ ] [ ]
Continuidad MRP MRP Dbil
C 1 C 0
W C -1 C 0
k C 0 C -1
El Mtodo de los Elementos Finitos Mecnica Escalar y Vectorial Elementos Unidimensionales
Para n=2
(
*
[ ] [ ]
Para n=n
(
*
[ ] [ ]
Las ecuaciones anteriores, con el debido acomodo se pueden escribir en forma matricial
como:
[
]{
} {
}
Usando el Mtodo de Galerkin, Wi = Ni, se tendrn las siguientes ecuaciones generales
para cada trmino de la matriz de rigidez y para el vector de fuerzas:
La matriz K ser simtrica, es una de las propiedades que se tiene al usar el mtodo de
Galerkin en la forma dbil de los residuos ponderados. Se tendrn tantas funciones de forma
como en nodos se tenga dividida la barra. Como ya se indico, q0 se desconoce y se podr calcular
despus, una vez que se hayan calculado todos los valores para ai.
Para el clculo de q0, se tiene la siguiente ecuacin:
|
De la ecuacin (1.20), debemos indicar que la precisin de , por lo general, ser
menor al de ; esto se debe a que se calcula a partir de la primera derivada de . En clculo
numrico se considera a la derivada de una funcin como un error adicional, de ah el menor
grado de precisin para los flujos o reacciones.
Problema de Evaluacin N 01:
Se tiene la siguiente ecuacin de Poisson para un problema de transferencia de calor:
Con las condiciones de contorno:
El Mtodo de los Elementos Finitos Mecnica Escalar y Vectorial Elementos Unidimensionales
8
Se pide obtener la funcin polinmica aproximada de la incgnita , que satisfaga las
condiciones de contorno prescrita en x=0. Calcular para n=2, aplicando la forma dbil de Galerkin.
Adems calcular |
Que se puede comentar de la solucin hallada si se sabe que la solucin analtica es:
Retomando la barra cargada axialmente de la figura 1.2. La ecuacin diferencial es:
(
*
Las condiciones de contorno estarn dadas mediante:
8
Aplicando la ecuacin (1.15):
[
(
* ]
[ (
*
]
De (1.21) se obtiene la forma dbil integrando por partes:
[ ]
[
(
* ] [ (
*]
(
*
[ (
*]
(
,
[
]
(
,
Reemplazando la integracin por partes en la ecuacin (1.22) y haciendo :
(
*
[
]
[ (
*]
El Mtodo de los Elementos Finitos Mecnica Escalar y Vectorial Elementos Unidimensionales
(
*
[
] [
] [ (
*]
[ ]
(
*
[
] [ ]
(
*
[
] [ ]
De la relacin esfuerzo-deformacin se tiene:
Reemplazando N en (1.23):
[ ] [ ]
La funcin de peso W, ser conocida como el desplazamiento virtual, denotndose por :
El trmino [ ] se elimina haciendo que la funcin desplazamiento virtual satisfaga las
condiciones de frontera cinemticas.
|
Sustituyendo la funcin de desplazamientos virtuales en (1.24), tendremos:
[ ]
La deformacin virtual se define por:
Sustituyendo en la ecuacin (1.25), se tiene:
El principio de trabajos virtuales es el punto de partida para la solucin por el MEF de problemas
de mecnica de slidos, fluidos y gases [OZ].
La ecuacin (1.26) se conoce como el Principio de Trabajos Virtuales (PTV), su cumplimiento
es necesario y suficiente para el equilibrio estructural de un cuerpo. Su definicin es la siguiente: Un
cuerpo est en equilibrio, si se cumple que para cualquier desplazamiento virtual que satisfaga las
condiciones de contorno cinemticas, el trabajo que realizan las tensiones sobre las deformaciones
virtuales es igual al trabajo que realizan las fuerzas exteriores sobre los desplazamiento virtuales.
De la definicin dada podemos interpretar la ecuacin (1.26). ser el trabajo (por unidad
de longitud), que realiza la carga repartida b(x) sobre los desplazamientos virtuales . es el
trabajo de la fuerza sobre el desplazamiento virtual del extremo de la barra. Y para que el cuerpo est
El Mtodo de los Elementos Finitos Mecnica Escalar y Vectorial Elementos Unidimensionales
en equilibrio, la integral del primer miembro, en la ecuacin (1.26), es el trabajo que realizan los
esfuerzos axiales sobre las deformaciones virtuales en toda la barra.
De todo el procedimiento realizado se concluye que el PTV coincide con la forma dbil de
Galerkin. El PTV tambin tiene aplicacin problemas de Poisson, donde se equilibrar el trabajo virtual
de los flujos internos y externos.
En el Mtodo de los Elementos Finitos se combina el Mtodo de los Residuos Ponderados con
aproximaciones polinmicas locales dentro de cada elemento [OZ].
Figura 1.4: Discretizacin de una barra en elementos finitos unidimensionales de 2 nodos [OZ]
En la figura 1.4, se puede apreciar la discretizacin del dominio de anlisis (dominio
unidimensional), en subdominios no intersectantes entre s, a los que se denominan elementos finitos. La
funcin incgnita se aproximar por medio de funciones polinmicas definidas localmente para cada
trmino:
Donde n ser el nmero de puntos del elemento donde se supone que se conoce el valor
aproximado de . A los puntos se le denominar nodos. Los valores de a0, a1,,an son constantes que
dependen de los valores de en los nodos
La expresin (1.27) se puede escribir tambin como:
La funcin interpola dentro del elemento nicamente los desplazamientos
correspondientes al nodo i y se denomina funcin de forma del nodo i. Cada funcin de forma vale la
unidad en el nodo i y cero en el resto de los nodos.
El Mtodo de los Elementos Finitos Mecnica Escalar y Vectorial Elementos Unidimensionales
Sustituyendo la expresin aproximada de en la expresin integral del MRP, se obtendrn
ecuaciones algebraicas de equilibrio, las que se podrn escribir en forma matricial: Ka=f. En anlisis
estructural a K se le denomina matriz de rigidez de la malla de elementos finitos, a ser el vector de
incgnitas nodales y f ser el vector de flujos nodales. La matriz K y el vector f , se pueden obtener de las
contribuciones individuales de cada elemento
1.8.1. Definicin local de las funciones de forma
Trabajaremos en cada elemento finito discretizado, el que se presenta de manera general
en la figura en la figura 1.5 de manera aislada.
Figura 1.5: Funciones de forma lineales en un elemento finito unidimensional de dos nodos.
Podemos expresar la variable incgnita en cada nodo mediante un polinomio
lineal:
Si la funcin verdadera y la funcin aproximada, toman el mismo valor en cada nodo,
tomando los nodos extremos se tendr el siguiente sistema de ecuaciones:
Resolviendo el anterior sistema de ecuaciones, obtendremos:
Sustituyendo los valores de en la expresin (1.29):
(
+ (
+
Reordenando la expresin (1.30) en trminos de
, tendremos:
El Mtodo de los Elementos Finitos Mecnica Escalar y Vectorial Elementos Unidimensionales
Las funciones de forma se pueden tambin expresar como:
A sido necesario resolver las ecuaciones lineales para obtener las funciones de forma en
relacin a x, ms adelante se usarn funciones de forma con elementos lagrangianos para nos
darn las funciones de orden lineales y de mayor grado sin necesidad de resolver un sistema de
ecuaciones. A continuacin podemos confirmar la propiedad de una funcin de forma, que indica
que en un nodo toma el valor de uno y cero en los otros nodos:
{
{
La interpolacin realizada permite obtener el valor de la funcin incgnita en cualquier
punto del elemento en funcin de los valores nodales
. Generalizando esta tcnica a
todos los elementos finitos, se obtendr una aproximacin lineal por intervalos. En el caso de que
aproxime exactamente a , lo que indicara que la funcin de forma tiene el mismo grado
de polinomio que la solucin analtica; se cumplir lo que se muestra en la figura 1.6(a), donde
se aprecia que la poligonal que nos dan las funciones de forma aproximadas coincide con la
curva de la solucin exacta en cada nodo, no as la variacin interna de la incgnita en el
elemento. En el MEF no es comn que se cumpla lo indicado previamente, generalmente se
cumplir lo mostrado en la figura 1.6(b), donde se generar un error que se traduce en que en los
nodos no se obtendr el valor exacto de la funcin y en el interior de los elementos no se podr
obtener la variacin exacta de la solucin.
Figura 1.6: Solucin por el MEF. (a) Aproximacin exacta nodalmente; (b) Solucin
aproximada.
1.8.2. Solucin de la ecuacin de Poisson con un elemento de dos nodos
El Mtodo de los Elementos Finitos Mecnica Escalar y Vectorial Elementos Unidimensionales
Figura 1.7: Solucin de la ecuacin de Poisson con un elemento de dos nodos.
En la figura 1.7 se tiene un problema de transferencia de calor por conduccin, donde
gobierna la ecuacin diferencial siguiente:
(
*
Con las condiciones de contorno:
8
La solucin analtica para k constante es la siguiente:
La forma dbil es:
.
/
[ ] [ ]
La aproximacin de la temperatura se escribe de la siguiente manera:
Las temperaturas en los nodos 1 y 2 son respectivamente. Derivando (1.33):
Sustituyendo (1.34) en (1.32):
.
/
[ ] [ ]
Aplicando Galerkin en (1.35) ( :
.
/
[ ] [ ]
El Mtodo de los Elementos Finitos Mecnica Escalar y Vectorial Elementos Unidimensionales
Se tendrn dos funciones de peso, ya que se est trabajando con un solo elemento de dos
nodos.
Para i=1:
(
*
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
(
*
Para i=2:
(
*
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
(
*
Las ecuaciones integrales (1.37) y (1.38), nos llevan a un sistema de ecuaciones con dos
incgnitas, que podemos expresarlas en forma matricial:
[
] {
} {
}
Los elementos de la matriz de rigidez de los elementos finitos tendrn la siguiente
expresin:
Calcularemos las derivadas de las funciones de forma:
Calculando cada trmino de la matriz:
(
* (
*
(
* (
*
(
* (
*
Se proceder a calcular el trmino f1 del vector de fuerzas:
El Mtodo de los Elementos Finitos Mecnica Escalar y Vectorial Elementos Unidimensionales
(
)
( )
(
)
(
)
[ ] 0
1
De igual manera se calcula f2.
(
)
Todos los trminos acomodados en la ecuacin matricial (1.39), nos dar:
*
+ {
} {
}
Se sabe que , por tanto ser:
Comparando con la solucin analtica se puede observar que el valor para coincide,
no as la variacin dentro del elemento que es de forma cuadrtica. El flujo q0 se obtendr
sustituyendo en la primera ecuacin, lo que ser:
.
/
1.8.3. Solucin de la ecuacin de Poisson con varios elementos de dos nodos
El procedimiento general para la solucin de problemas de Poisson por el MEF, para
varios elementos de dos nodos y funciones lineales ser el siguiente:
Se debe de obtener la matriz de rigidez de los elementos finitos y el vector de
flujos. Para cada elemento se tendr la ecuacin matricial:
[
] {
} {
}
Donde cada elemento de la matriz es igual a:
(
*
(
*
Ensamblar la matriz de rigidez global K y el vector de fuerzas o flujos nodales f.
La ecuacin matricial para n elementos de dos nodos tendr la siguiente forma:
[
] {
} {
}
El Mtodo de los Elementos Finitos Mecnica Escalar y Vectorial Elementos Unidimensionales
[
]
{
}
{
}
Problema de Evaluacin N 02:
Resolver el problema presentado en el apartado 1.8.2 considerando como elementos finitos dos
elementos de dos nodos.
Considerar k constante as como tambin una distribucin de Q constante en toda la barra.
Hasta lo tratado previamente, se hizo uso de funciones de forma lineales. Se ha mencionado que
la solucin aproximada coincide con la exacta cuando ambas tienen el mismo grado de polinomio, por
tanto en esta seccin veremos cmo se eligen funciones de forma de grado superior, a la vez obtendremos
estas funciones de forma sin necesidad de resolver un sistema de ecuaciones, como se vio en la seccin
1.8.1.
La aproximacin polinomial de puede escribirse de la siguiente manera:
Para obtener las funciones de forma se pueden hacer uso de los polinomios de Lagrange. Con los
polinomios de Lagrange se tendr un valor en un punto y cero en el resto de puntos, cumpliendo la
propiedad de una funcin de forma. Se normalizar el valor que toma el polinomio de Lagrange a uno,
para de esta forma hacerlas coincidir con las funciones de forma del MEF. La funcin de forma de un
nodo i de n nodos para un elemento lagrangiano se obtiene de la expresin:
( )
( )
Para un elemento de 2 nodos se tendrn las siguientes funciones de forma:
Introduciremos un sistema de coordenadas natural o normalizado para relacionarlo con el
sistema cartesiano con el que hemos venido trabajando, como se puede observar en la figura 1.8.
Donde:
El Mtodo de los Elementos Finitos Mecnica Escalar y Vectorial Elementos Unidimensionales
Siendo xC es la coordenada en el centro del elemento.
Figura 1.8: Sistema Cartesiano y Natural ()
Sustituyendo valores para x, se tendr:
En la geometra natural la longitud del elemento ser 2. En este nuevo sistema podemos expresar
la expresin de las funciones por los polinomios lagrangianos:
( )
( )
Para un elemento lagrangiano de dos nodos con 1=-1 y 2=+1, se tendr:
El uso de coordenadas naturales permite independizar las expresiones de las
funciones de forma de la geometra del elemento [OZ] (las funciones para interpolar la
geometra del elemento se ver en el tema siguiente).
En la figura 1.9(a), se tiene un elemento finito cuadrtico unidimensional de tres
nodos, donde 1=-1, 2=0 y 3=+1. Las funciones de forma sern:
El Mtodo de los Elementos Finitos Mecnica Escalar y Vectorial Elementos Unidimensionales
Figura 1.9: Elementos unidimensionales cuadrtico(a) y cbico (b) de clase C0.
Las funciones de forma para un elemento finito unidimensional cbico de cuatro
nodos, tal como se muestra en la figura 1.9(b), con 1=-1, 2=-1/3, 3=+1/3 y 4=+1, sern:
(
*(
*
(
*
(
*
(
*(
*
El Mtodo de los Elementos Finitos Mecnica Escalar y Vectorial Elementos Unidimensionales
Problema de Evaluacin N 03:
Obtener las funciones de orden para un elemento finito unidimensional de polinomio de cuarto
orden con cinco nodos.
La formulacin paramtrica se refiera a interpolar la geometra del elemento a partir de las
coordenadas de una serie de puntos conocidos. En un elemento lineal de dos nodos, la variable en un
nodo del elemento se expresa dentro del elemento usando la expresin normalizada por:
El gradiente (g) se obtiene de:
Al usar la expresin normalizada se necesita calcular la derivada de las funciones
. Las
funciones de forma no estn en expresadas en funcin de x, ya que se est usando el sistema de
coordenadas naturales. Para el clculo de la gradiente se harn los siguientes procesos:
.
/
.
/
Sustituyendo (1.42) y (1.43) en (1.41):
Ahora es necesario conocer
, por lo que se debe de conocer la relacin entre las coordenadas
cartesianas x y las coordenadas naturales. Esta relacin se puede obtener realizando una interpolacin
numrica de la geometra del elemento. Conociendo las coordenadas de m puntos del elemento, se podr
calcular la coordenada de cualquier punto interior del elemento, interpolando los valores de las
coordenadas conocidas. La interpolacin de la geometra se puede escribir por la siguiente expresin:
Las funciones de interpolacin de geometra (
), tienen las mismas propiedades que las
funciones de forma que se utilizan para interpolar los desplazamientos (temperaturas en el caso de
problemas de transferencia de calor), entonces toman el valor de uno en el punto i y cero en resto de
puntos. La expresin (1.45) tambin se interpreta como la transformacin de coordenadas de a x.
En la figura 1.10 se muestra una curva que representa la geometra o contorno de un elemento
finito curvo, dicha curva cumple con la funcin y = x3 2x2 x + 4. Para la interpolacin paramtrica de
la geometra con una aproximacin cuadrtica se conocen los valores x1 = 0, x2 = 1 y x3 = 2 y sus
respectivos valores y(x1) = 4, y(x2) = 2, y(x3) = 2.
El Mtodo de los Elementos Finitos Mecnica Escalar y Vectorial Elementos Unidimensionales
La aproximacin cuadrtica usando los tres puntos conocidos, nos dar la relacin entre las
coordenadas x,y con .
La aproximacin cuadrtica se muestra en la figura 1.10, y se puede apreciar el error que se
presenta al comparar con la funcin cbica que representa la geometra del elemento curvo.
Figura 1.10: Interpolacin de geometra curva.
Para conseguir mayor precisin, se proceder a realizar la interpolacin paramtrica
considerando una aproximacin cbica, para lo que se conoce los siguientes cuatro puntos: x1 = 0, x2 =
2/3, x3 = 4/3 y x4 = 2 donde y(x1) = 4, y(x2) = 74/27, y(x3) = 40/27, y(x4) = 2. Siguiendo el desarrollo
planteado par la aproximacin cuadrtica, se llegar a las siguientes relaciones:
Al tener la funcin de aproximacin igual grado que el polinomio de la funcin exacta se llega a
obtener errores nulos.
Se puede indicar que al usar funciones de aproximacin geomtricas tendremos errores de
aproximacin de geometra, los que se debern tratar de minimizar.
El Mtodo de los Elementos Finitos Mecnica Escalar y Vectorial Elementos Unidimensionales
Se tienen entonces dos clases de puntos, puntos que se usan para interpolar el campo de los
desplazamientos (nodos) y los que se utilizan para interpolar la geometra. Estos puntos pueden ser o no
coincidentes, lo que puede depender de cuan compleja o no puede ser la geometra del elemento.
Si m es el nmero de puntos que se usan para interpolar la geometra y es mayor al nmero de
nodos del elemento, las funciones de geometra
sern polinomios de mayor grado que las funciones
de forma
que se usan para interpolar los desplazamientos; a este tipo de formulacin se le denomina
superparamtrica. Si m coincide con el nmero de nodos se denomina formulacin isoparamtrica. Y por
ltimo cuando m sea menor al nmero de nodos se denomina formulacin subparamtrica.
Normalmente se usa la formulacin isoparamtrica teniendo las mismas funciones para
interpolar la geometra y los desplazamientos.
1.10.1. Formulacin Isoparamtrica de un elemento de dos nodos
La geometra del elemento la representaremos en funcin de las coordenadas de los dos
nodos:
Las funciones de forma para aproximar la geometra del elemento sern las mismas
funciones de forma para aproximar la incgnita
. La relacin
ser:
Reemplazando valores de
en (1.46):
.
/
.
/
(
*(
*
(
*(
*
La matriz de rigidez de los elementos finitos, considerando que Q es constante sobre
todo el elemento, se pueden expresar en el sistema normalizado por:
(
+ (
+.
/
(
+ (
+.
/
(
+ (
+(
*
(
*
El vector de fuerzas ser expresado por:
El Mtodo de los Elementos Finitos Mecnica Escalar y Vectorial Elementos Unidimensionales
(
*
1.10.2. Formulacin Isoparamtrica de un elemento cuadrtico de tres nodos
La aproximacin de la incgnita es:
La formulacin isoparamtrica para la coordenada x ser:
Las funciones de forma para aproximar la geometra del elemento sern las mismas
funciones de forma para aproximar la incgnita
. La gradiente o relacin
ser:
(
*
(
*
Reemplazando valores de
en (1.47):
(
*
(
*
La relacin (1.48) nos proporciona la relacin entre las coordenadas x y las coordenadas
naturales . Si
es el punto medio del elemento se tendr:
[
]
La matriz de rigidez y el vector de fuerzas nodales se obtendrn de las siguientes
expresiones:
(
+ (
+(
*
El Mtodo de los Elementos Finitos Mecnica Escalar y Vectorial Elementos Unidimensionales
Problema de Evaluacin N 04:
Para un elemento cuadrtico de tres nodos, calcular la matriz de rigidez del elemento y el vector
de fuerzas, suponiendo que el segundo punto coincide con el punto central y k y Q son constantes.
El uso de la integracin numrica y la formulacin paramtrica han sido importantes en el
desarrollo de los elementos finitos. La integracin numrica se vuelve ms importante en elementos bi y
tridimensionales, donde el clculo de las integrales se vuelve ms difcil.
En la formulacin isoparamtrica vista para un elemento cuadrtico de tres nodos, hace que
la integral para el clculo de los elementos de la matriz de rigidez y los elementos para el vector de
fuerzas, ya no sea muy fcil en comparacin a elementos lineales, y su complejidad aumenta mientras se
tengan elementos de mayor grado.
Entre los diversos mtodos de integracin numrica el ms usado es el de Gauss-Legendre y es
el que se desarrollar.
Si se desea calcular la integral de una funcin en el intervalo [-1,+1]:
La integracin numrica o cuadratura de Gauss-Legendre, calcula dicha integral como una suma
de los productos de los valores del integrando en una serie de puntos conocidos en el interior del intervalo
por unos coeficientes (pesos) determinados [OZ].
La propiedad de la integracin de Gauss-Legendre es que una cuadratura de orden n integra
exactamente un polinomio de grado 2n-1 o menor [OZ]. El error en el clculo aproximado es de orden
, donde es la distancia entre los puntos de integracin.
La tabla a continuacin muestra las coordenadas y los pesos , para las ocho primeras
cuadraturas de Gauss-Legendre:
El Mtodo de los Elementos Finitos Mecnica Escalar y Vectorial Elementos Unidimensionales
La tabla anterior est normalizada para el rango [-1,+1]. A continuacin se ver una aplicacin
de la integracin de Gauss-Legendre.
Se tiene un polinomio de cuarto orden: f(x) = 1 +x + x2 + x3 + x4, se pide calcular la integral en
los lmites [-1,+1].
La integral exacta ser:
0
1
[
]
Usando la cuadratura de Gauss-Legendre de primer orden, se usar un punto, la coordenada del
punto x1 ser igual a 0, y el peso W1 ser 2:
[ ]
Usando una cuadratura de Gauss-Legendre de segundo orden, se usarn dos puntos, la
coordenadas de los puntos son: x1=-0.57735, x2=+0.57735, W1=1, W2=1.
[ ]
[ ]
Usando una cuadratura de Gauss-Legendre de tercer orden, se usarn tres puntos de integracin,
la coordenadas de los puntos son: x1=-0.77459, x2=0, x2=+0.77459, W1=0.55555, W2=0.88888,
W2=0.55555.
[ ]
[ ]
[ ]
n W i1 0 2
2 0.5773502692 1
0.7745966970 0.5555555556
0 0.8888888890
4 0.8611363116 0.3478548451
0.3399810436 0.6521451549
0.9061798459 0.2369268851
0.5384693101 0.4786286705
0 0.5688888889
0.9324695142 0.1713244924
0.6612093865 0.3607615730
0.2386191861 0.4679139346
0.9491079123 0.1294849662
0.7415311856 0.2797053915
0.4058451514 0.3818300505
0 0.4179591837
0.9602898565 0.1012285363
0.7966664774 0.2223810345
0.5255324099 0.3137066459
0.1834346425 0.3626837834
3
6
5
7
8
El Mtodo de los Elementos Finitos Mecnica Escalar y Vectorial Elementos Unidimensionales
La cuadratura de tercer orden da un valor igual al valor exacto de la integral, con lo que se
comprueba que una cuadratura de orden n integra exactamente un polinomio de grado 2n-1 o menor. Una
cuadratura de tercer orden nos dar resultados exactos hasta polinomios de quinto grado o menores.
Evaluando la cuadratura de segundo orden, el polinomio al que integrar exactamente ser un
polinomio de grado 3 (2x2-1=3), tal como se vio en el clculo para una cuadratura de segundo orden, el
valor de la integral fue de 2.89 y no es la solucin exacta ya que el polinomio es de cuarto orden.
Como se ha ido viendo en cada una de las secciones, el proceso del clculo para la solucin de
problemas de Poisson nos lleva a evaluar la matriz de rigidez y el vector de fuerzas o flujos, por lo que se
puede enumerar las etapas necesarias que nos servirn para un clculo manual o para programacin.
1.12.1. Interpolacin de la Incgnita
La variable en el interior del elemento se expresa mediante funciones aproximadas:
*
+
{
}
1.12.2. Interpolacin de la Geometra
La coordenada x de un punto del elemento se calcula con la siguiente expresin:
1.12.3. Interpolacin del Gradiente
Las derivadas cartesianas de las funciones de forma son:
Luego se deduce:
El Mtodo de los Elementos Finitos Mecnica Escalar y Vectorial Elementos Unidimensionales
Entonces:
Por tanto:
A se le interpreta como la determinante del jacobiano de la transformacin ,
.
1.12.4. Clculo del Flujo
1.12.5. Matriz de Rigidez del elemento
(
+ (
+(
*
Dependiendo de se tendr mayor o menor sencillez de la integral. El clculo de
se efecta por integracin numrica, por tanto tiene la siguiente forma:
[(
+ (
+(
*]
1.12.6. Vector de Fuerzas Nodales Equivalentes
Usando integracin numrica:
* +
Problema de Evaluacin N 05:
Resolver el problema presentado en el apartado 1.8.2 considerando como elementos finitos dos
elementos cuadrticos de tres nodos. Aplicar las etapas de la seccin 1.12.
Considerar k constante as como tambin una distribucin de Q constante en toda la barra.
elementos
bidimensionales
En este captulo se cubren aspectos introductorios para el desarrollo y uso
del Mtodo de los Mtodos Finitos (MEF), como el planteamiento de la
forma general del Mtodo de los Residuos Ponderados (MRP) y su forma
dbil con el uso del Mtodo de Galerkin. Se da el planteamiento general
para hallar las soluciones aproximadas a problemas de Mecnica Escalar
como son los problemas de Poisson aplicados a la transferencia de calor y
al Principio de Trabajos Virtuales. Se introducen los conceptos de
Formulacin Paramtrica e Integracin Numrica, ambos muy
importantes para la implementacin del MEF y que se ampliarn ms
adelante en elementos finitos bi y tridimensionales.
El Mtodo de los Elementos Finitos Mecnica Escalar y Vectorial Elementos Bidimensionales
La ecuacin bidimensional estacionaria de Poisson se puede obtener por balance de flujos (ver
figura 2.1).
Figura 2.1: Obtencin de la ecuacin de Poisson en dos dimensiones.
Se procede similar al caso unidimensional, entonces la ecuacin de Poisson en dos dimensiones
tendr la expresin:
(
*
(
*
es la incgnita. Se tiene un solo grado de libertad por nodo.
Las condiciones de contorno sern:
2
Para calcular que es el flujo normal, se proyecta el flujo en el contorno sobre la normal:
[ ]
*
+
Los flujos en cada direccin son:
. Sustituyendo todas las expresiones
necesarias en la condicin de flujo normal prescrito:
es el flujo prescrito en direccin normal al contorno (ser positivo si el flujo est en la
direccin normal al contorno). es el flujo de calor que sale por el contorno debido a
El Mtodo de los Elementos Finitos Mecnica Escalar y Vectorial Elementos Bidimensionales
diferencias de temperatura entre los puntos del contorno y el ambiente a temperatura ; es el
coeficiente de conveccin.
Se usar la terminologa: , pero slo es conceptual, ya que puede darse el caso en
que las condiciones de borde se alternen.
Para solucionar problemas de Poisson en dominios bidimensionales procederemos a usar el
Mtodo de los Residuos Ponderados con el Mtodo de Galerkin, los pasos son similares a los aplicados
para elementos unidimensionales.
2.2.1. Mtodo de los Residuos Ponderados en Elementos Bid imensionales
La forma integral equivalente a las ecuaciones diferenciales que gobiernan el
comportamiento en elementos en dos dimensiones se obtienen por el Mtodo de los Residuos
Ponderados:
Reemplazando las expresiones de (2.1) y (2.2) en (2.3), se tendr la forma integral
equivalente por el MRP:
[
(
*
(
* ]
[
]
La forma dbil del MRP se obtiene acomodando los trminos e integrando por partes:
[
(
*]
[
(
*]
[ ]
[
]
Recordando la integracin por partes:
[ ]
Trabajando en (I):
[
(
*]
6
4
57
{
}
De manera similar en (II):
El Mtodo de los Elementos Finitos Mecnica Escalar y Vectorial Elementos Bidimensionales
[
(
*]
Reemplazando los valores de (I) y (II) en (2.4):
[ ]
[
]
Arreglando la expresin:
[
]
[ ]
[
]
[
]
De la figura 2.2, se pueden obtener las siguientes relaciones:
Sustituyendo (2.6) y (2.7) en (2.5) y aplicando condiciones de contorno natural
haciendo , se tendr:
[
]
[ ]
[
]
[
]
Eliminando trminos que se hacen nulos:
[
]
[ ]
[
]
[ ]
Recordando:
Reemplazando (2.9) en (2.8) y acomodando en el primer miembro las expresiones
donde interviene la incgnita , tendremos:
El Mtodo de los Elementos Finitos Mecnica Escalar y Vectorial Elementos Bidimensionales
Figura 2.2: Normal al contorno.
[
]
[ ]
[
]
[ ]
[
]
[ ]
La expresin (2.10) es la forma dbil del MRP aplicando el Mtodo de Galerkin, y ser
la expresin que usaremos para encontrar la solucin a los problemas de Poisson en dos
dimensiones.
La integral es el flujo que sale por el contorno donde el valor de
se conoce. El signo es negativo, lo que indica que el flujo normal sale del contorno. Este flujo
al igual que en el caso unidimensional, puede interpretarse como una reaccin que se calcula una
vez se conoce el valor de sobre .
2.2.2. Discretizacin por el MEF
En la figura 2.3 se puede apreciar la discretizacin del dominio en elementos
bidimensionales de n nodos. La aproximacin de en el interior de cada elemento se define por:
El sistema de ecuaciones de la discretizacin se obtendr sustituyendo (2.11) en la
forma dbil del MRP (2.10), escogiendo N funciones de peso Wi:
[
]
[ ]
Donde n es el nmero de nodos de la malla. Aplicando el Mtodo de Galerkin, haciendo
, la expresin se convierte en:
6
4
5
4
57
4
5
[ ]
El Mtodo de los Elementos Finitos Mecnica Escalar y Vectorial Elementos Bidimensionales
Figura 2.3: Discretizacin de un dominio bidimensional en elementos triangulares.
La expresin (2.12) pueden escribirse en forma matricial:
Los trminos de la matriz de rigidez de los elementos finitos K y el vector de flujos f, se
obtienen ensamblando las contribuciones de cada elemento. La matriz de rigidez es simtrica por el uso
de la forma dbil del MRP. Con la propiedad de las funciones de forma
, que toman un valor de uno
en el nudo y cero en los restantes, los elementos , pueden escribirse como:
(
+
El vector de flujos ser:
[ ]
Las contribuciones de cada elemento que provienen de las integrales sobre los contornos
elementales se cancelan entre s, cuando el elemento pertenece al interior del dominio. Dicho de otro
modo, en (2.14) las integrales sobre los contornos elementales slo contribuyen al vector de fuerzas
globales en el caso de que el elemento en cuestin tenga uno o ms de sus lados sobre los contornos
externos .
es la contribucin del trmino de fuente de calor sobre el dominio, es la contribucin del
trmino de flujo de calor a travs del contorno de Neumann donde se prescribe el flujo saliente, es el
trmino de flujo (reaccin) sobre el contorno donde se prescribe la variable .
En la Mecnica Escalar, analizando el problema de Poisson, cada nodo tiene un grado de
libertad, que es el valor de la incgnita en el nodo.
Expresaremos una variacin lineal de por el polinomio a continuacin:
El Mtodo de los Elementos Finitos Mecnica Escalar y Vectorial Elementos Bidimensionales
Para calcular los coeficientes del polinomio (2.15), sustituiremos las coordenadas nodales:
La solucin al sistema de ecuaciones anterior nos da los valores de los coeficientes ( ,
sustituyendo estos coeficientes en (2.15) se tendr:
[
(
)
(
)
(
)
]
Las funciones de forma sern:
(
)
Donde:
Los ndices i, j y k, varan con los nodos, las funciones de forma cumplen con la propiedad de
tomar el valor de uno en el nodo y cero en los restantes (ver figura 2.4). La funcin de forma global de un
nodo, tambin valdr uno en el nodo y cero en todos los restantes, el dominio de influencia de la funcin
de forma global de un nodo abarca todos los elementos que rodean al mismo.
El rea del elemento se obtiene de los coeficientes del sistema de ecuaciones:
|
|
2.3.1. Matriz de Rigidez del Elemento
De la ecuacin (2.18):
El Mtodo de los Elementos Finitos Mecnica Escalar y Vectorial Elementos Bidimensionales
Figura 2.4: Funciones de forma para un elemento lineal de tres nodos.
Sustituyendo (2.18) y (2.19) en (2.13):
(
+
0 (
*.
/ (
)(
)1
[ ]
[ ]
La matriz
se obtendr de:
6
7
La matriz de conveccin
ser:
[
]
La matriz
slo es relevante si el lado ij del elemento pertenece al contorno exterior
por tanto al realizar la integral sobre el lado del elemento que pertenece al contorno, la
funcin del tercer nodo tomar un valor nulo sobre el mismo. Con lo que se logra simplificar la
expresin (2.21) de acuerdo con el lado donde se calcula la integral de contorno.
Para el lado 12,
= 0:
6
7
Para el lado 23,
= 0:
6
7
Para el lado 13,
= 0:
El Mtodo de los Elementos Finitos Mecnica Escalar y Vectorial Elementos Bidimensionales
6
7
Suponiendo que es constante, podemos integrar los trminos de las matrices
presentadas como:
{
Donde
es la longitud del lado que se encuentra en el contorno. Reemplazando (2.25)
en (2.22), (2.23) y (2.24):
[
]
[
]
[
]
La matriz general se puede expresar entonces por:
2.3.2. Vector de flujos equivalente nodales
La expresin general de para un triangulo de tres nodos es:
{
}
De (2.14) se tiene:
[ ]
Suponiendo en valor constante de Q, operando :
. Equivale a calcular el volumen del tetraedro que forma
(ver figura
2.4), de base y altura uno (1).
, volumen del tetraedro es rea de la base
por altura dividi por 3.
{
}
{
}
{ }
La contribucin del trmino de conveccin al vector de flujos se calcula como sigue:
tal como para el clculo de la matriz de rigidez, se toma en cuenta que sobre cada lado slo son
diferentes de cero las funciones de forma correspondientes a dicho lado:
Para el lado 12,
= 0:
8
9 [ ]
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Para el lado 23,
= 0:
8
9 [ ]
Para el lado 13,
= 0:
8
9 [ ]
Suponiendo que son constantes sobre el lado, se tendr:
[ ] {
}
[ ] {
}
[ ] {
}
Al vector de flujos nodales se le aade la contribucin de los flujos reaccin en los
contornos donde est prescrito . Dichos flujos se aaden directamente a los nodos del
contorno correspondiente y su valor se obtiene una vez que se tienen los valores nodales de .
Problema de Evaluacin N 06:
Analizar la transmisin de calor en el dominio que se presenta en la figura 4.5. Se supondr kx =
ky = k = 2.0 cal/cm C y Q = 2.4 cal/cm2s. Dada la simetra del dominio, slo analizar un octavo del
dominio total.
Las condiciones de contorno son las siguientes:
En el contorno exterior 4-6, =0, .
En los segmentos de borde 1-6 y 1-4, se exige las condiciones de simetra:
. Lo
que indica que el gradiente de temperatura en una direccin normal al contorno de simetra
es cero, lo que tambin significa que dicho contorno est trmicamente aislado. Al no
trasmitirse el flujo a travs de los ejes de simetra, ste lo har slo a travs del lado
exterior 4-6.
Las funciones de forma slo reproducen exactamente variaciones polinmicas de grado igual o
inferior al del polinomio completo de mayor grado contenido en dichas funciones. Por tanto la solucin
por el MEF ser mejor cuanto mayor sea el grado de dicho polinomio completo.
En 2D un polinomio completo de grado n puede escribirse como:
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Figura 2.5: (a) Transmisin de calor en un dominio cuadrado, (b) Malla de cuatro elementos
triangulares de tres nodos utilizada por simetra.
El nmero de trminos que tendr el polinomio se calcula por la siguiente frmula:
Entonces si escogemos un polinomio lineal (n=1), el nmero de trminos ser: p=3.
Un polinomio de segundo orden o cuadrtico, usando la ecuacin (2.28), tendr 6 trminos:
Para hallar los trminos completos de un polinomio de dos variables, podemos utilizar el
Tringulo de Pascal (ver figura 2.6).
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Figura 2.6: (a) Tringulo de Pascal en dos dimensiones.
Para definir la geometra del elemento se definir un sistema de coordenadas naturales o
intrnseca ,. En la figura 2.7 se puede observar un rectngulo de lados 2 x 2b, cuyos lados estn
normalizados en el sistema natural . La relacin entre las coordenadas cartesianas y las
naturales ser la siguiente:
son las coordenadas del centro del elemento. Las derivadas sern:
Por tanto:
Para integrar una funcin en dos dimensiones en el sistema natural, se har la siguiente
conversin:
Las funciones de forma expresadas en coordenadas naturales deben satisfacer los mismos
requisitos que en coordenadas cartesianas. Por tanto para elementos de clase C0, se debe de cumplir con:
Condicin de compatibilidad nodal.
( ) {
Condicin de slido rgido
Dentro de los elementos rectangulares se clase C0 se distinguen dos grupos o familias diferentes:
la lagrangiana y la serendpita.
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Figura 2.7: Elemento Rectangular en Coordenadas Cartesianas y Naturales.
Las funciones de forma de elementos rectangulares lagrangianos se obtienen del producto de dos
polinomios de Lagrange unidimensionales. Por ejemplo, si es el polinomio de Lagrange de grado I
en direccin del nodo i, y el de grado J en direccin , la funcin de forma de nodo ser:
( )
En la figura 2.8 se muestran algunos elementos rectangulares lagrangianos. Una vez que se ha
definido el nmero de nodos en cada direccin, dicho nmero no puede variar a lo largo de las diferentes
lneas nodales. El nmero de trminos polinmicos contenidos en las funciones de forma de un elemento
lagrangiano puede obtenerse usando el tringulo de Pascal. Los polinomios nunca sern polinomios
completos y todas contienen un nmero de trminos adicionales que crece con el orden del elemento.
Si analizamos el elemento rectangular lineal de cuatro nodos, se tiene el trmino que
corresponde a un polinomio de segundo grado, entonces se dice que la funcin de forma contiene
trminos de polinomios incompletos. Dichos trminos generan variables nodales que no contribuyen a
aumentar la aproximacin del elemento. Se puede entonces afirmar que entre dos elementos cuyas
funciones de forma contengan polinomios completos del mismo grado, es ms recomendable aquella
funcin con menos variables nodales.
2.6.1. Elemento Rectangular Lagrangiano de cuatro nodos
Si se considera un nodo i, los polinomios unidimensionales en cada direccin
coinciden con las funciones de forma del elemento de barra de dos nodos. Por tanto:
(
)
Donde toman los valores de la tabla mostrada en la figura 2.9. Entonces
sustituyendo los valores de (2.31) en (2.32), la funcin de forma en el nodo i es:
( )
( )
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Figura 2.8: Elementos lagrangianos.
El Mtodo de los Elementos Finitos Mecnica Escalar y Vectorial Elementos Bidimensionales
Figura 2.9: Elemento rectangular Lagrangiano de cuatro nodos.
2.6.2. Elemento Rectangular Lagrangiano cuadrtico de nueve nodos
Las funciones de forma para el elemento rectangular lagrangiano de nueve lados, las
obtendremos como productos de dos polinomios de Lagrange de segundo grado de un elemento
cuadrtico de tres nodos unidimensional. La forma grfica de obtener dichas funciones se puede
observar en la figura 2.10, adems se muestra las coordenadas naturales para cada nodo que se
debe de usar.
Las funciones de forma unidimensionales son:
Nodos de Esquina:
( )
(
)
Nodos Intermedios en los Lados:
( )
(
)
( )
(
)
Nodo Central:
( )
En la figura 2.8, se muestra que el elemento lagrangiano cuadrtico contiene todos los
trminos del polinomio completo de segundo grado y 3 trminos adicionales ( )
de pertenecen al tercer y cuarto grado. Entonces podemos afirmar que la aproximacin del
elemento de nueve nodos es simplemente cuadrtica.
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Figura 2.10: Elemento rectangular Lagrangiano de nueve nodos.
2.6.3. Elementos Rectangulares Lagrangianos de Orden Superior
Elementos lagrangianos de orden superior como los de 4, 5, 6, 7, etc., se obtienen como
producto de dos polinomios de Lagrange de tercer, cuarto, quinto, sexto, etc., grado
respectivamente. Se deduce que las funciones de forma de un elemento lagrangiano con n nodos
en cada una de las dos direcciones naturales, contiene un polinomio completo de grado n-1, y
n(n-1)/2 trminos de polinomios incompletos de grados superiores.
Los elementos rectangulares lagrangianos pueden tener diferente nmero de nodos en
cada direccin. En este caso las funciones de forma se obtienen igualmente por el producto de
dos polinomios de Lagrange adecuados en cada direccin. El aumento del nmero de nodos en
una direccin no contribuye a incrementar el grado de aproximacin, ya que estos elementos
contendrn polinomios completos de un grado igual al menor de los dos polinomios de Lagrange
unidimensionales en cada direccin.
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Los elementos Serendpitos se obtienen de la siguiente manera: se selecciona el nmero de nodos
de cada lado para definir una variacin lineal, cuadrtica, cbica, etc.; luego se escoge el mnimo nmero
de nodos en el interior para que se pueda obtener una variacin polinmica completa y simtrica del
mismo grado que la variacin sobre los lados. En la figura 2.11 se muestran algunos de los elementos
rectangulares ms populares.
El elemento ms sencillo es el rectngulo de cuatro nodos, que es similar a la familia de
elementos lagrangianos. Las funciones de forma serendpitas no se obtienen de manera sistemtica como
en los elementos lagrangianos, sino dependen de la observacin y el ingenio. El nombre es una
referencia al prncipe Serendip y a sus descubrimientos ingeniosos.
2.7.1. Elemento Rectangular Serendpito Cuadrtico de Ocho nodos
Las funciones de forma en los nodos intermedios, se obtienen del producto de un
polinomio de segundo grado en , por otro de primer grado en . El producto de los
polinomios contiene los trminos polinmicos deseados. Para dichos nodos las funciones de
forma se pueden escribir de manera general como sigue:
Para los nodos de esquina no se pueden multiplicar directamente dos polinomios de
segundo orden, ya que nos dara un valor nudo en el centro del elemento, violando la condicin
de slido rgido. Por tanto se debe de realizar un procedimiento distinto (ver figura 2.12).
Se trabajar para el nodo y por analoga se pueden calcular las dems funciones de
forma (ver figura 2.12). Se obtiene la funcin de forma que correspondera al nodo de esquina de
un elemento de cuatro lados, lo que se obtiene es que en el nudo 1 la funcin de forma tenga un
valor de uno y cero en el resto de nodos, excepto en los nodos adyacentes:
En uno de los nodos adyacentes se impone que el valor sea cero, lo que se logra
restando la mitad del valor de la funcin de forma en dicho nodo adyacente. Para anular en el
nodo 2, se hace:
El ltimo paso ser realizar el paso anterior pero en el otro nodo adyacente. Anulamos
el valor en el nodo 8:
Ahora la funcin cumplir con las condiciones de compatibilidad nodal y slido
rgido, y adems contiene los trminos polinmicos correctos.De manera general realizando el
mismo procedimiento para el resto de nodos de esquina, se tendr la siguiente expresin de uso
general:
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Figura 2.10: Elementos rectangulares Serendpitos.
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Figura 2.11: Elemento rectangular serendpito cuadrtico de ocho nodos.
El elemento serendpito de ocho nodos tiene una aproximacin cuadrtica completa (ver
figura 2.10) y slo contiene dos trminos adicionales x2y y xy2 del polinomio de tercer grado.
Comparado con el elemento lagrangiano de nueve lados, el elemento serendpito tiene el mismo
grado de aproximacin pero con ocho nodos. Lo que significa que el elemento serendpito
presenta una mejor relacin grado de aproximacin/nmero de variables nodales, de ah su uso y
recomendacin para el desarrollo de problemas de elasticidad en dos dimensiones.
2.7.2. Elementos Rectangulares Serendpitos de Mayor Orden
En la figura 2.10 se puede observar el elemento cbico de doce nodos. Las funciones de
forma se obtienen de manera similar al elemento de ocho nodos. Las funciones de forma de los
nodos intermedios se obtienen multiplicando polinomios lagrangianos cbicos por otros de
primer grado. Los nodos de esquina se parten de las funciones lineales del rectngulo de cuatro
nodos a los que se restan sucesivamente las funciones de forma de los nodos adyacentes, los que
se ponderan adecuadamente para que la funcin resultante se anule en dichos nodos. Las
funciones de forma cumplirn con las condiciones de compatibilidad en los nodos y de slido
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rgido. En el caso del elemento de doce nodos, la aproximacin ser cbica conteniendo slo dos
trminos del polinomio de cuarto grado. Comparando este elemento con el elemento lagrangiano
de 16 nodos, se concluye que el elemento serendpito de 12 nodos es ms competitivo, pues
presenta el mismo grado de aproximacin que el de 16 nodos, lo que representa un 25% menos
de variables.
En la figura 2.10, tambin se aprecia el elemento rectangular serendpito de cuarto
grado de diecisiete nodos. Para tener el desarrollo completo de un polinomio de cuarto orden, es
necesario introducir un nodo central, por lo que ser necesario usar una funcin burbuja. El
proceso para la obtencin de las funciones de forma, siguen el mismo procedimiento
mencionado para el elemento de 8 y 12 nodos. Se debe tener cuidado con el nudo central, ya que
es necesario que en este nodo el valor de las funciones sea cero. En comparacin al elemento
lagrangiano de 25 nodos, es fcil de notar que el elemento serendpito es muy competitivo a su
anlogo lagrangiano de igual aproximacin, con un ahorro de casi el 50% de variables.
En la figura 2.13 se pueden ver los elementos triangulares de tres, seis y diez nodos, que definen
aproximaciones completas de primer, segundo y tercer grado respectivamente. El desarrollo de los
polinomios puede obtenerse del tringulo de Pascal.
Elemento de Tres Nodos:
Elemento de Seis Nodos:
Elemento de Tres Nodos:
Los coeficientes de los polinomios se pueden obtener mediante la solucin de un sistema de
ecuaciones, pero cuando se tienen elementos de rdenes elevados se vuelve ms complicado. Una forma
ms sencilla y directa es haciendo uso de coordenadas de rea.
2.8.1. Coordenadas de rea
Si se tiene el punto P, que es donde se encuentra el baricentro de un tringulo (ver figura
2.12), con los tres vrtices, se obtienen tres reas A1, A2 y A3, tal que A1, A2 y A3 = A. Las
coordenadas de rea se definen como:
Se cumplir:
Las coordenadas de rea de un nodo pueden definirse como el cociente entre la distancia
del P al lado opuesto y la distancia entre el nodo y dicho lado (figura 2.12). El centro de
gravedad del tringulo tendr coordenadas de rea . A las coordenadas de
rea se les conocen tambin coordenadas baricntricas, triangulares o trilineares.
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Figura 2.12: Coordenadas de rea de un tringulo.
son coordenadas de rea del baricentro.
Si la geometra y el campo de desplazamientos se definen por las mismas funciones de
forma expresadas en coordenadas de rea, el elemento es isoparamtrico. Por tanto para un
elemento triangular de lados rectos se puede escribir la relacin lineal entre las coordenadas de
un punto y las de rea:
Trabajando con (2.34) y (2.35) para despejar los valores de obtenemos:
Donde es el rea del tringulo, coinciden con los valores presentados para
el elemento triangular de tres nodos (expresin 2.18). Con la ecuacin (2.37) se comprueba que
las coordenadas de rea son precisamente las funciones de forma del elemento triangular de tres
nodos.
2.8.2. Expresin General de las funciones de forma de un elemento triangular
completo
Las funciones de forma de los elementos triangulares que contienen polinomios
completos de grado M se pueden obtener de las coordenadas de rea. Para un nodo i cualquiera
ubicado en los lados o interior del elemento, las coordenadas (I, J, K) coinciden con los
exponentes con que va afectada cada una de las coordenadas de rea , en la expresin
de forma del nodo. Se cumple que I + J + K = M. La funcin de forma en el nodo i esta dado por
la siguiente expresin:
, es el polinomio de Lagrange de grado I en L1, que toma el valor unidad en el
nodo i, es decir:
( )
(
)
En (2.39) es el valor de la coordenada L1 en l nodo i. Para
se usan
expresiones anlogas.
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Figura 2.13: Elementos triangulares lineal, cuadrtico y cbico. Valores Nodales de las coordenadas de
rea Li y entre parntesis los de las coordenadas (I, J, K) de cada nodo.
Para deducir los valores de I, J y K se debe tener en cuenta que la funcin de forma de
cada nodo de vrtice depende nicamente de una coordenada de rea, por tanto el valor de I, J y
K del nodo; los nodos colocados sobre las rectas L1 tienen el mismo valor I, y lo mismo ocurre
con L2 y J y L3 y K; los valores I, J y K decrecen de unidad en unidad, desde sus valores
mximos sobre las rectas Li=1 en el nodo del vrtice, hasta el valor de cero sobre la recta Li=0
que coincide con el lado opuesto al vrtice.
2.8.3. Funciones de Forma del Elemento Triangular Lineal de Tres Nodos
Las funciones de forma sern polinomios de primer grado (M=1). La posicin de cada
nodo y sus coordenadas de rea pueden verse en la figura 2.13.
Nodo 1: Posicin (I,J,K) = (1,0,0), Coordenadas de rea = (1,0,0)
2.8.4. Funciones de Forma del Elemento Triangular Cuadrtico de Seis Nodos
Las funciones de forma sern polinomios completos d segundo grado (m=2). La
posicin de los nodos y las coordenadas de rea se pueden ver en la figura 2.13.
Nodo 1: Posicin (I,J,K) = (2,0,0), Coordenadas de rea = (1,0,0)
(
)
(
)
(
)
( )
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Figura 2.14: Funciones de forma de un nodo esquina y un nodo lateral en un elemento triangular
cuadrtico
Nodo 4: Posicin (I,J,K) = (1,1,0), Coordenadas de rea = (1/2,1/2,0)
( )
(
)
( )
(
)
Reemplazando
en (2.40):
Siguiendo el mismo procedimiento obtenemos el resto de funciones:
2.8.5. Funciones de Forma del Elemento Triangular Cbico de Diez Nodos
Las funciones de forma sern polinomios cbicos (M=3).
Nodo 1: Posicin (I,J,K) = (3,0,0), Coordenadas de rea = (1,0,0)
( )
(
)
Nodo 4: Posicin (I,J,K) = (2,1,0), Coordenadas de rea = (2/3,1/3,2/3)
El Mtodo de los Elementos Finitos Mecnica Escalar y Vectorial Elementos Bidimensionales
( )
(
)
( )
(
)
Reemplazando
en (2.41):
Siguiendo el mismo procedimiento se obtienen las dems funciones de forma, entonces:
2.8.6. Coordenadas Naturales
En la figura 2.15, se puede observar las coordenadas naturales de un elemento
triangular, los lados del elemento se encuentran sobre los ejes =0, =0 y 1--=0. Las funciones
de forma estarn dadas por:
Las coordenadas de rea L2 y L3 coinciden con las coordenadas y respectivamente,
L1=1--.
2.9.1. Elementos Cuadrilteros Isoparamtricos
Los elementos Isoparamtricos utilizan las mismas funciones de forma para interpolar la
geometra y las incgnitas. Por tanto, la expresin geomtrica de un elemento isoparamtrico
bidimensional a partir de las coordenadas x e y de sus nodos ser:
donde son las funciones de forma del elemento. Esta ecuacin relaciona las
coordenadas cartesianas de un punto y las coordenadas naturales . Dicha relacin debe ser
biunvoca, por tanto debe cumplirse que la determinante de la matriz jacobiana de la
transformacin de coordenadas sea de signo constante en todo el elemento.
Puede demostrar que si se utilizan funciones de forma lineales, dicha condicin exige
que ningn ngulo interior entre dos lados del elemento sea mayor que 180. Si las funciones de
forma son cuadrticas es necesario que los nodos sobre los lados se encuentren en el tercio
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central de la distancia entre los nodos esquina adyacentes. Para funciones de forma de rdenes
superiores no existen reglas prcticas y es necesario comprobar el signo del determinante
jacobiano. No obstante, las funciones de grado superior a dos son poco utilizables en la prctica.
En la Figura 2-16 se muestran algunos ejemplos de elementos Isoparamtricos en dos
dimensiones.
Figura 2.15: Coordenadas Naturales en un elemento triangular
Figura 2.16: Algunos elementos Isoparamtricos bidimensionales
Para mayor claridad se prescindir del ndice en las funciones de forma del elemento,
as como en la matriz de flujos elementales.
La ecuacin (2-43) permite obtener la relacin entre las derivadas de las funciones de
forma con respecto a los sistemas de coordenadas cartesianas y naturales. En general, vendr
expresada en las coordenadas naturales y , por lo que la regla de derivacin en cadena permite
escribir como:
El Mtodo de los Elementos Finitos Mecnica Escalar y Vectorial Elementos Bidimensionales
o en forma matricial
donde es la matriz jacobiana, o el jacobiano, de la transformacin de coordenadas
naturales a cartesianas. De la ecuacin (2.45) se deduce:
donde | | es el determinante del jacobiano.
El determinante del jacobiano permite tambin expresar el diferencial de rea en
coordenadas naturales como:
Para calcular los trminos del jacobiano se utiliza la transformacin isoparamtrica
(2.43):
por lo que:
Si el elemento es rectangular se obtiene fcilmente:
Volviendo al problema de Poisson, la matriz de gradiente nodal de un elemento
isoparamtrico bidimensional se expresa en funcin de las coordenadas naturales, haciendo uso
de (2.46), por:
donde:
El Mtodo de los Elementos Finitos Mecnica Escalar y Vectorial Elementos Bidimensionales
Haciendo uso de las expresiones anteriores, la matriz de rigidez del elemento puede
escribirse como una integral sobre el dominio normalizado de las naturales por:
Se deduce de la expresin anterior que los trminos del integrando son funciones
racionales en y amenos que el determinante del jacobiano sea constante. Esto slo ocurre en
elementos rectangulares o en elementos triangulares de lados rectos, en cuyo caso las integrales
se simplifican notablemente. Sin embargo, en elementos de lados curvos, la integracin analtica
de los trminos de
es compleja y es necesario hacer uso de la integracin numrica.
2.9.2. Elementos Triangulares Isoparamtricos
En elementos triangulares la interpolacin isoparamtrica se define de forma similar a la
ecuacin (2.43):
Si el elemento triangular es de lados curvos, es ms conveniente operar en funcin de
las coordenadas naturales y definidas anteriormente, lo que implica sencillamente sustituir
y por y , respectivamente, y por . A partir de aqu el clculo de las
derivadas cartesianas de las
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