Post on 15-Mar-2020
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Prof. Diego Fernando Manotas DuqueEscuela de Ingeniería Industrial
Opciones Financieras y Opciones Reales
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¿Qué son las opciones financieras?(Call Option)
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
Utilidad con Forward
Utilidad con Option
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¿Qué son las opciones financieras? (Put Option)
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
Utilidad con Forw ard
Utilidad con Option
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Estrategias con opciones
• Comprar “call options” Estrategia alcista• Venta de “call options” Estrategia bajista• Comprar “put options” Estrategia bajista• Vender “put options” Estrategia alcista
Ejemplo: Suponga que las acciones de MSFT subirán en valor desde su nivel actual (70 US$).
Usted cree que el anterior planteamiento puede no ser correcto.
Suponga que una opción de compra con vencimiento a 6 meses y precio de ejercicio de 70US$ sevende a10 US$. La tasa de interés semestral es del 2%. Considere tres estrategias para invertir 7.000US$. (MSFT no paga dividendos):
Estrategia A Compra 100 acciones de MSFTEstrategia B Compra de 700 opciones de compra sobre MSFT (Precio de ejercicio 70$) (Estorequerirá 7 contratos, cada uno con 100 acciones).Estrategia C Compra 100 opciones de compra por $1.000 Los $6.000 restantes se colocan entítulos financieros a 6 meses para ganar un 2%)
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Estrategias con opciones
65 70 75 80 85 90A. Comprar 100 acciones 6,500 7,000 7,500 8,000 8,500 9,000B. 700 Opciones compra - - 3,500 7,000 10,500 14,000
- - 500 1,000 1,500 2,0006,120 6,120 6,120 6,120 6,120 6,120
Estrategia C 6,120 6,120 6,620 7,120 7,620 8,120
Precio MSFTPortafolio
C. 100 Opciones compra y $6.000 en títulos al2%
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Estrategias con opciones – Put de cobertura
Activo + Opción de Venta Asegura ganancias mínimas iguales a precio de ejerciciode la opción de venta.
X
X
X
X
X-(S0+P)
X
Resultado
Resultado
Resultado
Beneficio
ST
ST
ST
Estrategia A: Posición de acciones
Estrategia B: Put
Estrategia C: Put de cobertura
ST < X ST > XA: Acción ST ST
B: Put X - ST 0C: Put cubierta X ST
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Estrategias con opciones – Venta cubierta de una Call (CoveredCalls)
Posición larga activo + Posición corta en “call” La posición se cubre porque la obligaciónpotencial de entregar la acción se cubre con la que se tiene en el portafolio.
ST < X ST > XResultadoacciones
ST ST
-Resultadoopción decompra
-0 -(ST – X)
Total ST X
X
X
X
X
-(S0 - C)
Resultado
Resultado
Resultado
Beneficio
ST
ST
ST
Estrategia A:Posición de acciones
Estrategia B: Callemitida
Estrategia C: Venta cubierta de call
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Estrategias con opciones – straddle - cono
Posición larga put + Posición larga en “call” (ambas con el mismo precio de ejercicio yfecha de vencimiento) La posición se cubre porque la obligación potencial de entregar laacción se cubre con la que se tiene en el portafolio.
ST < X ST > XResultado deCall
0 ST – X
Resultado deput
+(X-ST ) 0
Total X-ST ST – X
X
X
X-(P + C)
Resultado
Resultado
Beneficio
ST
ST
ST
Estrategia A:Compra call
Estrategia B: Compraput
Resultado
Beneficio
Resultado
-C
-P
X
X-P
X-P-C
XP + C
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Estrategias con opciones – “spreads”
Combinación de dos o más opciones de compra o venta sobre el mismo activo con diferentesprecios de ejercicio o fechas de vencimiento.
Spread vertical o “intercontratos” implica la compra de una opción y la venta simultánea deotra con un precio de ejercicio diferente.
Spread horizontal o de tiempo Venta y compra de opciones con diferentes fechas devencimiento.
ST < X1 X1<ST > X2 ST > X2
Resultado de 1ª compra a precio deejercicio X1
0 ST – X1 ST – X1
-Resultado de 2ª compra a preciode ejercicio X2
-0 -0 -(ST – X2)
Total 0 ST – X1 X2-X1
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Prof. Diego Fernando Manotas DuqueEscuela de Ingeniería Industrial
Las Opciones Reales en el Análisisde Decisiones de Inversión y
Financiación
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Contenido
• Antecedentes
• Teoría de Opciones Reales – Conceptos Preliminares
• Aplicaciones y usos potenciales
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Revisemos el siguiente ejemplo…
Previo chequeo médico, un equipo defútbol compra los derechos deportivos deun jugador cuyo rendimiento ha sido muybien referenciado en torneos recientes.Existen grandes esperanzas en la nuevaincorporación dados los magníficosantecedentes. Se rumora que latransacción estuvo cercana a los US$ 2millones.
Después de 15 partidos se escuchan lassiguientes declaraciones del cuerpo directivo de lainstitución. “Apostamos todos nuestros recursosen esta contratación, pero el fútbol es así, eljugador no se ha podido adaptar, los resultados nohan sido los mejores. Creemos que lo mejor estransferirlo a otro club” Unas veces se acierta yotras no, qué le vamos a hacer.
US$2 MM
Salarios, beneficios (celular, carro, apartamento, etc)
Valor de transferencia a otroclub (Inferior al valor decompra)
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Revisemos el siguiente ejemplo…
Previo chequeo médico, un equipo defútbol adquiere una opción de comprasobre los derechos deportivos de unjugador cuyo rendimiento ha sido muy bienreferenciado en torneos recientes. Existengrandes esperanzas en la nuevaincorporación dados los magníficosantecedentes. La opción se adquirió enUS$ 100.000 y estipulaba un preciodespués de la primera temporada deUS$2.000.000
Después de 15 partidos se escuchan lassiguientes declaraciones del cuerpo directivo de lainstitución. “Apostamos todos nuestros recursosen esta contratación, pero el fútbol es así, eljugador no se ha podido adaptar, los resultados nohan sido los mejores. Creemos que lo mejor estransferirlo a otro club” Unas veces se acierta yotras no, qué le vamos a hacer.
US$ 100.000
Salarios, beneficios (celular, carro, apartamento, etc)
Valor de transferencia a otroclub (Inferior al valor decompra)
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Una opción común no financiera… un seguro
• Poliza de seguro
– Prima anual que provee seguro contra pérdidas potenciales– Remuneración es igual al monto del daño menos un deducible– El reclamo es presentado (opción ejercida) si el daño es mayor
que el deducible.
Por un vehículo se paga una prima de seguro total de $2.000.000 / año, pero debido al buen manejoque se le ha dado a la póliza, el cliente tiene derecho a un descuento del 50% en el valor de lamisma. Dicho descuento se mantiene para el año siguiente si no se presentan reclamaciones. ¿Enqué condiciones de siniestralidad valdría la pena hacer uso del seguro?
Siniestro Valor del siniestro
< $1.000.000
> $1.000.000
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¿Preguntas?
• ¿Qué debería valer más, un contrato con opciones o uncontrato sin ningún tipo de opción?
• ¿Existen los contratos sin opciones?
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Limitaciones del VPN
Las técnicas tradicionales de evaluación no logran capturar laflexibilidad presente en la gran mayoría de proyectos.
Los criterios de decisión basados en FCD subestiman el valor deproyectos que cuentan con flexibilidades futuras.
¿Cuándo es óptimo invertir?¿Qué hacer ante la aparición de un nuevo competidor?¿Qué hacer frente a una nueva tecnología?¿Qué hacer frente a un producto sustituto?¿Qué hacer si los precios pensados no se dan?¿Qué hacer si la demanda es más de lo esperado?
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Las dos caras de la incertidumbre
LadobuenoLado
malo
Valoresperado
Valoresperado conflexibilidad
Valor de la flexibilidadpara alterar lasdecisiones a medidaque llega nuevainformación
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El Valor de la Flexibilidad
Valor moderadode la flexibilidad
Alto valorde la flexibilidad
Bajo valor dela flexibilidad
Probabilidad de recibir nueva información
Baja Alta
Moderado valorde la flexibilidad
Baja
Alta
Hab
ilidad
par
a re
spon
der
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¿Qué son las opciones financieras?
• Las opciones no deben ser confundidas con otros instrumentosderivados. Una opción da el derecho, no la obligación a comprar(call) o vender (put) un cierto activo subyacente en un periodo detiempo predeterminado y aun precio establecido (strike price).
• El activo subyacente puede ir desde activos financieros hastaactivos reales.
• ¿Cómo valorar una opción?
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Un ejemplo simple
• Considere una firma que está tratando de decidir si invertir en unaplanta productora de cajas y cuándo. La inversión puederealizarse en cualquier momento, pero una vez hecha escompletamente irreversible. Si la firma decide invertir, laconstrucción de la planta tendría un costo de US$16 millones. Cadaaño, la fábrica puede producir un millón de cajas a un costounitario de US$1. El precio corriente es de US$3 por caja. Elmercado cree que el próximo año el precio unitario subirá a US$4,con una probabilidad de 1/2, o caerá a US$ 2, con unaprobabilidad de 1/2, permaneciendo constante de ahí en adelante.¿Debería la firma invertir ahora? Suponga que la tasa de descuentopara los flujos de la fábrica de cajas es de 10 por ciento anual,interés simple.
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Un ejemplo simple
• Como vemos, la firma tiene una opción de gastar US$16 millonespara adquirir el valor presente de los flujos generados por lafábrica . Esta es una opción americana con maduración infinita.La regla tradicional del valor presente neto nos dice que debemosejercer dicha opción cuando ésta esté in-the-money, es decir,cuando su valor intrínseco sea positivo.
• Supongamos que el VPN de construir la nueva planta es de US$1millón. La regla del VPN sugiere que la firma debería invertir en elproyecto hoy día y “matar” la opción de esperar. Sin embargo, talrecomendación es errónea porque al no ejercer la opción deinversión, la firma retiene el valor ésta, el cual puede ser mayorque el VPN.
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Un ejemplo simple
• El VPN de este proyecto vienedado por:
• La regla de decisión VPN>0sugiere que se debe realizar elproyecto hoy
• El análisis de opciones sugiereque se podría esperar un año.Si el precio de la cajaaumenta a US$ 4, el VPN delproyecto sería:
millonesUSVPN
VPN
4$%10
216
1.113
1.113
1.113
16 32
millonesUSVPN
VPN
14$%10
316
1.114
1.114
1.114
16 32
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Un ejemplo simple
• Si el precio cae a US$2, el VPNdel proyecto sería:
• Hoy, el VP(Ingresos) al esperarun año está dado por:
millonesUSVPN
VPN
6$%10
116
1.112
1.112
1.112
16 32
millonesUS
MaxVPN
36.6$1.1
)6,0(%50)14%(50
¿Cuáles son los beneficios y costos de retrasar la inversión un año?
Al retrasar la inversión un año, la empresa mantiene el derecho a no ejercer(valor de la opción) y podría tomar una mejor decisión basada en la nuevainformación disponible.
La empresa pierde el ingreso del 1er año al retrasar la inversión
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Un ejemplo simple (El momento óptimo)
• ¿Sería óptimo retrasar la inversión enun año si la firma pudiera recuperaren su totalidad los US$16 millones,en caso de que invirtiera hoy (t=0) ydecidiera cerrar la planta cuando elprecio unitario de las cajas cayera aUS$2? La respuesta es NO. ¿Por qué?
• EL valor esperado es de 14*0,5-0,45*0,5=
• US$6,77 millones>US$6,36 millones.
• Esto implica que es óptimo ejercer laopción en t=0.
Si el precio aumenta aUS$4 por unidad,continuamosproduciendo parasiempre (rinde másque producir por untiempo y cerrar en elfuturo) obteniendo:
Si el precio cae a US$2,producimos el primer añoy cerramos la planta(rinde más que continuarproduciendo y cerrar enel futuro) obteniendo:
millonesUS
VPN
14$%10
316
millonesUS
VPN
45.0$%10
121616
Como se observa, cuando la inversión es completamente recuperable,la regla del VPN nos lleva a la decisión correcta.
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Analogía entre Opciones Financieras y Reales
• Lo anterior sugiere que las reglas de ejercicio temprano para opcionesamericanas pueden ser también aplicadas, al menos a nivel intuitivo, alas decisiones de inversión de una compañía.
• En particular, en el caso de inversiones irreversibles que la firma puederetrasar, las inversiones no debieran llevarse a cabo simplemente porqueel VPN es positivo. En vez, la firma debería invertir sólo si el VPN delproyecto excede a cero en una cantidad mayor o igual que el valor demantener vigente la opción de invertir.
• Entre más inciertos sean los flujos futuros del proyecto, más beneficiosoresultará postergar su puesta en marcha. Haciendo un paralelo con unaopción financiera, una mayor volatilidad del valor de la firma (activosubyacente) aumenta el valor de la opción de inversión.
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Analogía entre Opciones Financieras y Reales
• En el ejemplo anterior se sugiere que una oportunidad de inversión esmuy similar a una opción americana sobre una acción que pagaríadividendos con un vencimiento muy lejano en el futuro. Veamos porqué?
Opción Americana Opción de Inversión
Subyacente Valor de la acción Valor de la planta
Precio de ejercicio K Costo de construir laplanta
Fuente deincertidumbre
Precio de la acción S(t) Valor de la planta
Ganancia por esperar Derecho a no ejercerAplazar el costo de K
Derecho a no invertirAplazar el costo de laplanta
Pérdida por esperar Dividendos Pérdida por no producir
Valor de la opciónejercida
S(t) - K VPN
Valor de la opción sinejercer
C(t) Valor de la opción deinvertir
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Analogía entre opciones financieras y reales
– Abandonment options (American put)– Option to defer (American call)– Option to expand (American call)– Option to contract (American put)– Switching options (portfolio of call and put options)– Option to extend (a European call)
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Opciones como parte de sistemas reales
• Los proyectos a menudo contienen flexibilidades quepueden ser modeladas como opciones.
– Derechos, no obligaciones– Proveen retornos asimétricos– Se ejercen solo si conviene
– Ejemplos: Leasing con opción de compra al final del contrato.
Procesos de manufactura flexible
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Conceptos BásicosOpción Real – Flexibilidad - Convexidad
• Opción Real Derecho, pero no la obligación de asumir unaacción (diferir, expandir, contraer, abandonar, etc) a un costopredeterminado, llamado precio de ejercicio, para un periodopredeterminado (la vida de la opción).
• La flexibilidad en un proyecto de inversión se manifiesta medianteflujos de caja convexos, en los cuales producto de la flexibilidad sepueden capitalizar condiciones favorables y restringir las pérdidasbajo condiciones adversas. Los flujos de caja convexos se generanpor dos razones:
– Decisiones gerenciales– Estructura implícita de los flujos de caja
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Conceptos BásicosOpción Real – Flexibilidad - Convexidad
• La convexidad en los flujos de caja crea valor para las opcionesreales debido a la desigualdad de Jensen. Esta demuestra que elvalor esperado de una función convexa, es mayor que la funcióndel valor esperado de las variables, es decir:
])([])([^^
wEUwUE
Esto sólo se cumple si la función es convexa. El VPNconsidera los valores esperados de las variables. En cambio, elmétodo de opciones reales considera el valor esperado de lafunción. (Ver Figura)
])(^
wU
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Conceptos BásicosOpción Real – Flexibilidad - Convexidad
])(^
wU
)]([^
wUE
)]([^
wEUw1 w2
2)([ 21
^ wwwE
Valor creadopor laconvexidad
^
w
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Conceptos BásicosOpción Real – Flexibilidad - Convexidad
El concepto clave es que la incertidumbre por si sola es perjudicial, perola incertidumbre con flexibilidad es valiosa, debido a que se puedenaprovechar las condiciones favorables y restringir las desfavorables.
Consideremos el siguiente ejemplo:
Un proyecto que requiere una inversión de US$ 80 millones y produciráingresos esperados de US$ 400 millones con volatilidad del 25% anual. Loscostos de producción son de US$ 320 millones y la tasa de descuentopertinente es de 10% anual. Si no se considera la flexibilidad y laincertidumbre, se obtiene:
27.710.1
)320400(80
VPN Proyecto no factible
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Conceptos BásicosOpción Real – Flexibilidad - Convexidad
Si existe flexibilidad de producción, no se tiene que producir a pérdida, seobtiene:
64.8310.1
)320500(80
VPN
400
500
300 80080 VPN
82.12
8064.83
VPN
Proyecto factible
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“La incertidumbre aumenta el valor”
Las opciones directivasIncrementan el valor
Análisis deOpcionesReales
Enfoque tradicional
Valo
r
Incertidumbre
El análisis tradicional señala que amayor incertidumbre menor es el valordel activo. El análisis de opcionesreales demuestra que la incertidumbrepuede inducir un valor superior delactivo si los directivos logran identificary utilizar sus opciones para respondercon flexibilidad al desarrollo de losacontecimientos
Amram y Kulatilaka, 1999“Real Options, Managing strategic invesments in a uncertain world”
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“El cono de incertidumbre”Po
sibl
es V
alor
es F
utur
os
Hoy 2 años
$1M
Alto
Bajo
Rango de posibles valores futuros
Prob
abili
dad
Bajo Alto
Media
Desviaciónestándar
Valor de una empresa en dos años
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Ejemplos IlustrativosOpción de Abandono
Pero, si el proyecto no es exitoso el primer año, es mejor abandonar y recibir$500.000. Cuál es el valor de la opción? Nos encontramos frente a una put(opción de venta) con vencimiento 1 año, con precio de ejercicio $500.000 ydonde el valor presente del activo subyacente es $553.000. Suponemos que latasa libre de riesgo es 5% por periodo.
Además de lo anterior se sabe, que el valor del activo puede aumentar en un33% (738/553 – 1) o caer en un 25% (415/553 – 1). Por otra parte en un mundoneutral al riesgo los inversionistas exigen como retorno la tasa libre de riesgo.Por lo tanto si p representa la probabilidad de alta demanda en un mundoneutral al riesgo, se tiene que:
(p)(0.33) + (1-p)(-0.25) = 0.05 p=0.52
Si enfrentamos el evento de alta demanda, la opción de abandono vale cero. Entanto si el proyecto es un fracaso, podemos venderlo (salir) y ahorrar $85.000(500.000 – 415.000).
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Ejemplos IlustrativosOpción de Abandono
Por lo tanto:
E(opción) = (p)(0) + (1-p)(85) = $ 41.000 y el valor presente de la opción deabandono es:
VP (opción) = $41.000/1.05 = $39.000
El proyecto vale = $553.000 + $39.000 = $592.000
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Ejemplos IlustrativosOpciones Compuestas
Casi todas las decisiones de desembolso de capital tienen que ver coninversiones en etapas y todas las inversiones son opciones compuestas. Ladecisión de asignar recursos en las primeras etapas equivale al ejercicio deopciones que facilitarán el camino para concretar las etapas siguientes. Cadaetapa es una opción sobre otra opción. Ejemplos: I+D, exploración y generaciónde energía, decisiones de construcción de nuevas instalaciones.
[Copeland 2001] propone el siguiente ejemplo: Construcción de una gran plantaquímica. La construcción se hace por fases. La industria química tiene flujos decaja cíclicos. Cuando el spread entre el precio del producto final y el de susinsumos es grande, la rentabilidad de la industria impulsa la construcción denueva capacidad y rápidamente, por medio de arbitraje, el spread disminuye.Entonces viene un periodo de baja rentabilidad en el que no hay plantas enconstrucción, hasta que la demanda se reestablece y el ciclo empiezanuevamente.
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Ejemplos IlustrativosOpciones Compuestas
Ejercer la opciónde compra: invertir
50 $M en diseño delproyecto
Comprometerseinversión
total: 650 $M(sin flexibilidad)
Abandonar proyecto(ausencia deflexibilidad)
Punto dedecisión
Año 0
Ejercer la opciónde compra: invertir
200 $M fase dePre-construcción
Opción de compra:600 $M restantes sin
flexibilidad ulterior
Abandonar proyecto(ausencia deflexibilidad)
Seis meses despuésEjercer la opción
de compra: invertir400 $M para completar
construcción
Abandonar el proyecto
Final 1er año
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Valorización Neutral al RiesgoProbabilidad de Riesgo Neutral
• Esta es la técnica másimportante para el análisis deinstrumentos derivados. Sedesarrolló a partir de unapropiedad de la ecuacióndiferencial deBlack&Scholes&Merton
• Esta ecuación usada paravalorar opciones no involucrapreferencias de riesgo de losinversionistas. Tdd
T
TrXSd
dNXedNSC rT
12
2
0
1
210
)2
()/ln(
)()(
Los inversionistas pueden asumirseneutrales al riesgo y esto no afecta el valorde la opción.
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Valorando Opciones Reales en la Práctica
Copeland y Antikarov. Real Options – A Practitioner’s Guide. 2001
Etapa Objetivos Observaciones
Evaluar el caso base delproyecto (FCD, VPN,TIR)
Estimar VP caso base sinflexibilidad.
Técnicas tradicionales-Sin incluir flexibilidades
Modelar laincertidumbreutilizando árboles deeventos.
Entender comoevoluciona el VP através del tiempo.
Sin flexibilidad. Estimarincertidumbre usandodatos históricos.Simulación financiera.
Identificar e incorporarflexibilidades directivasy crear un nuevo árbolde decisión.
Analizar el árbol deeventos para incorporarflexibilidades directivaspara responder a nuevainformación.
La flexibilidad altera elperfil de riesgo delproyecto Cambio enel costo de capital.
Análisis de OpcionesReales
Valorar el proyecto totalusando Análisis deOpciones Reales (ROAReal Options Analysis)
ROA VP caso base +valor de opciones(flexibilidad)
1
2
3
4
43
Estimación de la VolatilidadAproximación Consolidada
ModeloValor Presentedel ProyectoCaso Base
Año 1, Año 2, … Año TInputs
Incertidumbre 1
Incertidumbre 2
Incertidumbre NVP
Probabilidad del VP
Outputs
Simulación de Monte Carlo
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Estimación de la VolatilidadAproximación Consolidada
FCF y estimaciónde VPN
• Construir modelodel proyecto
• Descontar flujoscon la tasaapropiada
Incertidumbrevariables delmodelo
• Autocorrelación decada variable con simisma (reversión a lamedia)
• Correlaciones entrevariables
Simulaciónfinanciera delproyecto-Distribucióndel VP
• Distribución del VP
• Volatilidad basada enretorno logarítmico
0
lnVP
VPt
Construirárbol de VPComportamientodel subyacente
• VP (con flujos de cajareinvertidos) siguemovimiento Brownianogeométrico
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Ejemplo 1. Inversión en Recursos Naturales Caso “Mina deCobre”
Caso 1: “Cuando no existen opciones estratégicas”
Los flujos de caja de una mina de cobre pueden replicarse por mediode activos financieros, ya que el valor de la mina viene determinadofundamentalmente por el precio del cobre.
1111 KQpC 2222 KQpC
Periodo 1 Periodo 2
p1 Precio del mineral de cobre al final del periodo 1p2 Precio del mineral de cobre al final del periodo 2
(1)
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Ejemplo 1. Inversión en Recursos Naturales Caso “Mina deCobre”(2)
Caso 1: “Cuando no existen opciones estratégicas”
Q1 Cantidad de cobre extraída en el periodo 1Q2 Cantidad de cobre extraída en el periodo 2K1 Costo de extracción en el periodo 1K2 Costo de extracción en el periodo 2
Los flujos de caja de la explotación de la mina pueden replicarse con laformación de un portafolio réplica con las siguientes características:
1. Un contrato a plazo (forward) para comprar Q1 unidades de cobre al finaldel periodo 1 al precio forward vigente de F1 por unidad y un segundocontrato forward para comprar Q2 unidades de cobre al final del periodo 2al precio forward vigente de F2
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Ejemplo 1. Inversión en Recursos Naturales Caso “Mina deCobre”(3)
Caso 1: “Cuando no existen opciones estratégicas”
2. Una obligación cero cupón a tasa libre de riesgo que proporcioneF1Q1 – K1 al final del periodo 1 y una segunda obligación F2Q2 – K2 al finaldel periodo 2
ttt
t
KQF
r
r
KQF
r
KQFVP
2
1
222
1
111
)1()1(
Rendimiento al vencimiento de una obligación cero cupón quevence al final del periodo t
El pago de reembolso futuro de una obligación cro cupónque vence al final del peiodo t
48
Ejemplo 1. Inversión en Recursos Naturales Caso “Mina deCobre”(4)
Ejemplo Numérico
Una empresa es propietaria de los derechos de explotación de una mina decobre cuya producción será de 75.000 libras, 25.000 al cabo del primer año y elsaldo en el segundo año. Los costos de extracción serán de 0.10 US$/libra y losprecios forward actuales son de 0.65 US$/libra para entrega a 1 año y 0.60US$/libra para entrega a 2 años. Las tasas libres de riesgo a plazo un año sondel 5% y 6% para plazo 2 años.
345.35$06.1
50000)10.060.0(
05.1
25000)10.065.0(2
ValorMina
ValorMina
49
Ejemplo 1. Inversión en Recursos Naturales Caso “Mina deCobre”(5)
Caso 2 “cuando existen opciones estratégicas”
En la práctica el propietario de una mina de Cu la cierra cuando el precio delmineral baja tanto que la explotación de la misma deja de ser rentable y acelerala producción cuando los precios son excepcionalmente altos. La posibilidad dealterar la tasa de producción es un ejemplo de opción estratégica.
Brennan y Schwartz (1985)1 desarrollaron un método de valoración deexplotaciones mineras que tiene en cuenta las posibilidades de alterar la tasa deproducción y utiliza como parámetros el precio forward hoy del mineral, lavolatilidad del precio del mineral y la tasa de interés libre de riesgo. El modeloBrennan – Schwartz puede aproximarse mediante el enfoque binomial devaloración de derivados.
50
Ejemplo 1. Inversión en Recursos Naturales Caso “Mina deCobre”(6)
El volumen de producción de una mina alcanzará los 75 millones de libras deCu dentro de un año si las condiciones económicas son favorables. Losdirectivos de la empresa minera prevén dos posibles precios para el Cu a unaño vista: 0.50 US$/libra si la demanda es baja y 0.90 US$/libra si la demandaes alta. El precio forward a un año es hoy de 0.60 US$/libra. La tasa de interéslibre de riesgo es 5%. Los costos de extracción ascienden a 0.8 US$/libra. Cuáles el valor de la mina?
Valor ?
t=0
t=1Escenario AFlujo de caja = 75.000.000(0.9-0.8)= 7.5 millones de US$
Escenario BFlujo de caja = Max[75000000(0.5-0.8),0]
51
Ejemplo 1. Inversión en Recursos Naturales Caso “Mina deCobre”(7)
Caso 2 “cuando existen opciones estratégicasEjemplo ‘Numérico” Portafolio Réplica
Escenario A:
000.500.705.1)6.09.0( YX
Escenario B:
005.1)6.05.0( YX
X 18.750.000 libras de Cu recibidas mediante un contrato forward 1 añoY 1.785.714 US$ invertidos en obligaciones cero cupón
52
Ejemplo 1. Inversión en Recursos Naturales Caso “Mina deCobre”(8)
Caso 2 “cuando existen opciones estratégicasConclusión
Una mina puede considerarse como una opción para extraer mineral a unprecio de ejercicio igual al costo de extracción. El valor de la opción deextracción se incrementa tanto con la volatilidad del precio del mineral comocon la volatilidad del costo de extracción.
53
Las técnicas tradicionales fallan…?
Ejemplo: (Similar a una concesión vial)
Una empresa quiere valorar la oportunidad de invertir en un proyecto cuyosflujos de caja esperados dentro de un año serán de 180 millones de pesos silas condiciones son favorables o 60 millones de pesos si son desfavorables.Los resultados son equiprobables. El gobierno, desea asegurar este proyectoconstituyendo para ello una garantía a favor del ejecutante por 180 millonesde pesos aún si las condiciones son desfavorables. Sin la garantía delgobierno, la tasa de descuento ajustada por riesgo es k=20%, mientras que latasa libre de riesgo es 8%. Cuál es valor del proyecto (V) y de la opción deabandono amparada en la garantía?
54
Ejemplo …
V=? P=?
q=0.5
1-q=0.5
V+ = 180
V- = 60
Flujo de caja
P+ = 0
Valor opciónabandono
P- = 180 – 60 = 120
55
Ejemplo Valoración de Tierraf(uso potencial)
Un lote en que se puede construir un edificio de 6 o 9 pisos. Los costosde construcción por piso son de US$ 80.000 si es de 6 pisos y $90.000US$ si es de 9 pisos. Estas cifras no cambian si la construcción se hacehoy o el próximo año.
Pmercado hoy 100.000 US$Palquiler = 8.000 US$/añoRf= 12% anual
Si las condiciones de mercado son favorables, cada piso se venderá en120.000 US$ y si son desfavorables, el precio de venta será 90.000 US$.
¿Cuál es el valor del lote en función de su posible uso?
56
Ejemplo Valoración de Tierraf(uso potencial)
Hoy:
Utilidad bloque 9 pisos = 9(100.000-90.000) = 90.000 US$Utilidad bloque 6 pisos = 6(100.000-80.000) = 120.000 US$
Opción Esperar 1 año:
p
1-p
?
Condiciones de mercado favorablesFC = 9(120.000-90.000) = 270.000
Condiciones de mercado desfavorablesFC = 6(90.000-80.000) = 60.000
57
Ejemplo Valoración de Tierraf(uso potencial)
Estimar probabilidades neutrales al riesgo p, 1-p
p
1-p
100.000
120.000+8.000 = 128.000
90.000+8.000 = 98.000
15/81
15/7
12.1)1(98)(128
100
p
p
pp
58
141.071 > FC obtenido con la opción de hacer 6 pisos hoy (120.000)
Conclusión: El suelo no edificado contemplarse como una opción parade compra de construcción, cuyo precio de ejercicio es el costo de laedificación. El valor de esta opción aumenta en función de laincertidumbre y el tipo de construcción.
Ejemplo Valoración de Tierraf(uso potencial)
071.14112.1
60000)15/8(270000)15/7(
59
La Valoración de Opciones Reales
• Principios de valoración de opciones reales
– Valoración neutral al riesgo: Probabilidades apropiadas en unahipótesis de neutralidad ante el riesgo.
– Ausencia de arbitraje: Las primas estimadas para las opcionesimpiden el arbitraje entre una compra (o venta) de dichoscontratos y un portafolio réplica formado por posiciones en elsubyacente y en un activo libre de riesgo.
– Modelos analíticos: Valoración en tiempo continuo, extensionesdel modelo B-S.
– Modelos discretos (Cox-Ross-Rubinstein) (1979)– Modelo Boyle – Simulación de Monte Carlo (1977)
60
La Valoración de Opciones Reales
Aproximación al valor teórico de una opción
El valor teórico de una opción es igual al valor esperado de los beneficios actualizadosque la opción puede proporcionar.
Precio subyacente Probabilidad (%) Valor intrínseco
70 2 0
80 8 0
90 20 0
100 40 0
110 20 10
120 8 20
130 2 30
Tenemos una opción de compra sobre un activo a un precio de ejercicio 100. Laopción es europea y tiene vencimiento a un año. La tasa de interés el del 12%anual y los precios del activo al vencimiento pueden alcanzar los valores que sepresentan en la tabla. ¿Cuál sería el precio de la opción hoy?
61
La Valoración de Opciones Reales
Preciosubyacente
Probabilidad(%)
Valorintrínseco
Valoresperado dela opción 1
70 2 0 0
80 8 0 0
90 20 0 0
100 40 0 0
110 20 10 2
120 8 20 1,6
130 2 30 0,6
62
Método simple: Modelo binomial
• Cox-Ross-Rubinstein (1979) - Supuestos del modelo
– Eficiencia y profundidad de los mercados– Ausencia de costos de transacción– Es posible comprar y vender en descubierto (sin límite)– Los activos son perfectamente divisibles– Se puede prestar y tomar prestado a la misma tasa de interés-– Todas las transacciones se pueden hacer de forma simultánea– El precio del activo subyacente evoluciona de acuerdo con un
proceso binomial multiplicativo
63
Valoración de opciones: Método binomial
• Principios básicos de valoración– Valoración neutral al riesgo– Ausencia de arbitraje
S
SU
Sd
con probabilidad p
con probabilidad 1- p
C
CU
Cd
con probabilidad p
con probabilidad 1- p
Ejemplo: Opción de compra europea con vencimiento a un periodo yprecio de ejercicio X.
],0[
],0[
XSdMAXCd
XSuMAXCu
64
Valoración de opciones: Método binomial
S=100
SU =120
Sd = 80
C
CU = MAX[0,120-100]
Cu=20
Cd = MAX [0,80-100]Cd=0
Portafolio réplica
• Posición corta (venta) de una call• Compra de K acciones (posición larga)
KS-C
KSU -Cu
KSd -Cd
)( duS
CdCuK
CdKSdCuKSu
65
Valoración de opciones: Método binomial
5.0)8.02.1(100
020)(
duS
CdCuK
rr
CKSr
CdKSd
r
CuKSu
ˆ)1(
)1()1(
66
Valoración de opciones: Método binomial
CdmmCur
C
du
ru
du
drm
du
drm
du
ruCd
du
drCu
rCuur
du
CdCu
rC
CuurKSrr
CuKSuKSrC
)1(ˆ1
ˆˆ11
ˆ
ˆˆˆ1
)ˆ(ˆ1
)ˆ(ˆ1
ˆˆ
],0[
],0[
XSdMAXCd
XSuMAXCu
67
Valoración de opciones: Método binomial
64.13025.02075.01.1
1
25.01
75.08.02.18.01.1
Cu
m
mPodemos valorar una call europea a 1 periodo
Si la opción anterior cotiza en el marcado a 15, podríamos realizar la siguiente operaciónde arbitraje:
Vender la opción de compra por 15Comprar 0.5 unidades del activo subyacente
Flujo de caja de la operación = 15-0.5 x100=-35. Este valor financiamos al 10%
Valor teórico de la opción
68
Valoración de opciones: Método binomial
Si la opción anterior cotiza en el marcado a 15, podríamos realizar la siguiente operaciónde arbitraje:
Vender la opción de compra por 15Comprar 0.5 unidades del activo subyacente
Flujo de caja de la operación = 15-0.5 x100=-35. Este valor financiamos al 10%
Al vencimiento el subyacente vale 120
• Nos ejercen la opción y perdemos 20 (100-120)• Vendemos nuestra inversión en el subyacente 0.5 x 120 = 60• Pagamos el crédito 35 x 1.1 = 38.5• Beneficio total = 60 – 20 – 38.5 = 1.5
Al vencimiento el subyacente vale 80
• La opción no se ejerce• Vendemos nuestra inversión en el subyacente 0.5 x 80 = 40• Pagamos el crédito 35 x 1.1 = 38.5• Beneficio total = 40 – 38.5 = 1.5
69
Valoración de opciones: Método binomial
En ambos casos el beneficio es igual y coincide con la diferencia entre la primade mercado de la opción (15) y la prima teórica (13.64), capitalizada al 10%.
15 – 13.64 = 1.361.36 X 1.1 = 1.5
El valor teórico de la opción deberá coincidir con su valor de mercado.
Una posición en opciones se puede replicar con una posición en el activo subyacente y enel activo libre de riesgo.
Si se denomina B al activo libre de riesgo podríamos asumir que el valor de una opción sepuede replicar de la siguiente forma:
C=KS-B
KS-B
KSU –B(1+rf)
KSd –B(1+rf)
70
Valoración de opciones: Método binomial
• Para que KS-B = C, se debe elergir K y B de tal modoque:
36.36By0.5KejemploelEn
))(1(y
)(
:Despejando
)1(y)1(
dur
uCddCuB
duS
CdCuK
CdrBKSdCurBKSu
f
ff
Comprando 0,5 unidades del activo subyacente y endeudándonos en 36,36 a tasa del10% se puede replicar una opción de compra con precio de ejercicio 100.Comprando 0,5 unidades del activo subyacente y endeudándonos en 36,36 a tasa del10% se puede replicar una opción de compra con precio de ejercicio 100.
71
Valoración de opciones
• La probabilidad p no interviene en la fórmula devaloración de la opción.
• El valor de C no depende del riesgo de mercado sino delcarácter aleatorio de la evolución de los precios delsubyacente.
• El valor C no depende de la prima de riesgo de losinversionistas
• Se pueden valorar opciones asumiendo la hipótesis deneutralidad al riesgo.
72
Valoración de opciones
• Si el inversionista es neutral al riesgo, el rendimientoesperado del subyacente debe ser igual a la tasa derentabilidad del activo libre de riesgo.
S
SU
Sd
con probabilidad p
con probabilidad 1- p
73
Método binomial para n periodos
74
Relación Modelo Binomial – Distribución Lognormal
Precio Activo Retorno % Ln (St+1/St)100120 20,0% 18,23%100 -16,7% -18,23%
Los retornos porcentuales no son simétricos aunque el cambio envalor absoluto del precio del activo es igual
Los log-retornos si son simétricos
75
Relación Modelo Binomial – Distribución LognormalEjemplo
76
Modelo binomial en la prácticaEstimación de variables básicas
77
Modelo binomial en la prácticaDiseño de árbol binomial
78
Modelo binomial en la prácticaDiseño de árbol binomial
Sigma 16,7%
rf 0,49%
u 1,18
d 0,85
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
8,0 9,5 11,2 13,2 15,6 18,5 21,8 25,8 30,5 36,1 42,7 50,4 59,6
6,8 8,0 9,5 11,2 13,2 15,6 18,5 21,8 25,8 30,5 36,1 42,7
5,7 6,8 8,0 9,5 11,2 13,2 15,6 18,5 21,8 25,8 30,5
4,8 5,7 6,8 8,0 9,5 11,2 13,2 15,6 18,5 21,8
4,1 4,8 5,7 6,8 8 9,5 11 13 16
3,5 4,1 4,8 5,7 6,8 8 9,5 11
2,9 3,5 4,1 4,8 5,7 6,8 8
79
Ejemplo: Valoración de plantas de generación eléctrica conopciones reales
80
Load curves,demand behavior,
offer curves
Load curves,demand behavior,
offer curves
UPME, NEON (XM),IEA Databases
UPME, NEON (XM),IEA Databases
Anticipating futureinvestments of
competitors on thehorizon T (years).T = life of plant i
Anticipating futureinvestments of
competitors on thehorizon T (years).T = life of plant i
Estimation ofparameters and
variables ofvaluation model
Estimation ofparameters and
variables ofvaluation model
Defining scenarios forvariables and
parameters of thevaluation model
Defining scenarios forvariables and
parameters of thevaluation model
Energy prices,generation fuel cost,CO2 prices,investment cost,operating cost, powerplant data (usefullife, capacity, usefactor), policies andregulation.
Energy prices,generation fuel cost,CO2 prices,investment cost,operating cost, powerplant data (usefullife, capacity, usefactor), policies andregulation.
Discounted Cash FlowModel (DCF)
Discounted Cash FlowModel (DCF)
Decision criteria(NPV, IRR, XIRR)Decision criteria(NPV, IRR, XIRR)
Simulation modelSimulation model
Financial riskindicatorsProbability
(NPV>0), VaR, CVaR,skewness, kurtosis
Financial riskindicatorsProbability
(NPV>0), VaR, CVaR,skewness, kurtosis
Estimation ofproject volatility
Estimation ofproject volatility
Identification andvaluation of real
options
Identification andvaluation of real
options
Strategic value:NPV + VP (Real
Options)Model to evaluate investments in power generation assets
81
Features of electricity prices
0 24 6 8 10 12 14 16 18 20
22 24020
4060
80100
0
10
20
30
40
50
Trading PeriodReal Power (MW)
Pric
e $
Source: Fabra, Von de Fehr and Harbord (2002)
82
Electricity Prices - Colombia
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
E M M J S N E M M J S N E M M J S N E M M J S N E M M J S N E M M J S N E M M J S N E M M J S N E M M J S N E M M J S N
2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012
Price
s ($/
KWh)
Time
Precio Bolsa
Precio Contratos
Spot prices
Electricity contract prices
83
Volatility of Prices in the Colombian electricitymarket (Source: XM)
-100,00%
-80,00%
-60,00%
-40,00%
-20,00%
0,00%
20,00%
40,00%
60,00%
80,00%
E M M J S N E M M J S N E M M J S N E M M J S N E M M J S N E M M J S N E M M J S N E M M J S N E M M J S N E M M J S N
2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012
Volat
ility
Ln (P
t+1/
P t)
Time
Volatilidad Contratos
Volatilidad precio spotVolatility - Spot pricesVolatility - Contract prices
84Log returns contracts - monthly electricity prices - Colombian market
85
Weekly Prices for CREs (2008-2012) Source: IEA,2012
86
Electricity price models – long term
Long Term ElectricityPrice Models
One-factormodels
Two-factormodels
Aritmetic BrownianMotion (ABM)
Geometric BrownianMotion (GBM)
Ornstein-Uhlenbeck(OU) Model
Cox-Ingersoll-Ross(CIR) Model
Schwartz One-factorModel
InhomogeneousGeometric Brownian
Motion (GBM)
StochasticVolatility
Ornstein-Uhlenbeck(OU) Model
Geometric BrownianMotion (GBM)
Pilipovic Model
Schwartz-Smith Model
Jump Diffusion Models
Regime SwitchingMethods
Extreme Value Theory(EVT)
87
Case of Study
Stochastic Variables
Electricity pricesFuel costs for biomass fired-power plantsReal generation of power plantCO2 prices
Stochastic Variables
Electricity pricesFuel costs for biomass fired-power plantsReal generation of power plantCO2 prices
Technological Alternatives Small HydropowerPlants (SHPs) Wind Biomass (Sugar cane)
Capacity (MW) 20 20 20Energy sold throughbilateral contracts
100% 100% 100%
WACC (Oxera, 2011) 9% 10% 13%Income Tax Rate 27% 0% (First 15 years)Valuation period 20 20 20Continuity Value Yes No No
Real options considered NoExpansion and
LearningExpansion and Spark
spread
88
Binomial tree of wind project - CO2 price = 5 US$/Ton
Year 0 Year 1 Year 2 Year 3 Year 4 Year 5
Expansion Factor (Year 5) 100%Investment cost (20 MW) 45.953
Annual Volatility 25,10%u 1,29d 0,78r 5% 185.362p 53,60% 144.215q 46,40% 112.203 112.203
87.296 87.29667.919 67.919 67.919
52.842 52.842 52.84241.112 41.112 41.112
31.986 31.98624.886 24.886
19.36215.064
89
Sensitivity analysis of expanded NPV
46.000
47.000
48.000
49.000
50.000
51.000
52.000
53.000
0% 10% 20% 30% 40%
ExpansionOption+LearningOption
Expanded value
Annual Volatility
COP$
000
90
Binomial tree of bagasse fired power plant CO2 priceUS$5/ton
Year 0 Year 1 Year 2 Year 3 Year 4 Year 5
Expansion Factor (Year 5) 100%Investment cost (20 MW) 59.400
Annual Volatility 26,60%u 1,30d 0,77r 5% 245.026p 52,70% 187.798q 47,30% 143.935 143.935
110.318 110.31884.552 84.552 84.552
64.804 64.804 64.80449.668 49.668 49.668
38.068 38.06829.177 29.177
22.36217.139
91
Sensitivity analysis of expanded NPV vs Volatilitylevels
15.000
20.000
25.000
30.000
35.000
40.000
0,0% 10,0% 20,0% 30,0% 40,0%
Expanded value
ExpansionOption+LearningOption
Annual Volatility
COP$
000
92
Financial results for different technologies CO2 price= US$5/ton
Technology NPV Mean($MM)
Probability(NPV>0) (%)
ExpandedNPV ($MM)
SmallHydropowerPlant (SHP)
35.754 80 35.754
Wind 729 52,4 47.781
Biomass -Bagasse
7.868 65 32.286
93
Ejemplo de Valoración de Opciones: Método Binomial
• Valore una call con precio de ejercicio 100 sobre unactivo subyacente cuyo precio spot es igual a 100. Elfactor de ascenso u=1,2 y el factor descenso d=0,8. Latasa libre de riesgo es 2%. Número de periodos es 4.
207,4 107,4172,8 74,8
144,0 144,0 47,9 44,0120,0 120,0 29,2 22,0
100,0 100,0 100,0 17,2 11,0 0,083,3 83,3 5,5 0,0
69,4 69,4 0,0 0,057,9 0,0
48,2 0,0
94
Opciones de crecimiento
Opción de crecimiento o de ampliación Proporciona a su propietario la opción deadquirir una porción adicional de un proyecto a cambio de un costo adicional.
Opción de ampliar escala de operación
Adquisiciones de tipo estratégico
Investigación y desarrollo
Proyecto multietapa
¿ En qué medida es necesaria la realización de la fase inicial para desarrollar elproyecto siguiente?¿Existe exclusividad en el ejercicio de la opción?¿La ventaja competitiva derivada del ejercicio de la opción es sostenible en el tiempo?
VE = VP (Flujo de caja libre) + VP (opciones de crecimiento)
95
Opciones de crecimiento (Ejemplo La 15)
Una cadena de supermercados colombiana (La 15) esta interesada en abrir una tiendaen España, teniendo en cuenta la gran migración que se ha presentado hacia ese país.Sin embargo, debido al riesgo inherente a esta operación que se constituye en laprimera de carácter internacional, la empresa ha considerado realizar una inversión enun formato más pequeño que el tradicional, esto con el fin de explorar la aceptación endicho país. Si pasado el tiempo, la inversión resulta exitosa, La 15 podría consideraruna inversión adicional, con el fin de alcanzar el formato de tamaño habitual.
El desarrollo del formato inicial de negocio supone inversiones por 57 millones de euros.El valor presente promedio de los flujos del negocio se estima en 42 millones de euroscon una desviación estándar del 46%. La tasa libre de riesgo es 4%.
Es evidente que el VPN de este proyecto no es atractivo 42 – 57 = -15 millones de euros
Sin embargo es posible que transcurridos 2 años, los directivos de La 15 consideren la opción deampliar el formato de negocio. La inversión adicional requerida en dos años estaría en torno a los220 millones de euros, pero el valor del negocio en ese momento podría ser hasta 6 veces mayor queel valor del negocio inicial en el mismo momento.
96
Opciones de crecimiento (Ejemplo La 15)
Una cadena de supermercados colombiana (La 15) esta interesada en abrir una tiendaen España, teniendo en cuenta la gran migración que se ha presentado hacia ese país.Sin embargo, debido al riesgo inherente a esta operación que se constituye en laprimera de carácter internacional, la empresa ha considerado realizar una inversión enun formato más pequeño que el tradicional, esto con el fin de explorar la aceptación endicho país. Si pasado el tiempo, la inversión resulta exitosa, La 15 podría consideraruna inversión adicional, con el fin de alcanzar el formato de tamaño habitual.
El desarrollo del formato inicial de negocio supone inversiones por 57 millones de euros.El valor presente promedio de los flujos del negocio se estima en 42 millones de euroscon una desviación estándar del 46%. La tasa libre de riesgo es 4% anual compuestacontinuamente.
Es evidente que el VPN de este proyecto no es atractivo 42 – 57 = -15 millones de euros
Sin embargo es posible que transcurridos 2 años, los directivos de La 15 consideren la opción deampliar el formato de negocio. La inversión adicional requerida en dos años estaría en torno a los220 millones de euros, pero el valor del negocio en ese momento podría ser hasta 6 veces mayor queel valor del negocio inicial en el mismo momento.
97
Opciones de crecimiento (Ejemplo La 15)
105.39
66.53
42.00 42.00
26.51
16.74
517.73 SUU+MAX((SUU*6)-inv_adicional,0)
E1
E0 74.00 SUD+MAX((SUD*6)-inv_adicional,0)
E2
16.74 SDD+MAX((SDD*6)-inv_adicional,0)
98
Opciones de crecimiento (Ejemplo La 15)
254.34
E0
39.73
69.80 8.69570481.1
%)02.5773.39(%)98.4234.254(
73.390481.1
%)02.5774.16(%)98.4274(
34.2540481.1
%)02.5774(%)98.4273.517(
0
1
1
E
E
E
Opción de ampliación = 69.8 –(-15) = 84.8