Prueba de acceso grado superior

Materia: Fundamentos de matemáticas

© Mikel Marcilla 2009. Todos los derechos reservados

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Índice:1. UD1: Los números..................................................................................................31.1. Objetivo.................................................................................................................31.2. Actividad 1: Tipos de números..................................................................................31.3. Actividad 2: Cálculos con números complejos.............................................................82. UD2: El lenguaje algebraico y sus aplicaciones...................................112.1. Objetivo...............................................................................................................112.2. Actividad 1: Polinomios..........................................................................................113. UD3: Sistemas de ecuaciones y su resolución.....................................153.1. Objetivo...............................................................................................................153.2. Actividad 1: Ecuaciones de primer y segundo grado...................................................153.3. Actividad 2: Sistemas lineales de ecuaciones............................................................193.4. Actividad 3: Sistemas de ecuaciones.......................................................................244. UD4: Las funciones............................................................................264.1. Objetivo...............................................................................................................264.2. Actividad 1: Tabulación de funciones.......................................................................264.3. Actividad 2: Representaciones................................................................................304.4. Actividad 3: Funciones trascendentes......................................................................375. UD6: La trigonometría y sus aplicaciones...........................................405.1. Objetivo...............................................................................................................405.2. Actividad 1: Razones trigonométricas.......................................................................405.3. Actividad 2: Triángulos...........................................................................................456. UD7: Sistema de coordenadas y ecuación de la recta..........................486.1. Objetivo...............................................................................................................486.2. Actividad 1: Representación de puntos y rectas.........................................................486.3. Actividad 3: Distancias en el plano...........................................................................547. UD8: Las cónicas: la circunferencia....................................................577.1. Objetivo...............................................................................................................577.2. Actividad 1: Las cónicas.........................................................................................577.3. Actividad 2: La ecuación de la circunferencia............................................................618. UD9: Estadística unidimensional........................................................688.1. Objetivo...............................................................................................................688.2. Actividad 1: Tablas y gráficas estadísticas................................................................688.3. Actividad 2: Cálculo de parámetros estadísticos........................................................729. UD10: La probabilidad.......................................................................789.1. Objetivo...............................................................................................................789.2. Actividad 1: Sucesos.............................................................................................789.3. Actividad 2: La ley de Laplace.................................................................................80

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1. UD1: LOS NÚMEROS1.1. OBJETIVO Realizar cálculos con diferentes tipos de números y representarlos sobre la recta real.1.2. ACTIVIDAD 1: TIPOS DE NÚMEROS1.2.1. OBJETIVO ACTIVIDAD 11.2.1.1. Objetivo Identificar y representar los distintos tipos de números sobre la recta real. Realizar cálculos con números racionales e irracionales, tanto con lápiz y papel como con

calculadora.1.2.1.2. Contenidos Los números racionales e irracionales. La recta real. Notación científica. La calculadora científica y su manejo. Logaritmos:

Utilidad. Manejo de sus propiedades. Aplicaciones.

1.2.2. CONTENIDO TEÓRICO1.2.3. LA DIVISIÓN DE NÚMEROSLos números se dividen en: Números naturales:

Símbolo: N DEFINICIÓN: Es el número de elementos que tiene un conjunto. EJEMPLOS: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,…}

Números enteros: Símbolo: Z DEFINICIÓN: Se obtiene de restarle a un número natural, otro número mayor. Lo

forman todos los números naturales más el 0 y los números negativos. EJEMPLOS: {…, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,…}

Números racionales (o decimales): Símbolo: Q DEFINICIÓN: Se obtiene de la división de un número entero entre otro diferente del

0. Lo forman todos los números enteros más los decimales que se puedan obtener de una división.

EJEMPLOS: {-7.55, -5/4, 0.74, 10/9, 2, …} Números irracionales:

Símbolo: I DEFINICIÓN: Son los números decimales que no pueden obtener mediante una

división. Cuentan con infinitas cifras decimales no periódicas. Números reales:

Símbolo: R DEFINICIÓN: Son todos los números enteros y decimales, provengan o no de una

división. Lo forman todos los números racionales más los irracionales (números decimales que no se puedan obtener de una división, como √3, log5, e,…).

EJEMPLOS: {-8, -3/2, 1, π, √2}

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1.2.4. LA RECTA REALLa recta real es una representación geométrica del conjunto de los números reales. Tiene su origen en el cero, y se extiende en ambas direcciones, los positivos en un sentido (normalmente hacia la derecha) y los negativos en el otro (normalmente a la izquierda). Existe una correspondencia uno a uno entre cada punto de la recta y un número real. Intervalos de la recta real:

1.2.5. NOTACIÓN CIENTÍFICATodos sabemos escribir números, pero hay casos especiales en los que se usa la notación científica más abreviada para escribir una cifra. Esos casos son: NÚMEROS DECIMALES: Para separar los números enteros de los decimales, se utilizan los

caracteres “.” por ejemplo, en las calculadoras. “,” por ejemplo en los ordenadores.

PERIÓDICOS: Cuando el resultado de una división da un número infinito de decimales, se representa poniendo un arco sobre los decimales que se repiten.

10/3 = 3.33333333333333333333… y se representa como . 32/7 = 4,571428571428571428571428… =

NÚMEROS MUY GRANDES: Se suelen representar como potencia de 10 (o la “E” mayúscula), ya que es un valor fácil de interpretar, ya que cada división o multiplicación por 10 corresponde a mover una posición el símbolo decimal. La potencia de 10 puede ser un número entero positivo para los números muy grandes, y negativo para los números muy pequeños. Habitualmente se usan los múltiplos de 3.

Por ejemplo, la velocidad de la luz es aproximadamente: 300.000 Km/s. Si por alguna razón la tenemos que pasar a mm/s, tenemos que multiplicar el valor anterior por 1.000.000, nos sale un número tan grande que es difícil de memorizar, de manejar y de introducir en la calculadora, por lo que en notación científica se representa de la siguiente

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manera: 300.000Km/s x 1.000.000mm/Km = 300.000.000.000 mm/s, o lo que es lo mismo: 300x109 mm/s = 300E9 mm/s ó 0.3X1012 mm/s =0.3E12 mm/s.

Otro ejemplo: el nanometro es la milmillonésima parte de un metro, es decir: 0.000000001 metros = 1x10-9m = 1E-9m

1.2.6. LA CALCULADORA CIENTÍFICA Y SU MANEJOLa calculadora es una herramienta que ayuda a resolver operaciones matemáticas, científicas, físicas, estadísticas, económicas,… Como toda herramienta hay que aprender a utilizarla para que ahorre trabajo.

1.2.7. LOGARITMOSLogaritmo de un número es el exponente al que hay que elevar la base para que nos de dicho número. Resuelve ecuaciones del tipo: La base “a” habitualmente es 10, 2 o el número e (e= 2.718281828459…) Utilidad y aplicaciones de los logaritmos: Los logaritmos se usan por dos razones:

Porque ciertos fenómenos físicos y químicos responden a una ecuación logarítmica. Porque gracias a sus propiedades matemáticas se pueden simplificar operaciones

más complejas. Manejo de las propiedades de los logaritmos:El logaritmo de un número es igual a la suma de los logaritmos de sus factores.El logaritmo de una fracción es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.El logaritmo de una potencia es igual al exponente de la potencia multiplicado por el logaritmo de la base de la potencia.El logaritmo de una raíz es igual uno dividido entre el índice de la raíz y multiplicado por el logaritmo de la cantidad subradical.

El logaritmo de un número en base el mismo número es igual a uno.El logaritmo de un número elevado a un exponente en base el mismo número sin el exponente, es igual al exponente del número.El logaritmo de un número elevado a un exponente en base el mismo número elevado a otro exponente es igual al exponente del número dividido entre el exponente de la base.El logaritmo de un número elevado a un exponente en base otro número elevado a otro exponente es igual a el exponente del número entre el exponente de la base y ese cociente multiplicado por el logaritmo del número sin exponente en base el otro número sin exponente.El logaritmo del número "uno" en cualquier base es cero.

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El logaritmo de un número en base a otro número es igual a uno dividido entre el logaritmo de aquel otro número en base el primer número.El logaritmo de un número en base un segundo número es igual al cociente entre el logaritmo del primer número en base un tercer número entre el logaritmo de el segundo número en base el tercer número. Esta propiedad de logaritmo se conoce como cambio de base.El logaritmo de una fracción en base un número cualquiera es igual a menos el logaritmo de la fracción invertida en la misma base.Un número elevado a un logaritmo en base el mismo número es igual al número de logaritmo.El logaritmo de un número en base cualquier número es igual a el logaritmo del mismo número elevado a un exponente cualquiera en base la misma base elevado al mismo exponente al que se elevó el número.

1.2.8. DESCRIPCIÓN DE LA ANIMACIÓNContenid

o Dirección URL

La recta real

http://phobos.xtec.net/rferna63/mod/resource/view.php?id=788 ) o en http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Numeros_Reales_Aproximaciones/numeros5.htm

1.2.9. RECURSOS Contenido Dirección URLNúmeros http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero

www.matematicas.net/paraiso/asignat.php

Números naturales

http://es.wikipedia.org/wiki/N %C3%BAmero_natural#Definici.C3.B3n_de_los_n.C3.BAmeros_naturales

http://enciclopedia.us.es/index.php/N%C3%BAmero_natural http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/naturales1/

natural.htm www.hiru.com/es/matematika/matematika_00300.html http://personales.unican.es/ruizvc/algebra/naturales.resumen.pdf www.oup.com/pdf/es/9788467310177-a.pdf http://lem.usach.cl/biblioteca/BD/prop%20de%20R.pdf

Números enteros

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_entero http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/enterosdesp/

index.htm www.hiru.com/es/matematika/matematika_00300.html www.escolar.com/matem/13nument.htm www.profesorenlinea.cl/swf/links/frame_top.php?dest=http%3A//

www.profesorenlinea.cl/matematica/NumerosEnterosZ.htm http://sergiorizzolo.blogspot.com/2007/01/nmeros-enteros.html

Números racionales

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_racional http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/

Numeros_Reales_Aproximaciones/numeros5.htm www.hiru.com/es/matematika/matematika_00400.html www.profesorenlinea.cl/swf/links/frame_top.php?dest=http%3A//

www.profesorenlinea.cl/matematica/Decimalafraccion.htm http://lem.usach.cl/biblioteca/BD/prop%20de%20R.pdf

Números irracionales www.hiru.com/matematika/matematika_00900.html

Números reales

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real http://enciclopedia.us.es/index.php/N%C3%BAmero_real http://lem.usach.cl/biblioteca/BD/prop%20de%20R.pdf www.monografias.com/trabajos15/numeros-irracionales/numeros-

irracionales.shtml#REALES http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Reales/reales.htm www.hiru.com/es/matematika/matematika_01000.html www.darwin-milenium.com/Estudiante/Matematicas/Numeros

%20Reales.htm

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La recta real

http://es.wikipedia.org/wiki/Recta_real http://es.wikibooks.org/wiki/Matem%C3%A1ticas_Bachillerato_LOGSE/

Herramientas_de_aritm%C3%A9tica http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/

representar_irracionales_sgn/irracionales_index.htm http://maralboran.org/wikipedia/index.php/N

%C3%BAmeros_racionales:_Expresi%C3%B3n_decimal_de_una_fracci%C3%B3n

www.hiru.com/es/matematika/matematika_01000.html www.dma.fi.upm.es/gies/informates/Calculo/calculo_1_1_1.pdf

La calculadora científica y su manejo

http://es.wikipedia.org/wiki/Calculadora http://ftp.casio.co.jp/pub/world_manual/edu/es/fx82SOLAR_S.pdf http://tjworld.wordpress.com/2007/11/12/emulador-de-casio-fx-9860-

calculadora-cientifica

Logaritmos

http://es.wikipedia.org/wiki/Logaritmo http://platea.pntic.mec.es/anunezca/ayudas/logaritmos/log_01.htm http://personal.redestb.es/javfuetub/aritmetica/logaritm.htm http://usuarios.lycos.es/mislogaritmos/ www.hiru.com/es/matematika/matematika_03400.html

1.2.10. EJERCICIOS

1.2.10.1. Calcular el valor de la siguiente expresión numérica:

a) b)

c) d) Respuesta:a

1.2.10.2. Calcular el valor de la siguiente expresión numérica:

a) b) c) d) Respuesta:C1.2.10.3. Calcula mediante logaritmos 532x0,184Respuesta:97.888Desarrollo:log(532x0,184) = log532 + log0,184 = 2,725912 + (-0,735182) = 1,990729Antilog(1,990729) = 97.8881.2.10.4. Calcula mediante logaritmos 191,7432Respuesta:3,7439x101417

Desarrollo:Log(191,7432) = log191,7 x log432 = 2,282622 x 2,635484 = 6,0158132Antilog(6,0158132) = 3,7439x101417

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1.3. ACTIVIDAD 2: CÁLCULOS CON NÚMEROS COMPLEJOS1.3.1. OBJETIVO ACTIVIDAD 21.3.1.1. Objetivo Realizar cálculos con números complejos1.3.1.2. Contenidos Los números complejos:

Necesidad de los números complejos Operaciones con números complejos

1.3.2. CONTENIDO TEÓRICO1.3.3. NÚMEROS COMPLEJOS Números imaginarios:

SÍMBOLO: no tienen DEFINICIÓN: Son los múltiplos enteros de √-1, representado por la letra i.

Números complejos: Símbolo: C DEFINICIÓN: Son pares de números, en los que un elemento es un número real y el

otro elemento es imaginario. Al ser dos elementos, se escriben entre paréntesis, separados por comas.

EJEMPLOS: {(-1.7, 3i), (0, √5i), (√3,0i)} Más información:

Resumen:

Necesidad de los números complejosLos números complejos son necesarios para resolver ecuaciones y otros problemas matemáticos cuyas soluciones no se encuentran entre los números reales. Gracias a ellos se han podido hacer demostraciones y cálculos en la corriente alterna, mecánica cuántica, teoría de la relatividad, fractales,… Operaciones con números complejos:

SUMA de números complejos: (a+bi) + (c+di) = ((a+c) + (b+d)i) RESTA de números complejos: (a+bi) - (c+di) = (ac) + (a-d)i MULTIPLICACIÓN de números complejos: (a+bi) x (c+di) = (ac-bd)+(ad+bc)i

DIVISIÓN de números complejos:

POTENCIAS de números complejos: (a+bi)n = (a+bi) x (a+bi) x … x (a+bi)Hay que tener presentes las siguientes propiedades matemáticas de los números imaginarios:

i = √-1 i2 = -1 i3 = -i i4 = i = √-1

1.3.4. DESCRIPCIÓN DE LA ANIMACIÓN

1.3.5. RECURSOSContenido Dirección URL

Números imaginarios http://es.wikipedia.org/wiki/Constante_imaginaria

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www.disfrutalasmatematicas.com/definiciones/numeros- imaginarios.html

Números complejos

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/09/matematicas-

09.html http://enciclopedia.us.es/index.php/N%C3%BAmero_complejo www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cursoJava/numerico/complejo/

complejo.htmNecesidad de los números complejos http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/09/c11.html

Operaciones con números complejos

http://es.wikibooks.org/wiki/Matem%C3%A1ticas/Aritm%C3%A9tica/ Operaciones_con_n%C3%BAmeros_complejos

www.vadenumeros.es/primero/complejos-en-forma-binomica.htm www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/numeros-imaginarios.html www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/numeros-complejos.html

1.3.6. EJERCICIOS1.3.6.1. Sobre recta real se trazan dos arcos que tienen por centro los puntos 0 y 4 respectivamente y que interseccionan con la recta en los puntos A y B. En el primer arco se inscribe un triángulo isósceles con una perpendicular a la recta en el punto 1 y una longitud de 1 unidad. En el segundo arco se inscribe otro triángulo rectángulo con una perpendicular a la recta en el punto 3 y una longitud de 2 unidades. Calcular los puntos A y B.Respuesta:

El punto A corresponde al valor √2, mientras que el valor numérico del punto B es igual a 4-√ 5, como puede verse los dos valores corresponden a números irracionales.1.3.6.2. Calcula las partes reales e imaginarias de:

a) b) c) d)

1.3.6.3. Respuestas:a = (0.8-1.4i)b = (-0.125-0.125i)c = (0.1+1.3i)d = (1+i)1.3.6.4. Calcula las partes reales e imaginarias de:

a) b) c)

d) e) f)

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1.3.6.5. Respuestas:a = (0.923076923076923+0.384615384615385i)b= (1.4+0.2i)c = (0.071-0.494i)d = (2i)e = (10+24i)f = (44-12i)

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2. UD2: EL LENGUAJE ALGEBRAICO Y SUS APLICACIONES2.1. OBJETIVO Operar con polinomios.2.2. ACTIVIDAD 1: POLINOMIOS2.2.1. OBJETIVO ACTIVIDAD 12.2.1.1. Objetivo Operar con expresiones algebraicas, polinómicas y racionales. Calcular las raíces de un polinomio mediante la factorización.2.2.1.2. Contenidos Lenguaje algebraico:

Polinomios: Operaciones con polinomios Descomposición factorial: factorización de polinomios Regla de Ruffini

Raíz de un polinomio Ecuación de segundo grado. Solución Resolución de problemas mediante planteamiento algebraico Ecuaciones irracionales sencillas, exponenciales y logarítmicas

2.2.2. CONTENIDO TEÓRICO2.2.2.1. PolinomiosEn una “expresión algebraica” se usan letras, números y signos de operaciones. Sirven para escribir fórmulas, ecuaciones,…

Por ejemplo, la expresión del , es una expresión algebraica.

Un caso particular de expresión algebraica es el “monomio”, en la que sus componentes sólo se operan entre sí mediante productos y potencias.Por ejemplo: πR2

El “grado” de un monomio es la suma de los exponentes de las letras que lo forman. En el monomio 3ab2c3d, su grado es 7, ya que aunque no se representen, los exponentes serían 3a1b2c3d1, y la suma de los exponentes sería 1+2+3+1=7.Así se llega a definir el polinomio como una suma de monomios no semejantes. Un ejemplo de polinomio es el Área de un cuerpo cilíndrico macizo =2πR2 + 2πRh donde el primer término de la suma y el segundo no se pueden operar entre ellos por no ser semejantes.El “grado de un polinomio” es el mismo que el del monomio de mayor grado que lo componga.Aunque se puede operar con polinomios con cualquier combinación de números y letras, lo más habitual es que se compongan únicamente de números y una sola letra (habitualmente, la “x”), En ese caso, la x se llama “variable”.2.2.2.2. Operaciones con polinomios Suma y resta: Se operan los monomios semejantes, respetando el signo obtenido:

2x3 + 3x3 = 5x3

20y2 - 37y2 = -17y2

6x3 + 3y2 + 5 + 9x3 = 15x3 + 3y2 + 5 Producto: se multiplican todos los monomios de un polinomio con los monomios del otro polinomio,

siguiendo un orden determinado: 3x2(2y + 5y2 – 3y3) = 6x2y + 15x2y2 + 9x2y3

(2x + 6)(5x2 + 3x – 7) = 2x(5x2 + 3x – 7) + 6(5x2 + 3x – 7) = 10x3 + 6x2 + 14x + 30x2 + 18x + 42 = 10x3 + 36x2 + 32x + 42

La regla de Ruffini: sirve para dividir un polinomio entre otro de grado 1, del tipo (x+a):

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www.mates-fskyqmk.net/mates/img%20facpolinomios/factpol.pdf

División de polinomios: como en la división matemática, logra la descomposición de un polinomio cumpliendo la regla de Dividendo = divisor x cociente + resto

http://w3.cnice.mec.es/Descartes/Bach_CNST_1/Polinomios/polinom1.htm

Igualdades comunes: se pueden calcular partiendo de las anteriores reglas con polinomios, pero se emplean con mucha frecuencia, así que conviene memorizarlas:

(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab (a - b)2 = a2 + b2 - 2ab (a + b)(a – b) = a2 - b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 +2ab + 2bc + 2ac2.2.2.3. Descomposición factorialEs la técnica que consiste en descomponer un polinomio de forma que se exprese como el producto de otros polinomios de menor grado.En cierta forma, sería la operación inversa a la multiplicación, ya que pretende definir un polinomio como el producto de otros.Los métodos más habituales son: El factor común:

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3x2 + 9x + 6 = 3(x2 + 3x + 2) 4x5 - 7x4 - 2x3 = x3(4x2 - 7x1 - 2)

La inversa de una de las igualdades comunes: a2 - b2 = (a + b)(a – b)

La ecuación de segundo grado:

ax2+bx+c Resolviendo como una ecuación de segundo grado,

se obtienen como soluciones x1 y x2. Si x1 ≠ x2, entonces el polinomio es igual a (x-x1)(x-x2) Si x1 = x2, entonces el polinomio es igual a (x-x1)2

Si no tiene soluciones reales, no se puede descomponer.2.2.2.4. Raíz de un polinomioEs un número tal que si lo sustituyo por l variable, el polinomio vale 0.Por ejemplo: si igualo a cero el polinomio:

2x – 8 = 0Entonces la raíz del polinomio será

2x = 8x = 4

por lo que si sustituyo la variable por su raíz:2 x 4 - 8= 0

2.2.2.5. Ecuaciones irracionalesSon las que tienen la incógnita dentro de una raíz.Por ejemplo: Para resolverlas, se deja la raíz un lado de la igualdad:

Y se elevan ambos lados al cuadrado para eliminar la raíz:

Y desde este momento, se resuelve como una ecuación racional de segundo grado.2.2.2.6. Ecuaciones exponencialesSon las que tienen la incógnita como exponente de un término del polinomio.42x+1 = (0,5)3x+5

Primero se igualan las bases:

Al estar igualadas las bases, se resuelven los exponentes:

2.2.2.7. Ecuaciones logarítmicasSon las que tienen la incógnita dentro de un logaritmo.Por ejemplo, Logx + log10 = 3

Logx + log10 = log1000Log(10x) = log 1000

10x=1000x=100

2.2.3. DESCRIPCIÓN DE LA ANIMACIÓNContenido Dirección URL

Polinomios http://w3.cnice.mec.es/Descartes/Bach_CNST_1/Polinomios/polinom1.htmOperaciones con polinomios www.librosvivos.net/smtc/homeTC.asp?TemaClave=1068

Regla de Ruffiniwww.juntadeandalucia.es/averroes/iesdiegogaitan/departamentos/departamentos/departamento_de_matemat/recursos/algebraconpapas/recurso/tests/polinomios/ruffini/ruffiniteoria.htm

Ecuaciones irracionales sencillas, exponenciales y logarítmicas

http://arenasmates.blogspot.com/2008/02/explicacin-de-la-resolucin-de.htmlhttp://w3.cnice.mec.es/Descartes/Bach_CNST_1/Ecuaciones_exponenciales_logaritmicas/Ecu_exp.htm#desc

2.2.4. RECURSOSContenido Dirección URL

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Polinomios

http://w3.cnice.mec.es/Descartes/Bach_CNST_1/Polinomios/polinom1.htmwww.juntadeandalucia.es/averroes/iesdiegogaitan/departamentos/departamentos/departamento_de_matemat/recursos/algebraconpapas/recurso/index.htmhttp://es.wikipedia.org/wiki/Polinomio

Operaciones con polinomios www.escribeyloedito.com/parasaber/polino3.htm

Regla de Ruffini www.mates-fskyqmk.net/mates/img%20facpolinomios/factpol.pdfhttp://sapiens.ya.com/matagus/capitulos/capitulo1.html

Descomposición factorial

http://platea.pntic.mec.es/anunezca/ayudas/factorizacion/factorizacion_polinomios.htm

Raíz de un polinomio

www.dynamics.unam.edu/Preparatoria8/polinomi/www.hiru.com/es/matematika/matematika_03200.html

Ecuaciones irracionales sencillas, exponenciales y logarítmicas

www.vitutor.com/ecuaciones/2/ecu4_Contenidos.htmlwww.vadenumeros.es/cuarto/ecuaciones-y-sistemas.htmwww.geocities.com/angelto.geo/matematicas/resoluciondeecuacionesirracionales.htmwww.scribd.com/doc/400487/ecuaciones-systemaswww.vitutor.com/al/log/ecuContenidos.htmlhttp://w3.cnice.mec.es/Descartes/Bach_CNST_1/Ecuaciones_exponenciales_logaritmicas/Ecu_exp.htm#deschttp://w3.cnice.mec.es/Descartes/Bach_CNST_1/Ecuaciones_exponenciales_logaritmicas/Ecu_log.htm

2.2.5. EJERCICIOS2.2.5.1. Dados los siguientes polinomios P(x) = 3x – 2; Q(x) = x - ½, calcular las siguientes expresiones algebraicas:a) P2(x)b) Q2(x)c) (P (x) + Q(x))2

Respuesta:a) 9x2 - 12x + 4b) x2 + ¼ - xc) 16x2 + 25/4 – 20xDesarrollo:a) P2(x) = (3x - 2)2 = (3x - 2) (3x - 2) = 9x2 – 6x – 6x + 4 = 9x2 – 12x + 4b) Q2(x) = (x - ½)2, =(x - ½)(x - ½) = x2 – ½ x – ½ x + (½)2 = x2 – x + ¼c) (P(x) + Q(x))2 = (3x – 2 + x - ½,)2 = (4x – 5/2)2 =16x2 – 20x + 25/42.2.5.2. Descompón en factores el siguiente polinomio y di cuáles son sus raíces:y = x3 - 2x2 – x + 2Respuesta:Descomposición = (x + 1)(x - 1)(x + 2)Raíces = x = 1; x = -1; x = -2

2.2.5.3. Descompón en factores el siguiente polinomio y di cuáles son sus raíces: y = 2x3 - 3x2 – 9x + 10Respuesta:Descomposición = 2(x - 1)(x + 2)(x – 5/2)Raíces = x = 1; x = -2; x = 5/22.2.5.4.

Prueba de acceso grado superior

3. UD3: SISTEMAS DE ECUACIONES Y SU RESOLUCIÓN3.1. OBJETIVO Resolver sistemas de ecuaciones hasta 3x3.3.2. ACTIVIDAD 1: ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO3.2.1. OBJETIVO ACTIVIDAD 13.2.1.1. Objetivo Plantear y resolver problemas mediante ecuaciones de primer y segundo grado.3.2.1.2. Contenidos Resolución de problemas mediante planteamiento de sistemas.3.2.2. CONTENIDO TEÓRICO3.2.2.1. Ecuaciones de primer gradoUna ecuación es una igualdad que sólo se verifica para unos valores en concreto de sus incógnitas.Una ecuación de primer grado es una igualdad entre un polinomio de grado 1 y el cero. La incógnita se suele representar con la letra “x”.Se representa como ax + b = 0.Hay ciertas reglas matemáticas que permiten operar para resolver una ecuación: Si a ambos miembros de una ecuación se les suma o resta una misma cantidad (positiva o

negativa), se mantiene la igualdad. Si ambos miembros de una ecuación se multiplican o dividen por una misma cantidad (positiva o

negativa), se mantiene la igualdad.Resolver una ecuación consiste en calcular el valor de la incógnita para que se cumpla la igualdad. Para ello, se opera la ecuación de manera que a un lado de la igualdad quede la incógnita y al otro lado todos los términos independientes. Así resulta que:

ax + b = 0ax = -bx = -b/a

En ocasiones, la ecuación es un conjunto de operaciones matemáticas más complejos que la suma y resta, incluyendo fracciones y paréntesis. Así podemos encontrarnos con ecuaciones de primer grado de la siguiente forma:

En esos casos, primero hay que operar y simplificar los términos de la ecuación hasta lograr el nivel de sencillez que permita su resolución.3.2.2.2. Ecuaciones de segundo gradoUna ecuación de primer grado es una igualdad entre un polinomio de grado 2 y el cero. La incógnita se suele representar con la letra “x”.Se representa como ax2 + bx + c = 0.Para solucionar una ecuación de segundo grado, se usan las reglas matemáticas mencionadas en las ecuaciones de primer grado. Así se observa que:

El término independiente “c” se pasa al otro lado de la igualdad:

Al multiplicar ambos lados de la igualdad por “4a”:

Sumando a ambos lados “b2”:

Y como el primer término es el resultado de una suma de cuadrados, se obtiene que:

Haciendo la raíz cuadrada en ambos lados:

El signo ± se obtiene porque tanto +(2ax+b) como –(2ax+b) elevados al cuadrado dan (2ax+b)2.Dejando la incógnita en un lado, queda:

Y al despejar la incógnita, se obtiene:

Prueba de acceso grado superior

Ésta es una fórmula para memorizar, ya que es muy usada, y cuesta menos que desarrollarla cada vez que se necesite.Las conclusiones que se sacan de esta solución son las siguientes: Una ecuación de segundo grado puede no tener soluciones reales. Ésto ocurre cuando b2-4ac<0 y

por tanto, la raíz cuadrada no proporciona resultados reales. Una ecuación de segundo grado puede tener una sola solución, cuando b2-4ac=0. En este caso, la

solución es –b/2a Una ecuación de segundo grado puede tener dos soluciones. En este caso serán:

3.2.3. DESCRIPCIÓN DE LA ANIMACIÓNContenido Dirección URL

Ecuaciones de primer grado

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Resolucion_geometrica_ecuaciones/ecuacion.htmwww.dmae.upct.es/~juan/matbas/ecprimer.htm

Ecuaciones de segundo grado www.dmae.upct.es/~juan/matbas/ecsegundo.htm

3.2.4. RECURSOSContenido Dirección URL

Ecuaciones de primer grado

http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3nhttp://emmsistemas.perublog.net/2007/11/15/capitulo_6_ecuaciones_de_primer_grado_con_una_incognita

Ecuaciones de segundo grado

http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_segundo_gradohttp://gaussianos.com/%C2%BFde-donde-sale-la-formula-para-resolver-ecuaciones-polinomicas-de-segundo-grado/www.darwin-milenium.com/Estudiante/Matematicas/Ecuaciones2Grado.htm

3.2.5. EJERCICIOS3.2.5.1. Tengo 1.850€ en billetes de 100 y de 50 euros. Si en total tengo 22 billetes, ¿Cuántas billetes hay de 10 y cuántos de 5?Respuesta:15 billetes de 100€7 billetes de 50€Desarrollo:Billetes totales = 22Billetes de 100€ = xBilletes de 50€ = 22 - x1.850 = 100x + 50(22 - x) = 100x + 1.100 – 50x = 50x + 1.10050x = 1.850 – 1.100 = 750x = 750 / 50 = 15Por lo tanto hay 15 billetes de 100€ y 22-15=7 billetes de 50€3.2.5.2. Leemos en una noticia que el depósito de agua de mi pueblo se encuentra a 3/7 de su capacidad total. Al día siguiente, la radio dice que con las lluvias, el depósito ha subido 1/7 de su capacidad. Al poco tiempo, se mira el contador y se ve que se han gastado 1.000 litros, y el nivel indica que el depósito está por la mitad. ¿Qué capacidad tiene el depósito?Respuesta:x = 14.000 litrosDesarrollo:

Multiplicando ambos miembros por 14:

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3.2.5.3. Resuelve la siguiente ecuación:

Respuesta:x= -6x= 2/3Desarrollo:

de dondex1= -108/18 = -6x2= 12/18 = 2/33.2.5.4. Una caja mide 5 m de altura y de ancho mide cinco metros más que de largo. Su volumen es 1.500m3. Calcular la largura y la anchura.Respuesta:Largura = 15 metros.Anchura = 20 metros.Desarrollo:Largura = L = incógnita.Altura = T= 5 metros.Anchura = C = L + 5 metros.Volumen = V = 1.500m3 = L x C x T = L x (L + 5 m) x (5 m) = 5L2 + 25L1.500 = 5L2 + 25L → 5L2 + 25L – 1.500 = 0Resolviendo la ecuación: L1 = -20 y L2 = 15La primera solución (-20) no vale, por lo tanto la solución válida es L = 15 m de largo.El ancho es L + 5 = 20 metros.La caja mide: 5 x 15 x 20 metros.3.2.5.5. Resuelve la siguiente ecuación:

Respuesta:x1 = 4x2 = 11/3Desarrollo:

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de donde:x1 = 4x2 = 11/3

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3.3. ACTIVIDAD 2: SISTEMAS LINEALES DE ECUACIONES3.3.1. OBJETIVO ACTIVIDAD 23.3.1.1. Objetivo Plantear y resolver problemas mediante sistemas lineales3.3.1.2. Contenidos Sistemas de ecuaciones (hasta de 3x3).

Sistema de ecuaciones lineales. Sistemas equivalentes. Sistemas compatibles e incompatibles.

Determinado. Indeterminado.

Solución de un sistema.3.3.2. CONTENIDO TEÓRICO3.3.2.1. Sistema de ecuaciones linealesEs un conjunto de ecuaciones de primer grado con varias incógnitas. Lo habitual, si se quiere tener la oportunidad de encontrar un número limitado de soluciones es que el sistema de ecuaciones lineales tenga tantas ecuaciones como rango. El rango indica cuántas ecuaciones tiene el sistema Las incógnitas se representan con letras, habitualmente x, y, z. El grado, como en los polinomios, es el mayor exponente de las incógnitas que forman los

polinomios.Ejemplo de sistema de ecuaciones:

En este caso, el rango es 2, al haber 2 ecuaciones en el sistema. El número de incógnitas es 2: x, y. El grado del sistema de ecuaciones es 1, ya que es el mayor exponente al que se encuentran

elevadas las incógnitas del sistema.Otro ejemplo:

3.3.2.2. Sistemas equivalentesSe dice que dos o más sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones.Los sistemas de ecuaciones lineales equivalentes no tienen por qué tener el mismo número de ecuaciones, pero sí de incógnitas.Por ejemplo: los siguientes sistemas de ecuaciones tiene las mismas soluciones: x = 5; y = 7:Los sistemas equivalentes cumplen varias condiciones:

Si multiplicamos todos los elementos de una ecuación por un número racional, obtenemos otra ecuación equivalente.

Si se cambia el orden de dos ecuaciones, el sistema resultante es equivalente. Si a una ecuación se le suma otra multiplicada por un número real cualquiera, el sistema resultante es equivalente. Al observar que una ecuación es una combinación lineal de otras ecuaciones del sistema, si

suprimimos esa ecuación obtendremos un sistema equivalente.3.3.2.3. Sistemas compatibles e incompatiblesUn sistema de ecuaciones lineales puede ser: Incompatible: no hay solución para sus incógnitas. Compatible: si hay solución para sus incógnitas.

Compatible determinado: hay una solución única Compatible indeterminado: hay múltiples soluciones.

3.3.2.4. Solución de un sistema:Para la resolución de sistemas de ecuaciones de hasta 3 ecuaciones y 3 incógnitas, existen tres métodos comúnmente utilizados para su resolución. Hay otros métodos (Gauss, Cramer, gráfico,… pero sólo son útiles para sistemas con más de 3 ecuaciones y 3 incógnitas.

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Método de reducción

Se multiplican los miembros de una o dos ecuaciones por un mismo número para obtener ecuaciones equivalentes en las que una de las incógnitas tenga el mismo coeficiente.

Multiplicando la segunda ecuación por 3, obtengo:

Sumando o restando se elimina una de las incógnitas.

Queda una solución más sencilla, con una incógnita menos y que se resuelve fácilmente.

14y = 98y = 98/14

y = 7

La incógnita despejada se puede sustituir en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar el valor de la otra incógnita.

3x + 2·7=293x + 14 = 29

3x = 29 - 14 = 15x = 15/3

x = 5

Método de igualación

En cada una de las ecuaciones se despeja la misma incógnita.

Despejando la x obtengo:

Las expresiones obtenidas se igualan entre sí, eliminando una de las incógnitas.

Queda una solución más sencilla, con una incógnita menos y que se resuelve fácilmente.

La incógnita despejada se puede sustituir en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar el valor de la otra incógnita.

3x + 2·7=293x + 14 = 29

3x = 29 - 14 = 15x = 15/3

x = 5

Método de sustitución

En una de las ecuaciones del sistema se despeja una de las incógnitas

Despejando la x obtengo:

La incógnita despejada se sustituye en la ecuación que no se ha usado; obteniendo una ecuación con una incógnita menos.

Sustituyendo x por su expresión en la primera

ecuación:3(4y - 23) + 2y = 29

Se resuelve la ecuación de primer grado resultante.

12y – 69 + 2y = 2912y + 2y = 29 + 69

14y=98y = 98/14

y = 7Se sustituye el valor determinado en cualquiera de las ecuaciones originales para encontrar el valor de la otra incógnita; también se sustituye en la expresión de la primera incógnita despejada, obteniéndose el valor de la otra incógnita; ambos procesos conducen al mismo resultado.

3x + 2·7=293x + 14 = 29

3x = 29 - 14 = 15x = 15/3

x = 5

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3.3.3. DESCRIPCIÓN DE LA ANIMACIÓNContenido Dirección URL

Sistema de ecuaciones lineales

www.aulademate.com/contentid-2.htmlwww.ciencialab.com/mod/resource/view.php?id=213

3.3.4. RECURSOSContenido Dirección URL

Sistema de ecuaciones lineales

http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_lineal_de_ecuacioneshttp://student_star.galeon.com/ecuacio.htmlwww.campusoei.org/cursos/centrocima/matematica/si_ec_li.pdf

Solución de un sistema

http://es.geocities.com/fracosta11/simultaneas.htmlhttp://usuarios.lycos.es/emsad09matematico/sistema_de_ecuaciones_lineales.htm

3.3.5. EJERCICIOS3.3.5.1. Definir el rango, grado y número de incógnitas del siguiente sistema de ecuaciones:

Respuesta:Rango: 3Grado: 2Número de incógnitas: 3Explicación:Rango: 3 porque el sistema tiene 3 ecuacionesGrado: 2 porque y está elevado al cuadrado en 2 ecuacionesNúmero de incógnitas: 3 porque hay x, y z.

3.3.5.2. Soluciona el siguiente sistema de ecuaciones lineales según el método de reducción:

Respuesta:x = 296/31y = -29/31Desarrollo:

Para reducir la x, el mínimo común múltiplo de 4 y 6 es 12, por lo que hay que multiplicar la primera ecuación por 3 y la segunda por 2. Luego se multiplica por -1 cualquiera de ellas:

3.3.5.3. Calcular el área de un rectángulo sabiendo que su perímetro mide 16 m y que su base es el triple de su alturaRespuesta:192 m2.Desarrollo:B = BaseH = AlturaPerímetro del rectángulo = 2B + 2H = 16 m.3B = H (lo dice el enunciado)2B + 2H = 16 (Es la fórmula del perímetro)Se resuelve el sistema de 2 ecuaciones y 2 incógnitas por sustitución, ya que la primera ecuación ya despeja una incógnita:Sustituyendo en la segunda ecuación:2B + 2(3B) = 16 → 2B + 6B = 16 → 8B = 16 → B = 16/2 → B = 8 m. → H = 3B = 24 m.Área del rectángulo = B x H = 8 x 24 = 192 m2.

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3.3.5.4. Se dispone de tres cajas A, B y C con monedas de 1 euro. Se sabe que en total hay 36 euros. El número de monedas de A excede en 2 a la suma de las monedas de las otras dos cajas. Si se traslada 1 moneda de la caja B a la caja A, esta tendrá el doble de monedas que B. Averigua cuántas monedas había en cada caja.Respuesta:A =19 monedasB = 11 monedasC = 6 monedasDesarrollo:Primero hay que plantear el sistema de ecuaciones lineales: Se dispone de tres cajas A, B y C con monedas de 1 euro. Se sabe que en total hay 36 euros: A +

B + C = 36 El número de monedas de A excede en 2 a la suma de las monedas de las otras dos cajas: A - 2 =

B + C → A – B – C = 2 Si se traslada 1 moneda de la caja B a la caja A, esta tendrá el doble de monedas que B: 2(B – 1)

= A + 1 → 2B-2 = A + 1 → A - 2B = -3 Es un sistema de 3 ecuaciones y 3 incógnitas

La tercera ecuación sólo dispone de 2 incógnitas: en este caso, es recomendable el método de sustitución:

Ahora se dispone de un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas:

Esta vez emplearemos el método por reducción:

De donde:B = 44/4→B = 11

Sustituyendo en una de las ecuaciones anteriores:B – C = 5 → 11 – C = 5 → C = 11 – 5→ C = 6

Y sustituyendo en una de las ecuaciones del primer sistema:A – 2B = -3 A – 2·11 = -3→ A = -3 + 22→ A = 19

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3.4. ACTIVIDAD 3: SISTEMAS DE ECUACIONES3.4.1. OBJETIVO ACTIVIDAD 33.4.1.1. Objetivo Resolver sistemas de ecuaciones (hasta 3x3) mediante el método de Gauss.3.4.1.2. Contenidos Resolución de sistemas por el método de Gauss.3.4.2. CONTENIDO TEÓRICO3.4.2.1. Método de GaussEs similar al método de reducción: en él se intenta que cada una de las ecuaciones tenga una incógnita menos que la anterior, hasta tener una de las ecuaciones con una sola incógnita. Una vez resuelta, se sustituye en la ecuación de dos incógnitas, la segunda incógnita se sustituye en la ecuación de tres…Es decir: partiendo de una ecuación de este tipo:

Pretende reducirla a otra de este tipo:

Recordando las normas de los sistemas de ecuaciones equivalentes:

es una ecuación equivalente

es otra ecuación equivalente

Tomando la primera ecuación del primer sistema, y añadiéndole las dos ecuaciones equivalentes obtenidas:

Y haciendo lo mismo con las dos últimas ecuaciones:

Por lo que queda un sistema triangular:

3.4.3. DESCRIPCIÓN DE LA ANIMACIÓNContenido Dirección URL

3.4.4. RECURSOSContenido Dirección URL

Método de Gauss http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/sistemas_de_ecuaciones_lineales_2bcnt/metodo_de_gauss.htm

3.4.5. EJERCICIOS3.4.5.1. Resuelve el siguiente sistema aplicando el método de Gauss:x – y + 3z = –4x + y + z = 2x + 2y – z = 6Respuesta:x = 1y = 2z =-1Desarrollo:

x – y + 3z = –4x + y + z = 2

x + 2y – z = 6

x + y + 3z = -4-y + z = -3

-3y+4z=-10

x - y + 3z = -4-y + z = -3

-2z = 2De donde z = -1Sustituyendo en la anterior: -y-1=-3 – y = 2Y sustituyendo en la primera: x – 2 + 3·(-1) = -4 – x=-4+2+3 – x = 1

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4. UD4: LAS FUNCIONES4.1. OBJETIVO Identificar, calcular y representar funciones (sencillas) calculando su dominio.4.2. ACTIVIDAD 1: TABULACIÓN DE FUNCIONES4.2.1. OBJETIVO ACTIVIDAD 14.2.1.1. Objetivo Elaborar tablas a partir de la descripción de una situación o de su expresión algebraica, eligiendo

las unidades, escalas y ejes adecuados.4.2.1.2. Contenidos Funciones y gráficas:

Concepto de función Estudio intuitivo de las gráficas de funciones de diversos fenómenos Dominio y recorrido

Operaciones y composición de funciones4.2.2. CONTENIDO TEÓRICO4.2.2.1. Concepto de función Se dice que y es función de x si, mediante operaciones algebraicas, para cada valor de x se

obtiene un valor de y. Una función real de variable real es aquella en la que tanto x como y son números reales, y por

cada valor de x hay un valor de y único. Una función se representa mediante la fórmula y=f(x).4.2.2.2. Gráficas de funcionesUna gráfica es una representación de una función en los ejes x e y que proporciona una información visual entre las dos variables.Cada punto de la gráfica representa un valor de x para el que y = f(x). Por ejemplo:

www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/3eso/funciones/teoriainterpretaciondegraficas/teoriainterpretaciondegraficas.htm

4.2.2.3. Dominio y recorridoUna gráfica posee una serie de características que ayudan a definirla con palabras, identificando por ejemplo en qué intervalos existe la gráfica, dónde se cruza con los ejes de coordenadas o qué dirección toman sus extremos. Todas esas características tienen su denominación, y pueden ser calculadas por métodos matemáticos: Dominio: es el conjunto de valores que puede tomar la variable de la función para que exista una

y=f(x). Recorrido: es el conjunto de todos los valores posibles que se obtienen de f(x) cuando x varía en

todo el dominio de la función f(x). Se representa como Rec(f). Máximos: valores más altos que puede presentar una función en su eje y. Mínimos: valores más bajos que puede presentar una función en su eje y. Puntos de corte con el eje x: la función y vale cero. Las coordenadas son (x, 0). Puntos de corte con el eje y: la variable x vale cero. Las coordenadas son (0, y). Continuidad: una función es continua cuando y=f(x) en todos sus puntos.

Continua en toda la recta real: existe un valor y=f(x) para cualquier valor real de x. Continua en su rango de definición: existe un valor y=f(x) para cualquier valor real

de x que esté comprendido en el dominio de la función

Prueba de acceso grado superior

Discontinuidad: una función es discontinua en un punto cuando y=f(x) no esta definida en ese punto.

Asíntota: cuando la función tiende a aproximarse al valor determinado por una recta. Puede ser: Vertical. Horizontal. Oblícua.

Por ejemplo, en la gráfica

http://mazinger.sisib.uchile.cl/repositorio/ap/ciencias_quimicas_y_farmaceuticas/apmat1/07g.htmlSe puede observar lo siguiente: Dominio: La función y = f(x) tiene resultado para cualquier valor de x excepto para x = -3. Máximos: Cerca de x = -3, el valor de y=f(x) llega casi al ∞, por lo que no hay un máximo. Mínimos: Tampoco hay un valor mínimo. Puntos de corte con el eje x: la función y=f(x) no corta con el eje x. Puntos de corte con el eje y: la función y=f(x) corta con el eje y en (0,2). Discontinuidad: La función es discontinua en el punto x = -3. Asíntota: Son las líneas de trazos vertical y oblicua.4.2.2.4. Operaciones de funcionesSe pueden realizar las siguientes funciones siempre que estén comprendidas en el mismo intervalo o que no se anule el denominador:

Suma de funciones (f + g)(x) = f(x) + g(x)Resta de funciones (f + g)(x) = f(x) + g(x)Producto de funciones (f · g)(x) = f(x) · g(x)Producto de un número por una función (a·f)(x) = a·f(x)

División de funciones

Composición de funciones (g · f)(x) = g[f(x)]

4.2.3. DESCRIPCIÓN DE LA ANIMACIÓNContenido Dirección URL

Concepto de función http://centros5.pntic.mec.es/~marque12/matem/funciones/funciones1.htm

4.2.4. RECURSOSContenido Dirección URL

Concepto de función http://quimica.izt.uam.mx/CursosComp/Funciones.pdfhttp://centros5.pntic.mec.es/~marque12/matem/funciones/funciones1.htm

Gráficas de funciones www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/3eso/funciones/teoriainterpretaciondegraficas/teoriainterpretaciondegraficas.htm

Prueba de acceso grado superior

www.telefonica.net/web2/lasmatematicasdemario/Analisis/Funciones/GrafFunc.htmhttp://usuarios.lycos.es/juanbeltran/id30.htm

Dominio y recorrido www.acienciasgalilei.com/mat/fun-gra-htm/01dominio.htmOperaciones y composición de funciones

http://alojamientos.us.es/dma1euita/Docencia/TMRP/Funcion.htm

4.2.5. EJERCICIOS4.2.5.1. Dada la función y = sen(x) + cos(x) rellena su tabla, para los valores indicados de la variable correspondiente:

x π/6 π/4 π/2 πy

Respuestas:x π/6 π/4 π/2 π

y √2 1 1

4.2.5.2. Dada la función y = x3 – 3x2 -2x +1 rellena su tabla, para los valores indicados de la variable correspondiente:

x -2 -1 0 2y

Respuestas:x -2 -1 0 2y -15 -1 1 7

4.2.5.3. Halla el dominio de esta función: y = x3 – 5x2 + 7x + 3Respuesta:Toda la recta real

4.2.5.4. Halla el dominio y el recorrido de esta función:

Respuesta:No está definida para los valores que hacen cero el denominador, por lo tanto el dominio es toda la recta real a excepción de los valores 1 y 4El dominio es [-∞, 1], [1,3] ya que la función y no puede proporcionar los valores 1 ni mayores o iguales que 4.

4.2.5.5. Halla el dominio y el recorrido de esta función:

Respuesta:Al ser el denominador siempre mayor que cero, el dominio de definición de la función es toda la recta real.El recorrido es toda la recta real, ya que la función puede dar cualquier valor real:

Prueba de acceso grado superior

4.2.5.6. Dadas las siguientes gráficas, indicar cuáles son continuas y cuáles no. En caso dediscontinuidad señalar los puntos de discontinuidad.

a) b)

c)

d) Respuestas:a) Discontinua en x = 0.b) Continua en toda la recta Real.c) Continua en toda la recta Real.d) Continua en todo su dominio de definición.

Prueba de acceso grado superior

4.3. ACTIVIDAD 2: REPRESENTACIONES4.3.1. OBJETIVO ACTIVIDAD 24.3.1.1. Objetivo Representar gráficamente las funciones elementales: lineales, cuadráticas, polinómicas y

racionales (sencillas). Representar gráficamente la derivada de una función (sencilla).4.3.1.2. Contenidos Modelos funcionales:

Funciones lineales. Funciones cuadráticas. Funciones polinómicas y racionales (sencillas).

4.3.2. CONTENIDO TEÓRICO4.3.2.1. Funciones linealesSon las funciones cuyo resultado es una línea recta.Son de grado 1, del tipo y = ax + b con a, b ≠ 0. a es la pendiente (inclinación) de la recta. b es el punto de corte con el eje x (-b,0)Son sencillas de dibujar, ya que con calcular dos puntos ya conocemos la recta.Por ejemplo, en la gráfica y=2x+3Para calcular el punto p, hago y=0 → 2x + 3 = 0 → x=3/2 → (3/2,0)

Para calcular el segundo punto p, hago x=0 → y=3 → (0,3)

Y conocidos los dos puntos, ya se puede trazar la recta.4.3.2.2. Funciones cuadráticasSon las funciones cuyo resultado es una parábola.Son de grado 2, del tipo y = ax2 + bx + c. Haciendo y=0 sale que

es uno de los puntos de corte con el eje x.

es el otro punto de corte con el eje x

Haciendo x=0 sale que y = c → (0, c) es el punto de corte con el eje y.

Prueba de acceso grado superior

Haciendo se obtiene la coordenada x a la que se encuentra el vértice de la parábola, que

puede ser el máximo o el mínimo, según su orientación vertical. Si a>0, las ramas de la parábola van hacia arriba, en y positivo. El vértice será un mínimo. Si a<0, las ramas de la parábola van hacia abajo, en y negativo. El vértice será un máximo.Por ejemplo, en la gráfica y=5x2-2x+3

4.3.2.3. Funciones polinómicasEs una combinación lineal de funciones potencias de base real y exponente natural.Pueden ser de cualquier grado, y se representan como: Por ejemplo, la función f(x) = x2 -2x + 3 describe una parábola con un mínimo en (1,2) y cuyos extremos tiende hacia ∞, mientras que la función f(x) = 3x3 + 1 es una función cúbica, en la que un extremo tiende hacia -∞ y el otro hacia ∞, que corta al eje x en x=-3^-3 y al eje y en y=1. Además corta a la parábola en su mínimo.

http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Tfuncele1/funele.htm4.3.2.4. Funciones racionales (sencillas)Es una función que se obtiene como cociente de dos funciones polinómicas.

Pueden ser de cualquier grado, y se representan como:

Son discontinuas en los puntos que hacen el denominador=0.

Prueba de acceso grado superior

http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Tfuncele1/funele.htm4.3.2.5. DerivadasLa derivada es una operación matemática que precisa de conocimientos previos en el cálculo de límites, por lo que no se contempla en este curso.En cambio, la representación gráfica de la derivada es algo más visual e identificable: la derivada de una función representada gráficamente se corresponde a la pendiente de cada punto de dicha gráfica. El valor de la pendiente viene representada por el ángulo de la tangente a la gráfica en cada punto.En la siguiente tabla se representan las derivadas de las funciones más sencillas:

Función Función derivadaRepresentación gráfica de la función (línea azul)

Representación gráfica de la función derivada (línea verde)

Lineal:y=2x+3 y’=2

Cuadrática:y=5x2-2x+3 y’=10x-2

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Polinómica:y=3x3+1 y’=9x2

Racional (sencilla):

www.xtec.es/~jlagares/download/Funcionswin32.zip4.3.3. DESCRIPCIÓN DE LA ANIMACIÓN

Contenido Dirección URL

Gráficas de funcioneswww.ciencialab.com/mod/resource/view.php?id=100www.luventicus.org/articulos/03U004/index.htmlhttp://centros5.pntic.mec.es/~marque12/matem/funciones/funciones2.htm

Función lineal

http://contenidos.educarex.es/cnice/descartes/Esp/4a_eso/Representacion_interpretacion_graficas/lineales.htmhttp://w3.cnice.mec.es/Descartes/3_eso/Estudio_algunos_tipos_funciones_lineal_afin/Funcion_lineal.htm

Función cuadráticahttp://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0416-02/indice.htmhttp://w3.cnice.mec.es/Descartes/experiencias/mvi/representacion_fun_cuadratica.htm

Derivadaswww.xtec.es/~jlagares/matemati.htmwww.xtec.es/~jlagares/download/Funcionswin32.zipwww.dmae.upct.es/~juan/matbas/derivadas.htm

4.3.4. RECURSOSContenido Dirección URL

Gráficas de funcioneswww.xtec.cat/~mgarc127www.hiru.com/es/matematika/matematika_04600.htmlwww.hiru.com/matematika/matematika_04500.html

Gráficas elementales http://personal5.iddeo.es/ztt/graf/G1_Graficas_elementales.htm

Modelos funcionales http://centros5.pntic.mec.es/~marque12/matem/funciones/indice.htmwww.matematicastyt.cl/Graficas_de_Funciones/Inicio.htm

Función lineal http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_lineal

Función cuadráticawww.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/4eso/funciones/teoriafuncioncuadratica/teoriafunciones.htmwww.omerique.net/~luis.leiva/Funciones_cuadraticas.htm

Función polinómica y racional http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Tfuncele1/funele.htm

Derivadas

www.hiru.com/matematika/matematika_04100.htmlhttp://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/UnidadesDidacticas/25-1-u-derivadas.htmlhttp://juangordillo.com/derivadas.htmlwww.viviplanet.com.ar/?enciclopedia=Derivada

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4.3.5. EJERCICIOS4.3.5.1. Soluciona el siguiente sistema de ecuaciones lineales según el método gráfico:

Respuesta:

Desarrollo:

La primera gráfica corta con el eje y en x=0 → y=-41/3=-13,666 y corta en el eje x con y=0 → x=41/4=10,25. En el sistema de coordenadas, se hace una recta que cruce estos dos puntos (azul)La segunda gráfica corta con el eje y en x=0 → y=47/11=4,2727 y corta en el eje x con y=0 → x=47/6=7,8333. En el sistema de coordenadas, se hace una recta que cruce estos dos puntos (verde)Se observa que las rectas azul y verde se cruzan en un punto, que es la solución del sistema de ecuaciones (9,5483, -0,9355)

4.3.5.2. La siguiente gráfica

corresponde a una de las siguientes funciones:a)b)c)Explica razonadamente tu elecciónRespuesta:La aDesarrollo:Si nos damos cuenta, pasa por el (0, 0). Por tanto sólo puede ser la función 4.3.5.3. En la función cuadrática y=5x2-2, calcular los puntos de corte con los ejes x e y:Respuestas:

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Putos de corte con el eje x =

Putos de corte con el eje y = (0,-2)

http://w3.cnice.mec.es/Descartes/experiencias/mvi/representacion_fun_cuadratica.htm4.3.5.4. Asocia a cada una de las siguientes gráficas la expresión que le corresponda:

a)

b)

c)

d)

Respuestas:a) Ib) IVc) IIId) IIDesarrollo:Calculando los puntos de corte con los ejes, se obtiene que:

Función x = 0 y = 0 Gráfica

a) ∞ -1/2 I

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b) 1/3 ∞ IV

c) ∞ 1/3 III

d) -1/4 ∞ II

4.3.5.5. Aunque el siguiente sistema de ecuaciones se pueden de resolver mediante los métodos estudiados en la actividad anterior: resuélvelo mediante el método gráfico:y=2x2-3x-2y=-3x2+5x-1Respuesta:

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4.4. ACTIVIDAD 3: FUNCIONES TRASCENDENTES4.4.1. OBJETIVO ACTIVIDAD 34.4.1.1. Objetivo Reconocer las funciones trascendentes: exponenciales, logarítmicas y trigonométricas.4.4.1.2. Contenidos

Funciones exponenciales Funciones logarítmicas Funciones trigonométricas (sencillas)

4.4.2. CONTENIDO TEÓRICO4.4.2.1. Funciones exponencialesSon funciones de la forma y=ax para cualquier valor de x diferente de 0 y de 1.Tienen una forma característica, ya que y toma siempre valores positivos, con una variación de pendiente muy pronunciada, mientras que x tiende a ser una horizontal:

http://www.kalipedia.com/matematicas-funciones/tema/funciones-exponenciales-logaritmicas/funcion-exponencial.html?x=20070926klpmatfnc_88.Kes&ap=0

4.4.2.2. Funciones logarítmicasSon funciones de la forma y=loga(x) para cualquier valor que x>0.Tienen un perfil similar a las exponenciales, pero en este caso sí pueden alcanzar valores negativos de y:

y=log2(x)

www.vitutor.com/fun/2/c_14.html4.4.2.3. Funciones trigonométricas (sencillas)Son funciones de la forma y=f(x) cuando la función f es seno, coseno, tangente, secante,…Se caracterizan por su forma y periodicidad:

Seno Cosecante

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CosenoSecante

Tangente Cotangente

4.4.3. DESCRIPCIÓN DE LA ANIMACIÓNContenido Dirección URL

Funciones exponenciales

http://w3.cnice.mec.es/Descartes/Bach_HCS_1/Funcion_exponencial/fun-exp1.htm

Funciones trigonométricas http://centros5.pntic.mec.es/~marque12/matem/funciones/seno7.htm

4.4.4. RECURSOSContenido Dirección URL

Funciones exponenciales

www.matematicastyt.cl/Graficas_de_Funciones/Inicio.htmhttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_exponencialwww.hiru.com/es/matematika/matematika_03500.html

Funciones logarítmicas

http://personal5.iddeo.es/ztt/Tem/T3_Funcion_Logaritmica.htmwww.vitutor.com/fun/2/c_14.html

Funciones trigonométricas

http://es.wikipedia.org/wiki/Cosecante#F.C3.B3rmulas_trigonom.C3.A9tricas_elementales

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4.4.5. EJERCICIOS4.4.5.1. Las siguientes funciones son logarítmicas, exponenciales o trigonométricas. Indica cómo es cada una de ellas

Respuestas:a) Trigonométricab) Exponencialc) Logarítmicad) Trigonométrica

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5. UD6: LA TRIGONOMETRÍA Y SUS APLICACIONES5.1. OBJETIVO Resolver problemas de trigonometría plana.5.2. ACTIVIDAD 1: RAZONES TRIGONOMÉTRICAS5.2.1. OBJETIVO ACTIVIDAD 15.2.1.1. Objetivo Obtener las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera utilizando la calculadora Obtener las razones trigonométricas de unos ángulos en función de otros5.2.1.2. Contenidos Razones trigonométricas fundamentales5.2.2. CONTENIDO TEÓRICO5.2.2.1. Razones trigonométricas fundamentalesLa trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de un triángulo.El teorema de Pitágoras es el caso más simple de la trigonometría, que sólo sirve par un triángulo que tenga uno de sus ángulos rectos. Es necesario conocer el valor de dos de sus lados para poder calcular el tercero. En el teorema de Pitágoras, además, sólo es importante que un ángulo sea recto, mientras que el valor de los otros dos no es relevante.Para cualquier otro triángulo se utiliza la trigonometría.

http://commons.wikimedia.org/wiki/Image:Trigonometria_01.svgLas razones trigonométricas fundamentales son:

Razón Explicación Representación gráfica

Seno:sen(α)

Coseno:cos(α)

Tangente:tg(α)

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Cosecante:cosec(α)

Secante:sec(α)

Cotangente:cotg(α)

www.xtec.es/~jlagares/download/Funcionswin32.zipHay una serie de valores habituales al trabajar con trigonometría, que aparecen reflejados en la siguiente tabla. Para otros valores de ángulos, es necesario el uso de la calculadora científica.

0º 30º 45º 60º 90º 120 135 150 180º 270º 360º

Seno 0 1 0 -1 0

Coseno 1 0 -1 0 1

Tangente 0 1 ∞ -1 0 ∞ 0

Como se observa en las gráficas, las funciones trigonométricas son periódicas, repitiéndose en diferentes cuadrantes de la circunferencia. Por ello, las diversas razones se pueden expresar como ángulos del primer cuadrante.

Segundo cuadrante:

sen(α): +cos(α): -tan(α): -

Primer cuadrante:

sen(α): +cos(α): +tan(α): +

Tercer cuadrante: Cuarto cuadrante:

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sen(α): -cos(α): -tan(α): +

sen(α): -cos(α): +tan(α): -

www.lacoctelera.com/trigo07/post/2007/09/08/signos-las-funciones-trigonometricas-segun-cuadrantede donde se obtienen las siguientes igualdades:

sen(90 – α) = cos(α)cos(90 – α) = sen(α)sen(180 – α) = sen(α)cos(180 – α) = –cos(α)tan(90 – α) = cotan(α)cosec(90 – α) = sec(α)sec(90 – α) = cosec(α)cotan(90 – α) = tan(α)

Así mismo, partiendo del teorema de Pitágoras, se pueden deducir las siguientes igualdades:Teorema de Pitágoras: Dividiendo ambos términos entre x2:

Dividiendo ambos términos entre y2:

Dividiendo ambos términos entre h2:

5.2.3. DESCRIPCIÓN DE LA ANIMACIÓNContenido Dirección URL

Razones trigonométricas fundamentales

www.dmae.upct.es/~juan/matbas/trigo.htmhttp://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/razones_trigonometricas_jba/raztrig1.htmhttp://mimosa.pntic.mec.es/clobo/geoweb/trigo1.htmhttp://mimosa.pntic.mec.es/clobo/geoweb/trigo4.htmwww.monlau.es/btecnologico/mates/realytrigo/tri_ba.htmhttp://matematicasies.com/spip.php?article1365

5.2.4. RECURSOSContenido Dirección URL

Razones trigonométricas fundamentales

http://es.wikipedia.org/wiki/Cosecante#F.C3.B3rmulas_trigonom.C3.A9tricas_elementaleshttp://es.wikipedia.org/wiki/Cotangentehttp://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Pit%C3%A1goraswww.scribd.com/doc/2079820/Trigonometriawww.lacoctelera.com/trigo07/post/2007/09/08/signos-las-funciones-trigonometricas-segun-cuadrante

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5.2.5. EJERCICIOS

5.2.5.1. Halla el valor exacto de la siguiente expresión:

Respuesta:

Desarrollo:

5.2.5.2. Sabiendo que el sen(α)= 1/3, siendo α un ángulo del primer cuadrante, responde a las siguientes cuestiones, calculando el valor que se te pide:a) cos(α)b) sen(180º- α)c) sen(180º+ α)d) sen(-α)e) sen(90º- α)f) El valor del ángulo α (emplea tu calculadora)Respuesta:a) √8/3b) 1/3c) -1/3d) -1/3e) √8/3f) 19,27ºDesarrollo:a) sen2(α) + cos2(α) = 1 → cos(α) = √(1-sen2(α)) → cos(α) = √(1-1/9) = √(8/9)= √8/3b) sen(180º - α) = sen(α) = 1/3c) sen(180º + α) = -sen(180º - α) = -sen(α) = -1/3d) sen(-α) = -sen(α) = -1/3e) sen(90-α) = cos(α) = √8/3f) α = arcsen(1/3) = 19,27º5.2.5.3. Una persona quiere medir la altura de un edificio. Desde un punto A traza una visual al punto más alto del edificio. Se acerca 8 metros y hace lo mismo desde el punto B. El esquema es suficientemente explicativo. Empleando una calculadora. Calcula la altura del edificio.

Respuesta:9,72 metros.Desarrollo:

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Estableciendo el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

Por igualación:

Sustituyendo:

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5.3. ACTIVIDAD 2: TRIÁNGULOS5.3.1. OBJETIVO ACTIVIDAD 25.3.1.1. Objetivo Resolver problemas de triángulos, utilizando las nociones trigonométricas, en un contexto relativo

a la resolución de problemas.5.3.1.2. Contenidos Teorema del seno. Teorema del coseno. Resolución de triángulos cualesquiera.5.3.2. CONTENIDO TEÓRICO

http://commons.wikimedia.org/wiki/Image:Trigonometria_01.svg5.3.2.1. Teorema de los senosLas longitudes de los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de sus ángulos opuestos:

El teorema del seno se usa cuando del triángulo se conocen: Dos lados y un ángulo opuesto. Dos ángulos y un lado opuesto.5.3.2.2. Teoremas del coseno

El teorema del coseno es útil cuando del triángulo se conocen: Los tres lados. Un ángulo y sus lados adyacentes.5.3.2.3. Resolución de triángulos cualesquieraMediante los teoremas del seno y el coseno, se puede proceder a resolver triángulos no rectángulos, en los que no se conocen ni la longitud de todos los lados ni todos sus ángulos. Para resolver un triángulo cualquiera son necesarios al menos 3 datos (lados o ángulos). En función de cuáles son los datos proporcionados en cada problema, se empleará el teorema más conveniente.Por ejemplo: Si proporcionan 3 lados, se pueden usar las e formas del teorema del coseno para obtener cada

uno de los ángulos. Si se proporcionan 1 ángulo y 2 lados, se pueden usar tanto el teorema del seno como el del

coseno, según el dato que quiera calcular. Si se proporcionan 2 ángulos y 1 lado, lo más sencillo es usar el teorema del seno. Si se proporcionan 3 ángulos, no se puede resolver el triángulo, pues infinitos triángulos (de

diferentes tamaños) tienen los mismos ángulos.

5.3.3. DESCRIPCIÓN DE LA ANIMACIÓNContenido Dirección URLTeorema de los senos

www.fcastel.org/swf/Tseno.swfwww.catedu.es/matematicas_blecua/bacmat/images/flash/teoremasencos.swf

Teorema del coseno www.catedu.es/matematicas_blecua/bacmat/images/flash/teoremasencos.swf

Resolución www.iessandoval.net/descartes/Bach_CNST_1/Resolucion_triangulos_oblicuangulos/

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de triángulos cualesquiera

Caso_4.htmhttp://mediateca.educa.madrid.org/reproducir.php?id_video=r7ngzjpxr5gfgar7http://www.isftic.mepsyd.es/w3/Descartes/Geometria/Resolucion_triangulos/Teocos.htm

5.3.4. RECURSOSContenid

o Dirección URLTeorema del seno

www.vadenumeros.es/primero/trigonometria-resolver-triangulos.htmwww.hiru.com/matematika/matematika_02400.html

Teorema de los senos

www.vadenumeros.es/primero/trigonometria-resolver-triangulos.htmwww.hiru.com/matematika/matematika_02400.html

Resolución de triángulos cualesquiera

http://ermate.com/sitio/documentos_escritos/trigonometria/relaciones_trigonometricas.pdfwww.scribd.com/doc/95037/Trigonometriawww.alcaste.com/departamentos/matematicas/bachillerato/PrimeromateI/04_Resolucion_triangulos/teoria.pdfwww.vitutor.net/1/21.htmlhttp://perso.wanadoo.es/timonmate/trigonometria.swf

5.3.5. EJERCICIOS5.3.5.1. Dado el triángulo ABC:

Se sabe el valor de los ángulos A (50,5º) y B (30,4º). Si la base AB mide 30 cm. Calcula:a) El valor del ángulo Cb) El valor de los otros dos lados del triángulo.Respuestas:a) C = 99º 6ºb) b = 15, 37 cma = 23,44 cmDesarrollo:a) 50,5º = 50º30’30,4º=30º24’A + B + C = 180º → C=180º - A – B → C = 180º- 50,5º-30,4º = 99,1º → C = 99º 06’

b) Aplicando el teorema del seno:

5.3.5.2. Los puntos A y B se encuentran separados por 200 metros. En cada uno hay un observador que ve la cima de una montaña, pero el del punto A tiene que alzar la vista 75º, y el que está en B, la tiene que alzar 63º. ¿A que altura está la cima?

Respuesta:Altura = 243 metros.Desarrollo:

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6. UD7: SISTEMA DE COORDENADAS Y ECUACIÓN DE LA RECTA6.1. OBJETIVO Resolver problemas de ecuaciones de rectas.6.2. ACTIVIDAD 1: REPRESENTACIÓN DE PUNTOS Y RECTAS6.2.1. OBJETIVO ACTIVIDAD 16.2.1.1. Objetivo Representar puntos en el plano. Obtener la ecuación de una recta.6.2.1.2. Contenidos Sistemas de referencia:

Coordenadas cartesianas en el plano. La formas geométricas y su relación con las ecuaciones:

Ecuaciones de la recta.6.2.2. CONTENIDO TEÓRICO6.2.2.1. Sistemas de referenciaEn el plano cartesiano, dos rectas que se cruzan son suficientes para referencia cualquier punto del plano, estableciendo a qué distancia se encuentra de cada una de esas rectas.Por comodidad, simetría y sencillez, se suelen usar dos rectas perpendiculares, denominadas “ejes de coordenadas”. De esta manera, las unidades de distancia en ambos ejes son iguales. El punto donde se cruzan los ejes se denomina “centro”, “cero”, “origen”,… El eje horizontal se suele denominar “X” o de “abscisas”:

Es positivo desde el origen hacia la derecha Es negativo desde el origen hacia la izquierda

El eje vertical se suele denominar “Y” o de “ordenadas”: Es positivo desde el origen hacia la arriba Es negativo desde el origen hacia la abajo

Las coordenadas cartesianas dividen el plano en 4 regiones, llamadas “cuadrantes”.6.2.2.2. Coordenadas cartesianas en el planoLas “coordenadas cartesianas” son la representación numérica de la posición de un punto en el plano cartesiano. Para ello, se establece la menor distancia existente entre el punto y los ejes de coordenadas.Estas coordenadas se representan mediante un par de números reales, entre paréntesis y separados por comas, de la forma (x, y), siendo el primer elemento la distancia del punto al eje X, y el segundo elemento la distancia del punto al eje Y.Por ejemplo, para representar el punto (2.675,2,275) en el plano cartesiano (corresponde a la intersección de las líneas rojas):

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6.2.2.3. Ecuaciones de la rectaEn este apartado se estudian las ecuaciones algebraicas que al representarlas en el plano, dibujan una recta:

Una recta se puede representar algebraicamente de diferentes formas, dependiendo del uso que vayamos a dar a esa ecuación. Así tenemos:Ecuación Representación algebraica

Explícita y=mx+n

“m” es la pendiente de la recta“n” es la distancia respecto del origen a la que corta el eje de abscisas.“-n/m” es la distancia respecto del origen a la que corta el eje de ordenadas.

Punto - pendiente y-y0=m(x-x0)

“(x0,y0)” es un punto del plano conocido.“m” es la pendiente de la recta.

General Ax+By+C=0 Similar a la explícita, despejando la “y”

Continua

(x1,y1) Un punto de la recta del que se conocen sus coordenadas.(x2,y2) Otro punto de la recta del que se conocen sus coordenadas.

No sirve ara representar rectas horizontales, ya que el denominador se anula

6.2.3. DESCRIPCIÓN DE LA ANIMACIÓNContenido Dirección URL

Sistemas de referencia www.genmagic.org/mates2/merlicc1c.swfCoordenadas http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cartesianas

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cartesianas en el plano http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Coordenadas_cartesianas/Coordenadas_cartesianas.htm

Ecuaciones de la recta http://recursos.pnte.cfnavarra.es/~msadaall/geogebra/figuras/v16ecuacionesr.htm

6.2.4. RECURSOSContenido Dirección URL

Sistemas de referencia www.escolar.com/avanzado/geometria001.htmCoordenadas cartesianas en el plano

http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_anal%C3%ADticawww.um.es/docencia/pherrero/mathis/descartes/cartesianas.htm

6.2.5. EJERCICIOS6.2.5.1. Representa en el plano los siguientes puntos:A(1,-1)B(5,-3)C(-2,-2)D(4, 0)Respuestas:A B

C D

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6.2.5.2. En el siguiente gráfico hay dibujadas tres rectas. Calcula las ecuaciones de las dos rectas de menor pendiente.

Respuestas:Las rectas de menor pendiente (más horizontales) son A y B.La recta A pasa por el punto (-2,0) y (0,2), su ecuación es: y = x + 2La recta B pasa por los punto (0,-1) y (2,0), su ecuación es: y=x/2-1Desarrollo:

Según la ecuación continua de la recta, :

A)

B)

6.2.5.3. Las dos funciones:y = 2x – 5y = 3x – 4son rectas, su dibujo se puede ver en el siguiente gráfico:

a) ¿Cuál es su punto exacto de corte?b) ¿Cuál de las dos rectas tiene mayor pendiente? ¿Cuáles son sus pendientes?

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c) ¿Alguna de las dos rectas pasa por el punto (1.000, 2996)?Respuestas:a) (-1,-7)b) y=2x-5 pendiente=2.y=3x-4 pendiente=3. Tiene más pendiente.c) y=3x-4Desarrollo:

a) Gráficamente, se cortan en el punto (-1,-7): Matemáticamente, se puede resolver como un sistema de 2 ecuaciones y 2 incógnitas:

b) y=mx+n → Pendiente=mEntonces, y=2x-5→m=2y=3x-4 → m=3c) Para comprobarlo, se sustituyen (x,y) por (1000,2996)y=2x-5 → 2996 ≠ 2(1000) – 5 = 1995 no pasay=3x-4 → 2996 = 3(1000) – 4 = 2996 si pasa6.2.5.4. La siguiente gráfica corresponde a la función y = 2x – 3:

Calcula:A) Los puntos de corte con los ejesB) Pendiente de la recta

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C) ¿Pasa dicha recta por el punto P(5,6)?Respuestas:A) (0,-3) y (3/2,0)B) m = 2C) NoDesarrollo:

A) y = 2x – 3

B) y=mx+n m=pendiente = 2C) 6 ≠ 2(5) - 3

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6.3. ACTIVIDAD 3: DISTANCIAS EN EL PLANO6.3.1. OBJETIVO ACTIVIDAD 36.3.1.1. Objetivo Calcular, en el plano, distancias entre puntos y entre rectas y puntos.6.3.1.2. Contenidos La formas geométricas y su relación con las ecuaciones:

Posiciones relativas de rectas.6.3.2. CONTENIDO TEÓRICO6.3.2.1. Posición relativaA la hora de resolver problemas de distancias entre recta y punto, el primer paso consiste en comprobar si el punto pertenece a la recta. Para ello, se sustituyen las coordenadas el punto en la ecuación de la recta, y si se cumple la igualdad, es que: El punto pertenece a la recta. La distancia entre el punto y la recta es 0.Con lo que ya no es necesario calcular las distancias.Un caso similar ocurre al calcular la distancia entre dos rectas: según su posición en el plano, dos rectas pueden ocurrir que:

Posición de las rectas

Que ocurre Si se forma un sistema de ecuaciones

Son coincidentes

todos sus puntos son comunes a las dos rectas (en realidad es la misma recta), por lo que la distancia entre ellas es 0

El sistema tiene infinitas soluciones.

Se cortan tienen un punto en común, por lo que la distancia entre ellas es 0

El sistema tiene una solución única (el punto de corte).

Son paralelas las dos rectas no se cortan, y su distancia es constante El sistema no tiene solución

6.3.2.2. Distancias entre puntos y entre punto y recta Según el teorema de Pitágoras, la “distancia entre dos puntos” A(a1,a2) y B(b1,b2) en un plano es:

. El resultado de la raíz siempre es positivo. La “distancia entre una recta r=Ax+By+C=0 y un punto” P(p1,p2) no contenido en ella, es:

. El resultado siempre es positivo.

6.3.2.3. Posiciones relativas entre rectas La “distancia entre dos rectas” r1=a1x+b1y+c1=0 y r2=a2x+b2y+c2=0 se calcula tomando un punto de

una de ellas y aplicando la fórmula anterior: Por ejemplo, para x=0 → P1(0,-c1/b1) →

El “ángulo entre dos rectas” r=a1x+b1y+c1=0 y s=a2x+b2y+c2=0 que se cortan en un punto:

Ecuaciones de las rectas:r=a1x+b1y+c1=0s=a2x+b2y+c2=0Pendiente de las rectas = m = -a/bm1=-a1/b1

m2=-a2/b2

6.3.3. DESCRIPCIÓN DE LA ANIMACIÓNContenido Dirección URL

Prueba de acceso grado superior

Distancias y ángulos www.dmae.upct.es/~pepemar/mateprimero/recta/distanciaptorecta.htm

6.3.4. RECURSOSContenido Dirección URL

Distancias y ánguloswww.ematematicas.net/distancias.php?a=5http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/4.5.htmlwww.vitutor.com/geo/rec/d_9.html

6.3.5. EJERCICIOS6.3.5.1. Calcula la distancia entre los puntos A(-1, 1) y B(4,3):Respuesta:Distancia = Desarrollo:A(-1,1) → a1 = -1; a2 = 1B(4,3) → b1 = 4; b2 = 3

6.3.5.2. La siguiente gráfica corresponde a la función y = 2x – 3:

¿Cuál es la distancia dese el punto de origen de coordenadas hasta la recta?Respuesta:

Distancia =

Desarrollo:P(0,0) → p1 = 0; p2 = 0r = 2x-y-3 = 0 → A = 2; B = -1; C = -3Primero se comprueba si la recta pasa por el punto P (aunque en el gráfico se vea que no)2x-y-3 = 0 → 2·0-0-3 =-3≠ 0Como la recta no pasa por el punto P, se calcula la distancia del punto a la recta:

6.3.5.3. Las dos funciones:y = 2x – 5y = 3x – 4son rectas, su dibujo se puede ver en el siguiente gráfico. ¿Qué ángulo forman entre ellas?:

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Respuesta:8,13ºDesarrollo:y = 2x – 5 → m1 = 2y = 3x – 4 → m2 = 3

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7. UD8: LAS CÓNICAS: LA CIRCUNFERENCIA7.1. OBJETIVO Identificar las gráficas y obtener la ecuación de las curvas cónicas.7.2. ACTIVIDAD 1: LAS CÓNICAS7.2.1. OBJETIVO ACTIVIDAD 17.2.1.1. Objetivo Reconocer las distintas cónicas a nivel gráfico.7.2.1.2. Contenidos Las cónicas:

Circunferencia. Elipse. Parábola. Hipérbola.

7.2.2. CONTENIDO TEÓRICO7.2.2.1. El conoEs un cuerpo geométrico que se obtiene al rotar un triángulo rectángulo respecto a uno de sus catetos:

www.kalipedia.com/popup/popupWindow.html?anchor=klpmatgeo&tipo=imprimir&titulo=Imprimir%20Art%C3%ADculo&xref=20070926klpmatgeo_347.Kes

En este ejemplo, se denomina “generatriz” o “generador” a la hipotenusa del triángulo, ya que al girar sobre el “eje de giro” genera la superficie del cono.7.2.2.2. Curvas cónicasSe llaman “curvas o secciones cónicas” a aquellas que se obtienen cortando un cono con un plano, tal como muestra el dibujo.

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http://alfonsoordosgoitia.wordpress.com/2007/08/29/sistemas-complejos-2/Las curvas cónicas más representativas son las que se muestran en la siguiente tabla, en la proyección de color verde:

Círculo Elipse Parábola Hipérbolawww.kalipedia.com/matematicas-geometria/tema/cuerpos-revolucion/conicas.html?

x1=20070926klpmatgeo_345.Kes&x=20070926klpmatgeo_347.Kes

Ángulo entre el plano y la base Nombre de la cónica Tipo de curva Ejes de simetría

α = 0 (son paralelos) Circunferencia Cerrada 1 foco∞ ejes de simetría

0 < α < Ángulo entre la generatriz y la base Elipse Cerrada 2 focos

2 ejes de simetría

α = Ángulo entre la generatriz y la base Parábola Abierta 1 foco1 eje de simetría

α > 90º Hipérbola Abierta y doble 1 foco2 ejes de simetría

7.2.3. DESCRIPCIÓN DE LA ANIMACIÓNContenido Dirección URL

Curvas cónicas http://personal.redestb.es/jlabreu/descartes/conicas_ecuaciones.htmwww.miajas.com/DibujoTec/conicas.htm

Elipse http://personal.redestb.es/jlabreu/descartes/conicas_construccion.htm

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http://personal.redestb.es/jlabreu/descartes/conicas_reflexion.htmwww.educacionplastica.net/zirkel/elipse.htmlwww.educacionplastica.net/zirkel/elipse.html

Parábola www.educacionplastica.net/zirkel/parabola.htmlHipérbola www.educacionplastica.net/zirkel/hiperbola.html

7.2.4. RECURSOSContenido Dirección URL

Curvas cónicas

http://personal.redestb.es/jlabreu/descartes/conicas.htmwww.educacionplastica.net/conicas.htmwww.kalipedia.com/matematicas-geometria/tema/cuerpos-revolucion/conicas.html?x1=20070926klpmatgeo_345.Kes&x=20070926klpmatgeo_347.Kes

7.2.5. EJERCICIOS7.2.5.1. ¿Cómo se llaman las siguientes gráficas?

a b

c d

Respuestas:a) Elipseb) Hipérbolac) Parábolad) Circunferencia

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7.2.5.2. ¿Qué nombre recibe cada una de las siguientes curvas?

Respuestas:En amarillo: elipseEn verde: ElipseEn morado: HipérbolaEn negro: Circunferencias

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7.3. ACTIVIDAD 2: LA ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA7.3.1. OBJETIVO ACTIVIDAD 2 LA ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA7.3.1.1. Objetivo Obtener la ecuación de una circunferencia en función de su radio y de su centro.7.3.1.2. Contenidos Circunferencia goniométrica Ecuaciones de las cónicas7.3.2. CONTENIDO TEÓRICO7.3.2.1. Ecuación de la circunferenciaSea una circunferencia:

www.vitutor.com/geo/coni/f_2.htmlEl punto C(a,b) es el centro de la circunferencia.El punto P(x,y) es un punto cualquiera que pertenece a la circunferenciaLa distancia CP es el radio de la circunferencia.Por Pitágoras, se establece que:

(x - a)2 + (y - b)2 = r2

Que es la fórmula general de la circunferencia.Si desarrollamos ese polinomio, se obtiene que:

x2 + a2 – 2ax + y2 + b2 – 2by = r2

x2 + y2 - 2ax – 2by + a2 + b2 - r2 = 0Pero habitualmente, la ecuación de la circunferencia se encuentra en la forma:

x2 + y2 + Ax + By + C = 0para desde ahí determinar las coordenadas del centro o de un punto de la circunferencia. Como retroceder a la suma de los cuadrados de dos monomios es complicado, se establecen las igualdades:

A = -2aB = -2b

C = a2 + b2 - r2

De las que se deduce que:

Así se pueden calcular el centro y el radio de cualquier circunferencia que se formule en forma desarrollada.

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7.3.2.2. Ecuación de la elipse

Para cualquier punto de la elipse P(x,y), siempre se cumple la condición:

Esta condición sólo se cumple para los puntos F y F’, denominados focos de la elipse.Así, para una elipse con centro en O(x0,y0) y aplicando Pitágoras, se obtiene que:

O expresado de forma desarrollada:

7.3.2.3. Ecuación de la parábolaPara cualquier punto de la parábola P(x,y), siempre se cumple la condición de que la distancia de P al foco = distancia de P a la recta directriz (d):

http://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Ecuaci%C3%B3n_de_par%C3%A1bola_vertical.svg

Animación de la página www.rena.edu.ve/cuartaEtapa/matematica/tema7/Tema7a.htmlAsí, para una parábola vertical, sólo existe un foco (F) que cumple la condición:

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Siendo:P(x,y)

F(h,k+p)d = Ax + By + C = 0 → y-(k - p) = 0

Siendo la distancia del punto P al foco F:=

Y la distancia del punto P a la recta d:

=

Se igualan:

Elevando al cuadrado ambos términos:

Desarrollando:

Quedando como ecuación general de la parábola:

que simplificando sería:y = Ax2 + Bx + C

7.3.2.4. Ecuación de la hipérbolaEn una hipérbola, el valor absoluto de la diferencia entre las distancias de P(x,y) los focos es constante.

http://docencia.izt.uam.mx/cbicc/presentaciones/lourdes%20y%20norma/La%20hiperbola.pptAsí la distancia del punto a los focos es:

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Pero:

Si llamamos b2=c2-a2:

7.3.3. DESCRIPCIÓN DE LA ANIMACIÓNContenido Dirección URLCónicas http://premium.enciclonet.com/flash/curvas.swf

Parábola

www.escolalliurex.es/mec/Matematicas/Geometria/parabola_csb/unidad_didactica_1.htmhttp://w3.cnice.mec.es/eos/MaterialesEducativos/mem2006/curva_conicas/parabola.htm

7.3.4. RECURSOSContenido Dirección URL

Cónicas http://www.scribd.com/doc/437920/Guia-Elipse-Parabola-Hiperbola

Circunferencia

www.vadenumeros.es/geogebra/geometria/circunferencia.htmlwww.vitutor.com/geo/coni/f_2.htmlhttp://es.wikipedia.org/wiki/Circunferenciawww.amordediospinilla.es/La%20recta/Archivos/ecuacion%20circunferencia.htmhttp://usuarios.lycos.es/cuadratico25/id29.htmhttp://docencia.izt.uam.mx/cbicc/presentaciones/lourdes%20y%20norma/La%20circunferencia.ppt

Elipse

http://w3.cnice.mec.es/eos/MaterialesEducativos/mem2006/curva_conicas/elipse.htmwww.vadenumeros.es/primero/conicas-circunferencia-y-elipse.htmhttp://docencia.izt.uam.mx/cbicc/presentaciones/Rene%20Benitez/laelipse.ppt

Parábola

www.rena.edu.ve/cuartaEtapa/matematica/tema7/Tema7a.htmlhttp://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/La_Elipse.htmlwww.marcelovalenzuela.com/down/2006/6bing/TEcParabolaGeneral.pdfhttp://docencia.izt.uam.mx/cbicc/presentaciones/Rene%20Benitez/laparabola1.ppt

Hipérbola

http://w3.cnice.mec.es/eos/MaterialesEducativos/mem2006/curva_conicas/hiperbola.htmhttp://docencia.izt.uam.mx/cbicc/presentaciones/Rene%20Benitez/lahiperbola1.ppt

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7.3.5. EJERCICIOS7.3.5.1. Dibuja la circunferencia de centro el punto P(0,0) y de radio r= 2. ¿Pasa dicha circunferencia por el punto A (1,1)?Respuesta:

Como puede verse la circunferencia no pasa por el punto A(1,1)7.3.5.2. Obtener la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto C(1,2) y pasa por el punto R(5,4)Respuesta:(x - 1)2 + (y - 2)2 = 20Desarrollo:El radio de la circunferencia viene dado por la distancia entre los puntos C y R:

La ecuación de la circunferencia es: (x - 1)2 + (y - 2)2 = 207.3.5.3. Calcular el centro y el radio de la circunferencia x2 + y2 – 2x + 4y – 4 = 0Respuesta:Centro (-1,2)Radio = 1Desarrollo:x2 + y2 – 2x + 4y – 4 = 0A = -2B = 4C = -4

7.3.5.4. ¿Cual es el vértice de la parábola con ecuación ?Resultados:(-1,-5)Desarrollo:La ecuación de la parábola es y = Ax2 + Bx + C

Que se obtenía de simplificar

De donde se obtiene que:

Las coordenadas del vértice de la parábola están en: V(h,k)Así que el vértice de está en:

Para calcular la k de V(-1,k), lo más sencillo es tomar la ecuación de la parábola y sustituir:

De ahí:

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Así que V(h,k) = V(-1,-5)Como se ve en la solución gráfica:

7.3.5.5. La hipébola ¿Se corta con la línea y=2?

Resultados:Sí, en los puntos:(-√3,2)(√3,2)Desarrollo:

En forma gráfica:

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8. UD9: ESTADÍSTICA UNIDIMENSIONAL8.1. OBJETIVO Calcular y tabular los parámetros estadísticos básicos.8.2. ACTIVIDAD 1: TABLAS Y GRÁFICAS ESTADÍSTICAS8.2.1. OBJETIVO ACTIVIDAD 18.2.1.1. Objetivo Construir tablas y gráficas estadísticas a partir de unos datos.8.2.1.2. Contenidos Distribuciones estadísticas unidimensionales:

Tablas de frecuencia Gráficos estadísticos

8.2.2. CONTENIDO TEÓRICO8.2.2.1. La estadísticaLa estadística es la rama de la matemática que utiliza grandes conjuntos de datos numéricos para sacar consecuencias basadas en el cálculo de probabilidades. (http://buscon.rae.es/draeI/SrvltConsulta?TIPO_BUS=3&LEMA=estad%C3%ADstica)Hasta ahora, las matemáticas usadas se basaban en parámetros y proporcionaban resultados que eran datos concretos.La aplicación de la estadística requiere seguir una serie de pasos: Seleccionar y determinar la muestra a estudiar y sus características: Si se quiere tomar una

muestra, hay que determinar su tamaño y el tipo de muestreo a realizar Obtener los datos: Se puede realizar mediante la observación directa de los elementos,

encuestas, entrevistas, experimentos… Clasificar, tabular y organizar los datos: Hay que tratar los datos anómalos que pueden falsear

el análisis. La tabulación es el resumen de los datos en tablas y gráficos. Analizar los datos descriptivamente: El análisis se complementa obteniendo indicadores

estadísticos como las medidas, dispersión, posición y forma. Analizar los datos inferencialmente: Hay que aplicar técnicas de tratamiento de datos para

sacar conclusiones de una muestra que contengan elementos probabilísticos. Elaborar las conclusiones: Se construye el informe final.Todo ello se verá tras analizar los siguientes conceptos:8.2.2.2. Tablas de frecuenciaEs una tabla que recoge los distintos valores junto con la frecuencia con que aparecen.Por ejemplo: en el comedor de la empresa se observa si de segundo plato se pide carne, pescado u otra cosa. Se anotan las elecciones de los comensales en una tabla:

Persona Segundo plato1 Carne2 Otra cosa3 Pescado4 Carne5 Pescado6 Carne7 Carne8 Carne9 Pescado

10 Pescado11 Carne12 Otra cosa13 Carne14 Pescado

Se denomina “muestra” al número de elementos estudiados. En este caso se observó qué comían 14 personas, luego la muestra era de 14 personas.

Se denominan “variables” a cada una de las opciones que puede seleccionar cada una de las muestras. En este caso, las variables eran 3: carne, pescado u otra cosa.

Si no importa el orden en que se tomaron las muestras, se pueden reordenar las filas:Persona Segundo plato

1 Carne4 Carne6 Carne

Prueba de acceso grado superior

7 Carne8 Carne

11 Carne13 Carne3 Pescado5 Pescado9 Pescado

10 Pescado14 Pescado2 Otra cosa

12 Otra cosaO también se pueden agrupar:

Persona Segundo plato1, 4, 6, 7, 8, 11, 13 Carne

3, 5, 9, 10, 14 Pescado2, 12 Otra cosa

La “tabla de frecuencia” debe indicar con qué regularidad aparecen los distintos valores.La frecuencia puede ser absoluta o relativa. La “frecuencia absoluta” es el número de veces que se repite un dato en una muestra. En nuestro

ejemplo, es el número de veces que se pide carne. La “frecuencia relativa” es la relación entre la frecuencia absoluta y el total de la muestra. Es

habitual mostrar la frecuencia relativa en fracciones, por unidad o en porcentajes:Segundo plato Frecuencia absoluta Frecuencia relativa

Carne 7 7/14 0,5 50%Pescado 5 5/14 0,357 35,7%Otra cosa 2 2/14 0,143 14,3%

Total 14 14/14 1 100%8.2.2.3. Gráficos estadísticosLa tabla de frecuencias puede representarse gráficamente en un “gráfico estadístico”. Normalmente en el eje vertical se coloca las frecuencias de repetición y en el horizontal los valores o intervalos de valores. Hay muchos tipos de gráficos, dependiendo de los datos que se quieran exponer y la claridad visual o precisión que se quiera aportar:

Tipo de gráfico Ejemplo

de barras (histograma)

Resultados

0

510

15

20

25

30

<10 20-30 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70 70-80 80-90 90-100

>100

Resultados

de líneas

Resultados

0

5

10

15

20

25

30

<10 20-30 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70 70-80 80-90 90-100

>100

Resultados

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de dispersión

Resultados

0

5

10

15

20

25

30

0 2 4 6 8 10 12

Resultados

de tarta (de sectores)

Valores <10

20-30

20-30

30-40

40-50

50-60

60-70

70-80

80-90

90-100

>100

radial

Resultados

0

5

10

15

20

25<10

20-30

20-30

30-40

40-50

50-6060-70

70-80

80-90

90-100

>100

Resultados

www.microsoft.com8.2.3. DESCRIPCIÓN DE LA ANIMACIÓN

Contenido Dirección URLLa estadística http://nuriagd.worldhostsoft.com/demos/L01F.swfTablas de frecuencia www.eva.com.mx/sia/materias/mat_052/podi/u5/U5S2_archivos/act3.swf

8.2.4. RECURSOSContenido Dirección URL

La estadística

www.eumed.net/libros/2007a/239/indice.htmhttp://tarwi.lamolina.edu.pe/~arrubio/Parte%201.pdfwww.glencoe.com/sec/math/msmath/mac04/course2/study_guide/pdfs/mac2_pssg02_sp.pdfwww.geocities.com/racol55/introinferencia.htm

Gráficos estadísticos www.hrc.es/bioest/Ejemplos_histo.html8.2.5. EJERCICIOS8.2.5.1. Los 120 alumnos de un instituto practican los siguientes deportes:

Deportes Número de estudiantesBaloncesto 20Balonmano 14

Fútbol 48Atletismo 16Natación 22

Total: 120En base a los siguientes datos construir el diagrama de sectores correspondiente.Respuesta:

Prueba de acceso grado superior

8.2.5.2. En la tabla anterior, calcular con que frecuencia se practican deportes con pelota y sin pelota.Respuesta:

¿Con pelota? Frecuencia absoluta Frecuencia relativaSí 82 68,5%No 38 31,5%

Desarrollo:¿Con pelota? Deportes Número de

estudiantes Frecuencia absoluta Frecuencia relativa

SíBaloncesto 20

20+14+48=82 82/120*100=68,5%Balonmano 14Fútbol 48

No Atletismo 16 16+22=38 38/120*100=31,5%Natación 22Total: 120 100%

8.2.5.3. Rellena la siguiente tabla estadística:Variable (x) 1 2 3 4 5 6 7 8Frecuencia (f) 4 4 7 5 7Frecuencia absoluta acumulada 16 28 38 45Frecuencia relativa 0,08 0,16 0,14

Respuesta:Variable (x) 1 2 3 4 5 6 7 8Frecuencia absoluta (f) 4 4 8 7 5 10 7 5Frecuencia absoluta acumulada 4 8 16 23 28 38 45 50Frecuencia relativa 0,08 0,08 0,16 0,14 0,1 0,2 0,14 0,1

Desarrollo:La frecuencia absoluta acumulada se obtiene de sumar las frecuencias absolutas de las columnas anteriores. Así, en la primera columna es 4, en la segunda es 4+4=8, en la tercera es 8+8=16, en la cuarta es 16+7=23…La frecuencia absoluta acumulada nos muestra el total de la muestra: 4+4+8+7+5+10+7+5=50La frecuencia relativa es la frecuencia absoluta entre la muestra total: en la primera columna es 4/50=0,08. En la segunda columna es 4/50=0,08. En la tercera columna es 8/50=0,16. En la cuarta columna es 7/50=0,14,…

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8.3. ACTIVIDAD 2: CÁLCULO DE PARÁMETROS ESTADÍSTICOS8.3.1. OBJETIVO ACTIVIDAD 28.3.1.1. Objetivo Calcular los parámetros estadísticos: moda, media, mediana y desviación típica.8.3.1.2. Contenidos

Parámetros estadísticos: Media Desviación típica

Cálculo de los parámetros estadísticos mediante una calculadora científica8.3.2. CONTENIDO TEÓRICO8.3.2.1. Moda de un conjunto de datosEs el valor de la muestra que aparece con más frecuencia. No se deduce mediante una fórmula matemática, sino observando las tablas de datos o las gráficas.Por ejemplo: durante los últimos 40 paridos, un jugador de baloncesto ha conseguido los siguientes puntos:Partido Puntos Partido Puntos Partido Puntos Partido Puntos

1 10 11 17 21 9 31 172 7 12 17 22 19 32 133 12 13 13 23 15 33 144 11 14 15 24 14 34 115 9 15 18 25 15 35 126 13 16 14 26 16 36 157 14 17 15 27 15 37 168 10 18 16 28 14 38 139 6 19 15 29 14 39 1610 12 20 14 30 16 40 15

La moda (el valor que más se repite) es:Puntos Veces que se repite

6 17 19 2

10 211 212 313 414 715 816 517 318 119 1

Donde se observa que el valor que más se repite es 15 puntos, con 8 repeticiones. Por lo tanto, la moda es 15.Se puede leer como que lo que más de moda está es marcar 15 puntos, ya que lo ha hecho 8 veces, más que cualquier otra puntuación.A veces no hay moda o hay más de una moda.

www.tuveras.com/estadistica/estadistica02.htm8.3.2.2. Media de un conjunto de datosEs la división entre la suma todos los datos y el número de datos de la muestra. Su fórmula es:

Prueba de acceso grado superior

La media se representa mediante la letra correspondiente (normalmente la x) con una línea horizontal encima, tal como se indica en la fórmula anterior.En el ejemplo del baloncesto, la media de puntos en esos 40 partidos será: La suma de todos los puntos desde el partido i=1 hasta el partido i=40 es de 547 puntos. Eso se

representa con la letra griega ∑, que en el ejemplo se lee como “sumatorio desde el valor 1 hasta

el 40 de la expresión xi”:

La muestra n es de 40 partidos: n=40

La media es de: puntos

Lo que significa, que durante los últimos 40 partidos, ha conseguido 13,675 puntos de media por partido. Es decir, que si hubiese conseguido 13,675 puntos cada partido, después de los 40 partidos, hubiese sumado los mismos 547 puntos.Se puede observar la imposibilidad de marcar un número decimal de puntos, pero en la estadística se trabaja con valores estimados, no reales, por lo que no es necesario redondearlos al entero más próximo o inferior, ya que entonces desvirtúa el valor de la media.8.3.2.3. Mediana de un conjunto de datosEs el número central del conjunto cuando se ordenan los datos de menor a mayor. Cuando hay un número par de artículos en un conjunto de datos, la mediana es el promedio de los dos números centrales. Tampoco tiene una fórmula matemática, sino que se calcula por observación de la tabla de datos o de la gráfica.Siguiendo con el ejemplo del baloncesto, la mediana de los 9 primeros partidos será:

Partido Puntos1 102 73 124 115 96 137 148 109 6

Que ordenados de menor a mayor quedan como:Partido Puntos

9 62 75 91 108 104 113 126 137 14

En esta muestra de 9 paridos, el número central es el 5, que corresponde al partido 8 que tiene un valor de 10 puntos. La mediana es 10 puntos.Se observa que la mitad de los partidos jugados (el 9, el 2, el 5 y el 1), consiguió menos o los mismos puntos que la mediana, y que en la otra mitad de partidos (el 4, el 3, el 6 y el 7), consiguió los mismos o más puntos que en la mediana.Si el número de elementos de la muestra es par (como en los 40 partidos):

Partido Puntos Partido Puntos Partido Puntos Partido Puntos9 6 35 12 29 14 18 162 7 6 13 33 14 26 16

Prueba de acceso grado superior

5 9 13 13 14 15 30 1621 9 32 13 17 15 37 161 10 38 13 19 15 39 168 10 7 14 23 15 11 174 11 16 14 25 15 12 17

34 11 20 14 27 15 31 173 12 24 14 36 15 15 18

10 12 28 14 40 15 22 19Se observa que en el centro de la muestra dSe encuentran los partidos 28 y 29, ambos con 14 puntos, por lo que la mediana es 14. Si sus valores hubiesen sido diferentes, se calcula la media entre ambos valores.8.3.2.4. Desviación típicaEs una medida de la dispersión de los datos respecto de la media. Matemáticamente es la raíz cuadrada de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la variable respecto a su media:

n

nxx

n

xx n

i iin

i i

1

2

1

2

La moda se representa mediante la letra griega sigma “σ”.En el ejemplo del baloncesto, se tiene que la media es:

puntos

Partido Puntos Partido Puntos Partido Puntos Partido Puntos1 10 11 17 21 9 31 172 7 12 17 22 19 32 133 12 13 13 23 15 33 144 11 14 15 24 14 34 115 9 15 18 25 15 35 126 13 16 14 26 16 36 157 14 17 15 27 15 37 168 10 18 16 28 14 38 139 6 19 15 29 14 39 16

10 12 20 14 30 16 40 15

Calculando los valores de 2xxi :

Puntos 2xxi Puntos 2xxi Puntos 2xxi Puntos 2xxi 10 13,5056 17 11,0556 9 21,8556 17 11,05567 44,5556 17 11,0556 19 28,3556 13 0,4556

12 2,8056 13 0,4556 15 1,7556 14 0,105611 7,1556 15 1,7556 14 0,1056 11 7,15569 21,8556 18 18,7056 15 1,7556 12 2,8056

13 0,4556 14 0,1056 16 5,4056 15 1,755614 0,1056 15 1,7556 15 1,7556 16 5,405610 13,5056 16 5,4056 14 0,1056 13 0,45566 58,9056 15 1,7556 14 0,1056 16 5,4056

12 2,8056 14 0,1056 16 5,4056 15 1,7556

Y haciendo 240

1

i i xx =320,775

Aplicando la fórmula general:

8318,2

40775,3201

2

n

xxn

i i

Lo que quiere decir es que la media está en 13,675 puntos, y que lo normal es encontrar desviaciones entre:

Prueba de acceso grado superior

13,675+2,8318=16,5 13,675-2,8318=10,84Y entre estos límites se encontrarán los resultados más típicos o estándares, siendo el resto de valores “no típicos”.

Puntos

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0 10 20 30 40 50

Puntos

www.tuveras.com/estadistica/estadistica02.htm8.3.3. DESCRIPCIÓN DE LA ANIMACIÓN

Contenido Dirección URLDesviación típica www.catedu.es/matematicas_blecua/bacmat/temario/bac1/mas1_10estadis_te2.htm

8.3.4. RECURSOSContenido Dirección URL

Parámetros www.tuveras.com/estadistica/estadistica02.htm

Media, mediana y moda

www.glencoe.com/sec/math/msmath/mac04/course2/study_guide/pdfs/mac2_pssg02_sp.pdfwww.fisterra.com/mbe/investiga/10descriptiva/10descriptiva.asp

Desviación típicawww.bioestadistica.uma.es/libro/node22.htmwww.vitutor.com/estadistica/descriptiva/a_16.htmlwww.disfrutalasmatematicas.com/datos/desviacion-estandar.html

8.3.5. EJERCICIOS8.3.5.1. En la fabricación de cierto número de bombillas, se ha detectado que algunas son defectuosas. Se han estudiado 200 cajas de 100 bombillas cada una, obteniéndose la siguiente tabla estadística:

Bombillas defectuosas Número de cajas1 5

Prueba de acceso grado superior

2 153 384 425 496 327 178 2

Calcula la media de bombillas defectuosas.Respuesta:4, 4 bombillas defectuosas de media por caja.Desarrollo:

Bombillas defectuosasx

Número de cajasf x·f

1 5 52 15 303 38 1144 42 1685 49 2456 32 1927 17 1198 2 16

Total: 200 889Media = 889 / 200 = 4.48.3.5.2. La siguiente tabla de datos, agrupados en intervalos, nos presenta las puntuaciones obtenidas por un grupo de adolescentes en un test de inteligencia.

Inteligencia Número de estudiantes85-90 591-95 10

96-100 20101-105 35106-110 15111-115 10

a) Calcular el valor de: Media, Mediana, Moda y Desviación Típica.b) Dibuja el histograma correspondiente.Respuesta:a) Media 947,101xMediana = 100,5Moda = 103Desviación típica = 735,19b) Histograma:

Desarrollo:Número deestudiantes

Inteligenciamedia

ixn i x i

2nxxi

5 88 440 101,947 972,594045

10 93 930 101,947 800,48809

20 98 1960 101,947 311,57618

35 103 3605 101,947 38,808315

15 108 1620 101,947 549,582135

Prueba de acceso grado superior

10 113 1130 101,947 1221,68809

n=95 685.91 i

n

i ixn n

i i xx1

2=3.894,73686

Media = 947,10195

9685x

Mediana = 101,18Moda = 103Desviación típica = 19,735b) Histograma:

Desarrollo:

a) Media 947,10195

9685x

Mediana: Los valores de la mitad de la tabla ordenados por puntaje son:

Número de estudiantes Inteligencia media

20 98

35 103La media es (20*98+35*103)/(20+35)=101,18Moda = El valor que más se repite = 103, con 35 alumnos que repiten puntuación

Desviación típica = 735,19

9573686,894.31

2

n

xxn

i i

Prueba de acceso grado superior

9. UD10: LA PROBABILIDAD9.1. OBJETIVO Identificar y calcular la probabilidad de diferentes tipos de sucesos.9.2. ACTIVIDAD 1: SUCESOS9.2.1. OBJETIVO ACTIVIDAD 19.2.1.1. Objetivo Identificar distintos tipos de sucesos : elementales, compuestos, etc9.2.1.2. Contenidos Experiencias aleatorias Sucesos9.2.2. CONTENIDO TEÓRICO9.2.2.1. Experiencias aleatoriasLos fenómenos pueden ser: Deterministas o físicos: son las que realizadas con las mismas condiciones de partida y llevados a

la práctica de la misma forma, producen siempre los mismos resultados. Responden a leyes naturales o a fórmulas matemáticas. Por decirlo de alguna forma, se puede predecir o calcular su resultado con una seguridad muy alta.

Aleatorios: no se puede predecir ni asegurar el resultado del suceso, ya que para las mismas condiciones de partida y llevados a la práctica de la misma forma, pueden producir resultados diferentes.

Una “experiencia aleatoria” es algo que depende del azar. Incluso que suceda o no depende del azar. Esto último se denomina “suceso aleatorio”.En probabilidad se trabaja con “espacios muestrales E” que recogen todos los resultados posibles de una experiencia aleatoria.Por ejemplo: lanzamos un dado desde la misma altura, estando inicialmente en reposo y en la misma posición y lo tiramos de la misma forma. La velocidad de caída del dado en cualquier momento o el tiempo que tarda en tocar el suelo es

un fenómeno determinista: se puede calcular mediante fórmulas matemáticas con una seguridad y precisión elevadas.

El número que saldrá en el dado es una experiencia aleatoria: depende de demasiados factores difíciles de controlar que hacen que el resultado sea impredecible.

9.2.2.2. SucesosUn suceso es un subconjunto del espacio muestral de una experiencia aleatoria determinada, es decir: un grupo de los posibles resultados de una experiencia aleatoria.Hay varios tipos de sucesos: Sucesos elementales: es cada uno de los resultados posibles que forman el espacio muestral. Sucesos compuestos: contienen más de un suceso elemental. Sucesos vacíos o imposibles: son los que no contienen ningún suceso elemental. Suceso seguro: es el que contiene todos los elementos del espacio muestral.En el ejemplo del dado, el resultado 1, 2, 3, 4, 5 o 6 son sucesos elementales. Los resultados pares o impares son sucesos compuestos. Suceso seguro es que salga un número entre el 1 y el 6, y suceso vacío es que no salga ningún número o que salga un valor que no pertenece al espacio muestral: E={0, 7, 8, 14,...}9.2.3. DESCRIPCIÓN DE LA ANIMACIÓN

Contenido Dirección URL

Experiencias aleatorias

www.colegio-jaimebalmes.com/animacionesnuevas/matematicas/1170_02act2crupier.swfhttp://w3.cnice.mec.es/recursos/bachillerato/matematicas/probabilidad/actividades/sucesos/sucesos.htm

9.2.4. RECURSOSContenido Dirección URL

Experiencias y sucesos

www.alcaste.com/departamentos/matematicas/bachillerato/PrimeromateI/14_Calculo_probabilidad/Teoria.pdfhttp://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/28/1.htmlwww.bioestadistica.uma.es/libro/node46.htm

9.2.5. EJERCICIOS9.2.5.1. En la experiencia aleatoria de lanzar dos dados al mismo tiempo. ¿Cuáles son los sucesos elementales de dicha experiencia?Respuesta:

Prueba de acceso grado superior

Hay 36 casos posibles: (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6), que son los sucesos elementales9.2.5.2. Lanzamos dos monedas al mismo tiempo. ¿Cuáles son los sucesos elementales de dicha experiencia?Respuesta:Hay cuatro casos posibles: (©,+),(+,©),(©,©) y (+,+)9.2.5.3. Lanzamos tres monedas al mismo tiempo. ¿Cuáles son los sucesos elementales de dicha experiencia?Respuesta:Hay ocho casos posibles: (©,©,©), (©,©,+), (©,+,©), (©,+,+), (+,©,©), (+,©,+), (+,+,©) y (+,+,+)9.2.5.4. La suma de los valores de las dos caras opuestas de un dado suman siempre 7. Para que el suceso de lanzar un dado sea aleatorio, el dado debe tener una masa homogénea y una forma cúbica. Si se añade más masa cerca de la cara del número 1, las leyes físicas hacen que haya más probabilidad de que el 1 salga hacia abajo y el 6 hacia arriba. En este caso ¿De qué tipo es el fenómeno?Respuesta:La mayoría de los casos será determinista, ya que en largas tiradas, el 6 saldrá más veces que cualquier otra cifra, y el 1 muchas menos veces que cualquier otra. De todas formas, según cómo rebote en el suelo, a que velocidad y en qué superficie caiga, puede ser aleatoria.

Prueba de acceso grado superior

9.3. ACTIVIDAD 2: LA LEY DE LAPLACE9.3.1. OBJETIVO ACTIVIDAD 29.3.1.1. Objetivo Calcular la probabilidad de sucesos sencillos, mediante la ley de Laplace.9.3.1.2. Contenidos Obtención de la probabilidad de sucesos Ley de Laplace Frecuencia y probabilidad9.3.2. CONTENIDO TEÓRICO9.3.2.1. ProbabilidadLa “probabilidad” es la esperanza que hay para que ocurra un suceso. Se miden en valores entre 0 y 1, aunque también es habitual encontrarlas en porcentajes o fracciones. Se designa como p(E).El cálculo de probabilidades sigue unas reglas:Sea E={E1 + E2 + E3 + E4}: La probabilidad de un suceso es un número comprendido entre 0 y 1:

0 ≤ p(E) ≤ 1 La suma de las probabilidades de todos los sucesos elementales es igual a 1:

p(E1) + p(E2) + p(E3) + p(E4) = 1 La probabilidad del suceso seguro es igual a 1:

p(E) = 1 La probabilidad del suceso imposible es 0:

p(EØ) = 0 La suma de las probabilidades de un suceso E1 y de su contrario -E1 es 1:

p(E1) + p(-E1) = 19.3.2.2. Regla de LaplaceLa “regla de Laplace” establece que la probabilidad de un suceso es igual al número de casos favorables divididos por el número de casos posibles:

posiblescasosdenúmeroAafavorablescasosdenúmeroAp )(

En el ejemplo del dado La posibilidad de que salga un 3 es: 1/6=0,16666 La posibilidad de que salga un número par es 3/6=0,5 La posibilidad de que salga un número mayor que 4 es de 2/6=0,33339.3.2.3. FrecuenciaSi se realiza una experiencia aleatoria durante N veces: Se llama “frecuencia absoluta” de un suceso S al número de veces que ocurre ese suceso. Se

designa como f(S) Se llama “frecuencia relativa” de un suceso S a la proporción de veces que ocurriese suceso. Se

designa como: fr(S) = f(S)/NEn el ejemplo de los dados, si se arrojan 60 veces y se anotan los resultados: La frecuencia absoluta con que sale un 3 es 10 veces. La frecuencia relativa es de 10/60=0,16666 La frecuencia absoluta con que sale un número par es 30 veces. La frecuencia relativa es de

30/60=0,5 La frecuencia absoluta con que sale un número mayor que 4 es de 20 veces. La frecuencia relativa

es de 20/60=0,33339.3.3. DESCRIPCIÓN DE LA ANIMACIÓN

Contenido Dirección URLFrecuencia y probabilidad www.gobiernodecanarias.org/istac/w_escolar/actividades/Ruleta_ISTAC.swf

Regla de Laplace http://w3.cnice.mec.es/recursos/bachillerato/matematicas/probabilidad/actividades/priori/priori.htm

Probabilidad y frecuencia

http://w3.cnice.mec.es/recursos/bachillerato/matematicas/probabilidad/actividades/frecuencia/frecuencia.htmhttp://w3.cnice.mec.es/recursos/bachillerato/matematicas/probabilidad/actividades/definicion/definicion.htmhttp://w3.cnice.mec.es/recursos/bachillerato/matematicas/probabilidad/actividades/operaciones/operaciones.htm

9.3.4. RECURSOSContenido Dirección URL

Prueba de acceso grado superior

Frecuencia y probabilidad

www.educa.madrid.org/web/cepa.coslada/spanish/math/m4/pdf/4-Probabilidad.pdf

9.3.5. EJERCICIOS9.3.5.1. Se lanzan dos dados cúbicos al aire y se observa en cada uno de ellos el número que ha salido. Calcular:a) La probabilidad de que en los dos dados salga el mismo número.b) La probabilidad de que la suma de los dos números obtenidos sea igual a 7.c) La probabilidad de que el producto de los dos números sea igual a 12.Respuesta:a) 0,16666b) 0,16666c) 0,11111Desarrollo:a) Como puedes observar hay 36 casos posibles: (1,1),(1,2)...(6,5) y (6,6)La probabilidad de que sean los dos números iguales es 6/36 = 1/6 = 0,16666 (puesto que los casos favorables son 6: (1,1); (2,2);... (6,6)b) La suma 7 se puede dar únicamente en los siguientes casos: (1,6); (6, 1); (2, 5); (5,2);(3, 4) y (4,3). Total casos favorables son 6. La probabilidad pedida por tanto es igual a 6/36= 1/6 = 0,16666c) Para que el producto sea 12 hay los siguientes casos: (2, 6); (6,2); (3,4) y (4,3). Total hay 4 posibilidades. La probabilidad es por tanto igual a 4/36 = 1/99.3.5.2. Una urna contiene 12 bolas rojas, 3 bolas azules y 2 blancas.Extraemos al azar una bola. ¿cuál es la probabilidad de que la bola sea roja?Respuesta:0,7019Desarrollo:Como tenemos un total de 17 bolas, de las cuales 12 son bolas blancas. La probabilidad pedida es igual a p = 12/17 = 0,70199.3.5.3. Una urna contiene 1 bolas rojas y 2 bolas blancas. Extraemos al azar dos bolas ¿cuál es la probabilidad de que las dos bolas sean blancas?Respuesta:0,33333Desarrollo:Si calculamos todos los casos posibles, tenemos: (r,b1), (r,b2), (b1,b2) (tres casos favorables)Al ser el número de casos favorables solamente 1, tenemos que P = 1/3 = 0,33333