TEMA 4

• Una onda es una perturbación que se propaga sin

transporte de materia.

• Se produce un m.v.a. en un punto llamado FOCO y

este movimiento se propaga sin que se propaguen las

partículas que se ven sometidas al movimiento.

• Las ondas se pueden clasificar en función de varios

aspectos:

1. Según el medio en el que se propagan

2. Según el movimiento de las partículas

3. Según el frente de ondas

1. Según el medio en el que se propagan

a) ONDAS MECÁNICAS: necesitan un medio material

elástico para propagarse.

Ejemplo: el sonido

b) ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS: no necesitan de

un medio material para propagarse. En este caso,

lo que se propaga es la energía

electromagnética.

Ejemplo: la luz

2. Según el movimiento de las partículas en el

medio

a) LONGITUDINALES: las partículas oscilan en la

dirección de propagación del movimiento.

Ejemplo: el sonido

b) TRANSVERSALES: la vibración se produce

perpendicularmente a la dirección de

propagación.

Ejemplo: la luz

3. Según el frente de ondas (es el lugar geométrico de los

puntos que se encuentran en el mismo estado de vibración):

a) ONDAS ESFÉRICAS: cuando el frente

de ondas está formado por esferas.

b) ONDAS PLANAS: aquellas en las

que el frente de ondas es plano, y

los rayos son paralelos entre sí.

a) ONDAS ESFÉRICAS:

b) ONDAS PLANAS:

a) PERIODO (T): se mide en segundo [s] y coincide con

el periodo de vibración del foco (o con el periodo de

vibración de cualquiera de las partículas).

Su inversa es la frecuencia:

𝜈 =1

𝑇; 𝑠−1

b) AMPLITUD (A): se mide en la unidad del SI que

corresponda a la perturbación. Es el valor máximo

de la elongación de la perturbación.

c) LONGITUD DE ONDA (λ): se mide en metros [m] y

representa la distancia que recorre la onda en un

periodo. Es la distancia que existe entre dos crestas

o dos valles consecutivos.

d) NÚMERO DE ONDA (k): se mide en [m-1] y es el

número de longitudes de onda que hay en una

distancia de 2π.

𝜅 =2𝜋

𝜆

e) VELOCIDAD DE PROPAGACIÓN (v): se mide en [m/s] y es la

distancia que recorre una onda en cada unidad de tiempo.

𝑣 =𝜆

𝑇

Sólo depende del medio en el que se propaga la onda:

• En una cuerda

• En un gas (para ondas longitudinales)

• En un sólido (ondas longitudinales)

𝑣 =𝑇

𝜌𝐿

𝑣 =𝛾 · 𝑅 · 𝑇

𝑀

𝑣 =𝐸

𝜌

Con la ecuación de las ondas vamos a conocer el estado de

vibración de cada punto en cada instante de tiempo y(x,t):

𝐹𝑜𝑐𝑜 ⟶ 𝑦 𝑡 = 𝐴 · sin 𝜔𝑡

Obviamente, un punto a x metros va a vibrar con retraso:

𝑡 =𝑥

𝑣

𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝐴 · sin 𝜔 𝑡 −𝑥

𝑣

𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝐴 · sin 𝜔𝑡 −𝜔𝑥

𝑣

𝜔 =2𝜋

𝑇 → 𝜔𝑡 = 2𝜋

𝑡

𝑇

𝑣 =𝜆

𝑇→𝜔𝑥

𝑣=2𝜋𝑥

𝑇 · 𝜆𝑇

=2𝜋𝑥

𝜆

𝜔𝑡 −𝜔𝑥

𝑣= 2𝜋

𝑡

𝑇−2𝜋𝑥

𝜆

𝜔𝑡 −𝜔𝑥

𝑣= 2𝜋

𝑡

𝑇−𝑥

𝜆

𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝐴 · sin 2𝜋𝑡

𝑇−𝑥

𝜆

𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝐴 · sin 𝜔𝑡 − 𝜅𝑥

• Una onda siempre conlleva un transporte de energía.

• En un punto cualquiera la energía total equivale a la

suma de la Energía Potencial y la Energía Cinética.

• En el momento en que la 𝐸𝑃 = 0 la 𝐸𝑇 = 𝐸𝐶𝑚á𝑥

• Calculamos la 𝐸𝐶𝑚á𝑥 :

𝐸𝐶𝑚á𝑥 =1

2𝑚𝑣𝑚𝑎𝑥

2

• 𝐸𝐶𝑚á𝑥 =1

2𝑚𝑣𝑚𝑎𝑥

2

• 𝑣 = 𝐴 · 𝜔 · cos 𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 ⇒ 𝑣𝑚á𝑥 = 𝐴 · 𝜔

• 𝐸𝐶𝑚á𝑥 =1

2𝑚 𝐴𝜔 2

𝐸𝑇 =1

2𝑚 𝐴𝜔 2

La energía de un punto o de una partícula es

proporcional al cuadrado de la amplitud y al cuadrado

de la frecuencia.

ESPECTRO VISIBLE:

400 nm a 700 nm

• La intensidad es la energía por unidad de tiempo

(potencia) que atraviesa la unidad de superficie

perpendicular a la dirección de propagación de las

ondas.

• Por otro lado, simplemente del análisis de las

unidades de la intensidad podemos observar:

𝐼 =𝐸

𝑡 · 𝑆=

𝐽

𝑠 𝑚2=𝑊

𝑚2

𝐸 ∝ 𝐴2 ⇒ 𝐼 ∝ 𝐴2

• La intensidad de la onda puede variar y uno de

los motivos de esto es por la distancia al foco

emisor.

• A medida que nos alejamos, la intensidad

disminuye.

• A este fenómeno se le llama ATENUACIÓN.

Aparece sólo en ondas esféricas.

La superficie que atraviesa la onda va a ser:

Como 𝐼 =𝐸

𝑡·𝑆:

𝐼1 =𝐸𝑡

4𝜋𝑅12 𝐼2 =

𝐸𝑡

4𝜋𝑅22

Si 𝐸 𝑡 es constante:

𝐸𝑡 = 𝐼1 · 4𝜋𝑅1

2; 𝐸 𝑡 = 𝐼2 · 4𝜋𝑅22

Igualamos ambas ecuaciones:

𝑅1 → 𝑆1 = 4𝜋𝑅12 𝑅2 → 𝑆2 = 4𝜋𝑅2

2

𝐼1 · 4𝜋𝑅12 = 𝐼2 · 4𝜋𝑅2

2

La intensidad de una onda esférica

disminuye con la distancia elevada al

cuadrado.

𝐼1𝐼2=𝑅22

𝑅12

Ahora, para saber cómo disminuye la amplitud

recordamos:

𝐼 ∝ 𝐴2 por lo tanto 𝑘𝐴1

𝑘𝐴2=𝑅2

𝑅1

𝐴1𝐴2=𝑅2𝑅1

La amplitud disminuye proporcionalmente

a la distancia al foco emisor.

• La intensidad de una onda también puede disminuir a

medida que se propaga por pérdidas de energía

debidas a rozamientos, viscosidad del medio… es

decir el medio absorbe parte de su energía a medida

que se propaga.

• En una onda plana se observa de forma experimental

que al atravesar un medio material de espesor dx se

produce una variación en la intensidad de la onda

que llamaremos dI (pequeña pérdida de intensidad).

Esta pérdida de intensidad 𝑑𝐼 es proporcional a:

• La intensidad de la onda incidente 𝐼0.

• El espesor atravesado 𝑑𝑥.

Además depende del medio que atraviese (hay que tener

en cuenta 𝛽, que es el coeficiente de espesor del medio).

𝑑𝐼 = −𝛽 · 𝐼 · 𝑑𝑥

• Podemos “jugar” con esta fórmula:

𝑑𝐼

𝐼= −𝛽𝑑𝑥

𝑑𝐼

𝐼= −𝛽𝑑𝑥

𝑥

0

𝐼

𝐼0

ln 𝐼 𝐼𝐼0= −𝛽𝑥

𝑥0

ln 𝐼 − ln 𝐼0 = −𝛽 𝑥 − 0

ln𝐼

𝐼0= −𝛽𝑥

𝑒𝑙𝑛𝐼𝐼0 = 𝑒−𝛽𝑥

𝐼

𝐼0= 𝑒−𝛽𝑥

𝐼 𝑥 = 𝐼0 · 𝑒−𝛽𝑥

• Frente de onda: lugar geométrico de los puntos

que oscilan en la misma fase.

• Los frentes de onda dependen de la

dimensionalidad de la onda:

• Unidimensional ⇒ un punto

• Bidimensional ⇒ circunferencia

• Tridimensional ⇒ Esfera

• Todo punto de un frente

de ondas puede ser

considerado como centro

emisor de nuevas ondas

elementales cuya

envolvente es un nuevo

frente de ondas.

• Las semiondas en retroceso producidas en los focos

secundarios se anulan y, por lo tanto, no tienen realidad

física.

• Es el cambio de dirección que experimenta una onda

cuando choca con la superficie de separación de dos

medios volviendo al semiespacio de procede.

¡¡¡OJO!!!

Si la superficie no es un plano perfecto la reflexión se

ve afectada. (reflexión difusa)

• A partir del principio de Huygens se demuestran las leyes

de la reflexión:

1. La onda incidente, la onda reflejada y la normal están en el

mismo plano, que es perpendicular a la superficie reflectora.

2. El ángulo de incidencia 𝑖 y el ángulo de reflexión 𝑟 son

iguales.

• Aplicaciones del fenómeno de reflexión:

• Es el cambio de dirección que experimenta una onda cuando

atraviesa la superficie de separación entre dos medios.

• El principio de refracción se rige por las siguientes leyes:

1.La onda incidente, la normal y la onda refractada o transmitida

están en el mismo plano, que es perpendicular a la superficie

refractora.

2.La relación entre los senos de los ángulos de incidencia y de

refracción es igual a la relación entre las velocidades de la onda

en los dos medios. (Ley de Snell)

sin 𝑖

sin 𝑟 =𝑣1𝑣2

Coeficiente de refracción (n): nos da la relación que existe

entre las velocidades de las ondas en los dos medios.

𝑛 =𝑣2𝑣1

Coeficiente de refracción absoluto (n): es el coeficiente entre

la velocidad de la luz en el vacío y la velocidad de la luz en

el medio (sólo para la luz).

𝑛 =𝑐

𝑣; 𝑐 = 3 · 108 𝑚/𝑠

• Al cambiar de un medio a otro también varía la

longitud de onda (si cambia la velocidad…), como el

tiempo entre dos frentes es el mismo:

𝑡 =𝜆1𝑣1=𝜆2𝑣2

• Ángulo límite: es el ángulo de incidencia al que

corresponde un ángulo de refracción de 90º

• Es el cambio de dirección que experimenta una onda al

llegar a un orificio o a un obstáculo, y éstos se convierten en

frentes de ondas secundarios.

• Detrás de una rendija o un obstáculo la onda se propaga en

todas las direcciones y se hace más apreciable este fenómeno

si las dimensiones son del orden de la longitud de onda.

• Polarizar una onda es hacer que todos sus puntos

oscilen en una sola dirección.

• Es el encuentro de dos ondas en el mismo punto y en el

mismo instante.

• Principio de superposición de ondas: cuando dos o

más ondas concurren en el mismo punto la

perturbación resultante es igual a la suma de las

perturbaciones que produce cada onda por

separado.

• Ondas coherentes: cuando las dos ondas tienen

frecuencias iguales (y longitud de onda, amplitud y

una diferencia de fase constante).

𝑦1 𝑥1, 𝑡 = 𝐴 sin 𝜔𝑡 + 𝑘𝑥1

𝑦2 𝑥2, 𝑡 = 𝐴 sin 𝜔𝑡 + 𝑘𝑥2

Aplicamos el principio de

superposición de ondas:

𝑦1 + 𝑦2

𝑦1 + 𝑦2 = 𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝐴 sin 𝜔𝑡 + 𝑘𝑥1 + sin 𝜔𝑡 + 𝑘𝑥2

sin 𝑎 + sin 𝑏 = 2 cos𝑎 − 𝑏

2sin

𝑎 + 𝑏

2

𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝐴 2 cos𝜔𝑡 + 𝑘𝑥1 −𝜔𝑡 − 𝑘𝑥2

2sin

𝜔𝑡 + 𝑘𝑥1 +𝜔𝑡 + 𝑘𝑥22

𝑦 𝑥, 𝑡 = 2𝐴 cos 𝑘𝑥1 − 𝑥22

sin 𝜔𝑡 + 𝑘𝑥1 + 𝑥22

Comparando con 𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝐴𝑟 sin 𝜔𝑡 + 𝑘𝑥 :

Amplitud: 𝐴𝑟 = 2𝐴 cos 𝑘𝑥1−𝑥2

2 varía con la distancia

𝜔, 𝑘, 𝜆: iguales que las de las ondas originales.

Distancia a un foco imaginario: 𝑥 =𝑥1+𝑥2

2

cos 𝑘𝑥1 − 𝑥22

= ±1 ⇒ 𝑘𝑥1 − 𝑥22

= 𝑛𝜋 ⇒ 𝑥1 − 𝑥2 =2𝑛𝜋

𝑘

𝑥1 − 𝑥2 = 𝑛𝜆 ∀ 𝑛 = 0, 1, 2, … ,∞

Se produce máxima amplitud en los puntos cuya diferencia de

distancia a los focos sea igual a un número entero de

longitudes de onda.

cos 𝑘𝑥1 − 𝑥22

= 0 ⇒ 𝑘𝑥1 − 𝑥22

=2𝑛 − 1

2𝜋 ⇒ 𝑥1 − 𝑥2 =

2𝑛 − 1 𝜋

𝑘

Los puntos de amplitud nula son aquellos cuya diferencia de

distancia a los focos sea igual a un número impar de

semilongitudes de onda.

Estos puntos se conocen como nodos.

𝑥1 − 𝑥2 = 2𝑛 − 1𝜆

2 ∀ 𝑛 = 0, 1, 2, … ,∞

Onda resultante de la interferencia de dos ondas

iguales que se propagan en la misma dirección pero con

sentido opuesto.

𝑦1 = 𝐴 sin 𝜔𝑡 + 𝑘𝑥

𝑦2 = 𝐴 sin 𝜔𝑡 − 𝑘𝑥

Repitiendo el desarrollo visto para la suma de ondas:

Comparando con 𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝐴𝑟 sin 𝜔𝑡 + 𝑘𝑥 :

Amplitud: 𝐴𝑟 = 2𝐴 cos 𝑘𝑥

𝜔, : igual que las de las ondas originales.

La distancia al foco no influye en el argumento de la

oscilación, sólo lo hace en el valor de la amplitud.

La amplitud será máxima en los puntos en los que 𝐴𝑟 = 2𝐴;

para que esto ocurra:

cos 𝑘𝑥 = cos2𝜋𝑥

𝜆= ±1 ⇒

2𝜋𝑥

𝜆= 𝑛𝜋

Existe un vientre en:

La distancia entre vientres será:

𝑑𝑛,𝑛−1 = 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 = 𝑛𝜆

2− 𝑛 − 1

𝜆

2

La amplitud será nula en los nodos:

cos 𝑘𝑥 = cos2𝜋𝑥

𝜆= 0 ⇒

2𝜋𝑥

𝜆= 2𝑛 − 1

𝜋

2

Existe un nodo en:

La distancia entre nodos será:

𝑑𝑛,𝑛−1 = 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 = 2𝑛 − 1𝜆

4− 2 𝑛 − 1 − 1

𝜆

4

Para que exista una onda en una cuerda o dentro de

cualquier tubo de resonancia el número mínimo de nodos que

deben existir es 2 (uno en cada extremo).

Si la cuerda (o tubo) mide L, la longitud de onda debe tomar

valores concretos:

𝑑𝑛,𝑛−1 =𝜆

2= 𝐿

Mientras se cumpla que en cada extremo haya un nodo la

onda puede existir. Vamos a ver la longitud de onda si en

lugar de dos nodos hay tres:

En este caso, la longitud será igual a la distancia entre tres

nodos:

𝑑𝑛,𝑛−2 = 2 ·𝜆

2= 𝐿

Y seguimos comprobando qué ondas pueden existir en

nuestra cuerda. Vamos a ver la longitud de onda si hay

cuatro nodos:

En este caso, la longitud será igual a la distancia entre cuatro

nodos:

𝑑𝑛,𝑛−3 = 3 ·𝜆

2= 𝐿

MODOS NORMALES

DE OSCILACIÓN

• El sonido se produce cuando un foco vibra y genera una

onda. La onda que genera es una onda de presión, que se

transmite a través de un medio material.

• Las ondas sonoras son longitudinales y mecánicas.

• La velocidad de propagación del sonido depende del

medio por el que se propague y es mayor en sólidos que

en líquidos, y mayor en líquidos que en gases (es decir… a

mayor densidad…). En el aire:

𝑣𝑠𝑜𝑛𝑖𝑑𝑜 = 340𝑚

𝑠= 1𝑀𝑎𝑐ℎ

• Por ser una onda, también sufre fenómenos de reflexión,

de refracción (eco), difracción, resonancia…

TONO

• Está relacionado con su frecuencia fundamental.

• Se mide en Hz.

• Los sonidos se clasifican en graves, medios y

agudos:

• Graves → frecuencias bajas 20 Hz a 500 Hz

• Medios → frecuencias medias 500 Hz a 2 kHz

• Agudos → frecuencias altas 2 kHz a 20 kHz

TIMBRE

• Es la cualidad que distingue varias fuentes sonoras

que poseen la misma intensidad y el mismo tono.

• Cada fuente emisora emite una onda principal

acompañada de un conjunto de ondas secundarias

de menor intensidad y distintas frecuencias.

INTENSIDAD

• La intensidad mínima para que nuestro tímpano

detecte el sonido es de:

𝐼0 = 10−12𝑊/𝑚2

• La intensidad del dolor:

𝐼 = 25𝑊/𝑚2

SONORIDAD

• También llamado nivel de intensidad o intensidad sonora.

• Se mide en decibelios (dB):

𝐿𝐼 = 10 · log10𝐼

𝐼0

• El tímpano humano rompe con 160 dB

• El Efecto Doppler es el cambio de frecuencia que

experimenta una onda cuando el foco emisor, el

receptor o ambos se mueven respecto al medio de

propagación.

• Ecuación del Efecto Doppler para el sonido: