Capítulo 6 Sistemas Dinamicos

7/24/2019 Captulo 6 Sistemas Dinamicos

1/37

Captulo 6

La Transformada de Laplace

6.1 Transformadas de Laplace directa e inversa

6.2 Resolviendo ecuaciones diferencialesPropiedades de transformadas de Laplace

Ecuaciones diferenciales lineales (LDE)con coeficientes constantes

Expansin en fracciones parciales

Pares de transformadas de Laplace

Ecuaciones diferenciales Vector-matrizSistemas de LDE

Ecuaciones integrales e integrales-diferenciales

LDE con coeficientes dependientes del tiempo

6.3 Identificacin de sistemas


2/37

Transformadas de Laplace directa e inversa


3/37

Pares de transformadas de Laplace bsicas

Pares de transformadas de LaplaceVerTabla 6.1 para listado completo

0

( ) ( ) ( ) stF s f t f t e dt

1( ) ( )f t F s

( )f t ( )F s

Dominio del tiempo Dominio de Laplace (s)

( )t

1

t

st

e

sin t

cos t

1

1/ s

21/ s

1/ s a

2 2/ s

2 2/ s

La transformada de Laplace



4/37

Transformadas de Laplace directa e inversaPares de Transformadas de laplace


5/37


Ejemplo:


6/37


Ejemplo 6.1:


7/37


Ejemplo 6.2:


8/37

Propiedades de la transformada de Laplace

( )f t ( )F s

Dominio del tiempo Dominio de Laplace (s)

propiedad (teorema)

Linealidad

Tabla 6.2

Desplazamiento en el tiempo

Derivadas

Integrales

Valor final

Valor inicial

1 1 2 2( ) ( )a f t a f t

( )ate f t

2

2

( )

( )

df t

dt

d f t

dt

0

0

lim ( )t

t

f t

0

( )t

f t dt

( )F s a

( ) (0)sF s f

0( ) ( ) /

tF s f t dt s

lim ( )t

f t

1 1 2 2( ) ( )a F s a F s

Desplazamiento en frecuencia( ) 1( )f t a t a ( )ase F s

2

0

( )( ) (0)

t

df ts F s sf

dt

0

lim ( )t

sF s

lim ( )t

sF s



9/37



10/37

Teorema del desplazamiento en frecuencia

Propiedad de linealidad



11/37

Ejemplo 6.3


Ver Tabla de Transformadas de Laplace: Sen(t)


12/37


13/37

Desplazamiento

en frecuencia

EjemploConociendo: Teorema del desplazamiento en frecuencia

Encuentre: 1 2( ) sin ; ( ) cos at at

F s te t F s te t

2

1e

a j tt

s a j

2 2

2 2 22 22 2

21 s a s aj

s a j s a s a

e e e e cos sin e cos e sin a j t at j t at at at t t t t j t t t jt t

Identidad de Euler

2 2

1 22 2

2 22 2

2 ( ) ; ( )

s a s aF s F s

s a s a

comparacin

e e cos e sin a j t at at t t t j t t

VerEjemplo 6.4



14/37

Teorema del desplazamiento en el tiempo



15/37

Ejemplo 6.5


Funcin pulso:

Funcin impulso:


16/37

Ejemplo

Se conoce: grfico de f(t) Encuentre: F(s)

1

1

( ), 0 , 0

( ) ( ), 2 , 2

0, 20, 2

f t t a t t a

f t f t a a t a t a a t a

t at a

En forma de funciones paso y rampa

21 1 1

( ) e e 1 eas as asf t as s s

VerEjemplo 6.6


1() 1( ) ( 2) 1( 2) 1( 2)


17/37

Transformada de Laplace de derivadas


Integracin por partes:


18/37

Transformada de Laplace de Integrales indefinidas




19/37

Teorema del Valor Inicial



20/37

Teorema del Valor Final



21/37

Uso de MATLAB para calcular lmites


Ejemplo 6.8

Ver MATLAB/Ejemplo_6_8

Teorema del valor inicial:

Teorema del valor final:

v = 120V

R = 240

i(0) = 2A

L = 5H
http://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_1/Ejemplo_6_8.mhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_1/Ejemplo_6_8.m


22/37

Funciones peridicas ( ) ( ) ( 2 ) ... ( )f t f t T f t T f t nT

1

1 1

0 0

( ) ( )

( )1 1

T T

st st

sT sT

e f t dt e f t dt

f te e



23/37

Ejemplo 6.9


Frmula:



24/37

Convolucin de 2 funcionesTeorema de convolucin

0

( ) ( ) () ( ) t

f t g t f g t d

EjemploEncuentre:

1

2 2 2 2

1( )x t

s a s b

2 2 2 2

1 1( ) ( ) ( )X s F s G s

s a s b

convolucin

1

0

1( ) ( ) ( ) sin sin

t

x t f t g t a b t dab

1 1

( ) sin ; ( ) sinf t at g t bt

a b

2 2

1( ) sin sinx t a bt b at

ab a b

1( ) ( ) ( ) ( )f t g t F s G s 1

( ) ( ) ( ) ( )f t g t F s G s

VerEjemplo 6.10



25/37

Resolucin de ecuaciones diferenciales

Modelo

matemtico

Modelo en

dominio de

Laplace

Encontrar

Y(s)

Fracciones

Parciales

Solucin:

y(t)

Ecuaciones

diferenciales

(t)

Ecuaciones

algebraicas

(s)

1


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Fraccin

complicada

Cuatro casos:

Expansin en fracciones parciales

Suma de fracciones

(parciales) ms

simples

reales y simples (distintas)

complejas y simples reales y mltiples (repetidas)

complejas y mltiples

Races de D(s)

( )( )

( )

N sF s

D s


Grado de N(s) < Grado de D(s)


27/37

Ejemplo 6.11


Grado de N(s) > Grado de D(s)


28/37

Ejemplo 6.12


c = - 4/5

d = 3/5

1 + 1

15

1 + 2

4

5

3

5 + 1


29/37

Races del denominador: s = 0 (simple) and s = 1 (doble)

Ejemplo Encuentre:

1

2

1( )

1f t

s s

Usando fracciones parciales

Determine coeficientes a, b, y c

Forma de fracciones parciales

2 2

1( )

11 1

a b cF s

s ss s s

2

0

11

1s

a

s

1

11

s

bs

2

1 1 1( )

11F s

s ss

( ) 1 1 e tf t t

1

VerEjemplo 6.13


1

=

1

= 1


30/37

Expansin en fracciones parciales con MATLAB


Ejemplo 6.14


ri = residuos

pi = polosk = polinomio de

trminos directos


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Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes (LDE)

m = 10-6 kg, c= 3 N-s/m,k= 2 N/m, f= 2 N,Cero condiciones iniciales:

x(0) = 0dx/dt|t=0 = 0

encuentre:x(t)

Con condiciones iniciales cero

Resuelva la ecuacin diferencial

parax(t)

1

1 1 0

( )( )...n n

n n

F s

X sc s c s c s c

1

1 1 01

( ) ( ) ( )... ( ) ( )

n n

n nn n

d x t d x t dx t c c c c x t f t

dt dt dt

11

1 1 0

( )( )...n n

n n

F sx t

c s c s c s c

1

Ejemplo

mx cx kx f

22( )

1 2fX s

s s ss ms cs k

2( ) 1 2e et tx t 1

1 2 1( )

1 2X s

s s s

Expansin en fracciones parciale

Ver Ejemplo 6.15



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Uso de MATLAB para calcular transformadas de Laplace


Ejemplo 6-16


a=-3/5b=1/5c=1

d=-2/5


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Ejemplo

Sistemas de LDE con coeficientes constantes

KCL

Grficos

R = 200 , L = 20 H, C= 10 F,v= 100 V, cero condiciones iniciales

Encuentre y grafique: iL(t), iC(t)

( ) ( ) ( )R L C

i t i t i t

( )( )

( )1( ) 0

L

R

L

C

di tRi t L v

dt

di ti t dt L

C dt

KVL

( ) ( )

1( ) ( ) 0

L C

L C

vR Ls I s RI s

s

LsI s I s

Cs

1

2

2

( )1

( )0

L

C

vR Ls R v

I s s RLCs Ls Rs

I s Ls LCvsCs

RLCs Ls R

1

250

250

( ) 0.5 0.5cosh 239.8 0.52sinh 239.8

( ) 0.5cosh 239.8 0.52sinh 239.8

t

L

t

C

i t t t e

i t t t e

Dado:VerEjemplo 6.17




34/37

Ecuaciones diferenciales matriciales

1 1

0

2 2

0

( ) ( ) e

( ) ( ) e

st

st

X s x t dt

X s x t dt

1 2( ) ( ) ( ) t

X s X s X s ( ) ( )x t X s Transformada de Laplacede vector de incgnitas

Incgnitas individuales

Incgnitas vectoriales

1

2( ) ( ) (0) (0) ( )x t X s s M K M x s x F s

( ) ( ) ( )M x t K x t f t

2 ( ) (0) (0) ( ) ( )M s X s s x x K X s F s

1

2( ) (0) (0) ( )X s s M K M x s x F s

Solucin en el dominio del tiempo

Solucin en el dominio s

Sistema mecnico de Mltiples-DOF

1



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EjemploModelo fsico Modelo de parmetros concentrados

m1 = m2 = m = 10-6 kg,

k1 = k2 = k = 10-6 N/m,

f= 10-6 (t) N,Cero condiciones iniciales

Encuentre:x1(t),x2(t)

Dado:

1

2( ) ( )X s s M K F s

1 1 1 2 1 2 2

2 2 2 1 2 2

0m x k k x k x

m x k x k x f

Modelo matemtico

1

2

( ) 0.72sin 0.62 0.28sin 1.62

( ) 1.17sin 0.62 0.17sin 1.62

x t t t

x t t t

1 2 4 2 2

2

2 2 4 2 2

( )3

2( )

3

kX s

m s mks k

ms kX s

m s mks k

6 00 2

; ; ( ) 100

m k kM K f t

tm k k

Solucin 1

VerEjemplo 6.18


Ecuaciones diferenciales matriciales



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LDEs con coeficientes dependientes del tiempo

Ejemplo

0

( )(0) 0; 0

t

dx tx

dt

2

2

( )sinh( )

d x tt t

dtResuelva parax(t)

Condiciones iniciales

( )

( ) dF s

tf tds

f(t)

Use la propiedad

( ) 2 1 cosh( ) sin( )x t t t t

2 ( ) sinh( )d

s X s tds

2

2

2( )1

X s

s s

1

VerEjemplo 6.21



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Identificacin de sistemas

Identifique: f(t), a, b, c, y condiciones iniciales

X(s) especificado

( ) ( ) ( ) ( )ax t bx t cx t f t

2

( )( )

ds e F sX s

as bs c

Con condiciones iniciales no cero

Formato generalcomparacin

2

(0) (0) (0) ( )( )

ax s ax bx F sX s

as bs c

Ejemplo

Sistema de segundo orden de un-DOF

Dado: Identifique el sistema fsico

2

1( )

1F s

s

( ) sin( )f t t

2

2 2

5 5( )

1 2 1

s s sX s

s s s

1 a = 2, b = 1, c = 1

(0) 5(0) (0) 1

ax

ax bx

5 7(0) ; (0)

2 4x x

23 2 2

2 2 2 2 2

15 15 1 1 15 5 1 1 1( )1 2 1 1 2 1 2 1

ss ss s s sX s

s s s s s s s s

2 i t

Modelo matemtico

VerEjemplo 6.23

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