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MECÁNICA VECTORIAL

(ESTÁTICA). CAPÍTULO 2: CUERPOS RÍGIDOS.

SISTEMAS EQUIVALENTES DE

FUERZAS. MOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO A

UN PUNTO EN EL PLANO.

Ing. Willians Medina.

Maturín, Junio de 2015.

Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerza. Momento de una fuerza respecto a un punto en el plano.

Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 1

PRESENTACIÓN.

La presente es una Guía de Ejercicios de Mecánica Vectorial para estudiantes de

Ingeniería, Ciencia y Tecnología dictada en las carreras de Ingeniería Civil, Industrial,

Mecánica y de Petróleo de reconocidas Universidades en Venezuela.

El material presentado no es en modo alguno original, excepto la inclusión de las

respuestas a ejercicios seleccionados y su compilación en atención al contenido

programático de la asignatura y al orden de dificultad de los mismos.

Dicha guía ha sido elaborada tomando como fuente las guías de ejercicios y

exámenes publicados en su oportunidad por Profesores de Mecánica Vectorial para

Ingenieros en los núcleos de Monagas y Anzoátegui de la Universidad de Oriente, además

de la bibliografía especializada en la materia y citada al final de cada capítulo, por lo que el

crédito y responsabilidad del autor sólo consiste en la organización y presentación en forma

integrada de información existente en la literatura.

Adicionalmente es conveniente mencionar que este trabajo ha sido realizado con

fines estrictamente académicos y su uso y difusión por medios impresos y electrónicos es

libre, no representando ningún tipo de lucro para el autor.

Finalmente, se agradece infinitamente la dispensa y atención a esta modesta

contribución en la enseñanza y aprendizaje de la Mecánica Vectorial, así como las

sugerencias que tengan a bien para mejorar este trabajo, las cuales pueden hacer llegar

directamente a través de los teléfonos: +58-424-9744352 ó +58-426-2276504, PIN:

2736CCF1 ó 7A264BE3, correo electrónico: [email protected] ó

[email protected], twitter: @medinawj ó personalmente en la sección de Matemáticas,

Universidad de Oriente, Núcleo de Monagas.

Ing. Willians Medina.



ACERCA DEL AUTOR.

Willians Medina es Ingeniero Químico, egresado de la Universidad de Oriente,

Núcleo de Anzoátegui, Venezuela. Durante el transcurso de su carrera universitaria se

desempeñó como preparador docente en el área de Laboratorio de Química I y

Termodinámica Aplicada de la carrera de Ingeniería Química de la referida Universidad.

En el año 1996 ingresó a la Industria Petrolera Venezolana, Petróleos de Venezuela

(PDVSA), desempeñando el cargo de Ingeniero de Procesos en la Planta de Producción de

Orimulsión, en Morichal, al sur del Estado Monagas hasta el año 1998, momento en el cual

comenzó su desempeño en la misma corporación como Ingeniero de Manejo de Gas en el

Complejo Operativo Jusepín, al norte del Estado Monagas hasta finales del año 2000.

Durante el año 2001 formó parte del Plan Integral de Adiestramiento (PIA) en San Tomé,

Estado Anzoátegui, donde recibió cursos de preparación integral en las áreas de producción

y manejo de petróleo y gas, pasando finalmente a la Gerencia de Manejo de Gas del Norte

del Estado Monagas, en la localidad de Punta de Mata, siendo responsable del tratamiento

químico anticorrosivo de gasoductos de la zona de producción de petróleo y gas hasta

finales del año 2002. Desde el año 2006, forma parte del Staff de Profesores de

Matemáticas, adscrito al Departamento de Ciencias, Unidad de Cursos Básicos del Núcleo

de Monagas de la Universidad de Oriente (UDO), cargo en el cual ha dictado asignaturas

tales como Matemáticas I (Cálculo Diferencial), Matemáticas II (Cálculo Integral),

Matemáticas III (Cálculo Vectorial), Matemáticas IV (Ecuaciones diferenciales), Métodos

Numéricos, Termodinámica y Fenómenos de Transporte para estudiantes de Ingeniería. Es

autor de compendios de ejercicios propuestos y formularios en el área de Matemáticas,

Física, Química, Mecánica Vectorial, Métodos Numéricos, Termodinámica, Estadística,

Diseño de Experimentos, Fenómenos de Transporte, Mecánica de los Fluidos e Ingeniería

Económica. Es miembro del Colegio de Ingenieros de Venezuela.



1.1.- MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN PUNTO EN EL

PLANO.

El momento de F con respecto a O se define como el producto vectorial de r y F.

FrM 0 (Enfoque vectorial) (1)

donde r es el vector de posición que une al punto de referencia fijo O con cualquier punto

sobre la línea de acción de F.

0

0

yx

yxO

FF

rr

kji

M (Enfoque vectorial) (2)

rx,ry: Componentes x, y del vector posición trazado desde el punto B hasta cualquier punto

sobre la línea de acción de la fuerza.

xF , yF : Componentes x, y, del vector fuerza F.

Si es el ángulo entre las líneas de acción del vector de posición r y la fuerza F, la

magnitud del momento de F con respecto a O está dada por

sen 0 FrM (Enfoque escalar) (3)

donde d representa la distancia perpendicular desde O hasta la línea de acción de F.

En la práctica, el momento es igual al producto de la fuerza por la distancia perpendicular

entre el punto de referencia para el cálculo del momento y la línea de acción de la fuerza.

Físicamente la magnitud de MO mide la tendencia de la fuerza F a hacer rotar al cuerpo

rígido alrededor de un eje fijo dirigido a lo largo de MO.

Una forma de definir el sentido de MO se logra por medio de la regla de la mano derecha:

cierre su mano derecha y manténgala de manera que sus dedos estén doblados en el mismo

sentido de la rotación que F le impartiría al cuerpo rígido alrededor de un eje fijo dirigido a

lo largo de la línea de acción de MO; su dedo pulgar indicará el sentido del momento MO.



Convención de signos para el momento.

Se considera positivo el momento cuando la fuerza tiende a hacer rotar al cuerpo rígido en

sentido antihorario, y el momento se considera negativo cuando la fuerza tiende a hacer

rotar al cuerpo rígido en sentido horario.

Para un momento positivo, su sentido es saliendo del papel, mientras que un momento

negativo tiene sentido entrando al papel.



Ejemplo 2.1. Problema 4.16 del Hibbeler. Décima Edición. Página 130.

El poste soporta las tres líneas, cada línea ejerciendo

una fuerza vertical sobre el poste debido a su peso,

como se muestra. Determine el momento resultante

en la base D debido a todas esas fuerzas. Si es

posible que el viento o el hielo rompan las líneas,

determine qué línea (o líneas) al ser removida genera

una condición de momento máximo con respecto a la

base. ¿Cuál es el momento resultante?

Solución.

Las fuerzas individuales son: lb 700AF , lb 450BF , lb 400CF .

El momento de las fuerzas individuales se determina multiplicando el valor de la fuerza por

la distancia (medida perpendicularmente a la dirección de la fuerza) hasta el punto de

referencia para el cálculo del momento.

Fuerza A.

La fuerza A genera un momento positivo (antihorario) en el punto D.

pie 3.5lb 700)( DFAM

lb.pie 2450)( DFAM

Fuerza B.

La fuerza B genera un momento negativo (horario) en el punto D.

pie 3lb 450)( DFBM

lb.pie 1350)( DFBM

Fuerza C.

La fuerza C genera un momento negativo (horario) en el punto D.

pie 4lb 400)( DFCM



lb.pie 1600)( DFCM

Momento resultante en el punto D.

DFDFDFD CBAMMMM )()()(

lb.pie) 1600(lb.pie) 1350(lb.pie 2450 DM

lb.pie 500DM

Ejercicios propuestos.

1. El cubo de la rueda puede ser unido al

eje con excentricidad negativa

(izquierda) o positiva (derecha). Si el

neumático está sometido a una carga

normal y radial como se muestra,

determine el momento resultante de esas

cargas con respecto al punto O en

ambos casos.

Respuesta: N.m 120 OM ,

N.m 520OM


Determine la magnitud y el sentido

direccional del momento con respecto al

punto P a) de la fuerza presente en A y b)

de la fuerza presente en B.



Solución.

a) Para la fuerza presente en el punto A.

Enfoque escalar.

La componente horizontal de la fuerza

ejerce un momento en el sentido antihorario

(+), mientras que la componente vertical de

la fuerza ejerce un momento horario (–).

)2(430ºsen 400)35(º30cos400 OM

N.m 28.2371OM

El momento apunta hacia afuera del plano

del papel.

Enfoque vectorial.

FrMO

0º30sen 40030ºcos400

082

kji

M O

N.m )28.2371( kMO

a) Para la fuerza presente en el punto B.

400 sen 30º

400 cos 30º

400 sen 30º

400 cos 30º

r



Enfoque escalar.



(+), y que la componente vertical de la

fuerza ejerce un momento antihorario (+).

)2(260)3(2601312

135 OM

N.m 780OM


del papel.

Enfoque vectorial.

FrMO

0260260

032

1312

135

kji

M O

N.m )780( kMO

260135

2601312

r

260135

2601312




2. Determine la magnitud y el sentido

direccional del momento de la fuerza

presente en A a) con respecto al punto

O, b) con respecto al punto P.

Respuesta: b) 2.37 kN.m.


direccional del momento de la fuerza

presente en A a) con respecto al punto

O, b) con respecto al punto P.

Respuesta: a) 2.88 kN.m; b) 3.15 kN.m


direccional del momento resultante de

las fuerzas con respecto al punto P.

Respuesta: 3.15 kN.m




direccional del momento resultante de

las fuerzas con respecto al punto O.

Respuesta: 2.42 kip.pie

6. La llave se usa para aflojar el perno.

Determine el momento de cada fuerza

con respecto al eje del perno que pasa

por el punto O.

Respuesta: N.m 1.24)(1

OFM ,

N.m 5.14)(2

OFM

7. Los dos jóvenes empujan la reja con

fuerzas lb 30AF y lb 50BF como

se muestra. Determine el momento de

cada fuerza con respecto a C. ¿En qué

sentido rotará la reja, en el de las

manecillas del reloj o al contrario?

Ignore el espesor de la reja.

Figura Problemas 7 y 8.

8. Dos jóvenes empujan la reja como se muestra. Si el joven situado en B ejerce una fuerza

de lb 30BF , determine la magnitud de la fuerza AF que el joven ubicado en A debe

ejercer para impedir que la reja gire. Ignore el espesor de la reja.



9. La herramienta localizada en A se usa para

mantener estacionaria la hoja de una podadora de

césped de potencia mientras se afloja la tuerca con la

llave. Si se aplica una fuerza de 50 N a la llave

situada en B en la dirección mostrada, determine el

momento que produce dicha fuerza con respecto a la

tuerca localizada en C. ¿Cuál es la magnitud de la

fuerza F en A que produce el momento opuesto con

respecto a C?

Respuesta: a) N.m 0.13AM ; b) N 2.35F .

Ejemplo 2.3. Ejemplo 4.7 del Hibbeler. Décima Edición. Página128.

La fuerza F = 400 N actúa en el extremo de

la ménsula mostrada en la figura. Determine

el momento de la fuerza con respecto al

punto O.

Solución.

Enfoque escalar.



(+), mientras que la componente vertical de

la fuerza ejerce un momento horario (–).

)(0.430ºcos400)2.0(º30sen 400 OM

N.m 56.98OM

El momento apunta hacia adentro del plano

del papel.



Enfoque vectorial.

FrMO

030ºcos400º30sen 400

02.04.0

kji

M O

N.m )56.98( kMO

Ejemplo 2.4. Problema resuelto 3.2 del Beer-Johnston. Novena Edición. Página 86.

Una fuerza de 800 N actúa sobre la ménsula como se

muestra en la figura. Determine el momento de la

fuerza con respecto a B.

Solución.

Enfoque escalar.

Ambas componentes (horizontal y vertical) de la

fuerza ejercen un momento en el sentido horario

(–).

)(0.2060ºsen 800)16.0(º60cos800 BM

N.m 56.202BM

El momento apunta hacia adentro del plano del

papel.

800 sen 60º

800cos60º

60º



Enfoque vectorial.

FrM BAB /

0º60sen 80060ºcos800

016.02.0

kji

M B

N.m )56.202( kM B

Ejemplo 2.5. Ejemplo 4.6 del Hibbeler. Décima Edición. Página127.

Una fuerza de 200 N actúa sobre la ménsula

mostrada en la figura. Determine el

momento de la fuerza con respecto al punto

A.

Solución.

Enfoque escalar.

La componente horizontal de la fuerza ejerce

un momento en el sentido horario (–),

mientras que la componente vertical de la

fuerza ejerce un momento antihorario (+).

)(0.245ºsen 200)1.0(º45cos200 AM

N.m 14.14AM


del papel.



Enfoque vectorial.

FrM ABA /

0º54sen 200º54cos200

01.02.0

kji

M A

N.m )14.14( kM A

Ejemplo 2.6. Problema 3.14 del Beer-Johnston. Octava Edición. Página 91.

Un seguidor B circular con diámetro de 64

mm se sostiene contra la leva A como se

muestra en la figura. Si la leva ejerce una

fuerza con magnitud de 80 N sobre el

seguidor a lo largo de la normal común BC,

determine el momento de la fuerza respecto

a la articulación colocada en D.

Solución.

Se han elegido los siguientes vectores para el cálculo del momento.

Vector posición trazado desde el punto D hacia cualquier punto sobre la línea de

acción de la fuerza CB.

Coordenadas del punto referencial de cálculo del momento: )0,0,0(D

Punto sobre la línea de acción de la fuerza: )0,090.0,28.0( B



Vector posición: jir 090.028.0

Fuerza.

CBCB uFF uCB: vector unitario de la dirección de la fuerza.

Coordenadas de los puntos C y B: )0,300.0,456.0( C , )0,090.0,280.0( B

Vector CB: jiCB 21.0176.0 . Módulo del vector CB: 274.0CB

jiji

FCB 31.6139.51274.0

21.0176.080

Momento.

N.m 54.12

031.6139.51

0090.028.0

kji

M D


10. Determine el momento de cada una

de las tres fuerzas que actúan sobre la

viga a) respecto al punto A y b) respecto

al punto B.

Respuesta: kip.pie 125.4)(1

BFM ,

kip.pie 2)(2

BFM ,

kip.pie 40)(3

BFM

11. Determine el momento de cada una de las tres

fuerzas con respecto al punto A. Resuelva el

problema usando primero cada fuerza como un todo,

y luego aplicando el principio de momentos.

Respuesta: N.m 433)(1

AFM ,

N.m 1300)(2

AFM , N.m 800)(3

BFM




Una fuerza de 30 lb actúa sobre el extremo de una

palanca de 3 ft, como se muestra en la figura.

Determine el momento de la fuerza con respecto a O.

Solución.

Enfoque escalar.

)(320ºsen 30)0(º20cos30 OM

lb.ft 78.30OM

Enfoque vectorial.

FrM AO

030ºsen 30º30cos30

050ºsen 3º50cos3

kji

M O

lb.ft )78.30( kMO




Una fuerza vertical de 100 lb se aplica en el extremo de

una palanca que está unida a una flecha en el punto O.

Determine: a) el momento de la fuerza de 100 lb con

respecto a O; b) la fuerza horizontal aplicada en A que

origina el mismo momento con respecto a O; c) la

fuerza mínima aplicada en A que origina el mismo

momento con respecto a O; d) qué tan lejos de la flecha

debe actuar una fuerza vertical de 240 lb para originar

el mismo momento con respecto a O, y e) si alguna de

las fuerzas obtenidas en los incisos b), c) y d) es

equivalente a la fuerza original.

Solución.

a)

)(2430ºsen 100 OM

lb.in 1200OM

b)

)(2430ºcos PMO

º30cos24

0MP

24cos30º

1200P

lb 73.57P



c)

)(24 PMO

24

0MP

in 24

1200P

lb 50P

d)

ODMO 30ºsen 240

30ºsen 240

0MOD

30ºsen 240

1200OD

in 5OD

e) Ninguna. A pesar de que todas las fuerzas generan el mismo momento en O, sus

componentes rectangulares son diferentes.

Ejemplo 2.9. Problema 4.41 del Bedford.

El cilindro hidráulico BC ejerce una fuerza

de 2200 lb en la pluma de la grúa en C. La

fuerza es paralela al cilindro. El ángulo es

º40 . ¿Cuál es el momento de la fuerza

sobre A?

Solución.



Se han elegido los siguientes vectores para el cálculo del momento.

Vector posición trazado desde el punto A hacia cualquier punto sobre la línea de

acción de la fuerza BC.

Coordenadas del punto referencial de cálculo del momento: )0,0,0(A

Punto sobre la línea de acción de la fuerza: )0,0,6(B

Vector posición: ir 6

Fuerza.

BCBC uFF uBC: vector unitario de la dirección de la fuerza.

Coordenadas de los puntos B y C: )0,0,6(B

)0,40ºsen 9,º40cos9(C

Vector BC: jiBC 7851.58944.0 . Módulo del vector BC: 8538.5BC

C

40º

x

y



jiji

FBC 18.217414.3368538.5

7851.58944.02200

Momento.

lb.ft 08.13045

018.217414.336

006

kji

M A


12. Como parte de un acto acrobático, un hombre soporta una muchacha que pesa 120 lb y

está sentada en una silla situada en la parte superior de un poste. Si el centro de gravedad de

la chica está en G, y el máximo momento en sentido contrario al de las manecillas del reloj

que el hombre puede ejercer sobre el poste en el punto A es de 250 lb.pie, determine el

ángulo máximo de inclinación, , que no permitirá que la muchacha caiga, esto es, que su

momento en el sentido de las manecillas del reloj con respecto a A no exceda de 250 lb.

pie.

Respuesta: º48.7



13. Determine el momento de cada

fuerza con respecto al perno localizado

en A. Considere: a) lb 40BF y

lb 50CF , b) lb 30BF y lb 45CF

.

Respuesta: a) lb.pie 63.90)( AFBM ,

lb.pie 73.140)( AFCM ; b)

lb.pie 97.67)( AFBM ,

lb.pie 66.126)( AFCM

14. El pescante tiene longitud de 30

pies, peso de 800 lb, y centro de masa

en G. Si el momento máximo que puede

ser desarrollado por el motor en A es

lb.pie 20000M , determine la carga

máxima W, con centro de masa en G´,

que puede ser levantada. Considere

º30 .

15. Una fuerza de 90 N se aplica a la varilla de

control AB como indica la figura. Si la longitud de la

varilla es de 225 mm, determine el momento de la

fuerza respecto al punto B descomponiendo la fuerza

a) en sus componentes a lo largo de AB y en una

dirección perpendicular a AB, b) en sus

componentes horizontal y vertical.

Respuesta: a) –13.02 N.m; b) –13.02 N.m



16. El pedal para un sistema neumático se articula en

B. Si se sabe que º28 , determine el momento de

la fuerza de 16 N alrededor del punto B

descomponiendo la fuerza a) en sus componentes a

lo largo de ABC y en la dirección perpendicular a

ABC, b) en sus componentes horizontal y vertical,

Respuesta: a) 1277 N.m; b) 1277 N.m

17. Una fuerza de 80 N actúa sobre el mango del

cortador de papel en el punto A. Determine el

momento producido por esta fuerza con respecto a la

articulación en O, si º60 . ¿A qué ángulo debe

aplicarse la fuerza para que el momento que produce

con respecto al punto O sea máximo (en el sentido

de las manecillas del reloj? ¿Cuál es ese momento

máximo?

Respuesta: N.m 1.28oM , º6.88 ,

N.m 0.32)( máxoM

18. Una fuerza P de 3 lb se aplica a una palanca que controla la barrena de una barredora de

nieve. Determine el momento de P respecto a A cuando es igual a 30º.

19. La fuerza P se aplica a una palanca que controla la barrena de una barredora de nieve.

Determine la magnitud y la dirección de la fuerza P mínima que tiene un momento de 19.5

lb.in en sentido contrario de las manecillas del reloj respecto a A.

Respuesta: 16.03 lb.in

20. Una fuerza P de 2.9 lb se aplica a la palanca que controla la barrena de una barredora de

nieve. Determine el valor de si el momento de P respecto a A es en sentido contrario al

de las manecillas del reloj y tiene una magnitud de 17 lb.in.

Respuesta: 49.9º ó 59.4º



Figura Problemas 18, 19 y 20.

21. Una fuerza P de 8 lb se aplica a una palanca de cambios. Determine el momento de P

alrededor de B cuando º25 .

Respuesta: –186.6 lb.in.

22. Para la palanca de cambios que se muestra en la figura, determine la magnitud y la

dirección de la fuerza mínima P, que debe tener un momento de 210 lb.in en el sentido de

las manecillas del reloj alrededor de B.

23. Una fuerza P de 11 lb se aplica a una palanca de cambios. Determine el valor de . Si

se sabe que el momento de P alrededor de B es en el sentido de las manecillas del reloj y

que tiene una magnitud de 250 lb.in.

Respuesta: 6.12º ó 33.8º.




24. Se sabe que la biela AB ejerce sobre la manivela

BC una fuerza de 1.5 kN dirigida hacia abajo y hacia la

izquierda a lo largo de la línea central de AB.

Determine el momento de esa fuerza alrededor de C.

Respuesta: 42.0 N.m.

25. La ventanilla trasera de un automóvil se sostiene mediante el amortiguador BC que se

muestra en la figura. Si para levantar la ventanilla se ejerce una fuerza de 125 lb cuya línea

de acción pasa por el soporte de rótula en B, determine el momento de la fuerza alrededor

de A.

Respuesta: 116.2 lb.ft, 128.2 lb.ft.

26. Un malacate AB se usa para tensar

cables a un poste. Si se sabe que la tensión

en el cable BC es de 1040 N y que la

longitud d es de 1.90 m, determine el

momento respecto de D de la fuerza

ejercida por el cable C. Para ello



descomponga en sus componentes

horizontal y vertical la fuerza aplicada en

a) el punto C y b) el punto E.

Respuesta: a) 760 N.m; b) 760 N.m.


27. Se sabe que es necesario aplicar una fuerza que produzca un momento de 960 N.m

alrededor de D para tensar el cable al poste CD. Si d = 2.80 m, determine la tensión que

debe desarrollarse en el cable del malacate AB para crear el momento requerido alrededor

de D.

Respuesta: 1224 N.

28. Se sabe que es necesario aplicar una fuerza que produzca un momento de 960 N. m

alrededor de D para tensar el cable al poste CD. Si la capacidad del malacate AB es de

2400 N, determine el valor mínimo de la distancia d para generar el momento especificado

respecto de D.

29. Un mecánico automotriz usa un tramo de tubo AB

como palanca para tensar la banda de la polea de un

alternador. Cuando el técnico presiona hacia abajo en

A, se ejerce una fuerza de 485 N sobre el alternador en

B. Determine el momento de la fuerza respecto del

perno C si su línea de acción debe pasar por O.

Ejemplo 2.10. Problema 3.3 del Beer-Johnston. Novena Edición. Página 89.

Una fuerza de 300 N se aplica en A como se

muestra en la figura. Determine a) el

momento de la fuerza de 300 N alrededor

de D y b) la magnitud y el sentido de la

fuerza horizontal en C que produce el

mismo momento alrededor de D, c) la

fuerza mínima aplicada en C que produce el

mismo momento alrededor de D. c) y d) la



fuerza mínima aplicada en B que produce el

mismo momento alrededor de D.

Solución.

Enfoque escalar.

a)

0.125ºsen 3002.0º25cos300 DM

N.m 70.41DM

b)

125.0 CD FM

125.070.41 CF

N 60.333CF

c)

dFM CD

22 )125.0()2.0(70.41 CF

N 81.176CF



d)

dFM BD

22 )2.0()2.0(70.41 BF

N 43.147BF

Enfoque vectorial.

a)

FrM DAD /

025ºsen 300º25cos300

02.01.0

kji

M D

N.m )70.41( kM D

b)

CDCD FrM /

00

0125.02.0 70.41

CF

kji

k

kFk C )125.0( 70.41

N 60.333CF

c)



CDCD FrM /

)sen cos()125.02.0(70.41 jFiFjik CC

kFFk CC )cos0.125sen 2.0(70.41

70.41cos0.125sen 2.0 CC FF

cos0.125sen 2.0

70.41

CF

Cálculo de y . º90 .

2.0

125.0tan

º32

º58

º58cos0.1258º5sen 2.0

70.41

CF

N 81.176CF

d)



BBDD FrM /

)sen cos(]2.02.0(70.41 jFiFjik BB

kFFk BB )cos0.2sen 2.0( 70.41

70.41cos2sen 2.0 BB FF

cos2.0sen 2.0

70.41

BF

Cálculo de y . º90 .

2.0

2.0tan

º45

º45

º45cos0.25º4sen 2.0

70.41

BF

N 43.147BF




La grúa puede ser ajustada a cualquier

ángulo º900 y a cualquier extensión

m 50 x . Para una masa suspendida de

120 kg, determine el momento desarrollado

en A como una función de x y . ¿Qué

valores de x y desarrollan el máximo

momento posible en A? Ignore el tamaño de

la polea ubicada en B.

Solución.

El momento de la fuerza en el punto A está dado por:

081.91200

0sen )5.19(cos)5.19(

xx

kji

M A

02.11770

0sen )5.7(cos)5.7(

xx

kji

M A

cos)5.7(2.1177 xM A

El momento máximo ocurre cuando la fuerza (peso) es perpendicular al vector posición (r).

Esta situación se verifica cuando 0

y m 5x . El momento máximo es:

º0cos)5.75(2.1177)( máxAM

N.m 15715)( máxAM




30. Una caja de madera de 80 kg de masa se sostiene

en la posición mostrada en la figura. determine a) el

momento alrededor de E generado por el peso W de la

caja de madera y b) la fuerza mínima aplicada en B

que produce un momento alrededor de E de igual

magnitud pero con sentido opuesto.

Respuesta: a) –196.2 N.m; b) 199.0 N, 59.5º.

31. Un rótulo está suspendido de dos cadenas AE y BF.

Si la tensión en BF es 200N, determine a) el momento

de la fuerza ejercida por la cadena en B respecto a A,

b) la magnitud y el sentido de la fuerza vertical

aplicada en C que produce el mismo momento respecto

de A, c) la fuerza mínima aplicada en C que produce el

mismo momento respecto a A, d) la fuerza mínima

aplicada en B que produce el mismo momento respecto

de A.

Respuesta: a) 386 N; b) 160.1 N, 56.0º; c) 193.2 N; d)

189.5 N, 78.7º.

32. Un atleta se está ejercitando mientras carga en el

tobillo, A, un peso de 5 lb, como indica la figura.

Determine a) el momento del peso respecto a la flexión

de la rodilla en el punto B, b) la magnitud de la fuerza

P muscular que forma un momento de igual magnitud

respecto a B, c) la fuerza mínima aplicada en C que

crea el mismo momento que el peso respecto a B.



33. Se sabe que es necesaria una fuerza vertical de 200

lb para mover, de la tabla mostrada, el clavo que está

en C. Un instante antes de que el clavo comience a

moverse, determine a) el momento alrededor de B de

la fuerza ejercida sobre el clavo, b) la magnitud de la

fuerza P que genera el mismo momento alrededor de B

si º28 y c) la fuerza P mínima que genera el

mismo momento respecto de B.

34. Determine la dirección para º1800 de la

fuerza F de manera que produzca a) el momento

máximo con respecto al punto A, y b) el momento

mínimo con respecto al punto A. Calcule el momento

en cada caso.

35. Determine el momento de la fuerza F con respecto

al punto A como función de . Grafique los resultados

de M (ordenada) vesus (abcisa) para º1800 .

Respuesta: sen 800cos1200 AM


36. Determine la dirección ,

º180º0 de la fuerza F = 40 lb para

que produzca a) el máximo momento

con respecto al punto A, y b) el mínimo

momento con respecto al punto A.

calcule el momento en cada caso.

Respuesta: a) lb.pie 330)( máxAM ,

º0.76 ; b) 0)( mínAM , º166



37. Determine el ángulo a que la

fuerza de 500 N debe actuar en A para

que el momento de esta fuerza con

respecto al punto B sea igual a cero.

38. El cable de remolque ejerce una fuerza de P = 4 kN en el extremo del aguilón de 20 m

de longitud de la grúa. Si º30 , determine la posición x del gancho localizado en A de

modo que esta fuerza produzca un momento máximo con respecto al punto O. ¿Qué valor

tiene este momento?

Respuesta: m 0.24x ; kN.m0.80)( max OM

39. El cable de remolque ejerce una fuerza de P = 4 kN en el extremo del aguilón de 20 m

de longitud de la grúa. Si m 25x , determine la posición del aguilón de modo que esta

fuerza produzca un momento máximo con respecto al punto O. ¿Qué valor tiene este

momento?

Respuesta: º6.33 ; kN.m0.80)( max OM


40. Los segmentos de tubo D para un pozo petrolero son apretados una cantidad prescrita

usando un juego de tenazas T, que agarran el tubo, y un cilindro hidráulico (no se muestra)

para regular la fuerza F aplicada a las tenazas. Esta fuerza actúa a lo largo del cable que

pasa alrededor de la pequeña polea situada en P. Si originalmente el cable es perpendicular

a las tenazas como se muestra, determine la magnitud de la fuerza F que debe ser aplicada

de manera que el momento alrededor del tubo sea de M = 2000 lb.pie. Para mantener este



mismo momento, ¿qué magnitud de F se requiere cuando las tenazas giran 30º hacia la

posición punteada? Nota: El ángulo DAP no es de 90º en esta posición.

Respuesta: F = 1.33 kip; F´ = 1.63 kip


La longitud de la barra AB es 350 mm. Los momentos

ejercidos sobre los puntos B y C por la fuerza vertical F

son kN.m 75.1BM y kN.m 20.4CM .

Determinar la fuerza F y la longitud de la barra AC.

Solución.

kN.m 75.1BM , kN.m 20.4CM



Momento en el punto B.

ABFM B 30ºsen

30ºsen AB

MF B

30ºsen 35.0

)75.1(F

kN 10F

Momento en el punto C.

ACFMC º20cos

º20cosF

MAC C

º20cos10

)20.4(AC

m 447.0AC

mm 447AC


La línea de acción de F está contenida en el plano x y.

El momento de F sobre O es 140 N.m, y el momento de

F sobre A es 280 N.m. ¿Cuáles son las componentes de

F?

Solución.

N.m 140OM , N.m 280AM



Momento en el punto O debido a la fuerza

F.

(5))3( yxO FFM

14053 yx FF

Momento en el punto A debido a la fuerza

F.

(5))4( yxA FFM

80254 yx FF

Al resolver el sistema de ecuaciones:

N 20xF , N 40yF

Fuerza F. Módulo de la fuerza. Dirección de la fuerza.

jiF 4020 N 72.44F º43.63


La fuerza F ejerce un momento antihorario de 2000

lb.ft alrededor de A y un momento en sentido horario

de 1000 lb.ft alrededor de B. ¿Cuáles son F y ?

Solución.

lb.ft 200AM , lb.ft 100BM



Momento en el punto A debido a la fuerza

F.

(9))2( yxA FFM

20092 yx FF

Momento en el punto B debido a la fuerza

F.

(1))7( yxB FFM

1007 yx FF

Al resolver el sistema de ecuaciones:

9231.16xF , 4615.18yF

Fuerza F. Módulo de la fuerza. Dirección de la fuerza.

jiF 4615.189231.61 lb 04.25F º49.47

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