Ecuaciones Diferenciales Resueltas por una sustitución adecuada

reducidas a variables separablespor Manuel Alejandro Vivas Riverol

Resumen

Despúes de terminar de leer éste artículo podrás tener una idea clarade cómo abordar problemas de ecuaciones diferenciales cuando pueden serreducidas a variables separables, además de contar con una metodologíaque te ayude a resolverlas.

EcuacionesDiferencialesResueltas por sustitución

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INTUICIÓNLa intiución es una parte muy importante en las matemáticas y la resolu-ción de problemas. Según Sebastian Thrun, vice presidente de Google y elinventor de los Google glasses, dice que la intuición en la resoluciónde problemas es muy importante para llegar al entendimiento profundo delos mismos.

«La intuición nos perimte realizar una evaluacvión de un pro-blema cuando hay numeros involucrados...»dice Sebastian.

Al final, ver el mundo desde un punto de vista intuitivo (no necesarimenteracional, si no con un sentido de entendimiento sutil), nos ayudará atomar los caminos necesarios para la resolución del problema; ésto enúltima instancia es pensar como un matemático, segun dice Thrun.Por experiencia personal, y seguramente de uds como lectores, sabemos quees mucho más fácil saber cómo abordar un problema si tenemos una visiónintuitiva de cómo se comporta y cómo podemos modelarlo y/o manipular sumodelo para resolverlo.El ejercicio de éste «don» nos permitirá desarrollar ese pensamientomatemático, que nos hgace falta para la comprensiuón profunda de losconceptos o fenómenos físicos.




La mente intuitiva es un don sagrado, y la mente racional esun fiel sirviente. Hemos creado una sociedad que honra alsirviente y ha olvidado el don. Albert Einstein

Figura 1. El área debajo la curva 1

xes facilmente aproximable si nos damos

cuenta de que podemos calcular el área de los rectángulos cuyas alturascoinciden con ella.




Metodología de 4 pasos para resolver ecuacionesdiferenciales reducidas a variables separables

1. Buscamos una sustitución que nos permita transformar a lineal oseparable la ED.

Generalmente cuando tenemos:

dy

dx= f(Ax + By + C) (1)

− utilizaremos la sustitucion:

u = Ax + By + C

Despejamos de la nueva función u, la variable y:

y =u + Ax + C

B

y =u

B+C

B+Ax

B(2)

Y derivamos para obtenerdy

dx=

du

Bdx+A

B(3)

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2. Sustituimos (2) y (3) en (1):

dy

dx= f(Ax + By + C)

du

Bdx+A

B= f(u)

du

Bdx= f(u) − A

Bdu

Bdx=

f(u) ∗B − A

B

3. Separamos variables e integramos:

du

Bdx=

f(u) ∗B − A

Bdu

f(u) ∗B − A= dx

∫du

f(u) ∗B − A= ∫dx + C1

4. Regresamos a las variables originales.

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Ejemplos resueltos de Ecuaciones Diferencialesreducidas a variables separables

En los problemas siguientes resolver las ecuaciones diferenciales reali-zando una sustitución que las reduzca a variables separables.

########################################################

Ejemplo 1. Ejercicios 2.5 Libro Dennis G. Zill (Problema 23)

dy

dx= (x + y + 1)2 (4)

Paso 1. Buscamos una sustitición para transformar en separable la ED.

Si u = x + y + 1,

Entonces, despejando y, tenemos:

y = u − x − 1 (5)

Esto implica:

dy

dx=du

dx− 1 (6)







Paso 2. Sustituimos (5) y (6) en (4):

dy

dx= (x + y + 1)2

du

dx− 1 = u2

du

dx= u2 + 1

Paso 3. Separamos variables e integramos:

du

dx= u2 + 1

du

u2 + 1= dx

De modo que:

∫du

u2 + 1= ∫dx + C

Integrando, utilizamos la formula: ∫ dT

T2 + 1= arcTan(T), por tanto:

∫du

u2 + 1= ∫dx + C

arcTan (u) = x + C











Paso 4. Regrasamos a las variables originales:

si u = x + y + 1, entonces:

arcTan(x + y + 1) = x + C

x + y + 1 = Tan(x + C)

y = Tan(x + C) − x − 1

De modo que la solución es:

y = Tan(x + C) − x − 1

######################################################


dy

dx= Tan2(x + y) (7)


Si u = x + y,











y = u − x (8)

Esto implica:dy

dx=du

dx− 1 (9)


dy

dx= Tan2(x + y)

du

dx− 1 = Tan2(u)

du

dx= Tan2(u) + 1


du

dx= Tan2(u) + 1

du

Tan2(u) + 1= dx

De modo que:

∫du

(Tan(u))2 + 1= ∫dx + C









Utilizamos el hecho de que: Tan(x) =Sen(x)

Cos(x), de modo que:

∫du�

Sen(u)

Cos(u)

�2+ 1

= ∫dx + C

∫du

Sen2(u)

Cos2(u)+ 1

= ∫dx + C

∫du

Sen2(u) + Cos2(u)

Cos2(u)

= ∫dx + C

∫Cos2(u) du

Sen2(u) + Cos2(u)= ∫dx + C

Identidad trigonométrica: Sen2(x) + Cos2(x) = 1, por tanto:

∫Cos2(u) du = ∫dx + C

E integrando, usamos la fórmula: ∫Cos2(x)dx = 1

2x + 1

4Sen(2x)

De modo que:

∫Cos2(u) du = ∫dx + C1

2u +

1

4Sen(2u) = x + C








si u = x + y, entonces:

1

2u +

1

4Sen(2u) = x + C

1

2(x + y) +

1

4Sen(2(x + y)) = x + C

4

2(x + y) +

4

4Sen(2(x + y)) = 4(x + C)

2(x + y) + Sen(2(x + y)) = 4x + 4C

2x + 2y + Sen(2(x + y)) = 4x + 4C

2x − 4x + 2y + Sen(2(x + y)) = 4C

−2x + 2y + Sen(2(x + y)) = C2

De modo que la solución, de manera implicita, es:

−2x + 2y + Sen(2(x + y)) = C2

######################################################


dy

dx= 2 + y − 2x + 3

p(10)










Si u = y − 2x,


y = u + 2x (11)

Esto implica:

dy

dx=du

dx+ 2 (12)


dy

dx= 2 + y − 2x + 3

pdu

dx+ 2 = 2 + u + 3

pdu

dx= 2 + u + 3

p− 2

du

dx= u + 3

pPaso 3. Separamos variables e integramos:

du

dx= u + 3

pdu

u + 3p = dx









De modo que:

∫du

u + 3p = ∫dx + C

Desarrollando:

∫du

u + 3p = ∫dx + C

∫du

(u + 3)1

2

= ∫dx + C

∫(u + 3)−1

2 du = ∫dx + C

Integrando:

∫(u + 3)−1

2 du = ∫dx + C

(u + 3)−1

2+1

−1

2+ 1

= x + C

(u + 3)1

2

1

2

= x + C

2(u + 3)1

2 = x + C











Si u = y − 2x, entonces:

2(y − 2x + 3)1

2 = x + C�2(y − 2x + 3)

1

2

�2

= (x + C)2

4(y − 2x + 3) = (x + C)2

y − 2x + 3 =(x + C)2

4

De modo que la solución, es:

y =(x + C)2

4+ 2x − 3

IMPORTANTE: notar que en éste ejemplo 3 se puede usar las sustitución:u = y − 2x + 3 y el resultado es el mismo.

######################################################


Resolver el PVI:dy

dx= Cos(x + y) (13)

y(0) =π4









Si u = x + y,


y = u − x (14)

Esto implica:

dy

dx=du

dx− 1 (15)


dy

dx= Cos(x + y)

du

dx− 1 = Cos(u)

du

dx= Cos(u) + 1


du

dx= Cos(u) + 1

du

Cos(u) + 1= dx










De modo que:

∫du

Cos(u) + 1= ∫dx + C

Integrando, usamos la fórmula: ∫ dx

1 ± Cos(ax)= ±1

aTan

¡ ax

2

�+ C

∫du

Cos(u) + 1= ∫dx + C

Tan�u2

�= x + C

Utilizando la identidad trigonométrica: Tan¡ α2

�=

1 − Cos(α)Sen(α)

Tan�u2

�= x + C

1 − Cos(u)

Sen(u)= x + C


Si u = x + y, entonces:

1 − Cos(x + y)

Sen(x + y)= x + C

1

Sen(x + y)−Cos(x + y)

Sen(x + y)= x + C










De modo que la solución, es:

Csc(x + y) − Cotan(x + y) = x + C

Ahora, resolviendo el PVI:

y(0) =π4

Csc�0 +

π4

�− Cotan

�0 +

π4

�= 0 + C

Csc�π4

�− Cotan

�π4

�= C

Identidades Trigonométricas:

Csc(α) = 1

Sen(α), esto implica: Csc

¡ π4

�= 1

Sen¡ π4

�Además:

Sen¡ π4

�=

2p2

De modo que:

Csc¡ π4

�=

1

2p2

=2

2p ∗ 2

p2

p =2 2p2

= 2p

-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-

Por otro lado:










Cotan¡ π4

�=

1

Tan¡ π4

�Y:

Tan¡ π4

�=

Sen¡ π4

�Cos

¡ π4

�De modo que:

Cotan¡ π4

�=

Cos¡ π4

�Sen

¡ π4

�Además:

Cos¡ π4

�= Sen

¡ π4

�=

2p2

Por tanto:

Cotan¡ π4

�=

Cos¡ π4

�Sen

¡ π4

� = 2p2

2p2

= 1

Entonces, para encontrar el valor de C:

Csc�π4

�− Cotan

�π4

�= C

2p

− 1 = C

Por tanto, la solución del PVI, es:

Csc(x + y) − Cotan(x + y) = x + 2p

− 1








Las Gráficas para este ejercicios son:

Figura 2. Curvas de nivel para la función: Csc(x + y) − Cotan(x + y) − x = C











Figura 3. Figura en 3D para la función solución: Csc(x + y) − Cotan(x + y) − x =C












Algoritmo de MATHEMATICA

El código de MATHEAMTICA utilizado para resolver y grafiucar éste últimoejercicios es:

Algoritmo 1

Clear["Global`*"](* PVI *)eq1 = y'[x] == Cos[x + y[x]]vi = y0 == Pi/4(* Sustitución adecuada u=x+y *)Print["Sustitución adecuada u=x+y"]h[x_] = x + y[x];deru = h'[x] == uprimaderu2 = Solve[deru, y'[x]]dery = deru2[[1, 1, 2]];

(*Sustituyendo en la ED original lo anterior*)Print["Sustituyendo en la ED original lo anterior"]eq11 = Evaluate[eq1 /. (x + y[x]) -> u];eq111 = Evaluate[eq11 /. y'[x] -> dery]

(* Escribimos la nueva ED *)eq2 = u'[x] == Cos[u[x]] + 1

(*Separamos Variables e integramos*)







Print["Separamos Variables e integramos"]sn2 = Integrate[1/(Cos[u] + 1), u] == x + C

(* Usando Trigonometría *)Print[" Usando Trigonometría "]eq = tan[x/2] == (1 - cos (x))/(sen (x))Print[" tenemos: "]sn3 = Evaluate[sn2[[1]] /. Tan[u/2] -> (1 - Cos[u])/(Sin[u])] == x + Csn4 = Expand[sn3[[1]]] == x + C(* Regresamos a las variables originales *)Print["Regresamos a las variables originales"]eq3 = Evaluate[sn4[[1]] /. u -> x + y[x]] == x + CPrint["Resolviendo el PVI "]eq4 = Evaluate[eq3 /. x -> 0 /. y[0] -> Pi/4]

(* Resultado Final *)Print[" Resultado Final "]eq5 = Evaluate[sn4[[1]] /. u -> x + y[x]] == x + eq4[[1]]eq6 = -Cot[x + y] + Csc[x + y] - x

(* Gráficas *)Plot3D[eq6, {x, -1, 1}, {y, -1, 1}]ContourPlot[eq6, {x, -1, 1}, {y, -1, 1}]











Cómo identificar los distintos tipos de ED's

Las ED's pueden ser identificadas y reducidas a:

1. Variables Separables, como los ejemplos acá vistos

2. Exactas, como las vistas en el artículo: Ecuaciones Diferenciales Exactas,click aquí

3. Homogéneas, como las vistas en el artículo: Ecuacion Diferencial Homogeneade Primer Orden, click aquí

4. Lineales, como las de Bernoulli, como las vistas en el artículo:Ecuaciones Diferenciales de Bernoulli, click aquí

5. Variables Separables, cuando son ED's de Bernoulli

6. Lineales, cuando son ED's de Ricatti.

7. Homogéneas, cuando son de una variante diferente a las del inciso 3.

8. Exactas mediante un factor integrante













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1. TODOS los TIPOS de ED's de primer orden:

a) Separables

b) Lineales

c) Exactas

d) Reducibles a Exactas

e) Por sustitución:

i. Para transformalas en separables

ii. Para resolver cuando son homogéneas

iii. Para transformarlas en homogéneas

iv. Para resolver cuando son homogéneas implícitas








v. Para resolver cuando son de Bernoilli

vi. Para resolver cuando son de Ricatti

2. Sus códigos en SAGE, MATHEMATICA y MATLAB.

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