EJECICIOS Rectas y Circunferencias

8/6/2019 EJECICIOS Rectas y Circunferencias

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GEOMETRIA ANALITICA- GUIA DE EJERCICIOS DE LA RECTA YCIRCUNFERENCIA

PROF. ANNALUQUE

Ejercicios resueltos de la Recta

1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (4. - 1) y tiene unángulo de inclinación de 135º.

SOLUCION:Graficamos

La ecuación de la recta se busca por medio de la siguiente expresión;

Dicha ecuación es conocida como La Ecuación de la recta con un punto

dado. Como conocemos el punto P(4,-1) podemos calcular dicha recta, perotambién es necesario determinar el valor de la pendiente m, la cual calcularemosde la siguiente forma:

m= Tg (135º); donde m= -1

Sustituimos los valores en la expresión y obtenemos;

Y- (-1)= -1(X-4);

Y+1= -X+4;

Y = - X - 3

En forma implícita

X + Y – 3 = 0




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2. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (- 3. I) y es paralela ala recta determinada por los dos puntos (0, - 2) y (5, 2) .

SOLUCION:Como se conoce un punto de la recta requerida, solamente es necesario obtener

su pendiente que, según sabemos, es la misma que la de la recta paralela L1 quepasa por los dos puntos (0. - 2). (5, 2)

La pendiente de L1 es, =

La ecuación de la recta a utilizar

Y- 1= (X+3)

4 x - 5 y + 1 7 = 0

3. Observa las siguientes ecuaciones: x = –3 + 3t y = 2t

Comprobar que, dando a t los valores 0, 1, 3, 4, 5, se obtienen puntos queestán todos sobre una recta ¿Qué método está aplicando para trazar larecta?

Solución:El método a aplicar es el de Tabulación.Es por ello que tabulamos los valores dados de t y sustituyendo en las ecuacionesanteriores obtenemos las coordenadas de cada uno de ellos:Ejemplo:

Para t=0

x = –3 + 3 (0)= -3y = 2 (0)= 0 (-3, 0)

Aplicando el mismo procedimiento para cada uno de los valores dados de t,obtenemos la siguiente información:

t 0 1 3 4 5(x,y) (-3, 0) (0,2) (6,6) (9,8) (12,10)




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Graficamos los valores:

Por medio de la gráfica podemos demostrar que los puntos obtenidos siestán todos sobre una misma recta.

4. Halla la ecuación implícita de la recta:

x = 5 – 3t y = –1 + 2t

Solución: Multiplicamos la primera ecuación por 2 y la segunda por 3, y lassumamos:

2 x = 10 – 6 t

3y = –3 + 6t

___________2 x + 3 y = 7

La ecuación implícita es: 2x+3y -7 = 0




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5. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el siguiente par de puntos(–7, 11), (1, 7)

Solución:Por medio de los puntos dados buscamos el valor de la pendiente aplicando la

formula correspondiente y obtenemos que:m= -1/2

Luego sustituimos los datos en la fórmula de la ecuación de la recta dado dospuntos, y obtenemos:

• Tomamos el punto (1,7)

y - 7= -1/2 (x-1) y-7 = -1/2x +1/2 y= -1/2x +15/2

en forma implícita tenemos: x + 2y – 15 = 0

6. Hallar dos puntos de la recta y = –3 x + 4 y Calcular a partir de ellos supendiente, y comprueba que es la que corresponde a esa ecuación.

Solución:Damos valores arbitrarios a x y obtenemos:

Si x = 0 → y = 4 → punto A (0, 4)Si x = 1 → y = 1 → punto B (1, 1)

Calculando la pendiente con los puntos calculados anteriormente se tiene quem = –3

Efectivamente, podemos comprobar que la pendiente es la de la recta dada y = –3 x + 4.

7. Hallar la distancia de Q (–3, 4) a la siguiente recta: 2 x + 3y = 4

Solución: Aplicando la ecuación de la distancia ya conocida obtenemos que;

(igualamos a cero la ecuación) 2 x + 3 y – 4 = 0 r

d (Q , r ) = (2√13)/13 ≈ 0,55

La distancia entre el punto Q (-3,4) y la ecuación llamada r, es deaproximadamente 0, 55.




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EJERCICIOS PROPUESTOS

Ejercicios de la Recta

1. Dibujar la recta con ecuación y = 4/5X +3.

2. Un punto dista siete unidades del origen del sistema de coordenadas y lapendiente de la recta que lo une al punto A(3,4) es 1/2. Determinar lascoordenadas del punto.

3. Un triángulo equilátero tiene su base en el eje de las x y su vértice en elpunto C(3,5). Determinar las ecuaciones de sus lados.

4. Una diagonal de un cuadrado une los vértices A(1,2) y C(2,5). Obtener lasecuaciones de los lados del cuadrado. NOTA: Tomando en consideraciónque cada lado del cuadrado forma un ángulo de 45° con la diagonal.

5. Trazar la recta de siguiente ecuación implícita : 3 x + 5 y - 15 = 0

6. Hallar el punto de intersección de las rectas:

6 x - 5 y = - 278 x + 7 y = 5

7. Determinar la pendiente de la recta, cuya ecuación es y= mx+5, para quepase por el punto de intersección de las rectas, representadas por lasecuaciones y = -3x- 5, y = 4x + 2.

8. La ordenada al origen de una recta es 7. Determine su ecuación sabiendoque debe ser perpendicular a la recta 4 x + 9 y - 27 = 0 .

9. Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto P(-3, -5) y es paralela a la recta y = - 2/3x + 9

10. Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección delas rectas: 5 x - 3 y = - 2 y 8 x + 7 y = 44 y es perpendicular a la recta que

está definida por la ecuación: y = 2/3x + 1

11. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(4,10) y forma unángulo de 45° con la recta y = 3/2x

12. La diagonal menor de un rombo mide lo mismo que su lado y tiene por extremos los puntos A(–3, –2) y C (1, 2). Halla los vértices B y D y elperímetro del rombo.




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Ejercicios Resueltos de la Circunferencia

1. Encontrar el centro y el radio de la circunferencia representada por laecuación: x 2 + y 2 - 16 x + 2 y + 65 = 0 .

Solución: Aplicando completando trinomios cuadrados perfectos obtenemos:( x² - 16 x + 64 - 64 ) + ( y² + 2 y + 1 - 1 ) + 65 = 0

Al reducir la expresión obtenemos la ecuación de la circunferencia

( x - 8 )² + ( y + 1 )² = 0

Por tanto, el centro y el radio son:

C ( 8 , - 1 ) ; a = 0

2. Determinar la ecuación de una circunferencia que pasa por el puntoP(1,0) , sabiendo que es concéntrica a la representada por la ecuación:x²+ y² - 2 x - 8 y + 13 = 0 .

SOLUCIÓNCompletando los trinomios cuadrados perfectos y reduciendo, tenemos:

( x² - 2 x + 1 - 1 ) + ( y² - 8 y + 16 - 16 ) + 13 = 0

( x - 1 )² + ( y - 4 )²= 4

De la expresión anterior encontramos que el centro es C(1,4) , es decir h = 1 yK = 4.

Como a² =4, entonces a = 2.

El radio a de la circunferencia buscada se calcula como la distancia del punto P alcentro C.

a = P C = ( 1 - 1 )²+ ( 0 - 4 )² = 4

Por tanto, a² =16. Sustituyendo este valor y los de h y k en la fórmula (I),encontramos la ecuación de la circunferencia pedida:

( x - 1 )² + ( y - 4 )²= 16




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3. El diámetro de una circunferencia es el segmento de recta definido por los puntos: A(-8,-2) y B(4,6) . Obtener la ecuación de dichacircunferencia .

SOLUCIÓN

El centro es el punto medio del diámetro , cuyas coordenadas se obtienenaplicando las fórmulas para el punto medio de un segmento, en este caso A B:C (h ,k)

k = 2

h = -2

Por tanto, el centro es C(-2,2). El radio es la distancia del centro C a cualquierade los extremos del diámetro , es decir:

radio = C B ² = ( - 2 - 4 )² + ( 2 - 6 )² = 36 + 16 = 52 ,

por lo tanto, C B ² = 52 = radio

La ecuación de la circunferencia pedida es:

( x + 2 )² + ( y - 2 )² = 52.

4. Halla la ecuación de la circunferencia de centro (–5, 12) y radio 13.Comprueba que pasa por el punto (0, 0).

Solución: Aplicando la formula de la circunferencia obtenemos:

( x + 5)² + ( y – 12)² = 169

x ² + y ² + 10 x – 24 y = 0

Si sustituimos x = 0, y = 0 en la ecuación, esta se verifica.

Por tanto, la circunferencia pasa por (0, 0).

5. Comprobar que la recta 2 y + x = 10 es tangente a la circunferenciax² + y² - 2 x - 4 y = 0 y determinar el punto de tangencia .

SOLUCIÓN: Necesitamos hacer simultáneas las dos ecuaciones. Para esto,despejamos a x de la primera ecuación:

x = 10 - 2 y




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Sustituyendo este valor en la segunda ecuación, desarrollando y simplificando, seobtiene:

(10 - 2 y )² + y² - 2 ( 10 - 2 y ) - 4 y = 0

100 - 40 y + 4 y² + y² - 20 + 4 y - 4 y = 05 y² - 40 y + 80 = 0

y² - 8 y + 16 = 0

Resolviendo para y:Aplicamos ecuación cuadrática y obtenemos que y = 4, sustituimos este valor dey=4 en la ecuación despejada de X:

x = 10 - 2 ( 4 ) = 10 - 8 = 2

De acuerdo al resultado, queda comprobado que la recta es tangente a lacircunferencia , porque sólo tienen un solo punto común T(2,4) , que esprecisamente el de tangencia .

EJERCICIOS PROPUESTOS DE CIRCUNFERENCIA

1. Circunferencia de centro C (–3, 4) y radio 5. Comprueba que pasa por elorigen de coordenadas.

2. Encontrar el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuación es:9 x² + 9 y² - 12 x + 36 y - 104 = 0. Trazar la circunferencia

3. Encontrar el centro y el radio de la circunferencia dada por la ecuación:4 x²+ 4 y² + 4 x + 4 y - 2 = 0.

4. El diámetro de una circunferencia es el segmento de recta definido por lospuntos: A(-8,-2) y B(4,6). Obtener la ecuación de dicha circunferencia.

5. Encontrar los puntos de intersección de las circunferencias representadaspor las ecuaciones:

x² + y² - 2 x + 4 y = 0x² + y² + 2 x + 6 y = 0

6. Probar que el punto P(4,2) pertenece a la circunferenciax² + y² - 2 x + 4y = 20 y obtener la ecuación de la tangente a lacircunferencia en ese punto.

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