ESTADISTICA DESCRIPTIVA

DEFINICION.- ESTADISTICA ES EL CONJUNTO DE METODOS PARA LA RECOPILACION, ORGANIZACIÓN, PRESENTACION, Y ANALISIS DE DATOS NUMERICOS.

ESTADISTICA DESCRIPTIVA.- MANEJO DE LA TOTALIDAD DE ELEMENTOS DE LA POBLACION.

INFERENCIA ESTADISTICA.- OBTENCION DE CONCLUSIONES BASADA EN MUESTRAS EXPERIMENTALES.

POBLACION (N).- COLECCIÓN DE TODA LA POSIBLE INFORMACION QUE CARACTERIZA A UN FENOMENO.

MUESTRA (n).- SUBCONJUNTO REPRESENTATIVO SELECCIONADO DE UNA POBLACION.

MUESTRA ALEATORIA.- MUESTRA OBTENIDA MEDIANTE UNA TECNICA QUE ASEGURA QUE CADA ELEMENTO DE LA POIBLACION TIENE UNA MISMA OPORTUNIDAD DE SER INCLUIDA.

VARIABLE.- ES UNA PROPIEDAD QUE PUEDE VARIAR, Y CUYO CAMBIO ES SUSCEPTIBLE DE MEDICION.

VARIABLE CUALITATIVA O CATEGORICA.- ES UNA VARIABLE DIFICIL DE MEDIR EN FORMA CUANTITATIVA, POR EJEMPLO, UNA ACTITUD.

ANALISIS UNIECUACIONAL.- ES EL ANALISIS DE UNA VARIABLE EN FORMA INDEPENDIENTE.

ANALISIS MULTIECUACIONAL.- ES EL ANALISIS DE DOS O MAS VARIABLES PARA SABER SI SE ENCUENTRAN RELACIONADAS.

RECOPILACION DE DATOS.- GENERALMENTE SE LLEVA A CABO MEDIANTE UNA ENCUESTA HACIENDO USO DE CUESTIONARIOS PREVIAMENTE ESTABLECIDOS.

ORGANIZACIÓN Y PRESENTACION DE DATOS.- SE LLEVA A CABO HACIENDO USO DE TABLAS DE FRECUENCIAS Y DE GRAFICAS

ANALISIS DE DATOS.- ES LA PARTE MEDULAR DE LA ESTADISTICA SE CONOCE COMO ANALISIS ESTADISTICO Y SE LLEVA A CABO MEDIANTE METODOS ESTADISTICOS COMO: MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL, DE SIMETRIA, DE CURTOSIS, Y DE DISPERSION.

1

32

DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS Y SU REPRESENTACION GRAFICA

DEFINICION.- CONJUNTO DE DATOS QUE MUESTREA EL NUMERO DE ARTICULOS EN CADA UNA DE VARIAS CATEGORIAS QUE NO SE TRASLAPAN.

PASOS PARA ELABORAR UNA DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS:

1.- DECISIÓN SOBRE EL NUMERO DE CLASES.

TOMAR COMO BASE LA RAIZ CUADRADA DE N

APLICAR LA REGLA DE STURGESS = 3.3LOG N +1

2.- CALCULAR EL INTERVALO DE CLASE.

INTERVALO DE CLASE = VALOR MAYOR-VALOR MENOR/ NUMERO DE CLASES

3.- CALCULAR EL PUNTO MEDIO DE CLASE.

PUNTO MEDIO= LIMITE INFERIOR MAS LIMITE SUPERIOR / DOS

CONCEPTOS PRINCIPALES:

EJEMPLO DE UNA TABLA DE FRECUENCIAS.

CLASES FRECUENC IAS PUNTO MEDIO

6-8 1 7

9-11 3 10

12-14 8 13

15-17 4 16

CLASE.- CADA CATEGORIA DE AGRUPACION

LIMITE INFERIOR.- EL VALOR DEL LADO IZQUIERDO DE UNA CLASE

LIMITE SUPERIOR.- EL VALOR DE LADO DERECHO DE UNA CLASE

2

32

FRECUENCIAS.- FRECUENCIA DE OCURRENCIAS DE UNA VARIABLE

PUNTO MEDIO.- PROMEDIO DE LOS LÍMITES DE UNA CLASE

INTERVALO DE CLASE.- DISTANCIA ENTRE EL LIMITE INFERIOR Y SUPERIOR DE CLASE

EJERCICIO: LAS CUOTAS ANUALES DE 40 COMPAÑIAS PARA UN SEGURO DE $ 250,000.00 SON:

82 85 86 87 87 89 89 90 91 91 92 93 94 95 95 95 95 95 97 98

99 99 100 100 101 101 103 103 103 104 105 105 106 107 107 107 109 110 110 111

1.- EL NUMERO DE CLASES DEBE SER 6

2.- INTERVALO DE CLASE= 111-82/6=4.8 (5)

3.- CONSTRUCCION COMENZANDO CON EL NUMERO MAS BAJO

FRECUENCIA FRECUENCIA FRECUENCIA

CLASE PUNTO MEDIO FRECUENCIA R ELATIVA ACUMULADA ACUM ULADA RELATIVA

82-86 84 3 .075 3 .075

87-91 89 7 .175 10 .250

92-96 94 8 .200 18 .450

97-101 99 8 .200 26 .650

102-106 104 7 .175 33 .825

107-111 109 7 .175 40 1.000

FRECUENCIA RELATIVA = FRECUENCIA /N (porcentaje de frecuencias en la clase)

N = NUMERO DE ELEMENTOS DE LA POBLACION

N= Numero de elementos de la muestra

FRECUENCIA ACUMULADA: SE INTERPRETA COMO EL NUMERO DE FRECUENCIAS MENOR O IGUAL QUE EL LIMITE SUPERIOR DE LA CLASE.3

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FREC. ACUM. RELATIVA = FRECUENCIA ACUMULADA / N

*EL VALOR DE LA FREC, ACUM. RELAT. SE INTERPRETA COMO SU PERCENTIL. POR EJEMPLO EN LA PRIMERA CLASE , 7.5 (.075 X 100), NOS INDICA QUE SE TRATA DEL 7.5 PERCENTIL (QUE EL 7.5% DE LOS VALORES ES MENOR O IGUAL A 86).

REPRESENTACION GRAFICA DE UNA DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS: POLIGONO

HISTOGRAMA

4

32

OJIVA

5

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MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

SON TRES: LA MEDIA, LA MEDIANA Y LA MODA.

DATOS NO AGRUPADOS.

MEDIA.- ES EL PROMEDIO DE UNA SERIE DE DATOS.

EJEMPLO 1 3 5

X= SUMATORIA DE Xi / N X = 1+3+5/3 = 9/3 = 3

MEDIANA.- ES EL VALOR QUE SE ENCUENTRA EN EL CENTRO DE UNA SERI DE DATOS.

EJEMPLO 1 3 5 X5= 3

MODA.- ES EL VALOR QUE APARECE CON MAS FRECUENCIA EN UNA SERIE DE DATOS.

EJEMPLO 1 1 2 2 2 3 3 4 Xm = 2

MEDIAS ARITMETICAS ESPECIALES:

SON: MEDIA PONDERADA, MEDIA GEOMETRICA, Y MEDIA HARMONICA.

MEDIA PONDERADA Xw.- ESTA MEDIA SE UTILIZA CUANDO SE ASIGNAN DIFERENTES PESOS A LOS DATOS QUE SE PRETENDE PROMEDIAR.

Xw = SUMATORIA DE XiWi / SUMATORIA DE Wi

Xi = VALORES QUE SE DESEA PROMEDIAR Wi = PESOS ASIGNADOS A LOS VALORES

EJEMPLO: EN UNA EMPRESA X HAY:

10 OBREROS GANA N $ 60.00 AL DIA CADA UNO

4 JEFES DE DEPTO GANAN $ 100.00 AL DIA CADA UNO

1 GERENTE GANA $ 200.00 AL DIA

CALCULAR LA MEDIA PONDERADA6

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Wi Xi XiWi

10 60 600

4 100 400

1 200 200

15 1200 (SUMA) Xw= 1200 /15 = 80

EJEMPLO 2: SE ANALIZAN TRES EMPRESAS, A, B Y C CALCULAR EL COSTO M PROMEDIO

EMPRESA COSTO MEDIO PRODUCCION TOTAL

Xi wi XiWi

A 1.50 200 000 300 000

B 1.00 400 000 400 000

C 1.05 800 000 840 000

SUMA 1 400 000 1 540 000

Xw = 1 540 000/ 1 400 000 = 1.10

MEDIA GEOMETRICA G.- ES LA ENESIMA RAIZ DEL PRODUCTO DE N OBSERVACIONES POSITIVAS. ES APROPIADA PARA PROMEDIAR RAZONES, PROPORCIONES, O VELOCIDADES DE CAMBIO.

G = LA RAIZ ENESIMA DE (X1)(X2)(X3)

POR EJEMPLO PARA LA SERIE 2 4 8 CALCULAR LA MEDIA GEOMETRICA

G= RAIZ CUBICA (3) DE 2X4X8 = RAIZ CUBICA DE 32 G=4

EJEMPLO 2: UN INDICE DE DESEMPLEO INDUSTRIAL AUMENTÓ DE 200 A 400 DE 2005 A 2006

Y DE 400 A 600 DE 2008 A 2007 CALCULAR LA MEDIA GEOMETRICA.

G = LA RAIZ CUADRADA DE 100X50 = RAIZ CUADRADA DE 5000 G= 70.71

*DE 200 A 400 = 100 % Y DE 400 A 600 = 50 %

7

32

EJEMPLO 3: SUPONGAMOS QUE LOS INDICES DE PRECIOS DE 2 CIUDADES MEXICANAS DEL 2006 SON: 110 Y 125 ¿CUAL ES LA MEDIA GEOMETRICA?

G = LA RAIZ CUADRADA DE 110 X 125 = 117.26

MEDIA HARMONICA.- SE DEFINE COMO EL RECIPROCO DE LA MEDIA ARITMETICA DE LOS RECIPROCOS DE LAS OBSERVACIONES. ES UTIL EN EL PROCESAMIENTO DE DATOS DE RAZONES QUE TIENEN DIMENSIONES FISICA TALES COMO MILLAS POR GALON, KILOMETROS POR HORA, COSTO POR MILLA, ETC.

H = 1 / SUMATORIA DE 1/ Xi / N H = N / SUMA / Xi

EJEMPLO: DE 2 4 8 CALCULAR LA MEDIA HARMONICA

H = 3 / 1/2 +1/4+1/8 = 3/1 /7/8 = 24/ 7 = 3.43

EJEMPLO 2: 3 UNA PERSONA GASTA UN DÓLAR POR 3 DOCENAS DE NARANJAS EN UNA TIENDA, OTRO DÓLAR POR CUATRO DOCENAS DE NARANJAS EN OTRA TIENDA, Y OTRO DÓLAR MAS POR 5 DOCENAS EN UNA TERCERA TIENDA. CALCULAR LA MEDIA HARMONICA.

H = 3/ 1/1/3 + 1/1/4 + 1/1/5= 3 /3+4+5 = 3/12 = .25 COSTO POR DOCENA 25 CENTAVOS

EJEMPLO 3: 3 OBREROS PUEDEN PRODUCIR RESPECTIVAMENTE: 10, 12 Y 15 UNIDADES DE PRODUCCION POR HORA, SE SABE QUE TRABAJAN UNA JORNADA DE 8 HORAS ¿Cuál ES EL TIEMPO MEDIO REQUERIDO POR UNIDAD DE PRODUCCION?

PRIMERO CALCULEMOS LA MEDIA HARMONICA

H = 3 /1/10+1/12+1/15 = 3/1 /3.75/15 = 12 (UNIDADES DE PRODUCCION POR HORA

RESPUESTA: SI EN 60 MINUTOS SE PRODUCEN 12 UNIDADES, ENTONCES 60/12 = 5 MINUTOS PARA PRODUCIR UNA UNIDAD DE PRODUCCION.

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL PARA DATOS AGRUPADOS EN DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS.

MEDIA ARITMETICA. X = ∑ Xi Fi / N

8

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CLASE Fi Mi FiMi Fa Mi-X (Mi-x)2 Fi (Mi-X)2

82-86 3 84 252 3 - 13.75 189.06 567.18

87-91 7 89 623 10 -8.75 76.56 535.92

92-96 8 94 752 18 -3.75 14.06 112.48

97-101 8 99 792 26 1.25 1.56 12.48

102-106 7 104 728 33 6.25 39.06 273.42

107-111 7 109 763 40 11.25 126.56 885.92

SUMA 40 3910 2387.40

X = 3910/40 = 97.75

Xm = Lm + (D1/ D1+D2) C

Lm = LIMITE INFERIOR DE LA CLASE MODAL (LA QUE TIENE MAS FRECUENCIAS)

D1 = DIFERENCIA ABSOLUTA DE FRCUENCIAS ENTRE LA CLASE MODAL Y LA ANTERIOR

D2 = DIFERENCIA ABSOLUTA DE FRECUENCIAS ENTRE LA CLASE MODAL Y LA POSTERIOR

C = INTERVALO DE CLASE (MODAL)

Xm = 92 + (I/1+0) 5 = 92+5 = 97

MEDIANA X5 = L5 + (N/2 - FP /Fi) C

L5 = LIMITE INFERIOR DE LACLASE MEDIANA (PRIMERA CUYA FREC. ACUM. ES LA PRIMERA EN SPERARA N/2)

FP=FRECUENCIA ACUMULADA DE LA CLASE ANTERIOR A LA CLASE MEDIANA

FI =FRECUENCIAS DE LA CLASE MEDIANA

X5 = 97 + (20-18/8) 5 = 97+1.25= 98.75

DESVIACION ESTANDAR9

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S =√ ∑ Fi (Mi-X)2 /N = √2387.40/40 = √59-69 = 7.73

MEDIDAS DE DISPERSION

DATOS NO AGRUPADOS

DESVIACION ESTANDAR

DEFINICION DE DESVIACION.- UNA DESVIACION ES LA DISTANCIA QUE EXISTE ENTRE UN VALOR DE UNA SERIE DE DATOS Y LA MEDIA ARITMETICA DE DICHA SERIE.

DESVIACION ESTANDAR.- PODEMOS DECIR QUE LA DESVACION ESTANDAR REPRESENTA ALGO ASI COMO EL PROMEDIO DE UNA SERIE DE DESVIACIONES.

S = √ (Xi-X) 2/N

EJEMPLO. 1 3 5 X = 3

DESVIACIONES (Xi-X) 1-3= -2 3-3 = 0 5-3 = 2 (LA SUMA DE LAS DESVACIONES =0)

(-2)2 + (0)2+ (2)2 = 4+0+4 = 8 S = √ 8/3 = 1.63

* PARA DATOS AGRUPADOS VER SECCION ANTERIOR

VARIANZA.- ES LA DESVIACION ESTANDAR ELEVADA AL CUADRADO

EJEMPLO: EN EL CASO ANTERIOR, VARIANZA = 2.66 (1.63 ELEVADO AL CUADRADO)

AMPLITUD, RANGO, O RECORRIDO.- DISTANCIA ENTRE EL VALOR MAS ALTO Y EL MAS BAJO DE UNA SERIE DE DATOS. EJEMPLO 2 3 5 7 9 RANGO = 9-2 = 7

PERCENTILES (PORCENTIL.- UN PERCENTIL ES UN VALOR QUE POR LO MENOS UN P POR CIENTO DE LOS ELEMENTOS TIENEN DICHO VALOR O MENOS (Y AL MENOS UN 100-P POR CIENTO TIENEN ESTE VALOR O MAS).

CALCULO DEL P ÉSIMO PERCENTIL:

10

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1) CALCULAR I I = ( P/100)N2) SI I NO ES ENTERO SE REDONDEA. EL VALOR ENETERO INMEDIATO MAYOR QUE I INDICA

LA POSICON DEL P ÉSIMO PERCENTIL.3) SI I ES ENTERO EL PÉSIMO PERCENTIL ES EL PROMEDIO DE LOS VALORES DE LOS DATOS

UBICADOS EN LOS LUGARES I

EJEMPLO: DETERMINAR EL 85 PERCENTIL:

2210 2255 2350 2380 2390 2420 2440 2450 2550 2630 2825

I = (P/100) N I = ( 85/100) 12 = 1= 10.2 1 = 11 (REDONDEADO)

EN EL LUGAR 11 SE ENCUENTRA EL NUMERO 2630

INTERPRETACION “EL 85 % DE LOS VALORES ES MENOR O IGUAL A 2630”

EJEMPLO 2 DETERMINAR EL 50 PERCENTIL

I = (507100) 12 I = 6

SE SUMA EL VALOR DE 6+7 Y SE PROMEDIA (2390+2420)/ 2 = 240

CUARTIL.- CON FRECUENCIA SE DIVIDEN LOS DATOS EN CUATRO PARTES CADA UNA CON APROXIMADAMENTE LA CUARTA PARTE O EL 25 % DE LOS ELEMENTOS, ASI:

Q1 = PRIMER CUARTIL O 25 % DE LOS ELEMENTOS

Q2 = SEGUNDO CUARTIL O 50 % DE LOS ELEMENTOS

Q3 = TERCER CUARTIL O 75 % DE LOS ELEMENTOS

AMPLITUD, RANGO O RECORRIDO INTERCUARTIL Q3-Q1 EJEMPLO:

Q1 = I = (P/100) N I = (25/100) 12 = 3 Q1 = (2350+2380)/ 2 = 2365

Q3 = I = (P/100) N 1 = (75/100)/12 = Q3 = (2450+2550)/2 = 2500

AMPLITUD INTERCUARTIL Q3-Q1 = 2500-2365 = 135

INTERPRETACION “EL 50% DE LOS VALORES MEDIOS TIENEN UNA VARIACION DE 135”

11

32

AMPLITUD INTERDECIL:

CALCULAR X90 Y X10 Y OBTENER LA DIFERENCIA

EJEMPLO: X9 = (90/100) 12 = 1.2 2255

X1 = (10/100) 12 = 10.8 2630

AMPLITUD INTERDECIL = X90-X10 = 2630-2255 = 375

INTERPRETACION “EL 80 % DE LOS DATOS MEDIOS TIENEN UNA VARIACION DE 375”

MEDIDAS DE ASIMETRIA

DISTRIBUCION SIMETRICA

DISTRIBUCION ASIMETRICAMENTE NEGATIVA

12

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DISTRIBUCION ASIMETRICAMENTE POSITIVA

13

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MEDIDAS DE ASIMETRIA

SKP = COEFICIENTE PEARSONIANO DE ASIMETRIA

SKP = (X-Xm) / S EJEMPLO SKP = (97.75-97)/ 7.73 = .097

ASIMETRICAMENTE POSITIVA

MEDIDAS DE CURTOSIS

DISTRIBUCION LEPTOCURTICA (K = .50)

DISTRIBUCION PLATICURTICA (K = O)

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DISTRIBUCION MESOCURTICA {(0 < K < .5), K = .25 APROX.}

(PARA UNA VARIABLE NORMALMENTE DISTRIBUIDA K = .2630)

COEFICIENTE DE CURTOSIS.- SIRVE PARA MEDIR EL GRADO DE AGUDEZA DE UNA DISTRIBUCION

K = 0.5 (Q3-Q1) / X90-X10

POR EJEMPLO

CON LOS 40 DATOS INICIALES.

I = (75/100) 40 = 30 104+105/2 = 104.5

I = (25/100) 40 = 10 91+92/2 = 91.5

Q3-Q1 = 104.5-91.5 = 13

I = (90/100) 40 = 36 107+109 /2 = 108

1 = (10/100) 40 = 4 87+87 /2 = 87

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X90-X10 = 108-87 = 21

K = .5 (13)/ 21 = .3095 CERCANA A .25, POR LO TANTO ESTA DISTRIBUCION ES MESOCURTICA.

TEOREMA DE CHEBYSHEV

“CUANDO MENOS (1- 1/Z2) DE LOS ELEMENTOS EN CUALQUIER CONJUNTO DE DATOS DEBE ESTAR A MENOS DE K DESVIACIONES ESTANDAR DE SEPARACION DE LA MEDIA, SIENDO Z CUALQUIER VALOR MAYOR QUE 1”

POR EJEMPLO SI Z = 2 [(1-1/22) = .75)}

“CUANDO MENOS EL 75% DEBE ESTAR A MENOS DE Z = 2 DESVIACIONES ESTANDAR DE LA MEDIA

REGLA EMPIRICA

“PARA DATOS CON DISTRIBUCION EN FORMA DE CAMPANA:

EL 28 % DE LOS ELEMENTOS ESTAN A MENOS DE UNA DESVIACION ESTANDAR DE LA MEDIA

EL 95 % DE LOS ELEMENTOS ESTAN A MENOS DE 2 DESVIACIONES ESTANDAR DE LA MEDIA

EL 100 % DE LOS DATOS ESTÁ A MENOS DE 3 DESVIACIONES ESTANDAR DE LA MEDIA”

NOTAS ADICIONALES:

CUANDO SE CALCULA LA MEDIA Y LA DEVIACION ESTANDAR A UNA MUESTRA AL APLICAR LA FORMULA SE RESTA UN DATO AL TOTAL DE OBSERVACIONES. (N-1)

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TEORIA DE LA PROBABILIDAD

CONCEPTOS PRINCIPALES.

INCERTIDUMBRE.- INCERTIDUMBRE ES EL RESULTADO DE UN EXPERIMENTO O PROCESO DE CAMBIO. SI UN EXPERIMENTO CONDUCE A 2 O MAS RESULTADOS POSIBLES, SE DICE QUE LOS RESULTADOS SON INCIERTOS.

EXPERIMENTO.- ES UN PROCESO DE CAMBIO ALEATORIO O ESTOCASTICO, CUYOS RESULTADOS SON INCIERTOS. POR EJEMPLO: LANZAR UNA MONEDA AL AIRE, LANZAR UN DADO, SACAR UNA UNIDAD DE LA PRODUCCION TOTAL, PREGUNTAR A UNA PERSONA ALGO.

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ESPACIO DE MUESTRA (S).- ES UN CONJUNTO CUYOS ELEMENTOS REPRESENTAN LOS RESULTADOS POSIBLES DE UN EXPERIMENTO.

PUNTO DE MUESTRA.- ES CADA ELEMENTO DEL ESPACIO DE MUESTRA.

N(S).- SIGNIFICA EL NUMERO DE ELEMENTOS DE MUESTRA DE UN EXPERIMENTO.

PROBABILIDAD.- ES UNA MEDIDA NUMERICA DE LA POSIBILIDAD DE QUE OCURRA UN EVENTO.

POR EJEMPLO.- EXPERIMENTO: LANZAR UNA MONEDA Y UN DADO.

EXISTEN 12 PUNTOS DE MUESTRA (POSIBLES RESULTADOS) EN EL ESPACIO DE MUESTRA (S).

S = [(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1.6),(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6)]

1 = AGUILA 2 = SOL

(SE PUEDE HACER USO DE UN DIAGRAMA DE ARBOL)

HECHOS O EVENTOS.- UN HECHO ES UN SUBCONJUNTO DE UN ESPACIO DE MUESTRA. ASI SI UN ESPACIO DE MUESTRA CONTIENE N PUNTOS DE MUESTRA, HAY UN TOTAL DE 2N SUBCONJUNTOS O HECHOS.

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POR EJEMPLO SE LANZA AL AIRE UNA MONEDA, ESPACIO DE MUESTRA

[1,2] LOS SUBCONJUNTOS SON 22 = 4

QUE SON [1] [2] [1,2] Y 0

SIMBOLOGIA PRINCIPAL:

E1,E2,E3…..ETC. SIGNIFICA HECHOS

n (E): NUMERO DE PUNTOS DE MUESTRA EN UN CONJUNTO DE HECHOS HECHO SIMPLE O ELEMENTAL.- SOLO CONTIENE UN PUNTO DE MUESTRA

EN S

HECHO COMPUESTO.- CONTIENE MAS DE UN PUNTO DE MUESTRA EN S

POR EJEMPLO: LANZAR UN DADO

S = [1,2,3,4,5,6] HECHOS SIMPLES: CADA ELEMENTO DEL ESPECIO DE MUESTRA (1,2, ETC.)19

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HECHO COMPUESTO E1 = [1,3,5]

CONJUNTO DE HECHOS MUTUAMENTE EXCLUSIVO.- UN CONJUNTO DE HECHOS DEFINIDOS EN EL MISMO ESPACIO DE MUESTRA SE DICE QUE ES MUTUAMENTE EXCLUSIVO, SI NINGUN PUNTO DE MUESTRA ESTÁ CONTENIDO EN MAS DE UNO DE ESTOS HECHOS.

CONJUNTO DE HECHOS COLECTIVAMENTE EXHAUSTIVO.- SE DICE QUE DOS O MAS HECHOS DEFINIDOS SOBRE EL MISMO ESPACIO DE MUESTRA SON COLECTIVAMENTE EXHAUSTIVOS SI SU UNION ES IGUAL AL ESPACIO DE MUESTRA.

E1[1,3,5] E2 = [2,4,6]

TEORIA CLASICA.- SE BASA EN EL SUPUESTO SENCILLO DE RESULTADOS IGUALMENTE PROBABLES DE UN EXPERIMENTO ALEATORIO.

“ SI EL ESPACIO DE MUESTRA TIENE N(S) RESULTADOS IGUALMENTE PROBABLES, Y SI UN HECHO DEFINIDO EN ESTE ESPACIO DE MUESTRA TIENE n(S) ELEMENTOS, LA PROBABILIDAD DE ESTE HECHO REPRESENTADA POR P (E) ES

P ( E ) = n ( E ) / N (S) “

POR EJEMPLO: SE LANZA UN DADO

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A: EL HECHO DE QUE SALGA UN NUMERO IMPAR

B: EL HECHO DE QUE EL NUMERO SEA MAYOR QUE 4

C: EL HECHO DE QUE SALGA UN 1 O UN 2

P(A) = n (A) / N (S) = 3/6 = .5000

P(B) = n (B) / N (S) = 2/6 = .3333

P(C) = n (B) / N (S) = 2/6 = .3333

TEORIA DE LA FRECUENCIA RELATIVA.- “SI UN EXPERIMENTO ES EJECUTADO N VECES EN LAS MISMAS CONDICIONES, Y HAT X RESULTADOS, X< N EN QUE OCURRIO UN HECHO Y ENTONCES UNA ESTIMACION DE LA PROBABILIDAD DE ESE HECHO ES LA RAZON X/N, ADEMAS LA ESTIMACION DE LA PROBABILIDAD DE UN HECHO X/N SE ACERCA SE ACERCA A UN LIMITE, LA VERDADERA POSIBILIDAD DEL HECHO. CUANDO N AUMENTA SIN LIMITE”.

P ( E ) = X/N

POR EJEMPLO SE HACE UN EXPERIMENTO LANZANDO UNA MONEDA 100 VECES, SI A = NUMERO DE CARAS, Y LA CARA APARECIÓ 45 VECES, ENTONCES P(A) = 45/ 100 = .45

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TEORIA RACIONALISTA.- SE BASA EXCLUSIVAMENTE EN ASPECTOS SUBJETIVOS, DEL INVESTIGADOR RELACIONADOS CON SU EXPERIENCIA Y SU CONOCIMIENTO.

TEOREMAS BASICOS DE PROBABILIDAD

TEOREMA 1: SI E ES UN HECHO DEFINIDO EN S, ENTONCES:

0 ≤ P (E) ≤ 1

TEOREMA 2: SEA S, UN ESPACIO DE MUESTRA, ENTONCES:

P (S) = 1

TEOREMA 3: (REGLA DE LA ADICION), SI A Y B SON DOS HECHOS CUALESQUIERA DEFINIDOS EN EL MISMO ESPACIO DE MUESTRA Y SI A ∩ B = O, ENTONCES A Y B SE DICE QUE SON MUTUAMENTE EXCLUSIVOS

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Y LA PROBABILIDAD DE QUE OCURRA A Ó B ES LA SUMA DE SUS PROBABILIDADES, ES DECIR:

P (A U B) = P (A Ó B) = P(A) + P (B) SI A ∩ B = 0

POR EJEMPLO: UNA CAJA CONTIENE 200 PIEZAS IDENTICAS DE MAQUINAS DE LAS CUALES 100 SON PRODUCIDAS POR LA MAQUINA A, 60 POR LA MAQUINA B, Y 40, POR LA MAQUINA C; SI UNA PIEZA ES ESCOGIDA AL AZAR DE LA CAJA LA PROBABILIDAD DE QUE FUÉ PRODUCIDA POR LA MAQUINA A Ó B, ES:

P (A Ó B) = P (A U B) = 100 / 200 + 60 /200 = .8000

DEL MISMO MODO:

P (B Ó C) = P (B U C) = 60 / 200 + 40 / 200 = .5000

TEOREMA 4: SI A Y B SE DEFINEN EN EL MISMO ESPACIO DE MUESTRA Y SI A ∩ B ≠ 0 SE DICE QUE SON HECHOS TRASLAPANTES (NO SON MUTUAMENTE EXCLUYENTES) Y LA PROBABILIDAD DE QUE A Ó B O DE QUE AMBOS HECHOS OCURRA ES LA SUMA DE SUS PROBABILIDADES MENOS LA PROBABILIDAD DE SU OCURRENCIA CONJUNTA. ES DECIR:

P (A Ó B) = P (A U B) = P (A) + P (B) – P (A ∩ B) SI A ∩ B ≠ 0

[P(A U B UC)= P(A)+ (B) + P(C) - P (A ∩ B) – P (A ∩ C ) – P (B ∩ C) + P (A∩B∩C)]

EJEMPLO: CALCULAR LA PROBABILIDAD DE EXTRAER DE UNA BARAJA COMUN UN AS Ó UN TREBOL.

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P (A U B) = P (A) + P (B) - P (A ∩ B) = 4 / 52 + 13 / 52 – 1/ 52 = 16 / 52 = .3077

EJEMPLO: HAY 300 ESTUDIANTES EN X ESCUELA: 100 ESTUDIAN CHINO, 80 JAPONES Y 50 FRANCES; 16 CHINO Y JAPONES, 10 CHINO Y FRANCES,8 JAPONES Y FRANCES Y 1 LOS TRES .CALCULAR LA PROBABILIDAD DE QUE UNO TOMADO AL AZAR HABLE LOS TRES IDIOMAS.

P (A U B UC) = 100/300+80/300+50/300- 16/300 – 10/300- 8/300 +1/300 = .6667

EJERCICIO: UNA EMPRESA HA PERFECCIONADO DOS NUEVOS PRODUCTOS A Y B. ESTOS PRODUCTOS HAN SIDO DISTRIBUIDOS A 20 DE LAS 50 TIENDAS DETALLISTAS DE UNA CIUDAD PARA VENTAS DE PRUEBA. LAS 20 TIENDAS ESCOGIDAS VENDEN A Ó B, Ó AMBOS, 15 VENDEN A Y 12 VENDEN SOLO B. SI SE ESCOGE AL AZAR UNA TIENDA DE LA POBLACION OBTENER LA PROBABILIDAD DE QUE ELLA ESTÉ VENDIENDO A Ó B Ó AMBOS PRODUCTOS.

P (A U B) = 15 / 50 + 12 / 50 – 7 * / 50 = .4000

[* SE OBTIENE n (A ∩ B) = n (A) + n (B) – 20 = 15 +12 – 20 = 7]

TEOREMA 5: SI S, ES CUALQUIER ESPACIO DE MUESTRA Y P, ES CUALQUIER FUNCION DE PROBABILIDAD DEFINIDA EN S, ENTONCES:

P (0) = 0 (REGLA DEL CONJUNTO VACIO)

POR EJEMPLO LA PROBABILIDAD DE OBTENER UN 7 AL ECHAR UN DADO ES DE CERO.

TEOREMA 6: SEA E* EL COMPLEMENTO DE E EN S. ENTONCES

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32

P (E*) = 1-P (E)

AQUÍ E* Y E SON HECHOS COMPLEMENTARIOS PORQUE SON MUTUAMENTE EXCLUSIVOS Y COLECTIVAMENTE EXHAUSTIVOS. ENTONCES:

P (E* U E) = P (S) = 1 Y P (E*) = 1-P (E)

POR EJEMPLO SE LANZAN 2 DADOS AL MISMO TIEMPO ¿Cuál ES LA PROBABILIDAD DE NO OBTENER UN DOBLE?

-PRIMERO OBTENEMOS LA PROBABILIDAD DE SI OBTENER UN DOBLE

E = OBTENER UN DOBLE P (E) = 6 / 36 = 1 / 6 E* = NO OBTENER UN DOBLE AHORA P (E *) = 1- P (E) = 1-1 / 6 = 5/ 6

ESPACIO DE MUESTRA DE DOBLES = [(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)]

PROBABILIDAD CONDICIONAL

EN OCASIONES AL EVALUAR LA PROBABILIDAD DE UN HECHO YA SE CUENTA CON CIERTA INFORMACION. LA DISPONIBILIDAD DE TAL INFORMACION REDUCE EL ESPACIO DE MUESTRA ORIGINAL A UNO DE SUS SUBCONJUNTOS. LAS PROBABILIDADES ASOCIADAS CON HECHOS DEFINIDOS EN LA SUBPOBLACION SE LLAMAN PROBABILIDADES “CONDICIONADAS”.

TEOREMA 8: LA PROBABILIDAD DE QUE UN HECHO A OCURRA, DADO QUE OTRO HECHO B YA HA OCURRIDO SE LLAMA PROBABILIDAD CONDICIONAL DE A DADO B, Y SE EXPRESA ASI:

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P (A / B) = P (A ∩ B) / P (B) SI P (B) > 0

DEL MISMO MODO P (B / A) = P (B ∩ A) / P (A) SI P (A) > 0

POR EJEMPLO: TENEMOS LA INFORMACION SIGUIENTE:

NO

UNIVERSITARIOS (B) UNIVERSITARIOS (C) TOTAL

GERENTES (A) 25 5 30

NO GERENTES (D) 75 195 270

TOTAL 100 200 300

A = EL HECHO DE SER UN EMPLEADO GERENTE

B = EL HECHO DE UN UNIVERSITARIO

P (A) = (30 / 300) = .1000 P (B) = 100 / 300 = .3000

P (A / B) = P (A ∩ B) / P (B) = 25 / 300 / 100 / 300 = .2500

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P ( B / A) = P (B ∩ A) / P (A) = 25/300/30/300 = .8333

PROBABILIDAD CONJUNTA Y PROBABILIDAD MARGINAL

PROBABILIDAD CONJUNTA.- LAS PROBABILIDADES CONJUNTAS SON:

P (A ∩ B) = PROBABILIDAD CONJUNTA DE GERENTE Y UNIVERSITARIO

P (A ∩ C) = PROBABILIDAD CONJUNTA DE GERENTE Y NO UNIVERSITARIO

P (D ∩ B) = PROBABILIDAD CONJUNTA DE NO GERENTE Y UNIVERSITARIO

P (D ∩ C) = PROBABILIDAD CONJUNTA DE NO GERENTE Y NO UNIVERSIT.

PROBABILIDAD MARGINAL: SON LAS SUMAS VERTICALES Y HORIZONTALES ES DECIR:

P (A) = PROBABILIDAD MARGINAL DE GERENTES

P (D) = PROBABILIDAD MARGINAL DE NO GERENTES

P (B) = PROBABILIDAD MARGINAL DE UNIVERSITARIOS

P (C) = PROBABILIDAD MARGINAL DE NO UNIVERSITARIO

DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA ESTADISTICA

SE DICE QUE DOS HECHOS SON DEPENDIENTES SI LA PROBABILIDAD DE UNO ES AFECTADA POR LA OCURRENCIA DEL OTRO;27

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DOS HECHOS SON INDEPENDIENTES SI LA PROBABILIDAD DE OCURRENCIA DE UNO NO ES AFECTADA POR LA OCURRENCIA DEL OTRO.

LA DEPENDENCIA Y LA INDEPENDENCIA ESTADISTICA SE RELACIONAN CON LA NATURALEZA DEL PROCESO DE SELECCIÓN: LOS HECHOS DEPENDIENTES SON GENERADOS POR MUESTREO ALEATORIO SIN REPOSICION Y LOS INDEPENDIENTES POR MUESTREO CON REPOSICION.

POR EJEMPLO: SE EXTRAEN 2 CARTAS:

¿CUAL ES LA PROBABILIDAD DE QUE LA PRIMERA CARTA SEA UN AS, Y QUE LA SEGUNDA TAMBIEN SEA UN AS?

CASO 1: SELECCIÓN SIN REPOSICION:

A = LA PROBABILIDAD DE QUE LA PRIMERA CARTA SEA AS

P (A) = 4 / 52

B = LA PROBABILIDAD DE QUE LA SEGUNDA CARTA SEA AS

ESTE RESULTADO DEPENDE DE, SI LA PRIMERA FUÉ, O NO FUE AS:

SI FUÉ AS LA P (B / A) = 3 / 51

SI NO FUÉ AS LA P (B / A) = 4 / 51

CASO 2: SELECCIÓN CON REPOSICION:

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32

P (A) = 4 / 52 Y LA P (B / A) = 4 / 52

(LA PROBABILIDAD DE ESCOGER UN AS, EN UNA U OTRA EXTRACCION ES LA MISMA).

TEOREMA 9.- (REGLA DE LA MULTIPLICACION PARA MUESTREO SIN REEMPLAZO), SI A Y B SON DOS HECHOS DEPENDIENTES, LA PROBABILIDAD DE LA OCURRENCIA CONJUNTA DE A Y B SE DA POR:

P (A ∩ B) = P (B) P (A / B) DEL MISMO MODO P (B ∩ A) = P (A) P (B/ A)

[NOTA: SI P (A / B) = P (A ∩ B) / P (B) ENTONCES P (A ∩ B) = P (B) P (A / B)]

POR EJEMPLO: EN UNA MUESTRA AL AZAR DE 3 UNIDADES EXTRAIDA SIN REPOSICION DE UN EMBARQUE DE MERCANCIAS, DE LAS CUALES EL 10 % SON DEFECTUOSAS, ¿Cuál ES LA PROBABILIDAD DE QUE LAS 3 UNIDADES DE LA MUESTRA SEAN NO DEFECTUOSAS?

SI LA PRIMERA FUÉ DEFECTUOSA:

P (A ∩ B∩ C) = (90/100) (89/99) (88/98) = .7266

SI LA PRIMERA NO FUE DEFECTUOSA:

P (A ∩ B ∩ C) = (90/100) (90/99) (90/98) = .7513

TEOREMA 10.- (REGLA DE LA MULTIPLICACION PARA MUESTREO CON REEMPLAZO), DOS HECHOS A Y B DEFINIDOS EN EL MISMO ESPACIO DE MUESTRA SE DICE QUE SON INDEPENDIENTES SI LA

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PROBABILIDAD DE LA OCURRENCIA CONJUNTA DE AY B ES IGUAL AL PRODUCTO DE SUS RESPECTIVAS PROBABILIDADES INDIVIDUALES. [ES DECIR A Y B SON HECHOS INDEPENDIENTES SI P (A ∩ B) = P (A) P (B)]

ADEMAS:

P (A / B) = P (A) SI P (A∩ B) = P (A) P (B) CON TAL QUE P (B) ≠ 0

P (B / A) = P (B) SI P(A ∩ B) = P (A) P (B) CON TAL QUE P (A) ≠ 0

POR EJEMPLO: EN UNA MUESTRA AL AZAR DE 3 EXTRAIDA CON REPOSICION DE UN EMBARQUE DE MERCANCIAS, DE LAS CUALES 10 % SON DEFECTUOSAS, ¿CUAL ES LA PROBABILIDAD DE QUE LAS 3 UNIDADES DE LA MUESTRA SEAN NO DEFECTUOSAS?

P (A) = 90 / 100 P (B) = 90 / 100 P (C) = 90 / 100

P (A ∩ B ∩ C) = (.90) (.90) (.90) = .7290

REGLA MULTIPLICADORA GENERAL

P (A ∩ B ∩ C) = P (A) P (B/A) P (C / A ∩ B)

POR EJEMPLO: EN UN LOTE DE 100 ARTICULOS 10 SON DEFECTUOSOS, SI 3 SON EXTRAIDOS SIN REPOSICION ¿CUAL ES LA PROBABILIDAD DE QUE LOS 3 SEAN DEFECTUOSOS?

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P (D1 ∩ D2 ∩ D3) = P (D1) P (D2 / D1) P (D3 / D1 ∩ D2) = (10/100) (9/99) (8/98) =

.000742

TEOREMA 11: SEA Bi (PARA i = 1,2,……n), HECHOS NO NULOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS Y COLECTIVAMENTE EXHAUSTIVOS, Y SEA A UN HECHO DFINIDO EN EL MISMO ESPACIO DE MUESTRA DADO QUE LAS PROBABILIDADES MARGINALES , P (Bi), Y LAS PROBABILIDADES CONDICIONALES P (A / Bi) PARA TODAS LAS i SON CONOCIDAS, LA PROBABILIDAD MARGINAL DE A SE DEFINE COMO:

P (A) = ∑N P (Bi) P (A / Bi)

POR EJEMPLO: UNA PLANTA RECIBE REGULADORES DE VOLTAJE DE DOS DIFERENTES PROVEEDORES. B1 Y B2, EL 75% DE LOS REGULADORES SE COMPRA A B1, Y EL RESTO A B2. EL PORCENTAJE DE REGULADORES DEFECTUOSOS QUE SE RECIBEN DE B1 ES 8%, Y EL DE B2 ES 10%. DETERMINAR LA PROBABILIDAD DE QUE FUNCIONE UN REGULADOR DE VOLTAJE SIN QUE ESTÉ DEFECTUOSO.

“DEFECTUOSO” “NO DEFECTUOSO”

P (A / B1) = .08 P (A / B1) = .92

P (A / B2) = .10 P (A / B2) = .90

P (A) = P (B1) P (A / B1) + P (B2) P (A /B2) = (.75) (.92) + (.25) (.90) = .9150

OTRA FORMA: P (A*) = (.75) (.08) + (.25) (.10) = .085 [1 - .0850 = .9150]

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EL TEOREMA DE BAYES

SI B1, B2, ........Bn SON n EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES, DE LOS CUALES UNO DEBE DE OCURRIR, ES DECIR ∑N P (Bi) = 1, ENTONCES

P (Bj) P (A / Bj)

P (Bj / A) = --------------------------, j = 1,2 ..........n

∑N P (Bi) P (A / Bi)

DEL EJEMPLO ANTERIOR: SUPONGAMOS QUE CUANDO SE RECIBEN LOS REGULADORES DE VOLTAJE SE ALMACENAN DE TAL MANERA QUE NO PUEDE DISTINGUIRSE EL PROVEEDOR. SUPONGAMOS TAMBIEN QUE SE DESEA DETERMINAR LA PROBABILIDAD DE QUE UN REGULADOR EN PARICULAR HAYA SIDO VENDIDO POR EL PROVEEDOR B2 CUANDO SE SABE QUE NO ES DEFECTUOSO. (PROBABILIDAD CONDICIONAL DE B2 DADA LA OCURRENCIA DEL EVENTO A).

P (B2) P (A / B2) (.25) (.90)

P (B2 / A) = -------------------------- = -------------- = .2459

P (A) .9150

EJEMPLO 2: SE HA ESCRITO MUCHO SOBRE LA RELACION ENTRE FUMAR Y CANCER PULMONAR. EN UN CENTRO MEDICO. DE TODOS LOS FUMADORES DE QUIEN SE SUPONÍA QUE TENIAN CANCER, EL 90 % LO TENÍA, MIENTRAS QUE UNICAMENTE EL 5 % DE LOS NO FUMADORES LO PADECÍA. SI LA PROPRCION DE FUMADORES ES DE .45 ¿Cuál ES LA PROBABILIDAD DE QUE UN PACIENTE CON CANCER PULMONAR, SELECCIONADO AL AZAR, SEA FUMADOR? (QUE SEA FUMADOR DADO QUE TIENE CANCER).

B1 = EL PACIENTE ES FUMADOR B2 = EL PACIENTE NO ES FUMADOR

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A = EL PACIENTE TIENE CANCER PULMONAR

P (B1) = .45 P (B2) = .55

P (A /B1) = .90 P (A / B2) = .05

P (B1) P(A / B1) (.45) (.90)

P (B1 / A) = ------------------------------------------ = ------------------------------ = .9364

P (B1) P (A / B1) + P (B2) P (A / B2) (.45) (.90) + (.55) (.05)

PERMUTACIONES Y COMBINACIONES

PERMUTACIONES.- UNA PERMUTACION DE UN NUMERO DE OBJETOS ES UNA DISPOSICION DE ESTOS OBJETOS EN “UN ORDEN DEFINIDO”.

N!

Pn = --------- [! = FACTORIAL EJEMPLO 3! = 3X2X1 = 6)

(N – n)!

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COMBINACIONES.- UNA COMBINACION ES UNA DISPOSICION DE OBJETOS

“SIN RELACION CON SU ORDEN”.

N N!

Cn = = -------------

n n!(N – n)!

POR UN EJEMPLO: UN EQUIPO DE BALONCESTO ESTÁ DE VIAJE, TIENE 10 JUGADORES. EL ENTRENADOR DESEA SABER CUANTOS EQUIPOS DIFERENTES DE 5 JUGADORES PUEDEN DESIGNARSE.

SI NO NOS INTERESAN LAS POSICIONES DE LOS JUGADORES:

C 5 = 10! / 5! (10 – 5)! = 10X9X8X7X6 / 5X4X3X2X1 = 252

SI SI NOS INTERESAN LAS POSICIONES:

P 5 = 10! / 5! = 30 240

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VARIABLES ALEATORIAS

DEFINICION.- UNA VARIABLE ALEATORIA ES UNA DESCRIPCION NUMERICA DEL RESULTADO DE UN EXPERIMENTO.

LAS VARIABLES ALEATORIAS SE DIVIDEN EN DISCRETAS Y CONTINUAS.

VARIABLE ALEATORIA DISCRETA.- ES UNA VARIABLE ALEATORIA QUE PUEDE ASUMIR UNA CANTIDAD FINITA DE VALORES O UNA SUCESION INFINITA DE VALORES (ENTEROS).

“DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD”

LA DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA DESCRIBE COMO SE DISTRIBUYEN LAS PROBABILIDADES DE LOS DIFERENTES VALORES DE LA VARIABLE ALEATORIA.

PARA UNA VARIABLE ALEATORIA DOSCRETA x, LA DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD SE DESCRIBE MEDIANTE UNA “FUNCION DE PROBABILIDAD”, f (x), ELLA DEFINE LA PROBABILIDAD DE CADA VALOR DE LA VARIABLE ALEATORIA.

POR EJEMPLO: DI CARLO MOTORS DURANTE LOS ULTIMOS 300 DIAS DE OPERACIÓN, NO VENDIÓ NADA EN 54 DIAS, VENDIÓ UN AUTO EN 117 DIAS, 2 EN 72, 3 EN 42, 4 EN 12, Y VENDIÓ 5 AUTOS EN 3 DIAS.

DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD DE DI CARLO MOTORS

P (X= x) P (X≤x)

x f (x) F (x) x f(x) x-µ (x-µ)2 f (x) (x-µ)2 E (x) = MEDIA DE VAR. ALE.

0 .18 .18 .00 -1.5 2.25 .4050 E (X) = µ = ∑ x f(x)

1 .39 .57 .39 -0.5 0.25 .0975

2 .24 .81 .48 0.50 0.25 .0600 Var (x) = VARIANZA DE V.A.

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3 .14 .95 .42 1.50 2.25 .3150 Var (x) = S2= ∑ f (x) (x– µ)2

4 .04 .99 .16 2.50 6.25 .2500 S = √S2 (DESV. EST, DE V.A.)

5 .01 1.00 .05 3.50 12.25 .1225

E(x)= 1.5 Var(x)= 1.2500 S = 1.118

TEORIAS DE LA PROBABILIDAD

TEORIA CLASICA.- SE BASA EN EL SUPUESTO SENCILLO DE RESULTADOS IGUALMENTE PROBABLES DE UN EXPERIMENTO ALEATORIO.

“ SI EL ESPACIO DE MUESTRA TIENE N(S) RESULTADOS IGUALMENTE PROBABLES, Y SI UN HECHO DEFINIDO EN ESTE ESPACIO DE MUESTRA TIENE n(S) ELEMENTOS, LA PROBABILIDAD DE ESTE HECHO REPRESENTADA POR P (E) ES

P ( E ) = n ( E ) / N (S) “

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POR EJEMPLO: SE LANZA UN DADO

A: EL HECHO DE QUE SALGA UN NUMERO IMPAR

B: EL HECHO DE QUE EL NUMERO SEA MAYOR QUE 4

C: EL HECHO DE QUE SALGA UN 1 O UN 2

P(A) = n (A) / N (S) = 3/6 = .5000

P(B) = n (B) / N (S) = 2/6 = .3333

P(C) = n (B) / N (S) = 2/6 = .3333

TEORIA DE LA FRECUENCIA RELATIVA.- “SI UN EXPERIMENTO ES EJECUTADO N VECES EN LAS MISMAS CONDICIONES, Y HAT X RESULTADOS, X< N EN QUE OCURRIO UN HECHO Y ENTONCES UNA ESTIMACION DE LA PROBABILIDAD DE ESE HECHO ES LA RAZON X/N, ADEMAS LA ESTIMACION DE LA PROBABILIDAD DE UN HECHO X/N SE ACERCA SE ACERCA A UN LIMITE, LA VERDADERA POSIBILIDAD DEL HECHO. CUANDO N AUMENTA SIN LIMITE”.

P ( E ) = X/N

POR EJEMPLO SE HACE UN EXPERIMENTO LANZANDO UNA MONEDA 100 VECES, SI A = NUMERO DE CARAS, Y LA CARA APARECIÓ 45 VECES, ENTONCES P(A) = 45/ 100 = .45

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TEORIA RACIONALISTA.- SE BASA EXCLUSIVAMENTE EN ASPECTOS SUBJETIVOS, DEL INVESTIGADOR RELACIONADOS CON SU EXPERIENCIA Y SU CONOCIMIENTO.

DISTRIBUCIONES ESPECIALES DE PROBABILIDAD

MODELO BERNOULLI.- SE APLICA A UNA VARIABLE QUE SOLO PUEDE ASUMIR 2 VALORES, ES APROPIADO CUANDO SE BUSCA UN EXPERIMENTO QUE RESULTARÍA EN UN HECHO E, O SU OPUESTO E, TAL COMO: ÉXITO O FRACASO, HOMBRE O MUJER, DEFECTUOSO O NO DEFECTUOSO ETC.

xi f (xi) ∑ xi f (xi) = p

1 p ∑ xi2 f xi) = E (x2) = p

0 q

POR LO TANTO, TENEMOS PARA LA VARIABLE BERNOULLI:

E (x) = M = p

V (x) = S2 = E (x2) – M2 = p –p2 = p (1-p) = pq

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32

POR EJEMPLO: EL 10 % DE LA PRODUCCION DE UNA EMPRESA ES DEFECTIUOSA Y EL 90% NO ES DEFECTUOSA.

ENTONCES EL PROCESO BERNOULLI ES EL INDICADO, CON UNA PROBABILIDAD DE ÉXITO P (UNIDADES DEFECTUOSAS) DE .10, Y UNA PROBABILIDAD DE FRACASO DE .90.

POR LO TANTO: LA ESPERANZA MATEMATICA (MEDIA) M = .10

LA VARIANZA S2 = p q = (.10) (.90) = .09

EL MODELO BINOMIAL: UN PROCESO BINOMIAL PUEDE CONSIDERARSE COMO LA SUMA DE N VARIABLES BERNOULLI INDEPENDIENTES. MÁS PRECISAMENTE, UNA VARIABLE BINOMIAL ES GENERADA CON LOS TRES POSTULADOS SIGUIENTES:

1) DEBE HABER UN NÚMERO FIJO DE PRUEBAS REPETIDAS ESTADISTICAMENTE INDEPENDIENTES.

2) CADA PRUEBA DEBE SER UNA VARIABLE BERNOULLI, ES DECIR PUEDE RESULTAR EN UN ÉXITO O UN FRACASO.

3) TODAS LAS PRUEBAS DEBEN TENER IDENTICAS PROBABILIDADES DE ÉXITO P, DE MODO QUE LA PROBABILIDAD DE FRACASO PARA CADA PRUEBA PERMANEZCA EN UN VALOR CONSTANTE DE q QUE ES IGUAL A 1-p.

ESTE MODELO ES UTIL PARA CONTESTAR A PREGUNTAS COMO: SI EFECTUAMOS N VECES UN EXPERIMENTOEN LAS CONDICIONES ESPECIFICADAS ¿Cuál ES LA PROBABILIDAD DE OBTENER EXACTAMENTE x EXITOS?

GENERALIZANDO: “LA MASA DE PROBABILIDAD BINOMIAL” ES LA PROBABILIDAD DE OBTENER EXACTAMENTE x EXITOS EN n PRUEBAS INDEPENDIENTES DE UN EXPERIMENTO, CON P COMO LA PROBABILIDAD DE ÉXITO PARA CADA PRUEBA Y SE DÁ POR LA EXPRESION SIGUIENTE:

n

b (x; n, p) = px q n-x POR EJEMPLO: EN UN LOTE DE 12 CINESCOPIOS DE

x TV. 3 SON DEFECTUOSOS. SI UNA MUESTRA AL

AL AZAR DE 3 ES EXTRAIDA CON REPOSICION

OBTENER: 1) P (X = 1) 2) P (X = 0)

3 3X2X1 6

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P (X =1)= b(1; 3, .25) = (.25) (.75) 2 = --------- = ----- = 3 =(3) (.25) (.75)2= .4219

1 2X1X1 2

3 3X2X1

P (X = 0)= b (0; 3, .25) = (.25) 0 (.75) 3= -------- = (1) (.25) (.4219) = .1055

0 3X2X1

* p = 3/12 = .25 0! = 1 (.25) 0 = 1

FUNCION DE DISTRIBUCION ACUMULATIVA

LA FUNCION DE DISTRIBUCION ACUMULATIVA DE UNA VARIABLE BINOMIAL, COMO LA DE CUALQUIER VARIABLE ALEATORIA DISCRETA, DÁ LA PROBABILIDAD DE OBTENER r EXITOS O MENOS EN n PRUEBAS CON r ≤ n Y SE OBTIENE SUMANDO LAS PROBABILIDADES INDIVIDUALES PARA TODOS LOS VALORES BINOMIALES IGUALES O MENORES QUE r, es DECIR :

B (r; n, p) = P (X ≤ r) = b (o; n, p) + b (1; n, p) +………+ b (r; n, p) = ∑ r b (x; n, p)

POR EJEMPLO: UNA MONEDA ES ECHADA 10 VECES, ¿Cuál ES LA PROBABILIDAD DE OBTENER 7 O MENOS ANVERSOS?

P (X ≤ 7) = B (7; 10, .50) = .94531

¿Cuál ES LA PROBABILIDAD DE OBTENER 8 O MAS ANVERSOS?

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P (X ≥ 8) = 1 – P (X ≤ 7) = 1 - .94531 = .05469

* p = ½ = .50 n = 10 LOS RESULTADOS SON OBTENIDOS DE LA TABLA

EJEMPLO 2: SE SABE QUE EL 90 % DE LOS TRABAJADORES DE CIERTA CIUDAD INDUSTRIAL SON MIEMBROS DE UN SINDICATO. EN UN ESTUDIO DE LA SITUACION LABORAL DE LA CIUDAD UN PROFESIONISTA ESCOGE AL AZAR UNA MUESTRA DE 15 OBREROS PARA ENTREVISTAS ¿CUAL ES LA PROBABILIDAD DE QUE LA MUESTRA CONTENGA 12 O MENOS MIEMBROS DEL SINDICATO?

n = 15 p = .90 P (X ≤ 12) = ∑ 12 b (x; 15, .90) (en la tabla p llega hasta .50)

SOLUCION: OBTENER 12 O MENOS SINDICALIZADOS EQUIVALE A OBTENER 3 O MAS NO SINDICALIZADOS. ES DECIR:

∑ 12 b (x; 15, .90) = ∑ 15 b (x; 15, .10)

p (Y ≥ 3) = 1 – P (Y ≤ 2) = 1 - ∑ 2 b (x; 15, .10) = 1 - .81594 = .18406

MODELO HIPERGEOMETRICO

SE APLICA AL MODELO SIN REPOSICION DE UNA POBLACION FINITA CUYOS ELEMENTOS PUEDEN SER CLASIFICADOS EN 2 CATEGORIAS.

CONSIDEREMOS UNA POBLACION DE N UNIDADES K DE LAS CUALES POSEEN CIERTAS CARACTERISTICAS Y N – K DE LAS CUALES NO POSEEN TAL CARACTERISTICA (K SON EXITOS Y N – K SON FRACASOS).

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LO DESEADO ES OBTENER LA PROBABILIDAD DE OBTENER EXACTAMENTE x UNIDADES DEL TIPO K O EXITOS EN UNA MUESTRA AL AZAR DE TAMAÑO n.

EL NUMERO DE EXITOS EN ESTA SITUACION SE LLAMA “VARIABLE HIPERGEOMETRICA” Y ES GENERADA CON TRES NUMEROS FIJOS: N, n Y K

LA FUNCION MASA DE PROBABILIDAD DE UNA VARIABLE HIPERGEOMETRICA ES:

⌠ K ⌠ N - K ⌠ 6 ⌠ 4

x ⌡ n – x ⌡ 2 ⌡ 2 ⌡ [ 6! / 4! 2!] [ 4! / 2! 2!]

P (X = x) = h (x; N, n, K) = --------------------- = -------------- = ---------------------------

⌠ N ⌠10 [10! / 6! 4!]

n ⌡ 4 ⌡

EJEMPLO: SE EXTRAEN AL AZAR JUNTAS 4 FICHAS DE UNA URNA QUE CONTIENE 6 FICHAS NEGRAS Y 4 BLANCAS ¿Cuál ES LA PROBABILIDAD DE QUE 2 FICHAS NEGRAS SEAN EXTRAIDAS?

P (X = 2) = .428571 N = 10 K = 6 n = 4 x = 2

FUNCION DE DISTRIBUCION ACUMULADA

P (X ≤ x) = H (r; N, n, K) = ∑ r h (x; N, n, K)

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P (X ≤ 2) = H (2; 10, 4, 6) = .547619 (VALOR OBTENIDO DE LA TABLA)

EJEMPLO 2: SI SE EXTRAEN 5 FICHAS SIN REPOSICION DE LA MISMA URNA ¿Cuál ES LA PROBABILIDAD DE QUE 4 O MAS SEAN NEGRAS?

P (X ≥ 4) = 1 – P(X ≤ 3) = 1 – H (3; 10, 5, 6) = 1 - .738095 = .261905

* PARA BUSCAR EN EL CUADRO SE ORDENAN 3; 10.6.5

MODELO DE DISTRIBUCION POISSON

MUCHOS HECHOS NO OCURREN COMO RESULTADO DE UN NUMERO DEFINIDO DE PRUEBAS DE UN EXPERIMENTO, SINO EN PUNTOS DE TIEMPO, ESPACIO O VOLUMEN AL AZAR. EL HECHO PUEDE SER EL NUMERO DE OCURRENCIAS DE ACCIDENTES, ERRORES, O DESCOMPOSTURAS QUE OCURREN AL AZAR, LA DEMANDA DE SERVICIOS POR UNIDAD DE TIEMPO DE UN CAJERO ETC.

µ x ℮ -µ EL MODELO POISSON ES: P (X = x) = f (x) = ------------ X! µ = promedio de ocurrencias por unidad especificad ℮ = 2.71828

POR EJEMPLO: SI µ = 4 LLAMADAS POR MINUTO ¿Cuál ES LA PROBABILIDAD DE QUE OCURRAN 2 LLAMADAS LOS 2 MINUTOS SIGUIENTES?

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P (X =2) = f (2) = 8 2 (2.71828) -2 / 2! = 64 X .00034 / 2 = .01088

DISTRIBUCION ACUMULATIVA POISSON

P (X ≤ x) = F (x) = Pt (r; µ) = ∑ r Pt (x; µ)

POR EJEMPLO: ¿CUAL ES LA PROBABILIDAD DE QUE NO OCURRAN MAS DE 2 LLAMADAS DURANTE LOS 2 MINUTOS SIGUIENTES?

P (X≤ 2) = Pt (2; 8) = .01375 (OBTENIDA DE LA TABLA)

¿Cuál ES LA PROBABILIDAD DE QUE NO SE PRODUZCA NINGUNA LLAMADA EN CUALQUIER INTERVALO DE 30 SEGUNDOS?

µ = 4/2 LLAMADAS DE EN 30 SEGUNDOS (2)

P (X = 0) = .13534 (OBTENIDO DE LA TABLA POISSON NO ACUMULADA)

EJEMPLO 3: UN FABRICANTE DE TEJIDOS AFIRMA QUE EL PROMEDIO DE DEFECTOS EN SUS PRODUCTOS ES DE 1 POR 2 YARDAS CUADRADAS, UNA YARDA DE MUESTRA DE SU PRODUCTO MUESTRA 3 DEFECTOS , ¿Cuál ES LA PROBABILIDAD DE OBTENER MAS DE TRES DEFECTOS EN CUALQUIER YARDA CUADRADA?

P (X > 3) = 1 – P (X ≤ 3) = 1 – Pt (2; .5) = 1 - .98561 = .01439 (µ = .5 POR YARDA CUADRADA)

EJEMPLO 4: CIERTA CIUDAD TIENE EN PROMEDIO 12 MUERTES DE TRÁFICO CADA 3 MESES Cuál ES LA PROBABILIDAD DE QUE HAYA EN CUALQUIER MES: 4 MUERTES; MAS DE 4 MUERTES

P (x = 4) = Pt (4; 4) = Pt (4: 4) – PT (3; 4) = .62884 - .43347 = .19537

P (X > 4) = 1 – P (X ≤ 4) = 1 – Pt (4; 4) = 1 - .62884 = .37116

VARIABLES ALEATORIA CONTINUAS

CUANDO UNA VARIABLE ALEATORIA X ES DEFINIDA EN UN ESPACIO DE MUESTRA CONTINUO, TAL COMO TIEMPO LONGITUD O PESO X PUEDE SER DISCRETA O CONTINUA, SI X ES CONTÍNUA, TIENE UN NUMERO INCONTABLE DE VALORES POSIBLE.

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LA FUNCION DE PROBABILIDADES DE X, F (x) ES REPRESENTADA COMO UNA FUNCION DE DENSIDAD DE PROBABILIDADES FDP (O DENSIDAD DE DISTRIBUCION).

LA FUNCION DENSIDAD ES UNA MEDIDA DE LA CONCENTRACION DE PROBABILIDAD DENTRO DE UN INTERVALO, ESTA PROBABILIDAD PUEDE INTERPRETARSE COMO UNA AREA,(UNA INTEGRAL) BAJO LA CURVA DE F (x). LLAMADA CURVA DE DENSIDAD, LIMITADA POR LAS ORDENADAS EN LOS PUNTOS FINALES DE UN INTERVALO. MAS PRECISAMENTE “SI X ES UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA LA PROBABILIDAD DE QUE ASUMA UN VALOR EN UN INTERVALO a y b, DONDE a<b PUEDE REPRESENTARSE POR P (a< X< b), Y ES IGUAL AL AREA BAJO LA CURVA DE F (x) ENCERRADA POR ORDENADAS EN a Y b.”

COMO EN EL CASO DISCRETO LA PROBABILIDAD DE QUE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA ASUMA CUALQUIER VALOR MENOR O IGUAL A UN VALOR DADO DE X, SE LLAMA FUNCION DE DISTRIBUCION ACUMULADA FDA REPRESENTADA ASI: F (x) = P(X≤x).f (x) PUEDE INTERPRETARSE COMO LA VELOCIDAD DE CAMBIO DE F (x). SI a<b TENEMOS:

P (a < X < b) = F (b) – F(a)

SI - ∞ < X< ∞ F (- ∞) = P (X < -∞)

F (∞) = 1 (ESTO INDICA QUE EL AREA BAJO UNA CURVA DE DENSIDAD ES 1, LA PROBABILIDAD TOTAL DE LA DISTRIBUCION DE X)

-

POR EJEMPLO: F (x) = 0 SI x < 0

x2 SI 0 ≤ x ≤1

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1 SI x > 1

POR LO TANTO:

P (X ≤ 0.5) = F (0.5) = (0.5)2 = 0.25

P (0.5 ≤ X ≤ 0.8) = F (0.8) – F (0.5) - (0.8)2 = 0.64 – O.25 = 0.39

P (0.5 ≤ X ≤ 1.5) = F (1.5) – F (0.5) = 1 – (0.5)2 = 1 -.25 = 0.75

P (X ≥ 1.5) = 1 – P(X ≤ 0.5) = 1- F (0.5)2 = 1 – 0.25 = 0.75

P (X > 0.9) = 1 – P (X ≤ 0.9) = 1 – (0.9)2 = 1 – 0.81 = 0.19

EJEMPLO 2: F (x) = 0 SI t <0

t /12 SI 0 ≤ t ≤ 12

1 SI t > 12

POR LO TANTO:

P (T ≤ 6) = F (6) = 6 / 12 = 0.50

P (- ∞ ≤ T ≤ 3.75) = F (3.75) – F (-∞) = 3.75 / 12 – 0 = 0.3125

P (T ≥ 15) = 1 – P T ≤ 14) = 1 – F (14) = 1-1 = 0

P (3 ≤ T ≤ 4.5) = F (4.5)-F(3) = 4.5/12 – 3/12 = 0.375 – 0.250 = 0.125

P (T > 9.45) = 1 – P (X ≤ 9.45) = 1- 9.45/12 = 1- 0.7875 = .2125

P (T = ∏) = P (T = 3.14) = P (T ≤ 3.14) – P (T ≤ 2.14) = 3.14/12 – 2.14/12 = 0.2618 - 0-1784 = .08333

EJEMPLO 3 F (x) = o SI w ≤ - 3

(w+ 3)2 /18 SI - 3 < w ≤ 0

1 – {(3 –w)2/18} SI 0 ≤ w < 3

1 SI w ≥ 3

OBTENER: P (W ≤ - 1), P (W ≤ 1.5), P (- 1.5 ≤ W ≤ 1.5), P (| W |≥ 1.5)

P (W ≤ - 1) = F (- 1) = (- 1+3)2/18 = 4 / 18 = 0.2222

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P (W ≤ 1.5 = F (1.5) = 1-{(3 – 1.5)2 /18 = 1 – (2.25/18) = 0.875

P (- 1.5 ≤ w ≤ 1.5) = F (1.5) – F(- 1.5) = 0.875 – {(- 1.5+3)2/18} = 0.875 – 0.125 = 0.750

P (|W|≥ 1.5) = P (W > 1.5 U W < - 1.5) = {1 – P (W ≤ 1.5)} + P (W <- 1.5) = 1 – F (1.5) + F (- 1.5)

(1 -0.875)+ 0.125 = .125 + .125 = 0.250

APENDICE MATEMATICO

REGLAS DE DIFERENCIACION:

1.- LA REGLA DE UNA CONSTANTE ES CERO

2.- REGLA DE LA FUNCION POTENCIAL:

Y = f (x)= xn LA DERIVADA ES nxn -1 EJEMPLO Y = x3 dy /dx = 3 x2

3.- REGLA EXTENSIVA DE LA FUNCION POTENCIAL.- CUANDO APARECE UNA CONSTANTE MULTIPLICATIVA C EN LA FUNCION POTENCIAL DE FORMA QUE f (x) = cxn SU DERIVADA ES

dy/dx = cnxn-1 POR EJEMPLO: y = 4 x3 dy / dx = 12x2

4.- REGLAS PARA DOS O MAS FUNCIONES DE LA MISMA VARIABLE.

LA DERIVADA DE UNA SUMA DE 2 FUNCIONES, ES LA SUMA DE LAS DERIVADAS DE LAS 2 FUNCIONES. POR EJEMPLO: Y = 7X4 + 2X3 -3X +37 dy/dx = 28x3 + 6x2 – 3 {nota: x0 = 1]

REGLAS DE INTEGRACION

1.- REGLA DE LA POTENCIA: ∫ xn dx = (1 / n+1) xn+1 +c

POR EJEMPLO: Hallar ∫ x3 dx = (1 /3+1) x3+1 +c = 1/4 x4 +c

Ejemplo 2: ∫ x dx = (1 / 1+1) x1+1 = 1/2 x2 +c

2.- REGLA EXPONENCIAL.- ∫ ex dx = ex +c

3.- INTEGRAL DE UNA SUMA: LA INTEGRAL DE UNA SUMA DE UN NÚMERO FINITO DE FUNCIONES ES LA SUMA DE LAS INTEGRALES DE ESAS FUNCIONES. ∫ {f (x)+g (x)} dx = ∫ f(x) d x + ∫g(x) dx

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EJEMPLO: ∫ (x3+x+1) dx = ∫ x3 dx + ∫ x dx + ∫1dx = 1/4x4 + 1/2x2 + x + c

INTEGRALES DEFINIDAS

SI PARA UNA INTEGRAL INDEFINIDA DADA DE LA FUNCION CONTINIA f (X) ∫ f (x) dx = F (x) +c

ELEGIMOS DOS VALORES DE x EN EL DOMINIO, POR EJEMPLO a y b (a < b), LOS SUSTITUIMOS SUCESIVAMENTE EN EL SEGUNDO MIEMBRO DE LA ECUACION Y FORMAMOS LA DIFERENCIA

{F (b) + c}} – {F (a) +c} = F (b) – f (a)

OBTENEMOS UN VALOR NUMERICO ESPECIFICO LIBRE TANTO DE LA VARIABLE x COMO DE LA CONSTANTE ARBRITARIA c. ESTE VALOR SE DENOMINA “I NTEGRAL DEFINIDA DE f (x) DESDE a HASTA b”. LA INTEGRAL DEFINIDA ES SIMBOLIZADA EN LA FORMA SIGUIENTE:

∫ba f (x) dx = F (x)|b

a = F (b) – F (a) POR EJEMPLO: ∫51 3 x2 dx PRIMERO SE OBTIENE LA INTEGRAL

INDEFINIDA 3 ∫ x2 dx = (3) 1/3 x3+ c = x3 +c ∫51 3x2dx = x3 |5

1 = (5)3 – (1)3 = 124

LA INTEGRAL DEFINIDA COMO UNA AREA BAJO LA CURVA

TODA INTEGRAL DEFINIDA TIENE UN VALOR DEFINIDO, ESTE VALOR PUEDE INTERPRETARSE GEOGRAFICAMENTE COMO EL AREA DELIMITADA POR UNA CURVA DADA. UN GRAFICO ES UNA FUNCION CONTINUA y = f x) , SI QUEREMOS MEDIR UNA AREA DETERMINADA ENCERRADA POR LA CURVA Y EL EJE DE LA X ENTRE DOS PUNTOS a y b DEL DOMINIO HACEMOS USO DE LO ANTERIORMENTE ESCRITO.

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DIFERENCIA ENTRE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Y CONTINUAS

PARA UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA PODEMOS CALCULAR LA PROBABILIDAD DE QUE UNA VARIABLE ALEATORIA TOME UN VALOR DETERMINADO. PARA LAS VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS EL CASO ES MUY DISTINTO YA QUE PUEDE ASUMIR CUALQUIER VALOR DENTRO DE UN INTERVALO DE LA RECTA NUMERICA O DE UN CONJUNTO DE INTERVALOS. COMO CUALQUIER INTERVALO CONTIENE UNA CANTIDAD INFINITA DE VALORES, NO ES POSIBLE QUE LA VARIABLE ALEATORIA TOME UN DETERMINADO VALOR, EN LUGAR DE ELLO DEBEMOS PENSAR EN TERMINOS DE LA PROBABILIDAD DE QUE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA TOME UN VALOR DENTRO DE UN INTERVALO DADO.

EN EL CASO CONTINUO LA FUNCION DE PROBABILIDAD ES “LA FUNCION DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD”, f (x). EL AREA BAJO LA GRAFICA f (x) QUE CORRESPONDA A UN INTERVALO DETERMINADO DETERMINA LA PROBABILIDAD DE QUE LA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA TOME UN VALOR EN ESE INTERVALO.

DISTRIBUCION UNIFORME DE PROBABILIDAD.- SE DICE QUE UNA VARIABLE ALEATORIA X ESTÁ DISTRIBUIDA UNIFORMEMENTE SOBRE UN INTERVALO a y b SI SU FUNCION DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD ESTÁ DADA POR: f (x) ={ 1 /b –a cuando a ≤ x ≤ b = 0 en cualquier otro valor}EL AREA COMO MEDIDAD DE PROBABILIDAD.- SI VEMOS EL AREA BAJO LA GRAFICA DE f (x) VEREMOS QUE ES UN RECTANGULO, Y EL AREA DE UN RECTANGULO ES IGUAL A EL ANCHO MULTIPLICADO POR LA ALTURA.

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POR EJEMPLO: LA VARIABLE ALEATORIA X REPRESENTA EL TIEMPO DE VUELO DE UN AVION QUE VA DE CHICAGO A NEW YORK, SABEMOS QUE EL TIEMPO DE VUELO PUEDE SER CUALQUIER VALOR EN EL INTERVALO DE 120 A 140 MINUTOS f (x) = {1/20 cuando 120 ≤ x ≤ 140 0 cualquier otro valor ]

SI SE SABE QUE LA PROBABILIDAD DE UN TIEMPO DE VUELO DENTRO DE CUALQUIER INTERVALO DE UN MINUTO ES IGUAL A LA CORRESPONDIENTE DENTRO DE OTRO INTERVALO SIMILAR EN EL RANGO DE 120 A 140 OBTENER LAS PROBABILIDADES SIGUIENTES:

P (120 ≤ X ≤ 130) {PROBABILIDAD QUE EL TIEMPO DE VUELO ESTÉ ENTRE 120 Y 13 MINUTOS]

RESPUESTA: LA ALTURA ES 1/120 Y EL ANCHO ES 10 (130–120) ENTONCES EL AREA =10X.05= .50

P (128 ≤ X ≤ 136) = (.05) (8) = .40 (136 – 128 = 8)

P (120 ≤ X ≤ 140) = (.05) (20) = 1 (ESTO PORQUE EL AREA BAJO LA GRAFICA ES = 1) (140-120=20)

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P (X ≤ 19) = (.05) (19) = .95

P (X ≥ 19) = 1 – P (X ≤ 19) = 1 - .95 = .05

P (X ≤ 100) = 0

EJEMPLO 2: f (x) = [1 cuando 0 ≤ x ≤ 1 = 0 otro valor ]

P (.25≤ X ≤ .75) = (.50) (1) = .50) = (.50) (1) = .50

P(X ≤ .30) = .30

P (X > .30) = 1 – p (X≤ .30) = 1 – 0.30 = .70

P (X > .60) = 1 – P (X ≤ .60)= 1 -.40 = .60

DISTRIBUCION EXPONENCIAL.- BASADO EN EL MODELO POISSON, UNA VARIABLE EXPONENCIAL X ES EL INTERVALO DE TIEMPO O ESPECIO REQUERIDO PARA OBTENER UN NUMERO ESPECIFICO DE EXITOS. POR EJEMPLO SI LAS LLEGADAS DE AUTOMOVILES A UNA CASETA SIGUENLA LEY DE POISSON, ENTONCES EL TIEMPO TRANSCURRIDO ENTRE LLEGADAS SUCESIVAS DE AUTOMOVILES ES LA LLEGADA EXPONENCIAL.

EL MODELO EXPONENCIAL SURGE COMO RESPUESTA A LA PREGUNTA: SI UNA SERIE DE HECHOS OCURRE EN EL TIEMPO SEGÚN LA LEY DE POISSON A UN RITMO DE µ HECHOS POR UNIDAD DE TIEMPO ¿Cuánto TENEMOS QUE ESPERAR PARA OBSERVAR LA PRIMERA OCURRENCIA DE UN HECHO?

DESIGNAMOS POR X LA VARIABLE TIEMPO Y PROCEDEMOS A DETERMINAR LA FUNCIONDE DISTYRIBUCION DE X EVALUANDO EL HECHO X > x PARA CUALQUIER INTERVALO DE TIEMPO ESPECIFICO x. EL HECHO X > x NO HA OCURRIDO AUN EN EL INTERVALO DE TIEMPO (0, x), POR LA LEY DE POISSON SU PROBABILIDAD ES: P (X> x) = P {no ocurrencia en (0, x)} = e -µx {(µx)0 /0!} =e-µx

ESTE RESULTADO DÁ UNA PROBABILIDAD EXPONENCIAL DE COLA SPERIOR (DERECHA). ASI, LA FDA DE LA VARIABLE EXPONENCIAL X PUEDE EXPRESARSE COMO:

T (x) = P (X ≤ x) = 1 – e-µx *

* Puede demostrarse que de ésta la función de densidad de una variable exponencial est (x) = µe-µx para x ≥ 0

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también puede demostrarse que una variable exponencial, como una variable de poisson tiene un solo parámetro (su media). Para una distribución exponencial tenemos:E (x) = B = 1/ µ V (x) = B2 = 1/µ2

POR LO TANTO, LAS FUNCIONES DENSIDAD Y ACUMULATIVA SON:

P (X = x) = 1/µ e-x/µ P (X ≤ x) = 1 – e -x/µ

DONDE: X = EL INTERVALO DE TIEMPO ENTRE OCURRENCIAS DE LA VARIABLE POISSON

e = LA BASE DE LOS LOGAROTMOS NATURALES

µ = PROMEDIO DE OCURRENCIAS POR UNIDAD DE TIEMPO DE LA VARIABLE POISSON

POR EJEMPLO: LA DISTRIBUCION LA DISTRIBUCION DE VIDA DE UNA COMPUTADORA ES µ = 360 HORAS OBTENER LA PROBABILIDAD DE QUE LA COMPUTADORA FUNCIONE: EXACTAMENTE 180 HORAS, MENOS DE 180 HORAS, MÁS DE 720, ENTRE 180 Y 720 HORAS.

P (X = 180) = t (180) = 1 / 360 ℮ -x/µ == 1 / 360 ℮ - 0.5 = (.00278) (.6065) = .00169

P (X ≤ 180) = T (180) = 1 – ℮ -180/360 = 1 - ℮ -0.5 = 1 - .6065 = .3935

P (X > 720) = 1 – P (X≤ 720) = 1- T (720) =1 - {1 - ℮ - 720/360} = 1 - .86466 = .1353

P (180 ≤ X ≤ 720) = T (720) – T (180) = P (X ≤ 720) – P (X ≤ 180) = .8646 - .3935 = .4712

DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD NORMAL

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FUNCION DE DENSIDAD NORMAL DE PROBABILIDAD f(x) = {(1 /√2∏S) ℮ - (x-µ) cuadrada/2s cuadrada

µ = MEDIA S = DESVIACION STANDARD ∏ = 3.1416 ℮ = 2.71828

PRINCIPALES CARACTERISTICAS:

1.- EL PUNTO MAS ALTO ES µ, ASI COMO MEDIANA Y MODA

2.- LA MEDIA PUEDE SER UN VALOR: POSITIVO, NEGATIVO O CERO

3.- ES SIMETRICA, LAS COLAS SE PROLONGAN AL INFINITO Y NUNCA TOCAN EL EJE

4.- LA S DETERMINA EL ANCHO DE LA CUEVA, A MAYOR VALOR DE S, SE TIENEN CURVAS MAS

ANCHAS Y BAJAS, MOSTRANDO UNA MAYOR DISPERSION DE DATOS

5.- EL AREA TOTAL BAJO LA CURVA ES IGUAL A 1(CADA COLA MIDE 0.5)

6.- EL 99.72 % DE LAS VECES UNA VARIABLE ALEATORIA NORMAL ASUME UN VALOR ENTRE 3 S

MÁS O MENOS CON RESPECTO A LA MEDIA.

7.- EL 95.44 % DE LAS VECES UNA VAR. ALEAT. ASUME UN VALOR ENTRE 2 S + O – RESPECTO A µ

8.- EL 68.26 % DE LAS VECES UNA VAR. ALET. ASUME UN VALOR ENTRE 1 S + O –RESPECTO A µ

LA DISTRIBUCION NORMAL DE PROBABILIDAD STANDARD (Z)

SE DICE QUE UNA VARIABLE ALEATORIA QUE TIENE UNA DISTRIBUCION NORMAL CON µ = 0 Y S = 1

TIENE UNA DISTRIBUCION NORMAL ESTANDAR DE PROBABILIDAD

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LOS CALCULOS DE PROBABILIDAD SE LLEVAN A CABO DETERMINANDO LAS AREAS BAJO LA GRAFICA DE LA FUNCION DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD, ASI PARA DETERMINAR LA PROBABILIDAD DE QUE UNA VARIABLE ALEATORIA NORMAL ESTÉ DENTRO DE UN INTERVALO ESPECIFICO SE DETERMINA EL AREA BAJO LA CURVA DEL MISMO.

CONVERSION A LA DISTRIBUCION NORMAL ESTANDAR

PARA PASAR DE UNA VARIABLE ALEATORIA NORMAL X CON MEDIA µ Y DESVIACION ESTANDAR S

A UNA DISTRIBUCION ESTANDAR SE USA LA FORMA SIGUIENTE Z = x - µ / S

POR EJEMPLO: EN PRUEBAS REALES DE INGENIERIA DE “GREAR TIRE COMPANY”, SE HA ESTIMADO QUE EL PROMEDIO DE DISTANCIA RECORRIDA ES M = 36,500 MILLAS Y S = 5000 POR NEUMATICO, SU DISTRIBUCION SE CONSIDERA NORMAL.

¿Cuál ES LA PROBABILIDAD DE QUE LAS MILLAS RECORRIDAS REBASEN LAS 40,000 MILLAS?

P (X > 40,000) [1 – P (X ≤ 40,000)].

USO DE Z, Z = 40,000 – 36500 / 5000 = 3500 / 5000 = .70 P = .2580 (TABLA DE DIST. NORMAL Z)

ESTE VALOR INDICA P (36,500 ≤ X ≤ 40,000), COMO LA COLA DERECHA MIDE .5000, ENTONCES LA SOLUCION ES .5000 - .2580 = .2420.

INTERPRETACION “EL 24.2 % DE LOS NEUMATICOS DURA MAS DE 40,000 MILLAS”

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SOLUCION 2: 1- P (X ≤ 40000) = 1- .7580 (.5000 + .2580) = .2420

EJEMPLO 2: GREAR PLANEA UNA GARANTIA SEGÚN LA CUAL EL USUARIO RECIBIRÁ UN DESCUENTO EN SUS NEUMATICOS DE REPUESTO SI LOS NEUMATICOS ORIGINALES NO REBASAN LA DISTANCIA EN MILLAS ESPECIFICADA EN LA GARANTIA ¿Cuáles DEBEN SER LAS MILLAS RECORRIDAD PARA QUE NO HAYA MAS DE 10% DE LOS NEUMATICOS QUE APROVECHEN EL DESCUENTO DE LA GARANTIA?

SOLUCION: EL 40 % DEL AREA DEBE ESTAR ENTRE LA MEDIA Y LAS MILLAS RECORRIDAS SEGÚN LA GARANTIA, SE BUSCA .40 EN LA TABLA Y ENCONTRAMOS UN VALOR DE 1.28 Z = - 1.28 ENTONCES

Z = x - µ/ S = - 1.28 x - µ = -1.28 S x = µ - 1.28 S x = 36500 – 1.28 (5000) = 30 100 MILLAS

EJEMPLO 3: EN UNA FABRICA DE MONTAJE SE DETERMINA QUE LA MEDIA DE APRENDIZAJE EN CAPACITACION ES 75 SEGUNDOS Y S = 6 SEGUNDOS. OBTENER: LA PROBABILIDAD DE QUE UN TRABAJADOR DURE ENTRE 75 Y 81 SEGUNDOS.

P (75 ≤ X ≤ 81) = Z = 81 – 75 / 6 = 1 P = .3413 (USO DE LA TABLA Z);

LA PROBABILIDAD DE QUE REALICE EL TRABAJO EN MENOS DE 75 O MAS DE 81 SEGUND0S.

P (X < 75 0 > 81) = 1 - .3413 = .6587 (ES DECIR EL COMPLEMENTO).

EJEMPLO 4: SI M = 4000 S = 500 OBTENER:

P (3500 < X < 4000) = Z = 3500 – 4000 / 500 = -1 P = .3413P (4000 < X < 4500) = Z = 4500 - 4000 / 500 = 1 P = .3413

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P (3500 < X < 4500) = .3413 + .3413 = .6826

P (X > 4790) = Z = 4790 – 4000 / 500 = 1.58 (P = .4429) 1 – {.5000+.4429) = .0571

P (X > 3750) = Z = 3750 – 4000 / 500 = - .50 (P = .1915) .1915+.5000 = .6915

P (4500 < X 4790) .4429 - .3413 = .1016

DISTRIBUCION NORMAL ESTANDAR ACUMULADA

LA DISTRIBUCION ACUMULADA SIRVE PARA CONTESTAR A PREGUNTAS COMO LA SIGUIENTE ¿Cuál ES LA PROBABILIDAD DE QUE UN OBRERO TARDE MENOS DE CIERTA CANTIDAD? P (X ≤ x)

POR EJEMPLO: SI M= 75 S = 6 P (X ≤ 81) = .8413 [Z = 81 – 75 /6 = 1}

PERO AHORA VERIAMOS LA TABLA DE LA DISTRIBUCION ESTANDAR ACUMULADA

{COMPROBACION (.5+.3413)}

P (X > 81) = 1 - P(X ≤ 81) = 1- .8413 = .1587

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