UNIVERSIDAD DEL VALLE

ESCUELA DE ESTADÍSTICA

RESUMEN DE INFERENCIA ESTADÍSTICA

CURSO: ESTADÍSTICA NO PARAMETRICA

PROFESOR: GABRIEL CONDE A.

FEBRERO DE 2015

Diapositivas basadas en material anterior del profesor de

la Escuela de Estadística Javier Olaya.

1

CONTRASTES DE HIPÓTESIS

En muchas situaciones el objetivo de un estudio

no es estimar un parámetro a partir de datos

muestrales, si no más bien verificar el

cumplimiento de una hipótesis acerca de una

población.

UNA HIPÓTESIS

Acojamos la siguiente definición: “una hipótesis

es un enunciado acerca de una población”.

Nuestro interés es construir una procedimiento

que nos permita tomar una decisión sobre si

rechazamos esta hipótesis o no.

VERDAD Y VEROSIMILITUD

Como resultado final se producirá una decisión,

que puede o no ser cierta. Pero, basados en

algún tipo de evidencia probabilística, no diremos

que es cierta… diremos que es creíble.

ALGUNAS HIPÓTESIS POSIBLES

1. La población es Normal

2. El contenido promedio de las botellas es

350ml

3. El candidato A ganará las elecciones

4. El catalizador 1 es mejor que el catalizador 2

5. El desempleo femenino ha aumentado

¿Cómo opera un contraste de hipótesis?

Población (N)

Muestra (n)

¿µ? Evidencia

¿ ? l

Decisiones en un contraste de hipótesis

La decisión se fundamenta en la evidencia

recogida a través de una muestra

representativa.

Por ejemplo, si la media de la muestra es muycercana al valor l, uno tenderá a asumir que la

media de la población es l.

DOS ELEMENTOS

•La decisión se toma partiendo de la evidencia

que se recaba a través de una muestra

aleatoria

•Se determina, mediante cálculo de

probabilidades, si el cumplimiento de la

hipótesis es admisible

Una definición más formal

Una hipótesis de investigación es una

idea o conjetura que se enuncia a priori y que se

desea contrastar a través de la realidad.

“Es la suposición de una verdad que aún no

se ha establecido, es decir, una conjetura que se

hace sobre la realidad que aún no se conoce y

que se ha formulado precisamente con el objeto

de llegar a conocimiento de nuevos hechos”

Grasseau (Teoría de la Ciencia. Pág. 103)

Hipótesis estadística

10

Por otra parte, una hipótesis estadística es una

representación de la hipótesis de investigación en

forma de ecuación matemática y en función de

parámetros poblacionales.

Por ejemplo: = l

O también: > l

¿Contraste?

11

Las hipótesis de investigación se desglosan en

dos hipótesis estadísticas que se denominan

Hipótesis nula e Hipótesis Alterna, las cuales se

contrastan.

Hipótesis nula: H0

12

La hipótesis nula se plantea como una

igualdad (semejanza, identidad), y es la

afirmación que se contrasta. Es decir, las

pruebas se diseñan para valorar la fuerza de la

evidencia en contra de la hipótesis nula. En

general es una afirmación de ausencia de

efecto.

Hipótesis alterna: Ha

13

La hipótesis alterna dependerá del conocimiento

que tenga el investigador acerca del problema o

de la hipótesis de investigación. Es una

afirmación acerca de la población sobre la cual

queremos hallar evidencia a favor

Es decir:

Si se tiene un resultado poco probable, basado

en la muestra, dado que Ho es cierta, entonces

tenemos una evidencia en contra de Ho y a

favor de Ha

14

Por ejemplo15

Se presume que la media de la población tomael valor l (afirmación en contra de la cual

intentamos hallar evidencia) y se desea

contrastar esta presunción contra otra

afirmación que defiende que la media de lapoblación es mayor que l.

Las hipótesis estadísticas a contrastar serían:

Hipótesis nula H0: = l

Hipótesis alterna Ha: > l

Otros contrastes

16

Otras posibles hipótesis estadísticas a

contrastar podrían ser:

1.Hipótesis nula H0: = l

Hipótesis alterna Ha: ≠ l2.

Hipótesis nula H0: = l

Hipótesis alterna Ha: < l

¿Con qué criterios rechazo o no la hipótesis nula?

La verdad o falsedad de la hipótesis no puede

conocerse con total seguridad, a menos que

pueda examinarse toda la población

La única herramienta de la cual se dispone

para rechazar o no la hipótesis nula se basa

en lo que se observa en una muestra

aleatoria.

Un contraste

Se cree que la pobreza en Cali (medida a

través del índice NBI) ha cambiado a un nivel

diferente del 30%.

Hipótesis nula H0: p = 0.3

Hipótesis alterna Ha: p ≠ 0.3

NBI = Necesidades Básicas Insatisfechas

¿Cómo se decide?

0.25 0.30 0.35

Región crítica Región de “aceptación” Región crítica

Se rechaza H0 No se rechaza H0 Se rechaza H0

p 0. 30 p = 0.30 p 0.30

Valores Críticos

Se define un estadístico de prueba y se evalúa

si su valor se encuentra en la región crítica

ACEPTACIÓN20

“Se debe entender que la “aceptación” de una

hipótesis nula implica tan solo que los datos no

arrojaron suficiente evidencia que indique que

esta no se cumple (o se rechace)”.

EJECUCIÓN DE UN CONTRASTE DE HIPÓTESIS

21

1. Plantear una hipótesis de investigación.

2. Traducir la hipótesis de investigación en

hipótesis estadísticas

3. Fijar Nivel de Significancia

4. Determinar un estadístico de prueba con

distribución conocida (verificar supuestos)

EJECUCIÓN DE UN CONTRASTE DE HIPÓTESIS (2)

22

5. Determinar la región de rechazo

6. Evaluar el valor de estadístico de prueba en la

muestra obtenida aleatoriamente, asumiendo

que la H0 es cierta

7. Contrastar el valor del estadístico de prueba

con la región de rechazo. Rechazar Ho si y

solo si el valor del estadístico de prueba cae

en la región de rechazo

Forma de la Región de Rechazo

La forma región de rechazo depende de cómo se

plantee la hipótesis alterna:

1. Hipótesis alterna unilateral (Una sola cola)

2. Hipótesis alternas bilaterales (dos colas)

PENSIONES

ASOFONDOS es la asociación que regula los fondos de

pensiones. Esta entidad sugiere que la edad de

jubilación debe incrementarse, debido a que las

condiciones de riesgo de los individuos en la actualidad

ha disminuido, logrando incrementar su esperanza de

vida, que hasta hace algunos años se había calculado

en 70 años. Su afirmación la plantean fundamentándose

en una muestra de 100 registros de muertes que dio

como resultado una edad promedio de muerte de 71,8

años con desviación de 15 años.

¿Qué opina?

¿Cree Usted que los resultados de este estudio

demuestran que se ha incrementado la edad

promedio de los colombianos y que, por tanto, se

justifica aumentar la edad de jubilación?

26

SOLUCIÓN

Paso 1. Planteamiento de Hipótesis de Investigación

La edad promedio de muerte es superior a 70 años

Paso 2. Planteamiento de Hipótesis Estadísticas

Paso 3. Selección nivel de significancia

Paso 4. Selección y cálculo del estadístico de prueba

0 1: 70 VS : 70 H H

05.0

2,110015

708.710

n

xzc

70

27

SOLUCIÓN

Paso 5. Determinación Región de Aceptación, Rechazo

Paso 6. Contraste del estadístico de prueba

Paso 7. Decisión

No se rechaza Ho No existe suficiente evidencia para pensar que la esperanza de vida ha aumentado

Región de

Aceptación 0.05 1.64z

2,1cZ

El valor P como Criterio de Decisión

Diremos que el valor p es la probabilidad de que

el estadístico de contraste arroje un resultado

tan extremo o más extremo que el observado

cuando la Hipótesis nula es verdadera. Cuanto

menor sea el valor p mayor es la evidencia, que

proporciona la muestra, en contra de Ho

El valor P como Criterio de Decisión

Por tanto, si el valor p es relativamente grande

(valor p > significancia), es razonable pensar

que la hipótesis nula puede sea cierta.

Pero si el valor p puede juzgarse como muy

pequeño (valor p < significancia), es razonable

pensar que la hipótesis nula no es cierta.

Decimos entonces que los datos son

“estadísticamente significativos a un nivel ”

El valor P como Criterio de Decisión

Significativo en estadística expresa que “es poco

probable que ocurra por el azar”

Significativo a un nivel 0.01 se expresa diciendo que

“los resultados son significativos (p < 0.01)”

El valor p nos da más información que el nivel . Ya

que podemos valorar la significación para diferentes

valores que escojamos. Así es como:

p = 0.03 es significativo a un nivel de significación =

0.05 y no lo es a un nivel = 0.01

Muestras pareadas

En un programa de Control de Enfermedades

Crónicas, la hipertensión está incluida como la

primera patología a controlar. 15 pacientes

hipertensos son sometidos al programa y

controlados en su tensión asistólica antes y

después de 6 meses de tratamiento. Los datos

son los siguientes:

Hipertensos

Inicio 180 200 160 170 180 190 190 180 190 160 170 190 200 210 220

Fin 140 170 160 140 130 150 140 150 190 170 120 160 170 160 150

¿Es eficaz este tratamiento?

Estadístico de prueba

En este caso se obtienen las diferencias por

parejas y el análisis se hace con la muestra de las

diferencias observadas.

1

n

d

o tns

ddT

ERRORES EN LOS CONTRASTES DE HIPÓTESIS

Condición real

Decisión H0 verdadera H0 falsa

Rechazar H0 Error Tipo I ok

No rechazar H0 ok Error Tipo II

35

Se debe entender que la “aceptación” de una hipótesis

nula implica tan solo que los datos no arrojaron

suficiente evidencia que indique que esta no se cumple.

La hipótesis nula se plantea como una igualdad

(semejanza, identidad), y es la afirmación que se

contrasta (evidenciar su rechazo).

ERRORES EN LOS CONTRASTES DE HIPÓTESIS

Condición real

Decisión H0 verdadera Ha verdadera

Rechazar H0 Error Tipo I ok

No rechazar H0 ok Error Tipo II

36

Si reconocemos la lógica binaria (falso – verdadero)

podemos re-escribir la tabla de la siguiente forma:

ES DECIR

37

Un error tipo I ocurre cuando se rechaza una

hipótesis nula que es verdadera

Un error tipo II ocurre cuando no se rechaza una

hipótesis nula que es falsa

PROBABILIDADES DE EQUIVOCARNOS

38

P(Error Tipo I) = = P(RHoHoV) = P(RHoHaF)

P(Error Tipo II) = = P(NHoHoF) = P(NHoHaV)

Potencia de la prueba = 1- = P(RHoHaV) = P(RHoHoF)

NOMBRES RESERVADOS

39

Llamaremos “nivel de significancia”, del

contraste, al valor

Y definiremos como “potencia del contraste” a la

cantidad 1-, que no es otra cosa que la

capacidad que tiene el contraste de rechazar

una hipótesis nula cuando esta es falsa.

Comentariosobre y

40

Lo ideal seria que tanto como sean muy

pequeños, pero cuando disminuye, crece.

Así que se debe llegar a algún tipo de acuerdo

entre los valores de estas dos probabilidades

de error. Una alternativa es fijar y aumentar el

tamaño de la muestra para disminuir .

41

Nótese cómo los errores en contrastes de

hipótesis depende de una manera inversa

y se relacionan de manera inversa

Cálculo de

42

Ejemplo:

Partamos de la siguiente prueba de hipótesis

Ho: = 15 vs Ha: > 15

n = 36.

media y varianza de las 36 muestras: 17 y 9

= 0.05

43

Nótese cómo el error tipo II en contrastes de

hipótesis depende de Ha (un valor en especial)

44

El error tipo II en contrastes de

hipótesis depende de Ha (un valor

en especial)

45

El error tipo II en contrastes de

hipótesis depende de Ha (un valor

en especial)

46

TAMAÑO DE MUESTRA47

n = ((Z + Zβ)22)/(a - 0)

2

¿La deducimos?

Aplicar para ejemplo anterior con

= β = 0.05

= P[Xt > Kµ = µ0] =

P[(Xt - µ0)/(/n) > (K - µ0) /(/n)] = P[Z > Z]

β = P[Xt Kµ = µa] =

P[(Xt - µa)/(/n) (K - µa) /(/n)] = P[Z -Zβ]

(K - µ0) /(/n) = Z

(K - µa) /(/n)] = -Zβ

Eliminando k de las dos ecuaciones obtenemos una

expresión para el tamaño de muestra n (dada en la

diapositiva anterior).

48

DEDUCCIÓN FORMULA TAMAÑO DE MUESTRA

Ejercicios para entregar

Una muestra aleatoria de 37 estudiantes que practican deporte obtuvieron

calificaciones de habilidad manual con una media de 32.19 y una S = 4.34.

Una muestra independiente del mismo grupo que no practican deporte

obtuvieron calificaciones de habilidad manual con una media de 31.68 y una

desviación estándar de 4.56.

a) Aplique una prueba para ver si hay suficiente evidencia que indique que

los estudiantes que practican deporte poseen un promedio de habilidad

manual mayor de aquellos que no lo practican. Escoja usted el nivel .

b) Con la región de rechazo utilizada en a) calcule β cuando 1 - 2 = 3.

c) Calcule los tamaños de muestra cuando = β = al nivel escogido en a) y

1 - 2 = 3.

49

Entregar por escrito la solución de los problemas

6.67 y 6.68 del libro de D. Moore.

En el problema 6.67 utilice su software preferido

para obtener una curva característica de operación.

50

52

PRUEBAS DE HIPÓTESIS REFERENTES A

VARIANZAS

PRUEBAS PARA UN VALOR FIJO DE LA VARIANZA

53

X1, X2 …, Xn muestra aleatoria de una

distribución normal (, 2)

Ho: 2 = 20

Ha: 2 > 20 (cola superior)

2 < 20 (cola inferior)

2 20 (dos colas)

Estadístico de prueba (n – 1)S2 /20 2

RR:

2 > 2 (cola superior)

2 < 21- (cola inferior)

2 > 2/2 ó 2 < 2

1-/2 (dos colas)

En cada caso la distribución 2 tiene n-1 g.l.

Tener en cuenta que P(2 > 2) =

54

PRUEBAS PARA VALOR FIJO DE LA VARIANZA

… continuación

RR:

2 > 2 (cola superior)

RR:

2 < 21- (cola inferior)

RR:

2 > 2/2 ó 2 < 2

1-/2 (dos colas)

EJEMPLO 1: Una fabrica de partes de

automóviles, cuyos diámetros tienen una varianza

no mayor de 0.0002 (los Ø están en pulgadas).

Una muestra aleatoria de 10 partes arrojó una

varianza muestral de 0.0003. Pruebe Ho: 2 =

0.0002 vs Ha: 2 > 0.0002

58

SOLUCIÓN:

Suponemos que las mediciones provienen de una

población normal.

Estadístico de prueba: (n – 1)S2 /20

2 (v = 9)

Cola superior: rechazamos Ho para valores de este

estadístico mayores que 20.05 = 16.919, con 9 g.l.

Valor calculado del estadístico: 9*0.0003/0.0002 = 13.5

Entonces no rechazamos Ho.

Ejercicio: calcular o aproximar el valor p

59

Ejemplo: Un investigador está convencido de que

su equipo de medición tiene una variabilidad

referida por una desviación estándar de 2.

16 mediciones arrojaron un resultado de S2 = 6.1.

¿Contradicen los datos su apreciación?

Determine el valor de p para esta prueba. ¿Qué

ocurre si = 0.05

60

SOLUCIÓN:

Ho: 2 = 4 vs Ho: 2 4

Valor para el estadístico de prueba 15*6.1/4 = 22.875.

Basándonos en la tabla de la 2 observamos que

para 15 gl 20.10 = 22.3070 y 2

0.05 = 24.9958. la

porción de p de la cola superior está entre 0.05 y

0.10, lo que implica que 0.1 < p < 0.2.

Si = 0.05 < 0.1 entonces < p no rechazamos.

61

COMPARACIÓN DE VARIANZAS

62

X1, X2 …, Xn1 y X1, X2 …, Xn2 m. a. con

distribución normal, medias desconocidas y

varianzas desconocidas 21 y 2

2

Consideremos la siguiente prueba:

Ho: 21 = 2

2

Ha: 21 > 2

2

Estadístico de prueba:

F = {(n1 – 1) S21/(n1 – 1) 2

1}/{(n2 – 1) S22/(n2 – 1) 2

2}

= (S21/

22)/(S

22/

21) =, bajo Ho, = S2

1/S2

2

Región de rechazo: F > F donde F se elige de tal

manera que P(F > F) =

F tiene n1 – 1 g.l en el numerador y n2 – 1 g.l. en el

denominador

63

COMPARACIÓN DE VARIANZAS… continuación

La distribución F (u, v)

EJEMPLO:

Queremos comparar la variación de los diámetros de las partes

producidas por una compañía de autos con la variación de los

diámetros de las partes producidas por un competidor. La

varianza muestral de la compañía, basada en n = 10 es S21 =

0.0003. La varianza muestral de las mediciones de los diámetros

de 20 partes de la competencia es S22 = 0.0001, ¿Proporcionan

los datos suficiente información que indique una variación menor

en los diámetros de la competencia. Calcule el valor p, además

use un nivel de significancia = 0.05 para obtener una

conclusión.

65

Ho: 21 = 2

2

Ha: 21 > 2

2

Estadístico de prueba: F = S21/S

22 con v1 = 9 y v2 =

19.

Rechazaremos Ho con valores F mayores que F0.05 =

2.948

FCALCULADO = S21/S

22 = 0.0003/0.0001 = 3.00 > 2.948

Rechazamos Ho

66

NOTA:

Si queremos probar Ho: 21 = 2

2 frente a Ha: 21 2

2

a un nivel podemos emplear el estadístico

F = S21/S

22 (n1 – 1, n2 – 1) rechazar Ho si el valor

calculado de F se localiza en la cola superior o en la

cola inferior de /2 de la distribución F.

La siguiente relación puede facilitar la búsqueda de

algunas áreas bajo la curva de la distribución F:

F1-,u,v = (F,v,u)-1 = 1/ (F,v,u)

67

EJEMPLO:

Un experimento para estudiar los umbrales de dolor

provocados por descargas eléctricas en hombres y

mujeres reveló los datos que aparecen en la tabla.

¿Muestran estos datos evidencia suficiente que indique

que la variabilidad de los umbrales de dolor en hombres y

mujeres difiere en forma significativa entre unos y otros?

Utilice = 0.10. ¿Qué se puede decir del valor de p?

68

HOMBRES MUJERES

n 14 10

yt 16,2 14,9

S2 12,7 26,4

Ejercicio:

En 1993 investigadores norteamericanos tomaron mediciones de la

presión muscular (en mm de Hg) en 10 corredores y 10 ciclistas

saludables. También tomaron mediciones de la presión en

corredores y ciclistas cuyo consumo de oxígeno era máximo. En la

siguiente tabla se resumen los datos

70

CORREDORES CICLISTAS

ESTADO MEDIA S MEDIA S

REPOSO 14,5 3,92 11,1 3,98

80% DE

CONSUMO DE

O2

12,2 3,49 11,5 4,95

CONSUMO

MAX O219,1 16,9 12,2 4,67

¿Hay suficiente evidencia que apoye la afirmación de

que la variabilidad de la presión muscular entre

corredores y ciclistas en reposo es diferente? = 0.05.

¿Qué se puede decir del valor p asociado?

¿Hay suficiente evidencia que apoye la afirmación de

que la variabilidad de la presión muscular entre

corredores y ciclistas con consumo máximo de O2 es

diferente? = 0.05. ¿Qué se puede decir del valor p

asociado?

71

74

INFERENCIAS PARA RELACIONES ENTRE

VARIABLES CATEGORICAS

(TABLAS DE CONTINGENCIA)

EJEMPLO DISTRIBUCION CONJUNTA

EDUCACION VS EDAD

ESCOLARIDAD SEGÚN EDAD

EDUCACION

GRUPO DE EDADES

TOTAL25 a 34 35 a 54 > 55

No completaron Bto 5325 9152 16035 30512

Completaron Bto 14061 24070 18320 56451

1 a 3 cursos U 11659 19926 9662 41247

> 4 cursos U 10342 19878 8005 38225

TOTAL 41387 73026 52022 166435

ESCOLARIDAD SEGÚN EDAD

EDUCACION

GRUPO DE EDADES

TOTAL25 a 34 35 a 54 > 55

No completaron Bto 0,03199 0,05499 0,09634 0,18333

Completaron Bto 0,08448 0,14462 0,11007 0,33918

1 a 3 cursos U 0,07005 0,11972 0,05805 0,24783

> 4 cursos U 0,06214 0,11943 0,0481 0,22967

TOTAL 0,24867 0,43877 0,31257 1

EJEMPLO DISTRIBUCION CONJUNTA

EDUCACION VS EDAD

EDUCACION0,183330,339180,247830,229671.00000

EDADES 0,24867 0,43877 0,31257 1.00000

EJEMPLO DISTRIBUCION CONJUNTA

EDUCACION VS EDAD

ESCOLARIDAD SEGÚN EDAD

EDUCACION

GRUPO DE EDADES

25 a 34 35 a 54 > 55

No completaron Bto 0,12866 0,12533 0,30823

Completaron Bto 0,33974 0,32961 0,35216

1 a 3 cursos U 0,28171 0,27286 0,18573

> 4 cursos U 0,24989 0,2722 0,15388

TOTAL 1 1 1

P(completo Bto edad 25 a 34) = P[(completo Bto)(25 a 34)]/P[(25 a 34)] = 0.33974

(CONDICIONAL)

EJEMPLO DISTRIBUCION CONJUNTA

EDUCACION VS EDAD

PREGUNTA: ¿QUE DEBE CUMPLIRSE PARA QUE

LAS DOS VARIABLES SEAN INDEPENDIENTES?

INDEPENDENCIA ESTADISTICA ENTRE VARIABLES

EJEMPLO

En este

ejemplo,

observamos

que se cumple

la condición:

fij = fi. X f.jpara todo

i = 1,2,3.

j = 1,2,3,4

Las variables

X e Y son e.i.

OTRO EJEMPLO

DEPENDENCIA (mas ilustrativo)

INDICADORES DE DEPENDENCIA O

INDEPENDENCIA ENTRE VARIABLES

EJEMPLO:

Nota: En toda tabla de frecuencias esperadas

se cumplirá que:

¿Qué tanto se aleja la tabla real de la tabla con

valores esperados?

Para responder propongamos el siguiente indicador

Entonces hagamos la siguiente modificación:

Es necesario estandarizar

Si queremos que este indicador no dependa de

n entonces podemos dividir por n para obtener

el cuadrado medio de contingencia

En nuestro ejemplo de las alturas y pesos tenemos:

COMENTARIO SOBRE LA CHI – CUADRADO

INFERENCIA PARA TABLAS DE CONTINGENCIA

Comparaciones múltiples: se quieren comparar más de

dos proporciones. Por ejemplo:

p1 = p2 = p3 ?

Tenemos las hipótesis:

H0 : p1 = p2

Ho : p1 = p3

H0 : p2 = p3

Si se hacen las tres pruebas obtenemos tres valores P

CONTEOS ESPERADOS

Queremos probar la hipótesis de que las tres proporciones

son iguales conjuntamente:

H0 : p1 = p2 = p3

Ha no se cumple p1 = p2 = p3

Si H0 es cierta se cumple que los conteos observados son

iguales a los conteos esperados (excepto por azar).

Si tales diferencias son grandes es una evidencia en contra

de H0

CONTEOS ESPERADOS

El conteo esperado para cualquier celda en una tabla de

contingencia cuando H0 es cierta, es:

ESTADISTICO JI CUADRADO

El estadístico Ji cuadrado es una medida de la diferencia

de los conteos observados y los conteos esperados en una

tabla de contingencia:

la suma se hace sobre el total de celdas (#Fx#C)

DISTRIBUCIONES JI CUADRADO

El gráfico muestra las funciones de densidad de algunas

distribuciones Ji cuadrado. Observar la asimetría. La

distribución Ji cuadrado tiene un solo parámetro: los

grados de libertad.

X2

1 g. l.

X2

4 g. l.

X2

8 g. l.

LA PRUEBA Ji CUADRADO PARA TABLAS DE

CONTINGENCIA

Los valores críticos de la distribución Ji cuadrado, con (f-

1)x(c-1) g. l. en relación a una tabla de contingencia de f

filas y c columnas, se usan para la prueba de diferencias

de proporciones en la tabla.

El valor P es el área a la derecha de X2 calculado por

debajo de la curva.

Ejemplo: La siguiente tabla resume la relación

entre tratamiento y las proporciones de algún

efecto

TRATAMIENTO GRUPO #SUJETOS EFECTO PROPORC

T1 1 24 14 0,583

T2 2 24 6 0,250

T3 3 24 4 0,167

LA TABLA DE CONTINGENCIA CORRESPONDIENTE

ES:

Hacer la prueba para H0 : p1 = p2 = p3

Utilizar calculadora y comparar con salidas en

Minitab

EFECTO

TRATAMIENTO SI NO TOTAL

T1 14 10 24

T2 6 18 24

T3 4 20 24

TOTAL 24 48 72