Problemas de inferencia estadística

Inferencia estadística

Estudia como sacar conclusiones generales para toda la

población a part ir del estudio de una muestra, y el grado de

f iabi l idad o s ignif icación de los resultados obtenidos.

Muestreo probabilístico

Cons is te en e leg i r una muestra de una pob lac ión a l azar . Podemos

d is t ingu i r var ios t ipos de muestreo :

Muestreo aleatorio simple

Para obtener una muestra , se numeran los e lementos de la

pob lac ión y se se lecc ionan a l azar los n e lementos que cont iene la

muestra .

Muestreo aleatorio sistemático

Se e l ige un ind iv iduo a l azar y a part i r de é l , a in terva los

constantes , se e l igen los demás hasta completar la muestra .

Por e jemplo s i tenemos una pob lac ión formada por 100 e lementos

y queremos extraer una muestra de 25 e lementos , en pr imer lugar

debemos estab lecer e l in terva lo de se lecc ión que será igua l a 100/25 =

4 . A cont inuac ión e leg imos e l e lemento de arranque, tomando

a leator iamente un número entre e l 1 y e l 4 , y a part i r de é l obtenemos

los restantes e lementos de la muestra .

2, 6, 10, 14, . . . , 98

Muestreo aleatorio estratif icado

Se d iv ide la pob lac ión en c lases o est ratos y se escoge,

a leator iamente, un número de ind iv iduos de cada est rato proporc iona l

a l número de componentes de cada est rato .

En una fábr ica que consta de 600 t raba jadores queremos tomar

una muestra de 20. Sabemos que hay 200 t raba jadores en la secc ión A ,

150 en la B , 150 en la C y 100 en la D.

Un muestreo puede hacerse con o s in repos ic ión , y la pob lac ión de

part ida puede ser in f in i ta o f in i ta .

En todo nuestro estudio vamos a l imitarnos a una población

de part ida inf inita o a muestreo con reposic ión .

S i cons ideremos todas las pos ib les muestras de tamaño n en una

pob lac ión, para cada muestra podemos ca lcu lar un estadíst ico

(media, desviación t ípica, proporción, . . . ) que var iará de una a

ot ra .

As í obtenemos una d is t r ibuc ión de l estad ís t ico que se l lama

distr ibución muestral .

Intervalos característicos

P[Μ - K < X < Μ + K ] = P

Hal lar e l in terva lo caracter ís t ico de una d is t r ibuc ión normal N(0 ,

1) correspondiente a la probabi l idad p = 0 .9 .

E l nivel de confianza (p) se des igna mediante 1 - α .

El nivel de s ignif icación se des igna mediante α.

El valor cr ít ico (k) como z α / 2 .

P(Z>z α / 2) = α/2 P[-z α / 2 < z < z α / 2] = 1- α

Valores críticos

1 - α α/2 z α / 2

0.90 0.05 1.645

0.95 0.025 1.96

0.99 0.005 2.575

En una d is t r ibuc ión N(μ, σ ) e l in terva lo caracter ís t ico

correspondiente a una probabi l idad p = 1 - α es :

(μ - z α / 2 · σ , μ + z α / 2 · σ )

1 - α α/2 z α / 2 Intervalos característicos

0.90 0.05 1.645 (μ - 1.645 · σ , μ + 1.645 · σ)

0.95 0.025 1.96 (μ - 1.96 · σ , μ + 1.96 · σ )

0.99 0.005 2.575 (μ - 2.575 · σ , μ + 2.575 · σ )

Teorema central del l ímite

Si una pob lac ión t iene media μ y desv iac ión t íp ica σ , y tomamos

muestras de tamaño n (n>30, ó cua lqu ier tamaño s i la pob lac ión es

"normal" ) , las medias de estas muestras s iguen aprox imadamente la

d is t r ibuc ión:

Consecuenc ias :

1.Permite aver iguar la probabi l idad de que la media de una

muestra concreta esté en un c ier to in terva lo .

2.Permite ca lcu lar la probabi l idad de que la suma de los

e lementos de una muestra esté , a pr ior i , en un c ier to in terva lo .

3. In fer i r la media de la pob lac ión a part i r de una muestra .

Las bo lsas de sa l envasadas por una máquina t ienen μ = 500 g y σ

= 35 g . Las bo lsas se empaquetaron en ca jas de 100 un idades .

1.Calcu lar la probabi l idad de que la media de los pesos de las

bo lsas de un paquete sea menor que 495 g .

2.Calcu lar la probabi l idad de que una ca ja 100 de bo lsas pese

más de 51 kg .

Estimación de parámetros

Es e l proced imiento ut i l i zado para conocer las caracter ís t icas de

un parámetro pob lac iona l , a par t i r de l conoc imiento de la muestra .

Con una muestra a leator ia , de tamaño n , podemos efectuar una

est imac ión de un va lor de un parámetro de la pob lac ión; pero también

neces i tamos prec isar un:

Intervalo de confianza

Se l lama as í a un interva lo en e l que sabemos que está un

parámetro , con un n ive l de conf ianza espec í f i co .

Nivel de confianza

Probabi l idad de que e l parámetro a est imar se encuentre en e l

in terva lo de conf ianza.

Error de est imación admisible

Que estará re lac ionado con e l rad io de l in terva lo de conf ianza.

Estimación de la media de una población

Intervalo de confianza para la media

El intervalo de confianza , para la media de una pob lac ión, con

un nivel de confianza de 1- α , s iendo x la media de una muestra de

tamaño n y σ la desv iac ión t íp ica de la pob lac ión, es :

El error máximo de est imación es :

Cuanto mayor sea el tamaño de la muestra , n , menor es el

error .

Cuanto mayor sea el nivel de confianza , 1 -α , mayor es el

error .

Tamaño de la muestra

Si aumentamos el nivel de confianza , aumenta el tamaño de

la muestra .

S i disminuimos el error , tenemos que aumentar el tamaño de

la muestra .

E l t iempo que tardan las ca jeras de un supermercado en cobrar a

los c l ientes s igue una ley normal con media desconoc ida y desv iac ión

t íp ica 0 ,5 minutos . Para una muestra a leator ia de 25 c l ientes se obtuvo

un t iempo medio de 5 ,2 minutos .

1.Calcu la e l in terva lo de conf ianza a l n ive l de l 95% para e l

t iempo medio que se tarda en cobrar a los c l ientes .

2. Ind ica e l tamaño muestra l necesar io para est imar d icho t iempo

medio con un e l er ror de ± 0 ,5 minutos y un n ive l de conf ianza de l

95%.

n ≥ 4

Estimación de una proporción

Si en una población , una determinada caracter ís t ica se presenta

en una proporc ión p , la proporc ión p' , de ind iv iduos con d icha

caracter ís t ica en las muestras de tamaño n , se d is t r ibu i rán según:

Intervalo de confianza para una proporción


En una fábr ica de componentes e lect rón icos , la proporc ión de

componentes f ina les defectuosos era de l 20%. Tras una ser ie de

operac iones e invers iones dest inadas a mejorar e l rend imiento se

ana l i zó una muestra a leator ia de 500 componentes , encontrándose que

90 de e l los eran defectuosos . ¿Qué n ive l de conf ianza debe adoptarse

para aceptar que e l rend imiento no ha suf r ido var iac iones?

p = 0 .2 q = 1 - p =0.8 p '= 90/ 500 = 0 .18

E = 0 .2 - 0 .18 = 0 .02

P (1 - z α / 2 <1.12) = 0 .86861 - 0 .8686 = 0 .1314

0.8686 - 0 .1314 = 0 .737

Nivel de confianza: 73.72%

Contrastes de hipótesis

Hipótesis estadísticas

Un test estadíst ico es un proced imiento para , a part i r de una

muestra a leator ia y s ign i f i cat iva , extraer conclusiones que permitan

aceptar o rechazar una hipótesis p rev iamente emit ida sobre e l va lor

de un parámetro desconoc ido de una pob lac ión.

La h ipótes is emit ida se des igna por H 0 y se l lama H I P Ó T E S I S N U L A .

La h ipótes is contrar ia se des igna por H 1 y se l lama H I P Ó T E S I S

A L T E R N A T I V A .


1. Enunciar la hipótesis nula H 0 y la alternativa H 1 .

Bilateral H0=k H1 ≠ k

Unilateral

H0≥ k H1 < k

H0 ≤k H1> k

2.A part ir de un nivel de confianza 1 - α o el de s ignif icación

α . Determinar :

El valor z α / 2 (bi laterales), o bien z α (uni laterales)

La zona de aceptación del parámetro muestral (x o p' ) .

3. Calcular: x o p' , a part ir de la muestra.

4. Si el valor del parámetro muestral está dentro de la zona

de la aceptación, se acepta la hipótesis con un nivel de

s ignif icación α. Si no, se rechaza .

Contraste Bilateral

Se presenta cuando la h ipótes is nu la es de l t ipo H 0 : μ = k (o b ien

H 0 : p = k ) y la h ipótes is a l ternat iva , por tanto , es de l t ipo H 1 : μ≠ k (o

b ien H 1 : p≠ k ) .

El nivel de s ignif icación α se concentra en dos partes (o

colas) s imétr icas respecto de la media.

La región de aceptación en este caso no es más que e l

correspondiente in terva lo de probabi l idad para x o p ' , es dec i r :

o b ien:

Se sabe que la desv iac ión t íp ica de las notas de c ier to examen de

Matemát icas es 2 ,4 . Para una muestra de 36 estud iantes se obtuvo una

nota media de 5 ,6 . ¿S i rven estos datos para conf i rmar la h ipótes is de

que la nota media de l examen fue de 6 , con un n ive l de conf ianza de l

95%?

1. Enunc iamos las h ipótes is nu la y a l ternat iva :

H 0 : μ = 6 La nota media no ha var iado.

H 1 : μ ≠ 6 La nota media ha var iado.

2. Zona de aceptac ión

Para α = 0.05 , le corresponde un va lor c r í t i co : z α / 2 = 1.96 .

Determinamos e l in terva lo de conf ianza para la media :

(6-1,96 · 0,4 ; 6+1,96 · 0,4) = (5,22 ; 6,78)

3. Ver i f i cac ión.

Va lor obten ido de la media de la muestra : 5,6 .

4. Dec is ión

Aceptamos la hipótesis nula H 0 , con un n ive l de s ign i f i cac ión

de l 5%.

Contraste unilateral

Caso 1

La hipótesis nula es de l t ipo H 0 : μ ≥ k (o b ien H 0 : p ≥ k ) .

La hipótesis alternativa , por tanto , es de l t ipo H 1 : μ < k (o b ien

H 1 : p < k ) .

Valores críticos

1 - α α z α

0.90 0.10 1.28

0.95 0.05 1.645

0.99 0.01 2.33

El n ive l de s ign i f i cac ión α se concentra en una parte o co la .

La reg ión de aceptac ión en este caso será :

o b ien:

Un soc ió logo ha pronost icado, que en una determinada c iudad,

e l n ive l de abstenc ión en las próx imas e lecc iones será de l 40% como

mín imo. Se e l ige a l azar una muestra a leator ia de 200 ind iv iduos ,

con derecho a voto , 75 de los cua les estar ían d ispuestos a votar .

Determinar con un n ive l de s ign i f i cac ión de l 1%, s i se puede admit i r

e l pronóst ico .


H 0 : p ≥ 0.40 La abstenc ión será como mín imo de l 40%.

H 1 : p < 0.40 La abstenc ión será como máximo de l 40%;


Para α = 0.01 , le corresponde un va lor c r í t i co : z α = 2.33 .


3.Ver i f i cac ión.

4.Decis ión

Aceptamos la hipótesis nula H 0 . Podemos af i rmar , con un

n ive l de s ign i f i cac ión de l 1%, que la La abstenc ión será como mín imo

de l 40%.

Caso 2

La h ipótes is nu la es de l t ipo H 0 : μ ≤ k (o b ien H 0 : p ≤ k ) .

La h ipótes is a l ternat iva , por tanto , es de l t ipo H 1 : μ > k (o b ien

H 1 : p > k ) .

E l n ive l de s ign i f i cac ión α se concentra en la ot ra parte o co la .


o b ien:

Un in forme ind ica que e l prec io medio de l b i l le te de av ión entre

Canar ias y Madr id es , como máximo, de 120 € con una desv iac ión

t íp ica de 40 € . Se toma una muestra de 100 v ia jeros y se obt iene que

la media de los prec ios de sus b i l le tes es de 128 € .

¿Se puede aceptar , con un n ive l de s ign i f i cac ión igua l a 0 ,1 , la

a f i rmac ión de part ida?


H 0 : μ ≤ 120

H 1 : μ > 120

2.Zona de aceptac ión


Determinamos e l in terva lo de conf ianza:


Va lor obten ido de la media de la muestra : 128 € .

4. Dec is ión

No aceptamos la hipótesis nula H 0 . Con un n ive l de

s ign i f i cac ión de l 10%.

Errores de tipo I y t ipo I I

Error de t ipo I . Se comete cuando la hipótesis nula es

verdadera y , como consecuenc ia de l contraste , se rechaza .

Error de t ipo I I . Se comete cuando la hipótesis nula es falsa y ,

como consecuenc ia de l contraste se acepta .

H0 Verdadera Falsa

Aceptar

Decisón correcta

Probabil idad = 1

- α

Decisión

incorrecta:

ERROR DE TIPO II

Rechazar

ERROR DE TIPO I

Probabil idad = α

Decisión

correcta

La probabi l idad de cometer Error de t ipo I es e l nivel de

s ignif icación α .

La probabi l idad de cometer Error de t ipo I I depende de l

verdadero va lor de l parámetro . Se hace tanto menor cuanto mayor

sea n .

Inferencia estadística. Resumen

Inferencia estadística

Estudia cómo sacar conclusiones generales para toda la

población a part ir del estudio de una muestra, y el grado de

f iabi l idad o s ignif icación de los resultados obtenidos.

Muestreo probabilístico

Cons is te en e leg i r una muestra de una pob lac ión a l azar . Podemos

d is t ingu i r var ios t ipos :

Muestreo aleatorio simple:

Para obtener una muestra , se numeran los e lementos de la

pob lac ión y se se lecc ionan a l azar los n e lementos que cont iene la

muestra .

Muestreo aleatorio sistemático:

Se e l ige un ind iv iduo a l azar y a part i r de é l , a in terva los

constantes , se e l igen los demás hasta completar la muestra .

Muestreo aleatorio estratif icado:

Se d iv ide la pob lac ión en c lases o est ratos y se escoge,

a leator iamente, un número de ind iv iduos de cada est rato proporc iona l

a l número de componentes de cada est rato .

Intervalos característicos

El nivel de confianza (p) se des igna mediante 1 - α .

E l nivel de s ignif icación se des igna mediante α.

El valor cr ít ico (k) como z α / 2 .

P(Z>z α / 2) = α/2 P[-z α / 2 < z < z α / 2] = 1- α

En una d is t r ibuc ión N(μ, σ ) e l in terva lo caracter ís t ico

correspondiente a una probabi l idad p = 1 - α es :

(μ - z α / 2 · σ , μ + z α / 2 · σ )

1 - α α/2 z α / 2 Intervalos característicos

0.90 0.05 1.645 (μ - 1.645 · σ , μ + 1.645 · σ)

0.95 0.025 1.96 (μ - 1.96 · σ , μ + 1.96 · σ )

0.99 0.005 2.575 (μ - 2.575 · σ , μ + 2.575 · σ )

Distribución de las medias muestrales

Teorema central del l ímite

Si una pob lac ión t iene media μ y desv iac ión t íp ica σ , y tomamos

muestras de tamaño n (n>30, ó cua lqu ier tamaño s i la pob lac ión es

"normal" ) , las medias de estas muestras s iguen aprox imadamente la

d is t r ibuc ión:

Consecuenc ias :

1.Permite aver iguar la probabi l idad de que la media de una

muestra concreta esté en un c ier to in terva lo .

2.Permite ca lcu lar la probabi l idad de que la suma de los

e lementos de una muestra esté , a pr ior i , en un c ier to in terva lo .

3. In fer i r la media de la pob lac ión a part i r de una muestra .

Estimación

Intervalo de confianza

Se l lama as í a un interva lo en e l que sabemos que está un

parámetro , con un n ive l de conf ianza espec í f i co .

Nivel de confianza

Probabi l idad de que e l parámetro a est imar se encuentre en

e l in terva lo de conf ianza.

Error de est imación admisible

Que estará re lac ionado con e l rad io de l in terva lo de

conf ianza.

Estimación de la media de una población

Intervalo de confianza para la media

El intervalo de confianza , para la media de una pob lac ión,

con un nivel de confianza de 1- α , s iendo x la media de una

muestra de tamaño n y σ la desv iac ión t íp ica de la pob lac ión, es :


Tamaño de la muestra

Estimación de una proporción

Si en una población , una determinada caracter ís t ica se

presenta en una proporc ión p , la proporc ión p' , de ind iv iduos

con d icha caracter ís t ica en las muestras de tamaño n , se

d is t r ibu i rán según:

Intervalo de confianza para una proporción


Hipótesis estadísticas

Un T E S T E S T A D Í S T I C O es un proced imiento para , a part i r de

una muestra a leator ia y s ign i f i cat iva , extraer conclusiones que

permitan aceptar o rechazar una hipótesis p rev iamente

emit ida sobre e l va lor de un parámetro desconoc ido de una

pob lac ión.

La h ipótes is emit ida se des igna por H 0 y se l lama H I P Ó T E S I S

N U L A .

La h ipótes is contrar ia se des igna por H 1 y se l lama H I P Ó T E S I S

A L T E R N A T I V A .


1. Enunciar la hipótesis nula H 0 y la alternativa H 1 .

Bilateral H0=k H1 ≠ k

Unilateral

H0≥ k H1 < k

H0 ≤k H1> k

2.A part ir de un nivel de confianza 1 - α o el de

s ignif icación α . Determinar :

El valor z α / 2 (bi laterales), o bien z α (uni laterales)

La zona de aceptación del parámetro muestral (x o p' ) .

3. Calcular: x o p' , a part ir de la muestra.

4. Si el valor del parámetro muestral está dentro de la

zona de la aceptación, se acepta la hipótesis con un nivel

de s ignif icación α. Si no, se rechaza .

Contraste Bilateral

Se presenta cuando la h ipótes is nu la es de l t ipo H 0 : μ = k

(o b ien H 0 : p = k ) y la h ipótes is a l ternat iva , por tanto , es de l

t ipo H 1 : μ≠ k (o b ien H 1 : p≠ k ) .

E l n ive l de s ign i f i cac ión α se concentra en dos partes (o

co las) s imétr icas respecto de la media .

La reg ión de aceptac ión en este caso no es más que e l

correspondiente in terva lo de probabi l idad para x o p ' , es dec i r :

o b ien:

Contraste unilateral

Caso 1

La h ipótes is nu la es de l t ipo H 0 : μ ≥ k (o b ien H 0 : p ≥ k ) .

La h ipótes is a l ternat iva , por tanto , es de l t ipo H 1 : μ < k (o

b ien H 1 : p < k ) .

Valores críticos

1 - α α z α

0.90 0.10 1.28

0.95 0.05 1.645

0.99 0.01 2.33


o b ien:

Caso 2

La h ipótes is nu la es de l t ipo H 0 : μ ≤ k (o b ien H 0 : p ≤ k ) .

La h ipótes is a l ternat iva , por tanto , es de l t ipo H 1 : μ > k

(o b ien H 1 : p > k ) .


o b ien:

Errores

Error de t ipo I . Se comete cuando la hipótesis nula es

verdadera y , como consecuenc ia de l contraste , se rechaza .

Error de t ipo I I . Se comete cuando la hipótesis nula es

falsa y , como consecuenc ia de l contraste se acepta .

H0 Verdadera Falsa

Aceptar

Decisón correcta

Probabil idad = 1

- α

Decisión

incorrecta:

ERROR DE TIPO II

Rechazar

ERROR DE TIPO I

Probabil idad = α

Decisión

correcta

La probabi l idad de cometer Error de t ipo I es e l nivel

de s ignif icación α .

La probabi l idad de cometer Error de t ipo I I depende de l

verdadero va lor de l parámetro . Se hace tanto menor cuanto

mayor sea n .

Problemas de inferencia estadística

1En una fábr ica que consta de 600 t raba jadores queremos tomar

una muestra de 20. Sabemos que hay 200 t raba jadores en la secc ión A ,

150 en la B , 150 en la C y 100 en la D.

2En c ier to barr io se qu iere hacer un estud io para conocer mejor e l

t ipo de act iv idades de oc io que gustan más a sus hab i tantes . Para e l lo

van a ser encuestados 100 ind iv iduos e leg idos a l azar .

1.Expl icar qué proced imiento de se lecc ión ser ía más adecuado

ut i l i zar : muestreo con o s in repos ic ión . ¿Por qué?

2.Como los gustos cambian con la edad y se sabe que en e l barr io

v iven 2 .500 n iños , 7 .000 adu l tos y 500 anc ianos , poster iormente se

dec ide e leg i r la muestra anter ior ut i l i zando un muestreo est rat i f i cado.

Determinar e l tamaño muestra l correspondiente a cada est rato .

Para e fectuar un muestreo a leator io est rat i f i cado, será necesar io

que la muestra re f le je f ie lmente los est ratos ex is tentes en la pob lac ión;

deben cons iderarse los est ratos formados por : n iños , adu l tos y

anc ianos .

El tamaño muestra l de cada est rato deberá ser proporc iona l a la

presenc ia de l mismo en la pob lac ión or ig ina l :

Pob lac ión tota l : 2500 + 7000 + 500 = 10 000.

3En c ier ta cadena de centros comerc ia les t raba jan 150 personas

en e l departamento de persona l , 450 en e l departamento de ventas , 200

en e l departamento de contab i l idad y 100 en e l departamento de

atenc ión a l c l iente . Con ob jeto de rea l i zar una encuesta labora l , se

qu iere se lecc ionar una muestra de 180 t raba jadores .

1¿Qué t ipo de muestreo deber íamos ut i l i zar para la se lecc ión de

la muestra s i queremos que inc luya a t raba jadores de los cuatro

departamentos menc ionados?

2¿Qué número de t raba jadores tendr íamos que se lecc ionar en

cada departamento atend iendo a un cr i ter io de proporc iona l idad?

4Sea la pob lac ión de e lementos : {22,24, 26} .

1.Escr iba todas las muestras pos ib les de tamaño dos , escog idas

mediante muestreo a leator io s imple .

2.Calcu le la var ianza de la pob lac ión.

3.Calcu le la var ianza de las medias muestra les .

M 1 = {22, 24}, M 1 = {22, 26}, M 1 = {24, 26}

2.Calcu le la var ianza de la pob lac ión.

3.Calcu le la var ianza de las medias muestra les .

5Las bo lsas de sa l envasadas por una máquina t ienen μ = 500 g y

σ = 35 g . Las bo lsas se empaquetaron en ca jas de 100 un idades .




más de 51 kg .




más de 51 kg .

6El t iempo que tardan las ca jeras de un supermercado en cobrar a

los c l ientes s igue una ley normal con media desconoc ida y desv iac ión

t íp ica 0 ,5 minutos . Para una muestra a leator ia de 25 c l ientes se obtuvo

un t iempo medio de 5 ,2 minutos .

1.Calcu la e l in terva lo de conf ianza a l n ive l de l 95% para e l t iempo

medio que se tarda en cobrar a los c l ientes .


medio con un e l er ror de ± 0 ,5 minutos y un n ive l de conf ianza de l 95%.

1.Calcu la e l in terva lo de conf ianza a l n ive l de l 95% para e l t iempo

medio que se tarda en cobrar a los c l ientes .


medio con un e l er ror de ± 0 ,5 minutos y un n ive l de conf ianza de l 95%.

n ≥ 4

7En una fábr ica de componentes e lect rón icos , la proporc ión de

componentes f ina les defectuosos era de l 20%. Tras una ser ie de

operac iones e invers iones dest inadas a mejorar e l rend imiento se

ana l i zó una muestra a leator ia de 500 componentes , encontrándose que

90 de e l los eran defectuosos . ¿Qué n ive l de conf ianza debe adoptarse

para aceptar que e l rend imiento no ha suf r ido var iac iones?

p = 0 .2 q = 1 - p =0.8 p '= 90/ 500 = 0 .18

E = 0 .2 - 0 .18 = 0 .02

P (1 - z α / 2 <1.12) = 0 .86861 - 0 .8686 = 0 .1314

0.8686 - 0 .1314 = 0 .737

Nivel de confianza: 73.72%

8 La var iab le a l tura de las a lumnas que estud ian en una escue la

de id iomas s igue una d is t r ibuc ión normal de media 1 ,62 m y la

desv iac ión t íp ica 0 ,12 m. ¿Cuál es la probabi l idad de que la media de

una muestra a leator ia de 100 a lumnas sea mayor que 1 .60 m?

9Se ha tomado una muestra de los prec ios de un mismo producto

a l iment ic io en 16 comerc ios , e leg idos a l azar en un barr io de una

c iudad, y se han encontrado los s igu ientes prec ios :

95, 108, 97, 112, 99, 106, 105, 100, 99, 98, 104, 110, 107, 111,

103, 110.

Suponiendo que los prec ios de este producto se d is t r ibuyen según

una ley normal de var ianza 25 y media desconoc ida:

1.¿Cuál es la d is t r ibuc ión de la media muestra l?

2.Determine e l in terva lo de conf ianza, a l 95%, para la media

pob lac iona l .

1.¿Cuál es la d is t r ibuc ión de la media muestra l?

2.Determine e l in terva lo de conf ianza, a l 95%, para la media

pob lac iona l .

95% → z α / 2 =1.96

(104 - 1 .96 · 1 . 25, 104 + 1 .9 · 1 .25) = (101.55; 106.45)

10La media de las estaturas de una muestra a leator ia de 400

personas de una c iudad es 1 ,75 m. Se sabe que la estatura de las

personas de esa c iudad es una var iab le a leator ia que s igue una

d is t r ibuc ión normal con var ianza σ 2 = 0 ,16 m 2 .

1.Construye un interva lo , de un 95% de conf ianza, para la media

de las estaturas de la pob lac ión.

2.¿Cuál ser ía e l mín imo tamaño muestra l necesar io para que

pueda dec i rse que la verdadera media de las estaturas está a menos de

2 cm de la media muestra l , con un n ive l de conf ianza de l 90%?

1.Construye un interva lo , de un 95% de conf ianza, para la media

de las estaturas de la pob lac ión.

n=400 x =1.75 σ=0.4

1 - α=0.95 z α / 2=1.96

(1.75 ± 1.96 · 0.4/20 ) → (1.7108,1.7892)

2.¿Cuál ser ía e l mín imo tamaño muestra l necesar io para que

pueda dec i rse que la verdadera media de las estaturas está a menos de

2 cm de la media muestra l , con un n ive l de conf ianza de l 90%?

La muestra debe tener al menos 1083 personas.

11Las ventas mensuales de una t ienda de e lect rodomést icos se

d is t r ibuyen según una ley normal , con desv iac ión t íp ica 900 € . En un

estud io estad ís t ico de las ventas rea l i zadas en los ú l t imos nueve

meses , se ha encontrado un interva lo de conf ianza para la media

mensual de las ventas , cuyos extremos son 4 663 € y 5 839 € .

1. ¿Cuá l ha s ido la media de las ventas en estos nueve meses?

2. ¿Cuá l es e l n ive l de conf ianza para este in terva lo?

1. ¿Cuá l ha s ido la media de las ventas en estos nueve meses?

n = 9 x = (4663 + 5839) / 2 ; x =5251

2. ¿Cuá l es e l n ive l de conf ianza para este in terva lo?

E= ( 5839 - 4663) / 2 = 588

588 = z α / 2 · 900 / 3 z α / 2 = 1 .96

1-α = 0.95 → 95%

12Se desea est imar la proporc ión, p , de ind iv iduos da l tón icos de

una pob lac ión a t ravés de l porcenta je observado en una muestra

a leator ia de ind iv iduos , de tamaño n .

1. S i e l porcenta je de ind iv iduos da l tón icos en la muestra es igua l

a l 30%, ca lcu la e l va lor de n para que, con un n ive l de conf ianza de

0 ,95, e l er ror comet ido en la est imac ión sea in fer ior a l 3 ,1%.

2.Si e l tamaño de la muestra es de 64 ind iv iduos , y e l porcenta je

de ind iv iduos da l tón icos en la muestra es de l 35%, determina, usando

un n ive l de s ign i f i cac ión de l 1%, e l correspondiente in terva lo de

conf ianza para la proporc ión de da l tón icos de la pob lac ión.

1. S i e l porcenta je de ind iv iduos da l tón icos en la muestra es igua l

a l 30%, ca lcu la e l va lor de n para que, con un n ive l de conf ianza de

0 ,95, e l er ror comet ido en la est imac ión sea in fer ior a l 3 ,1%.

1- α=0.95 z α / 2 =1.96

Al menos 840 individuos.

2.Si e l tamaño de la muestra es de 64 ind iv iduos , y e l porcenta je

de ind iv iduos da l tón icos en la muestra es de l 35%, determina, usando

un n ive l de s ign i f i cac ión de l 1%, e l correspondiente in terva lo de

conf ianza para la proporc ión de da l tón icos de la pob lac ión.

α=0.01 1- α=0.99 z α / 2 =2.575

13En una pob lac ión una var iab le a leator ia s igue una ley normal

de media desconoc ida y desv iac ión t íp ica 2 .

1.Observada una muestra de tamaño 400, tomada a l azar , se ha

obten ido una media muestra a l igua l a 50. ¿Ca lcu le un interva lo , con e l

97 % de conf ianza, para la media de la pob lac ión.

2.Con e l mismo n ive l de conf ianza, ¿qué tamaño mín imo debe

tener la muestra para qué la ampl i tud de l in terva lo que se obtenga sea,

como máximo, 1?

1.Observada una muestra de tamaño 400, tomada a l azar , se ha

obten ido una media muestra a l igua l a 50. ¿Ca lcu le un interva lo , con e l

97 % de conf ianza, para la media de la pob lac ión.

2.Con e l mismo n ive l de conf ianza, ¿qué tamaño mín imo debe

tener la muestra para qué la ampl i tud de l in terva lo que se obtenga sea,

como máximo, 1?

n ≥ 76

14La cant idad de hemoglob ina en sangre de l hombre s igue una

ley normal con una desv iac ión t íp ica de 2g/d l .

Ca lcu le e l n ive l de conf ianza de una muestra de 12 extracc iones

de sangre que ind ique que la media pob lac iona l de hemoglob ina en

sangre está entre 13 y 15 g /d l .

15Se sabe que la desv iac ión t íp ica de las notas de c ier to examen

de Matemát icas es 2 ,4 . Para una muestra de 36 estud iantes se obtuvo

una nota media de 5 ,6 . ¿S i rven estos datos para conf i rmar la h ipótes is

de que la nota media de l examen fue de 6 , con un n ive l de conf ianza

de l 95%?


H 0 : μ = 6 La nota media no ha var iado.

H 1 : μ ≠ 6 La nota media ha var iado.




(6-1,96 · 0,4 ; 6+1,96 · 0,4) = (5,22 ; 6,78)


Va lor obten ido de la media de la muestra : 5,6 .

4. Dec is ión

Aceptamos la hipótesis nula H 0 , con un n ive l de s ign i f i cac ión

de l 5%.

16Un soc ió logo ha pronost icado, que en una determinada c iudad,

e l n ive l de abstenc ión en las próx imas e lecc iones será de l 40% como

mín imo. Se e l ige a l azar una muestra a leator ia de 200 ind iv iduos , con

derecho a voto , 75 de los cua les estar ían d ispuestos a votar .

Determinar con un n ive l de s ign i f i cac ión de l 1%, s i se puede admit i r e l

pronóst ico .


H 0 : μ ≥ 0.40 La abstenc ión será como mín imo de l 40%.

H 1 : μ < 0.40 La abstenc ión será como máximo de l 40%;




3.Ver i f i cac ión.

4.Decis ión

Aceptamos la hipótesis nula H 0 . Podemos af i rmar , con un n ive l

de s ign i f i cac ión de l 1%, que la La abstenc ión será como mín imo de l

40%.

17Un in forme ind ica que e l prec io medio de l b i l le te de av ión entre

Canar ias y Madr id es , como máximo, de 120 € con una desv iac ión t íp ica

de 40 € . Se toma una muestra de 100 v ia jeros y se obt iene que la

media de los prec ios de sus b i l le tes es de 128 € .

¿Se puede aceptar , con un n ive l de s ign i f i cac ión igua l a 0 ,1 , la

a f i rmac ión de part ida?


H 0 : μ ≤ 120

H 1 : μ > 120

2.Zona de aceptac ión




Va lor obten ido de la media de la muestra : 128 € .

4. Dec is ión

No aceptamos la hipótesis nula H 0 . Con un n ive l de

s ign i f i cac ión de l 10%.

18Una marca de nueces a f i rma que, como máximo, e l 6% de las

nueces están vac ías . Se e l ig ieron 300 nueces a l azar y se detectaron 21

vac ías .

1.Con un n ive l de s ign i f i cac ión de l 1%, ¿se puede aceptar la

a f i rmac ión de la marca?

2.Si se mant iene e l porcenta je muestra l de nueces que están

vac ías y 1-α = 0 .95, ¿qué tamaño muestra l se neces i tar ía para est imar

la proporc ión de nueces con un error menor de l 1% por c iento?

1.Con un n ive l de s ign i f i cac ión de l 1%, ¿se puede aceptar la

a f i rmac ión de la marca?

1 Enunc iamos las h ipótes is nu la y a l ternat iva :

H 0 : p ≤ 0.06

H 1 : p >0.06

2Zona de aceptac ión

α = 0.01 z α = 2.33 .


3Ver i f i cac ión.

4Decis ión

Aceptamos la hipótesis nula H 0 . Con un n ive l de s ign i f i cac ión

de l 1%.

2.Si se mant iene e l porcenta je muestra l de nueces que están

vac ías y 1-α = 0 .95, ¿qué tamaño muestra l se neces i tar ía para est imar

la proporc ión de nueces con un error menor de l 1% por c iento?

1 - α = 0 , 9 5 z α / 2 = 1 , 96

19La durac ión de la bombi l las de 100 W que fabr ica una empresa

s igue una d is t r ibuc ión normal con una desv iac ión t íp ica de 120 horas de

durac ión. Su v ida media está garant izada durante un mín imo de 800

horas . Se escoge a l azar una muestra de 50 bombi l las de un lo te y ,

después de comprobar las , se obt iene una v ida media de 750 horas . Con

un n ive l de s ign i f i cac ión de 0 ,01, ¿habr ía que rechazar e l lo te por no

cumpl i r la garant ía?


H 0 : µ ≥ 800

H 1 : µ <800


α = 0.01 ; z α = 2.33



x = 750

4Decis ión

Rechazamos la hipótesis nula H 0 . Con un n ive l de s ign i f i cac ión

de l 1%.

20Un fabr icante de lámparas e léct r icas está ensayando un nuevo

método de producc ión que se cons iderará aceptab le s i las lámparas

obten idas por este método dan lugar a una pob lac ión normal de

durac ión media 2400 horas , con una desv iac ión t íp ica igua l a 300. Se

toma una muestra de 100 lámparas produc idas por este método y esta

muestra t iene una durac ión media de 2320 horas . ¿Se puede aceptarr la

h ipótes is de va l idez de l nuevo proceso de fabr icac ión con un r iesgo

igua l o menor a l 5%?


H 0 : μ = 2400

H 1 : μ ≠2400


α = 0.05 z α = 1.96 .



Va lor obten ido de la media de la muestra : 2320 .

4Decis ión

Rechazamos la hipótesis nula H 0 , con un n ive l de s ign i f i cac ión

de l 5%.

21El contro l de ca l idad una fábr ica de p i las y bater ías sospecha

que hubo defectos en la producc ión de un modelo de bater ía para

te lé fonos móvi les , ba jando su t iempo de durac ión. Hasta ahora e l

t iempo de durac ión en conversac ión seguía una d is t r ibuc ión normal con

media 300 minutos y desv iac ión t íp ica 30 minutos . S in embargo, en la

inspecc ión de l ú l t imo lo te produc ido, antes de env iar lo a l mercado, se

obtuvo que de una muestra de 60 bater ías e l t iempo medio de durac ión

en conversac ión fue de 290 minutos . Suponiendo que ese t iempo s igue

s iendo Normal con la misma desv iac ión t íp ica :

¿Se puede conc lu i r que las sospechas de l contro l de ca l idad son

c ier tas a un n ive l de s ign i f i cac ión de l 2%?

¿Se puede conc lu i r que las sospechas de l contro l de ca l idad son

c ier tas a un n ive l de s ign i f i cac ión de l 2%?


H 0 : µ ≥ 300

H 1 : µ < 300


α = 0.02; 1- α = 0. 98; P(1.96)= 0. 98; z α = 1.96 .



µ = 290

4Decis ión

Rechazamos la hipótesis nula H 0 . Con un n ive l de s ign i f i cac ión

de l 2%.

22Se cree que e l n ive l medio de protombina en una pob lac ión

normal es de 20 mg/100 ml de p lasma con una desv iac ión t íp ica de 4

mi l ig ramos/100 ml . Para comprobar lo , se toma una muestra de 40

ind iv iduos en los que la media es de 18.5 mg/100 ml . ¿Se puede aceptar

la h ipótes is , con un n ive l de s ign i f i cac ión de l 5%?


H 0 : μ =20 mg/100 ml

H 1 : μ ≠ 20 mg/100 ml





Va lor obten ido de la media de la muestra : 18.5 .

4Decis ión

Rechazamos la hipótesis nula H 0 , con un n ive l de s ign i f i cac ión

de l 5%.

http://www.vitutor.com/estadistica/inferencia/i_e.html

Problemas de inferencia estadística

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