Unidad V.- Estadística InferencialInferencial

Ricardo Ruiz de Adana Pérez

Estadística Inferencial

• Conjunto de procedimientos que nos permiten, a partir de una muestra, obtener conclusiones sobre la población de la que procede dicha muestra.procede dicha muestra.– Estimación de parámetros poblacionales.– Contraste de hipótesis.

Población Conjunto de individuos u objetos sobre el que se desea conocer

una/s característica/s

InferenciaMuestreo

MuestraSubconjunto de individuos u objetos realmente estudiados

InferenciaMuestreo

Estimación de parámetros.

Estimación de parámetros poblacionales

• Estimación puntual.

• Estimación por intervalo.

Estimación de parámetros poblacionales

• Estimación puntual .– Consiste en considerar al valor del

estadístico muestral como una estimación del parámetro poblacional.del parámetro poblacional.

– Por ejemplo, si la tensión arterial sistólica media de una muestra es 125 mm Hg, una estimación puntual es considerar éste valor como una aproximación a la tensión arterial sistólica media poblacional.

Estimación de parámetros poblacionales

• Estimación por intervalo.– Consiste en calcular dos valores entre los cuales

se encuentra el parámetro poblacional que queremos estimar con una probabilidad queremos estimar con una probabilidad determinada, habitualmente el 95%.

– Por ejemplo, a partir de los datos de una muestra hemos calculado que hay un 95% por ciento de probabilidad de que la tensión arterial sistólica media de una población está comprendida entre 120 y 130 mm de Hg, (120 y 130 son los límites del intervalo de confianza).

Distribución muestral de medias• Si las medias de todas las posibles muestras

obtenidas de tamaño n de una población N las representamos en el eje de las x, y en el eje de las y la frecuencia absoluta, obtendremos una curva normal llamada: obtendremos una curva normal llamada: distribución muestral de medias, que tiene forma de campana (curva normal de Gaus).

x

Y fa

Teorema central del Iímite.• En una población en la que la variable x tiene una

distribución cualquiera de media µ y de desviación típica σ, si extraemos de dicha población muestras al azar formadas cada una por un conjunto de n elementos ( mayores de 30), la distribución de elementos ( mayores de 30), la distribución de frecuencias del conjunto de medias x obtenidas de dicha muestra adoptará una forma de curva normal cuya media es la media poblacional µ y desviación típica el error estándar de la media

• Error estándar de la media ES= S / √ n

Teorema central del Iímite

µ

ES= S / √ n

Teorema central del Iímite

• Es importante diferenciar la desviación típica (S) y el error estándar de la media (ES):

• Desviación típica : mide la dispersión de los valores de la muestra.valores de la muestra.

• Error estándar de la media : es la desviación típica de las medias obtenidas de sucesivas muestras de n elementos. Mide la dispersión de las medias muestrales.

Teorema central del Iímite

• Entre la media obtenida en una muestra y elES se encuentran el 68% de la superficie dela curva, y por lo tanto el 68% de las posiblesmedias a obtener en sucesivos muestreos.medias a obtener en sucesivos muestreos.

• Entre la media ± 1.96 ES se encuentran el95% de las medias muestrales.

• Entre la media ± 2.58 ES se encuentran el 99% de las medias muestrales.

Distribución normal reducida

• A partir de una distribución de una media y una desviación típica cualesquiera podemos obtener siempre una distribución de media cero y desviación típica uno restándole primero la media y dividiéndola luego por la desviación típica: es decir realizando la luego por la desviación típica: es decir realizando la transformación Z

• Donde Z es una nueva variable de media cero y desviación típica uno.

• Esta distribución permite calcular las probabilidades correspondientes a ciertos intervalos.

- x

= Zσ

µ

Estimación por intervalo de confianza: Media

• De acuerdo con el teorema del limite central, a partir de una muestra concreta en la que hallamos determinado su media (X) y su hallamos determinado su media (X) y su desviación típica (S) podremos calcular el error estándar de la media (ES)= S / √ n y estimar la media de la población de origen con su intervalo de confianza correspondiente, el cual viene formulado por la siguiente expresión

Estimación por intervalo de confianza: Media

• µ ε X ± Zα ( S / √ n)

- x

= Zσ

µ

• X media de nuestra muestra• S desviación típica de nuestra muestra• n tamaño muestral• Zα Desvío reducido hallado en la tabla de la ley

normal, habitualmente para una confianza del 95% (α =0.05 y, en consecuencia Z =1.96

Estimación por intervalo de confianza: Media

• Si la muestra es pequeña n≤30 se deberá recurrir a la distribución de la t de Student-Fisher, en cuyo caso el intervalo de confianza vendra dado por

• µ ε X ± tα ( S / √ n)

• X media de nuestra muestra• S desviación típica de nuestra muestra• n tamaño muestral• tα Valor hallado en la tabla de la t Student para un riesgo α

=0.05 y un numero de grados de libertad igual a n-1

• EJEMPLO .- En un estudio clínico interesa saber la glucemia media basal de una población, para llevar a cabo el estudio se lleva a cabo la selección de una muestra de 50 personas obteniéndose los siguientes resultados:

• X= 101 S= 28 n=50• a) Hacer una estimación puntual de µ.• a) Hacer una estimación puntual de µ.• b) Construir un intervalo de confianza del 95% para µ.

• c) Construir un intervalo de confianza del 99%• d) Interpretar los resultados.

• X= 101 S= 28 n=50• a) Una estimación puntual de µ es el valor de X 101.• b) µ ε X ± Z ( S / √ n) 101 ± 1.96x28/ √ 50 = 101 ± 7.76

– µ ε (93.24 , 108.76) P<0.05.• La glucemia basal media de la población está entre 93.24 y

108.76 y hay un 5% de probabilidad de que no esté entre estos valores, este es el error aleatorio .

• ± 7.76 es el error de estimación, tolerancia o precisión.

• c)101 ± 2.58 28/ √ 50 = 101 ± 10.16– µ ε (90.84 , 111.16) P<0.01.

• En el caso del intervalo de confianza del 99% hay un 99% de confianza de que la glucemia basal media esté entre 90.84 y 111.16,

• El error de estimación o precisión es ±10.16.

Teorema central del Iímite en el caso de proporciones

P

ES= √ (p x q/n

Estimación por intervalo de confianza: proporción

• P ε p ± zα √ (p x q) / n

• P porcentaje poblacional• p porcentaje muestral en tanto por uno• q (1-p) complementario del porcentaje muestral • n tamaño muestral• zα valor de la función normal tipificado para una

confianza del 95%

Estimación por intervalo de confianza: proporción

• Supuestos a verificar:– n.p y n.q >5– Proporciones no próximas ni a 0 ni a 1. En – Proporciones no próximas ni a 0 ni a 1. En

caso contrario deberíamos recurrir a tablas especiales confeccionadas a partir de una distribución binomial

• EJEMPLO .- En un servicio de cirugía se quiere estimar la proporción de infecciones postquirúrgicas ocurridas en las intervenciones realizadas entre 2000 y 2004 para lo cual se realiza un estudio por muestreo obteniendose los estudio por muestreo obteniendose los siguientes resultados:– p= 0.17 n=60– Realizar una estimación por intervalo para

una confianza del 95% y del 99%.

p= 0.17 n=60

• P ε (0.075 , 0.265) P<0.05 • Con los datos que tenemos podemos afirmar

0.05<P0.0950.17=60

0.830.17.1.960.17= ±±P

• Con los datos que tenemos podemos afirmar con un 95% de confianza que la proporción de pacientes con infecciones postquirurgicas está comprendida entre el 7.5% y el 26.5% .

p= 0.17 n=60

• P ε (0.045 , 0.294) P<0.01• Las expresiones anteriores indican que con los datos

que tenemos podemos afirmar con un 99% de

0.05<P0.1240.17=60

0.830.172.5650.17= ±±P

que tenemos podemos afirmar con un 99% de confianza que la proporción de pacientes con infecciones postquirúrgicas está entre el 4.5% y el 29.4%.

Analizar la influencia de Zα, S, py n en el intervalo de confianza y

en la tolerancia o precisión

• µ ε X ± Zα ( S / √ n)

• P ε p ± zα √ (p x q) / n

Diagramas de barras de error

• Útiles para comparar variables cuantitativas en dos o más grupos. En cada grupo se presenta el valor medio y el Intervalo de confianza al 95%.

• Si los intervalos no se solapan, implica que la diferencia es estadísticamente significativa.diferencia es estadísticamente significativa.

• Si los intervalos se solapen, implica que la diferencia no es estadísticamente significativa.

• Orienta hacia la magnitud de la diferencia con independencia del nivel de significación estadística

Diagramas de barras de error

Comparación del índice de masa corporal entre hombres y mujeres