Medidas de Tendencia Central. Marielba Pérez Acosta.

LAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL SON MEDIDAS ESTADÍSTICAS QUE PRETENDEN RESUMIR EN  UN  SOLO  VALOR  A  UN  CONJUNTO  DE  VALORES. REPRESENTAN  UN  CENTRO  EN  TORNO  AL  CUAL  SE ENCUENTRA  UBICADO  EL  CONJUNTO  DE  LOS  DATOS. LAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL MÁS UTILIZADASSON: MEDIA  MEDIANA                                               MODA

Medidas de Tendencia central.

Importancia de las medidas de tendencia central.

Las medidas de tendencia central (Media, Mediana, Moda) nos permiten fijar, establecer y/o proyectar limites y valores hacia los que tiende a ubicarse la variable que se esta evaluando. Por otra parte las Y la importancia es que permite fijar los valores de las variables para lograr una mejor administración de los procesos: Productivos, administrativos, de servicios, etc., en cualquier área donde se puedan generar y tomar datos: educativos, de salud, comercio, producción, economía, etc.

Promedio.

El promedio es un valor "central" calculado entre un conjunto de números. Es fácil de calcular: suma todos los números y divide por la cantidad de números que hay, y se obtiene el promedio.

Ejemplo de promedio

X= =6,4.

X= = 28,83.

Media aritmética.

Es el promedio aritmético de un conjunto de mediciones. Obtenemos la media aritmética al dividir la suma de las mediciones entre el numero de ellas en conjunto.

LA formula para calcular la media es: 

Supongamos que usamos la formula de la media para encontrar la media del conjunto de numeros 1, 1, 2 , 3 , 4 , 4.

Ejemplos.

𝑿=𝟏+𝟏+𝟐+𝟑+𝟒+𝟒=𝟐 ,𝟓 .𝟔

El número 2,5 es el punto de balance o media para estos valores.

, 85

Ahora para el conjunto 1, 3, 4, 7, 8, 9, 9

El número 5,85 es la media para estos valores.

SE LLAMA PROMEDIO GEOMÉTRICO PORQUE SU INTERPRETACIÓN TIENE QUE VER CON LA GEOMETRÍA. AL CALCULAR UN ÁREA DE UN RECTÁNGULO COMO A X B CON A≠B, AL ENCONTRAR EL PROMEDIO “GEOMÉTRICO” DE LOS DOS LADOS ENCONTRARÍAMOS UN RECTÁNGULO DE LADOS IGUALES (UN CUADRADO) EQUIVALENTE; ES DECIR QUE ESE CUADRADO TENDRÍA UN ÁREA IGUAL QUE LA DEL RECTÁNGULO INICIAL.

Promedio Geométrico.

𝑋=𝑛√∏𝑖=1

𝑛

𝑥1=𝑛√𝑥1∗𝑥2∗ 𝑋3∗… 𝑋𝑛

EJEMPLO

2√2 𝑥18=2√36=6.

Moda. Si en un conjunto de mediciones un valor en particular ocurre mas frecuentemente que cualquier otro, a este valor se le llama moda. Si dos valores tienen la misma frecuencia, o aproximadamente la misma, se dice que el conjunto es bimodal. Si tres valores tienen la misma frecuencia es trimodal, etc.

Ejemplo.

Tenemos un conjunto de mediciones 1, 3, 4, 4, 7, 3, 3, 4, 2, 7, 8, 3, 1.

1 II2 I 3 IIII4 III7 II 8 I

El numero 3 es la Moda.

Mediana.

Usaremos un ejemplo para ilustrar como hallar la mediana de un conjunto de números ( 4, 1, 6, 20, 3) Ordenándolos tenemos 1, 3, 4, 6, 20. El numero del medio o mediana, para este conjunto es 4 (N = 5, y es impar)

1, 3, 4, 6, 20. 

MdLa mediana es la medida de los dos números de en medio.

Medidas de dispersión.

Es un solo número que representa el desarrollo o valor de la dispersión de un conjunto de datos. Las medidas de dispersión muestran la variabilidad de una distribución, indicando por medio de un número, si las diferentes puntuaciones de una variable están muy alejadas de la media. Cuanto mayor sea ese valor, mayor será la variabilidad, cuanto menor sea, más homogénea será a la media. Así se sabe si todos los casos son parecidos o varían mucho entre ellos.

Las medidas de dispersión son:

Rango: ( o recorrido) es la diferencia que existe en el valor mayor y el valor menor de un conjunto de observaciones. Desviación absoluta media: es la medida de la desviación promedio de valores con respecto a la media del grupo, sin tomar en cuenta el signo de desviación.Varianza: es la dispersión que hay entre el rango y la media, es decir, es la disminución de los valores en torno a su media. Desviación estándar: es el valor de la dispersión en la unidades originales ( es el valor obtenido de la raíz cuadrada de la varianza); útil para un determinado conjunto de datos. Coeficiente de variación: expresa la desviación estándar como un porcentaje de la media; útil cuando se desea comparar la dispersión en dos conjuntos de datos, donde intervienen la media y la desviación estándar, también es aplicada al comparar resultados obtenidos por diferentes personas que investigan la misma variable.

Rango. El recorrido es la diferencia entre el

dato mayor y el dato menor.

R = D mayor – D menor

Por tanto, obtenemos: R = 8 – 0 = 8.

La utilidad del rango es la

sencillez de su calculo, pero es

limitada.

Cálculo de la desviación absoluta.

Se obtiene al restar la media a cada valor del grupo, eliminando el signo de desviación y hallando después el promedio.

La formula es:

𝐷𝐴𝑀=∑𝑖=1

𝑁

|𝑥𝑖−𝑥|𝑛

Cálculo de varianza para una muestra.

Para realizar el calculo de la varianza, se resta la media de cada uno de los valores, se elevan al cuadrado las diferencias para finalmente sumarlas. La suma de las desviaciones de los valores de la media se divide entre el tamaño de la muestra menos uno, esto es n – 1.

La formula es:

=

Medidas de posición. Las medidas de posición dividen un conjunto de datos en grupos con el mismo número de individuos.Para calcular las medidas de posición es necesario que los datos estén ordenados de menor a mayor.La medidas de posición son:

Cuartiles. Deciles. Percentiles.

Cuartil.Los cuartiles son medidas estadísticas de posición que tienen la propiedad de

dividir la serie estadística en cuatro grupos de números iguales de términos.

Se emplean generalmente en la determinación de estratos o grupos correspondientes a fenómenos socio-económicos, monetarios o teóricos. Los tres cuartiles suelen designarse con los símbolos: *Q1 = primer cuartil.*Q2 = segundo cuartil. *Q3 = tercer cuartil.

Calculo de cuartiles.

1. - Ordenamos los datos de menor a mayor.2. -Buscamos el lugar que ocupa cada cuartil mediante la expresión  ,k = 1, 2, 3.

3. - Buscamos el numero impar de datos. 2, 5, 3, 6, 7, 4, 9

2, 3, 4, 5, 6, 7, 9

Q1 Q2 Q3

Deciles.Los deciles son datos de medidas de posición que dividen la serie en 10 partes iguales.

Calculo de los deciles:

Los deciles se calculan como si fueran 10-cuartiles, o sea de manera que:

*El primer decil separe el juego de datos entre el 10% de los valores inferiores, y el resto de los datos.*Y el noveno decil separe los datos entre el 90% de los valores inferiores y el 10% de los valores superiores.*El término decil también se usa para designar cada uno de los diez grupos de valores (de la población o de una muestra) y también, a los diez intervalos que contienen el mismo número de datos: el decil n-simo, es el intervalo entre el decil-número (n-1) y el decil-número n (desde n=1 hasta n=10).

Percentiles.El percentil es una medida de posición usada en estadística que indica, una vez ordenados los datos de menor a mayor, el valor de la variable por debajo del cual se encuentra un porcentaje dado de observaciones en un grupo de observaciones. Por ejemplo, el percentil 20º es el valor bajo el cual se encuentran el 20 por ciento de las observaciones.

Los percentiles dan los valores correspondientes al 1%, al 2%... y al 99% de los datos.

Conclusión.

Las medidas de Tendencia Central son empleadas para resumir a los conjuntos de datos que serán sometidos a un estudio estadístico, se les llama medidas de tendencia central porque general mente la acumulación más alta de datos se encuentra en los valores intermedios.  Las medidas de dispersión hacen referencia a la variabilidad, o la evaluación de cuán separados o extendidos están los datos o bien cuanto difieren unos de otros. Las medidas de posición nos facilitan información sobre la serie de datos que estamos analizando.

Bibliografía. Sánchez, G. 2004. La estadística aplicada al análisis económico. Campos, G. 1969. Estadística de problemas. Caracas. Editorial

UCV. Rivas, E. 1975. Elementos de estadística General. Caracas.

Editorial UCV.