ESTADÍSTICA BÁSICA PARA LOS NEGOCIOS

EPORT

ESTADÍSTICA BÁSICA PARA LOS NEGOCIOS

JULIO RAMOS R. • VÍCTOR DEL ÁGUILA • ANA BAZALAR B.

Gross Sales by Sales Analysis

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Estadística básica para los negocios

Julio Ramos R. ● Víctor del Águila ● Ana Bazalar B.

Colección Textos UniversitariosEstadística básica para los negociosPrimera edición impresa: julio, 2017Primera edición digital: abril, 2020

© Universidad de LimaFondo EditorialAv. Javier Prado Este 4600,Urb. Fundo Monterrico Chico, Lima 33, PerúApartado postal 852, Lima 100Teléfono: 437-6767, anexo 30131

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Se prohíbe la reproducción total o parcial de este libro, por cualquier medio, sin permiso expreso del Fondo Editorial.

ISBN 978-9972-45-523-0

Índice 7

Presentación 11

Capítulo 1. Nociones básicas de la estadística 131. Definición,clasificacióneimportanciadelaestadística 151.1 Estadística 151.2 Clasificacióndelaestadística 16

1.2.1 Estadísticadescriptiva 161.2.2 Estadísticainferencial 17

1.3 Importanciaynecesidaddelaestadística 172. Términosbásicosenestadística 182.1 Poblaciónyparámetro 18

2.1.1 Poblaciónouniverso 182.1.2 Parámetro 19

2.2 Muestrayestadístico 202.2.1 Muestra 202.2.2 Estadístico 21

2.3 Unidaddeanálisis 222.4 Variables 22

2.4.1 Clasificacióndelasvariables 222.5 Datos 25

3. Conceptodemedición 263.1 Nivelesdemedición 26

4. Fasesdelmétodoestadístico 28Ejerciciosyproblemasresueltos1 31Ejerciciosyproblemaspropuestos1 47

Capítulo 2. Fuentes y técnicas de recolección de datos 591. Fuentesderecoleccióndedatos 611.1 Fuenteprimaria 611.2 Fuentesecundaria 62

2. Técnicasderecoleccióndedatosprimarios 642.1 Laobservación 642.2 Laexperimentación 642.3 Laencuesta 65

3. Encuestaspormuestreoycensos 653.1 Encuestapormuestreo 65

3.1.1 Tiposdeencuestaspormuestreo 66

Índice

Estadística básica para los nEgocios8

3.1.2 Etapasdeunaencuestapormuestreo 673.1.3 PrincipalesencuestaspormuestreoenelPerú 67

3.2 Censo 683.2.1 Etapasdelcenso 683.2.2 PrincipalescensosenelPerú 70

4. Instrumentodemediciónparaencuestas:elcuestionario 704.1 Etapasparasuconstrucción 714.2 Tiposdecuestionario 714.3 Tiposdepreguntasenelcuestionario 724.4 Unmodelodecuestionariodeencuesta 75

Ejerciciosyproblemasresueltos2 80Ejerciciosyproblemaspropuestos2 89

Capítulo 3. Técnicas de procesamiento y presentación de datos 951. Usodesumatoriaseintervalosparadatosestadísticos 971.1 Sumatorias 981.2 Intervalos 99

2. Organizacióndelosdatos:objetivosypasos 1002.1 Pasosenlaorganizacióndelosdatos 101

3. Procesamientootabulacióndedatos 1023.1 Cuadroestadístico 102

3.1.1 Estructurayelementosdeuncuadroestadístico 1023.2 Tablasdefrecuencias 103

3.2.1 Clasificacióndelastablasdefrecuencias 1043.2.2 Estructurayelementosdeunatabladefrecuencias 104

3.3 Gráficosestadísticos 1053.3.1 Clasificacióndelosgráficosestadísticos 1053.3.2 Estructurayelementosdeungráficoestadístico 106

3.4 Procesamientodedatosdeunavariablecualitativa 1073.4.1 Tabladefrecuencias 1073.4.2 Gráficodebarras 1093.4.3 Gráficodesectorescirculares 110

3.5 Procesamientodedatosdeunavariablecuantitativadiscretaderecorridocorto 1113.5.1 Tabladefrecuencias 1113.5.2 Gráficodebastones 112

3.6 Procesamientodedatosdeunavariablecuantitativacontinuaydiscretaderecorridolargo 1133.6.1 Tabladefrecuencias 1133.6.2 Histograma 1183.6.3 Polígonodefrecuencias 1193.6.4 Ojiva 120

3.7 Diagramadedispersiónparadosvariablescuantitativas 120Ejerciciosyproblemasresueltos3 123Ejerciciosyproblemaspropuestos3 134

Capítulo 4. Medidas estadísticas de resumen 1591. Definiciónyclasificacióndelasmedidasestadísticas 1611.1 Definición 161

Índice 9

1.2 Clasificacióndelasmedidasestadísticas 1612. Medidasestadísticasdecentralizaciónyposición 1612.1 Mediaaritmética X( ) 162

2.1.1 Propiedadesdelamediaaritmética 1632.1.2 Cálculodelamediaaritméticacondatosagrupados

enunatabladefrecuencias 1642.1.3 Mediaponderada 165

2.2 Mediana(Me) 1662.2.1 Cálculodelamedianacondatosnoagrupados 1672.2.2 Cálculodelamedianacondatosagrupados (tabuladossinintervalos) 1692.2.3 Cálculodelamedianacondatosagrupados (tabuladosconintervalos) 170

2.3 Modaovalormodal(Mo) 1722.3.1 Cálculodelamodacondatosnoagrupados 1722.3.2 Cálculodelamodacondatosagrupados (tabuladosconintervalos) 172

2.4 Comparaciónentrelamediaaritmética,lamedianaylamoda 1742.5 Cuantiles 1762.6 Cuartiles(Qk) 177

2.6.1 Cálculodecuartilescondatosnoagrupados 1772.6.2 Cálculodecuartilescondatosagrupados (tabuladosconintervalos) 179

2.7 Percentiles(Pk) 1812.7.1 Cálculodepercentilescondatosnoagrupados 1812.7.2 Cálculodepercentilescondatosagrupados (tabuladosenintervalos) 182

2.8 Mediageométrica GX( ) 185Ejerciciosyproblemasresueltos4.1 187Ejerciciosyproblemaspropuestos4.1 199

3. Medidasestadísticasdedispersiónovariabilidad 2163.1 Clasificacióndelasmedidasdedispersiónovariabilidad 216

3.1.1 Medidasabsolutasdevariabilidad 2163.1.2 Medidasrelativasdevariabilidad 217

3.2 Rangooamplitudtotal(R) 2173.3 Rangointercuartil(RQ) 2183.4 Desviaciónmedia(Dm) 219

3.4.1 Cálculodeladesviaciónmediacondatosnoagrupados 2193.4.2 Cálculodeladesviaciónmediacondatosagrupados 220

3.5 Varianza(S2) 2213.5.1 Cálculodelavarianzacondatosnoagrupados 2213.5.2 Cálculodelavarianzacondatosagrupados 2223.5.3 Propiedadesdelavarianza 224

3.6 Desviaciónestándar(S) 2243.6.1 Propiedaddeladesviaciónestándar 225

3.7 Coeficientedevariación(CV) 2263.7.1 Interpretacióndelcoeficientedevariación 227


3.8 Comparacióndeladesviaciónmediacon ladesviaciónestándar 229Ejerciciosyproblemasresueltos4.2 230Ejerciciosyproblemaspropuestos4.2 235

4. Medidasestadísticasdeasimetría 2404.1 CoeficientedeasimetríadeFisher(AF) 2414.2 CoeficientesdeasimetríadePearson 241

4.2.1 PrimercoeficientedePearson(AP1) 2414.2.2 SegundocoeficientedePearson(AP2) 241

4.3 Interpretacióndelcoeficientedeasimetría 242Ejerciciosyproblemasresueltos4.3 244Ejerciciosyproblemaspropuestos4.3 250

5. Gráficosparaelanálisisexploratoriodedatos 2555.1 Diagramadetallosyhojas 255

5.1.1 Construccióndeldiagramadetallosyhojas 2565.2 Diagramadecajaybigotes 259

5.2.1 Deteccióndedatosatípicosuoutliers 261Ejerciciosyproblemasresueltos4.4 263Ejerciciosyproblemaspropuestos4.4 269

Capítulo 5. Técnicas de conteo de posibilidades 2771. Utilidaddelastécnicasdeconteo 2792. Principiosdeconteo 2792.1 Principiodemultiplicación 2792.2 Principiodeadición 281

3. Permutaciones 2823.1 Permutacionesdenobjetosdiferentes 2823.2 Permutacionesdenobjetosdiferentestomadosdekenk 2833.3 Permutacionescongruposdeobjetosigualesorepetidos 284

4. Combinaciones 285Ejerciciosyproblemasresueltos5 287Ejerciciosyproblemaspropuestos5 289

Respuestas a los ejercicios y problemas propuestos 295

Referencias bibliográficas 311

Presentación 11

Presentación

Lasprimerasformassimplesdeestadísticaaparecieronconeliniciodelacivi-lización;seutilizabarepresentacionesgráficasenrocas,maderayparedesparacontarelnúmerodepersonas,animalesociertosobjetos.EnBabilonia,enelaño3000antesdeCristo,seusabatablasdearcillapararecolectarinformaciónsobrelaproducciónagrícola.Losegipciosyaanalizabanlosdatosdesupoblaciónylarentadelpaísmuchoantesdeconstruir laspirámides;delmismomodo,laculturaChinarealizabacensosordenadosporelemperadorTao,haciaelaño2200antesdeCristo.EnelsigloXIX,laestadísticaentraenunanuevafasedesudesarrollodebido

alageneralizacióndelmétodoparaestudiarfenómenosdelascienciasnaturalesysociales.SepuedeconsideraraGaltonyPearsonlospadresdelaestadísticamoderna,puesaellossedebeelpasodelaestadísticadeductivaalaestadísticainductiva(Estadísticaparatodos,2008).En laactualidad, con lapopularizaciónde las computadoras laestadística

sehaconvertidoenunacienciapoderosa.Elnúcleocentraldelametodologíaestadística sebasaen técnicasde computación intensiva, aplicadasagrandesmasasdedatosenbúsquedadelmodeloideal.Sinembargo,losfundamentosdelaestadísticaactual,ymuchosdesusmétodosinferencialesiniciadosporFisher,partendelaestadísticadescriptiva.Elpresentelibrotratasobrelaestadísticadescriptivayhasidoorientadoalos

negocios,basadoenlaexperienciadocentedelosautoreseneldictadodeloscur-sosdeestadísticaenlaUniversidaddeLima.ElcontenidotemáticocorrespondealaasignaturaEstadísticaBásicaparalosNegocios,quesedictaenelProgramadeEstudiosGeneralesdelaUniversidaddeLimaycomprendecincocapítulos.Enelcapítulo1sepresentanlasnocionesbásicasdelaestadística,aquíse

desarrollanlostérminosbásicos,asícomolasfasesdelmétodoestadístico.Enelcapítulo2setratanlasfuentesytécnicasderecoleccióndedatos,que

eseltemamásdesarrollado,porsuimportanciaenelprocedimientoestadístico.


Lastécnicasdeprocesamientoypresentacióndelosdatossedesarrollanenelcapítulo3,yseagregaunapequeñaintroducciónsobreelusodesumatoriaseintervalosparaelresumendelosdatos.Enestecapítulosetrabaja,principal-mente,laelaboracióndelastablasdefrecuenciasylosgráficosestadísticosdeacuerdoaltipodevariablequeseestáestudiando.Enelcapítulo4seestudianlasmedidasestadísticasderesumenylosgráfi-

cosestadísticosparaelanálisisexploratoriodedatos.Elestudiodelasmedidasestadísticasderesumensedividióentrespartes:medidasdetendenciacentralyposición,medidasdedispersiónovariabilidadymedidasdeasimetría.Losgráficosutilizadosenelanálisisexploratoriodedatosson:diagramadetallosyhojas,ygráficodecajaybigotes.Enelcapítulo5sedesarrollanlastécnicasdeconteodeposibilidadesdeocu-

rrencias,losprincipiosbásicosdelconteodeposibilidades,laspermutacionesycombinaciones;loscualessontemasimportantesparaelcálculodeprobabilidadbasadoenladefiniciónclásica.Finalmente,agradecemosa laspersonasquenoshanapoyadoenlaelabo-

racióndeeste libro,enespecialalprofesorMáximoMitacc,quienrevisóestematerialynosalcanzósugerenciasyobservaciones;deigualmodo,alprofesorFernandoHoyos,quiennosmotivóybrindósudecididoapoyoparalaculmina-cióndeesteproyecto.

Los autores

LaEstadística esuna ciencia fundamentalparalatomadedecisiones,sobretodocuan-doprevalecensituacionesdeincertidumbreen los campos sociales, salud, negocios,entreotros.Enestecapítuloseenfatizarán las aplicaciones en los negocios (finanzas,comercio,estudiosdemercadoyotros).Para emplear métodos y procedimientospara la medición, clasificación, análisis einterpretacióndedatosesnecesariocono-cerlaclasificación,lostérminostécnicos,elmétododemediciónde lascaracterísticasylasfasesdelmétodoestadísticoenlain-vestigacióncientífica.

SabesCapacidadesadquiridas

9 Entenderydescribirunproblemadein-vestigación identificando sus distintasetapas

9 Identificarlosdiferentestiposdeinves-tigación y las características que cadaunodeellosrepresentan.

PiensasCompetenciasporlograr

9 Identificarlostérminosestadísticos. 9 Clasificar lasvariablesbajoestudiose-gúnsunaturalezayniveldemedición.

9 Reconocerlasdistintasfasesdelmétodoestadístico.

HacesHabilidadespordesarrollar

9 Analizarunproblemadeinvestigaciónenlosnegociosydescribirloutilizandolostérminosestadísticos.

9 Distinguirentreestadísticadescriptivaeinferencialenunproblemadeinvesti-gaciónenlosnegocios.

Contenido

1. Definición,clasificacióneimportan-ciadelaestadística.

2. Términosbásicosenestadística.3. Conceptodemedición.4. Fasesdelmétodoestadístico.

Nociones básicas de la estadística

Capítulo

1


Perú ocupa el puesto 42 en tamaño de población con más de 31 millones de habitantes. ¿La estadística descriptiva nos permite conocer esto?

LapoblacióndelPerúasciendea31488625personas,informóelIns-titutoNacionaldeEstadísticaeInformática(INEI),enelDíaMundialdelaPoblacióndel2016.Deesacifra,el50,1%sonhombresyel49,9%mujeresy9985664

depersonasseencuentranenlaregiónLima.Laestadísticadescriptivautilizatécnicaspararecolectar,ordenar,

resumiryclasificardatosconlafinalidaddetenerunavisiónmáspre-cisayconjuntadeunfenómenooproblemadeinvestigación.Elaná-lisisdedatosayudaadescubrirposiblesrelacionesentrelasunidadesestudiadas,determinandocuálestomanvaloresparecidos,cuálesdi-fierengrandementedelrestoydestacandohechosdeposibleinterés.EnelPerú,el INEIeselorganismooficialencargadode realizar

estudiosbasadosenlaestadísticadescriptiva,quenospermitansaber¿cuántossomos?,y¿cómoestamosdistribuidos?Otroobjetivodelaestadísticadescriptivaespresentarlosresulta-

dosdetalmodoquedescribanfácilmenteelfenómenoestudiado.Paraaplicarlastécnicasdelaestadísticadescriptivaserequierecono-

cerpreviamentesustérminostécnicos,elniveldemedicióndelosdatosylasetapasquesesiguenpararealizarunainvestigaciónestadística.

Capítulo 1. NoCioNes básiCas de la estadístiCa 15

1. Definición, clasificación e importancia De la estaDística

1.1 Estadística

Laactividadestadísticasurgeencivilizacionescomolaegipcia,lagriega,laro-manaylachina,queperiódicamenterealizabancensosenlosquesusfunciona-riosrecababaninformacionestalescomo:númerodehabitantes,matrimonios,defunciones,tiposderecursos,númerodenacimientos,entreotros,detodalapoblación.EnelPerú,elprimercensogeneralhabríasidorealizadoporelincaSinchiRoca(1230-1260),enelImperiodelTahuantinsuyo,quehabríadetermina-dolaexistenciade200000hombresaptosparalaguerra(INEI,2016).ComolafuncióndelosdiversosnivelesdelEstadoes,entreotrascosas,lle-

varlosregistrosdelapoblación,nacimientos,indicadoresagrarios,impuestosydemás,tradicionalmentesedefinióalaestadísticacomouninstrumentodecompilación,organización,presentaciónyanálisisdelosdatosnuméricosquenecesitanlosEstados.Porestarazón,etimológicamenteeltérmino“estadística”sederivadelapa-

labraqueprovienedellatínstatisticusquesignifica‘delEstado’.Pero cuando realizamos investigaciones en los camposde la economía, la

administración,lamedicina,lapsicología,lafísica,laquímica,labiología,nosdamoscuentadequelaestadísticaesfundamentaly,envarioscasos,eselúnicoinstrumentoconquecontamoshoyparapodermedir,clasificar,analizareinter-pretardatosdecualquieradelasdosramasdelascienciasfácticas.Losmétodosestadísticossonunodelosmediosporlosqueelhombretrata

decomprenderlasrelacionesentredeterminadosgruposdeobjetos,elementoso personasyencontrartendenciasosimilitudesapartirdelacompilaciónein-terpretacióndedatosnuméricos.Estosmétodossonfundamentalmentelosmis-mos,independientementedequeseapliquenenelanálisisdefenómenosfísicos,


enelestudiodemedicioneseducacionales,enelestudiodedatosprovenientesdeexperimentosbiológicos,odelanálisiscuantitativodeteoríaeneconomía.Porloexpuesto,laestadísticaesunacienciaqueseaplicaacualquieradelas

ramasdelascienciasfácticasynosproporcionaunconjuntodemétodosypro-cedimientosparalamedición,clasificación,análisiseinterpretacióndedatosenformaadecuada,paraquenospermitantomardecisionescuandoprevalezcansituacionesdeincertidumbre.

1.2 Clasificación de la estadística

Existen dos formas conocidas de clasificar la estadística. Según el orden de ejecucióndelasactividades,laestadísticaseclasificaendescriptiva e inferencial,ysegúnelnúmerodevariablesseclasificaenunivariante y multivariante.Enestasecciónabordaremoslaclasificaciónsegúnelordendeejecucióndelasac-tividades.

1.2.1 Estadística descriptiva

Seencargaderecolectar,clasificar,presentar,describir,resumirosimplificarda-tos,cuyoanálisisnopretendeirmásalládelconjuntodelosdatosobtenidosdelamuestraodelapoblación.Laestadísticadescriptivaes,pues,unconjuntodeprocedimientosquetienenporobjetopresentargruposdedatossimplificadosentablas,gráficosomedidasderesumen.Endefinitiva,laestadísticadescrip-tivacomprendeaquellas técnicasqueseusanparasimplificar la información(usualmentelargaslistasdedatos)delaformamásprecisaposible,atravésdemedidasderesumen,tablas,cuadrosygráficos,parafacilitarlasdescripcionesycomparaciones.Loselementosde laestadísticadescriptiva,deacuerdoasuocurrencia,sepresentanacontinuación:

Figura 1.1 Elementos de la estadística descriptiva

Recolecciónde datos

Críticay clasi�cación

de datos

Presentaciónde información

Tablas, grá�cosy medidas

estadísticas

Análisisdescriptivo

Elaboración propia


Ejemplo 1.1Elgerentedeunaempresamidióelniveldeconocimientodetodosuperso-naladministrativoenelmanejodehojaselectrónicasdecálculo.Aplicóunapruebay representó las calificacionesenalgunosgráficos, tablasycalculóalgunosindicadores.Concluyóquesupersonaladministrativoposeeundo-minioaceptabledelashojaselectrónicas.

1.2.2 Estadística inferencial

Podemos considerarque la estadística es inferencial cuandopretende inferir, predecir o hacer conclusiones de una población a partir de los datos de sumuestra.Comoalgunosdelosresultados,puedensercompletaoparcialmente ciertosyotrosno,estánligadosaciertogradodeincertidumbredentrodeloslímitesdeerroryprobabilidad,losmismosquesepuedendeterminarestadís-ticamenteencadacaso(Sierra,1997).Loselementosdelaestadísticainferencialsepresentanacontinuación:

Figura 1.2 Elementos de la estadística inferencial

Elaboración propia

Ejemplo 1.2Unaempresadeinvestigacióndemercadosrealizóunestudiopormuestreodeconsumidoresdebebidasenergéticas,seleccionóunamuestradeconsumidores(mujeresyhombres)deestetipodebebidasyconbaseenlosdatosobtenidos,probóqueloshombresconsumenmásbebidasenergéticasquelasmujeres.

1.3 Importancia y necesidad de la estadística

Laestadísticaesunadisciplinaqueimplicalarecolecciónylaorganizacióndelosdatosparadescribir,interpretarypredecirelcomportamientofuturodeestos.Porestarazón,laestadísticaseutilizaencasitodaslasactividadesyáreasdelsaber

Población objetivo• Características

desconocidas

Muestra probabilística• Seleccionada con leyes

de probabilidad

Datos • Obtenidos de cada

unidad de la muestra

Estimaciones• Calculadas con los datos

de la muestra

Conclusiones• Válidas para la población, con

un error y confiabilidad tolerada


humano,porejemplo,en las industriasalimentarias, farmacéuticas, lascompa-ñíasaseguradoras,elgobiernocentralyenlosdistintosconocimientoshumanos(cienciassociales:economía,medicina,biología,psicología,entreotras;cienciasnaturales: física, química, entre otras). En estas últimas se utilizan diferentes técnicaspara realizar investigacionescuantitativascon lafinalidaddeconocer,porejemplo,elcomportamientodelosclientessobreproductosnuevosyelmejo-ramientodelosexistentes;asícomopararealizarinvestigacionesestadísticasenlosámbitosestataloacadémico.

Estadística en los negocios

Laestadísticaesfundamentalparagestionarymejorartemasoactividadesrela-cionadosconlosnegocios,porejemplo:– Losnivelesdesatisfaccióndelosclientesyusuarios– Lostiposdeaccidentesysusfrecuencias– Ventasporclientes,vendedores,zonasyproductos– Prediccionesdeventasporzonas,productos,serviciososucursales– Proyectosdeinversión– Evolucióndelasdistintasratioseconómicas-financierasypatrimonialesalolargodeltiempo

– Estudioseinvestigacióndemercado– Productosmásdemandados,enelámbitoglobal,porzonayporcanaldecomercialización

– Estadísticadelpersonal(directivoyempleado)– Elcontroldecalidad

2. términos básicos en estaDística

Laestadística,alserciencia,poseesupropiaterminologíatécnica.Acontinua-ciónsepresentanlostérminosbásicosydefinicionesdellenguajeestadístico.

2.1 Población y parámetro

2.1.1 Población o universo

Eselconjuntodetodosloselementosquecompartenunacaracterísticaquesedesea investigar. Estas características deben estar claramente definidas, en elespacioyel tiempo.Dichoselementospueden serpersonas,hogares,manza-nas,distritos,ciudades,escuelas,hospitales,empresas,latasdeleche,televiso-res,periódicos, revistas, series televisivas,entreotros (Hernández,Fernández yBaptista,1994)


Lapoblaciónseclasificaen:• Población finita.Esaquellacuyoselementossonsusceptiblesdeserconta-dos.Paraestudiosenlascienciassociales,unapoblaciónseconsiderafinitacuandoelnúmero totaldeelementosesmenoro iguala100000 (Sierra,1997).Porlogeneral,unapoblaciónfinitasedefineconlímitesdeespacioydetiempo.

• Población infinita.Esaquellacuyoselementosnosonsusceptiblesdesercontados;esdecir,cuandosonilimitados.Paraestudiosenlascienciasso-ciales,unapoblaciónseconsiderainfinitacuandoelnúmerototaldesuselementosesmayora100000(Sierra,1997).

Cuandonos interesaestudiarunapoblaciónouniversoenunproblemadeinvestigación,estasedenominapoblaciónobjetivo.

Ejemplo 1.3Enunestudiodemercadosedefinelapoblaciónobjetivocomo“laspersonasresidenteseneldistritodeLaMolina,queconsumierongaseosaenelmespa-sado”.Esdecir,lainvestigacióntendráquerecolectardatosdelaspersonasqueconsumierongaseosaelmespasadoeneldistritodeLaMolina.

2.1.2 Parámetro

Esunamedidaderesumendetodalapoblación.Seexpresa,porejemplo,comototalpoblacional,mediapoblacional,proporciónoporcentajepoblacional,razónpoblacional,entreotros.Suvalorrepresentaunacaracterísticanuméricadelapo-blación;losparámetrossondifícilesdecalcularporqueenmuchoscasoslareco-leccióndedatosdetodalapoblaciónesprácticamenteimposibleperopuedenserinferidosmediantelosestadígrafos,dedondeprovieneelnombrede“estadísticainferencial”(Hernández,FernándezyBaptista,1994).Enelsiguientecuadrosepresentanlosparámetrosmásutilizadosenlaesta-

dísticainferencial.

Parámetros SímbolosTotalpoblacional T

Mediapoblacional µ

Proporciónpoblacional π

Varianzapoblacional 2σ

Desviaciónestándarpoblacional σ


Ejemplo 1.4EnelestudiodemercadoeneldistritodeLaMolinasedefiniólapoblaciónobjetivocomo“laspersonasresidenteseneldistritodeLaMolina,queconsu-mierongaseosaenelmespasado”;entonces,algunosparámetrosdeinteréspodríanserlossiguientes:– Gastopromediomensual en consumode gaseosade los consumidoresqueresideneneldistritodeLaMolina,elmespasado.

– Porcentaje de consumidores de gaseosas que residen en el distrito de LaMolinaqueprefierenlamarca“KolaSabor”,elmespasado.Losvaloresdelosparámetrosanterioressondesconocidos,senecesitaría

consultaratodoslosconsumidoresdegaseosasdeLaMolinaparaconocerelverdaderovalordecadaparámetro.

2.2 Muestra y estadístico

2.2.1 Muestra

Esunsubconjuntodelapoblación,debidamenteseleccionadomedianteelusodetécnicasestadísticasomedianteeljuiciodeunexperto.Silosdatosdeunamuestrasehanobtenidohaciendousodeprocedimientosqueutilizanelcálculodeprobabilidades,sepuederealizarinferenciasdelapoblacióndedondeproce-de(Sierra,1997).Lamuestrapuedeserprobabilísticaynoprobabilística.

• Muestra probabilística.Esaquellamuestraqueseobtienepormétodosprobabilísticosde selección, enel cual cadaelementode lapoblaciónouniversotieneunaprobabilidadconocidadeselección.Laestadísticain-ferencialrequiereestetipodemuestraparapoderexpandirsusresultadosobtenidosalapoblacióndeestudio.Laprincipalventajadeestetipodemuestraesquepuedemedirseeltamañodelerrormuestralennuestraspredicciones(Hernández,FernándezyBaptista,1994).

• Muestra no probabilística.Llamadatambiénmuestradirigida,esaquellaqueseobtienemedianteeljuicioocriteriodeunapersona,generalmenteunexpertoenlamateriaqueseleccionaloselementosdelamuestra.Estemétodoestábasadoen lospuntosdevistasubjetivosdeunapersonay suponen un procedimiento de selección informal y algo arbitraria. La teoríadelaprobabilidadnopuedeserempleadaparamedirelerrordemuestreo, locualconstituyesumayordesventaja.Entresusprincipalesventajas podemosmencionar que es fácil de obtenerla a travésde con-vocatorias; por ejemplo: muestra de sujetos voluntarios, sujetos-tipos, entreotros;oacudiendoainstitucionesuorganizacionesqueposeanlainformación que se requiere.De estemodo se abarata el costo, ya queusualmenteesmásbajoqueeldelasmuestrasprobabilísticas(Hernández,FernándezyBaptista,1994).


Ejemplo 1.5EnelestudiodemercadoenLaMolinasedefiniólapoblaciónobjetivocomo“laspersonasresidenteseneldistritodeLaMolinaqueconsumierongaseosaenelmespasado”.Entonces, lamuestrapodríaestarconformadapor“400consumidoresdegaseosasqueresidenenLaMolina,seleccionadosmediantealgúnmétododemuestreoprobabilístico,enelmespasado”.

2.2.2 Estadístico

Conocidotambiéncomoestadígrafo,eselvalorcalculadobasadoenlosdatosqueseobtienendeunamuestray,porlotanto,esunaestimaciónoaproxima-cióndelparámetro.En estadística inferencial, los estadísticos sirvenpara es-timarlosparámetrosdepoblaciónquegeneralmentesedesconocen.Entrelosestadísticosconocidossetienenlamediamuestral(promedio),laproporciónoporcentajemuestral,entreotros.Enelsiguientecuadro,sepresentanlosestadísticosmásutilizadosenlaes-

tadísticainferencial.

Estadísticos Símbolos

Totalmuestral T̂

Mediamuestral X

Proporciónmuestral p

Varianzamuestral S2

Desviaciónestándarmuestral S

Ejemplo 1.6EnelestudiodemercadodeLaMolinaseconsideróunamuestrade400con-sumidoresdegaseosas,seleccionadosdelmecionadodistrito,elmespasado;entonces,losestadísticosdeinteréspodríanser:– Gastopromediomensualenconsumodegaseosadelos400consumidoresseleccionadosdeldistritodeLaMolina,enelmespasado.

– Porcentajedeconsumidoresqueprefierenlamarca“KolaSabor”,delos400consumidoresseleccionadosdeldistritodeLaMolina,enelmespasado.Elvalordelosestadísticosanterioresesfácildeconocerycalcular,debido

aquesoloseutilizalosdatosdeunamuestra.Estosvaloressonestimacionesoaproximacionesdelosparámetrosdefinidosenelejemplo1.4.


2.3 Unidad de análisis

Conocidotambiéncomounidadelemental,unidaddeobservaciónounidades-tadística.Eselelementoounidadbasedelapoblación,odelamuestra,delcualseobtendrándatosreferidosaciertascaracterísticasovariablesquenosintere-sanparaexplicarundeterminadofenómeno.Estaspuedenser:unapersona,unprogramatelevisivo,unperiódico,unarevista,unbanco,unaempresa,etc.

Ejemplo 1.7EnelestudiodemercadodeldistritodeLaMolinalaunidaddeanálisisesunconsumidordegaseosaqueresideenLaMolina,enelmespasado.

2.4 Variables

Enestadística, lavariable esuna característicade launidaddeanálisis, cuyamedidapuedecambiardevalor,yestecambioescapazde“medirse”.Eltérmi-novariableprovienedel latínvariabilis,quesignificacambiante.Unavariableesunapropiedadquepuedevariarysepuedemedir(Hernández,FernándezyBaptista,1994).Serepresentasimbólicamentemediantelasletrasmayúsculasdelalfabetoespañol(X,Y,Z).

2.4.1 Clasificación de las variables

Alasvariables se lesdadiferentesclasificaciones, lasmásusuales son las si-guientes(PinoGotuzzo,2007):

a) Según su naturaleza

Deacuerdoasunaturaleza,lasvariablesseclasificanencualitativasycuantitativas.• Variables cualitativas: Sonaquellasquerepresentancualidades,atributos,modalidadesocate-goríasnonuméricas;porejemplo:sexo,lugardenacimiento,religión,tipodeatenciónaunclienteenunainstitución,entreotros.Estascategoríasdebenestarbiendefinidas,detalmodoqueningunaunidaddeanálisispuedeestarclasificadaenmásdeunacategoríaalavez,nipuedaquedarfueradealgunadelascategoríasdelavariable.

Lasvariablescualitativaspuedensernominalesuordinales.– Variablescualitativasnominales: sonaquellasquesolopermitenasig-narnombresoetiquetasalosdatos,formandocategoríasquenotienenningúnordenentreellas.

A continuación se presentan algunos ejemplos de variables cualita- tivasnominales.


Ejemplo 1.8Tipodeatenciónaunclientedeunaentidadfinanciera.

Categorías

Atenciónpersonalenagencia No existe orden (de menos amás odemás amenos) entre las categorías

Atenciónvíatelefónica

AtenciónporInternet

Ejemplo 1.9Usodetarjetadecréditoporunclienteenunatiendapordepartamentos.

Categorías

Síusa Noexisteorden(demenosamásodemásamenos)entrelascategorías.Nousa

Ejemplo 1.10CarreraprofesionalqueestudiaunalumnodelaUniversidaddeLima.

CategoríasAdministración

No existe orden (de menos amásodemásamenos)entrelas categorías.

ArquitecturaComunicaciónContabilidadDerechoEconomíaIngenieríaIndustrialIngenieríadeSistemasMarketingNegociosInternacionalesPsicología

– Variables cualitativasordinales: sonaquellas cuyas categoríaspuedenserordenadasconalgúncriterio,demenosamásodemásamenos.Acontinuaciónsepresentanalgunosejemplosdevariablescualita-

tivasordinales:

Ejemplo 1.11Frecuenciadeusodetarjetadecréditoporunclienteenunatiendapordepartamentos.

CategoríasUsopocofrecuente Existe orden, de menos a

másfrecuenciadeuso,en-trelascategorías.

UsofrecuenteUsomuyfrecuente


Ejemplo 1.12GradodeinstruccióndeunciudadanoenelPerú.

CategoríasPrimaria Existe orden, de menos a

más grado de instrucción,entrelascategorías.

SecundariaSuperior

Ejemplo 1.13Calificacióndeunpostulanteaunpuestodetrabajo.

CategoríasExcelente

Existeorden,demásame-nos calificación, entre lascategorías.

MuybuenoBuenoRegularDeficiente

• Variables cuantitativas Sonaquellascaracterísticasdelaunidaddeanálisisquesonposiblesderepresentarnuméricamente.Seobtienencomoresultadosdemedicionesoconteos.Lasvariablescuantitativaspuedensercontinuasodiscretas.– Variablescuantitativascontinuas:sonaquellascuyosvaloresestánre-presentadosmedianteelconjuntodelosnúmerosreales.Seobtienenpormediciónypuedentomarcualquiervalorrealdentrodeuninter-valodelarectanumérica.Podemosdistinguirvariostiposdevariablescontinuas,entrelasmásimportantessemencionanlassiguientes:a. Variablesdemedidasonaquellasqueseexpresanenunidadesdemedidageneradasporuninstrumentodemedición,talescomo:pe-sodeunapersona(enkilogramos),presiónarterialdeunpaciente(enmilímetrosdemercurio),longituddeunabarra(encentímetros),temperaturadelambiente(engradosFahrenheit).

b. Variablesdetiemposonaquellasqueseexpresanenunidadesdetiempo,talescomo:duracióndeunfoco(endías),tiempoqueespe-raunclienteparaseratendido(enminutos),tiempoqueempleaunmédicoparaoperarunpaciente(enhoras).

c. Variableseconómicassonaquellasqueseexpresanenunidadesmo-netarias,talescomo:sueldodeuntrabajador(ensoles),gananciadeunaempresa(endólares),preciodeunvehículo(endólares).

– Variablescuantitativasdiscretas: sonaquellasquetomanvaloresnu-méricosaisladosynopuedentomarningúnvalorentredosconsecuti-vos.Seobtienenporconteoyestánrepresentadosmedianteelconjunto


delosnúmerosnaturales.Podemosdistinguirvariostiposdevariablesdiscretas,entrelasmásimportantessemencionanlassiguientes:a. Variablesdeconteodeobjetossonaquellasquecuentanlacantidaddeobjetosqueposeelaunidaddeobservación,talescomo:númerodecelularesporcliente,númerodehabitacionesporvivienda,núme-rodetarjetasdecréditoporcliente.

b. Variablesdeconteodepersonassonaquellasquecuentanlacanti-daddepersonasqueposee launidaddeobservación, tales como:númerodehijosporfamilia,númerodetrabajadoresporempresa,númerodeestudiantesporsección.

c. Variablesdeconteodeocurrenciassonaquellasquecuentanlacan-tidaddeocurrenciasenunperiododetiempo,talescomo:númerodellamadastelefónicasrecibidasporhora,númerodeclientesaten-didospordía,númerodevecespordíaqueunestudianterevisasucorreoelectrónico,llegadasdeturistasenundíaalPerú.

b) Según el rol o dominio que desempeñan en la investigación

Teniendoencuentaelcriteriodesucausalidad,lasvariablesseclasificanende-pendienteseindependientes.

• Variables dependientes Sonaquellasmedicionesqueresultandemanipular losvaloresqueasu-manotrasvariables,llamadasindependientes.Lavariabledependientees-táasociadaalfenómenoquesepretendeexplicar.

• Variables independientes Sonaquellas enque lamanipulaciónde suvalordetermina cambios en los valores de la variable dependiente. La manipulación de la variable independientepuedehacersevariandosuscantidadesogrados.Estaspre-tendenexplicarelfenómeno.

Cabe señalar que los roles de las variables pueden intercambiarse de una investigaciónaotra;esdecir,enunainvestigaciónpuedeservariableindepen-dienteyenotrapuedeservariabledependiente,yviceversa.

2.5 Datos

Losvaloresobtenidosparacadavariable,encadaunidaddeanálisis,constituyenlosdatos.Sonvaloresnuméricosononuméricosqueserecogenenmediciones u observaciones y quedespués de ser codificados y criticados se presentan yanalizanlosresultados.

Ejemplo 1.14Enunaencuesta,selepreguntóaPedroSaldañaporsuedadyesterespondióquehabíacumplido23años.Elvalornumérico23eseldato.


Ejemplo 1.15Aunestudiantede laUniversidaddeLima se le solicitóquemencione laespecialidadqueestáestudiandoyesterespondióEconomía.Elvalornonu-mérico“Economía”eseldato.

Ejemplo 1.16En un proceso de inspección se encontró que un objeto era defectuoso. Elvalornonumérico“defectuoso”eseldato.

3. concepto De meDición

Enlascienciasexactas,lamediciónsedefinecomolaasignacióndeunsímbo-lo,numéricoononumérico,alacaracterísticadeunobjetooeventodeacuer-doconreglasestablecidas.Cuandoserealizanmedicionesavariablesqueson conceptualizadasdemaneraabstracta,comolacalidadacadémica,laactituddeundocente,laatencióndeunestudiante,serequieredefinirlamedicióncomoun proceso de vincular conceptos abstractos con indicadores empíricos. Esteproceso se realizamedianteunplan explícito y organizadopara clasificar (yfrecuentementecuantificar)losdatosdisponiblesbajoelconceptoqueelinvesti-gadortieneenmente(Hernández,FernándezyBaptista,1994).

3.1 Niveles de medición

Losnivelesoescalasdemediciónutilizadosenelanálisisdeinformaciónson:nominal,ordinal,intervaloyderazón.Estosestánasociadosconlassiguientescuatro características: clasificación, ordenamiento, intervalos igualesy el ceroabsoluto.Enelsiguientecuadrosepresentanlascaracterísticasdelosnivelesdemedición(GallardodeParadayMoreno,1999).

Nivel o escala de medición Características asociadas permitidas

Nominal Soloclasificación

Ordinal Clasificaciónyordenamiento

Deintervalo Clasificación, ordenamiento e intervalosigualesycerorelativo

Derazón Clasificación, ordenamiento, intervalosigualesyceroabsoluto

En el cuadro anterior se puede ver que en el nivel demedición nominal tansoloseclasifica,mientrasenelnivelderazónseacumulantodaslascaracte-rísticasdelosnivelesdemedición.


• Nivel nominal Eselnivelmássimpleoprimitivo;ubicalosobjetosoindividuosencate-goríasdiferentes,desdeelpuntodevistacualitativoynodesdeelpuntodevistacuantitativo.Eneste tipode informaciónserequierequeel in-vestigador sea capazdedistinguirdosomás categoríasyque conozcaloscriteriosparasuclasificación.Lascategoríasdebensermutuamenteexcluyentes(GallardodeParadayMoreno,1999).Porejemplo,unniveldemediciónnominalseempleacuandoseclasi-

ficaalaspersonasporsulugardenacimiento.Losdatosobtenidosenestenivelsedenominandatosnominales.

Ejemplo 1.17Elsexomasculino(M)ofemenino(F)de15estudiantesconstituyeungru-podedatosnominales:F,F,M,F,M,M,M,F,M,F,F,M,M,M,F.Estosdatossolosepuedenclasificarendoscategorías,masculinosyfemeninos.

• Nivel ordinal Enestenivel,setienealmenosdoscategoríasquedeterminanlaposicióndeobjetosoindividuosconrelaciónaciertosatributos,manteniendounajerarquíaperosinindicarladistanciaentrelasposiciones.Siseasignaunvalornumérico,odeatributos,losvaloresmásaltoscorresponderánalosindividuosquetienenmásdelacaracterísticaquesemide(GallardodeParadayMoreno,1999).Estohacequenecesariamenteenestenivelsesa-tisfagalacaracterísticadelordenamientodelosdatos.Losdatosobtenidosenesteniveldemediciónsedenominandatosordinales.

Ejemplo 1.18Elgradodeinstrucción–primaria(PR)secundaria(SE)osuperior(SU)–de10trabajadoresconstituyeungrupodedatosordinales:SE,SE,PR,SE,SU,SE,SU,PR,SE,SU.Estosdatossepuedenclasificaryordenarentresgrupos,enelorden:PR,SE,SU.

• Nivel de intervalo Llamadatambiéninterválica,enesteniveloescalanuméricaseagrupanlasvariablescuantitativasconintervalosyposeenlaspropiedadesdeor-den,distanciayunorigennonatural(INEI,2001).Esteniveldemediciónpermiteutilizarlasoperacionesaritméticasbásicascomolasumayrestade los valores numéricos (GallardodeParada yMorenoGarzón, 1999).Ejemplosdeesteniveldemediciónson:lamedicióndelatemperatura,elpuntajeenunapruebadeadmisión,etc.Losdatosobtenidosenesteniveldemediciónsedenominandatosenniveloescaladeintervalo.

Ejemplo 1.19Latemperaturaambiental(en°C)de10ciudadesdelPerúmedidaenelniveloescaladeintervalofue37,25,15,0,–8,18,38,28,19,25.Laexistencia


deunceronosuponelaausenciadetemperaturaenlaciudad,puestoquecerogradoscentígradosestádadodeformaarbitrariaporloscreadoresdelaescala.Estosdatossepuedenclasificar,ordenar,sumaryrestar.

• Nivel de razón o proporción Esteniveloescalanuméricaconstituyeelnivelmásaltodemediciónparalasvariablescuantitativas.Abarcalascaracterísticasdelaescaladeinter-valoysepuedeaplicarlasoperacionesaritméticasbásicasdesuma,resta,multiplicaciónydivisióndelosvaloresnuméricos.Elorigenoceroqueseproporcionansonabsolutos.Elceroabsolutosignifica laausenciadelavariableofenómenomedible(INEI,2001).Losdatosobtenidosenestenivelsedenominandatosenescalaonivelderazón.

Ejemplo 1.20Elsueldomensualde10trabajadores(ensoles)enelnivelderazónfueron:1500,2000,1850,1900,2100,1750,1950,2050,2200,2180.Eldato0represen-taríaquelapersonanorecibesueldoporquenotrabaja(ausenciadelfenó-meno).Estosdatossepuedenclasificar,ordenar,sumar,restar,multiplicarydividir.Losdatosobtenidosenesteniveldemedición sedenominandatosenniveloescaladerazón.Podemosresumirlasoperacionesquesepuedenrealizarconlosdatos

encadaniveldemedición,talcomoseobservaenelsiguientecuadro.

Nivel de mediciónde los datos

Operaciones aritméticasque soportan los datos

Nominal ; = ≠

Ordinal ; ; ;= ≠ < >

Deintervalo ; ; ; ; ; = ≠ < > + −

Derazón ; ; ; ; ; ; ;= ≠ < > + − × ÷

4. fases Del métoDo estaDístico

Elmétodoestadísticopartede laobservacióndeunfenómeno,ycomoestenosiemprepuedemantenerlasmismascondicionespredeterminadasavoluntaddelinvestigador,sedejaqueactúenlibremente,peroseregistranlosdiferentescom-portamientosy seanalizansusvariaciones (Guarín,2002).Así,paraelplanea-mientodeunainvestigación,pornormageneral,sesiguenlassiguientesetapas:

a) Planteamiento del problema Al iniciar una investigación se debe definir claramente qué problema sevaaestudiaryporquéespertinentehacerlo.Paraesto,unarevisión


bibliográficadeltemanospermitiráconocerlaaccesibilidadylosresulta-dosobtenidosensimilaresinvestigaciones.

b) Determinación de los objetivos Luegodetenerclaroloquesepretendeinvestigar,debemosfijarcuálessonnuestrasmetasypropósitos.Estosdebenplantearsedetalformaquenohayalugaraconfusionesoambigüedadesy,además,debeestablecersediferenciaciónentrelosobjetivosdecorto,medianoylargoplazo,asíco-moentrelosobjetivosgeneralesylosespecíficos.

c) Formulación de hipótesis Unahipótesises,antetodo,unaexplicaciónprovisionaldelobjetodeestu-dio.Suformulacióndependedelconocimientoqueelinvestigadorposeasobrelapoblacióninvestigada.Unahipótesisestadísticadebesersuscep-tiblede“docimar”,estoes,probarsuaceptaciónorechazo.

d) Determinación de la unidad de análisis, variables y del nivel de medición Launidaddeanálisis,entendidacomocadaelementoconstituyentedelapoblaciónobjetivo,debedefinirseydeterminartodassuscaracterísticas.Launidaddeanálisispuedeestarconstituidaporunoovariosindividuosuobjetos,ydenominarserespectivamentesimpleocompleja.Además,sedebenestablecer lasvariables (cualitativasycuantitativas)yelniveldemedición(nominal,ordinal,deintervalooderazón).Asociadoalniveldemedición,debenestablecerselascondicionesenlascualessehadeefec-tuarlarecoleccióndedatos.

e) Determinación de la población y de la muestra probabilística Enestadística,poblaciónnoserefiereúnicamentealosseresvivos;unapoblaciónpuedeestarconstituidaporloshabitantesdeunpaís,porlosestablecimientoscomercialesdeunbarriooporlasunidadesdeviviendaenunaciudad.Existen,desdeelpuntodevistadesutamaño,poblacionesfinitaseinfinitas.Aquí,eltérminoinfinitonosetomaconelrigorsemán-ticodelapalabra;porejemplo,lapoblacióndeLimaMetropolitanaesunconjuntofinito;sinembargo,entérminosestadísticos,puedeserconside-radacomoinfinito.Enlapráctica,estudiarcadaunodeloselementosqueconformanla

poblaciónnoesaconsejable,yaseaporcostooinviabilidaddelproceso.Serecurrealanálisisdelasunidadesdeunamuestraprobabilísticaconelfindehacerinferenciassobrelapoblación.

f) Recolección de datos Unadelasetapasmásimportantesdelainvestigacióneslarecoleccióndedatos. Se recomiendapreviamente tomarunamuestrapilotoparaponerapruebaloscuestionariosyobtenerunaaproximacióndelavariabilidaddelapoblación,conelfindecalculareltamañoexactodelamuestraque conduzcaaunaestimacióndelosparámetrosconlaprecisiónestablecida.Elestablecimientodelasfuentesycaucesdeinformación,asícomolacan-


tidadycomplejidadde laspreguntas,deacuerdocon losobjetivosde lainvestigación,sondecisionesquesehandetomarconsiderandoladisponi-bilidaddelosrecursosfinancieros,humanosydetiempo,ylaslimitacionesquesetenganenlazonageográfica,elgradodedesarrollo,entreotros.

g) Crítica, clasificación y ordenación de los datos Despuésdehaberreunidotodoslosdatospertinentes,sedepuranlosda-tosrecolectados.Parahacerlacríticaesfundamentalquelapersonaqueocupeesepuestoconozcalaorganización,funcionamientoyobjetivosdelaencuestaafindequepuedadetectaromisiones,informacióninexacta(errónea)oinconsistenciasyluegoprocederasucorrección.Separadoelmaterialde“desecho”,conlosdatosdepuradosseprocedeaestablecerlasclasificacionesrespectivasyconlaayudadehojasdetrabajo,enlasqueseestablecenloscrucesnecesarios,seordenanlasrespuestasysepreparanlosmodelosdetabulacióndelasdiferentesvariablesqueintervienenenlainvestigación.Elprocedimientoserealizaconayudadelcomputador.

h) Tabulación de los datos Latabulacióneselresultadodeunprocesodecondensaciónoresumendedatosen cuadroso tablas.Los cuadrosestadísticos tienencomoob-jetivo ser depósitos de datos o contener datos ya procesados; es decir,informaciónqueelanalistao investigadorutiliza comosuherramientadeanálisis.Unatablaesunresumendedatosnuméricosononuméricosrespectodeunaomásvariables;ofrececlaridadallectorsobreloquesepretendedescribir,parasufácilinterpretación.

i) Presentación de resultados Unainformaciónestadísticaadquieremásclaridadcuandosepresentadeformaadecuada.Loscuadros,tablasygráficosfacilitanelanálisisperosedebetenercuidadoconlasvariablesquesevanapresentar.Noesacon-sejablesaturaruninformecontablasygráficosredundantes.Además,laeleccióndedeterminadatablaográficoparamostrarlosresultadosdebehacersenosoloenfuncióndelasvariablesquerelaciona,sinodellectoraquienvadirigidoelinforme.

j) Análisis de resultados Laestadísticaofrecetécnicasyprocedimientosobjetivosqueconviertenlasespeculacionesdeprimeramanoenaseveracionesquepuedensereva-luadasy,además,puedenofrecerunapremisamedibleenlatomadeunadecisión.Eselanálisisdondesecristalizalainvestigación.

k) Publicación de resultados Todaconclusiónmerecesercomunicadaaunauditorio.Esmás,quienesencargaron el estudio esperan las conclusiones, sobre ella segeneraránpreguntasclavesparalatomadedecisiones.


ejercicios y problemas resueltos 1

1. Paraanalizarlaposibilidaddelanzaralmercadounanuevamarcadeciga-rrillos,seefectuóunaencuestaentrelosfumadoresquetransitaronporlaquintacuadradelaavenidaCanadá,desdelas17.00hastalas20.00horas,eldomingo14defebrero.Paraello,seseleccionóunamuestraprobabilísticade80fumadoresyseobtuvolossiguientesresultados:• El65%defumadoresprefierecigarrillosdemarcasimportadas.• ElpreciopromedioquepaganporunacajetillaesdeS/5,00.Identificalossiguientestérminosestadísticos:población,muestra,uni-

daddeanálisis,variable(s)ytipo(s)devariable(s),parámetro,estadísticoyejemplodedato.

Solución

Población Los fumadores que transitan por la quinta cuadra de laavenida Canadá, desde las 17.00 hasta las 20.00 horas, el domingo14defebrero.

Muestra 80fumadoresseleccionadosprobabilísticamentequetran-sitanporlaquintacuadradelaavenidaCanadá,desdelas17.00hastalas20.00horas,eldomingo14defebrero.

Unidaddeanálisis

UnfumadorquetransitaporlaquintacuadradelaavenidaCanadá,desdelas17.00hastalas20.00horas,eldomingo14defebrero.

Variable(s)ytipo(s)devariable(s)

Variable 1: Procedencia de la marca de cigarrillos que prefiereelfumador.Cualitativa nominal.Variable2:Precioquepagaelfumadorporunacajetilladecigarrillos.Cuantitativa continua.

Parámetro Preciopromedioporcajetilladecigarrillosquepaganlosfu-madoresquetransitanporlaavenidaCanadá,desdelas17.00hastalas20.00horas,eldomingo14defebrero ( )µ .

Estadístico Preciopromedioporcajetilladecigarrillosquepaganlos80fumadoresseleccionadosaleatoriamentequetransitanporlaavenidaCanadá,desdelas17.00hastalas20.00horas,eldomingo14defebrero X( ).

Ejemplodedato

ElprecioquepagóunfumadorseleccionadofueS/3,50porunacajetilladecigarros.

2. Unacompañíadeestudiosdemercadose interesapor lapreferenciadelconsumidorlimeñorespectodetresmarcasdegaseosasquecompitenen-tresí:CocaCola,PepsiColaeIncaKola.Tambiéndeseaestudiarelnúmerodeunidadesconsumidasdecadagaseosa,porpersona,enlaúltimasema-naydeseaconocerlostiposdeenvasesenqueseconsumelabebida(bote-lla,lata,botellanoretornable).Parallevaracaboesteestudioseselecciona


unamuestraprobabilísticade30consumidoresdegaseosasdelaciudaddeLima.Identificalossiguientestérminosestadísticos:población,muestra,uni-


Solución

Población Los consumidores de gaseosas de lasmarcasCocaCola,PepsiColaeIncaKoladeLima,enlaúltimasemana.

Muestra30 consumidores de gaseosas de las marcas Coca Cola,PepsiColaeIncaKola,seleccionadosprobabilísticamenteenLima.

Unidaddeanálisis

UnconsumidordegaseosasdelasmarcasCocaCola,PepsiColaeIncaKola,enLima.


Variable1:Preferenciadeunconsumidorporunamarcadegaseosa.Cualitativa nominal.Variable2:Númerodeunidadesconsumidasdelagaseosadesupreferenciaporunconsumidor.Cuantitativa discreta.Variable3:Tipodeenvaseenqueseconsume lagaseosa(botella,lata,botellanoretornable).Cualitativa nominal.

Parámetro Porcentajede consumidoresdegaseosasqueprefieren lamarcaCocaCola,enLima ( )π .

Estadístico Porcentajede consumidoresdegaseosasqueprefieren lamarcaCocaCola,delos30consumidoresseleccionados(p).

Ejemplodedato

–UnconsumidorseleccionadobebióIncaKola.–Unconsumidorseleccionadobebió2gaseosasporsemana.–Unconsumidorseleccionadobebiógaseosaenlata.

3. LaMunicipalidaddePuebloLibrerealizóunestudiosobreatenciónalpú-blico.Deuntotalde1500personasquerealizaronalgunagestiónenello-calmunicipal,seseleccionarona300.Partedelainformaciónoresultados obtenidosfue:– Lapersonaidentificadaconelnúmero125indicóhaberasistidocuatrovecesallocalmunicipalpararealizarlamismagestión.

– El40%de losencuestadosmanifestaronque laatención recibida fueregular.

– Eltiempopromediopararealizarunpagofuede10,45minutos.– Elvalormáximoparalavariable“cantidadderecibospagadosporau-toavalúoparaelmismopredio”fue2.


– El 30 % afirmó que el horario más conveniente para la atención al públicoesde9.00a18.00horas.Identificalossiguientestérminosestadísticos:población,muestra,uni-


Solución

Población Las 1500 personas que realizaron alguna gestión en laMunicipalidaddePuebloLibre.

Muestra300personasque realizaronalgunagestión en laMunici-palidad de Pueblo Libre, seleccionadas por algúnmétodoprobabilísticodemuestreo.

Unidaddeanálisis

Unapersonaque realizóalgunagestiónen laMunicipali-daddePuebloLibre.


Variable1:númerodevecesqueasistióunapersonaporunamismagestiónenlaMunicipalidaddePuebloLibre.Cuanti-tativa discreta.Variable 2: nivel de satisfacción en la atención que re-cibió una persona en la Municipalidad de Pueblo Libre. Cualitativa ordinal.Variable3:tiempoquedemoraunapersonapararealizarunpagoenlamunicipalidaddePuebloLibre.Cuantitativa continua.Variable4:númeroderecibosquepagaunapersonaporau-toavalúoparaunmismopredio.Cuantitativa discreta.Variable 5: preferencia de una persona por el horario deatenciónalpúblico.Cualitativa nominal.

Parámetros

– Tiempopromedioderetrasoencajadelas1500personas ( )µ .

– Porcentaje de personas, de las 1500, que prefieren el horariodeatenciónalpúblicodelas9.00hastalas18.00horas ( )π .

Estadísticos

– Tiempopromedioderetrasoencajadelas300personasseleccionadas X( ) .

– Porcentajedepersonas,delas300seleccionadas,quepre-fierenelhorariodeatenciónalpúblicodelas9.00hastalas18.00horas(p).

Ejemplodedato

Unade laspersonas seleccionadas indicóhaber asistido4vecesporunamismagestiónenlaMunicipalidaddePuebloLibre.

4. La empresa Informesa llevóa cabounestudiopara analizar elmercadodeinternautasquecompranserviciosdeinternet,enLimaMetropolitana.Paraelestudioseconsideróunamuestraprobabilísticade1500personas.


Algunosdelosresultadosdelaencuestafueron:• Delas1500personasseleccionadas,soloel25%delosinternautastienenalgunacomputadoraencasa.

• ElnúmeropromediodevecesporsemanaquelosencuestadosusanelserviciodeInternetes3.

• El80%delosinternautasopinóqueelserviciodeInternetesregular.• EltiempopromediodeusodiariodeInternetesde2horas.Identificalossiguientestérminosestadísticos:población,muestra,uni-


Solución

Población Los internautasquecompranserviciosde internetenLimaMetropolitana.

Muestra1500internautasquecompranserviciosdeinternetenLimaMetropolitana,seleccionadosporalgúnmétodoprobabilísti-codemuestreo.

Unidaddeanálisis

Un internauta que compra servicio de internet en Lima Metropolitana.


Variable1:Posesióndealgunacomputadoraencasadelinter-nauta.Cualitativa nominal. Variable2:NúmerodevecesporsemanaqueuninternautausaelserviciodeInternet.Cuantitativa discreta.Variable 3. Calificación del servicio de internet de un internauta.Cualitativa ordinal.Variable 4: Tiempo de uso diario de internet por un inter-nauta.Cuantitativa continua.

Parámetros

Porcentaje de internautas que tienen alguna computadora encasa,enLimaMetropolitana ( )π . Tiempopromediodeusodiariodeinternet,delosinternau-tasenLimaMetropolitana ( )µ .

Estadísticos

De los 1500 seleccionados, el porcentajede internautasquetienenalgunacomputadoraencasa(p).Delos1500seleccionados,tiempopromediodeusodiariodeInternet X( ) .

Ejemplodedato UninternautahaceusodeInternet5vecesporsemana.


5. EldirectordelprogramadetelevisiónJaimedeAlthaustomaunamuestraprobabilísticade1500televidentesdelasprovinciasalosquellegasupro-gramaLa Hora N.Éldeseaconocerlaopinióndelostelevidentessobrelostemasdesarrolladosensusentrevistasycuálesseríansuspreferenciasparapróximosprogramas.Identificalossiguientestérminosestadísticos:población,muestra,uni-

daddeanálisisydosvariablesqueincluiríaenelestudioindicandoeltipodevariable.

Solución

Población LostelevidentesdelprogramaLa Hora Nenlasprovinciasconcoberturadeesteprograma.

Muestra1500 televidentes seleccionados por algún método pro-babilísticodemuestreode lasprovinciasa losque llegaelprogramaLa Hora N.

Unidaddeanálisis UntelevidentedelprogramadeLa Hora Nenprovincias.


Variable1:OpinióndeltelevidentesobrelostemastratadosenLa Hora N(polémico,entretenido,aburrido,etc.).Cualita-tiva nominal.Variable 2: Temas que prefiere el televidente para los próximosprogramasdeLa Hora N. Cualitativa nominal.

6. LaempresaPacochaS.A.,queentreotrascosasproducemargarinas,hasolicitadoalaempresaEMERS.A.unestudiodemercadodelaspersonasdeclasemedia,delaciudaddeLima,acercadelconsumodedichoproduc-to.Pararealizarelestudiolaempresatomóunamuestraprobabilísticade1200personasdeclasemediadelaciudaddeLima.Algunosdelosdatosyresultadosdelaencuestafueron:– Elpreciopromediodeventadeunpotedemargarina,pagadoporper-sona,fuede4soles.

– El35%depersonasopinóquelasmargarinassonproductosdañinosparalasalud.Identificalossiguientestérminosestadísticos:población,muestra,uni-



Solución

Población Personasde clasemediade la ciudaddeLimaquecon-sumenmargarina.

Muestra 1200personasdeclasemediadelaciudaddeLimaquecon-sumenmargarina,seleccionadasprobabilísticamente.

Unidaddeanálisis

UnapersonadeclasemediadelaciudaddeLimaquecon-sumemargarina.


Variable1:Preciodeventadeunpotedemargarinaquepagaunapersonadeclasemediade laciudaddeLima.Cuantitativa continua.Variable2:OpinióndeunapersonadeclasemediadelaciudaddeLimasobre losefectosen lasaludporelcon-sumodemargarina.Cualitativa nominal.

Parámetros

Preciopromediopor potedemargarinapagadopor laspersonasdeclasemediadelaciudaddeLima ( )µ .Porcentaje de personas de clasemedia de la ciudad deLima,queopinanquelamargarinaesunproductodañi-noparalasalud ( )π .

Estadísticos

Preciopromediopor potedemargarinapagadopor las1200personasseleccionadasdelaciudaddeLima( 4X = soles).Porcentajedepersonasqueopinanquelamargarinaesunproductodañinoparalasalud,delas1200seleccionadasdelaciudaddeLima(p = 0,35 = 35%).

Ejemplodedato

UnapersonaseleccionadadeclasemediadeLimapagó4,10solesporunpotedemargarina.

7. UnarevistadenegociosenelPerú,ensuseccióndemarketing,hapublicadounartículosobreelpoderdele-mail marketing.Enelartículosedefineale-mail marketingcomounaherramientaquepermiteabrireldiálogoconlosclientes,deformapersonalizadayconcomunicaciónrelevante.Seutilizaelcorreoelectrónicoparafomentarlasventas,tambiénparaprofundizarlamarcaygenerarrecordación,buscandolaretroalimentacióncontinuaylacreacióndeunvínculodeconfianzayfidelización.Acontinuación se reportan laspreguntasdeunaencuesta realizadaa

unamuestraprobabilísticadeclientesdeMovistarentodoelPerú,enel2016.

Departamentoderesidencia

¿Tieneserviciodeinternetencasa?Sí()No()

¿Trabaja?Sí()No()

Ingresomen-sualdelclienteensoles

¿Cuáldelasmarcasenviadasasucorreoelectrónicoutilizaconfrecuencia?

Montodegastosrealizadosenlasmarcasdesupre-ferenciaensoles


Identificalossiguientestérminosestadísticos:población,muestra,uni-daddeanálisis,variable(s)ytipo(s)devariable(s).

Solución

Población ClientesdeMovistarPerúenel2016

Muestra Los clientes deMovistar seleccionadosprobabilística-menteenelPerú,enel2016.

Unidaddeanálisis UnclientedeMovistarPerú,enel2016.

Variable(s)ytipo(s)devari-able(s)

Variable1:Departamentode residenciadel clientedeMovistar.Cualitativa nominal.Variable2:TenenciadeinternetencasadelclientedeMovistar.Cualitativa nominal.Variable 3: Situación laboral del cliente de Movistar.Cualitativa nominal.Variable 4: Ingreso mensual del cliente de Movistar.Cuantitativa continua.Variable 5:Marca enviada por correo electrónico queelclientedeMovistarutilizaconfrecuencia.Cualitativa nominal.Variable6:GastorealizadoporelclientedeMovistarenlamarcadesupreferencia.Cuantitativa continua.

8. De las siguientes variables cuantitativas indique con una X cuáles son discretasycuálescontinuas.

Variable Discretas Continuas

Número de acciones vendidas cada día en laBolsadeValores X

Temperaturaregistradacadahoraenunobser-vatorio X

Vidaútildeunautomóvil X

Diámetrodeunaruedadeunauto X

Númerodehijosenunafamilia X


9. IndiqueconunaXeltipodevariablequelecorresponde:

VariableCualitativa Cuantitativa

Nominal Ordinal Discreta Continua

Comidafavoritadeunapersona X

Profesión que eligió un estu-dianteuniversitario X

Número de goles marcados por tu equipo favorito en la última temporada

X

Número de alumnos en una universidad X

Nacionalidad de un pasajeroque llega al Aeropuerto JorgeChávez

X

Religiónqueprofesatucompa-ñerodeclase X

Residenciadeunapersona X

Cantidaddelitrosdeaguacon-tenidosenundepósito X

Númerodelibrosenunestantedelibrería X

Sumadepuntosobtenidosenellanzamientodeunpardedados X

Deportefavoritodeunapersona X

Áreaconstruidadeunavivienda X

10. Encadacaso,determineeltipodevariablesegúnsunaturaleza:

Variable Tipo de variable

Peso(enkg)deunalumnodelaasignaturaEstadísticaBásica para los Negocios

Cuantitativacontinua

Paísdeprocedenciadeun turistaque in-gresaalPerú

Cualitativanominal

Calificacióndelclientesobreelserviciore-cibido(malo,regular,bueno)

Cualitativaordinal

Edad(enañoscumplidos)deunestudiantedeprimerciclode laEscueladeNegociosdelaUniversidaddeLima

Cuantitativadiscreta

TamañodeunaempresaenelPerú(micro,pequeña,mediana,grande)

Cualitativaordinal

(continúa)


Calificacióndeunalumnoenelexamenfi-naldelaasignaturaEstadísticaBásicaparalosNegocios


Sueldo(ensoles)deunprofesordelaUni-versidaddeLima


Número de llegadas diarias por visitanteextranjeroalPerú,porasuntosdenegocios


Servicio de televisión por suscripción enunafamiliadeLima

Cualitativanominal

Montoenmillonesdedólaresporimporta-cionesrealizadasenelPerúpormes


Nivel de percepción del cliente sobre laatenciónrecibida(muymala,mala,regular,buena,muybuena)

Cualitativaordinal

EscuelaalaqueperteneceunestudiantedelaUniversidaddeLima

Cualitativanominal

Tiempo de garantía (en días cumplidos)otorgadaaunclienteporlacompradeunaparatoelectrónico


NúmerodeasignaturasdesaprobadasporunestudiantedelaEscueladeNegociosenelsemestre2016-II


11. Analicesilassiguientesvariablescuantitativassondiscretasocontinuasydetermineparacadacasoelniveldemedición

Variable¿Discreta o continua?

Nivel de medición

Número de asignaturas en las que sematriculóunestudiantedelquintoni-veldelacarreradeDerechodelaUni-versidaddeLima

Discreta Razón

Calificación obtenida por un estu-diantedelaUniversidaddeLimaenelexamenparcialdeEstadísticaGeneral

Discreta Intervalo

Número de acciones negociadas pordíaenlaBolsadeValoresdeLima Discreta Razón

Preciodelagasolinade95octanosporgrifodeLimaMetropolitana Continua Razón

Gasto mensual en tarjetas de créditoporfamiliaeneldistritodeSurco Continua Razón

(continuación)


12. Identifique cada variable e indique el tipode variable según el nivel de mediciónenelcuestionarioquesemuestraacontinuación:

Nos alegramos de su visita al restaurante Mi Sazón y queremos estar seguros de que volverá. Si tiene unos minutos, le agradeceríamos mucho que nos llenara esta tarjeta. Sus comentarios y sugerencias son extremadamente importantes para nosotros. Gracias.

Nombre de la persona que lo atendió:

Excelente Bueno Satisfactorio Insatisfactorio

Calidad de los alimentos

Amabilidad en el servicio

Prontitud en el servicio

Limpieza

Gestión

Comentarios:

¿Qué lo motivó a visitarnos?

Favor de depositar esta tarjeta en el buzón de sugerencias que se encuentra a la entrada

Solución

Variable Nivelde medición

Calificacióndelclientesobrelacalidaddelosalimentos Ordinal

Calificacióndelclientesobrelaamabilidadenelservicio Ordinal

Calificacióndelclientesobrelaprontitudenelservicio Ordinal

Calificacióndelclientesobrelalimpieza Ordinal

Calificacióndelclientesobrelagestión Ordinal

Motivacióndelclienteparavisitarelrestaurante Sinniveldemedición


13. Enelsiguientecuadrodefinaunparámetroyunestadísticoparacadapo-blaciónymuestra,respectivamente,deacuerdoalavariabledeinterés:

Inciso Población Muestra Variable

a)

EstudiantesdelaUniversidaddeLima

500estudiantesselec-cionados de la Uni-versidadLima

Edaddeunestudian-te de la UniversidaddeLima

b)

Clientes de lastiendas Wong enLima Metropo-litana

400clientesseleccio-nadosdelastiendasWong de LimaMe-tropolitana

Calificacióndelclien-tesobreelserviciore-cibido (malo, regular,bueno)

c)

Visitantesextran-jeros en el Perú,en diciembre del2016

850 visitantes ex-tranjeros, seleccio-nados en diciembredel2016

Tiempodepermanen-cia(endías)enelPerúporvisitante

Solución

Inciso Parámetro Estadístico

a)EdadpromedioporestudiantedelaUniversidaddeLima ( )µ

Edadpromedioporestudian-tedelos500seleccionadosdelaUniversidaddeLima X( )

b)

Porcentaje de clientes de lastiendas Wong, en Lima Me-tropolitana, que califican elservicio recibido como malo(regularobueno) ( )π

Porcentaje de los 400 clientesseleccionados de las tiendasWong, en Lima Metropolita-na, que califican el serviciorecibidocomomalo(regularobueno)(p)

c)

Tiempo promedio de perma-nencia (en días) por visitanteextranjero en el Perú, en di-ciembredel2016 ( )µ

Tiempo promedio de perma-nencia(endías)porvisitante,de los 850 seleccionados enelPerúendiciembredel2016

X( )


14. ElhotelRitzCarltonaplicauncuestionariodeopinióndeclienteparaobte-nerdatossobrelacalidaddesusserviciosderestauranteyentretenimiento.Selespidióalosclientesqueevaluaranseispuntos:a)Recepción,b)Servicio,c)Alimentos,d)Menú,e)Atenciónyf)AtmósferaLosdatosregistradosparacadapuntofueron:(1)Aceptable,(2)Regular,(3)Buenoy(4)Excelente

Respondalosiguiente:¿Paracuántasvariablesproporcionandatoslasrespuestasdelosclientes? ¿Sonestasvariablescualitativasocuantitativas?¿Aquéniveldemediciónpertenecen?

Solución

Pregunta Respuesta

¿Paracuántasvariablesproporcionandatoslasrespuestasdelosclientes? 6variables

¿Sonestasvariablescualitativasocuantitativas? Cualitativas

¿Aquéniveldemediciónpertenecen? Ordinal

15. ¿Siustedtuvieraqueclasificarlasprácticasdeportivasdelosestudiantesdeunauniversidadquéniveldemediciónutilizaría?a) Nominal b) Ordinal c) Razón d) Todaslasanteriores

Solucióna) Nominal Categorías:fútbol,vóleibol,tenis,básquetbol

16. Unniveldemediciónquepermitaclasificaryordenarlascaracterísticasdetipocategóricoenunapoblacióncorrespondea:a) Nominal b) Ordinal c) Intervalo d) Razón

Soluciónb) Ordinal Categorías:muymalo,malo,regular,bueno,muybueno.


17. Siquieremedirlaedadenañoscumplidosdeunosjóvenesdeunequipodefútbol,¿quéescalaserálamásapropiada?a) Nominal b) Ordinal c) Intervalo d) Razón e) Cualquiera

Solución

d)Razón

18. Escribaunarazónporlacualnosepuedenhaceroperacionesaritméticasapartirdeinformaciónmedidaenunaescalanominal.

SoluciónLas“mediciones”enlaescalanominalsonsímbolosqueexpresanunatri-butoocualidad,nosonnúmeros.

19. ¿Quéescalapermiteelmayorniveldeoperación?a) Nominal b) Ordinal c) Intervalo d) Razón

Soluciónd) Razón Incluye8operaciones ; ; ; ; ;( ); ; /= ≠ < > + − ×

20. Enunestudiodemercadosemideelgastomensualdeunafamiliaconlassiguientescategorías:Gastobajo:menosde1000solesGastomedio:entre1000y3000solesGastoalto:másde3000soles¿Cuáleselniveldemediciónutilizado?

SoluciónOrdinal.Lastrescategoríasvandemenosamásgasto.


Caso de investigación

Phillipsesunaempresaquefabricafocosdealtaintensidad,queseem-pleanendiversosproductos electrónicos.Conelobjetode incrementarlavidaútildeestos focos, elgrupodediseñodelproductoelaboróunfilamentonuevo.Enestecaso,lapoblaciónestádefinidaportodoslosfo-cosconfilamentonuevoqueseproducendiariamente(aproximadamente 10000focos).Para evaluar las ventajas del nuevofilamento, se seleccionó bajo un

muestreoprobabilístico200focos.Seobservócadafocoyseanotóelnú-merodehorasdeduración.Losdatosrecolectadosdeestamuestrafueronlossiguientes:

64 69 86 100 96 91 82 53 70 8452 75 105 101 53 97 106 106 93 10270 79 96 95 99 104 104 83 80 7989 110 62 63 83 103 78 98 103 5655 92 63 101 110 98 57 85 68 7368 103 95 82 102 79 107 68 78 9759 53 83 102 103 54 61 82 67 6671 53 83 94 104 89 95 106 83 5952 72 68 91 107 51 70 90 82 10459 109 63 51 59 67 68 82 75 9198 57 86 64 69 57 68 109 90 9969 72 97 72 75 80 50 83 60 6982 89 88 58 97 101 96 86 93 9366 89 96 65 98 80 67 105 67 8082 56 94 73 90 72 100 86 58 68105 63 107 51 88 51 54 93 98 7654 61 83 94 51 97 83 105 84 8892 108 76 57 98 91 86 70 94 10382 51 97 92 82 56 64 71 86 110100 70 51 83 77 78 53 99 82 86

Phillips desea usar estos datos muestrales para inferir acerca del númerodehorasdevidaútildetodoslosfocosqueseproducenconelfilamentonuevo.Alsumarlos200valoresdelgrupodedatosydividirlasumaentre200

seobtieneeltiempopromediodevidaútildelamuestra:76horas.Esteresultadomuestralsirveparaestimarqueeltiempodevidamediodelosfocosdelapoblaciónes76horas.


Siemprequeseuseunamuestraprobabilísticaparaestimarunacarac-terísticapoblacional(parámetro),sesueleproporcionarinformacióndelacalidadoprecisióndelaestimación.EnelejemplodePhillips,serealizólaestimaciónpuntualdeltiempodevidapromediodelapoblacióndelosnuevosfocosen76horas,conunmargendeerrorde 4± horas.Entonces, el intervalo de estimación del verdadero tiempo de vida

mediodelosfocosfabricadosconelnuevofilamentoesde72a80horas.Desarrollelosiguiente:a) Identifiquelapoblación,muestra,unidaddeanálisis,variableytipodevariable,parámetroprincipalyestadístico.

b) Determineelniveldemedicióndelosdatosyeltipodeestadística(descriptivaoinferencial)queseestáutilizando.

c) Determineycomente,hastadondeseaposible,lasetapasdelmétodoestadísticoenlainvestigacióndePhillips.

Solucióna)Población:focosqueseproducendiariamenteconelfilamentonuevo (10000focos),fabricadosporPhillips.

Muestra:200focosconfilamentonuevo,seleccionadosprobabilisti-camentedelaproducciónenundía.Unidaddeanálisis:unfococonfilamentonuevoproducidoenundía.Variable:tiempodevidaútildeunfococonfilamentonuevo.Tipodevariable:cuantitativacontinua.

Parámetro principal: tiempo promedio de vida útil de los 10 000 focosconfilamentonuevo.

Estadístico:tiempopromediodevidaútildelos200focosseleccio-nadosconfilamentonuevo.

b) Niveldemedición:razón. Tipodeestadística:inferencial.c) Lasetapasdelmétodoestadísticoson:– Planteamientodelproblema Phillips fabrica focos de alta intensidad que se emplean en di-versosproductoselectrónicos.Conelfindeincrementarlavidaútildeestos focos, elgrupodediseñodelproductoelaboróunfilamentonuevo.

– Determinacióndelosobjetivos Objetivogeneral IncrementarlavidaútildelosfocosquefabricaPhillips,utilizan-doelnuevofilamento.


Objetivosespecíficos1. Medirlavidaútildelosfocosfabricadosconelnuevofilamento.2. Comparar si existen o no diferencias significativas entre la vidaútildelfococonfilamentoantiguoyconfilamentonuevo.

– Formulacióndehipótesis Lavidaútildelosfocosconfilamentoantiguoesmenorqueladelosfocosconfilamentonuevo.

– Definicióndelaunidaddeanálisis,variablesyniveldemedición Unidad de análisis: Un foco con filamento nuevo que fabrica Phillips

Variable:Duración(enhoras)delfococonfilamentonuevo Niveldemedición:razón– Determinacióndelapoblaciónydelamuestra Población:Los10000focosconfilamentonuevo, fabricadosporPhillipsenundía

Muestra: 200 focos seleccionados probabilísticamente con fila-mentonuevo

– Larecolección Losdatosprovienendeunafuenteprimariaqueutilizaunins-trumentodemedición(cronómetro)biencalibrado,detalmaneraquelaslecturasseanprecisas(mínimoerror).

– Crítica,clasificaciónyordenación Revisar si existen datos discordantes (que se aparten en granmedidadelasdemás),datosmalmedidosoerrordedigitación. Medirlosdatosbajolasmismascondicionespredeterminadas.

– Tabulación Presentarlosdatosentablasdefrecuencias,etiquetadasydescri-tascorrectamente.

– Presentación Exhibir resultados resumidos en cuadros, gráficos y medidas estadísticas.

– Análisis Interpretar los resultados para determinar si se incrementó la vidaútildelosfocosconelnuevofilamento.

– Publicación Informar a los gerentes y al equipo de diseño del producto Phillips.


ejercicios y problemas propuestos 1

1. La Superintendencia Nacional de Aduanas y Administración Tributaria (Sunat), de la ciudaddeLima, desarrolló un estudio sobre el serviciodeatenciónalpúblico.Delas2000personasqueasistieronadichaentidadparaverificarelmontodelimpuestoalarentaquedebíanpagar,seseleccionóa350personasalazar.Algunosdelosresultadosobtenidosfueron:• El tiempo promedio para realizar una consulta en ventanilla, por persona,fuede6,5minutos.

• El60%depersonasmanifestóquelaatenciónrecibidafue“muybuena”.Identifiquelossiguientestérminosestadísticos:

Población

Muestra

Unidad deanálisis


Parámetros

Estadísticos

Ejemplo dedato


2. LaempresaDataS.A.realizóunainvestigaciónpormuestreoenLimaMe-tropolitana,dirigidaajóvenesentre15y30añoscumplidos,conelobjetivodeobtener indicadoressobreelconsumodebebidasenergéticasenestosgruposetarios.Para la investigación,seseleccionóunamuestraprobabi-lísticade1500personasjóvenesyseejecutólainvestigaciónel7defebrerodel2016.Paralaejecucióndeltrabajodecamposeconformóunequipodeentrevistadoresqueaplicaronuncuestionarioconpreguntasyposiblesres-puestas.Estesepresentódelamismamaneraatodoslosentrevistados,sinposibilidaddemodificacióndelaspreguntasysiguiendounordenestricto.Algunosdelosresultadosencontradosenlamuestrasepresentanaconti-nuación:– El38%delosentrevistadosconsideróquesusaludfísicaesexcelente,el30%buena,el16%regularyelrestomalo,omuymalo.

– Elgastopromediosemanalporpersonaenconsumodebebidasenergé-ticasfuede15,85soles.

Identifiquelossiguientestérminosestadísticos:

Población

Muestra

Unidaddeanálisis


Parámetros

Estadísticos


3. Unaempresadeinvestigacióncomercialrealizóunestudiodeopiniónpúbli-casobrenutriciónyhábitossaludablesdealimentación,quefuedifundidoconmotivodelDíaMundialdelaAlimentación.Elobjetivoerasabercuántoconocen losperuanos sobre el contenidonutricionalde los alimentosqueingierenycuálessonlasactitudesligadasalaalimentaciónsaludable.Losprincipaleselementosdelafichatécnicadelestudiofueron:Cobertura:entodoelPerúUniverso:hombresymujeres,de18a70añosdeedadTamañomuestral:1200entrevistasMétododemuestreo:probabilísticoTécnicaderecoleccióndedatos:encuestaporentrevistapersonaldomiciliariaElprincipalresultadodelestudiofue:– Alindagarsobrelacantidaddecaloríasquedebeingerirseenundía,seencontróque9decada10personasdesconocenlacifraexacta.Eldesco-nocimientoesaltoinclusoentrequienessedeclaraninformadossobretemasdealimentación.


Población

Muestra

Unidaddeanálisis

Variableytipo(s)devariable(s)

Parámetro

Estadístico

Ejemplodedato


4. Enel2016,elMinisteriodeTurismoyComerciorealizóunestudiosobreelperfildelturistanacional.Sedefinealturistanacionalcomoaquelperuanoquesetrasladaaalgunazonadelpaísdiferentededondereside.Elestudiosellevóacaboconhombresymujeres,entre18a64años,quevacaciona-ronenLima,Arequipa,Trujillo,HuancayoyChiclayo.Seseleccionóunamuestraprobabilísticade3359turistas,delaqueseobtuvolossiguientesresultados:• Eltiempopromedio(endías)depermanenciaporturistaenestosluga-resfuede5días.

• Elgastopromediodiarioporturistafuede766soles.• Losmediosutilizadosparabúsquedadeinformaciónturística:el56%porinternet,24%porfamiliares,12%porfolletosturísticosyporagen-testurísticos8%.


Población

Muestra

Unidaddeanálisis


Parámetros

Estadísticos


5. Enunestudioquerealizóunaempresadeinvestigacióndemercadosenfe-brerodel2016,sobrelacalidaddelservicioquebrindanlossupermercadosenLimayCallao,seaplicóunaencuestadeopiniónalosclientesdedichossupermercados.Seevaluaronlassiguientes4características:

Calidaddelservi-ciodeatención:

Excelente()Bueno()Regular()Deficiente()

Precioscómodos:Sí()No()

Númerodedíasqueasistenalsupermercado:----------------

Gastoaproximadoencompras(soles)--------------------

En investigacionesanterioresseconocióque lapoblaciónaproximadaen fe-brerofuede35000clientes.Pararealizaresteestudioseseleccionóunamuestraprobabilísticade1200clientesqueasistieronalossupermercadosdeLimayCallao.Sepresentanacontinuaciónalgunosdelosresultadosobtenidos:– Unclientecalificócomo“buena”lacalidaddelserviciodeatenciónenelsupermercado.

– El60%declientesseleccionadosseñalóquelosprecioserancómodos.– Elnúmeropromediodedíasporsemanaqueasistenlosclientesselec-cionadosalsupermercadoesde2días.

– Eltiempopromedioquepermaneceunclienteencajapararealizarunpagoesde20minutos.


Población

Muestra

Unidaddeanálisis


(continúa)


Parámetros

Estadísticos

Ejemplodedato

6. IndiqueconunaXeltipodevariablequelecorresponde:

VariableCualitativa Cuantitativa

Nominal Ordinal Discreta Continua

Religiónqueprofesaunapersona

Preferenciadelestudian-teuniversitarioporunprofesorenuncurso

Cantidaddetoneladasmétricasdepescado,obtenidassemanalmenteporunaembarcaciónpesquera

Númerodehijosenunafamilia

Cargojerárquicodeunempleadoenunaclínicaparticular

Clubdefútbolfavoritodeunaficionado

Lugardenacimientodeunapersona

(continuación)

(continúa)


Cantidaddemetroscúbicosdevinoenundepósito

Númerodeenvasesenunalmacén

Sumadepuntosobteni-dosenunapruebaescritadelcursoEstadísticaBá-sicaparalosNegocios

Comidacriollafavoritadeunapersona

Capacidaddeltanquedegasolinadeunauto

7. De las siguientes variables cuantitativas indique con una X cuáles son discretasycuálescontinuas:

Variable Discreta Continua

Númerodecarrosqueposeeunafamilia

Áreaconstruidadeunacasa

Tiempodevidaútildeunautomóvil

Temperaturacorporaldeunapersona

Número de celulares vendidos cada día en unatienda

8. Encadacasodetermineeltipodevariablesegúnsunaturaleza:

Variable Tipo de variable

Estatura(enmetros)deunalumnodelaEscueladeNegocios

Departamento o región de naci-mientodeunciudadanoperuano

Calificación de un presidente porlosciudadanosdesupaís(malo,re-gular,bueno)

(continuación)

(continúa)


Tiempo(enañoscumplidos)queletoma a un estudiante terminar sucarrera

TamañodeunaempresaenelPerú(pequeño,mediano,grande)

CalificaciónfinaldeunalumnoenlaasignaturaEstadísticaBásicaparalos Negocios en la Universidad deLima

Valor(ensoles)deunaaccióndelaBolsadeValoresdeLima

Número de llamadas diarias a lacentraltelefónicadeunaclínica

Propiedaddeunautomóvil(sí,no)

Monto en millones de dólares porexportacionesmensualesenelPerú

Nivel de percepción de un pacien-te sobre la atención recibida (muymala, mala, regular, buena, muybuena)

Número de carreras profesionalesenunauniversidadperuana

Tiempo de garantía (en años cum-plidos)otorgadaaunclienteporlacompradeunautomóvil

Número de créditos académicosaprobadosporunalumnodelaEs-cuela de Negocios en el semestre2016-II

(continuación)


9. Enelsiguientecuadrodefinaunparámetroparacadapoblaciónyunestadísticoparacadamuestra,deacuerdoalavariabledeinterés:

Población Muestra Variable Parámetro Estadístico

UsuariosdemediosdetransportedeLimaMetropo-litanaenel2016

Muestrapro-babilísticade400usuariosdeLimaMetropo-litana

Númerodevecesqueunusuarioutilizaalgúnmediodetransporte

Personasentrelos18y65añosquevacaciona-ronenCusco

3359personas,cuyasedadesestánentre18a65años,quevacacionaronenCusco,seleccio-nadasalazar

TiempoquepermaneceelturistaenCusco

PasajerosdeunalíneaaéreadelPerú,endiciembredel2016

1050pasajerosdeunalíneaaéreadelPerú,seleccionadosendiciembredel2016

Númerodevecesqueunpasajerousaelserviciodelalíneaaérea.

10. EnunestudioquerealizólacompañíaJPC,ennoviembredel2016,sobreelmediodetransportequeseutilizaenLimayCallao(transportepúblico,taxi,mototaxi,ve-hículoparticular,bicicleta,moto),seaplicóunaencuestadeopiniónalosusuariosdedichosmediosenesaszonasyseevaluaronlassiguientes4características:


Mediodetransportequeutiliza

1.Transportepúblico()2.Taxi()3.Mototaxi()4.Vehículoparticular()5.Bicicleta()6.Moto()

Vecesqueutilizaelmediodetransporteparamovilizarse

Menosde4vecesporsemana()De4a6vecesporsemana()Másde6vecesporsemana()

Elmediodetransporteloutilizaparatrasladarsea:

Alcentrodetrabajo()Avisitaramigos/familiares()Decompras()Alcentrodeestudios()Alcentromédicodesalud()Otraactividad()

Gastoaproximado(ensoles)portransporte,cuandoviajaa:

AlcentrodetrabajoS/…….Avisitaramigos/familiaresS/…….DecomprasS/…….AlcentrodeestudiosS/…….AlcentromédicodesaludS/…….OtraactividadS/…….

Sobre labasede la tablaanterior,determineyclasifique lasvariablesdeinteréssegúnsuniveldemedición.

Variable Nivel de medición


11. Analicesilassiguientesvariablescuantitativassondiscretasocontinuasydetermineparacadavariableelniveldemedición.

Variable ¿Discreta o continua?

Nivel de medición

Precioporacción(endólares)deunaempresaalcierredejuliodel2016

Número de visitantes al Museo Nacionalenundía

Inflación mensual (variación por-centual del Índice de Precios alConsumidor)enelPerú

Puntaje(entre0y20)queotorgaunusuarioalacalidaddelserviciodetransportequerecibe:Pésimoservicio=0Excelenteservicio=20

Gasto semanal de una familia deLimaenalimentosBajo:menosde500solesMedio:entre500y1000solesAlto:másde1000soles

12. Si usted tuviera que clasificar los cursos de una universidad según el áreaacadémica,¿utilizaríaunniveldemedición?a) Nominalb) Ordinalc) Razónd) Intervalo

13. Unniveldemediciónquesolopermiteclasificarlascaracterísticasdetipocategóricoenunapoblacióncorrespondeaunniveldemedición:a) Nominalb) Ordinalc) Intervalod) Razón


14. Sisequieremedirlaedaddeunosjóvenesenaños,¿quéniveldemediciónserálamásapropiada?a) Nominal b) Ordinal c) Intervalo d) Razón e) Cualquiera

15. Escribaunarazónporlacualnosepuedenmultiplicarnidividirapartirdeinformaciónmedidaenunniveldemedicióndeintervalo.

16. ¿Enquéniveldemediciónsepermiteelmenornúmerodeoperaciones?a) Nominalb) Ordinalc) Intervalod) Razón

Las fuentesdedatossonrecogidasporelinvestigador al establecer contacto con launidaddeanálisis(fuenteprimaria)osincontactoapartirdeinvestigacioneshechasporotrosconpropósitosdiferentes(fuentesecundaria).Asimismo,unafuentededatosdebeteneruninstrumentoparasurecolección.Estossonunconjuntodereglasyprocedimien-tos que permiten al investigador estable-cer larelaciónconelobjetoosujetode la investigación.


9 Identificaryclasificarlasvariablessegúnsunaturalezayescalademedición.


9 Identificareltipodefuentepararecolec-tarlosdatos.

9 Identificarlatécnicaquemejorseadecuepara la recolecciónde losdatos enuna situacióndeterminada.


9 Construir los instrumentos según lafuente de recolección para alcanzar losobjetivos y propósitos del trabajo de investigación.

9 Utilizar la técnica adecuada para re-colectar los datos en una situación determinada.

Contenido

1. Fuentesderecoleccióndedatos.2. Técnicasderecoleccióndedatos.3. Encuestaspormuestreoycensos.4. Instrumentodemediciónpara encuestas:elcuestionario.

Fuentes y técnicas de recolección de datos

Capítulo

2


Perfil del “smartphonero” peruano 2016: el estudio de mercado se basó en una encuesta por muestreo

La estimación del número de personas con teléfonos inteligentes(smartphone)enelPerúfuede6391000parael2016.Elestudiodelperfildelsmartphonerofuerealizadoatravésdeuna

encuesta,pormuestreoprobabilístico,a703usuariosdesmartphones de12a70añosdeedad,detodoslosnivelessocioeconómicos,enlasprincipalesciudadesdelPerúurbano.EsteestudiofuerealizadoporlaagenciaIpsosPerú.Laencuestapormuestreoprobabilísticoeslatécnicaderecolección

dedatosidealparalainvestigacióndelmercado,yaquegeneradatosdefuenteprimariaquepermitenalinvestigadorrealizarestimacionesconaltaprecisiónyconfiabilidad,elementosvitalesparalainferenciaestadística.Unadelasconclusionesdelestudiodelperfildelsmartphoneroes-

tablecióquehayunaactitudfuertedenomofobia(miedoadesconec-tarsedelsmartphone),yaqueel39%deusuarios temequedarsesinbateríayel43%revisaconstantementesusmensajesynotificaciones.Larealizacióndeunaencuestapormuestreorequierelaejecución

devariasetapas,desdeelplanteamientodelproblemahastaelanálisisdelosdatos,pasandoporeldiseñodelamuestraylaelaboracióndelcuestionario,instrumentoderecoleccióndedatosqueseutilizaenlasencuestas.

Capítulo 2. Fuentes y téCniCas de reColeCCión de datos 61

1. fuentes De recolección De Datos

Sontodosaquellosmediosde losqueprocede la informaciónquesatisfará lanecesidaddeconocerunasituaciónounproblemapresentado,yqueposterior-mente se utilizará para lograr los objetivos esperados (Torres, Paz y Salazar,2014).En relación con la fuente que suministra los datos se clasifica en: fuente

primaria, si el dato es tomado directamente de su lugar de origen; y fuente secundaria, si eldatonoes tomadodirectamente, sinoqueseaprovechandeaquellospreviamenterecogidosporotrosmedios.

1.1 Fuente primaria

Esaquellaenlaquelainformaciónseobtienepormediodeunainvestigacióndirectaalobjetodeestudio,atravésdemétodoseinstrumentosdemedición,tipodemuestreoytécnicasparaestablecercontactoconelpúblicoobjetivo.Enelcampodelosnegociosesnecesariorecopilardirectamentedelmercadolosdatosnecesariosparasolucionarelproblemaplanteado.Asuvez,lasfuentesprimariaspuedensubdividirseen:• Fuente primaria de observación directa Es aquella en la cual el investigador tomadirectamente losdatosde lapoblaciónomuestra,mediante laobservación, sinnecesidadde instru-mentos de medición (cuestionarios, balanzas, tallímetros, entre otros) nientrevistadores.

Ejemplo 2.1Un investigador realiza un estudio estadístico paramejorar el serviciodeatenciónalclienteyobservaeltipodeactividaddelclientemientras esperaseratendido.


• Fuente primaria de observación indirecta Esaquellaenlacuallosdatosnosonobtenidosdirectamentedelinves-tigador,yaqueseprecisadeuncuestionario,entrevistadoruotros ins-trumentosdemediciónparaobtenerlosdatosdelestudiomedianteunaencuesta.

Ejemplo 2.2Un especialista en investigación comercial realiza una encuesta a 200consumidoresdechocolateyrecolectadatossobrelascaracterísticasde3marcasutilizandouncuestionariode10preguntas.

1.2 Fuente secundaria

Esaquellaenlacuallosdatossehanrecolectadoapartirdeinvestigacionespre-viamenterealizadas,queseencuentranencompilaciones,resúmenesylistadosdereferenciaspublicadasenunáreadeconocimientoenparticular.Estoquieredecirquelainformaciónsecundariaespreexistente,pueselinvestigadornosecontactadirectamenteconlaunidaddeanálisis,einclusopodríaseranterioralproblemaquepretendeestudiar.Lainformaciónesobtenidadesdedocumentoscomolibros,tesis,disertaciones,expedientes,estadísticas,censos,basesdedatosyotrosdocumentos(Hernández,FernándezyBaptista,1994).Antesdeutilizarlasfuentessecundariasestasdebenserescrutadasmediante

cuatropreguntasbásicas(Torres,PazySalazar,2014): – ¿Espertinente?Paraestarsegurosdequelainformaciónseadaptaalosobjetivos.

– ¿Esobsoleta?Paraestarsegurosdequenohaperdidoactualidad. – ¿Esfidedigna?Paraestarsegurosdequelaveracidaddelafuentedeori-gennoescuestionada.

– ¿Esdignadeconfianza?Paraestarsegurosdequelainformaciónhasidoobtenidaconlametodologíaadecuadayhonestidadnecesaria,conobjeti-vidad,naturalezacontinuadayexactitud.

Existennumerosasfuentesdeinformaciónenelmercadoqueelinvestigadortienequeconocerparapoderseleccionarlamásadecuadaacadaproblemaplan-teado.Elprocesodeobtencióndeinformaciónsecundariaesnormalmenteme-noscostoso,másrápidoysencilloqueelprocesodeobtencióndeinformaciónprimaria.Porestemotivo,esconvenienteagotarlasfuentessecundariasantesdeutilizarfuentesprimarias(Fernández,2004).Las fuentes secundarias pueden ser internas o externas a la empresa

uorganización.• Fuente secundaria interna Estodainformaciónacumuladaporlaempresaenelpasadoyconstituyeelprimerpaso.Estaspuedenser:


– Comportamientodelconsumidor – Gananciasabsolutas – Tasasderetornodelainversión(acortoplazo) – Tasainternaderetornosobrelainversión(alargoplazo) – Ventasporclasedeproductos – Ventaspormarcas – Participaciónenelmercado – Trámitesadministrativos – Estructuradelmercado – Datosdeproveedores

Enalgunasocasiones,lainformaciónsecundariainternapuedefacili-tarlasolucióndedeterminadosproblemasplanteadosenlaorganizacióny,especialmente,puedeservirdebaseparadiseñarunprocesomáscom-plejodeobtencióndeinformaciónsecundariaexternaoprimaria.

Ejemplo 2.3Lagerenciademercadeodeunagranempresarealizaunainvestigaciónpormuestreoparadiseñarunanuevaestrategiapublicitariaconlafinali-dadderelanzarunproductoconsumidoporelsegmentojuvenil.Sobrelabasedelainformaciónobtenidadeunestudiorealizadoelañopasadoseplanificaelnuevoestudio,optimizandoeldiseñodelamuestra.

• Fuente secundaria externa Cuandolaempresanodisponedesuficienteinformaciónseacudeaorga-nizacionesoentidadesexternasquepuedanproporcionardatosadecua-dosaloquesequiereconocerenlainvestigación.Actualmente,sepuedeacceder a lamayoríade estas entidadesa travésde suspáginaswebsyconsultarelcontenidodesusbasesdedatos.Laredofrecelaposibilidadderealizarbúsquedasdeinformaciónmáscómodasyrápidas.Enalgunosca-sos,laobtencióndeinformacióntienecaráctergratuito,peroenotrasllevaimplícitouncosto.Enelprocesodebúsquedadeinformaciónsecundariaexternaesaconsejablecomenzarpor lasfuentesgenerales,paradespuésprofundizarenlasmásconcretasyespecializadas(Fernández,2004).Unaacotaciónadicional, las fuentesdebenser lasmásapropiadasal

problemaplanteado,oficialesoespecializadas,conaltogradodecredibi-lidadyconfiabilidad.

Ejemplo 2.4Un institutode estudios socialesutiliza la basemuestralde laEncues-taNacionaldeHogares (Enaho)queseencuentraen lapáginawebdelInstitutoNacionaldeEstadísticaeInformática(INEI),pararealizarunainvestigaciónexploratoriasobrelapobrezaenelPerú.


2. técnicas De recolección De Datos primarios

Es el conjuntode reglasyprocedimientosquepermitenal investigador esta-blecerlarelaciónconelobjetoosujetodelainvestigación.Paralarecoleccióndedatosprimarios,enunainvestigacióncientíficasedisponedetrestécnicas:observación,experimentaciónyencuesta.

2.1 La observación

Consisteenelregistrosistemático,válidoyconfiabledecomportamientosocon-ductamanifiesta(Hernández,FernándezyBaptista,1994).Según sean losmediosutilizadospara la sistematizaciónde loobservado,

elgradodeparticipacióndelobservador,elnúmerodeobservadoresyellugardondeserealiza,laobservaciónpuedeserdediferentesmodalidades.Segúnsuestructura,laobservaciónpuedeserestructuradaynoestructurada.Segúnelgradodeparticipación,puedeserparticipante,noparticipanteyautoobserva-ción.Segúnlacantidaddeobservadores,puedeserindividualyenequipo.

Ejemplo 2.5ElprocedimientodeverificacióndeuntarjadorenelpuertodeCallao.Eltar-jadortienelafuncióndeexaminartodalacarga(pesodelacarga,númerodepaquetesporcarga,característicasdelacarga,entreotros)queseencuentradentrodeuncontenedor.

2.2 La experimentación

Eslatécnicaporlacualseoperandeliberadamenteunaomásvariablesindepen-dientes(supuestascausas)paraanalizarlasconsecuenciasdeesamanipulaciónsobreunaomásvariablesdependientes(supuestosefectos).Enelexperimentoexisteuncontroldirectosobreelfactorquesevaaanalizar(Hernández,Fer-nándezyBaptista,1994).Estoquieredecirqueenlaexperimentaciónseregistraundatobajocondicionesprovocadas,simulandoelprocesolomásrealposible.En lamedida en que el diseño y la ejecución del experimento tengan es-

tas características, el profesional en administración, negocios, en economía y especialistasengeneral,estaránsegurosdelaveracidaddelasconclusiones.

Ejemplo 2.6Unaempresacomercializadoradevehículosrealizaunexperimentoconsusvendedoresparamejorarsusventas,condiferentesprogramasdeentrena-miento.Lavariablequeinteresaeselniveldeventasybuscarelmejorpro-gramadeentrenamiento.


2.3 La encuesta

Alprocedimientodelaentrevistacomúnmenteselereconocecomo“encuesta”.Laencuestaconstituyeeltérminomedioentrelaobservaciónylaexperimenta-ción;enellaseregistransituacionesquepuedenserobservadasyenausenciaderecrearunexperimentosecuestionaalapersonaparticipantesobreello(Torres,PazySalazar,2014).Entrelascaracterísticasfundamentalesdeunaencuestasedestacan: – Laencuestaesunaobservaciónnodirectadeloshechos,pormediodelacualsemanifiestanlosentrevistados.

– Esunatécnicapreparadaparalainvestigación. – Permiteunaaplicaciónmasiva,quemedianteunsistemademuestreopue-daextenderseaunanaciónentera.

– Haceposiblequelainvestigacióndelmercadolleguealosaspectossubjeti-vosdelosconsumidores.

Hoyendía,laencuestaeslatécnicaprincipaldelosinvestigadoresdelmer-cado,delosantropólogosyaundelospolitólogos.Peronosolodeellos,nidelosdemáscientíficosdelascienciassociales;tambiénlosfísicos,losquímicosylosingenieroslautilizanconmuchafrecuencia,sobretodocuandoquierenexaminarlosefectosdesusnuevosdescubrimientosenlosconsumidores.Laencuestasepuederealizaraunapartedelapoblación(muestreo)oatodalapoblación(censo).

Ejemplo 2.7Parainvestigarcuáles laedaddemayorproductividadintelectualentreloscientíficos,seaplicaunaencuestaaloscientíficosdeuniversidades,institutosylaboratoriosdeunpaís.

3. encuestas por muestreo y censos

3.1 Encuesta por muestreo

Seaplicaaunamuestrarepresentativadelapoblación,conlafinalidaddequelosresultadosseanrepresentativosalconjuntodelapoblación.ComoloseñalaGarcíaFerrado(UniversidaddeSonora,2014),prácticamente

todofenómenoqueocurreenelmercadoysusconsumidorespuedenserestudia-dosatravésdelasencuestas.Cuatrorazonesavalanestaafirmación:

– Lasencuestassonunadelaspocastécnicasdelasquesedisponeparaelestudiodelasactitudes,valores,creenciasymotivos.

– Lastécnicasdeencuestaseadaptanatodotipodeinformaciónyacual-quierpoblación.

– Lasencuestaspermitenrecuperarinformaciónsobresucesosacontecidosalosentrevistados.


– Lasencuestaspermitenestandarizarlosdatosparaunanálisisposterioryseobtienegrancantidaddedatosaunpreciobajoyenuncortoperiodo.

3.1.1 Tipos de encuesta por muestreo

Lasencuestassepuedenclasificaratendiendoadiversoscriterios;sinembargo,elmásfrecuenteesdeacuerdoalsistemaderecoleccióndedatosqueseutiliza.Conesteesquemalasencuestasseclasificanen(Pino,2007):

• Por entrevistapersonal: conversación cara a cara, generalmente entre 2personas(elentrevistadoryelentrevistado)utilizandouncuestionario.

• Por correopostal: consiste en enviar y recibir información a travésdelcuestionariodepreguntas,utilizandoelcorreopostal.Puedenserdetresformas: – Entregadasyrecibidasporcorreopostal – Entregadasporcorreopostalyrecogidasporentrevistadores – Entregadasporentrevistadoresyrecogidasporcorreopostal

• Porteléfono:presentalasmismascaracterísticasquelaentrevistaperso-nal,conlavariantedequesehacevíaunaparatotelefónico.

• Por internet: utiliza las tecnologías de la información y comunicación(TIC)atravésdelusodelinternetparaenviarencuestasypublicarcues-tionariosqueelentrevistadodeberállenaryremitirporlamismavía.

Lostiposdeencuestascomúnmenteutilizadosparaobtenerdatospormues-treosonlasentrevistaspersonalesylasentrevistasporteléfono.Conestosmé-todos,yconentrevistadorespreparadosyreentrevistasplaneadas,sesueleal-canzartasasderespuestasuperioresal60%y75%(Torres,PazySalazar,2014).Acontinuación,seobservaunacomparacióndelaspropiedadesentrelostrestiposdeencuestasmásutilizadosenlainvestigacióndelmercado:

Propiedades Por entrevista personal Por teléfono Por correo postal

Libertaddeexpresión delentrevistado Muyelevado Bajo Nulo

Influenciadelentrevistador Muyelevado Elevado Nulo

Complejidaddelaencuesta Muyelevado Elevado Bajo

Claridaddelaencuesta Bajo Elevado Muyelevado

Costodelaencuesta Muyelevado Elevado Bajo

Tiempodelaencuesta Muyelevado Elevado Bajo

Participacióndelentrevistado Muyelevado Elevado Bajo

Fuente: Torres, Paz y Salazar, 2014


3.1.2 Etapas de una encuesta por muestreo

ParalaUniversidaddeSonora(2014),lasetapasson:

i. Definicióndelproblemayestablecimientodeobjetivosclaros,concisosysencillos,detalformaqueseanentendidosporquienestrabajanenlaencuesta.Ladefinicióndelproblemadebecoincidirconlosobjetivosdelainvestigación.

ii. Determinacióndelapoblaciónobjetivo;esdecir,elinvestigadordefinelapoblaciónqueleinteresaestudiarsegúnlosobjetivosplanteadosenelproblemadeinvestigación.

iii. Construccióndelmarcomuestral:obtenerellistadodetodaslasunida-desdeanálisisqueconformanlapoblacióndeestudio.

iv. Determinacióndeldiseñodemuestreo:plandemuestreo,métododeestimaciónoexpansión, incluyendoelnúmerodeunidadesqueseránconsideradasenlamuestra.

v. Eleccióndel tipode encuesta:usualmente entrevistaspersonales,porcorreo,porteléfonooporinternet.

vi. Elaboraciónopreparacióndelinstrumentodemedición.Sivaaseruncuestionariooguíadeentrevista,planearlaspreguntasdetalmaneraqueseminimicelanorespuestayelsesgoporrespuestaincorrecta.

vii. Selecciónypreparacióndelosinvestigadoresdecampo,quienesreco-lectaránlosdatos.Debensaberquémedicioneshacerycómohacerlas.

viii.Pruebapiloto:esunapequeñamuestraquesirveparaprobarlosinstru-mentosdemedición,calificaralosentrevistadoresyverificarelmanejodelasoperacionesdecampo.

ix. Organizacióndeltrabajodecampo:planearendetalleeltrabajodecam-po(entrevistadoresycoordinadores).

x. Organizacióndelmanejodedatos.Debeincluirlospasosparaelproce-so,desdeelmomentoenquesehaceunamediciónenelcampohastaqueelanálisisfinalhasidocompletado.Hayqueincluirunesquemadecontroldecalidadparaverificarlacorrelaciónentrelosdatosprocesa-dosylosdatosrecolectadosenelcampo.

xi. Análisisde losdatos:especificardetalladamente lospasosdeanálisisquedebenejecutarse.

xii. Elaboracióndelasconclusiones.

3.1.3 Principales encuestas por muestreo en el Perú

AlgunasdelasencuestaspormuestreoenelPerú(INEI,2016)son: – EncuestaNacionaldeHogares – EncuestaPermanentedeEmpleo


– EncuestaNacionalAgropecuaria – Encuesta Nacional de Satisfacción de Usuarios del AseguramientoUniversalenSalud

– EncuestaNacionalDemográficaydeSaludFamiliar – EncuestaNacionaldeProgramasPresupuestales – Encuesta a Establecimientos de Salud en la Atención del Control deCrecimiento,DesarrolloyVacunas

– EncuestaNacionalEspecializadasobreDiscapacidad – EncuestadeSaludyDesarrolloenlaPrimeraInfancia – Encuesta deComposiciónNutricional deAlimentosConsumidos fueradelhogar,etc.

3.2 Censo

Etimológicamente,lapalabracensoprovienedellatíncensere,quesignifica‘con-tar’.ParaelINEI(2016a),elcensoesunainvestigaciónestadísticaqueconsisteenunconjuntodeoperacionesdestinadasarecopilar,procesar,evaluarypublicardatosreferentesatodaslasunidadesdeununiverso,enunmomentoyespaciodeterminado.Enelcensosehaceelrecuentodelatotalidaddeloselementosquecomponenlapoblaciónporinvestigar.Esnecesarioqueseespecifiqueelespacioyeltiempoalqueserefiereelrecuento.Elcensosehaceperiódicamenteparasaberquétenemosyquénosfalta.Lainformaciónqueserecogeestáenfunciónde lasnecesidadesdeplanificacióny a la ejecucióndepolíticas yprogramas de desarrollo a nivel nacional, regional, provincial y distrital. En el Perú, el organismooficialresponsabledeloscensoseselINEI,elcualdeberealizarloscadadiezaños.Asimismo, lasvariablesquese investiganenuncensodebenserdecarác-

terestructural; esdecir,aquellasqueacortoplazonoexperimentancambios significativos.

3.2.1 Etapas del censo

SegúnelINEI,sontreslasetapasdelcenso:preempadronamiento,empadrona-mientoypostempadronamiento(INEI,2016).

• Actividadesdelpreempadronamientoa) Direcciónygerenciadelprocesocensal:planeamiento,programaciónyorganizacióncensal.

b) Métodosydocumentos:encargadosdelaelaboracióndelosprocedi-mientostécnicosymetodológicosdetodaslasactividadescensales,asícomodeldiseñodelacédulacensal,delosmanualesdeinstrucciónydelosdocumentosdemonitoreoqueseutilizanenlaejecucióndelasactividadescensales.


c) Pruebasmetodológicas:evalúanlosprocedimientosparaeldesarrollodeunatareaoactividad,lafuncionalidaddeunaplicativoinformático,elniveldecomprensióndeunapregunta,entreotros.

d) Formacióndeáreasdeempadronamiento:consisteendividireláreadelterritorionacionalen segmentosdenominados“áreasdeempadrona-miento”,deacuerdoacriteriostécnicosdeubicaciónycontinuidaddelasviviendas,losmismosquesonrepresentadosenlosdocumentoscar-tográficos.Estatareapermitedeterminarelnúmerodefuncionariosymaterialcensalparalaejecucióndelaactividaddelempadronamiento.

e) Capacitación:esunadelasactividadesmásimportantesporsureper-cusióne impactoenlacalidadde losresultadoscensales,por loquedemandaunaadecuadaplanificaciónyunaseleccióndemetodologíasqueapoyen la enseñanzay facilitenel aprendizaje enatencióna losobjetivosdecadaactividad.

f) Promocióncensal:eslaactividadconstituidaporunconjuntodeacti-vidadescomunicacionalesconlosdiversosmedioseinstrumentosdedifusión,conelpropósitodesensibilizaralapoblaciónsobresuactivaparticipaciónenloscensos.

g) Logísticayarchivo:es laactividadencargadadedistribuir, recibiryarchivartodoslosdocumentoscensales.

h) Reclutamientodelpersonalparaelempadronamiento:eslaactividadpor la cual se identificany seleccionan candidatos condeterminadoniveleducativoocondeterminadaexperienciaparacubrirloscargosdefuncionarioscensales.

• Actividadesdelempadronamientoa) Empadronamiento:consisteenlaejecucióndeunconjuntodetareasinterrelacionadas,conelobjetodeorganizareimplementarlasoficinasresponsablesdelaejecucióndelempadronamientoaescalanacional,asícomolosórganosdeapoyoyejecuciónnecesariaparalarecopila-cióndeinformaciónsobrelapoblaciónmediantelaentrevistadirectadelempadronador.

• Actividadesdelpostempadronamientoa) Encuestadeevaluacióncensal:unamaneradeconocerloserroresdecoberturaylacalidaddelainformaciónesmediantelaverificacióndelempadronamiento,atravésdeunaencuestapormuestreoquesereali-zacuandohaculminadoelempadronamientocensal.

b) Procesamientodedatos.c) Consistenciadelainformación:estaactividadtienecomofinalidadga-rantizarquelainformaciónrecopiladaenlosformulariosdelacédulacensalnopresenteinconsistencias,incoherencias,datosfueraderango,entreotros.


d) Validaciónytabulación:elobjetivodeestaactividadesdarconformi-dadyvalidezalainformacióndetodoslossucesospreviosqueinvo-lucran lapublicaciónde los resultadospresentadosen loscuadrosytablasestadísticasdemaneradefinitiva.

3.2.2 Principales censos en el Perú

LosprincipalescensosejecutadosenelPerú(INEI,2015)fueron: – IVCensoNacionalAgropecuario2012 – IIICensoNacionalAgropecuario1994 – CensosNacionales2007:XIdePoblaciónyVIdeVivienda – CensosNacionales2005:XdePoblaciónyVdeVivienda – CensosNacionales1993:IXdePoblaciónyIVdeVivienda – CensosNacionales1981:VIIIdePoblaciónyIIIdeVivienda – IV Censo Nacional Económico 2008, III Censo Nacional Económico 1993-1994

– IICensoNacionalUniversitario2010,ICensoNacionaldeComisarías – ICensoNacionaldelaPescaArtesanaldelÁmbitoMarítimo2012.

4. instrumento De meDición para encuestas: el cuestionario

Elcuestionarioeselinstrumentodelatécnicaderecoleccióndedatosprimarios,queconstadeunconjuntodepreguntasqueelinvestigadorpreparademanerametódicaparaobtenerinformacióndeaquelloqueseinvestigayquesonresuel-tasporlosentrevistados(encuestados).Lasrespuestasaestaspreguntasconsti-tuyenlosdatosestadísticos,queseránutilizadosparaconocerlascaracterísticasdelapoblaciónodelamuestrabajoestudio.Enelartículo“Métodosderecoleccióndedatosparaunainvestigación”del

boletínelectrónico3delaUniversidadRafaelLandívar,sedicequeunodelosobjetivosdeldiseñodelcuestionarioesreducirloserroresdenomuestreoqueseproducenaltratardeobtenerlainformación(Torres,PazySalazar,2014).Enesesentido,loscuestionariosdebenreunirlassiguientescaracterísticas:i. Operativos:fácilesdemanejar,quepuedanutilizarsecomoinstrumentoderecoleccióndedatospreviendoensuestructuralafacilidadparaelva-ciadodelainformación.Fácilesdeprocesarytabular.

ii. Fidedignos:confiables,quepermitanlarecolecciónrealdelosobjetivosyqueseanfácilesdeserdepurados.

iii.Válidos:concisos,claros,firmes,consistentes,quenoseprestenaambi-güedades.Preguntasclaras,breves,concretasylógicas.


Para diseñar un cuestionario se deben considerar los siguientes aspectos(INEI,2011):i. Tenercuidadoenlaredaccióndelaspreguntasii. Tenerencuentaelflujológicodelaspreguntasiii.Formatoamigableparaelinformanteyelentrevistadoriv.Deberealizarsepruebasparaevitarsesgosv. Lasalternativasderespuestadebenestarprecodificadaspara facilitar lacapturadedatos

4.1 Etapas para su construcción

Paralageneracióndeestadísticabásica,eldiseñodecuestionariosserealizabajodistintasmodalidadesysecuencias;esdecir,unaomásactividadespuedende-sarrollarsesimultáneamente.Sudiseñoexigeunarealizacióncuidadosadelasactividades, cumpliendo determinadas condiciones técnicas y conceptuales, comoseobservaacontinuación:i. Análisisdelmarcoconceptualii. Determinacióndeltipodepreguntaysuredaccióniii.Determinacióndelasecuenciadepreguntasiv. Instruccionesdellenadodelaspreguntasv. Distribucióndeloscontenidosvi.Determinacióndelosaspectosdelaediciónvii. Mediodepresentación:impresoodigitalviii.Elaboracióndemanualsobreelllenadodelcuestionarioix.Pruebapilotodelcuestionariox. Ajustesfinales

4.2 Tipos de cuestionario

SegúnelInstitutoNacionaldeEstadísticayGeografíadeMéxico(INEGI,2013),en lavariedaddecuestionariossedistinguentipologíassegún loscriteriosdeclasificaciónqueseutilicen.Enesteapartadosepresentanalgunosdelosmásfrecuentes.

• Segúnelgradodeestructuracióndelaspreguntas: – Cuestionarioestructurado:tipodeformatodondelaspreguntasyposi-blesrespuestassepresentandelamismaformaatodoslosinformantes,sinposibilidaddemodificacióndelaspreguntas.Laspreguntasylasrespuestassehacensiguiendounordenestricto.

– Cuestionarionoestructurado:tipodeformatodepreguntasgeneralesquepermitenalentrevistadormayorlibertadyflexibilidadenlaformu-


lacióndepreguntasespecíficas.Laspreguntasnosehacensiguiendounordenestrictoypermiteadecuarelvocabularioalnivelculturaldelentrevistado.

• Segúnelmediodepresentación: – Cuestionarioimpreso:tipodeformatoquesepresentaenpapel,conlaspreguntasyespaciosparaanotarlasrespuestas.

– Cuestionarioelectrónico: tipode formatoquesepresentaenprogra-masenequiposinformáticos.

• Segúnelnúmerodetemasqueseabordan: – Cuestionariomonotemático:tipodeformatoqueabordaunsolotema. – Cuestionariomultitemático:tipodeformatoqueabordavariostemas.

• Segúneltipodeentrevista: – Cuestionarioparaautoentrevista:tipodeformatoqueelpropioinfor-manteseocupadecontestar.

– Cuestionarioparaentrevistadirecta:tipodeformatoconlaspreguntasqueseránplanteadasalosinformantesporelentrevistador,quienano-taráenéllasrespuestasproporcionadas.

4.3 Tipos de preguntas en el cuestionario

Hayquetenerpresentequeenuncuestionariopuedenemplearsediferentestiposdepreguntas;suseleccióndependeprincipalmentedelniveldemedicióndelasvariables(nominales,ordinales,intervalosyderazón),deltipodeeventoalqueserefieran(hechos,intenciones,opiniones,actitudesoexpectativas,entreotros),asícomodelaamplituddesusclasificacionesoniveles(grantour,minitour).Acontinuación,sedescribenlostiposdepreguntasmáscomunes(INEGI,2013).

a) Segúnlamodalidadderespuesta:• Preguntasabiertas:sonaquellasqueseformulanconsiderandoloindica-doporlosinformantesynopresentanopcionespredeterminadasderes-puesta.Sonútilescuandonohaysuficienteinformaciónsobrelasposiblesrespuestasdelaspersonas.

Ejemplosdepreguntasabiertas,relacionadasporlaamplituddesusclasi-ficaciones,sonlassiguientes: – ¿Cuáleselnombredelacarreraquesigue? – ¿PorquémotivoprefierenotraersuautoalCentroComercialElÓvalo? – MencioneunarazónporelquenoleagradalagaseosaOasis. – ¿Cuáleselnombredesuocupación,oficioopuesto? – Entreoctubredelañopasadoyseptiembredeesteaño,¿cuálesfueronlasprincipalesplantasqueseprodujeronenelvivero?


Lasvariablescuantitativas,cuyosdatosderespuestasecaptanenlascel-dasdelformatotabular,tambiénsonabiertas,porejemplo:

¿Quécursossedictaron?

¿Cuántosalumnossematricularon?

¿Cuáleselporcen-tajedeasistencia?

¿Cuántosapro-baronelcurso?

MatemáticabásicaÁlgebralinealFilosofíaEstadísticabásicaparalosnegocios

• Preguntascerradas:sonlasquemanejanopcionesderespuestapredeter-minadas.Sonmásfácilesdecodificaryanalizar.Laspreguntascerradascontienencategoríasuopcionesderespuestaquehansidopreviamentedelimitadas;esdecir,sepresentanlasposibilidadesderespuestaalospar-ticipantes,quienesdebenacotarseaestas.

Entrelasmodalidadesdepreguntascerradasseidentificanlassiguientes: – Selecciónúnica:sonaquellasenlasqueel informanteeligesolounaopciónderespuestadetodaslasposibles.Porlacantidaddeopcionesquepresentan,seclasificanen:(a)preguntasdicotómicas,quepresen-tandosopcionesderespuesta;y(b)preguntaspolitómicas(nodicotó-micas),lasquetienenmásdedosopciones.

Ejemplo 2.8¿Ustedtrabaja?a)Síb)No

Ejemplo 2.9Indiqueelmáximonivelacadémicoqueustedposeea)Inicialb)Secundariac)Pregradod)Posgrado

– Selecciónmúltiple:seadmitelaposibilidaddequeelinformantepuedaescogervariasdelasopcionesderespuestapresentadas.

Ejemplo 2.10¿Qué marca de chocolate consume usted? Puede marcar más deunaopción.

Subliminal............ XCosteño………….Angelical………..Buensabor……... XDulcecosteño….Rico………............


b) Segúnsufunción(ocontenido):• Preguntasdeidentificación:permitendetectarlascaracterísticasdeinte-rés,yaseaparaseleccionaralinformanteadecuado,lapresenciadelfenó-menoodeleventoqueinteresainvestigar.

Ejemplo 2.11¿Algunadelaspersonasqueviveenestacasaconsumebebidasgaseosasojugosembotellados? Sí………..Apliqueesteformato No………Noapliqueesteformato,délasgraciasydespídase

• Preguntasdelanálisistemático(principales):sonlaspreguntasclaveparaalcanzarlosobjetivosdelproyectoestadístico.Estaspuedenser(a)deac-ciónodehechosyaconsumados,(b)deintención,(c)deopinióno(d)deexpectativasdelentrevistado.

Ejemplo 2.12Veamoslassiguientespreguntas:¿Estacasatieneserviciodeaguayalcantarillado?Dehechoconsumado¿Cómovaavotarenlaspróximaselecciones? Deintención¿Quéopinasobre...? Deopinión¿Quétipodecambiosuponeparaelmessiguiente?Deexpectativa

• Preguntasdecontrol:sondetipooperativoquefacilitanlacaptacióndelosdatosdeinterés.Puedenteneralgunadelassiguientesmodalidades: – Preguntasfiltro:permitendistinguiraquellaspersonas,situacionesohechosqueimplicanunasecuenciadiferenteenlaentrevista.

Ejemplo 2.13¿Tieneusted18añosomás? Sí No ……Pasealapregunta10

– Preguntasdeverificación:seformulanparacomprobarlaveracidadoprecisióndelasrespuestasdelosentrevistados.

Ejemplo 2.14Aunqueyamedijoque...todoeldineroqueganaensunegocioesparaamortizarladeudaquetieneconelbanco,¿hacompradoalgúnaparatoelectrónicoúltimamente? Sí No

– Preguntas amortiguadoras: seutilizanpara suavizarpreguntaspos-terioresqueserefierenatemasdelicados,enlosquelosentrevistadospuedenmostrarsereticentesacontestar.


ENCUESTA DE OPINIÓN PÚBLICA EN EL DISTRITO DE BARRANCO(Encuesta a personas de 18 a más años que residen en el distrito)

Mayodel2003

Buenos días/tardes señor/señora:me encuentro realizando una encuesta de opinión entre losvecinosdeestazonasobretemasdeinterésparaestedistrito.Leagradecerémeconcedaunosminutosdesutiempoparaaplicarleunaencuestaquetomarámásomenos10minutos.Muchasgracias

P1. InicialmentelevoyamencionaralgunasmedidasyactividadesquevienerealizandoelMunicipiodeBarranco,paraqueustedmedigasihatenidoconocimientodeellas.(E:leercadamedidaoactividadyanotarlasrespuestasenelcuadroqueestálíneasabajo).

P2. ¿Encuálesdeellashaparticipadoosehaacogido?P3. ¿Cuálesdeestasmedidasoactividadesconsideraustedquehansidolasmásacertadas

olasquemáslehanagradado?(E:marcarhastatres).P4. ¿CuálesdeestasmedidasoactividadesconsideraustedquelaMunicipalidaddebería

realizarperiódicamente?(E:marcarhastatres).P5. ¿Qué otras medidas o actividades cree usted que debería tomar o realizar la

municipalidad?1.

2.

P6. ¿Atravésdequémedioseenteróde...?(E:preguntarparacadarespuestaafirmativaenP1)

Ejemplo 2.15Veamoslassiguientespreguntas:¿Tienesamigosqueconsumanalgúntipodebebidaalcohólica? Sí No¿Ellostehanofrecidoconsumirla? Sí No¿Consumesalgúntipodebebidaalcohólica? Sí No

4.4 Un modelo de cuestionario de encuesta

Eldiseñodeuncuestionarioqueseaplicaráenlaencuestapormuestreoes,dealgunamanera,unaobradearte;esdecir,sedeberealizarconingenio,suscep-tibilidadysentidocomún.Entantonoexisteunmodeloúnicodecuestionario,auncuandoseapliqueaestudiosdeinvestigaciónsimilares,existencaracterísti-casestándarenlaconstruccióndeello.


Medidas / Actividades

P1P2 P3 P4

P6

Sí No TV Radio Diarios Bande-rolas Afiches Boca a

bocaNo

precisa

Amnistíamunicipal 1 2 1 1 1 1 2 3 4 5 6 99

Operativosantidrogas 1 2 2 2 2 1 2 3 4 5 6 99

RecuperacióndelEstadioUnión

1 2 3 3 3 1 2 3 4 5 6 99

Recuperacióndefachadas 1 2 4 4 4 1 2 3 4 5 6 99

Recuperacióndelasiglesias 1 2 5 5 5 1 2 3 4 5 6 99

RemodelacióndelCentroMédicoMunicipal

1 2 6 6 6 1 2 3 4 5 6 99

Matrimoniosmasivos 1 2 7 7 7 1 2 3 4 5 6 99

AlimpiarBarranco 1 2 8 8 8 1 2 3 4 5 6 99

Fonohueco 1 2 9 9 9 1 2 3 4 5 6 99

Saludintegral 1 2 10 10 10 1 2 3 4 5 6 99

Bolsadetrabajo 1 2 11 11 11 1 2 3 4 5 6 99

Vamosalcolegio 1 2 12 12 12 1 2 3 4 5 6 99

Talleresdeinvierno 1 2 13 13 13 1 2 3 4 5 6 99

Feriadellibroviejo 1 2 14 14 14 1 2 3 4 5 6 99

Conferencias 1 2 15 15 15 1 2 3 4 5 6 99

Cinegratisalairelibre 1 2 16 16 16 1 2 3 4 5 6 99

FestivaldelPuentedelosSuspiros

1 2 17 17 17 1 2 3 4 5 6 99

EspectáculosdominicalesenelParqueCentral

1 2 18 18 18 1 2 3 4 5 6 99

(E:silarespuestaenP1,enAmnistíamunicipales“Sí”yenP2responde“No”,preguntar)


P7. Haceunmomentoustedmanifestóquenosehaacogidoalaamnistíamunicipalde-cretadaporelMunicipio,¿podríadecirmeporquérazón?

1. Faltadedineroparapagar2. Notieneinterésencolaborarconlaactualadministración3. Creequesudineronoseinvierteenobrasparaeldistrito4. EstáaldíaensuspagosalMunicipio Otros:

(especificar)

P8. ¿Cuálessonparaustedlostresproblemasmásimportantesqueafrontaactualmentesubarrio?

P9. ¿CuálessonparaustedlostresproblemasmásimportantesqueafrontaactualmenteeldistritodeBarranco?

Problemas P8 P9

Limpiezapública 1 1

Iluminaciónpública 2 2

Seguridadciudadana 3 3

Comercioambulatorio 4 4

Pistasyveredasenmalestado 5 5

Tráficoyconsumodedrogas 6 6

Faltadeáreasderecreaciónydeporte 7 7

Violenciajuvenil(pandillas) 8 8

Otros:(especificar)

P10. A continuación, le voy a mencionar servicios que son de responsabilidad de los municipiosparaqueustedmedigasihanmejorado,hanempeoradoosiguenigual,durantelagestióndelactualalcaldeMartíndelPomar.

Servicios Hamejorado

Ha empeorado

Sigue igual

Noprecisa

Limpiezapública 1 2 3 99

Conservacióndeparquesyjardines 1 2 3 99

Participaciónvecinal 1 2 3 99

AtenciónalpúblicoenlaMunicipalidad 1 2 3 99

Seguridadciudadana(Serenazgo) 1 2 3 99


P11. Se ha enterado usted de los problemas por los que atraviesa actualmente el MercadoN.º1?

1.Sí(E:continuar) 2.No(E:paseaP.14)

P12. Específicamente,¿dequésehaenteradoustedacercadeesteproblema?

P13. ¿Quémedida cree usted que debería tomar elMunicipio con respecto alMercado N.º1?

P14. Enunaescalaquevademuybuenaamuymala,¿cómocalificaríaustedlalaborquevienerealizandoelactualalcaldeMartíndelPomar?

1.Muybuena2.Buena3.Regular4.Mala5.Muymala99.Noprecisa

P15. ¿CuáldiríaustedqueeslaprincipalvirtudoaspectopositivodelalcaldeMartíndelPomar?

1. Estrabajador2. Eshonesto3. Transparenteensugestión4. Sufortaleza5. Sucarisma

Otros: (especificar)99. Noprecisa

P16. ¿Cuáldiríaustedqueessuprincipaldefectooaspectonegativo?

1. Autoritario2. Pococomunicativo3. Incumplido4. Desorganizado

Otros: (especificar)99. Noprecisa

P17. Entérminosgenerales,¿diríaustedquelagestióndelalcaldeMartíndelPomarvienesiendomejor,igualopeorquelarealizadaporlaanterioralcaldesaJosefinaEstradadeCapriata?

1.Mejor 2.Igual 3.Peor 99.Noprecisa


P18. ¿PorquiénvotóustedenlasúltimaseleccionesmunicipaleseneldistritodeBarranco?

1. MartíndelPomarSaettonne(AlianzaElectoralUnidadNacional)2. JuanFélixSuyónHurtado(PartidoApristaPeruano)3. MaríadelPilarBottodeDasso(PartidoDemocráticoSomosPerú)4. RicardoIrivarrenFigueroa(PartidoPerúPosible)5. CarlosFelipeGordilloPalet(ConcienciaBarranquina)

Otros:

(especificar)

6. Votóenblanco/anuló/viciósuvoto7. NolecorrespondevotarenBarranco99.Noprecisa

P19. ¿Cuáldelossiguientesperiódicosleeusted?

1. Expreso 2. La República 3. El Comercio 4. Ojo

5.Correo 6.Perú21 7.El Diario 8.El Barranquino

Otro:____________________________(especificar)

(E:sielencuestadomencionaEl BarranquinoenP19,preguntar)

P20. Enunaescalaquevademuybuenoamuymalo,¿cómocalificaríaustedalperiódicoEl Barranquino?

1.Muybueno2.Bueno3.Regular4.Malo5.Muymalo99.Noprecisa



1. Indiquelaveracidadofalsedaddelenunciado.

Enunciado V o F

a) Alainformaciónacumuladadeciertaempresaseledenominafuenteprimaria.

b) Laencuestaconstituyeeltérminomedioentrelaob-servaciónylaexperimentación.

c) Dentrode lasetapasdeuncuestionario seconside-ran:laseleccióndelmarcomuestralylaorganizacióndelmanejodedatos.

d) Enestadísticadescriptiva, sedenominacensoal re-cuentodeindividuosqueconformanuna“población”estadística.

e) Hayestudiosenlosquenoesnecesariorecogerinfor-macióndefuenteprimaria.

f) Laobtencióndeinformaciónprimariaesmenoscos-tosa,másrápidayfácilquelainformaciónsecundaria

Solucióna)Fb)Vc)Fd)Ve)Vf)F

2. Completecadaunodelosespaciosenblanco,segúnel tipodefuentedeinformación(primaria/secundaria).a) Unantropólogoque investigaelproblemade lospandillerosenLimaentrevistaaalgunosdelospadres,quienesleproporcionaninformación

sobre sus hijos pandilleros. Luego, el mismo antropólogo vive con lospandillerosduranteunmes en las calles y recoge infor-mación sobreellos.

b) Losdatosobtenidosenlos“BoletinesEstadísticos”delBCRconstituyeninformación parauninvestigadorextranjero.

c) EllibroMemorias,quepublicóeldoctorLuisAlbertoSánchez,represen-tanparauninvestigadorde lahistoriapolíticadeunpaís,untipodeinformación .


d) Laspruebasqueunpsicólogoaplicaaungrupodeniñosconproblemasdedesarrollomentalsignificanparaéldatosdecarácter .

e) Unainvestigaciónsobre losmotivospor losque los turistasvienenalPerúutilizainformaciónestadísticadelapáginawebdelMinisteriodeTransportesdetipo .

f) Losdatosobtenidosen laEnaho(EncuestaNacionaldeHogares)rea-lizadaporelINEI,constituyeninformacióndetipo paralosinvestigadoresdelaUniversidaddeLima.

g) LosdatosobtenidosenlaencuestareferencialdocentedelaUniversidaddeLima,constituyeninformacióndetipo .

Solucióna) Secundaria-primariadirectab) Secundariaexternac) Secundariaexternad) Primariaindirectae) Secundariaexternaf) Secundariaexternag) Primariaindirecta

3. Enunnegociodebienesyraíces,setieneporobjetivoenconcretoconocereláreaconstruida(metroscuadrados)yelnúmerodedormitoriosdelde-partamentomásdemandadoporelsectoreconómicoByC.Sedacomoejemploelsiguientetipodepregunta:¿Ustedestá interesado(a)enundepartamentoconárea: (marcarsolounarespuesta)

menorde60m2? 1entre60m2y90m2? 2superiora90m2? 3

Segúnlamodalidadderespuesta,¿quétipodepreguntaes?

Solución:Preguntacerradaderespuestaúnica.


4. Clasifiquelaspreguntasqueseindicanacontinuación,segúnsumodali-dadderespuesta.

Pregunta Tipo

a) ¿Estudia usted actualmente algún curso en ADEX(AsociacióndeExportadores)?

()Sí ()No

b) ¿Qué tipode labor intelectual hizo en su casa lasemanapasada?

c) ¿Durante la semana revisó la Revista Digital deComexperú(SociedaddeComercioExterior)?

()Sí ()No

d) Entre enero y diciembre del año pasado, ¿cuálesfueronlosprincipaleslogrosqueseprodujeronensuvidaacadémica?

e) Como usted sabe, todos los países desarrolladosrecibeninmigrantes,¿creeque,entérminosgene-rales,lainmigraciónespositivaonegativaparaes-tospaíses?()Positiva()Nipositivaninegativa()Negativa()Noopino

f) ¿En su trabajo tiene un jefe o unsuperiorinmediato?()Sí…….Pasaapregunta10()No

g) ¿Cuáles de los siguientes servicios que existen en la bi-bliotecahautilizadoensuvisitadehoy?:(Marquetodaslasposiblesrespuestas)()Serviciodelecturaensala()Serviciodepréstamoadomicilio()Serviciodeinformaciónbibliográfica()Serviciodefotocopiasdelabiblioteca()Serviciodepréstamointerbibliotecario()Serviciodeatenciónalusuario()Serviciodemicrofilmomicrofichas()Serviciodeformacióndeusuarios()Serviciodeaccesoabasesdedatos


Solución a) Cerradadeselecciónúnica-dicotómicab) Abiertac) Cerradadeselecciónúnica-dicotómicad) Abiertae) Cerradadeselecciónúnicaf) Cerradadeselecciónúnica-dicotómicag) Cerradadeselecciónmúltiple


Enunciado V o F

a) Conelobjetivodeminimizarloserroresdemuestreo,uncuestionariodepreguntasdebetenerlascaracterísticasdeser:operativos,fidedignosyválidos.

b) Elcuestionarionoestructuradoesaquelenqueelencues-tadorespondedemaneraindividualysinqueintervengadirectamenteelentrevistador.

c) Uncensoseaplicasoloapoblacionesgrandes,porejemplo,uncensodirigidoaloshogaresentodoelpaís.

d) Uncuestionario estructurado se conformaporpreguntasgeneralesquepermitenalentrevistadortenermayorliber-tadenlaformulacióndepreguntasespecíficasynoserea-lizalaentrevistasiguiendounordenestricto.

e) Lasrespuestasalaspreguntasformuladasenuncuestiona-rioconstituyenlosdatosestadísticosqueseránutilizadosparaconocerlascaracterísticasdelapoblaciónomuestrabajoestudio.

Solucióna)F b)F c)F d)F e)V

6. LaempresadeinvestigacióndemercadosAlphaDatumS.A.realizóunes-tudioparaevaluarelefectodelacaídadelaBolsadeValoresdeLima(BVL)enlasAdministradorasdeFondosdePensiones(AFP).Enesteestudiosetomóunamuestraprobabilísticade50afiliadosentre25y35añosenLima.Seregistraronlassiguientesvariables:


– AFPalaqueperteneceelafiliado– Montodelfondodelafiliado(ensoles)– Edaddelafiliado(enaños)– Tipodefondosegúnriesgo(bajoriesgo,riesgomoderado,altoriesgo)

a) Plantearunapreguntaabiertaquepodríaserdeinterés.b) Plantearunapreguntadeselecciónmúltiplequepodríaserdeinterés.c) Plantearunapreguntacerradanodicotómicaquepodríaserdeinterés.

Solucióna) ¿CuáleselnombredelaAFPalaqueustedpertenece?b) ¿CuáldelassiguientesrespuestasconsideraustedqueeslacausantedelacaídadelaBolsadeValoresdeLima(BVL)ysuefectoenlasAdmi-nistradorasdeFondosdePensiones(AFP)?Puedemarcarmásdeunarespuesta• Lapolíticaeconómicadelgobierno• LaineptituddelosadministradoresdelasAFP• LarecesiónenlosEstadosUnidos• LadesaceleraciónenlaeconomíadeChina• Otros

c) ¿Aquéfondoderiesgoustedpertenece?• Bajoriesgo• Riesgomoderado• Altoriesgo

7. EnelCentroComercialChacarillasepresentó,duranteel2016,unapar-ticularidad.Elniveldeclientespotencialeseraaltodelunesaviernes,losdomingossemanteníaentérminosnormales,comoeradecostumbre;sinembargo,lossábadosporlanochebajabaelniveldeclientespotenciales. a) ¿Quésepodríahacerparaindagarelcasodelosclientespotencialeslossábadosporlanoche?Plantearlosobjetivosdeestudio.

b) Sugieradostiposdeinformaciónsecundariainternayotrasdosdein-formaciónsecundariaexterna.

c) ¿Quétécnicaderecoleccióndedatosprimariosesconvenienteaplicar?Expliquebrevemente.Esposibleaplicarenestecasolatécnicadeexpe-rimentación.Explique.

d) Propongacuatropreguntasaplicablesalcasoeindiquequétipodepre-guntasson,segúnsumodalidadderespuesta.

e) Basándoseenloanterior,presenteunmodelodecuestionariodeencues-tapormuestreo.


Solucióna) Objetivogeneral:realizarunestudiosobrelabajaasistenciadeclienteslossábadosalCentroComercialdeChacarilladuranteel2016.

Objetivosespecíficos:– Identificar el tipo de cliente que asiste al Centro Comercial de Chacarilla.

– Compararalosclientesqueasistenlossábadosporlanocheconlosqueasistendelunesaviernes.

– Identificar los centrosde entretenimiento que se han abierto en el2016.

– Identificarlostiposdeeventosquesedesarrollanenotroscentrosdeentretenimientoyqueresultanatractivosparaelpúblico.

b) Fuentedeinformaciónsecundariainterna:– Estadísticas sobre la asistencia de clientes por tienda del Centro ComercialChacarilla.

– GastosportiendalossábadosenelCentroChacarilla. Fuentedeinformaciónsecundariaexterna:– Estadísticassobrelapreferenciadeasistiraotroscentroscomercialeslossábadosporlanoche.

– InformaciónestadísticasobrenuevoscentrosdeentretenimientoenlaMunicipalidaddeldistrito.

c) Latécnicaderecoleccióndedatosprimarioseslaencuestapormues-treo,porentrevistapersonal,dadoqueatravésdeellaserecogeloscri-teriosporlosqueprefierensuasistenciaaotroscentroscomercialesoeventosqueserealizaneneldistritolossábados.

Noesposibleaplicarlaexperimentación;lamanipulacióndelasvaria-blespodríanalterarlosresultadosquedeseamosrecoger.

d) Presentamoslassiguientespreguntas: Preguntascerradasderespuestaúnica– Estadocivil()Soltero()Casado()Divorciado()Otros– Género ()Masculino()Femenino

Preguntasabiertas– ¿ConquéfrecuenciaasistealCentroComercialChacarilla?– ¿Adóndeasistelossábadosporlanoche?


1. Engeneral,¿conquéfrecuencia utilizanuestroservicio?

• Casisiempre• Usualmente• Aveces• Raravez• Casinunca

2. ¿Quétanrápidaconsideraqueesnuestraatenciónalpúblico?

• Extremadamenterápida• Muyrápida• Moderadamenterápida• Pocorápida• Nadarápida

3. ¿Cuáleslaprobabilidaddevolver ausarnuestroservicio?

• Extremadamenteprobable• Muyprobable• Moderadamenteprobable• Pocoprobable• Nadaprobable

4. ¿Consideraustedqueelprecioquepagapornuestroservicioes…?

• Muyalto• Alto• Nialtonibajo• Bajo• Muybajo

5. Engeneral,¿cómoleparecenlas políticasdeseguridaddenuestracompañía?

• Excelentes• Buenas• Regulares• Malas• Pésimas

6. Engeneral,¿cómoleparecenlaspolíticasdeposventadenuestracompañía?

• Excelentes• Buenas• Regulares• Malas• Pésimas

7. ¿Conquéfrecuencianuestroser-vicioresuelvesusnecesidades?

• Siempre• Usualmente• Aveces• Raravez• Casinunca

8. ¿Cuáleslaprobabilidaddequeustedlerecomiendeesteservicioaotraspersonas?

• Extremadamenteprobable• Muyprobable• Moderadamenteprobable• Pocoprobable• Nadaprobable

9. ¿Adóndevalossábadospor lanoche?

10.Nombreyapellidos:

11.Dirección:

12.Correoelectrónico:

13.Teléfono:

14.Edad:

e)


Caso de investigación

Acontinuaciónsepresentauncuestionariodeunaencuestasobresatisfacciónlaboral:

1. ¿Conquéfrecuencialepermitentomardecisionesindependienteseneltrabajo?• Conextremafrecuencia• Conmuchafrecuencia• Aveces• Ocasionalmente• Nunca

2. ¿Quétanrutinariassonlastareasquerealizaensutrabajo?• Extremadamenterutinarias• Muyrutinarias• Unpocorutinarias• Ligeramenterutinarias• Nadarutinarias

3. ¿Qué tan accesibles son las oportunidadesparasercreativoeinnovador?• Extremadamenteaccesibles• Muyaccesibles• Unpocoaccesibles• Ligeramenteaccesibles• Nadaaccesibles

4. ¿Necesitamás insumos,menos insumoso tienesuficientesinsumos?• Másinsumos• Menosinsumos• Tengosuficientesinsumos

5. ¿Quétanvariadoeselpersonal?• Muyvariado• Unpocovariado• Ligeramentevariado• Nadavariado

6. ¿Quétanestresanteessutrabajo?• Extremadamenteestresante• Muyestresante• Unpocoestresante• Ligeramenteestresante• Nadaestresante

7. ¿Quétanagustosesienteconlarelaciónlaboralquetieneconsugerenteosupervisor?• Extremadamenteagusto• Muyagusto• Unpocoagusto• Ligeramenteagusto• Nadaagusto

8. ¿Quétanalentadoressugerenteosupervisorencuantoasutrabajo?• Extremadamentealentador• Muyalentador• Unpocoalentador• Ligeramentealentador• Nadaalentador

9. ¿Quétanjustoessuhorariodetrabajo?• Extremadamentejusto• Muyjusto• Unpocojusto• Ligeramentejusto• Nadajusto

10 ¿Cuántacolaboraciónhayensuambiente detrabajo?

• Extremacolaboración• Muchacolaboración• Unpocodecolaboración• Muypocacolaboración• Nadadecolaboración

11. ¿Quétancompetentessonsuscompañeros detrabajo?

• Extremadamentecompetentes• Muycompetentes• Unpococompetentes• Ligeramentecompetentes• Nadacompetentes

12. ¿Quétancordialessonsuscompañeros detrabajo?

• Extremadamentecordiales• Muycordiales• Unpococordiales• Ligeramentecordiales• Nadacordiales

13. ¿Quétanalentadoressonsuscompañeros detrabajo?

• Extremadamentealentadores• Muyalentadores• Unpocoalentadores• Ligeramentealentadores• Nadaalentadores

14. ¿Quétanjustaessucargadetrabajo?• Extremadamentejusta• Muyjusta• Unpocojusta• Ligeramentejusta• Nadajusta

15.¿Cuántashorasalasemanatrabaja?• Másde40horas• Menosde40horas• Aproximadamente40horas

Fuente: “Encuesta sobre satisfacción con el trabajo”, recuperada de http://bit.ly/2to46Jv


a) ¿Consideraapropiadoelordenenlasecuenciadelaspreguntas?b) Desernegativasurespuesta,¿cuálseríasunuevoordenyexpliqueelmotivo?c) ¿Encuántosgruposclasificaríalas15preguntas?Etiquetelosgrupospropuestos.

Solucióna) No.Notieneunordensegúnloscriteriosdefinidos.Sedebecomenzarconlas preguntasdeformaamigableeinvitandoaqueelentrevistadosesientacómodo.b) 7,8,10,12,13,6,14,15,1,2,3,4,5,9y11.c) Losagruparíaen3grupos.Grupo1:Climalaboral.Compuestoporlaspreguntas7,8,10,12y13Grupo2:Cargadetrabajo.Compuestoporlaspreguntas6,14y15Grupo3:Crecimientoprofesional.Compuestoporlaspreguntas1,2,3,4,5,9y11




Enunciado V o F

Alainformaciónqueelinvestigadorrecogepormediodeuncuestionario,seledenominafuenteprimaria.

Las fuentes secundarias se clasifican en nacionales einternacionales.

Laetapadedigitalizacióndelcensoconsisteengenerarmapas,planosycroquisatravésdesistemasdigitales.

Laencuestaesunaobservaciónnodirectadeloshechospormediodelacuallosentrevistadossemanifiestan.

Enelcuestionarioestructuradolaspreguntasyposiblesrespuestasnosepresentandelamismaformaatodoslosinformantes.

Enlaspreguntascerradasdeselecciónmúltiplesead-mitequeel informantepuedaescogervariasopcionesderespuestaspresentadas.

2. Completecadaunodelosespaciosenblancosegúnlafuentedeinformación.a) Los datos obtenidos en las encuestas sobre la intención de voto paralaseleccionesdel2016enelPerú,constituyeninformacióndetipo

.b) UnprofesorqueinvestigaelproblemadeloshábitosdeestudiodelosalumnosdelasescuelasprimariasenLima,entrevistaaalgunosdees-tos,quienesleproporcionaninformación sobresushábitosdeestudio.Luego,elmismoprofesorsehospedaencasadeestosalum-nosduranteunmesyrecogeinformación sobreellos.

c) LosdatosobtenidosenlaBolsadeValoresdeLimaconstituyeninforma-ción parauninversionista.

d) LosdatosdelaOficinadeBienestarUniversitariodelaUniversidaddeLimasobrelascaracterísticassocioindividualesde losalumnosrepre-sentanparauninvestigadoruntipodeinformación .

e) Laspruebas escritasquedesarrollan los alumnosdeundeterminadocursoconstituyenparaelprofesorinformacióndecarácter .


f) UnainvestigaciónsobreelnúmerodetoneladasdeoroqueelPerúex-portausa informaciónestadísticade lapáginawebdelMinisteriodeEnergíayMinasdetipo .

g) Losdatosobtenidosdel InstitutoPeruanodePaternidadResponsable(INPPARES)constituyeninformacióndetipo paralosin-vestigadoressobreelviruspapilomahumano(VPH).

3. Acontinuaciónsepresentanalgunasdelaspreguntasdelcuestionarioqueutilizóelgerenteensuinvestigación.Determineeltipodepreguntasegúnlamodalidadderespuestayelniveldemedicióndecadapregunta.

Pregunta Tipo de pregunta Nivel de medición

¿Con qué frecuencia visita elCentroComercialLimaNorte?a) Frecuentementeb) Avecesc) Ocasionalmented) Nunca(eslaprimeravez)

¿CuáleselmotivodesuvisitaalCentro Comercial Lima Norte?Puedemarcarmásdeuna.a) Ofertab) Guarderíac) Créditod) Parkinge) Paseo

¿Cuántoessuingresomonetariomensual?(ensoles)

¿Cómocalificaelserviciorecibi-doenelcentrocomercial?a) Malob) Regularc) Bueno


4. Clasifiquelassiguientespreguntassegúnsumodalidadderespuesta.

Pregunta Tipo

¿Cuántosepreocupaportenerunadietasaludable?()Mucho()Bastante()Poco()Nada()NS/NC

¿Algunaveznoconsumióalimentosenundíapormotivosdesalud?()Sí()No

¿Cuán interesado estaría usted en que los restau-rantesincluyanensusmenúsinformaciónsobrelas caloríasdelosalimentosqueofrecen?()Muyinteresado()Bastanteinteresado()Pocointeresado()Nadainteresado()NS/NC

¿Quéproductosconsumeusted?Puedemarcarmásdeunaopción.()Papa()Quinua()Pescado()Carnevacuna

5. Acontinuaciónsepresentaunalistadetérminosestadísticos.

A. Fuenteprimaria E.Censo I. Inferencia

B. Empadronamiento F. Parámetro J. Muestra

C. Cuestionario noestructurado G.Población K.Unidaddeanálisis

D. Fuente secundariaexterna H.Codificación L.Fuenteprimariadirecta


Coloquelaletradeltérminoquelecorrespondeacadadescripción:

Paraobtenerinformaciónserecurreaorganizacioneso entidades externas quepuedenproporcionar datosadecuadosasusnecesidades.

Investigaciónestadísticaqueconsisteenelconjuntodeoperacionesdestinadasarecopilar,procesar,evaluarypublicar datos referentes a todas las unidades de ununiversoenunmomentodeterminado.

Obtieneinformaciónporcontactodirectoconelsujetodeestudio.

Tipodeformatoconformadoporpreguntasgeneralesquepermitenmayorflexibilidady libertad en la for-mulacióndepreguntasespecíficas.

6. Enfebrerodel2016, lacompañíaIINFOS.A.realizóunestudiosobre lacalidaddelservicioquebrindanlossupermercadosenLimayCallao.Lapoblaciónenfebrerofuede35000clientes,aproximadamente,ypararea-lizaresteestudioseseleccionóunamuestraprobabilísticade1200clientesqueasistieronalossupermercadosdeLimayCallao,aquienesselesaplicóunaencuestadeopinión.Seregistraronlassiguientesvariables:– Calidaddelserviciodeatenciónrecibidaporelcliente.– Gastodelclienteensuúltimavisita(ensoles).– Opinióndelclientesobreladistribucióndelosproductos.

a) Propongaunapreguntaabiertaquepodríaserdeinterés.


b) Propongaunapreguntacerrradadeselecciónmúltiplequepodríaser deinterés.

c) Propongaunapreguntacerradanodicotómicaquepodríaserdeinterés.

7. Sedeseahacerunainvestigaciónacercadelarelaciónqueexisteentreelrendimientoacadémicodelosalumnos,lascaracterísticassocioeconómicasdesuspadresylascaracterísticassocioindividualesdeestos. a) ¿Quésepodríahacerparaindagarsobreestastresvariables?Plantearlosobjetivosdeestudio.

b) Sugiera dos tipos de información secundaria interna y otros dos de secundariaexterna.


c) ¿Quétécnicaderecoleccióndedatosprimariosesconvenienteaplicar?¿Porqué?

d) Propongadospreguntasaplicablesalcasoeindiquequétipode preguntaes.

Lastécnicasdeprocesamientodedatosseutilizanparaorganizar,tabularypresen-tarinformaciónatravésdecuadrosygrá-ficosestadísticossegúneltipodevariableobjetodelestudio.


9 Identificar el tipo de variable según sunaturalezaysuescalademedición.


9 Reconocerlospasosparalaelaboracióndeunatabladefrecuenciassegúneltipodevariable.

9 Reconocerlospasosparalaelaboracióndegráficosestadísticossegúneltipodevariable.


9 Construirlatabladefrecuenciasegúneltipodevariable.

9 Elaborar el gráfico correspondiente se-gúneltipodevariable.

9 Interpretar la tabla de frecuencias y elgráficoestadístico.

Contenido

1. Uso de sumatorias e intervalosparadatosestadísticos.

2. Organizacióndelosdatos: objetivosypasos.

3. Procesamientootabulación dedatos.

Técnicas de procesamiento y presentación de datos

Capítulo

3


¿En la elección del Congreso peruano se discrimina por edad y sexo?

EnelprocesodeeleccionesdecongresistasdelPerúen2016,seeligióa130congresistasdetodaslasregionesdelPerú.Lasedadesvaríanentre25y75años:solo2congresistasmenoresde30años,10menoresde35y110(85%)entre35y65años.Lapreguntabásicaqueconsidera-mosesesta:¿elelectorperuanoprefierecongresistasadultosoadultosmayoresantesqueadultosjóvenes?Encuantoalarepresentaciónporgénero,elcongresoelectocuenta

con36mujeres(28%)y94hombres(72%).Deigualformaplanteamoslainterrogante:¿elelectorperuanoprefierecongresistashombresan-tesquemujeres?Elprocesamientode losdatos requiere técnicas estadísticasade-

cuadasparaorganizarlos,reducirlos,clasificarlosypresentarlosparalograrunainterpretaciónfácilyútil.Lasherramientasestadísticasuti-lizadasparaesteprocesosonlastablasygráficosestadísticos,cuyasconstruccionesdependendeltipodevariableydelniveldemedicióndelosdatosrecolectadosparaelestudio.

Capítulo 3. téCniCas de proCesamiento y presentaCión de datos 97

1. uso De sumatorias e intervalos para Datos estaDísticos

Enelprocesamientodedatosqueprovienendevariablescuantitativas,esconve-nienteelusodesímbolos,tantoparalavariablecomoparalosdatos.Lavariablecuantitativasueledenotarseconletrasmayúsculas,comoX,YyZ.Silavariablecuantitativasedenotacon X, entonces losdatosde lavariableXserepresen-tan con letraminúscula x subindicada, tal como semuestra a continuación:

1 2 nx x x, , ,… ,donde n eselnúmerototaldedatos.

Ejemplo 3.1Sehanrecolectado losdatossobreelpeso (enkilogramos)de10 estudian-tesuniversitarios: 65 71 82 73 90 82 70 77 74 78, , , , , , , , , .Entonces,sedefinelavariable X comopesodel estudianteuniversitario (enkilogramos), cuyosvaloressonlossiguientes:

i xi

x1 = 65 (representaelpesodelestudiante1)


.

.

.

.

.

.

.


1 65

2 71

3 82

4 73

5 90

6 82

7 70

8 77

9 74

10 78


1.1 Sumatorias

La sumatoria, que se simboliza con la letra sigmamayúscula ∑ del alfabetogriego,seutilizaenestadísticapararesumirunasecuenciaordenadadelasumadevaloresdeunavariablecuantitativa.Esdecir,paraunavariablecuantitativaX, cuyosvaloresson:x1,x2,...,xn,lasumadelosn valoresseexpresaasí:

1 21

n

i ni

x x x x.=

= + +…∑

Propiedades:

a)1 1

n n

i ii i

c x c x. ,= =

=∑ ∑ ,dondecesunaconstante.

b)1 1

n n

i ii i

x c x nc( ) ,= =

+ = +∑ ∑ ,dondecesunaconstante.

c)1 1 1

n n n

i i i ii i i

x y x y( ) ,= = =

+ = +∑ ∑ ∑ dondeyesunasegundavariable.

Ejemplo 3.2En el ejemplo 3.1, el peso total de los 10 estudiantes se obtiene sumando lacolumnadevalores:

i xi

1 652 713 824 735 906 827 708 779 7410 78

Total 762

Utilizandolasumatoriaseobtiene:10

1 2 101

65 71 78 762ii

x x x x. .=

= + +… = + +… + =∑

Luego,elpesototaldelos10estudianteses762kilogramos.


Ejemplo 3.3Si cadaunode los estudiantesdel ejemplo 3.1 aumenta supeso en las si-guientesmedidas:a) En5kilogramos Elnuevopesototaldelos10estudiantessecalculautilizandopropiedadesdesumatorias.

10 10

1 15 10 5 762 50 812i i

i ix x( )

= =+ = + × = + =∑ ∑

Elnuevopesototaldelos10estudianteses812kilogramos.b) En10% Elnuevopesototaldelos10estudiantessecalculautilizandopropiedadesdesumatorias.

10 10 10

1 1 10 1 1 1 1 1 1 1 762 838 2i i i i

i i ix x x x( , ) , , , ,

= = =+ = = = × =∑ ∑ ∑

Elnuevopesototaldelos10estudianteses838,2kilogramos.

Ejemplo 3.4Conlosdatosdelejemplo3.1,lasumadeloscuadradosdelospesosdelos10estudiantesseobtienedelasiguienteforma:

10 2 2 2 2 2 2 21 2 10

165 71 78 58 532i

ix x x x

== + +…+ = + +…+ =∑

1.2 Intervalos

Unintervalorealesunaporcióndelarectaentredosvaloresdados.Existendosnotacionesprincipales:seutilizancorchetes ycorchetesinvertidos ,tam-biénseutilizancorchetesyparéntesis ) ;ambasnotacionesestándescritasenelestándarinternacionalISO31-11.Enadelante,utilizaremoslasegundaformadenotación.Tipos de intervalos:• Intervalocerrado.Sedenotacon a b; , estádadopor: { }a b x R a x b; / = ∈ ≤ ≤ • Intervaloabierto.Sedenotacon a b( ; ), estádadopor: { }a b x R a x b( ; ) /= ∈ < <

• Intervalosemiabierto.Puedeserdedostipos:– Intervalosemiabiertoporderecha.Sedenotacon )a b; , estádadopor: ) { }a b x R a x b; / = ∈ ≤ <– Intervalosemiabiertoporizquierda.Sedenotacon (a b; , estádadopor: ( { }a b x R a x b; / = ∈ < ≤


Los intervalos, su longitud y su puntomedio se observan en el siguientecuadro:

Tipo Notación Datos comprendidos Longitud Punto medio

Intervalocerrado a b; a x b≤ ≤ b a−2

a b+

Intervaloabierto ( )a b; a x b< < b a−2

a b+

Intervalosemiabiertoporderecha

)a b; a x b≤ < b a−2

a b+

Intervalosemiabiertoporizquierda

(a b; a x b< ≤ b a−2

a b+

Porotrolado,enestadísticadescriptivaseutilizanintervalosparaagrupardatosdevariablescontinuasy,enalgunoscasos,devariablesdiscretasdere-corrido largo (queasumenunagrancantidaddeposiblesvalores).El tipodeintervaloque sueleutilizarsepara agrupar estosdatos es )a b; , semiabiertoporderecha.

Ejemplo 3.5Lospesosdelosestudiantesdelejemplo3.1(65, 71, 82, 73, 90, 82, 70, 77, 74, 78); agrupadosentresintervalos,seexpresaríancomoseobservaenelsiguientecuadro:

Intervalos Longitud Punto medio Datos comprendidos

)65 75; 10 70 65, 70, 71, 73, 74

)75 85; 10 80 77, 78, 82, 82

)85 95; 10 90 90

2. organización De los Datos: objetivos y pasos

Elobjetivodel trabajoestadísticoesquelosdatosproporcionenvaliosainfor-maciónparaquesepuedantomardecisionesacertadasyoportunas.Losdatostomadosdel trabajodecamposon“imperfectos”: contienengrancantidaddeinformación,peroenconjuntononosdicennada;nielmejorinvestigadorpue-desacarconclusionesrelevantes.Sinembargo,silosclasificamos,ordenamosypresentamos adecuadamente, podremos extraer valiosas conclusionespara latomadedecisiones.


2.1 Pasos en la organización de los datos

La organización y presentación de los datos estadísticos supone realizar lossiguientespasos:

a) Evaluación y crítica Consisteen inspeccionar lavalidezy confiabilidadde losdatospara co-rregirloserroresyomisionesdeacuerdoconciertasreglasfijas.

b) Codificación Técnicamediantelacuallosdatos,cuantitativosycualitativos,seconvier-tenennúmerosquepermitansuprocesamientoelectrónico,conayudadealgúnsoftwareestadísticouhojaelectrónicadecálculo.

c) Clasificación Consisteenestablecerlascategorías(atributos,clasesogrupos)delasva-riables.

d) Procesamiento o tabulación de los datos Consisteenlacontabilizaciónorecuentodelnúmerodecasosencadaunadelascategoríasdelavariable.Elplandetabulacióneselprimerordena-mientodelosdatos,enélseconstruyenlasllamadas“tablasdefrecuencia”.

e) Presentación de los datos Losresultadosdelatabulación,unavezevaluados,sepresentanencuadrosygráficosestadísticos.Estoimplicatenerlainformaciónestadísticaorga-nizadaparaprocederalanálisiseinterpretacióndelosresultadosydelosaspectosconsideradosdelapoblaciónenestudio.

Ejemplo 3.6Paralospesosdelosestudiantesdelejemplo3.1(65,71, 82, 73, 90, 82,70,77, 74,78),lospasosenlaorganizaciónsonlossiguientes:a) Evaluacióny crítica. Se inspeccionany sevalidan losdatosdelpeso (enkilogramos),colocandocontrolesquenopermitandatosmuypequeñosnimuygrandes(porejemplo,pesosentre50 y100 kilogramos).

b) Codificación.Comolosdatosprovienendeunavariablecuantitativaconti-nua,noserequierecodificación.

c) Clasificación.Losdatossepuedenclasificarentrescategoríasdeintervalos,porejemplo:

Intervalos Datos comprendidos

)65 75; 65, 70, 71, 73, 74

)75 85; 77, 78, 82, 82

)85 95; 90


Elprocesamiento, tabulaciónypresentaciónde losdatosse realizame-diantepasosadecuadosqueseexplicaacontinuación.

3. procesamiento o tabulación De Datos

3.1 Cuadro estadístico

Eselconjuntodedatosestadísticosordenadosenfilasycolumnas,clasificadosyagrupadosdeacuerdoconunoomáscriteriosespecíficosquepermitanleer,comparareinterpretarlascaracterísticasdeunaomásvariables.Losdatossonelresultadodelaejecucióndeunainvestigaciónestadísticaoelaprovechamien-todeunregistroadministrativoconfinesestadísticos.Sepuedenconstruircua-dros estadísticospara agrupardatosdevariables cualitativas, cuantitativasounacombinacióndeellas.Tienecomoprincipalventajapresentarunagrancantidaddeinformación,la

posibilidaddeleerenélvaloresexactosylasencillezdesuelaboración.Sufinalidadesserdepósitodedatosobiencontenerdatosyaprocesados;

esdecir,informaciónqueelanalistaoinvestigadorutilizacomosuherramientadeanálisis.

3.1.1 Estructura y elementos de un cuadro estadístico

SegúnlanormatécnicadelINEI,todocuadroestadísticodebetenertítulo,en-cabezamiento,columnamatriz,cuerpoypie(AbadyHuapaya,2006).Así, loselementosdeuncuadroestadísticosonlossiguientes:• Códigoonúmerodecuadro• Título• Encabezamiento• Columnamatriz:– Encabezamientodecolumnamatriz– Listadodeclasificaciones

• Cuerpo• Pie– Nota– Llamada– Fuente– Elaboración


Figura 3.1 Estructura y elementos de un cuadro estadístico

Nota: Valor free on board (FOB). Precio de las mercancías a bordo en el puerto de embarque.1/ Incluye contenido de plata.2/ Comprende hierro, estaño, molibdeno, bismuto y tungsteno, principalmente.a/ Excluye información de algunas empresas mineras en el último mes de 1992.Fuente: Superintendencia Nacional de Administración Tributaria (SUNAT), Superintendencia Nacional Adjunta de AduanasElaboración: Banco Central de Reserva del Perú, Subgerencia del Sector Externo.

Total Cobre 1/ Oro Plata Plomo 1/ Zinc Otros 2/Año

1990

1991

1992 a/

1993

1994

1995

1996

1997

1998

1999

2000

2001

2002 P/

3.32 VALOR DE EXPORTACIÓN FOB MINERA POR PRODUCTO, 1990-2002 (millones de USD)

1480,5

1534,9

1819,9

1472,5

1970,8

2615,7

2654,4

2730,5

2746,7

3008,0

3216,2

3186,5

3734,4

699,7

742,1

755,9

650,0

823,6

1198,3

1052,2

1096,3

778,8

776,3

932,6

985,9

1187,1

9,1

144,7

399,3

207,7

337,8

462,9

579,3

500,1

928,5

1192,5

1144,7

1166,2

1478,8

78,5

67,8

68,1

71,8

97,9

109,7

119,5

1004,8

130,6

169,3

179,5

168,6

173,7

184,9

174,8

153,4

128,8

195,1

258,3

274,3

237,0

208,7

177,1

190,4

196,0

210,8

415,9

310,3

322,4

266,0

303,6

325,5

400,8

539,3

445,2

462,4

495,8

419,4

428,9

92,4

95,2

120,8

148,2

212,8

261,0

228,3

253,0

254,9

230,4

273,3

250,5

255,1

Código y título

Enca

beza

mie

nto

Cue

rpo

Col

umna

mat

riz

Nota

Llamadas

Fuente

Elaboración

Encabezamientode la

columna matriz

Pie

3.2 Tabla de frecuencias

Unatabladefrecuencias(tambiénconocidacomotabladedistribucióndefrecuen-cias)eselconjuntodedatosorganizadosencategoríasoclases;esdecir,engruposdevaloresquedescribenunacaracterísticadelosdatosymuestranelnúmerodeobservacionesdelconjuntodedatosquepertenecenacadaunadelascategorías.Latabladefrecuenciasayudaaagrupardatosdecualquiertipodevariable.

Contabulacióndedatosnosreferimosalaconstruccióndeunatablaenlaqueaparecenbienorganizadoslosvaloresdelasvariablesqueseestánestudiando,juntoconotrosdatosdenominadosfrecuencias.

Fuente: Abad y Huapaya, 2006


3.2.1 Clasificación de las tablas de frecuencias

La formamáscomúndeclasificar las tablasde frecuenciasesen funcióndeltipodevariable,cuyosdatosserequiereresumirenlatabla.Laclasificacióneslasiguiente:• Tabladefrecuenciasparadatosdeunavariablecualitativa• Tabladefrecuenciasparadatosdeunavariablecuantitativadiscreta• Tabladefrecuenciasparadatosdeunavariablecuantitativacontinua• Tabladefrecuenciasparadatosdedosvariablescualitativasotabulacióncruzada

3.2.2 Estructura y elementos de una tabla de frecuencias

Todatabladefrecuenciasqueresumedatosdeunavariable(cualitativaocuan-titativa)debetenernúmero,títuloycuerpo.Así,loselementosdeunatabladefrecuenciassonlossiguientes:• Númerodetabla• Título• Cuerpo– Categoríasoclases– Marcasdeclase(valornuméricodelacategoría.Silacategoríaesunintervalodevalores,lamarcadeclaseeselpuntomediodelintervalo)

– Frecuencias• Pie– Fuente

Laestructuradeunatabladefrecuenciassemuestraacontinuación:

Figura 3.2 Estructura y elementos de una tabla de frecuencias

Categorías o clases

Marcas de clase fi hi Fi Hi

1 x1 f1 h1 F1 H1

2 x2 f2 h2 F2 H2

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

k xk fk hk Fk Hk

Total --- n 1 --- ---

Fuente:…


Donde:

if =frecuenciaabsolutasimpledelacategoríai.Esobtenidaporconteode losdatosyrepresentaelnúmerodedatosquepertenecena la categoríai.

ii

fh

n= =frecuenciarelativasimpledelacategoría i. Seinterpretacomola

proporcióndedatosquepertenecenalacategoría i. 100i ih h% = × =frecuenciaporcentualsimpledelacategoría i. Seinter-

pretacomoelporcentajededatosquepertenecenalacategoría i.

iF =frecuenciaabsolutaacumuladadelacategoría i. Obtenidaporacu-mulaciónde las frecuencias if . Se interpreta comoelnúmerodedatosacumuladoshastalacategoría i.

iH = frecuencia relativa acumulada.Obtenida por acumulación de las

frecuencias hi. También se obtiene comoi

iF

Hn

.= Se interpreta

comolaproporcióndedatosacumuladoshastalacategoría i. 100i iH H% = × =frecuenciaporcentualacumulada.Seinterpretacomoel

porcentajededatosacumuladoshastalacategoría i.

3.3 Gráficos estadísticos

SegúnlanormatécnicadelINEI,enestadísticadenominamos“gráficos”aaque-llas imágenes que, combinando sombreado, colores, puntos, líneas, símbolos,números, texto y un sistemade referencia (coordenadas), permiten presentarinformacióncuantitativa.Losgráficosestadísticospresentanlosdatosenformadedibujo,detalmodo

quesepuedanpercibirfácilmenteloshechosesencialesycompararlosconotros.Lautilidaddelosgráficossedaendossentidos:puedenservirnosolocomo

sustitutodelastablas,sinotambiénconstituyenporsímismosunapoderosahe-rramientaparaelanálisisdelosdatos;y,porotrolado,enocasionessonelmediomásefectivoparadescribir,resumiryanalizarlainformación.

3.3.1 Clasificación de los gráficos estadísticos

La formamás común de clasificar los gráficos estadísticos es en función del tipo de variable que se intenta representar en el gráfico. Veamos la siguiente clasificación:• Gráficosparaunavariablecualitativa:– Gráficodebarras– Gráficodesectorescirculares– Pictograma


• Gráficosparaunavariablecuantitativadiscreta:– Gráficodebastones

• Gráficosparaunavariablecuantitativacontinua:– Histograma– Polígonodefrecuencias– Ojiva

• Gráficosparadosvariablescualitativas:– Gráficodebarrasagrupadas– Gráficodebarrasapiladas

• Gráficosparadosvariablescuantitativas:– Diagramadedispersión

Enestadísticamoderna,laconstruccióndegráficosestadísticosserealizauti-lizandounsoftwareapropiadoparalaedicióndegráficos,comoExcel,MinitabySPSS.Estosprogramasofrecenunadiversidaddegráficosestadísticosdebue-nacalidadenpresentación,locualesidóneoparasudivulgacióneninformes estadísticos.Enestasecciónbrindaremoslaspautasnecesariasparaconstruirlosgráficos

estadísticosbásicosutilizadosenlaestadísticadescriptiva.

3.3.2 Estructura y elementos de un gráfico estadístico

Todográficoestadísticodebeteneruncódigoonúmero,títuloycuerpo.Así,loselementosdeungráficoestadísticosonlossiguientes:• Códigoonúmerodegráfico• Título• Cuerpo– Figura– Escalaoejedevalores– Leyenda– Ejedeconceptos

• Pie– Nota– Llamada– Fuente


Figura 3.3 Estructura y elementos de un gráfico estadístico

Fuente: INEI, 2009

3.4 Procesamiento de datos de una variable cualitativa

3.4.1 Tabla de frecuencias

Cadacategoríadelavariablecualitativa(nominaluordinal)esunaclaseogrupodedatos.Cuandolavariableescualitativanominalycuandolascategoríasnoes-táncodificadas,elordendelascategoríasenlatablaesalfabético;ycuandoestáncodificadasesporordendecódigo.Silavariablecualitativaesordinal,elordendelascategoríasenlatablaesdemenoramayorodemayoramenor.Enambastablassuelenpresentarselasfrecuenciassimples,absolutas(fi)yrelativas(hi).Sinembar-go,enalgunoscasossepuedencalcularfrecuenciasacumuladasquesepuedaninterpretarenlarealidad.

Ejemplo 3.7LaempresaIKKFMarketingelaboróunaencuestaenlaciudaddeLimaenmayodel2016,paraconocercuáleseranlosmediosdecomunicaciónquelaspersonasutilizabanpara informarse sobre las ofertas presentadaspor unaagenciadeturismo.Seseleccionóunamuestraprobabilísticade50personas;losdatossepresentanacontinuación:

Código o número de gráfico

Títu

loC

uerp

o

Pie

Gráfico N.º 10.3

PERÚ: POBLACIÓN DE 12 Y MÁS AÑOS DE EDAD QUE HA SIDO VÍCTIMA DEAGRESIÓN, POR ÁREA DE RESIDENCIA,

SEGÚN GRUPO DE EDAD, 2006

Eje

de v

alor

es

12

10

8

6

4

2

0

6,0

1,7

9,9

2,4

7,7

2,4

6,5

2,53,6

1,7

Eje

de c

once

ptos

Fuente: Instituto Nacional de Estadística e Informática (INEI) - ENCO 2006

Figuras Leyenda

Rótulo dedatos

12 a 17años

18 a 24años

25 a 39años

40 a 59años

60 y másaños

UrbanaRural


1 3 4 5 4 2 1 1 2 32 4 1 5 2 1 6 2 3 12 1 5 6 1 2 1 3 1 63 2 2 3 2 5 1 2 1 56 3 2 1 6 3 4 1 1 4

1:Internet2:Periódicos3:Radio4:Revistas5:Televisión6:Norespondió

Launidaddeanálisises“unapersona”ylavariabledeinterés,“mediodecomunicaciónutilizadoporunapersonapara informarse sobre lasofertaspresentadasporunaagenciadeturismo”.Estaúltimaescualitativanominalyestácodificada;porlotanto,suscategoríasseordenansegúnelcódigo.Serealizaelconteodelosdatosdecadacategoríayseobtienelasiguientetabladefrecuencia:

Tabla 3.1 Distribución de personas según medios de comunicación utilizados (mayo del 2016)

Medios de comunicación utilizados fi hi hi %

Internet 15 0,30 30

Periódicos 12 0,24 24

Radio 8 0,16 16

Revistas 5 0,10 10

Televisión 5 0,10 10

Norespondió 5 0,10 10

Total 50 1 100

Fuente: Encuesta realizada por IKKF Marketing (mayo, 2016)

Algunasinterpretacionesapartirdelatablasonestas:f2 = 12.“Untotalde12personasutilizaronelperiódicoparaconocerlas

ofertaspresentadasporlaagenciadeturismo”.h3 = 0,16.“El16%delaspersonasutilizólaradioparaconocerlasofertas

presentadasporlaagenciadeturismo”.

Ejemplo 3.8LaMunicipalidadDistritaldeSanMartíndePorresrealizóunaencuestapa-raconocerelnivelsocioeconómicodelasfamiliasdeldistritoenmarzodel2016,porelloseseleccionóunamuestraprobabilísticade50familias.Lava-riabledeinteréssecategorizódelasiguienteforma:bajo(B),medio(M),alto(A).Losdatossonlossiguientes:


M M A M B M M B M MM B B M A M B M B M B B B M M A B B A M A B B B M B M A M BM M M B M M B A M M

Launidaddeanálisises“unafamilia”ylavariabledeinterés“nivelso-cioeconómicodelafamilia”escualitativaordinal;portanto,suscategoríasseordenandemenoramayor.Serealizóelconteodelosdatosporcadacatego-ríayseobtuvolasiguientetabladefrecuencia:

Tabla 3.2 Distribución de familias según nivel socioeconómico (marzo del 2016)

Nivel socioeconómico fi hi hi %

Bajo 18 0,36 36

Medio 25 0,50 50

Alto 7 0,14 14

Total 50 1 100

Fuente: Encuesta realizada por la Municipalidad Distrital de San Martín de Porres

Delatablaanterior,podemosconocerladistribucióndelasfamiliassegúnelnivelsocioeconómico.Veamosalgunasinterpretaciones:f2 = 25.“Untotalde25familiasposeenunnivelsocioeconómicomedio”.h3=0,14.“El14%delasfamiliasposeenunnivelsocioeconómicoalto”.

3.4.2 Gráfico de barras

Es un tipo de gráfico estadístico que se utiliza para variables cualitativas (nominaluordinal).EnelejeXsecolocanlascategoríasdelavariablecualita-tivaysobreellas,enparaleloalejeY,selevantanbarrascuyaalturaespropor-cionalasusfrecuencias.Enestetipodegráficossuelenutilizarselasfrecuencias porcentuales.

Ejemplo 3.9Construimoselgráficodebarrasparalatabladefrecuenciadelejemplo3.7,quetratasobrelosmediosdecomunicaciónutilizadosparainformarsesobrelasofertaspresentadasporunaagenciadeturismo.Elgráfico3.1muestraelresumendelosdatosdelejemplo3.7.


Gráfico 3.1 Distribución de personas según medios de comunicación (mayo del 2016)

30

24

16

10 10 10

35

30

25

20

15

10

5

0Internet Periódicos Radio Revistas Televisión No respondió

Porc

enta

je d

e pe

rson

as

Medios de comunicación

Elaboración propia

3.4.3 Gráfico de sectores circulares

Tambiénconocidocomodiagramade“pastel”o“tortas”,esuncírculodivididoentantasporcionescomocategoríastengalavariablecualitativa,yaseanominaluordinal,demodoqueacadaclaselecorrespondeunarcodecírculoproporcio-nalasufrecuenciaabsolutaorelativa.Enestetipodegráficos,comoenelgráficodebarras,suelenutilizarselasfrecuenciasporcentuales.Lasituaciónidealparaelusodelgráficocircularescuandohayalrededorde

cincocategorías.Sielnúmerodecategoríasesexcesivamentegrande,laimagenproporcionadaporelgráficodesectoresnoserálosuficientementeclara.

Ejemplo 3.10Construimoselgráficocircularparalatabladefrecuenciadelejemplo3.8,sobreelnivelsocioeconómicodelasfamiliasdeSanMartíndePorres.Paraobtenerelánguloquetendrácadasectorcirculardelgráficosemul-

tiplicará 360ih × °,talcomosemuestraenlatablaN.º 3.3.

Tabla 3.3 Distribución de familias según nivel socioeconómico (marzo del 2016)

Nivel socioeconómico fi hi hi 360× ° 360°

Bajo 18 0,36 130°Medio 25 0,50 180°Alto 7 0,14 50°Total 50 1 360°


Gráfico 3.2 Distribución de familias según NSE (marzo del 2016)

Bajo36,0 %

Alto14,0 %

Medio50,0 %

Alto14,0 %

Bajo36,0 %

Medio50,0 %

Fuente: Encuesta realizada por la Municipalidad de San Martín de Porres

3.5 Procesamiento de datos de una variable cuantitativa discreta de recorrido corto


Cadaposiblevalordelavariableesunacategoría,claseogrupodedatos.Lascategoríasoclasessecolocanenlatablaenordenascendente.Enestastablasseutilizanlasfrecuenciasabsolutasyrelativastantosimplescomoacumuladas.

Ejemplo 3.11Sedisponededatossobreelnúmerodecursosdesaprobadosenelsemestreanteriorrespectode40estudiantesuniversitariosdelaEscueladeNegociosdelaUniversidaddeLima.Losdatosobtenidossonlossiguientes:

2 2 2 2 5 4 5 6 3 3

4 5 1 5 4 5 2 4 6 4

0 5 3 4 3 5 4 0 3 3

1 4 6 6 4 4 6 6 1 1

Launidaddeanálisises“unestudiante”ylavariabledeinterés“númerodecursosdesaprobados”escuantitativadiscreta;portanto,suscategoríasseordenandemenoramayor.Serealizaelprocesodeconteodelosdatosdecadacategoríayseobtienelasiguientetabladefrecuencia:


Tabla 3.4 Distribución de estudiantes según el número de cursos desaprobados

en el semestre anterior (Escuela de Negocios de la Universidad de Lima)

Número de cursos desaprobados fi hi Fi Hi

0 2 0,050 2 0,050

1 4 0,100 6 0,150

2 5 0,125 11 0,275

3 6 0,150 17 0,425

4 10 0,250 27 0,675

5 7 0,175 34 0,850

6 6 0,150 40 1,000

Total 40 1 --- ---

Fuente: Archivo de notas de la Escuela de Negocios de la Universidad de Lima

Apartirdeestatabladedistribucióndelosestudiantes,segúnelnúmerodecursosdesaprobados,serealizanlassiguientesinterpretaciones:f5 = 10. “Untotalde10estudiantesdesaprobaron4cursoselsemestre

anterior”.h3 = 0,125. “El12,5%deestudiantesdesaprobó2cursoselsemestreanterior”.F4 = 17. “Untotalde17estudiantesdesaprobóhasta3cursoselsemestre

anterior”.H6 = 0,850.“El85%deestudiantesdesaprobóhasta5cursoselsemestre

anterior”.

3.5.2 Gráfico de bastones

Elgráficodebastonesesungráficodebarras,peroconunavarianteenlaam-plitud:esunalínea(bastón)cuyaalturacorrespondealafrecuenciaabsolutaorelativa.Seaplicafundamentalmenteparalasdistribucionesdevariablescuan-titativasdiscretas.

Ejemplo 3.12Elgráficodebastonesparalatabladedistribucióndefrecuenciadelejemplo3.11semuestraenelgráfico3.3.


Gráfico 3.3 Distribución de estudiantes según el número de cursos desaprobados

el semestre anterior

12

10

8

6

4

2

00 1 2 3 4 5 6

2

45

6

10

7

6

Frec

uenc

ia d

e es

tudi

ante

s

Número de cursos desaprobados

Fuente: Archivo de notas de la Escuela de Negocios de la Universidad de Lima

3.6 Procesamiento de datos de una variable cuantitativa continua y discreta de recorrido largo


Paratabularlosdatosdeunavariablecontinua,seconstruyenintervalosdecla-sequeagrupanlosdatos.Sedeterminaelnúmerodeintervalosapropiadoparalosdatosyseasignaunafrecuenciaabsolutaorelativa (simpleoacumulada)porcadaintervalodeclase.Elprocedimientoparalaconstruccióndelatabladefrecuenciaeselsiguiente:1. Calcularelrango(R)delosdatos:

máx mínR x x. .= −

2. Calcularelnúmerodeintervalos(K)utilizandolaregladeSturges. Estaregla,propuestaporHerbertSturgesen1926,consisteenunafórmulaquedeterminaelnúmerodeclasesointervalosquesedebenconsiderarenunhistogramadefrecuencias(Hyndman,1995).Esta fórmula sirve para encontrar el número de intervalos deseado,

quevienedadopor lasiguienteexpresión: 21K n log= + ,donde n eselnúmerodedatos.El 2 n ylog =puedepasarsealogaritmobase10delasiguienteforma:

2 n ylog =

2yn =


2 2yn ylog log log= =

3 321928 3 3

2 0 30103n n

y n nlog log

, log , loglog ,

= = = × = ×

Luego,lafórmuladeSturgesenlogaritmodebasedecimales:

1 3 3K n, log= + ×

ElnúmerodeintervalosK debeserredondeadoalenteromáscercano.Sieldecimalesigualomayorque5,seredondeaalsiguienteentero;delocontrario,permaneceigual.Veamoslossiguientesejemplos:

7 265 7K , = ≅

7 784 8K , = ≅

7 5 8K , = ≅

3.Calcularlaamplitudoancho(A)delintervalo:

RAK

=

Elredondeode A esespecial,paraestaoperaciónsetienelassiguien-tesconsideraciones:

Si los datos analizados sonenteros, A es redondeado alsiguienteentero.

Porejemplo:SiA = 9,4;seredondeaaA = 10 SiA = 9,7;seredondeaaA = 10

Si losdatosanalizadostienenundecimal,A es redondeadoalsiguientedecimal.

Porejemplo:SiA = 9,43;seredondeaaA = 9,5SiA = 9,48;seredondeaaA = 9,5

Si losdatosanalizadostienendosdecimales,Aesredondea-doalsiguientecentesimal.

Porejemplo:SiA = 9,432;seredondeaaA = 9,44SiA = 9,438;seredondeaaA = 9,44

4. Formar los K intervalos semiabiertos por derecha. En este caso losintervalossonlossiguientes:


Primerintervalo )mín mínx x A ; +

Segundointervalo )2mín mínx A x A ; + +

.

.

.

.

.

.

Últimointervalo ( ) )1mín mínx K A x KA ; + − +

5. Calcularlasmarcasdeclaseopuntosmediodelosintervalos.Lamarcade

claseopuntomediodeunintervalosecalculacon2

I Si

L Lx =

+,donde:

IL =Límiteinferiordelintervalo

SL = Límitesuperiordelintervalo

6. Realizar el conteode losdatosparaobtener la tabladedistribucióndefrecuenciasquesemuestraacontinuación:

Intervalos xi fi hi Fi Hi

)mín mínx x A ; + x1 f1 h1 F1 H1

)2mín mínx A x A ; + + 2 1x x A= + f2 h2 F2 H2

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

( ) )1mín mínx K A x KA ; + − +

1 1kx x k A( )= + − fk hk Fk Hk

Total --- n 1 --- ---

Ejemplo 3.13Unaempresadeseaevaluarlarapidezenelpagodefacturasdesusclientes.Delosregistrosdeventasacréditodelos6últimosmesesdelañopasado,seescogealazara50clientesyseregistraeltiempo(endías)entrelaentregadelproductoysupago.Losdatosrecogidosson:

34 30 27 15 17 30 30 23 26 34 26 22 20 21 25 29 43 19 27 35 22 17 17 15 23 35 29 26 24 27 21 28 23 39 33 34 21 32 21 29 24 20 37 48 19 23 28 28 36 33

Obtenga la tabla de distribución de frecuencias utilizando la regla deSturgesparaelcálculodelnúmerodeintervalos.

( ) )1mín mínx K A x KA ; + − +


SoluciónParaconstruirlatabladefrecuenciassesigueelsiguienteprocedimiento.1. Secalculaelrangodelosdatos:

48 15 33R – = =

2. SecalculaelnúmerodeintervalosconlafórmuladeSturges:1 3 3 50 6 6066 7K , log ,= + × = ≅

3. Secalculalaamplitudolongituddelosintervalos:33 4 714285 57

A , = = = (redondeadoalsiguienteentero)

4. Seobtienenlosintervalosempezandoconelmínimodelosdatosyagre-gándolelaamplitudAallímitesuperior,yasísucesivamenteparaelrestodeintervalos.Losintervalosobtenidosson:

) ) ) ) ) ) )15 20 20 25 25 30 30 35 35 40 40 45 45 50; , ; , ; , ; , ; , ; , ;

5. Serealizaelconteodelosdatosyseobtienelasiguientetabla:

Tabla 3.5 Distribución de clientes según el tiempo que demoran en pagar sus facturas

Intervalos ix if ih iF iH

[15; 20) 17,5 7 0,14 7 0,14

[20; 25) 22,5 14 0,28 21 0,42

[25; 30) 27,5 13 0,26 34 0,68

[30; 35) 32,5 9 0,18 43 0,86

[35; 40) 37,5 5 0,10 48 0,96

[40; 45) 42,5 1 0,02 49 0,98

[45; 50) 47,5 1 0,02 50 1

Total --- 50 1 --- ---

Fuente: Registro de ventas de la empresa


Delatablaanterior,setienelassiguientesinterpretaciones:

3 13f = .“Untotalde13clientesdemoróenpagarsusfacturasentre25y menosde30días”.

5 0 10h ,= .“El10%delosclientesdemoróenpagarsusfacturasentre35y menosde40días”.

2 21F = . “Un total de 21 clientes demoró en pagar sus facturas menos de25días”.

6 0 98H ,= .“El98%delosclientesdemoróenpagarsusfacturasmenos de45días”.

Algunasvariablescuantitativasdiscretasproporcionandatosquenecesi-tanagruparseenintervalos;estassonaquellasquetienenunrecorridolargodeposiblesvalores.Acontinuación,sepresentaunejemplosobreestetipodevariables.

Ejemplo 3.14Sedisponededatossobreelnúmerodecréditosacumuladosde50estudian-tesuniversitariosdelaEscueladeNegociosdelaUniversidaddeLima.Losdatosobtenidossonlossiguientes:

40 97 52 33 30 90 37 28 71 4136 97 91 33 35 27 79 71 28 6595 82 70 20 25 94 35 75 39 8688 39 49 66 94 26 64 64 84 2864 79 62 43 52 43 45 80 95 77

Obtengalatabladedistribucióndefrecuenciasqueresumelosdatos,uti-lizandolaregladeSturgesparaelcálculodelnúmerodeintervalos.

SoluciónParaconstruirlatabladefrecuenciasesigueelsiguienteprocedimiento:1. Secalculaelrangodelosdatos:

97 20 77R = − =

2. SecalculaelnúmerodeintervalosconlafórmuladeSturges:

1 3 3 50 6 6066 7K , log , = + × = =

3. Secalculalaamplitudolongituddelosintervalos:

77 117

A = =


4. Seobtienenlosintervalosempezandoconelmínimodelosdatosyagre-gándolelaamplitudAallímitesuperior,yasísucesivamenteparaelrestodeintervalos.Losintervalosobtenidossonestos:

) ) ) ) ) )20 31 31 42 42 53 53 64 64 75 75 86 86 97; , ; , ; , ; , ; , ; , ;

Notequeelúltimointervalotienequesercerradodebidoaqueeldato97estácontenidoenesteintervalo.

5. Serealizaelconteodelosdatosyseobtienelatablasiguiente:

Tabla 3.6 Distribución de estudiantes según el número de créditos acumulados


[20; 31) 25,5 8 0,16 8 0,16

[31; 42) 36,5 10 0,20 18 0,36

[42; 53) 47,5 6 0,12 24 0,48

[53; 64) 58,5 1 0,02 25 0,50

[64; 75) 69,5 8 0,16 33 0,66

[75; 86) 80,5 7 0,14 40 0,80

[86; 97] 91,5 10 0,20 50 1

Total --- 50 1 --- ---

Fuente: Escuela de Negocios de la Universidad de Lima

3.6.2 Histograma

Eselgráficoapropiadoparavariablescuantitativascontinuasoparavariablesdiscretascondistribuciónde frecuenciasagrupadasen intervalos.Paracons-truirungráficodeestetipo,sedivideelrangodevaloresdelavariableenin-tervalosdeigualamplitud,yserepresentasobrecadaintervalounrectánguloquetieneaestesegmentocomobase.Elcriterioparacalcularlaalturadecadarectángulo es mantener la proporcionalidad entre las frecuencias absolutas (orelativas)delosdatosencadaintervaloyeláreadelosrectángulos.

Ejemplo 3.15Elhistogramaque representa en formagráfica la tabladedistribucióndefrecuenciasdelejemplo3.13semuestraenelgráfico3.4.


Gráfico 3.4 Distribución de clientes según el tiempo que demoran en pagar sus facturas

7

1413

9

5

1 1

30 352520 40 4515100

2

4

6

8

10

12

14

Tiempo de pago (en días)

Núm

ero

de c

lient

es

50 55


3.6.3 Polígono de frecuencias

Alunirlospuntosmediosdelextremosuperiordelasbarrasdelhistograma,seobtieneungráficoquesedenominapolígonodefrecuencias.Dichográficopretendemostrar,delaformamássimple,enquérangosseencuentralamayorpartedelosdatos.Elpolígonodefrecuenciasqueresultaparalatabladefre-cuenciadelejemplo3.13semuestraenelsiguientegráfico:

Gráfico 3.5 Distribución de clientes según el tiempo que demoran en pagar sus facturas

7

1413

9

5

1 1

30 352520 40 4515100

2

4

6

8

10

12

14


Núm

ero

de c

lient

es

50 55



3.6.4 Ojiva

Esungráficodelíneassimilaralpolígonodefrecuencias,peroconunacarac-terísticamuyparticular: envezdeutilizar las frecuencias simples,utiliza lasfrecuenciasacumuladas.Muestraelcomportamientodelasfrecuenciasacumu-ladasabsolutasorelativasdetodoslosintervalosdeclase.EnelejeX,seubicanlos límites inferioresde los intervalosdeclaseyel límitesuperiordelúltimointervalo;eneleje ,Y lasfrecuenciasabsolutasorelativasacumuladas.

Ejemplo 3.16Alconstruirlaojivaparaladistribucióndefrecuenciasdelejemplo3.15seobtieneelgráfico3.6:

Gráfico 3.6 Distribución acumulada de clientes según el tiempo que demoran en pagar sus facturas


30

Núm

ero

de c

lient

es

35 40 45 502520150

10

20

30

40

50

7

21

34

43

4849 50


3.7 Diagrama de dispersión para dos variables cuantitativas

Eldiagramadedispersiónesungráficoqueseconstruyeenunsistemacoorde-nadobidimensional,llamado“cartesiano”,dondecadapuntocorrespondeaunpardevaloresdedatosdeX e Y paraunmismoelemento.Permitedetectareltipoderelaciónentredosvariablescuantitativas.Losdatospara construir el diagramadedispersión semuestran comoun

conjuntodeparesordenadosdepuntos,cadaunoconelvalordeunavariablequedeterminalaposiciónenelejehorizontalyelvalordeotraquedetermi-nalaposiciónenelejevertical.Undiagramadedispersiónse llamatambién “nubedepuntos”.


Ejemplo 3.17UnequipodeconsultoresdelaempresaMicroConsultseencargódeanali-zarlascausasdelosfrecuenteserroresenlasfacturas.Elnúmerodedatosque registraríanvariaba segúnel tipode factura.Unmiembrodel equipopropusoconcentrarseensimplificarlasfacturasmáscomplicadas,puespen-sabaqueeralacausadelamayoríadeloserrores.Elequipodecidióinvesti-gar,enprimerlugar,lateoríaaparentementeobviasegúnlacualelnúmerodeerroresenunafactura( )Y dependíadelnúmerodedatosqueincluiríanenesta X( ). Elequiporecogiólosdatosrelativosalosúltimosmeses,loscualessepresentanacontinuación:

Mes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Número de datos 10 5 9 5 8 5 5 9 6 4 11 6 10 7 7 5 4 4 5 6

Número de errores 3 2 3 1 3 2 1 3 2 1 4 2 4 2 2 1 1 1 2 2

Eldiagramadedispersiónresultanteparaestosdatoseselsiguiente:

Gráfico 3.7 Dispersión del número de datos versus el número de errores en las facturas

Núm

ero

de e

rrore

s

0 2 4 6 8 10 12

1

2

3

4

Número de datos

Fuente: Registros de ventas de Micro Consult

Eneldiagramadedispersiónsepuedeobservarquelarelaciónentreelnúmerodedatos(X)yelnúmerodeerrores(X)enlasfacturasesdirecta,esdecir,ambasvariablesvaríanenelmismosentido.


Ejemplo 3.18Unempresariorequiereestudiarlarelaciónentreelgastoyahorro(ensoles)querealizanlostrabajadoresdesuempresaenjulioconelcobrodesugratifi-cación.Recolectólosdatosdediezdesustrabajadores,seleccionadosalazar;datosquesepresentanenlasiguientetabla:

Trabajador Monto de gastos Monto de ahorros1 4000 10 0002 5000 86003 6000 72004 7000 41005 8500 19006 8700 2007 7200 40008 5500 76009 5200 780010 4800 8100

Paraconstruireldiagramadedispersión,definimoslasvariablesX e Y delasiguienteforma:

X:Montodegastos Y:MontodeahorrosEldiagramadedispersiónresultantesepresentaacontinuación:

Gráfico 3.8 Dispersión del gasto versus el ahorro del trabajador en julio

Ahor

ros

(Sol

es)

Gastos (Soles)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000

2000

4000

6000

8000

10 000

0

Fuente: Encuesta a trabajadores

Eneldiagramadedispersiónsepuedeobservarquelarelaciónentreelgasto X( ) yelahorro ( )Y delostrabajadoresdelempresarioesinversa,esdecir,ambasvariablesvaríanensentidosopuestos.



1. LaempresaTecnology,quecomercializaartículosdecómputo,realizóunestudioenenerodel2016paradeterminarlapreferenciadelasmarcasdetelevisores full HD en las familiasdeLima. Losdatos obtenidosdeunamuestraprobabilísticadefamiliassonlossiguientes:

3 1 3 4 2 4 4 2 2 24 5 2 3 5 3 2 4 2 22 1 4 1 2 5 2 3 4 22 2 1 4 5 4 4 5 4 3

1:AOC2:Sony3:LG4:Samsung5:Otras

a) Construyalatabladedistribucióndefrecuenciaseinterpretealgunasfrecuencias.

b) Obtengalosgráficoscorrespondientes.

Solucióna) Se realiza el conteo de los datos; estos se resumieron en la siguiente tabla,considerandolascategoríasenordendecódigo.

Tabla 3.7 Distribución de familias de Lima según la marca de televisor que prefieren

(enero del 2016)

Marca de televisores fi hi hi %

AOC 4 0,100 10,0

Sony 14 0,350 35,0

LG 6 0,150 15,0

Samsung 11 0,275 27,5

Otras 5 0,125 12,5

Total 40 1 100

Fuente: Encuesta de Tecnology - enero del 2016

Lasinterpretacionesdealgunasfrecuenciasson:

1 0 10h ,= .“El10%delasfamiliasprefierelamarcadetelevisorAOC”.

3 6f = .“Untotalde6familiasprefierelamarcadetelevisorLG”.

b) Comolavariable“marcadetelevisorqueprefiereunafamiliadeLima”escualitativanominal,surepresentacióngráficaserealizamedianteelgráficodebarrasoelgráficodesectorescirculares,quesepresentaacontinuación:


Gráfico 3.9 Distribución de familias de Lima según la marca de televisor que prefieren (enero del 2016)

0

Marca de televisor

Porc

enta

je d

e fa

milia

s

AOC Sony LG Samsung Otras

10

15

27,5

12,5

10

20

30

40

35

Fuente: Encuesta de Tecnology (enero del 2016) Elaboración propia

Demanerasimilar,elgráficodesectorescircularescorrespondientesemuestraenelgráfico3.10.

Gráfico 3.10 Distribución de familias de Lima según la marca de televisor que prefieren

(enero del 2016)

Otras12,5 %

AOC10,0 %

Sony35,0 %

LG15,0 %

Samsung27,5 %

Fuente: Encuesta de Tecnology (enero del 2016) Elaboración propia


2. Se realizó un estudio para conocer los porcentajes de hoteles, según su categoría,quehayen la ciudaddeArequipa.Losdatos recolectadosson lossiguientes:

3 3 4 3 4 3 1 3 4 3 3 3 2 1 3 3 3 2 3 4

2 2 3 3 3 2 2 2 2 2 3 2 1 1 1 2 2 4 1 3

1:Unaestrella2:Dosestrellas3:Tresestrellas4:Cuatroestrellas

a)Construyalatabladedistribucióndefrecuenciaseinterpretealgunasfrecuencias.

b) Obtengalosgráficoscorrespondientes.

Solucióna) Realizadoelconteodelosdatos,estosseresumieronenlasiguienteta-blaconsiderandoelordendelascategoríasdemenoramayor,yaquesetratadeunavariablecualitativaordinal.

Tabla 3.8 Distribución de hoteles por categoría en Arequipa

Númerode estrellas fi hi hi %

Unaestrella 6 0,150 15

Dosestrellas 12 0,300 30

Tresestrellas 17 0,425 42,5

Cuatroestrellas 5 0,125 12,5

Total 40 1 100

Fuente: Encuesta sobre hoteles en Arequipa

Lasinterpretacionesdealgunasfrecuenciassonestas:

2 0 30h ,= .“El30%deloshotelesesdedosestrellas”.

3 17f = .“Untotalde17hotelesesdetresestrellas”.

b) Comolavariableescualitativaordinal,surepresentacióngráficaserea-lizamedianteelgráficodebarrasoelgráficodesectorescirculares.Elgráficodebarrasquerepresentaladistribucióndefrecuenciasde

latabla3.8semuestraacontinuación:


Gráfico 3.11 Distribución de hoteles por categoría en Arequipa

Categoría de hotel

Porc

enta

je d

e ho

tele

s

Una estrella Dos estrellas Tres estrellas Cuatro estrellas0

10

20

30

40

15

30

42,5

12,5

Fuente: Encuesta sobre hoteles en ArequipaElaboración propia

Demanerasimilar,elgráficodesectorescircularescorrespondientesemuestraacontinuación.

Gráfico 3.12 Distribución de hoteles por categoría en Arequipa

Cuatroestrellas12,5 %

Una estrella15,0 %

Dos estrellas30,0 %

Tres estrellas42,5 %

Fuente: Encuesta sobre hoteles en Arequipa Elaboración propia


3. Unanalistadenegociosrecolectódatossobreelnúmerodehabitacionesdeunamuestraaleatoriadeviviendas.Losdatossepresentanacontinuación:

3 3 4 3 4 3 1 3 4 3 3 3 2 1 3 3 3 2 3 52 2 3 3 3 2 2 2 2 2 3 2 1 1 1 2 2 4 1 5

a) Construyalatabladedistribucióndefrecuenciaseinterpretealgunasfrecuencias.

b) Obtengaelgráficocorrespondiente.

Solucióna) Dadoquelavariable“númerodehabitacionesporvivienda”escuanti-tativadiscreta,elconteodelosdatosseresumióenlasiguientetabla:

Tabla 3.9 Distribución de viviendas según el número de habitaciones

Número de habitaciones fi hi Fi Hi

1 6 0,15 6 0,15

2 12 0,30 18 0,45

3 16 0,40 34 0,85

4 4 0,10 38 0,95

5 2 0,05 40 1

Total 40 1 --- ---

Fuente: Encuesta dirigida a las viviendas

Lasinterpretacionesdealgunasfrecuenciassonlassiguientes:f5 = 2.“Untotalde2viviendastiene5habitaciones”.h3 = 0,40.“El40%deviviendastiene3habitaciones”.F4 = 38.“Untotalde38viviendastienehasta4habitaciones”.H2 = 0,45.“El45%deviviendastienehasta2habitaciones”.

b) Como la variable es cuantitativa discreta, le corresponde el siguientegráficodebastones.


Gráfico 3.13 Distribución de viviendas según el número de habitaciones

0

Número de habitaciones

18

16

14

12

10

8

6

4

2

1 2 3 4 5

6

12

16

4

2

Frec

uenc

ia d

e vi

vien

das

Fuente: Encuesta dirigida a las viviendas Elaboración propia

4. EnunaencuestarealizadaporlaempresadeestudiodemercadoMASS.A.,aunamuestrade36personasdeentre16y24añosdeedad,selecciona-dosprobabilísticamenteeneldistritodeSanJuandeLurigancho,seindagóacercadelosgastosquerealizaronenvestidosycalzados(ensoles)lasema-naanterior.Seobtuvieronlossiguientesresultados:

60 75 78 80 80 85 88 88 90

95 100 105 105 108 110 110 115 115

118 118 120 120 125 125 125 130 132

132 135 135 138 140 140 145 148 150

a) ObtengalatabladedistribucióndefrecuenciasusandolaregladeStur-geseinterpretealgunasdelasfrecuencias.

b) Construyalosgráficoscorrespondientes.

Solucióna) Como lavariableescuantitativacontinua, seutilizaelprocedimientodadopara datos agrupados en intervalos. La variable es “gasto de lapersonaenvestidoycalzadolasemanapasada(ensoles)”.

Elrangodelosdatoseseste:

R = 150 – 60 = 90


Según la fórmula de Sturges, el número de intervalos se obtiene siguiendo

1 3 3 36 6 13 6K , log , = + × = ≅

Ylaamplitudolongituddelosintervalos,deestemodo:

90 156

A = =

Seobtienenlos intervalosdeamplitud 15A = talcomosemuestraenlatabla3.10.

Tabla 3.10 Distribución de personas de entre 16 y 24 años de edad según los gastos

que realizaron en vestido y calzado (diciembre del 2016)

Gasto en soles xi fi hi Fi Hi

[60; 75) 67,5 1 0,0279 1 0,0279

[75; 90) 82,5 7 0,1944 8 0,2223

[90; 105) 97,5 3 0,0833 11 0,3056

[105; 120) 112,5 9 0,2500 20 0,5556

[120; 135) 127,5 8 0,2222 28 0,7778

[135; 150] 142,5 8 0,2222 36 1

Total --- 36 1 --- ---

Fuente: Estudio de mercado MAS S. A.

Lasinterpretacionesdealgunasfrecuenciassonlassiguientes:f5 = 8.“Untotalde8personasgastaentre120ymenosde135solesenvestidoycalzado”.

h3 = 0,0833.“El8,33%depersonasgastaentre90ymenosde105solesenvestidoycalzado”.

F4 = 20.“Untotalde20personasgastamenosde120solesenvestidoycalzado”.

H2 = 0,2223. “El22,23%depersonasgastamenosde90solesenvestidoycalzado”.

b) Comolavariableescuantitativacontinua,seutilizanelhistograma,elpolígonodefrecuenciasylaojiva.Elhistogramaypolígonode frecuencias semuestranenelgráfico

3.14ylaojivaenelgráfico3.15.


Gráfico 3.14 Distribución de personas de entre 16 y 24 años de edad según los gastos que realizaron

en vestido y calzado (diciembre del 2016)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

45 60 75 90 105 120 135 150 165

Gasto en vestido y calzado (soles)

Frec

uenc

ia d

e pe

rson

as

1

7

3

9

8 8

Fuente: Estudio de mercado MAS S. A. Elaboración propia

Gráfico 3.15 Distribución acumulada de personas de entre 16 y 24 años de edad según los gastos

que realizaron en vestido y calzado (diciembre del 2016)

Frec

uenc

ia d

e pe

rson

as

Gasto en vestido y calzado (soles)

0

10

20

30

40

60 75 90 105 120 135 150

1

811

20

28

36

1

Fuente: Estudio de mercado MAS S. A. Elaboración propia


5. Los ingresosmensuales (enmiles de dólares) que lograron 40 empresasdelaciudaddeLimaseresumenenlasiguientetabladefrecuenciascon6intervalosdeamplitudconstante:

[Intervalos de ingresos) xi fi Fi hi Hi

15 0,10

0,20 0,45

45 12

0,95

2

Total --- 40

a) Completelatabladefrecuenciaanteriorypresénteladeformaadecuada.b) Interpretealgunasfrecuenciasdelatablaanterior.c) ¿Quéporcentajedeempresastuvieroningresosdeporlomenos40000dólares?

d) Construyalosgráficoscorrespondientes.

Solucióna) SiAeslaamplituddelosintervalos,entonceslaecuaciónquerelacionaelpuntomediodelprimerintervaloconelpuntomediodelcuartointer-valoesesta:

15 3 45 10A A + = ⇒ =

Luego, se completan los intervalos tal como se observa en la tabla3.11.Lasfrecuenciassecompletandelasiguienteforma:

1 1 140 0 10 4 4 0 10f F H, y ,= × = ⇒ = =

2 20 45 0 20 0 25 0 25 0 10 0 15H h, , , , , , = − = ⇒ = − =

2 40 0 15 6f ,= × =

3 40 0 20 8f ,= × =

4 12f =

5 40 4 6 8 12 2 8f = − − − − − =

6 2f =

Luego,secompletanlasfrecuenciasrestantes,talcomosemuestraenlasiguientetabla:


Tabla 3.11 Distribución de empresas según sus ingresos mensuales

Ingreso mensual xi fi Fi hi Hi

[10; 20) 15 4 4 0,10 0,10

[20; 30) 25 6 10 0,15 0,25

[30; 40) 35 8 18 0,20 0,45

[40; 50) 45 12 30 0,30 0,75

[50; 60) 55 8 38 0,20 0,95

[60; 70) 65 2 40 0,05 1

Total --- 40 --- 1 ---

Elaboración propia

b) Lasinterpretacionesdealgunasfrecuenciassonlassiguientes:

4 12f = .“Untotalde12empresaslogróingresosmensualesentre40ymenosde50 000dólares”.

2 0 15h ,= .“El15%delasempresaslogróingresosmensualesdeentre20ymenosde30 000dólares”.

5 38F = .“Untotalde38empresaslogróingresosmensualesmenoresde60 000dólares”.

3 0 45H ,= .“El45%deempresaslogróingresosmensualesmenoresque40 000dólares”.

c) Paradeterminarelporcentajedeempresasquepercibieron,porlome-nos,40 000dólaresdeingreso,seacumulanlasfrecuenciasrelativasdelos3últimosintervalos:

4 5 6 0 30 0 20 0 05 0 55h h h , , , ,+ + = + + =

Luego, el 55 % de empresas tuvo ingresos de, por lo menos, 40 000dólares.

d) Elhistogramaypolígonodefrecuenciascorrespondientesalatabla3.11sepresentanenelsiguientegráfico:


Gráfico 3.16 Distribución de empresas según sus ingresos mensuales

Ingreso mensual (miles de dólares)

5 10 20 30 40 50 60 70 75

14

12

10

8

6

4

2

0

4

6

8

12

8

2

Núm

ero

de e

mpr

esas

Elaboración propia

Laojivaparalatabla3.11,sepresentaacontinuación:

Gráfico 3.17 Distribución acumulada de empresas según sus ingresos mensuales

40

30

20

10

0

Núm

ero

de e

mpr

esas

10 20 30 40 50 60 70

Ingreso mensual (miles de dólares)

4

10

18

30

3840

Elaboración propia



1. UnestudiodemercadorealizadoenLimaMetropolitanaendiciembredel2016recolectódatossobrelaspreferenciasdelosconsumidoresdecomidarápidarespectodediferentestiposderestaurantes.Losdatosrecolectadosde250consumidoresdecomidarápida,seleccionadosalazar,seresumie-ronenelsiguientegráfico:

Gráfico 3.18 Distribución de consumidores según preferencia por restaurante

40

30

20

10

0

Porc

enta

je d

e co

nsum

idor

es

Mac Donald’s Burger King Telepizza Chifa Pollería

Restaurante

18,415,2 14,4 14

38

Fuente: Estudio de mercado en Lima Metropolitana Elaboración propia

a) Describalossiguientestérminosenelproblema:

Unidad deanálisis

Defina lavariable

b) Elabore el cuadrodedistribuciónde frecuenciaspara losdatosde lamuestra.


c) ¿QuéporcentajedeconsumidoresprefierenTelepizzaochifa?

2. Complete la tabladedistribuciónde frecuenciasyconstruya lasgráficasdesectorescircularesyeldiagramadebarrasconlosdatosdelsiguientecuadro:

Tabla 3.12 Distribución de unidades según el tipo de transporte

Tipo de transporte fi hi hi %

Aéreo 1

Ferroviario 4

Fluvial 6

Terrestre 9

Total 20

Elaboración propia


3. LaCorporaciónLindley,empresasímbolodelmercadodegaseosasenelPerú,siempreestábuscandosatisfacerlacrecientedemandadelmercadonacional; por ello, aplicóuna encuesta a 300 clientesde los restaurantesmásconcurridosdeLimaMetropolitanaparaconocerlafrecuenciaconqueconsumensuproductoIncaKola,yseobtuvieronlossiguientesresultados:

Gráfico 3.19 Distribución de los clientes según la frecuencia de consumo de Inca Kola

Nunca10,0 %

Una vez por semana30,0 %Entre 3 y 4 veces

por semana20,0 %

Dos veces por semana40,0 %

Fuente: Estudio de la empresa Lindley

a) Describalavariabledeinteréseindiqueelniveldemedición.

Variable Niveldemedición

b) Elabore una tabla de frecuencias con la información presentada enelgráfico.


4. Elnúmerodeoperacionesbancariasvirtualesquerealizan50clientesdeunbancoduranteunasemanavienedadoporlasiguienteserie:

2 5 2 2 3 2 1 1 1 2 2 4 1 1 3 3 1 2 4 1 3 2 2 1 35 3 4 3 4 5 1 3 4 3 5 3 2 1 3 5 5 2 3 2 2 3 3 3 2

Construyaunatabladefrecuenciasyungráficoestadísticoapropiado.


5. Elsupervisordelasoperacionesdelecturaópticadetarjetasdesearealizarunestudiodecontroldecalidad.Seescogieroneinspeccionaronalazar50tarjetasdelecturaóptica,afindedetectarerroresdelectura.Elnúmerodeerroresobservadosportarjetaseregistranacontinuación:

7 3 9 8 3 5 10 5 7 63 4 7 8 6 6 9 3 5 98 6 10 6 4 3 9 7 9 610 9 8 5 6 9 5 8 10 89 5 6 7 6 4 5 3 5 6

Resuma los datos en una tabla de frecuencias y construya el gráfico correspondiente.


6. EnunestudiorealizadoporlaempresaCementoaunamuestrade40clien-tesseleccionadosdeldistritodeLosOlivos,seindagósobrelosgastosquerealizaronencomprasdecemento(ensoles)yseobtuvieronlossiguientesresultados:

95 89 100 105 105 108 110 110 115 115132 118 135 135 138 140 140 145 148 149118 71 118 120 120 125 125 125 130 13260 124 75 78 80 80 85 88 88 90

a) Construir la tabla de distribución de frecuencias usando la regla deSturgesylosgráficosrespectivos.

b) Calculeeinterpretelassiguientesfrecuencias:

h3 =

F4 =

H5 – H2 =

5

3i

if

==∑


c) ¿Cuántos clientes compraron cemento por un monto mínimo de 120soles?

7. Laempresade investigacióndemercadosAlphaDatumS.A. realizóunestudioparaevaluarlacaídadelaBolsadeValoresdeLima(BVL)enlasAdministradorasdeFondosdePensiones(AFP).Enesteestudio,setomóunamuestrade50afiliadosdeentre25y35añosseleccionadosalazaren Lima y se registraron los datos referentes a sus ingresosmensuales (encientosdesoles).

52,0 94,7 95,1 97,5 102,5 104,1 106,0 125,2 125,6 146,0

146,8 158,6 158,7 162,6 166,2 166,2 166,2 166,2 168,2 169,7

196,0 204,9 204,9 204,9 204,9 208,3 215,2 217,5 218,1 218,1

218,1 218,1 220,9 226,2 235,0 239,7 242,2 259,6 261,6 277,2

286,5 287,0 297,8 313,9 315,0 316,2 338,6 359,9 363,1 398,3

a) Use la regladeSturgesparaconstruir la tabladedistribuciónde fre-cuenciasdelingresomensualdelosafiliados.



3h =

4F =

5 3H H− =

4

2i

if

==∑

61 H− =

c) Construya el histograma de frecuencias, polígono de frecuencias ylaojivaquecorresponden.


8. Lasiguientetablamuestraelpromedioponderadoacumulado(PPA)de80alumnosdelaUniversidaddeLima.

12,22 14,75 12,58 10,05 12,60 17,14 15,52 05,53 13,05 13,59

13,85 13,97 14,55 11,28 11,03 10,10 10,51 11,19 13,43 08,55

13,29 14,03 14,16 12,28 12,93 12,61 13,27 12,56 11,62 13,59

12,83 13,34 12,34 13,53 12,42 14,50 14,34 11,32 16,93 14,25

11,18 13,45 15,73 13,25 10,72 08,44 15,11 12,10 15,32 12,03

12,34 10,61 13,17 12,81 13,73 12,11 12,79 11,64 15,00 13,30

13,89 12,09 10,73 13,86 10,49 07,68 14,40 12,43 12,09 08,42

09,33 09,18 11,68 10,14 13,65 11,21 12,68 09,89 11,40 12,75

a) Construya la tabla de distribución de frecuencias y su histograma usandolaregladeSturges.

Variable

Rango

Númerodeintervalos

Amplitudoanchodelosintervalos


b) Calculeeinterpretelassiguientesfrecuencias:h3,H5 – H2:

3h =

5 2H H− =

c) ¿CuántosestudiantestienenunPPAmínimode13,83?

d) Calculeeinterpretelasiguienteexpresión:

53

53

i i i

i i

x ff

=

=

∑ =∑

9. FlavioBravo,asistentedelDepartamentodeFinanzasdePCyAccesoriosS.A.,haelaborado lasiguiente tablasobre ladistribuciónde losmontospagadosmensualmente, en soles, por los trabajadores de la empresa, enimpuestosdequintacategoría:

Tabla 3.13 Distribución de trabajadores según el pago de impuestos de quinta categoría

Pagos xi fi Fi hi Hi

[150; ) 4

[250; ) 24

[ ; ) 30

[ ; ) 72

[ ; ) 8 80

Total --- ---

Fuente: Departamento de Finanzas de PC y Accesorios S. A.


a) Completelaanteriortabladefrecuencias.


F4 – f1 =

H4 – H2 =

c) ¿Cuál es el porcentaje de trabajadores cuyos pagos son menores que350soles?

d) ¿Cuál es el porcentaje de trabajadores que hicieron un pagomínimo de450soles?

e) ¿Cuál es elmonto totalmensual por el pagode impuestos de quinta categoríaquesepagaenlaempresa?

10. Lasnotasen laprimeraprácticacalificadade120alumnosque llevanelcursodeEstadísticaGeneralsonpresentadasenlasiguientetabla:


Tabla 3.14 Distribución de alumnos de Estadística General según sus calificaciones

Calificaciones xi fi hi Fi Hi

[ ; ) 0,15

[6; 9) 0,45

[ ; ) 0,70

[ ; )

[ ; ) 0,10

Total

Fuente: Datos ficticios

a) Completelatabladedistribucióndefrecuenciasanterior.


F5 – f1 =

H4 –H2 =

c) ¿Cuáleselporcentajedealumnoscuyasnotassonmenoresque15?

d) ¿Cuáleselporcentajedealumnosquetienenunacalificaciónmínima de12?

e) ¿Cuáleselporcentajedealumnoscuyasnotasestánentre6y15?


11. La oficina comercial de una empresa distribuidora de computadoras haevaluadolacapacidaddeventas(ensoles)desusdossucursales(AyB).Setomóinformacióndelasventasrealizadaselmespasadoporcadasucursal.Losdatosdelasventasrealizadaalosclientesdecadasucursalsepresentan en la siguiente tabla de frecuencia agrupada en intervalos de amplitudconstante:

Tabla 3.15 Distribución de las ventas en las sucursales A y B de la empresa

Sucursal A Sucursal B

Venta xi fi Fi Venta xi fi Fi

[ ; ) 30 [ ; ) 32

[ ; ) 80 [ ; ) 3800 48

[3600; ) 85 [ ; ) 128

[ ; ) 260 [ ; ) 72

[ ; ) 4600 [ ; ) 296

[ ; ) 45 380 [ ; )

[ ; ) [ ; 6000) 20 320

Total --- 400 --- Total --- ---


a) Completelastablasanteriores.

b) ¿Acuántoasciendelaventatotaldelaempresaenelmespasado?


c) LasucursalAtienequepagaralmunicipiounimpuestodel4,5%delasventasrealizadas,mientrasquelasucursalB,soloel2,5%delasventasrealizadas.

¿Cuánto fue el impuesto municipal total pagado por la empresa el mespasado?

d) ¿Cuál de las 2 sucursales pagó más impuestos municipales el mes pasado?


12. Enunestudiorealizadoporunanalistadenegociossehaevaluado,entreotrasvariables,elgastodiario(ensoles)yelnúmerodevisitassemanalesdeclientesensuscuatrotiendascomerciales.Losdatoscaptadosdeunamuestraaleatoriadeclientesfueronlossiguientes:

Cliente Gasto Tienda Visitas Cliente Gasto Tienda Visitas1 30 C 4 26 128 D 32 48 C 3 27 128 D 23 56 C 2 28 132 D 24 61 C 1 29 135 A 15 72 C 2 30 136 A 36 82 C 2 31 141 A 37 83 D 2 32 144 A 48 84 D 3 33 147 A 49 87 D 3 34 149 A 410 91 D 2 35 153 A 311 93 D 1 36 153 B 212 97 D 2 37 155 B 113 97 D 3 38 156 B 214 98 D 4 39 158 B 215 100 D 3 40 161 B 216 103 D 2 41 163 B 117 104 D 2 42 163 C 218 113 D 4 43 164 C 219 115 A 1 44 166 C 420 120 D 2 45 170 C 321 121 D 1 46 174 C 222 122 D 2 47 176 C 123 127 A 2 48 177 C 124 128 A 2 49 182 C 225 128 D 3 50 183 C 3

Respondalassiguientespreguntas:

a) ¿Cuáleslapoblaciónylamuestradeestudio?


b) Definaunestadígrafoparalavariable“tiendaquevisitaelcliente”.

c) Definaunparámetroparalavariable“númerodevisitassemanales”.

d) Paralosdatosdelavariable“tiendaquevisitaelcliente”,construyalatabladedistribuciónde frecuenciasysugráficodebarrasysectorescirculares.


e) Paralosdatosdelavariable“gastodiario”,construyalatabladedistri-bucióndefrecuenciasysusgráficosrespectivos.

f) Apartirdelatablaanterior,respondalosiguiente:

Calculeeinterprete.

H4 –H2

Calculeeinterprete.5 5

2 4i i

i if f

= =−∑ ∑


g) Paralosdatosdelavariable“númerodevisitas”,construyalatabladedistribucióndefrecuenciasysurespectivográfico.


13. Elgastocalórico(caloríasquemadas)poractividadfísicade240personasseresumióenelsiguientegráfico:

Gráfico 3.20 Distribución porcentual acumulada de personas según gasto calórico

100

80

60

40

20

0

Porc

enta

je a

cum

ulad

o

1500 1900 2300 2700 3100 3500

Gasto calórico

30

67,5

87,5

98,75 100

Elaboración propia

a) Construyalatabladefrecuencias.



2f =

3H =

F3 – f1

3

2i

ih

==∑

14. Acontinuación,sepresentaladistribucióndelossueldosdelostrabajado-resdelaempresaAAAysucategorizaciónlaboral.

Gráfico 3.21 Distribución de los sueldos de los trabajadores de la

empresa AAA

Fuente: Planilla de la empresa AAA

Gráfico 3.22 Distribución de los trabajadores de la empresa AAA

por categoría laboral

Obreros54,0 %

Ejecutivos16,0 %

Empleados30,0 %

Fuente: Planilla de la empresa AAA

a) Construyalatabladedistribucióndefrecuenciasparalavariable“suel-dosdelostrabajadoresdelaempresaAAA”.

84

46

58

2216 13 11

Sueldo (soles)

500 1500 2500 3500 4500 5500 6500 7500

Núm

ero

de tr

abaj

ador

es

90

80

70

60

50

40

30

20

10

0


b) Construyaelpolígonodefrecuenciaylaojivaparalavariable“sueldosdelostrabajadoresdelaempresaAAA”.

c) Construyalatabladedistribucióndefrecuenciasyelgráficodebarrasparalavariable“categoríalaboral”.


15. Enunaempresaseregistrólaproduccióndiaria(entoneladas)delaplantaprincipalduranteunperiodolargodedías.Losdatosdiariosregistradosfueronorganizadosenunatabladefrecuenciascon6intervalosdeigualamplitud,donde la amplitud es 4A .= A continuación, sepresentan losdatosresumidosenunatabladefrecuenciasconalgunosresultados:

Tabla 3.16 Distribución de la producción diaria de la empresa

Producción (en t) xi fi Fi hi Hi

[;) 0,10

[;) 30

[;)

[;) 0,800

[;) 0,925

[;) 9

Total

Además,sesabeque:– La producción total en todo el periodo fue aproximadamente 3564t, esdecir:

6

13564i i

ix f

==∑

– 3 43 2 18f f− = Completelatabladedistribucióndefrecuencias.


16. Acontinuación,sepresentanlascalificacionesdeunexamendeCienciasSocialesde50alumnosdelprimerciclo.Lacalificaciónmásbajaes“insu-ficiente”(desaprobado),lesigue“suficiente”,luego“notable”ylamásaltacalificaciónes“sobresaliente”.Losdatosrecolectadossonlossiguientes:

1 1 3 2 3 4 4 4 2 42 1 3 1 2 3 4 3 2 33 2 3 1 2 3 4 4 3 32 1 3 2 2 3 4 3 3 31 2 3 2 2 3 4 4 3 3

Insuficiente(1),suficiente(2),notable(3),sobresaliente(4)

a) Resumalosdatosenunatabladedistribucióndefrecuencias.

b) ¿Cuántosalumnossacaronunanotainferiora“notable”?

c) ¿Quéporcentajedealumnosaprobaronelexamen?


17. Serealizaunaencuestaanclientesyserecogendatossobreelgastosema-nal(lunesaviernes)enalmuerzo(ensoles).Losdatosrecolectadosfueronagrupadosenunatabladefrecuenciascon6intervalosdeigualamplitud,quesepresentaacontinuación:

Tabla 3.17 Distribución de clientes según sus gastos semanales en almuerzo

Gasto semanal xi fi Fi hi Hi

[;) 0,10 0,10

[;)

[;) 24

[;) 0,25

[;)

[;)

Total

Además,seconocenlassiguientesrelaciones:

1 5 5 6 3 6 30 15 6 10f f h h f f x n , = + = = = −

6

1192i

ix

==∑ (sumademarcasdeclase)

Completelatablaanterior.

18. PeruvianAirlinesesunaaerolíneaconmásde10añosenelPerú.Elgerentedemarketingdesearealizarunestudiosobreelpesodelasmaletas(enki-logramos)quevanenlabodegadelavión.Paraello,seleccionóalazarunamuestrade50pasajerosqueviajarondurantelasemanaanterioryrecolectólossiguientesdatos:

18,7 18,8 18,9 19,1 19,4 19,7 19,8 19,9 20,0 20,0

20,1 20,3 20,3 20,4 20,4 20,5 20,7 20,7 20,8 20,8

20,8 21,0 21,1 21,1 21,2 21,3 21,6 21,7 21,7 22,2

22,2 22,2 22,2 22,2 22,3 22,3 22,4 22,6 22,7 22,7

22,8 22,9 22,9 23,0 23,1 23,1 23,2 23,3 23,4 23,5


a) Construyalatabladedistribucióndefrecuenciasusando7intervalos.

b) Construyaelhistogramaypolígonodefrecuencias.

Lasmedidasestadísticasreducenencifrassignificativaselconjuntodeobservacionesdeunavariableydescribenconellascier-tascaracterísticasdelosdatosparalograrunacomparaciónmásprecisaquelaquesepuedeconseguircontablasygráficas.Enesesentido,puedenexaminarsevariascaracterísticasdelosdatos,siendolasmáscomunes:latendenciacentraldelosdatos,la dispersión o variación con respecto alcentro, losdatosqueocupanciertasposi-ciones,lasimetríadelosdatosylaformaenquelosdatosseagrupan.


9 Organizaryresumirlosdatosentablasdedistribucióndefrecuenciasygráficosestadísticos.

9 Reconocer los niveles de medición de lasvariablesysuclasificaciónsegúnsunaturaleza.


9 Identificarlamedidaestadísticaqueme-jorrepresenteaunconjuntodedatos.

9 Comparardiferentesgruposdedatosdeunamismavariableutilizandomedidasestadísticas.


9 Realizarelanálisisdescriptivodedatosenelcampodelosnegocios.

9 Utilizar la estadística descriptiva ade-cuadaparacuantificarunproblemadeinvestigacióncomercial.

Contenido

1. Definiciónyclasificacióndelasme-didasestadísticas.

2. Medidas estadísticas de centraliza-ciónyposición.

3. Medidasestadísticasdedispersiónovariabilidad.

4. Medidasestadísticasdeasimetría.5. Gráficosparaelanálisisexploratoriodedatos(AED).

Medidas estadísticasde resumen

Capítulo

4


¿La edad del parlamentario peruano es importante para el elector? Las medidas estadísticas la describen

Elperfildelparlamentarioperuano2016entérminosestadísticoseselsiguiente:

• Elcongresistademenoredadtiene26añosyeldemayoredadtiene73años;estogeneraunaamplitudtotalde47años.

• Laedadpromedioes49años.• El50%decongresistastienenedadespordebajode48años.• Elcuartoinferiordeedadesdeloscongresistasestápordebajode42,5añosyelcuartosuperiorporencimade57,5años;estogeneraunaamplituddel50%centraldeedadesiguala15años.

• Lasedadesdeloscongresistastienenaltavariación;suvariabi-lidadllegaal93,8%.

• Ladistribucióndelasedadesdeloscongresistasesasimétricapositiva;esdecir,hayunsesgodeedadesaladerechacausadaporlapresenciadecongresistasconedadesmuyaltas.

Ladescripcióndelaedaddelparlamentarioperuanosepudorea-lizarutilizandomedidasestadísticasderesumen,comoelpromedio,mediana,cuartiles,coeficientedevariación,coeficientedeasimetría.Además,sepuedeutilizargráficosparaelanálisisexploratoriodeda-tos,comoeldiagramadecajaybigotesytallosyhojas.

Capítulo 4. Medidas estadístiCas de resuMen 161

1. Definición y clasificación De las meDiDas estaDísticas

1.1 Definición

Lasmedidasestadísticassonaquellasquepermitenresumirinformacióndeunamuestraopoblaciónytienenporobjetoconseguirunvalorqueresumaensítodaslasmediciones.Estasmedidasaplicadasalascaracterísticasdelasunidadesdeunamuestrasedenominanestadísticosoestadígrafos;mientrasquelasaplicadasapoblacionesselesdenominaparámetrosovaloresestadísticosdelapoblación.

1.2 Clasificación de las medidas estadísticas

Lasmedidas estadísticas se clasificanenmedidasde centralizaciónode ten-denciacentral,deposiciónolocalización,dedispersiónydeasimetría,comoseobservaenlafigura4.1.

2. meDiDas estaDísticas De centralización y posición

Estasmedidasseubicanenelcentrodeladistribucióndelosdatos,proporcio-nanunadistribucióndefrecuenciasa travésdeunvalorquesepuedetomarcomorepresentativodetodos losdatos.Haydiferentesformasparadefinirel“valorcentral”de lasobservacionesenunconjuntodedatos.Otrassesitúanal ladoderechooizquierdodelcentrodelosdatosyseles llamamedidasdeposición.Entrelasprincipalesmedidasdetendenciacentralseencuentran: – Mediaaritmética – Mediana – Moda – Mediageométrica


Figura 4.1 Clasificación de las medidas estadísticas

2.1 Media aritmética X( )

Lamediaaritmética,opromedioaritmético,sedefinecomolasumadelosvalo-resobservadosdeunavariablecuantitativa(discretaocontinua),divididaporelnúmerototaldelasobservaciones.Sesimbolizaconuna X yselee“equisbarra”.Demanera formal, sediceque, si 1 2 nx x x, , ,… sonn observacionesnuméricasdelavariableenestudio,entonceslamediaaritméticaopromediodeestasnobservacionesseexpresacomo:

1 2 3 4

1

1 nni

i

x x x x xX x

n n...

=

+ + + + += = ∑

En estadística, esta media o promedio se llama media muestral, ya que

su cálculo proviene precisamente de una muestra de n observaciones de unamuestra.

Observaciones

1. Cuandolasobservacionesdelavariableenestudiocorrespondenalosda-tosdeunapoblacióndetamañoN (Nelementosconformanlapoblación),entonces lamediaaritméticasedenominamediapoblacional (denotadoporµ ),lacualconstituyeunparámetroquesedefinecomo:

1 2 3 4

1

1 NNi

i

x x x x xx

N N...

=

+ + + + +µ = = ∑


2. Enlosejemplosyejerciciosqueresolvemosenestetexto,porlogeneraltrabajamoscondatosobservadosenunamuestra,porlotantousaremoslamediaaritméticaX.

Ejemplo 4.1Elgerentedeuncentrocomercialdeventadepartesdecomputadoradeseaconocerlacomisiónpromedioqueganócadaagenteenlasemanaanterior,paratalfinseleccionóunamuestrade25agentes,aquienesselespreguntóporelmonto(X).Losdatosrecolectadosensolesson:

300 420 300 170 230 130 260 170 300 260 260 170 300420 70 80 260 440 80 300 420 230 130 230 300

Lamediaaritméticaes:25

1

1 300 420 230 300 6230 249 2025 25i

iX x

n,

=

+ +…+ += = = =∑

Seinterpretacomo:“Lacomisiónpromedioganadaporcadaagentedeventa,lasemanapasada,fue249,20soles”.

2.1.1 Propiedades de la media aritmética

a) SiX = cdonde“c”esunaconstante,entonces:X c=

Esdecir,sitodoslosdatostienenelvalorc,lamediatambiénesc

b) Si aX b= ±Y dondeaybsonconstantesyX e Ysonvariables,entonces:

aX b= ±Y

Ejemplo 4.2UnaimportantetiendadeventadeartefactoseléctricosofertótelevisoresLEDde32pulgadas(entreSmartTVyconvencionales),alossiguientesprecios:

Marca Samsung Sony Samsung Sony Panasonic Sony LG AOC Daewoo ReccoPrecio(soles) 1999 1399 1299 1299 1199 999 999 699 699 499

ElpreciopromedioofertadoporTVLEDde32pulgadases:

10

1

1 1199 1399 699 499 11090 110910 10 10i

iX x

=

+ +…+ += = = =∑

Siunasemanadespuésdelaoferta,laadministracióncreyóconvenientein-crementarlospreciosen8%,másuncostofijode10solesporreordenamiento


enalmacenes,elnuevopreciodeunTVLEDde32pulgadases 1 08 10X,= +Y yelnuevopreciopromedioporTVLEDde32pulgadases:

1 08 10 1 08 1109 10 1207 72X, , ( ) ,= + = + =Y

2.1.2 Cálculo de la media aritmética con datos agrupados en una tabla de frecuencias

Cuando los n datos observados han sido agrupados y organizados en una tabladefrecuencia,elcálculodelamediaaritméticaserealizaconlasiguientefórmula:

1 1 2 2

1

1 kk k

i ii

x f x f x fX x f

n n

=

+ +…+= = ∑

Donde:k=eselnúmerodeclasesquetienelatablaxi=valordeXenlaclaseidelatablafi=frecuenciaabsolutasimpledelaclasei

Ejemplo 4.3Seevaluóauntotalde56pymes,conunaantigüedadnomayorde5añosrespectoasuexperienciaenelsectordeconfeccionesdepolos.Latabladefrecuenciasparaañosdeexperienciasepresentaacontinuación:

Tabla 4.1 Distribución de pymes según años de experiencia

Años de experienciaxi

Cantidad de pymes fi

0 41 162 123 104 85 6

Total 56

Elaboración propia

6

1

1 0 4 1 16 2 12 3 10 4 8 5 6 132 2 3656 56 56i i

iX x f ,

=

× + × + × + × + × + ×= = = =∑

Enpromedio, laexperienciade laspymesenconfeccióndepolosesde2,36años(o2añosy4meses,aproximadamente).


Ejemplo 4.4Untotalde40alumnosdeuncolegiodesecundariafueronseleccionadosparaqueintegrenelequipodebásquetbol.Paraesto,eltécnicodelequipotomómedi-dasdesusestaturas,apuntólosdatosaproximandoencentímetrosylosagrupóporintervalosenunatabladefrecuencia,comosemuestraacontinuación.

Tabla 4.2 Distribución de alumnos según su estatura

Estatura (cm) Marca de clase xi

Cantidad de alumnosfi

[145; 150) 147,5 3[150; 155) 152,5 10[155; 160) 157,5 16[160; 165) 162,5 7[165; 170) 167,5 4

Total --- 40

Fuente: Registros del colegio

Sobrelabasedelasmedidas,eltécnicodeseaconocerelpromediodeesta-turaporalumno,porloqueserequierecalcularxi fi

Estatura (cm) xi fi xi fi

[145; 150) 147,5 3 442,5[150; 155) 152,5 10 1 525,0[155; 160) 157,5 16 2 520,0[160; 165) 162,5 7 1 137,5[165; 170) 167,5 4 670,0

Total --- 40 6 295,0

3 147 5 10 152 5 4 167 5 6295 157 3840 40

X , , , ,× + × +…+ ×= = =

Laestaturapromedioporalumnoseleccionadoparaelequipodebásquet-boles157,38centímetros.

2.1.3 Media ponderada

Sedicequesix1, x2, ..., xn sonnobservacionesnuméricasdelavariableenestudioX,cuyospesosoponderacionessonp1, p2, ..., pnentonceslamediaopromedioponderadodeestasnobservacionesseexpresacomo:

1 1 2 2 1

1 2 1

ni in n i

nn ii

x px p x p x pX

p p p p =

=

+ +…+= =

+ +…+∑∑


Observaciones

Enalgunoscasosserequieredeterminarelpromediogeneraldekgruposysedisponedelamediaporcadagrupo 1 2 kx x x( , , ..., ) , entoncesseaplicaelpro-medioponderadoutilizandocomopesos la cantidaddedatosde cadagrupo (n1,n2,...,nk);esdecir:

1 1 2 2

1 2

k k

k

x n x n x nX

n n n + +…+

=+ +…+

Aestepromedioseledenominamediademedias.

Ejemplo 4.5Unartículoparaelhogarsevendeentresestablecimientosdeunaciudad.Segúnlaubicacióndelestablecimiento,elpreciodeventa(ensoles)varíapa-raelconsumidor.Acontinuaciónsepresentaelpreciodeventaylacantidaddeartículosvendidos:

Tabla 4.3 Precio y cantidad de venta por establecimiento

Establecimiento Precio por artículoxi

Cantidad vendidapi

1 12,50 15002 14,00 12003 15,50 1300

Total --- 4000

Elpreciopromediodeventaporartículosecalculadeestamanera:

Establecimiento xi pi xi pi

1 12,50 1500 18 7502 14,00 1200 16 8003 15,50 1300 20 150

Total --- 4000 55 700

55 70012 5 1500 14 1200 15 5 1300 13 931500 1200 1300 4000

X , , ,× + × + ×= = =

+ +

2.2 Mediana (Me)

Sienunconjuntodedatos,uno,dosomásvaloressonmuygrandesomuype-queños(datosatípicos),lamediaaritméticayanoesrepresentativadelconjunto.Unamedidadetendenciacentraladecuadaparadescribirlaeslamediana.


Lamedianaeselvalordelaobservaciónqueestájustoenlamitaddelosda-tosordenados,dejandolamismacantidaddeobservacionesaladerechayalaizquierdadeella.Lamediananoestáafectadaporlosvaloresextremosy,portanto,esunamedidadetendenciacentralmásresistentequelamediaaritméti-ca.SedenotacomoMe.

Figura 4.2 Representación gráfica de la mediana

Datos ordenados

50 %de datos

50 %de datos

MIN Me MAX

2.2.1 Cálculo de la mediana con datos no agrupados

1.Ordenarlosdatosdemenoramayor.2.Determinarelvalorcentraldelconjuntodedatosordenados.– Sinesimpar,lamedianaeselvalordeXqueocupalaposición 1

2n + .

– Sinespar,lamedianaeselpromediodelosvaloresdeXqueocupan laposición 1

2 2n ny +

Esdecir:

12

12 2

2

n

n n

x n

Mex x

n

; si esimpar

;si espar

+

+

= +

Ejemplo 4.6Acontinuaciónsemuestranlostiemposdeespera(enminutos)de13clientesparaseratendidosenlaventanilladeunbanco:

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 x13

15 10 20 13 8 15 9 12 18 11 14 22 6

Calculamoslamedianaeinterpretamoselvalorhallado.1. Losdatosordenadosdemenoramayorson:

x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) x(6) x(7) x(8) x(9) x(10) x(11) x(12) x(13)

6 8 9 10 11 12 13 14 15 15 18 20 22


2.SedeterminaelvalorcentraldeX,queocupalaposición13 1 72+

= .

x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) x(6) x(7) x(8) x(9) x(10) x(11) x(12) x(13)

6 8 9 10 11 12 13 14 15 15 18 20 22

( )7 13Me x= =

Lainterpretacióndelamedianaresultanteesesta:el50%declienteses-peranmenosde13minutosparaseratendidosporventanilla.

Ejemplo 4.7Los precios de alquiler-venta mensual de departamentos de 65 metros cuadradosen10distritosdeLimaMetropolitana,sonlossiguientes:

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10

Distrito JesúsMaría

LaMolina Lince Magdalena Miraflores Pueblo

LibreSanBorja

SanIsidro

SanMiguel Surco

Precio(soles)

1558 1460 1469 1422 2081 1407 1745 2207 1223 1654

Calculamoslamedianaeinterpretamoselvalorhallado.1. Losdatosordenadosdemenoramayorson:

Posición x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) x(6) x(7) x(8) x(9) x(10)

Distrito SanMiguel

PuebloLibre Magdalena La

Molina Lince JesúsMaría Surco San

Borja Miraflores SanIsidro

Precio(soles) 1223 1407 1422 1460 1469 1558 1654 1745 2081 2207

2. Se determinan los dos valores centrales; es decir, los valores deX que

ocupanlasposiciones10 52= y10 1 6

2+ = .Sepromediaestosdosvalores,

elresultadoeslamediana.

Posición x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) x(6) x(7) x(8) x(9) x(10)

Distrito SanMiguel

PuebloLibre Magdalena La

Molina Lince JesúsMaría Surco San

Borja Miraflores SanIsidro

Precio(soles) 1223 1407 1422 1460 1469 1558 1654 1745 2081 2207

( ) ( )5 6 1469 1558 1513 52 2

x xMe ,

+ += = =

6 observaciones a la izquierda 6 observaciones a la derecha

4 observaciones a la izquierda 4 observaciones a la derecha


Lainterpretacióndelamediana 1513 5Me ,= señalaqueenel50%delosdistritosenestudio,elpreciodeventa-alquilerdelosdepartamentosesinferiora1513,5soles.

2.2.2 Cálculo de la mediana con datos agrupados (tabulados sin intervalos)

1. Seresumenlosdatosenlatabladefrecuencia:

xi fi Fi

x1 f1 F1

x2 f2 F2

. . .

. . .xi–1 fi–1 Fi–1

xi fi Fi. . .. . .

xk fk Fk = n

Total n ---

2. Secalcula2n .

i) Si2n nocoincideconalgúnvalordelasfrecuenciasacumuladas,este

estaráposicionadoentre2frecuenciasacumuladas:

1 2− < <i i

nF F

Entonces, lamedianaes elvalorde X que correspondea la fre-cuenciaacumulada iF ;esdecir:

iMe x=

ii) Si2n coincide con algún valor de las frecuencias acumuladas, este

estaráposicionadoentre2frecuenciasacumuladas:

1 2i i

nF F− = <

Luego,lamedianaestádadapor:

1

2i ix x

Me − +=


Ejemplo 4.8EnunainvestigaciónrealizadaalossuscriptoresdelarevistaCosassehizolasiguientepregunta:“delosúltimosnúmerospublicados¿cuántoshaleídousted?”.Lasrespuestasde500suscriptoresseresumenenlasiguientetabla.

Tabla 4.4 Distribución de suscriptores según número de revistas leídas

Números leídosxi

Número de suscriptoresfi

0 151 102 403 854 350

Calculamoseinterpretamoslamediana.

1. Alcalcularlasfrecuenciasacumuladasseobtienelatablasiguiente:

xi fi Fi

0 15 151 10 252 40 653 85 1504 350 500

Total 500 ---

2. Secalcula 500 2502

= .Elvalor250seencuentraentre2frecuenciasacumu-

ladasdelatabla, 4 150F = y 5 500F = :

4 5250F F< <

Entonces,lamedianaeselvalordeXquecorrespondealafrecuenciaacumulada 5F :

5 4Me x= =

2.2.3 Cálculo de la mediana con datos agrupados (tabulados con intervalos)

1. Calcular2n

eidentificarlaclasemedianaquecontienealamediana(inter-

valocuyafrecuenciaabsolutaacumuladasuperaporprimeraveza2n ).

2. Calcularlamedianamediantelafórmula

12 i

i

n FMe Li A

f

−

− = +


Donde: n=númerodedatos Li=límiteinferiordelaclasemediana

Fi–1=frecuenciaabsolutaacumuladadelintervaloanterioralaclasemediana fi=frecuenciaabsolutasimpledelaclasemediana A=amplitudoanchodelaclasemediana

Ejemplo 4.9SerealizóunestudioeneldistritodeVentanillaconlafinalidaddeconocerlaedadenquelostrabajadoresdeldistritosolicitaronsujubilación.Losdatoshansidoclasificadosengruposquinquenalesysemuestraenlasiguientetabla.

Tabla 4.5 Distribución de trabajadores según edad de jubilación

Edad fi Fi

[63; 68) 71 71[68; 73) 162 233[73; 78) 91 324[78; 83) 79 403[83; 88) 47 450Total 450 ---

Calculamoseinterpretamoslamediana.

1. Secalcula 450 2252 2n= = .Paradeterminarlaclasemedianaseubicala

primerafrecuenciaacumuladaquesuperaa225,lacualresulta 2 233F = ,entonceslaclasemedianaeselsegundointervalo.

Edad fi Fi

[63; 68) 71 71Clasemediana [68; 73) 162 233

[73; 78) 91 324[78; 83) 79 403[83, 88) 47 450Total 450 ---

2. Luego,lamedianaes:

225 7168 5 72 75162

Me , − = + =

El50%delostrabajadoressejubilaantesdelos72,75años.


2.3 Moda o valor modal (Mo)

Eselvalordelaobservaciónqueaparececonmásfrecuencia;esdecir,elvalormásrepetidoenunconjuntodedatos.Lamodapuedecalcularseparavariablescuantitativasycualitativas.Enelcasodevariablescualitativas,esútilparaiden-tificarcategoríasmásfrecuentes,yaseaenescalanominaluordinal.LamodasedenotaconMo.Lamodatambiéntienelaventajadenoverseafectadaporvaloresmuyaltos

omuypequeños;sinembargo,tienealgunasdesventajasquehacenqueseutili-ceconmenosfrecuenciaquelamediaolamediana.Estasdesventajasson:• Paramuchosconjuntosdedatosnoexistevalormodaloningúnnúmeroaparecemásdeunavez.

• Paraalgunosconjuntosdedatospuedeexistirmásdeunamoda,locualdificultasuinterpretación.– Datosconunamodaselellama“distribuciónunimodal”– Datoscondosmodasselellama“distribuciónbimodal”– Datoscontresomásmodasselellama“distribuciónmultimodal”

2.3.1 Cálculo de la moda con datos no agrupados

Noserequiereelusodefórmula,lamodavieneaserelvalordelavariablequemásserepite.

Ejemplo 4.10Acontinuación,sepresentalostiemposdeespera(enminutos)de11clientesparaseratendidosenlaventanilladeunbanco:

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11

15 10 20 13 8 15 9 12 18 11 14

Paracalcularlamodadeestosdatos,soloobservamoselvalorquemásserepite.Elvalor15eselquemásserepite,aparecedosveces,losotrosvaloresnoserepiten;entonces,lamodaes 15Mo .=

2.3.2 Cálculo de la moda con datos agrupados (tabulados con intervalos)

1. Identificarlaclasemodal(intervalocuyafrecuenciaabsolutasimpleeslamásgrande).

2. Calcularlamodaconlafórmula:

10

1 2

dM Li A

d d

= + +


Donde:

n = númerodedatos iL = límiteinferiordelaclasemodal

1 1Mo Mod f f −= −

2 1Mo Mod f f += −

Mof = frecuenciaabsolutasimpledelaclasemodal

1Mof − = frecuenciaabsolutasimpledelaclasepremodal(anterioralaclasemodal)

1Mof + = frecuenciaabsolutasimpledelaclaseposmodal(posteriorala clasemodal) A = amplitudolongituddelaclasemodal

Ejemplo 4.11SerealizóunestudioeneldistritodeVentanillaconlafinalidaddeconocerlaedadenquelostrabajadoresdeldistritopidieronsujubilación.Losdatoshansidoclasificadosengruposquinquenalesysemuestraenlasiguientetabla.


Edad fi Fi

[63; 68) 71 71[68; 73) 162 233[73; 78) 91 324[78; 83) 79 403[83; 88) 47 450Total 450 ---

Calculamoseinterpretamoslamoda.

1.°Se identifica la clasemodal (intervalo cuya frecuencia absoluta simple es la más grande), premodal y posmodal, tal como se observa en la siguientetabla:

Edad fi Fi

Clasepremodal [63; 68) 71 71

Clasemodal [68; 73) 162 233

Claseposmodal [73; 78) 91 324

[78; 83) 79 403

[83; 88) 47 450

Total 450 ---


Entonces:

1 1 162 71 91Mo Mod f f −= − = − =

2 1 162 91 71Mo Mod f f += − = − =

2. Secalculalamodaconlasiguientefórmula:

0

9168 5 70 8191 71

M , = + = +

Laedaddejubilaciónmásfrecuentees,aproximadamente,70,81años.

2.4 Comparación entre la media aritmética, la mediana y la moda

Enfuncióndesusimetríaoasimetríaendistribucionesunimodales,severificanlassiguientesformasdedistribucióndelosdatos:

• Distribuciónsimétrica:cuandoladistribucióntienelamismaformaaam-bosladosdelcentro.Valedecir,sielpolígonodefrecuenciasedoblaporlamitad,lasdosmitadesseríanidénticas.Enunadistribuciónsimétrica,lamoda,medianaymediasoniguales.

Gráfico 4.1 Distribución simétrica

• Distribuciónconasimetríapositiva:esaquelladondelarelaciónentrelasmedidasdetendenciacentralesdelaformaMo Me X< < . Enunadistri-buciónconasimetríapositiva,lamediaaritméticasesesgaaladerecha.

X Me Mo= =


Gráfico 4.2 Distribución asimétrica positiva

• Distribuciónconasimetríanegativa:esaquelladondelarelaciónentrelasmedidasdetendenciacentralesdelaformaX Me Mo< < . Enunadistri-buciónconasimetríanegativa,lamediaaritméticasesesgaalaizquierda.

Gráfico 4.3 Distribución asimétrica negativa

Delastresmedidasdetendenciacentral,lamediaaritméticasueleserusadaconfrecuencia,quizáporlafacilidaddesucálculoapesardequeenmuchasoca-sioneslamedianaylamodaresultansermásrepresentativas.Cuandoelgradodeasimetríadeunadistribuciónesfuerte,lamediaaritméticanoesunpromediorepresentativodelosdatos,enestecasoespreferibleusarlamedianaolamoda.

Ejemplo 4.12SerealizóunestudioeneldistritodeVentanillaconlafinalidaddeconocerlaedadenquelostrabajadoresdeldistritosolicitaronsujubilación.Losdatoshansidoclasificadosengruposquinquenalesysemuestraenlasiguientetabla.

X Me Mo< <

Mo Me X< <



Edad fi Fi

[63; 68) 71 71[68; 73) 162 233[73; 78) 91 324[78; 83) 79 403[83; 88) 47 450Total 450 ---

Losvaloresdelamedia,medianaymodason: 74 04X , = 72 75eM , =

0 70 81M ,=

Gráfico 4.4 Distribución asimétrica positiva

70,81Moda

72,75Mediana

74,04Media

50 %

50 %

2.5 Cuantiles

Sonmedidasestadísticasdeposiciónquedividenalconjuntodedatosordena-dosenvariaspartesiguales(enintervalos),quecomprendenelmismonúmerodedatos.Entreloscuantilesconocidosseencuentran:

• Lamediana,quedividealconjuntodedatosordenadosen2partesiguales.• Los cuartiles, que dividen al conjunto de datos ordenados en 4 partesiguales.

• Los quintiles, que dividen al conjunto de datos ordenados en 5 partesiguales.

En este gráfico observamos que los datos presentan asime-tría positiva; es decir, menos de la mitad de los trabajadores se jubilan a una edad por encima del promedio. También se ob-serva que el mayor número de trabajadores se jubilan a los 70 o más años de edad.


• Losdeciles,quedividenalconjuntodedatosordenadosen10partesiguales.• Lospercentiles,quedividenalconjuntodedatosordenadosen100partesiguales.

2.6 Cuartiles (Qk )

Son3valoresquedividenalconjuntodedatosordenadosen4partesiguales.Cadaparterepresentael25%deltotal(uncuarto).Sedenotancon:

1Q =primercuartilocuartilinferior

2Q =Me=segundocuartilocuartilmedio

3Q =tercercuartilocuartilsuperior

Enlafigura4.3sepresentanloscuartilesyloscuartosordenadosdemenoramayor.

Figura 4.3 Representación gráfica de cuartiles y cuartos

Cuarto inferior25 %

Cuarto medio inferior25 %

Cuarto medio superior25 %

Cuarto superior25 %

Min Q1 Q2 = Me Q3 Max

2.6.1 Cálculo de cuartiles con datos no agrupados

1. Ordenarlosdatosdemenoramayor.2. Paracalcularelprimercuartil 1Q serealizanlossiguientescálculos:

14

nW +=

y=laparteenteradeW z=lapartedecimalofraccionariadeW

( ) ( ) ( )1 1y y yQ x z x x+ = + −

3. ParacalculareltercercuartilQ3serealizanlossiguientescálculos:

134

nW + =


( ) ( ) ( )3 1+ = + − y y yQ x z x x


Ejemplo 4.13Acontinuaciónsepresentanlostiemposdeespera(enminutos)de11clientesparaseratendidosenlaventanilladeunbanco:

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11

15 10 20 13 8 15 9 12 18 11 14

1. Alordenarlosdatos,seobtiene:

x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) x(6) x(7) x(8) x(9) x(10) x(11)

8 9 10 11 12 13 14 15 15 18 20

2. Paracalcularelprimercuartil 1Q serealizanlossiguientescálculos:

11 1 3 0

4W ,+

= =

y =laparteenteradeW = 3 z =lapartedecimaldeW=0,0

( ) ( ) ( ) ( )1 3 4 3 30 0 10Q x x x x, = + − = =

3. Paracalculareltercercuartil 3Q serealizanlossiguientescálculos:

11 13 9 04

W , + = =

y=laparteenteradeW=9 z=lapartedecimaldeW=0,0

( ) ( ) ( ) ( )3 9 10 9 90 0 15Q x x x x, = + − = =

Ejemplo 4.14Ahorasepresentanlostiemposdeespera(enminutos)de13clientesparaseratendidosenlaventanilladeunbanco:

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 x13

15 10 20 13 8 15 9 12 18 11 14 17 11

1. Alordenarlosdatosseobtiene:

x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) x(6) x(7) x(8) x(9) x(10) x(11) x(12) x(13)

8 9 10 11 11 12 13 14 15 15 17 18 20

4kn


2. Paracalcularelprimercuartil 1Q serealizanlossiguientescálculos:

13 1 3 5

4W ,+

= =

y=laparteenteradeW = 3 z=lapartedecimaldeW=0,5

( ) ( ) ( ) ( )1 3 4 30 5 10 0 5 11 10 10 5Q x x x, , , = + − = + − =

3. Paracalculareltercercuartil 3Q serealizanlossiguientescálculos:

13 13 10 54

W , + = =

y=laparteenteradeW=10 z=lapartedecimaldeW=0.5

( ) ( ) ( ) ( )3 10 11 100 5 15 0 5 17 15 16Q x x x, , = + − = + − =

2.6.2 Cálculo de cuartiles con datos agrupados (tabulados con intervalos)

1. Alcalcular4kn se identificalaclasecuartilk,dondek = 1,2,3.Laclase

cuartilk eselintervalocuyafrecuenciaabsolutaacumuladaeslaprimera

quesuperaa4kn .

2. Secalculanloscuartilesconlafórmula

14 1 2 3i

k i

kn FQ L A k

fi

; , ,

−

− = + =

Donde: =n númerodedatos =iL límiteinferiordelaclasecuartil k

1 − =iF frecuencia absoluta acumulada del intervalo anterior a la clasecuartil k .=if frecuenciaabsolutasimpledelaclasecuartil k

=A amplitudolongituddelaclasecuartil k

Ejemplo 4.15EneldistritodeVentanillaserealizóunestudioconlafinalidaddecono-cer la edadenque los trabajadoresdeldistritopidieron su jubilación.Los datos han sido clasificados en grupos quinquenales y se muestran en la siguientetabla:

4kn



Edad fi Fi

[63; 68) 71 71[68; 73) 162 233[73; 78) 91 324[78; 83) 79 403[83; 88) 47 450Total 450 ---

Calculamoseinterpretamosloscuartiles.Paracalcular 1Q eidentificarsuclase cuartil,secalcula 1 450 112 5

4 4kn , ;×

= =

laprimerafrecuenciaacumuladaquesuperaa112,5es 2 233F = .Entonceselsegundointervaloeslaclasecuartil1.

Edad fi Fi

[63; 68) 71 71

Clasecuartil1 [68; 73) 162 233[73; 78) 91 324[78; 83) 79 403

[83; 88) 47 450

Total 450 ---

Luego,alaplicarlafórmulaseobtiene:

1

112 5 7168 5 69 28162

Q , , − = + =

El25%detrabajadoressejubilóconunaedadinferiora69,28años.ParacalcularQ3eidentificarsuclase cuartil,calculamos

3 450 337 54 4kn , ;×

= = laprimerafrecuenciaacumuladaquesuperaa337,5

es 4 403F = .Entonces,elcuartointervaloeslaclasecuartil3.Luego,alaplicarlafórmulaseobtiene:

3

337 5 32478 5 78 8579

Q , , − = + =

El75%detrabajadoressejubilóconunaedadinferiora78,85años.


2.7 Percentiles (Pk)

Son99valoresquedividenalconjuntodedatosordenadosen100partesiguales.Cadaparterepresentael1%deltotal.Sedenotancon:

1P = primerpercentil

2P = segundopercentil

25 1P Q= = percentil25

50 2P Q Me= = = percentil50

75 3P Q= = percentil75

99P = percentil99

Enlafigura4.4sepresentanlospercentilesylascienpartesigualesordena-dasdemenoramayor.

Figura 4.4 Representación gráfica de percentiles

1 % 1 % …… …… 1 % 1 %

Min P1 P2 P50 P98 P99 Max

2.7.1 Cálculo de percentiles con datos no agrupados

1. Ordenarlosdatosdemenoramayor.2. ParacalcularelpercentilPkserealizanlossiguientescálculos:

1 1 2 99100nW k k, , , , +

= = …


( ) ( ) ( )1 1 2 99k y y yP x z x x k, , , ,+ = + − = …

Ejemplo 4.16Sepresentanlostiemposdeespera(enminutos)de11clientesparaseraten-didosenlaventanilladeunbanco:

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11

15 10 20 13 8 15 9 12 18 11 14


1. Alordenarlosdatos,seobtiene:

x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) x(6) x(7) x(8) x(9) x(10) x(11)

8 9 10 11 12 13 14 15 15 18 20

2. Paracalcularelpercentil 30P , serealizanlossiguientescálculos:

11 130 3 6100

W , + = =

y=laparteenteradeW = 3 z=lapartedecimaldeW=0,6

( ) ( ) ( ) ( )30 3 4 30 6 10 0 6 11 10 10 6P x x x, , , = + − = + − =

3. Secalculaelpercentil 45P realizandolossiguientescálculos:

11 145 5 4100

W , + = =

y=laparteenteradeW=5 z=lapartedecimaldeW=0,4

( ) ( ) ( ) ( )45 5 6 50 4 12 0 4 13 12 12 4P x x x, , , = + − = + − =

2.7.2 Cálculo de percentiles con datos agrupados (tabulados en intervalos)

1. Calcular 100kn e identificar la clase percentil k, donde 1 2 99k , , ,= … .

Laclasepercentilkeselintervalocuyafrecuenciaabsolutaacumuladaes

laprimeraquesuperaa100kn .

2. Secalculanlospercentilesconlasiguientefórmula:

1100 1 2 99i

k ii

kn FP L A k

f

, , , ,

−

− = + = …

Donde:

=n númerodedatos

=iL límiteinferiordelaclasepercentil k

1− =iF frecuenciaabsolutaacumuladadelintervaloanterioralaclasepercentil k

=if frecuenciaabsolutasimpledelaclasepercentil k =A amplitudolongituddelaclasepercentil k


Ejemplo 4.17SerealizóunestudioeneldistritodeVentanillaconlafinalidaddeconocerlaedadenquelostrabajadoresdeldistritopidieronsujubilación.Losdatoshansidoclasificadosengruposquinquenalesysemuestraenlasiguientetabla:


Edad fi Fi

[63; 68) 71 71[68; 73) 162 233[73; 78) 91 324[78; 83) 79 403[83; 88) 47 450Total 450 ---

Calculamoseinterpretamoslospercentiles 40P y 85P .

Para el percentil 40P , calculamos 40 450 180100 100kn ×

= = , la primera fre-

cuencia acumulada que supera a 180 es 2 233F = . Entonces, el segundointervaloeslaclasepercentil40.

Edad fi Fi

[63; 68) 71 71Clasepercentil40 [68; 73) 162 233

[73; 78) 91 324[78; 83) 79 403[83; 88) 47 450Total 450 ---

Luego,alaplicarlafórmulaparaelpercentil40,seobtiene:

40180 7168 5 71 36

162P , −

= + =


Para el percentil 85P , calculamos 85 450 382 5100 100kn ,×

= = ; la primera fre-

cuencia acumulada que supera a 382,5 es 4 403F = . Entonces, el cuarto intervaloeslaclasepercentil85.


Edad fi Fi

[63; 68) 71 71[68; 73) 162 233[73; 78) 91 324

Clasepercentil85 [78; 83) 79 403[83; 88) 47 450Total 450 ---

Luego,alaplicarlafórmulaseobtiene:

85

382 5 32478 5 81 7079

P , , − = + =


Ejemplo 4.18Paralosdatosdelejemplo4.17,¿cuántosyquéporcentajedetrabajadoressejubilóconunaedadinferiorde75años?Paradarrespuestaaestapreguntapodemosutilizarelpercentilensenti-

doinverso;esdecir,setratadeencontrarelvalordeksabiendoque 75kP = . Enlatabla,seobservaque 75kP = seencuentraeneltercerintervalo:

Edad fi Fi

[63; 68) 71 71[68; 73) 162 233

Clasepercentilk [73; 78) 91 324[78; 83) 79 403[83; 88) 47 450

Total 450 ---

Entonces:

450 23310075 73 5

91k

k

P

× −

= = +

( )75 73 91 4502335 100

k − × ×

+ =

450269 4 59 87

100k k, ,×

= =

El59,87%detrabajadoressejubilóconunaedadinferiorde75años.Luego,lacantidaddetrabajadoresquesejubilóconunaedadinferiorde

75añosesaproximadamente 450 0 5978 269 42 269, ,× = ≅ .


2.8 Media geométrica ( GX )

Lamedia geométrica GX( ), de un conjunto den valores positivos, se definecomolaraízn-ésimadelproductodeesosvalores.Portanto,lafórmulaparalamediageométricaesdadapor:

1 2 3n

G nX x x x x= ⋅ ⋅ ⋅…⋅

Lamedia geométrica es útil para determinar la variaciónporcentual pro-medio (tasa de crecimiento promedio) de ventas, precios, producciónu otrasvariablesoserieseconómicasdeunperiodoaotro.Paradeterminarlatasadecrecimientopromedio,secalculanlosfactoresytasasdecrecimiento,periodoporperiodo,talcomosemuestraenlatablasiguiente:

Periodoi

Valoresxi

Factor de crecimiento

−

=1

ii

i

xFC

x

Tasa de crecimiento1−=i iTC FC

0 x0 --- ---

1 x11

10

xFC

x= 1 1 1TC FC −=

2 x22

21

xFC

x= 2 2 1TC FC −=

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

n xn1

nn

n

xFC

x −

= 1n nTC FC −=

Elfactordecrecimientoenelperiodo i secalculamediantelafórmula:

11 2i

ii

xFC i n

x; para , , ,

−

= = …

Latasadecrecimientosecalculacomo:

1

11 1 2i i

i ii

x xTC FC i n

x;para , , ,−

−

−= − = = …

Elfactordecrecimientopromedioeslamediageométricadelosfactoresdecrecimiento:

1 2n

nFC FC FC FC= × ×…×


Latasadecrecimientoovariaciónporcentualpromedioconstantees:

( ) ( )1 21 100 1 100nnTC FC FC FC FC= − × = × ×…× − ×

Ejemplo 4.19Unapoblacióntenía10000habitantesenelañocero,elprimerañocrecióa 10500,elsegundoa12600yelterceroa18900.¿Aquétasapromedioanualhacrecidolapoblaciónenestos3años?

SoluciónSecalculanlosfactoresdecrecimiento(FC )paracadaañoconlafórmula:

1

ii

i

xFC

x −

=

Losresultadosdeestecálculosepresentanenlasiguientetabla:

Año Población FCi

0 10 000 ---

1 10 50010 500

1 0510 000

,

=

2 12 600 12 6001 20

10 500

,

=

3 18 90018 900

1 5012 600

,

=

Elfactordecrecimientopromedioanuales:

3 1 05 1 20 1 50 1 2364FC , , , ,= × × =

Latasadecrecimientoovariaciónporcentualpromedioconstanteanuales:

( )1 2364 1 100 23 64TC , , %= − × =

Esdecir,enpromediolapoblacióncrecióanualmenteen23,64%.

Ejemplo 4.20Unaexpendedoradegasolinaaumentóelañopasadosusingresosen21%respectoal añoanterior; yhanproyectadoqueeste añovana llegar aunaumentode28%respectoalañopasado.¿Cuáleslatasadecrecimientopro-medioanualdelosingresos?

SoluciónSe tiene la variaciónporcentual (Var%)de los ingresospara cada año, en-tonces la tasade crecimiento (TC) de cada año se obtiene al dividirVar% entre100yelfactordecrecimiento(FC)seobtienesumando1alatasadecrecimiento;esdecir:


1 1 2100

ii i i

VarTC FC TC i

%y ; , = = + =

Losresultadosdeestoscálculossemuestranenlasiguientetabla:

Año TCi FCi= 1 + TCi

Añoanterior --- ---

Añopasado 0,21 1,21

Añoactual 0,28 1,28

Elfactordecrecimientopromedioanuales:

2 1 21 1 28 1 2445FC , , ,= × =

Latasadecrecimientoovariaciónporcentualpromedioconstanteanuales:

( )1 2445 1 100 24 45TC , , %= − × =

Esdecir,latasadecrecimientopromedioanualdelosingresoses24,45%.

ejercicios y problemas resueltos 4.1

1. LascalificacionesobtenidasenunexamendelcursodeEstadísticaparaungrupodeestudiantesfueronlassiguientes:

11 17 07 20 18 10 14 15 04 0415 09 18 20 11 16 12 06 18 1306 19 19 07 13 07 17 04 06 0105 18 13 08 12 03 11 19 05 11

a) Calculeeinterpretelamediaaritmética.b) Sedetectóunerrorenlacalificacióndelexamen.Acadaestudianteseleasignóunpuntoadicionalporerror,¿cuáleselvalordelamediacorrecta?

Solucióna) SedefinelavariableX:calificaciónobtenidaporalumnoenelexamendeEstadística.

LamediaaritméticadeXes:

11 17 5 11 462 11 55

40 40X ,+ +…+ += = =

Lacalificaciónpromediodelexamenporalumnoes11,55.b) SedefinelanuevavariableY:calificaciónrealobtenidaporunalumnoenelexamen. 1X= −YLamediaaritméticadeYes: 1 11 55 1 10 55X , ,= − = − =Y

Lacalificaciónpromediorealdelexamenporalumnoes10,55.


2. La siguiente tabla fue elaborada con los datos de las aportaciones (ensoles) al Sistema Nacional de Pensiones (SNP) de 100 docentes, en febrerodel2016.

Tabla 4.10 Distribución de docentes según aportaciones al SNP


[174; 196) 185 2

[196; ) 0,07

[218; 240) 229 10

[ ; 262) 251 0,23

[262; 284) 273 38

[284; 306) 0,11

[306; ) 317 96

[328; 350) 339 4

Total --- 100 1 ---

a) Completelatabladefrecuencias.b) ¿Cuáleslaaportaciónpromediopordocente?c) ¿Cuáleslaaportaciónpromediodelosdocentesqueaportanalmenos262soles?

d) Silasaportacionesdelosdocentesseincrementanenun10%,¿cuáleselnuevomontopromediodeaportacionesdelos100docentes?

Solucióna) SedefinelavariableX:aportacióndeldocentealSistemaNacionaldePensiones(ensoles).

Aportación xi fi hi Fi Hi

[174; 196) 185 2 0,02 2 0,02

[196; 218) 207 7 0,07 9 0,09

[218; 240) 229 10 0,10 19 0,19

[240; 262) 251 23 0,23 42 0,42

[262; 284) 273 38 0,38 80 0,80

[284; 306) 295 11 0,11 91 0,91

[306; 328) 317 5 0,05 96 0,96

[328; 350) 339 4 0,04 100 1

Total --- 100 1 --- ---


b) Se calcula el producto de la marca de clase ( )ix por la frecuencia absolutasimple if( ) .

xi fi xi fi

185 2 370

207 7 1 449

229 10 2 290

251 23 5 773

273 38 10 374

295 11 3 245

317 5 1 585

339 4 1 356

--- 100 26 442

LaaportaciónpromediopordocenteeslamediaaritméticadeX:

26442 264 42100

X ,= =

c) Seseparanloscuatroúltimosintervalosquecorrespondenalostrabaja-doresqueaportanalmenos262solesysecalculalamediaaritmética.

Aportación xi fi xi fi

[262; 284) 273 38 10 374

[284; 306) 295 11 3 245

[306; 328) 317 5 1 585

[328; 350) 339 4 1 356

Total --- 58 16 560

Laaportaciónpromediode losdocentesqueaportanalmenos262soleses:

16560 285 52

58X ,= =

d) SedefinelavariableY :nuevaaportacióndeldocentealSistemaNacio-naldePensiones. 0 1 1 1X X X, ,= + =Y

LanuevaaportaciónpromediopordocenteeslamediaaritméticadeY,estoes: 1 1 1 1 264 42 290 86X, , , ,= = × =Y


3. EnelcursodeEstadística,elpromediodenotasde30alumnosdelaca-rreradeAdministraciónes15;elde20alumnosdeEconomía16;yelde50alumnosdeMarketing,11.Halleelpromedioaritméticodenotasdeltotaldealumnos.

Solución

15 30 16 20 11 50 1320 13 2

30 20 50 100X ,× + × + ×= = =

+ +

LanotapromedioporalumnoenelcursodeEstadísticaes13,2.

4. Lagerenciadeoperacionesdeunaentidadfinancierahaevaluadolaefecti-vidadde2operadoresdeventanilla(AyB).Serealizóunseguimientoa80atencionesrealizadasporcadaoperadoryseregistróeltiempodeatenciónensegundos.Conelpropósitodefacilitarelanálisiscomparativodelos2operadoresseutilizó,encadacaso,unatabladefrecuenciaagrupadaenintervalosconamplitudconstantede4segundos:

Tabla 4.11 Tiempo de atención de los operadores A y B

Operador A Operador B

Tiempo xi fi Fi Tiempo xi fi Fi

[ ; ) 6 [ ; ) 8[32; ) 16 [ ; ) 12[ ; ) 17 [ ; ) 42 32[ ; ) 52 [ ; ) 18[ ; ) [ ; ) 74[ ; ) 9 76 [ ; )[ ; ) [ ; ) 5

Total --- --- Total --- ---

a) Completelastablasanteriores.b) Calcule el tiempo promedio por atención de cada operador. Luego, respondaquéoperadorresultómásefectivo.

c) SieloperadorAaumentaen7,5%sutiempodeatención,yelopera-dor B reduce en 5 % su tiempo de atención, ¿qué operador resulta másefectivo?


Solucióna) SedefinelavariableX:tiempodeatenciónporcliente(segundos).

Operador A Operador B

Tiempo xi fi Fi Tiempo xi fi Fi

[28; 32) 30 6 6 [32; 36) 34 8 8[32; 36) 34 10 16 [36; 40) 38 12 20[36; 40) 38 17 33 [40; 44) 42 12 32[40; 44) 42 19 52 [44; 48) 46 18 50[44; 48) 46 15 67 [48; 52) 50 24 74[48; 52) 50 9 76 [52; 56) 54 1 75[52; 56) 54 4 80 [56; 60) 58 5 80Total --- 80 --- Total --- 80 ---

b) EltiempopromedioporatenciónqueutilizóeloperadorAfue:

xi fi xi fi

30 6 18034 10 34038 17 64642 19 79846 15 69050 9 45054 4 216--- 80 3 320

3320 41 5

80AX ,= =

EltiempopromedioporatenciónqueutilizóeloperadorBfue:

xi fi xi fi

34 8 272

38 12 456

42 12 504

46 18 828

50 24 1 200

54 1 54

58 5 290

--- 80 3 604

3604 45 05

80BX ,= =


Luego,eloperadorAresultósermásefectivo;enpromedioutilizómenortiempoparalaatención.

c) SedefinelavariableY :nuevotiempodeatenciónporcliente.ParaeloperadorA:

0 075 1 075A A A AX X X, ,= + =Y

ElnuevotiempopromediodeatenciónparaeloperadorAes: 1 075 1 075 41 5 44 61A AX, , , ,= = × =Y

ParaeloperadorB,seobtiene: 0 05 0 95B B B BX X X, ,= − =Y

Luego,elnuevotiempopromediodeatenciónparaeloperadorBes: 0 95 0 95 45 05 42 8B BX, , , ,= = × =Y

Porconsiguiente,eloperadorBresultósermásefectivo;enpromedioutilizómenortiempoparalaatención.

5. Elpromediodelasedadesdel40%delosasistentesaunareuniónes40años,elpromediodel25%delrestoesde28años,¿cuáldebeserelprome-diodeedaddelrestodepersonas,sitodoslosasistentesenpromediotienen31años?

SoluciónSeresumenlosdatosdelos3gruposdeasistentesenlatablasiguiente:

Grupo Porcentaje Edad promedio

1 40 40

2 0 25 60 15, × = 28

3 45 mTotal 100

Alutilizarelpromedioponderado,seobtiene:

40 40 28 15 4531100

m × + × +=

24m =

Elpromediodeedaddelrestodepersonases24años.

6. De500estudiantesdeunainstitucióneducativa,laestaturapromedioesde1,67metros;porcada3mujereshay7hombres.Silaestaturapromediodetodaslasmujeresesde1,60metros,¿cuáleselpromediodelasestaturasdelosvaronesdelainstitucióneducativa?


SoluciónSeresumenlosdatosdelos2gruposdeestudiantes(hombresymujeres)enlatablasiguiente:

Grupo Cantidad Estaturapromedio

Mujeres 3 150K = 1,60

Hombres 7 350k = m

Total 500

1 6 150 3501 67

500m,, × +

=

1 70m ,=

La estatura promedio de los varones de la institución educativa esde1,70metros.

7. Losgastosdiarios(ensoles)querealizanlosempleadosdeunaempresa,enelalmuerzo,sonlossiguientes:

18,1 20,5 22,0 22,2 23,6 24,218,5 21,1 22,0 22,4 23,6 24,218,7 21,3 22,0 23,2 24,0 24,519,9 21,3 22,0 23,2 24,1 24,720,4 21,5 22,1 23,2 24,1 24,9

a) ¿Qué tipo de distribución presentan los gastos diarios? Justifique utilizandolasmedidasdetendenciacentral.

b) ¿Cuáleselgastodiariomínimodeldécimosuperiordeempleados?c) ¿Cuáleselgastodiariomáximodelquintoinferiordeempleados?d) ¿Cuáleselgastodiariomásfrecuenteporempleado?

Solucióna) Secalculanlastresmedidasdetendenciacentral:media,medianaymoda.

667 5 22 25

30X , ,= =

Para calcular la mediana se ubican las dos posiciones centrales (yaquenespar)de losdatosordenados;esdecir,elpromediode losvalores que ocupan las posiciones 15 y 16, tal como se observa en la siguientefórmula:

15 16 22 1 22 2 22 15

2 2x x

Me ( ) ( ) , , ,+ +

= = =

Elvalorquemásserepiteesel22,porlotantolamodaesMo = 22. SeobservaqueMo Me X< < ,entonceslosdatospresentanasimetría

positiva.


b) Setienequecalcular 90P delasiguienteforma:

30 190 27 9100

W , + = =

y=laparteenteradeW = 27 z=lapartedecimaldeW = 0,9

( ) ( ) ( )( ) ( )90 27 28 270 9 24 2 0 9 24 5 24 2 24 47P X X X, , , , , ,= + × − = + × − =

c) Setienequecalcular 20P delasiguienteforma:

30 120 6 2100

W , + = =

y=laparteenteradeW = 6 z=lapartedecimaldeW = 0,2

( ) ( ) ( )( ) ( )20 6 7 60 2 20 5 0 2 21 1 20 5 20 62P X X X, , , , , ,= + × − = + × − =

d) Como22eseldatoqueserepitemásveces,entonceslamodaes: 22Mo =

8. Haysospechasdequeunamáquinaautomáticaquellenaenvasesestátra-bajandodemaneraerrática.Unaverificacióndelospesos(engramos)delcontenidodeunamuestradeenvasesseresumióenlasiguientetabla.

Tabla 4.12 Distribución de envases según peso

Peso xi fi

[140; 150) 12[150; 160) 27[160; 170) 22[170; 180) 17[180; 190) 7[190; 200) 5

a) ¿Entrequépesosseencuentrael50%centraldeenvasesdelamuestra?b) ¿Cuántosenvasespesanalmenos167gramos?c) ¿Sepuedeafirmarqueelpesomásfrecuenteenlamuestraessuperioralpesomediano(medianadelospesos)?

SoluciónSecompletalatablaconlossiguientescálculos:


Peso xi fi xi fi Fi

[140; 150) 145 12 1740 12[150; 160) 155 27 4185 39[160; 170) 165 22 3630 61[170; 180) 175 17 2975 78[180; 190) 185 7 1295 85[190; 200) 195 5 975 90

Total --- 90 14 800 ---

a) El50%centraldeenvasesseencuentraentreel 25P y 75P :

25

22 5 12150 10 153 8927

P , , − = + × =

75

67 5 61170 10 173 8217

P , , − = + × =

El50%centraldeenvasesseencuentraentre153,89y173,82gramos.b) Secalculaelporcentajekdeenvasesquepesanmenosde167gramosconelpercentilinverso;esdecir,setiene 167kP = quepertenecealintervalo[160;170)yalaplicarlafórmulaseobtiene:

0 9 39167 160 1022KkP , −

= = + ×

Luego, 60 44k ,=

Entonces,100 39 56k ,− =

Lacantidaddeenvasesquepesanalmenos167gramosesaproxi-madamente:

90 0 3956 35 61 36, ,× = ≅ c) Secalculalamodaylamedianadelasiguienteforma:

15150 10 157 515 5

Mo , = + × = +

45 39160 10 162 7322

Me , − = + × =

No se puede afirmar que el peso más frecuente es superior al pesomediano.

9. Elingresoensolesde120trabajadoresdeunaempresaseresumióenunatabladedistribucióndefrecuenciasde5intervalosdeamplitudconstanteiguala400.Elingresomínimoobservadofue200soles,laprimeraysegun-da frecuencia relativa simple son 0,10y 0,15, respectivamente. Se conocetambiénqueel80%delaspersonastieneuningresoinferiora1800solesyel60%tieneingresosinferioresa1400soles.Sepide:


a) Construyalatabladedistribucióndefrecuencias.b) ¿Cuántaspersonastienenuningresosuperioroiguala1000soles?c) ¿Cuáleselmontomínimodel25%delaspersonasdemayoresingresos?Presenteloscálculosempleados.

d) ¿Sepuedeafirmarquemásdelamitaddelaspersonastieneuningresosuperioralingresopromedio?Sustentesurespuesta.

e) ¿Cuántaspersonastienenuningresoinferiora1300soles?Presenteloscálculosempleados.

f) ¿Cuálseríaelnuevo ingresopromediode los trabajadoreselpróximomes,siseesperaquesusingresosseincrementenen15%más10solesporrefrigerio?

Solucióna) Latabladedistribucióndefrecuenciaseslasiguiente:

Ingresos xi fi hi Fi Hi xi fi

[200; 600) 400 12 0,10 12 0,10 4 800[600; 1000) 800 18 0,15 30 0,25 14 400[1000; 1400) 1200 42 0,35 72 0,60 50 400[1400; 1800) 1600 24 0,20 96 0,80 38 400

[1800; 2200) 2000 24 0,20 120 1 48 000Total --- 120 1 --- --- 156 000

b) Serefierealacantidaddepersonasconingresosentre1000ymenosde2200soles;esdecir,120–30=90personas.

c) Secalculaelpercentil 75P

75

90 721400 400 170024

P − = + × =

Elingresomínimodel25%delaspersonasdemayoresingresosesde1700soles.

d) Secalculalamediaylamediana:

156000 1300

120X = =

60 301000 400 1285 7142

Me , − = + × =

Comolamediaessuperioralamediana,entoncesmenosdelamitad

delaspersonastieneuningresosuperioralingresopromedio.e) Secalculaelporcentajekdepersonasquetienenuningresoinferiora1300solesconelpercentilinverso;esdecir,setiene 1300kP = queperte-necealintervalo[1000;1400)yalaplicarlafórmulaseobtiene:


1 2 301300 1000 40042KkP , −

= = + ×

Luego, 51 25k ,=

Lacantidaddepersonasquetienenuningresoinferiora1300solesesaproximadamente120 0 5125 61 5 62, ,× = ≅ .

f) SedefinelavariableY :nuevoingresodeltrabajador. 0 15 10 1 15 10X X X, ,= + + = +Y

ElnuevoingresopromedioportrabajadoreslamediaaritméticadeY,estoes: 1 15 10 1 15 1300 10 1505X, , = + = × + =Y

10. EldirectorejecutivodelalíneaaéreaVueloS.A.deseadeterminarlatasadecrecimientopromediodelosingresosapartirdelascifrasdelasiguien-tetabla.Silatasadecrecimientopromedioesinferioralpromediodelsec-tor,queesdel10%,seráprecisolanzarunanuevacampañadepublicidad.

Tabla 4.13 Ingresos anuales de la línea aérea Vuelo S. A.

Año Ingresos ($)

2012 50 000

2013 55 000

2014 66 000

2015 60 000

2016 78 000

¿Quédecisiónrecomendaríaustedsobrelanuevacampañapublicitaria?

SoluciónSecalculanlosfactoresdecrecimiento(FC)paracadaañoconlafórmula:

1

ii

i

xFC

x −

=

Losresultadosdeestecálculosepresentanenlasiguientetabla:

Año Ingresos ($) FCi

2012 50 000 ---

2013 55 000 1,10002014 66 000 1,20002015 60 000 0,90912016 78 000 1,3000


Luego, se calcula el factor de crecimiento promedio con la media geométrica:

4 1 1 1 2 0 9091 1 3 1 1176FC , , , , ,= × × × =

Entonces,latasadecrecimientoovariaciónporcentualpromedioes:

( )1 1176 1 100 11 76TC , , %= − × =

La tasade crecimientoovariaciónporcentualpromedio anualde in-gresosenlalíneaaéreaVueloS.A.estáporencimadel10%;porello,serecomiendanolanzarunanuevacampañadepublicidad.

11. ElcrecimientodelasventasdeloshipermercadosdeLimaCentroenlostresúltimosaños fue:26%,32%y28%, respectivamente.Halle la tasapromedioanualdelcrecimientodelasventas.

SoluciónSe tiene la variaciónporcentual (Var%)de las ventas para cada año; en-tonceslatasadecrecimiento(TC)decadaañoseobtienealdividirVar%entre100yelfactordecrecimiento(FC)seobtienesumando1alatasadecrecimiento:

1 1 2 3

100i

i i iVar

TC FC TC i%y ; , ,= = + =

Losresultadosdeestoscálculossemuestranenlasiguientetabla:

Año Var% TCi FCi

1 26 0,26 1,26

2 32 0,32 1,32

3 28 0,28 1,28

Luego, se calcula el factor de crecimiento promedio con la media geométrica:

3 1 26 1 32 1 28 1 2864FC , , , ,= × × =

Entonces,latasadecrecimientoovariaciónporcentualpromedioes:

( )1 2864 1 100 28 64TC , , %= − × =

Latasadecrecimientoovariaciónporcentualpromedioanualdelcreci-mientodelasventasfuede28,64%.


ejercicios y problemas propuestos 4.1

1. LaempresaAXZrealizóunestudioenuncentrocomercialcongranconcu-rrenciadeclientespordía.Losoperariosqueatiendenfueroncapacitadospararealizarfuncionesdelmismotipoyconrapidez.Semidiólostiempos(enminutos)hastaelprimerdescanso,duranteundíade trabajo,de losoperarios.Paraelestudiosetomóunamuestrade40operariosyserecolec-taronalgunosdatospersonales,quesepresentanacontinuación.

TiempoNúmero

dehermanos

Estadocivil Tiempo

Númerode

hermanos

Estadocivil

9,2 3 1 10,5 5 114,3 2 3 18,3 3 111,8 4 1 11,4 3 214,6 1 3 21,5 2 215,8 1 4 23,5 4 212,5 1 4 17,9 2 316,8 2 3 17,9 2 411,2 0 4 14,9 2 317,5 2 4 14,3 3 411,8 2 4 14,3 5 417,9 2 4 10,9 5 411,1 5 4 12,6 1 48,8 4 4 12,5 3 213,5 2 4 11,2 4 210,5 5 4 9,8 4 218,3 3 4 13,5 0 211,4 3 2 12,9 5 212,7 4 3 12,9 4 321,5 2 2 10,8 4 323,5 4 1 10,6 4 1

EstadoCivil:(1)casado(2)divorciado(3)separado(4)convivientea) ¿Cuáleseltiempopromediohastaelprimerdescansoporoperario?


b) ¿Cuál es el tiempo promedio hasta el primer descanso por operario casado?

c) ¿Cuáleselpromediodehermanosporoperariodivorciado?

2. Los resultados al lanzarundado200veces sepresentan en la siguientetabla:

xi 1 2 3 4 5 6

fi a 32 35 33 b 35

Determinaraybsabiendoquelapuntuaciónmediaes3,6.


3. Elpromediodelas6notasdeLenguajedeRositaes15.AfortunadamenteparaRosita, suprofesor eliminó supeornotay supromedio subió a 17.¿CuáleralapeornotadeRosita?


4. Invasaproduceenvasesdehojalatayhatenidounhistorialdediferenciasentrelosenvasesfabricadospordosmáquinas,unamáquinamoderna(A)yotradegeneraciónmás antigua (B).Para tenermayores argumentosyconocerquémáquinatrabajamejor,seseleccionaron20piezasproducidaspor cadaunay semidióeldiámetroexterior (encentímetros).Luegodetabularlosdatosdecadamáquina,sehanconstruidolassiguientestablasdedistribucióndefrecuenciasparaeldiámetro:

Tabla 4.14 Distribución de envases fabricados por las máquinas A y B según diámetro

Máquina A Máquina B

Diámetro xi fi Diámetro xi fi

[6,94; 7,06) 7,00 2 [7,05; 7,15) 7,1 1

[7,06; 7,18) 7,12 4 [7,15; 7,25) 7,2 4

[7,18; 7,30) 7,24 6 [7,25; 7,35) 7,3 3

[7,30; 7,42) 7,36 5 [7,35; 7,45) 7,4 5

[7,42; 7,54) 7,48 2 [7,45; 7,55) 7,5 4

[7,54; 7,66) 7,60 1 [7,55; 7,65) 7,6 3

a) Sieldiámetropromediorealdelprocesodeproducciónes7,2centíme-tros,indiqueenquémáquinassehaobtenidounpromediomásalejadodelpromedioreal.Justifiquenuméricamente.

b)Unanalistahaestablecidoqueelcostodeproducción,endólares,deunapiezaseencuentrarelacionadoconeldiámetroexteriordeesta,cum-pliéndoselasiguienterelación:

80 200X = ±Y ,donde Y =costodeproducciónyX=diámetro,¿entrequévaloresseencontraráelcostopromediodeproducciónporpiezaencadamáquina?


5. Lamediaaritméticade3númerossuperaalmenordeestosnúmerosen14unidadesyes10unidadesmenoresqueelmayordeellos.Sielvalorcentraldelos3númeroses25,entonceslasumadeestosnúmerosesiguala:

6. Elpromediode20númeroses25;siseleagregaunnúmeromáselprome-diosiguesiendoelmismo,¿cuáleselnuevonúmero?


7. Sesospechaqueunamáquinaautomáticaquellenalatasestátrabajandodemaneraerrática.Unaverificacióndelospesos(engramos)delcontenidodeunamuestrade60latasrevelólosiguiente:

Tabla 4.15 Distribución de latas según peso

Peso xi fi

[140; 150) 145 8[150; 160) 155 18[160; 170) 165 15[170; 180) 175 11[180; 190) 185 5[190; 200) 195 3

Total --- 60

a) Calculeeinterpretelamediaaritmética.

b) Sisetomaalazarunadelas60latasysupesoesde172gramos,¿encuántosgramossupesoestáporencimaopordebajodelpromedioqueustedhacalculadoconlamuestra?


c) ¿Cuáleselpesopromediodelcontenidodelaslatasquepesanentre150ymenosde190gramos?

d) Si se requierequeel contenidopromediopor lata seade170gramos,¿quéporcentajesedebeaumentarodisminuiralcontenidodecadalata?

e) Siseduplicaelnúmerodelatasdelamuestraencadaintervalodelatabladefrecuencia,¿cuáleselpesopromediodelcontenidodelaslatas?


8. Enlasiguientetablasepresentaladistribucióndeingresosdiariosde50trabajadoresdeunhotel:

Tabla 4.16 Distribución de trabajadores según ingresos diarios

Ingresos xi Fi

[60; 100) 5

[100; 140) 15

[140; 180) 35

[180; 220) 43

[220; 260) 50

Porincrementodelcostodevida,seplanteanlassiguientesalternativasdeaumento:• La primera propuesta consiste en un aumento general de 40 soles diarios.

• Lasegundapropuestaconsisteenunaumentodel25%.Siloquesequiereesaumentarelsalariopromedio,¿cuáldeestaspro-

puestaseslamejor?Justifique.

9. Uninvestigadordisponedelatabladedistribuciónacercadelnúmerodemeses(47)enqueseregistralaliquidezeconómicaqueexperimentóelsis-temafinanciero en el Perú. Sedeseadescribir la liquidez económica (enmillonesdesoles)duranteesteperiodo,utilizandomedidasestadísticasdetendencia central oposición. Losdatos resumidos sepresentan en la si-guientetabladefrecuencia:


Tabla 4.17 Liquidez económica mensual en el Perú

Liquidez xi fi xi fi

[137 431; 154 310) 7[154 310; 171 189) 4[171 189; 188 068) 13[188 068; 204 947) 7[204 947; 221 826) 4[221 826; 238 705) 12

Total 47

a) Calculelamediaaritméticaparaelconjuntodedatoseinterpretedichamedida.

b) Calculeeinterpretelamedianaparaesteconjuntodedatos.

c) Calculelamodaeinterpreteelvalorhallado.


d) Sirelacionalamedia,lamedianaylamoda,¿quétipodedistribuciónpresentanlosdatos?

e) ¿Eslamediaunamejormedidadetendenciacentralparaestosdatos?

f) ¿Entrequévaloresdeliquidezeconómicaseencuentrael50%centraldemeses?Utilicemedidasestadísticas.

g) ¿Cuáleslaliquidezeconómicamáximadel85%inferiordelosmeses?Utiliceunamedidaestadística.


h) ¿Quéporcentajedemesesregistraronunaliquidezeconómicainferiora180100millonesdesoles?Utiliceunamedidaestadística.

10. ElbibliotecariodelaUniversidaddeLimaencuestóa40personasalasa-lidade labibliotecay lespreguntócuántos libroshabíansolicitadoen laúltimasemana.Lasrespuestasfueronlassiguientes:

1 0 3 4 3 4 2 1 3 0 2 5 3 1 0 6 8 5 5 32 3 0 0 1 4 5 6 4 3 2 4 1 1 0 3 2 0 3 4

a) Calcule la media aritmética para el conjunto de datos e interprete dichamedida.

b) Calculeeinterpretelamedianaparaesteconjuntodedatos.

c) Calculelamodaeinterpreteelvalorhallado.


d) Relacionandolamedia,lamedianaylamoda,¿quétipodedistribuciónpresentanlosdatos?

e) ¿Eslamediaunamejormedidadetendenciacentralparaestosdatos?

f) ¿Entrequévaloresdelavariableseencuentrael60%centraldeperso-nas?Utilicemedidasestadísticas.

g) ¿Cuáleselnúmeromáximodelibrossolicitadosquepidieronel75%inferiordelosestudiantes?Utiliceunamedidaestadística.


11. LaMunicipalidaddeundistritodeLimaMetropolitana llevóa cabounestudioconlafinalidaddeconocerlageneraciónycomposiciónderesiduossólidosporhogar.Losresultadosobtenidosseresumenacontinuación.

Tabla 4.18 Composición de los residuos sólidos por hogar (en kg)

Composición Media Mediana ModaPapel 4,03 4,04 4,29Plástico 0,87 0,75 0,42Vidrio 1,93 1,61 0,66Otros 0,99 0,85 0,62Total 7,87 8,03 8,67

a) Elaboreungráficoquerelacionelamedia,lamedianaylamodaparacadacomposición.

b) Paracadacomposición,¿ladistribucióndelosdatosessimétrica,asimé-tricanegativaoasimétricapositiva?Expliquebrevementesurespuesta.


12. Una empresa constructora presenta un proyecto para la edificación dedepartamentosenunadeterminadazona.Respectoa losplanos inicialeshabrámodificacionesdeáreas,dependiendodelaprovechamientode losterrenos.Elnúmerodedepartamentos,asícomoelárea(enmetroscuadra-dos)decadauno,seresumeacontinuación:

Tabla 4.19 Distribución de departamentos según área de terreno en m2

Área Número de departamentos[50; 60) 30[60; 70) 25[70; 80) 14[80; 90) 11

¿Cuálseráelporcentajededepartamentoscuyasáreasestánentre68y83metroscuadrados?

13. EnlanotasemanaldelBancoCentraldeReservasepublicóeltotaldeex-portacionesdelPerú (enmillonesdedólares)desdemayodel2015hastaabrildel2016,quesepresentaenlasiguientetabla.


Tabla 4.20 Monto de exportación mensual del Perú en millones de dólares

Mes ExportacionesMayo 2661Junio 3199Julio 2850Agosto 3034Septiembre 2706Octubre 3084Noviembre 2899Diciembre 3224Enero 2473Febrero 2460Marzo 2813Abril 2750

¿Cuálfuelavariaciónporcentualpromediomensualenesteperiodo?

14. Losporcentajesdeparticipacióndelosestudiantesuniversitariosenlasac-tividadesdeproyecciónsocialdurantelosmesesdelprimerciclosufrieronelsiguienteaumento:elprimermes,8%;elsegundo,12%;eltercero,18%,yelcuarto,27%.¿Cuáleselporcentajedeaumentopromediomensual?

15. Elproductobrutointerno(PBI)delPerúdelosprimeros5mesesdel2016evolucionódelasiguientemanera:enero,3,4%;febrero,6,2%;marzo,3,7%;abril,2,5%,ymayo,4,9%.Hallelatasadecrecimientomensualpromediodelproductobrutointerno.


16. Unamáquinainyectorahatenidobajaproduccióndesdequefueadquirida.El gerente recibió del jefe demantenimiento la promesade incrementarlaproducción,porlomenos,enun5%promediomensualenel2016.Elgerentedeseasabersisehacumplidoloofrecido;paraello,hasolicitadolasproduccionesdelosprimeros6mesesdel2016,queseresumenenlasiguientetabla.

Tabla 4.21 Producción mensual de una fábrica en toneladas

Mes Enero Febrero Marzo Abril Mayo JunioProducción(t) 7,0 8,2 8,6 9,2 8,3 9,5

¿Sehacumplido lapromesadel jefedemantenimiento?Sustente su res-puestaconunamedidaestadística.


17. Losgastosenpublicidaddeunaempresaaumentaronun3,8%enenero;5,3%enfebreroy1,5%enmarzo.Silatasadecrecimientopromediomen-sualdelosgastosenpublicidaddurantelos4primerosmesesfue2,14%,¿cuálfuelatasadecrecimientodeabril?


3. meDiDas estaDísticas De Dispersión o variabiliDaD

Lasmedidasestadísticasdevariabilidadodispersiónnosindicansilosvaloresdeunavariableestánpróximosentresíodispersos.Tienenporobjetoalcanzarunvalorquemideelgradodevariabilidadodispersióndetodaslasmediciones.Unamedidadedispersiónovariabilidadnosdeterminaelgradodeacerca-

mientoodistanciamientodelosvaloresdeunadistribuciónfrenteasupromedio, sobrelabasedequeentremásgrandeseaelgradodevariación,menorunifor-midad tendrán los datos (sinónimo de heterogeneidad) y, por lo tanto,menor representatividaddelpromediocomomedidadetendenciacentral.Porelcontra-rio,sielgradodevariabilidadespequeño(respectodelpromedio),entonceshayunagranuniformidadentrelosdatos.Cuandolavariabilidades0quieredecirquetodoslosdatossoniguales.

Figura 4.5 Variabilidad del tamaño de las botellas de gaseosa

Alta variabilidad en tamaño Baja variabilidad en tamaño

Fuente: Gaseosas Perú (http://bit.ly/2tLV2xO) y Federal (http://bit.ly/2tPxfN0)

3.1 Clasificación de las medidas de dispersión o variabilidad

Lasmedidasestadísticasdevariabilidadseclasificanenabsolutasyrelativas.

3.1.1 Medidas absolutas de variabilidad

Sonvaloresexpresadosenlasmismasunidadesdelavariableenestudioy,portanto,nopermitencomparacionesoanálisisrespectodelamayoromenordis-persióndeseriesexpresadasendiferentesunidades.Lasprincipalesmedidasabsolutassonestas:

• Rangooamplitudtotal• Rangointercuartil• Desviaciónmedia• Varianza• Desviaciónestándar

Sabores

Cola Manzana Uva Naranja Toronja Lima- Colombia Kolanegra limón Roja


3.1.2 Medidas relativas de variabilidad

Sonmedidas adimensionales y no expresadas en ningunaunidad específica,queobvianelinconvenienteseñaladoparalasmedidasabsolutas.Conestasme-didas es posible la comparaciónde la variabilidad entredos omás seriesdedatos.Laprincipalmedidaeselcoeficientedevariación.

Figura 4.6 Clasificación de las medidas de variabilidad

Medidas de variabilidad

Medidas absolutasde variabilidad

Medidas relativasde variabilidad

Rango o amplitud

total

Rangointercuartil

Desviaciónmedia

Varianza Desviaciónestándar

Coeficientede

variación

Elaboración propia

3.2 Rango o amplitud total ( R )

Unaprimeramedida razonablede lavariabilidades el rangooamplitud total(tambiénllamadorecorrido)queseobtienecomoladiferenciaentreelvalormáxi-moyelvalormínimodelconjuntodeobservaciones.Secalculaconestafórmula:

R = xmáx – xmín

Esfácildecalcularyseexpresaenlasmismasunidadesquelavariable,aun-queposeevariosinconvenientes:

• Noutilizatodaslasobservaciones(solodosdeellas).• Puedeversemuyafectadaporalgunaobservaciónextrema.• Elrangoaumentaconelnúmerodeobservaciones,obiensequedaigual.Encualquiercasonuncadisminuye.

Ejemplo 4.21Elgerentedeuncentrocomercialdeventadepartesdecomputadoradeseaconocerelrangodevariacióndelascomisionesganadasporcadaagentedeventaenlasemanaanterior.Paratalfinseleccionóunamuestrade25agen-tes, a quienes se lespreguntó cuántohabíanganadode comisiones (X) lasemanapasada.Losdatosrecolectadosensolessonestos:

300 420 300 170 230 130 260 170 300 260 260 170 300420 70 80 260 440 80 300 420 230 130 230 300


Alcalcularelrangoseobtiene: 440 70 370R = − =

Elrangooamplitudtotal,esdecir,ladiferenciaentrelacomisiónmásaltaylamásbaja,es370soles.

3.3 Rango intercuartil (RQ)

Esladiferenciaentreeltercercuartil 3Q yelprimercuartil 1Q .Enotraspala-bras,elrangointercuartileslaamplitudorangodel50%centraldelosdatos.Secalculaconestafórmula:

3 1QR Q Q= −

Figura 4.7 Representación gráfica del rango intercuartil

25 % 50 % 25 %

Mín Q1 Q3 Máx

Ejemplo 4.22Lossueldosmensualesiniciales(endólares)deunamuestraaleatoriade12egresadosdeAdministracióndeunauniversidadprivadadeLimason lossiguientes:

Egresado Sueldo mensual inicial1 34502 35503 36504 34805 33556 33107 34908 37309 354010 392511 352012 3480

Primero,seordenanlosdatosdemenoramayoryluegosecalculanloscuartilesinferiorysuperior,talcomosemuestraacontinuación:

RQ


( )1 3450 0 25 3480 3450 3457 5Q , ,= + − =

( )3 3550 0 75 3650 3550 3625Q ,= + − =

25 % de datos 50 % de datos 25 % de datos

x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) x(6) x(7) x(8) x(9) x(10) x(11) x(12)

3310 3355 3450 3480 3480 3490 3520 3540 3550 3650 3730 3925

Q1 = 3457,5 Q3 = 3625

Luego,secalculaelrangointercuartilcon: 3625 3457 5 167 5QR , ,= − =

El50%centraldeegresadosdeAdministracióntienensueldosqueseen-cuentranentre3457,5y3625dólares,queequivaleaunrangointercuartilde167,5dólares.

3.4 Desviación media (Dm)

Sedefinecomoelpromediodelasdiferenciasenvalorabsolutodelosdatosdelavariablerespectodelamediaaritmética.

3.4.1 Cálculo de la desviación media con datos no agrupados

Sitenemosunconjuntodenobservaciones,x1,x2,...,xn,entoncesladesviaciónmediasecalculacon:

1

1 nm i

iD x X

n == −∑

Ejemplo 4.23Acontinuación,sepresentanlostiemposdeespera(enminutos)de11clien-tesparaseratendidosenlaventanilladeunbanco:

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11

15 10 20 11 8 15 9 12 18 11 14

Lamediaaritméticadelosdatoses:

15 10 14 13

11X + +…+= =


Luego,ladesviaciónmediadelosdatoses

15 13 10 13 14 133 09

11mD ,− + − +…+ −

= =

Enpromedio,eltiempodeesperadeunclientesedesvíadeltiempome-diodeesperaen3,09minutos.

3.4.2 Cálculo de la desviación media con datos agrupados

Silosdatosestánagrupadosenunatabladefrecuencia,ladesviaciónmediasecalculacon:

1

1 km i i

iD x X f

n == −∑

Donde: xi=valordelamarcadeclasei fi=frecuenciaabsolutasimpledelamarcadeclasei

Ejemplo 4.24RetomandoelestudioeneldistritodeVentanillasobrelaedaddelostrabaja-doresdeldistritoquesolicitaronsujubilación,serequierecalculareinterpre-tarladesviaciónmediadeestasedades.Semuestranloscálculosnecesariosenlasiguientetabla.


Edad xi fi xi fi−i ix X f

[63; 68) 65,5 71 4650,5 606,34[68; 73) 70,5 162 11 421,0 573,48[73; 78) 75,5 91 6870,5 132,86[78; 83) 80,5 79 6359,5 510,34[83; 88) 85,5 47 4018,5 538,62Total --- 450 33 320,0 2361,64


33320 74 04450

X ,= =

Luego,sudesviaciónmediaes:

5

1

1 2361 64 5 25450m i i

iD x X f

n , ,

== − = =∑

Enpromedio,laedaddejubilacióndeuntrabajadorsedesvíadelaedadmediadejubilaciónen5,25años.


3.5 Varianza (S2)

Lavarianzaeselpromediodeloscuadradosdelasdesviacionesdelosdatosres-pectoasumedia.Siconsideramoslasdesviacionesrespectoalamediaalcuadra-do,envezdetomarelvalorabsoluto,logramosquetodoslossumandostenganelmismosigno(positivo)ysepuedacalcularelpromediodeestos.Estaformademedirladispersióndelosdatospermitequesuspropiedadesmatemáticasseanmásfácilesdeutilizar.Sinembargo,lavarianzapresentaelinconvenientedenotenerlamismadimensiónquelasobservaciones,yaqueseexpresaenunidadescuadradas(porejemplo,silasobservacionessemidenenmetros,lavarianzalohaceenmetrosalcuadrado),loquedificultasuinterpretación.

3.5.1 Cálculo de la varianza con datos no agrupados

SitenemoslosdatosobservadosdelavariableXparaunamuestradetamañon,representadospor 1 2 nx x x, ..., , ,entonceslavarianzadelamuestrasecalculaconlafórmulasiguiente:

( )22

1

11

n

x ii

S x Xn =

= −∑−

Eldesarrollodelafórmulaanteriores:

( )2 2 2 2 212 1 1 1 12 2

1 1 1

n n n n ni i i i i ii i i i

xx X x x X X x X x X

Sn n n

( )= = = = =−∑ − + − +∑ ∑ ∑ ∑= = =

− − −

2 2 2 2 21 12

1 1

n ni ii ix nX nX x nX

n n = =− + −∑ ∑= =

− −

Luego,otraformadecalcularlavarianzaesconestafórmula:2 2

2 1

1

ni i

xx nX

Sn

= −∑=−

Observación:Cuandosecalculalavarianzautilizandotodoslosdatosdeunapoblación,estasedenominavarianzapoblacionalysedenotacon 2

xσ .

Ejemplo 4.25A continuación, se presentan los tiempos de espera (en minutos) de unamuestrade11clientesparaseratendidosenlaventanilladeunbanco.

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11

15 10 20 11 8 15 9 12 18 11 14

Lamediaaritméticadeestosdatoses:

15 10 14 13

11X + +…+= =


Luego,lavarianzadelamuestraes:

( ) ( ) ( )2 2 22 15 13 10 13 14 13

14 211 1xS ,

− + − +…+ −= =

−

Lavarianzadelostiemposdeesperadelamuestraresulta14,2minutosalcuadrado.Notieneinterpretaciónpráctica.

3.5.2 Cálculo de la varianza con datos agrupados

Si tenemos los datos observados de una muestra de tamaño n, resumidos enunatabladefrecuencias,entonceslavarianzadelamuestrasecalculacon estafórmula:

( )22

1

11

k

x i ii

S x X fn =

= −∑−

Dondexi =valordelamarcadeclaseifi =frecuenciaabsolutasimpledelamarcadeclasei

Eldesarrollodelafórmulaanterioreselsiguiente:

( )2 2 212 1 2

1 1

k ki i i i i i i

xx X f x x X X f

Sn n

( )= =−∑ − +∑= =− −

2 2 2 2 21 1 1 1 12 2

1 1

k k k k ki i i i ii i i i i i i ix f X x f X f x f nX X f

n n = = = = =− + − +∑ ∑ ∑ ∑ ∑= =

− −

2 2 2 2 21 12

1 1

k ki ii ii ix f nX nX x nX

n nf

= =− + −∑ ∑= =− −

Luego,laotraformadecalcularlavarianzaesconestafórmula:

2 22 1

1

ki i i

xx f nX

Sn

= −∑=−

Ejemplo 4.26Sehatomadounamuestrade30alumnosdelaEscueladeNegociosyseleshapreguntadoporelnúmerodeasignaturasdesaprobadas(X)enelsemes-treanterior.Losdatosrecolectadosseresumieronenlasiguientetablayconestosserequierecalcularlavarianza.


Tabla 4.23 Distribución de alumnos según asignaturas desaprobadas

xi fi xi fi2i ix f

0 1 0 0

1 2 2 2

2 4 8 16

3 12 36 108

4 9 36 144

5 2 10 50

Total 30 92 320

Secalculalamediaaritméticaconestafórmula:

61 92 3 067

30 30i i ix f

X ,=∑= = =

Luego,secalculalavarianza:

2 26 22 1 320 30 3 067 1 3036

1 29i i i

xx f nX

Sn

( , ) ,= − −∑= = =−

Lavarianzadelnúmerodecursosdesaprobadoses1,3036unidadescua-dradas.Notieneinterpretaciónpráctica.

Ejemplo 4.27Conlafinalidaddeconocerlavarianzadelosgastossemanales(ensoles)delpersonaladministrativodeunaempresadecementoenLima,enenerodel2016,seseleccionóunamuestrade30personas.Losdatosresumidosy loscálculosnecesariossepresentanenlasiguientetabla:

Tabla 4.24 Distribución de empleados según gasto semanal

Gasto xi fi xi fi2i ix f

[200; 400) 300 0 0 0[400; 600) 500 1 500 250 000[600; 800) 700 4 2800 1 960 000[800; 1000) 900 9 8100 7 290 000[1000; 1200) 1 100 16 17 600 19 360 000

Total --- 30 29 000 28 860 000

Secalculalamediaaritmética:

5

1 29000 966 66730 30

i i ix fX ,=∑= = =


Luego,secalculalavarianza:

2 25 22 1 28860000 30 966 667 28 505 08

1 29i i i

xx f nx

Sn

( , ) ,= − −∑= = =−

La varianza del gasto del personal administrativo seleccionado es 28505,08solesalcuadrado.Notieneinterpretaciónpráctica.

3.5.3 Propiedades de la varianza

a) Paracualquierconjuntodedatos,lavarianzaessiempreunacantidadnonegativa.

2 0xS ≥

b) Silasobservacionestienenvaloresiguales,entonceslavarianzaes0;esdecir,lavarianzadeunaconstantees0.Si ix c i = ∀ ,entonces:

2 2 0x cS S= =

c) Lavarianzadelproductodeunaconstanteporunavariable es igual alcuadradodelaconstanteporlavarianzadelavariable;esdecir,si cX=Y ,entonces:

2 2 2y xS c S=

d) Lavarianzadelasumadeunavariablemás(omenos)unaconstanteesigualalavarianzadelavariable;esdecir,si X c= ±Y ,entonces:

2 2y xS S=

e) Engeneral,lavarianzacumpleconlasiguientepropiedad:si aX b= ±Y ,entonces:

2 2 2y xS a S=

3.6 Desviación estándar (S)

Elproblemadelavarianzaesquenotieneinterpretaciónprácticaporsusuni-dadescuadráticas.Siqueremosque lamedidadedispersiónseade lamismadimensiónque lasobservaciones,bastarátomarsuraízcuadrada.Porello,sedefineladesviaciónestándarcomolaraízcuadradapositivadelavarianza:

( )21

1

ni i

xx X

Sn

,paradatosnoagrupados= −∑=

−,paradatosnoagrupados

( )21

1

ki i i

xx X f

Sn

,paradatosagrupados= −∑=

−,paradatosagrupados

2 22 1

1

ki i i

xx f nX

Sn

= −∑=−


Ladesviaciónestándarmide lacantidad típicaenque losvaloresdelcon-juntodedatosdifierendelamediaaritmética(HankeyReitsch,1997).Porestarazón,algunosautoresladenominan“desviacióntípica”.ObservaciónCuandosecalculaladesviaciónestándarutilizandotodoslosdatosdeunapo-blación,estasedenominadesviaciónestándarpoblacionalysedenotacon x .σ

Ejemplo 4.28En el ejemplo 4.27 se calculó la varianza de los gastos semanales (en soles)deunamuestradelpersonaladministrativodeunaempresadecemen-toenLima.Enesecaso,ladesviaciónestándarresulta:

28505 08 168 83xS , ,= =

Sepuededecirquelacantidadtípicaenquelosgastossemanalesdelostrabajadoresdifierendelgastosemanalpromedioes168,83soles.

3.6.1 Propiedad de la desviación estándar

a) Paracualquierconjuntodedatos,ladesviaciónestándaressiempreunacantidadnonegativa.

0xS ≥

b) Silasobservacionestienenvaloresiguales,entoncesladesviaciónestándares0;esdecir,ladesviaciónestándardeunaconstantees0.Si ix c i = ∀ ,entonces:

0x cS S= =

c) Ladesviaciónestándardelproductodeunaconstanteporunavariableesigualalaconstanteporladesviaciónestándardelavariable;esdecir,si

cX=Y ,entonces:

y xS c S| |=

d) Ladesviación estándarde la sumadeunavariablemás (omenos)unaconstante, es igual a la desviación estándar de la variable; es decir, si

aX b= ±Y ,entonces: y xS S=

e) Engeneral, ladesviaciónestándarcumpleconlosiguiente:si X b,= ±Y entonces:

y xS a S=

f) La desviación estándar tiene la propiedad de que en el intervalo( )2 2x xX S X S;− + seencuentra,almenos,el75%delasobservaciones.Inclusosi tenemosmuchosdatosyestosprovienendeunadistribuciónsimétrica,podremosllegaral95%omás.

aX b= ±Y

X b,= ±Y aX b= ±Y


Ejemplo 4.29Enuncentrocomercialdeventadepartesdecomputadora,seseleccionóunamuestrade25agentesdeventa,aquienesselespreguntócuántohabíanga-nadodecomisiones(X)lasemanaanterior.Losdatosrecolectados,ensoles,sonestos:

300 420 300 170 230 130 260 170 300 260 260 170 300420 70 80 260 440 80 300 420 230 130 230 300

a) Si las comisiones de los agentes se incrementaron en 10 %, más unabonificaciónde20soles,calculeeinterpreteladesviaciónestándar.

b) ¿Quéporcentajededatosseconcentraenelintervalo( )2 2x xX S X S; ?− +

Solución: a) Lamediaaritméticadelosdatoses

251 300 420 230 300 6230 249 20

25 25i ix

Xn

,= + +…+ +∑= = = =

Lavarianzaydesviaciónestándardelosdatoses:

2 225 22 1 1830100 25 249 2 11 566

1 24i i

xx nX

Sn

( , ) = − −∑= = =−

11566 107 55xS ,= =

SedefinelavariableY:comisión más el aumento,entoncesseobtieneesto: 1 1 20Y X,= +

1 1 1 1 107 55 118 31y xS S, , , ,= = × =

Sepuededecirquedespuésdelaumento,lacantidadtípicaenquelascomisionesdifierendelacomisiónpromedioesde118,31soles.

b) Conestosdatoselintervaloeseste:

( ) ( ) ( )2 2 249 2 2 107 55 249 2 2 107 55 34 1 464 3x xX S X S; , , ; , , , ; ,− + = − × + × =

Porlotanto,observamosqueenestecasoel100%delosdatosestánenelintervalo ( )34 1 464 3, ; , ,talcomoindicalapropiedadfdeladesviaciónestándar.

3.7 Coeficiente de variación (CV )

Eslamedidarelativadevariabilidadquesedefinecomolarelaciónentrelades-viaciónestándarylamediaaritmética.Dichoconceptoseutilizaparacalcularelniveldedesviacióndeunaseriededatosrespectodelvalorpromedioomediaaritméticayestádadoporlafórmula:

100xx

SCV

X= ×


Elcoeficientedevariaciónseexpresaenporcentajeyseutilizaparalosiguiente:• Medirelgradodevariabilidaddeunconjuntodedatos.• Compararelgradodevariabilidadentredosomásdistribuciones,auncuandolasunidadesdemedidadelasvariablesestánexpresadasendife-rentesunidadesoescalasdemedición.

Veamosalgunasconsideracionesdelcoeficientedevariación:• Elcoeficientedevariaciónsolosedebecalcularparavariablesqueasu-menvalorespositivos.Todamedidadevariabilidadesesencialmentenonegativa.Lasobservacionespuedenserpositivasonulasysuvariabilidaddebesersiemprepositiva.

• Cuandoladesviaciónestándaresmuypequeña,elcoeficientedevariacióntambiénespequeño,loquenosindicaquelosvaloresseencuentranmuyconcentradosrespectodelamedia.Encambio,cuandoelvalordeladesvia-ciónestándaresmuygrande,elcoeficientedevariaciónesgrandeyhastapodríasuperarel100%,loquenosindicaquelosdatossonmuydispersos.

3.7.1 Interpretación del coeficiente de variación

Una escala de interpretación del coeficiente de variación en fenómenos no controladoscomolosnaturales,sociales,deportivos,culturales,entreotros,eslasiguiente:

Rango del CVx Interpretación Nivel de variabilidad

0%<CVx<5% DatosmuyhomogéneosBajavariabilidad

5%≤CVx<10% Datoshomogéneos

10%≤CVx<15% Datosregularmentehomogéneos Moderadavariabilidad15%≤CVx<20% Datosregularmenteheterogéneos

20%≤CVx<25% DatosheterogéneosAltavariabilidad

CVx ≥ 25% Datosmuyheterogéneos

Ejemplo 4.30Conlafinalidaddeconocerladispersióndelosgastossemanales(ensoles)delpersonaladministrativodeunaempresadecementoenLima,enenerodel2016,seseleccionóunamuestrade30personas.Losdatosresumidosyloscálculoscorrespondientessepresentanenlasiguientetabla:



Gasto xi fi xi fi2i ix f

[200; 400) 300 0 0 0[400; 600) 500 1 500 250 000[600; 800) 700 4 2800 196 000[800; 1000) 900 9 8100 729 000[1000; 1200) 1100 16 17 600 1 936 000

Total --- 30 29 000 28 860 000


51 29000 966 667

30 30i i ix f

X ,=∑= = =

Respectivamente,lavarianzayladesviaciónestándarson:

2 25 22 1 28860000 30 966 667 28505 08

1 29i i i

xx f nX

Sn

( , ) ,= − −∑= = =−

28505 08 168 83xS , ,= =

Luego,elcoeficientedevariaciónes:

168 83 100 17 47966 667xCV , , %,

= × =

Comoel xCV estáentre15%y20%,lavariabilidaddelosgastossemana-lesdelpersonaladministrativodelaempresadecementoesmoderaday,portanto,songastosregularmenteheterogéneos.

Ejemplo 4.31Conelpropósitodecompararlahomogeneidaddelasutilidadesmensuales(ensoles)entrepequeñasygrandesempresasdelsectortransporte,sehanseleccionado2muestrasdeestetipodeempresas,cuyosresultadosseresu-menacontinuación:

Tipo de empresa n X S

Pequeñaempresa 40 6 500 430

Granempresa 25 68 700 14 500

Elcoeficientedevariaciónparalaspequeñasempresases:

1

430 100 6 626500

CV , %= × =


Elcoeficientedevariaciónparalasgrandesempresases:

2

14500 100 21 1168700

CV , %

= × =

Como 1 2CV CV ,< seconcluyequelaspequeñasempresasgeneranutili-dadesmáshomogéneasentreellas(solo6,62%devariabilidad)encompara-ciónconlasgrandesempresas(con21,11%devariabilidad).

3.8 Comparación de la desviación media con la desviación estándar

Laprincipaldeficienciadeladesviaciónmediaydeladesviaciónestándarsedebeaqueambasmedidaspromedianlasdesviacionespositivas;estoes,quenoreconoceelsignodelasdesviaciones.Ladesviaciónmediaarrojalosvaloresabsolutosdelasdesviacionesdelosdatosrespectodelamedia,yladesviaciónestándareslaraízdelpromediodelasdesviacionescuadráticas.Noobstantequeladesviaciónmediaesunamedidaintuitivadeladisper-

sión,tambiénresultaserinconveniente,yaqueapartirdeellanosepuedenob-tenerotrasmedidasestadísticas.Sinembargo,apartirdeladesviaciónestándarsíseobtienenmedidasimportantes,comoelcoeficientedevariaciónyelcoefi-cientedeasimetríadePearson,medidasestudiadasenlasseccionesposteriores.Tanto ladesviaciónmediacomo ladesviaciónestándarseexpresanen las

mismasunidadesquelavariabledeinterés;esdecir,tienenlasmismasdimen-sionesquelasobservaciones.Paraelcálculodeladesviaciónmedia,lasumadevaloresabsolutosesrelativamentesencilla,peroestasimplicidadtieneunincon-venientedesdeelpuntodevistaalgebraico:elvalorabsolutoesunaoperaciónnoalgebraica(lasoperacionesalgebraicasincluyenlasuma,elproducto,laraízcuadradaylaelevaciónapotenciasenterasofraccionarias,peroelvalorabsolu-tonoestáincluido).Elusodevaloresabsolutoscreaproblemasalgebraicosenlosmétodosinferencialesdelaestadística.Porejemplo,parahacerinferenciasdelasmediasdedospoblaciones,serequierelapropiedaddesumadevarianzas,peroladesviaciónmedianoposeetalpropiedaddeadición.Encontraste,ladesvia-ciónestándarutilizaúnicamenteoperacionesalgebraicas.Ladesviaciónestán-darseasemejaalasfórmulasnaturalesdedistanciaqueseempleanenálgebra,puestoquesebasaenlaraízcuadradadeunasumadecuadrados(Triola,2009).



1. InformaticSystemsS.A.emprendióunestudioparadeterminarelcompor-tamientodeunsistemadegrabacióndeprogramasinformáticos.Paraqueelprocesofuncioneadecuadamente,eltiempodegrabaciónporlotesdebeestarentre9,2y10segundos.Seinstalarondossistemasdegrabación,unsistemaantiguoyotronuevo,ysetomaronlecturasdeltiempodegraba-ción.Seobtuvieronlosdatosquesemuestranenlassiguientestablas:Sistemaantiguo:

8,05 8,72 8,72 8,8 9,55 9,7 9,73 9,8 9,8 9,89,84 9,87 9,87 9,95 9,97 9,98 9,98 10 10,01 10,0210,03 10,05 10,05 10,12 10,15 10,15 10,26 10,26 10,29 10,55

Sistemanuevo:

8,51 8,65 8,68 8,72 8,78 8,8 8,82 8,82 8,83 9,149,19 9,27 9,35 9,36 9,37 9,39 9,43 9,48 9,49 9,549,55 9,6 9,63 9,64 9,7 9,75 9,85 9,98 9,98 9,989,98 10,03 10,05 10,05 10,09 10,1 10,12 10,12 10,15 10,15

a) Calculae interpretaelrangoordinarioyelrangointercuartildecadamuestra.

b) Calculaeinterpretaladesviaciónmediadecadamuestra.c) Calculaeinterpretaladesviaciónestándardecadamuestra.d) Calculaeinterpretaelcoeficientedevariacióndecadamuestra.e) Indiqueconcuáldelosdossistemaselprocesodegrabacióntieneunfuncionamientomásadecuado.

Solucióna) Paraelsistemaantiguoseobtiene:

10 55 8 05 2 5R , , ,= − =

Laamplitudtotaldelostiemposdegrabaciónemitidosporelsistemadegrabaciónantiguoes2,5segundos.Demanerasimilar,respectivamente,elprimerytercercuartilson:

( )1 9 73 0 75 9 80 9 73 9 7825Q , , , , ,= + − =

( )3 10 05 0 25 10 12 10 05 10 0675Q , , , , ,= + − =

Luego,elrangointercuartiles: 10 0675 9 7825 0 285QR , , ,= − =

Laamplituddel50%centraldelostiemposdegrabaciónemitidosporelsistemadegrabaciónantiguoes0,285segundos.Paralaubicaciónnuevaseobtiene:

10 15 8 51 1 64R , , ,= − =


Laamplitudtotaldelostiemposdegrabaciónemitidosporelsistemanuevoes1,64segundos.Demanerasimilar,respectivamente,elprimerytercercuartilson

( )1 9 14 0 25 9 19 9 14 9 1525Q , , , , ,= + − =

( )3 9 98 0 75 9 98 9 98 9 98Q , , , , ,= + − =

Luego,elrangointercuartiles: 9 98 9 1525 0 8275QR , , ,= − =

Laamplituddel50%centraldelostiemposdegrabaciónemitidosporelsistemadenuevoes0,8275segundos.

b) Paraelsistemaantiguoseobtiene:

294 07 9 8023

30X , ,= =

8 05 9 8023 10 55 9 8023 10 71 0 356930 30mD

, , , , , ,− +…+ −

= = =

Enpromedio,eltiempodeunagrabaciónemitidoporelsistemaan-tiguosedesvíadeltiempopromediodegrabaciónen0,3569segundos.Paraelsistemanuevoseobtiene:

380 12 9 50340

X , ,= =

8 51 9 503 10 15 9 503 16 954 0 4238540 40mD

, , , , , ,− +…+ −

= = =

Enpromedio,eltiempodeunagrabaciónemitidoporelsistemanue-vosedesvíadeltiempopromediodegrabaciónen0,42385segundos.

c) Paraelsistemaantiguoseobtiene:

( ) ( )2 22 8 05 9 8023 10 55 9 8023 8 4837 0 2925

29 29xS, , , , , ,

− +…+ −= = =

0 2925 0 5408xS , ,= =

Sepuededecirquelacantidadtípicaenquelostiemposdegrabacióndelsistemaantiguodifierendeltiempopromedioes0,5408segundos.Paraelsistemanuevosetieneque:

( ) ( )2 22 8 51 9 503 10 15 9 503 10 1252 0 2596

39 39xS, , , , , ,

− +…+ −= = =

0 2596 0 5095xS , ,= =

Sepuededecirquelacantidadtípicaenquelostiemposdegrabacióndelsistemanuevodifierendeltiempopromedioes0,5095segundos.


d) Paraelsistemaantiguo:

0 5408 100 5 529 8023xCV , , %,

= × =

Elniveldevariabilidaddelostiemposdegrabaciónconelsistemaantiguoes5,52%,quecorrespondeabajavariabilidad.Paraelsistemanuevo:

0 5095 100 5 369 503xCV , , %,

= × =

Elniveldevariabilidaddelostiemposdegrabaciónconelsistemanuevoes5,36%,quecorrespondeabajavariabilidad.

e) Alresumirlosresultados,seobtiene: Ubicaciónantigua: 9 8023 5 52xX CV, ; , %= =

Ubicaciónnueva: 9 503 5 36xX CV, ; , %= =

Ambossistemasemiten tiemposdegrabaciónpromedioqueestánentre9,2y10segundos,peroconelnuevosistemalostiemposdegraba-ciónsonligeramentemáshomogéneosqueconelsistemaantiguo.Portanto,elsistemanuevoeselmásadecuado.

2. Unaempresadeestudiosdemercadoharealizadounainvestigaciónparaaveriguarelgastomensual (ensoles)encervezade losconsumidoresdedossupermercadosdeLimaMetropolitana,MonterreyyTía.Paraelestu-diosehanconsiderado tamañosdemuestrade500y700consumidores,respectivamente.Losresultadosobtenidossepresentanen lassiguientestablas:

Tabla 4.26 Distribución de consumidores del supermercado Monterrey según

gasto en cerveza

Gasto en cerveza ix if

[20; 40) 30 120[40; 60) 50 140[60; 80) 70 100

[80; 100) 90 80[100; 120) 110 30[120; 140) 130 20[140; 160] 150 10

Total 500

Tabla 4.27 Medidas estadísticas de resumen

de los gastos en cerveza en el supermercado Tía

Medida Valor

Media 84,4Desviaciónestándar 29,97Mediana 78,57Moda 66,67Percentil25 60,71Percentil75 103,75Mínimo 40Máximo 180


a) Enpromedio,¿encuálsupermercadoelconsumodecervezaesmayor?b) ¿Encuáldelossupermercadoselgastodeconsumodecervezaesmáshomogéneo?

SoluciónPararesponderlaspreguntas,secalculanlosgastosdeconsumopromedioyelcoeficientedevariacióndelosgastosencadasupermercado.ParaelsupermercadoMonterrey,seobtienelosiguiente:

Gasto en cerveza xi fi xi fi2i ix f

[20; 40) 30 120 3600 108000[40; 60) 50 140 7000 350000[60; 80) 70 100 7000 490000[80; 100) 90 80 7200 648000[100; 120) 110 30 3300 363000[120; 140) 130 20 2600 338000[140; 160] 150 10 1500 225000

Total 500 32 200 2 522 000

32200 64 4

500X ,= =

( )22 2522000 500 64 4898 44

499xS ,

,− ×

= =

898 44 29 97xS , ,= =

29 97 100 46 5464 4xCV , , %,

= × =

ParaelsupermercadoTía,seobtiene:

29 9784 4 100 35 5184 4

X CV ,, ; , %,

= = × =

a) EnelsupermercadoTía,elgastopromediodeconsumodecervezaes84,4solesyenMonterreyes64,4.EnelsupermercadoTíaesmayorelconsumopromedio.

b) EnelsupermercadoTía,elgastodeconsumodecervezaesmáshomo-géneo:suniveldevariaciónesdel35,51%mientrasqueenMonterreyes46,54%.

3. Unauniversidadhadecididoprobar3nuevostiposdefocos.Tienen3aulasidénticaspararealizarelexperimento.Elfoco1tieneunavidamediade1470horasyunavarianzade156horasalcuadrado.Elfoco2tieneunavidamediade1400horasyunavarianzade81horasalcuadrado.Lavidamedia


delfoco3es1350horasconunadesviaciónestándarde6horas.Clasifiquelosfocosentérminosdelavariabilidadrelativa.¿Cuáleseltipodefocomáshomogéneoensuduración?

SoluciónParaelfoco1,seobtiene:

21470 156 156 12 49x xX S S ; ; , = = = =

12 49 100 0 851470xCV , , %

= × =

Paraelfoco2,resulta:

2 91400 81 81 9 100 0 64

1400x x xX S S CV ; ; ; , %

= = = = = × =

Paraelfoco3,seobtiene

61350 6 100 0 441350x xX S CV ; ; , %

= = = × =

Elfocodetipo3eselmáshomogéneoenladuración,puespresentaelmenorcoeficientedevariación.

4. Lossiguientesdatosserefierenalaventadiaria(ensoles)detrestiendasdedicadasa laventadeartículosde ferretería.Esta informaciónse tomódurantelosúltimosdiezdías:

10 10 2

1 14000 1625000i i

i i: x xTiendaA ;

= == =∑ ∑

10

16 7 6000x i

iCV xTiendaB : , %;

== =∑

2 2025 770x: S XTiendaC ;= =

¿Quétiendatienemejorventasdiarias?Justifiquesurespuesta.

SoluciónParalatiendaA,seobtiene:

( )22 1625000 10 4004000 400 2777 7810 9xX S

; ,

−= = = =

52 702777 78 52 70 100 13 18400x xS CV , , , ; , %= = = × =

ParalatiendaB,resulta:

6000 600 6 710 xX CV; , %= = =


ParalatiendaC,seobtiene: 2770 2025 2025 45x xX S S; ; = = = =

45 100 5 84770xCV , %= × =

LatiendaCtienemejoresventasdiarias,conunpromediode770pordía(elmayorpromedio).Además,latiendaCtienelasventasmáshomogéneasalpresentarelmenorcoeficientedevariación(5,84%).Porlotanto,latiendaCtienelasmejoresventasdiarias.


1. LapapeleraAtlasutilizadosmáquinas(AyB)paracortarpapelbondconunamedidaporhojade12centímetrosdelargo.Acontinuación,sepresentaunamuestrade8hojasbondseleccionadasdeunlotedelamáquinaAy7hojasseleccionadasdeotrolotedelamáquinaB,ambasconmedidasencen-tímetros.LapapeleraAtlasdeberáutilizarlamáquinaquecortelashojasconlamayorprecisiónensustamaños.¿Cuáldelasmáquinasdeberáutilizar?


12,2 12,211,9 11,911,8 11,512,1 12,111,9 12,212,4 11,911,3 11,812,3


2. Haysospechasdequeunamáquinaautomáticaquellenaenvasesestátra-bajandodemaneraerrática.Unaverificacióndelospesos(engramos)delcontenidodeunamuestradeenvasesrevelólosiguiente:

Tabla 4.28 Distribución de envases según peso

Peso xi fi

[140; 150) 145 12[150; 160) 155 27[160; 170) 165 22[170; 180) 175 17[180; 190) 185 7[190; 200) 195 5

a) ¿Cuáleslacantidadtípicaenlaquelospesosdelosenvasesdifierendelpesopromedio?

b) Calculeeinterpreteelniveldevariabilidaddelospesosdelosconteni-dosdelosenvasesdelamuestra.


3. LajuntadirectivadelGrupoIntercorpestáconsiderandoadquirirunaodoscompañías; por ello, examinaminuciosamente la administraciónde cadaunadeestasconelfindehacerunatransacciónlomenosriesgosaposible.Durantelosúltimoscincoaños,laprimeradelascompañíastuvouna

recuperaciónmediadeloinvertidodel28%,conunadesviaciónestándardel5,3%.Laotratuvounarecuperaciónmediadeloinvertidodel37,8%,conunadesviaciónestándardel4,8%.Siconsideramosriesgosoasociarseconunacompañíaquetengaunaaltadispersiónrelativaenlarecupera-ción,¿cuáldeestasdoshaseguidounaestrategiamásriesgosa?

4. LaempresaHiguchitiene150proveedoresenPerúyEcuador.Acontinua-ción,sepresentaunresumendelasmedidasestadísticasacercadelvalordeventas(enmilesdesoles)desusproveedores:

Medida n X Mo xS Mín Máx 1Q 3Q

Valor de ventas 150 128,1 81,0 162,7 2,0 1019,0 38,7 138,2

a) Calculeeinterpreteelrangooamplitudtotal.


b) Calculeeinterpreteelrangointercuartil.

c) Calculeeinterpreteelcoeficientedevariación.

5. Enunaempresa, ladistribucióndesalariosdelostrabajadorestieneunamediaaritméticade150solesyunadesviaciónestándarde25soles.Comosoluciónaunconflictolaboral,seproponen2alternativas:a) Unaumentogeneraldel60%delossalarios.b) Unaumentogeneraldel40%delossalariosyunabonificaciónadicionalde30solesacadatrabajador.

¿Cuáldelasalternativaspropuestasleconvienerechazaralostrabajadores?Justifiquesurespuesta.


6. SepideaunapersonarecientementeformadaenAdministraciónqueana-licelavariabilidaddelospreciosdelasaccionesde3compañíasdiferentesparaayudaralgerentedeunbancoainvertirenunfondofiduciario.Las3compañíaspertenecenalmismosectorysehanvistoafectadasporunarecientemodificaciónde lasreglamentacionesoficiales.Por tal razón, las16semanasanterioressonindicativasdemarchafutura.Lasaccioneshanpagadodividendosparecidoshastaahora,yeseeselcriterioprincipaldelgerente.Peropara evitar la especulación, el gerenteprefiere tambiénac-cionesquenofluctúenmuchoensuscotizaciones.Sedanenseguida lascotizacionessemanalesalcierredeoperacionesdelastresaccionesenlas16semanasanteriores.

Acción A Acción B Acción C90 94 94 97 98 96100 102 97 106 93 105105 101 112 94 115 9498 106 96 97 102 10197 98 106 99 92 10298 99 113 11 103 105103 97 92 96 101 98110 102 95 96 100 105

¿Quérecomendacionessedebedaralgerentedelbanco?


4. meDiDas estaDísticas De asimetría

Sonmedidasquepermitenestablecerelgradodeasimetríadeunconjuntodeobservacionesodeunadistribucióndefrecuenciasdeunavariablecuantitativa.Siunadistribuciónessimétrica,existeelmismonúmerodevaloresalade-

rechaquealaizquierdadelamedia;portanto,hayelmismonúmerodedes-viacionesconsignopositivoqueconsignonegativo.Decimosquehayasimetría positiva(oa laderecha)si la“cola”a laderechade lamediaesmás larga;esdecir,sihayvaloresmásseparadosdelamediaaladerecha.Diremosquehayasimetríanegativa(oalaizquierda)sila“cola”alaizquierdadelamediaesmáslarga;esdecir,sihayvaloresmásseparadosdelamediaalaizquierda.

Gráfico 4.5 Tipos de distribuciones de frecuencias

Distribución de frecuencias simétrica

Distribución de frecuencias asimétrica negativa Distribución de frecuencias asimétrica positiva


4.1 Coeficiente de asimetría de Fisher (AF)

Paradatosnoagrupados,elcoeficientedeasimetríadeFishersecalculaconlasiguientefórmula:

( )313

ni i

Fx

x XA

nS= −∑

=

Donde:xi=valordelavariableX Paradatosagrupados,elcoeficientedeasimetríadeFishersecalculaconla

fórmula:

( )313

ki i i

Fx

x X fA

nS= −∑

=

Donde:xi=valordelamarcadeclasei

fi=frecuenciaabsolutasimpledelamarcadeclasei

4.2 Coeficientes de asimetría de Pearson

4.2.1 Primer coeficiente de Pearson (AP1)

Engeneral, este coeficiente se puedeutilizar endistribucionesunimodales ymoderadamenteasimétricas.Estádadopor:

1Px

X MoAS−

=

4.2.2 Segundo coeficiente de Pearson (AP2)

ElsegundocoeficientedePearsonseobtienecuandosereemplaza 3 2Mo Me X= − en el primer coeficiente de Pearson; es decir, el segundo coeficiente de Pearsones:

( )2

33 2P

x x

X MeX Me XAS S

−− += =

Estesegundocoeficientetambiénsetienequeutilizarendistribucionesuni-modalesymoderadamenteasimétricas.

Observación CuandolamodanoesconocidaseutilizaelsegundocoeficientedePearson.Engeneral,espreferibleutilizarelprimercoeficientedePearson.


4.3 Interpretación del coeficiente de asimetría

Los coeficientesde asimetríadeFisheroPearson se interpretande lamismamanera:

Coeficientedeasimetría Interpretación

–0,05≤ CA ≤ 0,05 Simétrica

–0,3≤ CA<–0,050,05<CA≤ 0,3

Moderadamentesimétrica

–0,6≤ CA<–0,30,3<CA≤ 0,6

Moderadamenteasimétrica

CA<–0,6oCA>0,6 Asimétricafuerte

Ejemplo 4.32LaempresaAAAesdistribuidorademotoreseléctricospequeños.Aligualqueencualquiernegocio,esimportanteeltiempoquesetomanlosclientesparapagarsusfacturas.Sepresentanlostiemposendías,ordenadosdeme-noramayor,deunamuestradefacturasdeesaempresa.

13 13 13 20 26 27 31 34 34 34 34 35 35 36 37

38 41 41 45 47 47 47 50 51 53 54 56 62 67 82

Sigraficamos losdatosenunhistogramade5 intervalos,vemosque ladistribucióntieneasimetríapositiva.

Gráfico 4.6 Distribución del tiempo del pago de facturas

Tiempo 10 25 40 55 70 85

14

12

10

8

6

4

2

0

Frec

uenc

ia

ElcoeficientedeasimetríadeFisheres:

( )( )

31

3 340836 36 0 3444

30 15 81

ni i

Fx

x XA

nS , ,,

= −∑= = =

×

ElprimercoeficientedeasimetríadePearsones:


1

40 1 34 0 385815 81P

x

X MoAS

, ,,

− −= = =

Amboscoeficientesnosindicanqueladistribucióntieneasimetríapositi-vamoderada,talcomoseobservaenelgráficoanterior.

Ejemplo 4.33Conlafinalidaddeconocerlaasimetríadelosgastossemanales(ensoles)delpersonaladministrativodeunaempresadecementoenLima,enenerodel2016,seseleccionóunamuestrade30personas.Losdatosresumidosy loscálculosnecesariossepresentanenlasiguientetabla:


Gasto xi fi Fi xi fi2ix fi

[200; 400) 300 0 0 0 0[400; 600) 500 1 1 500 250 000[600; 800) 700 4 5 2800 196 000

[800; 1000) 900 9 14 8100 729 000[1000; 1200) 1100 16 30 17 600 1 936 000

Total --- 30 --- 29 000 28 860 000

Lamedia aritmética, lamoday lamedianade estosdatos son, respec-tivamente:

51 29000 966 67

30 30i i ix f

X ,=∑= = =

71000 200 1060 877 16

Mo , = + × = +

15 141000 200 1012 516

Me , − = + × =

Lavarianzayladesviaciónestándarson:

2 25 22 1 28860000 30 966 67 28505 75

1 29i i i

xx f nX

Sn. ( , ) ,= − −∑= = =−

28505 75 168 84xS , ,= =

ElprimercoeficientedePearsones:

1

966 67 1060 87 0 5579168 84P

x

X MoAS

, , ,,

− −= = = −

ElsegundocoeficientedePearsones:

( ) ( )2

3 3 966 67 1012 50 8143

168 84Px

X MeA

S, ,

,,

− × −= = = −


Amboscoeficientesnosindicanqueladistribucióntieneasimetríanega-tiva.Elprimer coeficiente indicaque la asimetríanegativa esmoderadayelsegundo,quelaasimetríaesfuerte.Enelsiguientegráficosemuestralaformaasimétricanegativaquepresentaladistribución.

Gráfico 4.7 Distribución del gasto semanal de empleados

Gasto

Frec

uenc

ia d

e pe

rson

as

200 400 600 800 1000 1200

18

16

14

12

10

8

6

4

2

0


1. LapapeleraAtlasutiliza2máquinas(AyB)paracortarpapelbondconunamedidaporhojade12centímetrosde largo.Acontinuación,sepresentaunamuestrade8hojasbondseleccionadasdeunlotedelamáquinaAy7hojasseleccionadasdeotrolotedelamáquinaB,ambasmedidasencentí-metros.LapapeleraAtlasdeberáutilizarlamáquinaquecortelashojasconlamenorasimetríaensustamaños.UtilizandoelcoeficientedeasimetríadeFisher,¿cuáldelasmáquinasdeberáutilizar?


12,2 12,2

11,9 11,9

11,8 11,5

12,1 12,1

11,9 12,2

12,4 11,9

11,3 11,8

12,3


SoluciónParalamáquinaAseobtiene:

8 11 9875 0 3482xn X S, , , ,= = =

( )8 3

10 2212i

ix X ,

=− = −∑

3

0 2212 0 65488 0 3482FA , ,

,−

= = −×

ParalamáquinaBseobtiene: 7 11 9429 0 2507xn X S , ,= = =

( )7 3

10 0520i

ix X ,

=− = −∑

3

0 0520 0 47187 0 2507FA , ,

,−

= = −×

LamáquinaBtienemenorasimetríaeneltamañodelashojas;portanto,deberáutilizarselamáquinaB.

2. InformaticSystemsS.A.emprendióunestudioparadeterminarelcompor-tamientodeunsistemadegrabacióndeprogramasinformáticos.Paraqueelprocesofuncioneadecuadamente,laseñaldebeestarentre9,2y10vol-tios.Seinstalaronsistemasdegrabaciónenunaubicaciónantiguayenunanuevaubicación,ysetomaronlecturas.Losdatosregistradossemuestranenlasiguientetabla:Ubicaciónantigua:

8,05 8,72 8,72 8,80 9,55 9,70 9,73 9,80 9,80 9,84

9,84 9,87 9,87 9,95 9,97 9,98 9,98 10,00 10,01 10,02

10,03 10,05 10,05 10,12 10,15 10,15 10,26 10,26 10,29 10,55

Ubicaciónnueva:

8,51 8,65 8,68 8,72 8,78 8,80 8,82 8,82 8,83 9,14

9,19 9,27 9,35 9,36 9,37 9,39 9,43 9,48 9,49 9,54

9,55 9,60 9,63 9,64 9,70 9,75 9,85 9,87 9,95 9,98

10,01 10,03 10,05 10,05 10,09 10,10 10,12 10,12 10,15 10,15

CalculeelcoeficientedeasimetríadeFisherycompareelgradodeasi-metríadeambasmuestras.


SoluciónParalaubicaciónantiguaseobtiene:

30 9 8037 0 5409xn X S, , , ,= = =

( )30 3

18 0443i

ix X ,

=− = −∑

3

8 0443 1 694330 0 5409FA , ,

,−

= = −×

Paralaubicaciónnuevaseobtiene:

40 9 5003 0 5072xn X S, , , ,= = =

( )

40 3

11 9758i

ix X ,

=− = −∑

3

1 9758 0 378540 0 5072FA , ,

,−

= = −×

La ubicación nueva proporciona lecturas de señal de grabación con menorasimetría.

3. SepideaunapersonarecientementeformadaenAdministraciónqueanali-celasimetríadelospreciosde3accionesdiferentesparaayudaralgerentedeunbancoainvertirenunfondofiduciario.Las3compañíasestánenlamismaindustriaysehanvistoafectadasporunarecientemodificacióndelasreglamentacionesoficiales.Portalrazón,las16semanasanterioressonindicativasdelamarchafutura.Lasaccioneshanpagadodividendospare-cidoshastaahorayeseeselcriterioprincipaldelgerente.Peroparaevitarlaespeculación,elgerenteprefieretambiénaccionesquenoesténsesgadasaladerechanialaizquierda.Sepresentaacontinuaciónlospreciossema-nalesalcierredelas3accionesenlas16semanasanteriores.

Acción A Acción B Acción C90 94 94 97 98 96100 102 97 106 93 105105 101 112 94 115 9498 106 96 97 102 10197 98 106 99 92 10298 99 113 111 103 105103 97 92 96 101 98110 102 95 96 100 105

¿Quérecomendacionessedebedaralgerentedelbanco?

SoluciónDadoquelosdatosnosonunimodales,seutilizaelcoeficientedeasimetríadeFisher.Así,paralastresaccionesseobtiene:


Acción A:

16 100 4 8028xn X S, , ,= = =

( )

16 3

190i

ix X

=− =∑

3

90 0 050816 4 8028FA ,

,= =

×

Acción B:

16 100 0625 7 0377xn X S, , , ,= = =

( )

16 3

14205 6953i

ix X ,

=− =∑

3

4205 6953 0 754116 7 0377FA , ,

,= =

×

Acción C:

16 100 625 5 6906xn X S, , , ,= = =

( )

16 3

11729 3125i

ix X ,

=− =∑

3

1729 3125 0 586516 5 6906FA , ,

,= =

×

Deacuerdoalosresultados,laacciónApresentapreciosmoderadamen-tesimétricos,laCtienepreciosmoderadamenteasimétricos,ylaB,preciosasimétricos.

4. LaempresaHiguchitiene150proveedoresenPerúyEcuador.Acontinua-ción,sepresentaunresumendelasmedidasestadísticasacercadelvalordeventas(enmilesdesoles)desusproveedores:

Medida n X Mo xS

Valordeventas 150 128,1 81,0 162,7

Calculeeinterpreteelgradodeasimetríadelosdatos.

SoluciónDeacuerdoconlasmedidasproporcionadas,soloesposiblecalcularelpri-mercoeficientedePearson;esdecir:

1

128 1 81 0 2895162 7P

x

X MoAS

, ,,

− −= = =

Por tanto, los valores de ventas de los proveedores presentan simetríamoderada.


5. Lossiguientesdatosserefierenalaventadiaria(ensoles)de3tiendasdedi-cadasalaventadeartículosdeferretería;estainformaciónsetomódurantelosúltimosdiezdías:

10 10 2

1 14000 1625000i i

i i: x xTiendaA ,

= == =∑ ∑

10

16 7 6000x i

i: CV xTiendaB , %,

== =∑

2 2025 770x: S XTiendaC ,= =

Laventadiariamásfrecuenteencadatiendafuede480,590y835,respec-tivamente.¿Cuáldelastiendasesmenosasimétricaenlasventasdiarias?

SoluciónDeacuerdoconlosdatosproporcionados,seutilizaelprimercoeficientedeasimetríadePearson.ParalatiendaAseobtiene:

22 1625000 10 40010 400 2777 78

9xn X S , , , − ×= = = =

52 705 480xS Mo, ,= =

1

400 480 1 517952 705P

x

X MoAS

,,

− −= = = −

ParalatiendaBseobtiene:

6 7 60010 600 40 2 590100xn X S Mo,, , , ,×

= = = = =

1

600 590 0 248840 2P

x

X MoAS

,,

− −= = =

ParalatiendaCseobtiene:

770 2025 45 835xX S Mo, ,= = = =

1

770 835 1 444445P

x

X MoAS

,− −= = = −

Porconsiguiente,latiendaBesmenosasimétricaenlasventasdiarias.

6. Unaempresadeestudiosdemercadoharealizadounainvestigaciónparaaveriguarelgastomensual(ensoles)encervezaquerealizanlosconsumi-doresendossupermercadosdeLimaMetropolitana,MonterreyyTía.Paraelestudiosehanconsideradotamañosdemuestrade500y700consumi-dores,respectivamente.Losresultadosobtenidossepresentanacontinua-ción:


Tabla 4.30 Distribución de consumidores del Supermercado Monterrey según

gasto de cerveza

Gasto en cerveza xi fi

[20; 40) 30 120 [40; 60) 50 140 [60; 80) 70 100 [80; 100) 90 80[100; 120) 110 30[120; 140) 130 20[140; 160] 150 10

Total 500

Tabla 4.31 Medidas estadísticas de resumen

de los gastos de cerveza en el supermercado Tía

Medida Valor

Media 84,4Desviaciónestándar 29,97Mediana 78,57Moda 66,67Percentil25 60,71Percentil75 103,75Mínimo 40Máximo 180

¿Enquésupermercadohaymenorasimetríaenlosgastosdeconsumodecerveza?

SoluciónUtilizamoselprimercoeficientedePearsonparadeterminarelgradodeasimetríaencadasupermercado.Así,seobtiene:SupermercadoMonterrey:

500 64 4 29 97 46 67xn X S Mo, , , , , ,= = = =

1

64 4 46 67 0 591629 97P

x

X MoAS

, , ,,

− −= = =

SupermercadoTía:

700 84 4 29 97 66 67xn X S Mo, , , , , ,= = = =

184 4 66 67 0 5916

29 97Px

X MoAS

, , ,,

− −= = =

Porlotanto,ambossupermercadostienenelmismogradodeasimetría:sonmoderadamenteasimétricospositivos.



1. Enunestudiodirigidoalosnegociosdecomida(restaurantes)queofrecenmenúsdiariosyplatosa lacarta,sehanrecogidodiferentescaracterísti-casdeinterés.Elárea(enmetroscuadrados)destinadoalacocina,enunamuestradeestosrestaurantesseleccionadaalazar,es:

19,6 20,2 21,7 21,7 22,1 22,1 22,2 22,3 22,7 22,922,9 22,9 22,9 23,4 24,2 24,3 24,3 24,4 24,7 25,125,3 25,5 25,5 26,0 26,0 26,0 27,4 27,4 27,5 27,6

a) CalculeelcoeficientedeasimetríadeFisherydetermineelgradoytipodeasimetría.


b) Calcule el primer coeficiente de asimetría de Pearson y determine elgradoytipodeasimetría.

2. En la siguiente tabla se presenta la distribución de ingresos diarios (en soles)de150trabajadoresdeunhotel.

Tabla 4.32 Distribución de ingresos diarios de trabajadores

Ingresos xi fi Fi

[60; 100) 15

[100; 140) 45

[140; 180) 105

[180; 220) 129

[220; 260) 150

CalculeelprimercoeficientedeasimetríadePearsonydetermineelgradoytipodeasimetría.


3. Latablaacontinuaciónresumelosdatosde2muestrasrepresentativasdeloscréditosconcedidos,enmilesdesoles,pordosagenciasdeunaentidadbancaria.

Tabla 4.33 Distribución de créditos concedidos según su valor

Agencia A Agencia BValor crédito N.º créditos N.º créditos

[0; 4) 3 10[4; 8) 4 12

[8; 12) 6 8[12; 16) 58 30

[16; 20) 78 12[20; 24) 90 15[24; 28) 20 5[28; 32) 6 6[32; 36) 4 16


¿Cree usted que la distribución de los créditos es más asimétrica en laagenciaA?SustentesurespuestaconelprimercoeficientedePearson.

4. Unaempresadeinvestigacióndemercadollevaacabounainvestigaciónparaobtenerindicadoresquelepermitancompararelconsumodeenergíaeléctricamensual(enkilowatts)delasfamiliasenlasciudadesAlfayBeta.Losresultadosdelconsumodeenergíaeléctricamensualobtenidosen2muestrasdefamiliasseleccionadasenambasciudadessonestos:

Ciudad Alfa

100,1 100,2 100,4 101,4 101,6 102,5 102,7 102,8

102,9 103,4 103,4 103,4 103,4 104,8 105,3 105,6


Tabla 4.34 Distribución de familias de la ciudad

Beta según consumo de energía eléctrica

Consumo Número de familias [100; 180) 8[180; 260) 15[260; 340) 10[340; 420) 5[420; 500) 2

¿ElconsumodeenergíaenlaciudadAlfapresentamayorasimetríaencom-paraciónconlaciudadBeta?¿Porqué?SustentesurespuestaconelprimercoeficientedePearson.


5. gráficos para el análisis exploratorio De Datos

Elanálisisexploratoriodedatos(AED)tienecomoobjetivoidentificarelmodeloteóricomásadecuadopararepresentarlapoblacióndelaqueprocedenlosdatosdeunamuestraaleatoria.Dichoanálisissebasaengráficosymedidasestadís-ticasqueexaminanladistribucióneidentificancaracterísticascomolosvaloresatípicosuoutliers,lossaltosolasdiscontinuidades,lasconcentracionesdevalo-res,laformadeladistribución,entreotros.Porotraparte,esteanálisissepuederealizarentodosloscasosdemaneraconjuntaodeformaseparadaporgrupos.Enesteúltimocaso,losgráficosyestadísticospermitenidentificarsilosdatosprocedendeunaovariaspoblaciones,considerandolavariablequedeterminalosgruposcomofactordiferenciadordelaspoblaciones.Cuandosetieneunconjuntodedatos,elenfoqueAEDrecomiendainiciarsu

análisisconlarealizacióndegráficosparavisualizarsuestructura.Porejemplo,paradatoscuantitativos,seaconsejacomenzarconeldenominado“diagramadetallosyhojas”,unatécnicaquepreservaenloposiblelosdetallesdelosdatosyseconstituyeenunprimerniveldecomprensión;oconel“diagramadecajaybi-gotes”,queproporcionancaracterísticasdeladistribución,comolalocalización,ladispersiónylaasimetríadelosdatos.Contalestécnicassepretendedetectarlaestructurasubyacentedeladistribucióndelosdatos,asícomolaexistenciadeposiblesanomalíasopatronesnoprevistosenellos, loqueproporcionaalinvestigadorunamejorcomprensióndelosfenómenosqueestudia.

5.1 Diagrama de tallos y hojas

Permiteobtenersimultáneamenteunadistribucióndefrecuenciasdeunavaria-blecuantitativaysurepresentacióngráfica.Paraconstruirlobastaseparar,encadadato,elúltimodígitodeladerecha(queconstituyelahoja)delbloquedecifrasrestantes(queformaráeltallo).Porejemplo,eldatodevalor125sedes-componeentallo12yhoja5.Estediagramaesunaformarápidadeobtenerunarepresentaciónvisualdel

conjuntodedatos.Parafacilitarladeterminacióndelaformadeladistribucióndelosdatossenecesitanalmenos5tallos. Estediagramaesfácildeconstruircuandohayunnúmerono tangrandededatos (n <100).Paramuestrasmásgrandesesconvenienteutilizaralgúnsoftwareestadísticoparasuconstrucciónolastablasdedistribucióndefrecuenciasquehemosvistoanteriormente.Losdiagramasdetallosyhojasnosdanunaideade la localizaciónde los

datos,dispersiónyformadeladistribución.Estarepresentacióndelosdatosessemejantealadeunhistogramadefrecuencias,peroademásdeserfácilesdeelaborar,presentanmásinformaciónqueestos.


Gráfico 4.8 Comparación entre tallos y hojas e histograma de frecuencias

Tallos Hojas

1 2689

2 0344459

3 113466799

4 0015

5 467

Histogramadefrecuencias

4

7

9

4

3

5.1.1 Construcción del diagrama de tallos y hojas

Dadounconjuntodedatoscuantitativos,dondecadaunatieneporlomenos2dígitos,lospasosparaconstruireldiagramadetallosyhojassonlossiguientes:

1. Ordenarlosdatosdemenoramayor.2. Conelmenorvalordelosdatos, identificamosunoomásdígitosdela

izquierdaparaelvalordeltallo,yeldígitofinaldeladerechaseconvierteenhoja.Repetirestaoperaciónconelrestodelosdatos.

3. Hacerunalistadevaloresdelostallosenunacolumnavertical.4. Registrarlashojasporcadaobservaciónjuntoalvalorcorrespondiente

deltallo.5. Indicarlaunidaddehojaenlapartesuperiordeldiagrama.

Ejemplo 4.34Aunareunióndeamigosconcurrieron15personas,cuyasedadesenañoscumplidosson28,19,27,33,30,25,27,22,20,18,38,40,41,24,29.Alordenarlosdatosdemenoramayor,seobtiene:

x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) x(6) x(7) x(8) x(9) x(10) x(11) x(12) x(13) x(14) x(15)

18 19 20 22 24 25 27 27 28 29 30 33 38 40 41

Cadavalorsedescomponeentalloparalasdecenasyhojasparalasuni-dades,comosemuestraacontinuación:


Dato Tallo Hoja18 1 819 1 9...

.

.

.

.

.

.28 2 8...

.

.

.

.

.

.41 4 1

Luego,secolocanlostallosenunacolumnaylashojasasuderecha,talcomosemuestraacontinuación:

Unidaddehoja=1Tallos Hojas Datos representados

1 8 9 18 192 0 2 4 5 7 7 8 9 20 22 24 25 27 27 28 293 0 3 8 30 33 384 0 1 40 41

Eldiagramadetallosyhojasanteriorequivalealasiguientedistribucióndefrecuenciasconintervalosdeamplitud10:

Tabla 4.35 Distribución de personas según sus edades

Edad xi fi

[10; 20) 15 2[20; 30) 25 8[30; 40) 35 3[40; 50) 45 2Total --- 15

Observaciones• Launidaddehojaesuncoeficientequeseutilizaeneldiagramadetallosyhojasparasimplificaryfacilitarlaconstruccióndeldiagrama.Cadadatoobtenidodeldiagramasemultiplicaporlaunidaddehojaparallegaralvalororiginal.Enelejemploanterior,launidaddehojaes1,entonceseltallo1ylahoja8formanelnúmero18yelvalororiginalsería18 1 18× = .

• Cuandolosdatostienenundecimal,esnecesarioconvertirlosdatosenen-teros,paralocualsedefinelaunidaddehojacomo0,1.Porejemplo,eltallo1ylahoja8formanelnúmero18,peroelvalororiginales18 0 1 1 8, ,× = .


• Cuandolosdatostienendosdecimalessedefinelaunidaddehojacomo0,01.Porejemplo,eltallo1ylahoja8formanelnúmero18,peroelvalororiginales18 0 01 0 18, ,× = .

• Cuandolosdatostienen3omáscifrasesconvenientedefinircomounidaddehoja10,100,1000,etc.Porejemplo,elvalor840sepuededescomponerentallo8yhoja4,peroconunidaddehoja10;entonceselvalororiginalsería84 10 840× = .

Ejemplo 4.35La siguiente tabla representa el contenido de algodón (en porcentaje) en camisasparacaballeros.

33,1 35,3 34,2 33,6 33,6 33,1 37,6 33,634,5 34,7 33,4 32,5 35,4 34,6 37,3 34,135,6 35,0 34,7 34,1 34,6 35,9 34,6 34,736,3 35,4 34,6 35,1 33,8 34,7 35,5 35,735,1 36,2 35,2 36,8 37,1 33,6 32,8 36,834,7 36,8 35,0 40,9 34,0 32,9 32,1 34,333,6 35,1 34,9 36,4 34,1 33,5 34,5 32,732,6 33,6 33,8 34,2 34,6 34,7 35,8 37,8

Comolosdatostienenundecimal,utilizaremoscomounidaddehojaelvalor0,1parapoderrepresentar losdatoseneldiagrama, talcomosemuestraacontinuación:

Unidaddehoja=0,1Tallos Hojas

32 1 5 6 7 8 933 1 1 4 5 6 6 6 6 6 6 8 834 0 1 1 1 2 2 3 5 5 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 935 0 0 1 1 1 2 3 4 4 5 6 7 8 936 2 3 4 8 8 837 1 3 6 8383940 9

Eltallo32ylahoja1formanelvalor321,multiplicadoporlaunidaddehojaes 321 0 1 32 1, ,× = yasísecalculaparacadadato.Seobservaquelostallos38y39notienenhojas(nohaydatos).Eldiagramadetallosyhojasanteriorequivalealasiguientedistribu-

cióndefrecuenciasconintervalosdeamplitud1 10 0 1 1( , )× = :


Tabla 4.36 Distribución de camisas según su contenido de algodón

Contenido de algodón xi fi

[32,0; 33,0) 32,5 6[33,0; 34,0) 33,5 12[34,0; 35,0) 34,5 21[35,0; 36,0) 35,5 14[36,0; 37,0) 36,5 6[37,0; 38,0) 37,5 4[38,0; 39,0) 38,5 0[39,0; 40,0) 39,5 0[40,0; 41,0) 40,5 1

Total --- 64

5.2 Diagrama de caja y bigotes

Es una presentación visual de datos de variables cuantitativas que describe variascaracterísticasimportantesalmismotiempo,talescomoposición,disper-siónyasimetría.Estagráficaconsisteenunacajarectangular,dondelosladosmáslargosmues-

tranelrangointercuartil.Esterectánguloestádivididoporunsegmentoverticalqueindicadóndeseposicionalamedianay,portanto,surelaciónconelprimerytercercuartil(recordemosqueelsegundocuartilcoincideconlamediana).Estacajaseubicaaescala,sobreunsegmentocuyosextremossonlosvalores

mínimoymáximodelavariable.Laslíneasquesobresalendelacajasellamanbigotes.Estosbigotestienenunlímitedeprolongación,demodoquecualquierdatoquenoseencuentredentrodeesterangoesmarcadoeidentificadoindi-vidualmentecomodatoatípico,valorextremououtlier.Loscomponentesdeundiagramadecajaybigotessemuestranenlasiguientefigura.

Figura 4.8 Componentes de un diagrama de caja y bigotes

25 % 25 %25 % 25 %

Q1 Q3Q2 = Me

Bigote inferior Bigote superior

* *

LI LS

Elaboración propia

Outlier(valor extremo bajo)

Outlier(valor extremo alto)


Para determinar los límites de los bigotes, se calcula el intervalo( )1 31 5 1 5Q QQ R Q R, ; ,− + :ellímitedelbigoteinferior(LI)eselmenordelosda-tosqueseencuentraenelintervaloyellímitedelbigotesuperior(LS)eselmayordelosdatosqueseencuentraenelintervalo.

Ejemplo 4.36Lasedadesde20consumidoresdegaseosasseleccionadosalazarsepresen-tanacontinuación:

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 x13 x14 x15 x16 x17 x18 x19 x20

36 25 37 24 39 20 36 45 31 31 39 24 29 23 41 40 33 24 34 40

Seordenanlosdatosdemenoramayorysecalculanloscuartiles

x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) x(6) x(7) x(8) x(9) x(10)20 23 24 24 24 25 29 31 31 33

x(11) x(12) x(13) x(14) x(15) x(16) x(17) x(18) x(19) x(20)34 36 36 37 39 39 40 40 41 45

Así,loscuartilesson: ( )1 24 0 25 25 24 24 25Q , ,= + − =

( )2 33 0 5 34 33 33 5Q Me , ,= = + − =

( )3 39 0 75 39 39 39Q ,= + − =

39 24 25 14 75QR , ,= − =

Luego,elintervaloes:

( ) ( )1 31 5 1 5 24 25 1 5 14 75 39 1 5 14 75Q QQ R Q R, ; , , , , ; , ,− + = − × + ×

( )2 125 61 125 , ; ,=

Elvalormínimoymáximodelosdatosqueseencuentranenelinterva-lo ( )2 125 61 125, ; , son20y45respectivamente.Entonces,loslímitesdelos bigotesson:Límitedelbigoteinferior: 20IL =

Límitedelbigotesuperior: 45SL =

Luego,eldiagramadecajaybigotesresultantesemuestraenelsiguientegráfico:


Gráfico 4.9 Distribución de las edades de consumidores de gaseosas

Enestegráficoseobservalosiguiente:• Elbigoteinferioresmáspequeñoqueelsuperior,loquenosindicaquelasedadesdelcuartoinferiorsonmáshomogéneasquedelcuartosuperior.

• Lamitadinferiordelacajaesmásgrandequelamitadsuperior,loquenosindicaquelasedadesdelcuartomedioinferiorsonmásheterogéneasquedelcuartomediosuperior.

5.2.1 Detección de datos atípicos u outliers

Se consideran datos atípicos aquellos que toman valores muy altos omuy bajos en una variable. Estos datos se encuentren fuera del intervalo( )1 31 5 1 5Q QQ R Q R, ; ,− + y semarcanconasteriscoseneldiagramadecajaybigotes.

Ejemplo 4.37Lacantidaddecorreoselectrónicosrecibidospor22estudiantesdelaEscueladeNegociosenunasemanasepresentanacontinuación:

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11

36 25 37 24 39 20 36 01 45 31 31

x12 x13 x14 x15 x16 x17 x18 x19 x20 x21 x22

39 24 29 23 41 40 33 24 34 40 65

Seordenanlosdatosdemenoramayorysecalculanloscuartiles:

x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) x(6) x(7) x(8) x(9) x(10) x(11)

1 20 23 24 24 24 25 29 31 31 33

x(12) x(13) x(14) x(15) x(16) x(17) x(18) x(19) x(20) x(21) x(22)

34 36 36 37 39 39 40 40 41 45 65

20

24,25 33,5 39

45

20 25 30 35 40 45

Edad


Así,loscuartilesson: ( )1 24 0 75 24 24 24Q ,= + − =

( )2 33 0 5 34 33 33 5Q Me , ,= = + − =

( )3 39 0 25 40 39 39 25Q , ,= + − =

39 25 24 15 25QR , ,= − =

Elintervaloparadetectarlosoutlierses:

( ) ( )1 31 5 1 5 24 1 5 15 25 39 25 1 5 15 25Q QQ R Q R, ; , , , ; , , ,− + = − × + ×

( )1 125 62 125 , ; ,=

Seobservaque losvalores 1y 65 están fueradel intervaloy sondatosatípicosuoutliers. Luego,elvalormínimoymáximodelosdatosenelintervalo(1,125;62,125)

son20y45respectivamente.Entonces,loslímitesdelosbigotesson: Límitedelbigoteinferior: LI=20 Límitedelbigotesuperior:LS=45Luego,eldiagramadecajaybigotesresultantesemuestraenelsiguiente

gráfico:

Gráfico 4.10 Distribución de la cantidad de correos electrónicos recibidos por estudiantes

Enestegráfico,seobservalosiguiente:• Elvalor1esundatoatípicououtlierinferior:esdemasiadopequeñores-pectoalosdemás.

• Elvalor65esundatoatípicououtliersuperior:esdemasiadogranderes-pectoalosdemás.

• Elbigoteinferioresmáspequeñoqueelsuperior,loquenosindicaquelacantidaddecorreoselectrónicosdelcuartoinferioresmáshomogéneaqueladelcuartosuperior.

1*

0 10 20 30 40 50 60 70Número de correos electrónicos

20 45

24 39,2533,5

65*


• Lamitadinferiordelacajaesmásgrandequelamitadsuperior,loquenosindicaquelacantidaddecorreoselectrónicosdelcuartomedioinferioresmásheterogéneaqueladelcuartomediosuperior.


1. Lapuntuaciónfinalenelexamenderazonamientomatemáticode40pos-tulantesaunauniversidadprivadaseregistraenlatablaadjunta:

40 62 68 73 8155 62 69 74 8256 63 70 74 8356 63 70 75 8357 67 70 76 8460 68 70 77 8960 68 73 77 9161 68 73 79 92

a) Obtengaeldiagramadetallosyhojasparalosdatosdelatabla,indican-dolavariableyelvalordelaunidaddehoja.

b) Coloque ladistribuciónde frecuenciasquerepresentaeldiagramadetallosyhojasobtenidoenelincisoanterior.

c) Construya el diagrama de caja y bigotes y determine si hay valores atípicos.

Solucióna) Comolosdatossonenterosde2cifras,launidaddehojaes1;esdecir,losdatosnonecesitantransformarse.Lavariablesedefinecomo:

X:Puntuaciónfinaldelpostulanteenelexamenderazonamientomate-mático

Eldiagramadetallosyhojaseselsiguiente:Unidaddehoja=1,0 Tallos Hojas 4 0 5 5667 6 0012233788889 7 00003334456779 8 123349 9 12

b) Deldiagramaanterior,cadatalloysushojasequivaleaunintervalodedatosdeamplitud10.Portanto,latabladefrecuenciasquelecorrespon-dealdiagramaanteriores:


Puntuación xi fi

[40; 50) 45 1[50; 60) 55 4[60; 70) 65 13[70; 80) 75 14[80; 90) 85 6[90; 100) 95 2

Total --- 40

c) Alcalcularloscuartilesyelrangointercuartilseobtienen: ( )1 62 0 25 63 62 62 25Q , ,= + − =

( )2 70 0 5 70 70 70Q Me ,= = + − =

( )3 77 0 75 77 77 77Q ,= + − =

77 62 25 14 75QR , ,= − =

Elintervaloparadetectarlosoutlierses: ( ) ( )1 31 5 1 5 62 25 1 5 14 75 77 1 5 14 75Q QQ R Q R, ; , , , , ; , ,− + = − × + ×

( )40 125 99 125 , ; ,=

Seobservaqueelvalor40esdatoatípicououtlier.Asimismo,elvalormí-nimoymáximoqueseencuentranenelintervalo ( )40 125 99 125, ; , es55y92,respectivamente.Entonces,loslímitesdelosbigotesson:

Límitedelbigoteinferior: 55IL =

Límitedelbigotesuperior: 92SL =

Luego,eldiagramadecajaybigotesresultantesemuestraenelsiguientegráfico:

Gráfico 4.11 Distribución de la puntuación de los estudiantes en el examen de razonamiento matemático

40*

40 50 60 70 80 90

Puntuación del estudiante

55

62,25 7770

92


2. Losgastosdiarios(ensoles)querealizanlosempleadosdeunaempresaenelmenúduranteelalmuerzosonlossiguientes:

16,1 20,5 22,0 22,2 23,6 24,218,5 21,1 22,0 22,4 23,6 24,218,7 21,3 22,0 23,2 24,0 24,519,9 21,3 22,0 23,2 24,1 24,720,4 21,5 22,1 23,2 24,1 24,9

a) Obtengaeldiagramadetallosyhojasparalosdatosdelatabla,indican-dolavariableyelvalordelaunidaddehoja.

b) Coloque ladistribuciónde frecuenciasquerepresentaeldiagramadetallosyhojasobtenidoenelincisoanterior.

c) Construyaeldiagramadecajaybigotesydeterminesihayvaloresatí-picos.

Solucióna) Comolosdatostienenundecimalydoscifrasenteras,launidaddehojaes0,1;esdecir,losdatossínecesitantransformarse.Lavariablesedefinecomo:

X:Gastodiarioenelmenú Eldiagramadetallosyhojaseselsiguiente: Unidaddehoja=0,1 Tallos Hojas 16 1 17 18 57 19 9 20 45 21 1335 22 0000124 23 22266 24 01122579

b) Deldiagramaanterior,cadatalloysushojasequivaleaunintervalodedatosysufrecuencia.Enestecaso,elintervaloesdeamplitud10 0 1 1,× =,debidoalaunidaddehojautilizado.Portanto,latabladefrecuenciasquelecorrespondealdiagramaanteriores:


Gasto diario xi fi

[16; 17) 16,5 1

[17; 18) 17,5 0

[18; 19) 18,5 2

[19; 20) 19,5 1

[20; 21) 20,5 2

[21; 22) 21,5 4

[22; 23) 22,5 7

[23; 24) 23,5 5

[24; 25) 24,5 8

Total --- 30

c) Alcalcularloscuartilesyelrangointercuartil,seobtiene: ( )1 21 1 0 75 21 1 21 3 21 25Q , , , , ,= + − =

( )2 22 1 0 5 22 2 22 1 22 15Q Me , , , , ,= = + − =

( )3 24 0 25 24 1 24 24 025Q , , ,= + − =

24 025 21 25 2 775QR , , ,= − =

Elintervaloparadetectarlosoutlierses:

( ) ( )1 31 5 1 5 21 25 1 5 2 775 24 025 1 5 2 775Q QQ R Q R, ; , , , , ; , , ,− + = − × + ×

( )17 0875 28 1875, ; ,=

Seobservaqueelvalor16,1esdatoatípicoyaqueestáfueradelinter-valo.Asimismo,losvaloresmínimoymáximoqueseencuentranenelintervalo ( )17 0875 28 1875, ; , son18,5y24,9,respectivamente.Entonces,loslímitesdelosbigotesson: Límitedelbigoteinferior: 18 5IL ,=

Límitedelbigotesuperior: 24 9SL ,=

Luego,eldiagramadecajaybigotesresultantesemuestraenelsi-guientegráfico:


Gráfico 4.12 Distribución del gasto diario de los empleados en el almuerzo

3. Losanalistasfinancierosempleaninformaciónestadísticacomoguíaparasusrecomendacionesde inversión.Unodeellos recogedatosfinancierossobreelrendimientodelasacciones(enporcentaje)deMineraPerúenloquevadel2016;estosseresumenenelsiguientediagramadetallosyhojas:

Unidaddehoja:0,1 Tallos Hojas 1 9 2 1222455667789 3 00222444555666667788999 4 0001133 5 12223 6 9Respondalassiguientespreguntasjustificandosurespuestaconmedi-

dasestadísticas.a) Sienel2015lavariabilidadrelativadelrendimientodelasaccionesfuedel12%,analicesienelpresenteañoestassehanincrementado.

b) Sielanalistafinancieroseñalaquelasaccioneshanmostradouncom-portamientomoderadamentesimétrico,¿creeustedqueestaafirmaciónescorrecta?

c) Construya el diagrama de cajas y bigotes y complete las siguientes medidas:

Q1Límitedelbigote

inferior

Me Límitedelbigotesuperior

Q3 Valoresextremos

16,1*

15 17 19 21 23 25Gasto diario (soles)

18,5

21,25 24,02522,15

24,9


Solucióna) Secalculaelcoeficientedevariaciónquemidelavariabilidadrelativadelosdatos.

177 3 5450

X ,= =

( )22 673 42 50 3 540 9559

49xS, ,

,−

= =

0 9559 0 978xS , ,= =

0 978 100 27 63 123 54xCV , , % %,

= × = >

Luego,lavariabilidadrelativadelrendimientodelasaccionesesde27,36%,quesuperaal12%;porlotanto,sísehaincrementado.

b) ElprimercoeficientedeasimetríadePearsones:

1

3 54 3 6 0 060 978PA , , ,,−

= = −

Porconsiguiente,síescorrectalaafirmacióndelanalistafinanciero:ladistribuciónesmoderadamentesimétrica.

c) Alcalcularloscuartilesyelrangointercuartil,seobtiene:

( )1 2 7 0 75 2 8 2 7 2 775Q , , , , ,= + − =

( )2 3 5 0 5 3 6 3 5 3 55Q Me , , , , ,= = + − =

( )3 4 0 25 4 4 4Q ,= + − =

4 2 775 1 225QR , ,= − =

Q1 2,775 Límitedelbigoteinferior 1,9

Me 3,55 Límitedelbigotesuperior 5,3

Q3 4 Valoresextremos 6,9


Gráfico 4.13 Distribución del rendimiento de las acciones de Minera Perú


1. LossiguientesdatossonlasnotasdelexamenparcialdeEstadísticayMate-máticadelosestudiantesdelaEscueladeNegociosenelsemestreanterior:

Notas de Matemática Notas de Estadística

5 11 11 1 10 5 12 14

7 11 14 10 8 11 13 6

15 9 5 16 13 12 8 10

2 12 13 3 5 9 12 3

4 13 17 13 10 10 15 10

6 10 6 6 6 12 9 13

0 14 5 4 3 12 6 5

8 5 20 11 10 14 20 14

9 13 9 12 8 11

Realiceelanálisisexploratoriodedatosmediante:

6,9*

2 3 4 5 6 7

Rendimiento de la acción (%)

5,3

2,775 43,55

1,9


a) Eldiagramadetallosyhojasparacadaasignatura.

b) El gráfico de caja y bigotes para cada asignatura. Coloque los datos atípicos.


2. Enun estudio realizadoporuna consultora, seha evaluado, entre otrascosas, lavariabledelgastoefectuadoquerealizan losclientesdedoses-tablecimientos comerciales en cada visita. Los datos captados mediantemuestrasaleatoriasindependientesfueron:

Establecimiento comercial TICO

11,5 12,7 12,8 13,5 13,6 14,1 14,4 14,7 14,9 15,3

15,3 15,5 15,6 15,8 16,1 16,3 16,3 16,4 16,6 17,0

17,4 17,6 17,7 18,2 18,3 18,4 18,7 18,8 18,9 19,7

19,8 19,8 20,3 20,6 20,8 21,3 23,0 23,2 25,5 26,1

Establecimiento comercial TUCO

3,0 4,8 5,6 6,1 7,2 8,2 8,3 8,4 8,7

9,1 9,3 9,7 9,7 9,8 10,0 10,3 10,4 11,3

12,0 12,1 12,2 12,8 12,8 12,8 13,2 13,6 13,6

15,6 15,6 16,3 16,6 16,7 18,0 19,8 21,0 29,4

a) Obtener eldiagramade tallosyhojaspara losdatosde los estableci-mientoscomercialesTICOyTUCO.


b) Construyaeldiagramadecajasparaambosestablecimientoscomercia-les.Determinesihayvaloresatípicosuoutliers.

3. InformaticSystemsS.A.emprendióunestudioparadeterminarelcompor-tamientodeunsistemadegrabacióndeprogramasinformáticos.Paraqueelprocesofuncioneadecuadamente,laseñaldebeestarentre9,2y10vol-tios.Seinstalaronsistemasdegrabaciónenunaubicaciónantiguayenunanuevaubicación,ysetomaronlecturas.Losdatosregistradossemuestranenlassiguientestablas:

Ubicación antigua Ubicación nueva8,05 9,84 10,03 8,51 9,19 9,55 10,018,72 9,87 10,05 8,65 9,27 9,60 10,038,72 9,87 10,05 8,68 9,35 9,63 10,058,80 9,95 10,12 8,72 9,36 9,64 10,059,55 9,97 10,15 8,78 9,37 9,70 10,099,70 9,98 10,15 8,80 9,39 9,75 10,109,73 9,98 10,26 8,82 9,43 9,85 10,129,80 10,00 10,26 8,82 9,48 9,87 10,129,80 10,01 10,29 8,83 9,49 9,95 10,159,84 10,02 10,55 9,14 9,54 9,98 10,15


a) Construyaeldiagramadetallosyhojasparalosdatosdelaubicaciónnueva.

b) Construyaeldiagramadecajaybigotesparacadamuestra.Coloquelosdatosatípicos.


4. LaempresaDELIS.A.,quebrindaserviciodedeliveryenlaszonasAyB deLima,harealizadounestudiosobrelosrecorridos(enkilómetros)delospedidossolicitadosporsusclientesenagostode2016.EnlazonaAyBsetomaronmuestrasde40y50pedidos,respectivamente.Conlafinalidaddecompararlospedidosdeambaszonas,seobtuvieronlosdiagramasdecajasybigotesquesemuestranenelsiguientegráfico:

Gráfico 4.14 Distribución del recorrido en las zonas A y B

a) ¿Cuáleselrecorridomáximoaproximadodel75%delosrecorridosmáscortosenlazonaA?Justifiquesurespuesta.

b) ¿Cuáleselrecorridomínimoaproximadodel25%delosrecorridosmáslargosenlazonaB?Justifiquesurespuesta.

*Zona B *

Zona A

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11


c) Enpromedio,¿enquézonaelrecorridoesmayorparaelserviciodede-livery?Justifiquesurespuesta.

d) ¿Quézonapresentalamayordispersióndel50%centraldelosrecorri-dos?Justifiquesurespuesta.

e) ¿Quézonapresentalamayoramplitudtotaldelosrecorridos?Justifiquesurespuesta.

f) ¿Quézonapresentalamayorasimetríaenlosrecorridos?Justifiquesurespuesta.


5. Relacionecadahistogramaconsudiagramadecajaybigotesyformelosparesdegráficosadecuadosconunaflecha.

Lastécnicasdeconteoestudianlasdistin-tas formasde agruparyordenarun con-junto de objetos. Se constituyen sobre labasedelcálculodelaprobabilidad,queseencargade losarreglosy las combinacio-nesquedeterminanelnúmerodemanerasdiferentesenqueuneventoaleatoriopue-deocurrir.Las técnicas de conteo se aplican en lasáreasdondetenganrelevancialasdistintasmanerasdeagruparelementos.


9 Conocer las operaciones aritméticas yelcálculodelfactorialdeunnúmero natural.


9 Identificarelprincipiodeconteoadecua-doparaelconteodeposibilidades.

9 Distinguirentrepermutacionesycombi-nacionespara lasolucióndeunproble-madeconteodeposibilidades.


9 Aplicarelanálisiscombinatorioparalasolución de un problema de conteo deposibilidades.

9 Aplicar la técnica de conteo adecuadoparalasolucióndeunproblemadecon-teodeposibilidades.

Contenido

1. Utilidaddelastécnicasdeconteo.2. Principiosdeconteo.3. Permutaciones.4. Combinaciones.

Técnicas de conteo de posibilidades

Capítulo

5


¿Es posible ganarse la Tinka? Las técnicas de conteo nos sirven para calcular la cantidad de jugadas posibles para ganar el juego de la Tinka

LaTinkaeseljuegodeloteríamáspopularenelPerú,milesdeperua-nosapuestansemanalmenteparaganarelpozoque,porlogeneral,essiempremayoralmillóndesoles.Parajugar,cadajugadordebeesco-ger6númerosdiferentesdel1al45;esdecir,cadajugadasecomponede6números.Porejemplo,unajugadapuedeestarconformadaporlosnúmeros5,13,7,40,23y18.Paraqueuna jugada sea la ganadoradelpozode laTinkadebe

lograr6aciertos,perotambiénhaypremiospara5aciertos,4aciertos,3aciertosy2aciertos.Lastécnicasdeconteopermitencalcularlacan-tidaddeposiblesjugadascontantosnúmerosdeaciertos;utilizandolascombinatorias,seobtienelasiguientetabla:

Aciertos Jugadas posibles

0 3 262 623

1 3 454 542

2 1 233 765

3 182 780

4 11 115

5 234

6 1Total 8 145 060

Sepuedeobservarque1jugadadecada8millonesaproximadamenteserálaganadoradelpozo,234jugadasdecada8millonesganaránunpremiopor5aciertos,yasísucesivamente.

Capítulo 5. téCniCas de Conteo de posibilidades 279

1. utiliDaD De las técnicas De conteo

Lastécnicasdeconteoofrecenunprocedimientogeneralparacontarelnúmerodeposiblesarreglosdeobjetosdentrodeunsoloconjuntooentrevariosdeellos.Lastécnicasdeconteosonusadasparaenumerareventosdifícilesdecuantificar:seestudianlosprocedimientosyestrategiasparacontarlasposiblesagrupacionesdeloselementosdeunconjunto,ydeterminarelnúmerodeposibilidadeslógicasquecabeesperaralrealizaralgúnexperimento,sinnecesidaddeenumerarlas.Esunaformaabreviadadecontarqueseresumeenunascuantastécnicasbasadasenprocedimientosyfórmulasrecurrentes,yesútilparaelcálculodeprobabili-dades.Paracalcularlaprobabilidaddeocurrenciadeuneventoenparticular,esimportanteconocerelnúmerototalderesultadosposibles.Conlaaplicacióndelastécnicasdeconteofacilitamosenormementeelcálculodelasprobabilidades.

2. principios De conteo

2.1 Principio de multiplicación

SiuneventoAocurreden1manerasdiferentesy,concadaunadeellas,otroeventoBocurreden2manerasdiferentes,entonceselnúmerototaldemanerasdiferentesenqueamboseventos(AyB)puedenocurrirenelordenindicadoesiguala 1 2n n .× Porconsiguiente, lacondiciónnecesariaysuficienteparaqueseapliqueel

principiodemultiplicaciónesqueocurranamboseventos,unoseguidodelotro,poretapas.Para ilustrar este principio se presenta la siguiente figura, conocida como

“diagramadeárbol”,enlaquesepuedenobservarlasdiferentesposibilidadesdeocurrenciadeloseventosA,Byambos.


Figura 5.1 Representación gráfica del principio de multiplicación

Elaboración propia

Generalizando,siunexperimentopuederealizarsecomounasecuenciadek eventos,yelnúmerodemanerasdeocurrenciadelevento1esn1,ysiparacadamaneradeocurrirelevento1existenn2manerasdeocurrirelevento2,ysiparacadamaneradeocurrirelevento2existenn3modosdeocurrirelevento3,yasísucesivamente,entonceselnúmero totaldemanerasdequeocurraelexperi-mentoes 1 2 3 k n n n n . ...× × × ×

Ejemplo 5.1Sedisponede3víasparaviajardeLimaaCallaoyde4paraviajardelCallaoaLima.¿Decuántasformassepuedeorganizarelviajedeidayvuelta?

SoluciónUtilizandoelprincipiodemultiplicación:3 4 12× = formas.

Ejemplo 5.2¿Cuántasplacasdeautomóvilsepuedenhacerutilizando2letrasseguidasdetrescifrassinoseadmitenrepeticiones?Considere26letras.

SoluciónUtilizando el principio demultiplicación: 26 25 10 9 8 468 000 × × × × = placasposibles.

1

2..

.

.

n2

n2

n2

12

.

.

12

2

.

.

n1

1

n1 x n2maneras

Evento A

Evento B

.


2.2 Principio de adición

SiuneventoAtiene2alternativasdeocurrencia,dondelaprimerapuedeocu-rrirden1manerasylasegundaden2maneras,yademásambasnopuedenocu-rrirjuntas;entonces,eleventoApuedeocurrirde 1 2n n+ maneras.

Figura 5.2 Representación gráfica del principio de adición

Elaboración propia

ElresultadoanteriortambiénsepuedegeneralizarsieleventoAtienekalter-nativas,conn1,n2 ,...,nkmanerasdeocurrencia.Enestecaso,elnúmerototaldemanerasdeocurrenciadeleventoAeseste:

1 2 3 kn n n n...+ + + +

Ejemplo 5.3Unapersonadeseacomprarunamáquinalavadoraderopa,paralocualhapensadoquepuedeseleccionarunaentrelasmarcasW,EyG.CuandoacudeahacerlacompraencuentraquelalavadoradelamarcaWsepresentaen2tiposdecarga(8y11kilogramos),mientrasquelalavadoraEsepresentaen3tiposdecarga(8,11y15kilogramos)ylalavadoraGsepresentaensolountipodecarga(11kilogramos).¿Cuántasmanerastieneestapersonadecom-prarlamáquinalavadoraderopa?

SoluciónUtilizandoelprincipiodeadición:2 + 3 + 1 = 6manerasdecomprarlalavadora.

n1 + n2maneras

2

1

Evento A

Alternativa 2Alternativa 1

2

1

.

n1

. .

.

n2


Ejemplo 5.4Unaparejapróximaacasarseahorradineroparacomprareldepartamentosoñado.EnLaMolina,leofrecenunmodeloeconómicotipoflatyundúplex;enlazonadeplayasdeAsia,leofrecenunmodeloresidencial,uncalifornianoyunprovenzal.¿Cuántasalternativasdiferentesdeviviendaleofrecenalapareja?

SoluciónUtilizandoelprincipiodeadición:2 + 3 = 5 maneras.

3. permutaciones

Supongamosquetenemostresobjetosdiferentes:a,byc;sellamanpermutacio-nesalasdiferentesmanerasenquesepuedenordenarestosobjetos.Entonces,conestos3objetossepuedenlograrlassiguientespermutaciones:

• Las permutaciones de 3 en 3 son abc, acb, bac, bca, cab, cba. Se obtienen 6permutaciones.

• Las permutaciones de 2 en 2 son ab, ba, ac, ca, bc, cb. Se obtienen 6permutaciones.

• Laspermutacionesde1en1sona,b,c.Seobtienentrespermutaciones.Dehecho,sisetienen10objetosesmuycomplicadoenumerartodaslaspo-

siblespermutacionesyaquesetratadeunnúmeromuygrande.Sibienescom-plicadoenumerartodaslaspermutaciones,resultasencillocalcularelnúmerodepermutacionesconfórmulasrápidas.Acontinuación,veremoslasfórmulasabreviadasparadeterminarelnúmerodepermutacionesquesepuedenlograrconnobjetos.

3.1 Permutaciones de n objetos diferentes

Sellamanpermutacionesden objetosdiferentesalasdiferentesmanerasenquesepuedenordenaresosn objetos.Permutarlosn objetosesequivalenteaaplicarelprincipiodemultiplicación,esdecir,contarelnúmerodemanerasenlasqueunobjetoescolocadoencadaunade lasn casillas, talcomoseobservaenlasiguientefigura:

Figura 5.3 Permutaciones de n objetos diferentes

Casilla 1 2 3 . . . n – 1 n

Númerodemaneras n n – 1 n – 2 . . . 2 1


Enlaprimeracasilla,unobjetosepuedecolocardenmanerasdiferentes;enlasegunda,den – 1manerasdiferentes,yenlaúltimasolodeunamanera.Porlotanto,alaplicarelprincipiodemultiplicación,elnúmerodemanerasdecolocarn objetosdiferentesen n casillases ( )1 2 1n n× − ×…× × .Entonces, el número de permutaciones de n objetos diferentes se calcula

conlafórmula:

( )1 2 1nP n n n!= = × − ×…× ×

Ejemplo 5.5UnanegociaciónenlaBolsadeValoresdeLimaestáformadapor10operacio-nesdiferentes.Sinembargo,lasoperacionesdebenserconsecutivasypuedenefectuarseencualquierorden.¿Decuántasmanerassepuederealizarlane-gociación?

Solución

10 10 3 628 800P ! = =

Ejemplo 5.6Sienellibrerodetucasahay15diferenteslibros,6deloscualessondemate-máticas,4dequímicay5defísica,entonces:a) ¿Decuántasmanerasdiferentespuedesacomodarlosenellibrero?

15 15 1307 674 368 000P ! = = manerasdiferentes.

b) ¿Decuántasmanerasdiferentespuedesacomodarlosentulibrerosilosdecadamateriadebenquedarjuntos? Los6librosdematemáticassepuedenpermutarde 6 720P = maneras.

Los4librosdequímicasepuedenpermutarde 4 24P = maneras.

Los5librosdefísicasepuedenpermutarde 5 120P = maneras.

Además,los3gruposdelibrossepuedenpermutarde 3 6P = maneras.

Entonces,porelprincipiodemultiplicación,elnúmerototaldemanerasenquesepuedencolocarlos15librosenellibreroyquequedenlosdecadamateriajuntosesesta:

3 6 4 5 6 720 24 120 12 441600P P P P × × × = × × × =

3.2 Permutaciones de n objetos diferentes tomados de k en k

Sellamanpermutacionesdenobjetosdiferentestomadosdekenk (k<n)alasdi-ferentesmanerasenquesepuedenordenaresosnobjetosengruposdetamañok;todaslaspermutacionesconstansolodelosmismoskobjetos,peroseconsiderandiferentesporelordenenquesecolocan.


Sise recurrenuevamentealesquemaanterior,ahorasedebecontarelnú-merodemanerasenquesepuedencolocar n objetosdiferentesen k casillas,talcomoseobservaenlasiguientefigura.

Figura 5.4 Permutaciones de n objetos diferentes tomados de k en k

Casilla 1 2 3 . . . k – 1 n

Númerodemaneras n n – 1 n – 2 . . . n – k + 2 n – k + 1

Enlaprimeracasilla,unobjetosepuedecolocarden manerasdiferentes;enlasegunda,de 1n − manerasdiferentes,yenlaúltima,de 1n k− + maneras.Portanto,aplicandoelprincipiodemultiplicación,elnúmerodemanerasdecolocarnobjetosdiferentesenkcasillases ( ) ( )1 1n n n k .× − ×…× − +

Entonces,elnúmerodepermutacionesdenobjetosdiferentestomadosdekenksecalculaconlafórmula:

( )nk

nPn k

!!

=−

Ejemplo 5.7¿Decuántasmanerasdiferentessepuedensentar20alumnosdelcursoEsta-dísticaBásicaparalosNegociosenunaulaquedisponede24asientos?

SoluciónElprimeralumnoqueentraalaulapuedeescogersuasientodeentre24po-sibles;elsegundo,deentre23posibles,yasísucesivamente,hastaelalumnonúmero20,quepuedeescogerasientodeentre5posibles.Evidentemente,4delos24asientosquedaránvacíos.Sedeberácalcularlaspermutacionesde24objetosdeorden20,esdecir:

( )24 2220

24 2 585201674 1024 20

P ! ,!

= = ×−

3.3 Permutaciones con grupos de objetos iguales o repetidos

Setienennobjetos,notodosdiferentes,queconformankgruposdeobjetosigua-les,dondeelgrupo1estáconformadopor 1n objetosiguales;elgrupo2,porn2,yelgrupok,por kn objetos.Entoncessetiene 1 2 kn n n n= + +…+ .Lasdiferentesmanerasenquesepuedenordenaresosnobjetosdemanera

quelos 1n objetosigualesentresí,los 2n objetosigualesentresíylos kn objetos


iguales entre sí, alpermutarseentre ellosporgrupo,nopuedandistinguirseunosdeotros,secalculaconlafórmula:

1 21 2

knn n n

k

nPn n n, ,

!! ! !… =× ×…×

Ejemplo 5.8¿Cuántosmensajestelegráficosdiferentessepuedenenviarutilizandoexacta-mente4puntosy5rayas?Porejemplo,unmensajetelegráficoes:− −⋅− ⋅⋅− −⋅

SoluciónElnúmerodemensajestelegráficoses:

94 5

9 1264 5

P ,!

! != =

×

Ejemplo 5.9¿Cuántaspalabrassepuedenformarutilizandotodaslasletrasdelapalabra“estadística”?Seconsiderapalabraaunquenotengasignificado.

SoluciónElnúmerodepalabrasquesepuedenformares:

111 2 2 2 1 2 1

11 2 494 8001 2 2 2 1 2 1

P , , , , , ,!

! ! ! ! ! ! != =

× × × × × ×

Propiedades

• 0 0 1P != = (porconvención)

• 1 1 1P != =

4. combinaciones

Sellamancombinacionesalosdiferentesgruposquesepuedenformarconob-jetosdiferentes,comolosobjetosa,byc.Conestos3objetossepuedenlograrlassiguientescombinaciones:

• Combinacionesde3en3: ( )a b c, , selograunacombinaciónounposiblegrupode3elementos.

• Combinacionesde2en2: ( )( )( )a b a c b c, , , selogran3combinacioneso3posiblesgruposde2elementos.

• Combinacionesde1en1: ( )( )( )a b c selogran3combinacioneso3posiblesgruposde1elemento.


Dehecho,sisetienen10objetos,esmuycomplicadoenumerartodaslaspo-siblescombinacionesde4en4,yaquesetratadeunnúmeromuygrande.Sibienescomplicadoenumerartodaslascombinaciones,resultasencillocalcularelnúmerodecombinacionesconunafórmularápida.Sellaman“combinacionesdenobjetosdiferentesdeordenk”alosdistintos

gruposquesepuedenformaralescogersecuencialmentekobjetosdeentren,demodoquecadaunadelascombinacionesesdistintadelasdemássidifiereporlomenosenunodesuselementos,sinimportarelorden.Elnúmerodecombinacionesdenobjetosdiferentesdeordenkestádadopor:

( )nk

nCk n k

!! !

=× −

Propiedades

• 0 1nC = (porconvención)

• 1nC n=

• 1nnC =

• n nk n kC C −=

Ejemplo 5.10ElcursodeEstadísticaBásicaparalosNegociostiene20estudiantes,deloscuales14sonmujeres.Siseseleccionan6estudiantes,entonces:a) ¿Cuántasseleccionesentotalsonposibles? Elnúmeroposibledeseleccionesoposiblesgruposde6es:

( )206

20 38 7606 20 6

C ! ! !

= =× −

b) ¿Encuántasseleccionesposibleshabráexactamente3mujeres? Cadaselecciónogrupoposibleconstaráde3mujeresy3hombres.Siseutilizaelprincipiodemultiplicación,elnúmerodeseleccionesposiblesconexactamente3mujereses:

6 143 3

6 14 20 364 72803 3 3 11

C C ! !! ! ! !

× = × = × =× ×

c) ¿Encuántasseleccionesposibleshabrámáshombresquemujeres?Paraesteevento,sedan3alternativasdeselección:Seleccionesde4hombresy2mujeres: 6 14

4 2C C×

Seleccionesde5hombresy1mujer: 6 145 1C C×

Seleccionesde6hombresyningunamujer: 6 146 0C C×


Luego,utilizandoelprincipiodeadición,elnúmeroposibleenqueha-brámáshombresquemujeres,es:

6 14 6 14 6 144 2 5 1 6 0 15 91 6 14 1 1 1450C C C C C C× + × + × = × + × + × =


1. UnapersonapuedeviajardeunaciudadAhaciaotraciudadBde5formasydeBaCde6formas.¿DecuántasformaspuedeirdeAhaciaC,pasandoporB?

SoluciónParairdeAhaciaC,pasandoporB,hay5 6 30 × = formasdiferentesdeir.

2. Unproductoseensamblaen tresetapas.Para laprimeraetapase tienendisponibles5líneasdeensamblaje,paralasegunda,4yparalatercera,6líneasdeensamblaje.¿Decuántasmaneraspuedemoverseelproductoenelprocesodeensamblaje?

SoluciónElproductopuedemoversede5 4 6 120× × = manerasdiferentesenelproce-sodeensamblaje.

3. Seplanificaunviajeysedebedecidirentreeltransporteporómnibusoporavión.Sihaytresrutasparaelómnibusydosparaelavión,¿decuántasmanerassepuederealizarelviaje?

SoluciónHay3 2 5 + = manerasderealizarelviaje.

4. Unproductosevendeentresmercados;enelprimerosetienendisponiblescincotiendasquevendenelproducto;enelsegundo,cuatro,yeneltercero,seistiendas.¿Decuántasmaneraspuedevenderseelproducto?

SoluciónPor el principio de adición tenemos 5 4 6 15 + + = maneras diferentes devenderseelproducto.

5. Enunaencuestasepideaunconsumidorqueordenesuspreferenciaspor4marcasdegaseosa.¿Cuántasordenacionesdiferentespuedenresultar?

Solución

4 4 24P != = ordenacionesdiferentes.


6. En un microbús que tiene 12 asientos se desea ubicar a 7 pasajeros. ¿Decuántasformasdiferentessepuedenubicar?

SoluciónSepuedenubicarde 12

7 3 991 680P = formasdiferentes.

7. Enunaclasede10alumnosvanadistribuirse3premios.Averigüedecuán-tasmaneraspuedehacersesilospremiossondiferentes.

SoluciónSi los alumnos no pueden recibirmás de un premio y los premios son diferentes; entonces, el número de maneras diferentes de distribuir los premioses:

103 720P =

8. Unestantedeunalibreríatienecapacidadpara10librosdeMatemáticasdepastaverde,8deFísicadepastarojay7deQuímicadepastaazul.¿Decuántasformaspuedencolocarseloslibrossegúnloscolores?

SoluciónElnúmerodeobjetosporgrupoes 1 2 310 8 7n n n, ,= = =

Elnúmerodepermutacionesdiferenteses 2510 8 7

25 21 034 470 60010 8 7

P , ,!

! ! != =

× ×

Hay21034470600manerasdecolocarloslibrosenunestantedelalibrería.

9. Unartículo se etiquetamediante la impresiónde4 líneasdelgadas, 3 lí-neasmedianasy2líneasgruesas.Sicadaordenamientodelasnuevelíneas representa una etiqueta diferente, ¿cuántas etiquetas distintas pueden generarseconesteesquema?

SoluciónElnúmerodeetiquetasdistintasquepuedengenerarsees:

94 3 2

9 12604 3 2

P , ,!

! ! != =

× × etiquetasdistintas

10. Ungrupode8personasconstade5hombresy3mujeres.¿Cuántoscomitésde3miembrosyqueconstenexactamentede2hombressepuedenformar?

SoluciónEscogemos2hombresde5y1mujerde3;elnúmeroposibledecomitéses:

5 32 1

5 3 10 3 302 3 1 2

C C ! !! ! ! !

× = × = × =× ×


11. Seinspeccionaunlotede140chipsmediantelaseleccióndeunamuestrade5deellos.Si10chipsnocumplenconlosrequerimientosdelcliente,entonces.a) ¿Cuáleselnúmerodemuestrasdistintasposibles?b) ¿Cuántasmuestrasde5contienenexactamenteunchipquenocumpleconlosrequerimientos?

c) ¿Cuántasmuestrasde5contienenalmenosunchipquenocumpleconlosrequerimientos?

d) ¿Cuántasmuestrasde5contienenalomás2chipsquenocumplenconlosrequerimientos?

Solucióna) Elnúmerodemuestrasdistintasposibleses:

1405

140 416 965 5285 135

C ! ! !

= =×

b) Elnúmerodemuestrasdistintasposiblesquecontienenexactamenteunchipquenocumpleconlosrequerimientoses:

10 1301 4 10 11358880 113 588 800C C × = × =

c) Elnúmerodemuestrasdistintasposiblesquecontienenalmenosunchipquenocumplenconlosrequerimientoses:

10 130 10 130 10 130 10 130 10 1301 4 2 3 3 2 4 1 5 0 130 721752C C C C C C C C C C × + × + × + × + × =

Otraformadesolución:140 10 1305 0 5 130 721752C C C − × =

d) Elnúmerodemuestrasdistintasposiblesquecontienenalomás2chipsquenocumplenconlosrequerimientoses:

10 130 10 130 10 1300 5 1 4 2 3 415 931776C C C C C C × + × + =


1. Ungrupodepersonassonclasificadasdeacuerdoconsusexo,estadocivil(soltero,casado,divorciadooviudo)yprofesión.Sihay30profesiones,¿decuántasmanerassepuedehacerestaclasificación?


2. ¿Cuántosnúmerosenterosydesigualesmayoresde10ymenoresde100sepuedenformarconlos8primerosdígitos(1al8)sinrepetirningunodeellas?

3. Unaplacadeautomóvilconstade2letrasdistintasseguidasde3dígitos,deloscualeselprimeronoes0.¿Cuántasplacasdiferentespuedenformarse?Considere26letras.

4. Elcabledeseguridaddeunabicicletatieneuncandadocon4ruedasycadaruedatiene6posiciones.Siparaformarcadacombinaciónseemplea5se-gundos,determineeltiempomáximoquesenecesitaparaabrirelcandado.

5. EnciertazonadeMirafloreshay3playasdeestacionamiento.Laprimeracuentacon30espacios;lasegunda,con25,ylaterceracon20.¿Decuántasmanerasunconductorpuedeestacionarseendichazona?

6. Unmecanismoelectrónicodecontrolrequierede5chipsdememoriadife-rentes.¿Decuántasmaneraspuedeensamblarseestemecanismocolocandolos5chipsenlas5posicionesdentrodelcontrolador?


7. Sevanapresentar6conferencistasenunareunión.¿Decuántasmanerasdiferentessepuedensituarenelescenariolos6conferencistasenfila?

8. Secontrataunserviciodecalificacióndecomputadorasparaencontrarlas3mejoresmarcasdemonitoresEGA.Seincluiráuntotalde12marcasenelestudio. ¿Decuántas formasdistintaspuedeel serviciodecalificaciónllegaralordenamientofinal?

9. Unconferencistadisponede8temassobrelosquepuededisertardurante30minutos.Selepidequepresenteunaseriede5conferenciasde30mi-nutosaungrupodepersonas.¿Entrecuántassecuenciasdeconferenciaspuedeescoger?

10. ¿Decuántasmanerasdiferentessepuedensentar8personasenunabancaconcapacidadparaseispersonas?

11. ¿Decuántasformaspuedeunsindicatolocalelegirentresus25miembrosaunpresidenteyaunsecretario?


12. ¿Decuántasmanerasdistintassepuedenordenar2fichasrojas,2verdes y3azules?

13. Deuntotalde12analistas,sedeseaasignar3altrabajo1,4altrabajo2y5altrabajo3.¿Decuántasformasdistintassepuedeefectuarestaasignación?

14. ¿Decuántasmanerasdiferentespuedeunpadredividir8regalosentresus3hijos,sielmayordeberecibir4ylosmenores2cadauno?

15. ¿Cuántas rectas diferentes se pueden formaruniendo los vértices deunoctógono?

16. ElTankitoesunjuegodeloteríasemanalytienemilesdeseguidoresque,semanatrassemana,compranunajugadaquecuesta3soles.Cadajugadaconsiste enelegir5númerosdiferentesentreel 1yel 40.La jugadaqueaciertalos5númeroselegidoseselganadorde2millonesdesoles.Siustedcompratodaslasjugadasposibles,ysuponiendoqueeselúnicoganador,¿cuántoeslagananciaqueobtendría?


17. Ungerentetienequeconformarunacomisiónde4miembrosparaquereali-cenunanegociaciónydisponedeungrupode6economistasy9ingenieros.a) ¿Decuántasformasdistintaspuedenformarselascomisionessidebenestarconformadasalmenospor2economistas?

b) ¿Decuántasformasdistintaspuedenformarselascomisionessidebenestarconformadasalomáspor3ingenieros?

18. Enunaempresasevaaconformarunadelegacióncomercialde8ejecutivosdenegocios,quienesseránseleccionadosdelgrupodeejecutivosdelaem-presaconformadopor6hombresy5mujeres.a) ¿Cuántasdelegacionessepuedenformarsicadaunadeellasdebecon-taralmenoscon3ejecutivasmujeres?

b) ¿Cuántasdelegacionessepuedenformarsicadaunadeellasdebecon-taralmenoscon3ejecutivoshombres?


19. Unequipodefútbol(11jugadores)disponede3arquerosy15jugadoresdecampo.a) ¿Cuántasalineacionesdistintassepuedenformarsinimportarlasposi-cionesdelosjugadoresdecampo?

b) ManuelyJorgesonamigosyjugadoresdecampo;¿encuántoscasossepodráformarelequiposialmenosunode losamigosdebe jugar(noimportalaubicacióndentrodelcampo)?

20. Eneldiseñodeunatarjetaexisten12posicionesdiferentesdondepuedencolocarsechips.a) Sisecolocan5tiposdiferentesdechipssobrelatarjeta,¿cuáleselnúme-rodediseñosdistintosposibles?

b) Silos5chipsquesecolocansobrelatarjetasondelmismotipo,¿cuáleselnúmerodediseñosdistintosposibles?

Respuestas a los ejercicios y problemas propuestos

Respuestas a los ejeRcicios y pRoblemas pRopuestos 297

Capítulo 1

Ejercicios y problemas propuestos 1

1. Población Las2000personasqueasistieronparaverificarelmontoquedebíanpagarporim-

puestoalarentaenlaSunatdelaciudaddeLima.

Muestra 350personas,seleccionadasalazar,queasistieronparaverificarelmontoquedebíanpagarporimpuestoalarentaenlaSunatdelaciudaddeLima.

Unidaddeanálisis UnapersonaqueasistióalaSunatdelaciudaddeLimaparaverificarelmontoquedebíapagarporimpuestoalarenta.


Tiempoquedemora lapersonapararealizarunaconsultaenventanilla (minutos).Cuantitativacontinua.Calidaddelserviciodeatenciónquerecibelapersona.Cualitativaordinal.

Parámetro Tiempopromediodedemorade las2000personasparaverificarelmontopor im-puestoalarentaenlaSunatdeLima.

Estadístico El tiempopromediodedemorade las350personas seleccionadasparaverificarelmontodelimpuestoalarentaenlaSunatdeLima.

Ejemplodedato Unapersonaafirmóque laatenciónrecibidafuemuybuena;elvalornonumérico“muybuena”eseldato.

2. Población Laspersonasjóvenesdeentre15y30añoscumplidosdeLimaMetropolitanaparaelestudiodel7defebrerodel2016.

Muestra 1500personasjóvenesseleccionadasmediantealgúnmétododemuestreoprobabilís-ticoparaelestudiodel7defebrerodel2016.

Unidaddeanálisis Unapersonajovendeentre15y30añoscumplidosdeLimaMetropolitana.


Autoevaluaciónde lapersona joven sobre el estadode su salud física.Cualitativaordinal.Gastosemanalquerealizaunapersona jovenenbebidasenergéticas.Cuantitativacontinua.

Parámetros PorcentajedejóvenesdeLimaMetropolitanaqueconsideranquesusaludfísicaesexcelente.GastopromediosemanalquerealizanlosjóvenesdeLimaMetropolitanaenbebidasenergéticas.

Estadístico El38%delosjóvenesentrevistadosconsideraquesusaludfísicaesexcelente.Ejemplodedato Unjovenafirmóquesusaludfísicaesexcelente;elvalornonumérico“excelente”es

eldato.

3.

Población Laspersonasde18a70añosdeedadqueresidenenPerú.Muestra Las1200personasseleccionadasprobabilísticamenteparaelestudio.Unidaddeanálisis Unapersonadeentre18y70añosdeedadqueresideenPerú.Variable(s)ytipo(s)devariable(s)

Conocimientosobrelacantidaddecaloríasquedebeconsumirunapersonapordía.Cualitativanominal.

Parámetro Porcentajepoblacionaldepersonasquedesconocenlacantidaddecaloríasquedebeconsumirunapersonapordía.

Estadístico El90%delaspersonasseleccionadasdesconocelacantidaddecaloríasquedebeconsumirunapersonapordía.

Ejemplodedato Unapersonaentrevistadamanifestóquelacantidaddecaloríasconsumidaspordíadebeser2500;elvalornumérico“2500”eseldato.


4. Población Laspersonasde18a64añosquevacacionaronenLima,Arequipa,Trujillo,Huancayo

yChiclayoen2016.Muestra Las3359personasseleccionadasprobabilísticamenteparaelestudiode2016.

Unidaddeanálisis Unapersonadeentre18y64añosquevacacionóenLima,Arequipa,Trujillo,Huan-cayoyChiclayoen2016.


Tiempo(endías)queelturistapermanecióenellugar.Cuantitativacontinua.Gastodiarioporturista.Cuantitativacontinua.Lugaresdeinformaciónparalasvacacionesdelturista.Cualitativanominal.

ParámetrosTiempopromedioquepermanecieronlosturistasenesoslugares.Gastopromediodiarioporturistaenlapoblación.Porcentajepoblacionaldeturistasquebuscaroninformaciónturísticaporinternet.

Estadísticos

Eltiempopromedio(endías)porturistaseleccionadodepermanenciaenestosluga-resfue5días.Elgastopromediodiarioporturistaseleccionadofue766soles.El56%depersonas,seleccionadasmediantealgúnmétododemuestreoprobabilísti-co,manifestóqueobtuvieroninformaciónporinternet.

Ejemplodedato Unturistarespondióquellevaba5díasenlaciudaddeTrujillo;elvalornumérico5eseldato.

5.

Población Los35000clientesdelossupermercadosdeLimayCallaoenfebrerode2016.

Muestra Los 1200 clientesde los supermercadosdeLimayCallao, seleccionadosmediantealgúnmétododemuestreoprobabilístico,enfebrerode2016.

Unidaddeanálisis UnclientedealgúnsupermercadodeLimayCallaoenfebrerode2016.


Calificaciónqueotorgóelclientealacalidaddelservicioquerecibióenunsupermer-cadodeLimayCallao.Cualitativaordinal.OpinióndelclientesobrelacomodidaddelospreciosenunsupermercadodeLimayCallao.Cualitativanominal.Número de días por semana que asistió el cliente a un supermercado de Lima y Callaoenfebrero.Cuantitativadiscreta.Tiempo que permaneció un cliente en caja para realizar un pago. Cuantitativa continua.

Parámetros

PorcentajedeclientesdelossupermercadosdeLimayCallaoquecalificóelserviciocomo“bueno”.PorcentajedeclientesdelossupermercadosdeLimayCallaoqueopinóquelospre-cioserancómodos.PromediodedíasporsemanaqueasistieronlosclientesalossupermercadosdeLimayCallao.Tiempopromedioquepermanecieronlosclientesencajapararealizarunpago.

Estadísticos

PorcentajedeclientesseleccionadosdelossupermercadosdeLimayCallaoquecali-ficóelserviciocomo“bueno”.El60%declientesseleccionadosdelossupermercadosdeLimayCallaoopinóquelosprecioserancómodos.Elpromediodedíasporsemanaquelosclientesseleccionadosasistieronalossuper-mercadosdeLimayCallaofuede2.Eltiempopromedioquelosclientesseleccionadospermanecieronencajaparareali-zarunpagofuede20minutos.

Ejemplodedato Unclienterespondióquecalificócomobuenalacalidaddelserviciodeatenciónenelsupermercado;elvalornonumérico“bueno”eseldato.


6.Variable

Cualitativa CuantitativaNominal Ordinal Discreta Continua

Religiónqueprofesaunapersona X

Preferenciadelestudianteuniversitarioporunprofesorenuncurso X

Cantidadde toneladasmétricasdepescadoobtenidas sema-nalmenteporunaembarcaciónpesquera X

Númerodehijosenunafamilia X

Cargofuncionaldeuntrabajadorenunaclínicaparticular X

Clubdefútbolfavoritodeunaficionado XLugardenacimientodeunapersona X

Cantidaddemetroscúbicosdevinoenundepósito X

Númerodearmasenunalmacén XSumadelospuntosobtenidosenunapruebaescritadelcurso EstadísticaBásicaparalosNegocios X

Comidacriollafavoritadeunapersona X

Capacidaddeltanquedegasolinadeunauto X

7.

Variable Discreta Continua

Númerodecarrosqueposeeunafamilia XÁreaconstruidadeunacasa XTiempodevidaútildeunautomóvil XTemperaturacorporaldeunapersona XNúmerodecelularesvendidoscadadíaenunatienda X

8.

Variable TipodevariableEstatura(enmetros)deunalumnodelaEscuelaNavaldelPerú CuantitativacontinuaDepartamentooregióndenacimientodeunciudadanoperuano CualitativanominalCalificacióndeunpresidenteporlosciudadanosdesupaís(malo,regular,bueno) CualitativaordinalTiempo(enañoscumplidos)queletomaaunestudianteterminarsucarrera CuantitativadiscretaTamañodeunaempresaenelPerú(pequeña,mediana,grande) CualitativaordinalCalificaciónfinaldeunalumnoenlaasignaturaEstadísticaBásicaparalosNego-ciosenlaUniversidaddeLima Cuantitativadiscreta

Valor(ensoles)deunaaccióndelaBolsadeValoresdeLima CuantitativacontinuaNúmerodellamadasdiariasalacentraltelefónicadeunaclínica CuantitativadiscretaPropiedaddeautomóvilpropio(sí,no) CualitativanominalMontoenmillonesdedólaresporexportacionesmensualesenelPerú CuantitativacontinuaNiveldepercepcióndeunpacientesobrelaatenciónrecibida(muymala,mala,regular,buena,muybuena) Cualitativaordinal

Númerodecarrerasprofesionalesenunauniversidadperuana CuantitativadiscretaTiempodegarantía(enañoscumplidos)otorgadaaunclienteporlacompradeunautomóvil Cuantitativadiscreta

NúmerodecréditosacadémicosaprobadosporunalumnodelaEscueladeNe-gociosenelsemestre2016-II Cuantitativadiscreta


9. Población Muestra Variable Parámetro Estadístico

Usuarios de me-diosdetransportedeLimaMetropo-litanaenel2016

Muestraprobabilísti-cade400usuariosdetransporte de LimaMetropolitana

Númerodevecesque un usuarioutilizaalgúnme-diodetransporte

Promediodevecesporusuario que utiliza algúnmediodetrans-porte enLimaMetro-politana ( )µ

Promediodevecesporusuario seleccionadoqueutilizaalgúnme-dio de transporte enLima Metropolitana

X( )

Personas de entre18 y 65 años quevacacionaron enCusco

Untotalde3359per-sonas seleccionadasalazar,cuyasedadesestán entre 18 y 65años y que vaca-cionaronenCusco

Tiempo que per-maneceelturistaenCusco

Tiempopromedioquepermanece el turistaenCusco ( )µ

Tiempo promedioque permanece enCuscoun turista se-leccionado X( )

Pasajeros de unalínea aérea delPerúendiciembrede2016

Untotalde1050pas-ajeros de una líneaaéreadelPerú,selec-cionados al azar endiciembredel2016

Númerodevecesque usaron losservicios de lalínea aérea en elmes

Promediodevecesporpasajero que usó losservicios de la líneaaéreaenelmes ( )µ

Promedio de vecespor turista seleccio-nadoqueusólosser-viciosdela línea aérea enelmes X( )

10.

Variable NiveldemediciónMediodetransportequeutiliza Nominal

Vecesqueutilizaelmediodetransporteparamovilizarse Ordinal

Actividadquerealizaelusuariocuandoutilizaunmediodetransporte Nominal

Gastoquerealizaelusuariocuandoutilizaelmediodetransporte Razón

11. Variable ¿Discretaocontinua? Nivelde

mediciónPrecioporacción(endólares)deunaempresaalcierredejuliodel2016 Cuantitativacontinua RazónNúmerodevisitantesdelMuseoNacionalenundía Cuantitativadiscreta RazónInflaciónmensual (variaciónporcentual del Índice de Precios alConsumidor)enelPerú Cuantitativacontinua Razón

Puntaje(entre0y20)queotorgaunusuarioalacalidaddelservi-ciodetransportequerecibe:–Pésimoservicio=0–Excelenteservicio=20

Cuantitativadiscreta Ordinal

GastosemanaldeunafamiliadeLimaenalimentos–Bajo:menosde500soles–Medio:entre500y1000soles–Alto:másde1000soles

Cuantitativacontinua Ordinal

12. Nominal13. Nominal14. Razón

15. Porque,enlaescalademedicióndeintervalo,el0noesabsoluto.16. Nominal


Capítulo 2


1. Enunciado VoF

Sedenomina“fuenteprimaria”alainformaciónqueelinvestigadorrecogepormediodeuncuestionario. V

Lasfuentessecundariasseclasificanennacionaleseinternacionales. F

Laetapadedigitalizacióndelcensoconsisteengenerarmapas,planosycroquisatravésdesistemasdigitales. V

Laencuestaesunaobservaciónnodirectadeloshechospormediodelacuallosentre-vistadossemanifiestan. V

Enelcuestionarioestructurado,laspreguntasyposiblesrespuestasnosepresentandelamismaformaatodoslosinformantes. F

Enlaspreguntascerradasdeselecciónmúltipleseadmitequeelinformantepuedaes-cogervariasopcionesentrelasrespuestaspresentadas. V

2. a) Primariadirectab) Primariaindirecta,primariadirectac) Secundariad) Secundariae) Primariadirectaf) Secundariag) Secundaria

3. – Cerradadeselecciónúnica.Ordinal– Cerradadeselecciónmúltiple.Nominal– Abierta.Razón– Cerradadeselecciónúnica.Ordinal

4. – Cerradadeselecciónúnica– Cerradadeselecciónúnica– Cerradadeselecciónúnica– Cerradadeselecciónmúltiple

5. D-E-A-C

6. a) ¿Cuáleselgastoaproximadoqueustedrealizacuandoasisteaunsupermercado?b) Elhorariodeatenciónqueescogeríaes(puedemarcarmásdeunaopción):

• 7horasa21horas• 8horasa21horas• 7horasa22horas• 7horasa23horas

c) Ladistribucióndelosproductoseslasiguiente:• Excelente• Buena• Regular• Mala• Pésima


7. a) Objetivogeneral: Analizar la influenciade los factoressocioindividualesde losalumnosydelnivelsocioeconómicodesus

padresensurendimientoacadémico. Objetivosespecíficos:

• Ubicar,seleccionaryresumirlainformacióncientíficasobrelosfactoressocioeconómicos,individualesyeducativos,ysuincidenciaenelrendimientoacadémicodelosestudiantes.

• Establecereidentificarlosfactoressocioeconómicosdelospadres(niveleducativo,ingresomensualfa-miliaraproximado,nivelsocioeconómico,nivelocupacional)queinfluyenenelrendimientoacadémicodelosestudiantes.

• Señalare identificar los factores socioindividuales (edad, sexo,estadocivil, lugardenacimiento)delalumnoqueinfluyenensurendimiento.

• Determinarlainfluenciadelfactorsocioeducativo(colegiodeprocedencia)delalumno.b) Fuentedeinformaciónsecundariainterna:

• Estadísticassobreelrendimientodelosalumnos.• Informaciónsobrelaprofesióndelospadresdefamilia.

Fuentedeinformaciónsecundariaexterna:• Ubicacióndeinformacióncientíficasobrelasvariablesenmenciónbasadasendatosespecializados.

c) Latécnicaderecoleccióndedatosprimarioses laencuestapormuestreoporentrevistapersonal,puesatravésdeellasepuederecogerinformaciónactualizadadelosalumnos.

d) Haymuchasposiblespreguntas,porejemplo:1)Nombresyapellidos;2)Edad;3)Profesióndelpadredefamilia;4)Númerodecursosaprobados;5)Númerodehorasdestinadasalestudiodiariamente,entreotras.Todasestassonpreguntasabiertas.

Capítulo 3


1. a) Unidaddeanálisis:unconsumidordecomida rápidadeLimaMetropolitana. Variable:tipoderestaurantequeprefiereelcon-

sumidordecomidarápida.

Distribución de unidades según tipo de transporteAéreo5,0 %

Ferroviario20,0 %

Terrestre45,0 %

Fluvial30,0 %

Distribución de unidades según tipo de transporte

Transporte

Porc

enta

je

50

40

30

20

10

0Aéreo Ferroviario Fluvial Terrestre

5

10

30

45

3. a) Variable:frecuenciadeconsumodeIncaKola porconsumidor.

Niveldemedición:ordinal.

b) Restaurante fi hi hi %McDonald’s 46 0,184 18,4BurgerKing 38 0,152 15,2Telepizza 36 0,144 14,4Chifa 95 0,380 38,0Pollería 35 0,140 14,0Total 250 1 100

c) 52,4%

2. Transporte fi hi hi %

Aéreo 1 0,05 5Ferroviario 4 0,20 20Fluvial 6 0,30 30Terrestre 9 0,45 45Total 20 1 100


b) Frecuenciadeconsumo fi hi hi %Nunca 30 0,10 10

Unavezporsemana 90 0,30 30

Dosvecesporsemana 120 0,40 40

Entre3y4veces 60 0,20 20

Total 300 1 100

4. xi fi hi Fi Hi

1 10 0,20 10 0,202 14 0,28 24 0,483 15 0,30 39 0,784 5 0,10 44 0,885 6 0,12 50 1

Total 50 1 --- ---

10

14 15

56

1 2 3 4 5

Distribución de clientes por número de operaciones bancarias

Operaciones bancarias

Núm

ero

de c

lient

es

5. xi fi hi Fi Hi

3 6 0,12 6 0,124 3 0,06 9 0,185 8 0,16 17 0,346 10 0,20 27 0,547 5 0,10 32 0,648 6 0,12 38 0,769 8 0,16 46 0,9210 4 0,08 50 1Total 50 1 --- ---

Distribución de tarjetas electrónicas según el número de errores

Núm

ero

de ta

rjeta

s

10

8

6

4

2

0 3 4 5 6 7 8 9 10

Número de errores

6. a) Gasto xi fi hi Fi Hi

[60;75) 67,5 2 0,050 2 0,050

[75;90) 82,5 8 0,200 10 0,250

[90;105) 97,5 3 0,075 13 0,325

[105;120) 112,5 10 0,250 23 0,575[120;135) 127,5 9 0,225 32 0,800[135;150) 142,5 8 0,200 40 1Total --- 40 1 --- ---

Distribución de clientes según el gasto de cemento

60 75 90 105 120 135 150

23

8

109

8

10

8

6

4

2

0

Gasto (soles)

b)3 0 075h ,= El7,5%declientesgastóentre90ymenosde105solesencomprasdecemento.

4 23F = Un total de 23 clientes gastó menos de 120 solesencomprasdecemento.

5 2 0 8 0 25 0 55H H– , , ,= − = El55%declientesgastóentre90ymenosde135solesencomprasdecemento.

5

33 10 9 22i

if

== + + =∑

Untotalde22clientesgastóentre90ymenosde135solesencomprasdecemento.

c) 17clientes

7. a) Ingresos xi fi hi Fi Hi

[52;101,5) 76,75 4 0,08 4 0,08[101,5;151) 126,25 7 0,14 11 0,22[151;200,5) 175,75 10 0,20 21 0,42[200,5;250) 225,25 16 0,32 37 0,74[250;299,5) 274,75 6 0,12 43 0,86[299,5;349) 324,25 4 0,08 47 0,94[349;398,5) 373,75 3 0,06 50 1Total --- 50 1 --- ---


b)3 0 20h ,=

El20%delosafiliadostieneingresosdeentre151ymenosde200,5solesalmes.

4 37F = Untotalde37afiliadostieneingresosmeno-resde250solesalmes.

5 3 0 86 0 42 0 44H H– , , ,= − = El44%delosafiliadostieneingresosdeentre200,5ymenosde299,5solesalmes.

4

27 10 16 33i

if

== + + =∑

Un total de 33 afiliados tiene ingresos de entre101,5ymenosde250solesalmes.

61 1 0 94 0 06H , ,− = − = El6%deafiliadostieneingresosdealmenosde349desolesalmes.

Distribución de los afiliados según sus ingresos mensuales

Ingresos (cientos de soles),

Ingresos (cientos de soles)

Distribución acumulada de los ingresos de los afiliados a

Distribución acumulada de los ingresos de los afiliados a la AFP

PPA xi fi hi Fi Hi

[5,53;7,19) 6,36 1 0,0125 1 0,0125[7,19;8,85) 8,02 4 0,0500 5 0,0625[8,85;10,51) 9,68 7 0,0875 12 0,1500[10,51;12,17) 11,34 19 0,2375 31 0,3875[12,17;13,83) 13,00 30 0,3750 61 0,7625[13,83;15,49) 14,66 15 0,1875 76 0,9500[15,49;17,15) 16,32 4 0,0500 80 1Total --- 80 1 --- ---

Distribución de los alumnos según PPA

5,53 7,19 8,85 10,51 12,17 13,83 15,49 17,15

14

7

19

30

15

4

Frec

uenc

ia d

e al

umno

s

h3=0,0875El8,75%dealumnostieneunPPAdeentre8,85ymenosde10,51.

5 2 0 7625 0 0625 0 70H H– , , ,= − = El 70%de alumnos tieneunPPAde entre8,85ymenosde13,83.

c) 19estudiantes.

d)5

35

3

12 02i i i

i i

x ff

,=

=

∑ =∑

UnalumnoquetieneenPPAentre8,85ymenosde13,83tieneunPPApromediode12,02.

Pagos xi fi Fi hi Hi

[150;250) 200 4 4 0,050 0,050

[250;350) 300 20 24 0,250 0,300

[350;450) 400 30 54 0,375 0,675

[450;550) 500 18 72 0,225 0,900

[550;650) 600 8 80 0,100 1

Total --- 80 --- 1 ---

4 1 72 4 68F F− = − = Untotalde68trabajadorespagóentre250ymenosde550solesenimpuestosdequintacategoría.

4 2 0 9 0 3 0 6H H– , , ,= − = El 60 % de trabajadores pagó entre 350 ymenosde550solesenimpuestosdequintacategoría.

c) Untotalde30%detrabajadores.d) Untotalde32,5%detrabajadores.e) Untotalde32600soles.

8. a)

b)

9. a)

b)


12. a) Población: los clientes de la empresa en sus 4tiendascomerciales.

Muestra:Los50clientesseleccionadosdelas4sucursalesdelaempresa.

b) PorcentajedeclientesdelaempresaquevisitanlatiendaA.

c) Promedio de visitas por semana que realizanlosclientesdelaempresa.

Tienda fi hi hi %A 10 0,20 20B 6 0,12 12C 15 0,30 30D 19 0,38 38Total 50 1 100

Distribución de clientes por tienda

Porc

enta

je d

e cl

ient

es

40

30

20

10

0

20

12

30

38

Distribución de clientes por tienda

A

B

C

D38,0 %

20,0 %

12,0 %

30,0 %

Venta xi fi fi hi Hi

[30;52) 41 2 2 0,04 0,04[52;74) 63 3 5 0,06 0,10[74;96) 85 6 11 0,12 0,22[96;118) 107 8 19 0,16 0,38[118;140) 129 11 30 0,22 0,60[140;162) 151 10 40 0,20 0,80[162;184) 173 10 50 0,20 1Total --- 50 --- 1 ---

Notas xi fi hi Fi Hi

[3;6) 4,5 18 0,15 18 0,15

[6;9) 7,5 36 0,30 54 0,45

[9;12) 10,5 30 0,25 84 0,70

[12;15) 13,5 24 0,20 108 0,90

[15;18) 16,5 12 0,10 120 1

Total --- 120 1 --- ---

5 1 120 18 102F f− = − =

Untotalde102alumnosobtuvonotasentre6ymenosde18puntos.

4 2 0 9 0 45 0 45H H , , ,− = − =

El45%dealumnosobtuvonotasentre9ymenosde15puntos.

c) Untotaldel90%delosalumnos.d) Untotaldel30%delosalumnos.e) Untotaldel75%delosalumnos.

SucursalA

Venta xi fi Fi

[2800;3200) 3000 30 30

[3200;3600) 3400 50 80

[3600;4000) 3800 85 165

[4000;4400) 4200 95 260

[4400;4800) 4600 75 335

[4800;5200) 5000 45 380

[5200;5600) 5400 20 400

Total --- 400 ---

SucursalB

Venta xi fi Fi

[3200;3600) 3400 32 32

[3600;4000) 3800 48 80

[4000;4400) 4200 48 128

[4400;4800) 4600 72 200

[4800;5200) 5000 96 296

[5200;5600) 5400 4 300

[5600;6000) 5800 20 320

Total --- 320 ---

b) Untotalde3101600soles.c) Untotalde110740soles.d) LasucursalAcon74700soles.

10. a)

b)

11. a)

e)

d)


Distribución de los clientes según su gasto diario

23

6

8

1110 10

4 2 0 38 0 10 0 28H H , , ,− = + = El284%declientesgastandiariamenteentre74ymenosde118soles.

5 5

2 49i i

i if f

= =− =∑ ∑

Untotalde9clientesgastaentre52ymenosde96soles.

xi fi hi Fi Hi

1 9 0,18 9 0,18

2 22 0,44 31 0,62

3 12 0,24 43 0,86

4 7 0,14 50 1

Total 50 1 --- ---

Distribución de los clientes según el número de visitas

9

22

12

7

Calorías(enmiles) xi fi Fi hi Hi

[15;19) 17 72 72 0,3000 0,3000[19;23) 21 90 162 0,3750 0,6750[23;27) 25 48 210 0,2000 0,8750[27;31) 29 27 237 0,1125 0,9875[31;35) 33 3 240 0,0125 1Total --- 240 --- 1 ---

2 90f = Untotalde90personasquemóentre1900ymenosde2300calorías.

3 0 875H ,= El87,5%depersonasquemómenosde2700calorías.

3 1 210 72 138F f− = − = Untotalde138personasquemóentre1900ymenosde2700calorías.

3

20 375 0 20 0 575

ih , , ,

== + =∑

El57,5%depersonasquemóentre1900yme-nosde2700calorías.

Sueldo xi fi Fi hi

[500;1500) 1000 84 84 0,336[1500;2500) 2000 46 130 0,184[2500;3500) 3000 58 188 0,232[3500;4500) 4000 22 210 0,088[4500;5500) 5000 16 226 0,064[5500;6500) 6000 13 239 0,052[6500;7500) 7000 11 250 0,044Total --- 250 --- 1

Distribución de los sueldos de los trabajadoresde la empresa AAA

Frec

uenc

ia a

cum

ulad

a

84

130

188210

226 239 250

f)

g)

b)

13. a)

14. a)

b) Distribución de los sueldos de los trabajadoresde la empresa AAA

84

4658

2216 13 11Fr

ecue

ncia

de

traba

jado

res


Categoría fi hi hi %Obrero 135 0,54 54Empleado 75 0,30 30Ejecutivo 40 0,16 16Total 250 1 100

Distribución de los trabajadores según la categoría laboral

60

50

40

30

20

10

0Obreros Empleados Ejecutivos

Categoría laboral

Porc

enta

je d

e tra

baja

dore

s 54

30

16

Producción xi fi Fi hi Hi

[18;22) 20 12 12 0,100 0,100[22;26) 24 18 30 0,150 0,250[26;30) 28 30 60 0,250 0,500[30;34) 32 36 96 0,300 0,800[34;38) 36 15 111 0,125 0,5[38;42) 38 9 120 0,075 1Total --- 120 --- 1 ---

Calificación fi hi hi%

Insuficiente 7 0,14 14Suficiente 13 0,26 26Notable 20 0,40 40Sobresaliente 10 0,20 20Total 50 1 100

b) Untotalde20alumnos.c) Untotalde86%delosalumnos.

Gasto xi fi Fi hi Hi

[20;24) 22 4 4 0,10 0,10[24;28) 26 8 12 0,20 0,30[28;32) 30 12 24 0,30 0,60[32;36) 34 10 34 0,25 0,85[36;40) 38 4 38 0,10 0,95[40;44) 42 2 40 0,05 1Total --- 40 --- 1 ---

Peso xi fi Fi hi Hi

[18,7;19,4) 19,05 4 4 0,08 0,08[19,4;20,1) 19,75 6 10 0,12 0,20[20,1;20,8) 20,45 8 18 0,16 0,36[20,8;21,5) 21,15 8 26 0,16 0,52[21,5;22,2) 21,85 3 29 0,06 0,58[22,2;22,9) 22,55 12 41 0,24 0,82[22,9;23,6) 23,25 9 50 0,18 1Total --- 50 --- 1 ---

b) Distribución de los pasajeros según el peso de sus maletas

Núm

ero

de p

asaj

eros

Peso (Kg)18,7 19,4 20,1 20,8 21,5 22,2 22,9 23,6

4

6

8 8

3

12

9

12

10

8

6

4

2

0

Capítulo 4

Ejercicios y problemas propuestos 4.1

1. a) 14,172minutos;b)13,98minutos

c) 32. a=29;b=363. 5

4. a) MáquinaB

( )7,264; 7,38= =A BX X

b) A:Entre381,12y781,12dólares B:Entre390,40y790,40dólares

5. Lasumaesiguala63.

6. Elnuevonúmeroes25.

7. a) Lamediaaritméticaes164,33gr.b) Untotalde7,67grpordebajodelpromedio.c) Elpesopromedioes165,61gr.d) Sedebeaumentarel3,45%.e) Elpesopromedioes164,33gr.

8. Lasegundaesmejor(202>201,6)

9. a) Lamediaaritméticaes191479,71millones desoles.

b) Lamedianaes187418,81millonesdesoles.c) Elvalorhalladoes181316,4millonesdesoles.d)Asimetríapositiva.

c)

15.

16. a)

17.

18. a)


e) No.Lamedianaesmejor.f) Entre172162,79y222177,65millonesdesoles.g) Laliquidezes228788,59millonesdesoles.h) Elporcentajedemeseses38%.

10. a) 2,675;b)3;c)3d) Asimetríanegativa.e) No.f) Entre1y4.g) Elnúmeromáximoes4.

Papel Plástico

Vidrio Otro

b) Papel:Asimetríanegativa Plástico:Asimetríapositiva Vidrio:Asimetríapositiva Otro:Asimetríapositiva

12. Elporcentajeseráde27,875%.

13. Lavariaciónporcentualpromediomensuales0,30%.

14. El porcentaje de aumento promedio mensual es16,03%.

15. Latasaes4,13%.16. Secumpliólapromesaconuncrecimientoprome-

diomensualde6,30%.

17. Decreció1,89%.


1. MáquinaA: 2 90ACV , %= MáquinaB: 2 10BCV , %=

DeberáutilizarlamáquinaB.2. a) 13,6045 gr=S

b) 8, 27 %=CV bajavariabilidad.3. Compañía1: 1 18 93CV , %=

Compañía2: 2 12 70CV , %= LaCompañía1haseguidounaestrategiamásriesgosa.

4. a) 1017Laamplitudtotaldelvalordeventasdelosprovee-doreses1017milesdesoles.b) 99 5QR ,= Laamplituddelvalordeventasdel50%central

deproveedoreses99,5milesdesoles.c) 127,01%=CV Lavariabilidaddelvalordeventasdelospro-

veedoresesalta.AlternativaA: 240 16 67A AX CV; , %==

AlternativaB: 240 14 58B BX CV; , %= =

AlostrabajadoreslesconvienerechazarlaalternativaA.

6. AcciónA: 4 80ACV , %= AcciónB: 24 51BCV , %=AcciónC: 5 66cCV , %=SerecomiendaalgerenteinvertirenlaacciónA.


1. a) 0 0164FA ,= − Distribuciónsimétricab) 1 0 5259PA ,=Distribuciónasimétricapositivamoderada

2. 1 20 0742 0 104P PA A, ,= =

Distribuciónsimétricamoderada3. AgenciaA: 1 0 3028PA ,= −

AgenciaB: 1 0 3354PA ,= −EsmásasimétricaenlaagenciaB.

4. Alfa: 1 0 3905PA ,= −

Beta: 1 0 3309PA ,= −EsmásasimétricaenlaciudadAlfa.


1. a) Unidaddehoja=1

MatemáticaTallosHojas00123445555666789991001111233334456720

EstadísticaTallosHojas03355566688899100000011222222333444520

11. a)

5.

1 0 3309PA ,= −

1 0 3354PA ,= −


b)

2. a) Unidaddehoja=0,1

b)

3. a)Unidaddehoja=0,01

TucoTallos Hojas30485661728234791377810034 11 31201288813266 141566163671718019820210 22 23 2425262728294

TicoTallos Hojas1151278135614147915335681613346170467182347891978820368 21 3 222302 24255261

Ubicación antiguaTallos Hojas8058182838485868722880899091929394955969703980044779957881000123551012551026691031041055

Ubicación nuevaTallos Hojas8518658872888022389909149927935679943899545960349705985799581001355910102255

Matemática

0 5 10 15 20

9

*

10

20

5 10 15 20

Estadística

TICO

10 12 14 16 18 20 22 24 26 28

17,2

11,65

*29,4

0 5 10 15 20 25 30

TUCO


b)

4. a)8km;b)4km;c)ZonaAd)ZonaA;e)ZonaAf)ZonaB

5. a-2;b-3;c-1

Capítulo 5


1. Sepuederealizarlaclasificaciónde240maneras.

2. Sepuedenformar56números.

3. Sepuedenformar585000placasdiferentes. 4. Eltiempomáximoesde108minutos.

5. Puedeestacionarsede75maneras.

6. Puedeensamblarsede120maneras.

7. De720manerasdiferentes.

8. De1320formasdistintas.

9. Sepuedeescoger entre 6720 secuenciasde confe-rencias.

10. De20160manerasdiferentes.11. De600formas.


13. De27720formasdistintas.


15. Sepuedenformar28rectasdiferentes.16. Lagananciaseráde25976soles.17 a)735;b)1239

18. a)155;b)16519. a)9009;b)815120. a)95040;b)792

Ubicación antigua

Ubicación nueva

8,0 8,5 9,0 9,5 10,0 10,5

8,50 8,75 9,00 9,25 9,50 9,75 10,00 10,25

8,058,728,72

8,80*

9,975

10,55***

9,545

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ESTADÍSTICA BÁSICA PARA LOS NEGOCIOS

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