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Geometría de Curvas y Superficies Pablo Esquer Castillo, mayo de 2018

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Índice de contenidos

Capítulo 1: Curvas y superficies. Derivadas primeras.

Objetos paramétricos …………………………………………………………….………. 3

Difeomorfismos …………………………………………………………………….……….. 5

Descripciones locales como grafo ………………………………………….…………. 6

Longitud de arco ………………………………………………………………………….. 8

Modelos como subconjuntos y definición implícita ………………………..…….... 11

Caminos en superficies …………………………………………………………………. 12

Recta y plano tangente ………………………………………………………….…….. 13

Envolventes …………………………………………………………………………….….. 16

Capítulo 2: Segundas derivadas.

Curvatura general …………………………………………………………….…………. 18

Una fórmula explícita para el vector de curvatura ……………………….…….... 19

Diedro y ecuaciones de Frenet ………………………………………………….……. 20

Capítulo 3: Curvas en el espacio. Terceras derivadas.

Teorema de proyección ……………………………………………………………..…. 23

Triedro de Frenet: Torsión ………………………………………………………….……. 25

Capítulo 4: Geometría intrínseca. Métricas y otros campos.

La diferencial y sus casos particulares ………………………………………..…….… 29

Campos importantes ……………………………………………………………….….... 32

La métrica de Riemann …………………………………………………………….…... 33

La primera forma fundamental …………………………………………………..……. 37

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Capítulo 5: Geometría extrínseca. Curvatura.

Endomorfismo de Weingarten: Midiendo el cambio de forma ……………..…... 39

La segunda forma fundamental …………………………………………..…………... 41

Interpretando la segunda forma fundamental ……………………………..…….... 42

Curvatura de Gauss …………………………………………………………………..….. 44

Líneas de curvatura y líneas asintóticas …………………………………………..….. 45

Capítulo 6: Cálculo de variaciones.

Geodésicas (I): Definición mediante funcionales ……………………………..…… 47

Origen analítico de la primera variación y la ecuación Euler – Lagrange ....… 50

Geodésicas (II): Definición mediante transporte paralelo …………………..….... 52

Capítulo 8: Más sobre geodésicas.

Propiedades básicas ………………………………………..……………..…………….. 56

Lema de Gauss y coordenadas de Fermi ………………………………..………….. 57

Deducción lagrangiana de las ecuaciones de un camino geodésico ….....… 58

Los símbolos de Christoffel ………………………………………………………….…... 61

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Capítulo 1: Curvas y superficies. Derivadas primeras

Las curvas y las superficies son objetos matemáticos y los objetos matemáticos

se representan mediante modelos. Los modelos que usaremos serán: Funciones

paramétricas y subconjuntos.

Objetos paramétricos.

Elegido un intervalo real que llamaremos 𝐽, una parametrización o camino es

una función:

𝛼: 𝐽 → ℝ𝑛

Que supondremos siempre suave, esto es: infinitamente derivable.

Definición: Dada una parametrización 𝛼, dado que es una función suave existe

la derivada primera, que es un vector. Por tanto, dicho vector 𝛼′(𝑡) es lo que se

denomina velocidad, y si le hacemos la norma ||𝛼′(𝑡)|| a ese escalar no nulo se

le denominará rapidez. Recordemos que se puede expresar como:

||𝛼′(𝑡)|| = √𝛼′(𝑡) · 𝛼′(𝑡)

El elemento 𝛼(𝑡) para cada 𝑡 real está definido por 𝑛 funciones escalares.

𝛼(𝑡) = (𝑥1(𝑡),… , 𝑥𝑛(𝑡))

Todas ellas, las funciones, se suponen suaves, por supuesto.

Definición: Para un subconjunto 𝑈 del plano ℝ𝑢,𝑣2 con puntos de coordenadas

(𝑢, 𝑣) se puede definir una función suave Φ:𝑈 → ℝ3 que se llama parametrización

de dos variables o superficie paramétrica.

En la imagen Φ(𝑈) existen dos subconjuntos de interés:

Definición: Las líneas coordenadas a los caminos Φ(𝑢, 𝑘) o bien Φ(𝑘, 𝑣) donde 𝑘

es una constante. Es considerar una curva contenida íntegramente en un plano,

convirtiendo la parametrización en dos variables en una parametrización de

una variable.

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Definición: Decimos que una parametrización es regular en un punto si la

derivada no se anula en ese punto. Decimos que una parametrización es

regular si la derivada nunca se anula. En dos variables, entendemos como

derivada la Jacobiana, y entendemos por “no anularse” tener rango 2.

Ejemplo: Un camino 𝛼(𝑡) perfectamente diferenciable con imagen no

diferenciable en un punto.

La parábola definida por:

𝛼(𝑡) = (𝑎𝑡3, 𝑏𝑡2)

Se llama parábola semicúbica.

En el caso 𝑎 = 𝑏 = 1 es inyectivo e infinitamente diferenciable.

Pero el dibujo tiene un “pico” en el origen, luego como bien se sabe en ese

punto no existe vector tangente.

¡Advertencia! Una función puede no ser suave pero tener un grafo sin puntos

angulosos. Es lo que le ocurre a la función 𝑦 = √𝑥3

Observación: En la parábola semicúbica el punto anguloso aparece en 𝑡 = 0,

justo donde el camino deja de ser regular.

Ejemplo: Existe una curva descrita por la función 𝑦2 = 𝑥2(𝑥 + 1). ¿Cómo la

parametrizamos?

Como quiero parametrizar, quiero una función:

𝛼:ℝ → ℝ2

𝑡 → (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡))

Es decir que quiero expresar cada coordenada en función del parámetro.

Probaré (porque ya sé que va a dar resultado, pero en general no se sabe ni se

puede saber) tomando 𝑡 =𝑦

𝑥⁄ .

Esto quiere decir que 𝑦 = 𝑡𝑥, es decir que 𝑦2 = 𝑡2𝑥2.

Y, a su vez, 𝑦2 = 𝑥2(𝑥 + 1). Se deduce entonces que 𝑥 = 𝑡2 − 1, con lo que ya se

tiene una coordenada expresada en función de 𝑡. Vamos a por la otra.

Como ya tenemos cuánto es 𝑥 en cada valor de 𝑡 sólo hay que despejar 𝑦.

𝑦 = √𝑥2(𝑥 + 1)

Para sustituir.

𝑦 = √(𝑡2 − 1)2 · 𝑡2 = 𝑡(𝑡2 − 1)

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Por tanto la parametrización buscada viene dada por:

𝛼(𝑡) = (𝑡2 − 1, 𝑡(𝑡2 − 1))

Observamos que es una parametrización regular. Y observamos también que es

una curva suave pero no es inyectiva, tiene autointersecciones. Estudiaremos

más adelante la relación entre estos hechos.

Observación: Un camino en ℝ2 puede ser regular e inyectivo, pero no tener

parametrización bicontinua.

Un tipo interesante de superficies parametrizadas son los cilindros generalizados.

Son interesantes entre otras cosas porque ocurre que cualquier curva plana es

el perfil de algún cilindro generalizado. El perfil es el resultado de proyectar el

cilindro sobre un plano ortogonal a la dirección de la recta que lo define.

Difeomorfismos

Definición: Dados dos abiertos de ℝ𝑛, llámense 𝑈1, 𝑈2, un difeomorfismo local es

una aplicación suave 𝜎:𝑈1 → 𝑈2 tal que su jacobiana 𝐷𝜎𝑥 es invertible para

cualquier 𝑥 en 𝑈1.

Si, además 𝜎 es biyectiva, entonces se dice que es un difeomorfismo.

Para comprobar si una aplicación suave es un difeomorfismo se hacen dos

comprobaciones independientes: que todas sus jacobianas sean invertibles y

que sea globalmente biyectiva. Una definición equivalente es la siguiente:

“Un difeomorfismo es una biyección suave con inversa suave entre dos

abiertos”.

Un comentario sobre difeomorfismos e inyectividad

Supongamos un difeomorfismo local unidimensional definido en un intervalo 𝐽,

esto es: una función:

𝜎: 𝐽 → ℝ

Tal que su derivada 𝜎′ no se anula en 𝐽.

Si no se anula en todo el intervalo quiere decir que: o bien siempre es positiva, o

bien siempre es negativa. Entonces 𝜎 es inyectiva. Entonces:

�̃�: 𝐽 → 𝜎(𝐽)

Es biyectiva, con inversa suave. Por tanto es un difeomorfismo.

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Analicemos qué puede ocurrir en el caso multidimensional.

Supongamos un difeomorfismo local:

𝜎: 𝑈1 → 𝑈2

Como la matriz 𝐷𝜎 es invertible en cualquier punto, el teorema de la función

inversa garantiza que todo par de puntos 𝑥, 𝜎(𝑥) tienen entornos 𝑉1, 𝑉2 en los que

𝜎 es biyectiva, por tanto inyectiva. Entonces en estos casos se tiene un

difeomorfismo, pero sólo localmente.

Desarrollando esta idea con un ejemplo:

Sea la transformación:

𝜎: (1, +∞) × ℝ → ℝ2

(𝑟, 𝜃) → (𝑟 · cos(𝜃) , 𝑟 · sin(𝜃))

Asociada a la conversión de coordenadas polares a coordenadas cartesianas.

Es inyectiva, siempre que la variación de 𝜃 no exceda 2𝜋.

En términos informales, se puede decir que en el caso unidimensional todo

difeomorfismo local es inyectivo porque no “hay sitio” para que el grafo se auto-

interseque, pero en dimensiones mayores sí.

Descripciones locales como grafo

Definición: Sea 𝜙 una parametrización de uno o dos parámetros, entonces una

reparametrización de 𝜙 es 𝜙 ∘ 𝑇, donde 𝑇 es difeomorfismo.

El siguiente es un método para reparametrizar que consiste en usar una función

como parámetro nuevo.

1. Caso unidimensional.

Sea 𝛼: 𝐽0 → ℝ𝑛 suave.

Sea 𝐽 ⊆ 𝐽0 en el que está definida 𝜓: 𝐽 → ℝ función escalar con derivada

no nula en cualquier punto.

Como ya se ha visto, 𝜓: 𝐽 → 𝐽 = 𝜓(𝐽) es un difeomorfismo.

Entonces podemos usar 𝜓 como la reparametrización 𝑇 descrita.

Concretamente, la reparametrización sería:

𝛽(𝜓) ≡ 𝛼(𝜓−1(𝑡) )

2. Caso bidimensional.

Sea 𝑈0 un abierto del plano.

Sea 𝜙:𝑈0 → ℝ3 una parametrización y 𝑈 ⊆ 𝑈0.

En 𝑈 está definida una función vectorial 𝜎: 𝑈 → ℝ2 y ocurre lo siguiente:

La diferencial tiene rango 2 en todo 𝑈.

Efectúa la transformación (𝑢, 𝑣) → (�̅�, �̅�) ≡ (�̅�(𝑢, 𝑣), �̅�(𝑢, 𝑣)).

Denominamos �̅� al conjunto imagen 𝜎(𝑈).

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Y por cierto, el teorema de la función inversa garantiza:

1) �̅� es un abierto.

2) En cada subdominio 𝑈′ ⊆ 𝑈 se tiene inyectividad.

3) La inversa 𝜎−1 es suave.

Entonces la reparametrización es la composición:

Ψ: �̅� → ℝ3, Ψ ≡ ϕ(𝜎−1)

Nota: Lógicamente no se puede reparametrizar todo, sino el más

pequeño de los 𝜙|𝑈′, la imagen de aquellos dominios en los que la

inyectividad está garantizada por el teorema de la función inversa.

Vemos ahora en qué consisten las parametrizaciones grafo.

Sea 𝛼: 𝐽0 → ℝ2 un camino suave en el plano. Sea 𝑡0 ∈ 𝐽0 un valor paramétrico en

el que 𝛼 es regular. Esto es 𝛼′(𝑡0) ≠ 0. Así que si definimos que 𝛼(𝑡) = (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡))

necesariamente se cumple una de las siguientes.

1. 𝑥′(𝑡0) ≠ 0

2. 𝑦′(𝑡0) ≠ 0

Supongamos que ocurre 1.

Entonces existe un entorno 𝐽 ⊆ 𝐽0 de 𝑡0 en el que 𝑥′ no se anula.

Por tanto, puedo usar 𝑥: 𝐽 → ℝ como función suave que reparametrice 𝛼.

Aplico el método descrito.

Denomino 𝐽 ̅al conjunto imagen de 𝐽 por 𝑥.

La reparametrización está descrita por la composición: (𝛼 ∘ 𝑥−1)(𝑡), esto es:

𝑥−1: 𝐽 ̅ → 𝐽

𝛼: 𝐽 → ℝ2

Que aplica, en definitiva, la transformación:

𝑥(𝑡) → (𝑥(𝑡), ℎ2(𝑥(𝑡)))

𝛽 ≡ (𝑥, ℎ2(𝑥))

Por construcción es, entonces, una parametrización grafo.

¿Quién es ℎ2(𝑡)? Es 𝑦 ∘ 𝑥−1, una prueba redundante de ello es:

𝑥(𝑡) →𝑥−1 𝑡 →𝛼 (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) = (𝑥 (𝑥−1(𝑥(𝑡))) , 𝑦 (𝑥−1(𝑥(𝑡)))) =𝑥(𝑡)≡𝑥

𝑦∘𝑥−1≡ℎ2=

= (𝑥, ℎ2(𝑥)

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Entonces ℎ2 es una función suave, lo cual tiene dos consecuencias.

Primera consecuencia: Igualdad de imágenes.

𝛼(𝐽) = 𝛽(𝐽)̅

Segunda consecuencia: Por suavidad, no existen puntos angulosos.

Como última observación podemos decir que 𝛽, y las parametrizaciones grafo

en general, son bicontinuas.

De forma análoga se puede hacer suponiendo 𝑦′ ≠ 0 y se puede también

generalizar a ℝ𝑛. En definitiva se deduce el siguiente resultado:

Lema1: En tramos suficientemente cortos, un camino regular en ℝ𝑛 es bicontinuo

y carente de puntos angulosos.

Observación: El término suficientemente cortos hace referencia al intervalo 𝐽 en

el que podíamos asegurar que no se anulaba 𝑥′.

Cómo no, se tiene el mismo resultado para superficies paramétricas.

Lema2: En dominios suficientemente pequeños, una parametrización regular de

dos parámetros en ℝ3 es bicontinua sin puntos angulosos.

En esta ocasión, el término suficientemente pequeño surge de las condiciones

necesarias del teorema de la función inversa.

Longitud de arco.

Definición: Sea 𝛼: 𝐽 → ℝ𝑛 un camino y 𝑡1, 𝑡2 ∈ 𝐽 valores paramétricos 𝑡1 < 𝑡2.

Entonces, la longitud del camino entre ambos valores es:

𝐿 = ∫ ||𝛼′(𝑡)|| · 𝑑𝑡𝑡2

𝑡1

Observación: La longitud es una propiedad del camino, no del conjunto

imagen. La circunferencia unidad definida por {(cos(𝑡) , sin(𝑡))} tiene longitud 7

entre los valores 0,7 pero longitud 11 entre 0,11. Aunque ambas imágenes sean,

aparentemente, una misma circunferencia.

Definición: Se dice que un camino 𝛽 es una parametrización por longitud de

arco si cumple:

||𝛽′(𝑡)|| ≡ 1

Lema Un camino 𝛼 se puede reparametrizar a una parametrización por longitud

de arco si, y sólo si, 𝛼 es regular.

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Demostración.

Supongamos que 𝛼(𝑡) se reparametriza a 𝛽(𝑠).

Entonces 𝛽(𝑠) se puede reparametrizar a 𝛼(𝑡).

Prueba de esto último:

Supongamos que 𝛼 se reparametriza a 𝛽.

Quiere decirse que 𝛽 = 𝛼 ∘ 𝑇 para algún difeomorfismo 𝑇.

Como 𝑇 es difeomorfismo, 𝑇−1 también lo es.

Por tanto, componiendo con 𝑇−1:

𝛽 ∘ 𝑇−1 = 𝛼 ∘ 𝑇 ∘ 𝑇−1 = 𝛼

Continuando con la demostración: Si 𝛽 se reparametriza a 𝛼 y 𝛽 claramente es

regular (la norma de la derivada siempre es la unidad), dado que las

reparametrizaciones conservan la regularidad entonces 𝛼 tiene que ser regular.

QED.

Ejercicio: Prueba que las reparametrizaciones conservan regularidad.

Solución:

Sea 𝛼 parametrización regular.

Supongamos que la reparametrizamos a 𝛽.

Se tiene que 𝛽 = 𝛼 ∘ 𝑇 para algún difeomorfismo 𝑇.

Supongamos que 𝛽 no es regular, es decir, existe 𝑡0 tal que 𝛽′(𝑡0) = 0.

Desarrollando con la regla de la cadena:

𝛽′(𝑡0) = 𝛼′(𝑇(𝑡0)) · 𝑇′(𝑡0)

Suponiendo regularidad en 𝛼 se deduce la regularidad en 𝛽 por ser 𝑇 un

difeomorfismo. QED.

Vamos a demostrar ahora que si 𝛼 es regular entonces 𝛼 se reparametriza por

longitud de arco a 𝛽.

Para ello introducimos primero la siguiente noción.

Definición: Se define como función longitud de arco a cualquier integral

indefinida de ±||𝛼′(𝑡)||: cualquier función 𝑠 tal que 𝑠′(𝑡) = ±||𝛼′(𝑡)||.

Sea pues 𝛼 regular, su derivada nunca se anula, así que su función longitud de

arco nunca se anula tampoco, por tanto así sirve como función que

reparametrice. Pero ¿es cierto que la reparametrización es por longitud de

arco?

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Veámoslo.

Hemos escogido 𝑇 ≡ 𝑠(𝑡)

Denominamos 𝑡(𝑠) a la inversa.

Y entonces 𝛽 ≡ 𝛼(𝑡(𝑠)). Así que:

𝛽′(𝑠) = 𝛼′(𝑡(𝑠)) · 𝑡′(𝑠) = 𝛼′(𝑡(𝑠)) ·1

𝑠′(𝑡(𝑠))

Entonces:

||𝛽′(𝑠)|| = ||𝛼′(𝑡(𝑠)) ·1

𝑠′(𝑡(𝑠))|| =

||𝛼′(𝑡)||

||±𝛼′(𝑡)||= 1

QED

Comentario sobre las reparametrizaciones por longitud de arco.

Si escogemos 𝑠 tal que 𝑠′(𝑡) = ||𝛼′(𝑡)|| entonces 𝛼 y 𝛽 definen el mismo sentido

de recorrido, mientras que si 𝑠′(𝑡) = −||𝛼′(𝑡)|| los sentidos son opuestos.

Lema: Unicidad de la reparametrización por longitud de arco.

Si 𝛽 y 𝛾 reparametrizan por longitud de arco un mismo camino, entonces una es

la reparametrización de la otra.

Demostración:

1 = ||𝛽′(𝑠)|| = ||𝜎′(𝑠) · 𝛾′(𝑠)|| = |𝜎′(𝑠)| · ||𝛾′(𝑠)|| = |𝜎′(𝑠)|

Por tanto, se deduce que 𝜎(𝑠) = ±𝑠 + 𝑘 donde 𝑘 constante.

Como sólo existen dos “posibilidades”, una tiene que ser la otra

reparametrizada.

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Modelos como subconjuntos

Definición: Se dice que un subconjunto Γ ⊂ ℝ2 es una curva buena si para cada

punto 𝑝 de la curva existe una caja que contiene a 𝑝 en la que Γ es un solo grafo

suave como función de 𝑥 o un solo grafo suave como función de 𝑦.

Observaciones: La caja protege al grafo: impide que dentro de la misma haya

más puntos de la curva, impidiendo así autointersecciones.

Una curva regular 𝛼 no tiene necesariamente por qué ser una curva buena: las

imágenes de tramos cortos son grafos de funciones en cierta caja, pero puede

tener autointersecciones.

Se puede generalizar la definición de curva buena a ℝ3: en este caso el grafo

de la caja sería una función suave de una de las dos aristas en el producto de

las dos restantes.

Proposición: Sea 𝛼 un camino y 𝐽 un intervalo. Supongamos que 𝛼|𝐽 es regular y

bicontinuo. Entonces 𝛼(𝐽) es una curva buena. El recíproco no es cierto.

Demostración: Ejercicio

De la misma manera que se define curva buena en el espacio, se puede definir

superficie buena en el espacio, pero en vez de pedir una función suave de una

arista en el producto de las dos restantes se pide la existencia de una función

suave (de dos variables) del producto de dos aristas en la restante.

De la misma manera, una superficie parametrizada será buena si su

parametrización es regular y bicontinua.

Definición implícita.

En tanto que decidir la bicontinuidad de una curva puede ser muy difícil, la

proposición que se acaba de enunciar no acaba de ser útil. Entonces, para

saber si una curva o una superficie es buena, lo que nos soluciona bastante la

tarea es el teorema de la función implícita. La clave nos la da el gradiente.

Recordatorio de qué es un gradiente: Es el vector cuyas componentes son las

derivadas direccionales. Por tanto, el gradiente no señala más que la dirección

de una curva en un punto o instante determinado.

Recordatorio del teorema de la función implícita: Establece condiciones

suficientes para escribir una variable en función de las demás.

Concretamente son estas:

Se pide una función 𝐹:ℝ𝑚 × ℝ𝑛 → ℝ𝑛 continuamente diferenciable. Se pide un

punto cuya imagen por 𝐹 sea no nula y cuya jacobiana tampoco lo sea, y que

en la Jacobiana la submatriz de la segunda variable sea invertible.

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Entonces en un entorno de (𝑎, 𝑏) es posible escribir la segunda variable en

función de la primera.

Ahora, volviendo a nuestro estudio.

Teorema: Sea 𝑈 ⊆ ℝ𝑥𝑦2 un abierto del plano. Sea ℎ: 𝑈 → ℝ una función suave y

sea Γ ⊂ 𝑈 el subconjunto definido por:

Γ ≔ {(𝑥, 𝑦): ℎ(𝑥, 𝑦) = 𝑐 ∈ ℝ} ≠ ∅

Si ∇ℎ ≠ 0 en cualquier punto de Γ, entonces Γ es una curva buena.

El teorema se puede extender a una función 𝑉 ⊆ ℝ𝑥𝑦𝑧3 y una función ℎ en tres

variables con salida real.

Vamos a ver tres ejemplos de aplicación del teorema.

Primer ejemplo: La circunferencia unidad. ℎ(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2 es una función suave,

cuyo gradiente ∇= (2𝑥, 2𝑦) se anula únicamente en el origen, que es un punto

que no está en la curva. Por tanto es una curva buena.

Segundo ejemplo: La cúbica nodal sin el punto correspondiente al origen es una

curva buena. Su función es 𝑦2 − 𝑥2(𝑥 + 1) = 0, cuyo gradiente se anula en dos

puntos, uno que no pertenece a la curva y el origen. Por tanto, quitando el

origen, es una curva buena.

Tercer ejemplo: El cilindro es una superficie buena porque su gradiente se anula

en el origen cartesiano, que no pertenece al cilindro. Caso muy parecido al de

la circunferencia.

Caminos en superficies

Definición: Sea Φ:𝑈𝑢𝑣 → ℝ3 una superficie paramétrica. Decimos que un camino

𝛼: 𝐽 → ℝ es un camino en 𝚽 si existe un camino suave 𝛽: 𝐽 → 𝑈 con entradas de la

forma (𝑢(𝑡), 𝑣(𝑡)) tal que 𝛼 ≡ Φ.

Observación: Puede existir un camino cuya imagen esté contenida

íntegramente en la imagen de una superficie, pero que no sea suave, por tanto

no ser un camino en Φ.

En el caso de que la parametrización Φ sea regular y bicontinua, en tal caso sí

que cualquier camino definido en ella es un camino en Φ por definición de Φ.

Además las funciones 𝑢, 𝑣 tales que 𝛼(𝑡) ≡ Φ(𝑢(𝑡), 𝑣(𝑡)) son únicas.

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Recta tangente y plano tangente

Definición: Sea 𝛼: 𝐽 → ℝ𝑛 un camino suave y 𝑡0 en 𝐽 un valor paramétrico en el

que 𝛼 es regular. Entonces la recta tangente vectorial es el subespacio vectorial:

𝑇𝑡0(𝛼) ≔ ⟨𝛼′(𝑡0)⟩

Mientras tanto, la recta tangente afín es aquella que pasa por el punto 𝑝 = 𝛼(𝑡0)

y tiene la dirección de 𝛼′(𝑡0), esto es:

𝑇 ≔ 𝑝 + ⟨𝛼′(𝑡0)⟩

Observación: La recta tangente vectorial pasa por el origen pero no tiene por

qué pasar por el punto de tangencia. La recta tangente afín pasa por el punto

de tangencia, pero no tiene por qué pasar por el origen.

Observación: Dado que los elementos de tangencia se definen en función del

valor paramétrico 𝑡0 y no de su imagen por 𝛼 no hay problema si el camino es

no inyectivo. En cada valor está definida la recta tangente.

Proposición: Si 𝒞 es una curva buena y 𝛼, 𝛽 parametrizan de forma regular e

inyectiva el mismo trozo, entonces una es la reparametrización de la otra.

Demostración: Ejercicio.

Para definir la recta tangente vectorial en una curva buena. Sea 𝒞 una curva

buena. Tomamos 𝒞0 ⊆ 𝒞 tal que contenga al punto de tangencia 𝑝, y una

reparametrización cualquiera 𝛼 regular e inyectiva (siempre será inyectiva). Sea

aquel valor paramétrico 𝑡0 tal que 𝛼(𝑡0) = 𝑝. Entonces la recta tangente

vectorial es 𝑇𝒞0(𝑝) ≔ ⟨𝛼′(𝑡0)⟩.

Esta recta sólo depende de la curva y del punto. Prueba: cambiamos a una

parametrización regular 𝛽 del mismo tramo y tomamos aquel valor 𝑡0̅ tal que

𝛽(𝑡0̅) = 𝑝, dado que 𝛼, 𝛽 son reparametrizaciones una de la otra, esto es decir

que 𝛼 = 𝛽 ∘ 𝑇, se cumple que: 𝛼′(𝑡0) = 𝑇′(𝑡0) · 𝛽′(𝑡0̅) donde 𝑇(𝑡0̅) = 𝑡0, así que 𝛼′ y

𝛽′ generan el mismo espacio vectorial.

Observación: 𝑇𝑝𝒞 = 𝑇𝑝𝒞0 solo depende de 𝑝 y un tramo arbitrariamente corto 𝒞0.

Sea 𝛼 la parametrización regular de un tramo corto de una curva 𝒞0, definida

implícitamente, y sea 𝑡0 tal que 𝛼(𝑡0) = 𝑝 ∈ 𝒞0. Ocurre que como la curva está

definida de forma implícita, ℎ(𝛼(𝑡0)) = 𝑐, por tanto ℎ′(𝛼(𝑡0)) · 𝛼′(𝑡0) = 0 y ℎ′ está

denotando el gradiente. Se deduce que el gradiente y el vector tangente son

ortogonales. Recuérdese lo que se decía en los primeros cursos de cálculo de

que el gradiente denota la dirección de máximo crecimiento de una función.

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Definición: Sea Φ:𝑈 → ℝ3 una superficie parametrizada y (𝑢0, 𝑣0) un punto en el

que Φ es regular. El espacio vectorial tangente es aquel subespacio generado

por 𝑇𝑢0,𝑣0Φ = ⟨Φ𝑢(𝑢0, 𝑣0),Φ𝑣(𝑢0, 𝑣0)⟩. De manera evidente se define el espacio afín

tangente.

Observación: Decir que Φ es regular en (𝑢0, 𝑣0) es decir que Φ𝑢, Φ𝑣 son

linealmente independientes en ese punto.

De nuevo se extiende el resultado visto para caminos: dos parametrizaciones

regulares e inyectivas del mismo trozo de una superficie buena son

reparametrizaciones la una de la otra.

La definición del plano tangente vectorial en cierto punto también es

totalmente análogo.

Sea 𝛼(𝑡) ≡ Φ((𝑢(𝑡), 𝑣(𝑡))) un camino en una superficie Φ. Se tiene que el vector:

𝛼′(𝑡) = 𝑢′(𝑡) · Φ𝑢 + 𝑣′(𝑡) · Φ𝑣

Es tangente tanto al camino como a la superficie.

Y recordemos que ⟨Φ𝑢(𝑢0, 𝑣0), Φ𝑣(𝑢0, 𝑣0)⟩ es una base para el plano tangente. Y

para cada camino en Φ existe un vector (𝑎, 𝑏) que es su vector tangente en

cierto punto. Se deduce que el plano tangente es el conjunto de todas las

velocidades de los posibles caminos que pasan por el punto de tangencia en

una superficie Φ.

Por razones análogas a las expuestas en caminos, el ángulo entre un plano

tangente y el gradiente siempre es recto.

Dada una parametrización regular Φ, el producto vectorial 𝑌(𝑢, 𝑣) = Φ𝑢 × Φ𝑣 es

un campo de vectores normal a cada plano tangente 𝑇Φ(𝑢, 𝑣).

La normal unitaria a una superficie la definimos como:

𝑁(𝑢, 𝑣) ≔𝑌

||𝑌||

Para una superficie 𝑆 = {𝜑 = 𝑐} dada implícitamente la normal unitaria se define

restringiendo a 𝑆 el campo ∇𝜑

||∇𝜑||⁄ .

Comentario: La banda de Möbius es una superficie buena que no admite

normal unitaria que sea función continua cada punto de la superficie porque el

vector normal unitario cambia el sentido de manera continua sólo una vez, no

dos, luego en algún punto tiene que cambiarlo de nuevo haciéndolo de forma

“brusca”.

Corolario: No existe una definición implícita con gradiente no nulo de la banda

de Möbius, de ser así su gradiente unitario sería la normal unitaria continua.

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Corolario: Existen más superficies buenas que las que pueden definirse

implícitamente.

Función del punto, función de los parámetros

Como las parametrizaciones y las definiciones implícitas son modelos diferentes,

esto es: objetos matemáticos diferentes, existen ciertas disonancias entre una

cosa y la otra. Por ejemplo, el campo de vectores tangentes a una curva en

cierto punto es diferente dependiendo de si la curva es una curva buena o una

curva paramétrica.

Aún así se mantiene cierta lógica, en el sentido de que:

El campo de vectores tangentes depende de un parámetro o

parámetros si la definición del objeto es paramétrica, y depende del

punto si es una curva o superficie buena.

Resultados globales

Un interesante resultado global:

Teorema: Desigualdad isoperimétrica.

Dado un valor real 𝑙, las curvas cerradas que encierran el máximo área

conservando longitud 𝑙 son las circunferencias, y además son las únicas.

Grados de regularidad

He aquí una condición más fuerte de suavidad, más que la dada de 𝒞∞.

Definición: Decimos que una función de una o varias variables es 𝓒𝝎 o lo que es

lo mismo, analítica real, si es 𝒞∞ y en cada punto del dominio existe un desarrollo

de Taylor centrado en ese punto que de hecho es convergente a la función en

algún entorno del punto.

Son ejemplos de funciones analíticas reales: los polinomios, la exponencial, el

seno y el coseno… La composición, suma y producto de analíticas reales

produce nuevas funciones analíticas reales.

Un ejemplo clásico de función que es 𝒞∞ pero no es analítica real es:

ℎ(𝑥) = {0, 𝑥 ≤ 0

𝑒−1𝑥, 𝑥 > 0

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Envolventes

Definición: Sea 𝛼𝜆(𝑡) una familia uniparamétrica de curvas regulares en el plano,

es decir que para cada valor 𝜆0 la función:

𝑡 → 𝛼𝜆0(𝑡)

Nunca es nula.

Se dice que la curva 𝛼𝜆 depende suavemente del parámetro 𝜆 si la aplicación:

Φ:𝑈 → ℝ2

Φ(𝑡, 𝜆) ≔ 𝛼𝜆(𝑡)

Es suave como función de dos variables.

Se define intuitivamente como envolvente aquella curva o curvas (si es que

existe) como aquella que es tangente a cada 𝛼𝜆. Informalmente hablando: si la

familia uniparamétrica rellena con sus curvas una porción del plano, la

envolvente es la frontera de esa porción como conjunto.

Advertencia: Esta explicación informal es muy mala, pues la envolvente puede

ser atravesada, de rebote… anulando dicha explicación, pero sirve para

entender el concepto.

También se puede definir la superficie envolvente para una familia de superficies

en el espacio.

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Capítulo 2: Segundas derivadas

Se van a introducir algunos conceptos que requieren ya las segundas derivadas.

El primero es el de curvatura.

Definición: Se denomina campo de vectores curvatura 𝑘 al formado por

aquellos que constituyen la derivada segunda de una curva 𝛽 reparametrizada

por longitud de arco.

𝑘 = 𝛽′′(𝑠)

Y esto también nos lleva a la introducción del concepto de tangente unitaria.

Definición: Dada una curva regular 𝛼, el campo tangente unitario es un campo

de vectores:

𝜏(𝑡) =𝛼′(𝑡)

||𝛼′(𝑡)||

Toda curva tiene dos campos tangentes, dependiendo del sentido en el cual la

parametrización recorra la curva. Sin embargo, lo que se cumple siempre es:

𝜏′(𝑠) = 𝛼′′(𝑠) = 𝑘(𝑠)

Y también se cumple que el vector curvatura es normal a la misma en todo

punto. Demostración:

1 ≡ ||𝜏(𝑡)||

1 ≡ ||𝜏(𝑡)||2

= 𝜏(𝑡) · 𝜏(𝑡)

Entonces:

0 = 𝜏′(𝑡) · 𝜏(𝑡) + 𝜏(𝑡) · 𝜏′(𝑡) = 2 · 𝜏′(𝑡) · 𝜏(𝑡) = 2 · 𝑘 · 𝜏

QED

Otra propiedad: Una curva regular es un trozo de recta afín si, y sólo si, tiene

curvatura 𝑘 ≡ 0. Prueba:

Supongamos que la recta es una recta afín. Calculemos la curvatura. Ésta es la

derivada de:

𝜏(𝑡) =𝛼′(𝑡)

||𝛼′(𝑡)||

Al ser una recta es constante, por tanto su derivada es cero.

Por otra parte, si 𝜏 ≡ 0 se prueba el recíproco invirtiendo los pasos. QED.

19

Curvatura de curvas que no están parametrizadas por longitud de arco

¿Y si la parametrización no es por longitud de arco? Naturalmente podemos aun

así manejar el concepto de curvatura. Vamos a desarrollar esto para ver un

significado geométrico de curvatura.

Los vectores tangente unitaria (𝒕(𝑡)) y curvatura (𝒌(𝑡)).

Sea una curva 𝛼(𝑡) no necesariamente parametrizada por longitud de arco.

Expresemos el campo tangente y el campo de curvatura como funciones de 𝑡.

Sea 𝑠 = 𝑠(𝑡) = ∫||𝛼′(𝑡)|| · 𝑑𝑡 un parámetro arco.

Sea 𝑡(𝑠) el difeomorfismo inverso y 𝛽(𝑠) = 𝛼(𝑡(𝑠)) la parametrización por longitud

de arco.

Entonces:

𝝉(𝑡) =𝑑𝑒𝑓 𝛽′(𝑠)|𝑠=𝑠(𝑡) = 𝛼′(𝑡(𝑠)) · 𝑡′(𝑠) =𝛼′(𝑡)

𝑠′(𝑡)=

𝛼′(𝑡)

||𝛼′(𝑡)||

𝒌(𝑡) =𝑑𝑒𝑓 𝛽′′(𝑠) = 𝛼′′(𝑡(𝑠)) · 𝑡′(𝑠) · 𝑡(𝑠) + 𝛼′(𝑡(𝑠)) · 𝑡′′(𝑠) =1

||𝛼′(𝑡)||·𝑑

𝑑𝑡· (

𝛼′(𝑡)

||𝛼′(𝑡)||)

Concretamente, operando, 𝒌 se queda así:

𝒌(𝑡) =𝛼′′(𝑡)

||𝛼′(𝑡)||2 − (

𝛼′′(𝑡)

||𝛼′(𝑡)||2) · 𝝉

Y aquí queda explícito el significado geométrico de la curvatura: La curvatura

es el resultado de quitarle a:

𝛼′′(𝑡)

||𝛼′(𝑡)||2

Su componente tangencial a la curva, quedando por consiguiente la

componente normal. De hecho, esa última expresión de 𝑘 es una

descomposición de 𝑘 en partes ortogonales: esquemáticamente es un proceso

de Gram-Schmidt aplicado al par de vectores:

{𝛼′(𝑡),𝛼′′(𝑡)

||𝛼′(𝑡)||2}

Pues se le quita al segundo vector su componente en la dirección del primero.

Se obtiene de la ortogonalización un vector 𝒌, el de curvatura, ortogonal al

primero que genera el mismo subespacio vectorial.

Esto es válido en ℝ𝑛 general.

Observación: Para encontrar el vector 𝒌 no es necesario calcular la integral

indefinida 𝑠(𝑡) ni la inversa 𝑡(𝑠) puesto que todo se puede expresar como

función de 𝛼′(𝑡), 𝛼′′(𝑡).

20

El vector de curvatura ¡qué follón! Una fórmula explícita.

Vamos más allá. Se acaba de ver que la fórmula:

𝒌(𝑡) =𝛼′′(𝑡)

||𝛼′(𝑡)||2 − (

𝛼′′(𝑡)

||𝛼′(𝑡)||2) · 𝝉

Da una descomposición de:

𝛼′′(𝑡)

||𝛼′(𝑡)||2

En componentes ortogonales.

Veamos que se llega a lo mismo así, derivando implícitamente la paramétrica:

𝛼′(𝑡) = 𝛽′(𝑠) · 𝑠′(𝑡) = 𝑠′(𝑡) · 𝒕

𝛼′′(𝑡) = 𝛽′′(𝑠) · 𝑠′(𝑡) · 𝑠′(𝑡) + 𝛽′(𝑠) · 𝑠′′(𝑡) = 𝑠′(𝑡)2 · 𝒌 + 𝑠′′(𝑡) · 𝒕

{𝛼′(𝑡) = 𝑠′(𝑡) · 𝒕

𝛼′′(𝑡) = 𝑠′′(𝑡) · 𝒕 + 𝑠′(𝑡)2 · 𝒌

Congelamos esto para introducir una definición muy trivial.

Definición: La normal unitaria (o normal de Frenet), denotada 𝒏(𝒔) es la tangente

unitaria 𝒕 girada 𝜋 2⁄ (en sentido antihorario, claro).

Se puede expresar entonces el vector 𝒌 de esta manera:

𝒌 = 𝑘 · 𝒏

Por tanto interesaría saber calcular una fórmula del valor escalar 𝑘, denominado

curvatura escalar para no arrastrar el vector en los cálculos en los que no se

necesite, y porque teniendo el diedro de Frenet nos da la misma información

que el vector 𝒌.

Esa fórmula se puede sacar de estas:

{𝜶′(𝒕) = 𝑠′(𝑡) · 𝒕

𝜶′′(𝒕) = 𝑠′′(𝑡) · 𝒕 + 𝑠′(𝑡)2 · 𝒌

Calculando el determinante de dichos vectores, por bilinealidad del operador

determinante y teniendo en cuenta que det(𝒕|𝒕) = 0 (trivial):

det(𝜶′|𝜶′′) = 𝑠′(𝑡) · 𝑠′(𝑡)2 · det (𝒕|𝒌)

Como ||𝒕|| =𝑑𝑒𝑓 1 y el determinante expresa el área del paralelogramo que

determinan dos vectores, en este caso 𝒕 y 𝒌, perpendiculares se tiene que dicho

área es la longitud de 𝒌, precisamente lo que buscamos. Por tanto:

21

𝑘(𝑡) = det(𝒕|𝒌) =det(𝛼′(𝑡)|𝛼′′(𝑡))

𝑠′(𝑡)3

𝑘(𝑡) =𝑥′(𝑡) · 𝑦′′(𝑡) − 𝑥′′(𝑡) · 𝑦′(𝑡)

(𝑥′(𝑡)2 + 𝑦′(𝑡)2)3

2⁄

Caso general de la relación vectorial en una curva no parametrizada por longitud de

arco. En una curva con parámetro longitud de arco 𝛼′′(𝑡) coincide con 𝑘(𝑡).

El diedro de Frenet y las ecuaciones de Frenet

El par {𝒕, 𝒏} que aparece en el dibujo es llamado en ocasiones diedro de Frenet.

Cada curva plana tiene dos diedros de Frenet: uno para cada sentido del

recorrido, y cuando se cambia dicho sentido ambos vectores se multiplican por

−1.

Teorema: Sean 𝛼(𝑡) y ℎ:ℝ2 → ℝ2 una curva regular en el plano y un movimiento

rígido, respectivamente. Consideremos la curva 𝛽 = ℎ ∘ 𝛼.

Si ℎ es directo la curvatura permanece invariante. Si ℎ es inverso, la curvatura

cambia de signo.

En particular, la curvatura escalar es invariante por rotaciones y traslaciones.

𝜶′(𝒕)

𝜶′′(𝒕)

𝒌(𝒕)

𝒏

𝒕

𝛼(𝑡)

22

Demostración:

Sea ℎ(𝑥) = 𝑐 + 𝑀 · 𝑥 con 𝑐 vector constante y 𝑀 matriz ortogonal constante.

Se tiene:

𝛽(𝑡) = 𝑐 + 𝑀 · 𝛼(𝑡)

Y calculamos las derivadas:

𝛽′(𝑡) = 𝑀 · 𝛼′(𝑡)

𝛽′′(𝑡) = 𝑀 · 𝛼′′(𝑡)

Ahora:

det(𝛽′(𝑡)|𝛽′′(𝑡)) = det(𝑀 · 𝛼′(𝑡)|𝑀 · 𝛼′′(𝑡)) = det(𝑀) · det(𝛼′|𝛼′′)

det(𝛽′|𝛽′′) = ||β′(t)||3· 𝑘𝛽(𝑡) = ||𝛼′(𝑡)||

3· 𝑘𝛽(𝑡) = det(𝑀) · det(𝛼′|𝛼′′)

𝑘𝛽 = det(𝑀) · 𝑘𝛼

De donde se deduce el resultado del teorema. ∎

Sea una curva regular 𝛼(𝑠) parametrizada por longitud de arco.

Sea en un punto de la curva la tangente unitaria es un radio de una

circunferencia con centro la unidad y centrada en dicho punto. La posición de

dicha tangente en la circunferencia queda determinada por:

𝒕 = (cos(𝜑) , sin(𝜑))

Para alguna función suave 𝜑(𝑠). En otras palabras, 𝜑 es el ángulo que forma la

tangente con el eje de abscisas.

Dado que la normal de Frenet es la tangente rotada 𝜋 2⁄ , entonces:

𝒏 = (− sin(𝜑) , cos(𝜑))

Notamos que se verifica:

{𝒕′ = 𝑘 · 𝒏

𝒏′ = −𝑘 · 𝒕

Son las Ecuaciones de Frenet en el plano.

Es imposible terminar esta sección sin enunciar el Teorema Fundamental de las

curvas planas.

Teorema: Teorema fundamental de las curvas en el plano.

Dados una función escalar 𝑘: 𝐽 → ℝ y un punto 𝒑 del plano, un vector unitario 𝒖

y un valor 𝑠0 en 𝐽, entonces existe una única parametrización por longitud de

arco 𝛼(𝑠) definida en 𝐽 que satisface que 𝑘𝛼(𝑠) ≡ 𝑘(𝑠) y los datos iniciales:

{𝛼(𝑠0) = 𝒑

𝛼′(𝑠0) = 𝒖

23

En otras palabras: 𝑘(𝑠) determina la curva 𝛼 con unicidad, salvo traslaciones y

rotaciones.

Demostración:

El teorema parece evidente, o al menos creíble, de ante mano: fijemos en el

plano un punto y una recta que pase por ese punto. Existen infinitas curvas, unas

más cerradas que otras que pasan por ese punto tangentes a la recta (desde

la propia recta hasta una curva tan cerrada que tiende a la perpendicular a la

recta en el punto). Así que añadiendo como dato una curvatura escalar

automáticamente infinitas curvas quedan descartadas, quedando tan sólo una

posible.

Formalmente se demuestra por resultados de existencia-unicidad de soluciones

de EDOs.

Para terminar éste capítulo un último resultado que se deja como ejercicio.

Proposición: Una curva plana regular es un trozo de circunferencia, o bien una

recta, si, y sólo si, tiene curvatura escalar constante.

Demostración: Ejercicio

Solución: Como es regular podemos suponerla parametrizada por longitud de

arco 𝛼(𝑠).

Supongamos que la curvatura es constante no nula.

Entonces:

𝛼′(𝑠) = 𝒕 = (cos(𝜑(𝑠)) , sin(𝜑(𝑠)))

Donde 𝜑(𝑠) cumple que 𝜑′(𝑠) = 𝑘(𝑠). Como 𝑘 es constante, digamos 𝑐0 ∈ ℝ,

entonces:

𝜑(𝑠) = 𝑐0 · 𝑠

Integrando para obtener la posición:

𝛼(𝑠) = (𝑝1, 𝑝2) + (1

𝑐0· sin(𝑐0 · 𝑠) , −

1

𝑐0· cos(𝑐0 · 𝑠))

Donde 𝑝1, 𝑝2 reales son constantes de integración y se traducen en un

desplazamiento de la circunferencia que no afecta al problema.

Entonces se cumple:

1. ||𝛼(𝑠)|| = 1𝑐0

⁄ y ||𝛼′′(𝑠)|| = 𝑘(𝑠) son inversos.

2. Derivando 𝛼′ se comprueba que el vector posición invertido y el vector

curvatura son proporcionales.

Estas dos condiciones caracterizan las circunferencias. QED.

También podía demostrarse por teorema fundamental de curvas planas.

24

Capítulo 3: Curvas en el espacio. Las derivadas terceras

El capítulo 3 lo abre el siguiente teorema. Implica también una definición.

Teorema: Teorema de proyección.

Sea 𝛼 una curva regular en ℝ3, sea 𝑃 un plano afín paralelo a la recta tangente

a 𝛼 en 𝑡0, y sea �⃗� el plano vectorial paralelo a 𝑃. La proyección ortogonal de 𝛼

sobre 𝑃 es una curva plana, 𝛼0, contenida en 𝑃 que cumple lo siguiente:

1. 𝛼0 es regular en 𝑡0

2. El vector curvatura de 𝛼0 en 𝑡0 es la proyección ortogonal sobre �⃗� del

vector curvatura de 𝛼 en 𝑡0.

Demostración:

Sea 𝛽(𝑠) una reparametrización de 𝛼 por longitud de arco, y sea 𝑠0 el valor

imagen por difeomorfismo de 𝑡0.

Sea 𝒕𝟎 = 𝛽′(𝑠0). Por hipótesis, se cumple que 𝒕𝟎 ∈ �⃗� (claro, el vector tangente y el

plano son paralelos, vectorialmente son lo mismo).

Sea 𝜋:ℝ3 → 𝑃 la proyección ortogonal del espacio sobre 𝑃, y sea �⃗� :ℝ3 → �⃗� la

parte lineal de 𝜋.

Entonces: 𝛽0(𝑠) = 𝜋 ∘ 𝛽(𝑠) es una reparametrización de 𝛼0, y la aceleración 𝛽0′′(𝑠)

es la proyectada �⃗� (𝛽′′(𝑠)) de la aceleración de 𝛽′′(𝑠).

Pareciera que ya está todo hecho, pero ocurre lo siguiente: 𝛽0(𝑠) ya no es

necesariamente reparametrización por longitud de arco.

Entonces para hallar el vector de curvatura de 𝛽0(𝑠) se recurre a la fórmula

general y hay que hallar:

𝛽0′′(𝑠)

||𝛽0′(𝑠)||

2

Ahora: Dado que 𝑃 es paralelo a 𝒕𝟎 y �⃗� devuelve la parte lineal de proyecciones

ortogonales sobre 𝑃, 𝛽0′(𝑠0) es la imagen de 𝒕𝟎 por 𝜋, esto es, la identidad, el

mismo 𝒕𝟎. Por consiguiente, 𝛽0 tiene rapidez 1 en 𝑠0.

𝛽0′′(𝑠0)

||𝛽0′(𝑠0)||

2 = 𝛽0′′(𝑠0)

¿Quién es 𝛽0′′(𝑠0)? La imagen por 𝜋 de 𝛽′′(𝑠0). Pues ya está. en este nivel de

generalidad no podemos averiguar nada más y ya hemos demostrado lo que

se pretendía.

𝒌𝜷𝟎(𝑠0) = �⃗� (𝛽′′(𝑠0))

QED

25

Ahora introducimos un concepto más fuerte que el de regularidad: la

birregularidad.

Definición: Decimos que una curva regular 𝛼 es birregular en 𝑡0 si el vector de

curvatura no se anula en ese punto.

Entonces, ¿hay que calcular 𝒌 siempre que queramos analizar si una curva es

birregular? No.

Proposición: Las siguientes son equivalentes.

1) Los vectores 𝛼′, 𝛼′′ son linealmente independientes.

2) Lo son de hecho en cualquier reparametrización.

3) El vector de curvatura no es nulo.

Demostración:

La 1) es equivalente a la 3) de manera evidente en tanto que:

𝑘(𝑡) =det (𝛼′|𝛼′′)

𝑠′(𝑡)3

Lo que no está tan claro es la segunda. Sólo hay que recurrir a las expresiones:

𝛼′(𝑡) = 𝑠′(𝑡) · 𝒕

𝛼′′(𝑡) = 𝑠′′(𝑡) · 𝒕 + 𝑠′(𝑡)2 · 𝒌

Por regla de la cadena que hace que las derivadas que aparecen sean

producto de las derivadas originales, se deduce la equivalencia con la segunda

afirmación.

Definición: Se define como plano osculador de una curva espacial birregular 𝛼

en el punto 𝑡0 al que generan, equivalentemente:

1. Los vectores 𝒕, 𝒌

2. La velocidad y la aceleración.

𝜋 ≡ ⟨𝒕, 𝒌⟩ = ⟨𝜶′, 𝜶′′⟩

Puede ser vectorial, si pasa por el origen, o afín si se exige que pase por un punto.

Definición: Se define como normal unitaria al vector:

𝒏 =𝒌

||𝒌||

Ahora, y no como en el plano, la curvatura escalar es:

𝑘 = ||𝒌||

26

Como en el plano sólo teníamos dos direcciones perpendiculares bastaba con

girar la tangente unitaria en la única dirección posible, por tanto no se

necesitaba la segunda derivada. Aquí sí, y además la curvatura escalar siempre

es positiva.

¿Entonces cómo sabemos hacia dónde se está recorriendo la curva y en qué

sentido gira?

El triedro de Frenet y la torsión

Definición: Se define como triedro ortonormal directo al formado por tres

vectores que constituyen una base ortonormal:

{𝒖𝟏|𝒖𝟐|𝒖𝟑}

Cumple que el determinante es la unidad.

Si 𝒖𝟏, 𝒖𝟐 son ortonormales, entonces 𝑢3 queda automáticamente determinado.

𝒖𝟑 = 𝒖𝟏 × 𝒖𝟐

Vuelve a pasar algo similar al caso de dos dimensiones: el último elemento que

se necesita queda determinado en función de los anteriores. Sólo que como

tenemos una dimensión, una dirección más, necesitamos un elemento más.

Obviamente 𝒖𝟑 queda unívocamente determinado por los dos primeros

vectores.

Definición: Dada una curva birregular en el espacio, se define como su binormal

al siguiente vector:

𝒃 = 𝒕 × 𝒏

Sorprendentemente, a la 3-upla:

{𝒕, 𝒏, 𝒃}

Se le denomina: triedro de Frenet.

El triedro de Frenet induce dos definiciones nuevas. Si el plano osculador es

ortonormal a 𝒃, también:

Definición:

1. Al plano ortogonal a 𝒕 se le llama plano normal.

2. Al plano ortogonal a 𝒏 se le llama plano rectificante.

Por supuesto estos tres planos tienen sus versiones afines y vectoriales.

27

Necesitamos más información para saber cómo se mueve la curva. La torsión.

Como se vio en el teorema fundamental de curvas en el plano, teniendo una

tangente, una curvatura y un punto ya está todo dicho en dos dimensiones. Sólo

existe una curva, salvo rotaciones y traslaciones, que cumple esas condiciones

esa ecuación. Al introducir una nueva dirección en el espacio existen infinitas

curvas con una dirección y una curvatura determinadas en un punto

determinado. En lo que difieren todas ellas es en que unas están más

“aplastadas” y otras están más “estiradas” (imagina un muelle).

Sea 𝛼(𝑠) una curva birregular con parámetro por longitud de arco.

Se cumple, en primer lugar, que:

𝒌 = 𝑘 · 𝒏

En otros términos:

𝒕′ = 𝑘 · 𝒏

Veamos qué ocurre con las derivadas de los otros dos elementos del triedro de

Frenet.

Se cumple que:

𝒏 · 𝒏 = 𝒃 · 𝒃 ≡ 1

Derivando:

𝒏′ · 𝒏 = 𝒃′ · 𝒃 ≡ 0

Y 𝒏′ tiene que verificar, siendo normal a 𝒏:

𝒏′ = 𝑎 · 𝒕 + 𝜏 · 𝒃

Para ciertas dos funciones 𝑎, 𝜏.

Por otra parte, 𝒕 · 𝒏 ≡ 0, entonces:

𝒕′ · 𝒏 + 𝒕 · 𝒏′ = 0 = 𝑘 + 𝑎

Por tanto:

𝒏′ = −𝑘 · 𝒕 + 𝜏𝒃

Y del mismo modo (ejercicio) puede deducirse:

𝒃′ = −𝜏 · 𝒏

Esto son las ecuaciones del triedro de Frenet, o ecuaciones de Frenet – Serret:

{𝒕′ = 𝑘𝒏

𝒏′ = −𝑘𝒕𝒃′ = −𝜏𝒏

+ 𝜏𝒃

Dicha función 𝜏, que por ortogonalidad tiene que existir, se llama torsión. Es,

como se ha dicho, una medida de cuán aplastada o no está la curva.

28

Teorema: Una curva birregular es plana si, y sólo si, tiene torsión idénticamente

nula.

Demostración: Ejercicio.

Solución:

Supongamos que 𝜏 ≡ 0.

Entonces se cumple:

{𝒕′ = 𝑘𝒏

𝒏′ = −𝑘𝒕

Que son las ecuaciones de Frenet en el plano.

Una demostración más elegante:

Si la torsión es nula entonces 𝒃 es un vector constante. Entonces:

0 = 𝒃 · 𝒕 = 𝒄 · 𝜶′

Por tanto:

𝒄 · 𝜶 = 𝑟 ∈ ℝ

Es decir está contenida en el plano de ecuación:

𝒄 · 𝒙 = 𝑟

Recíprocamente, si la curva está contenida en un plano 𝑃 ese mismo plano es

el plano osculador afín en cualquier punto, por lo que la normal 𝒃 es constante,

así que, por las ecuaciones de Frenet – Serret la torsión tiene que ser nula. QED.

Ya, pero ¿cuánto vale la torsión?

Igual que deducíamos una fórmula explícita para la torsión a partir de:

{𝛼′(𝑡) = 𝑠′(𝑡) · 𝒕

𝛼′′(𝑡) = 𝑠′′(𝑡) · 𝒕 + 𝑠′(𝑡)2 · 𝒌

En este caso, se demuestra (cálculo puro y duro) que:

{

𝛼′(𝑡) = 𝑠′(𝑡) · 𝒕

𝛼′′(𝑡) = 𝑠′′(𝑡) · 𝒕 + 𝑠′(𝑡)2 · 𝒌

𝛼′′(𝑡) = (𝑠′′′(𝑡) − 𝑠′(𝑡)3𝑘2) · 𝒕 + ⋯

De donde se deduce:

𝜏 =det(𝛼′|𝛼′′|𝛼′′′)

||𝛼′ × 𝛼′′||2

29

Por último, naturalmente las curvas en el espacio tienen su teorema

fundamental.

Teorema: Dada una pareja de funciones: 𝑘, 𝜏 definidas en el mismo intervalo

entonces existe una curva espacial que tiene arco 𝑠 y curvatura y torsión 𝑘(𝑠) y

𝜏(𝑠) respectivamente. Dicha curva es única salvo traslaciones y rotaciones.

Se omite la demostración de este teorema.

30

Capítulo 4: Métricas y otros campos.

Recordamos primero el concepto de diferencial de una aplicación.

Definiciones previas

Dada 𝑆 una superficie regular, una aplicación ℎ de 𝑆 en cualquier espacio

se dice suave si depende suavemente de los parámetros, es decir, si ℎ(Φ)

depende suavemente de los parámetros (es infinitamente derivable).

La derivada de ℎ en un punto 𝑝 según un vector 𝑣 es el siguiente

elemento:

𝑑

𝑑𝑡|𝑡=𝑡0

(ℎ(𝛼(𝑡)))

Donde 𝛼(𝑡0) = 𝑝 y 𝛼′(𝑡0) = 𝑣.

La diferencial

Si se puede considerar la derivada de una aplicación según un vector entonces

podemos considerar una aplicación que transforme vectores en derivadas

según ese vector. Eso es la diferencial.

Definición: La diferencial transforma vectores en derivadas de aplicaciones (de

la cual se hace la diferencial) según cada vector.

¿Qué características tiene la diferencial en función de ℎ?

Casos particulares de la diferencial

Si ℎ: 𝑆 → 𝕍 donde 𝕍 espacio vectorial, entonces (𝑑ℎ)𝑝: 𝑇𝑝𝑆 → 𝕍

Definición: En particular, si ℎ: 𝑆 → ℝ entonces (𝑑ℎ)𝑃: 𝑇𝑝𝑆 → ℝ es una forma lineal.

Caso primero: ℎ: 𝑆 → 𝑆′ donde 𝑆′ es otra superficie.

Entonces:

(𝑑ℎ)𝑝: 𝑇𝑝𝑆 → 𝑇ℎ(𝑝)𝑆′

Esto es porque si 𝛼 es cualquier camino en 𝑆 que pasa por 𝑝 con velocidad 𝑣

entonces la diferencial coge dicho vector 𝑣 y deriva ℎ con respecto a ese

vector. Esto es, calcula:

𝑑

𝑑𝑡|𝑡=𝑡0

(ℎ(𝛼(𝑡)))

Pero como ℎ: 𝑆 → 𝑆′ entonces ℎ(𝛼) es un camino en 𝑆′ que en particular pasa por

ℎ(𝑝), así que se está calculando un vector tangente en ℎ(𝑝).

¿Cuál? El vector velocidad que depende del 𝛼 escogido.

31

Supongamos que Ψ(𝜆, 𝜇) es una parametrización de 𝑆′.

Entonces tienen que existir un par de funciones suaves:

𝜆(𝑢, 𝑣), 𝜇(𝑢, 𝑣)

Tales que:

ℎ(Φ) ≡ Ψ(𝜆(𝑢, 𝑣), 𝜇(𝑢, 𝑣))

Esto es porque ℎ ∘ Φ lleva puntos (𝑢, 𝑣) del plano de parámetros en la superficie

𝑆 del espacio, e inmediatamente cada uno de esos puntos en un punto de 𝑆′

que expresamos como Ψ(𝜆, 𝜇), que es su parametrización. Luego se deduce que

Ψ(𝜆, 𝜇) es función de (𝑢, 𝑣).

Así, en la base {Φ𝑢, Φ𝑣} de 𝑇𝑝𝑆 y {Ψ𝜆, Ψ𝜇} de 𝑇𝑝𝑆′, la matriz de (𝑑ℎ)𝑝, que se calcula

por derivadas parciales de ℎ es:

(𝑑ℎ)𝑝 = (𝜆𝑢 𝜆𝑣

𝜇𝑢 𝜇𝑣)

Si el determinante de esta matriz no se anula en ningún punto, entonces es

invertible y se tiene un difeomorfismo de un entorno de (𝑢0, 𝑣0) en un entorno de

(𝜆0, 𝜇0). Pero ℎ ≡ Ψ. Entonces ℎ es un difeomorfismo local de 𝑝 en ℎ(𝑝).

Caso segundo: Supongamos 𝑆1 porción arbitrariamente pequeña de 𝑆

parametrizada de manera bicontinua por Φ.

En tal caso se definen así las funciones coordenadas curvilíneas:

𝑢: 𝑆1 → ℝ2

Φ(𝑢, 𝑣) → 𝑢

Y lo mismo para 𝑣.

¿Qué ocurre al calcular la diferencial según 𝑢 (y según 𝑣) del vector tangente

general?

Este vector se expresa como:

𝑣 = 𝑎 · Φ𝑢 + 𝑏 · Φ𝑣

Y la diferencial es una función lineal, así que aplicando definición:

(𝑑𝑢)𝑝(𝑎 · Φ𝑢 + 𝑏 · Φ𝑣) = 𝑎 · (𝑑𝑢)𝑝(Φ𝑢) + 𝑏 · (𝑑𝑢)𝑝(Φ𝑣)

¿Cuánto vale la siguiente expresión?

(𝑑𝑢)𝑝Φ𝑢

32

No hay más que encontrar una trayectoria cuya velocidad en todo punto (𝑢, 𝑣)

sea Φ𝑢. La trayectoria más inmediata es Φ(𝑢, 𝑘) donde 𝑘 constante real, que es

por cierto la curva de nivel de la función coordenada curvilínea 𝑣. En efecto,

sea:

𝛼(𝑢) = Φ(𝑢, 𝑘)

Entonces:

(𝑑𝑢)𝑝Φ𝑢 =𝑑

𝑑𝑢(𝑢(𝛼(𝑢))) =

𝑑

𝑑𝑢𝑢 = 1

Por tanto, queda aplicando y extrapolando esto:

(𝑑𝑢)𝑝(𝑎 · Φ𝑢 + 𝑏 · Φ𝑣) = 𝑎 · (𝑑𝑢)𝑝(Φ𝑢) + 𝑏 · (𝑑𝑢)𝑝(Φ𝑣) = 𝑎

(𝑑𝑣)𝑝(𝑎 · Φ𝑢 + 𝑏 · Φ𝑣) = 𝑎 · (𝑑𝑣)𝑝(Φ𝑢) + 𝑏 · (𝑑𝑣)𝑝(Φ𝑣) = 𝑏

Se deduce entonces que (𝑑𝑢)𝑝, (𝑑𝑣)𝑝 son las funciones coordenadas lineales

respecto de la base {Φ𝑢, Φ𝑣} en 𝑇𝑝𝑆.

Por consiguiente, cualquier forma lineal:

𝑙𝑝: 𝑇𝑝𝑆 → ℝ

Se puede expresar como combinación lineal así:

𝑙𝑝(𝑣) = 𝑙𝑝(𝑎 · Φ𝑢 + 𝑏 · Φ𝑣) = 𝑎 · 𝑙𝑝(Φ𝑢) + 𝑏 · 𝑙𝑝(Φ𝑣)

Y 𝑎, 𝑏 son, como acabamos de ver, funciones coordenadas del vector de 𝑇𝑝𝑆,

escalares en este contexto e iguales a 𝑑𝑢, 𝑑𝑣. En conclusión, cualquier forma

lineal se representa como:

𝑙𝑝 ≡ 𝑐1 · 𝑑𝑢 + 𝑐2 · 𝑑𝑣

Donde 𝑐1, 𝑐2 son únicos y valen:

𝑐1 = 𝑙𝑝(Φ𝑢), 𝑐2 = 𝑙𝑝(Φ𝑣)

33

Campos importantes

El campo de formas lineales o 1-forma: Generalización de lo que acabamos de

ver. Un campo de formas lineales asocia a cada punto (𝑢, 𝑣) del plano de

parámetros una forma lineal:

𝑙𝑝: 𝑇𝑢,𝑣Φ → ℝ

Si el campo 𝑑ℎ está formado por diferenciales de alguna función escalar ℎ(𝑢, 𝑣)

entonces la forma se llama exacta los campos 𝑑𝑢, 𝑑𝑣 son una base del espacio

de formas lineales, y cualquier campo de formas se expresa como:

𝑙 ≡ ℎ1(𝑢, 𝑣) · 𝑑𝑢 + ℎ2(𝑢, 𝑣) · 𝑑𝑣

En particular: ℎ1 = 𝑙(Φ𝑢) y ℎ2 = 𝑙(Φ𝑣).

Forma cuadrática: Es una función:

𝑞(·): 𝑇𝑝𝑆 → ℝ

Tal que existen tres números 𝑐1, 𝑐2, 𝑐3 que cumplen:

𝑞(𝑎 · Φ𝑢 + 𝑏 · Φ𝑣) = 𝑐1 · 𝑎2 + 𝑐2 · 2𝑎𝑏 + 𝑐3 · 𝑏2

Forma bilineal polar de una forma cuadrática dada: Es la única forma bilineal

𝑞(·,·) que cumple:

1. 𝑞(𝑣, 𝑤) = 𝑞(𝑤, 𝑣)

2. 𝑞(𝑣, 𝑣) = 𝑞(𝑣)

Para cualesquiera 𝑣,𝑤.

La base de esta forma bilineal es:

(𝑐1 𝑐2

𝑐2 𝑐3)

Cada matriz real simétrica tiene su forma bilineal polar y viceversa, y cada forma

cuadrática tiene su forma bilineal, y viceversa.

Campo de formas cuadráticas: Es un objeto que intuitivamente asocia a cada

(𝑢, 𝑣) una forma cuadrática. Es relevante decir que se pueden multiplicar dos

formas lineales perfectamente y como resultado queda una forma cuadrática.

Por extensión, también existe el campo polar ya que cada forma cuadrática

tiene su forma polar.

2-forma: Es un objeto Ω que a cada (𝑢, 𝑣) le asocia una forma bilineal

antisimétrica.

34

La métrica de Riemann

Definición: La métrica de Riemann en una superficie 𝑆 es un campo

definido en el espacio tangente que asocia a cada punto 𝑝 una forma

cuadrática 𝑄𝑝: 𝑇𝑝𝑆 → ℝ definida positiva y que depende suavemente del

punto 𝑝.

Más sobre formas cuadráticas.

Repasando conceptos del álgebra lineal recordamos que existen objetos:

ℬ: 𝑉 × 𝑉 → 𝕂

En concreto, para el caso:

ℬ: 𝑇𝑝𝑆 × 𝑇𝑝𝑆 → ℝ

Que cumplen linealidad en cada uno de sus dos argumentos. Estos objetos eran

las formas bilineales. Además, es cierto que toda matriz cuadrada es la matriz

asociada de alguna forma bilineal. Entonces dicha forma bilineal se define

matricialmente por:

ℬ(𝑣,𝑤) = 𝑣𝑇 · 𝑀 · 𝑤

Donde 𝑀 matriz asociada.

Existen dos tipos formas bilineales (por tanto, de matrices) en función de cómo

se comporte el cambio de argumentos.

1. Simétricas: ℬ(𝑣,𝑤) = ℬ(𝑤, 𝑣)

2. Antisimétricas: ℬ(𝑣, 𝑤) = −ℬ(𝑤, 𝑣)

Existen formas bilineales que no son ni simétricas ni antisimétricas. Pero sí que es

cierto que toda forma bilineal se descompone en la suma de una forma

simétrica y otra antisimétrica.

ℬ(𝑣,𝑤) = 𝑆(𝑣,𝑤) + 𝐴𝑡(𝑣, 𝑤), ∀𝑣, 𝑤

Si en una forma bilineal se introduce el mismo argumento en cada una de las

dos entradas, ésta define un nuevo objeto: las formas cuadráticas 𝒬.

ℬ(𝑣, 𝑣) ≔ 𝒬(𝑣)

Toda forma bilineal induce una forma cuadrática (el recíproco es cierto). De

hecho existen infinitas formas bilineales tales que al hacer ℬ(𝑣, 𝑣) se define la

misma forma 𝒬.

35

Pero ocurre que si ℬ = 𝑆 + 𝐴𝑡 y 𝐴𝑡 antisimétrica, entonces 𝐴(𝑣, 𝑣) = 0 por la

propiedad 2 (por eso existen infinitas formas bilineales que generan una misma

𝒬: una por cada forma 𝐴𝑡 en la que 𝐴𝑡(𝑣, 𝑣) = 0). Esto quiere decir que las formas

cuadráticas quedan definidas por la parte simétrica de su forma bilineal, y que

aunque infinitas formas bilineales induzcan la misma forma cuadrática, sólo

existe una que sea simétrica.

La única forma bilineal simétrica que induce una forma cuadrática 𝒬 se llama

forma polar de una forma cuadrática.

Tenemos entonces una correspondencia 1:1 entre formas bilineales simétricas

(polares) y formas cuadráticas, y podemos considerar que una representa a la

otra cuando nos convenga. Así, las formas cuadráticas tienen una

representación matricial: la de su forma polar (i.e. su forma bilineal simétrica).

Como toda matriz define una forma bilineal, en particular toda matriz simétrica

define una forma cuadrática. Si 𝑀 es una matriz simétrica, entonces:

𝑄(𝑣) = 𝑣𝑇 · 𝑀 · 𝑣

Y en particular, si 𝑀 es de orden 2 esto se desarrolla como:

𝑄(𝑣) = 𝑣𝑇 · 𝑀 · 𝑣 = 𝑎11 · 𝑣12 + 2 · 𝑎12 · 𝑣1𝑣2 + 𝑎22 · 𝑣2

2

Donde 𝑎11, 𝑎12,22 coeficientes de 𝑀. De aquí sale la definición dada de forma

cuadrática.

Decimos más: En nuestro caso 𝑣 ∈ 𝑇𝑝𝑆 porque es donde está definida la forma

cuadrática. Y 𝑣1, 𝑣2 son sus coordenadas. Y sabemos ya cuáles son las funciones

coordenadas del espacio tangente. Así, la expresión general de una forma

cuadrática va a ser:

𝑄 ≡ 𝑐1 · (𝑑𝑢)2 + 2 · 𝑐2 · 𝑑𝑢 · 𝑑𝑣 + 𝑐3 · (𝑑𝑣)2

Para 𝑐1, 𝑐2, 𝑐3 únicos por que corresponden con los coeficientes de la matriz que

representa la única forma simétrica que induce la forma cuadrática, siendo por

tanto única también dicha matriz.

Pero ¿cuáles serán 𝑐1, 𝑐2, 𝑐3? Por cálculo algebraico se obtiene:

𝑐1 = 𝑄(Φ𝑢, Φ𝑢), 𝑐2 = Q(Φu, Φv), c3 = 𝑄(Φ𝑣 , Φ𝑣)

Donde 𝑄 su forma polar y {Φ𝑢, Φ𝑣} base del espacio tangente.

Ahora: Resulta que las propiedades que cumplen las formas bilineales, las

definidas positivas, son las mismas propiedades que cumplen los productos

escalares. Entonces se puede interpretar que toda forma bilineal simétrica y

definida positiva es un producto escalar.

36

Si la métrica de Riemann asocia a cada punto 𝑝 de una superficie 𝑆 una forma

cuadrática 𝑄 definida en 𝑇𝑝𝑆 automáticamente se le asocia una forma polar 𝑄.

Si una forma polar es una forma bilineal simétrica y definida positiva, por tanto

un producto escalar, entonces la métrica de Riemann no solo es un campo

polar sino un campo de productos escalares.

Esto significa que teniendo definido un campo escalar que es un campo de

productos escalares la métrica de Riemann nos legitima para definir:

1. Longitud de vectores.

||𝑣|| = √𝑄(𝑣)

2. Ángulo entre vectores.

𝑄(𝑣,𝑤)

√𝑄(𝑣) · 𝑄(𝑤)

3. Rapidez riemanniana de un camino 𝛼

𝑟 = ||𝛼′|| = √𝑄(𝛼′)

4. Parámetro longitud riemanniana de arco: como la integral indefinida de

la rapidez riemanniana (forma totalmente análoga a lo visto).

Decimos más: La métrica de Riemann dota a una superficie del concepto de

área, y de integral respecto del área.

Sea:

𝑄 ≡ 𝐴(𝑢, 𝑣) · (𝑑𝑢)2 + 2 · 𝐵(𝑢, 𝑣) · (𝑑𝑢)(𝑑𝑣) + 𝐶(𝑢, 𝑣) · (𝑑𝑣)2

El campo polar definido por una métrica Riemanniana.

Sea 𝑎: 𝑆 → ℝ una función escalar en la superficie.

Entonces, se define la integral de Riemann como:

∫𝑎 · 𝑑á𝑟𝑒𝑎

Pero ¿cuánto vale un diferencial de área?

Se trata de calcular cuánto vale la unidad elemental de área de la superficie,

que es prácticamente idéntica a la unidad elemental de área en el espacio

tangente en cada punto. Esa es la esencia de la geometría de Riemann:

asemejar curvas a rectas para tener un lugar de trabajo en el que las cosas

funcionen bien.

37

Dicho área será igual al producto:

𝑑á𝑟𝑒𝑎 = |Φ𝑢| · |Φv| = |Φ𝑢| · |Φv| · sin(𝜋 2⁄ ) = |Φ𝑢 × Φ𝑣|

Y por otra parte, es conocido:

|Φ𝑢 × Φ𝑣|2 + ⟨Φ𝑢, Φ𝑣⟩

2 = |Φ𝑢|2|Φ𝑣|2

Entonces:

𝑑á𝑟𝑒𝑎 = |Φ𝑢 × Φ𝑣| = √|Φ𝑢|2|Φ𝑣|2 − ⟨Φ𝑢, Φ𝑣⟩

2

Está dicho que la métrica de Riemann es un campo de formas cuadráticas:

𝑄 ≡ 𝑐1 · (𝑑𝑢)2 + 2 · 𝑐2 · 𝑑𝑢 · 𝑑𝑣 + 𝑐3 · (𝑑𝑣)2

Para 𝑐1, 𝑐2, 𝑐3 constantes únicas que dependen del punto (𝑢, 𝑣), y resulta que,

desarrollando lo ya mencionado:

𝑐1 = 𝑄(Φ𝑢, Φ𝑢) = |Φ𝑢|2 = 𝐴

𝑐2 = Q(Φu, Φv) = ⟨Φ𝑢, Φ𝑣⟩ = 𝐵

c3 = 𝑄(Φ𝑣 , Φ𝑣) = |Φ𝑢|2 = 𝐶

Así:

𝑑á𝑟𝑒𝑎 = √𝐴𝐶 − 𝐵2

Donde 𝐴, 𝐵, 𝐶 son los coeficientes de la matriz asociada al campo polar. Por

tanto:

∫𝑎 · √𝐴𝐶 − 𝐵2 · 𝑑𝑢𝑑𝑣

O más bonito todavía, llamando 𝑀 a tal matriz asociada al campo polar:

∫𝑎 · √det (𝑀) · 𝑑𝑢𝑑𝑣

38

La primera forma fundamental

Dada una superficie 𝑆 en el espacio para cada punto 𝑝 se define una métrica

de Riemann dada por el campo polar:

𝑄 = 𝐴 · (𝑑𝑢)2 + 2𝐵 · (𝑑𝑢)(𝑑𝑣) + 𝐶 · (𝑑𝑣)2

Donde los coeficientes 𝐴, 𝐵, 𝐶 son los de la matriz asociada a la forma bilineal:

𝑀 = (𝐴 𝐵𝐵 𝐶

)

Y toman el valor:

𝐴 = 𝑄(Φ𝑢, Φ𝑢), 𝐵 = 𝑄(Φ𝑢, Φ𝑣), C = Q(Φv, Φv)

Hay un caso particular. El caso en el que 𝑄 es la forma bilineal asociada al

producto escalar usual. Entonces los coeficientes, que pasamos a llamar

siempre 𝐸, 𝐹, 𝐺 toman los valores:

𝐸 = Φ𝑢 · Φ𝑢, 𝐹 = Φ𝑢 · Φ𝑣 , 𝐺 = Φ𝑣 · Φ𝑣

Quedando la expresión de dicha forma como:

𝐼 ≡ 𝐸 · (𝑑𝑢)2 + 𝐹 · (𝑑𝑢)(𝑑𝑣) + 𝐺 · (𝑑𝑣)2

Eso es la primera forma fundamental.

Decimos más: Viendo 𝐸, 𝐹, 𝐺 como funciones de (𝑢, 𝑣) en un dominio del plano

paramétrico, y 𝑢, 𝑣 como funciones coordenadas, por tanto 𝑑𝑢, 𝑑𝑣 campos de

formas lineales en el plano nos queda 𝐼 como un campo de formas cuadráticas

en el plano de parámetros, no en la superficie sumergida en el espacio. Por

tanto, ya puede haber autointersecciones en tal superficie que en el plano se

tiene una función suave y univaluada. Una condición suficiente para esto es:

“Si Φ tiene rango constante igual a 2 entonces 𝐼Φ define una métrica de

Riemann en un dominio del plano de parámetros”.

Las isometrías.

Pasamos al estudio de las transformaciones y el comportamiento de campos

bajo éstas. Las más importante y las que más nos gustan son las isometrías.

Definición: Una isometría es una transformación entre superficies con métricas

de Riemann asociadas que cumple que es suave y sus diferenciales conservan

el producto escalar.

Matemáticamente el criterio es el siguiente: Sean 𝑄,𝑄′ las métricas en una y otra

superficie y ℎ la isometría. Entonces:

𝑄𝑢,𝑣(Φ𝑢, Φ𝑢) = 𝑄𝑢,𝑣′ ((ℎ ∘ Φ)𝑢, (ℎ ∘ Φ)𝑢)

𝑄𝑢,𝑣(Φ𝑢, Φ𝑣) = 𝑄𝑢,𝑣′ ((ℎ ∘ Φ)𝑢, (ℎ ∘ Φ)𝑣)

𝑄𝑢,𝑣(Φ𝑣, Φ𝑣) = 𝑄𝑢,𝑣′ ((ℎ ∘ Φ)𝑣 , (ℎ ∘ Φ)𝑣)

39

Esto se traduce en que las isometrías transforman trozos de superficie en los que

son inyectivas conservando el área y caminos conservando su longitud.

También se conservan los ángulos. Ahora bien, las isometrías no son

necesariamente inyectivas y pueden existir entre trozos de superficies que no

sean congruentes.

Una caracterización de isometrías locales:

ℎ isometría local ⟺ 𝐼Φ = 𝐼ℎ∘Φ como campos en el dominio de parámetros.

40

Capítulo 5: Curvatura extrínseca

El término “extrínseca” alude a que se estudia lo curvada que está una

superficie, pero vista “desde fuera”, no desde la superficie misma.

Midiendo el cambio de forma

Recordamos: Es bien conocido que el producto de vectores produce otro

vector perpendicular al plano que definen los factores. Dada una

parametrización regular Φ de una superficie, el producto Φ𝑢 × Φ𝑣 en cada punto

define un vector 𝑁 que es perpendicular a ambos, por tanto al plano tangente

– del cual son base los otros dos – por tanto a la superficie.

Recordamos también que un endomorfismo no es más que una aplicación de

un espacio en sí mismo preservando la estructura.

Sea una superficie 𝑆 y un vector 𝑣 del espacio tangente. Supongamos elegida

una 𝑁(𝑢, 𝑣) normal unitaria.

Definición: Se llama operador de forma de 𝑆 en el punto 𝑃 a la función definida

por 𝑊𝑃(𝑣) ≔ (𝑑𝑁)𝑃(𝑣).

Analicemos esto.

Desarrollando por definición el operador de forma:

𝑊𝑃(𝑣) ≔ (𝑑𝑁)𝑃(𝑣) ≔𝑑

𝑑𝑡· (𝑁(𝛼(𝑡)))

Donde 𝛼(𝑡) es cualquier camino que pase por el punto 𝑃 con velocidad 𝑣.

No perdamos de vista que 𝑁 es un vector normal a la superficie en cada punto.

𝑁 ≡ 𝑁(𝑢, 𝑣) =Φ𝑢 × Φ𝑣

||Φ𝑢 × Φ𝑣||

Así, tal como está definido, 𝑊𝑃 mide cómo está cambiando el vector normal 𝑁

en trechos arbitrariamente cortos sobre el punto 𝑃 en el camino 𝛼. Como, tal y

como ya sabemos, 𝑑𝑁 no depende del camino escogido, entonces 𝑊𝑃

tampoco, podemos suponer que 𝑊𝑃 mide el cambio de 𝑁 en una región

arbitrariamente pequeña alrededor del punto 𝑃. En otras palabras, 𝑊𝑃 mide

cómo se está curvando la superficie en cada punto, ya que tanto como se

curve la superficie, 𝑁 cambiará su orientación.

Pero hay algo interesante aquí. Lo interesante está en de qué depende el vector

normal 𝑁. Y la respuesta es que sólo depende de los vectores Φ𝑢, Φ𝑣, que son

base del espacio tangente 𝑇𝑝𝑆. No sería entonces descabellado pensar que el

cambio en el vector 𝑁, que es medido por 𝑊𝑝, viene dado por el cambio en

dicho espacio tangente, y viceversa.

41

Como 𝑁 ≡ 𝑘 · (Φ𝑢 × Φ𝑣) así que, por definición, es perpendicular a ambos,

podemos decir informalmente que 𝑁 está “pegado” a la base {Φ𝑢, Φ𝑣}, que

define por completo 𝑇𝑃𝑆 (para eso es base), y tanto como esa base cambie de

orientación en el espacio euclídeo tridimensional lo hará 𝑁.

En efecto, resulta que el operador de forma es la diferencial de 𝑁 según 𝑣 ∈ 𝑇𝑝𝑆,

y eso coincide con el producto de la diferencial por el vector, o la imagen del

vector según la diferencial.

𝑊(𝑣) = (𝑑𝑁)(𝑣) = (𝐷𝑁) · (𝑣) = (𝜕𝑁

𝜕𝑢

𝜕𝑁

𝜕𝑣) · (

𝑣1

𝑣2) =

𝜕𝑁

𝜕𝑢· 𝑣1 +

𝜕𝑁

𝜕𝑣· 𝑣2

En tanto que las parciales de 𝑁 son vectores deducimos que 𝑊 es un vector,

todavía no sabemos cuál o a qué espacio dentro de ℝ3 pertenece.

Las componentes de 𝑁 están formadas, por definición, por componentes de

Φ𝑢, Φ𝑣, así que en principio no se sabe muy bien de qué manera, pero 𝑊 está

midiendo el cambio de 𝑁, por definición, y el cambio de Φ𝑢, Φ𝑣, por depender

de las derivadas parciales de 𝑁, coincidiendo con la idea intuitiva de que el

cambio en 𝑇𝑝𝑆 determina el cambio en 𝑁 y viceversa.

Decimos más: De la última expresión de 𝑊 dada se deduce su interpretación

como forma diferencial.

𝑊(𝑣) = (𝑑𝑁)(𝑣) = 𝑁𝑢 · 𝑑𝑢 + 𝑁𝑣 · 𝑑𝑣

Y aquí viene la última pieza del puzle: dada una superficie con su espacio

tangente en cierto punto definido por dos vectores Φ𝑢, Φ𝑣, cualquier forma lineal

definida en 𝑇𝑝𝑆 está dada por:

𝑙 ≡ 𝑐1 · 𝑑𝑢 + 𝑐2 · 𝑑𝑣

Donde 𝑐1, 𝑐2 son la imagen por la diferencial de Φ𝑢, Φ𝑣.Y resulta que 𝑁𝑢, 𝑁𝑣

parciales respectivas de 𝑁 son por definición la imagen de Φ𝑢, Φ𝑣. Entonces se

deduce que el espacio tangente en el que vive la forma diferencial 𝑊(𝑣) no es

otro que el determinado por Φ𝑢, Φ𝑣, es decir, el único espacio tangente que se

ha mencionado hasta ahora. En resumen: 𝑊 no sólo toma valores de 𝑇𝑝𝑆 sino

que los devuelve en ese mismo espacio. Es un endomorfismo.

En efecto: se tiene la identidad 𝑁 · 𝑁 ≡ 1. Haciendo la diferencial según cierto

vector tangente a ambos lados de la igualdad queda 2 · 𝑁 · 𝑊(𝑣) = 0, así que 𝑁

y 𝑊 tienen que ser ortogonales.

Φ𝑢

Φ𝑣

𝑁

Φ𝑢 Φ𝑣 𝑁

Φ𝑢

Φ𝑣

𝑁

42

De hecho, al operador de forma se le denomina también endomorfismo de

Weingarten, y de ahí también la notación.

Un poco de álgebra: Dos métricas tienen asociado un endomorfismo

Sea 𝑉 un ℝ-espacio vectorial de dimensión 𝑛.

Se fija en él una métrica simétrica definida positiva: un producto escalar.

Llamaremos 𝑄1 a dicha métrica y denotaremos por " · " su producto escalar.

𝑄1(𝑣1, 𝑣2) ≔ 𝑣1 · 𝑣2

Sea 𝑄2 otra métrica simétrica definida sobre el mismo espacio 𝑉.

Entonces existe un único endomorfismo 𝑄:𝑉 → 𝑉 que cumple:

𝑄2(𝑣1, 𝑣2) = 𝑄(𝑣1) · 𝑣2, ∀𝑣1, 𝑣2 ∈ 𝑉

A tal 𝑄 se le denomina endomorfismo asociado a la pareja de métricas 𝑄1, 𝑄2.

Observación: De la simetría de 𝑄2 se deduce lo siguiente.

𝑄(𝑣1) · 𝑣2 = 𝑣1 · 𝑄(𝑣2)

La segunda forma fundamental

Entonces todo par de métricas 𝑄1, 𝑄2 tienen asociado un endomorfismo que las

relaciona. Para cada punto 𝑃 de una superficie 𝑆 nosotros conocemos ya una

métrica 𝐼 llamada primera forma fundamental y un endomorfismo 𝑊 llamado

endomorfismo de Weingarten, definidos ambos en el espacio tangente.

Debería existir en 𝑇𝑝𝑆 por lo tanto una métrica 𝐼𝐼 que cumpla la propiedad

enunciada en el apartado anterior*. Una métrica tal que:

𝐼𝐼(𝑣1, 𝑣2) = 𝐼(−𝑊(𝑣1), 𝑣2) = 𝐼(𝑣1, −𝑊(𝑣2)), ∀𝑣1, 𝑣2 ∈ 𝑇𝑝𝑆

Definición: La segunda forma fundamental es la única forma simétrica 𝐼𝐼(·,·) que

cumple que para cualesquiera dos elementos 𝑣1, 𝑣2 de 𝑇𝑃𝑆:

𝐼𝐼(𝑣1, 𝑣2) ≔ 𝐼(𝑣1, −𝑊(𝑣2))

Con esto se tiene definida la segunda forma fundamental, pero vamos a

estudiarla y caracterizarla mejor.

*En realidad sería necesario demostrar que el endomorfismo de Weingarten cumple la

propiedad 𝑊(𝑣1) · 𝑣2 = 𝑣1 · 𝑊(𝑣2), entonces sí: debería existir una segunda métrica tal

que 𝑊 sea el endomorfismo asociado a las dos primeras. Por supuesto 𝑊 cumple tal

propiedad.

43

Interpretando la segunda forma fundamental

Deducción de la matriz asociada.

Se tiene:

𝐼𝐼(𝑣, 𝑤) = 𝐼(𝑣,−𝑊(𝑤)) = −𝑣 · 𝑊(𝑤)

Como vectores del espacio euclídeo se tiene:

𝐼𝐼(𝑣, 𝑤) = −𝑣 · (𝐷𝑁) · 𝑤

Pero 𝑣,𝑤 están dados vectores de 𝑇𝑝𝑆, espacio de dimensión 2.

Así que el problema está en dar directamente 𝐼𝐼(·,·) respecto de la base {Φ𝑢, Φ𝑣}.

Por tanto:

𝑒 ≔ 𝐼𝐼(Φ𝑢, Φ𝑢)

𝑓 ≔ 𝐼𝐼(Φ𝑢, Φ𝑣)

𝑔 ≔ 𝐼𝐼(Φ𝑣 , Φ𝑣)

Siendo la forma bilineal:

𝐼𝐼 ≡ 𝑒 · 𝑑𝑢2 + 𝑓 · 𝑑𝑢𝑑𝑣 + 𝑔 · 𝑑𝑣2

Como forma cuadrática, se puede deducir de la forma bilineal. Se obtienen los

siguientes coeficientes de la forma cuadrática:

𝑒 = 𝑁 · Φ𝑢𝑢, 𝑓 = 𝑁 · Φ𝑢𝑣, 𝑔 = 𝑁 · Φ𝑣𝑣

Interpretación geométrica.

Existen varias interpretaciones geométricas de qué es lo que mide la segunda

forma fundamental. Todas equivalentes, claro está.

Interpretación primera. Como forma bilineal: Movimiento del plano tangente.

Según la definición, y aplicando también definición de producto escalar:

𝐼𝐼(𝑣, 𝑤) ≔ 𝐼(𝑣, −𝑊(𝑤)) ≔ −𝑣 · 𝑊(𝑤) = −|𝑊(𝑤)| · proy(𝑣𝑊(𝑤))

Donde proy(𝑣𝑊(𝑤)) es proyección de 𝑣 sobre 𝑊(𝑣).

Por tanto, la segunda forma fundamental de dos vectores 𝑣,𝑤 depende de

cuánto esté cambiando el vector normal en la dirección de 𝑤 (𝑊(𝑤)) y del

ángulo que forme el segundo vector con el vector 𝑊(𝑣) de cambio,

ponderando al máximo (1) si 𝑣,𝑤 tienen la misma dirección y al mínimo

(anulando) si tienen la misma dirección.

44

Así, la segunda forma fundamental se anula si:

1. 𝑁 no está cambiando en la dirección de 𝑤, es decir, 𝑤 está sobre una

trayectoria de curvatura nula.

2. 𝑁 está cambiando, esto es, la superficie se está curvando pero en una

dirección ortogonal al segundo vector que define la forma.

Esto se relaciona con la siguiente idea: sean dos vectores que imaginaremos

como dos segmentos unidos por un extremo formando cualquier ángulo. Si uno

de ellos rota de tal manera que su extremo libre describe una circunferencia

cuyo centro está sobre el segundo vector, entonces éste último no se está

moviendo en el espacio.

La rotación del primero de ellos es en la dirección que manda su operador 𝑊. Si

este vector de giro es perpendicular al segundo vector, ocurriendo lo descrito,

entonces el segundo vector permanece inmóvil y la segunda forma se anula.

Se deduce que para que la segunda forma no se anule tienen que ocurrir dos

cosas simultáneamente.

1. La superficie se está curvando en la dirección que dice 𝑤.

2. Lo está haciendo de manera que haga moverse a 𝑣.

Así es como, en algún sentido, 𝐼𝐼(·,·) da una medida de cuánto se retuerce en

el espacio el plano tangente.

Segunda interpretación. Como forma cuadrática: Teorema de Meusnier.

El teorema de Meusnier dice que la segunda forma fundamental de un vector

𝑣 coincide con la curvatura de una curva 𝛼 que esté contenida estrictamente

en la superficie y pase por el punto en cuestión 𝑃 con velocidad 𝑣. En ese

sentido, la segunda forma fundamental es realmente una generalización de la

segunda derivada vista en curvas en el plano.

𝐼𝐼(±𝑣) = 𝑘𝛼,𝑃

Para elegir dicha curva basta elegir la que se origina considerando el corte del

plano definido por 𝑣,𝑁 y la propia superficie.

Otras interpretaciones de la segunda forma fundamental pasan por usarla

como una medición de la distancia entre la superficie y el plano tangente, o

dicho de otro modo, el error cometido por el plano al aproximar la superfice. Se

relaciona así también con el teorema de Taylor.

45

Clasificación de puntos

La definición de 𝐼𝐼𝑃(·,·) en cierto punto 𝑃 lo clasifica de distintas maneras:

Si 𝐼𝐼𝑃 es definida positiva o negativa entonces 𝑃 es un punto elíptico.

Si 𝐼𝐼𝑃 es indefinida entonces 𝑃 es un punto hiperbólico.

Si 𝐼𝐼𝑃 es semidefinida entonces 𝑃 es un punto parabólico.

Si 𝐼𝐼𝑃 se anula es un punto plano.

Definición: Un punto 𝑃 se llama umbilical si se cumple que la segunda forma

fundamental es múltiplo escalar de la primera forma fundamental. Un punto

umbilical es necesariamente elíptico o bien plano.

Curvatura de Gauss

Como el endomorfismo de Weingarten es autoadjunto, se puede diagonalizar.

Es decir, que existe una base de 𝑇𝑃𝑆 para la cual su matriz es diagonal y que por

tanto es una base ortogonal.

{𝑢1, 𝑢2} ≡ base tal que 𝑀𝑊 = (𝑘1 00 𝑘2

)

Donde 𝑀𝑊 denota la definición matricial del endomorfismo 𝑊 y 𝑘1, 𝑘2 son

simplemente números reales.

Esto quiere decir que la base {𝑢1, 𝑢2} es ortogonal, y aún es más, a consecuencia

de ser 𝑊 autoadjunto, esa base es de hecho ortonormal.

Recordamos que geométricamente esto significa que:

𝑊(𝑢1) = 𝑘1 · 𝑢1

𝑊(𝑢2) = 𝑘2 · 𝑢2

Consideremos un vector unitario contenido en 𝑇𝑃𝑆 que llamaré 𝑡.

Tiene que existir un ángulo 𝜃 de manera que:

𝑡 = cos(𝜃) · 𝑢1 + sin(𝜃) · 𝑢2

Por tanto, la imagen de cualquier vector tangente unitario por el endomorfismo

es:

𝑊(𝑡) = 𝑘1 cos(𝜃) · 𝑢1 + 𝑘2 sin(𝜃) · 𝑢2

Si consideramos la sección plana de 𝑆 generada por la intersección entre el

plano generado por 𝑡, 𝑁 y la superficie, esta intersección es una curva cuya

curvatura como curva en el plano viene dada por:

𝑘𝐶 = 𝐼𝐼(𝑡, 𝑡) = 𝐼𝐼(𝑡) = 𝑡𝑇 · 𝑊(𝑡) = 𝑘1 · cos2(𝜃) + 𝑘2 · sin2(𝜃)

Y esa curvatura como curva en el plano coincide lógicamente con la curvatura

normal.

46

Si 𝑘1 < 𝑘2 entonces 𝑘1 < 𝑘𝐶 < 𝑘2. Entonces de todas las posibles curvaturas

normales asociadas a cada una de las curvas que podemos escoger en 𝑆

pasando por el punto en cuestión, hay dos que destacan: la que tiene mínima

curvatura normal y la que tiene máxima curvatura normal. Cada una de esas

dos curvaturas corresponden, respectivamente, a 𝑘1 y 𝑘2.

La mínima y la máxima curvatura normal que puede tener una curva contenida

en la superficie se conocen como curvaturas principales de la superficie, y

coincide como hemos comprobado con los autovalores del endomorfismo de

Weingarten. Sus autovectores asociados son las direcciones principales.

En un punto umbilical las direcciones principales coinciden, por tanto toda línea

contenida en la superficie que pase por un punto umbilical tiene la misma

curvatura.

Líneas de curvatura y líneas asintóticas

En un punto no umbilical existen dos líneas sobre la superficie que tienen como

vector tangente un vector en una dirección principal. Estas dos líneas se llaman

líneas de curvatura. Son, en otras palabras, las líneas sobre la superficie de

máxima y de menor curvatura que puede haber. Por ejemplo, en un cilindro las

líneas de curvatura son circunferencias (“anillos”) sobre el cuerpo paralelo a las

bases y rectas perpendiculares a las mismas. En general, en una superficie de

revolución las direcciones de curvatura son los paralelos y los meridianos.

Traduciendo la definición de línea de curvatura y deduciendo adecuadamente

se llega a que la condición que las líneas de curvatura cumplen la siguiente

ecuación diferencial:

|𝐸 · 𝑢′ + 𝐹 · 𝑣′ 𝑒 · 𝑢′ + 𝑓 · 𝑣′

𝐹 · 𝑢′ + 𝐺 · 𝑣′ 𝑓 · 𝑢′ + 𝑔 · 𝑣′| = 0

Donde:

𝐼 ≡ 𝑒 · (𝑑𝑢)2 + 2𝑓 · (𝑑𝑢)(𝑑𝑣) + 𝑔 · (𝑑𝑣)2

𝐼𝐼 ≡ 𝐸 · (𝑑𝑢)2 + 2𝐹 · (𝑑𝑢)(𝑑𝑣) + 𝐺 · (𝑑𝑣)2

En un trozo de superficie en el que, lógicamente, no existan puntos umbilicales,

existen unas coordenadas que diagonalizan la primera y la segunda forma

fundamental, y lo hacen todos los puntos a la vez. Estas coordenadas se llaman

coordenadas principales. Son, por tanto, aquellas que hacen de Φ𝑢, Φ𝑣 una

base ortogonal. Y se deduce, además, que las direcciones de curvatura son

ortogonales entre sí.

47

Si sobre la superficie existen curvas tales que llevan en cada punto una dirección

principal, de igual manera existen curvas que en cada punto tienen curvatura

normal nula, o curvatura en el espacio con componente normal nula. Son las

líneas asintóticas. Se deduce que, vista desde la propia superficie, o si se quiere:

“para un habitante diminuto en la superficie”, las líneas asintóticas no se están

curvando. Son localmente rectas, en un sentido intrínseco.

Las líneas asintóticas tienen direcciones definidas por un vector que vive en el

espacio tangente: las direcciones asintóticas. Estas direcciones se deducen de

resolver:

𝐼𝐼(𝑣) = 0

Los ángulos entre direcciones asintóticas varían de un punto a otro de la

superficie. Pero por su definición siempre se cumple que sus bisectrices son

direcciones principales.

Había puntos que por definición impedían que en ellos existiesen dos líneas y

direcciones de curvatura, los puntos elípticos. Las direcciones asintóticas tienen

la siguiente relación con los distintos tipos de puntos:

1. Los puntos hiperbólicos tienen una segunda forma fundamental

indefinida, queriéndose decir que el plano tangente en un punto

hiperbólico tiene trozos de superficie a cada lado suyo. Esto genera

cuatro líneas que se intersecan en el punto, o dos familias de curvas, que

son hipérbolas y tienen como asíntotas las direcciones asintóticas.

2. Los puntos parabólicos tienen una segunda forma semidefinida. Por

tanto, tienen la superficie cercana a un solo lado del plano tangente

pero tocando al plano tangente a lo largo de una línea. Esa línea es la

única familia de curvas asociada a la dirección asintótica,

3. En los puntos elípticos no existen líneas ni direcciones asintóticas. Por su

definición no existen curvas que pasen por esos puntos que sean rectas

en un sentido intrínseco y local.

De igual manera que con las líneas de curvatura, en una porción de superficie

de puntos hiperbólicos también existen unas coordenadas para las cuales las

segunda forma fundamental tiene expresión:

𝐼𝐼 ≡ 2𝑓 · (𝑑𝑢)(𝑑𝑣)

Son las coordenadas asintóticas.

48

Capítulo 6: Cálculo de variaciones

Geodésicas (I): Definición mediante funcionales.

Formalización

Definición:

1. Se conoce como funcional una aplicación que asocia objetos de un

espacio de funciones 𝑋 a números reales. Una función de coge funciones

y devuelve números.

2. Se conoce como operador una aplicación que lleva objetos de un

espacio de funciones 𝑋 en otro, 𝑌. Una función que coge funciones para

formar otras funciones.

Notación: Si ℱ es un espacio de funciones se denota ℱ[𝑛] al número que se

produce al actuar ℱ sobre un objeto 𝑛 del espacio de definición.

Definición: En una superficie, el lagrangiano es cualquier función definida sobre

el espacio tangente que, para cada punto, construye una función del punto y

un vector tangente:

𝐿(𝑝,·): 𝑇𝑃𝑆 → ℝ

𝑣 → 𝐿(𝑝, 𝑣)

En particular, para cualquier camino 𝛼(𝑡) definido sobre la superficie el

Lagrangiano actúa sobre las parejas punto – velocidad produciendo una

función:

𝑡 → 𝐿(𝛼(𝑡), 𝛼′(𝑡))

Este uso será el que más le daremos para nuestro estudio.

Definición: Sea 𝐿 el lagrangiano definido sobre una superficie 𝑆, y un intervalo

[𝑎, 𝑏]. El funcional integral asociado es el funcional:

ℒ: {caminos suaves 𝛼: [𝑎, 𝑏] → ℝ} → ℝ

Definido por:

ℒ[𝛼] = ∫ 𝐿(𝛼, 𝛼′) · 𝑑𝑡𝑏

𝑎

Es un funcional que coge lagrangianos y devuelve números, y lo hace al evaluar

su integral simple en un intervalo. Dicho intervalo no es otro que el de definición

del camino.

49

Deformaciones

Fijemos 𝛼0 ∈ 𝑆.

Definición: Una deformación de 𝛼0 en 𝑆 es una función de dos variables

independientes:

𝛼(𝑡, 𝜆): [𝑎, 𝑏] × 𝐽′ → 𝑆

Que tiene que cumplir:

1. 0 ∈ 𝐽′

2. 𝛼(𝑡, 0) = 𝛼0(𝑡)

A 𝜆 se le llama parámetro de deformación. A medida que cambia el parámetro

el camino se va deformando de forma suave siempre contenido en la superficie.

Esto induce una definición más:

Definición: La velocidad inicial de deformación para 𝛼(𝑡, 𝜆) es el campo de

velocidades 𝑉 a lo largo de 𝛼0:

𝑉(𝑡) ≡𝜕𝛼

𝜕𝜆|𝜆=0

Para cada 𝑡0 de [𝑎, 𝑏], 𝑉(𝑡0) es el vector tangente del camino 𝛼(𝑡0, 𝜆) en 𝜆 = 0.

Es como si fijamos un punto 𝑡0 de [𝑎, 𝑏], consideramos su imagen 𝛼(𝑡0) y dejamos

que cambie 𝜆 mientras que 𝛼(𝑡0) va dejando un “rastro”. Ese “rastro” es, a su

vez, un caminosobre 𝑆. Pues 𝑉(𝑡0) es el tangente a ese camino en 0.

Por tanto, 𝑉 está en 𝑇𝑃𝑆. Codifica la velocidad a la que se está deformando el

camino, en concreto en el valor inicial de deformación.

Primera variación

Definimos un objeto que puede considerarse como la diferencial de ℒ en 𝛼0.

Recordemos: al final, ℒ no es más que una función que coge caminos en la

superficie y devuelve números. Tales números se definen de la forma indicada

haciendo uso del Lagrangiano. Entonces siempre se puede medir cómo está

cambiando el funcional integral cuando el camino está siendo deformado.

Definición: Entonces, la primera variación del funcional es el número:

𝑑

𝑑𝜆|𝜆=0

ℒ[𝛼(·, 𝜆)]

50

Observación 1: Los datos 𝐿, [𝑎, 𝑏], 𝛼0 determinan el siguiente funcional:

𝒜: {𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑎 𝑆 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝛼0} → ℝ

De tal manera, que si 𝑉 es la velocidad de deformación:

𝒜[𝑉] =𝑑

𝑑𝜆|𝜆=0

𝐿(𝛼(·, 𝜆))

Esto es, que el cálculo de la primera variación es un funcional de la velocidad

de deformación. Y además puede comprobarse que 𝒜 es lineal.

Observación 2: Dos deformaciones del mismo camino 𝛼0, aunque sean muy

distintas, producen la misma primera variación siempre que tengan la misma

velocidad inicial de deformación.

Las ecuaciones de Euler – Lagrange:

Supongamos que se tiene una métrica de Rieman en la superficie.

Al calcular la primera variación siempre va a resultar una expresión de este tipo:

𝑑

𝑑𝜆|𝜆=0

ℒ[𝛼(·, 𝜆)] = [𝑙1(𝑉(𝑎)) + 𝑙2(𝑉(𝑏))] + ∫ 𝑄𝛼0(𝑎(𝑡), 𝑉(𝑡)) · 𝑑𝑡

𝑏

𝑎

Apreciaciones:

1) 𝑙1, 𝑙2 son funciones lineales de 𝑉(𝑎), 𝑉(𝑏) respectivamente.

2) 𝑎(𝑡) es una función que representa un campo de vectores tangente a la

superficie a lo largo del camino 𝛼0.

3) El primer sumando se llama término de evaluación y el segundo sumando

se llama término integral.

4) Tanto el término de evaluación, como la función 𝑎(𝑡) son únicos para

𝐿, 𝛼0, 𝑄 fijos.

Las ecuaciones Euler – Lagrange están entonces dadas por:

𝑎(𝑡) ≡ 0

51

Origen analítico de la primera variación y explicación de Euler – Lagrange

El estudio del cálculo de variaciones tiene su motivación en, como su propio

nombre indica, problemas de variaciones. En estos problemas usualmente son,

en concreto, problemas de minimización. No hace falta resaltar la utilidad que

puede tener un problema de minimización.

En los casos más simples, el problema básico se encuentra en encontrar una

función, en nuestro caso 𝛼(𝑡), que minimice el funcional integral:

ℒ[𝛼] = ∫ 𝐿(𝛼, 𝛼′) · 𝑑𝑡𝑏

𝑎

El funcional integral, por definición, no deja de ser una función. Por tanto,

estamos generalizando el problema de encontrar puntos críticos. Del mismo

modo que pudiéramos querer encontrar el valor que minimiza la función 𝑓(𝑥) =

𝑥2 ahora queremos encontrar una función que minimice el funcional ℒ.

En el caso de funciones definidas sobre un espacio vectorial de dimensión finita,

los puntos de minimización los encontrábamos entre aquellos que hacían que

el gradiente de la función se anulase (los puntos críticos). Entonces tendremos

que saber cuál es el análogo del gradiente cuando la función es un funcional y

está por tanto definida en un espacio vectorial de dimensión infinita.

Volvemos al caso de referencia que estamos generalizando: el de funciones

definidas en espacios vectoriales de dimensión finita. La derivada parcial de una

función podía expresarse de dos maneras:

∇𝑓 · 𝒆𝒊, (1)

lim𝑡→0

𝑓(𝒙 + 𝑡 · 𝑒𝑖) − 𝑓(𝒙)

𝑡=

𝑑

𝑑𝑡· 𝑓(𝒙 + 𝑡 · 𝒆𝒊), (2)

Generalizando el caso primero, necesitaremos definir un producto interno. El

produducto interno usual en espacios de funciones es:

∫ 𝑓 · 𝑔𝑏

𝑎

Generalizando el caso segundo, con el que continuaremos de momento, la

variación que queremos estudiar es la del diferencial en la dirección de cierta

función 𝑣 que sustituye al vector 𝑒𝑖.

𝑑

𝑑𝜆· ℒ[𝛼 + 𝜆 · 𝑣] =

𝑑

𝑑𝜆∫ 𝐿(𝛼 + 𝜆 · 𝑣, 𝛼′ + 𝜆 · 𝑣′)

𝑏

𝑎

· 𝑑𝑡

Y nos interesa hacerlo, como hemos visto, en valor 𝜆 = 0

𝑑

𝑑𝜆|𝜆=0

· ℒ[𝛼 + 𝜆 · 𝑣] =𝑑

𝑑𝜆|𝜆=0

· ∫ 𝐿(𝛼 + 𝜆 · 𝑣, 𝛼′ + 𝜆 · 𝑣′)𝑏

𝑎

· 𝑑𝑡

52

Este es el origen analítico de la primera variación, que tiene su origen

geométrico en el cambio suave de un camino contenido en una superficie.

Continuemos desarrollando esta expresión que ya tenemos perfectamente

identificada.

𝑑

𝑑𝜆∫ 𝐿(𝛼 + 𝜆 · 𝑣, 𝛼′ + 𝜆 · 𝑣′)

𝑏

𝑎

· 𝑑𝑡

Bajo ciertas condiciones de suavidad la derivada pasa dentro de la integral y

se convierte en una derivada parcial. Aplicando la regla de la cadena y

eliminando términos 𝑣′ mediante integración por partes resulta la expresión

señalada.

𝑑

𝑑𝜆|𝜆=0

· ∫ 𝐿(𝛼 + 𝜆 · 𝑣, 𝛼′ + 𝜆 · 𝑣′)𝑏

𝑎

· 𝑑𝑡 = ∫𝜕

𝜕𝜆|𝜆=0

· 𝐿(𝛼 + 𝜆 · 𝑣, 𝛼′ + 𝜆 · 𝑣′) · 𝑑𝑡𝑏

𝑎

=

= ∫ 𝐷𝐿|𝜆=0 · (𝑣𝑣′

) · 𝑑𝑡𝑏

𝑎

= ∫ (𝜕𝐿

𝜕𝛼· 𝑣 +

𝜕𝐿

𝜕𝛼′· 𝑣′) · 𝑑𝑡

𝑏

𝑎

=

𝑟(𝑥) =𝜕𝐿

𝜕𝛼′

= ∫𝜕𝐿

𝜕𝛼· 𝑣 · 𝑑𝑡

𝑏

𝑎

+ [𝜕𝐿

𝜕𝛼′· 𝑣]

𝑎

𝑏

− ∫ 𝑣 · 𝑟′(𝑥) · 𝑑𝑡𝑏

𝑎

𝑑

𝑑𝜆|𝜆=0

· ℒ[𝛼] = [𝜕𝐿

𝜕𝛼′· 𝑣]

𝑎

𝑏

+ ∫ (𝜕𝐿

𝜕𝛼− 𝑟′(𝑥)) · 𝑣 · 𝑑𝑡

𝑏

𝑎

En concreto, la misteriosa función que Euler – Lagrange iguala a cero es:

∇ℒ =𝜕𝐿

𝜕𝛼− 𝑟′(𝑥) =

𝜕𝐿

𝜕𝛼−

𝑑

𝑑𝑥·

𝜕𝐿

𝜕𝛼′

Porque, efectivamente, es lo que hace el papel de gradiente del funcional.

La función 𝑣 en la cual se halla la diferencial no es otra que la primera variación,

lógicamente, que habíamos denotado por 𝑉 anteriormente, y representa la

dirección en la que se está derivando (la dirección por la que se multiplicaría el

gradiente en el caso finito-dimensional).

Si el lagrangiano usado es una longitud de Riemann es cuando la función

gradiente que resulta es la menos curvatura geodésica. Los caminos

correspondientes a curvaturas geodésicas nulas, esto es, gradientes nulos, son

entonces las geodésicas, y es por eso que las geodésicas son, entre otras cosas,

las lineas de mínimo recorrido sobre una superficie, dado que el lagrangiano

usado es la longitud de Riemann.

53

Geodésicas (II): Definición mediante transporte paralelo.

Ya hemos pasado por encima del concepto de derivada covariante. Ahora lo

formalizamos explícitamente.

Sea 𝑤 un campo de vectores diferenciable en un abierto 𝑈 de la superficie.

Sea 𝑝 un punto de dicho abierto.

Sea 𝑦 un elemento del espacio tangente.

Consideremos una curva:

𝛼: (−𝜀,+𝜀) → 𝑈

Que cumple:

𝛼(0) = 𝑝, 𝛼′(0) = 𝑦

Consideremos ahora 𝑤(𝑡) la restricción del campo 𝑤 al camino 𝛼.

Ojo: 𝑤(0) no es necesariamente 𝑦.

Entonces: La proyección normal del vector 𝑑𝑤𝑑𝑡⁄ sobre el espacio tangente se

denota como 𝐷𝑤𝑑𝑡⁄ y se llama derivada covariante de 𝑤 respecto de 𝑦.

Por ejemplo, el operador de forma era un caso particular de derivada

covariante, la del campo normal.

La derivada covariante generaliza el concepto de diferenciación de vectores

en el plano a superficies buenas.

Si un camino 𝛼 es la trayectoria de una partícula sobre una superficie el campo

de vectores 𝛼′ denota su velocidad en cada punto y entonces la derivada

covariante:

𝐷𝛼′

𝑑𝑡

Denota la componente tangencial de la aceleración, esto es, la aceleración

intrínseca o aceleración “vista desde la superficie”.

Entonces se induce la siguiente definición:

Definición: Un campo de vectores 𝑤 a lo largo de cierta curva parametrizada

se dice paralelo si su derivada covariante se anula en todo punto de la curva.

Intuitivamente, un campo de vectores es paralelo si, y sólo si, no está

cambiando, al menos desde el punto de vista intínseco.

54

El concepto de campo de vectores paralelo en ocasiones puede contradecir

nuestra noción cotidiana de “paralelo”. Es decir, un conjunto de vectores

paralelos en un plano son, en un sentido clásico y en el sentido en el que

acabamos de definir, paralelos. Pero, por ejemplo, el campo de vectores

tangente a un meridiano de la esfera 𝑆2 es paralelo, y no es paralelo en el

sentido cotidiano. Esto es aparentemente contradictorio hasta que uno observa

que todos los vectores tangentes a un meridiano tienen el mismo vector

perpendicular a la trayectoria y tangente a la esfera. Por consiguiente, su

derivada covariante se anula.

Entonces la definición de geodésica es la que sigue:

Definición: Una curva en una superficie se llama geodésica si la derivada

covariante de su campo de vectores tangente se anula en todo punto.

Claro, por eso la geodésica es la trayectoria de mínimo recorrido: porque desde

un punto de vista intrínseco une dos puntos de la forma más eficiente, esto es,

sin curvarse por el camino (insistimos: desde un punto de vista intrínseco).

Ejemplos del cálculo de la primera variación del funcional

Tomaremos la notación (𝑢1, 𝑢2) para las coordenadas paramétricas.

Entonces, el camino 𝛼0 es 𝛼0(𝑡) = 𝛼(𝑡, 0) = 𝛼0(𝑢1(𝑡), 𝑢2(𝑡)) = 𝛼(𝑢1(𝑡, 0), 𝑢2(𝑡, 0)).

Para la velocidad inicial de deformación se tomará la notación:

𝑉(𝑡) = 𝑣1(𝑡) · Φ𝑢1+ 𝑣2(𝑡) · Φu2

Observación: 𝑣1(𝑡) = 𝑢1𝜆(𝑡, 0) y lo mismo para 𝑣2.

Primer ejemplo.

No perdamos de vista que lo que vamos a calcular es:

𝑑

𝑑𝜆|𝜆=0

ℒ[𝛼] =𝑑

𝑑𝜆|𝜆=0

· (∫ 𝐿(𝛼(𝑡, 𝜆), 𝛼′(𝑡, 𝜆)) · 𝑑𝑡𝑏

𝑎

)

Consideremos en una superficie el siguiente lagrangiano.

𝐿 ≡ 𝑑𝑢1 · 𝑑𝑢2

El funcional integral es, entonces:

ℒ[𝛼0] = ∫ 𝑢1′ (𝑡) · 𝑢2

′ (𝑡) · 𝑑𝑡𝑏

𝑎

55

Para una deformación:

ℒ[𝛼(·, 𝜆)] = ∫ 𝑢1𝑡· 𝑢2𝑡

· 𝑑𝑡𝑏

𝑎

En primer lugar, se mete la derivada respecto del parámetro de variación dentro

de la integral.

𝑑

𝑑𝜆|𝜆=0

· ℒ[𝛼(·, 𝜆)] =𝑑

𝑑𝜆|𝜆=0

· ∫ 𝑢1𝑡· 𝑢2𝑡

· 𝑑𝑡𝑏

𝑎

= ∫ [𝜕

𝜕𝜆|𝜆=0

· (𝑢1𝑡· 𝑢2𝑡

)] · 𝑑𝑡𝑏

𝑎

Ahora, se deriva el integrando y, suponiendo que la deformación es, como

mínimo, de clase 𝒞2, se intercambia el orden de derivación.

𝜕

𝜕𝜆|𝜆=0

· (𝑢1𝑡· 𝑢2𝑡

) = (𝑢1𝑡𝜆· 𝑢2𝑡

+ 𝑢1𝑡· 𝑢2𝑡𝜆

)𝜆=0

=

=𝑑

𝑑𝑡(𝑢1𝜆

(𝑡, 0)) · 𝑢2′ (𝑡) + 𝑢1

′ (𝑡) ·𝑑

𝑑𝑡(𝑢2𝜆

(𝑡, 0)) = 𝑣1′(𝑡)𝑢2

′ (𝑡) + 𝑢1′ (𝑡)𝑣2′(𝑡)

Entonces:

𝑑

𝑑𝜆|𝜆=0

· ℒ[𝛼(·, 𝜆)] = ∫ [𝑣1′(𝑡)𝑢2

′ (𝑡) + 𝑢1′ (𝑡)𝑣2′(𝑡)] · 𝑑𝑡

𝑏

𝑎

Por último, hay que hacer que desaparezca 𝑣1′ , 𝑣2

′ , lo cual conseguimos

integrando por partes.

𝑑

𝑑𝜆|𝜆=0

· ℒ[𝛼(·, 𝜆)] = [𝑢2′ (𝑡) · 𝑣1(𝑡) + 𝑢1

′ (𝑡) · 𝑣2(𝑡)]𝑎𝑏 − ∫ (𝑢2

′′𝑣1 + 𝑢1′′𝑣2) · 𝑑𝑡

𝑏

𝑎

Observación: Las ecuaciones de Euler – Lagrange serían:

𝑢1′′ = 𝑢2

′′ = 0

56

Ejemplo 2.

𝐿 = 𝑑𝑢1 · 𝑒𝑑𝑢2

Primero:

𝑑

𝑑𝜆|𝜆=0

· (𝑢1𝑡· 𝑒𝑢2𝑡) = [𝑢1𝜆𝑡

· 𝑒𝑢2𝑡 + 𝑢1𝑡· 𝑒𝑢2𝑡 · 𝑢2𝜆𝑡

]𝜆=0

= 𝑣1′ · 𝑒𝑢2

′+ 𝑢1

′ · 𝑣2′ · 𝑒𝑢2

′

Y ahora, integrando por partes para eliminar las derivadas de 𝑣1, 𝑣2:

[𝑣1 · 𝑒𝑢2′+ 𝑣2 · 𝑢1

′ · 𝑒𝑢2′]𝑎

𝑏− ∫ (𝑣1 ·

𝑑

𝑑𝑡𝑒𝑢2

′+ 𝑣2 ·

𝑑

𝑑𝑡𝑢1

′ · 𝑒𝑢2′) · 𝑑𝑡

𝑏

𝑎

57

Capítulo 8: Más sobre geodésicas

Del método Euler – Lagrange se deduce que ser línea geodésica es condición

necesaria para ser una trayectoria de mínima longitud entre dos puntos, pero

no suficiente. Todas las trayectorias de mínima longitud son geodésicas pero no

necesariamente al contrario.

Lo visto en el apartado segundo sobre geodésicas del anterior capítulo puede

enunciarse de la siguiente manera:

Definición: Una camino regular es una geodésica si tiene aceleración

Riemanniana idénticamente nula.

En concreto, la forma de Lagrange para las ecuaciones de los caminos

geodésicos es la siguiente ecuación diferencial:

Sea 𝑄 la métrica de Riemann definida en una superficie 𝑆 en la que un camino

𝛼0 viene dado por Φ(𝑢(𝑡), 𝑣(𝑡)).

𝑑

𝑑𝑡(𝑀𝑄 · (

𝑢′(𝑡)

𝑣′(𝑡))) −

1

2(𝑄𝑢(𝛼0

′ (𝑡))

𝑄𝑣(𝛼0′ (𝑡))

) = 𝟎

De lo cual se deduce el siguiente resultado:

Teorema: Un camino 𝛼 en (𝑆, 𝑄) es camino geodésico si, y sólo si, es constante o

tiene rapidez riemanniana constante.

√𝑄𝛼(𝛼′(𝑡)) = 𝑐 > 0

Propiedades básicas de las geodésicas

1) Las reparametrizaciones lineales de líneas geodésicas son líneas

geodésicas. Entendemos por reparametrización lineal:

𝛽(𝑡̅) = 𝛼(𝑐0 + 𝑐1𝑡̅), 𝑐0, 𝑐1 ∈ ℝ

2) Una isometría lleva caminos geodésicos en caminos geodésicos. Por eso

la rotación de una esfera entorno al origen cambia de orientación el

ecuador, que es una geodésica, y lo convierte en un círculo máximo, que

también lo es.

3) Si la métrica es suave, entonces los caminos geodésicos son suaves. La

geodésica maximal es la solución de la ecuación diferencial de

Lagrange, no prolongable a intervalos que contengan estrictamente al

intervalo de definición del camino solución. La geodésica maximal es

única para datos iniciales de posición y vector tangente.

58

4) Si dos geodésicas maximales son tangentes en un punto, entonces son

reparametrización una de la otra. Esto, y el punto anterior, se ven muy

claro en la esfera. La geodésica maximal es una circunferencia máxima,

que obviamente no es prolongable (ya está “cubierta” toda la esfera). Si

dos geodésicas maximales son tangentes, necesariamente coinciden,

caso particular de ser reparametrización.

5) Si dos caminos geodésicos son continuación uno del otro entonces la

unión de ambos es parte de la misma geodésica maximal, y dicha unión

es suave incluso en el punto de unión.

Lema de Gauss y coordenadas de Fermi

Definición: Se llama geodésica unitaria una geodésica con rapidez Riemaniana

unidad, o parametrizada por arco Riemanniano.

Es fácil convencerse de que si la deformación de un camino conserva la 𝑄-

longitud, y la velocidad inicial de deformación es ortogonal al camino en un

extremo, entonces tiene que ser ortogonal también en el otro extremo.

El lema de Gauss es una sofisticación de esto.

Lema: (Gauss)

Si Φ: 𝐽 × 𝐽′ → 𝑆 es una parametrización para la cual el camino:

𝑢 → Φ(𝑢,cte. )

Es una geodésica unitaria, y existe un valor para el cual:

𝑄(Φ𝑢, Φ𝑣)𝑢=𝑢0≡ 0

Entonces, inmediatamente 𝑄(Φu, Φv) ≡ 0 en todo el dominio de

parametrización.

Esto induce automáticamente un concepto importante:

Definición: Las coordenadas de Fermi son aquella parametrización que cumple

las hipótesis del lema de Gauss y se caracterizan por tener expresión de la

métrica asociada en la forma:

𝑄 ≡ (𝑑𝑢)2 + 𝐶 · (𝑑𝑣)2

59

Deducción lagrangiana de las ecuaciones de un camino geodésico

Recordamos de lo dicho en la página 50 que se ponía en analogía el hecho de

calcular la primera variación del funcional ℒ:

𝑑

𝑑𝜆ℒ[𝛼 + 𝜆 · 𝑣]

Con el cálculo de la diferencial de cierta función real definida sobre un espacio

vectorial finito, en una dirección y punto determinados.

𝑑

𝑑𝑡𝑓(𝑥0 + 𝑡 · 𝑒𝑖)

Eso era, en este último caso, equivalente a calcular:

∇𝑓(𝑥0) · 𝑒𝑖

Resultando ser que, en el espacio de funciones, el producto escalar usual viene

dado por:

∫𝑓 · 𝑔

Y el cálculo de la primera variación daba, ignorando el término de evaluación

(que puede ser anulado en caminos de extremos fijos):

∫𝑣 · (𝜕𝐿

𝜕𝛼−

𝑑

𝑑𝑥·

𝜕𝐿

𝜕𝛼′)

De lo cual deducíamos que el papel del gradiente en este caso era la expresión:

𝜕𝐿

𝜕𝛼−

𝑑

𝑑𝑥·

𝜕𝐿

𝜕𝛼′=

𝜕𝐿

𝜕𝛼− (

𝜕2𝐿

𝜕𝑥𝜕𝛼′+

𝜕2𝐿

𝜕𝛼𝜕𝛼′· 𝛼′ +

𝜕2𝐿

𝜕2(𝛼′)2· 𝛼′′)

De ahí que las ecuaciones de Euler – Lagrange la igualen a cero, para que esa

ecuación devuelva puntos críticos.

Ahora vamos a hallar una expresión general de la curvatura geodésica que,

recordamos también, se trata de la proyección de la curvatura sobre el espacio

tangente.

Calculemos la primera variación siguiendo la línea de la página 50. Volvemos a

la interpretación por deformaciones de caminos.

60

Primero establecemos la notación habitual. Se tiene una superficie 𝑆 con una

parametrización Φ(𝑢, 𝑣). La métrica asociada es una forma cuadrática:

𝑄 ≡ 𝐴(𝑢, 𝑣) · (𝑑𝑢)2 + 2𝐵(𝑢, 𝑣) · (𝑑𝑢) · (𝑑𝑣) + 𝐶(𝑢, 𝑣) · (𝑑𝑣)2

La deformación es el camino :

𝛼(𝑡, 𝜆) = (𝑢(𝑡, 𝜆), 𝑣(𝑡, 𝜆))

Con la notación particular:

𝛼(𝑡, 0) ≔ 𝛼0(𝑡) = 𝛼(𝑢(𝑡, 0), 𝑣(𝑡, 0)) ≔ 𝛼(𝑢(𝑡), 𝑣(𝑡))

Y, por último, una velocidad inicial de deformación que es, por definición:

𝑉(𝑡) = 𝛼𝜆(𝑡, 0) = 𝑣1(𝑡) · Φ𝑢(𝑢(𝑡), 𝑣(𝑡)) + 𝑣2(𝑡) · Φ𝑣(𝑢(𝑡), 𝑣(𝑡))

Procedemos al cálculo de la primera variación de la longitud.

𝑑

𝑑𝜆|𝜆=0

ℒ = ∫ [𝜕

𝜕𝜆|𝜆=0

√(𝑢𝑡(𝑡, 𝜆) 𝑣𝑡(𝑡, 𝜆)) · [𝑄] · (𝑢𝑡(𝑡, 𝜆)

𝑣𝑡(𝑡, 𝜆))] · 𝑑𝑡

𝑏

𝑎

=

Hacemos un inciso para explicar el valor de:

𝜕

𝜕𝜆((𝑢𝑡(𝑡, 𝜆) 𝑣𝑡(𝑡, 𝜆)) · [𝑄] · (

𝑢𝑡(𝑡, 𝜆)𝑣𝑡(𝑡, 𝜆)

))

El término a derivar no deja de ser una función de dos variables. Igual es más

fácil expresarla de este modo.

𝐴(𝑢, 𝑣) · (𝑢𝑡)2 + 2𝐵(𝑢, 𝑣) · (𝑢𝑡)(𝑣𝑡) + 𝐶(𝑢, 𝑣) · (𝑣𝑡)

2

Así que se deriva, cómo no, sumando a sumando, cada producto.

𝜕

𝜕𝜆(𝐴 · (𝑢𝑡)

2) = 𝐴𝜆 · (𝑢𝑡)2 + 𝐴 · 2 · (𝑢𝑡) · 𝑢𝑡𝜆

𝜕

𝜕𝜆(2𝐵 · (𝑢𝑡)(𝑣𝑡)) = 2 · (𝐵𝜆 · (𝑢𝑡)(𝑣𝑡) + 𝐵 · [𝑢𝑡 · 𝑣𝑡𝜆 + 𝑢𝑡𝜆 · 𝑣𝑡])

𝜕

𝜕𝜆(𝐶 · (𝑣𝑡)

2) = 𝐶𝜆 · (𝑣𝑡)2 + 𝐶 · 2 · (𝑣𝑡) · 𝑣𝑡𝜆

Así que sumando los tres términos nos queda una suma de dos sumandos. Uno,

que claramente es:

𝐴𝜆 · (𝑢𝑡)2 + 2𝐵𝜆 · (𝑢𝑡)(𝑣𝑡) + 𝐶𝜆 · (𝑣𝑡)

2 = (𝑢𝑡 𝑣𝑡)[𝑄𝜆] (𝑢𝑡

𝑣𝑡)

Y otro que es:

2 · (𝐴 · (𝑢𝑡) · (𝑢𝑡𝜆) + 𝐵(𝑢𝑡)(𝑣𝑡𝜆) + 𝐵(𝑢𝑡𝜆)(𝑣𝑡𝜆) + 𝐶(𝑣𝑡)(𝑣𝑡𝜆))

Claramente es el doble de la imagen de dos vectores por la forma cuadrática.

61

Pero la pregunta es: ¿Quién es el vector (𝑢𝑡𝜆

𝑣𝑡𝜆)? Por igualdad de derivadas

parciales, y teniendo en cuenta que todo está evaluado en 𝜆 = 0:

(𝑢𝑡𝜆

𝑣𝑡𝜆) = (

𝑢𝜆𝑡

𝑣𝜆𝑡) =

𝑑

𝑑𝑡· (

𝑢𝜆

𝑣𝜆) =

𝑑

𝑑𝑡(𝑣1

𝑣2) = (

𝑣1′

𝑣2′)

Entonces lo que queda es:

∫

[

1

2 · √𝑄𝛼0(𝛼𝑜

′ (𝑡))

· ((𝑢′(𝑡) 𝑣′(𝑡)) · 𝑄𝜆|𝜆=0 · (𝑢′(𝑡)

𝑣′(𝑡)) + 2 · (𝑣1

′ (𝑡) 𝑣2′ (𝑡)) · 𝑄 · (

𝑢′(𝑡)

𝑣′(𝑡)))

]

· 𝑑𝑡𝑏

𝑎

A ver cómo arreglamos esto.

Lo primero es introducir el parámetro de longitud de Riemann:

𝑠(𝑡) = ∫√𝑄𝛼0(𝛼0

′ (𝑡)) · 𝑑𝑡

Lo cual hace:

𝑢′(𝑡) = 𝑢′(𝑠) · 𝑠′(𝑡)

𝑣′(𝑡) = 𝑣′(𝑠) · 𝑠′(𝑡)

𝑣1,2′ (𝑡) = 𝑣1,2

′ (𝑠) · 𝑠′(𝑡)

Y además:

𝑠′(𝑡) · 𝑑𝑡 = 𝑑𝑠

Por tanto la integral se reescribe:

∫ [1

2 · 𝑠′(𝑡)· (𝑠′(𝑡))

2· ((𝑢′(𝑠) 𝑣′(𝑠)) · 𝑄𝜆|𝜆=0 · (

𝑢′(𝑠)

𝑣′(𝑠)) + 2 · (𝑣1

′ (𝑠) 𝑣2′ (𝑠)) · 𝑄 · (

𝑢′(𝑠)

𝑣′(𝑠)))] · 𝑑𝑡

𝑏

𝑎

Es decir:

∫ [1

2· ((𝑢′(𝑠) 𝑣′(𝑠)) · 𝑄𝜆|𝜆=0 · (

𝑢′(𝑠)

𝑣′(𝑠)) + 2 · (𝑣1

′(𝑠) 𝑣2′ (𝑠)) · 𝑄 · (

𝑢′(𝑠)

𝑣′(𝑠)))] · 𝑑𝑠

𝑏

𝑎

Como se comentó al introducir la primera variación, tenemos que sacar a 𝑣′(𝑠)

de la integral. Integramos por partes exactamente de la misma forma ya

expuesta. Resulta:

(eval) + ∫ [1

2· ((𝑢′(𝑠) 𝑣′(𝑠)) · 𝑄𝜆|𝜆=0 · (

𝑢′(𝑠)

𝑣′(𝑠)) − 2 · (𝑣1(𝑠) 𝑣2(𝑠)) ·

𝑑

𝑑𝑠(𝑄 · (

𝑢′(𝑠)

𝑣′(𝑠))))] · 𝑑𝑠

𝑏

𝑎

Ahora sólo queda reescribir el primer sumando del integrando.

(𝑢′(𝑠) 𝑣′(𝑠)) · 𝑄𝜆|𝜆=0 · (𝑢′(𝑠)

𝑣′(𝑠)) = [𝐴𝜆 · (𝑢𝑠)

2 + 2𝐵𝜆 · (𝑢𝑠)(𝑣𝑠) + 𝐶𝜆 · (𝑣𝑠)2]𝜆=0

62

Para ello, observaremos que, aplicando regla de la cadena:

𝐴𝜆|𝜆=0 =𝑑

𝑑𝜆|𝜆=0

· 𝐴(𝑢(𝑠, 𝜆), 𝑣(𝑠, 𝜆)) = (𝐷𝐴) · (𝑣1(𝑠)

𝑣2(𝑠)) = (𝐴𝑢 𝐴𝑣) (

𝑣1(𝑠)

𝑣2(𝑠))

Entonces:

(𝑢′(𝑠) 𝑣′(𝑠)) · 𝑄𝜆|𝜆=0 · (𝑢′(𝑠)

𝑣′(𝑠)) = (𝑣1(𝑠) 𝑣2(𝑠)) · (

𝑄𝑢(𝛼0′ (𝑠))

𝑄𝑣(𝛼0′ (𝑠))

)

Así podemos sacar el vector fila 𝑣 como factor común. Resulta (olvidando el

término de evaluación que en este concreto caso no es importante).

∫ [(𝑣1(𝑠) 𝑣2(𝑠)) · (1

2(𝑄𝑢(𝛼0

′ (𝑠))

𝑄𝑣(𝛼0′ (𝑠))

) −𝑑

𝑑𝑠(𝑄 · (

𝑢′(𝑠)

𝑣′(𝑠))))] · 𝑑𝑠

𝑏

𝑎

Es decir:

∫ [(𝑣1(𝑠) 𝑣2(𝑠)) · 𝑄 · 𝑄−1 (1

2(𝑄𝑢(𝛼0

′ (𝑠))

𝑄𝑣(𝛼0′ (𝑠))

) −𝑑

𝑑𝑠(𝑄 · (

𝑢′(𝑠)

𝑣′(𝑠))))] · 𝑑𝑠

𝑏

𝑎

Lo que es lo mismo:

∫ 𝑄 (𝑣(𝑠), 𝑄−1 (1

2(𝑄𝑢(𝛼0

′ (𝑠))

𝑄𝑣(𝛼0′ (𝑠))

) −𝑑

𝑑𝑠(𝑄 · (

𝑢′(𝑠)

𝑣′(𝑠))))) · 𝑑𝑠

𝑏

𝑎

Ahora, una geodésica se caracteriza por su curvatura nula, por tanto, las

ecuaciones diferenciales que caracterizan un camino geodésico son:

1

2(𝑄𝑢(𝛼0

′ (𝑠))

𝑄𝑣(𝛼0′ (𝑠))

) −𝑑

𝑑𝑠(𝑄 · (

𝑢′(𝑠)

𝑣′(𝑠))) = 𝟎

Los símbolos de Christoffel

Afinando un poco más desarrollando el sistema de ecuaciones diferenciales

obtenido podemos encontrar un conjunto de tres vectores que, de importancia

que tienen, tienen nombre propio.

Lo primero será aplicar la regla de la cadena derivando para sacar a 𝑑 𝑑𝑠⁄ de la

ecuación. Para ello será cómodo desdoblar en las dos ecuaciones asociadas.

63

𝑑

𝑑𝑠(𝑄 (

𝑢′(𝑠)

𝑣′(𝑠))) −

1

2(𝑄𝑢(𝛼0

′ (𝑠))

𝑄𝑣(𝛼0′ (𝑠))

)

Desarrollando la ecuación derivando 𝐴, 𝐵, 𝐶 en 𝑠 mediante la regla de la cadena

resulta que es equivalente a:

(𝑢′′(𝑠)

𝑣′′(𝑠)) + (

𝐴 𝐵𝐵 𝐶

)−1

(

1

2𝐴𝑢 · (𝑢′(𝑠))

2+ 𝐴𝑣 · (𝑢′(𝑠))(𝑣′(𝑠)) + (𝐵𝑣 −

1

2𝐶𝑢) (𝑣′(𝑠))

2

(𝐵𝑢 −1

2𝐴𝑣) · (𝑢′(𝑠))

2+ 𝐶𝑢 · (𝑢′(𝑠))(𝑣′(𝑠)) +

1

2· 𝐶𝑣 · (𝑣′(𝑠))

2)

Podemos dividir el último factor en tres sumandos.

(𝑢′′(𝑠)

𝑣′′(𝑠)) + (

𝐴 𝐵𝐵 𝐶

)−1

· [(

1

2𝐴𝑢 · (𝑢′(𝑠))

2

(𝐵𝑢 −1

2𝐴𝑣) · (𝑢′(𝑠))

2) + (

𝐴𝑣 · (𝑢′(𝑠))(𝑣′(𝑠))

𝐶𝑢 · (𝑢′(𝑠))(𝑣′(𝑠))) + (

(𝐵𝑣 −1

2𝐶𝑢) (𝑣′(𝑠))

2

1

2· 𝐶𝑣 · (𝑣′(𝑠))

2)]

Se habrá notado a estas alturas que, el vector que multiplica a la inversa de la

matriz asociada a la métrica puede verse como si sus componentes fueran la

imagen de:

(𝑢′(𝑠)

𝑣′(𝑠))

Por dos formas cuadráticas:

𝐽 = 𝐽1 · (𝑑𝑢)2 + 2𝐽2 · (𝑑𝑢)(𝑑𝑣) + 𝐽3(𝑑𝑣)2

𝐾 = 𝐾1 · (𝑑𝑢)2 + 2𝐾2 · (𝑑𝑢)(𝑑𝑣) + 𝐾3(𝑑𝑣)2

Lo que compacta la ecuación en:

(𝑢′′(𝑠)

𝑣′′(𝑠)) + (

𝐴 𝐵𝐵 𝐶

)−1

· (𝐽(𝛼′(𝑠))

𝐾(𝛼′(𝑠)))

Además, se puede usar la asociatividad para romper el paréntesis y queda la

suma de tres imágenes por la inversa de la matriz de 𝑄. Cuando 𝑄 es la primera

forma fundamental esas tres imágenes tienen nombre propio, y es que quedan

tres vectores cuyas componentes son los símbolos de Christoffel.

64

Fórmula vectorial de los símbolos de Christoffel:

(Γ11

1

Γ112 ) = (

𝐸 𝐹𝐹 𝐺

)−1

· (

1

2· 𝐸𝑢

𝐹𝑢 −1

2· 𝐸𝑣

)

(Γ22

1

Γ222 ) = (

𝐸 𝐹𝐹 𝐺

)−1

· (𝐹𝑣 −

1

2· 𝐺𝑢

𝐺𝑣

)

(Γ12

1

Γ122 ) = (

𝐸 𝐹𝐹 𝐺

)−1

· (

1

2· 𝐸𝑣

1

2· 𝐺𝑢

)

Fórmula directa de los símbolos de Christoffel:

Γ111 =

1

2·𝐸𝑢

𝐸, Γ11

2 =1

2·𝐸𝑣

𝐺

Γ121 =

1

2·𝐸𝑣

𝐸, Γ12

2 =1

2·𝐺𝑢

𝐺

Γ221 = −

1

2·𝐺𝑢

𝐸, Γ22

2 =1

2·𝐺𝑣

𝐺

Ecuaciones explícitas de los caminos geodésicos

Digamos que 𝛼(𝑡) = Φ(𝑢(𝑡), 𝑣(𝑡)) es la parametrización de un camino, para Φ la

parametrización de una superficie que tiene asociada su primera forma

fundamental. Entonces la forma explícita de las ecuaciones de los caminos

geodésicos es:

{𝑢′′(𝑠) + Γ11

1 · 𝑢′(𝑠)2 + 2Γ121 · 𝑢′(𝑠)𝑣′(𝑠) + Γ22

1 · 𝑣′(𝑠)2 = 0

𝑣′′(𝑠) + Γ112 · 𝑢′(𝑠)2 + 2Γ12

2 · 𝑢′(𝑠)𝑣′(𝑠) + Γ222 · 𝑣′(𝑠)2 = 0

FIN