Guia Teoria Practica 01

Facultad de Ingeniería Matemática III

CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE INTEGRAL INDEFINIDA

9.1. INTRODUCCIÒN

¿Has pensado en los pequeños cambios que ocurren en el mundo?

Cada pequeño instante! El minúsculo cambio de temperatura que ocurre cada segundo!

El interés que genera tu dinero cada minuto!

¿Únicamente ves el producto final?

Muchos de los procesos naturales o artificiales tienen su origen en pequeños incrementos paulatinos que se acumulan...

¡Esto es Integrar!, tienes ya una idea, veamos algunos otros ejemplos

En muchos problemas se conoce razón de cambio, variación, incrementos, etc. es decir la………………… de una función, y el objeto es hallar la función misma.

Por ejemplo: Un sociólogo que conoce el ritmo al que está creciendo la población puede desear esta información para predecir niveles futuros de población; un físico que conoce la velocidad de un cuerpo que se mueve, puede desear calcular la posición futura del cuerpo, un economista que conoce el ritmo de inflación puede desear estimar los precios futuros.

¿Cómo crees que, al conocer el ritmo de crecimiento de la inflación puedes hallar la función de precios?………………………………………………………………………………………………………………………………………

El cálculo diferencial desarrolla métodos y aplicaciones que involucran a la derivada como una función conocida. Un proceso natural en el desarrollo histórico de las matemáticas, es dar continuidad a los conocimientos que ya se disponen. Así parece razonable estudiar un proceso recíproco (inverso) al de la derivación.

ANTIDERIVADA DE UNA FUNCIÓN O CÁLCULO DE PRIMITIVAS

1Antiderivada. Una función F es una antiderivada de f en el intervalo I, si

Guía de Teoría y PrácticaMatemática III Semana Nº 1


Podemos ver por ejemplo que:

a) Para , una antiderivada es pues

¿Qué otras antiderivadas puedes mencionar para ?.........................................................................................

b) es una antiderivada de………………………………………………, pues

c) Puedes determinar antiderivadas para

Verifique Ud. que:

d) es una antiderivada de …………………………………………

e) Sea la función F definida por

Es la antiderivada de la función f definida por pues

también las siguientes funciones son antiderivadas de la función f:

, etc., donde c es una constante real. Luego podemos decir que una función tiene una infinidad de antiderivadas.

En general si y son antiderivadas de , entonces existe una constante , tal que .

Encontrar las antiderivadas de las siguientes funciones:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

LA INTEGRAL INDEFINIDA

2

Luego podemos decir que una función tiene una infinidad de antiderivadas, en las cuales todas ellas se diferencian sólo por una ………………………………………………………………………………………


Si , la antiderivada más general de se representa mediante la notación:

A lo anterior se le denomina “la integral indefinida de ” y el proceso que se sigue para obtener la antiderivada de se le conoce como “el proceso de integración”.

Por ejemplo, si , vemos que su antiderivada tendrá la forma de .

Con esta notación entonces tenemos en nuestros ejemplos.

y

donde C y K son constantes arbitrarias.9.3.1. Propiedades e integrales inmediatas

9.3.2. Ejercicios resueltos

Ejemplos

1. , pues entonces

2. , pues

3

1) 10)

2) 11)

3) 12)

4) 13)

5) 14)

6) 15)

7) 16)

8) 17)

9)


3. , pues

Ejemplos

a)

b)

Ejemplos

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

10.3.1. Otras fórmulas utilizadas

EJEMPLOS.

a)

b)

4

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9.


c)

d)

e)

f)

g)

h)

9.3.3. Ejercicios propuestos

Luego de examinar cada una de las fórmulas y ejercicios desarrollados, te proponemos los siguientes ejercicios.

1) Determinar las siguientes antiderivadas o integrales.

a) e)

b) f)

c) g)

d) h)

2) En los problemas siguientes, hallar la integral indicada.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

o)

p)

q)

r)

s)

t)

5


u)

v)

w)

x)

y)

z)

FÓRMULAS FUNDAMENTALES DE INTEGRACIÓNRecordando las tablas de derivadas, obtenemos fácilmente una tabla de integrales.Así tenemos:1. ∫ dx = si n ≠ -12. ∫ = LnX + c 3. ∫ dx = + c 4. ∫ dx = + c5. ∫ sen x dx = -cos x + C6. ∫ cos x dx = sen x + c7. ∫ se x dx = tag x + c 8. ∫ cose x dx = - cotg x + c

6


9. ∫ = arc tagx +c 10. ∫ = Ln + c 11. ∫ = arc sen x + c12. ∫ = Ln (x + ) + c 13. ∫ = Ln(x + ) + c14. ∫ tag x dx = Ln cos x + c15. ∫ cota x + dx = Ln sen x + c16. ∫ sec x dx = Ln (sec x +tag x ) + c17. ∫ cosec x dx = Ln(cosec x – cotag x ) + c18. ∫ Ln x dx = x Ln x - x + c19. ∫ se hx dx = tag hx + c20. ∫ cose hx dx = -cotag hx + cCALCULAR LAS SIGUIENTES INTEGRALES 1. Calcular la integral:

7

Facultad de Ingeniería Matemática IIII = ∫ (4 + 3 + 4x – 3)dx

Resolución:I = ∫ 4x3dx + ∫ 3x2dx + ∫ 4xdx - 3 ∫dx I = x4 + x3 + 2x2 - 3x + C2. Resolver la integral

I = ∫ ( - + + ) dxResolución: IntegrandoI = - - - + c

3. Calcular la integral:I = ∫ x2 / 3 dx - ∫x - 2 / 3 dxResolución: Tenemos.I=∫ x2 / 3dx -∫x - 2 / 3dxSolución: I = x5/3 - 3x1/3 + C

4. Calcular la integral:I = ∫ ( )dx Resolución: I = ∫ dx + ∫ xdx + ∫ Solución:

8


I = + + 6 + c 5. Calcular la integral: I = ∫ (2x + 1)2 dx

Resolución: Efectuando operaciones: I = ∫ (4x4 + 4x3 + x2)dxSolución: I = + + + c

6. Calcular la integral:I = ∫ = dxResolución. Efectuando operaciones simplificando I = ∫ xd x + 6 ∫ dx + 12 ∫ + 8 ∫ Solución:I = + 6x + 12 Ln + + c

7. Calcular la integral:I = dx Resolución : Tenemos I = (2 + ex)3/ 2 + CSolución: I = ∫ (2 + + c

9


8. Calcular la integralI = ∫ Resolución.- vemos que: I = ∫ = Ln ( + 2) + cSolución: I = Ln ( + 2) + c

9. Calcular la integral:I = ∫ Resolución: vemos que ∫ ; es la derivada de arc tg x; luego:I = ∫ = Ln (arc tag x)+ c

10. Calcular la integral:Resolución.- Es una integral inmediata: I = ∫ = Ln Solución: I = Ln + c

10


11. Calcular la integral:I = ∫ dxResolución.- Vemos que:d (x – cos x) = (1+sen x)dx I = ∫ = - + CSolución: I = - + C

Ejercicios Propuestos NIVEL 01

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

j) k) l)

NIVEL 02

a)

b)

c)

d)

e)

g)

f)

j)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

o)

p)

q)

11


r)

s)

t)

u)

v)

w)

x)

y).

z)

a1)

a2)

a3)

a4).

a5).

12

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