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HOMOTECIA Nº 7 – Año 11 Lunes, 1º de Julio de 2013

El conflicto actual que se mantiene entre el gobierno nacional y comenzó desde los días iniciales del gobierno del fallecido presidente Hugo Chávez Frías. En su momento, el difunto presidente buscó en las universidades autónodiversidad de pensamiento político que la autonomía procura se suceda en estos recintos, un significativo sector universitario que incluía docentes, estudiantes, empleados y obreros, se sintió atraído por sus exposiciones. Pero cuando comenzaron los conflictos entre el gobierno y el sector privado empresarial, cuya máxima expresión fue el paro petrolero del 2002 y el fallido intento de golpe de estado contra del presidente Chávez, con la finalidad de retomar y mantener elsuceder una serie de disposiciones gubernamentales mediante la utilización de leyes, que dieron a entender al país y en especial a las universidades, que plegarse al ideario de Chávez no significaba compromiso mutuo y mucho menos una asociación igualitaria y cooperativa para conducir el proceso de cambio, sino sumisión y obediencia incondicional a su persona. Surgió entonces el rechazo a nivel nacional, y dentro de las instituciones universitarias como consecuencia de los principioshumanos y universales que en ellas se practican, también. Y desde este tiempo comienza el acoso: no se aumenta el presupuesto a las universidades, se mantiene el mismo año tras año y se reconduce, es decir mediante la utilización de créditos posteriores se completan siempre las partidas que se hacen insuficientes cuando la inflación galopante que existe en el país encarecen los costos operacionales. Las universidades, entonces, comienzan a carecer de recursos para la producción intelectual (humancientífica, técnica) y para el apoyo social a sus comunidadesmantienen bajas, afectando la continuidad de los estudios de los jóvenes, lo que hace que muchos de ellos abandonen. Uno de los puntos más álgido de todo este proceso es muy bajo a los docentes, empleados y obreros, situación que se hizo más crítica cuando se inflación y devaluación. Un personal que labora pensando principalmente en cómo hacer milagros para rendir para todo un mes lo que percibe como remuneración, difícilmente se podrá esperar de su parte el mejor rendimiento. No queremos pensar que el escenario fue planificadoaño ya las universidades y los universitarios no pueden aguantar más. Se presenta entonces el momento apropiado para el gobierno de intentar el logro de su propósito con las universidades autónomas, las de más respeto y las “nec plus ultra” de las instituciones de sus características en el paíscon su apreciada autonomía y convertirlas en su aparato ideológico. Para completar esta editorial, queremos agregar acá un artículo publicado por el profesor de la Universidad Central de Venezuela (UCV) Arlán A. Narváez-Vaz R. ([email protected]) en el diario“Caramelos de Cianuro”: “No, estas líneas no están dedicadas a la exitosa banda de rock venezolana que lleva el nombre del título, como si que lo están a una perversa práctica demasiado común en los últimos años: engañar al pueblo engolosinándolo con ofertas que llevan escondida sometimiento a la esencia totalitaria de quienes detentan el poder, vale decir, ofrecerles caramelos que esconden veneno. La más reciente experiencia de tal perfidia es la cacareada oferta de aumento a los universitarios que el régimen “ha concertado” con los grupúsculos de gobierneros con quienes se reunió para “negociar” una solución al conflicto. Al menos tres graves problemas derivan de esta falaz propuesta, primeramente el conflicto no es simplemente por mayor remuneración, luego que defuera el problema global del insuficiente presupuesto universitario y, también muy importante, el gobierno oculta que esos aumentos están atados a indignantes condiciones que cercenan la Autonomía Universitaria y pretenden convertir a las Universidades en centros de adoctrinamiento. En todas las oportunidades en que he escrito sobre el tema he tratado de dejar claro que el reclamo de los profesores universitarios no es simplemente por reivindicaciones salariales, por muy injustas y vejatorias que sean las pinches remuneraciones de quienes tenemos la responsabilidad de formar los profesionales para el desarrollo y futuro del país. Nuestras exigencias son integrales al rol fundamental que la Universidad tiene frente a la Nación, en la creación y difusióaporte de soluciones para superar el atraso y la pobreza, muy particularmente en el marco de la etapa que vive la civilización humana: la Sociedad del Conocimiento. Uslar Pietri afirmaba que no se puede aspirar a un país de primera con universidades de segunda o de tercera y Bolívar sentenció con mucho acierto: “Las Naciones marchan hacia el término de su grandeza, con el mismo paso con que camina la educación”. La concepción que tiene el régimen de la Educación y las Univpara convertirlas en centros de adoctrinamiento, ni siquiera universidades de tercera. El lector podrá confirmar, con suprema indignación, la gran cantidad de cianuro que contiene el caramelo salarial ofrecido por el gobierno si se informa del contenido de las clausulas de la llamada Convención Colectiva Única a las que está atada la oferta de aumento en las remuneraciones del sector. La más grave e inaceptable de todas es el establecimiento del “socialismo” como ideología oficial nuestras Universidades (cláusula Nº 6) y la sumisión de las actividades universitarias al “Plan de la Nación 2013 – 2019”, es decir, el llamado “Plan de la Patria” presentado en la campaña electoral por el finado presidente Chávez. No hace falta decir que así no solo se atropella la Autonomía Universitaria sino la pluralidad ideológica consagrada en la Constitución como uno de nuestros Principios Básicos. En tal Convención Colectiva hay otros aspectos que son inaceptables por redundar en el atropesencia de las Universidades, a su Autonomía y a la Libertad de Pensamiento, pero también es inadmisible aceptar esa Convención en cuanto transgrede y disminuye los beneficios laborales contemplados en las Normas de Homologación vigentes, lo cualuniversitarios y el principio de progresividad que distingue los derechos de los asalariados; vale decir, se hace alharaca con la limosna para ocultar el ultraje a la dignidad del profesorado. Si hay gremios en las universidades satisfechos con el incremento salarial, con la limosna del gobierno, la comunidad académica, profesores, estudiantes y egresados (como la define el art 109 Constitucional) rechaza enfáticamente que se nos trate como hetairas o pordioseros dispuesacrificar la Universidad por una suma mayor de dinero. ¡Cosas veredes, Sancho!”.

Los centros educativos deben ser una fábrica de hermosos proyectos, que si no nos atrevemos a soñarlos amorosamente, nunca da

Año 11 Lunes, 1º de Julio de 2013

nacional y las universidades autónomas del país,

comenzó desde los días iniciales del gobierno del fallecido presidente Hugo Chávez Frías. En su momento, el difunto presidente buscó en las universidades autónomas apoyo a sus ideas. Gracias a la diversidad de pensamiento político que la autonomía procura se suceda en estos recintos, un significativo sector universitario que incluía docentes, estudiantes, empleados y obreros, se sintió atraído

s. Pero cuando comenzaron los conflictos entre el gobierno y el sector privado empresarial, cuya máxima expresión fue el paro petrolero del 2002 y el fallido intento de golpe de estado contra del presidente Chávez, con la finalidad de retomar y mantener el control se comenzaron a suceder una serie de disposiciones gubernamentales mediante la utilización de leyes, que dieron a entender al país y en especial a las universidades, que plegarse al ideario de Chávez no significaba

na asociación igualitaria y cooperativa para conducir el proceso de cambio, sino sumisión y obediencia incondicional a su persona. Surgió entonces el rechazo a nivel nacional, y dentro de las instituciones universitarias como consecuencia de los principios y valores humanos y universales que en ellas se practican, también. Y desde este tiempo comienza el acoso: no se aumenta el presupuesto a las universidades, se mantiene el mismo año tras año y se reconduce, es decir

teriores se completan siempre las partidas que se hacen insuficientes cuando la inflación galopante que existe en el país encarecen los costos operacionales. Las universidades, entonces, comienzan a carecer de recursos para la producción intelectual (humanística,

y para el apoyo social a sus comunidades. Las providencias estudiantiles se mantienen bajas, afectando la continuidad de los estudios de los jóvenes, lo que hace que muchos de ellos abandonen. Uno de los puntos más álgido de todo este proceso es el haber mantenido con sueldos

uy bajo a los docentes, empleados y obreros, situación que se hizo más crítica cuando se conjugaron inflación y devaluación. Un personal que labora pensando principalmente en cómo hacer milagros para

n, difícilmente se podrá esperar de su parte el mejor rendimiento. No queremos pensar que el escenario fue planificado intencionalmente pero en este año ya las universidades y los universitarios no pueden aguantar más. Se presenta entonces el momento propiado para el gobierno de intentar el logro de su propósito con las universidades autónomas, las de

” de las instituciones de sus características en el país, como es acabar con su apreciada autonomía y convertirlas en su aparato ideológico. Para completar esta editorial,

r acá un artículo publicado por el profesor de la Universidad Central de Venezuela ) en el diario digital 2001.com.ve, titulado

“No, estas líneas no están dedicadas a la exitosa banda de rock venezolana que lleva el nombre del título, como si que lo están a una perversa práctica demasiado común en los últimos años: engañar al pueblo engolosinándolo con ofertas que llevan escondida alguna forma de sometimiento a la esencia totalitaria de quienes detentan el poder, vale decir, ofrecerles caramelos que esconden veneno. La más reciente experiencia de tal perfidia es la cacareada oferta de aumento a los

concertado” con los grupúsculos de gobierneros con quienes se reunió para “negociar” una solución al conflicto. Al menos tres graves problemas derivan de esta falaz propuesta, primeramente el conflicto no es simplemente por mayor remuneración, luego que deja por fuera el problema global del insuficiente presupuesto universitario y, también muy importante, el gobierno oculta que esos aumentos están atados a indignantes condiciones que cercenan la Autonomía

des en centros de adoctrinamiento. En todas las oportunidades en que he escrito sobre el tema he tratado de dejar claro que el reclamo de los profesores universitarios no es simplemente por reivindicaciones salariales, por muy injustas y

n las pinches remuneraciones de quienes tenemos la responsabilidad de formar los profesionales para el desarrollo y futuro del país. Nuestras exigencias son integrales al rol fundamental que la Universidad tiene frente a la Nación, en la creación y difusión de ciencia y conocimiento, en el aporte de soluciones para superar el atraso y la pobreza, muy particularmente en el marco de la etapa que vive la civilización humana: la Sociedad del Conocimiento. Uslar Pietri afirmaba que no se puede

de primera con universidades de segunda o de tercera y Bolívar sentenció con mucho acierto: “Las Naciones marchan hacia el término de su grandeza, con el mismo paso con que camina la educación”. La concepción que tiene el régimen de la Educación y las Universidades envilece su rol para convertirlas en centros de adoctrinamiento, ni siquiera universidades de tercera. El lector podrá confirmar, con suprema indignación, la gran cantidad de cianuro que contiene el caramelo salarial

e informa del contenido de las clausulas de la llamada Convención Colectiva Única a las que está atada la oferta de aumento en las remuneraciones del sector. La más grave e inaceptable de todas es el establecimiento del “socialismo” como ideología oficial y única de nuestras Universidades (cláusula Nº 6) y la sumisión de las actividades universitarias al “Plan de la

2019”, es decir, el llamado “Plan de la Patria” presentado en la campaña electoral por decir que así no solo se atropella la Autonomía Universitaria

sino la pluralidad ideológica consagrada en la Constitución como uno de nuestros Principios Básicos. En tal Convención Colectiva hay otros aspectos que son inaceptables por redundar en el atropello a la esencia de las Universidades, a su Autonomía y a la Libertad de Pensamiento, pero también es inadmisible aceptar esa Convención en cuanto transgrede y disminuye los beneficios laborales contemplados en las Normas de Homologación vigentes, lo cual viola los derechos de los profesores universitarios y el principio de progresividad que distingue los derechos de los asalariados; vale decir, se hace alharaca con la limosna para ocultar el ultraje a la dignidad del profesorado. Si hay gremios en

versidades satisfechos con el incremento salarial, con la limosna del gobierno, la comunidad académica, profesores, estudiantes y egresados (como la define el art 109 Constitucional) rechaza enfáticamente que se nos trate como hetairas o pordioseros dispuestos, como Judas lo hizo con Jesús, a

¡Cosas veredes, Sancho!”.

IVO BABUSKA

Nació el 22 de marzo de 1926 en Praga, Checoslovaquia

(ahora República Checa)

Versión en español del Artículo de:Babuska. Tomado de: MacTutor History of Mathematics.URL: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/References/Babuska.html

Ivo Milán Babuska

Checoslovaquia cuando era niño.

zona occidental del país en septiembre de 1938 fue seguida

seis meses más tarde por la invasión de todo el país al

comienzo de la Segunda Guerra Mundial

trece años en ese momento y por lo tanto, la mayor parte

de su educación secundaria se llevó a cabo durante la

ocupación alemana. Sólo después de terminada la guerra

en 1945 fue cuando pudo comenzar sus estudios

universitarios.

Babuska estudió ingeniería civil en la Universidad Técnica

Checa de Praga y obtuvo una Diploma de Ingeniero en

1949. Realizó una investigación en ingeniería, bajo el

asesoramiento de F. Faltus, y le fue otorgado un Doctorado

en Tecnología por la Facultad de Ingeniería

Universidad Técnica Checa en 1951.

tiempo de realizar esta investigación en ingeniería,

Babuska estudiaba matemáticas en el Instituto Central de

Matemáticas en Praga estudiando bajo la supervisión de

Vladimir Knichal. Mientras Babuska estudiaba en este

Instituto, al mismo se le cambió el nombre en 1953 al de

Instituto de Matemáticas de la Academia Checoslovaca de

Ciencias. En el Instituto de Matemáticas, además de

Knichal, fue fuertemente influenciado por Eduard Cech,

que fue nombrado Director del Instituto Central de

Matemáticas en 1950, y Director de la Academia

Checoslovaca de Ciencias en 1952.

dio el título de candidato, que es equivalente a un

doctorado.

Teniendo en cuenta la formación Babuska,

ingeniería y un poco más tarde matemáticas, no es ninguna

sorpresa ver que sus publicaciones se correspondan con el

área de ingeniería, pero se advierte en ellas su cada vez

mayor inclinación por la utilización de técnicas avanzadas

de matemáticas para resolver problemas de ingeniería.

Reflexiones Los centros educativos deben ser una fábrica de hermosos proyectos, que si no nos atrevemos a soñarlos amorosamente, nunca daremos el primer paso para

1

IVO BABUSKA 2 de marzo de 1926 en Praga, Checoslovaquia

(ahora República Checa).

Versión en español del Artículo de: J. J. O'Connor y E. F. Robertson sobre Ivo

MacTutor History of Mathematics. andrews.ac.uk/References/Babuska.html.

vivió tiempos difíciles en

Checoslovaquia cuando era niño. La invasión alemana de la

zona occidental del país en septiembre de 1938 fue seguida

seis meses más tarde por la invasión de todo el país al

comienzo de la Segunda Guerra Mundial. Babuska tenía

trece años en ese momento y por lo tanto, la mayor parte

de su educación secundaria se llevó a cabo durante la

Sólo después de terminada la guerra

en 1945 fue cuando pudo comenzar sus estudios

dió ingeniería civil en la Universidad Técnica

Checa de Praga y obtuvo una Diploma de Ingeniero en

Realizó una investigación en ingeniería, bajo el

asesoramiento de F. Faltus, y le fue otorgado un Doctorado

por la Facultad de Ingeniería Civil de la

Universidad Técnica Checa en 1951. Sin embargo, al mismo

tiempo de realizar esta investigación en ingeniería,

Babuska estudiaba matemáticas en el Instituto Central de

Matemáticas en Praga estudiando bajo la supervisión de

entras Babuska estudiaba en este

Instituto, al mismo se le cambió el nombre en 1953 al de

Instituto de Matemáticas de la Academia Checoslovaca de

En el Instituto de Matemáticas, además de

Knichal, fue fuertemente influenciado por Eduard Cech,

fue nombrado Director del Instituto Central de

Matemáticas en 1950, y Director de la Academia

Checoslovaca de Ciencias en 1952. En 1955 a Babuska se le

dio el título de candidato, que es equivalente a un

Teniendo en cuenta la formación Babuska, primero estudió

ingeniería y un poco más tarde matemáticas, no es ninguna

sorpresa ver que sus publicaciones se correspondan con el

área de ingeniería, pero se advierte en ellas su cada vez

mayor inclinación por la utilización de técnicas avanzadas

emáticas para resolver problemas de ingeniería.

(CONTINÚA EN LA SIGUIENTE PÁGINA)

remos el primer paso para realizarlos. P. José María Vélez.

HOMOTECIA Nº 7 – Año 11 Lunes, 1º de Julio de 2013 2

(VIENE DE LA PÁGINA ANTERIOR)

Sus primeros trabajos, escritos en checo, fueron Tensiones de soldaduras y deformaciones (1952), El problema de la elasticidad plana (1952),

Una contribución a la solución teórica de las tensiones de soldaduras y algunos resultados experimentales (1953), Una contribución para un

método de solución al problema biarmónico (1954), Solución al problema elástico de un semiplano cargado por una secuencia de fuerzas

singulares (1954), (con L. Mejzlik) Las tensiones en un dique de gravedad sobre un fondo blando (1954), Sobre problemas biarmónicos planos

en regiones con esquinas (1955), (con L. Mejzlik) El método de las diferencias finitas para la solución de problemas de ecuaciones

diferenciales parciales (1955), y Solución numérica de sistemas regulares completos de ecuaciones algebraicas lineales y algunas aplicaciones

en la teoría de sistemas (1955).

Su investigación de 1954 sobre las tensiones en un dique de gravedad, es una consecuencia directa de un proyecto que él dirigió entre 1953

y 1956 sobre el uso de técnicas computacionales para examinar la tecnología utilizada en la construcción de la represa de Orlik en el río

Vltava, a unos 80 km de Praga. Este río, el más largo en la República Checa, es una fuente importante de energía hidroeléctrica con varias

represas importantes por la creación de lagos artificiales. La represa de Orlik [6]:

... es una represa gravitacional, de concreto, con 91 metros de altura. El grupo, conformado por ingenieros, científicos de materiales,

matemáticos, y operadores de calculadoras de escritorio, se concentraron en la tecnología sin enfriamiento artificial, que normalmente se

utiliza para eliminar el calor generado durante el endurecimiento del concreto. Todos los cálculos se llevaron a cabo en las calculadoras de

escritorio mecánicas.

Básicamente, el problema matemático que el grupo de Babuska tuvo que resolver, fue el de encontrar una solución numérica de una

ecuación diferencial parcial no lineal.

En 1955, tras obtener su doctorado, Babuska fue nombrado jefe del Departamento de Métodos Constructivos de Análisis Matemático del

Instituto de Matemáticas de la Academia Checoslovaca de Ciencias. En el mismo año, en colaboración con Karel Rektorys y Frantisek

Vycichlo, publicó su primer libro La teoría matemática de la elasticidad plana (República Checa). Una traducción al alemán fue publicada en

1960. Frantisek Kroupa escribe en una revisión de la edición original en checo:

El libro está dedicado a la aplicación de la teoría de funciones de una variable compleja para resolver los problemas del plano de la teoría

clásica matemática de la elasticidad (por problemas de estática sin el efecto de las fuerzas del cuerpo). Desde el punto de vista matemático

tiene que ver con el método especial de solución de una ecuación biarmónica para las condiciones de contorno dadas. El libro ofrece y

desarrolla aún más algunos de los resultados de N. I. Muskelishvili y colaboradores. Una contribución original, es la construcción axiomática

de los fundamentos de la elasticidad plana, la exactitud y la generalidad de los procedimientos matemáticos y algunos nuevos métodos

numéricos de solución.

Al año siguiente, 1956, Babuska fundó la revista Aplicaciones de las Matemáticas (Applikace Matematiky). En 1960 a Babuska se le otorgó el

Dr Sc. (El grado académico más alto posible otorgado en Checoslovaquia y que equivale a un Doctor en Ciencias) de la Academia

Checoslovaca de Ciencias. Su siguiente libro importante, publicado en colaboración con el Milan Práger y Emil Vitásek, en 1964, fue Solución

numérica de ecuaciones diferenciales (República Checa). Fue traducido al inglés dos años después y publicado bajo el título Procesos

numéricos en ecuaciones diferenciales. Richard Hamming revisó la traducción al inglés y escribió lo siguiente:

Este libro muestra dos cosas, cómo las matemáticas tienden a contribuir a la computación cuando los matemáticos realmente competentes

ven lo que la informática es (en vez de tratarlo como si fuera una rama de las matemáticas), y lo mucho que se puede perder del carácter

actual de la informática. ... Hacen frecuentes verificaciones experimentales de sus teorías, lo que demuestra que ellos consideran la

informática como una ciencia cuyos resultados han de ser aceptados o rechazados por la autoridad máxima de la experiencia. ... El libro es

una contribución significativa.

La situación política en Checoslovaquia no ha sido mencionada hasta ahora en la biografía de Babuska ya que esta jugó un papel

relativamente pequeño. Los comunistas habían tomado el control del país en 1948 y estuvo fuertemente bajo la influencia soviética en los

años siguientes. Sin embargo, se permitió sin interferencias el desarrollo de las matemáticas, y los métodos aplicados y computacionales

desarrollados por Babuska fueron vistos de buena manera. A partir de 1964 los reformistas habían ganado muchas concesiones que se

hicieron más claras a principios de 1968 cuando el país comenzó a aplicar el "socialismo con rostro humano". Las reformas llegaron a un final

repentino, sin embargo, en agosto de 1968, cuando los tanques soviéticos tomaron Praga. Babuska acababa de ser nombrado como profesor

en la Universidad Charles de Praga, pero, dada la situación política, viajó con su familia a los Estados Unidos, donde pasó un año como

profesor visitante en el Instituto de Dinámica de Fluidos y Matemáticas Aplicadas en la Universidad de Maryland en College Park. Se le dio un

nombramiento permanente como profesor en la Universidad de Maryland al año siguiente y ocupó este cargo hasta 1995. Posteriormente,

fue nombrado Profesor de Ingeniería Aeroespacial e Ingeniería Mecánica, Profesor de Matemáticas, y nombrado para la Cátedra Robert Trull

de Ingeniería de la Universidad de Texas en Austin. Aunque actualmente tiene más de 85 años de edad, sigue ocupando estos puestos.




Después de venir a los Estados Unidos, Babuska en convirtió en el experto líder mundial en análisis de elementos finitos. Los autores de [2]

hacen un resumen de sus importantes contribuciones a esta área:

Durante sus 27 años de carrera en la Universidad de Maryland, el profesor Babuska se estableció como el líder indiscutible de la comunidad internacional del

elemento finito. En su escrito histórico de 1971, Ivo presentó la discreta condición inf-sup, la generalización de los resultados de J. Cea y R. Varga, y establece

el marco teórico para el análisis de la estabilidad y la convergencia de problemas lineales arbitrarios. Tres años más tarde, F. Brezzi reforzó el formalismo para

problemas con restricciones, y el nombre de la famosa condición BB discreta fue acuñado. ... Ivo ha tenido una única capacidad para predecir el desarrollo del

campo de los elementos finitos. Ha sido la fuerza detrás de muchos avances en este campo. Su trabajo con W. Rheinboldt sobre una estimación del error a

posteriori esencialmente ha iniciado el campo de los métodos de adaptación de los elementos finitos. En un documento histórico en 1979 con B. Kellogg y J.

Pitkäranta, el efecto de la h-adaptabilidad en las tasas de convergencia para problemas con singularidades se explican. En los años setenta, Barna Szabo

convenció a Ivo de revisar el entonces establecido concepto de métodos de orden superior, y la p-versión del método de elementos finitos nació. El p-método

resultó ser mucho menos sensible a las limitaciones de incompresibilidad (trabajado con M. Vogelius) y los efectos de bloqueo en el análisis de estructuras de

paredes delgadas. La monografía sobre el p-método con B. Szabo (1991) llega mucho más allá de las limitaciones de la comunidad matemática y se ha

convertido en un estándar de referencia para los ingenieros que practican con los métodos de orden superior.

La monografía se refiere en esta cita, escrita en colaboración con Barna Szabo, es Análisis de elementos finitos (1991). Los autores escriben

en el prefacio lo siguiente:

Nuestro propósito al escribir este libro es presentar el método de elementos finitos para ingenieros y estudiantes de ingeniería en el contexto

de la toma de decisiones en ingeniería. La ingeniería básica y los conceptos matemáticos son los puntos de partida. Clave de los resultados

teóricos se resumen y se ilustran con ejemplos. La atención se centra en la evolución de la tecnología de análisis de elementos finitos durante

la década posterior a 1980, y su impacto en la fiabilidad, los procedimientos seguros de la calidad en los cálculos de elementos finitos, y el

rendimiento. Los principios que guían la construcción de modelos matemáticos se describen e ilustran con ejemplos.

El crítico de este trabajo [5], escribió:

Numerosos libros sobre el método de elementos finitos con una variedad de objetivos han aparecido recientemente, tantos que sería

bastante largo para comparar incluso un número representativo de ellos. El presente libro tiene un gran detalle con respecto a los ejemplos

utilizados, y la cobertura de temas sobre la elasticidad lineal es exhaustiva. Ambos son esenciales para que el libro sea exitoso entre la

audiencia de ingenieros.

Richard Scott hizo el siguiente comentario:

Me gusta este libro. Se trata de una muy agradable, y algo único, mezcla de teoría y práctica de la ingeniería. ... Creo que los autores han

logrado admirablemente sus objetivos y les recomiendo el texto para una seria consideración de ser utilizado en un primer curso de

postgrado sobre elementos finitos.

En el año 2001, en colaboración con Theofanis Strouboulis, Babuska publicó El método de elementos finitos y su fiabilidad. Carsten

Carstensen escribió:

La fiabilidad de una aproximación numérica dada es una tarea esencial en la ciencia aplicada y la ingeniería. Aquí, dos destacados científicos

dedican seis capítulos en 800 páginas a la misma y fijan el estado del arte de un riguroso análisis del error del elemento finito "a posteriori".

Babuska, con Ivan Hlavácek y Jan Chleboun, publicó Inciertos problemas de entrada de datos y el peor método argumentado en 2004.

Entre los muchos otros servicios que Babuska ha dado a las matemáticas, podemos mencionar los muchos medios de prensa escrita que se

han beneficiado por aceptarlo dentro de su consejo editorial: Comunicaciones en Análisis Aplicado; Comunicaciones en Métodos Numéricos

en Ingeniería, Computación y Matemáticas; Métodos Computacionales en Mecánica Aplicada e Ingeniería, Computación y Estructuras;

Comunicaciones en Análisis Aplicado, Revista Internacional de Métodos Numéricos en Ingeniería, Modelado y Computación Científica,

Matemáticas Numéricas - Un diario de las universidades chinas; Métodos numéricos para ecuaciones diferenciales parciales, y Revista

siberiana de Matemáticas Computacionales.

Babuska ha recibido numerosos premios por sus contribuciones: el Premio de Matemáticas del Estado Checoslovaco (1968), el Premio

Humbolt Principal de la Unión Científica de la República Federal de Alemania (1976), la Medalla al Mérito en el Desarrollo de la Mecánica de

la Sociedad Checa para la Mecánica (1993), y el Premio George David Birkhoff en Matemáticas Aplicadas otorgado conjuntamente por la

Sociedad matemática Americana y la Sociedad para la Matemática Industrial y Aplicada (1994):

... por importantes contribuciones a la fiabilidad de los métodos de elementos finitos, el desarrollo de un marco general para la estimación

del error de elementos finitos, y el desarrollo de los métodos p y h-p de elementos finitos...




En 1995 Babuska fue galardonado con el Premio John von Neumann de la Asociación para la Mecánica Computacional por:

... aportaciones extraordinarias y la amplitud y profundidad de su obra, y su importancia para los amplios campos de la mecánica

computacional.

Babuska finalizó su discurso de aceptación, en el cual examina el legado de von Neumann, con estas palabras:

Señor Presidente, me gustaría darle las gracias de nuevo por el gran honor que se ha depositado en mí y expresar mi opinión de que casi

después de 40 años de la muerte de von Neumann, una figura científica del siglo XX, nosotros quienes trabajamos en mecánica

computacional, todavía podemos aprender de su legado, las ideas y la filosofía de John von Neumann.

La Unión Checa de Matemáticos y Físicos lo hizo miembro honorario en 1996 y, en el mismo año, le otorgó su medalla

conmemorativa. Recibió la Medalla Bolzano de la Academia Checa de las Ciencias en 1997 y la Medalla de Honor "Scientia et De Meritis

Optime Humanitate" de la misma Academia en 2006. Ha recibido títulos honoríficos de la Universidad de Westminster, Londres (1996), la

Universidad de Brunel, Londres (1996), la Universidad Carolina de Praga (1997), y la Universidad Tecnológica de Helsinki (2000). Fue elegido

miembro de la Asociación Internacional de Mecánica Computacional en el año 2002 y de la Fundación para la Innovación Mundial en

2004. Fue elegido miembro de la Academia Europea de Ciencias en 2003 y de la Academia Nacional de Ingeniería en 2005. La Unión

Astronómica Internacional dio el nombre "Babuska" al asteroide Nº 36030 en su honor en 2002.

De la vida personal de Ivo Babuska se conoce que el nombre de su esposa es Renots.

Referencias.-

Artículos:

1. J. Chleboun y T. Vejchodsky, Programs and Algorithms of Numerical Mathematics 13 in honor of Ivo Babuska's 80th birthday, Appl.

Math. 52 (2) (2007), 185-186.

2. L. Demkowicz, B. Guo, J. Osborn and M. Vogelius, Ivo Babuska - mathematician and engineer, Comput. Methods Appl. Mech.

Engrg. 196 (37-40) (2007), iii-v.

3. Ivo Babuska [on his 70th birthday], Proceedings of the Prague Mathematical Conference 1996 (Icaris, Prague, 1997), v-vii.

4. H. B. Keller, Review: Numerical Processes in Differential Equations by I Babuska, M. Prager, I. Vitasek, Mathematics of

Computation 22 (101) (1968), 222-223.

5. L. R. S., Review: Finite Element Analysis by Barna Szabo and Ivo Babuska, Mathematics of Computation 60 (201) (1993), 432-433.

6. K. Segeth, Professor Ivo Babuska is seventy, Czechoslovak Mathematical Journal 46 (2) (1996), 351-367.

7. K. Segeth, Professor Ivo Babuska is seventy, Appl. Math. 41 (3) (1996), 231-232.

8. K. Segeth, Professor Ivo Babuska is eighty, Appl. Math. 51 (2) (2006), 89-92.

Imágenes obtenidas

de:


Aportes al conocimiento

Integral Definida: Aplicaciones.

CCaallccuullaannddoo áárreeaass iinntteeggrraalleess..

Veamos el siguiente ejercicio:

Sea la curva f definida de la siguiente manera:

+−=

=−+=

86

042)(

23

2

xsixxxy

xsixyyxf

Calcule el área de la región encerrada por la gráfica de dicha curva y los ejes de coordenadas en el intervalo

Comprobando:

La definición de la curva )(xf , lleva a una representación gráfica que muestra a la región

regiones; es decir que para calcular el área total es necesario calcular el área de cada una de estas sub

Con las indicaciones señaladas:

“Sub regiones con rectángulos genéricos verticales”

xxAo

86(2

231 ∫ +−=


Integral Definida: Aplicaciones.

ss ddee rreeggiioonneess ppllaannaass

definida de la siguiente manera:

≥

<

0

0

x

el área de la región encerrada por la gráfica de dicha curva y los ejes de coordenadas en el intervalo

a una representación gráfica que muestra a la región involucrada conformada por cuatro sub

regiones; es decir que para calcular el área total es necesario calcular el área de cada una de estas sub-regiones. Procedamos.

“Sub regiones con rectángulos genéricos verticales”

audxx . )8 auxxx

.424

2

0

234

+−= [ ] uau 4. 04 =−=

5

ss uuttiilliizzaannddoo

el área de la región encerrada por la gráfica de dicha curva y los ejes de coordenadas en el intervalo [ ]417,2− .

involucrada conformada por cuatro sub-

regiones. Procedamos.

au.




audxxxxA . )86(4

2

232 ∫ +−= auxx

x. 42

4

4

2

234

+−= [ ] auauau . 4.4.40 =−=−=

audxxxxA . )86(4

17

4

233 ∫ +−= auxx

x.42

4

4

17

4

234

+−= ( ) ( ) ( ) auA . 4442

4

4

4

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Conduce a un valor negativo de área (se aplica la teoría)

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HHiissttoorriiaa

LLaa eennsseeññaannzzaa ddee llaa MMaatteemmááttiiccaa ((PPaarrttee VVII))

Por: J. J. O'Connor – E. F. Robertson (Versión en español)

Fuente: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Education/renaissance.html

Consulta, registro y archivo: Enero 20, 2004

LLaa eennsseeññaannzzaa ddee mmaatteemmááttiiccaa eenn EEll RReennaacciimmiieennttoo

El Renacimiento fue un periodo de grandes transformaciones en Europa, que produjo un cambio de igual magnitud en las ideas educativas de la región. Durante este tiempo, las nuevas concepciones educativas propusieron una educación integral, que preparara al estudiante no solo en las habilidades específicas de su ocupación, sino también en aquellas que le permitieran vivir integrado a la sociedad totalmente. Esta posición fue liderada por los llamados Humanistas quienes establecieron las escuelas e instituciones en donde llevaron a cabo estas ideas. Vittorino da Feltre fue uno de los fundadores de la educación renacentista y su escuela fue sin discusión una de las más liberales. El número asignaturas a estudiar era bastante numeroso y el objetivo de Vittorino era que cada estudiante debía egresar con un conocimiento básico en cada una de ellas, y que aquellos que resultaban ser más aventajados, dispusieran del suficiente tiempo y recibieran apoyo para profundizar mejor en el estudio de las mismas. En particular, estos estudiantes aventajados concentraron sus esfuerzos en el campo matemático, una práctica que no fue muy promovida por otros educadores. Guarino cuya escuela fue fundada poco después de la de Vittorino, prefirió una posición más clásica para enseñar, concentrándose mayormente en Gramática y Literatura, utilizando los trabajos de prominentes autores romanos. Aunque también se enseñaba Matemática y Música, se hizo a un nivel muy elemental. Otros educadores, como Palmein, aconsejaron que fuera tan necesaria una mayor comprensión de Aritmética y Geometría, como la de las artes prácticas y las disciplinas racionales, fue duramente criticado. La mayoría sostuvo opiniones similares a los Humanistas de la corriente principal; las asignaturas que no podían aplicarse directamente a la vida eran de importancia secundaria y una educación que mejorara el conocimiento del latín (permitiendo una buena lectura de los textos antiguos) y el arte de la oratoria fue considerada suficiente.

El estudio de la Matemática en particular fue impugnado por muchos, debido a que se le asociaba fuertemente con traficantes y mercaderes. Los comerciantes y maestros artesanos no tenían el mismo nivel de respeto y deferencia en las diferentes regiones europeas como el que tenían cuando predominaban en Alemania. Esto condujo a enseñar solamente a los hijos de la clase mercantil en estos temas porque los ayudarían en sus esfuerzos de hacerse estadistas y políticos. Por consiguiente, ¿cuán poca fue la matemática que se enseñó en las escuelas mercantiles si era concebida marcadamente teórica y divorciada de las posibles aplicaciones en el mundo real?

Para cubrir este hueco del sistema educativo, otro tipo de escuela se fundó en Florencia y sus áreas circundantes. Las Escuelas del Ábaco enseñaron a aquéllos que quisieron mejorar sus habilidades en las áreas comerciales, y ofrecieron cursos de Aritmética, Álgebra, Astronomía, Teneduría de Libros, y los elementos más prácticos de Geometría, lo que permitió que rápidamente se adecuaran en proporcionar los recientes adelantos en la Navegación, cubriendo la importante deuda que se tenía con este sector.

Los adelantos que se estaban sucediendo en otras ciencias y en tecnología, como el caso de la invención de la imprenta, tuvieron un profundo efecto en la educación. Esto permitió la rápida difusión del conocimiento a las muchas personas que podían darse el lujo de comprar libros, sobre todo cuando la práctica de imprimir los textos, incluso por entregas mensuales, redujo su precio. Al principio había poca demanda para la impresión de documentos matemáticos, pero la solicitud de mapas astronómicos y de tablas comerciales creció socialmente, y después de la traducción de textos importantes como los Elementos de Euclides al alemán, al francés y al italiano, ésta aumentó mucho más.




No solamente se imprimieron los textos antiguos, sino también los trabajos de matemáticos contemporáneos como Cardano, Bombelli y otros. En Inglaterra, Robert Recorde escribió lo que se cree fue la primera serie de libros de textos en inglés. En general, no se deseaba una preparación de alto nivel en matemática pero el hombre común necesitaba mejorar su comprensión de algunos asuntos como el sistema numeral indo-arábigo, las conversiones entre pesos y monedas, el cómputo contable que ayudaría en su trabajo en el comercio e intercambio comercial.

Estos aspectos se cubrieron en el primero y más exitoso de los libros de Recorde, “The Grounde of Arts”, cuya primera edición se hizo en 1540, pero que se reimprimió más de cincuenta veces en los siguientes ciento sesenta años. Los otros tres trabajos mayores de Recorde, “The Pathwaie to Knowledge”, “The Castle of Knowledge” y “The Whetstone of Witte” no fueron tan populares. Esto quizás se debió a que tenían poco carácter práctico e involucraban un nivel más avanzado.

La característica de la mayoría de los textos de Recorde fue su estilo de diálogo, preguntar y responder, al escribir. Era un estilo similar de instrucción al utilizado en la Edad Media, pero el mismo Recorde reconoció que este era un estilo inadecuado para enseñar en el aula debido a sus limitaciones. Sin embargo, él no propuso otro método. El Pathwaie es el único de los cuatro libros de Recorde que no escribió en el estilo de diálogo. Casi es considerado como una versión compendio de los Elementos de Euclides con muchos de la terminología latinas reemplazadas por las equivalentes en inglés inventadas por Recorde. Como esto fue muy criticado, las siguientes versiones del Pathwaie se escribieron según las condiciones latinas originales. Un esfuerzo alemán por reemplazar la terminología latina tuvo éxito aunque es un misterio el por qué una modificación fue aceptada y la otra no.

A mediados del siglo XVI, Ramus propuso en Francia que los cursos de Artes enseñados en las universidades debían ser nuevamente las siete artes liberales clásicas, pero basando más los programas de estudios en los temas de aplicación. Él definió "método" como un concepto pedagógico que toma de la teoría lo requerido para los problemas prácticos. Él propuso reorganizar las siete artes liberales según las siguientes tres " leyes del método":

(i) Solo las cosas que son verdaderas y necesarias pueden ser incluidas; (ii) deben ser incluidas todas y solamente las cosas que tienen que ver con el arte en cuestión; y (iii) las cosas generales deben repartirse de un modo general y las cosas particulares de un modo particular.

Usando estas propuestas, Ramus trabajó en muchos temas y escribió una serie entera de libros de texto en lógica y retórica, gramática, matemática, astronomía, y óptica. La existencia de los libros de texto de Ramus, Recorde y otros, y la reducción de costos para la compra de libros (gracias a la imprenta) causó un incremento del interés por las ciencias, no sólo entre los ricos sino también en la clase media. El conocimiento de ciertas habilidades matemáticas y técnicas más allá de lo que estaba disponible en la mayoría de las escuelas se tornó más importante, sobre todo en los pueblos y ciudades. Muy pronto fue posible para las personas ganarse la vida como tutores en la enseñanza de la matemática, o como prácticos matemáticos similares al escribano de moda de siglos anteriores. Las personas con más recursos económicos se hicieron académicos o aficionados matemáticos, muchos de ellos con frecuencia aportaron considerables adelantos en esta área y le dieron especial e importante ubicación en la educación.

John Dee fue uno de los editores de The Grounde después de graduarse en Cambridge con una licenciatura y una maestría, y más tarde enseñó en la Universidad de París en sesiones donde trataba sobre los libros de Euclides, escribió sobre la necesidad de mejorar el papel de Matemática en Educación. Defendió que la Matemática debía estudiarse, no sólo para su uso práctico (de lo que había para ese entonces demasiado poco), sino también por su habilidad de “alzar el corazón a los cielos” lo que recordaba las creencias Pitagóricas. Propuso la traducción de los textos matemáticos disponibles para el momento al inglés y así ayudar a completar los conocimientos a quienes habían gastado años aprendiendo latín en la escuela y en la universidad, y para aquellos que encontraban difícil estudiar los textos en el idioma original. El propio Dee ayudó traducir los Elementos de Euclides al inglés y esta traducción se publicó en 1570, ochenta y ocho años después de haber sido publicado en latín.

Sir John Cheke, primer Profesor Rector de Griego en Cambridge, también intentó estudiar Matemática más avanzada que incluía mucho del trabajo de Euclides y entonces trató de transmitir sus conocimientos a otros en la Universidad, siendo después tutor de la mayoría de ellos en la corte. Fueron pocos los otros profesores que hicieron esfuerzos significativos en este sentido. Las Normativas Eduardianas de 1549 en Cambridge intentaron mejorar la situación ampliando a todos los novicios la enseñanza de la Matemática como parte fundamental de una educación liberal. Recomendó libros de texto, incluso los de Cardano y Tunstall (cuyo De Arte Suppletandi de 1522 estaba basado en el estilo académico encontrado en Italia utilizado por las clases mercantiles) junto con la Geometría de Euclides y la Astronomía. Estas normativas fueron abolidas veintiún años después durante el reinado de Elizabeth I, porque los comisionados revisores creyeron que se estaba aplicando más la Matemática a la vida práctica y era por consiguiente más parte de una educación técnica que para ser proporcionada en la Universidad.




Las universidades de Oxford y Cambridge por muy poco tiempo fueron las únicas en Bretaña. En los siglos XIV y XV se fundaron más de 50 nuevas universidades por Europa, de éstas tres se encontraban en Escocia. La Universidad de San Andrés (Saint Andrews) se fundó a principio del siglo XV debido a los problemas que ocasionaba enviar a los estudiantes más avanzados de Gramática y de las escuelas de la Catedral a la Universidad de París, coincidiendo aquel momento cuando en lo religioso Francia se plegaba a la autoridad del Papa romano. La fundación de las universidades de Glasgow y Aberdeen siguió a continuación. Estas tres tenían el mismo estilo de la Universidad Parisina y siguieron el programa de estudios medieval dónde las asignaturas del Quadrivium se consideraban como las únicas útiles de ser enseñadas lo que llevaría a prontamente a tomar como las asignaturas universitarias más importantes a la Filosofía Natural, a la Metafísica y a la Filosofía Moral.

Este curriculum Medieval, y la estructura de las Universidades, fue revisado poco después de darse el proceso histórico llamado La Reforma. Andrew Melville, uno de los partidarios de estos ideales presentados en el Libro de Disciplina, lo ofreció a los directivos tanto de San Andrés como de Glasgow al retornar de París y de Ginebra. En estos tiempos Glasgow tenía grandes necesidades, tenía pocos alumnos y pocos recursos económicos. Las mejoras que Andrew Melville y su sobrino James hicieron eran considerables. Ellos introdujeron el estudio del griego por primera vez en las universidades escocesas y ampliaron el curriculum incluyendo la enseñanza de Aritmética, Geometría, y Matemática que fueron dadas mayormente por James. La estructura Universitaria cambió y se eliminó la práctica acostumbrada en que todos los cursos para los estudiantes del primer año fueran dictados solamente por el Rector. En 1597 Andrew Melville fue obligado a dejar San Andrés donde disfrutó de una nueva fundación y de una corta era dorada de avances. Estas reformas no permanecieron por mucho tiempo y para mitad del siglo XVII las Universidades regresaron al viejo sistema medieval. Se mantuvo así hasta mediados del siglo XVIII.

La Reforma y el Primer Libro de Disciplina resaltaron las fallas de la educación en Escocia. Toda forma de enseñanza disponible normalmente fue proporcionada por la Iglesia, pero en 1549 el Concilio Provincial los acusó de enclaustrar a las escuelas en una marcada ignorancia sobre literatura y todas las artes libres. Los pueblos más grandes y ciudades contaron con una escuela primaria (muchas de las cuales databan desde hace más de un siglo) para 1560. Sin embargo, en las áreas más rurales de Escocia no existía forma alguna de educación disponible, exceptuando algunas escuelas de carreras cortas y pobres dónde se enseñaba lectura y escritura. En lo que después se llamó el Primer Libro de Disciplina, los seis capítulos seleccionados por el Concilio Privado incluían dos específicamente dedicado a la educación. En estos detallaban los planes para las Universidades, y proponían pautas para mejorar la educación en las escuelas. Algunos de los puntos más fundamentales incluyeron el requisito que cada iglesia debía seleccionar para la escuela un maestro con una habilidad en especial, y que los pobres también debían educarse, sin tener en cuenta si o no ellos pensaban seguir una carrera en la Iglesia.

El efecto global de la Reforma en Escocia fue una mejora general de la educación, y originó el incremento de los lugares que disponían de escuelas. Sin embargo, en muchos sitios esto no sucedió sino hasta el siglo XVII, y se originó del rompimiento con la estructura tradicional del sistema educativo que databa desde finales del siglo XVI. La ruptura causada por la Reforma con la Iglesia, significó que muchos de los que habían progresado bajo este patrón educativo y que habrían sido patrocinados por la Universidad, no supieran que hacer. Como consecuencia, el número de inscritos en Glasgow y en San Andrés disminuyó tanto en 1560, lo que arriesgó su existencia. Por la influencia de los escándalos que se forjaron sobre las catedrales y las iglesias, estas fueron destruidas junto con los edificios cercanos a las mismas. Estos edificios específicos habían albergado previamente a las escuelas y ahora allí no existían otros edificios adecuados para fines educativos. Sin embargo, estos problemas sólo fueron temporales, y el trabajo de Andrew Melville hizo mucho para restaurar a las Universidades con problemas.


VVeerrssiióónn

Del libro ““HHiissttoorriiaa yy FFiilloossooffííaa ddee llaass MMaatteemmááttiiccaass””.. Autor: Ángel Ruiz Zúñiga. (Décima Primera Entrega)

ÁNGEL RUIZ ZÚÑIGA, matemático, filósofo y educador nacido en San José, Costa Rica. Campo de investigación: educación matemática, historia y filosofía de las matemáticas, filosofía política y desarrollo social, sociología e historia de las ciencias y la tecnología, problemas de la educación superior, y asuntos de la paz mundial y el progreso humano. Autor de numerosos libros y artículos académicos, expositor y conferencista en más de un centenar de congresos internacionales, y organizador constante de eventos científicos internacionales y nacionales, ha sido, también, consultor y asesor en asuntos científicos, académicos, universitarios y políticos durante muchos años dentro y fuera de Costa Rica.

Continuación.-

Tercera Parte: OSCURIDAD Y REVOLUCIÓN EN EUROPA OCCIDENTAL

Capítulo XI: Matemáticas en el Renacimiento.- La nueva sociedad emergió de una combinación de factores, entre los cuales el cambio de perspectivas culturales fue decisivo.

11.1 En el camino hacia una nueva sociedad.-

El Renacimiento fue un movimiento intelectual y social que arrancó primeramente en la península italiana, especialmente en Venecia, Génova, Milán y Florencia. Fue relevante que estas ciudades se hubieran hecho independientes tanto en lo político como en lo económico. Podemos decir que se llegó a un equilibrio con el poder de la Iglesia Católica centrado en la ciudad de Roma.

Afirmó un punto de vista moderno, pero contradictorio en varios aspectos. Bien lo señala Russell:

"El punto de vista moderno, como opuesto al medieval, comenzó en Italia con el movimiento llamado Renacimiento. Al principio, sólo unos pocos individuos, especialmente Petrarca, tenían ese criterio, pero durante el siglo XV se extendió a la gran mayoría de los italianos cultivados, tanto seglares como eclesiásticos. En algunos aspectos, los italianos del Renacimiento -con excepción de Leonardo y unos cuantos más- no tenían el respeto por la ciencia que ha caracterizado a la mayoría de los innovadores importantes desde el siglo XVII; con esta deficiencia está asociada su liberación tan parcial de la superstición, especialmente en cuanto a la astrología. Muchos de ellos conservaban aún el respeto por la autoridad que habían tenido los filósofos medievales, pero sustituían la autoridad de la Iglesia por la de los antiguos. Era, sin duda, un paso hacia la emancipación, puesto que los antiguos disentían unos de otros y era preciso el juicio individual para decidir cuáles de ellos habían de seguir. Pero muy pocos italianos del siglo XV se hubieran atrevido a sostener una opinión para la que no se hubiera podido hallar una autoridad, bien sea en la Antigüedad o en la doctrina de la Iglesia''. [Russell, Bertrand: Historia de la Filosofía Occidental, Tomo II: La Filosofía Moderna, p. 115].

Un proceso múltiple.-

Este movimiento, sin embargo, se extendió por Europa. Por ejemplo, en Alemania así como en otros países el mismo se asoció a la búsqueda de la independencia religiosa y nacional. Una de sus consecuencias más importantes fue la reforma luterana. Permitió abrir vías a un cambio de las estructuras sociales y cognoscitivas dominantes, un camino para el cuestionamiento de la autoridad, un fundamento para el progreso de las ciencias. Esta reforma se desarrolló en varios países: Francia, los Países Bajos, Gran Bretaña, bajo la forma de lo que se suele llamar calvinismo. ¿Consecuencias? El poder y la autoridad de la Iglesia Católica se debilitaron de muchas maneras; esto potenciaba las posibilidades de cambios políticos y sociales y, por supuesto, culturales y cognoscitivas.

Se puede decir que tanto el Renacimiento como la Reforma, así como otras transformaciones políticas relevantes en la época, son partes de un solo proceso.

Cambios intelectuales y técnicos.-

Alrededor del siglo XV, se multiplicaron los contactos de los europeos con los trabajos griegos, a través de los bizantinos, quienes poseían la colección más grande de documentos griegos. Fue debido a la caída de Constantinopla, en 1453, que muchos intelectuales de Europa oriental emigraron hacia el oeste, y en sus manos traían conocimiento de los manuscritos griegos y los mismos en muchos casos. Se desarrollaron importantes vínculos, visitas, entre italianos, por ejemplo, y los bizantinos, algunos inventos contribuyeron a una expansión de este desarrollo cognoscitivo: la imprenta, el uso de papel de lino y algodón en sustitución del papiro.




En buena medida, el Renacimiento encontró en la Antigüedad Griega Clásica nutrientes intelectuales importantes. En primer lugar, una preocupación por la naturaleza y el ser humano que definió una perspectiva vitalista y humanista. En segundo lugar, los nuevos elementos permitían una crítica del mundo intelectual y dominado por la escolástica y aquellos aspectos del pensamiento aristotélico, la lógica formal y la especulación abstracta, que fueron decisivos para ese tipo de pensamiento.

Mencionemos algunos elementos de este período que son relevantes para el progreso del conocimiento. Uno de ellos fue, a través del progreso de las artes técnicas, una cierta disminución de la separación entre las tradiciones eruditas y artesanales, algo dominante en la época medieval. Al avance de los tejidos, la minería, la metalurgia y también la vidriería, debe añadirse el progreso de las artes plásticas, que condujo a importantes avances en torno a la perspectiva, la anatomía, y la descripción misma de la naturaleza. Hay otros cambios importantes tanto en las matemáticas (estimulados por la necesidades militares y técnicas) y en la filosofía (un énfasis a mayor en las causas eficiente y material y no tanto en las finales del pensamiento aristotélico).

También, debe mencionarse, el influjo ocasionado por las nuevas rutas comerciales en los mundos descubiertos, que abrían un horizonte diferente en la perspectiva social y cultural. Además, algunas de los adelantos y logros económicos comerciales que se van a dar en esta época van a ser factores importantes para una traslación de los ejes nacionales de mayor desarrollo en Europa occidental.

CAÑONES Y PROYECTILES.

Por ejemplo, el papel relativo de la península italiana cedió terreno ante los progresos, por diferentes razones, tanto en España y Portugal, sobre todo en los Países Bajos e Inglaterra.

Desde el punto de vista social fue relevante la presencia de trabajadores o empleados pagados, artesanos libres, y una clase mercantil, cuya importancia se tradujo en el impulso de exploraciones geográficas alrededor de los siglos XV y XVI.

Debe subrayarse: la imprenta logró que estos libros y documentos estuvieran disponibles; múltiples ediciones y traducciones revolucionaron la cultura y la ciencia.

Georg von Peuerbach inició la traducción del Almagesto, por ejemplo. Regiomontano la completó.

Un ejemplo de estos cambios técnicos y su influencia es la primera edición impresa de los Elementos de Euclides en latín (realizada por Johannes Campanus) que apareció en Venecia en 1 482. También, los cuatro libros de las Secciones Cónicas de Apolonio, las obras de Pappus, la Arithmética de Diofanto y otras.

En el mismo sentido tuvo importancia la introducción de la brújula y la pólvora, que, respectivamente, permitieron la navegación mar adentro y nuevos elementos en los métodos para la guerra. Este tipo de elementos técnicos empujaba hacia la astronomía, el diseño de fortificaciones, los proyectiles, trayectorias, etc.

A los progresos que se dieron en la minería, la manufactura, el comercio y la agricultura, que exigían desarrollos técnicos adicionales, debe añadirse el desarrollo de nuevas líneas económicas y comerciales: todo un contexto que generaba importantes cambios políticos y sociales.

Debe subrayarse en este escenario el papel jugado por las técnicas asociadas a la navegación. Sin duda, el descubrimiento de América y otras rutas comerciales potenció métodos y demandas en la navegación. De una manera directa, sobre la astronomía. No es extraño, entonces, que haya sido en la astronomía y en la cosmología donde se debatió en sus inicios buena parte de las perspectivas y posibilidades de la ciencia moderna en sus inicios.

Debe decirse que las universidades de los siglos XV y XVI no jugaron un papel relevante en el desarrollo de los nuevos conocimientos, sobre todo porque estaban orientadas hacia el estudio de la teología, en donde, en buena medida, se consideraba el conocimiento completo y definitivo; la experimentación no era necesaria.

Se desarrolló una actividad realizada por los llamados humanistas que trató de establecer una crítica de las obras griegas y romanas que se había incorporado en el firmamento ideológico sobre todo a partir de los escolásticos. En el siglo XVI, sobresale entre ellos el italiano Gerolamo Cardano (1501 - 1576) que escribió sobre matemáticas, astronomía, astrología, medicina, astrología y muchos otros temas.

Ideas y actitudes nuevas.-

Lo más importante del Renacimiento puede decirse que fue una reforma profunda de ideas y actitudes frente a la sociedad, el hombre y el mundo. Una crítica del pasado que abría caminos novedosos en el presente y sobre todo de cara al futuro. En el Renacimiento fue significativa la presencia de influencias de otras culturas, como las árabes y chinas, aparte de los nuevos elementos extraídos de la Antigüedad Griega, así como el escenario político, económico y técnico que se había ido tejiendo en Europa occidental.

Es evidente que la existencia de una gran cantidad de datos geográficos, astronómicos, biológicos, por ejemplo, empujaba hacia una nueva visión de la realidad, que entraba en contradicción con el escenario intelectual de la época anterior. Por ejemplo, se empezó a dar un énfasis en el conocimiento de la naturaleza, el disfrute del mundo físico, el progreso de la mente y el cuerpo, la libertad del pensamiento, y, muy especialmente, un énfasis en las posibilidades de la mente humana. En general, se promovía una actitud humanista. Entonces, desde el comienzo del siglo XIV podemos señalar una ruptura con la forma de pensamiento y las actitudes anteriores donde sus ejes temáticos eran colocados por la ideología dominada por la Iglesia Católica. Por ejemplo, Dios, las almas, la salvación, etc. El nuevo énfasis orientado hacia el individuo, la vida terrenal, el ser humano, propició transformaciones importantes en todas las actividades culturales y, en particular, en las ciencias.

Una combinación específica de factores, internos y externos, políticos, culturales, económicos, técnicos, cognoscitivos, abrieron camino hacia la construcción de una nueva forma de sociedad.

11.2 Las matemáticas del Renacimiento.-

Sin duda fue más difícil el ingreso en Europa de trabajos matemáticos que aquellas obras de literatura, filosofía o de ciencias naturales. Por ejemplo, la complejidad o dificultad de textos griegos como los de Euclides o Arquímedes hacía más difícil que se pudiera apreciar el valor de estas obras. Por eso, aun con traducciones de los clásicos ya realizadas, se requirió mucho mayor tiempo y otros trabajos adicionales para que esas obras pudieran ser apreciadas en su justa magnitud. En buena medida, los aspectos que más se tocaron fueron los más elementales de las matemáticas.




Las nuevas actitudes empujaron hacia una descripción cuantitativa del universo; sin embargo, esta etapa histórica y cultural no produjo grandes logros en las matemáticas. Lo importante, sin embargo, estaba en las condiciones sociales y culturales y más generales que servirían como un pivote y una plataforma importante para el progreso del conocimiento, las técnicas, las matemáticas.

Con Bell:

"El siglo XVI estuvo igualmente cuajado de grandes cosas para el futuro de la matemática. Los nombres de Leonardo de Vinci (1452 - 1519), Miguel Ángel (1475 - 1564), y Rafael (1483 - 1520), tres de los mejores entre una pléyade, nos recordarán lo que esta época crítica, del siglo de Copérnico (1473 - 1543), fue en arte; paralelamente los de Torquemada (1420 - 1498), Lutero (1483 - 1546), Loyola (1491 - 1556) y Calvino (1509 - 1564) pueden sugerir lo que fue en los aspectos más elevados de la vida. Cardano (1501 - 1576) publicó (1545) su Ars magna, la suma de los conocimientos en álgebra de aquella época, solo dos años después de que Copérnico recibiera en su lecho de muerte las pruebas de imprenta de su revolucionario De revolutionibus orbium coelestium''. [Bell, E.T.: Historia de las matemáticas, p. 121].

Con el influjo de las obras griegas, conocimiento y valores, se potenció el interés en las matemáticas. En el siglo XV, una de las principales influencias fueron las obras de Platón: el diseño matemático de la naturaleza, que incorporaba las características de armonía, verdad y belleza. La naturaleza es descrita entonces a través de leyes inmutables dentro de una comprensión que es racional y estructurada.

De la Edad Media emergió una visión sobre la realidad que incluyó la idea cristiana de un plan que integra las cosas con la figura de Dios como un arquitecto y diseñador matemático del mundo. Se trataba de una doctrina presente durante los siglos XVI y XVIII que inspiró a los científicos del Renacimiento y de la Revolución Científica, como Copérnico, Galileo, Kepler, Newton o Leibniz. Para estos intelectuales, por medio de las matemáticas se desentrañaba el diseño divino.

Un elemento importante en la expansión del conocimiento y un fundamento de la ciencia moderna fue la traducción a lenguajes populares de varias obras griegas. Una traducción importante realizada en 1543 fue hecha por Tartaglia: los Elementos de Euclides, del latín al italiano. En los siguientes años otros siguieron esta dirección, como Descartes y Galileo.

Las matemáticas para progresar requerían el florecimiento de las ciencias y esto, en general, sólo podía hacerse a través de una ruptura con la autoridad. Era necesario un cambio en la metodología de la ciencia que, en particular, se desprendiera de la escolástica y de ese matrimonio acrítico con las obras griegas.

En esa dirección, Leonardo da Vinci (1452 - 1519) es una de las más importantes referencias. Planteaba una actitud práctica frente a los métodos y conceptos medievales. No obstante, no estableció una metodología ni una filosofía de las ciencias plenamente. Su aproximación era más bien empírica e intuitiva. Ya volveremos a las rupturas con los métodos medievales y la construcción de una nueva metodología en las ciencias y las matemáticas.

Finalmente, a manera de valoración:

"En el Renacimiento las matemáticas tuvieron aplicación en la mecánica, el arte, la agrimensura, la contabilidad, la cartografía y la óptica. En general, se trataba de aplicaciones elementales o que recurrían a dimensiones de poco nivel matemático. También, en el mismo periodo, hubo interés por las obras griegas de mayor complejidad, pero no de una manera muy extendida. La ausencia de traducciones latinas de autores como Apolonio, Arquímedes, o Pappus era una debilidad''. [Ruiz. A. y Barrantes, H.: Elementos de Cálculo Diferencial. Historia y ejercicios resueltos, p. 53].

11.3 La Perspectiva.-

Fueron los artistas durante el Renacimiento quienes manifestaron un interés en la naturaleza y aplicaron un sentido matemático en varios de sus trabajos; estudiaron, por ejemplo, a Vitruvius. Los artistas del Renacimiento se vieron comprometidos en diferentes tipos de tareas desde las construcciones y la ingeniería, la anatomía, la óptica, hasta la creación de obras de arte. A la vez que realizaban un trabajo práctico también abordaban asuntos de naturaleza abstracta.

Su trabajo abonó el terreno para la revolución científica y matemática que se daría en el siglo XVII. ¿Por qué? La arquitectura y las artes plásticas empezaron a utilizar de diferentes maneras el conocimiento creciente, la perspectiva y la anatomía, potenciando un tipo diferente de intelectuales, científicos y, si se quiere, que estaban preocupados tanto por las técnicas que se desarrollaba en los talleres de artesanos, por ejemplo, así como por los aspectos más teóricos que se generaban en las universidades. Es lo que se puede afirmar como una nueva relación entre las tradiciones eruditas y las prácticas, una nueva interacción que fue decisiva, en opinión de muchos historiadores de la ciencia, para la revolución científica que se daría propiamente durante el siglo XVII.

Debe mencionarse los siguientes pintores: Filippo Brunelleschi (1377 - 1446), Paolo Uccello (1397 - 1475) y Masaccio (1401 - 1428), como importantes estudiosos de la perspectiva, en la que aplicaron principios de geometría.

Se considera a Leone Battista Alberti (1404 - 1472) el mejor exponente en la perspectiva matemática. Por ejemplo, en su libro Della pittura, el cual además contiene trabajos sobre la óptica. En otro de sus trabajos, Ludi mathematici, introduce aplicaciones a la mecánica, a la topografía y asuntos militares relacionados con la artillería. Por supuesto, el gran Leonardo que puede decirse que afirmó la pintura como una ciencia que revelaba la naturaleza de la realidad [Trattato della pittura (1651, versión compilada por un autor anónimo)].

Es opinión aceptada que los principios matemáticos de la perspectiva fueron establecidos de una manera completa por Piero della Francesca (c. 1410 - 1492), con avances en la idea de proyección y sección en su trabajo De prospettiva pingendi (1482 - 1487).

También es una opinión aceptada que el mejor matemático entre los artistas renacentistas fue el alemán Albrecht Dürer, Durero, (1471 - 1528). La obra relevante de Durero: Underweysung mid dem Zyrkel und Rychtscheyd, 1525.

Otros trabajos sobre la perspectiva, de una manera mucho más definitiva, fueron escritos al final del siglo XVIII por los matemáticos Brook Taylor y J. H. Lambert.

En general, la geometría de estos siglos XV y XVI encontró sus fronteras en la perspectiva. Se afirma que el trabajo de Leonardo, Piero, Pacioli y Durero tuvo la principal virtud de ampliar el conocimiento sobre la geometría, aunque de manera muy limitada si se compara con la geometría clásica. Tal vez, valga la pena mencionar que, producto del trabajo de algunos de estos artistas y matemáticos, se estimuló el estudio de la estereometría.



VIENE DE LA PÁGINA ANTERIOR)

11.4 Mapas.-

Otra de las actividades que requirieron matemáticas y que ayudaron a su desarrollo, de manera indirecta más que todo, fue la confección de mapas. El asunto, por supuesto, refería a cómo colocar en un plano una realidad esférica como el planeta Tierra. El método más importante en la construcción de mapas fue dado por Mercator (1512 - 1594), Gerhard Kremer señala:

"En 1564, el geógrafo flamenco Gerardus Mercator (1512 - 1594) propuso una proyección cilíndrica que tuvo una excelente acogida entre los navegantes (los cuales podían pagar con sus vidas los errores en los mapas de navegación). En esencia consistía en servirse de un cilindro imaginario que envolviera la Tierra y fuera tangente al ecuador. A continuación se trataba de representar las características de la superficie terrestre sobre el interior del cilindro, de modo que, al extender el cilindro, se obtuviera un mapa. En dicho mapa los meridianos y paralelos eran transformados en una retícula de rectas ortogonales, pero de modo que se respetaban las formas en torno a cada punto. El problema estaba en que la distorsión se acentuaba mucho cuando los territorios se alejaban del ecuador, siendo esta distorsión muy considerable en lo que hoy se denomina Groenlandia y la Antártida. Tenía, no obstante, la gran ventaja para el marino de que las loxodromias (curvas que en la superficie terrestre forman un ángulo constante con todos los meridianos y sirven para navegar con rumbo constante), en la proyección de Mercator, eran líneas rectas que marcaban rumbos posibles.

Según se suele destacar habitualmente, Mercator no dedujo las propiedades de su proyección por procedimientos matemáticos, sino empíricos; quien logró realizar un análisis teórico de dichas propiedades fue el matemático que da cuenta de la propiedad loxodrómica antes señalada en una obra titulada Certaine Errors in Navigation, publicada en 1599. Esta obra permitió a Emery Molineux y a Jocodus Hondius corregir las siguientes ediciones de los mapas de Mercator.

Los trabajos del gran geógrafo belga dieron como resultado una obra monumental aparecida un año después de su muerte, cuyo título es elocuente: Atlas sive cosmographicae meditationes de fabrica mundi et fabricati figura. La palabra 'Atlas' provenía de la figura mitológica griega que llevaba el mundo a sus espaldas y que había hecho fortuna entre los editores de los libros de mapas. Pero, además de las colecciones de Mercator y sus sucesores, se publicaron también otras series de ellos entre las que destacan las de Abraham Ortelius (1524 - 1598). Su obra más difundida, Theatrum orbis terrarum, apareció en 1570 y constituye una colección de setenta mapas en un volumen infolio de 53 hojas''. [Rioja, Ana, Ordóñez, Javier: Teorías del Universo, Volumen II de Galileo a Newton, pp. 81-82.].

Durante el siglo XVI estos trabajos obtuvieron un mayor desarrollo, sin embargo, más adelante, servirían para lo que se llama la geometría diferencial.

11.5 Astronomía y matemáticas.-

Se afirma que durante la primera mitad del siglo XVI no se dieron grandes cambios en las matemáticas europeas más allá de lo que los árabes habían suministrado. Los cambios, sin embargo, arrancan en la segunda mitad, debido primordialmente a las necesidades prácticas que una nueva forma de sociedad y economía habían generado. Una de las actividades claves para entender el progreso de las matemáticas y de las ciencias en general refiere directamente a la astronomía. ¿Por qué? Las grandes exploraciones geográficas de la época se habían convertido en asuntos decisivos para los europeos y éstas requerían mayor precisión en los cálculos astronómicos. Un ejemplo lo constituyen las tablas trigonométricas, las cuales debieron ser mejoradas para ajustar las observaciones a la nueva teoría astronómica.

Hubo importantes trabajos en la recolección de datos astronómicos, que fueron relevantes para las nuevas teorías. Mason recoge estos elementos:

"La astronomía de observación resurgió en el siglo quince en relación con el arte de navegar y con la reforma del calendario juliano que se estaba desfasando respecto al año solar. Este movimiento se inició con Geor von Peurbach, 1423 - 61, de la Universidad de Viena, y más especialmente con su discípulo Johann Müller, 1436 - 76, quien fue a Italia para estudiar las versiones griegas originales de la astronomía de Ptolomeo. Müller se estableció en Nuremberg, realizando observaciones con su amigo y patrón Bernhard Walther, 1430 - 1504, un rico comerciante que disponía de un observatorio privado. Walther tenía también una imprenta propia, con la que prepararon almanaques náuticos de gran utilidad para los navegantes portugueses y españoles. Müller fue el primero que introdujo en las observaciones astronómicas correcciones para la refracción atmosférica, así como el primero también en utilizar en astronomía el reloj mecánico. Más tarde, marchó a Roma para reformar el calendario, si bien murió antes de llevarlo a cabo. Walther y su amigo, el artista Albrecht Dürer, prosiguieron sus observaciones, de modo que cuando Nicolás Copérnico, 1473 - 1543, comenzó su trabajo, se disponía ya de un volumen considerable de observaciones moderas precisas''. [Mason, Stephen F.: Historia de las ciencias. La Revolución Científica de los siglos XVI y XVII, pp. 7-8].

En ese escenario, se dio una gran cantidad de los esfuerzos del siglo XVI en álgebra orientados a la resolución de ecuaciones o identidades que aparecían en tablas trigonométricas.

Pero no todo refería a la astronomía y la navegación, las actividades bancarias o comerciales empujaron hacia un progreso en la aritmética.

Los trabajos de Pacioli, Tartaglia o Stevin (1548 - 1620) contienen muchos asuntos relacionados con esto últimos. Tampoco se puede dejar por fuera la empresa militar y, en particular, la construcción de cañones, que empujaban hacia el estudio de temas como el de los proyectiles y sus curvas de movimiento.

11.6 Trigonometría.-

Con relación a la trigonometría debe decirse que, aunque los peritos usaban los métodos geométricos romanos, se empezó a usar algo de trigonometría plana con un método iniciado por Leonardo de Pisa en su Practica Geometriae (1220).

Otros avances fueron hechos por el mismo George Peurbach (1423 - 1461) de Viena, quien ofreció tablas trigonométricas más precisas y corrigió algunas traducciones latinas del Almagesto que habían sido realizadas desde versiones árabes y no griegas.

PACIOLI, ESTAMPILLA.

El más conocido, sin embargo, fue Johannes Müller (1436 - 1476), el famoso Regiomontano, que fue discípulo de Peurbach y del cardenal Bessarion (c. 1400 - 1472). Regiomontano no solo haría varias traducciones de obras griegas sino que también estableció su propia imprenta para imprimirlas. Entre ellas las Secciones Cónicas de Apolonio y partes de Arquímedes y Herón. Se sabe que en su libro De Triangulis, 1462 - 1463, Regiomontano se benefició de algunos trabajos árabes para expresar de una mejor manera el conocimiento disponible sobre trigonometría plana, geometría esférica, y trigonometría esférica.

Un detalle sobre Müller: Nicolás de Cusa (1401 - 1464), quien se supone fue el primer europeo que buscó resolver el problema clásico de la cuadratura del círculo, y un intelectual, incluso cardenal, que tendría importantes repercusiones, fue corregido por Regiomontano (1436 - 1476), quien le señaló algunos problemas o errores de razonamiento.




La construcción de tablas fue otro asunto importante durante los siglos XV y XVI. Por ejemplo, laboraron en eso Copérnico, François Vieta (1540 - 1603) y Barthdolomaeus Pitiscus (1561 radio, de tal forma que los valores de las cantidades trigonométricas pudieran ser obtenidas con mayor precisión sin usar fracalculó una tabla de senos basado sobre un radio de diez a la diez unidades y otro basado en diez a la 15 unidades y dio valoarco. Pitiscus corrigió algunos de estos trabajos. Se supone, precisamente, que la palabra trigonometría fue dada por él.

Un detalle interesante con Rheticus es que cambió el significado del seno. Antes se usaba como el seno del arco y no del ángulo (en una circunferencia), ahora era el seno del ángulo.

Más adelante toda la trigonometría plana y esférica fue sistematizada y extendida por Vieta. Su obra Canon Mathematicus (1579) ofrece las fórmulas para la solución de los triángulos planos recto y oblicuo y la ley de las tangentes, elaborada por él mismo. Vieta ofreció más identidades trigonométricas que las que había establecido

Tal vez, lo más importante a señalar de la trigonometría del siglo XVI es su separación de la astronomía y su evolución como una rama propia de las matemáticas. No es que ésta ya no se usara en la astronomía, sino que era aplicada en otras dimensiones adicionales como, por ejemplo, la topografía.

11.7 Aritmética y álgebra.-

A principios del siglo XVI, el cero y los irracionales se aceptaban, más o menos en la tradición de los árabes e hindúes. introdujeron nuevos tipos de irracionales. Vieta dio una aproximación del número irracionales en forma decimal, aunque tenía sus dudas acerca de la naturaleza de los mismos, a los que no consideraba exactam

Las dudas sobre los irracionales siguieron por siglos. Pascal y existencia independiente más allá de esas magnitudes, y acudían a la teoría de las magnitudes de Eudoxo para justificar la oplos irracionales eran números independientes, e incluso los aproximó por medio de númerirracionales eran números.

Un tanto similar ocurría con los números negativos. En los siglos XVI y XVII matemáticos como el mismo Stifel afirmaron que enegativos en algunas ecuaciones, pero no los consideraba números; es más, afirmaba que eran sentido restar 4 al 0. Descartes sí los aceptó, aunque solo en parte (a las raíces negativas las llamaba

En la solución de ecuaciones cuadráticas y al usar la raíz cuadrada los matemáticos de la época se toparon con otros números Cardano al resolver la ecuación ( ) 4010 =− xx encontró raíces complejas.

También en ecuaciones cúbicas aparecieron los complejos.

Algo similar ocurrió con Bombelli quien incluso llegó a formular las cuatro operaciones con los complejos en la forma actual. Pero tanto Bombelli consideraban que se trataba de algo sin utilidad y de naturaleza sofística.

Aunque no tuvo mucha influencia en su tiempo, Albert Girard

Descartes, a pesar de la gran amplitud de miras que siempre exhibía, rechazó a los complejos, no eran números verdaderos, y dtérmino que se quedaría como consignación de estos números. Para

Sea como sea, el uso de métodos algebraicos expandió las fronteras esclarecerse plenamente.

Otro resultado de la época fue el uso de las fracciones continuas. Por ejemplo, décadas después, John Wallis para representar

442

5334

××××=

πlas fracciones continuas para resolver ecuaciones indeterminadas.

Dos obras aritméticas tuvieron influencia durante los siglos XV y XVI: arithmetica, geometrica, proportioni et proportionalita de

En cuanto al primero, no se sabe cuánto es original de éstnumeración hindú-árabe. Hay, también, resolución de ecuaciones. Aunque este libro no fue publicado hasta 1 880, se sabe que Etienne de la Roch1520 y 1538 un libro que contenía mucho del libro de Chuquet (

El segundo libro era un compendio de aritmética, álgebra, geometría elemental y contabilidad (de doble entrada). Tampoco se pno cita fuentes, por ejemplo. En su parte aritmética, explica métodos para multiplicar y hallar raícecuaciones lineales y cuadráticas.

Mientras tanto, en el álgebra no se daría ningún desarrollo durante el Renacimiento hasta el trabajo de mencionarse el trabajo de Pacioli: Summa de Arithmetica, Geometria, Proportione et Proportionalitaaplicaciones prácticas que, sin embargo, no tenían mucho más que lo que contenía el

"Parece haber consenso entre los historiadores de este periodo en que las matemáticas del Renacimiento se caracterizaron por no siguiendo el influjo geométrico griego, sino más bien las tradiciones medievales. Aunque las ciudciencia árabe y griega antigua, también debe reconocerse la existencia de trabajos germánicos en el álgebra. Una de las más iAritmética íntegra de Stifel (un tratado del álgebra muy completo de lo que existía en la época publicado en 1544)”. [Ruiz, A. y Barrantes, H.: Elementos de Cálculo Diferencial. Historia y ejercicios resueltos, p. 51].


La construcción de tablas fue otro asunto importante durante los siglos XV y XVI. Por ejemplo, laboraron en eso George Joachim Rheticus1603) y Barthdolomaeus Pitiscus (1561 - 1613). En estos trabajos usaron números de unidades muchísimo más largos en el

radio, de tal forma que los valores de las cantidades trigonométricas pudieran ser obtenidas con mayor precisión sin usar fracalculó una tabla de senos basado sobre un radio de diez a la diez unidades y otro basado en diez a la 15 unidades y dio valoarco. Pitiscus corrigió algunos de estos trabajos. Se supone, precisamente, que la palabra trigonometría fue dada por él.

Un detalle interesante con Rheticus es que cambió el significado del seno. Antes se usaba el arco y no del ángulo (en una circunferencia), ahora era el seno del

Más adelante toda la trigonometría plana y esférica fue sistematizada y extendida por (1579) ofrece las fórmulas para la solución de los

gulos planos recto y oblicuo y la ley de las tangentes, elaborada por él mismo. Vieta ofreció más identidades trigonométricas que las que había establecido Ptolomeo.

Tal vez, lo más importante a señalar de la trigonometría del siglo XVI es su separación de la astronomía y su evolución como una rama propia de las matemáticas. No es que ésta ya

cada en otras dimensiones adicionales

A principios del siglo XVI, el cero y los irracionales se aceptaban, más o menos en la tradición de los árabes e hindúes. Cardano, Stevinintrodujeron nuevos tipos de irracionales. Vieta dio una aproximación del número π usando otras formas de irracionales. Stifel en su obra irracionales en forma decimal, aunque tenía sus dudas acerca de la naturaleza de los mismos, a los que no consideraba exactamente números de verdad.

Las dudas sobre los irracionales siguieron por siglos. Pascal y Barrow opinaron que números como la 3 eran simplemente magnitudes geométricas, o sea eran símbolos sin existencia independiente más allá de esas magnitudes, y acudían a la teoría de las magnitudes de Eudoxo para justificar la operación con ellos. los irracionales eran números independientes, e incluso los aproximó por medio de números racionales. En la misma dirección, John Wallis y Descartes llegarían a afirmar que los

Un tanto similar ocurría con los números negativos. En los siglos XVI y XVII matemáticos como el mismo Stifel afirmaron que eran números negativos en algunas ecuaciones, pero no los consideraba números; es más, afirmaba que eran absurdos, ficticios. Vieta los descartó completamente. Pascal consideraba un

restar 4 al 0. Descartes sí los aceptó, aunque solo en parte (a las raíces negativas las llamaba falsas).

En la solución de ecuaciones cuadráticas y al usar la raíz cuadrada los matemáticos de la época se toparon con otros números aun más problemáticos: los complejos. Por ejemplo, encontró raíces complejas.

También en ecuaciones cúbicas aparecieron los complejos.

quien incluso llegó a formular las cuatro operaciones con los complejos en la forma actual. Pero tanto consideraban que se trataba de algo sin utilidad y de naturaleza sofística.

Albert Girard le dio valor a los complejos como soluciones formales de ecuaciones.

Descartes, a pesar de la gran amplitud de miras que siempre exhibía, rechazó a los complejos, no eran números verdaderos, y dnación de estos números. Para Newton se trataba de raíces imposibles.

Sea como sea, el uso de métodos algebraicos expandió las fronteras de lo que debía considerarse números. El proceso, sin embargo, tomó mucho tiempo para

Otro resultado de la época fue el uso de las fracciones continuas. Por ejemplo, Bombelli las usó para aproximar raíces cuadradas (

L

L

8664

7755

×××××× (Arithmetica Infinitorum, 1655). Debe recordarse que l

las fracciones continuas para resolver ecuaciones indeterminadas.

Dos obras aritméticas tuvieron influencia durante los siglos XV y XVI: Triparty en la science des nombres de Nicolás Chuquet (francés) y la de Luca Pacioli (1445 - 1514).

En cuanto al primero, no se sabe cuánto es original de éste, y trata de las operaciones aritméticas racionales con números, incluye el estudio del sistema de árabe. Hay, también, resolución de ecuaciones. Aunque este libro no fue publicado hasta 1 880, se sabe que Etienne de la Roch

520 y 1538 un libro que contenía mucho del libro de Chuquet (Larismetique nouvellement composee).

El segundo libro era un compendio de aritmética, álgebra, geometría elemental y contabilidad (de doble entrada). Tampoco se pno cita fuentes, por ejemplo. En su parte aritmética, explica métodos para multiplicar y hallar raíces cuadradas, en la de álgebra da las soluciones normales para

Mientras tanto, en el álgebra no se daría ningún desarrollo durante el Renacimiento hasta el trabajo de Cardano (Ars Magna, 1545). No obstante, debe Geometria, Proportione et Proportionalita, 1494, una recopilación de conocimientos y

icaciones prácticas que, sin embargo, no tenían mucho más que lo que contenía el Liber Abaci de Leonardo de Pisa en 1202. Podemos afirmar qu

"Parece haber consenso entre los historiadores de este periodo en que las matemáticas del Renacimiento se caracterizaron por el desarrollo del álgebra, no siguiendo el influjo geométrico griego, sino más bien las tradiciones medievales. Aunque las ciudades italianas sirvieron para la penetración de la ciencia árabe y griega antigua, también debe reconocerse la existencia de trabajos germánicos en el álgebra. Una de las más importantes de éstas fue la

(un tratado del álgebra muy completo de lo que existía en la época publicado en 1544)”. [Ruiz, A. y Barrantes, H.: , p. 51].

15

George Joachim Rheticus (1514 - 1576), de unidades muchísimo más largos en el

radio, de tal forma que los valores de las cantidades trigonométricas pudieran ser obtenidas con mayor precisión sin usar fracciones o decimales. Rheticus calculó una tabla de senos basado sobre un radio de diez a la diez unidades y otro basado en diez a la 15 unidades y dio valores para cada diez segundos del

Stevin, Pacioli y el alemán Michael Stifel en su obra Aritmética Integra de 1544 usó

ente números de verdad.

eran simplemente magnitudes geométricas, o sea eran símbolos sin con ellos. Stevin, por el contrario, afirmaba que

os racionales. En la misma dirección, John Wallis y Descartes llegarían a afirmar que los

ran números absurdos. Cardano obtuvo números . Vieta los descartó completamente. Pascal consideraba un sin

aun más problemáticos: los complejos. Por ejemplo,

quien incluso llegó a formular las cuatro operaciones con los complejos en la forma actual. Pero tanto Cardano como

le dio valor a los complejos como soluciones formales de ecuaciones.

Descartes, a pesar de la gran amplitud de miras que siempre exhibía, rechazó a los complejos, no eran números verdaderos, y dijo que eran imaginarios,

de lo que debía considerarse números. El proceso, sin embargo, tomó mucho tiempo para

las usó para aproximar raíces cuadradas (Algebra, 1572), y, algunas , 1655). Debe recordarse que los hindúes habían trabajado mucho

de Nicolás Chuquet (francés) y la Summa de

e, y trata de las operaciones aritméticas racionales con números, incluye el estudio del sistema de árabe. Hay, también, resolución de ecuaciones. Aunque este libro no fue publicado hasta 1 880, se sabe que Etienne de la Roche publicó en

El segundo libro era un compendio de aritmética, álgebra, geometría elemental y contabilidad (de doble entrada). Tampoco se puede decir que fuera original, es cuadradas, en la de álgebra da las soluciones normales para

, 1545). No obstante, debe , 1494, una recopilación de conocimientos y

en 1202. Podemos afirmar que:

el desarrollo del álgebra, ades italianas sirvieron para la penetración de la

mportantes de éstas fue la (un tratado del álgebra muy completo de lo que existía en la época publicado en 1544)”. [Ruiz, A. y Barrantes, H.:

CARDANO, ARS MAGNA




Las ecuaciones de tercer y cuarto grados.-

TARTAGLIA

Las cuadráticas fueron resueltas desde los babilonios, usando el

Con relación a la de tercer grado,

resueltas por Scipione dal Ferro (1465

Un siguiente paso lo dio el famoso matemático seudónimo se debía a que quedó tartamudo después de que un soldado francés le cortara la cara. Resolvió varios tipos de

ecuaciones de la forma: x3

Cardano quien publicó en su (1522 - 1565) a dal Ferro, provocando una disputa con

Con la solución de la ecuación cúbica

Entonces, por el concurso de y cuarto grados. Pero, tiempo después, Vieta, además de la generalización que logró con el simbolismo, exploró un método general para usar en cualquier tipo de ecuación sin importar el gra

Estos métodos desarrollados, de algunas maneras, se enseñan en la teoría elemental de las ecuaciones. Asuntos como la relacióraíces, o las calidades de éstas: cuántas positivas, negativas, complejas.

Cabe mencionar que Descartes, tiempo después, en La Géométriepolinomio, es el número de alteraciones en el signo de los coeficientes y el máximo de las negativas es el número de veces qu

además, en ese mismo libro estableció el teorema del factor, es decir que: raíz “falsa”.

Descartes realmente estableció el método moderno para encontrar raíces racionales de polinomios. Asuntos de la obra del genial francés que no son tan conocidos.

Otro resultado interesante de esta época es el uso del Triángulo de

matemático fue usado anteriormente por otros como Tartaglia, Stifel y Stevin.

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

. . . . . . . .

La expansión para ( )nBa+ con n entero, el llamado teorema del binomio

En la teoría de números de la época, el principal impulso lo llegó a realizar del trabajo de Diofanto estableció la dirección de los trabajos en esta disciplina matemática por lo menos hasta desarrollaremos esto con detalle.

El progreso en los símbolos.-

Se suele reconocer que fue el mejoramiento del simbolismo en el álgebra uno de los resultados relevantes del siglo XVI, aunqu

de su importancia. Por ejemplo, desde el siglo XV, se usó

×para indicar "veces'' se le debe a Oughtred. Leibniz, años después, objetó que podía ser confundido con la

= . Para la igualdad Vieta usó y Descartes ∝ .

Fue Thomas Harriot quien introdujo los signos < y >. Descartes usó

Vieta.-

Probablemente fue Vieta quien realizó el salto más relevante en el simbolismo para el álgebra. Bajo la influencia de especialmente Diofanto, introdujo letras para designar números de manera sistemática y consistente. Usó consonantes para las cantidapara las desconocidas. Su conciencia del papel del simbolismo y de la naturaleza general del álgebra lo llevó a hacer la famonumerosa y logística especiosa para separar aritmética y álgebra. Mientras qude cosas o especies, de ahí el nombre precisamente. Es decir, álgebra refiere a tipos generales. Una de las cosas que trató dalgebraicas que había en los textos geométricos griegos de la Antigüedad.


Las cuadráticas fueron resueltas desde los babilonios, usando el método de completar cuadrados

Con relación a la de tercer grado, Pacioli pensó que no era resoluble, sin embargo alrededor del 1500 algunas de ellas fueron

resueltas por Scipione dal Ferro (1465-1526) de Bologna: baxx =+3 .

Un siguiente paso lo dio el famoso matemático Tartaglia, cuyo nombre era Niccolò Fontana de Brescia (1499 seudónimo se debía a que quedó tartamudo después de que un soldado francés le cortara la cara. Resolvió varios tipos de

baxxbax =+=+ 323 y , con ba y positivos.

Cardano quien publicó en su Ars Magna el método de solución de Tartaglia se lo atribuyó con su discípulo 1565) a dal Ferro, provocando una disputa con Tartaglia.

la solución de la ecuación cúbica, luego, se obtuvo la solución de la cuadrática, por medio de

Entonces, por el concurso de Tartaglia, Cardano y Ferrari se encontraron métodos para la resolución de las ecuaciones de tercer y cuarto grados. Pero, tiempo después, Vieta, además de la generalización que logró con el simbolismo, exploró un método general para usar en cualquier tipo de ecuación sin importar el grado.

Estos métodos desarrollados, de algunas maneras, se enseñan en la teoría elemental de las ecuaciones. Asuntos como la relacióraíces, o las calidades de éstas: cuántas positivas, negativas, complejas.

La Géométrie, sugeriría la regla de los signos para las raíces: el número máximo de raíces positivas de polinomio, es el número de alteraciones en el signo de los coeficientes y el máximo de las negativas es el número de veces que dos signos + o dos signos

tableció el teorema del factor, es decir que: )(xf es divisible por ax− , con a positivo, si y solo si a es una raíz de

para encontrar raíces racionales de polinomios. Asuntos de la obra del genial francés que no son tan conocidos.

Triángulo de Pascal, que aunque lleva el nombre de este genial

matemático fue usado anteriormente por otros como Tartaglia, Stifel y Stevin.

teorema del binomio, era conocida por los árabes del siglo XIII.

En la teoría de números de la época, el principal impulso lo llegó a realizar Pierre de Fermat (1601-1665), quien partiendo estableció la dirección de los trabajos en esta disciplina matemática por lo menos hasta Gauss. Ya

Se suele reconocer que fue el mejoramiento del simbolismo en el álgebra uno de los resultados relevantes del siglo XVI, aunqu

de su importancia. Por ejemplo, desde el siglo XV, se usó p por más y m por menos, y en el mismo siglo por los alemanes los símbolos de

, años después, objetó que podía ser confundido con la x . Robert Recorde

< y >. Descartes usó .

Probablemente fue Vieta quien realizó el salto más relevante en el simbolismo para el álgebra. Bajo la influencia de Cardano, introdujo letras para designar números de manera sistemática y consistente. Usó consonantes para las cantida

para las desconocidas. Su conciencia del papel del simbolismo y de la naturaleza general del álgebra lo llevó a hacer la famopara separar aritmética y álgebra. Mientras que la numerosa refería a números, la especiosa a un método de operar sobre formas

de cosas o especies, de ahí el nombre precisamente. Es decir, álgebra refiere a tipos generales. Una de las cosas que trató de hacer fue establecer las identidades que había en los textos geométricos griegos de la Antigüedad.

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método de completar cuadrados.

pensó que no era resoluble, sin embargo alrededor del 1500 algunas de ellas fueron

, cuyo nombre era Niccolò Fontana de Brescia (1499 - 1557). Su seudónimo se debía a que quedó tartamudo después de que un soldado francés le cortara la cara. Resolvió varios tipos de

se lo atribuyó con su discípulo Lodovico Ferrari

, por medio de Ferrari.

encontraron métodos para la resolución de las ecuaciones de tercer y cuarto grados. Pero, tiempo después, Vieta, además de la generalización que logró con el simbolismo, exploró un método

Estos métodos desarrollados, de algunas maneras, se enseñan en la teoría elemental de las ecuaciones. Asuntos como la relación entre el grado y el número de

, sugeriría la regla de los signos para las raíces: el número máximo de raíces positivas de 0)( =xP , con )(xP un o dos signos − ocurren sucesivamente. Y,

es una raíz de 0)( =xf . Y por ax+ si a es un

para encontrar raíces racionales de polinomios. Asuntos de la obra del genial francés que no son tan conocidos.

PÁGINA DE UNA OBRA DE TARTAGLIA.

Se suele reconocer que fue el mejoramiento del simbolismo en el álgebra uno de los resultados relevantes del siglo XVI, aunque no se tuviera plena conciencia

por menos, y en el mismo siglo por los alemanes los símbolos de + y − . El símbolo

Robert Recorde (1510-1558) introdujo el signo

Cardano, Tartaglia, Bombelli, Stevin y , introdujo letras para designar números de manera sistemática y consistente. Usó consonantes para las cantidades conocidas y vocales

para las desconocidas. Su conciencia del papel del simbolismo y de la naturaleza general del álgebra lo llevó a hacer la famosa distinción entre logística a un método de operar sobre formas

e hacer fue establecer las identidades




Aunque muchos buscaron mejorar el trabajo de Vieta como Harriot, alfabeto para cantidades conocidas y las últimas para las desconocidas, exactamente como se trabaja ahora (aunque Vieta y Desliterales solo para números positivos).

Leibniz, debe decirse, fue de los matemáticos más preocupados con el simbolismo.

LIBRO DE NAPIER

11.8 Logaritmos: un resultado relevante.

Puede decirse que el resultado más relevante de la aritmética de los siglos XVI y XVII fueron los logaritmos.

Aparentemente, fue Stifel

L,,,,1 32 sss y aquellos de la progresión aritmética formada por sus exponentes:

Al multiplicarse dos términos de la geométrica, el exponente del nuevo término así formado es la suma de los términos correspondientes en la aritmética. La división en la geométrica da la resta en la aritmética.

También Chuquet había notado esto (1484).

Pero fue John Napiercorrespondencia entre las dtrigonometría esférica que se usaba en asuntos de astronomía (de hecho, considera logaritmos de senos). consulta sus resultados al gran astrónomo Canonis Descriptio y Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio

Otro matemático que trabajó con logaritmos fue las cosas, y creó tablas de logaritmos para números cercanos que todavía tienen alguna utilidad.

Un tratamiento similar al de Napiconexión astronómica, fue asistente de Kepler en Praga.

Tiempo después se construyeron otras tablas de logaritmos por vía algebraica, incluso usando series infinitas: Gregory, Lord Brouncker,

11.9 Una nueva relación.-

En este punto es relevante valorar la relación entre álgebra y geometría. Como herencia de los griegos, a pesar de los desarrdependencia de la geometría. El punto de fondo refería a la justificación del álgebra, mejor diprimeramente de encontrar pruebas geométricas para asegurar el álgebra (como

Una dosis mayor de independencia se logró con los trabajos de Vieta y los de Descartes. En un principio el álgebra bussistematizar situaciones de la geometría, en las construcciones. Es ésta la motivación principal que se encuentra en el trabaIsagoge. Se identificaba una contraposición entre álgebra y geometría

Vieta afirmaba el álgebra como un "arte analítico''. El método analítico vislumbrado era asumir lo que se desea probar y por conocidas. Vieta buscó tratar los asuntos de proporciones de las magnitudes por medio del álgebra.

Esta relación mutua entre álgebra y geometría para estudiar las soluciones de problemas geométricos o, inversamente, para congeométricos, también se puede apreciar en obras del discípulo de Vieta, Marino Ghetaldi (1566matematica.

11.10 Biografías.-

LUCA PACIOLI

Luca Pacioli nació en 1445 en Sansepolcro, Italia. Su padre fue Bartolomeo Paciolicon la familia Befolci en Sansepolcro. El pintor Piero della Francesca tenía un estudio y un taller en la ciudad, lo que haceLuca fue su estudiante. Luca se mudó a Venecia en donde trabajó csus estudios matemáticos bajo la tutela de Domenico Bragadino. En 1470, publicó su primer libro sobre aritmética y lo dedicó Rompiansi, el cual murió ese mismo año. Se trasladó a Roma ycosas, secretario en la Chancillería Papal. Gracias a la influencia de Alberti, Luca estudió teología y años después se convide la Orden Franciscana.

A partir de 1477, impartió lecciones en la Universidad de Perugia, Universidad de Zara, Universidad de Nápoles y por último en la Universidad de Roma. Después de dos años en Roma, regresó a su cuidad natal y en 1493 fue invitado a predicar los sermones deCuaresma.

En 1494, Ludovico Sforza se convirtió en el duque de Milán y dos años después invitó a Luca a Milán para que enseñara matemátisu corte. En Milán, Leonardo Da Vinci entabló una estrecha amistad con Luca.

En 1499, Leonardo y Luca abandonaron Milán y se

En 1500, Luca fue elegido para impartir lecciones de geometría en la Universidad de Pisa, donde permaneció hasta 1506, fecha ingresa al monasterio de Santa Croce. También fue nombrado el superior de la Orden Franciscana


Aunque muchos buscaron mejorar el trabajo de Vieta como Harriot, Girard y Oughtred, debe mencionarse que fue Descartes quien usó las primealfabeto para cantidades conocidas y las últimas para las desconocidas, exactamente como se trabaja ahora (aunque Vieta y Des

, debe decirse, fue de los matemáticos más preocupados con el simbolismo.

11.8 Logaritmos: un resultado relevante.-


Stifel el primero en notar la correspondencia entre los términos de la sucesión geométrica

y aquellos de la progresión aritmética formada por sus exponentes: ,2,1,0


También Chuquet había notado esto (1484).

John Napier (1550-1617) quien desarrolló los logaritmos, casi al terminar el siglo XVI, analizando la correspondencia entre las dos progresiones. Su motivación era, como era común en toda esta época, facilitar cálculos en trigonometría esférica que se usaba en asuntos de astronomía (de hecho, considera logaritmos de senos). consulta sus resultados al gran astrónomo Tycho Brahe. Dos obras condensan esos resultados:

Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio, de 1614 y 1619 respectivamente.

Otro matemático que trabajó con logaritmos fue Henry Briggs (1561-1631), quien sugirió el 10 como base, simplificando las cosas, y creó tablas de logaritmos para números cercanos que todavía tienen alguna utilidad.

Un tratamiento similar al de Napier fue realizado por el suizo Joost Bürgi (1552-1632) quien, para que se aprecie la conexión astronómica, fue asistente de Kepler en Praga.

Tiempo después se construyeron otras tablas de logaritmos por vía algebraica, incluso usando series infinitas: , Lord Brouncker, Nicholas Mercator, John Wallis y Edmond Halley ("padre'' del famoso cometa Halley).

En este punto es relevante valorar la relación entre álgebra y geometría. Como herencia de los griegos, a pesar de los desarrdependencia de la geometría. El punto de fondo refería a la justificación del álgebra, mejor dicho del pensamiento algebraico. Los matemáticos trataron primeramente de encontrar pruebas geométricas para asegurar el álgebra (como Cardano, Tartaglia, Pacioli o Ferrari).

Una dosis mayor de independencia se logró con los trabajos de Vieta y los de Descartes. En un principio el álgebra bussistematizar situaciones de la geometría, en las construcciones. Es ésta la motivación principal que se encuentra en el traba

. Se identificaba una contraposición entre álgebra y geometría equivalente a la que existe entre análisis y síntesis.

Vieta afirmaba el álgebra como un "arte analítico''. El método analítico vislumbrado era asumir lo que se desea probar y por roporciones de las magnitudes por medio del álgebra.

Esta relación mutua entre álgebra y geometría para estudiar las soluciones de problemas geométricos o, inversamente, para conl discípulo de Vieta, Marino Ghetaldi (1566-1627): Apollonius Redivivus

Luca Pacioli nació en 1445 en Sansepolcro, Italia. Su padre fue Bartolomeo Pacioli, pero al parecer nunca vivió con Luca, porque vivía con la familia Befolci en Sansepolcro. El pintor Piero della Francesca tenía un estudio y un taller en la ciudad, lo que haceLuca fue su estudiante. Luca se mudó a Venecia en donde trabajó como tutor de los tres hijos de Antonio Rompiansi y en donde continuó sus estudios matemáticos bajo la tutela de Domenico Bragadino. En 1470, publicó su primer libro sobre aritmética y lo dedicó Rompiansi, el cual murió ese mismo año. Se trasladó a Roma y vivió en la casa del humanista Leone Battista Alberti que era, entre otras cosas, secretario en la Chancillería Papal. Gracias a la influencia de Alberti, Luca estudió teología y años después se convi

77, impartió lecciones en la Universidad de Perugia, Universidad de Zara, Universidad de Nápoles y por último en la Universidad de Roma. Después de dos años en Roma, regresó a su cuidad natal y en 1493 fue invitado a predicar los sermones de

n 1494, Ludovico Sforza se convirtió en el duque de Milán y dos años después invitó a Luca a Milán para que enseñara matemátisu corte. En Milán, Leonardo Da Vinci entabló una estrecha amistad con Luca.

En 1499, Leonardo y Luca abandonaron Milán y se instalaron en Florencia.

En 1500, Luca fue elegido para impartir lecciones de geometría en la Universidad de Pisa, donde permaneció hasta 1506, fecha ingresa al monasterio de Santa Croce. También fue nombrado el superior de la Orden Franciscana en Romagna.

17

y Oughtred, debe mencionarse que fue Descartes quien usó las primeras letras del alfabeto para cantidades conocidas y las últimas para las desconocidas, exactamente como se trabaja ahora (aunque Vieta y Descartes usaron los coeficientes


primero en notar la correspondencia entre los términos de la sucesión geométrica

L,4,3,


1617) quien desarrolló los logaritmos, casi al terminar el siglo XVI, analizando la os progresiones. Su motivación era, como era común en toda esta época, facilitar cálculos en

trigonometría esférica que se usaba en asuntos de astronomía (de hecho, considera logaritmos de senos). Napier envió en densan esos resultados: Mirifici Logarithmorum

, de 1614 y 1619 respectivamente.

1631), quien sugirió el 10 como base, simplificando las cosas, y creó tablas de logaritmos para números cercanos que todavía tienen alguna utilidad.

1632) quien, para que se aprecie la

Tiempo después se construyeron otras tablas de logaritmos por vía algebraica, incluso usando series infinitas: James , John Wallis y Edmond Halley ("padre'' del famoso cometa Halley).

ollos en álgebra, siempre había una cho del pensamiento algebraico. Los matemáticos trataron

Una dosis mayor de independencia se logró con los trabajos de Vieta y los de Descartes. En un principio el álgebra buscó servir como un método para sistematizar situaciones de la geometría, en las construcciones. Es ésta la motivación principal que se encuentra en el trabajo de Vieta In Artem Analyticam

Vieta afirmaba el álgebra como un "arte analítico''. El método analítico vislumbrado era asumir lo que se desea probar y por deducción llegar a verdades

Esta relación mutua entre álgebra y geometría para estudiar las soluciones de problemas geométricos o, inversamente, para construir raíces de problemas Apollonius Redivivus y De resolutione et compositione

, pero al parecer nunca vivió con Luca, porque vivía con la familia Befolci en Sansepolcro. El pintor Piero della Francesca tenía un estudio y un taller en la ciudad, lo que hace suponer que

omo tutor de los tres hijos de Antonio Rompiansi y en donde continuó sus estudios matemáticos bajo la tutela de Domenico Bragadino. En 1470, publicó su primer libro sobre aritmética y lo dedicó a

vivió en la casa del humanista Leone Battista Alberti que era, entre otras cosas, secretario en la Chancillería Papal. Gracias a la influencia de Alberti, Luca estudió teología y años después se convirtió en fraile

77, impartió lecciones en la Universidad de Perugia, Universidad de Zara, Universidad de Nápoles y por último en la Universidad de Roma. Después de dos años en Roma, regresó a su cuidad natal y en 1493 fue invitado a predicar los sermones de la

n 1494, Ludovico Sforza se convirtió en el duque de Milán y dos años después invitó a Luca a Milán para que enseñara matemática en

En 1500, Luca fue elegido para impartir lecciones de geometría en la Universidad de Pisa, donde permaneció hasta 1506, fecha en la que en Romagna.




Leonardo da Vinci nació el 15 de abril de 1452 en Vinci, Italia. Su padre fue un florentino adinerado y su madre una mujer de campo. Como era costumbre en la época en que vivió da Vinci, su educación la recibió en casa, aprendió lo elemental acerca de la lectura, escritura y aritmética. En 1467, inició como aprendiz de pintura, escultura y adquirió habilidades técnicas y mecánicas. En 1472, fue aceptado en un gremio de pintores en Florencia, pero trabajó independientemente como pintor. En esos años esbozó bombas, armas militares y otras máquinas.

Entre 1482 y 1499 estuvo al servicio del Duque de Milán, Ludovico Sforza, durante este tiempo se interesó en geometría. Trabajó con Luca Pacioli y dejó por un tiempo la pintura para dedicarse a la geometría. Estudió a Euclides y empezó su propia investigación. Además, dio soluciones mecánicas a algunos problemas. Escribió un libro acerca de la teoría elemental de mecánica alrededor del año 1498.

En 1499, Leonardo junto a Pacioli dejó Milán para irse a Mantua, Venecia y luego a Florencia. En 1506, volvió a Milán y retomó su trabajo científico haciendo diferentes estudios acerca de hidrodinámicos, anatomía, mecánica, matemática y óptica.

LEONARDO DA VINCI

NICCOLÓ FONTANA “TARTAGLIA”

Niccoló Tartaglia nació en el año 1499 en Brescia, República de Venecia. En 1512, casi muere al ser gravemente herido en su rostro, cuando los franceses invadieron su pueblo natal. Su madre lo cuidó y se recuperó, pero por el resto de su vida llevó una barba para cubrir las cicatrices en su cara, además, hablaba con mucha dificultad y de ahí su apodo Tartaglia que significa tartamudo.

Enseñó en Verona y en Venecia y adquirió una reputación de matemático prometedor. En 1535, se dio una competencia entre Tartaglia y Fior, un estudiante de Del Ferro que cuando estaba en el lecho de muerte le informó a su pupilo como resolver una ecuación cúbica. Fior confiado por la información que su maestro le había transmitido, sometió a Tartaglia a una serie de preguntas acerca de estas ecuaciones y en menos de dos horas Tartaglia pudo resolverlas. Fior perdió la competencia. Cardano, que presenció la competencia, le solicitó a Tartaglia su solución para incluirla en su libro, a lo que Tartaglia se negó. En 1539, viajó a Milán a visitar a Cardano y en esta ocasión le reveló la solución. Tiempo después, Cardano junto a su asistente Ferrari publicaron las fórmulas y otras derivaciones de éstas y se acreditó a Del Ferro y a Tartaglia el descubrimiento, aún así Tartaglia estaba muy molesto.

Durante mucho tiempo mantuvo un conflicto abierto con Ferrari y el 10 de agosto de 1548, se llevó a cabo un concurso en la Iglesia del Jardín de Frati Zoccolanti. Al final del primer día Tartaglia iba muy por debajo del nivel de Ferrari, por lo que esa misma noche abandonó Milán y le otorgó a Ferrari la victoria.

Murió el 13 de diciembre de 1557 en Venecia, Italia.

RAFAEL BOMBELLI

Rafael Bombelli nació en enero de 1526 en Bologna, Italia. Sus padres fueron, Antonio Mazzoli, un comerciante de lana y Diamante Scudieri, hija de un sastre. Rafael fue el mayor de seis hermanos. Nunca pudo ingresar a la universidad, pero recibió clases del Ingeniero en arquitectura Pier Francesco Clementi, del cual aprendería su profesión. No se sabe con exactitud, como Bombelli adquirió conocimiento en diferentes trabajos matemáticos, pero se sabe que en Bologna había bastantes eruditos en quien basarse y de quien aprender.

En 1548, su profesor Pier Francesco Clementi, fue llamado para trabajar en la Cámara Apostólica y es probable que Rafael lo haya acompañado en este proyecto. En 1551, trabajó para Alessandro Ruffini cuando este reclamó unas propiedades en los pantanos de Val di Chiana, que eran parte de los Estados Papales. Estuvo involucrado en esto hasta 1555, cuando suspendieron el proyecto. En 1557, inició a escribir un libro de álgebra pero en 1560 cuando el proyecto de Val di Chiana reinició, aún Rafael no había terminado su libro.

En una de sus visitas a Roma, trabajó junto a Antonio Maria Pazzi en la traducción de un manuscrito de Diophantus (Diofanto). La traducción no se terminó por completo pero ésta influyó mucho en la obra de álgebra que Rafael escribió. Su obra consistió en cinco libros, los primeros tres fueron publicados en 1572, y fue hasta 1923, cuando Bortolotti descubrió los manuscritos de los dos últimos libros en la biblioteca de Bologna y los publicó en 1929.

Murió en el año 1572, probablemente en Roma, Italia.

LODOVICO FERRARI

Lodovico Ferrari nació el 2 de febrero de 1522 en Bolonia, Estados Papales (Italia).

A la edad de catorce años fue a la casa de Girolamo Cardano para servirle como sirviente. Cardano al darse cuenta de que el niño sabía leer y escribir lo contrató como su secretario, después de esto decidió impartirle clases de matemáticas ya que vio en él a un joven dotado de inteligencia. Cardano le dio paso a Ferrari a la edad de dieciocho años en la Fundación de Milán en 1540.

Durante mucho tiempo mantuvo un conflicto abierto con Niccoló Tartaglia y el 10 de agosto de 1548, se llevó a cabo un importante debate en Milán. Al final del primer día estaba claro que las cosas no iban de la manera que Tartaglia se las esperaba. De modo que salió de Milán esa misma noche y así Ferrari obtuvo la victoria de la contienda. De esta manera la reputación de Ferrari creció y empezó a recibir numerosas ofertas de empleo.

Retirado como un hombre joven y rico, regresó a su pueblo natal en Bolonia, en donde consiguió una cátedra.

El 5 de octubre de 1565 Ferrari murió debido a envenenamiento de arsénico, supuestamente administrado por su propia hermana.

Simon Stevin nació en el año 1548 en Brujas, Bélgica.

Stevin fue el matemático e ingeniero holandés que fundó la ciencia de hidrostáticos. Antes de ingresar a estudiar, trabajó como librero en Antwerp y después fue empleado de una oficina de impuestos en Brujas. Se mudó a Leiden, donde inició sus estudios en la Escuela Latina, para después ingresar a la Universidad de Leiden en 1583. Mientras estuvo de cabo en la marina holandesa, inventó la manera de inundar las tierras bajas y crear diques con el fin de evitar la entrada del ejército contrario.

Construyó molinos de viento, cerraduras y puertos. También, aconsejó al Príncipe Maurice de Nassau, en la construcción de fortificaciones para la guerra en contra de España. Realizó aportes significantes en trigonometría, geografía, fortificaciones, navegación y mecánica.

Murió en el año 1620 en La Haya, Holanda.

SIMON STEVIN


HOMOTECIA Nº 7 – Año 11 Lunes, 1º de Julio de 2013 19 (VIENE DE LA PÁGINA ANTERIOR)

GEORG JOACHIM VON LAUCHEN RHAETICUS

George Rhaeticus nació el 16 de febrero de 1514 en Feldkirch, Austria. Sus padres fueron Georg Iserin, doctor de pueblo y oficial de gobierno y Tomasina de Porris, una mujer italiana.

Rhaeticus fue educado hasta los catorce años por su padre, hasta que éste fue decapitado. Después de esto Rhaeticus cambió sus apellidos. Aquiles Gasser tomó el puesto de médico en el pueblo y fue quien le ayudó a seguir con sus estudios.

Ingresó a la Escuela Latina en Feldkirch y de 1528 a 1531 estudió en Frauenmuensterschule. En 1533, ingresó a la Universidad de Wittenberg y tres años después recibió una maestría. Philipp Melanchthon le ayudó para que lograra enseñar matemáticas y astronomía en la Universidad de Wittenberg en 1536.

En 1539, Rhaeticus llegó a Frauenberg en Ermland, en donde estuvo por casi dos años al lado de Copérnico. En 1541, Rhaeticus regresó a la Universidad de Wittenberg y fue el decano de la Facultad de Artes. Un año más tarde, obtuvo el puesto de profesor de matemáticas en Leipzig y estuvo allí hasta 1545. Por último, se trasladó a Krakóv por los siguientes veinte años a practicar la medicina.

Murió el 4 de diciembre de 1574 en Kassa, Hungría.

ROBERT RECORDE

Robert Recorde nació en el año 1510 en Tenby, Gales. Estudió en las Universidades de Oxford y Cambridge.

Fue médico particular del Rey Eduardo VI y de la Reina María. Trabajó un tiempo en Irlanda, como Administrador de Minas. Estableció la Escuela Matemática Inglesa y fue uno de los primeros matemáticos en introducir el álgebra a Inglaterra.

Escribió muchos libros; uno de ellos que tuvo mucho éxito fue The Grounde of Artes, publicado en 1540. El libro trataba acerca de la enseñanza de la aritmética. En 1557, publicó su libro The Whetstone of Witte, en el cual aparece el símbolo que hoy conocemos como el igual: '=', se basa en la explicación que dos segmentos de la recta paralela no pueden ser más iguales.

Aún así, este símbolo no fue tan popular cuando Recorde lo incluyó en su libro. Hasta mucho después de 1700, se seguía utilizando el símbolo '||' o el 'ae' o 'oe', derivado de la palabra aequalis que significa igual.

Murió en prisión, preso aparentemente por deudas, en 1558, en Londres, Inglaterra.

John Napier nació en 1550, en Merchiston, Edimburgo, Escocia.

En 1563, John inició sus estudios en la Universidad de St. Andrews a la edad de trece años y fue aquí donde surgió su interés en la teología. No recibió su título en esa universidad porque partió hacia Europa a estudiar. No se sabe con exactitud en que universidades estudió en Europa, pero es muy probable que lo haya hecho en la Universidad de Paris.

En 1571, regresó a Escocia a presenciar el segundo matrimonio de su padre. En 1574, se completó la construcción del castillo de la familia en Gartness y John se fue a vivir ahí con su esposa.

Fue un hombre que desempeñó un papel activo en el ambiente controversial de su época. Como fiel protestante, escribió en 1593, lo que sería su trabajo más importante: un libro acerca del descubrimiento de la revelación. El libro le hizo famoso no sólo en Escocia, sino también en el resto del continente, al ser éste el primer libro en Escocia que trataba sobre la interpretación de la Biblia.

Su contribución a las matemáticas significó un pasatiempo para él, ya que con frecuencia se encontraba trabajando en sus estudios de teología. Uno de sus más reconocidos logros fue la invención de los logaritmos.

Murió el 4 de abril de 1617 en Edimburgo, Escocia.

JOHN NAPIER

FRANCISCO MAUROLICO

Francisco Maurolico nació el 16 de septiembre de 1494 en Messina, Italia. En 1521, a la edad de veintisiete años, se ordenó sacerdote y poco tiempo después ingresó a la orden Benedictina. Toda su vida la pasó en Sicilia a excepción de periodos en que viajó a Roma y a Nápoles. Estuvo a cargo de las fortificaciones de Messina y fue asignado para escribir la historia de Sicilia.

Escribió muchos libros importantes acerca de matemáticas griegas, restauró y tradujo muchos textos de Theodosius, Menelaus, Autolycus, Euclides, Apollonius y Arquímedes. También, realizó trabajos en geometría y estudió con profundidad la teoría de números, las ópticas, la mecánica y la astronomía. Publicó los métodos para medir la Tierra y éstos fueron usados por Jean Picard en 1670.

Murió el 22 de julio de 1575 en Messina, Italia.

ALBERT GIRARD

Albert Girard nació en 1595 en St. Mihiel, Francia.

A los veintidós años ingresó a la Universidad de Leiden, donde estudió matemáticas a pesar de que sus mayores intereses eran la música y el laúd. Basó sus estudios en álgebra, trigonometría y aritmética y a los treinta y un años publicó un tratado en trigonometría en donde por primera vez se utilizan las abreviaciones sin, cos, tan.

Como la mayoría de los matemáticos de su época, Girard estaba interesado en las aplicaciones militares de la matemática.

Aparentemente, Girard fue por un tiempo ingeniero del ejército holandés, después de haber publicado su estudio trigonométrico. Gassendi, al referirse a Girard, cuando éste murió, dijo que él prefirió morir describiéndose como un ingeniero que como un matemático.

El día de su muerte fue el 8 de diciembre de 1632 en Leiden, Países Bajos.



GIROLAMO CARDANO

Girolamo Cardano nació el 24 de septiembre de 1501 en Pavía, Ducado de Milán, Italia. Fue hijo ilegítimo de Fazio Cardano y Chiara Micheria. Su padre fue abogado en Milán, pero tenía amplios conocimientos en geometría, tanto que algunas veces fue consultado por Leonardo Da Vinci. Fue mucho tiempo después de que Cardano nació, que sus padres se casaron. De joven, trabajó de asistente de su padre, pero debido a que era débil de salud el trabajo se volvió muy pesado para él. Su padre le había enseñado matemáticas y esto despertó el deseo en Cardano de estudiar en la universidad, después de una disputa su padre aceptó que ingresara a la Universidad de Pavía a estudiar medicina. Cuando la guerra inició, la universidad fue cerrada y Cardano se trasladó a la Universidad de Padua a completar sus estudios. Poco tiempo después su padre murió. Inició a apostar el poco dinero que le había dejado su padre para incrementar su capital y a pesar de que sus conocimientos en probabilidad le ofrecían una ventaja, en poco tiempo el juego se convirtió en su peor vicio. En una ocasión al creer que su oponente le hacía trampa, Cardano le acuchilló la cara, lo que sin duda dañaría su reputación.

En 1525, obtuvo su doctorado en medicina y aplicó para ingresar al Colegio de Médicos de Milán, en donde no fue aceptado debido a su mala reputación y al hecho de que era un hijo ilegítimo.

En 1531, se casó con Lucía, hija del capitán Aldobello Bandarini. Después de no tener éxito en su práctica de medicina y de encontrarse en serios problemas económicos, solicitó el puesto que sostuvo su padre en la Fundación Piatti. Este puesto, en adición con curaciones consideradas casi milagrosas, hizo que su reputación mejorara notablemente.

HENRI BRIGGS

Henri Briggs nació en febrero del año 1561 en Warleywood, Yorkshire, Inglaterra. A pesar de que su fecha de nacimiento fue registrada por la Iglesia Halifax, J. Mede describe la muerte de Briggs a los setenta y cuatro años, con lo que propone su fecha de nacimiento en 1556. Su hermano Richard, fue director de la escuela en Norfolk y tuvo amigos de la altura de Ben Jonson, dramaturgo, poeta y crítico literario. Briggs, asistió a una escuela cerca de Warleywood, en donde estudió Griego y Latín.

En 1577, ingresó al Saint John's College de la Universidad de Cambridge. En 1581, recibió el título de bachillerato y cuatro años más tarde su maestría. En 1588, fue elegido miembro del San John's College. En 1592, se le acreditó como profesor conferencista de física, puesto fundado por el Dr. Linacre. Además, ese mismo año fue asignado conferencista de matemáticas en Cambridge. En 1596, se convirtió en el primer profesor de geometría en Gresham College en Londres, puesto que mantuvo por veintitrés años.

Alrededor del año 1609, se hizo amigo de James Ussher, amistad que mantendría por mucho tiempo. En 1615, viajó a Edimburgo a conocer a Napier para trabajar en su estudio de logaritmos. En 1619, Savile fundó el puesto de presidencia de geometría en Oxford, puesto que Briggs ocuparía poco tiempo después. Fue el responsable de la aceptación científica de los logaritmos en el mundo. Se dice que era un hombre modesto, justo y de carácter agradable.

Murió el 26 de enero de 1630 en Oxford, Inglaterra.

MICHAEL STIFEL

Michael Stifel nació en el año 1487 en Esslingen, Alemania. Asistió a la Universidad de Wittenberg donde obtuvo una maestría.

Dedicó su vida a la religión y en 1511, fue ordenado en el Monasterio Agustino en Esslingen. Sin embargo, no estuvo satisfecho con la fe católica y se decía infeliz al vivir con el dinero de los pobres, así que en 1522, fue forzado a salir del monasterio. Ingresó entonces, a la orden de los Luteranos y vivió en la casa de Martín Lutero por un tiempo.

En 1523, obtuvo la posición de pastor y cinco años después fue enviado a una parroquia en Lochau. Cometió el error de predecir el final del mundo, por lo que fue arrestado y destituido del puesto.

En 1535, fue a una parroquia en Holzdorf y se estableció ahí por doce años.

En 1 547, en la guerra religiosa de Schmalkaldic, Stifel fue forzado a salir de nuevo de su parroquia. Se mudó a Prusia y obtuvo una parroquia en Königsberg. Stifel comienza a impartir conferencias de matemáticas y teología en la Universidad de Königsberg.

En 1559, obtuvo un puesto en la Universidad de Jena en donde impartió conferencias de aritmética y geometría.

Murió el 19 de abril de 1567 en Jena, Alemania.

11.11 Síntesis, análisis, investigación.-

1. Explique las implicaciones de la caída de Constantinopla para la Europa Occidental en lo que se refiere a la ciencia y la cultura. 2. Estudie el siguiente texto:

"La Reforma y la Contrarreforma, a la par, representan la rebelión de naciones menos civilizadas contra el dominio intelectual de Italia. En el caso de la Reforma, la rebelión fue también política y teológica: la autoridad del Papa se rechazaba y el tributo que había obtenido por el Poder de las llaves dejó de ser pagado. En el caso de la Contrarreforma, hubo solamente una rebelión contra la libertad moral e intelectual de la Italia del Renacimiento; el Poder del Papa no era disminuido, sino exaltado, mientras que al mismo tiempo, era evidente que su autoridad era incompatible con la cómoda relajación de los Borgias y de los Médicis. Hablando en términos generales, la Reforma fue alemana y la Contrarreforma, española; las guerras de religión fueron, al mismo tiempo, guerras entre España y sus enemigos, coincidiendo con el período en el que el poder de España estaba en su apogeo''. [Russell, Bertrand: Historia de la Filosofía Occidental, Tomo II: La Filosofía Moderna, p. 143].

Describa con mayor detalle qué fueron la Reforma y la Contrarreforma. Consulte otra bibliografía. Comente la posición de Russell. 3. Explique la relación entre navegación y astronomía. 4. ¿Qué fue lo más importante del Renacimiento con relación al progreso de la cultura y el conocimiento?

5. Comente la existencia de un mayor acercamiento entre las tradiciones eruditas y artesanales durante el Renacimiento. 6. Comente la relación entre matemáticas y las técnicas de la perspectiva en pintura. Lea con cuidado el siguiente texto:




"El prefacio de este 'Curso del arte de la medición', que, como el tratado sobre proporciones humanas, está dedicado a Pirckheiner, es la primera exposición pública de la duradera convicción de Durero, que se repetiría más de una vez a la que se aludirá en alguno de sus puntos en nuestras discusiones: que los pintores alemanes eran iguales a los demás en habilidad práctica ('Brauch') y en poder imaginativo ('Gewalt'), pero que eran inferiores a los italianos --que habían 'descubierto' de nuevo, doscientos años atrás, el arte venerado por los griegos y los romanos y olvidado durante mil años-- según un conocimiento racional ('Kunst') que les evitaba los 'errores' y 'falsedades' de su trabajo. 'Y puesto que la geometría es el verdadero fundamento de la pintura', Durero continúa: 'He decidido enseñar sus rudimentos y principios a todos los jóvenes ávidos de arte... Espero que mi empresa no sea criticada por ningún hombre razonable, ya que... puede no sólo beneficiar a los pintores sino también a los orfebres, escultores, picapedreros, carpinteros, y a todos aquellos que tengan que confiar en la medición.'

Por lo tanto, el 'Unterweisung' es un libro de uso práctico y no un tratado de matemática pura. Durero quería ser comprendido por artistas y artesanos. Ya se ha mencionado que adaptó el lenguaje antiguo técnico de éstos, y él mismo lo utilizó. Le gustaba explicar las deducciones posibles de un proyecto conocido, incluso si tenía que interrumpir su contextura sistemática, como cuando enseña el uso de la espiral construida para capiteles o para báculos de obispo laminados. Se abstiene de divagaciones eruditas y da sólo ejemplo --el primero de las letras alemanas-- de una rigurosa experiencia matemática. Pero por otra parte sus amigos eruditos le tuvieron informado de aquellas nuevas ideas y problemas --para citar del excelente Johannes Werner, al que Durero parece estar obligado por más de un motivo-- que 'desde Grecia habían vagado hasta los geómetras latinos de su época'. Además de su conocimiento directo de Euclides, había establecido contacto con el pensamiento de Arquímedes, Herón, Sporus, Tolomeo y Apolonio; y más importante que todo esto, es que fue un geómetra nato. Tenía idea clara del infinito (por ejemplo, cuando dice que una línea recta 'puede ser prolongada indefinidamente, o que al menos así puede considerarse', o cuando distinguió entre paralelismo y convergencia asintótica, subrayó la diferencia básica entre una figura geométrica en lo abstracto y su realización concreta a pluma y tinta (el punto matemático, dice, no es un 'punto' en todo caso pequeño, sino que puede ser 'situado mentalmente tan alto o tan bajo, que ni siquiera podamos llegar a él físicamente', y lo que se aplica al punto, se aplica a las líneas a fortiori; nunca confundió las construcciones exactas con las aproximadas (siendo las primeras exactamente 'demonstrative', y las últimas meramente 'mechanice'); y presentó su material en perfecto orden metódico. El primer libro, que empieza con las definiciones usuales, trata de los problemas de geometría lineal, desde la línea recta hasta las curvas algebraicas que ocuparían a los grandes matemáticos del siglo XVII; Durero incluso se atreve con las construcciones de hélices, concoides (muschellinie, 'líneas en concha') y epicicloides (Spinnenlinie, 'líneas en tela de araña'). Uno de los rasgos más interesantes del Primer Libro es el primer estudio en alemán sobre secciones cónicas, cuya teoría acababa de ser revivificada, basándose en fuentes clásicas. Sin duda, Durero debe su familiaridad con los términos y descripciones de Apolonio (parábola, hipérbola y elipse) al mencionado Johannes Werner, que vivió en Nuremberg y cuyo valioso Libellus super viginti duobus elementis conicis había aparecido en 1522, tres años antes al 'Unterweisung der Messung'. Pero Durero se acercó al problema de un modo completamente diferente al de Werner o de cualquier matemático profesional. En vez de investigar las propiedades matemáticas de la parábola, hipérbola y elipse, trató de imaginarlas justo como había tratado de construir sus espirales y epicicloides; y logró esto por medio de la ingeniosa aplicación de un método familiar a todos los arquitectos y carpinteros, pero nunca aplicado anteriormente en la resolución de un problema puramente matemático, dejando aparte los problemas ultramodernos de secciones cónicas: el método de proyección paralela. Representó el cono, cortado según el caso, en elevación lateral y en el plano horizontal y trasladó un número suficiente de puntos de la primera representación a la última. Entonces la hipérbola normal --producida por una paralela en sección transversal al eje del cono-- puede ser interpretada directamente, cuando se desarrolla una elevación central de los otros dos diagramas, mientras que las parábolas y elipses prolongadas por secciones oblicuas y apareciendo por lo tanto en reducción en cualquier diagrama, excepto en la elevación lateral, deben ser obtenidas alargando proporcionalmente sus ejes principales. Por más superficial que sea este método, que puede ser llamado genético en oposición al descriptivo, anuncia, en cierto modo, el procedimiento de la geometría analítica y no dejó de llamar la atención a Kepler, quien corrigió la única falta cometida por Durero en su análisis. Como un colegial, Durero encontró difícil imaginar que una elipse fuera una figura perfectamente simétrica. No pudo substraerse a la idea de que se ensanchaba en proporción con la abertura del cono y falseaba involuntariamente la construcción hasta que terminaba en una 'Eierline ' ('línea en huevo') y no en una elipse correcta, más estrecha en la parte superior que en la inferior. Incluso con los primitivos métodos de Durero, el error pudo haber sido evitado fácilmente. El que fuera cometido, no sólo hace notar un conflicto importante entre el pensamiento geométrico abstracto y la imaginación visual, sino que también prueba la independencia de Durero en sus investigaciones. Después de la publicación de su libro, inventó un ingenioso compás, que le hubiera evitado dicho error, pero es innecesario decir que este instrumento resuelve el problema de la elipse sólo 'mechanice ' y no 'demonstratiive' ''. [Panofsky, Erwin: "Durero como matemático'', p. 206, 207, 208].

Describa los aportes de Durero a las matemáticas. 7. ¿Cuál fue la contribución de Gerardus Mercator a las matemáticas? 8. Comente la relación entre navegación y matemáticas.

9. ¿Para qué se desarrollaron las tablas trigonométricas con mayor precisión? 10. ¿Cuál es la obra más importante de Cardano? 11. ¿Quiénes resolvieron las ecuaciones de tercer y cuarto grados? Explique.

12. Mencione algunas contribuciones de Vieta al álgebra. Comente su propuesta de la utilización de un método analítico. 13. ¿Cuál fue la razón social o cultural más importante para la creación de los logaritmos?

Continuará en el próximo número…


MMMAAARRRKKK OOOLLLIIIPPPHHHAAANNNTTT Nació el 8 de octubre de 1901 en Kent Town, Adelaida; y murió el 14 de julio de 2000 en Canberra,

ambas poblaciones de Australia.

Físico, conocido por ser el inventor del sincrociclotrón y por descubrir el tritio y el isótopo del helio.

Fuentes: Biografías y Vidas. Consulta: Enero 13, 2012.

MARK OLIPHANT (1901-2000)

Quinto hijo de un funcionario y una artista, sus estudios, comenzados en la Universidad de Adelaida, estuvieron encaminados hacia la medicina y la química,

pero un buen profesor de física, Roy Burdon, y la lectura de los descubrimientos del neozelandés Ernest Rutherford sobre la radiactividad y el núcleo atómico

hicieron virar su interés hacia la física. Se financió los estudios trabajando en una biblioteca pública local hasta que consiguió una beca de estudios como

ayudante en el departamento de física de su Universidad, donde se graduó en 1922.

En 1927 consiguió una beca como ayudante de Rutherford en el laboratorio Cavendish de la Universidad de Cambridge, en el Reino Unido. Comenzó

investigando los procesos de desintegración artificial y los mecanismos de ionización, y leyó su tesis doctoral dos años después.

El Laboratorio Cavendish era por entonces uno de los centros de investigación en física atómica más activo del mundo, en el que sorprende que a pesar de su

falta de medios se realizaran grandes descubrimientos, entre los que cabe citar el descubrimiento del neutrón (Chadwick, 1932), la fisión artificial por

bombardeo (Cockcroft y Walton, 1932), y la detección del positrón (Blackett, 1932), todos ellos galardonados con respectivos premios Nobel.

Rutherford y Oliphant colaboraron en estos experimentos con la construcción de un acelerador de iones positivos y un ciclotrón, entre otros aparatos

científicos, supliendo la escasez de medios con imaginación: una lata de galletas y otra de café formaban parte importante de ambos aparatos.

Ambos investigadores decidieron profundizar en el experimento de Cockroft y Walton, y como consecuencia de sus trabajos descubrieron el isótopo del

hidrógeno tritio y el isótopo del helio, ambas especies producidas de forma artificial por bombardeo iónico sobre láminas de litio, berilio y otras especies

químicas. En la explicación teórica del trabajo se pudo establecer el mecanismo de la fusión nuclear; en definitiva, el mecanismo básico de la bomba de

hidrógeno.

En 1937 se trasladó a la Universidad de Birmingham, donde estableció el primer programa universitario de física nuclear y emprendió la construcción de un

ciclotrón. Al comenzar la Segunda Guerra Mundial, participó en el equipo que desarrolló el radar de microondas, y en 1943 se trasladó a los Estados Unidos,

donde participó, junto con Ernest Lawrence, en el desarrollo del método electromagnético de separación isotópica, enmarcado en el conocido proyecto

Manhattan, en la Universidad de Berkeley. Fruto de esta colaboración surgió el sincrociclotrón en 1943.

Pese a todo, siempre se opuso a la construcción de armas nucleares. Abandonó el proyecto en abril de 1945 y se convirtió en un apasionado defensor de los

usos pacíficos de la energía atómica. Finalizada la contienda, volvió a la Universidad de Birmingham, donde fue vicerrector entre 1948 y 1949 y construyó el

sincrotrón de protones. En 1950 se trasladó a la Universidad Nacional de Australia como Director de la Escuela de Investigaciones Físicas. Fundó la Academia

de Ciencias de Australia, de la que fue su primer director entre 1954 y 1956.

Se retiró de la vida académica en 1967. En 1971 fue nombrado gobernador del estado de Australia del Sur y emprendió una importante y muy valorada

renovación de la vida académica. Terminado su mandato en 1976, se retiró también de la vida pública.

Entre los múltiples galardones que jalonan su trayectoria profesional, merecen destacarse la Medalla Hughes concedida por la Real Sociedad en 1943,

institución que lo aceptó como miembro en 1937, la Medalla Faraday del Instituto de Ingenieros Eléctricos en 1948, la Medalla Galathea, concedida por la

corona danesa en 1956, y la Medalla James Cook de la Real Sociedad de Nueva Gales del Sur en 1974.

Imágenes obtenidas de:


Marco AurelioMarco Aurelio Antonino (121

poderoso de su época. Ello no le impidió ser uno de los grandes filósofos estoicos de la

antigüedad. El estoicismo fue la filosofía más influyente en el Imperio romano a

ascenso del cristianismo. La base de su ética es que el bien no está en los objetos externos,

sino en la sabiduría y dominio de uno mismo. En su obra

subrayó las virtudes del saber, la justicia, la fortaleza y la modera

AAvveerrrrooeess Médico y filósofo hispanomusulmán nacido en Córdoba (1126

demasiado a las autoridades de su tiempo, siendo

posición de musulmán, defendió que una cosa era la filosofía y otra la religión, y que

tenían que enfrentarse sus argumentos, pero

prevalecer la razón por encima de la religión. Introdujo el pensamiento

y se le reconoce como uno de los grandes pensadores de

MMaaiimmóónniiddMédico y filósofo (1135

establecer acuerdos entre

que no gustó a los judíos más ortodoxos o fundamentalistas, qu

encima de la racionalidad. Su

filósofo. Escribió sobre astronomía, lógica y matemáticas

filósofos cristianos

Fuente: Microsoft ® Encarta ® 2009. © 1993--2008 Microsoft Corporation


Marco Aurelio Marco Aurelio Antonino (121-180 d.C.) fue emperador romano y, por tanto, el hombre más


antigüedad. El estoicismo fue la filosofía más influyente en el Imperio romano a


sino en la sabiduría y dominio de uno mismo. En su obra Pensamientossubrayó las virtudes del saber, la justicia, la fortaleza y la modera

Médico y filósofo hispanomusulmán nacido en Córdoba (1126-1198). Sus ideas no gustaron

siendo desterrado de la ciudad por hereje. Desde su

que una cosa era la filosofía y otra la religión, y que por lo tanto no

, pero lo que incomodaba a las autoridades era que hacía

la razón por encima de la religión. Introdujo el pensamiento aristotélico en Occidente,

se le reconoce como uno de los grandes pensadores de la edad media. CORBIS

ddeess Médico y filósofo (1135-1204) nacido en Córdoba. Interesado, desde una posición judía, en

establecer acuerdos entre la filosofía y la religión, haciendo prevalecer

gustó a los judíos más ortodoxos o fundamentalistas, quienes

encima de la racionalidad. Su alto prestigio como médico era similar al que se le reconocía

ibió sobre astronomía, lógica y matemáticas. Ejerció

filósofos cristianos tales como santo Tomás de Aquino y san Alberto Magno.

2008 Microsoft Corporation. Consulta: Octubre 7, 2012.

Imágenes obtenidas de:

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180 d.C.) fue emperador romano y, por tanto, el hombre más


antigüedad. El estoicismo fue la filosofía más influyente en el Imperio romano antes del


Pensamientos, Marco Aurelio

subrayó las virtudes del saber, la justicia, la fortaleza y la moderación.

resado, desde una posición judía, en

haciendo prevalecer el uso de la razón, posición

hacían prevalecer la fe por

alto prestigio como médico era similar al que se le reconocía como

. Ejerció una gran influencia sobre

como santo Tomás de Aquino y san Alberto Magno.


ROBERT WAYNE THOMASON

Nació el 5 de noviembre de 1952 en Tulsa, Oklahoma, E. E. U. U. Murió en noviembre de 1995 en París, Francia.

CCaammppoo ddee IInnvveessttiiggaacciióónn::

K-Teoría algebraica, Topología Algebraica, Teoría de Categorías.

Obtiene el doctorado en Princeton en 1977 bajo la tutoría de John Moore. Trabajó en el Instituto de Tecnología de

Massachussets y en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton. En 1983 pasa la Universidad John Hoptkins donde

publicó excelentes trabajos científicos, resolviendo algunos problemas planteados sobre estructuras homotópicas por

Grothendieck en décadas anteriores. Trabajando después en la Universidad de Rutgers hizo algunos descubrimientos de

gran importancia en colaboración con Thomas Trobaugh. Reconocido internacionalmente obtuvo la dirección del Congreso

Internacional de Kioto en 1990. Diabético, falleció prematuramente en 1995, en su época de trabajo en la Universidad de

París.

Fuentes: • Wikipedia.

Versión en español de artículo escrito por: J. J. O'Connor y E. F. Robertson. URL: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/References/Thomason.html Consulta: Enero 14, 2012.

Robert Thomason entró en la Universidad de Michigan en 1971 para estudiar la licenciatura en matemáticas. Se graduó en 1973 y luego fue a la Universidad de Princeton para estudiar su doctorado. Su tutor en Princeton fue John Moore y escribió una tesis sobre la teoría de la categoría en la que produjo resultados que se convertirían en herramientas fundamentales en topología.

Después de graduarse de doctor en junio de 1977, Thomason fue nombrado Instructor Moore en el Instituto de Tecnología de Massachusetts (MIT, por sus siglas en inglés). Este fue un compromiso por dos años y Thomason permaneció allí hasta que tomó un puesto por tres años como Profesor Asistente Dickson en la Universidad de Chicago en 1979.

Sin embargo, las cosas no le fueron bien a Thomason en la Universidad de Chicago. Mientras trabajaba sobre las conjeturas Quillen-Lichtenbaum conectadas desde la K-teoría a la cohomología Étale, Thomason produjo lo que se creía era una prueba notable. Pero lamentablemente para él, en 1980 se le encontró un error a dicha prueba y en [4]:

... Thomason comenzó a sentirse incómodo con el escepticismo expresado por otros. Percibía esto como una persecución, por lo que renunció a su puesto en Chicago en junio de 1980.

Durante los dos años posteriores de la renuncia de Thomason a Chicago, pasó algún tiempo en el Instituto de Tecnología de Massachusetts y un año en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton. Este fue un tiempo matemáticamente rentable para él y fue capaz de completar los resultados que habían salido mal en la prueba de Chicago, junto con algunas otras piezas importantes de trabajo.



El siguiente paso de Thomason fue entrar a trabajar en la Universidad Johns Hopkins, donde fue nombramiento data de 1983.

Durante los seis años que pasó allí realizó una serie de trabajos, entre otros, sobre problemas derivados del trabajo de Grothendieck con Berthelot y Illusie Théorie des Intersecciones et Théorème de Riemann-Roch (1971). Por ejemplo, en un documento de 1983, se encontró una solución parcial a la conjetura de la pureza cohomológica absoluta de Grothendieck.

Durante su estancia en la Universidad Johns Hopkins, Thomason fue premiado con una Beca Sloan, que le permitió pasar el año 1987 en la Universidad de Rutgers. Thomason pasó tres años trabajando sobre los problemas de Grothendieck antes mencionados. En [4] una historia más notable sobre este trabajo, es la siguiente:

Mientras estuvo en Rutgers, puso todo en su lugar a excepción de un solo paso... El 22 de enero de 1988, tuvo un sueño en el que su recientemente fallecido amigo Thomas Trobaugh le dijo cómo resolver el paso final.... Despertó sobresaltado, elaboró el argumento para el paso que faltaba. En agradecimiento, mencionó a su amigo como coautor del documento resultante.

La importancia de este trabajo fue reconocida cuando Thomason fue elegido para pronunciar un discurso en el Congreso Internacional de Matemáticos en Kioto en 1990.

En octubre de 1989 Thomason fue nombrado para un cargo en el laboratorio de Max Karoubi en la Universidad de París VII. Él continuó la producción de un trabajo sobresaliente, publicando seis trabajos antes de su muerte en 1995. Tenía problemas de salud que lo iban a llevar a la muerte [4]:

Bob tenía diabetes y siempre controlaba rigurosamente lo que comía. Ir a un restaurant con Bob era un asunto difícil, porque no comía algo hasta que estaba seguro de que no contenía ningún componente no nutricional. A principios de noviembre de 1995 [Algunos relatos dicen que a finales de octubre]1, justo antes de su cumpleaños 43, entró en shock diabético y murió en el apartamento donde vivía en París.

El primer resultado importante de Thomason se refería a una prueba de que todas las máquinas espaciales de bucle infinito, producían resultados equivalentes. Trabajando con J. P. May, escribió el artículo La singularidad de las máquinas espaciales de bucle infinito. Citando el documento:

Una máquina espacial de bucle infinito es un funtor que construye espectros de... datos de nivel espacial. Hay muchas máquinas como estas conocidas..., ellas se dan por tales construcciones topológicas extensamente muy dispares lo que aleja de ser obvio que se tornen en espectros equivalentes cuando se alimentan de los mismos datos. El propósito de este trabajo es demostrar que todas las máquinas que satisfacen ciertas propiedades razonables, de hecho, a su vez se tornan en espectros equivalentes.

Thomason luego desarrolló un material que había estudiado para su doctorado, teniendo en cuenta la teoría de la categoría homotópica de las categorías pequeñas y la teoría de la categoría homotópica de las categorías monoidales simétricas pequeñas.

Ya hemos mencionado los resultados de Thomason sobre las conjeturas Quillen-Lichtenbaum conectadas desde la K-teoría a la cohomología Étale que logró de 1980 a 1983. Un revisor de su trabajo algebraico K-teoría y la cohomología Étale (1985) escribió:

Este trabajo es uno de los más importantes en la K-teoría algebraica desde el trabajo de D. Quillen... en 1972. Versiones del documento ha circulado en forma manuscrita por varios años y es bueno ver que finalmente aparecen. El documento es importante tanto por los resultados comprobados, y como por las técnicas utilizadas. El autor lleva las aplicaciones de la homotopía estable y el álgebra homotópica a la K-teoría algebraica y a la geometría algebraica más que nadie y sus métodos han ejercido una influencia considerable sobre los demás investigadores en este campo.


1 N. E.: Por esta situación es la incertidumbre sobre su fecha de fallecimiento. No existe documento que la certifique.



El trabajo de Thomason durante los siguientes tres años fue sobre la K-teoría algebraica de los equivariantes. Trabajó sobre la K-teoría algebraica de las acciones de los grupos algebraicos sobre esquemas. Él produjo un teorema publicado en 1988, sobre el que dijo ser:

... una de las herramientas más importante y poderosa en la K-teoría algebraica. También es uno de las más codiciadas. Mucho trabajo se ha hecho en los intentos de extender el teorema de localización de Quillen a los contextos más generales, pero ninguno se ha acercado a la completa generalidad como se ha logrado en este trabajo.

En 1990 contribuyó con la presentación de un documento (el que fue escrito después de soñar con Thomas Trobaugh y a quien incluyó como co-autor) a la Festschrift Grothendieck, el cual se considera un "documento histórico".

Thomason resolvió un problema en 1995 que había sido planteado por Grothendieck. El problema en cuestión se refría al levantamiento de una estructura homotópica. Él dio una conferencia sobre este resultado en Génova, a sólo unas tres semanas antes de su muerte. Nunca escribió estos resultados para su publicación.

Weibel reseña un perfil de Thomason en [4]:

Al igual que muchos de sus colegas, Bob Thomason odiaba gastar energía en cosas triviales, como la moda. Tomó la decisión al principio de su vida de vestir sólo con ropa de color negro, simplificando así esta parte de su vida. Con su barba puntiaguda, que ante los extranjeros se veía como un poeta beat, pero entre los matemáticos se le reconocía como uno de los mayores talentos de su generación. Pocos han tenido la comprensión simultánea de la topología, la geometría algebraica y la K-teoría como Thomason lo hizo.

Referencias.-

1. A Bak, Anthony y C. A. Weibel, A tribute to Robert Wayne Thomason (1952-1995), K-Theory 12 (1) (1997), 1-2.

2. I. Moerdijk, Robert W. Thomason, 1952-1995, Theory Appl. Categ. 2 (1996), Editorial Notice, 1-2.

3. V. Snaith, Robert Wayne Thomason : 1952-1995, in Algebraic K-theory Toronto, 1996 (Providence, RI, 1997), ix-xiii.

4. C. A. Weibel, Robert W. Thomason (1952-1995), Notices Amer. Math. Soc. 43 (8) (1996), 860-862. http://www.ams.org/notices/199608/comm-thomason.pdf

5. C. A. Weibel, The mathematical enterprises of Robert Thomason, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 34 (1) (1997), 1-13. http://www.ams.org/bull/1997-34-01/S0273-0979-97-00707-6/S0273-0979-97-00707-6.pdf

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