XIV. TALLER DE ARTE Y GEOMETRÍA EN EL CICLO SUPERIOR DE...

XIV. TALLER DE ARTE Y GEOMETRÍA EN EL CICLO SUPERIOR DEPRIMARIA II: TRIÁNGULOS1 (2ª PARTE)

Edelmira Badillo y Mequè Edo

Con respecto a la segunda y tercera parte de esta Actividad 6 –que está centrada en el estu-dio de las alturas de un triángulo y el ortocentro– más que hacer un análisis exhaustivo de laactividad matemática de los niños que participaron en esta experiencia, queremos dar ciertaspistas así como una fundamentación matemático-didáctica. Con ellas, los maestros interesadosen profundizar y poner en práctica el desarrollo de esta actividad dispondrán de un referentepara gestionar la complejidad que implica la comprensión de conceptos tan complejos en estenivel de escolaridad.

De hecho, nosotros implementamos en la clase de quinto la segunda parte de la actividad ylos resultados sobre el trazado de las alturas de un triángulo sólo fueron positivos para un grupomuy reducido de niños de la clase. Precisamente, a este grupo reducido de niños, se le ofrecióla opción de trabajar en casa, con la tutorización de la maestra, la tercera parte de la actividadcentrada en el ortocentro.

Creemos conveniente resaltar que lasinvestigaciones en didáctica de las mate-máticas han arrojado muchos resultadossobre la dificultad que tienen los alumnosde Primaria, Secundaria, Bachillerato –eincluso futuros maestros y maestras de Pri-maria– en la comprensión del conceptode altura y el trazado de las alturas de untriángulo (Azcárate, 1997).

Esta misma autora señala que muchosde los errores que tienen los estudiantesa la hora de definir el concepto de altu-ra están fuertemente influenciados porlas experiencias previas que han tenidobien en la escuela (clase de Geometría),bien por la influencia de los libros detexto.

Al diseñar esta actividad pensamosque como punto de partida podríamosutilizar el geoplano para que los alumnosmanipularan y construyeran los diferentestipos de triángulos que presentábamos enla situación 2 y reflexionaran alrededor dedos interrogantes.

PRAXIS 1

1. Estas orientaciones didácticas que a continuación reproducimos están relacionadas con la experiencia «Tallerde Arte y Geometría en el Ciclo Superior de Primaria: Ángulos» de esta obra. Asimismo, constituyen la 2ª parte de laspublicadas en actualizaciones anteriores.

Taller de Arte y Geometría

Wolters Kluwer España 2

¿Qué partes del triángulo se mantienen y qué partes cambian?

Todos los alumnos en general, después de reproducir la figura, eran capaces de ver que lostriángulos tenían «la base igual», y sólo un grupo reducido pudo inferir que también tenían «laaltura igual». Incluso podían dar un valor de la medida de las mismas (h=3 unidades y b=3 uni-dades). Con relación a las partes que cambian, la mayoría respondían que los vértices, los ladosy los ángulos.

Sin embargo, ningún grupo hizo referencia ni al área ni al perímetro de los triángulos, sinoque se centraron en los elementos de los triángulos que hasta ahora habíamos trabajado en eltaller.

Analiza dónde se encuentran las alturas de cada triángulo. Sugerencia: fíjate por lomenos en una de ellas.

Al responder a esta pregunta los alumnos inmediatamente se centraban en «la altura deltriángulo», incluso hacían preguntas inocentes, pero cargadas de un gran contenido conceptual,como: «Señorita, ¿sólo tiene una, no?» Pues, en el triángulo acutángulo está dentro, en el trián-gulo rectángulo es un lado y en el triángulo obtusángulo está fuera.

Creemos conveniente resaltar que nuestro objetivo con esta actividad era intentar sacarlas ideas previas que los alumnos tenían de las alturas de un triángulo e ir movilizándolas,en lo posible, hacia un esquema más rico y variado de este concepto, pero en ningún momen-to nos planteamos que todos los alumnos llegaran a trazar las tres alturas de un triángulo correc-tamente. Por tanto, las respuestas a la situación 3 las valoramos como positivas, porque sí quenos permitieron que emergieran en el aula los esquemas que los alumnos de quinto de Prima-ria tienen sobre el concepto de altura de un triángulo y su trazado. A continuación presentare-mos cuatro ejemplos de las producciones de los grupos resaltando algunos aspectos que debentenerse en cuenta y evitar a la hora de diseñar una secuencia didáctica para el aprendizaje deeste concepto:

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– La confusión que muestran los estudiantes al asociar la altura con la verticalidad (ejemplos2 y 4). Este error está fuertemente influenciado por la manera en que usualmente se presentanlas representaciones de los triángulos en la clase de Geometría y en los libros de texto, siemprecon «la base» en posición horizontal.

– El error del trazado de una sola altura del triángulo que generalmente se asocia con la ver-tical (Azcárate, 1997).

Inicialmente, ninguno de los grupos trazó correctamente las alturas de un triángulo y lamayoría consideraba que un triángulo tiene sólo una altura que asociaban directamente con laverticalidad. Por ese motivo decidimos centrarnos en el concepto de altura que presentaban losdiccionarios, libros y documentos que teníamos cercanos para intentar aclarar dos cosas: (1)«¿qué es eso de la altura de un triángulo?»; (2) «¿cuántas alturas tiene un triángulo?», dejandode lado el trazado de las mismas.

Después de recordar y volver a consensuar con la clase el concepto de altura, lo definimosde la siguiente manera:

La altura de un triángulo es el segmento de recta trazado desde los vértices y que esperpendicular a su lado opuesto.


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Prototipos de las representaciones de los tipos de triángulo siempre con «la base en posición horizontal» y eltrazado de «la única altura» que aparecen en los libros de texto y en la clase de Geometría



Inmediatamente, hicimos a los estudiantes nuevamente la pregunta: «¿cuántas alturas tienentodos los triángulos?», pero les advertimos que pensaran bien en cuántos vértices y cuántos ladostienen todos los triángulos, porque esto les ayudaría a encontrar el número de alturas que tie-nen todos los triángulos, independientemente del tipo que sean. Con este panorama, los alum-nos volvieron a la ficha y en su mayoría escribían que el triángulo tiene tres alturas porque tienetres vértices y tres lados, pero aún seguía la confusión de asociarla con la verticalidad.

Con el propósito de ayudarles a movilizar las ideas erróneas de asociar «altura = vertical ybase = horizontal»; les propusimos reflexionar sobre su altura y sobre los convenios universalespara medir la altura de los objetos, animales y personas teniendo como referente la gravedad.Es decir, derechos. La actividad que realizamos por grupos consistía en escoger un compañerodel grupo y medir su altura. Posteriormente, cada grupo explicaría al resto de compañeros:cómo lo hicieron y cuánto medía

Todos los grupos coincidieron en que para medir la altura el compañero se colocaba en posi-ción recta (derecho-de pie) y ellos con la ayuda de un metro medían la distancia que habíadesde la cabeza a los pies. Insistimos en preguntarles si habría otra manera de medir la altura ydecían que no.

Entonces les preguntamos: ¿ustedes tienen la misma altura cuando están acostados en lacama bien estirados?, ¿y cuando están de pie?, ¿y cuando están en diagonal en la cama?, etc.Inmediatamente, todos dijeron que sí, y comenzamos a discutir que la altura de una persona,de un objeto o de un triángulo no se tiene que asociar sólo con la verticalidad, ni las bases deun triángulo con la horizontal, que los triángulos se pueden representar de diferentes formas eindependientemente de la representación tendrán tres bases y tres alturas.

Posteriormente, volvimos a identificar bases y vértices opuestos en diferentes triángulosrepresentados en varias posiciones; y les propusimos de manera opcional que intentaran trazarlas alturas de los triángulos de la Actividad 3. Sólo obtuvimos respuestas de tres grupos (ejem-plos 1, 3 y 4), de los cuales: (1) el grupo del ejemplo 3 lo hizo correctamente; (2) el grupo delejemplo 1 trazó correctamente las alturas del triángulo acutángulo y dejaron las demás sin ter-minar y, (3) el grupo 4 avanzó en el hecho de considerar ahora 3 alturas y no 1, pero siguenmanteniendo el error de confundir la altura con la verticalidad pues trazaron tres alturas desdecada vértice pero en posición vertical (Azcárate, 1997).

Si como maestro estás interesado en profundizar en el trazado de las alturas de untriángulo y en el estudio del ortocentro, te sugerimos que pongas en práctica con tusalumnos la tercera parte de la Actividad 6.

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A continuación, te presentamos una secuencia de fotos que ilustran la manera como sepodría llevar a cabo la actividad con tus alumnos.

– Secuencia de fotos en la que se muestra el trazado de las alturas y el ortocentro de un trián-gulo acutángulo.

– Secuencia de fotos en la que se muestra el trazado de las alturas y el ortocentro de un trián-gulo rectángulo.


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Secuencia de fotos en la que se muestra el trazado de las alturas y el ortocentro de un trián-gulo obtusángulo.

Actividad 7. Actividad de síntesis: tipos de triángulos según sus lados y según sus ángulos (opcional)

– Objetivos:

● Profundizar y sintetizar los diferentes aspectos conceptuales y procedimentales relaciona-dos con el concepto de triángulo, elementos y tipos de triángulos.● Promover el uso de diferentes procedimientos (intuitivo, gráfico o geométrico y algebrai-co), para abordar la solución de situaciones que involucren triángulos, mediante el uso dediferentes sistemas de representaciones de los conceptos geométricos utilizados.

– Materiales:

● Transportador (uno o más).● Regla.● Papel.● Rotuladores.● Mapa conceptual del concepto de triángulo consensuado por la clase.● Ficha del dossier de la Actividad 7.

– Agrupamiento. Trabajo individual y grupo grande.– Desarrollo de la Actividad 7. Hemos considerado esta actividad de síntesis y la propusi-

mos a los alumnos de manera opcional para aquellos que estuvieran interesados en organizartoda la información trabajada en las anteriores sesiones del taller. Básicamente, la actividad con-siste en sistematizar los aspectos teóricos y procedimentales trabajados con relación a la clasifi-cación de triángulos según sus lados y según sus ángulos, los elementos del triángulo y las dife-rentes definiciones consensuadas por el grupo. Para ello se ofrece un primer modelo de tablade síntesis para un tipo de triángulo según sus lados y un modelo para un tipo de triángulossegún sus ángulos y se ofrece a los alumnos la posibilidad de construir, siguiendo los modelosproporcionados, los otros tipos de triángulos restantes.

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En esta actividad integramos los diferentes aspectos señalados en el segundo apartado deplanteamiento teórico que sustentan esta propuesta:

– La importancia de la definición y la demostración matemática.– El uso de un lenguaje matemático en el aula.– El uso de diferentes sistemas de representación: gráfico, numérico, etc. – La importancia de la verificación de los argumentos en matemáticas mediante el uso de los

diferentes procedimientos, geométrico o gráfico, algebraico, etc.– La construcción gráfica de los elementos geométricos, usando variedad de ejemplos de los

conceptos desarrollados y no caer sólo en el uso de prototipos que puedan hacer emerger erro-res conceptuales en los alumnos.

Actividad 8. Condición necesaria que han de cumplir los lados de un triángulo

– Objetivos:

● Que los alumnos lleguen a deducir, demostrar y argumentar las condiciones necesarias quedebe cumplir la medida de los lados de un polígono para ser triángulo: «La suma de lasmedidas de los dos lados más pequeños del triángulo tiene que ser mayor que el valor de lamedida del lado más grande».● Incentivar progresiva e individualmente a los alumnos para que realicen conjeturas sobrelos objetos geométricos y demostrar dichos argumentos con diferentes tipos de procedi-mientos: geométrico, algebraico, etc.● Promover el uso de diferentes procedimientos (intuitivo, gráfico o geométrico y algebraico)para abordar la solución de situaciones que involucren diferentes tipos de triángulos, median-te el uso de diferentes sistemas de representaciones de los conceptos geométricos utilizados.

– Materiales:

● Tijeras y pegamento.● Transportador (uno o más).● Tiras de cartulina de color de 1 cm de ancho.● Regla y escuadras.● Lápiz y papel.● Rotuladores.● Geoplanos: isométrico y cuadricular.● Tramas en papel: isométrica y cuadricular.● Ficha del dossier de la Actividad 8.

– Agrupamiento. Trabajo en parejas y en grupo grande.– Desarrollo de la Actividad 8. A continuación, presentaremos un ejemplo de una secuen-

cia de actividades que buscaba que los alumnos llegaran a demostrar las condiciones suficien-tes y necesarias que han de cumplir los lados de un triángulo. Esta actividad parte de concep-tos elementales previamente construidos en el aula por los alumnos como son: los conceptos desegmento (lados), ángulos, triángulo, partes y clasificación de triángulos.


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Para ilustrar los diferentes aspectos del concepto de triángulo que trabajamos en el aula a lolargo de todo el taller, y que consideramos básicos para que un alumno pueda construir unesquema rico y variado de este concepto, a continuación presentamos el estudio de un caso queconforma la actividad matemática desarrollada por dos alumnas de quinto (Tania y Huiting).

Inicialmente, les presentamos la ficha que diseñamos para que los alumnos –por parejas ycomo estaban sentados en clase– consiguieran los objetivos propuestos, posteriormente se hizouna puesta en común para aclarar dudas y para que los alumnos tuvieran un espacio en el queargumentar sus resultados o para mejorar sus errores.

En general, fue una actividad que valoramos como positiva porque para todos los alumnosfue relativamente sencillo llegar a demostrar el teorema de las condiciones necesarias quedeben cumplir las medidas de los lados de un triángulo, y para nosotras como maestras fue fácilgestionar la sesión.

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Analizando las respuestas que dan Huiting yTania a las cuestiones propuestas, queremosresaltar diversos aspectos de la actividad mate-mática realizada en el aula:

– En la situación 1 observamos que el mate-rial didáctico facilita y hace emerger proce-sos de definición en los alumnos (hacer con-jeturas, justificarlas y demostrarlas). Después demanipular los triángulos, construidos a partir delas condiciones dadas, las alumnas se acercan auna primera formulación de las condicionesnecesarias que deben cumplir los lados de untriángulo:

● «Sí, puedo construir triángulos usando lasdiferentes tiras de cartulina cuando la basees más pequeña que el resto». ● «No puedo construir triángulos usando lasdiferentes tiras de cartulina cuando la basees más grande que el resto».

En realidad, han llegado a ver que el lado mayor (la base) tiene que ser más pequeño que lasuma de los otros dos lados (el resto). Para demostrar esta afirmación, se basan en las represen-taciones de los diferentes tipos de triángulos que pueden construir a partir de las condicionesdadas en la situación propuesta.

– Otro aspecto importante es la capacidad de las alumnas para demostrar y generalizar ladefinición que han llegado a construir a partir de los casos específicos que les proponía la situa-ción. Por ejemplo, en la segunda situación se les pide que construyan los triángulos con las lon-gitudes dadas y ellas generalizan los casos posibles y los no posibles, utilizando las otras longi-tudes que se les proporcionan y llegando a hacer representaciones de los casos a «escala», comose ilustra a continuación:


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Se les había pedido construir lostriángulos cuyos lados tuvieran laslongitudes 6, 6, 6 cm y 11, 11, 11cm, y ellas hacen a escala el otrocaso posible a construir (8, 8, 8 cm),clasificándolos como los equiláterosposibles.



Como podemos observar, este tipo de triángulo cumple con la definición inicial, aunqueresaltamos como negativo que para demostrarlos utilicen la representación de los triángulos enposición prototípica (base = horizontal):

– Realizan la misma demostración para los triángulos isósceles, pero resaltamos en ésta el usode ejemplos y no ejemplos del concepto de triángulo isósceles y de las condiciones necesariasque han de cumplir los lados de un triángulo. Es decir, que no se conforman con representargráficamente los casos que se les piden, sino que hacen representación a escala de los casos queellos consideran posibles, independientemente de si se les pide que se construyan en la activi-dad y de los casos que consideran imposibles (no ejemplos).

Siguiendo el mismo tipo de razonamiento, realizan la demostración para los triángulos esca-lenos, no centrándose sólo en el análisis del caso f) 15, 6, 8 cm; sino proporcionando otros casosque ayuden a validar y demostrar su definición inicial, que después generalizan de manera bas-tante aceptable, afirmando «que la construcción de un triángulo depende de las longitudes delos lados, que es posible si la base es más pequeña que el resto y que no es posible si la base esmás grande que el resto».

Actividad 9. Condición necesaria que han de cumplir los ángulos de un triángulo

– Objetivos

● Que los alumnos lleguen a deducir, demostrar y argumentar que la medida de los ángulosinternos de un triángulo suman 180º, independientemente del tipo de triángulo. ● Incentivar progresiva e individualmente a los alumnos para hacer conjeturas sobre los obje-tos geométricos y demostrar dichos argumentos con diferentes tipos de procedimientos: geo-métrico, algebraico, etc.● Promover el uso de diferentes procedimientos (intuitivo, gráfico o geométrico y algebraico)para abordar la solución de situaciones que involucren diferentes tipos de triángulos median-te el uso de diferentes sistemas de representaciones de los conceptos geométricos utilizados.

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La base es más pequeña que el resto, 6 <6+6 =12

Resaltamos la justificación que dandel caso imposible del triánguloisósceles 6, 6, 15 cm: «no es posibleporque no encaja porque 6 y 6 son12, por tanto no llegan a 15».Es decir, usan un «no ejemplo» detriángulo isósceles para argumentary demostrar la definición inicial deque «la base es más pequeña que elresto: 6 + 6=12<15».

– Materiales:

● Tijeras y pegamento.● Transportador (uno o más).● Regla y escuadras.● Lápiz y papel de diferentes colores.● Rotuladores.● Geoplanos: isométrico y cuadricular.● Tramas en papel: isométrica y cuadricular.● Ficha del dossier de la Actividad 9.

– Agrupamiento. Trabajo individual y grupo grande.– Desarrollo de la Actividad 9. A continuación, presentaremos un ejemplo de la secuencia de

actividades que buscaba que los alumnos llegaran a demostrar las condiciones suficientes y necesa-rias que ha de cumplir la suma de los ángulos internos de un polígono para que sea un triángulo.Esta actividad parte de conceptos elementales previamente construidos en el aula por los alumnoscomo son: los conceptos de segmentos, ángulos, triángulos, partes y clasificación de triángulos.

Para ilustrar los diferentes aspectos del concepto de triángulo que trabajamos en el aula a lolargo de todo el taller, y que consideramos básicos para que un alumno pueda construir unesquema rico y variado de este concepto, a continuación exponemos el estudio de un caso. Ini-cialmente, les presentamos la ficha que diseñamos para que los alumnos de forma individualconsiguieran los objetivos propuestos para, posteriormente, hacer una puesta en común queaclarara dudas y que permitiera a los alumnos tener un espacio para argumentar sus resultadoso mejorar sus errores. En general, fue una actividad que valoramos como positiva porque paratodos los alumnos fue relativamente fácil llegar a demostrar el teorema de la suma interna delos ángulos de un triángulo, y para nosotras, como maestras, fue sencillo gestionar la sesión.


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FIGURAS F Y G. Producciones de Patricia, una alumna de quinto



Queremos resaltar diversos aspectos de la actividad matemática desarrollada por Patricia enla que vemos reflejados muchos de los presupuestos teóricos que trabajamos insistentemente enel aula mediante el diseño de actividades significativas que ayudaran progresivamente a losalumnos a comprenderlos. Resaltamos:

– El uso de representaciones gráficas no prototípicas de triángulos y ángulos.– El uso del lenguaje matemático asociado a su significado referencial. Es decir, representa-

ción de ángulos y segmentos haciendo uso de una notación correcta y variada. Por ejemplo: para nombrar los ángulos de los triángulos usa los siguientes signos matemáticos: y, para nombrar a los lados de los triángulos:

– En sus producciones queda implícita la definición de triángulo como la intersección de tresángulos, que a la vez forman un ángulo de 180º, que asocia con la definición de ángulo plano.

– La clasificación simultánea que hace la alumna de los triángulos, según sus lados y segúnsus ángulos. Este aspecto consideramos que es muy interesante porque la investigación endidáctica de las matemáticas nos señala que la mayoría de los alumnos tienden a almacenar laclasificación de los triángulos en dos cajones independientes. Por ejemplo, la clasificación quehace de los triángulos como: rectángulo y escaleno; acutángulo e isósceles; y, obtusángulo yescaleno, respectivamente (ver FIGURA G).

– La necesidad de demostrar geométricamente, mediante el uso de los instrumentos de vali-dación que utilizamos en el aula, transportador y regla, la clasificación que hace de cada unode los triángulos. Es decir, midiendo con regla sus lados para verificar la clasificación según suslados y midiendo sus ángulos con transportador para verificar la clasificación según sus ángulos.

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– La variedad de procedimientos que utiliza en sus demostraciones:

● Gráfico-geométrico: jugar con el rompecabezas de la representación de los ángulos que for-man los triángulos hasta deducir que siempre forman un ángulo conocido como es el plano.

● Numérico: cuando mide los ángulos y hace la suma de los mismos para demostrar queefectivamente, como indica la representación gráfica, suman 180º.

● Algebraico: cuando usa la notación de ángulos y expresa, aunque no tenga conciencia, lasuma de los ángulos internos como una ecuación de primer grado con tres incógnitas:

+ + = 180º .● Verbal: cuando finalmente llega a la generalización de que la suma interna de todos los

ángulos de un triángulo es siempre 180º, después del estudio y el análisis particular de los casosque le proporcionamos.

– Las estrategias de cálculo escrito y mental que utiliza para superar las dificultades que evi-dencia con el algoritmo de la suma de decimales, como es el cálculo aproximado de las canti-dades por compensación.


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Actividad 10. Cálculo de perímetro y cálculo de áreas de triángulos

– Objetivos:

● Percibir el área como un atributo mesurable.● Distinguir y relacionar los conceptos de área y perímetro.● Medir el área y el perímetro de triángulos y polígonos no regulares con unidades no con-

vencionales con la ayuda del geoplano y las tramas.● Motivar progresiva e individualmente a los alumnos a hacer conjeturas sobre los objetos

geométricos y demostrar dichos argumentos con diferentes tipos de procedimientos: geométri-co, algebraico, etc.

● Promover el uso de diferentes procedimientos (intuitivo, gráfico o geométrico y algebraico)para abordar la solución de situaciones que involucren diferentes tipos de triángulos medianteel uso de diferentes sistemas de representaciones de los conceptos geométricos utilizados.

● Generar una actividad matemática en los estudiantes donde los conceptos geométricos tra-tados sirvan como instrumento en el proceso de resolución de situaciones problemas prácticasy significativas.

– Materiales

● Transportador (uno o más).● Reglas y escuadras.● Geoplanos: isométrico y cuadricular.● Tramas isométricas y cuadricular.● Papel.● Rotuladores.● Ficha del dossier de la Actividad 10.

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– Agrupamiento. Trabajo individual, reflexión en parejas y grupo grande.– Desarrollo de la Actividad 10. Las investigaciones en didáctica de las matemáticas y los

grupos de reflexión de maestros de matemáticas coinciden en afirmar que si bien es cierto quela superficie es una magnitud bastante fácil de percibir por los alumnos visualmente, son muypocos los alumnos del segundo y tercer ciclo de Primaria capaces de realizar estimaciones acep-tables de área de figuras sencillas y familiares. Hecho que atribuyen a la falta de experiencia realde medida con unidades de superficie a pesar de que muchos reconocen haber oído hablar delas unidades estándares de medida: metros cuadrado, centímetros cuadrado, etc. (Grupo Cero,1996).

Igualmente, muchos son los errores y obstáculos que se han diagnosticado cuando los niñosde Primaria se enfrentan a situaciones en donde se les pide la estimación del área de objetos dela realidad dibujados a escala, ya que los niños no han tenido experiencias previas en la escue-la de trazado y dibujos construidos a escala. Por tanto, si los niños no han tenido experien-cias de medición y estimación de superficies objetos y unidades reales, los maestros cae-mos con facilidad en el error de crearles una imagen distorsionada del tamaño de launidad.

Por otro lado, nos encontramos con el error en los alumnos, quizá influenciado por la faltade dominio conceptual de los maestros sobre los objetos geométricos a la hora de enseñar enel aula, de confundir superficie y perímetro, y creer que todas las figuras que tienen la mismasuperficie también tienen el mismo perímetro y viceversa.

Teniendo en cuenta todo lo anterior, hemos diseñado la Actividad 10 que la conforman unaserie de situaciones-problema, partiendo del uso del geoplano y de las tramas cuadriculares eisométrica, con el propósito de que los alumnos se enfrenten a una serie de situaciones queinvolucren medida directa e indirecta utilizando unidades de longitud (perímetro) y superficie(área) antes de descubrir o definir las fórmulas y relaciones para el cálculo de áreas de los polí-gonos más conocidos (triángulo, rectángulo, etc.). En este caso concreto, antes de que descu-bran que el área de un triángulo puede obtenerse a partir de las dimensiones de sus bases y susalturas.

Consideramos que este tipo de actividad matemática en la que las situaciones pueden serreproducidas por los estudiantes con instrumentos que permiten la manipulación de los mismos(geoplano) puede ayudar a que el cálculo del perímetro y de la superficie de diferentes figurasgeométricas sea significativo y real, y poco a poco los alumnos vayan superando las dificultadesy errores.

Creemos conveniente señalar que esta secuencia de actividades no fue llevada a la prácticapor cuestiones de tiempo en el taller de geometría y arte con los alumnos de quinto de Prima-ria de la Escuela Salesiana Mare de Déu de la Mercè, pero sí que reflexionamos sobre ellas enun curso sobre triángulos que realizamos con maestros de Primaria del Ciclo Medio y Superioren la 27ª. Escola d’Estiu del Vallès Occidental (Badillo, 2006).


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Actividad 11. Actividad individual de evaluación

– Objetivos:

● Diagnosticar el nivel de comprensión de los conceptos desarrollados en el taller de trián-gulos.

● Reforzar y ampliar el uso de los procedimientos geométricos, algebraico, numérico e intui-tivo en la resolución de problemas prácticos.

● Generar una actividad matemática en los estudiantes donde los conceptos geométricos tra-tados sirvan como instrumento en el proceso de resolución de situaciones problemas prácticasy significativas.

– Materiales:

● Imagen del cuadro Tranquilidad de Kandinsky.● Mapa conceptual del esquema de triángulo consensuado por la clase.● Transportador (uno o más).● Geoplanos: isométrico y cuadricular.● Regla y escuadra.● Papel.● Rotuladores.● Ficha del dossier de la Actividad 11.

– Agrupamiento. Trabajo individual, evaluación por parejas de alumnos (intercambio de laactividad para ser evaluada por el compañero), tutoría individualizada del maestro y reflexiónen grupo grande.

– Desarrollo de la Actividad 11. Esta actividad la diseñamos para evaluar algunos aspectosdel taller que habíamos trabajado y enfatizado en el desarrollo de las anteriores 10 actividades.Sin embargo, éste no es el único instrumento de evaluación que usamos para analizar la activi-dad matemática generada en el aula por los alumnos. Las actividades de síntesis 3 y 7, al prin-cipio y a la mitad del taller, así como toda la observación e información que como maestrospodemos recoger a lo largo del desarrollo del taller, también se convierten en fuentes de infor-mación valiosas que nos permiten tener una idea aproximada de la evolución de los alumnos.Dentro del marco de este taller, la evaluación es considerada formativa, continua e integral.Lo anterior implica centrarnos en la evolución de los aprendizajes de los estudiantes más queen los resultados puntuales o finales. Además, consideramos que la evaluación es un proceso enel cual los alumnos tendrían que participar activamente. Por tanto, proponemos la reflexión porparte de los maestros de los siguientes tipos de evaluación que hemos implementado en el aulaa lo largo de todo el taller:

● Auto-evaluación. Revisión continua de las actividades del dossier, revisión y mejora conti-nua de sus producciones artísticas.● Entre iguales. Valoración de las producciones del compañero, intercambio de material paracorregir errores, debate y argumentación de ideas, etc.● Negociación de los criterios de evaluación y de los aspectos y problemas a evaluar. Los alumnosparticipan en la construcción de problemas, preguntas abiertas y las correspondientes respuestasque se tendrán en cuenta en la evaluación final o de síntesis (la cual forma parte del proceso).

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● Hetero-evaluación. Considerada no estática, ni acabada; los alumnos tienen la oportuni-dad de revisar, mejorar y proponer alternativas de solución que reflejen los progresos quevan alcanzando.

ESQUEMA-GUÍA DE LA ACTIVIDAD 11


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Inicio

¿Tiene 3lados?

¿Tiene todossus lados

iguales

¿Tiene 2lados

iguales?

Equiláteros

Isósceles

EscalenoIsósceles-rectángulo

Isósceles-obtusánguloAcutángulo

Fin

Escaleno-obtusángulo

Escaleno-rectángulo

Isósceles-acutángulo

No

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí Sí

No

No

No

No

No No¿Tiene 1ánguloobtuso?

¿Tiene 1ángulorecto?

¿Tiene 1ánguloobtuso?

¿Tiene 1ángulorecto?



A continuación presentamos otro modelo de situaciones que permiten evaluar la evoluciónconceptual de los estudiantes mediante el uso de esquemas que permiten organizar la informa-ción. Esta actividad es compleja porque los alumnos no están acostumbrados a este tipo desituaciones al ser evaluados. Requiere una motivación y explicación inicial del maestro para ayu-darles a comprender y procesar la información que se les proporciona y lo que se les pide hacer.Lo más enriquecedor de esta actividad es el debate que se genera en el aula delante de lasrespuestas (bien sean acertadas o erróneas) de los niños y sus posibles argumentaciones.Es una actividad pensada para ser resuelta de forma individual.

Posteriormente, se intercambian las parejas para compartir las respuestas del compañero demesa, evaluarlas, justificarlas y llegar a un acuerdo sobre las posibles correcciones que haráncomo pareja para ser presentadas y argumentadas en el debate con toda la clase. Les propor-cionamos las respuestas correctas del esquema como guía para la discusión que pueda gene-rarse en el aula.

Actividad 12. Actividad de investigaciones y juegos

– Objetivos. Como en la actividad anterior, con este grupo de situaciones problemas nosproponemos los siguientes objetivos:

● Afianzar todos los conceptos desarrollados en el taller de triángulos.● Reforzar y ampliar el uso de los procedimientos geométricos, algebraico, numérico e intui-tivo en la resolución de problemas prácticos.● Generar una actividad matemática en los estudiantes donde los conceptos geométricos tra-tados sirvan como instrumento en el proceso de resolución de situaciones-problema prácti-cas y significativas.

– Materiales:

● Transportador (uno o más).● Papel.● Rotuladores.● Ficha del dossier de la Actividad 12.● Internet.

– Agrupamiento. Trabajo individual y tutoría individualizada del maestro.– Desarrollo de la Actividad 12. Como en la actividad anterior, se presentan un grupo de

actividades que complementan el trabajo realizado a lo largo del taller. Las situaciones-problemaque presentamos en esta actividad permiten un uso práctico del concepto de triángulo y de losdemás conceptos tratados en contextos reales. Creemos conveniente aclarar que no son situa-ciones que se han de plantear al final del taller, de hecho, nosotros fuimos planteándolas a losestudiantes a lo largo del taller, teniendo en cuenta la temática desarrollada.

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5.2. Material para los alumnos/as

Los documentos ilustrativos de este taller, se encuentran en «Taller de Arte y Geome-tría: triángulos», en la pestaña de Desarrollo Curricular.

6. BIBLIOGRAFÍA

AZCÁRATE, C. 1997. «Si el eje de ordenadas es vertical, ¿qué podemos decir de las alturas de lostriángulos?». SUMA, 25, págs. 23-30.

BADILLO, E. y EDO, M. (En prensa). Els conceptes de triangle, elements i tipus a partir del quadreTranquil·litat (1930) de Wassily Kandinsky. Guix.

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Experiencias



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tica. Rosa Sensat. Barcelona.TORRES, M. y JUANOLA, R. 1998b. Una manera de enseñar artes plásticas en la escuela. 140 ejer-

cicios para Educación Infantil y Primaria. Rosa Sensat. Barcelona.

7. LISTADO DE ANEXOS

Anexo O. Imagen del cuadro Tranquilidad (1930) de Wassily Kandinsky.Anexo I. Interpretación personal. Pautas para la interpretación del cuadro Tranquilidad de

Wassily Kandinsky.Anexo II. Descripción de los aspectos más relevantes sobre la vida y obra de Wassily Kan-

dinsky.Anexo III. Presentación del «Taller de Arte y Geometría».Anexo IV. Modelo de mapa conceptual consensuado por los alumnos de quinto de Primaria

de una clase de Geometría.Anexo V. Medida de los ángulos de un triángulo.

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TRANQUILIDAD2

KANDINSKY, W. 1930


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Experiencias

2. Anexo 0.



Interpretación personal3

– ¿Qué significado tiene esta imagen? ¿Qué podría ser?– Colócate en el lugar del pintor, y, piensa sobre: ¿Qué ideas o sentimientos crees que quie-

re transmitir con esta obra?– ¿Qué podemos destacar de los colores, la intensidad de colores, la posición y colocación

de las líneas, la secuencia de las líneas, del fondo? ¿Cuántos planos ves? ¿Cuál crees que es elprincipal y por qué, etc.?

– ¿Qué palabras podrían salir en el título de este cuadro? ¿Qué título le pondrías?

Descripción de la obra4

– Título: Tranquilidad.– Autor: Wassily Kandisnky, 1930.

Presentación del taller5

– Título. Los conceptos geométricos como una herramienta para interpretar y crear obras dearte.

– Nivel. Ciclo Superior de Primaria– Objetivos:

– Usar obras de arte conocidas para la introducción, construcción y evaluación de concep-tos geométricos (conceptual).

– Interpretar obras de arte conocidas a partir de la aplicación de los conceptos geométricosdesarrollados (conceptual/procedimental).

– Crear y justificar producciones artísticas como resultado de la aplicación de los conceptosgeométricos desarrollados (procedimental/ conceptual).

– Conocer y valorar los elementos conceptuales, históricos y biográficos de los autores de lasobras seleccionadas (actitudinal).

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3. Anexo I.4. Anexo II.5. Anexo III.

BIOGRAFÍA DEL AUTOR

Nació en Moscú, en el seno de una familia acomodada y, aunque pasó más de la mitadde su vida en Alemania y Francia, conservó un fuerte vínculo emocional con su ciudad.Durante sus primeros treinta años, la pintura sólo fue la afición apasionada de un jovensoñador y romántico, pero convencional. Estudió Derecho y Economía, y su brillante carre-ra académica le deparó una cátedra en Estonia, a la que renunció para trasladarse en 1896a Munich y dedicarse a la pintura.1896. Renuncia a su carrera exitosa como economista y abogado y se traslada a Munichpara dedicarse a la pintura.1901. Se transforma en animador de pequeñas asociaciones de artistas modernos que pro-mueven exposiciones. Phalanx, fundado en este mismo año, es el primero de esos grupos, queexpone obras impresionistas, simbolistas y modernistas, las tres influencias más visibles en losprimeros cuadros de Kandinsky.1916-1908. Viaja por Europa en compañía de Münter y expone en los Salones de Otoñoy de los Independientes en París, donde conoce el fauvismo y el cubismo.1909. En ese año funda la Nueva Asociación de Artistas de Munich, conocida por sussiglas en alemán NKVM con Jawlensky, Kubin y Münter entre otros, al tiempo que empie-za a fraguarse el entramado ideológico que desembocará en la abstracción.1912. Abandona la NKVM para fundar junto con Jawlensky y Münter El Jinete Azul. Cono-ce a Paul Klee, entre otros pintores contemporáneos famosos.1914. El estallido de la Primera Guerra Mundial en 1914 le devuelve a Rusia, donde laRevolución de 1917 promueve una de las vanguardias artísticas más activas y singulares delsiglo XX.1917. Se casa con Nina Adreevsky, su segunda y definitiva esposa, y cuatro años despuésvuelve a Alemania en un viaje de trabajo del que no retornará.1922-1933. Walter Gropius le ofrece formar parte del claustro de la Bauhaus, donde diri-girá el Taller de Pintura Decorativa y el curso de iniciación. Allí se reencontró con su amigoPaul Klee, y junto con él, Jawlensky y Feininger formarán Los Cuatro Azules. Durante estosaños la obra de Kandinsky se disciplina; al color se añade la geometría y la interacción dela forma, y su pintura se aprovecha de las tendencias que coinciden en distintos momen-tos en la Bauhaus.1933. Obligado a abandonar Alemania por el ascenso del nazismo, que incluye su obra enla siniestra nómina del arte degenerado, se instala en Neully, cerca de París. Allí esperaencontrar un clima propicio, pero la escena francesa está entonces dominada por corrien-tes poco afines a la abstracción.1944. Muerto en este año, no pudo ver su definitiva consagración tras el triunfo de la abs-tracción en los años de postguerra. Sus últimas obras se alejan de la geometría de la Bau-haus, optando por formas orgánicas y biomórficas.


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Experiencias

Taller de Arte y Geom

etría

Wolters Kluw

er España24

MODELO DE MAPA CONCEPTUAL DEL CONCEPTO DE TRIÁNGULO CONSENSUADO POR LA CLASE6

DESARROLLO CURRICULAR

Triángulo

Figura bidimensional

Puntos no alineados

Es una

Intersección

Tres

Ángulos Rectas

de

Formada por la

Unión

Tres

de

Mutuamente

Tiene

4 elementos

tres

Lados

Son

Segmentos de rectas que unen

dos vértices

Se representan

A

C CA

BC

AB

Vértices

Son

Puntos no alineados del

plano

Se representan

M

OMNO

Ángulos

Son

Región del plano comprendida

entre 2 semirectas

Se representan

P

QR

Q

P

ˆ

ˆ

ˆ

Alturas

Son

Segmento trazado desde un vértice

perpendicular al lado

Se representan

h QO

h PO

h QP

⊥

⊥

⊥

3

2

1

OQ

h2 h1

h3

Rectángulo

1 ángulo recto tiene

Se representa

N

M

O

09 ºˆ09 ºˆ

09 ºˆ

⟨

⟨

=

O

M

N

Lados Ángulos

Se

Clasifica

Según sus

Equilátero

3 lados iguales tiene

Se representa

AB

CCABCAB ==

Isósceles

tiene

Se representa

2 lados iguales y 1 diferente

M N

OMNONMO =

Escaleno

tiene

Se representa

3 lados diferentes

RSQRPQ ≠

P

Q

R

AB

C 09 ºˆ09 ºˆ09 ºˆ

⟨

⟨

⟨

C

B

AAcutángulo

3 ángulos agudos tiene

Se representa

1 ángulo obtuso

Obtusángulo

09 ºˆ09 ºˆ09 ºˆ

⟨

⟨

⟩

R

Q

PP

Q

R

tiene

Se representa

≠

≠

6. Anexo IV.

MEDIDA DE ÁNGULOS DE UN TRIÁNGULO7

Instrumento: Transportador

Unidades:

– Sistema sexagesimal:

● Grados (Se representa así: º).● Minutos (Se representa así: ’).● Segundos (Se representa así:’’).

– Relación entre las unidades:

● 1º = 60’● 1’ = 60’’

Por ejemplo: se utilizan para una mayor exactitud en la medida de algunos ángulos queal usar el transportador no coinciden con las rayitas de la escala. Â = 250º 15’ 23 ’’.


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Experiencias

7. Anexo V.

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