UNIDAD III

INFERENCIA ESTADSTICA

3.1 INTRODUCCION AL MUESTREO

QUE ES MUESTREO?

EL MUESTREO ES UNA FORMA DE DETERMINAR ALGO ACERCA DE UNA POBLACION A PARTIR DE UNA PARTE DE ELLA

POR QUE ES NECESARIO?

Por la naturaleza destructiva de ciertas pruebas Por la imposibilidad fsica de revisar todos los integrantes de la poblacin El costo de estudiar a todos los integrantes de una poblacin puede ser prohibitivo En ocasiones se necesita mucho tiempo para entrevista a toda la poblacin Por lo adecuado de los resultados de la muestra

HAY DOS TIPOS DE MUESTRAS ProbabilsticoNo ProbabilsticoTIPOS DEMETODOS DE MUESTREO PROBABILISTICO Muestreo Aleatorio Simple Muestreo Aleatorio Sistemtico Muestreo Aleatorio Estratificado Muestreo por Conglomerados

Muestreo Aleatorio Simple: Muestra seleccionada de manera que cada integrante de la poblacin tenga la misma probabilidad de quedar incluido Muestreo Aleatorio Sistemtico: Los integrantes de la poblacin se ordena en alguna forma. Se selecciona al azar un punto de partida y despus se elige para la muestra cada k-simo elemento de la poblacin Muestreo Aleatorio Estratificado: Una poblacin se subdivide en subgrupos, denominados estratos y se selecciona una muestra de cada uno Muestreo por Conglomerados: Se emplea frecuentemente para reducir el costo de muestrear una poblacin dispersa en un rea geogrfica grande El estadstico muestral no necesariamente coincide exactamente con el parmetro poblacional

Estimacin puntual: El valor, calculado a partir de la informacin de muestreo, que se emplea para estimar el parmetro de la poblacin. Intervalo de confianza: Una gama de valores obtenidos a partir de datos de muestreo, de modo que el parmetro ocurre dentro de esa variedad a una probabilidad especfica a la cual se le denomina nivel de confianza Intervalo de confianza depende: Del nivel de confianza deseado De la variabilidad en la poblacin estimada a partir de S Del tamao de la muestra n

Factor de

correccin

por finitud Si n/N > 5%

Para P = 95% Para P = 99% Para P = 90% 3.2 ESTIMACION DE MEDIA POBLACIONAL.Cuando nosotros sacamos una muestra de tamao n de la poblacin de tamao N, solo tenemos el valor de la media muestral (estadgrafo), pero nuestro inters es por el parmetro (media poblacional ). Nunca conoceremos el verdadero valor de (al menos que realizamos un censo, investigamos toda la poblacin), entonces necesitamos estimarla. Existen dos tipos de estimaciones: Estimacin puntual y Estimacin por intervalo de confianza.

Estimacin por intervalos de confianza: Los estimadores por intervalo se denominan comnmente intervalos de confianza. Los extremos superior e inferior de un intervalo de confianza se llaman lmites de confianza superior e inferior respectivamente. La probabilidad de que un intervalo de confianza contenga el parmetro se conoce como coeficiente de confianza ( o nivel de confianza) se denota 1- (. Donde ( es el nivel de significacin.

Si en base de la muestra se desea estimar la media poblacional se usarn las siguientes formulas segn el caso. Si n ( 30

Si n < 30

Si se conoce el tamao de la poblacin (N) y la razn (la muestra forma una parte apreciable de poblacin), entonces la formula de intervalo de confianza para la media tendr un factor de correccin por poblacin finita (FCF).

Si n ( 30

Si n < 30

Estimacin puntual: Se realiza cuando la media poblacional toma valor de la media muestral. =

. En este caso se indica el Error Mximo de estimacin.

Error Mximo es

Si se conoce el tamao de la poblacin (N) y la razn , se utiliza el F.C.P.Error Mximo es

Ejemplo 1:Demos una estimacin por intervalo de confianza del 95% para la longitud media de los lpices de cierta marca, si una muestra de 64 lpices arrojo una longitud promedio de 191 mm., siendo la distribucin de la longitud de tales lpices normal con varianza de 400.

SOLUCION: Primero hay que determinar los datos. 95% es el nivel de confianza: 1- ( = 0.95, por lo tanto ( = 1- 0.95 = 0.05(es el nivel de significacin).

( = 0.05, Media muestral = 191mm, Tamao de muestra n = 64, Varianza que nos dan no es de la muestra sino de la poblacin, porque hablan de la distribucin de los lpices, entonces denotaremos = 400, sacando la raz cuadrada obtenemos la desviacin estndar =20. Nos piden un intervalo de confianza para la media, adems n ( 30, no conocemos el tamao de la poblacin, por eso no usaremos el FCF usamos la formula Calculamos primero , despus buscamos en la tabla de la Normal, . Sustituimos en la formula los datos ;

,

. La longitud promedio de los lpices en la poblacin es de 186 a 195 milmetros, con un nivel de confianza de 95%.

Ejemplo 2:Una muestra aleatoria de cinco ejemplares de cierto tipo de helado tiene un contenido de grasa medio de 11.3% y una desviacin estndar de 0.38%. Construya un intervalo de confianza del 95% para el contenido promedio de la grasa en el helado.

SOLUCION:Los datos:

= 11.3, la desviacin estndar que se da es de la muestra S=0.38,

( = 1- 0.95 = 0.05, n = 530 por lo tanto usaremos la formula ,calculamos sustituyendo , , . El ingreso anual promedio de las familias de una ciudad est entre $26475.57 y $28654.43.

3.3 ESTIMACION DE PROPORCIONES.

Sea x es el nmero de veces que ha ocurrido un evento en n ensayos, entonces es la proporcin muestral, si p es la proporcin poblacional entonces el intervalo para la proporcin poblacional es

Donde ;

Ejemplo 4:El anlisis de 500 ventas seleccionadas al azar de un comerciante indic que 465 de ellas se hicieron a crdito. Construya un intervalo de confianza del 95% para la proporcin real de estas ventas que se hacen a crdito.

SOLUCION: Los datos: n = 500, los 465 de 500 son las ventas que se hicieron a crdito por lo tanto x = 465, ( = 1- 0.95 = 0.05, calculando y sustituyendo en la formula dada obtenemos , , .

Podemos decir que las ventas que se hacen a crdito en la poblacin es de 90.8 % a 95.2%3.4 CALCULO DEL TAMAO DE LA MUESTRAPara el clculo del tamao de la muestra adecuado, si en base de esta muestra queremos estimar el promedio usaremos la formula siguiente:

donde E es el error mximo que se desea tener al estimacin y es la desviacin estndar poblacional, si no se conoce se toma una muestra pequea (piloto) y se calcula desviacin muestral que puede ser usada para la formula.

Si la poblacin es finita de tamao N, el tamao de la poblacin es: , donde

Para el clculo del tamao de la muestra adecuado, si en base de esta muestra queremos estimar la proporcin usaremos la formula siguiente:

Si se tiene idea de la proporcin poblacional:

Si no se conoce la proporcin poblacional:

Si la poblacin es finita de tamao N, el tamao de la poblacin es:

donde E es el error mximo, p es la

proporcin que se crea que tiene el valor de inters de la variable de estimar, se determina en una muestra piloto, en el caso que no se conoce usamos la formula

Autoaprendizaje No. 5Inferencia Estadstica

1. La asociacin de ex alumnos de una universidad quiere estimar los salarios anuales promedios de los graduados en 1996. Una muestra aleatoria de 100 personas revel un salario promedio de $850 con una desviacin estndar de $145. Establezca e interprete una estimacin por intervalo con una confiabilidad de 95%, del salario promedio mensual de los graduados en 1996.

2. Los ingresos del impuesto sobre venta en una comunidad particular se recaudan cada trimestre. Los siguientes datos representan los ingresos (en miles de dlares) cobrados durante el primer trimestre de una muestra de nueve establecimientos de menudeo de la comunidad: 15, 18, 11, 17, 13, 10, 22, 15, 16.

a) Establezca e interprete una estimacin por intervalo con un 99% de confianza, de los ingresos trimestrales del impuesto sobre ventas en los establecimientos de menudeo.

b) Si hay un total de 300 establecimientos de menudeo en esa comunidad, estime e interprete un intervalo con un 95% de confianza de los ingresos trimestrales del impuesto sobre venta en los establecimientos de menudeo.

3Al examinar los registros de facturacin mensual de una empresa editora con ventas por correo, el auditor toma una muestra de 10 de las facturas no pagadas. Las sumas que se adeudan a la compaa son: $4, $18, $11, $7, $10, $5, $33, $9, $12, $15.

a) Determine e interprete una estimacin por intervalo con un 90% de confianza de la cantidad promedio de facturas no pagadas.

b) Si hubiera un total de 250 facturas no pagadas. Determine e interprete una estimacin por intervalo del 99% de confianza de la cantidad promedio de facturas no pagadas.

4. El gerente de control de calidad de una fbrica de lmparas elctricas desea estimar la duracin promedio de un embarque de lmparas (focos). Los resultados indican que la desviacin estndar del proceso es de 100 horas y el gerente desea estimar la duracin promedio con aproximacin de 20 horas del promedio real con una confiabilidad del 95%. Qu tamao de muestra se necesita?

5. Se va a vender un nuevo cereal para desayuno y se pone a prueba de mercado durante un mes en las tiendas de una cadena de autoservicio, se desea estimar la suma promedio de venta con aproximacin de $100 con un 95% de confianza y se supone que la desviacin estndar es de $200. Qu tamao de muestra se necesita?6. Un grupo de estudio quera estimar fa facturacin mensual promedio por luz elctrica en el mes de Julio en casas unifamiliares en una ciudad. Con base en estudios efectuados en otras ciudades, se supone que la desviacin estndar es de $20. El grupo quiere estimar a facturacin promedio de julio con aproximacin de $5 del promedio real con un 95% de confianza, Qu tamao de muestra se necesita?7. El gerente de una sucursal bancaria en una ciudad quiere determinar la proporcin de sus cuenta habientes a los cuales se les paga el sueldo por semana, por experiencia previa en otras reas se sabe que slo el 30% prefieren este sistema, si el gerente quiere tener 95% de confianza de que esta en lo correcto con aproximacin de Q.05 de la proporcin do sus clientes a quienes se les paga por semana. Qu tamao de muestra se necesita?8Los resultados de un estudio realizado en una universidad mostraron que una muestra tomada al azar de 25 alumnos utiliza las instalaciones del centro de estudiantes en promedio 6.8 veces por semana, con desviacin estndar de 2.4. Construya un intervalo de confianza del 99% en relacin con el nmero promedio de veces que un alumno de la universidad utiliza las instalaciones del centro de estudiantes a la semana.

9Una tienda de quesos para conocedores lleva un registro de las compras hechas por sus clientes. Una muestra tomada al azar de 15 de estos registros arroja compras de 28.3 onzas de queso en promedio con desviacin estndar de 2.7 onzas. Construya un intervalo de confianza de 95% de la media de la poblacin que se muestrea.

10Para estimar el nmero promedio de millas que los estudiantes de una universidad suburbana recorren para asistir a clase, un funcionario de la universidad seleccion una muestra al azar de 75 estudiantes que hacen el recorrido y obtuvo una media de 18.2 millas con una desviacin estndar de 2.30 millas. Con el 99% de confianza qu se puede decir acerca del error mximo en la estimacin del recorrido promedio real como 18.2 millas?

11En un estudio de costos anuales de renta de apartamientos de una ciudad del Este, una muestra de 25 apartamientos tiene un costo de renta medio de $11 535 y una desviacin estndar de $875.

a)Construya un intervalo de confianza del 99% del costo anual promedio real de renta de los apartamientos.

b)Qu se puede decir con el 95% de confianza acerca del error mximo si la media de la muestra de %11 535 se utiliza como estimacin del costo anual promedio de renta de los apartamientos?

12Una muestra tomada al azar de 50 de los 500 estudiantes de preparatoria de un distrito escolar que realizaron las pruebas de rendimiento escolar en el otoo tuvieron una calificacin promedio de lenguaje de 475 con una desviacin estndar de 125. Construya un intervalo de confianza del 95% de la calificacin media de todos los 500 estudiantes de la preparatoria que realizaron la prueba.

13Diez estudiantes seleccionados al azar de una gran muestra de alumnos, tardaron 60, 50, 45, 60, 75, 35, 42, 53, 49 y 65 minutos en terminar un examen de ingls. Si la media de esta muestra se utiliza para estimar el tiempo promedio real que tardan en terminar el examen, qu podemos decir con el 95% de confianza acerca del error mximo?

14En un estudio de muestras aleatorias, 120 de 365 personas entrevistadas en una ciudad grande, dijeron que se oponen a autorizar la construccin de otras unidades habitacionales. Construya un intervalo de confianza del 99% para la proporcin de la poblacin correspondiente.

15En un estudio de muestras aleatorias, a 200 estudiantes con promedios acumulativos de calificaciones superiores a 3.00, se les pregunt dnde, con mayor probabilidad, realizaran la mayor parte de sus tareas o estudios. Si 72 de los alumnos optaron por la biblioteca, construya un intervalo de confianza del 90% para la proporcin real de los estudiantes de este grupo que prefieren la biblioteca para estudiar.

16En una muestra aleatoria de 575 capitanes de puerto, 360 pensaban que el gobierno debera de exigir a los propietarios de botes recreativos que presentarn un examen para obtener la licencia. Si se utiliza =0.63 como estimacin de la proporcin real correspondiente de la poblacin que se muestrea, qu se puede afirmar con el 98% de confianza acerca del error mximo?

17El gerente de control de calidad de una fbrica de lmparas elctricas desea estimar la duracin promedio de un embarque de lmparas. Los resultados indican que la desviacin estndar del proceso es de 100 horas y el gerente desea estimar la duracin promedio con un error mximo de 20 horas con una confiabilidad del 95%. Que tamao de la muestra se necesita?

18Se va a vender un nuevo cereal para desayuno y se pone a prueba de mercado durante un mes en las tiendas de una cadena de autoservicio. Se desea estimar la suma promedio de venta con aproximacin(error mximo) de mas o menos $100 con un 95% de confianza y se supone que la desviacin estndar es de $200. Qu tamao de muestra se necesita?

19El gerente de una sucursal bancaria en una ciudad quiere determinar la proporcin de sus cuenta habientes a los cuales se les paga el sueldo por semana, por experiencia previa en otras reas se sabe que slo el 30% prefieren este sistema, si el gerente quiere tener 95% de confianza de que esta en lo correcto con aproximacin de mas o menos 0.05 de la proporcin de sus clientes a quienes se les paga por semana. Que tamao de muestra se necesita?

3.5 PRUEBAS DE HIPTESIS

HIPOTESIS: Enunciado acerca de una poblacin elaborado con el propsito de poner a prueba. PRUEBA DE HIPOTESIS: Procedimiento basado en la evidencia muestral y en la teora de probabilidad que se emplea para determinar si la hiptesis es un enunciado razonable.PROCEDIMIENTO DE SEIS PASOS PARA PROBAR UNA HIPOTESIS 1

2

3

Hiptesis nula: Afirmacin acerca del valor de un parmetro. (Siempre lleva la igualdad).Hiptesis alternativa: Afirmacin que se aceptar si los datos muestrales proporcionan amplia evidencia de que la hiptesis nula es falsa. Se define siempre lo contrario de la hiptesis nula.Nivel de Significancia: Probabilidad de rechazar la hiptesis nula cuando es verdaderaValor crtico: Nmero que es el punto divisorio entre la regin de aceptacin y la regin de rechazo, de la hiptesis nulaValor estadstico de prueba: Valor obtenido a partir de la informacin muestral, que se utiliza para determinar si se rechaza la hiptesis nula.3.5.1 PRUEBA DE HIPTESIS PARA LA MEDIA POBLACIONAL1) Pantear las hiptesis.

LA PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA MEDIA DE UNA POBLACION PUEDE PLANTEARSE EN CUALQUIERA DE LOS TRES FORMATOS Formato 1Prueba de una cola (Unilateral Izquierda) Formato 2

Prueba de dos colas (Bilateral)Formato 3 Prueba de una cola (Unilateral derecha)

Ho: ( = (o H1: ( < (o Ho: ( = (o H1: ( ( (o Ho: ( = (o H1: ( > (o

2) Establecer el nivel de significacin :

Los errores que podran cometerse al realizar una prueba de Hiptesis son dos error tipo I y error tipo II . Analizar la siguiente tabla.Realidad

DecisinCierta la H0Falsa H0

H0 se rechazaError Tipo IDecisin Correcta

H0 se aceptaDecisin CorrectaError Tipo II

La probabilidad de cometer el Error tipo I, P(Error I) = (. ( es rechazar la Ho cuando debera ser aceptada) La probabilidad de cometer el Error tipo II, P(Error II) = (( es aceptar la Ho. cuando debera ser rechazada)

Interesa medir las magnitudes de estos Errores y tratar de que esas magnitudes sean las menores posibles. Resulta imposible reducir ambas probabilidades de cometer el error tanto como se quiera, puesto que una disminucin en una de ellas provoca, en general, un aumento de otra. Una solucin es fijar el valor de una de ellas. En esto caso se fija el valor de (, por lo general se dan valores de 0.01, 0.05, 0.1 (se trabajar con error tipo I)Si

Nivel de confianza (1-)99%=0.9995%=0.9590%= 0.90

Nivel de significacin ()1%= 0.015%=0.0510%= 0.10

2.581.961.645

2.331.6451.28

Si si utilizar la tabla t-student con gl = n-13) Estadstica de Prueba

Si ;

si ;

4) Regla de decisin:

Si la prueba es bilateral: /Zc/ > Z se rechaza la Ho.

Si la prueba es unilateral: Zc > Z se rechaza la Ho. bien Zc < -Z se rechaza la Ho.

5) Conclusin

6) Valor de pEJEMPLO 1:El tiempo promedio dedicado al estudio individual por los estudiantes de segundo ao de administracin en los cursos anteriores fue de 18.75 horas semanales. Una muestra simple aleatoria de 16 estudiantes del curso actual arrojo que dedicaban al estudio individual un promedio de 19.23 horas semanales con varianza de 0.25. Podemos afirmar con un nivel de significacin de 0.01 que los estudiantes de este curso estudian ms? Consideremos la distribucin del tiempo de estudio semanal en la poblacin Normal.

SOLUCION:Primero en que debemos fijarnos es que si la distribucin es Normal. En este caso si. Por lo tanto despus nos fijamos en la varianza o desviacin estndar, si es de poblacin usamos Z, si es de muestra entonces la t-dtudent. En este caso es la t-student, por lo que la varianza que nos dan es de la muestra. Determinamos los datos.

Datos: n =16,

S2 = 0.25, por lo tanto S =0.5,

= 19.23,( = 0.01, el valor con el que vamos a comparar la media se denota = 18.75, es el promedio anterior.

Paso I.

Hiptesis: (Como se quiere saber que los estudiantes estudian ms y esto nos confirma la muestra, por lo tanto la hiptesis alternativa es H1: , la nula es lo contrario.)

Ho:

H1:

Paso II.

Regin Critica: como la muestra es menor de 30 se usar la tabla t- student y ( = 0.01 Calculamos el valor de = = 2.6025

Paso III.

Estadstica de la Prueba: calculamos: = = 3.84

Paso IV.

Decisin: Como la estadstica de la prueba 3.84 es mayor de 2.6 cae en la regin de rechazo, por lo tanto Rechazamos la Hiptesis nula. tc > t se rechaza la Ho.Paso V.

Conclusin: Al rechazar la hiptesis nula, decimos: Podemos afirmar que el tiempo promedio de estudio de los estudiantes de estudiantes de este curso es mayor que de los cursos anteriores, con un nivel de significacin de 0.01.Paso VIEl valor de p < se rechaza la Ho.

Con lo gl = 15 y tc = 3.84 se busca en la tabla t-student el valor ms cercano a 3.84 esto es 2.9467 y este valor est por debajo de la probabilidad de p= 0.005 < 0.01 por tanto se rechaza la Ho.EJEMPLO 2: El consumo diario de arroz en un comedor estudiantil ha sido histricamente de 63 Kg. con una varianza de 49. Se observa en una muestra simple aleatoria de 81 das que el consumo promedio de arroz es de 61Kg. Podemos afirmar basndonos en este resultado que el consumo diario de arroz ha disminuido, con un nivel de significacin de 0.05?

Datos: = 61,n = 81,

(2 = 49, ( =7,

= 63,( = 0.05

Como no nos dicen que la distribucin es Normal veamos, nos fijarnos solamente en el tamao de muestra, como es mayor de 30 usamos la Z normal1) Hiptesis:Como queremos saber si ha disminuido el consumo de arroz, por lo tanto hiptesis es:Ho:

H1:

2) Regin Crtica: Como la prueba es unilateral izquierda y ( = 0.05 el valor de Z(= 1.645

=1.645

3) Estadstica de la prueba: = = -2.57

4) Decisin: Como -2.57 es menor de -1.645 rechazamos la hiptesis nula.

5) Conclusin: Podemos afirmar con un nivel de significacin de 0.05 que el consumo diario de arroz ha disminuido.6) Valor de pSi p < se rechaza la Ho.Se busca en la tabal normal el valor de Zc= -2.57, equivale a 0.0051 entonces p= 0.0051< 0.05 es verdadero por tanto se rechaza la Ho.I Prueba de hiptesis para la media de una poblacin con distribucin Normal y de la poblacin conocida.HIPOTESISESTADIGRAFO COMUNREGION CRITICA

Ho:

H1:

Ho:

H1:

Ho:

H1:

II Prueba de hiptesis para la media de una poblacin con distribucin normal y varianza de la poblacin desconocida.

HIPOTESISESTADIGRAFO COMUNREGION CRITICA

Ho:

H1:

Ho:

H1:

Ho:

H1:

III Prueba de hiptesis para la media de una poblacin no normal.

Si n30, usar tabla II.

Si n30, usar tabla I3.5.2 PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA PROPORCIN

Para la prueba de hiptesis para la proporcin usaremos el siguiente formulario.

IV Prueba de hiptesis para la proporcin de una poblacin

HIPOTESISESTADIGRAFO COMUNREGION CRITICA

Ho:

H1:

Ho:

H1:

Ho:

H1:

EJEMPLO:Un constructor afirma que se instalan bombas de calor en 70% de todas las casas que se constituyen hoy en da en la ciudad de Richmond. Estara de acuerdo con esta afirmacin si una de casas nuevas en esta ciudad muestra que 8 de 15 tienen instaladas bombas de calor? Utilice un nivel de significancia de 0.1.

Datos: n = 15,x = 8,el valor con el que vamos a comparar la proporcin denotaremos

p0 = 0.7,( = 0.1,si calculamos x/n =8/15 = 0.53.

1) Hiptesis:Como no nos piden probar de que la proporcin es menor o mayor de 70% (0.7), por lo tanto es una prueba bilateral.

Ho: La afirmacin del constructor es correcta

H1: La afirmacin del constructor es equivocada.

2) Regin critica: Copiamos de la tabla, segn nuestra hiptesis.

= -1.645 =1.645 Calculamos = = = 1.6453). Estadstica de la prueba:

EMBED Equation.3 Zc= -1.41

4). Decisin: Aceptamos la hiptesis nula. Porque el valor -1.41 esta en la regin de aceptacin, entre -1.645 y 1.645.

5).Conclusin: No hay razn suficiente para dudar de la afirmacin de constructor.

6) Valor de pComo la prueba es bilateral la regla de decisin: 2p