Ejercicio 2

Asociar cada gráfica del campo vectorial con su ecuación. Las gráficas se marcan como: a), b), c), d), e) y f).

3.- En los siguientes ejercicios calcular el módulo de || F || , luego dibujar vectores que representen al campo vectorial, también dibujar algunas curvas de nivel que orientan la forma de expansión del campo F.

F ( x , y )=√ ( y )2+ (−2 x )2

F ( x , y )=√ y2+4 x2=|x|

F ( x , y )= y2+4 x2=|x|2

Elipse

F ( x , y )=√ ( x )2

F ( x , y )=√ x2=|x|

F ( x , y )=x=|x|

F ( x , y )=√ ( y2+ x2 )2+(1 )2

F ( x , y )=√ y4+ y2 x2+x4=|x|

F ( x , y )= y4+ y2 x2+x4=|x|2

4Hallar las siguientes operaciones mediante el uso del operador Nabla, realice un comentario para cada solución encontrada.

f ( x , y , z )=x2 zi−2xzj+ yzk

(∇×f )=[ i j k∂∂x

∂∂ y

∂∂ z

x2 z −2xz yz]=[ ∂( yz )∂ y

−∂(−2 xz)

∂ z ]i−[ ∂( yz )∂ x−∂ (x2 z)∂z ] j+[ ∂(−2 xz )∂x

−∂(x2 z)∂ y ]k

(∇× f )=[ i j k∂∂x

∂∂ y

∂∂ z

x2 z −2xz yz]=[1 z−2x ] i− [0−x2 ] j+ [−2 z−0 ] k

(∇×f )=[ i j k∂∂x

∂∂ y

∂∂ z

x2 z −2xz yz]=( z−2 x )i+x2 j−2 zk

∇× (∇×f )=[ i j k∂∂x

∂∂ y

∂∂ z

z−2 x x2 −2 z 2]=[ ∂(−2 z 2)∂ y

−∂(x2)∂z ] i−[ ∂(−2 z 2)∂ x

−∂(z−2x)

∂ z ] j+[∂(x2)∂ x−∂ (z−2x )

∂ y ] k

∇× (∇×f )=[ i j k∂∂ x

∂∂ y

∂∂ z

0 −1 −2 ]=0 i−2 j+2 xkf ( x , y , z )=x2 zi−2xzj+ yzk

(∇×f )=[ i j k∂∂x

∂∂ y

∂∂ z

x2 z −2xz yz]=[ ∂( yz )∂ y

−∂(−2 xz)

∂ z ]i−[ ∂( yz )∂ x−∂ (x2 z)∂z ] j+[ ∂(−2 xz )∂x

−∂(x2 z)∂ y ]k

(∇× f )=[ i j k∂∂x

∂∂ y

∂∂ z

x2 z −2xz yz]=[1 z−2x ] i− [0−x2 ] j+ [−2 z−0 ] k

(∇×f )=[ i j k∂∂x

∂∂ y

∂∂ z

x2 z −2xz yz]=( z−2 x )i+x2 j−2 zk

∇ . (∇×f )=( ∂∂x

, ∂∂ y

, ∂∂ z

)(( z−2x )i+x2 j−2 zk )

∇ . (∇×f )=(∂ ( z−2x )

∂ x, ∂(x

2)∂ y

, ∂(−2 z)∂ z

)

∇ . (∇×f )=−2 i+0 j−2k ¿

∇ . (∇×f )=−4

f ( x , y , z )=x2 yi+ y z2 j+ xy z3 k

(∇×f )=[ i j k∂∂x

∂∂ y

∂∂ z

x2 y y z2 xy z3]=[ ∂ (xy z3)

∂ y−∂( y z2)∂ z ] i−[ ∂(xy z3)∂ x

−∂(x2 y )∂ z ] j+[ ∂( y z2)∂ x

−∂(x2 y )∂ y ]k

(∇×f )=[ i j k∂∂x

∂∂ y

∂∂ z

x2 z −2xz yz]=[ x z3−2 yz ] i−[ y z3−0 ] j+[2 zy−x2 ]k

(∇×f )=[ i j k∂∂x

∂∂ y

∂∂ z

x2 z −2xz yz]=(x z3−2 yz ) i−( y z3 ) j+(2 zy−x2)k

∇× (∇×f )=[ i j k∂∂ x

∂∂ y

∂∂ z

(x z3−2 yz ) −( y z3 ) 2 zy−x2]¿ [ ∂(2 zy−x2)

∂ y−∂(−( y z3 ))

∂ z ]i−[ ∂(2 zy−x2)∂x

−∂(x z3−2 yz )

∂z ] j+[ ∂(− y z3)∂ x

−∂(x z3−2 yz )

∂ y ]k

∇× (∇×f )=[ i j k∂∂ x

∂∂ y

∂∂ z

0 −1 −2 ]=0 i−0 j+0kSea F ( x , y )= y

x2+ y2i− x

x2+ y2j. Encontrar el valor de la integral de línea.

La integral de línea en un campo conservativo en una trayectoria cerrada da como resultado cero debido que esta no depende de la trayectoria sino del campo vectorial.

Antes de nada tenemos que ver si el campo vectorial es conservativo mediante el rot=∇×F=0

rot=∇×F=

i j∂∂x

∂∂ y

yx2+ y2

xx2+ y2

El campo vectorial es conservativo porque nos da el rotacional cero.

rot=− y2−x2

x2+ y2+ y2−x2

x2+ y2=0

∫c1F ∙dr

F ( x , y )=sin ( t)i−cos ( t) j

r ( t )=cos2( t)i+sin 2( t) j

r ' ( t )=−2 sin ( t ) cos ( t ) i+sin (t)cos ( t) j

∫c1F ∙T ds=∫

c1F→

(r (t )→

) ∙ r ' ( t )→

|r ' ( t )→ |

∨r ' (t )→

∨dt=∫c 1F→

(r ' (t )→

)dt

∫0

2π

(sin (t ) i−cos (t) j¿) ∙(−2sin ( t ) cos (t ) i+sin (t)cos (t) j)¿

∫0

2π

−sin2(t )cos (t)−sin ( t)cos2(t )dt=0

∫c2F ∙dr

F ( x , y )=sin ( t)i−cos ( t) j

r ( t )=cos (t )−sin (t )−1.8

r ' ( t )=−cos (t )−sin (t )

∫0

2π

−2cos (t)sin (t)=0

F ( x , y )=sin ( t)i−cos ( t) j

r ( t )=0.5 i−co s ( t ) j

r ' ( t )=sin (t ) j

∫0

2π

sin ( t)i−cos ( t) j ∙ sin (t) j

∫0

2π

−sin ( t )cos (t )=0

F ( x , y )=sin ( t)i−cos ( t) j

r (t )=sin (t)i

r ' (t )=cos (t)i

∫0

2π

sin ( t)i−cos ( t) j ∙cos (t) i

∫0

2π

sin ( t)cos (t )dt=0

W=∫ F⃗ ∙ dr=∫c 1

❑

F⃗ ∙ dr+∫c 1

❑

F⃗ ∙ dr

W=∫ F⃗ ∙ dr=∫a

b

F⃗ ∙ dr+∫b

a

F⃗ ∙ dr

W=∫ F⃗ ∙ dr=∫a

b

F⃗ ∙ dr−∫a

b

F⃗ ∙ dr

W=∫ F⃗ ∙ d r=0

→por lotanto es igual a0esdecir esunacurva cerradacontinuo en todos sus puntos

W=∫ F⃗ ∙ dr=∫c 2

❑

F⃗ ∙ dr+∫c 2

❑

F⃗ ∙ dr

W=∫ F⃗ ∙ dr=∫a

b

F⃗ ∙ dr+∫b

a

F⃗ ∙ dr

W=∫ F⃗ ∙ dr=∫a

b

F⃗ ∙ dr−∫a

b

F⃗ ∙ dr

W=∫ F⃗ ∙ d r=0

→por lotanto es igual a0esdecir esunacurva cerradacontinuo en todos sus puntos

W=∫ F⃗ ∙ dr=∫c 3

❑

F⃗ ∙ dr+∫c 3

❑

F⃗ ∙ dr

W=∫ F⃗ ∙ dr=∫a

b

F⃗ ∙ dr+∫b

a

F⃗ ∙ dr

W=∫ F⃗ ∙ dr=∫a

b

F⃗ ∙ dr−∫a

b

F⃗ ∙ dr

W=∫ F⃗ ∙ d r=0

→por lotanto es igual a0esdecir esunacurva cerradacontinuo en todos sus puntos

W=∫ F⃗ ∙ dr=∫c 4

❑

F⃗ ∙ dr+∫c 4

❑

F⃗ ∙ dr

W=∫ F⃗ ∙ dr=∫a

b

F⃗ ∙ dr+∫b

a

F⃗ ∙ dr

W=∫ F⃗ ∙ dr=∫a

b

F⃗ ∙ dr−∫a

b

F⃗ ∙ dr

W=∫ F⃗ ∙ d r=0

→por lotanto es igual a0esdecir esunacurva cerradacontinuo en todos sus puntos

6 Mediante el uso del teorema de Green y dado:

Donde C es una circunferencia orientada en sentido contrario al de las manecillas del reloj.Mostrar que I=0, si C no contiene al origen. ¿Cuál es el valor de I si C contiene al origen?(Graficar campo eléctrico, y curva C)

I=∫ ydx−xdyx2+ y2

=0

I=∬c

❑

¿¿

I=0

c :{x=acosty=asent

I=∬0

2π

¿ acost , a sent> .←asent , a sent>¿¿

I=−∬0

2π

cos2 t+sen2 t at

I=−2 π

Verificar el Teorema de Stokes, desde los dos lados de la ecuación. Graficar el campo vectorial, la superficie y la curva C. Considerar que C está orientado en sentido contrario a las manecillas del reloj, con ello se puede orientar el rotacional.

f ( x , y , z )=4 xzi+ yj+4 xyk

z=9−x2− y2

z=0

∇×f =(∇×f )=[ i j k∂∂x

∂∂ y

∂∂ z

4 xz y 4 xy ]¿ [ ∂(4 xz)∂ y

−∂( y )∂z ]i−[ ∂(4 xz)∂x

−∂(4 xy)∂z ] j+[ ∂( y )∂ x

−∂(4 xz)∂ y ]k

(∇×f )=[ i j k∂∂x

∂∂ y

∂∂ z

x2 z −2xz yz]=[0−0 ] i− [4 y−0 ] j+ [0−0 ]k

∫∫(0 i−4 yj+0 k )(0,0 ,−1)(4 y)

∫∫16 y2dA

∫0

2π

∫0

r=3

16 y2 rdrdθ

∫0

2π

∫0

r=3

16cosθ2 rdrdθ

72π