Introducción a la Econometria

Introduccin a la Econometra. Gua Didctica. Pgina 1

INTRODUCCIN A LA ECONOMETRA

GUA DIDCTICA

Licenciaturas de Economa y ADE

NELSON LVAREZ VZQUEZ PEDRO ANTONIO PREZ PASCUAL

BASILIO SANZ CARNERO


1.- PRESENTACIN DE LA GUA.

l objetivo de esta Gua Didctica es orientar al alumno en la preparacin de una asignatura Introduccin a la Econometra (medicin de la economa). Es esta una parte de la ciencia econmica que reviste dificultad incluso cuando se dispone de

clases presenciales. Las dificultades son mayores en la UNED, no slo por la falta de clases, sino tambin por la falta de contacto con el profesorado, con los compaeros y con el mundo acadmico, que es parte esencial de la formacin universitaria.

Siendo la econometra una materia por cuantitativa, dominada por los aspectos instrumentales y formales, su aprendizaje requiere haber asimilado otros conocimientos, lo cual ha de plantearse con criterio, y no a modo de inventario, enumeracin y yuxtaposicin. La formacin en trminos generales, es calidad, no cantidad, es reflexin, y es en consecuencia, tiempo, algo que, en trminos relativos, es escaso para el alumno de la UNED, muchas veces con trabajo y otras condicionantes. Ni ello exime de aspirar a una formacin de primera fila, ni exime por tanto, del cumplimiento de unos objetivos bsicos. La presente Gua, trata de adaptarse a criterios estndar, que versan sobre los objetivos, contenidos, criterios de evaluacin y orientaciones para el estudio de cada tema. En la bibliografa bsica hay aplicaciones resueltas, a nuestro juicio, suficientes, que pueden servir de autoevaluacin. Puesto que partimos de la calidad y no de la cantidad, sobre cada problema basta con una aplicacin si sta es bien comprendida, no basta con muchas, si falta el conocimiento.

Se pone el acento, en que lo que se persigue es la realizacin de aplicaciones, directamente equiparables a lo que el futuro licenciado (y tal vez doctor) en Economa, debe realizar en su actividad acadmica y profesional. A los ejercicios dedicados a la comprensin de una tcnica dada, se les reserva la denominacin de ilustraciones empricas, de carcter ms formal e instrumental, desempeando por ello, slo una etapa intermedia en la formacin economtrica.

E


2. PRESENTACIN DEL EQUIPO DOCENTE.

La asignatura se encuentra adscrita al Departamento de Economa Aplicada Cuantitativa I y el Equipo Docente est formado por los profesores:

Dr. D. Nelson lvarez Vzquez, Catedrtico de Economa Aplicada Dr. D. Pedro A. Prez Pascual, Profesor Asociado de Econometra D. Basilio Sanz Carnero, Profesor Asociado de Econometra

El horario de guardia, en el que pueden contactar con el Equipo Docente , es los

mircoles de 16 a 20. Los telfonos y direcciones de contacto son,

Nelson lvarez Vzquez 91 3986376 [email protected] Pedro A. Prez Pascual 91 3987801 [email protected] Basilio Sanz Carnero 91 3986330 [email protected]

Con objeto de agilizar las contestaciones, se ruega no enviar simultneamente el mismo correo electrnico a todos los miembros del Equipo Docente. 3.- INTRODUCCIN GENERAL A LA ASIGNATURA.

Esta asignatura pertenece al Primer Ciclo de la licenciatura. Se imparte en el segundo cuatrimestre del tercer curso. Encuadrada en las Enseanzas Regladas, y se dirige por tanto a aquellos alumnos que se encuentran a punto de terminar el Primer Ciclo de la Licenciatura. La Econometra naci a principios del siglo XX con el objetivo de medir ciclos y teoras econmicas, en particular, con el propsito de dotar de contenido emprico a las teoras econmicas neoclsicas, calificadas como vacas. Esta es sin duda una respuesta a objeciones concretas, en la que hay que separar lo esencial de lo accesorio. Que las teoras econmicas deban tener o no, contenido emprico, es una crtica propia del empirismo que ha informado algunas corrientes de la econometra. El econmetra parte de una teora, proposicin racional y abstracta, que no discute en cuanto tal, sino que se limita a medirla. Si se han formulado teoras, quiere ello significar que se busca retener mediante abstraccin, lo esencial, y prescindir de lo accesorio, es decir, de los aspectos particulares, en buena medida empricos, propios de cada experiencia, digamos mercado concreto. Puesto que hemos anticipado el criterio de la constante autoevaluacin, este es el momento en que el alumno debe detener la lectura de la Gua, y proceder a recordar y poner por escrito, mejor si breve, cual sea el estado de la cuestin respecto al realismo de los supuestos.

La descripcin del objeto de la econometra, es sin duda una simplificacin, de la que tiempo habr de ir marcando distancias. El economista habla hoy ms de comprobacin y contrastacin emprica de teoras, y no menos del modelo economtrico, cuya relacin con la teora puede llegar a difuminarse hasta el punto de que algunos no


conserven relacin con las teoras econmicas. Mencionemos que en la escala de objetivos, fcil de descubrir en la literatura, a veces, el objetivo se establece en la prediccin. La evaluacin correspondiente debe ser ahora la de desarrollar en no ms de dos pginas la relacin entre hiptesis, teora y modelo.

Nuestro programa sigue su propia lnea que cuenta con antecedentes. Deca Schumpeter que la Economa nunca alcanzara el prestigio que corresponde a una ciencia madura, mientras no fuera capaz de expresar numricamente sus resultados. Las teoras econmicas no completan su aportacin a la Ciencia Econmica, mientras no son medidas. De manera que en trminos ideales, el programa para ser considerado por superado, ha de servir para que el alumno acredite su capacidad en la medicin y comprobacin de teoras econmicas. Hay una afirmacin clsica de que la Econometra es teora y medida, lo cual es una interpretacin a nuestro modo de ver, una tanto laxa de medicin de una teora. Digamos que sta parece ms cerca del lema al que aqulla vino a sustituir en el seno de la Cowles Commission, ciencia es medida. El alumno debe captar desde el principio, la diferencia de matiz. En teora y medida, se atribuye a la medicin una cierta apariencia de sustantividad. En medicin de una teora, sta es lo sustancial, y la medicin el complemento necesario. Se cuenta que Einstein, no public su teora de las lentes gravitacionales hasta unos veinte aos ms tarde de haberla desarrollado, por considerar que no se poda comprobar empricamente.

Vamos a ver a lo largo del programa, que la medicin de teoras econmicas, es un objetivo todava no culminado a satisfaccin de la profesin y de los econmetras en particular. De manera que a lo largo de la mayor parte de la historia de la econometra, sta ha experimentado ciertas derivaciones, a veces, difciles de reducir al objetivo planteado. Digamos que el programa de la econometra tal como se desprende de la literatura y manuales, puede verse orientado al objetivo de la modelizacin. No hay una correspondencia necesaria entre medicin de teoras y modelizacin, y en el supuesto de discrepancias, cualquiera de los dos aspectos, dependiendo de la ecuacin investigadora del economista, ofrece un amplio campo.

En el intento de llevar a cabo la cuantificacin, trmino que junto con el espritu

numrico, es muy del agrado de Schumpeter, cuya obra se supone bien conocida del alumno de econometra, los programas han evolucionado hacia el desarrollo y aplicacin de mtodos, cada vez ms numerosos y sofisticados desde un punto de vista formal, sin que se perciba con nitidez el progreso que de tal inventario de tcnicas se deriva. En todo caso, esto es sin duda un juicio de valor, que el alumno ha de afrontar con conocimiento de causa. En este programa, se considera que el conocimiento de los mtodos no agota el contenido de la Econometra, aunque es condicin necesaria para su estudio.

La medicin toma los procedimientos de clculo de la estadstica, concebida y

formulada para y por ciencias experimentales. Aunque una mirada rpida al programa puede dar la impresin de que se desarrollan mltiples tcnicas, puede decirse, que todas ellas gravitan en el empleo del anlisis de la regresin, al que aparece asociado el criterio de ajuste de los mnimos cuadrados. No es posible seguir sin establecer el inmediato ejercicio de autocomprobacin. Es preciso recordar el significado y empleo de la regresin, de la estimacin, de los principales coeficientes, de los criterios de ajuste de la media (regresin I) y de los mnimos cuadrados (regresin II), y todo lo relacionado con ello.


No es analticamente necesaria la asociacin entre regresin y probabilidad, como ilustran los 7 primeros captulos de la Addenda (1998), pero es frecuente y casi general en los programas de econometra, que se presente de esta forma, siendo una prueba el resto de los captulos.

Por ello es obligado que se proceda a la autocomprobacin de los principales

conceptos de probabilidades, desde la ley del azar, las caractersticas de distribuciones, especialmente, la normal, ji-cuadrado, t de Student, y F de Snedekor, los teoremas de convergencia y leyes de los grandes nmeros, la distribucin en el muestreo y sus propiedades (insesgadez, eficiencia y consistencia), mtodos de estimacin (adase a los mnimos cuadrados el de mxima verosimilitud y los momentos), construccin de intervalos de confianza y contrastacin de hiptesis. Es esencial que la inferencia respecto a una sola variable, sea bien comprendida, porque en la econometra se trata de la inferencia con varias variables, y adems, siendo sta atemporal, se va a generalizar al tiempo, es decir, la variable aleatoria se generaliza al denominado proceso estocstico.

Recordados estos mtodos, e iniciado en los nuevos, es fundamental que el alumno

adopte el planteamiento de que el punto de partida es la economa, a cuya medicin pueden contribuir los mtodos desarrollados en otras disciplinas. Una alternativa a la que no nos adherimos, es la de aplicar en economa mtodos de otras ramas por ver si pueden ser tiles. Lo esencial es la medicin de teoras y slo si tales mtodos contribuyen a dicha medicin, son bienvenidos.

Se trata en definitiva, de que el alumno recurra a los mtodos adecuados, una vez

tiene definido el planteamiento econmico, no al revs. Por ello es esencial el conocimiento de los problemas metodolgicos de la ciencia en general y de la Econometra en particular, as como la evolucin de estos ltimos a lo largo de la historia. A estos temas se dedica algn espacio al principio del texto. Para un estudio ms detallado de los mismos, es recomendable acudir a Introduccin a la evolucin de la metodologa de la econometra.

Dentro de lo que es el programa, el tema 1 hace referencia fundamentalmente a

cuestiones de tipo metodolgico. As se trata de cuestiones como la definicin de ciencia, concepto de ley, hiptesis y teoras econmicas, definicin de econometra, metodologa de la econometra, objeto de la econometra, tipos de modelos, etc. Como ya qued dicho, un tratamiento ms detallado de estas cuestiones, se encuentra en Introduccin a la Evolucin de la Metodologa de la Econometra. Sugerimos que se complemente con los primeros captulos de las Lecciones de Teora Econmica del Profesor Castaeda.

Conocidos o recordados los fundamentos, se trata de los mtodos. De hecho, el

programa clsico de Econometra no versa de forma expresa sobre la medicin de teoras, sino sobre la especificacin y estimacin de modelos que expresan no tanto teoras como hiptesis econmicas. Siendo cierto que la metodologa debe ser comprendida y aplicada, es imprescindible que el alumno realice las aplicaciones prcticas para comprobar el grado de asimilacin de los conceptos. Como no existen pruebas a distancia, stas se sustituyen como requisito imprescindible para aprobar la asignatura, por la presentacin de una aplicacin prctica. En este sentido los tres ltimos temas pueden servir de orientacin. 4.OBJETIVOS Se consideran objetivos bsicos de este curso:


4.1 Conocer a grandes rasgos la historia y evolucin de la econometra, y los distintos

problemas asociados a la medicin. 4.2 Obtener un conocimiento general de las diferentes escuelas economtricas y los

enfoques desde los que puede ser abordado el estudio de la materia 4.3 Adquirir un conocimiento slido del uso de los diferentes mtodos estadsticos

aplicados a la medicin. 4.4 Elaborar una aplicacin prctica que verse sobre el objeto propio de la

econometra, donde se pruebe la capacidad para redactar un trabajo aplicado razonado extrayendo del mismo las conclusiones econmicas pertinentes.

5.- REQUISITOS PREVIOS

Son necesarios conocimientos de, lgebra y anlisis matemtico: funciones, resolucin de sistemas de ecuaciones,

derivadas, clculo matricial, ecuaciones en diferencias finitas, etc. estadstica y probabilidad: distribuciones de frecuencias y sus caractersticas ms

significativas, regresin y correlacin, distribuciones de probabilidad y teoremas de convergencia, incluidas las leyes de los grandes nmeros, distribuciones muestrales y propiedades de los estimadores, puntuales y por intervalos, as como contrastacin de hiptesis.

teora econmica, es necesario recordar las principales relaciones postuladas por la

teora, como por ejemplo, la teora cuantitativa del dinero o la ley de la demanda (oferta).

Puede decirse que la inferencia estadstica previa supone, por una parte, lo que se

conoce como clsica, siendo objeto de generalizacin en el programa de econometra a los procesos estocsticos, por otra parte, es la inferencia referida a una variable, siendo generalizada a varias variables en el programa de econometra.

6.- LOS MEDIOS Los medios de que dispone el alumno pueden clasificarse en: ) PERSONALES 1. Los profesores de la sede central nos encontramos a su disposicin en el horario de

consulta para ofrecerles la mayor ayuda posible. Las consultas pueden ser personales, telefnicas, postales o por medio de correo electrnico. Se ruega no enviar simultneamente los mismos mensajes a todos los profesores.

2. Los profesores tutores de los Centros Asociados. Es aconsejable acudir a sus tutoras con regularidad.

3. Actualmente funcionan tambin las denominadas tutoras virtuales a travs de la red, de especial utilidad para aquellos alumnos que no disponen de profesor tutor en sus Centros Asociados.


) MATERIALES 1. Los textos base, elaborados teniendo en cuenta las caractersticas de la enseanza a

distancia. 2. La bibliografa complementaria. Si es razonable el dicho antiguo de que hay que temer a

la persona de un solo libro, este argumento es ms fuerte para quienes preparan un programa, en principio, sin clases presenciales. El material complementario permite una mejor comprensin de la materia, lo que constituye el mejor camino para superar las pruebas correspondientes.

3. Tanto el manual, que se corresponde con el programa, como la bibliografa complementaria, son nicamente una recomendacin, en el sentido de que permiten contestar al programa. Dada la naturaleza universitaria de la institucin en la que se imparte la econometra, el alumno puede optar por adoptar su propia seleccin.

4. Hay adems otros documentos, como las instrucciones remitidas a todos los centros Asociados, que explican la forma de elaborar la aplicacin prctica.

5. Toda la bibliografa relacionada con la asignatura disponible en las bibliotecas de los Centros Asociados y la Biblioteca de la Sede Central, es accesible a los alumnos de la UNED sin ms requisito que hacerse el correspondiente carn.

6. Es intencin de los responsables de esta asignatura, poner a disposicin de los alumnos un paquete informtico, para aquellos que no dispongan de otra alternativa. No es necesario que se utilice y ms bien es recomendable que la primera vez se haga de forma manual (sin programa informtico). Una vez entendida la rutina, puede hacer uso del paquete. En el examen, no dispondr del programa informtico, por lo que no tiene que albergar dudas respecto al proceso de clculo correspondiente a la parte aplicada del examen.

7.- CONTENIDOS

Los contenidos de la asignatura se han distribuido a lo largo de 13 temas donde se recogen y desarrollan los aspectos que anteriormente sealamos como objeto de estudio de la materia. Destacan como temas ms relevantes los nmeros 6, 7 y 8, donde se estudian los instrumentos bsicos de la economa cuantitativa. El desarrollo concreto del Temario, es como sigue:

Tema 1 Introduccin a la econometra Tema 2 Ajuste de un modelo de regresin simple y mltiple Tema 3 Una introduccin al enfoque de componentes inobservados Tema 4 La medicin de las teoras econmicas basada en la descomposicin peridica

(anlisis del periodograma) de los ciclos empricos Tema 5 Modelos uniecuacionales en un contexto probabilstico Tema 6 Inferencia en la regresin lineal mltiple Tema 7 Revisin de las hiptesis de trabajo Tema 8 El problema de la multicolinealidad Tema 9 Consistencia de los estimadores Mnimo Cuadrticos Tema 10 Aplicaciones (economtricas) de economa cuantitativa Tema 11 Medicin y estimacin de las teoras o hiptesis de consumo con datos

trimestrales Tema 12 La medicin de las leyes de demanda de productos ganaderos respecto a precios

de productos relacionados y renta


8.- ORIENTACIONES BIBLIOGRFICAS Los textos base para preparar la asignatura, son: 1. LVAREZ VZQUEZ, Nelson Introduccin a la Econometra. Ediciones

Acadmicas . Madrid 2003 (este puede sustituirse por el texto antiguo) 2. LVAREZ VZQUEZ, Nelson. Aplicaciones de Econometra. Editorial CERA.

Madrid, 1999

Para ampliar las cuestiones referidas a la metodologa, pueden consultarse:

i. EPSTEIN, R.J. (1987): A History of Econometrics. North Holland. Amsterdam ii. MORGAN, M. S. (1990): The History of Econometric Ideas. Cambridge University

Press. Cambridge. iii. DARNELL A. C.& EVANS J.L. (1990) The Limits of Econometrics. E. Elgar

Publishing Limited. England. iv. DE MARCHI, N. & GILBERT, CH. (1989): History and Methodology of

Econometrics. Clarendon Press. Oxford.

Para el resto de los temas, puede consultarse cualquier manual general de Econometra, como:

i. ALCAIDE INCHAUSTI A. y otros (1990), Economa Aplicada Cuantitativa I. Cuadernos de la Uned n 88. Ed. UNED.

ii. AZNAR GRASSA, A. (1984), Problemas de Econometra. Ed. Pirmide iii. DAGUM & DAGUM (1971), Introduccin a la Econometra. Ed. Siglo XIX iv. GUJARATI, D (2003), Econometra. McGraw Hill. v. JOHNSTON, J, DINARDO, J.(2001), Mtodos de Econometra. Ed. Vicens Vives. vi. MADDALA, G.S. (1977). Econometra. McGraw-Hill. vii. PINDYCK, R.S & RUBINFIELD, D.L. (1980) Modelos Economtricos. Labor. viii. PULIDO SAN ROMN, A. (1987). Modelos Economtricos. Pirmide. ix. URIEL, E. (1985) Anlisis de series temporales. Modelos ARIMA. Paraninfo. x. WALLIS, K.F. (1972), Introduccin a la Econometra. Alianza Universidad.

9.- LAS ACTIVIDADES En otro lugar de esta gua ya se ha sealado la importancia que tiene en esta asignatura la realizacin de actividades. El alumno debe intentar realizar por su cuenta las actividades resueltas en el manual de aplicaciones, al principio de forma manual siguiendo paso a paso todo el proceso hasta asegurarse de haberlo comprendido bien. Despus puede utilizar el software informtico. En el captulo de orientaciones bibliogrficas se ofrecen al alumno algunos textos con los que puede completar las actividades del manual. Consideramos que con los ejercicios de los manuales terico y prctico sealados como textos base, el alumno dispone de suficientes aplicaciones para preparar la materia. Ms que realizar muchas aplicaciones, se trata de que la que se haga, sea comprendida en su totalidad.


10.- LA EVALUACIN

Estar basada en la prueba presencial y en la aplicacin prctica a presentar por el alumno de la que se habl en el apartado anterior.

La aplicacin prctica mejorar la nota obtenida en la prueba personal en funcin de su calidad, pero es requisito previo para aprobar la asignatura, haber superado la prueba personal. Esta constar de dos partes, una terica donde se plantearn cuestiones cortas del mismo estilo que las que figuran al final de cada tema, y una pregunta ms larga que puede coincidir con algn epgrafe del temario. La segunda parte ser de naturaleza prctica y consistir en la resolucin de algn ejercicio parecido a los del manual de aplicaciones. Ambas han de ser superadas independientemente para aprobar la prueba personal. La ponderacin de cada una de las partes ser: Teora: 6 puntos (1 punto las preguntas cortas y 3 puntos la extensa)

Aplicacin: 4 puntos.

Los informes de los profesores tutores, cuando existan, siempre tendrn una

influencia positiva en la evaluacin final. En esta gua se ofrece un ejercicio de examen resuelto. 11.- ORIENTACIONES PARA EL ESTUDIO DE CADA UNIDAD O TEMA Este apartado pretende orientar al alumno a lo largo del temario con el objeto de ayudarle a superar las dificultades que se encuentre en el proceso de aprendizaje, sealndole los aspectos ms relevantes y orientndole en el estudio de los mismos. Aunque normalmente nos detendremos en cada epgrafe, a veces se han omitido algunos por considerar que no necesitan comentarios adicionales. En particular se ha hecho esto con casi todos los apartados que tratan ilustraciones empricas, cuyo objetivo obvio, es la ilustracin de los aspectos tericos tratados con anterioridad.


Todos los temas se encuentran en el texto base y, en aquellos epgrafes en que se ha considerado necesario, se han proporcionado referencias bibliogrficas para ampliar el contenido de los mismos. Tema 1. Introduccin a la Econometra En este tema se tratan cuestiones que no suelen ser objeto de atencin en los textos introductorios. No obstante hemos considerado que sin un mnimo conocimiento de los mismos, es difcil que el alumno/a pueda abordar con xito la medicin de las relaciones econmicas, objetivo ltimo de la econometra.

Las ideas ms importantes desarrolladas en cada uno de sus diferentes apartados, se exponen a continuacin.

1. Consideraciones metodolgicas (versa sobre la evolucin histrica de la econometra; la diferencia entre el razonamiento inductivo y deductivo y su relevancia de cara a la cuantificacin: las conclusiones inductivas rebasan el alcance de las premisas; la naturaleza causal de las leyes econmicas y el tratamiento de la causalidad en econometra (ha tendido a ser rechazado), as como a las diferencias entre hiptesis, teoras y modelo)

2. El objeto de la econometra. (de entre las dos alternativas bsicas que se plantean, se elige como objetivo de la econometra, la medicin de las teoras econmicas cualitativas. La medicin se concreta en proporcionar un signo y un valor para la pendiente (parmetro), comprobando si es acorde con el postulado por la teora, determinar la direccin de la influencia, y verificar si es o no estable en el tiempo. Siendo esta una alternativa hoy heterodoxa, requiere una justificacin que el alumno puede asimismo encontrar en este epgrafe. Es esencial en este sentido, tanto la diferencia entre hiptesis y teora, como el principio de causalidad que, como consecuencia del historicismo ha sido abandonado en los modelos economtricos.

Para la medicin es importante tener en cuanta que las leyes han sido formuladas en

trminos estticos, en tanto que pretendemos medirlas con series histricas (dinmicas) lo cual genera un importante problema en la cuantificacin) .

3. Los manuales de econometra. (En los diferentes manuales aparecidos a lo largo de la

historia, puede apreciarse la evolucin sufrida por la econometra. Al principio no habra manuales propiamente dichos, sino tratados de mtodos estadsticos aplicados a las ciencias sociales (ni tampoco muchos datos) pero poco a poco stos van siendo reemplazados por los manuales de econometra. En este epgrafe se mencionan algunos de los ms importantes)

4. La econometra a partir de los primeros congresos de la Econometric Society (Se comentan las ponencias de los primeros congresos de la Econometric Society, que pueden ayudar a comprender el significado de la econometra)

5. La inferencia estocstica (La econometra actual acepta el uso de la inferencia estocstica. En este apartado se sealan algunas crticas a su utilizacin, lo que no evita que hoy por hoy sea imprescindible su conocimiento)


6. Ciencia Econmica y Econometra (En la interpretacin de la econometra que se ha adoptado, lo esencial es la teora econmica, que proporciona al econmetra las leyes que ste debe intentar medir, es decir su objetivo es la cuantificacin de las regularidades establecidas deductivamente por la teora, que es un dato para l. Las leyes econmicas deben ser simples, un efecto y una sola causa, lo que permite atribuirles un determinado grado de certeza.

La cuantificacin o medicin es el primer paso, siendo posterior la prediccin que tambin posee carcter esttico como las propias leyes tericas que se quieren medir, por ms que en la medicin se utilicen series histricas (dinmicas).

Los cuatro epgrafes siguientes tratan de ilustrar en trminos prcticos cuanto se ha sealado anteriormente, tomando como ejemplo la teora de la demanda, una de las teoras que ms atencin ha merecido desde el punto de vista aplicado.

7. La teora econmica de la demanda. Se comienza definiendo en trminos matemticos la ley que se pretende medir, lo que puede no ser inmediato. En este caso concreto se supone que la cantidad demanda es funcin del precio D = f(p), de manera que la direccin de la causalidad ira de los precios a las cantidades. Esta relacin es esttica y supone constantes el resto de los factores. stos vendran recogidos en la forma funcional, de manera que si variasen, se desplazara la demanda. ste es un cambio diferente al que sucede a lo largo de la funcin demanda que se debe slo a variaciones en el precio: estos son los movimientos que explica la teora. En estas condiciones la teora afirma que la pendiente es negativa. El signo y el valor de la pendiente negativa postulada por la teora, es lo que debemos intentar cuantificar, si bien es previo el tratamiento que hemos de dar a la condicin ceteris paribus.

8. El significado de la medicin de una teora econmica. Por medicin se entiende dar

respuesta a las siguientes cuestiones: a) verificacin del signo de la pendiente, b) establecimiento de su valor, y c) fundamentacin emprica de su constancia en el tiempo. Dada la dificultad extrema de c) en las aplicaciones nos ocuparemos de los dos primeros apartados.

La ley a medir tiene una expresin esttica y otra dinmica, inequvocamente relacionadas y con el mismo significado econmico, aunque contempladas desde perspectivas diferentes. No hay pues contradiccin, sino que se trata de dos expresiones de la misma ley. En el caso de la demanda, a la expresin esttica, recta con pendiente negativa, corresponderan movimientos contrapuestos en trminos dinmicos. Lo contrario sucedera en el caso de la oferta: recta con pendiente positiva en trminos estticos y movimientos sincronizados en el tiempo en trminos dinmicos.

9. El descubrimiento del proceso generador de datos Representa una forma alternativa de entender la econometra, si bien hoy por hoy es la dominante. El alumno debe comprender bien las diferencias de enfoque entre una y otra.

El ltimo apartado se trata de ilustrar lo que sera una aplicacin prctica concreta, aplicada en este caso al mercado del aceite, del que se pretende cuantificar la demanda (oferta). Aqu se exponen los primeros problemas que hay que se presentan en la medicin: eleccin de las contrapartidas empricas de las variables tericas, clasificacin de las variables en endgenas (efecto) y exgenas (causas), eleccin de la forma funcional, etc. Una vez se hayan resuelto estas cuestiones y suponiendo que se opte por una relacin lineal


(lo habitual), el siguiente paso es ajustar una recta de regresin utilizando los datos de las variables empricas. Tema 2. Ajuste de un modelo de regresin lineal simple y mltiple Los clculos necesarios siendo imprescindibles en las aplicaciones, han de asimilarse bien. En primer lugar, es necesaria la obtencin de medias, varianzas y covarianzas entre las variables, cuya obtencin suponemos conocida. Lo que se pretende con el mtodo de los Mnimos Cuadrados Ordinarios (MCO), es ajustar una recta (u otra funcin), de forma que la suma de las discrepancias dt2, entre la variable observada Yt y la estimada $Yt , sean mnimas. El motivo de elegir 2td y no simplemente td es que, si eligisemos esta ltima suma, los trminos positivos se cancelaran con los negativos y la suma sera cero. Aplicando las condiciones de mnimo a D = 2td se obtienen las ecuaciones normales (2.11 y 2.12) y, a partir de ellas podemos calcular los parmetros a y b. Un mecanismo aconsejable es trabajar con desviaciones a las medias, eliminando el trmino independiente. As se obtiene (expresin 2.15) el estimador de MCO de b. El trmino independiente carece de significado econmico, siendo su utilidad mejorar el ajuste. Por el contrario, el significado de b, es claro. Representa la tasa de cambio o cambio marginal de la variable dependiente (endgena) ante una variacin unitaria de la independiente (exgena). Puede representar tambin la elasticidad, si los datos estn en logaritmos.

Todo este proceso aparece descrito en el epgrafe 2.2, ilustrndose con los datos del mercado del aceite proporcionados en el tema anterior. Las expresiones ms utilizadas en la prctica son las ecuaciones (2.15) y (2.16).

Obtenida la recta de regresin interesa conocer el grado de ajuste, para lo que se dispone de diferentes coeficientes. El coeficiente de correlacin lineal, r, mide asociacin de los movimientos de X e Y en la escala abstracta (-1, 1). En ningn caso cabe interpretarlo como una medida de la causalidad entre las variables. En las aplicaciones se recurre al coeficiente de determinacin R2, que coincide con el cuadrado del coeficiente de correlacin. La razn se debe a que 100*R2 es el porcentaje de la varianza de la variable endgena explicada por la regresin. Su valor suele tomarse como una medida de la bondad del ajuste. No cabe atribuir tampoco un valor causal a este coeficiente. La causalidad en los modelos estructurales, es una hiptesis previa al tratamiento de los datos. Su valor puede obtenerse a partir de la expresin (2.20) y elevando luego al cuadrado, o bien recurriendo a la expresin,

22

21r

y

sRs

=

siendo 2rs la varianza residual o varianza de las discrepancias que se calcula con la frmula 2.19 En el epgrafe 2.3 se presentan diversas formas funcionales que pueden ser de utilidad en la cuantificacin, as como el importante concepto de elasticidad que debe ser ya


conocido. El ejemplo del aceite vuelve a servir de base para ilustrar el clculo de este concepto. Adems en el epgrafe 2.5, se presenta un ejemplo de la medicin de la curva de Phillips. Como el alumno/a dispone de los datos y los clculos intermedios, es conveniente que intente reproducir todo el proceso de clculo. Puede asimismo ejercitarse eligiendo otras variables empricas como imagen de las tericas. Por ejemplo, sustituyendo la superficie por la produccin como variable endgena, si bien esta ltima tiene el problema de estar influida no slo por la superficie (variable que s est plenamente determinada por el empresario, el agricultor en este caso), sino por las condiciones climatolgicas.

En el manual los clculos estn hechos con ordenador utilizando el software Econometric Views (Eviews, 4). Para aquellos que pudedan disponer de l, en la pg. 76 se dan unas indicaciones sobre las instrucciones bsicas para obtener las salidas de las tablas 2.4 o similares. Para aquellos otros (entendemos que la inmensa mayora) que no dispongan de este programa, pueden utilizar cualquiera de entre los muchos que efectan estos clculos. En la pgina web de la asignatura hay algunas direcciones donde se pueden encontrar programas gratuitos. Entre ellos uno que resulta aconsejable tanto por su calidad como por su facilidad de manejo, es Gretl. Puede descargarse de forma gratuita. Para acceder a dicho programa, una vez situados en la web de la asignatura, hay que seguir la ruta,

Otros recursos en la red / Recursos en lnea para estudiantes de econometra / Software

Una vez aqu, hay que buscar dicho programa (estn ordenados alfabticamente). Como puede observarse hay muchos otros enlaces. Pero no todos los paquetes son gratuitos y, entre los gratuitos, algunos son de difcil manejo o ms limitados que el aconsejado.

Un programa de gran difusin y que tambin puede ser utilizado en este curso, es EXCEL del paquete Office. En la ltima seccin de esta gua se ofrecen unas instrucciones bsicas (para usuarios no avanzados) con las que el alumno/a podr efectuar prcticamente todos los clculos economtricos exigidos en esta asignatura.

Con ello se pasa a la regresin mltiple expuesta en los epgrafes 2. 6 y siguientes. El modelo de regresin mltiple no es ms que una generalizacin del modelo simple en el que se incluyen ms de una variable explicativa (o variable causa). Aunque es muy utilizado, presenta graves problemas, el ms importante de los cuales es el de la multicolinealidad o dependencia entre las variables explicativas, al que ms adelante se dedica el captulo 8. stas y otras dificultades, estn recogidas en el epgrafe 2.6.1. A pesar de ello, el alumno debe conocer bien esta tcnica.

El lgebra matricial, aunque en principio pueda suponer una complicacin, es ventajosa

a la hora de encontrar los estimadores de los parmetros. En el epgrafe 2.6.2 se explica el proceso de clculo. El criterio para la obtencin de los parmetros sigue siendo el mismo: la minimizacin de la suma cuadrtica de las discrepancias. Si consideramos un modelo con dos variables explicativas ms el trmino independiente, ello conducira a tres ecuaciones normales en vez de dos, como en la regresin simple. Utilizando el artificio de trabajar con desviaciones a la media se elimina el trmino independiente y con ello una de las ecuaciones normales, quedando nicamente las dos que se recogen en la expresin (2.70). La frmula


(2.69) es la ms prctica de cara al calculo de una regresin con dos variables explicativas. Dicha expresin se generaliza inmediatamente para k variables explicativas:

121 11 12 1

2221 2 22

21 2

... ...

...... ... ... ...... ...

yk

yk

ykk k kk

b ss s sss s sbb

ss s sb

= =

Las frmulas (2.65) o su equivalente que aparece errneamente numerada como (7.12),

permiten calcular los parmetros de una regresin lineal simple utilizando el clculo matricial.

Se ilustra todo ello utilizando nuevamente el mercado del aceite, pero considerando ahora la renta como una nueva variable explicativa adems del precio. Los signos esperados son, positivo para la renta y negativo para el precio. Los resultados de la tabla 2.19 muestran que, en el caso de la renta, el signo es contrario al esperado. Para el clculo del ajuste en la regresin lineal mltiple, son especialmente tiles las expresiones (2.72), que proporciona la suma cuadrtica de las discrepancias, y las (2.73) y (2.75), que dan el valor del coeficiente de determinacin, segn estemos trabajando en desviaciones con respecto a la media o con datos originales. Este captulo finaliza con la consideracin de formas funcionales no lineales. En economa una de las ms utilizadas es la parbola, que podra representar la funcin de ingresos o de costes de una empresa. En este ltimo caso puede emplearse tambin una funcin cbica. El anexo (pp. 114 y ss) no ser, en ningn caso, objeto de examen. Erratas advertidas en este captulo: En la pgina 69, los datos de la columna Y2 de la tabla 2.1, son incorrectos. En la expresin (2.18) el numerador debe ir elevado al cuadrado. Inmediatamente ms abajo, en la frmula para calcular b, el numerador debe ser cov (qt, pt). Las expresiones (2.34) y (2.35) que corresponden al cambio marginal y la elasticidad de la funcin logartmica inversa, deberan ser,

2

bYX

(2.34)

bX

(2.35)


Tema 3. Introduccin al enfoque de componentes inobservados Debe comprenderse bien la fundamentacin de este enfoque, en particular el significado de la inclusin de t como un regresor ms en la regresin, o el criterio de separacin entre tendencia y ciclo. Ello es importante de cara a la interpretacin de los resultados. Puesto que dentro de esta aproximacin, el primer paso es separar la serie histrica en tendencia y ciclo, una vez se ha definido lo que se entiende por ambos tipos de movimiento el alumno ha de aprender a estimar ambos. En este captulo nos ocupamos de la separacin en tendencia y ciclo emprico, y en el siguiente, de la descomposicin del ciclo emprico en ciclos tericos de periodicidades fijas. Los epgrafes 3.3, 3.4 y 3.5 ensean cmo calcular diversos tipos de tendencias (tasas de variacin, diferenciacin, medias mviles, tendencias exponenciales, polinmicas, mtodo de la cuerda) a la vez que muestran las ventajas e inconvenientes de cada una de ellas. Estn basados en sencillos procedimientos de clculo y, habiendo comprendido (o recordado) el clculo de una regresin lineal, no deberan plantear ninguna dificultad.

Una vez que hemos calculado la tendencia, el ciclo emprico se obtiene restando de la serie original la de tendencia (ver expresin (3.10)). En el epgrafe 3.6 se expone una primera aproximacin a la cuantificacin a partir de dichos ciclos empricos. Debe observarse que la direccin de la causalidad as como la existencia de desfases y su tamao, son cuestiones que se determinan a posteriori, a partir de la evidencia emprica, ya que la teora econmica no es clara al respecto. Aparecen dos conceptos nuevos, el de flexibilidad que es equivalente al de elasticidad pero implica que la direccin de la causalidad va de las cantidades a los precios, y el de correlacin en el tiempo, que no es ms que una generalizacin del concepto de correlacin utilizado en las distribuciones atemporales. Es una herramienta til para determinar la direccin de la causalidad y la longitud de los desfases. La frmula utilizada en el clculo es la (3.14). La interpretacin de esta herramienta se ilustra en la tabla 3.7 que se refiere al mercado del aceite. Parte del hecho de que si existe causalidad entre precios y cantidades, la causa debe preceder al efecto en el tiempo. Es decir que si la causalidad va de los precios a las cantidades, entonces los cambios en los precios deben preceder a los registrados en las cantidades. En la columna encabezada con la leyenda lag (retardo), aparece la correlacin entre el ciclo de la superficie, CLSUPOLI (que se mantiene fijo) y el de precios, CLPRACEI, este ltimo retardado 0, 1, 2, ..., 16 periodos. En la columna siguiente, lead (adelanto), se muestra la correlacin del mismo ciclo de la superficie y el del precio adelantado 0, 1, 2, ... 16 periodos. Si la mxima correlacin se da en la primera columna, quiere decir que los cambios en los precios (que aparecen retardados) preceden a los habidos en las cantidades, mientras que si ocurre en la columna lead, el significado es el contrario: los cambios en las cantidades preceden a los de los precios. En el primer caso, la causalidad ir de los precios a las cantidades y en el segundo de las cantidades a los precios. El tamao del desfase vendr indicado por el valor de i donde se produce la mxima correlacin. Queda claro que en el ejemplo examinado la direccin causal va de las cantidades a los precios, y el tamao del retardo es 5. Por tanto regresaramos el ciclo de precios sobre el de cantidades retardado 5 periodos (tabla 3.8). El resultado muestra una flexibilidad de 2.76 (no 2.83 como errneamente aparece en la pgina 141). Como el proceso de clculo anterior es muy laborioso, se puede optar por la alternativa representada por la ecuacin (3.16), cuyos resultados se muestran en la tabla 3.10.


La equivalencia entre ambas, postulada por Frisch y Waugh, se refiere al coeficiente de flexibilidad, no al de determinacin. Vemos que la flexibilidad es prcticamente idntica (no es exactamente igual porque Frisch y Waugh se refieren a los ciclos obtenidos tras eliminar una tendencia lineal mnimo cuadrtica, y aqu se ha utilizado la tendencia que pasa por los extremos de la serie, o mtodo de la cuerda). Como antes, conviene que el alumno intente reproducir los clculos utilizando las tablas de valores intermedios (tablas 3.9 y 3.15), lo que le servir como ejercicio de autocomprobacin. Tema 4 La medicin de las teoras econmicas basada en la descomposicin peridica. La medicin de la teora de la demanda llevada a cabo entre los ciclos empricos no puede considerarse satisfactoria, dada la elevada dispersin que reflejan las figuras 3.20 y 3.22. La inadecuacin se debera al hecho de que el ciclo emprico es un movimiento heterogneo, resultado de la superposicin de ciclos tericos de diferentes periodicidades. La descomposicin peridica trata de avanzar un paso ms en la cuantificacin, descomponiendo el ciclo emprico en ciclos tericos inobservables de diferentes periodicidades. De ah el nombre de modelo de periodicidades ocultas.

La fundamentacin de esta aproximacin est contenida en los dos primeros epgrafes, mientras que en el tercero se ilustra el proceso de clculo de los coeficientes de Fourier, utilizando una vez ms el mercado del aceite. Aunque este instrumento pueda suponer una novedad para el alumno, el clculo no es muy complicado aunque s algo tedioso. Las frmulas (4.7) y (4.8) y el hecho de que los distintos armnicos son ortogonales, facilitan dicho proceso. Si se dispone de los datos de varianzas y covarianzas, como en la tabla 4.3 (p. 154), el resultado de las frmulas anteriores en inmediato. Si no, han de obtenerse las series trigonomtricas wij . En la tabla 4.2 se ofrecen las correspondientes a los dos primeros armnicos. Un detalle que genera alguna confusin, es que no siempre se advierte que W0=0.209439 no son grados sexagesimales, sino radianes. La equivalencia es,

00.209439360 12

2W = =

o

que puede ser ms cmodo para trabajar con la calculadora.

Conocidos los coeficientes de Fourier correspondientes a los diferentes armnicos, la contribucin a la varianza de cada uno de ellos se deriva inmediatamente de las expresiones 4.11 y 4.13. Representando grficamente estos valores en ordenadas y sus periodos en abcisas, se tiene el periodograma, instrumento bsico en esta aproximacin que nos indica la contribucin de cada armnico a la explicacin de la varianza.

En el de la figura 4.6 se observan picos (se entiende por pico un valor mayor que

los de los dos adyacentes) coincidentes en las periodicidades de 30 y 2,3 aos, lo que significa que esos ciclos tericos son importantes tanto en la serie de precios como en la de cantidades (aqu representada por la superficie). En consecuencia mediramos la ley de la demanda en dichas periodicidades, calculando previamente los ciclos tericos correspondientes y efectuando luego la regresin entre los mismos. Este proceso se ilustra


en 4.5: en la periodicidad de 30 aos se obtiene una ley de demanda, como se muestra en la figura 4.8 donde se aprecia la reduccin de la dispersin con respecto a la medicin efectuada entre los ciclos empricos. Por el contrario, en los 2,3 aos la ley es de oferta fig. 4.9).

No es necesario estudiar el anexo.

Erratas advertidas en este captulo: En la pgina 153, los primeros valores de las columnas 6, 7, 8 y 9 son positivos, no negativos. Tema 5 Modelos uniecuacionales en un contexto probabilstico Con la introduccin de la probabilidad el objeto de la econometra deja de ser la medicin de una teora establecida a priori, para pasar al descubrimiento de hiptesis. Este cambio de enfoque, operado entre los aos 30 y 40 del siglo pasado, fue criticado por importantes economistas, pero acab imponindose y constituye hoy el programa ortodoxo de econometra en cualquier Universidad. En el primer epgrafe se sealan algunos aspectos especialmente delicados de este enfoque. Conviene que el alumno repase sus conocimientos de probabilidad e inferencia antes de abordar el estudio del resto del programa. La introduccin de la probabilidad en el modelo de regresin simple presentado en el tema 2, se concreta en la adicin de un nuevo trmino inobservable, Vt que es considerado como una variable aleatoria. La aleatoriedad se traslada as a Yt y a los valores de a y b. Las Xt se suponen fijas, es decir no aleatorias o estocsticas. Las series histricas se consideran ahora muestras de una poblacin hipottica. Con una muestra concreta de Y, obtendremos unos valores concretos para a y b. Pero si dispusisemos de una muestra diferente, los valores de a y b seran tambin distintos. Como en economa slo disponemos de una serie (una nica realizacin en la terminologa probabilstica), su consideracin como una muestra resulta cuestionable. En 5.4 se intenta ilustrar el denominado proceso de muestreo artificial. Respecto de la perturbacin aleatoria, cuya imagen emprica son las discrepancias de la regresin, se formulan determinadas hiptesis, necesarias para garantizar que los estimadores de los parmetros poblacionales gocen de las propiedades deseables (insesgadez, eficiencia y consistencia) y para hacer posible el empleo de la inferencia estadstica. Las hiptesis ms importantes son, media nula, varianza constante, no autocorrelacin y normalidad.. Las tres primeras garantizan la insesgadez y la eficiencia y la cuarta, aunque no es necesaria para que se cumplan estas propiedades, s lo es para el empleo de los procedimientos habituales de contraste. Todas ellas se exponen con detalle en los epgrafes 5.5 5.8. En 5.9 se aborda la estimacin de los parmetros por los mtodos mnimo cuadrtico y de la mxima verosimilitud. La estimacin por MCO es idntica a la que se expuso en el tema 2 y tambin lo es el clculo del coeficiente de determinacin. La de MV, aunque basada en un criterio diferente, conduce en este caso a la misma solucin, de manera que basta con un conocimiento terico de este mtodo. Una novedad es que proporciona un estimador para la


varianza de las perturbaciones que, aunque mximo verosmil, es sesgado (expresin 5.43). En las aplicaciones es habitual utilizar un estimador insesgado que, como veremos, es algo mayor al dividir la suma cuadrtica de las discrepancias, no por n sino por n-2, es decir teniendo en cuenta el nmero de grados de libertad perdidos. En todo caso cuanto mayor sea el nmero de observaciones, menor ser la diferencia entre uno y otro. El epgrafe 5.10 trata de la distribucin en el muestreo de los estimadores a y b. Como dijimos, en el enfoque probabilstico, stos son variables aleatorias. Aceptada por hiptesis la normalidad de Vt, se sigue que tanto a como b, son v.a. normales. Se demuestra (seccin 5.10.2) que los estimadores a y b son insesgados y eficientes, es decir son los que poseen varianza mnima dentro de los estimadores de su clase (lineales e insesgados). La demostracin de esta ltima propiedad termina con la expresin (5.59). La frmula (5.60) ofrece la varianza del estimador b, que va a ser necesaria en los ejercicios de inferencia estadstica (contraste de hiptesis, construccin de intervalos de confianza, prediccin por intervalos). La varianza de a viene dada por,

22

2

1var( ) vt

Xan x

= + en tanto que la covarianza entre a y b, responde a la frmula (5.87). Finalmente (5.70) proporciona una frmula para el clculo del estimador insesgado de las perturbaciones aleatorias:

22

2t

v

dn

=

Con todas estas expresiones y teniendo en cuenta la distribucin en el muestreo de los estimadores, podemos efectuar los diversos ejercicios de inferencia que se exponen en 5.12. A pesar de que a y b son v.a. normales, no es posible utilizar las tablas de la normal en la contrastacin de hiptesis debido al desconocimiento de la varianza poblacional de las perturbaciones aleatorias, que aparece en las frmulas de la varianza de a y b y en cov(a, b). Por ello es necesario recurrir a otras distribuciones (t Student, 2 y F de Snedecor). Hecha esta salvedad, el procedimiento de contraste es el habitual y se ilustra en el epgrafe (5.12) con el ejemplo del mercado del aceite. Por ejemplo, si queremos contrastar la hiptesis de que la elasticidad demanda/precio es significativamente distinta de cero,

a) Se postula la denominada hiptesis nula, en este caso H0: = 0 b) Hemos visto que la expresin (b-)/s(b) se distribuye segn una t con 29 grados de

libertad. Luego si la hiptesis nula es cierta (=0), b/s(b) t29. c) Se calcula dicha expresin y se compara el valor obtenido con el tabulado para el

nivel de significatividad elegido. ste suele ser el 95% d) Podemos comprobar en tablas que para una t con 29 grados de libertad el valor

estar comprendido en el intervalo (-2,045, 2,045), 95 veces de cada 100, luego si la hiptesis nula es cierta, es decir si el parmetro no es estadsticamente distinto de cero, el valor de b/s(b) debe comprendido en dicho intervalo. En otro caso (si b/s(b) es mayor en valor absoluto que 2.045), se rechaza la hiptesis nula, lo que significa que aceptamos la significatividad del parmetro.


El mismo procedimiento seguiramos si la hiptesis a contrastar fuese H0: = h, con h

0, con la nica diferencia de que ahora el numerador de estadstico de contraste ser b h.

Finalmente, la ecuacin de regresin estimada puede utilizarse para la prediccin, que puede ser por puntos o por intervalos y referirse al predictor o a su media terica. Se demuestra que el predictor 0Y es una variable aleatoria normal, con media 0 0( )E Y Y= y varianza dada por la expresin (5.93), con lo que el clculo de un intervalo de confianza para la prediccin es similar al descrito para los valores de a o b.

En el caso de que lo que interese pronosticar sea, no el predictor sino su media terica, la varianza responde a la expresin (5.90). Tema 6 Inferencia en la regresin lineal mltiple Este tema simplemente generaliza los resultados del tema anterior al supuesto de que haya ms de una variable explicativa (regresin mltiple). La estimacin de los parmetros del modelo, y del coeficiente de determinacin, sigue el mismo procedimiento que se expuso en el tema 2. Las hiptesis sobre la perturbacin aleatoria son las mismas que en el tema 5 (6.5), y las caractersticas y propiedades de los estimadores a, b1, ..., bk, son tambin anlogas a las vistas en el tema 5: es decir son variables aleatorias normales y gozan de las propiedades de insesgadez (6.23) y eficiencia (6.24). Ahora la expresin (6.24) proporciona una estimacin para las varianzas y covarianzas de los estimadores, apareciendo aqullas en la diagonal principal.

En la pgina 240 una errata: deben suprimirse todas las numeraciones de frmulas que aparecen a la derecha, de manera que la siguiente frmula, es decir la (6.25) corresponde a la que aparece al principio de la pgina 241, que se refiere al estimador insesgado de la varianza de las perturbaciones aleatorias: presenta la nica diferencia con respecto al de regresin simple, de que en el denominador se corrige por n-k en lugar de n-2. Para contrastar hiptesis sobre el valor de 2 puede utilizarse (6.28). Con estas expresiones se pueden realizar contrastes de hiptesis y construir intervalos de confianza como se ilustra en las pginas 242-246.

En el epgrafe 6.3 se muestran algunos contrastes de hiptesis adicionales que suelen utilizarse en el trabajo aplicado. Comprendidos los anteriores, no deberan plantear ningn problema. Tema 7 Revisin de las hiptesis de trabajo Deca Pareto que desde un punto de vista terico (la referencia esta tomada de Haavelmo, 1944), es posible demostrar cualquier proposicin. Basta con actuar sobre el alcance de los supuestos. Si se acepta que los nmeros de la lotera del Comisariado de


Finanzas de Mosc, son series puramente aleatorias en el tiempo, la tesis de la generacin de ciclos regulares a partir de la pura aleatoriedad queda establecida de modo necesario. Hasta ahora se ha justificado la racionalidad de aplicar a los movimientos econmicos, los supuestos de la teora de las probabilidades. Cuando se aplica sta a evidencias empricas, es decir, a series histricas concretas extradas de los anuarios, se observan resultados contrarios a lo esperado: las discrepancias de la regresin presentan autocorrelacin, varianza no constante, etc. El mantenimiento de la inferencia estocstica como esquema conceptual vlido para su aplicacin a la economa, requiere revisar tales incumplimientos. Es decir, el economista debe saber como actuar si alguna de las hiptesis no es vlida.

La revisin del incumplimiento de aquellas hiptesis, incluye la deteccin del mismo, las consecuencias, as como su correccin. En particular se revisan las hiptesis de autocorrelacin, homocedasticidad y normalidad. El prximo tema se dedica al problema de la multicolinealidad.

El incumplimiento de las hiptesis relativas a las perturbaciones, puede detectarse en trminos intuitivos, con slo observar su trayectoria en la correspondiente representacin grfica. La econometra provee adems de contrastes paramtricos. En lo que sigue se comentan los principales. 7.1 Incumplimiento de la hiptesis de no autocorrelacin. Asumiendo que el concepto de autocorrelacin haya sido debidamente asimilado, se mencionan posibles razones del incumplimiento de esta hiptesis: inercia del sistema, mtodos empleados para la desestacionalizacin, sesgos de especificacin por omisin de variables o forma funcional inadecuada, por ejemplo.

Si se incumple esta hiptesis, los estimadores obtenidos por MCO son insesgados pero ineficientes. No verifican la propiedad de eficiencia (ELIO).

Para la deteccin se analizan las discrepancias de la regresin, pudindose realizar un contraste grfico y paramtrico. El mtodo grfico consiste en representar las discrepancias y observar si presentan o no, patrones definidos de comportamiento. El principal contraste paramtrico, es el de Durbin-Watson (7.12), que analiza la autocorrelacin de primer orden. Si entre los regresores figurasen variables endgenas retardadas, el empleo del contraste de D-W no sera adecuado, al estar sesgado hacia 2. Se utilizara el contraste h de Durbin (7.25). Se ofrece una ilustracin emprica en las pginas 273-274.

Puesto que la autocorrelacin implica la aleatoriedad del modelo, caben dos posibilidades. O bien se mantiene el modelo, corrigiendo la no autocorrelacin con procedimientos ad hoc, o bien, se especifica un nuevo modelo. Lo primero puede considerarse la alternativa tradicional, lo segundo lo preconizado por modelizaciones ms recientes.

La primera posibilidad se basa en el supuesto de que mediante D-W, se ha detectado con el anlisis de las discrepancias un proceso autorregresivo de primer orden.


En este apartado, cabe incluir los procedimientos, de Cochrane-Orcutt, Hildreth y Lu, de Durbin, y los mtodos de los Mnimos Cuadrados Generalizados., que se ilustran empricamente en los epgrafes 7.1.3 y 7.2 y en la Addenda. 7.3 Modelos con perturbaciones heterocedsticas. Trata del incumplimiento de la hiptesis de varianza constante u homocedasticidad. En el caso de perturbaciones heterocedsticas, los estimadores obtenidos son insesgados pero no eficientes (no son ELIO). De nuevo se hace necesario transformar el modelo economtrico para recuperar la propiedad de la eficiencia. Existen diferentes transformaciones posibles para solucionar al menos en parte este problema, como se ilustran en el manual (epgrafes 7.3.3 y 7.3.4) y Addenda. Es aplicable el procedimiento de los MCG, ilustrado en el epgrafe (7.4) y en la Addenda.

Para detectar su presencia (epgrafe 7.3.5), puede ser de utilidad representar grficamente las discrepancias y ver su variabilidad, observando si esta crece, decrece o permanece constante. Entre los contrastes paramtricos, uno de los ms empleados es el debido a Goldfeld-Quandt, considera la particin de la muestra en dos subgrupos, sobre los que se analiza si poseen varianzas o no distintas, problema resuelto en la inferencia estocstica.

7.5 Modelos ARCH

Se hace referencia a una formulacin reciente de heterocedasticidad en datos de series de tiempo, denominada ARCH (heterocedasticidad condicional autorregresiva), que hace referencia a una especie de autocorrelacin en la varianza de las perturbaciones. Esta propuesta se desarroll a partir de un trabajo seminal de Engle (1982), recientemente laureado con el premio Nobel junto con Granger. Engle sugera que la heterocedasticidad puede darse tambin con datos de series temporales: en este contexto haba observado que los pequeos y los grandes errores tendan a aparecer agrupados, de manera que el pasado inmediato proporcionara informacin til sobre la varianza del trmino de error.

Aunque el artculo original de Engel ha dado lugar a una gran cantidad de literatura,

en un curso introductorio como es el nuestro basta con que el alumno tenga un conocimiento elemental de esta cuestin. 7.6 Incumplimiento de la hiptesis de normalidad. La construccin de intervalos y el contraste de hiptesis estn basados en el supuesto de normalidad de las perturbaciones, cuya revisin no es frecuente en las aplicaciones. sta puede llevarse a cabo empleando estadsticos formales como el de Jarque-Bera, cuya expresin es (hay erratas en la expresin 7.104),

22 ( 3)

6 4N K KS

+ (7.104)


donde K es el coeficiente de curtosis y S el de asimetra . El estadstico anterior se distribuye como una Chi cuadrado con dos grados de libertad. La hiptesis nula es que S = 0 y K = 3.

La revisin de esta hiptesis puede hacerse tambin en trminos descriptivos, atendiendo a la simetra de la forma de la distribucin de las discrepancias de la regresin. Si no es simtrica, no sera aplicable la estimacin por intervalos y los contrastes basados en la normalidad. Tema 8 El problema de la multicolinealidad

No afecta a la insesgadez ni a la propiedad ELIO de los estimadores, pero determina que la varianza de los mismos sea elevada. Ello es debido a que la varianza de los estimadores depende de (XX)-1 y los elementos de esta matriz toman valores elevados cuando el determinante |XX| es prximo a cero, lo que sucede si hay multicolinealidad elevada. Como consecuencia, los intervalos se hacen imprecisos y los estadsticos t no significativos. En el supuesto de que exista multicolinealidad, no pueden establecerse por separado las respectivas causalidades. Es decir, si la teora trata de determinar que parte del movimiento (varianza) de la variable endgena es imputable a cada una de las causas, la multicolinealidad no permite tal conclusin. El problema es grave por cuanto no puede establecerse a partir de qu valor cuantitativo de la correlacin entre cada dos explicativas, puede ser cualitativamente grave la multicolinealidad. Se entiende por ello que se recurra a otros criterios, aun cuando tales coeficientes sean bajos (Addenda, pp 201-202, 1998).

En el contexto de la inferencia probabilstica, se interpreta que el problema sera muestral, dado que la hiptesis afirma que las causas actan de forma independiente. El procedimiento de eliminar alguna de las variables, nos sita fuera del problema: con una variable explicativa menos u otra distinta, se estara modelizando una hiptesis diferente.

Existen ciertos indicios de multicolinealidad cuando obtenemos signos contrarios a los postulados por la teora, cuando no sean significativas variables que la teora seala como causalmente importantes, o cuando coinciden valores elevados de R2 con estadsticos t no significativos. El cambio en stos no implica necesariamente que se haya corregido.

Aunque la multicolinealidad no tiene solucin, si pueden recomendarse ciertas medidas para intentar atenuarla: 1. Eliminar alguna de las variables explicativas ya se ha comentado. Si de lo que se trata es

de descubrir un modelo, y que sea la evidencia emprica el criterio para llegar a la hiptesis econmica, se puede eliminar alguna de las variables, puede que entre las menos significativas, y estimar los parmetros correspondientes al resto.

2. Incorporacin de informacin cuantitativa independiente de la muestral, referida a los propios datos o a los parmetros.

3. Complementar la informacin empleando datos temporales y atemporales. 4. Establecer la regresin entre las primeras diferencias de las variables. 5. Emplear mtodos especiales de estimacin.


Se incluye una ilustracin emprica del problema de la multicolinealidad (8.5).

Tema 9. Consistencia de los estimadores MCO Las hiptesis anteriores suponan constante el tamao de la muestra. Ahora necesitamos conocer en qu medida, los valores de los estimadores se acercan a los valores de los parmetros, cuando crece el tamao de la muestra. Establecer este resultado requiere una formalizacin analtica, con sus correspondientes hiptesis y teoremas.

Un estimador se dice que es consistente, si a medida que aumenta el tamao de la muestra, la probabilidad de que dicho estimador sea igual al valor del parmetro, tiende a la unidad (9.5)

Para probar la consistencia de los estimadores MCO es necesario establecer la hiptesis de convergencia. La convergencia establece la existencia de un lmite para la sucesin de medias y varianzas de cada variable exgena, cuando el nmero de observaciones n tiende a infinito (9.2 y 9.3)

En estas condiciones, se demuestra que los estimadores MCO cumplen la propiedad de consistencia (p. 333). No slo se establece lo anterior sino la tendencia de la distribucin en el muestreo a una distribucin de probabilidad conocida, denominada distribucin asinttica. Se definen en consecuencia las caractersticas de esta distribucin (epgrafe 9.4). Hasta ahora se ha supuesto que las X no eran estocsticas, sino fijas en muestras repetidas. Este supuesto es bsico para las propiedades de los estimadores. En el apartado 9.5 se trata el problema de los regresores estocsticos. En este caso los estimadores no gozan de las mismas propiedades, dependiendo stas del tipo de relacin que se asuma entre las variables y las perturbaciones. En lo anterior, se supona mediante el axioma de insesgadez, que eran independientes. El epgrafe 9.6 ofrece una ilustracin emprica de esta cuestin. Temas 10, 11 y 12 No contienen teora nueva, sino que tratan de mostrar los principales problemas que surgen cuando se intentan aplicar los mtodos economtricos a la medicin de teoras. Constituyen una buena orientacin para la elaboracin el trabajo prctico necesario para aprobar la asignatura. El tema 10 se ocupa de los pasos imprescindibles en cualquier aplicacin economtrica: descripcin del objeto, eleccin de la teora o hiptesis econmica, seleccin de los datos y tratamiento previo de los mismos, medicin propiamente dicha, interpretacin de los resultados y redaccin de un informe final, donde se presenten las conclusiones del trabajo.


Para los alumnos ms indecisos a la hora de seleccionar la teora, se ofrecen dos sugerencias: la medicin de una ley de demanda (oferta) de algn producto agrario, o la medicin de la teora del consumo. Los temas 11 y 12 se ocupan de una medicin clsica de la teora del consumo elaborada en su momento por Schultz. Se enmarcara dentro de la alternativa del descubrimiento de hiptesis. Puesto que se proporcionan los datos bsicos (pg. 390 y diversas tablas a lo largo de la exposicin), el alumno est en condiciones de reproducir los resultados.


12. EJEMPLO DE EXMEN INTRODUCCIN A LA ECONOMETRA Licenciatura de ADE. Junio de 2003. TEORA 1.- Objeto de la econometra. 2.- Eliminacin de la estacionalidad. 3.- Consistencia del estimador MCO de en el modelo Yt = + Xt + ut. 4.- Estimacin de modelos con perturbaciones heterocedsticas (extensa). APLICACIN Con los siguientes datos correspondientes al mercado del maz en USA (Aplicaciones de Econometra, pp. 32 y sig.),

obs T X precio Y

producin LX

Log precio LY

Log produc TX

Tasa precio TY

Tasa produccin 1867 1.000000 57.00000 768.3200 4.043051 6.644206 20.25316 -11.47836 1868 2.000000 46.80000 906.5270 3.845883 6.809621 -17.89474 17.98821 1869 3.000000 59.80000 874.3200 4.091006 6.773446 27.77778 -3.552790 1870 4.000000 49.40000 1094.255 3.899950 6.997829 -17.39130 25.15498 1871 5.000000 43.40000 991.8980 3.770459 6.899620 -12.14575 -9.354035 1872 6.000000 35.30000 1092.719 3.563883 6.996424 -18.66359 10.16445 1873 7.000000 44.20000 932.2740 3.788725 6.837627 25.21246 -14.68310 1874 8.000000 58.40000 850.1480 4.067316 6.745410 32.12670 -8.809213 1875 9.000000 36.70000 1321.069 3.602777 7.186197 -37.15753 55.39283 1876 10.00000 34.00000 1283.828 3.526361 7.157602 -7.356948 -2.819005 1877 11.00000 34.80000 1342.558 3.549617 7.202332 2.352941 4.574600 1878 12.00000 31.70000 1388.219 3.456317 7.235777 -8.908046 3.401045 1879 13.00000 37.50000 1547.902 3.624341 7.344656 18.29653 11.50272 1880 14.00000 39.60000 1717.435 3.678829 7.448587 5.600000 10.95244 1881 15.00000 63.60000 1194.916 4.152613 7.085831 60.60606 -30.42438 1882 16.00000 48.50000 1617.025 3.881564 7.388343 -23.74214 35.32541 1883 17.00000 42.40000 1551.067 3.747148 7.346698 -12.57732 -4.078972 1884 18.00000 35.70000 1795.528 3.575151 7.493054 -15.80189 15.76083 1885 19.00000 32.80000 1936.176 3.490429 7.568470 -8.123249 7.833239 1886 20.00000 36.60000 1665.441 3.600048 7.417845 11.58537 -13.98297 1887 21.00000 44.40000 1456.161 3.793239 7.283559 21.31148 -12.56604 1888 22.00000 34.10000 1987.790 3.529297 7.594779 -23.19820 36.50894 1889 23.00000 23.80000 2112.892 3.169686 7.655813 -30.20528 6.293522 1890 24.00000 50.60000 1489.970 3.923952 7.306511 112.6050 -29.48196

Tabla 1. Datos originales

T X Y LX LY TX TY

T 47.91667 -27.59792 2271.324 -0.677697 1.733351 34.69044 -10.69383 X -27.59792 97.70832 -2488.407 2.269648 -1.896475 186.0753 -79.33415 Y 2271.324 -2488.407 142175.2 -59.81959 106.5982 -2985.681 2133.984

LX -0.677697 2.269648 -59.81959 0.053793 -0.044940 4.266049 -1.718599 LY 1.733351 -1.896475 106.5982 -0.044940 0.081451 -2.090813 1.599257 TX 34.69044 186.0753 -2985.681 4.266049 -2.090813 1034.494 -490.4068 TY -10.69383 -79.33415 2133.984 -1.718599 1.599257 -490.4068 401.1391

Medias 12.50000 42.54583 1371.602 3.723818 7.184177 4.356731 4.150932

Tabla 2. Varianzas, covarianzas y medias

se pide,


a) medir la ley de la demanda indicando el valor de la elasticidad (debe usarse el clculo matricial, y

b) Construir un intervalo de confianza del 5% (valor crtico = 2) para la prediccin en 1891, siendo los valores en dicho ao, Y = 2060.15, X = 40.6.

SOLUCIN A LA APLICACIN

a) La teora de la demanda establece en trminos estticos, una relacin inversa entre cantidades demandadas y precios. Dicha relacin est sujeta a la clusula ceteris paribus. La medicin con series histricas ha de tener en cuenta esta circunstancia. Una forma de hacerlo consiste en considerar que junto con la tendencia se eliminan el resto de los factores diferentes del precio, que pudieran influir sobre la demanda. Por ello una especificacin adecuada sera:

Yt = a + bXt + cT

donde Y representa la produccin, X el precio y T la tendencia. Para medir directamente la elasticidad, consideramos las dos primeras series en logaritmos. Por tanto:

10.053793 0.677697 0.04494 47.91667 0.677697 0.044940.4720748

0.677697 47.91667 1.733351 0.677697 0.053793 1.733351

22.62025 0.319924 0.044940.319924 0.025394 1.733351

b = =

= =

=

0.4620140.02964

La elasticidad es negativa y la relacin inelstica. Ambos resultados son acordes con la hiptesis terica: el signo de la pendiente ha de ser negativo y, por otra parte, la elasticidad de los productos agrarios suele ser menor que la unidad. El trmino independiente es:

534.802964.0462014.0 =+= TXYa

b) Para construir el intervalo de confianza del predictor, necesitamos conocer primero la varianza de las perturbaciones, cuyo estimador insesgado es:

( ) 12 1 2222

yxy

yxt

sn s b b

sdn k n k n k

= = =

Y Y b X Y =

= ( ) 0.0449424 0.081451 0.462 0.02964

1.7333510.0106425

24 3

=


Teniendo en cuenta que,

2 2 11( ) 1 ( )f F FD Y n = + + x x x x =

( ) 22.62025 0.319924 0.021 10.0106425 1 0.02 12.50.319924 0.025394 12.524 24

+ + = 0.012778

y por tanto ( ) 0.0127 0.113FD Y = =

La prediccin, en desviaciones a las medias, ser,

1 20.462 0.02964 0.462(3.70377 3.723818) 0.02964(25 12.5)

0.462( 0.02) 12.50.02964 0.37974

f f fy x x= + = + =

= + =

Luego el intervalo ser:

/ 2 0.37974 20.113fy t =

En valores reales, teniendo en cuenta que F Fy Y Y= , el intervalo queda,

7.56374 20.113 La solucin presentada no es la nica posible. Pueden utilizarse tambin los valores originales (no los transformados en logaritmos), o las tasas de variacin. En cualquier caso el modelo empleado debe instrumentar el ceteris paribus. Una forma de hacerlo es incluir la tendencia como un regresor ms, interpretando que la influencia del resto de los factores (los incluidos en la clusula ceteris paribus), se elimina junto con la tendencia. En el caso de emplear tasas de variacin, puesto que stas ya eliminan directamente la tendencia, la medicin puede reducirse a una regresin simple.


APNDICE 1 Clculos economtricos con EXCEL

Dadas las dificultades de los alumnos para encontrar paquetes informticos adecuados para la realizacin de clculos economtricos, especialmente las derivadas de su precio, exponemos a continuacin una gua para la realizacin de los clculos ms elementales con la hoja de clculo EXCEL que, al venir incluido en el paquete OFFICE, est bastante extendido. No hace falta sealar que lo primero que debe hacer el alumno es asimilar bien el proceso manual de clculo, entre otras cosas porque en la Prueba Presencial tendr que realizarlo con la nica ayuda de una calculadora no programable. Slo cuando est seguro de dominarlo, puede utilizar los programas informticos.

Hay que advertir finalmente que no somos expertos en la materia y es seguro que los usuarios avanzados encontraran algo rudimentarios algunos de los procedimientos descritos. No obstante la idea es ayudar a los ms necesitados, es decir a aquellos que nunca han manejado la hoja de clculo. Utilizaremos el ejemplo del mercado del aceite como ilustracin, el mismo ejemplo por tanto que en el manual de la asignatura. Ello permitir comparar los resultados en todo momento. El manual de referencia es el texto nuevo, publicado en 2003 en Ediciones Acadmicas. Quienes dispongan del antiguo habrn de remitirse a las pginas correspondientes.

1. Clculo de una regresin simple

Supongamos que deseamos calcular la regresin entre la superficie de olivar y el precio (pginas 69 y ss) .Las instrucciones necesarias para calcular la regresin de la tabla 2.4, seran las siguientes1:

1. Tras arrancar Excel, introducir los datos en la hoja de clculo. Llamemos por ejemplo Y a la superficie y X al precio.

2. Seleccionar una tabla de 5 filas y 2 columnas a la derecha de las columnas que

contienen los datos. Es en esta tabla es donde aparecern los resultados de la regresin.

3. Seleccionar la funcin Estimacin lineal que se encuentra dentro del grupo de

funciones Estadsticas. Aparece el siguiente cuadro de dilogo:

conocido_y conocido_x constante estadstica

1 Hay otra posibilidad seguramente ms adecuada para este propsito, que consiste en utilizar Anlisis de datos (Men Herramientas), pero requiere tener esta opcin previamente instalada. El funcionamiento es anlogo pero las salidas son ms completas.


Tabla 1

donde han de introducirse los datos. En el cuadro de dilogo conocido_y se introducen los datos correspondientes a la variable endgena, en este caso Y. Para hacerlo hay dos opciones. La ms sencilla es introducir el rango donde estn comprendidos dichos valores, por ejemplo A2:A32, si esas son las columnas que contienen los datos de la superficie. En el siguiente cuadro, hacemos lo propio con los valores de la variable explicativa, B2:B32. En dos cuadros siguientes se introduce simplemente el nmero 1. (Son valores lgicos. El primero indica si queremos trmino independiente (1) o no (0), y el segundo si queremos obtener los estadsticos habituales de la regresin (1) o no (0)). Efectuadas todas estas operaciones, el cuadro debe presentar el siguiente aspecto,

conocido_y A2:A32 conocido_x B2:B32 constante 1 estadstica 1

Tabla 2

4. Pulsamos a la vez las teclas CTRL.+ Maysculas ( )+ Intro ( ). El resultado

debe ser algo como lo siguiente:

A B C D E 1 Y X 2 2148 21,66 3 2153 22,81 4 2167 25,04 5 2194 31,26 -1,590146443 2209,901339 6 2295,3 28,18 0,194513166 22,07366945 7 2293 33,15 0,6973831 74,3829386 8 2255,4 33,52 66,83073521 29 9 2244,4 34 369762,5323 160451,8251

10 2239,9 35,28 11 2231,1 33 12 2074,9 34,09 13 2145,3 36,13 14 2120,2 41,91 15 2189,2 49,07 16 2054,4 61,12 17 2046,6 76,32 18 2042,3 67,49 19 2013,7 72,51

20 1977,6 85,78 21 1966,8 92,03 22 1961,7 102,95 23 1939,7 114,33


24 1932,6 134,61 25 1935,5 138,78 26 1917,1 162,52 27 1929,1 159,97 28 1935,1 173,7 29 1915,3 201,45 30 1899,7 194,54 31 1908,5 251,43 32 1927,4 251,83

Tabla 3

Los datos contenidos en la tabla de la derecha (que aparecen en el lugar seleccionado en el paso n 2) corresponden a los siguientes estadsticos:

B a std. error(b) std. error(a)

coef. Determinacin std regresin F Statistic grados libertad

Suma cuadrtica regres Suma cuadrtica resid

Tabla 4 que coinciden con los correspondientes en la tabla 2.4 del manual (p. 77). De los estadsticos que habitualmente utilizaremos en este curso, slo falta el de Durbin y Watson, que puede calcularse fcilmente como veremos ms adelante.

2. Clculo de un regresin mltiple El procedimiento es idntico. Reproducimos la regresin de la tabla 2.19 (p. 107), donde se hace depender ahora la superficie del precio y de la renta. Lgicamente hemos de introducir los datos de la renta en la hoja de clculo, por ejemplo en la columna C lo que se tendra:

A B C D E 1 Y X R 2 2148 21,66 5.533 3 2153 22,81 6.069 4 2167 25,04 6.531 ... ... ... ... ... ... 31 1927,4 251,83 20251

Tabla 5

Ahora seguimos el mismo procedimiento que en la regresin simple, con dos nicos

cambios, a) seleccionar una tabla mayor para dar cabida a un nuevo parmetro, es decir que ahora se seleccionara una tabla de 5 filas y 3 columnas, y b) en el cuadro conocido_x se introduce la celda superior izquierda e inferior derecha de las columnas correspondientes a las variables explicativas (B2:C32). El resultado sera ahora,

c b a


-0,02064726 -0,49767946 2377,315910,0061329 0,36495733 53,2171072

0,78458281 63,8685283 50,9901695 28 415997,068 114217,29

Tabla 6 es decir Yt = 2377,31-0.4977*Xt-0.021*Rt, que coincide con el de la tabla 2.19 (p. 107).

3. Clculo de una tendencia lineal

3.1. Por regresin con respecto al tiempo Esta tendencia podra calcularse como una simple regresin con respecto al tiempo, siguiendo el mismo procedimiento que en la regresin simple: Introduciramos previamente los datos de la serie tiempo, T. Por ejemplo supongamos que queremos calcular la tendencia de los precios del aceite entre 1960 y 1989 (30 observaciones). En la columna D introducimos los valores de la serie T,

A B C D E 1 Y X R T 2 2148 21,66 5.533 1 3 2153 22,81 6.069 2 4 2167 25,04 6.531 3 ... ... ... ... ... ... 31 1908,5 251,43 19535 31

Tabla 7

Obtenemos los valores de la ecuacin de regresin X = a + bT, siguiendo los pasos del apartado 1,

b a 6,7631079 -19,8738391

0,51181967 9,086300890,8618006 24,2642474

174,605807 28102799,815 16485,1036

Tabla 8

de manera que la ecuacin de regresin es X = -19,87 + 6.76T, que proporciona los valores de la serie de tendencia. Podemos calcularlos de la siguiente manera,


En la celda E2 (por ejemplo) introducimos -19,87 + 6.76T pero sustituyendo T por D2 que es donde se halla el primer valor de la serie T. Para ello nos situamos en dicha celda y insertamos desde el teclado = -19,87 + 6.76*I2. Despus de pulsar Enter, la hoja devolver el primer valor de la tendencia, 13.11. Para obtener el resto de los valores sencillamente copiamos el contenido de la celda E2 en el portapapeles y a continuacin seleccionamos con el ratn el resto de las celdas de la columna E3:E31 y tocamos Pegar. Se debe obtener,

A B C D E 1 Y X R T XT 2 2148 21,66 5.533 1 -13.11 3 2153 22,81 6.069 2 -6.35 4 2167 25,04 6.531 3 0.41 ... ... ... ... ... ...... 31 1908,5 251,43 19535 31 182.93

Tabla 9

Sin embargo Excel este clculo puede hacerse directamente con la funcin Tendencia. Para ello seleccionamos con el ratn las celdas de la columna donde han de aparecer los valores de la tendencia, y despus de tocar en el botn de frmulas, seleccionamos tendencia. Aparece un cuadro de dilogo anlogo al de regresin donde nicamente hace falta rellenar conocido_y con el rango de los datos de precios, y constante donde introduciremos el valor 1. Despus de pulsar la combinacin de teclas CTRL + Maysculas ( ) + Intro ( ), debemos obtener el mismo resultado. Podemos representar grficamente las series de tendencia y ciclo a travs de los siguientes pasos, a) En la barra de herramientas tocamos el botn de Asistente para grficos, b) Seleccionamos el tipo y subtipo de grfico preferido, c) En Rango de datos seleccionamos el rango de valores de la serie de tendencia, lo

que podemos hacer introduciendo la primera y la ltima celda o tocando con el ratn el icono a la derecha del cuadro de dilogo y seleccionado toda la columna de datos.

d) Tocamos la pestaa Serie y en el cuadro Serie tocamos Agregar. En el cuadro de dilogo correspondiente a Serie 2 introducimos el rango de valores de la serie original de precios.

e) En el cuadro de dilogo de Rtulos del eje de categoras (X), introducimos los

valores de T (o los correspondientes a los aos 1960 1989 si los tuvisemos). Pulsamos Siguiente.

f) Introducimos los rtulos y damos formato al grfico (hay muchas posibilidades).

Pulsamos siguiente.

g) Elegimos si queremos el grfico en una hoja nueva (recomendable) o como objeto.


El resultado final debe ser algo como lo representado en la figura 13.1,

Precios, original y tendencia

-50

0

50

100

150

200

250

300

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

Tiempo

Prec

ios

Figura 13.1. Precios, serie original y tendencia

3.2. Por el mtodo de la cuerda Habra que calcular la tendencia a partir de la frmula (3.10) de la pgina 133. Procederamos de la siguiente manera,

a) Nos situamos en la columna donde aparecer la tendencia, por ejemplo en la columna F. En la primera celda de dicha columna introducimos la frmula (3.10), que en formato Excel y teniendo en cuenta la situacin de la serie original de precios, X y de la serie T, sera,

$31 $2

$2 ( 2 1)29

B BB D

+ El signo $ sirve para que las referencias a celdas sean fijas.

b) Tras pulsar Enter debemos obtener el primer valor de la serie de tendencia que en

este caso ha de ser igual al primer valor de la serie original de precios. c) Como hicimos antes, seleccionamos el contenido de la primera celda y pulsamos

copiar. A continuacin seleccionamos con el ratn el resto de los valores de la columna, y Pegar. La hoja devuelve el resto de los valores de tendencia,


A B C D E F 1 Y X R T XT XT2 2 2148 21,66 5.533 1 -13.11 21.66 3 2153 22,81 6.069 2 -6.35 29.58 4 2167 25,04 6.531 3 0.41 37.51 ... ... ... ... ... ...... 31 1908,5 251,43 19535 31 182.93 251.43

Tabla 10

La figura 2 muestra la serie original de precios y las dos tendencias calculadas,

Precios, original y tendencias

-50

0

50

100

150

200

250

300

1960

1961

1962

1963

1 964

1965

1966

1967

1968

1969

1970

1971

1972

1973

1974

1975

1 976

1977

1978

1979

1980

1981

1982

1983

1984

1 985

1986

1987

1988

1989

Aos

Prec

ios

Figura 3

4. Clculo de los coeficientes de Fourier

Supongamos que tenemos los datos ordenados como en la tabla 11. Ilustramos el clculo de los dos coeficientes correspondientes al primer armnico (el procedimiento sera anlogo para el resto),

1. En una casilla arbitraria introducimos (o calculamos) el valor de 2/T 2. Introducimos la frmula de clculo correspondiente a la onda de coseno, que

denominamos como en el manual w11. Si tuvisemos los datos ordenados de la forma,


A B C D E F G 1 y x R T W0 2 2148 21,66 5.533 1 0,209439513 2153 22,81 6.069 2 4 2167 25,04 6.531 3 5 2194 31,26 7.202 4 6 2295,3 28,18 7.527 5 ..... ..... ..... .....

31 1908,5 251,43 19535 30

Tabla 11

introduciramos en la celda E2 la frmula para el clculo de la onda de coseno, cos (G$2*D2), y copiaramos esta frmula en el resto de la columna. Haciendo lo propio en la celda F2 [sen (G$2*D2)] con la onda de seno, obtendramos:

A B C D E F G 1 y x R T W11 W12 W0 2 2148 21,66 5.533 1 0,9781476 0,207911691 0,209439513 2153 22,81 6.069 2 0,91354546 0,406736643 4 2167 25,04 6.531 3 0,80901699 0,587785252 5 2194 31,26 7.202 4 0,66913061 0,743144825 6 2295,3 28,18 7.527 5 0,5 0,866025404 ..... ..... ..... ..... ..... .....

31 1908,5 251,43 19535 30 1 0

Tabla 12

Obtenidos los valores de las series trigonomtricas correspondientes a las ondas de seno y coseno de este armnico, los coeficientes de Fourier ap y bp se hallaran mediante la correspondiente regresin mltiple. Se obtiene,

b1 a1 c 16,70277232 28,74526605 -51,59066672,689817368 2,689817368 1,90198810,849803934 10,41761787 #N/A 76,38251398 27 #N/A 16579,09385 2930,222577 #N/A

Tabla 13

que es idntico al de la tabla 4.4 del manual (pg. 156). El coeficiente de determinacin obtenido en esta regresin, 0.85, medira la contribucin a la varianza del primer armnico, es decir del ciclo terico de 30 aos.

Para calcular el ciclo terico de 30 aos, elegimos una columna donde aparecern los datos (por ejemplo la H en la tabla 13) y en la primera celda de la misma (despus del encabezado C30a) sencillamente introducimos la ecuacin de regresin de la tabla 13, Y=-


51.591+28.7453*W11+16.7028*W12 , sustituyendo W11 y W12 por las referencias correspondientes (con la disposicin datos de la tabla 12, en la primera celda escribiramos =-51.591+28.7453*E2+16.7028*F2). Obtenido el primer valor del ciclo terico, con Cortar y Pegar hallaramos los dems,

A B C D E F G H 1 y x R T W11 W12 W0 C30a 2 2148 21,66 5.533 1 0,9781476 0,207911691 0,20943951 -20.001 3 2153 22,81 6.069 2 0,91354546 0,406736643 -18.537 4 2167 25,04 6.531 3 0,80901699 0,587785252 -18.518 5 2194 31,26 7.202 4 0,66913061 0,743144825 -19.944 6 2295,3 28,18 7.527 5 0,5 0,866025

Introducción a la Econometria

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