TÉCNICAS DE CONTEO

Las técnicas de conteo son principios que nos permiten determinar el número de elementos que cumplen cierta característica en un grupo dado. Puesto que el cálculo de una probabilidad está asociado al conteo de elementos, vamos a exponer los principios de conteo para luego utilizarlos en la determinación de probabilidades.

PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACIÓN

E j e m p l o E j e m p l o 3 03 0

Si se lanza una moneda 3 veces, ¿cuál es el número de elementos del espacio muestral?, es decir, ¿cuál es el número de resultados posibles del experimento aleatorio?

Usemos un diagrama de árbol para determinar este número y luego comprobemos el resultado que arroja el principio fundamental del conteo.

Si un experimento se puede realizar en dos etapas y la primera etapa se consigue de m

formas o maneras diferentes y en seguida la segunda etapa se realiza de n formas o maneras diferentes, entonces el experimento completo se puede realizar de mn maneras diferentes.

En general Si hay 1n formas de que suceda un evento 1E , 2n formas de que suceda un

evento 2E , y así sucesivamente hasta mn formas de que ocurra el evento mE , entonces

existen 1 2 mn n n⋅ L formas de que suceda el evento 1E seguido del evento 2E hasta el evento mE  

 

Con el principio de conteo tendremos

     Es decir, hay 8 elementos en el espacio muestral o hay 8 posibles resultados en el experimento aleatorio.  

E j e m p l o 3 1E j e m p l o 3 1  ¿De cuántas formas distintas puede terminar una carrera de cinco corredores? Para determinar el número de formas debemos pensar que cada corredor tiene la opción de ganar y ocupar el primer puesto. Sin embargo, como sólo uno puede ganar el siguiente competidor sólo tendrá 4 opciones (segundo, tercer, cuarto y quinto lugar), así el siguiente competidor tendrá 3

Primer lanzamiento 

Segundo lanzamiento 

Tercer lanzamiento 

Resultados 

Primer lanzamiento Segundo 

lanzamiento  Tercer lanzamiento 

 

opciones (tercer, cuarto y quinto lugar). Análogamente las opciones para los otros dos competidores disminuirán. Si aplicamos el principio fundamental de conteo tendremos:

5 4 3 2 1 120 Opciones: primer

× × × × =

↑ ↑ ↑ ↑ ↑

segundo tercer cuarto quinto lugar lugar lugar lugar lugar

En total hay 120 opciones de terminar una carrera de cinco corredores.

E j e m p l o 3 2E j e m p l o 3 2  Una agencia automotriz ofrece 4 modelos de automóvil particular. Para cada modelo hay 5 colores distintos, 3 clases de radio y la opción de tener aire acondicionado o no. ¿De cuántas formas distintas puede un cliente pedir su automóvil? Para determinar el número de formas vamos a aplicar el principio fundamental de conteo:

5 3 2 30 Opciones: Color Tipo Aire

× × =

↑ ↑ ↑

de radio

En total un cliente tiene 30 opciones de elegir un automóvil.

   

 

Una permutación de los elementos de un conjunto es una forma de ordenarlos teniendo en cuenta sus posiciones (importa la posición que ocupe cada uno de ellos).

Permutaciones

 

E j e m p l o E j e m p l o 3 33 3

Considerando el orden, ¿de cuántas formas pueden ordenarse 3 elementos en grupos de 2?

Aplicando el concepto de permutación tenemos que en este caso 3n = y 2k = , así

3 23! 1 2 3 6 6

(3 2)! 1 1P × ×= = = =

−

y el número de formas en que puede ordenarse 3 elementos en grupos de 2 es 6.

Veamos gráficamente la solución del anterior ejercicio.

Si tenemos n elementos distintos y queremos saber de cuántas maneras pueden ordenarse en grupos de k elementos, estaremos hallando todas las posibles permutaciones. En adelante usaremos la notación n kP y se calcula de la siguiente manera:

!

( )!n knPn k

=−

 

 

Donde ! 1 2 3n n= × × × ×L , ! 1 2 3k k= × × × ×L , 0! 1= y 1! 1= . Luego,  

! 1 2 3( )! 1 2 3n kn nPn k k

× × × ×= =

− × × × ×

LL

 

 

E j e m p l o 3E j e m p l o 3 44  

¿De cuántas formas pueden ubicarse 4 niños en dos filas, si importa el orden en que se ubiquen?

En este caso 4n = y 2k =

4 24! 4! 1 2 3 4 12

(4 2)! 2! 1 2P × × ×= = = =

− ×

Hay 12 formas de ubicar 4 niños en dos filas.  

E j e m p l o 3 5E j e m p l o 3 5

¿Cuántos números distintos de tres dígitos pueden formarse con los números 3, 4, 6, 0 y 9?

Existen 60 números diferentes que pueden formarse con 5 dígitos.  

E j e m p l o E j e m p l o 3 63 6  

Ana, Guillermo y Luis se postularon para ser el Presidente, Vicepresidente o tesorero de una junta.

¿De cuántas formas pueden ocuparse estos cargos?

Hay 6 formas de formar la junta.

5 35! 5! 1 2 3 4 5 60

(5 3)! 2! 1 2P × × × ×= = = =

− ×

3 33! 3! 1 2 3 6

(3 3)! 0! 1P × ×= = = =

−

 

Hemos tratado arreglos de objetos con la característica de ser distintos, pero ¿qué sucede cuando no lo son? ¿Cómo podemos establecer el número de formas en que pueden ordenarse los elementos de un conjunto cuando hay varios de la misma clase?

E j e m p l o 3 7E j e m p l o 3 7 ( S . T . T a n )( S . T . T a n )

Una empresa de asesores financieros ha recibido nueve solicitudes relativas a nuevas cuentas. ¿De cuántas formas se pueden encauzar estas solicitudes a tres de los ejecutivos de cuenta de la firma si cada uno debe controlar tres solicitudes?

Hay 1680 formas de encauzar las 9 solicitudes.

   

Ahora vamos a considerar arreglos de objetos pero en esta ocasión el orden no importará. Por ejemplo si nos pidieran determinar el número de formas de ordenar los dígitos 1, 2 y 3 en grupos de 2 sin importar el orden, entonces el grupo 1,2 y 2,1 serían el mismo y como consecuencia sólo tendríamos en cuenta uno de los grupos. A este tipo de arreglos se les denomina combinaciones.

9! 16803!3!3!

=

Si en un conjunto hay n elementos de los cuales 1n son de un tipo, 2n de otro y así

sucesivamente hasta rn de otro tipo, entonces el número de permutaciones de los n

elementos considerando n a la vez está dado por  

1 2

!! ! !r

nn n nL

 

Combinaciones

 

E j e m p l o E j e m p l o 3 83 8  

Se deben contestar 5 preguntas de un examen con 6 preguntas. ¿Cuántos exámenes de diferente contenido se podrán corregir?

Si observamos el ejercicio notamos que no importa el orden en que un estudiante conteste las preguntas, da lo mismo que conteste las preguntas 1, 3, 4, 2, 5, a que conteste las preguntas 3, 2, 4, 1,5 en esos órdenes, por ello para calcular el número de exámenes de diferente contenido a corregir se debe hallar la combinación 6 5C :

  En total hay 6 exámenes de diferente contenido para corregir.      

E j e m p l o E j e m p l o 33 99 ( S . T . T a n )( S . T . T a n )

Un inversionista desea adquirir acciones en dos compañías aeroespaciales, dos de energía y dos especializadas en electrónica. ¿De cuántas formas puede elegir invertir si hay 5 posibles empresas aeroespaciales, 3 de energía y 4 especializadas en electrónica?

6 5

6 6! 6! 6!5 5!(6 5)! 5!(1)! 5!

C = = = = −

6 5

6 1 2 3 4 5 6 6 65 1 2 3 4 5 1

C × × × × ×= = = = × × × ×

Las combinaciones son arreglos de los elementos de un conjunto sin importar el orden en que se ubiquen. Para determinar el número de combinaciones posibles de n elementos en grupos de k elementos usamos la siguiente expresión.  

!!( )!n knC

k n k=

− 

 

Determinemos el número de formas en que puede adquirir las acciones de dos compañías aeroespaciales si tiene 5 empresas opcionales para invertir, observemos que de nuevo el orden en que desee invertir no importa:

Calculemos el número de formas en que puede adquirir las acciones de dos compañías de energía si tiene 3 empresas opcionales para invertir:  Hallemos el número de formas en que puede adquirir las acciones de dos compañías especializadas en electrónica si tiene 2 empresas opcionales para invertir:    De este modo y utilizando el principio fundamental de conteo concluimos que en total se tienen 180 formas de adquirir las acciones.

E j e m p l o E j e m p l o 4 04 0 Una bolsa contiene 30 pelotas de plástico y de ellas 5 son azules. Si se sacan al azar 3 pelotas de la bolsa, ¿cuál es la probabilidad de que las tres sean azules? 1. Determinemos el número de elementos en el espacio muestral.

Como hay 30 pelotas y deseamos formar grupos de 3 estamos en el caso de una permutación o una combinación. Dado que no importa el orden en que se saquen las pelotas ya que el grupo de tres no cambia si primero sacamos 2 azules y otra de otro color o primero la de otro color y 2 azules, entonces estamos en una combinación. Calculémosla:

30 330! 4060

3!(30 3)!C = =

−

Con lo cual decimos que hay 4060 formas distintas de formar grupos de tres con 30 pelotas, en otras palabras este es el número de elementos en el espacio muestral (sacar tres pelotas).

 2. Determinemos el número de casos favorables para nuestro experimento aleatorio.

5 25! 5! 1 2 3 4 5 10

2!(5 2)! 2!3! 1 2 1 2 3C × × × ×

= = = =− × × × ×

3 23! 3! 1 2 3 3

2!(3 2)! 2!1! 1 2 1C × ×

= = = =− × ×

4 24! 4! 1 2 3 4 6

2!(4 2)! 2!2! 1 2 1 2C × × ×

= = = =− × × ×

5 2 3 2 4 2 10 3 6 180C C C = × × =

 

Como hay 5 pelotas azules y se desean formar grupos de 3 pelotas azules, necesitamos calcular el número de veces que podría formar dichos grupos. Nuevamente puesto que el orden no importa tenemos:

5 35! 10

3!(5 3)!C = =

−

Es decir que hay 10 formas de que salgan 3 pelotas azules de 5 que hay en la bolsa, lo que significa que hay 10 posibilidades de que el evento se realice. Tengamos en cuenta que para este experimento aleatorio el evento es

: al extraer tres pelotas de la bolsa éstas son azules.E

3. Ahora sí calculemos la probabilidad de que al sacar 3 de pelotas de 30 todas sean azules.

03

3

( )( )( )10

4060 2.46305418 2.46305418 10 0.00243605418

n EP An EM

−

−

=

=

=

= ×

=

En ocasiones encontraremos situaciones en las que se está interesado en saber cuál es la probabilidad de que suceda un evento cuando ha sucedido otro. Es aquí donde aparece la probabilidad condicional ya que ésta nos permite hallar la probabilidad de que suceda un evento dado que ya ocurrió otro que puede o no afectarlo.

Probabilidad condicional

 

. Consideremos el siguiente ejemploConsideremos el siguiente ejemplo ::

E j e m p l o 4 1E j e m p l o 4 1

La probabilidad de que una nueva empresa se ubique en Cali es 0,7, de que se ubique en Bogotá es 0,5 y de que se ubique en ambas ciudades es 0,3. Si la empresa se ubica en Cali cuál es la probabilidad de que también se ubique en Bogotá?

Primero vamos a definir los eventos y sus probabilidades

A: La nueva empresa se ubica en Cali P(A)=0,7

B: La nueva empresa se ubica en Bogotá P(B)=0,5

Cuando se dice que se ubica en ambas ciudades significa que se ubica en Cali y en Bogotá, esto lo representamos como P (A∩B)=0,3

La probabilidad que buscamos la representamos como:

            P (B/A)   =                            P(B/A)  = 0,42857143 

  En forma similar  podríamos preguntar por la probabilidad de que se ubique en Cali, si  se ubicó en Bogotá 

Si se tienen dos eventos A y B la probabilidad de que ocurra A dado que ha ocurrido B se determina de la siguiente forma:

( )( )( )

P A BP A BP B∩

= siempre que ( ) 0P B ≠

También puede suceder que se requiera hallar la probabilidad de que ocurra B dado que ha ocurrido A:

( )( )( )

P A BP B AP A∩

= siempre que ( ) 0P A ≠

 

 

 

                                  P(A/B)  =  

La definición de la probabilidad condicional nos conduce a la propiedad de la multiplicación cuando los eventos son dependientes.

E j e m p l o 4 2E j e m p l o 4 2

Supongamos que extraemos una bola de una bolsa oscura que contiene 2 bolas rojas y 2 verdes; anotamos su color, no la devolvemos a la bolsa y volvemos a extraer una bola. ¿Cuál es la probabilidad de que en la extracción el resultado sea una bola roja y una verde?

Si recordamos el concepto de eventos dependientes, ésta situación presenta justamente una dependencia ya que no se devuelve la bola extraída y como consecuencia tanto el espacio muestral como el número de elementos de los eventos cambia. Observemos gráficamente el experimento.

Indiquemos los posibles resultados:

Si se tienen dos eventos A y B entonces la probabilidad de la intersección de ellos puede calcularse de la siguiente manera, cuando los eventos son dependientes:

( ) ( ) ( )P A B P B P A B∩ = o ( ) ( ) ( )P A B P A P B A∩ =  

 

Determinemos el espacio muestral y el evento:

EM = { ( , ), ( , ), ( , ), ( , )r r r v v r v v }

E = { ( , ), ( , )r v v r }

Observemos que el evento E está formado por los resultados roja, verde y verde, roja; las probabilidades de cada resultado puede establecerse con la regla del producto para eventos dependientes:

Sean

1E : se escoge una bola roja.

2E : se escoge una bola verde.

Tenemos que la 12( )4

P E = (2 bolas rojas de un total de 4 bolas) en la primera extracción, pero en

la segunda la 2( )P E depende de la ocurrencia de 1E es decir en la segunda extracción estaríamos

calculando 2 12( )3

P E E = (2 bolas verdes de un total de 3 bolas porque no se devolvió la bola roja

de la primera extracción) luego la probabilidad de que se extraiga una bola roja y una verde en ese orden es:

2 1 1 2 12 2 1 2( ) ( ) ( )4 3 2 3

P E E P E P E E∩ = ⋅ = ⋅ = ⋅

Probabilidad de que salga una bola verde dado que ya se sacó una roja

Realizando un proceso análogo al anterior obtenemos que la extracción (v,r) tiene probabilidad

2 1( )P E E∩ porque 1 2 2 1 22 2 1 2( ) ( ) ( )4 3 2 3

P E E P E P E E∩ = = ⋅ = ⋅ . Con esto podemos entonces

calcular la probabilidad solicitada inicialmente:

 

Probabilidad de que se extraiga Probabilidad de que se extraiga una bola roja y una verde. una bola verde y una roja.

Luego

E j e m p l o E j e m p l o 4 34 3

Durante un día se entrevistaron personas al salir de una película preguntándoles si la consideraban violenta o no. La información recolectada se presenta en la siguiente tabla.

   Sí No No sabe o no responde Total

Mujeres 120 34 48 202 Hombres 100 42 56 198

Total 220 76 104 400

Con base en la información dada:

a. ¿Cuál es la probabilidad de que una mujer responda afirmativamente a la pregunta de la

encuesta? b. ¿Cuál es la probabilidad de que una mujer responda negativamente a la pregunta de la encuesta? c. ¿Cuál es la probabilidad de que un hombre responda afirmativamente a la pregunta de la

encuesta? d. ¿Cuál es la probabilidad de que un hombre responda negativamente a la pregunta de la

encuesta? e. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona encuestada sea mujer y responda sí? f. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona encuestada sea hombre y responda no?

 

Según la información de la tabla establezcamos los eventos en ella. M: la persona seleccionada es mujer H: la persona seleccionada es hombre S: la persona seleccionada responde si a la encuesta N: la persona seleccionada responde no a la encuesta NR: la persona seleccionada no sabe o no responde Para facilitar el proceso de resolución de los literales es conveniente determinar las probabilidades de los anteriores eventos.    S: Sí N: No NR: No sabe o no responde Total

M: Mujeres 120 34 48 202 H: Hombres 100 42 56 198

Total 220 76 104 400  

                                           

 

                             

 

Con base en las anteriores vamos a resolver cada literal:  a. ¿Cuál es la probabilidad de que una mujer responda afirmativamente a la pregunta de la

encuesta?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que una mujer responda negativamente a la pregunta de la encuesta?  

c. ¿Cuál es la probabilidad de que un hombre responda afirmativamente a la pregunta de la

encuesta?