Más sobre Leyes de implicación

Dilema constructivo. Se abrevia ‘d.c’. Se considera que si hay una disyunción que contiene los antecedentes de dos condicionales, la conclusión será la disyunción de los consecuentes. Ejemplo:

1. Hay un homicida o una persona que tiene traumas de la niñez. 2. Si hay un homicida, entonces es un enfermo mental. 3. Si una persona tiene traumas de la niñez, entonces es un

psicópata en potencia. Por lo tanto:

4. Es un enfermo mental o es un psicópata en potencia.

Ahora, simbolizado, este dilema queda así:

Dilema destructivo. Se abrevia ‘d. d.’ Se considera que si hay una disyunción que contiene la negación de los consecuentes de dos condicionales, entonces en la conclusión se derivan la disyunción y la negación de los antecedentes de esas condicionales; digamos que es una aplicación del modus tollendo tollens, pero acompañado de las disyunciones. Por ejemplo:

1. Alguien no es un enfermo mental o no es un psicópata en potencia.

2. Si hay un homicida, entonces es un enfermo mental. 3. Si una persona tiene traumas de la niñez, entonces es un psicópata en potencia. Por lo tanto:

5. No hay un homicida o una persona no tiene traumas de la niñez. Lo cual simbolizado queda así:

Condicionalización. Se abrevia ‘cond.’ Se apoya en la misma ley del cálculo proposicional que mencionamos en la adición, pero ahora es agregando el conectivo condicional. Ejemplo de esta ley:

1. Hay frío bajo cero. Por lo tanto:

2. Si nieva, entonces hay frío bajo cero. Y ya simbolizada queda así:

Ahora que ya conoces las leyes de implicación necesarias para demostrar la validez de los argumentos en lógica proposicional, te vamos a poner algunos ejemplos, antes de pasar a las leyes de equivalencia. Ejemplos de demostración de la validez de raciocinios mediante la derivación por leyes.

a) 1. Si la lógica es una ciencia formal, entonces tiene leyes exactas y resultados exactos. 2. Si hay resultados exactos, entonces se aplican con éxito en la realidad. 3. La lógica es una ciencia formal.

Por lo tanto: 4. Se aplican con éxito en la realidad.

En primer lugar, tienes que ver que todo lo que se realice debajo de la raya horizontal, que significa “por lo tanto”, ya es la argumentación o demostración de validez del argumento o raciocinio. En segundo lugar, debes darte cuenta de que para obtener a “s” debes obtener a “r”, pero que “r” está conjunta con “q” y que ambas son consecuencias de “p”. Entonces debemos ver qué ley aplicar. Si te das cuenta, “p” está presente en la premisa 3. Y además sabes que hay una ley de implicación llamada (m.p.p.) y que va así:

Por lo tanto, si tomas a la “q” que aparece con un paréntesis con dos conyuntos, la ley queda así:

Ahora, esa ley ¿con qué premisas está formada? Pues con las premisas 1 y 3. Por lo cual tú puedes concluir en este paso que corresponderá al número 4, y queda así:

En tercer lugar, debes considerar que el primer paso que realices corresponde al número 4 de las premisas en el argumento, porque si un paso queda demostrado como valido por una ley, entonces puedes usarla para ir formando tu conclusión. Entonces si en 4 tienes la conjunción (q r), ahora puedes concluir, por la ley de simplificación, desde luego que tomaras aquella proposición que te haga falta para tu conclusión, y esta deberá ser la “r”; y la ley que te faculta para hacer eso es la (simpl.). La cual queda así:

Una vez que has obtenido a “r” en el paso 5 (por la ley de simpl.) ahora puedes obtener a “s”, apoyándote en las que ya tienes, a saber “r”, y si observas la premisa 2 y la unes con el paso 5, te percatas que formas una ley. ¿Sabes cuál es?, pues es la (m.p.p.), recuerda que es:

Ahora, sustituyéndola por los símbolos que tenemos quedará así:

Para finalizar, te podemos decir que, efectivamente, el argumento que trabajamos resulto válido, ya que de las premisas 1, 2, y 3, se llega a “s”. Ahora veamos este otro ejercicio:

1. Fidel Castro es un gran líder político. 2. Si Fidel Castro es un gran líder político, entonces es un creador de la historia. 3. Si Fidel Castro es un tirano, entonces es un traidor a su país. 4. Si es un creador de la historia o es un traidor a su país, entonces es el mayor personaje de Cuba. Por lo tanto: 5. Es el mayor personaje de Cuba. Y ya simbolizado y listo para demostrar queda así:

Como ves, este argumento también es válido, pues al realizar nuestro procedimiento por medio de la formación de leyes, resultó que, con las premisas que se nos dieron en el argumento inicial, se pudieron ir construyendo tres leyes: la de Adición, la del Dilema destructivo y la del Modus Ponendo Ponens. En primer lugar, la premisa 1 era “p”, con lo cual nosotros recurrimos a la ley de la adición que dice:

Entonces, si ya elaboramos los antecedentes de los condicionales podemos formar la ley del Dilema constructivo, entre las premisas 5, 2 y 3 (según el orden en el que deben estar las premisas del Dilema constructivo) para obtener el resultado de la ley —paso 6—, lo cual que queda así:

Y una vez que se demuestra la existencia de las condiciones antecedentes del condicional que está en la premisa 4, sabemos que podemos obtener el consecuente de este condicional, el cual es, a la vez, la conclusión de nuestro raciocinio o argumento. Queda así:

Y hasta aquí llegamos a nuestra conclusión. Leyes de equivalencia Las leyes a las que nos referimos son diez y su aplicación o formación dentro de una demostración de argumentos se hace en una misma premisa, pues una vez que tienes una parte de la ley, es decir, alguna de las dos partes que están a cada lado del bicondicional, tú puedes concluir la otra parte, pues ambas son equivalentes.

Dichas leyes son:

Ahora bien, ya que tenemos nuestras leyes de equivalencia te daremos algunos ejemplos que demuestran que estas leyes representan la equivalencia de dos enunciados o raciocinios que se expresan de manera diferente pero cuyo valor de verdad es idéntico. Para demostrarte lo anterior te daremos un ejemplo de la asociación, de la exportación y de la equivalencia material; las demostraremos por medio de tablas de verdad. 1. Asociación. Esta ley se escribe así:

Y su expresión gramatical es: Juan es padre de familia y es comerciante, y practica el boxeo, si y sólo si, Juan es padre de familia, y es comerciante y practica el boxeo. Esto quiere decir que si es verdadera la primera expresión que está del lado izquierdo del bicondicional, entonces será verdadera la otra expresión del enunciado. Ahora veamos si son equivalentes en su valor de verdad:

Véase que los dos conectivos principales de cada corchete son idénticos, y que, obviamente, el resultado —en la columna 5— es tautológico. 2. Ahora veremos la exportación que, simbólicamente, se expresa así:

Y que en lenguaje gramatical se expresa de esta forma: Si hay un ciclón y grandes inundaciones, entonces hay pérdidas materiales; si hay un ciclón, entonces hay inundaciones y pérdidas materiales.

Demostrado por el método de tabla de verdad, queda así:

Observa que este enunciado también es tautológico. 3. Equivalencia material. Simbólicamente se expresa así:

Y gramaticalmente se expresa: El Radio es explosivo si y sólo si se alteran sus electrones, si y sólo si, si el radio es explosivo, entonces se alteran sus electrones y, si se alteran sus electrones, entonces el Radio es explosivo. Y su tabla de verdad queda así:

También en este caso el argumento, es tautológico. Ahora realicemos tres ejemplos de demostración de validez de argumentos por medio de las leyes de implicación y de equivalencia.

Recuerda que las leyes las debes ir formando con las premisas que tienes, que las premisas son como piezas de rompecabezas que debes ordenar para construir tu ley, y que las leyes de implicación y de equivalencia también son piezas de rompecabezas que debes tener en tu memoria para que las identifiques en cada paso que des y las incrustes para justificar cada paso.

Leyes de cuantificación Se llaman ‘leyes de cuantificación’ a las formas de expresión de las proposiciones en forma típica (las utilizadas en los silogismos aristotélicos, las cuales, como recordarás, expresan una cantidad en el sujeto). La ventaja de estas leyes de cuantificación es que nos permiten expresar los argumentos en un lenguaje simbólico en el que se pueden aplicar tanto las leyes de implicación como las leyes de equivalencia. Para desarrollar estas leyes y su aplicación nos apoyaremos en la simbolización de cuantificadores que te enseñamos en la segunda unidad. 1. Ley de ejemplificación universal (E.U.) Se emplea para quitar las variables de las proposiciones universales y sustituirlas por constantes, como se verá en seguida. Si tenemos una proposición universal afirmativa como esta: Todos los batracios tienen respiración pulmonar. Recuerda cómo se simbolizan estas proposiciones utilizando su símbolo cuantificador y su símbolo predicable, que es la inicial de cada uno de los términos (respetando su orden) con letra mayúscula y agregando la variable que representa a los individuos de la especie de que se habla. Simbolicemos nuestra proposición: Todos los batracios tienen respiración pulmonar. La ley nos dice que si tenemos un enunciado

Podemos concluir:

Entonces si tenemos un silogismo en Bárbara como éste: 1. Todos los batracios tienen respiración pulmonar. 2. Todos los sapos son batracios. Luego entonces: 3. Todos los sapos tienen respiración pulmonar. Lo simbolizaremos así:

Ahora, si les aplicamos la ley a las proposiciones que forman este silogismo, queda de la siguiente manera:

Ahora bien, ¿qué nos permite esta ejemplificación? Que podamos demostrar, por leyes de implicación o de equivalencia en algunos casos, su validez o corrección. Veamos como se hace:

Una vez que ya se tiene el enunciado similar a como nos lo pide la conclusión que debemos demostrar, si esa conclusión está expresada en simbología de forma típica, entonces hay que aplicar la segunda ley de las proposiciones. Generalización universal (G.U.) Nos dice que si un enunciado se encuentra en una relación de sus términos correspondientes a su forma típica, entonces se aplica la generalización universal que recobra el cuantificador universal y las variables de los términos.

Y queda así:

Por lo cual nuestro silogismo anterior queda demostrado así:

Ejemplificación existencial (E.E) Y se aplica a las proposiciones particulares como:

Como verás, en esta ley se cumple lo mismo que en la ejemplificación universal —se elimina el cuantificador y se sustituyen las variables por las constantes— sólo que se aplica a enunciados particulares. Generalización existencial (G.E.) Una vez que se tiene el resultado deseado de las proposiciones en la forma típica, en donde sólo hace falta recobrar el cuantificador y las variables, se aplica la ley de generalización existencial. La cual consiste en el siguiente paso:

Ahora vamos a aplicar estas cuatro leyes en la demostración de los tres modos del silogismo que pertenecen a la primera figura del silogismo (pues el primer modo que es el BÁRBARA ya quedo demostrado arriba). Ejemplos:

• CELARENT 1. Ningún átomo es indivisible. 2. Todos los cobaltos son átomos. Luego entonces: 3. Ningún cobalto es indivisible. Simbolizado queda así:

Y para demostrarlo queda así:

• DARII 1. Todos los filósofos son solitarios. 2. Algunos hombres son filósofos. Luego entonces:

3. Algunos hombres son solitarios. Simbolizado queda así:

Y ahora su demostración queda así:

• FERIO 1. Ningún león aúlla. 2. Algunos felinos son leones. Por lo tanto: 3. Algunos felinos no aúllan.