REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAMINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN SUPERIOR

INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA“JACINTO NAVARRO VALLENILLA”

CARÚPANO- ESTADO SUCRE

MATERIAL DE APOYO DE MATEMÁTICASTRAYECTO INICIAL

Elaborado por: Lcda. Isbelia Lugo

Lcda. Ramona Salazar

LOS NÚMEROS REALES

Los números 1,2,3… se denominan números naturales. El conjunto de los números naturales se representan con la letra N, así

N }3,2,1{ =

Si se suman dos números naturales el resultado es otro natural, pero si se resta el resultado no necesariamente es un número natural. Los números enteros representados por Z y dados por

Z }3,2,1,0,1,2,3,{ −−−=son cerrados bajo las operaciones de suma, resta y multiplicación, esto quiere decir que si multiplicamos dos número enteros el resultado es otro número entero. Sin embargo los números enteros no son cerrados bajo la división, es decir que si dividimos dos números enteros el resultado no necesariamente es un número entero.

Los números racionales, Q, expresados de la forma m

n, donde n, m son

números enteros con m distinto de cero, es cerrado bajo las cuatro operaciones. Sin embargo no contempla todos los números que podemos conseguir. Por ejemplo 2π que es el perímetro de una circunferencia de radio 1, no es un número racional. Tampoco 41.12 ≈ es un número racional, este número representa una solución de la ecuación 22 =h y es un número que está en la naturaleza, pues él es la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo con los dos catetos iguales a 1. Estos números que no son

racionales, pues no pueden ser expresados de la forma m

n se llaman números

irracionales y se representan con la letra І. Una diferencia entre los números racionales y los irracionales está dada en su representación decimal. Los números racionales pueden ser representados por números decimales que o

son exactos terminan ( 25.04

1 = ) o por números decimales que se repiten

indefinidamente ( 16666.06

1 = , 09090.011

1 = ). En cambio los números

irracionales son representados por números decimales que no terminan y que no tienen ninguna periodicidad es decir que no tienen ninguna secuencia que se repita.

Los números reales están formados por la unión de los números racionales (Q) e irracionales (І). La expresión 2 es un número irracional y por tanto real.

Ejemplo 1.- Diga cuales de los siguientes números son naturales, enteros,

irracionales, racionales y reales: a) -3; b) 3

4− ; c) 2.0 ; d) 1+π ; e) 101.

Solución:a) -3 es un número entero, también es racional pues puede ser escrito

como 1

3− y es real.

b)3

4− es un número racional pues puede ser escrito como 3

4−. También es

real.

c) 2.0 es un número racional pues puede ser escrito como 10

2. También es

real.d) 1+π es un número irracional. Observe que como π es irracional su

expansión decimal es infinita no periódica al sumarles 1 da como resultado un número cuya expansión también es infinita no periódica, también es un número real.

e) 101 es un número natural, entero, racional y es real.

Ejercicio de desarrollo.- Elabore una tabla que identifique cada conjunto numérico y señale con una X el conjunto al cual pertenecen los siguientes números: a) π3

b) 22 +

c) - 1.3

Los números reales pueden ser representados en la recta real. Para ello se traza una línea recta y se escoge arbitrariamente un punto en ella, el cual representará el número 0, luego se escoge una unidad patrón de medida y a partir del 0 se hacen mediciones de una unidad tanto a la izquierda como a la derecha, los puntos medidos representan los números enteros en el orden dado

en la figura. Los puntos a la derecha del 0 representarán los números positivos y a la izquierda los números negativos. Para representar geométricamente a los números racionales podemos valernos de su forma

mixta: cba con b<c, este número representa a

c

ba + , por ejemplo el número

5

13

puede ser escrito como 5

32 . Ahora es claro que el número

5

32

5

13 = está a 3/5

unidades de distancia a la derecha del 2. La representación del número 3

10− es

simétrica con respecto al origen del número 3

13

3

10 = . Hay métodos precisos

para representar los números irracionales a través de construcciones geométricas, sin embargo en esta guía se harán representaciones no muy exactas de estos números a través de los primeros dígitos de su representación decimal.

Ejercicio de desarrollo: Represente aproximadamente los siguientes números en la recta real.

a) π3 ; b) 22 + ; c) - 1.3 ; d) 5

3−

Algunas propiedades de los números reales

A continuación enunciamos las propiedades más importantes de los números reales. Asuma en lo que queda de sección que cba ,, y d son números reales, tenemos entonces:

1.- Propiedad conmutativa de la suma

Propiedad conmutativa de la multiplicación

abba +=+ abba ⋅=⋅Ejemplo 3443 +=+ 2662 ⋅=⋅

2.- Propiedad asociativa de la suma

Propiedad asociativa de la multiplicación

)()( cbacba ++=++ cbacba ⋅⋅=⋅⋅ )()(

Ejemplo )713(27)132( ++=++ 5)213()52(13 ⋅⋅=⋅⋅Comentarios En ambos casos da 22 En ambos casos da 130, pero es

más rápido el cálculo de la primera

El elemento neutro es el que con la operación que consideremos deja inalterable el número.

3.- Elemento neutro de la suma: 0

Elemento neutro de la multiplicación: el 1

aa =+ 0 aa =⋅1

El inverso de un número es el que con la operación que consideremos nos produce el elemento neutro de la operación.

4.- Inverso de la suma: a− Inverso de la multiplicación: a

1

0)( =−+ aa1

1 =⋅a

a

El inverso de la multiplicación es denotado en ocasiones por 1−a . Esto es

aa

11 =− .

El número 0 no tiene inverso para la multiplicación ya que no existe ningún número que multiplicado por 0 de 1.

5.- Propiedad transitiva: Si ba = y cb = entonces ca =Ejemplo: Si sabemos que yx = y 4=y entonces 4=x

6.- Propiedad distributiva a la izquierda

Propiedad distributiva a la derecha

babacba ⋅+⋅=+⋅ )( acabacb ⋅+⋅=⋅+ )(

Ejemplo 5323)52(3 ⋅+⋅=+⋅ 35323)52( ⋅+⋅=⋅+Comentarios En todos los casos da 21

La resta se define como la operación inversa de la suma:)( baba −+=−

Recuerde que )( b− es el inverso u opuesto de b .

Muchas veces usamos la definición al escribir una resta como una suma: )9(494 −+=−

Para definir el producto cba ⋅⋅ usamos la propiedad asociativa

A continuación listamos una serie de propiedades de los números negativos de mucha utilidad:

Propiedades Ejemplos Comentariosaa )1(−=− 4)1(4 −=− Reescritura

)()()( bababa −=⋅−=− )3(2)32(3)2( −=⋅−=−baba ⋅=−− ))((

baba −−=+− )( 74)74( −−=+− El signo menos se distribuyeacabcba −=− )( 5242)54(2 ⋅−⋅=− La propiedad distributiva

también se cumple con la diferencia

Ejemplo 1.- Demostrar que 3443 +−=−Solución: Tenemos que )4(343 −+=− . Ahora por la propiedad conmutativa 3)4()4(3 +−=−+ . Por la propiedad transitiva de la suma resulta que 3)4(43 +−=− , quitando los paréntesis en el lado derecho tenemos la igualdad deseada.

En general tenemos que:xyyx +−=−

Ejercicios de desarrollo: Demostrar a) )()( yxxy −−=−

b) 3)4(4)3( +−=−+ xx

Propiedades del cero1.- 00 =⋅a

2.- Si 0=⋅ba entonces 0=a ó 0=b .

La división, ba ÷ es definida a través de la multiplicación: Si 0≠b , entonces 1−⋅=÷ babaDonde 1−b es el inverso por la multiplicación

Para la división también se emplea la notación bab

a ÷=

Recordando que b

b11 =− , la división también puede ser definida con la

siguiente notación

)1

(b

ab

a =

Con esta notación podemos interpretar por ejemplo que 7

5 es cinco

veces 7

1

La propiedad 1 del cero permite justificar porque la división entre 0, 0÷a , no está definida.

- Si ca =÷ 0 y 0≠a entonces 00 =⋅= ca , pero a no es cero. - 00 ÷ tampoco está definida. Si c=÷ 00 entonces 00 ⋅= c es decir que 0 entre 0 pudiese dar cualquier valor lo cual no tiene sentido.

Para fracciones presentamos el siguiente recuadro de propiedades:Propiedades Ejemplos Comentarios

b

a

b

a

b

a

−=−=−

5

3

5

3

5

3

−=−=− El signo menos se

puede transferir a cualquier parte de la fracción

c

ba

c

b

c

a ±=±3

5

3

41

3

4

3

1 =+=+ Suma o diferencia con igual denominador

dc

cbda

d

b

c

a

⋅⋅±⋅=±

42

23

42

3512

67

7562

6

5

7

2 −=−=⋅

⋅−⋅=− Suma en cruz, recomendable cuando los denominadores no tienen factores comunes

db

ca

d

c

b

a

⋅⋅=⋅

27

14

93

72

9

7

3

2 =⋅⋅=⋅ Multiplicación de

fracciones

b

a

cb

ca =⋅⋅

5

3

25

23 =⋅⋅

;

7

4

7)1(

4)1(

7

4 =−−=

−−

Fracciones equivalentesLey de Cancelación: c es un factor en el numerador y en el denominador

c

ba

c

ba

c

ba

⋅=⋅=⋅1 3

52

3

5

1

2

3

52

⋅=⋅=⋅ Multiplicación de un número entero por una fracción

c

bab

c

a

c

ba ⋅=⋅=⋅2

535

2

3

2

53 ⋅=⋅=⋅ Reescrituras

c

a

bcb

a

cb

a.

11 =⋅=⋅ 5

1

3

2

53

2 ⋅=⋅

Reescrituras

cb

da

d

bc

a

d

b

c

a

⋅⋅==÷

21

10

73

52

5

73

2

5

7

3

2 =⋅⋅==÷

División

bc

da

b

d

c

a

d

b

c

a

⋅⋅=⋅=÷

93

41

9

4

3

1

4

9

3

1

⋅⋅=⋅=÷ División a través de una

multiplicación

b

da

d

b

a

d

ba ⋅== 1

5

6

5

23

2

51

3

2

53 =⋅==

División entre un número real cualquiera y una fracción

cb

abc

a

bc

a

⋅==

115

1

53

1

1

53

1

53

1

=⋅

==

División entre una fracción y un número.

Ejemplo 2.- Realice y simplifique las siguientes expresiones:

a) )13

(3 +x ; b) )3)(2( −−− ; c) 43

2

1 ⋅

− ; d) )4(

2−÷

−− x

; e) 35

1

5

3 +− ;

Solución: a) Se usa primero la propiedad distributiva

331

313

33)1

3(3 +⋅=⋅+⋅=+ xxx

Se realiza la multiplicación de fracciones

33

3 +⋅= x Se simplifica usando la ley de cancelación.

3+= x Observe: en este tipo de situación se distribuye y luego se simplifica

b) Se usa primero la propiedad asociativa( ))3)(2()1()3)(2()1()3)(2( −−−=−−⋅−=−−−

6)6)(1( −=−=

c) Podemos distribuir primero

4342

143

2

1 ⋅−⋅=⋅

− . Se realiza la multiplicación de fracciones

10122122

443

1

4

2

1 −=−=−=⋅−⋅=

d) Para la división reescribimos la expresión como fracción

4

)1(2

)1(

)4(2 −

−−

=−÷−−

x

x . Se usa la ley de cancelación

88)4(2

1

1

42 xxxx

−=−

=−⋅⋅=

−=

e) Usamos primero la propiedad asociativa de la suma

35

1

5

33

5

1

5

3 +

−=+− Las fracciones tienen igual denominador

5

17

5

152

15

3512

1

3

5

2 =+=⋅

⋅+⋅=+

Para expresiones numéricas más complicadas se debe tomar en cuenta que lo primero que se resuelve o elimina son los paréntesis más internos, o bien haciendo la operación interna o bien aplicando alguna propiedad de los números reales. Luego se procede a realizar las multiplicaciones o divisiones planteadas de izquierda a derecha y finalmente las sumas y restas.

Ejemplo 3.- Realice y simplifique las siguientes expresiones: a) 13

5

42

−−

; b)

)3

2

2

1(52 −+ ; c) )2

5

3(53 −+−

Solución:

a) Resolvemos primero la diferencia dada en el numerador de 13

5

42

−−

1

1

35

6

135

410

135

1452

13

5

4

1

2

13

5

42

−=−

−

=−

⋅−⋅

=−−

=−−

Aplicamos la doble C para resolver la división planteada, luego procedemos a simplificar para finalmente realizar la diferencia planteada.

5

3

5

51121

5

21

35

61

1

35

6

−=⋅−⋅=−=−⋅

=−

Posteriormente en este texto se realizaran las sumas de fracciones usando la técnica del mínimo común múltiplo de los denominadores.

b) Resolvemos primero el paréntesis )6

1(52)

6

2231(52)

3

2

2

1(52 −+=⋅−⋅+=−+

Pasamos a resolver la multiplicación planteada:

6

52)

6

1(

1

52 −=−+

y finalmente resolvemos la diferencia:

6

7

6

562

6

52 −=−⋅=−

c) En esta parte, preferimos eliminar los paréntesis usando la propiedad distributiva, pues observamos que al aplicarla en este ejemplo desaparece el denominador

101033255

353)2

5

3(53 −=−+−=⋅−⋅+−=−+−

Ejercicio de desarrollo.- Realice y simplifique:

a)

2

11

)3

1

4

2(2

−

−−

b) 5

1)

3

21(53 ⋅−−

Ejercicios

1) Diga cuales de los siguientes números son naturales, enteros, irracionales, racionales y reales: 1.1) 12− 1.2) 4−π ; 1.3) 3 5 ; 1.4) 0 1.5)– 6.4; 1.6) 312) Represente aproximadamente los siguientes números en la recta real.

2.1) -12; 2.2) 22 +− ; 2.3) - 13 − ; 2.4) 5

1 ; 2.5)

2

π

3) Realice y simplifique las siguientes expresiones:

3.1)9

1)3( ⋅− x ; 3.2) )3)(4)(5( −−− ; 3.3) )4(3

5

1 −⋅

÷−

; 3.4) 2

3x−÷ ; 3.5)

2

5

3

13 −−

.6) )3

1)(3( +−− x ; 3.7) )27)(12(0 −⋅ ; 3.8) 2)3)(3( +−− ; 3.9) )

9

1(

3

1 ÷x

; 3.10) 5

02 ⋅

3.11)0

52 ⋅ ; 3.12) )

2

1

3

4()

5

3

5

1( −÷− ; 3.13)

3

4

2

34

1

3

2

−

−; 3.14)

3

82

3

41

−

−; 3.15) )1

5

1(21 −− ;

3.16) )6

5

3

2

2

1(62 +−− 3.17) 2)

3

41

3

2( ÷+− ; 3.18) 310)

5

32

2

1( −+− ; 3.19)

2

1)3

5

1(23 ⋅−⋅+ ; 3.20) )

2

3

3

4(34 −− ; 3.21) 1

4

3 +−− ; 3.22) 14

3 +−

; 3.23) 14

3 +−−

;

3.24) 2

)33

1(

31−

−

4) Diga cuál de las siguientes proposiciones son verdaderas. Justifique4.1) ( )La diferencia entre dos números racionales es un número racional4.2) ( ) abba +−=− ; 4.3) ( ) yxyx 33)(3 ⋅=⋅

4.4) ( ) 532

xxx =+ ; 4.5) ( ) 2

12

1xx −+=− ;

4.6) ( ) 2

3

2

3 =+x

x;

4.7) ( ) La diferencia de dos números irracionales puede ser racional

Respuestas: 1.1) es un número entero, también es racional y es real. 1.2) es un número irracional y es real; 1.3) es un número irracional y es real; 1.4) es un número entero, también es racional y es real, 1.5) es un número entero, también es racional y es real 1.6) es un número natural entero, también es racional y es real

3.1)3

x− ; 3.2) )60− ; 3.3) 15

4; 3.4)

x

6− ; 3.5) 6

1; 3.6) 13 −x ; 3.7) 0 ; 3.8)

11; 3.9) x

3; 3.10) 0 ; 3.11) No está definido; 3.12)

25

12− ; 3.13) 2

5; 3.14)

2

1;

3.15) 5

13; 3.16)-2; 3-17)

2

1;

3.18) -12; 3.19) 5

1; 3.20)

2

9; 3.21)

4

7; 3.22)

4

1; 3.23)

4

7; 3.24) 5; 4)

Verdaderas: 4.1); 4.5) y 4.7)

Ejercicios adicionales

1) Realice y simplifique las expresiones siguientes:

1.1) 5

34

5

3

12

3

1 ⋅⋅⋅− ; 1.2) 3

4

5

3

2

5

3

4

3 ⋅−⋅− ; 1.3) 2

32

2

5

3

)2(

2

13 −−−− ; 1.4)

2)

2

5

3

2(2

13 −

+−−

; 1.5) )3

2

2

1(32

3

4 −−

−÷−; 1.6)

4

1

3

19)4

5

1

4

1

3

1

2

1()12305(

−+−+−+−÷⋅⋅⋅ ; 1.7) )3

4

5

6(

4

3

−⋅−

; 1.8) )3

4

5

6(

4

3

−+−

Respuestas: 1.1) 6

1− ; 1.2) 5

17− ; 1.3) 3

2; 1.4)

11

8; 1.5)

6

17; 1.6)

4

13− ; 1.7) 5

6;

1.8) 10

1

VUELVEA EMPEZAR

Aunque sientas el cansancio,

Aunque el triunfo te abandone,

Aunque un error te lastime,

Aunque una traición te hiera,

Aunque una ilusión te apague,

Aunque el dolor queme tus ojos,

Aunque ignoren tus esfuerzos,

Aunque la ingratitud sea la paga,

Aunque la incomprensión corte tu risa,

Aunque todo parezca nada…….

VUELVE A EMPEZAR

EXPONENTES

La potenciación o notación exponencial es una notación para abreviar una multiplicación:

Notación: vecesn

n aaaa ⋅= , para n un entero positivo y 0≠a .

Se lee como a elevado a la n o más abreviado: a a la n.a es llamada la base y n el exponente o potencia e indica el número de veces que se repite el factor a.

Presentamos a continuación varios ejemplos ilustrativos

Ejemplo 1.- a) 822223 =⋅⋅= ; b) 125)5()5()5()5( 3 −=−⋅−⋅−=−

c) 243

1

33333

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

15

=⋅⋅⋅⋅

=⋅⋅⋅⋅=

d) 16

1

2222

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

14

=⋅⋅⋅

=

−⋅

−⋅

−⋅

−=

−

e) )()()( 2 bababa +⋅+=+

Observaciones:1.- Si a negativo entonces na es positivo si n es par y negativo si n es impar, como podemos apreciar en el ejemplo anterior en b y d.2.- Una expresión como nx⋅2 o simplemente nx2 es una escritura abreviada de )(2 nx⋅ , donde se puede analizar que la convención es que primero se hace la potencia y luego la multiplicación por 2. De manera similar nx− representa a )( nx− y nx⋅− 2 quiere decir )()2( nx⋅−3.- nn xx )(−≠−

Convención: La potencia es la primera operación que se ejecuta frente a multiplicaciones, divisiones, sumas o restas o cambio de signo.

Ejemplo 2.- Evaluar a) 332 ⋅ ; b) 32− ; c) 3)4(3 −⋅ ; Solución:a) 5427232 3 =⋅=⋅b) 8)2(2 33 −=−=−c) 192)64(3)4()4()4(3)4(3 3 −=−⋅=−⋅−⋅−⋅=−⋅

Aplicación

Ejemplo 1.- Una compañía pretende aumentar su producción en los próximos 4 años, duplicando la producción con respecto al año anterior. ¿Cuál será su producción anual dentro de 4 años, si la actual es de 2500 artículos por año?Solución:Observe que después de un año la producción es 25002 ⋅A los dos años se tendrá el doble del primer año )25002(2 ⋅A los tres años se tendrá el doble del segundo año 25002)25002(2 32 ⋅=⋅A los cuatro años se tendrá el doble del tercer año 4000025002)25002(2 43 =⋅=⋅artículos.

Definición de Exponentes Negativos y Cero

Los casos exponentes negativos o cero se definen como:Definición: Si 0≠a se define

10 =a y si n un entero positivo

nn

aa

1=− .

00 no está definido

Ejemplo 1.-

a)8

1

2

12

33 ==− ;

b) 120 = ; c) 1)3( 0 = ;

d) nn

xx

)2(

1)2(

+=+ −

;

e) 1)2( 02 =x .

Ejercicio de desarrollo.- Complete la igualdad

a) =0)3( π b) =+ −22 )1(x

PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES

En la siguiente tabla se presentan las propiedades más importantes de exponentes

Propiedad Ejemplo Justificación sólo para el caso n natural

1 mnmn aaa +=⋅ 64243 2222 ==⋅ + ( ) ( ) mn

vecesmnvecesmvecesn

mn aaaaaaaaaaaaa +

+

=⋅⋅=⋅⋅=⋅

2 mnmn aa ⋅=)( 84242 22)2( == ⋅ mnnnn

vecesm

nnnmn aaaaaa ⋅++ ==⋅⋅=

)(

3 ( ) nnn baba ⋅=⋅ ( ) 3333 822 bbb =⋅=⋅ ( ) nnn bababababa ⋅= =⋅⋅⋅⋅=⋅ )()()(

4n

nn

b

a

b

a =

25

4

5

2

5

22

22

==

n

nn

b

a

bbb

aaa

b

a

b

a

b

a

b

a =⋅⋅=⋅=

5nmm

n

aa

a−= 1

9

1

3

1

3

3355

3

== − nmnmnm

nn

m

n

aa

a

aa

aa

a

a−−−

−

==⋅= 1

.

0

6 mnm

n

aa

a −= 933

3 353

5

== − Ejercicio

7 nn

a

b

b

a

=

−

44

2

3

3

2

=

− n

n

n

n

n

n

nn

a

b

a

b

b

a

b

a

b

a

====

−

−−

/1

/1

8n

m

nmm

n

a

b

abb

a−

−

− == 131

3

2

5

5

2 =−

− Ejercicio

“ ”

RAZÓN, PROPORCIÓN Y PORCENTAJE.

En estadística se trabaja intensamente con razones, proporciones y porcentajes como

también en química y en nuestra gastronomía, entre otras. Generalmente solemos decir: en

esa finca hay cinco (5) becerros por cada 20 vacas, en ese salón hay tres (3) hembras por

cada varón, tres (3) tazas de harina por cada una (1) de azúcar, se planta (siembra) una

mata de naranja por cada 4 metros cuadrados de tierra, etc.

Se darán algunas nociones generales de razón, proporción, porcentajes y regla de tres.

Razón

La razón es una relación de comparación entre dos magnitudes o cantidades. La razón es el

cociente indicado (pero no calculado) de dos cantidades o magnitudes.

Dos cantidades pueden compararse de dos maneras:

1- Hallando en cuanto excede una a la otra, es decir restándolas

2- Hallando cuantas veces contiene una a la otra, es decir dividiéndolas.

De esto, se divide en dos clases de razones:

a- Razón aritmética o por diferencia.

b- Razón geométrica o por cociente

La que se estudiará en este curso es la razón geométrica o por cociente que es la que

más se utilizará.

RAZÓN GEOMÉTRICA O POR COCIENTE.

Se llama razón geométrica entre dos números a y b (b ≠ 0) al cociente de la división

de “a” por “b”.

El número “a” recibe el nombre de antecedente de la razón y el número b de

consecuente de la razón.

Simbólicamente expresamos

es a , se expresa: , a ÷ b o también b

a

Ejemplos:

1- La razón 5 es a 10 se escribe: 10

510 :5 10, 5 , ÷

2- La razón entre los números :es 5

3y

17

4

51

20

5

3 :

17

4 ;

51

20

5

3

17

4 ;

51

20

317

5 4

5

317

4

==÷=××=

3- En un salón de clase hay dos varones por cada siete hembras.

La razón de varones a hembra es: 2 es a 7, y se escribe: 7 : 2 , 7 2 ,7

2 ÷

4- Supongamos que un automóvil recorre 185 Km. por cada 5 galones de gasolina.

¿Cuál es el rendimiento del automóvil por galón de gasolina?

Solución:

Llamaremos rendimiento del automóvil a la razón de los kilómetros recorridos entre los

galones consumidos.

Así, rendimiento del automóvil = glkm 37

gl 5

km 185 =

Es decir, el rendimiento del automóvil es 37 kilómetros por galón de gasolina.

RAZONES IGUALES. Se llama serie de razones iguales a la igualdad de dos o más razones.

Simbólicamente:

==== h

g

f

c

d

c

b

a…. es una serie de razones iguales.

Nota: Dada una razón, existen infinitas razones iguales a ella.

Ejemplo:

25

15

20

12

15

9

10

6

5

3 ====

PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE UNA SERIE DE RAZONES IGUALES.

En toda serie de razones iguales, la razón entre la suma de los antecedentes y la

suma de los consecuentes es igual a una cualquiera de las razones de la serie

Simbólicamente:

Sea j

i

h

g

f

e

d

c ====

b

a, entonces

j

i..........

d

c

b

a

jh f db

i g e c ====++++++++a

Ejemplo:

5

3

75

45

25 20 15 10 5

15 12 9 6 3

25

15

20

12

15

9

10

6

5

3 ==++++

++++=====

La razón se simplificó por m.c.d (45, 75) = 15

Ejercicios

Dada la siguiente serie de razones iguales, aplicar la propiedad fundamental.

56

21

48

18

40

15

32

12

24

9

16

6

8

3 .3

110

141

5

7

5

7 .2

24

42

20

35

16

28

12

21

8

14

4

7 .1

57

75

======−

−=

−=−=−=

−−

=====−

Actividad

1.- En un salón de clase del I.U.T.J.N.V. hay 11 varones y 15 hembras. La razón de

varones a hembras es: ___________

2.- En un barco se necesitan 3 cocineros por cada 21 tripulantes. La razón de cocineros por

tripulantes es: __________

3.- En un terreno se planta una mata de naranja por cada 2 4 m . La razón de mata de

naranja por 2m es: _________

4.- En una finca se recogen 13 pimentones por cada 2 matas. La razón de pimentones por

matas es: ________

Ejercicios.

1.- Se venden 3 libretas por Bs. 11, ¿cuál es la razón de libretas a Bs.?

2.- 5 millas náuticas es lo mismo que 9300 metros. ¿Cuál es la razón de millas náuticas a

metros?

3.- Hay 5 cajas de naranjas, 2 de anones y 4 de mangos. Hallar la razón de cajas de

naranjas a cajas de frutas.

4.- Una fábrica de calzados produce 23 pares de zapatos de caballeros cada 4 horas. ¿Cuál

es la razón entre pares de zapatos y las horas?

5.- Para el cableado de 3 computadoras se utilizan 17 metros de cable. ¿Cuál es la razón

entre las computadoras y los metros de cable?

PROPORCIÓN.

Una proporción es la igualdad entre dos razones geométricas.

Simbólicamente.

d

c =

b

a, es una proporción y se lee: “a” es a “b” como “c” es a “d”

En la proporción d

c

b

a = , a y d se llaman extremos; c y b se llaman medios.

Ejemplo:

Las razones 20

14y

10

7 son iguales, por tanto

20

14

10

7 = es una proporción.

PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS PROPORCIONES

Teorema: En toda proporción el producto de los medios es igual al producto de los

extremos.

Simbólicamente:

Si d

c =

b

a, entonces a x d = c x b

Como por ejemplo:

Veamos si estas proporciones son verdaderas.

1. 7

63

2

18 = , así (18) (7) = (63) (2)

126 = 126, por tanto la proporción es verdadera.

2. ; 60

23

105

15 = (15) (60) = (23) (105)

900 ≠ 2415, por lo tanto la proporción es falsa.

3.- Determinar un término de una proporción, conocidos los otros tres.

a) 4

3

32=a

, resolviendo: a (4) = (3) (32) 4 a = 96 ⇒ a = 4

96 = 24

El termino de la proporción es a = 24

b) 21

c

7

4 = ⇒ (4) (21) = (c) (7) ⇒ 84 = c7 ⇒ 7c = 84 ⇒ c =7

84=1⇒ c = 12, el

termino de la proporción es c = 12.

Ejercicios.

1. Verifique que las siguientes proporciones son verdaderas o falsas:

a) 14: 10 = 28: 20 b) 65

32

23

11 = c) 15:21 = 40:56

2. Determinar un término de una proporción, conocidos los otros tres.

a) 22

c

5

3 = b)0.632

0.05

432.0 =d

b) 3 : 5

12 3

1 = 3 d : 4

1

3. En un refugio de animales la razón de perros a gatos es de .7:5 Si hay 40 perros,

¿Cuántos son los gatos?

4. La razón de millas a kilómetros es como 7 es a 11. Si recorro 28 millas, ¿Cuántos

kilómetros recorro?

5. Si cuatro libros cuestan Bs.200, ¿Cuánto costarán 5 docenas?

6. Cinco mandarinas cuestan BS. 1, ¿Cuánto costarán 15 mandarinas?

7. Los 2/3 de la capacidad de un estanque son 500 litros,¿Cuál será la capacidad de los

4/9 del mismo estanque?

PROPORCIONALIDAD DIRECTA

Supóngase que el precio de cada litro de leche es de Bs. 2,2; conocido el precio unitario

(precio por unidad) se puede calcular fácilmente el precio de cualquier cantidad de litros

de leche, multiplicando el número de litros por el precio unitario.

Lo anterior nos permite elaborar una tabla, donde “x” representa la cantidad de litros de

leche y “y” el precio correspondiente

LITROS DE LECHE PRECIO(Bs.)x y1 2,22 4,43 6,64 8,85 116 13,27 15,48 17,6

Observemos que si aumentamos el número de litros de leche, el precio aumenta en la

misma proporción, y si disminuye el número de litros de leche, el precio disminuye en la

misma proporción.

Cuando ocurre lo anterior, se dice que el precio varía de forma directamente proporcional a

la cantidad de litros de leche.

Es decir:

Si x es la medida de la magnitud P e y es la medida de la magnitud Q, entonces P y Q son

directamente proporcionales si k donde ,ky

x = recibe el nombre de constante de

proporcionalidad.

En nuestro ejemplo, la razón entre el precio y la cantidad de leche (en litros) es Bs. 2,2.

Luego, la constante de proporcionalidad es k= Bs. 2,2 por litros. Nótese que k coincide

con el precio unitario.

Ejemplo 1

Los datos de la tabla siguiente, corresponden a número de obreros y piezas de cierto

artículo que producen diariamente

Determinar la constante de

proporcionalidad

Solución:

Observemos que el número de obreros y

las piezas producidas diariamente son directamente proporcionales, ya que

,9030

2700

7

630

10

900

5

450

25

2250 ===== luego la constante de proporcionalidad k es 90

piezas diarias por obrero.

En general,

Si 2

1

2

12211 O

O entonces piezas, Phacen obreros Oy piezas Phacen obreros

P

PO =

La siguiente propiedad se deduce de lo anterior expuesto.

Propiedad

Si dos magnitudes son directamente proporcionales, la razón entre dos cantidades de una

magnitud es igual a la razón entre las cantidades correspondientes de la otra.

Ejemplo 2

Cinco lápices cuestan BS. 4,5. ¿Cuánto cuestan 12 lápices?

OBREROS PIEZASx y25 22505 45010 9007 63030 2700

Solución 1.

Suponiendo que el costo C es directamente proporcional a la cantidad de lápices

comprados, tendremos una ecuación relacionando C y n, así:

C = kn

En nuestro caso n = 5, C = 4,5; luego k = .9,05

5,4 = Por lo tanto, el costo de 12 lápices será

12*0,9 = 10,80 Bs.

Solución 2.

Como C es directamente proporcional a n, se tendrá que el cociente del costo de 12 lápices

entre 12, será igual al costo de 5 lápices entre 5. O sea,

( ) ( ) ( ) ( ) 80,105

5,41212C

5

5,4

12

12

5

5

12

12 =∗=⇒=⇒= CCC

El costo de los 12 lápices es Bs. 10,80

Solución 3.

Como C es directamente proporcional a n, tendremos que si el costo de cinco lápices es 4,5

Bs. el costo de cada lápiz será igual a

5

1de 4,5; y, el costo de doce lápices será igual a

doce veces el costo de uno. O sea, ( ) .80,10125,45

112 =∗∗=C

LOS REPARTOS PROPORCIONALES

Se trata del tipo de situación en la que hay que repartir una cantidad de alguna magnitud

entre diversos sujetos de acuerdo con ciertas razones establecidas entre éstos. Se debe hacer

uso de la siguiente propiedad: .a

bay

b

ba entonces ,

c

dc

d

dc

d

c

b

a +=++=+=

Ejemplo:

En la empresa MAZECA, la razón de T.S.U. en administración de Empresa a T.S.U.

Mercadeo Agrícola es de 7:11. Si hay 72 trabajadores en la empresa. ¿Cuántos son de

Administración y cuántos de Mercadeo?

Solución:

Sean A= el número de T.S.U. en Administración de Empresa

M= el número de T.S.U. en Mercadeo Agrícola, sabemos que A+M= 72 y

( )

perdieron? ¿Cuántos ganaron? ¿Cuántos

partidos, 24jugaron en total Si 6.:8 es favorito equipo mi de perdidos partidos a ganados partidos derazón La

:Ejercicio

Agrícola Mercadeoen 44y Empresa de

ción Administraen T.S.U. 28hay empresa laen que significa que lo 28,7*4 Ay 4411*4M ,

18

7*72Ay

18

11*72

7

18

A

72y

11

1872

.

anterior fórmula la 7

117

A

MAy

11

117

M

MA entonces ,

11

7

====

==⇒==

+=++=+=

Así

MM

aplicandoM

A

Ejercicios variados.

1.- En una cierta fábrica, una operadora empaca en una hora 7 cajas, ¿Cuántas empacará

en 8 horas? ¿En 5 horas?

2.- Cinco lápices cuestan Bs. 0,8, ¿Cuánto cuestan 12 lápices?

3.- Si una media docena de huevos cuesta Bs. 3, ¿Cuánto cuestan siete docenas?

4.- Un metro tiene 100 cm, ¿Cuántos centímetros hay en 3/10 de un metro?

5.- Al cuestionar a una muestra de 50 personas, 35 de ellas indicaron que su refresco

favorito era Pepsi-Cola. Si la muestra era representativa, ¿A cuantos de de cada 100

personas le gusta la Pepsi-Cola?

6.- Dos amigos deben repartirse Bs. 27.000. Las cantidades respectivas están en la razón

5:4. ¿Cuánto dinero recibirá cada uno?

7.- Las edades de Carolina y Marcela están en la razón 3:2. ¿Que edad tiene cada una, si la

suma de sus edades es 80 años?

8.- La suma de dos números es 91 y están en la razón 4:3. Calcula el valor de cada

número

9.- La diferencia entre los pesos de dos vehículos es 1.200 Kg. y están en la razón 7:4.

Calcular el peso de cada vehículo.

10.- El auto de Wilfredo tiene un estanque de gasolina con una capacidad de 40 L. Como

se va de paseo, llena el estanque, por lo que paga Bs. 5. Si el costo de la gasolina Bs. 2.46.

¿Qué parte del estanque estaba con gasolina?

PROPORCIONALIDAD INVERSA

Con mucha frecuencia se presenta este tipo de situación:

En una fábrica 6 máquinas de la misma clase (igual rendimiento) realizan un trabajo en 8

horas. Si se dedica la mitad de las máquinas a realizar el mismo trabajo, entonces necesitan

el doble del tiempo. Es decir, si 6 máquinas realizan el trabajo en 8 horas, 3 máquinas

harían igual trabajo en 16 horas.

De acuerdo con lo anterior, podemos elaborar la siguiente tabla, donde x representa el

número de máquinas y t el tiempo que necesitan para realizar el mismo trabajo, así:

NÚMERO DE MÁQUINAS TIEMPO(horas)

x t6 83 1612 416 3

48 12 241 48

Observemos que si se aumenta el número de máquinas, disminuye el tiempo en que se

realiza el trabajo y si se disminuye el número de máquinas, aumenta el tiempo.

Cuando ocurre lo anterior, se dice que el número de máquinas varía en forma inversamente

proporcional al tiempo.

Decimos que dos magnitudes varían en forma inversamente proporcional, cuando el

producto de las cantidades correspondientes, es una constante.

Es decir:

Si x es la medida de la magnitud P e y es la medida de la magnitud Q, entonces P y Q son

inversamente proporcionales, si x.y = k, donde k es la constante de proporcionalidad.

En nuestro ejemplo k = 48, representa el tiempo de duración total para efectuar la obra por

máquina o sea, k = 48 horas.

En general,

1

2

2

1

1

2

2

1

2 211

t

t o

m

m

:entonces ales,proporcion teinversamenson tiempoely máquinas de cantidad la como

horas, en t trabajoigualrealizan máquinas my horas en t un trabajoefectúan m

m

m

t

t

máquinasSi

==

Ejemplo: El alquiler de una casa es de Bs. 500, si en ella viven cinco (5) estudiantes

pagarían Bs.100 c/u. Si en la misma casa por el mismo alquiler viven diez (10) estudiantes.

¿Cuánto pagarían?

Solución:

Observemos que a medida que aumenta el número de estudiantes, el precio a pagar

disminuye, por tanto se trata de un problema de proporcionalidad inversa, así: Planteando la

ecuación:

50 Bs.pagar debe

estudiante cada ,50 5100 10 10010

5 luego , 22

2

1

2

2

1 luegoppp

p

p

n

n=⇒∗=⇒==

NOTA: Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al aumentar el valor de

una variable la otra disminuye y viceversa.

Ejercicios.

1.- Entre 3 personas pintan una casa en 6 días. ¿Cuántas personas se necesitan para

realizar el mismo trabajo en 2 días?

2.- Un bus demora 6 horas entre Puerto La Cruz y Carúpano a una velocidad promedio de

80 Km/hr. ¿A que velocidad promedio se desplazó otro vehículo que hizo el mismo

recorrido en 8 horas?

PORCENTAJE COMO APLICACIÓN

El concepto de porcentaje, que tiene una gran importancia dentro de la economía, es una

aplicación de la proporcionalidad directa.

La razón de proporcionalidad para su uso en porcentajes tiene como base 100

Definición: El tanto por ciento es una proporcionalidad que se establece con base 100; para

expresar que la razón se establece con base 100 se usa el signo %.

Ejemplo: En una hectárea que se siembra 50 matas de lechosas, 7 son de lechosa pajarito; la

razón de proporcionalidad es50

7 (7 de cada 50), si cambiamos la base, a base 100, se tiene

100

14(14 por cada 100), lo que se puede expresa como 14%, si se escribe en forma decimal

0.14, es el tanto por uno; estas son dos formas equivalentes

unidad) cada de 0.14(0.14 o )100 14%(14 cadade

El tanto por ciento (%) es el número de unidades que se toma por cada ciento.

tasabase

porcentaje =

En estadística se debe ser muy cuidadoso al escoger la base para expresar el tanto por

ciento

Ejemplo:

En un corral de ganado vacuno, se encontró 35 animales sanos y 18 enfermos; el técnico

informó lo siguiente: El 51% de los animales están enfermos.

Solución:

%),51(51.035

18 = es decir tomó como base los sanos y la información correcta es tomar

como base el número total de animales; 0 sea enfermos) %33(33.053

18 = . Por tanto, la

información suministrada por el técnico es incorrecta.

Ejercicios:

1.- Los productores de leche, aumentan el precio del litro de leche de Bs. 2,2 a Bs. 2,45 y

sostienen que aumentaron el precio en 10 %, explique:

a.- Sobre que base calcularon

b.- ¿Cuál es el aumento real?

2.- En 8 fincas de una población venezolana, nacieron en un año 11432 hembras y 10841

machos de un ganado bovino; halle:

a.- El porcentaje de machos y el porcentaje de hembras sobre el total de nacidos

b.- Sobre la base del total de nacidos, el porcentaje en que las hembras superan a los

machos

c.- El porcentaje que representan los machos sobre la base del total de hembras nacidas.

3.- El agua de mar contiene 2,5g de sal por cada 100g de agua. ¿Cuántos gramos de sal

hay en 7kg de agua de mar?

4.- El sueldo de un obrero es Bs. 700 mensuales. Si se reajusta en un 35%, determine el

nuevo sueldo.

5.- En una finca de café que contiene 15.300 matas de café, el técnico de la finca, informó

que 27% de la plantación tiene Roya, ¿Qué cantidad de matas tiene Roya?

6.- La producción total de café en una finca fue de 12.400 kg. Al vender el café se

encontró que el 12% tenía Broca, ¿Cuántos kilogramos de la producción contiene Broca?

7.- Si el P.V.P de una pera es de Bs. 2 y la aumentaron a Bs. 3 ¿Cuál es el porcentaje de

aumento?

8.- Un trabajador ahorra cada mes Bs. 60,775 que es el 15,75% se su sueldo. ¿Cuál es su

sueldo mensual?