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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA INDOAMERICA

ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS

CONTABILIDAD Y AUDITORÍA

MODALIDAD A DISTANCIA

PROGRAMACION GENERAL DEL EVENTO

‘’ MATEMÁTICA APLICADA ‘’

TUTOR

MAGISTER JUAN PAREDES B.

QUITO - ECUADOR

2

PRESENTACIÓN

En la Matemática Aplicada muchos símbolos representan variables que se observan en el

mundo real; las propiedades de estas variables deben determinarse por observación, no por

definición abstracta y luego establecerse en forma matemática.

Además en la Matemática Aplicada puede determinarse la precisión empírica de las

deducciones.

La Administración de Empresas y Economía se relacionan con conceptos que son de naturaleza

cuantitativa por ejemplo: precio, costo, escalas de salarios, inversión, renta y beneficio. La

Matemática proporciona una estructura sistemática lógica dentro de la cual pueden estudiarse

las relaciones cuantitativas. Cuando las variables económicas se representan con símbolos y

sus propiedades se establecen en forma matemática, la matemática suministra las técnicas

para analizar relaciones entre los símbolos y por lo tanto entre las variables que ellos

representan. Gran parte del análisis económico es entonces análisis aplicado.

Este curso pretende que el estudiante desarrolle habilidades y destrezas para entender,

apreciar y realizar análisis matemático aplicado; capacitándolo para ser preciso al definir las

variables pertinentes, para plantear con claridad las hipótesis hechas, para ser lógico en el

desarrollo del análisis y para considerar un número de variables mayor del que sería posible

verbalmente.

La propuesta metodológica a plantearse incorpora tres aspectos esenciales íntimamente

relacionados entre sí, destacados por las nuevas tendencias pedagógicas matemáticas:

La resolución de situaciones problemáticas que se pueden referir al mundo económico y social.

El énfasis puesto en el aprendizaje del lenguaje simbólico en el que se expresan las situaciones problema y las soluciones encontradas.

El sistema conceptual, lógicamente organizado y socialmente compartido.

Esta metodología se desarrolla en las siguientes fases:

1. Todas las situaciones problema propuestas han sido elegidas y adaptadas de acuerdo a los intereses y a la cotidianidad de las y los alumnos que van a iniciar en este tipo de cursos; los contenidos serán precisos y sencillos, constituyéndose en un elemento motivador, que invite al alumno a desarrollar métodos personales de pensamiento, llenos de creatividad y sentido común y aumenten su confianza para enfrentarse a situaciones nuevas.

2. Habrá interacción, que propicie la generación de debates, la discusión y el contraste de puntos de vista en el trabajo en grupos pequeños, a fin de conseguir que todos los estudiantes aprendan y se sientan comprometidos en la construcción de su propio aprendizaje, en esta fase el docente actuará como coordinador y guía.

3. Finalmente llegaremos a la confrontación, que nos permitirá: sintetizar acuerdos e interiorizar los contenidos aprendidos. En ésta fase el docente actuará como moderador

3

valorando los puntos fuertes y débiles del desarrollo del tema y coordinando sistemáticamente puntos de vista con todos los grupos.

Todo el proceso anterior apunta a lograr una evolución positiva de las actividades de los

alumnos hacia la Matemática Aplicada, lo cual implicará aprendizajes significativos, que tanta

importancia reviste para desenvolverse con soltura en la compleja sociedad actual.

INTRODUCCIÓN

El modulo está diseñado para que el alumno tenga una comprensión simple y concisa de la

Matemática Aplicada y pueda resolver con solvencia todos las aplicaciones planteadas.

Cada unidad tendrá una clara exposición de definiciones, deducción de formulas, ejemplos y

problemas resueltos y propuestos tomados de los textos: “Cálculo para Administración,

Economía y Ciencias Sociales” de HOFFMANN, “Matemáticas para Administración y Economía”

de Haeussler y “Matemáticas para Administración y Economía” de Draper; los cuales

enfocados bajo la metodología propuesta generaran aprendizajes efectivos.

Las unidades a tratar son:

Funciones

Gráfica de Funciones

Rectas, Parábolas y sistemas de ecuaciones

Límites

Derivadas

Estoy seguro, que con reflexión e investigación participativa, encontrarán el camino más

adecuado hacia un aprendizaje significativo, cubriendo sus expectativas y aspiraciones.

INDICACIONES PARA EL ESTUDIO DEL MÓDULO

El alumno tiene que fundamentar su estudio en el módulo que se le entrega en el momento de iniciar el evento en la materia de Matemática Aplicada, el mismo que ha sido seleccionado considerando la claridad y simplicidad en la explicación de sus contenidos, el manejo didáctico concreto y simple en el desarrollo de los ejercicios y problemas resueltos y planteados por los tres textos-guía anotados anteriormente.

El módulo contiene: términos y símbolos importantes, una síntesis sobre los contenidos tratados en cada unidad, ejercicios y problemas presentados teniendo en cuenta su grado de dificultad y, finalmente en cada unidad se plantean aplicaciones prácticas para que el alumno pueda transferir el conocimiento en situaciones de la vida real.

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Para los trabajos extraclase debe presentarlos con letra manuscrita y esferográfico, no a lápiz, de preferencia en papel cuadriculado. La resolución de ejercicios o problemas numéricos deben contener todo el proceso de cálculo así: enunciado, planteamiento, fórmulas y simbología, sustitución numérica de símbolos, tablas y gráficos, resultados con interpretación (si se lo solicita).

Habrá tres pruebas escritas las cuales, girarán fundamentalmente en torno de los ejercicios y problemas propuestos.

La asistencia y puntualidad son transcendentales en éste módulo pues, en Matemática Aplicada, todas las unidades tienen secuencia, cualquier desfase por este motivo, dificulta enormemente el proceso de enseñanza-aprendizaje. Además en clase se efectuarán talleres que permitirán clarificar: gráficos, planteamientos, elaboración de tablas y resolución de ejercicios y problemas; repercutiendo directamente en su mejor rendimiento.

OBJETIVO GENERAL DEL MODULO

Vincular teoría y práctica en el proceso de comprensión de los fundamentos de la Matemática

Aplicada y la transferencia de sus conceptos y técnicas, en el mundo de los negocios, logrando

un aprendizaje significativo, orientado y sostenido.

OBJETIVOS ESPECIFICOS DE LA CATEDRA

Identificar funciones, su dominio y rango, composición y aplicaciones.

Graficar funciones a través de representación de puntos.

Operar con límites y aplicarlos al trazado de curvas.

Derivar funciones, aplicar al trazado de curvas y a conceptos fundamentales de la Administración de Empresas y Negocios.

UNIDADES

1. FUNCIONES:

- Definición - Notación Funcional - Dominio y Rango de una Función - Composición de Funciones - Aplicaciones

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2. GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN:

- Método de Representación de Puntos - Intersecciones con los ejes - Representación Gráfica de Parábolas - Intersección de Gráficas - Funciones Potencia - Funciones Racionales - Criterio de la Recta Vertical - Aplicaciones

3. RECTAS, PARÁBOLAS Y SISTEMAS DE ECUACIONES

RECTAS

- Niveles de producción

- Determinación de una ecuación de demanda

- Graficación de funciones lineales

- Determinación de una función lineal - Determinación de una función lineal

- Aplicaciones varias

PARÁBOLAS

- Graficación de una función cuadrática

- Ingreso máximo, utilidad máxima

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

- Sistemas con dos variables

- Método de eliminación por adición

- Problemas

APLICACIONES DE SISTEMAS DE ECUACIONES

- Equilibrio

- Efecto de los impuestos sobre el equilibrio

- Equilibrio con demanda no lineal

- Punto de equilibrio

- Punto de equilibrio, utilidad y pérdida.

- Cantidad de equilibrio

4. LÍMITES

- Definición - Propiedades - Cálculo de límites - Límites en el infinito - Aplicaciones

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5. DERIVADAS:

- Definición - Interpretación Geométrica - Fórmula General - Reglas de la Derivación - Criterio de la primera y segunda derivadas en el trazado de curvas - Aplicaciones

BIBLIOGRAFÍA

HOFFMANN Laurence D, “Cálculo para Administración, Economía y Ciencias Sociales”, Mc Graw Hill, 2002.

HAEUSSLER Ernest F.Jr, “Matemáticas para Administración y Economía”, Pretince-Hall, 2003.

LEITHOLD Louis, “Matemáticas previas al Cálculo”, Editorial Mexicana, 2002.

PURCELL Edwin J, “Cálculo Diferencial e Integral”, Pretince-Hall, 2000.

DRAPER Jean E, “Matemáticas para Administración y Economía”, Harla, 1972.

WEBER Jean E, “Matemáticas para Administración y Economía”, Harla, 2000.

7

FUNCIONES Y GRÁFICAS

1. FUNCIONES

En muchas situaciones prácticas, el valor de una cantidad puede depender del valor de otra. Por ejemplo, la demanda de carne puede depender de su precio actual en el mercado; La cantidad de polución en el aire en un área metropolitana puede depender del número de automóviles que transitan por la carretera; el valor de una botella de vino puede depender de su añejamiento. Con frecuencia, tales relaciones pueden representarse matemáticamente como funciones.

Esta definición se ilustra en la figura 1.1

Para la mayor parte de las funciones estudiadas en este libro, los conjuntos A y B serán grupos de números re ales. Se puede considerar tal función como una regla que asigna números “nuevos” a números “viejos”. Para que sea una función, la regla debe tener la propiedad de asignar uno y sólo un número “nuevo” a cada número “viejo”. A continuación se presenta un ejemplo. ___________________________________________________ EJEMPLO 1.1 Según cierta función, el número “nuevo” se obtiene sumando 4 al cuadrado del número “viejo”. ¿Qué número asigna esta función al 3? Solución El número asignado al 3 es , o sea 13.

Variables A menudo, una función puede escribirse de manera

simplificada utilizando una fórmula matemática. Es tradicional emplear x para representar el número viejo y y para el número nuevo, y escribir una ecuación que relacione a x y y. Por ejemplo, la función del ejemplo 1.1 puede expresarse mediante la ecuación

Función Una función es una regla que asigna a cada objeto de un conjunto A uno y sólo un objeto de un conjunto B.

Figura 1.1 Representación visual de una función.

8

Las letras x y y que aparecen en tal ecuación se denominan

variables. El valor numérico de la variable y está determinado por el de la variable x. Por esta razón, y a veces se conoce como variable dependiente y x como variable independiente.

Notación Funcional Existe otra notación posible para funciones, ampliamente

usada y mucho más versátil. Se elige una letra, por ejemplo f, para representar la función misma y el valor que la función asigna a x se representa por f(x) en lugar de y. El símbolo f(x) se lee “f de x”. Mediante esta notación funcional, el ejemplo 1.1 puede volver a escribirse como sigue.

___________________________________________________ EJEMPLO 1.2 Hallar f(3) si f(x)= Solución Se observa la utilidad y simplicidad de esta notación. En el

ejemplo 1.2, la fórmula simplificada f(x)= define por completo la función, y la simple ecuación f(3)= 13 indica que es 13 el número que la función asigna a 3.

La notación funcional también se emplea para describir datos tabulados. Por ejemplo, la tabla 1.1 presenta una lista de la población agrícola de Estados Unidos Según los censos de los años 1910 a 1990. Estos datos se pueden describir como una función f definida por la regla

AÑO

n

POBLACIÓN

AGRÍCOLA DE

EE.UU

PORCENTAJE DE

LA POBLACIÓN

TOTAL DE

EE.UU.

1910

1920

1930

1940

1950

1960

1970

1980*

1990*

1

2

3

4

5

6

7

8

9

32,077,000

31,974,000

30,529,000

30,547,000

23,048,000

15,635,000

9,712,000

6,051,000

4.591,000

34.9

30.2

24.9

23.2

15.3

8.7

4.8

2.7

1.8

*En 1980 y 1990, algunas áreas rurales se contabilizaron como agrícolas.Fuente:

U.S Bureau of the Census, Statistical Abstract of the United States, 1990

U

EXPLORAR Introducir en la calculadora grafica. Evaluar -1, 0, 1 y 3. Elaborar una tabla de valores. Repetir utilizando y . Agregar columnas a la tabla para estas funciones. Explicar en que difieren los valores de para cada valor de x.

9

Así, f(1)=32,077, f(5) = 23,048, y f(9) = 4,591. El dominio de f es el conjunto de enteros 1, 2, …, 9.

El uso de la notación funcional se ilustra más a fondo en los ejemplos siguientes. En el ejemplo 1.3 se utilizan letras distintas de f y x para representar la función y su variable independiente.

___________________________________________________ EJEMPLO 1.3

Si , hallar (si es posible) y Solución

Rescribir la función . (Si necesita repasar los conocimientos de potencias fraccionarias, puede consultar el análisis de notación exponencial en la sección de Repaso de álgebra, al final del libro). Entonces

y Sin embargo, no está definida puesto que

y los números negativos no tienen raíces cuadradas reales. En el ejemplo siguiente, se necesitan dos fórmulas para definir la función. ___________________________________________________ EJEMPLO 1.4

Hallar

si

Solución Para el primer intervalo, se tiene,

para el segundo intervalo, se tiene, y El ejemplo siguiente ilustra cómo se emplea la notación funcional en una situación práctica. Se observa que para que la fórmula algebraica sea más fácil de interpretar, las letras que sugieren el nombre de las cantidades prácticas pertinentes se utilizan para designar la función y su variable independiente.

EXPLORAR

Introducir

en la

calculadora gráfica.

Hallar

Explicar por qué estos resultados difieren de los obtenidos en el ejemplo 1.4.

10

(En este ejemplo, C remplaza el “costo” y q, la “cantidad” producida).

EJEMPLO 1.5 Supóngase que el costo total en dólares de fabricar q unidades de determinado artículo está dado por la función a) Calcular el costo de producir 10 unidades del artículo. b) Calcular el costo de producir la décima unidad del artículo. Solución a) El costo de producir 10 unidades es el valor de la función

de costo total cuando q=10. Es decir,

b) El costo de producir la décima unidad es la diferencia entre el costo de fabricación de 10 unidades y el costo de fabricación de 9 unidades. Es decir, Costo de la décima unidad = C(10) – C(9) = 3,200 – 2,999 = US$201

Dominio de una función El conjunto de valores de la variable independiente para el que

puede evaluarse una función se denomina dominio de la función. Por ejemplo, la función del ejemplo 1.2 puede evaluarse para todo número real x. Así el dominio de esta función es el conjunto de todos los números reales. El dominio de la función del ejemplo 1.5 es también el conjunto de todos los números reales [aunque C(q) representa el costo total sólo para valores no negativos de q]. En el ejemplo siguiente se tienen dos funciones cuyos dominios están restringidos por razones algebraicas.

___________________________________________________ EJEMPLO 1.6 Hallar el dominio de cada una de las funciones siguientes:

a)

b)

Solución a) Como es posible dividir por cualquier número real distinto

de cero, el único valor de x para el cual

no

puede calcularse es x = 3, valor que iguala a cero el denominador de f. Por tanto, el domino de f está formado por todos los números reales, excepto el 3.

b) Como los números negativos no tienen raíces cuadradas

reales, los únicos valores de x para los que puede

EXPLORAR Evaluar , del ejemplo 1.5, .¿Que se observa acerca del valor de la función de costo para cada una de estas funciones en cada nivel de producción ? ¿Por qué es ? Comparar más a fondo al examinar las gráficas de estas funciones usando una gráfica rectangular de [0,20] 1 por [0, 5,000] 1,000.

EXPLORAR Emplear una calculadora gráfica para dibujar la gráfica

de

en una vista rectangular de [-5,5]1. Describir en qué difieren las gráficas de estas funciones y por qué. RECUÉRDESE: [-5,5]1 por [-5,5]1 significa establecer la vista rectangular para: Xmin= -5, X máx=5, Xesc=1, Ymín = -5, Ymáx= 5y Yesc=1

11

calcularse son aquellos en que x – 2 sea no negativo, es decir, para los que

Así, el dominio de g está formado por todos los números reales mayores que o iguales a 2.

Composición de funciones En muchas situaciones una cantidad viene dada como función

de una variable que, a su vez, puede escribirse como una función de una segunda variable. Al combinar las funciones de un modo apropiado, la cantidad original puede expresarse como una función de la segunda variable. Este proceso se conoce como composición de funciones.

La situación se ilustra en la figura 1.2

___________________________________________________ EJEMPLO 1.7 Hallar la función compuesta g[h(x)] si y Solución Al remplazar u por h(x) = x+1 en la fórmula de g, se obtiene

El ejemplo 1.7 podría expresarse de modo más simplificado como sigue: hallar la función compuesta g(x+1) donde . El uso de esta notación simplificada se ilustra mejor en el ejemplo siguiente.

Composición de funciones La función compuesta g[h(x)] es la función formada a partir de las dos funciones g(u) y h(x) al sustituir u por h(x) en la fórmula g(u).

Figura 1.2 Composición de funciones

EXPLORAR Introducir

Como una función en la calculadora gráfica. Introducir como una segunda función. Hallar evaluando introduciendo el resultado como y luego evaluando en el valor introducido. Ahora, hallar . ¿Son iguales los resultados? Explicar la respuesta.

12

______________________________________________ EJEMPLO 1.8

Hallar si

.

Solución

A primera vista, este problema puede parecer confuso porque la letra x aparece como variable independiente, en la fórmula que define f, y como parte de la expresión x – 1. Por esto, puede ser de utilidad escribir la fórmula de f en términos más neutrales, como

Para hallar f(x – 1), se inserta la expresión x – 1 dentro de cada caja, para obtener

En algunas ocasiones, se podrá “descomponer” una determinada función compuesta g[h(x)] y podrán identificarse las funciones g(u) y h(x) a partir de las cuales se formó esta función. El procedimiento se ilustra en el ejemplo siguiente.

EJEMPLO 1.9

Si

, hallar las funciones g (u) y h(x) tal

que f(x) =g [h(x)]. Solución La forma de la función dada es

donde cada caja contiene la expresión x – 2. Así, f(x) = g [h(x)], donde

En el ejemplo 1.9 hay infinitos pares de funciones g(u) y h(x) que se combinan para formar g [h(x)] = f(x). [Por ejemplo,

y h(x) = x – 3]. El par seleccionado en

la solución de este ejemplo es el más natural y refleja con mayor claridad la estructura de la función original f(x).

13

El ejemplo siguiente ilustra cómo puede surgir una función compuesta en un problema práctico.

EJEMPLO 1.10 Un estudio ambiental en cierta comunidad suburbana revela que el nivel medio diario de monóxido de carbono en el aire será c(p) = 0.5p + 1 partes por millón cuando la población sea p miles. Se estima que dentro de t años la población de la comunidad será miles. a) Expresar el nivel de monóxido de carbono en el aire como

una función del tiempo. b) ¿Cuándo llegará a 6.8 partes por millón el monóxido de

carbono? Solución a) Como el nivel de monóxido de carbono está relacionado

con la variable p por la ecuación c(p) = 0.5p + 1 y la variable p está relacionada con la variable t por la ecuación

se deduce que la función compuesta

Expresa el nivel de monóxido de carbono en el aire como una función de la variable t.

b) Igualar a 6.8 y despejar t para obtener

Es decir, dentro de 4 años el nivel de monóxido de carbón será 6.8 partes por millón.

PROBLEMAS 1.1 ___________________________________________________

En los problemas 1 a 11, calcular los valores indicados para la función dada. 1. 2.

Una aplicación de funciones compuestas

14

3.

4.

5.

6.

7. 8. 9.

10.

11.

En los problemas 12 a 25, especificar el dominio de la función dada. 12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25. En los problemas 26 a 33, hallar la función compuesta g[h(x)]. 26. 27. 28. 29.

30.

31.

32.

33. En los problemas 34 a 41, hallar la función compuesta indicada. 34.

15

35. 36. 37.

38.

39. 40.

41.

En los problemas 42 a 47, hallar las funciones h(x) y g(u) tal que f(x) = g[h(x)]. 42.

43. 44.

45.

46.

47.

Costo de fabricación 48. Supóngase que el costo total en dólares de la fabricación

de q unidades de cierto artículo está dado por la función a) Calcular el costo de fabricación de 20 unidades. b) Calcular el costo de fabricación de la vigésima unidad.

Productividad 49. Un estudio de productividad en el turno matinal de cierta

fábrica indica que si un obrero medio llega al trabajo a las 8:00 a.m. habrá ensamblado

radio transistores x horas después.

a) ¿Cuántos radios habrá ensamblado el trabajador a las 10:00 a.m.? (Nota: a las 10:00 a.m., x =2).

b) ¿Cuántos radios ensamblará tal trabajador entre las 9:00 y las 10:00 a.m.?

Costo de distribución 50. Se estima que el número de horas-trabajador requeridas

para distribuir nuevas guías telefónicas al x% de las familias en cierta comunidad rural está dado por la función

a) ¿Cuál es el dominio de la función f? b) ¿Para qué valores de x tiene f(x) una interpretación

práctica en este contexto? c) ¿Cuántas horas-trabajador se necesitaron para

distribuir las nuevas guías telefónicas al primer 50% de las familias?

d) ¿Cuántas horas-trabajador se necesitaron para distribuir las nuevas guías telefónicas en toda la comunidad?

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e) ¿Qué porcentaje de familias había recibido nuevas guías telefónicas cuando se completaron 150 horas-trabajador?

Costo de fabricación 51. En cierta industria, el costo total de fabricación de q

unidades durante el proceso diario de la producción es dólares. En un día normal de trabajo, se fabrican q(t) = 25t unidades durante las primeras t horas de un turno de producción. a) Expresar el costo total de fabricación como una función

de t. b) ¿Cuánto se habrá gastado en producción al final de la

tercera hora? c) ¿Cuándo alcanzará US$11,000 el costo total de

fabricación?

Demanda de consumo 52. Un importador de café brasileño estima que los consumidores locales comprarán aproximadamente

Q(p) =

kilogramos de café por semana cuando el

precio sea p dólares por kilogramo. Se estima que dentro de t semanas el precio será

dólares por kilogramo.

a) Expresar la demanda de consumo semanal de café como una función de t.

b) Dentro de 10 semanas, ¿cuántos kilogramos de café comprarán los consumidores al importador?

c) ¿Cuándo llegará a 30.375 kilogramos la demanda de café?

53. Completar la tabla siguiente al resolver

para los valores dados de x. Utilizar dos cifras decimales.

-4.0 -3.5 -3.0 -2.0 -1.0 1.0 1.5 2.0

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2. GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

___________________________________________________ EJEMPLO 2.1 Dibujar la gráfica fe la función . Solución Empezar por construir la tabla

Luego, representar los puntos (x, y) y unirlos con una curva uniforme, como se muestra en la figura 1.4a.

Figura 1.4 a) Gráfica de la función y = b) Otras gráficas de los puntos del ejemplo 2.1

Comentario: Muchas curvas diferentes pasan a través de los puntos del ejemplo 2.1. Varias de éstas se muestran en la figura 1.4b. No existe manera de garantizar que la curva que pasa por los puntos representados sea la gráfica real de f. Sin embargo, por lo general, cuanto mayor sea el número de puntos representados, la gráfica será más precisa. El ejemplo siguiente ilustra cómo dibujar la gráfica de una función definida por más de una fórmula.

-3 -2 -1

0

1 2 3

9

4

1

0

1

4

9

Cómo trazar la gráfica de una función f mediante la representación de puntos 1. Elegir una cantidad representativa de números x en el

dominio de f y construir una tabla de valores de la función y = f(x) para estos números.

2. Representar los correspondientes puntos (x,y). 3. Unir los puntos representados con una curva uniforme.

EXPLORAR Dibujar la gráfica de en la calculadora gráfica. Reflexionar sobre qué efecto tiene sobre la gráfica la adición de una constante el término .

18

___________________________________________________ EJEMPLO 2.2 Elaborar la gráfica de la función

Solución

Al elaborar una tabla de valores para esta función, se debe emplear la fórmula apropiada para cada valor particular de x.

Usando la fórmula f(x)=2x cuando , la fórmula f(x)=

cuando , y la fórmula f(x) = 3 cuando x 4 puede construirse la tabla siguiente:

Ahora, representar los puntos correspondientes (x, f(x)) y dibujar la gráfica, como en la figura 1.5. Obsérvese que los segmentos correspondientes cuando y están conectados entre sí en (1, 2) pero que el segmento correspondiente a x 4 está separado del resto de la gráfica.

[El “punto abierto” en

indica que la gráfica se aproxima a

este punto, pero no pertenece a ésta]. Los puntos (si los hay) en los cuales la gráfica corta los ejes x y y se denominan intersecciones x y y, respectivamente. La intersección con el eje y es el punto de la gráfica cuya coordenada x es cero y las intersecciones con el eje x son los puntos de la gráfica cuya coordenada y es cero.

0

1 2 3 4 5 6

0

1

2

1

3

3

3

Cómo hallar las intersecciones x y y Para hallar cualquier intersección de y = f(x) con el eje y, se establece x=0 y se calcula y. Para hallar cualquier intersección de y = f(x)con el eje x, se establece y = 0 y se calcula x. Encontrar intersecciones de y es fácil, por lo general, pero las intersecciones de x pueden ser más difíciles de obtener.

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___________________________________________________ EJEMPLO 2.3

Dibujar la gráfica de la función Hallar todas las intersecciones con los ejes x y y. Solución La intersección con el eje y es f(0) = 2. Para hallar la intersección con el eje x, resolver la ecuación f(x) = 0. Al factorizar, encontramos que

Así, las intersecciones con el eje x son (– 1, 0) y (2, 0). Luego, construir una tabla de valores y representar los puntos correspondientes (x, f(x)).

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

-10 -4 0 2 2 0 -4 -10

La gráfica de f se ilustra en la figura 1.6. ___________________________________________________ EJEMPLO 2.4 Elaborar la gráfica de la función . Hallar todas las intersecciones con los ejes x y y.

Figura 1.5. Gráfica del ejemplo 2.2

EXPLORAR Considerar la función . Piénsese si la intersección con el eje x estará mas a la derecha o a la izquierda De las intersecciones de . Utilizar la calculadora gráfica para representar varias funciones. ¿Fue correcta la hipótesis? Repetir empleando - 2

Figura 1.6 La gráfica de f(x) =

20

Solución La intersección con el eje y es f(0) = 0. Para hallar las intersecciones con el eje x, igualar f(x) a 0 y calcular x factorizando la ecuación como sigue:

de modo que Se deduce que las intersecciones con el eje x son (0, 0), (3, 0), (– 2, 0). Luego, elaborar una tabla de valores (incluidas las intersecciones) y representar los puntos correspondientes (x, f(x)): -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-18

0

4

0

-6

-8

0

24

La gráfica se ilustra en la figura 1.7

Las gráficas que aparecen en las figuras 1.4a y 1.6 se denominan parábolas. Por lo general, la gráfica de es una parábola cuando . Todas las parábolas tienen “forma de U” y la parábola abre hacia arriba si A 0 y hacia abajo si A 0. El “pico” o “valle” de una parábola se denomina vértice y está determinado por

(véase figura 1.8; y también problema 57).

EXPLORAR Remitirse a la gráfica del ejemplo 2.4. Considerar la función . Estimar el valor de las intersecciones con los ejes y para . Utilizar la calculadora gráfica para verificar la hipótesis.

Representación gráfica de parábolas

21

Estas características de una parábola se hallan al aplicar los métodos de cálculo desarrollados en el capítulo 3. Obsérvese que para lograr un trazo razonable de la parábola , se necesita determinar sólo tres rasgos clave:

1. Localización del vértice

2. Si la parábola abre hacia arriba (A 0) o hacia abajo (A 0)

3. Cualesquiera intersecciones Como en el ejemplo 2.3, la parábola abre hacia abajo (puesto que A = – 1 es negativo) y tiene su

vértice (cúspide) en

.

Discontinuidades Una función cuya gráfica no se interrumpe en x=c se dice que

es continua al mientras que una cuya gráfica tiene un vacío o hueco es discontinua. Una función definida en muchos segmentos tendrá discontinuidades si las gráficas de cada uno de los segmentos no se conectan entre sí (obsérvese el “vacío” en x=4 de la figura 1.5). Una función definida como un cociente también tendrá una discontinuidad si el denominador es cero. La segunda clase de discontinuidad se ilustra en el ejemplo siguiente. La continuidad se analiza con más detalles en la sección 5.

________________________________________________

EJEMPLO 2.5

Dibujar la gráfica de la función

.

Solución Puesto que el denominador es cero cuando x = 2, la función no está definida ……. tendrá una discontinuidad para este valor de x. Recuérdese que no hay un punto en la gráfica cuya coordenada x sea 2, en consecuencia, la gráfica debe comenzar en una recta vertical discontinua en x = 2 (véase figura 1.9).

Figura 1.8 Gráfica de la parábola . A) Si A 0, la parábola abre hacia arriba. b) Si A 0 la parábola abre hacia abajo.

EXPLORAR Dibujar la gráfica del ejemplo 2.5 en la calculadora gráfica. ¿Se parece a la de la figura 1.9? Explicar la respuesta. Ahora, dibujar la gráfica

¿A partir de la gráfica se puede concluir que tiene una discontinuidad en x = 2?

22

Esta recta se denomina asíntota vertical y la gráfica no debe cortar la recta.

La intersección con el eje x es

. Para hallar la

intersección con el eje x, factorícese la función.

A partir del numerador factorizado se desprende que f(x) es cero cuando x= – 2 y x = 1. Por tanto, las intersecciones con el eje x son (– 2, 0) y (1, 0). Luego, construir una tabla de valores. Para saber cómo se verá la gráfica cerca de la discontinuidad en x=2, deben incluirse algunos valores de x próximos a 2. La tabla siguiente puede servir como ejemplo.

-50 -4 -2 -1 0 1 1.5 2 2.5 3 4 5 6 50

-47.1 -1.7 0 0.7 1 0 -3.5 13.5 10 9 9.3 10 53.1

Finalmente, representar los puntos correspondientes (x, f(x)) y trazar una curva uniforme a través de los puntos ubicados a la izquierda de la recta vertical x = 2 y otra curva uniforme a través de los puntos situados a la derecha de la recta x=2. La gráfica se muestra en la figura 1.9.

Figura 1.9 Gráfica de

.

23

Intersección de gráficas Algunas veces es necesario determinar cuándo son iguales dos funciones. Por ejemplo, un economista quizá desee calcular el precio del mercado al cual la demanda de los consumidores de un artículo será igual a la oferta. O tal vez un analista político quiera predecir cuánto tiempo se necesitará para que la popularidad de cierto aspirante alcance la del titular. En la sección 4 se analizarán algunas de estas aplicaciones.

En término geométricos, los valores de x para los que se

igualan dos funciones f(x) y g(x) son las coordenadas x de los puntos en que se cortan sus gráficas. En la figura 1.10, la gráfica de y = f(x) corta la de y = g(x) en dos puntos, identificados como P y Q.

Para hallar los puntos de intersección de manera algebraica,

f(x) se iguala a g(x) y se despeja x. Este procedimiento se ilustra en el ejemplo 2.6.

___________________________________________________ EJEMPLO 2.6

Hallar todos los puntos de intersección de las gráficas de f(x) = 3x + 2 y g(x) = . Solución Debe resolverse la ecuación Rescribir la ecuación como y aplicar la fórmula cuadrática para obtener.

Las soluciones son

(Los cómputos se hicieron con una calculadora y los resultados se redondearon hasta dos cifras decimales).

Figura 1.10 Gráfica de y = f(x) y y = g(x) que se intersecan en P y Q.

EXPLORAR Emplear la calculadora gráfica para dibujar la gráfica del ejemplo 2.6 en el mismo eje de coordenadas utilizando una vista rectangular de [-5,5]1 por [-5,15]1. ¿Hay algún valor de x en que ? Repetir el ejercicio empleando

. Repetir de nuevo utilizando . ¿Qué se observa en cada uno de estos casos?

Figura 1.11 Intersección de las gráficas de f(x) = 3x + 2 y g(x) =

24

Al calcular las coordenadas correspondientes de y en la ecuación y = , se halla que los puntos de intersección son aproximadamente (3.56, 12.67) y (– 0.56, 0.31). Debido a los errores de aproximación, se obtendrán valores que difieren un poco para las coordenadas y al sustituir en la ecuación y = 3x+2). Las gráficas y los untos de intersección se ilustran en la figura 1.11.

Funciones potencia Una función potencia es una función de la forma f(x) = ,

donde n es un número real. Por ejemplo,

, son funciones potencia. También lo son

y

puesto que pueden rescribirse como

y , respectivamente. Polinomios Un polinomio es una función de la forma

donde n es un entero no negativo y son constantes. Si 0, el entero n se denomina grado del

polinomio. Por ejemplo, la función es un polinomio de grado 5. Los polinomios son funciones continuas. Puede demostrarse que la gráfica de un polinomio de grado n es una curva no segmentada que corta el eje x no más de n veces. En la figura 1.12 se muestran las gráficas de tres polinomios de grado 3.

Figura 1.12 Tres polinomios de grado 3.

Las funciones polinómicas cumplen un papel muy útil en los negocios y la economía. En el ejemplo siguiente, una función de utilidad se describe como una función polinómica cuadrática , y el punto en que ocurre la utilidad máxima se encuentra localizando el vértice de la parábola (véase figura 1.8). En el capítulo 3 se estudiará cómo utilizar el cálculo para resolver tales problemas de optimización.

25

EJEMPLO 2.7 Un fabricante puede producir radios a un costo de US$10 la unidad y estima que si venden a x dólares cada uno, los consumidores comprarán aproximadamente 80 – x radios cada mes. Expresar la utilidad mensual del fabricante como una función del precio x, dibujar la gráfica de esta función y determinar el precio al cual la utilidad del fabricante será la mayor. Solución Se comienza expresando en palabras la relación deseada: Utilidad = (número de radios vendidos)(utilidad por radio) En seguida, se remplazan las palabras por expresiones algebraicas. Se sabe que Cantidad de radios vendidos = 80 – x y puesto que los radios se producen a un costo de US$10 por unidad y se venden a x dólares cada uno, se sigue que

Utilidad por radio = x – 10 Si P(x) es la utilidad, se concluye que

Mediante el procedimiento que se ilustra en la figura 1.8, se observa que la gráfica de P(x) es una parábola que abre hacia abajo (puesto que A=– 1es negativo) y tiene su vértice en

(véase figura 1.13). Puesto que el vértice

es el punto más alto de la gráfica, se concluye que la utilidad de fabricación será mayor cuando el precio sea US$45. [Nótese que al factorizar la función de utilidad, las intersecciones de ésta con el eje x son (10, 0) y (80, 0). ¿Pueden explicarse estas intersecciones con el eje x en término económicos?]

EXPLORAR Utilizar la calculadora gráfica para dibujar la gráfica

en el mismo eje de coordenadas empleando [-2,2]1 por [-2,5]1. ¿Qué efecto tiene en la forma de la gráfica el término agregado que contiene x? Repetir, utilizando

. Ajustar la vista rectangular de modo apropiado.

EXPLORAR Lanzar una hipótesis y luego verificar el efecto de la utilidad si los consumidores compran 90 –x radios cada mes en vez de 80 –x como en el ejemplo 2.7. Verificar la hipótesis mediante una gráfica. Una posible vista rectangular es [-10, 100]10 por[-100,2000]200. Luego, emplear las funciones trace y zoom de la calculadora para hallar el precio para la utilidad máxima.

26

Figura 1.13 La función de utilidad P(x) = (80 – x) (x – 10)

Funciones racionales El cociente de dos polinomios se denomina función racional.

Por ejemplo, la función

del ejemplo 2.5 es

racional. También lo es la función

puesto que

puede rescribirse como

. Como es imposible dividir

entre cero, habrá una discontinuidad cada vez que el denominador sea cero. En economía, muchas funciones de costos son racionales. A continuación se presenta un ejemplo.

Figura 1.14 La función de

costo

27

___________________________________________________ EJEMPLO 2.8

Por cada pedido de materias primas, un fabricante debe pagar unos gastos de envío para cubrir manejo y transporte. Después de recibir las materias primas, éstas deben guardarse hasta que se necesiten; así se generan los costos de almacenamiento. Si cada pedido de materias primas es grande, los costos de envío serán bajos, puesto que se requieren pocos pedidos, pero los costos de almacenamiento serán altos. Si cada pedido es pequeño, los costos de envío serán altos porque se requerirán muchos pedidos, pero los costos de almacenamiento bajarán. Un fabricante estima que si cada pedido contiene x unidades, el costo total de adquirir y almacenar el suministro anual de materias primas será

dólares. Trazar la gráfica de la parte

pertinente de esta función de costo y estimar el tamaño del pedido que minimice el costo total. Solución C(x) es una función racional con una discontinuidad en x=0 y representa el costo para valores no negativos de x. Construir una tabla con algunos valores no negativos significativos de x y representar los correspondientes puntos para obtener la gráfica que aparece en la figura 1.14. 100 200 300 400 500 600 700 800

1,700 1,000 833 800 820 867 929 1,000

La gráfica indica que el costo total será alto si los pedidos son muy pequeños o muy grandes y que el tamaño óptimo del pedido es aproximadamente 400 unidades porque el punto más bajo de la gráfica se presenta en x = 400.

El criterio de la recta vertical Es importante destacar que no toda curva es la gráfica de una

función (véase figura 1.15). Por ejemplo, supóngase que el

semicírculo fuera la gráfica de la función y = f(x. Entonces, puesto que los puntos (1, 2) y (1, – 2) están en el semicírculo, tendríamos f(1) = 2 y f(1) = – 2, contrario a los requerimientos de una función, ya que ésta asigna uno y sólo un número a cada número en su dominio. Este ejemplo sugiere la siguiente regla geométrica para determinar si una curva es la gráfica de una función.

EXPLORAR Lanzar una hipótesis de cuál será la forma de la gráfica de

Verificar la hipótesis al trazar la grafica de del ejemplo 2.8 y en el mismo eje de coordenadas empleando la calculadora gráfica. Hallar el costo mínimo empleando las funciones trace y zoom, u otros métodos de la calculadora gráfica.

28

PROBLEMAS 1.2 ___________________________________________________

En los problemas 1 a 24, trazar la gráfica de la función dada, incluidas todas las intersecciones con los ejes x y y. 1. 2. 3. 4.

5.

6.

7.

8. 9. 10. 11.

12.

13.

14.

15. 16. 17. 18. 19. 20.

21.

22.

23.

24.

En los problemas 25 a 36, hallar los puntos de intersección (si los hay) de las parejas de curvas dadas y dibujar las gráficas. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32.

33.

34.

Criterio de la recta vertical Una curva es la gráfica de una función si y sólo si ninguna recta vertical interseca la curva más de una vez.

Figura 1.15 El semicírculo

no es la

gráfica de una función.

29

35.

36.

Costo de fabricación 37. Un fabricante puede producir grabadoras a un costo de

US$20 cada una. Se estima que si las grabadoras se venden a x dólares cada una, los usuarios comprarán 120 – x de éstas al mes. Expresar la utilidad mensual del fabricante como una función del precio, dibujar la gráfica de esta función y utilizarla para estimar el precio óptimo de venta.

Ventas al por menor 38. Una librería puede obtener un atlas de la editorial a un

costo de US$5 por ejemplar y estima que si expende a x dólares el ejemplar, venderá aproximadamente 20 (22 – x) ejemplares cada mes. Expresar la utilidad mensual de la librería por la venta del atlas como una función del precio, dibujar la gráfica de esta función y emplearla para estimar el precio óptimo de venta.

Gasto de consumo 39. La demanda de consumo de cierto artículo es D(p) = – 200p

+ 12,000 unidades por mes cuando el precio de mercado es p dólares por unidad. a) Dibujar la gráfica de esta función de demanda. b) Expresar el gasto total mensual de los consumidores en

el artículo, como una función de p. (El gasto total mensual es la cantidad total de dinero que los consumidores gastan cada mes en el artículo).

c) Dibujar la gráfica de la función de gasto total mensual. d) Analizar la interpretación que se da en economía a las

intersecciones de la función de gasto con el eje p. e) Emplear la gráfica del literal c) para estimar el precio

de mercado que genera el mayor gasto de consumo.

30

3. RECTAS, PARÁBOLAS Y SISTEMAS DE ECUACIONES

RECTAS

Muchas situaciones de la economía pueden describirse utilizando rectas, como lo muestra el

ejemplo 1.

Ejemplo 1. Niveles de producción

Suponga que un fabricante utiliza 100 libras de material para hacer los productos A y B, que

requieren de 4 y 2 libras de material por unidad, respectivamente. Si x y y denotan el número

de unidades producidas de A y B, respectivamente, entonces todos los niveles de producción

están dados por las combinaciones de x y y que satisfacen la ecuación

Por tanto, los niveles de producción de A y B están relacionados linealmente. Al resolver para y

se obtiene

de modo que la pendiente es – 2. La pendiente refleja

la tasa de cambio del nivel de producción de B con

respecto al de A. Por ejemplo, si se produce una

unidad adicional de A, se requerirán 4 libras más de

material, de lo que resultan

unidades menos de

B. Por tanto, cuando aumenta en una unidad, el

valor correspondiente de y disminuye en 2 unidades.

Para hacer el bosquejo de la gráfica de

, podemos utilizar la intersección con el eje y (0,

50), y el hecho de que cuando x = 10, y = 30

Ejemplo 2. Determinación de una ecuación de demanda

Suponga que la demanda por semana de un producto es 100 unidades, cuando el precio es

de$58 por unidad, y de 200 unidades a un precio de $51 cada una. Determinar la ecuación de

demanda, suponiendo que es lineal.

Solución:

31

Estrategia: ya que la ecuación de demanda es lineal, la curva de demanda debe ser una línea

recta. Tenemos que la cantidad q y el precio p están relacionados linealmente de tal modo que

p = 58 cuando q = 100 y p = 51 cuando q = 200. Por lo que los datos dados pueden

representarse en un plano de coordenadas q , p por los puntos (100, 58) y

(200, 51). Con estos puntos podemos encontrar una ecuación de la recta, esto es, la ecuación

de demanda.

La pendiente de la recta que pasa por (100, 58) y (200, 51) es

Una ecuación de la recta (forma punto-pendiente) es

Al simplificar, se obtiene la ecuación de demanda

Por costumbre, una ecuación de demanda (así como una

ecuación de oferta) expresa p en términos de q, lo que en

realidad define una función de q. Por ejemplo, la ecuación (1)

define p como una función de q y por ello se le llama la

función de demanda para el producto .

Ejemplo 3. Graficación de funciones lineales

a. Graficar

Solución: aquí es una función lineal (con pendiente 2), de modo que su gráfica es una

recta. Como dos puntos determinan una recta, sólo necesitamos graficar dos puntos y

después dibujar una recta que pase por ellos . Observe que uno de

los puntos graficados es la intersección con el eje vertical, – 1, que ocurre cuando

32

b. Grafique

Solución: observe que g es una función lineal porque podemos expresarla en la forma

L a gráfica de g muestra en la figura 4(b). Ya que la pendiente es

, observe que cuando t

aumenta en 3 unidades, g(t) disminuye en 2.

Ejemplo 4. Determinación de una función lineal Suponer que es una función lineal con pendiente 2 y . Hallar Solución: ya que es lineal, tiene la forma La pendiente es 2, de modo que y tenemos

Ahora determinamos b. Como , en la ecuación (2) reemplazamos por 4 y

resolvemos para b.

De aquí que,

Ejemplo 5. Determinación de una función lineal

Si es una función lineal tal que y , encontrar .

Solución:

Estrategia: los valores de la función corresponden a puntos sobre la gráfica de f. Con estos

puntos podemos determinar una ecuación de la recta y, por tanto, de la función lineal.

La condición significa que cuando , entonces . Por tanto,

pertenece a la gráfica de que es una recta. De manera similar, implica que

también pertenece a la recta. Si hacemos y , la

pendiente de la recta está dada por

33

Podemos encontrar una ecuación de la recta por medio de la forma punto-pendiente:

Puesto que Por supuesto, se obtiene el mismo resultado si hacemos

.

Ejemplo 6. Dieta para gallinas

En pruebas hechas en una dieta experimental para gallinas, se determinó que el peso

promedio (en gramos) de una gallina fue, según las estadísticas, una función lineal del

número de días d después de que se inició la dieta, donde . Suponer que el peso

promedio de una gallina al inicio de la dieta fue de 40 gramos, y 25 días después fue de 675

gramos.

a. Determinar como una función lineal de

d.

Solución: como es una función lineal de de, su

gráfica es una línea recta. Cuando d = 0 (al inicio de

la dieta), . Por tanto, pertenece a la

gráfica . De manera similar,

pertenece a la gráfica. Si hacemos

y , la

pendiente de la recta es

Utilizando la forma punto-pendiente, tenemos

34

que expresa como una función lineal de d.

b. Determinar el peso promedio de una gallina cuando d = 10.

Solución: Cuando d = 10, tenemos

Así, el peso

promedio de una gallina 10 días después del inicio de la dieta es de 294 gramos.

Ejercicios

En los problemas del 1 al 6 determine la pendiente y la intersección con el eje vertical de la

función lineal; haga un bosquejo de la gráfica.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

En los problemas del 7 al 14 determine , si es una función lineal que tiene las

propiedades dadas.

7. Pendiente = 4,

8.

9.

10. Pendiente =

11. Pendiente =

12.

13.

14. Pendiente =

15. Ecuación de demanda Suponga que los clientes demandarán 40 unidades de un producto

cuando el precio es de $12 por unidad, y 25 unidades cuando el precio es de $18 cada una.

Halle la ecuación de la demanda, suponiendo que es lineal. Determine el precio por unidad

cuando se requieren de 30 unidades.

16. Ecuación de demanda La demanda semanal para un libro que se vende mucho es de

26000 ejemplares cuando el precio es de $16 cada uno, y de 10000 libros cuando el precio

es de $24 cada uno. Determine una ecuación de demanda para el libro, suponiendo que

aquella es lineal.

17. Ecuación de oferta Un fabricante de refrigeradores produce 3000 unidades cuando el

precio es de $940 y 2200 unidades cuando el precio es de $740. Suponga que el precio p, y

la cantidad, q, producidas están relacionadas de manera lineal. Determine la ecuación de

oferta.

35

18. Ecuación de oferta Suponga que un fabricante de zapatos colocará en el mercado 50 mil

pares cuando el precio es 35 (dólares por par) y 35 mil pares de zapatos cuando el precio

es de 30 dólares. Determine la ecuación de oferta, suponiendo que el precio p y la

cantidad q están relacionadas de manera lineal.

19. Ecuación de costo Suponga que el costo para producir 10 unidades de producto es $40 y

el costo para 20 unidades es $70. Si el costo, c, está relacionado de manera lineal con la

producción, q, determine el costo de producir 35 unidades.

20. Ecuación de costo Un anunciante va con un impresor y éste le cobra $79 por 100 copias

de un volante y $88 por 400 copias de otro volante. Este impresor cobra un costo fijo, más

una tarifa por cada copia de volantes de una sola página. Determine una función que

describa el costo de un trabajo de impresión, si x es el número de copias que se hacen.

21. Tarifas de electricidad Una compañía de electricidad cobra a clientes residenciales 12.5

centavos por kilowatt-hora más un cargo base mensual. La factura mensual de un cliente

viene con $51.65 por 380 kilowatt-hora. Determine una función lineal que describa el

monto total por concepto de electricidad, si x el número de kilowatt-hora utilizados en un

mes.

22. Depreciación Suponga que el valor de una pieza de maquinaria disminuye cada año en

10% de su valor original. Si el valor original es $8000, determine una ecuación que exprese

el valor v de la maquinaria t años después de su compra, en donde . Haga un

bosquejo de la ecuación, seleccione t como el eje horizontal y v como el eje vertical. ¡Cuál

es la pendiente de la recta resultante? Este método de considerar el valor del equipo se

denomina depreciación lineal.

23. Depreciación Un televisor nuevo se deprecia $120 por año, y tiene un valor de $340

después de 4 años. Determina una función que describa el valor de este televisor, si x es la

edad, en años de la televisión.

24. Apreciación Un nuevo edificio de apartamentos se vendió por $960000 cinco años

después de que se compró. Los propietarios originales calcularon que el edificio se

apreciaba $45000 por año, mientras ellos fuesen los propietarios. Determine una función

lineal que describa la apreciación del edificio, si x es el número de años desde la compra

original.

25. Apreciación Una casa comprada en $198000 se espera que duplique su valor en 18 años.

Determine una ecuación lineal que describa el valor de la casa después de x años.

26. Precios por reparación Una compañía que repara copiadoras comerciales, cobra por un

servicio una cantidad fija más una tarifa por hora. Si un cliente tiene una factura de $150

por un servicio de una hora y $280 por un servicio de tres horas, determine una función

lineal que describa el precio de un servicio, en donde x es el número de horas del servicio.

36

PARÁBOLAS

Ejemplo 1. Graficación de una función cuadrática

Graficar la función cuadrática

Solución: aquí . Como , la parábola abre hacia abajo y, por

tanto, tiene un punto más alto. La coordenada x del vértice es

La coordenada y es . Así, el vértice es (– 2, 16), de

modo que el valor máximo de f(x) es 16. Ya que c=12, la intersección y es 12. Para encontrar

las intersecciones x, hacemos y igual a 0 en y resolvemos par x:

Así , de modo que las intersecciones x son – 6 y 2. Ahora trazamos el vértice,

el eje de simetría y las intersecciones . Como (0,12) está a dos unidades a

la derecha del eje, existe un punto correspondiente dos unidades a la izquierda del eje con la

misma coordenada y. Por tanto, obtenemos el punto (– 4, 12). Al unir todos los puntos,

trazamos una parábola que abre hacia abajo .

37

Ejemplo 2. Graficación de una función cuadrática

Graficar

Solución: aquí p es una función cuadrática de q, donde a =2, b = 0 y c = 0. Como , la

parábola abre hacia arriba y, por tanto, tiene un punto más bajo. La coordenada q del vértice

es

y la coordenada p es . En

consecuencia, el valor mínimo de p es 0 y el

vértice es (0,0). En este caso, el eje p es el eje de

simetría. Una parábola que abre hacia arriba con

vértice en (0,0) no puede tener ninguna otra

intersección. De aquí que para hacer un buen

bosquejo de esta parábola, graficamos un punto

a cada lado del vértice. Si , entonces

. Esto da el punto (2, 8), y por simetría el punto

(– 2, 8)

Ejemplo 3. Graficación de una función cuadrática Graficar Solución: aquí g es una función cuadrática, donde . La parábola abre hacia arriba, ya que . La coordenada x del vértice (el punto más bajo) es

y , que es el valor mínimo de g(x). Por tanto, el vértice es (3, – 2). Ya que c = 7, la intersección con el eje vertical es 7. Para encontrar las intersecciones x, hacemos

El lado derecho no se puede factorizar con facilidad, de modo que se emplea la fórmula cuadrática para hallar los valores de x:

Por tanto, las intersecciones x son y . Después de graficar el vértice, las intersecciones y (por simetría) el punto (6, 7), dibujamos la parábola que se abre hacia arriba como se muestra en la figura 8.

38

Ejemplo 4. Graficación de una función cuadrática Graficar y determinar el rango de . Solución: esta función es cuadrática con Como la gráfica es una parábola que se abre hacia arriba. La coordenada x del vértice es

y la coordenada es

. Así, el vértice es

. Como c = 3, la

intersección es 3. Una parábola que abre hacia arriba con su vértice arriba del eje x no tiene

intersecciones x. En la figura 9 se grafica la intersección y, el vértice y el punto adicional

a la izquierda del vértice. Por simetría, también obtenemos el punto . Trazando

una parábola a través de estos puntos se obtiene la gráfica deseada. Con base en la figura,

vemos que el rango de es toda

, esto es, el intervalo

.

Ejemplo 5. Ingreso máximo

La función de demanda para un producto es , donde p es el precio (en dólares)

por unidad cuando q unidades son demandadas (por semana) por los consumidores. Encontrar

el nivel de producción que maximice el ingreso total del productor, y determinar ese ingreso.

Solución:

Estrategia: para maximizar el ingreso, debemos determinar la función de ingreso, .

Utilizando la relación

Ingreso total =(precio)(cantidad),

tenemos

Por medio de la ecuación de demanda, podemos expresar p en términos de q, de modo que r

sea estrictamente una función de q.

Tenemos

39

Observe que r es una función cuadrática de q, con . Ya que

(la parábola abre hacia abajo), r es máximo en el vértice (q, r), donde

El valor máximo de r está dado por

Así, el ingreso máximo que el fabricante puede recibir es de $125000, que ocurre en un nivel

de producción de 250 unidades. La figura10 muestra la gráfica de la función de ingreso. Sólo la

parte para la que se dibuja, ya que la cantidad y el ingreso no pueden ser

negativos.

En los problemas del 1 al 10 grafique cada función. Obtenga el vértice y las intersecciones, y

determine el rango.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

En los problemas del 11 al 14 establezca si tiene un valor máximo o mínimo y encentre

ese valor.

40

11.

12.

13.

14.

15. Ingreso La función de demanda para el fabricante de un producto es

donde p es el precio (en dólares) por unidad cuando se demandan q unidades (por

semana). Encuentre el nivel de producción que maximiza el ingreso total del fabricante y

determine este ingreso.

16. Ingreso La función de demanda para una línea de reglas de plástico de una compañía de

artículos de oficina es en donde p es el precio (en dólares) por unidad

cuando los consumidores demandan q unidades (diarias). Determine el nivel de

producción que maximizará el ingreso total del fabricante y determine este ingreso.

17. Ingreso La función de demanda para la línea de laptops de una compañía de electrónica es

en donde p es el precio (en dólares) por unidad cuando los consumidores

demandan q unidades (semanales). Determine el nivel de producción que maximizará el

ingreso total del fabricante y determine este ingreso.

18. Mercadeo Una compañía de investigación de mercadeo estima que n meses después de la

introducción de un nuevo producto, f(n) miles de familias lo usarán, en donde

Estime el número máximo de familias que usarán el producto.

19. Utilidad La utilidad diaria de la venta de árboles para el departamento de jardinería de un

almacén está dada por , en donde x es el número de árboles

vendidos. Determine el vértice y las intersecciones con los ejes de la función, y haga la

gráfica de la función.

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Sistemas con dos variables

Cuando una situación debe describirse matemáticamente, no es raro que surja un conjunto de

ecuaciones. Por ejemplo, suponga que el administrador de una fábrica establece un plan de

producción para dos modelos de un producto nuevo. El modelo A requiere de 4 piezas del tipo

I y 9 piezas del tipo II. El modelo B requiere de 5 piezas del tipo I y 14 piezas del Tipo II. De sus

proveedores, la fábrica obtiene 335 piezas del tipo I y 850 piezas del tipo II cada día. ¿Cuántos

productos de cada modelo debe producir cada día, de modo que todas las piezas del tipo I y

piezas del tipo II sean utilizadas?

41

Es buena idea construir una tabla que resuma la información importante. La tabla 1 muestra el

número de piezas del tipo I y piezas del tipo II requeridas para cada modelo, así como el

número total disponible.

TABLA 1 Modelo A Modelo B Total disponible

Piezas tipo I 4 5 335 Piezas tipo II 9 14 850

Suponga que hacemos x igual al número de artículos del modelo A fabricados cada día, y y

igual al número de artículos del modelo B. Entonces éstos requieren de 4x + 5y piezas del tipo

I y 9x + 4y piezas del tipo II. Como están disponibles 335 y 850 piezas del tipo I y II,

respectivamente, tenemos

A este conjunto de ecuaciones le llamamos sistema de dos

ecuaciones lineales en las variables (o incógnitas) x y y. El

problema es encontrar valores de x y y para los cuales

ambas ecuaciones sean verdaderas de manera simultánea.

Estos valores se llaman soluciones del sistema.

Como las ecuaciones (1) y (2) son lineales, sus gráficas son

líneas rectas; llamémoslas L1 y L2. Ahora, las coordenadas

de cualquier punto sobre una línea satisfacen la ecuación de

esa línea; esto es, hacen a la ecuación verdadera. Por tanto,

las coordenadas de cualquier punto de intersección de L1 y

L2 satisfacen ambas ecuaciones. Esto significa que un punto

de intersección da una solución del sistema.

Si L1 y L2 se dibujan en el mismo plano, existen tres posibles

situaciones:

1. L1 y L2 pueden intersecarse en exactamente un

punto, digamos . . Por tanto, el

sistema tiene la solución .

2. L1 y L2 pueden ser paralelas y no tener puntos en

común . En este caso no existe solución.

3. L1 y L2 pueden ser la misma recta

. Por tanto, las coordenadas de cualquier

punto sobre la recta son una solución del sistema. En

consecuencias, existe un número infinito de soluciones.

El objetivo principal aquí es estudiar los métodos

algebraicos para resolver un sistema de ecuaciones

lineales. En esencia, remplazamos de manera sucesiva un

42

sistema por otro que tenga la misma solución (esto es, remplazamos el sistema original por

sistemas equivalentes), pero cuyas ecuaciones tengan una forma progresivamente más

adecuada para determinar la solución. En términos más precisos, buscamos un sistema

equivalente que contenga una ecuación en la que una de las variables no aparezca (esto es,

eliminar una de las variables). Ilustraremos este procedimiento para el sistema propuesto

originalmente:

Para empezar, obtendremos un sistema equivalente en el que x no aparezca en una ecuación.

Primero encontramos un sistema equivalente en el que los coeficientes de los términos en x en

cada ecuación sean iguales excepto por el signo. Multiplicando la ecuación (3) por 9

y multiplicando la

ecuación (4) por – 4 se obtiene

Los miembros izquierdo y derecho de la ecuación (6) son iguales, de modo que cada miembro

puede sumarse al correspondiente de la ecuación (5). Esto tiene como resultado

Que sólo tiene una variable, como se planeó. Resolviéndola se obtiene

Así obtenemos el sistema equivalente

Al remplazar y en la ecuación (8) por 35, obtenemos

Por tanto, el sistema original es equivalente a

Podemos verificar nuestra respuesta sustituyendo x = 40 y y = 35 en ambas ecuaciones

originales. En la ecuación (3) obtenemos o 335=335. En la ecuación (4)

obtenemos , o bien, 850 = 850. Por tanto, la solución es

43

Cada día el administrador debe planear la fabricación de 40 productos del modelo A y 35 del

modelo B. El procedimiento efectuado se conoce como eliminación por adición. Aunque

elegimos eliminar primero x, se pudo haber hecho lo mismo para y, mediante un

procedimiento similar.

Ejemplo 1. Método de eliminación por adición

Utilizar eliminación por adición para resolver el sistema

Solución: por conveniencia alineamos los términos en x y en y para obtener

Para eliminar y, multiplicamos la ecuación (9) por 3 y la ecuación (10) por 4

Sumando la ecuación (11) a la (12) se obtiene 17x = 51, de la cual x=3. Tenemos el sistema

equivalente

Al remplazar x por 3 en la ecuación (13) se obtiene

De modo que el sistema original es equivalente a

La solución es x = 3 y y = – 1. La figura 14 muestra la solución del sistema.

Ejemplo 2. Problema

Un fabricante productos químicos debe surtir una orden de 500 litros de solución de ácido al

25% (25% del volumen es ácido). Si en existencia hay disponibles soluciones al 30% y al 18%,

¿cuántos litros de cada una debe mezclar para surtir el pedido?

44

Solución: sean x y y, respectivamente, el número de litros de las soluciones al 30% y 18% que

deben mezclarse. Entonces

Para ayudar a visualizar la situación, dibujamos el diagrama en la fig. 15. En 500 litros de una

solución al 25%, habrá 0.25 (500) = 125 litros de ácido. Este ácido proviene de dos fuentes:

0.30 x litros de la solución al 30% y 0.18y litros provienen de la solución al 18%. De aquí que,

Estas dos ecuaciones forman un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Si

resolvemos la primera para x obtenemos x = 500 – y. Sustituyendo en la segunda se obtiene

Resolviendo ésta para y, encontramos que y = 208

litros. Así x = 500 - 208

= 291

litros

.

En los problemas del 1 al 14 resuelva algebraicamente los sistemas.

1.

2.

3.

45

4.

5.

6. –

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15. Mezcla Un fabricante de productos químicos desea surtir un pedido de 700 galones de

una solución de ácido al 24%. En existencia tiene soluciones al 0% y 30%. ¿Cuántos galones

de cada solución debe mezclar para surtir el pedido?

16. Tejidos Una fábrica de tejidos produce un tejido hecho a partir de diferentes fibras. Con

base en algodón, poliéster y nylon, el propietario necesita producir un tejido combinado

que cueste $3.25 por libra fabricada. El costo por libra de estas fibras es de $4.00, $3.00 y

$2.00, respectivamente. La cantidad de nylon debe ser la misma que la cantidad de

poliéster. ¿Cuánto de cada fibra debe tener el tejido final?

17. Venta de muebles Un fabricante de comedores produce dos estilos, Early American y

Contemporáneo. Por su experiencia, el administrador ha determinado que pueden

venderse 20% más comedores Early American que Contemporáneo. En cada venta de un

Early American hay una utilidad de $250, mientras que se gana $350 en cada

Contemporáneo. Si en el año próximo, el administrador desea una ganancia total de

$130,00, ¿cuántas unidades de cada estilo deben venderse?

18. Costo de igualación Productos Unidos S.A., fabrica calculadoras y tiene plantas en las

ciudades de Exton y Whyton. En la planta de Exton, los costos fijos son de $7000 por mes,

y el costo de producir cada calculadora es de $7.50. En la planta de Whyton, los costos fijos

son de $8800 por mes y cada calculadora cuesta $6 producirla. Si el mes siguiente.

Productos Unidos debe producir 1500 calculadoras, ¿cuántas debe producir cada planta si

el costo total en cada una debe ser el mismo?

19. Mezcla de café Un comerciante de café mezcla tres tipos de café que cuestan $2.20, $2.30

y $2.60 por libra, para obtener 100lb de café que vende a $2.40 por libra por libra. Si utiliza

46

la misma cantidad de los dos cafés más caros, ¡cuánto de cada tipo debe utilizar en la

mezcla?

20. Comisiones Una compañía paga a sus agentes de ventas con base en un porcentaje de los

primeros $100,000 en ventas, más otro porcentaje sobre cualquier cantidad que rebase

esos $100,000. Si un agente recibió $8500 por ventas de $175000, y otro recibió $14,800

por ventas de $280,000, encuentre los dos porcentajes.

21. Utilidades anuales En reportes financieros, las utilidades de una compañía en el año

actual (T) con frecuencia son comparadas con las del año anterior (L), pero los valores

reales de T y L no siempre son dados. Este año una compañía tuvo una utilidad de $20

millones más que el año pasado. Las utilidades fueron 25% mayores. A partir de estos

datos determine T y L.

22. Producción La compañía Controles Universales fabrica unidades de control. Sus modelos

nuevos son el Argón I y el Argón II. Para fabricar cada unidad de Argón I, usan 6 medidores

y 3 controladores. Para fabricar cada unidad de Argón II, usan 10 medidores y 8

controladores. La compañía recibe un total de 760 medidores y 500 controladores diarios

de sus proveedores. ¿Cuántas unidades de cada modelo puede producir diariamente?

Suponga que se utilizan todas las partes.

23. Inversiones Una persona tiene dos inversiones y el porcentaje de ganancia por año en

cada una de ellas es el mismo. Del total de la cantidad invertida

de ella más $600 se

invirtieron en una empresa de riesgo, y al final de un año la persona recibió un

rendimiento de $384 de esa empresa. Si el rendimiento total después de un año fue de

$1120, encuentre la cantidad total invertida.

24. Producción Una compañía produce tres tipos de muebles para patio: sillas, mecedoras y

sillones reclinables. Cada uno requiere de madera, plástico y aluminio, como se indica en la

tabla siguiente. La compañía tiene en existencia 400 unidades de madera, 600 unidades de

plástico y 1500 unidades de aluminio. Para la corrida de fin de temporada, la compañía

quiere utilizar todas sus existencias. Para hacer esto, ¿cuántas sillas, mecedoras y sillones

debe fabricar?

Madera Plástico Aluminio Silla 1 unidad 1 unidad 2 unidades Mecedora 1 unidad 1 unidad 3 unidades Sillón reclinable 1 unidad 2 unidades 5 unidades

25. Inversiones Un total de $35,000 se invirtieron a tres tasas de interés: 7, 8 y 9%. El interés

en el primer año fue de de $2830, que no se reinvirtió. El segundo año la cantidad

originalmente invertida al 9% devengó un 10%, y las otras tasas permanecieron iguales. El

interés total en el segundo año fue de $2960. ¿Cuánto se invirtió a cada tasa?

26. Contratación de trabajadores Una compañía paga a sus trabajadores calificados $15 por

hora en su departamento de ensamblado. Los trabajadores semicalificados en ese

departamento ganan $9 por hora. A los empleados de envíos se les paga $10 por hora. A

causa de un incremento en los pedidos, la compañía necesita contratar un total de 70

trabajadores en los departamentos de ensamblado y envíos. Pagará un total de $760 por

hora a estos empleados. A causa de un contrato con el sindicato, deben emplearse el

doble de trabajadores semicalificados que de trabajadores calificados. ¿Cuántos

47

trabajadores semicalificados, calificados y empleados de envíos debe contratar la

compañía?

APLICACIONES DE SISTEMAS DE ECUACIONES

Equilibrio

Suponga que para un producto Z la ecuación de demanda es

y la ecuación de oferta

donde q, p 0. Las correspondientes curvas de demanda y oferta son las líneas de las figuras

17 y 18, respectivamente. Al analizar la figura 17, vemos que los clientes comprarán 540

unidades por semana cuando el precio sea de $9 por unidad, 1080 unidades cuando el precio

sea de $6 y así sucesivamente. La figura 18 muestra que cuando el precio es de $9 por unidad,

los productores colocarán 300 unidades por semana en el mercado, a $10 colocarán 600

unidades, y así sucesivamente.

Cuando las curvas de demanda y oferta de un producto se representan en el mismo plano de

coordenadas, el punto (m, n) en donde las curvas se intersecan se llama punto de

equilibrio . El precio, n, llamado precio de equilibrio, es el precio al que los

consumidores comprarán la misma cantidad de un producto, que los productores ofrezcan a

ese precio. En resumen, n es el precio en que se da una estabilidad entre productor y

consumidor. La cantidad m se llama cantidad de equilibrio.

48

Para determinar con precisión el punto de equilibrio, resolvemos el sistema formado por las

ecuaciones de oferta y demanda. Hagamos esto para los datos anteriores, es decir, el sistema

Sustituyendo p por

en la ecuación de demanda, obtenemos

Por tanto,

y el punto de equilibrio es (450, 9.50). Por tanto, al precio de $9.50 por unidad, los fabricantes

producirían exactamente la cantidad (450) de unidades por semana que los consumidores

comprarían a ese precio .

49

Ejemplo 1. Efecto de los impuestos sobre el equilibrio

Sea

la ecuación de oferta para el producto de un fabricante y suponga que la

ecuación de demanda es

.

a. Si se cobra al fabricante un impuesto de $1.50 por unidad, ¿cómo se afectará el precio de

equilibrio original si la demanda permanece igual?

Solución: antes del impuesto, el precio de equilibrio se obtiene resolviendo el sistema

Por sustitución,

Y

Por tanto, $58 es el precio de equilibrio original. Antes del impuesto el fabricante ofrecía q

unidades a un precio de

por unidad. Después del impuesto venderá las

mismas q unidades con el $1.50 adicional por unidad. El precio por unidad será

50+1.50, de modo que la nueva ecuación de oferta es

La resolución del sistema

dará el nuevo precio de equilibrio:

50

El impuesto de $1.50 por unidad incrementó el precio de equilibrio en $0.70

. Observe que también existe una disminución en la cantidad de equilibrio,

de a , a causa del cambio en el precio de equilibrio (en los ejercicios se le pide

que determine el efecto de un subsidio dado al fabricante, lo cual reducirá el precio del

producto).

b. Determinar el ingreso total obtenido por el fabricante en el punto de equilibrio antes y

después del impuesto.

Solución: si se venden q unidades de un producto a un precio de p dólares cada una,

entonces el ingreso total está dado por

Antes del impuesto, el ingreso en (100, 58) es (en dólares)

Después del impuesto es

que es una disminución.

EJEMPLO 2 Equilibrio con demanda no lineal

Encontrar el punto de equilibrio si las ecuaciones de oferta y demanda de un producto son

y

, respectivamente.

51

Solución: aquí la ecuación de demanda no es lineal. Al resolver el sistema

por sustitución se obtiene

Descartamos , ya que q representa una cantidad positiva. Eligiendo ,

tenemos

de modo que el punto de equilibrio es (400, 20).

Punto de equilibrio

Suponga que un fabricante produce un producto A y lo vende a $8 por unidad. Entonces, el

ingreso total recibido (en dólares) de la venta de q unidades es

La diferencia entre el ingreso total recibido por q unidades y el costo total de q unidades,

es la utilidad del fabricante (o pérdida si es negativa):

Utilidad (pérdida)= ingreso total – costo total

El costo total, , es la suma de los costos totales variables , y los costos fijos .

Los costos fijos son aquellos costos que bajo condiciones normales no dependen del nivel

de producción; esto es, en algún periodo permanecen constantes en todos los niveles de

producción (ejemplos son renta, salario de los oficinistas y mantenimiento normal). Los

costos variables son los que varían con el nivel de producción (como el costo de

52

materiales, salarios, mantenimiento debido al uso y desgaste, etc.). Suponga que, para q

unidades de producto A.

Entonces

Las gráficas del costo total y del ingreso total aparecen en la figura 23. El eje horizontal

representa el nivel de producción, q, y el eje vertical representa el valor total, en dólares,

del ingreso o del costo. El punto de equilibrio es el punto en que el ingreso total es igual al

costo total (TR = TC); ocurre cuando los niveles de producción y de ventas tienen como

resultado cero pérdidas y cero utilidades. En el diagrama, llamado diagrama del punto de

equilibrio, está el punto (m, n), en el que las gráficas de y

se

intersecan. Llamamos a m la cantidad de equilibrio y a n el ingreso de equilibrio. Cuando el

costo total y el ingreso total están relacionados de manera lineal con la producción, como

es nuestro caso, para cualquier nivel de producción mayor que m, el ingreso total es mayor

que el costo total, lo que trae como resultado una utilidad. Sin embargo, en cualquier nivel

menor de m unidades, el ingreso total es menor que el costo total, lo que trae como

resultado una pérdida. Para una producción de m unidades la utilidad es cero. En el

ejemplo siguiente se examinan los datos con mayor detalle.

Ejemplo 3. Punto de equilibrio, utilidad y pérdida.

Un fabricante vende un producto a $8 por unidad, y vende todo lo que produce. El costo

fijo es de $5000 y el variable por unidad es de

(dólares).

a. Encontrar la producción y el ingreso total en el punto de equilibrio.

Solución: a un nivel de producción de q unidades, el costo variable es

y el

ingreso total es De aquí que

53

En el punto de equilibrio, el ingreso total es igual al costo total. Ahora resolvemos el

sistema formado por las ecuaciones anteriores. Como

Tenemos

Así que la producción deseada es de 900 unidades, lo que resulta en un ingreso total

(en dólares) de

b. Encontrar la utilidad cuando se producen 1800 unidades.

Solución: ya que utilidad = ingreso total – costo total, cuando q = 1800 tenemos

La utilidad cuando se producen y venden 1800 unidades es de $5000.

c. Encontrar la pérdida cuando se producen 450 unidades.

Solución: cuando q = 450

Ocurre una pérdida de $2500 cuando el nivel de producción es de 450 unidades.

d. Encontrar la producción requerida para obtener una utilidad de $10000.

Solución. Para obtener una utilidad de $10000 tenemos

Utilidad = ingreso total – costo total

Así, deben producirse 2700 unidades.

54

Ejemplo 4. Cantidad de equilibrio

Determinar la cantidad de equilibrio de Fabricaciones XYZ dada la información siguiente: costo

fijo total, $1200; costo variable por unidad, $2; ingreso total por la venta de q unidades,

Solución: por q unidades de producción

Igualando el ingreso total al costo total se obtiene

Elevando al cuadrado ambos miembros, tenemos

Por medio de la fórmula cuadrática,

Aunque tanto q = 400, como q = 900 son cantidades de

equilibrio, observe en la figura 25 que cuando ,

el costo total es mayor que el ingreso total, de modo que

siempre se tendrá una pérdida. Esto ocurre porque aquí

el ingreso total no está relacionado linealmente con la

producción. Por tanto, producir más de la cantidad de

equilibrio no necesariamente garantiza una utilidad.

55

En los problemas del 1 al 8 se le da una ecuación de oferta y una de demanda para un

producto. Si p representa el precio por unidad en dólares y q el número de unidades por

unidad de tiempo, encuentre el punto de equilibrio. En los problemas 1 y 2, plantee el sistema.

1. Oferta:

Demanda:

2. Oferta:

Demanda:

3. Oferta:

Demanda:

4. Oferta:

Demanda:

5. Oferta:

Demanda:

6. Oferta:

Demanda:

7. Oferta:

Demanda:

8. Oferta:

Demanda:

En los problemas del 9 al 14 representa el ingreso total en dólares y el costo total en

dólares para un fabricante. Si q representa tanto el número de unidades producidas como el

número de unidades vendidas, encuentre la cantidad de equilibrio. Esquematice un diagrama

de equilibrio en los problemas 9 y 10.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

56

15. Negocios Las ecuaciones de oferta y demanda para cierto producto son

y

Respectivamente, donde p representa el precio por unidad en dólares y q el número de

unidades vendidas por periodo.

a. Encuentre algebraicamente el precio de equilibrio y dedúzcalo por medio de una

gráfica.

b. Encuentre el precio de equilibrio cuando se fija un impuesto de 27 centavos por

unidad al proveedor.

16. Negocios Un fabricante vende todo lo que produce. Su ingreso total está dado por

y el costo total es , donde q representa el número de unidades

producidas y vendidas.

a. Encuentre el nivel de producción en el punto de equilibrio y dibuje el diagrama de

equilibrio.

b. Encuentre el nivel de producción en el punto de equilibrio, si el costo total se

incrementa en 5%.

17. Negocios Un fabricante vende un producto a $8.35 por unidad, y vende todo lo que

produce. Los costos fijos son de $2116 y el costo variable es de $7.20 por unidad. ¿A qué

nivel de producción existirán utilidades de $4600? ¿A qué nivel de producción habrá una

pérdida de $1150? ¿A qué nivel de producción ocurre el punto de equilibrio?

18. Negocios El punto de equilibrio de mercado para un producto ocurre cuando se producen

13,500 unidades a un precio de $4.50 por unidad. El productor no proveerá unidades a $1

y el consumidor no demandará unidades a $20. Encuentre las ecuaciones de oferta y

demanda si ambas son lineales.

19. Negocios Un fabricante de juguetes para niños alcanzará el punto de equilibrio en un

volumen de ventas de $200,000. Los costos fijos son de $40,000 y cada unidad de

productos se vende a $5. Determine el costo variable por unidad.

20. Negocios La compañía Sandalias Cómodas fabrica sandalias para las que el costo del

material es de $0.80 por par, y el costo de mano de obra es de $0.90 por par. Hay costos

adicionales por par de $0.30. Los costos fijos son de $70,000. Si cada par se vende a $2.50,

¿cuántos pares se deben vender para que la compañía llegue al equilibrio?

21. Negocios Encuentre el punto de equilibrio para la compañía Z, que vende todo lo que

produce, si el costo variable por unidad es de $2, los costos fijos de $1050 y ,

donde q es el número de unidades producidas.

22. Negocios Una compañía determinó que la ecuación de demanda para su producto es

p=1000/q, donde p es el precio por unidad para q unidades en algún periodo. Determine la

cantidad demandada cuando el precio por unidad es (a)$4, (b)$2 y (c)$0.50. Para cada uno

de estos precios calcule el ingreso total que la compañía recibirá. ¿Cuál será el ingreso sin

importar el precio? (Sugerencia: encuentre el ingreso cuando el precio es p dólares)

23. Negocios Utilizando los datos del ejemplo 1, determine cómo se afectará el precio de

equilibrio original, si la compañía recibe un subsidio del gobierno de $1.50 por unidad.

24. Negocios La compañía Aceros Forjados vende un producto de acero corrugado a

Fabricaciones Modelo, y compite para hacer estas ventas con otros proveedores. El

vicepresidente de ventas de Aceros Forjados cree que reduciendo el precio del producto,

57

se podría asegurar un 40% de incremento en el volumen de unidades vendidas a

Fabricaciones Modelo. Como administrador del departamento de costos y análisis, a usted

se le ha consultado para que analice la propuesta del vicepresidente, y exponga sus

recomendaciones de si ésta es financieramente benéfica. Se le pide que determine

específicamente:

a. Ganancia o pérdida neta con base en el precio propuesto.

b. Volumen de ventas de unidades que, bajo el precio propuesto, se requieren para

obtener las mismas utilidades de $40,000 que se reciben con el precio y volumen de

ventas actuales.

Utilice la siguiente información en su análisis:

Operaciones actuales Propuesta del vicepresidente de ventas

Precio unitario $2,50 $2,00 Volumen de ventas 200,000 unidades 280,000 unidades Costo variable Total $350,000 $490,000 Por unidad $1,75 $1,75 Costo fijo $110,000 $110,000 Ganancia $40,000 ?

25. Negocios La ecuación de oferta para un producto es , y la ecuación de

demanda es

.

Aquí p representa el precio por unidad en dólares, y q el número de unidades (en miles)

por unidad de tiempo. Grafique ambas ecuaciones y a partir de su gráfica determine el

precio y la cantidad de equilibrio a un decimal.

26. Negocios Para un fabricante la ecuación de ingreso total es y la

ecuación de costo total es , donde q representa (en miles) tanto el

número de unidades producidas como el de unidades vendidas. Grafique un diagrama de

equilibrio y encuentre la cantidad de equilibrio.

58

4. LÍMITES Y CONTINUIDAD

Como se verá en los capítulos posteriores, el cálculo es una rama muy importante de las matemáticas, que posee una amplia gama de aplicaciones, entre las que se hallan el trazado de curvas, la optimización de funciones, el análisis de la tasa de cambio y el cálculo de áreas. Lo que confiere trascendencia al cálculo y lo diferencia del álgebra es el concepto de límite. El propósito de esta sección es introducir al lector en este importante concepto. El enfoque será intuitivo más que formal. Las ideas delineadas aquí constituyen la base de un desarrollo más riguroso de las leyes y los procedimientos del cálculo y son el centro de gran parte de las matemáticas modernas.

El concepto de límite Los límites describen lo que sucede a una función f(x) a medida

que su variable x se aproxima a una constante c. Para ilustrar este concepto, supóngase que se desea conocer qué le sucede

a la función

a medida que x tiende a 1.

Aunque f(x) no está definida en x=1, la situación puede entenderse al calcular f(x) utilizando los valores de x que se acercan cada vez más a 1 por la izquierda y por la derecha. La tabla siguiente resume el comportamiento de f(x) cuando x tiende a 1.

0.8 0.9 0.95 0.99 0.999 1 1.001 1.01 1.05 1.1

2.8 2.9 2.95 2.99 2.999 3.001 3.01 3.05 3.10

En esta tabla los valores de la función indican que f(x) se acerca

a 3 cuando x se acerca cada vez más a 1 por cualquier lado. Este comportamiento puede describirse al decir que “el límite de f(x), a medida que x tiende a 1 es igual a 3” y puede abreviarse como

EXPLORAR Emplear la calculadora gráfica para elaborar la gráfica de

Utilizando una vista rectangular de [0,2]0.5 por [0,4]0.5. ¿Muestra la gráfica una discontinuidad en ? Utilizar la función trace de la calculadora y observar los valores de cuando es un poco menor que 1. Repetir para , cuando es un poco mayor que 1. Emplear la calculadora gráfica para evaluar en . ¿Qué clase de error se obtuvo? Explicar.

x se aproxima a 1 por la izquierda

x se aproxima a 1 por la derecha

Límite Si se aproxima cada vez más a un número L a medida que se acerca cada vez más a c por cualquier lado, entonces L es el límite de a medida que se aproxima a c. Este comportamiento se describe como

59

Tres funciones para las que

Propiedades de los límites Los límites obedecen ciertas reglas algebraicas que pueden

utilizarse en los cálculos. Estas reglas, que parecerían admisibles con base en nuestra definición informal de límite, se demuestran formalmente en cursos más teóricos, y son importantes porque simplifican el cálculo de límites de funciones algebraicas.

Límite de una suma, una diferencia, un múltiplo o un producto de una función Si y existen, entonces

Es decir, el límite de una suma, una diferencia, un múltiplo o un producto es la suma, la diferencia, el múltiplo o el producto de los límites individuales.

Dos funciones para las que no existe.

60

Cálculo de límites Los ejemplos siguientes ilustran cómo pueden utilizarse las

propiedades de los límites para calcular los límites de funciones algebraicas. En el primer ejemplo s estudiará cómo encontrar el límite de un polinomio.

___________________________________________________ EJEMPLO 5.1 Hallar

Límite de un cociente Si y existen y ,

entonces

Es decir, si el límite del denominador no es 0, el límite de un cociente es el cociente de los límites individuales.

Límite de una potencia Si y p es un número real para el que está definido, entonces

Es decir, el límite de una potencia es la potencia del límite

Límite de dos funciones lineales Para cualesquiera número c y constante k

Es decir, el límite de una constante es la constante misma, y el límite de f(x) = x a medida que x se aproxima a c, es c.

Figura 1.43 Límites de dos funciones lineales

61

Solución Aplicar las propiedades de los límites para obtener

En el ejemplo siguiente se verá cómo hallar el límite de una

función racional cuyo denominador no se acerca a cero. ___________________________________________________ EJEMPLO 5.2

Hallar

.

Solución

Puesto que

, se puede utilizar la regla del

cociente de límites para obtener

En general, las propiedades de los límites pueden emplearse para obtener las fórmulas siguientes, que pueden utilizarse para evaluar muchos límites que se presentan en problemas prácticos.

En el ejemplo siguiente, el denominador de la función racional dada se acerca a cero, mientras que el numerador no. Cuando esto sucede, puede concluirse que el límite no existe. El valor absoluto de tal cociente aumenta sin límite y, por consiguiente, no se aproxima a ningún número finito. __________________________________________________ EJEMPLO 5.3

Encontrar

Solución La regla del cociente de límites no se aplica en este caso puesto que el límite del denominador es

Límites de polinomios y funciones racionales Si p(x) y q(x) son polinomios, entonces

y

EXPLORAR Emplear la calculadora gráfica para elaborar la gráfica de

Utilizando una vista rectangular de [-1,1]0.1 por [0,8]1. Utilizar trace y observar los valores de cuando están cerca de 0. Elaborar una tabla de los valores observados.

EXPLORAR Emplear la calculadora gráfica para elaborar la gráfica de

Empleando una vista rectangular de [-6,6]1 por [-6,6]1. Utilizar la función trace de la calculadora para observar los valores de cuando está cerca de 2.Describir lo que se observa.

62

Como el límite del numerador es

, diferente de

cero, puede concluirse que el límite del cociente no existe.

En la figura 1.44, la gráfica de la función

da una

mejor idea de lo que sucede en este ejemplo. Nótese que f(x) aumenta sin límite a medida que x se aproxima a 2 por la derecha y disminuye sin límite a medida que x se acerca a 2 por la izquierda. Como lo muestra la figura 1.9, x = 2, es una asíntota vertical. En el ejemplo siguiente, tanto el numerador como el denominador de la función racional dada se aproximan a cero. Cuando esto sucede, debe simplificarse la función en forma algebraica con el fin de encontrar el límite deseado.

EJEMPLO 5.4

Encontrar

.

Solución A medida que x se aproxima a 1, tanto el numerador como el denominador se aproximan a cero y no puede obtenerse una conclusión acerca del valor del cociente. Obsérvese que la función dada no está definida cuando x=1 pero, para los demás valores de x, l numerador y el denominador pueden dividirse entre x – 1 para obtener

(Puesto que , no se divide entre cero). Retomar el límite a medida que x se aproxima (pero no es igual) a 1 para obtener

La gráfica de la función

se presenta en la figura

1.45. Nótese que es similar a la gráfica de la figura 1.44, con un “hueco” en el punto (1, – 2). En general, cuando el numerador y el denominador de un cociente tienden a cero a medida que x se acerca a c, deberá simplificarse el cociente en forma algebraica (como en el ejemplo 5.4, donde se canceló x – 1). En la mayor parte de los casos, la forma simplificada del cociente es válida para todos los valores de x excepto para x=c. Puesto que lo importante es ver el comportamiento del cociente cerca de x=c y no en x=c, puede utilizarse la forma simplificada del cociente para calcular el límite. A continuación se presenta otro ejemplo que ilustra esta técnica. _________________________________________________

EJEMPLO 5.5

Encontrar

.

Figura 1.44 La gráfica de la

función

Figura 1.45 La gráfica de la

función

EXPLORAR Utilizar la calculadora gráfica para elaborar la gráfica de

Establecer la vista rectangular en [0.5,1.5]0.1 por [-4,0]0.5. Utilizar la función trace de la calculadora para observar los valores de cuando está cerca de 1.Describir lo que se observa.

63

Solución

Tanto el numerador como el denominador tienden a cero a medida que x se acerca a 1. Para simplificar los cocientes,

multiplicar el numerador y el denominador por para obtener

y luego tomar el límite para obtener

PROBLEMAS 1.5 ___________________________________________________

En los problemas 4 a 6, encontrar , si existe.

En los problemas 7 a 26 hallar el límite indicado, si existe.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

EXPLORAR Utilizar la calculadora gráfica para elaborar la gráfica de

Establecer una vista rectangular en [0.5,1.5]0.1 por [0,1]0.1.¿Que se puede decir acerca de la gráfica? Averiguar los valores de cuando está cerca de 1pero no llega a este valor, ¿Son estos valores

menores que

?

¿Por qué no?

64

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

En los problemas 27 a 38, determinar si la función dada es continua en el valor especificado de x. 27. 28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

En los problemas 39 a 50, enumerar todos los valores de x para los que la función dada no es continua.

39. 40.

41.

65

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

Control de la polución 51. El costo (en dólares) de eliminar x% de la polución del agua

en cierto riachuelo está dado por

a) Hallar el costo de eliminar la mitad de la polución. b) ¿Qué porcentaje de la polución puede eliminarse con

US$20,000? c) Evaluar . Interpretar los resultados.

Biología 52. La gráfica siguiente muestra cómo cambia con la temperatura la tasa de crecimiento R(T) de una colonia bacterial. a) ¿Sobre qué rango de valores de T la tasa de

crecimiento R(T) se duplica? b) ¿Qué puede decirse de la tasa de crecimiento para

? c) ¿Qué sucede cuando la temperatura alcanza más o

menos 45ºC? ¿Tiene sentido calcular ? Escribir un párrafo que describa cómo afecta la temperatura a la tasa de crecimiento de una especie.

Fuente: Michael D. La Grega, Phillip L. Buckinham y Jeffrey C Evans, Hazardous Waste Management, Nueva York: McGraw-Hill, 1994, pp.565-566. Reimpreso con permiso

Límites en el infinito Los límites en el infinito que implican potencias y potencias recíprocas pueden calcularse de la manera siguiente: si n 0, entonces

En general, en un polinomio el límite en el infinito se calcula

mediante el término de mayor exponente en el polinomio, el cual aumenta (o disminuye) más rápidamente que los otros términos de menor grado. En otras palabras:

A continuación se presenta un ejemplo. ___________________________________________________

Límite de un polinomio en el infinito Si ,

Es decir, para hallar el límite de un polinomio en el infinito, basta con hallar el límite del término de mayor grado.

66

EJEMPLO 6.3 Hallar

Solución

Una manera de hallar el límite de una función racional en el infinito es comparar los grados del numerador y el denominador, y dividir el numerador y el denominador por x elevada al menor de estos grados. Esto reducirá el problema de modo que la mayor parte de los términos tendrán la forma

, que tiende a cero cuando x tiende a infinito.

A continuación se presentan dos ejemplos que ilustran esta técnica. ___________________________________________________

EJEMPLO 6.4

Hallar

.

Solución Se divide el numerador y el denominador por para obtener

___________________________________________________ EJEMPLO 6.5

Hallar

.

Solución Dividir el numerador y el denominador por x para obtener

Puesto que

se sigue que

Límite de una función racional en el infinito Para hallar el límite de una función racional en el infinito: Paso 1. Comparar los grados del numerador y el denominador y dividirlos por x elevada al menor de estos valores de los grados. Paso 2. Hallar los límites de los nuevos numerador y denominador.

67

PROBLEMAS 1.6 ___________________________________________________ Para los problemas 1 a 10, hallar

.

1. 2. 3. 4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

En los problemas 11 a 20, hallar el límite indicado.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

En los problemas 21 a 30, determinar las asíntotas verticales y horizontales de la gráfica de f(x) y luego dibujarla.

21.

22.

23.

24.

68

25.

26.

27.

28.

29.

30.

Costo medio 31. Cuesta C(x) = 4x + 57 miles de dólares producir x unidades

de un artículo. Trazarla gráfica de C(x) y la función de costo

medio

para x 0. ¿Qué le sucede a A(x)

cuando ?

69

5. LA DERIVADA La derivación es una técnica matemática de excepcional

importancia y versatilidad. Es uno de los dos conceptos centrales en la rama de las matemáticas llamada cálculo y tiene variedad de aplicaciones, que incluyen el trazado de curvas, la optimización de funciones y el análisis de razones de cambio. Para empezar, a continuación se presenta un breve análisis introductorio de dos de los tipos de problemas prácticos que pueden resolverse mediante el cálculo.

2.5 REGLAS PARA LA DERIVACIÓN En la práctica se usan reglas para derivar tipos particulares de funciones, con el objeto de evitar repetir el procedimiento para obtener directamente las derivadas. Las reglas para derivar se obtienen mediante el procedimiento usual, como se muestra en la Nota Técnica I. En esta sección, se enuncian e ilustran reglas para derivar funciones polinomiales, algebraicas, logarítmicas, exponenciales, trigonométricas, inversas y compuestas. FUNCIONES POLINOMIALES Un término único de la forma , en donde c es una constante y n es cero o un entero positivo, se llama un monomio en x. Una función constituida por la suma de un número finito de monomios es llamada un polinomio o una función polinomial en x.

Interpretación geométrica de la derivada La derivada expresa la pendiente de la tangente a la curva y=f(x) como una función de la coordenada x del punto de tangencia.

Cómo calcular la derivada de f(x) Paso 1. Expresar el cociente de la diferencia (la pendiente de la secante).

Paso 2. Simplificar algebraicamente el cociente de la diferencia. Paso 3. Aproximar a cero en el cociente simplificado de la diferencia.

70

Ejemplo

Las derivadas de funciones polinomiales se obtienen utilizando las fórmulas siguientes: Regla 1. La derivada de una constante es cero: Si y = c,

La derivada del producto de una constante y una función derivable es el producto de la constante y la derivada de la función: Si y = cu, en donde u = f(x) es una función derivable de .

Regla 2. La derivada de la n´enésima potencia de una variable es el producto de n y la (n – 1)´esima potencia de la variable: Si y = ,

para cualquier entero positivo n. Ejemplo

Regla 3. La derivada de la suma de un número finito de funciones derivables es la suma de sus derivadas: Si y = u + v, en donde u = f(x) y v = g (x) son funciones derivables respecto a x.

En general, si , en donde son funciones derivables con respecto a x para i = 1, 2, …, n, entonces

son funciones polinomiales en x.

Si y = 6,

Si y = 6

Si y = 10x,

71

Ejemplos

Resumen de reglas para derivar Funciones Polinomiales La derivada de un monomio en x es

y la derivada de la suma de un número finito de tales términos (esto es, la derivada de un polinomio) es la suma de las derivadas de los términos:

FUNCIONES ALGEBRAICAS Las fórmulas de esta sección se aplican a los productos, cocientes, potencias y raíces de funciones derivables. Regla 4. La derivada del producto de dos funciones derivables es igual a la primera función multiplicada por la derivada de la segunda función más la segunda función multiplicada por la derivada de la primera función. En la misma forma, la derivada del producto de más de dos funciones derivables es la suma de los productos de la derivada de cada función por las otras funciones. Si y = uv, en donde u =f(x) y v = g(x) son funciones derivables de x,

En general, si

, en donde son funciones

derivables de x para i = 1, 2, …, n, entonces

Si

Si

72

Ejemplos

Regla 5. La derivada del cociente de dos funciones derivables es el cociente del producto del denominador por la derivada del numerador menos el producto del numerador por la derivada del denominador dividido todo por el cuadrado del

denominador: Si

en donde u = f(x) y v = g(x) son

funciones derivables con respecto a x,

Ejemplos

Si y = ,

Si ,

Si

,

Si ,

73

Si

,

Sin embargo nótese que

es una fracción y por

consiguiente debe usarse la Regla 5 para obtener

.

y así

Si ,

Sin embargo nótese que y y por consiguiente la Regla 6 debe utilizarse para obtener

y

74

Regla 6. La derivada de la n´ésima potencia de una función derivable es el producto de n por la (n – 1)ésima potencia de la función y por la derivada de la función: Si , en donde u = f(x) es una función derivable con respecto a x, y n es cualquier número real (positivo o negativo, entero o fraccionario),

Caso Especial: Si u = f(x) = x, entonces y

Para cualquier número real n. (Este caso especial es una generalización de la Regla 2, en la cual n es un entero positivo.) Ejemplos

Si

,

y

Si ,

Si ,

Si ,

75

PROBLEMAS ___________________________________________________

Obtener la primera derivada con respecto a x para cada una de las siguientes funciones y = f(x). 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. 8. 9. 10. 11.

12.

13.

14.

15. 16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

Si ,

Si ,

76

23.

24.

25.

26. 27.

28. RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS IMPARES 1. 3.

5. 7. 9. 11.

13.

15.

17.

19.

21.

23.

25.

27.

CALCULO DIFERENCIAL: FUNCIONES DE UNA VARIABLE

RESUMEN DEL PROCEDIMIENTO PARA TRAZAR LA GRÁFICA DE y = f(x) UTILIZANDO LA INFORMACIÓN PROPORCIONADA POR LA PRIMERA Y LA SEGUNDA DERIVADAS.

1. Calcular

.

2. Determinar los intervalos de x para los cuales

es positiva

y para cuáles es negativa.

3. Calcular y

en los puntos donde

. Verificar en

estos puntos posibles máximos o mínimos.

4. Verificar puntos donde

es discontinua para determinar

posibles máximos o mínimos.

5. Determinar los intervalos de x para los cuales

es

positiva y para cuáles es negativa.

6. Calcular y

en los puntos donde

. Verificar

estos como posibles puntos de inflexión.

77

7. Verificar puntos en donde

es discontinua para

determinar posibles puntos de inflexión. 8. Determinar las intersecciones con los ejes. 9. Observar la naturaleza de la curva para valores grandes de

.

10. Trazar la curva según indiquen los signos de

(creciente o

decreciente) y de

(cóncava hacia arriba o cóncava hacia

abajo), las intersecciones con los ejes, las propiedades asintóticas, y las discontinuidades.

Trazar la curva representada mediante la función (ver figura 2.50)

FIGURA 2.50

78

Por lo tanto hay un mínimo en (-1, 2) y un máximo en (1 , 6).

1, 2 2 .

Luego hay un punto de inflexión en (0 , 4). . A medida que y a medida que

Trazar la curva que representa a la función

(ver figura 2.51)

CALCULO DIFERNECIAL FUNCIONES DE UNA VARIABLE

79

FIGURA 2.51

Así pues existe un mínimo en (2,4) y un máximo en (-2,-4).

Son discontinuas en

ó

ó

No hay punto de inflexión en debido a la discontinuidad de

. No hay

intersecciones con los ejes. A medida que y a medida que

PROBLEMAS Determinar, para cada una de las siguientes funciones, máximos, mínimos y puntos de inflexión. Trazar la curva que representa a cada función.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8. 9.

10.

80

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18. SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS IMPARES 1.

3.

5.

7.

9.

11.

13.

15.

17.

19.

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

81

El costo total (ver figura 2.21) está representado por

FIGURA 2.21

En donde es el costo total y es la producción. El costo promedio es

y el costo marginal es

(ver Figura 2.22).

FIGURA 2.22

En consecuencia el costo marginal decrece para , se incrementa para y es constante para

82

PROBLEMAS 1. Para cada una de las siguientes funciones de costo

promedio encontrar el costo promedio mínimo y demostrar que en el costo promedio mínimo, el costo marginal y el costo promedio son iguales. a) b) c)

d)

e)

f) g)

h)

2. Para cada una de las siguientes funciones de costo total, encontrar el costo marginal y determinar la naturaleza del costo marginal (creciente, decreciente). a) b)

3. Determinar la naturaleza de las funciones de costo promedio y marginal para cada una de las siguientes funciones de costo total:

a) b)

4. Para la siguiente función de costo total encontrar la ecuación de la tangente en el punto de inflexión, como una aproximación de la función cerca de ese punto.