Modulo_2[2]

Centro Universitario México Curso Propedeútico Curso 2007-2008

Temario.

1. Solución de ecuaciones algebraicas (Despeje).

1.1. Definición de ecuación. 1.2. Características de las ecuaciones lineales y cuadráticas. 1.3. Ecuaciones lineales. 1.4. Ecuaciones cuadráticas. 1.5. Sistemas de ecuaciones simultáneas de dos incógnitas.

2. Conversión de unidades.

2.1. Definición de unidad. 2.2. Definición de factor unitario. 2.3. Factores lineales, cuadráticos y cúbicos 2.4. Aplicación.

3. Trigonometría.

3.1. Definición de trigonometría. 3.2. Triángulo rectángulo (lados y ángulos). 3.3. Sistema de coordenadas rectangulares. 3.4. Funciones trigonométricas de 30, 60 y 45.

MÓDULO 2 10 sesiones


1. Solución de ecuaciones algebraicas (Despeje).

Objetivo: El estudiante conocerá la definición de ecuación, los tipos de ecuaciones de uso más frecuente y la forma de solucionarlas en forma literal.

1.1. Definición de ecuación.

Una ecuación es una igualdad que sólo es cierta para los valores obtenidos de las incógnitas. Toda ecuación consta de dos miembros separados por el signo de igualdad.

El grado de la ecuación lo determina el mayor exponente que tiene una variable, después de hacer todas las reducciones posibles.

Se llaman ecuaciones numéricas cuando las cantidades conocidas son números y ecuaciones literales cuando dichas cantidades se representan por letras.

* El Profesor mostrará algunos ejemplos que ilustren la definición.

1.2. Características de las ecuaciones lineales y cuadráticas.

Las ecuaciones empleadas con mayor frecuencia en las aplicaciones de matemáticas son las de primer grado (lineales) y las de segundo grado (cuadráticas). Los valores que las satisfacen son las raíces de la ecuación.

* El Profesor mostrará algunos ejemplos que ilustren las ecuaciones de las formas ax2 bx c 0 y

Ax B 0 .

Estas ecuaciones pueden aparecer en dos formas en las aplicaciones de matemáticas. Pueden ser ecuaciones determinadas donde el valor de la incógnita es una sola raíz bien determinada. Por ejemplo, toda ecuación de primer grado con una incógnita es una ecuación determinada.

* El Profesor resolverá ejemplos donde ilustre la característica de una ecuación determinada y muestre la presencia de los elementos de identidad para alcanzar esa solución.

También pueden ser ecuaciones indeterminadas donde las variables no quedan plenamente determinadas con una sola raíz. Así, toda ecuación de primer grado con dos incógnitas es indeterminada porque tiene una infinidad de valores que la solucionan.

* El Profesor resolverá ejemplos donde ilustre la característica de una ecuación indeterminada y muestre la presencia de los elementos de identidad para alcanzar esa solución.



1.3. Ecuaciones lineales.

Actividad 1.1. El estudiante resolverá las siguientes ecuaciones lineales indeterminadas para todas las variables que contengan.

1. a 2b 3c a 5.

2. (a b) (2 c) (5 a) 4.

3. 4x 3y 5 (6x y) 3.

4. (f 2g)(h 8i) (3h f)(7i 6g).

5. 2a 3ab 8b 7ab.

6. (sr n) (a s) n xr.

7. 2abc 5.

8. L (3apQ) (W h).

9. 2(x 3y) 5x y 6 2y 4.

10. 2u (W 6v)h

11. x(yz a) a(x 2y).

12. (x + 3y) 4 (2y x) 3 x 6y 8.

13. p q 3p Bm(fw).

14. a 3bc(d f).

15. f d 7d(a b).

16. H 8(b w) b(1 gw).

17. y (x z) w.

Actividad 1.2. Despejar x en las siguientes ecuaciones




1.

2.



3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Actividad 1.4. Actividad 1.3.




.

Actividad 1.6. Despeja en las siguientes ecuaciones, la letra indicada a la derecha:

1. : r

2. : T

3. : V

4. : Vf



5. : Vo

6. : a

7. : V

8. : Vf2

9. : P2

10. : A2

11. E = g V : V

12. : V01

13.A1v1 = A2v2 : A1

14.P1 + v 12 + gh1 = P2 + v 2

2 + gh2 : v2

2 2

15.Q= r 4 P : r 8L

16. : q

17. : r

18. : M

Actividad 1.7. Resuelve los siguientes problemas:



1.4. Ecuaciones cuadráticas.

Son todas aquellas ecuaciones en las que, después de reducidas a su mínima expresión, el mayor grado de la incógnita es dos. Atendiendo a la forma general de una ecuación de segundo grado, se les denomina según los valores de a, b y c, como:

Completas: a, b y c tienen valores conocidos diferentes de cero. Incompletas: b 0 ó c 0.

Actividad 1.10. El estudiante resolverá las siguientes ecuaciones cuadráticas incompletas indeterminadas para todas las variables que contengan.

37. R 2r

38. K 7(1 p) (1 + pc2).



39. (a 2b)(2a 3b) 6 c.

40. x2 2y y(3z 4).

41. 2a(1 pq2) 3(1 p).

42. a (bcd) f2 .

43. 3x(2x y) (y 4x).

44. (Lr)

45. b 2a 5cf 8g f2 .

46. (x2 7) (2 y) (y 3) (9 x3).

47. 3c2 fg(b2 a2) 2 d.

48. k ax (ax Pt2).

49. 5a f(a2 b2).

50. h2 2uv 3(1 w2).

1.5. Sistemas de ecuaciones simultáneas con 2 incognitas.

Un Sistema de Ecuaciones Simultáneas con 2 Incógnitas se presenta cuando dos o más ecuaciones tienen las mismas literales como incógnitas y se deben satisfacerse simultáneamente con los mismos valores de dichas incógnitas. Para encontrar las soluciones de un sistema de ecuaciones se pueden ocupar diversos métodos como: sustitución, igualación, suma y resta, determinantes y gráfico.

Ejemplo: 2x + 3y = 45 ........(1) Sistema de ecuaciones,-x - 4y = 34 .......(2) Incognitas (x,y)

Actividad 1.11. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones simultáneas

1.

2.

3.



4.

5.

Actividad 1.12. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones simultáneas:



Actividad 1.13. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones simultáneas




Actividad 1.15. Resolver los siguientes problemas:



Actividad 1.17. Resolver los siguientes problemas:

1. Dos trenes se encuentran viajando, uno hacia el otro, por vías paralelas. En determinado instante se encuentran separados una distancia de 1000 m, uno de ellos viaja a 72 km/h y el otro lo hace a 1800m/min:¿En qué instante se encuentran? ¿Qué distancia lleva recorrida cada uno desde que se encontraban separados 1000 m hasta encontrarse?

2. Dos móviles parten simultáneamente desde dos posiciones separadas entre sí por 200m. El que va detrás posee una velocidad de 72 km/h y el que va adelante, marcha en el mismo sentido a 15 m/s: ¿podrá alcanzarlo?¿en qué instante?¿qué distancia habrá recorrido cada uno?

3. Un bañista se encuentra nadando a 40m de la costa y se dirige hacia ella a una velocidad de 5 km/h, 500 m detrás de él un tiburón se le acerca a 60 km/h, ¿cuál será la suerte del bañista?

4. Andrés va en su bicicleta a 18km/h, siguiendo a Carina que va corriendo en el mismo sentido, a 9km/h. Si inicialmente Andrés se hallaba a 100m detrás de Carina. ¿Cuánto tardará en alcanzarla?

5. En una esquina, una persona ve como un muchacho pasa en su auto a una velocidad de 20 m/s. Diez segundos después, una patrulla de la policía pasa por la misma esquina persiguiéndolo a 30 m/s. Considerando que ambos mantienen su velocidad constante: a) ¿A qué distancia de la esquina, la policía alcanzará al muchacho? b) ¿En qué instante se produce el encuentro?

6. En un instante pasa por A un cuerpo con movimiento rectilíneo uniforme de 20 m/s. Cinco segundos después, pasa en su persecución, por el mismo punto A, otro cuerpo animado de movimiento rectilíneo uniforme, de velocidad 30 m/s. ¿Cuándo y dónde lo alcanzará?

7. Un móvil sale de una localidad A hacia B con una velocidad de 80 km/h, en el mismo instante sale de la localidad B hacia A otro a 60 km/h, A y B se encuentran a 600 km. Calcular: a) ¿A qué distancia de A se encontraran? b) ¿En qué instante se encontraran?.



2. Conversión de unidades.

Objetivo: El estudiante conocerá la definición de unidad y aprenderá una forma ágil de convertir unidades.

2.1. Definición de unidad.

Es una magnitud de la misma especie que otra a la que sirve de medida cuando se le compara con ella.


2.2. Definición de factor unitario.

Un factor es uno de dos o más cantidades que, cuando se multiplican conjuntamente, producen una cantidad dada.

Se dice que un factor es unitario cuando su valor numérico es igual a la unidad (1).


2.3. Factores lineales, cuadráticos y cúbicos.

Cuando se pretende cambiar unidades es necesario conocer la equivalencia entre ellas. Usualmente éstas se presentan en forma lineal y si la magnitud que se está tratando requiere un análisis en dos dimensiones (cuadráticos) o tres dimensiones (cúbicos), las equivalencias lineales se elevan a la potencia correspondiente para encontrar factores cuadráticos o cúbicos.

* El Profesor resolverá el siguiente ejemplo que ilustra la definición.

Dadas dos unidades cualesquiera u y v que miden la misma magnitud y cuya equivalencia es u 3.45v

encuentre la equivalencia de 7u, 3v2 y 0.008 u3 mostrando el uso de un factor unitario para la conversión.

2.4. Aplicación.


qmqm

pmpm

w2mw2m

j2nj2n

n2jn2j

jnqj

nqwmpwmp

m2wm2w

j3mp2

j3mp2

w3nq2

w3nq2


Actividad 2.1. El estudiante realizará las siguientes conversiones empleando factores unitarios*.

1. 3.07 m a n.

2. 5 .62 p2 a q2 .

3. 6.08 a .

4. 0.04 a .

5. 0.085 a .

6. 2.81 a .

7. 3.067 a .

*El Profesor establecerá la equivalencia entre las unidades j, m, n, p, q, w.

3. Trigonometría.


A

B

Cb

a

c

A

B

Cb

a

c

caca

cbcb

cos Asen Acos Asen A

cos A1

cos A1

sen A1

sen A1

tan A1

tan A1


Objetivo: El estudiante conocerá conceptos básicos de trigonometría indispensables para la solución de problemas de aplicación.

3.1. Definición de trigonometría.

La trigonometría es la rama de las matemáticas que trata de las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos; así como de las distintas funciones algebraicas de estas relaciones.3.2. Triángulo rectángulo (lados y ángulos).

Un triángulo es una figura plana de tres lados y tres ángulos interiores cuya suma es 180. Su definición gráfica implica el trazo de los siguientes elementos: tres vértices (puntos en los concurren los lados de un ángulo) nombrados A, B, C; tres lados (líneas que limitan al triángulo) nombrados a, b, c y tres ángulos (aberturas formadas por dos rectas que se cortan) nombrados A, B , C respecto del vértice donde se originan.

* El Profesor trazará el triángulo, destacando los elementos mencionados.

Un triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo recto. Sobre este tipo de triángulo se estudian el Teorema de Pitágoras y las funciones trigonométricas básicas. El Teorema de Pitágoras señala que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos,

c2 a2 b2 ,

donde c es la hipotenusa. En todo triángulo rectángulo, la hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto. En los triángulos rectángulos, las relaciones entre los ángulos agudos y los lados, llamadas funciones trigonométricas, se definen como sigue:

sen A tan A csc A

cos A sec A cot A Actividad 3.1. El estudiante trazará los siguientes triángulos rectángulos y escribirá el valor exacto de las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente.



1. c 61, a 11, b 60.2. c 53, a 28, b 45.3. c m, a j, b k.

4. c , a 1, b 4.

5. c 5, a 3, b 4.

Actividad 3.2. El estudiante determinará los elementos faltantes de cada uno de los triángulos rectángulos, los trazará y escribirá el valor exacto de las funciones seno, coseno y tangente de los ángulos A y B.

1. a 1, b 1, A 45.

2. a , b 1, A 60.

3. b , a 1.

4. a 2, b 3.5. b 12, c 13.6. a 7, A 30.7. a 3x, b x, B 46.8. a m, c 1, B 35.9. b 17, A 60, B 30.10. b 3y, c 6y.

3.3. Sistema de coordenadas rectangulares.

Un sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas consiste de dos rectas perpendiculares dirigidas. Al eje X y al eje Y se les llama ejes coordenados; a su intersección O se le llama origen. La posición de cualquier punto en el plano se determina por sus distancias medidas desde los ejes. Así, el punto P cuya coordenada en X (abscisa) es x1 y cuya coordenada en Y (ordenada) es y1, se denota P(x1 , y1 ). Se concluye que la abscisa de cualquier punto a la derecha del eje Y es positiva y a la izquierda del mismo negativa. También, la ordenada de cualquier punto sobre el eje X es positiva y bajo el mismo es negativa.

Trazar la gráfica de un punto significa localizarlo e indicar su posición en un sistema de coordenadas.

* El Profesor trazará la gráfica de P(x1 , y1 ). Así como la de otros puntos que muestren el valor positivo y negativo de las coordenadas.

La distancia del origen O al punto P se llama radio vector (r) de P. Esta distancia no está dirigida y siempre es positiva por convención. Por consiguiente, con cada punto del plano se pueden asociar tres coordenadas: x, y, r. El radio vector se puede encontrar utilizando el Teorema de Pitágoras:

r2 x2 y2

Los ejes coordenados dividen al plano cartesiano en cuatro partes llamadas cuadrantes, denotados como I, II, III, IV.



* El Profesor trazará la gráfica de un sistema de coordenadas rectangulares (plano cartesiano) donde se observen las características de un punto en cada uno de los cuadrantes.

Actividad 3.3. El estudiante resolverá los ejercicios siguientes incluyendo las gráficas que sean necesarias en cada caso.

1. Ubique cada punto en un plano cartesiano y encuentre el valor de r: A(4 , 7 ), B(2 , 6 ), C(8 , 9 ), D(11 , 3).

Actividad 3.4. El estudiante encontrará el valor exacto de la coordenada ausente y graficará el punto.

1. x 24, r 25, IV.2. x 0, r 3, y 0.3. x 5, r 2 , III. 4. x 7, r 7.5. r 17, y 8, II.6. y 8, r 9, I.7. r , y 7, II.

Para definir las funciones trigonométricas de un ángulo en un sistema de coordenadas rectangulares se realiza lo siguiente:

(a) Se coloca el ángulo en posición normal (el vértice del ángulo está en el origen y su lado inicial coincide con el eje X positivo).

(b) Se ubica un punto P(x1 , y1 ) en el lado terminal del ángulo.

(c) Se traza una perpendicular desde P hasta el eje X, con lo cual se forma un triángulo rectángulo de referencia para el ángulo.

(d) Se calcula el radio vector (r) y se definen las funciones trigonométricas del ángulo con las coordenadas x1 , y1 , r.

* El Profesor trazará una gráfica donde se observe la posición de un ángulo en el plano cartesiano y definirá las funciones trigonométricas del ángulo.

Actividad 3.5. El estudiante resolverá los ejercicios siguientes incluyendo las gráficas que sean necesarias en cada caso.

1. Ubique cada punto en el plano cartesiano y defina las funciones trigonométricas del ángulo asociado con la posición del punto: A(3 , 5 ), B(1 , 6 ), C(3 , 5 ), D(1 , 6).



2. Ubique cada punto en el plano cartesiano y obtenga el valor del ángulo asociado con la posición del punto en cada caso: P(8 , 8 ), Q(5 , 5 ).

Actividad 3.6. El estudiante determinará la función trigonométrica que se solicita.

1. x 8, y 15, sen ?

2. x 7, y 4 , cos ?

3. x 1, r , tan ? 4. y 5, r , tan ?5. x 5, y 12, sen ?

3.4. Funciones trigonométricas de 30, 60 y 45.

* El Profesor trazará los triángulos rectángulos especiales que definen los valores exactos de las funciones trigonométricas de los ángulos de 30, 60 y 45.

* El estudiante será capaz de repetir cuando se le solicite el trazo y la argumentación correspondiente a cada triángulo.

Actividad 3.7. El estudiante calculará el valor exacto de cada una de las siguientes expresiones empleando los triángulos especiales.

1. 2cos 60 6sen 45 cos 45 3sen 30.2. 3tan 45 5tan 60 cos 30 2sen 45.

3. sen 60 cos 45 8sen260.

4. 8tan 60 9tan 45 sen230.

5. 3sen 45 cos 30 cos2 60 tan 45 sen 45.

Actividad 3.8. El estudiante ubicará cada uno de los siguientes ángulos en el plano cartesiano, definirá en

que cuadrante se ubica y definirá las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente con base en la

relación de los ángulos con 30, 60 y 45.

1. 120 2. 150. 3. 225. 4. 315. 5. 330. 6. 240. 7. 135. 8. 210.

Actividad 3.9. Resuelve los siguientes triángulos:



Actividad 3.10. Resuelve los siguientes triángulos oblicuángulos:



Actividad 3.11. Resolver los siguientes ejercicios:

Actividad 3.12. Determina el valor de x e y en el siguiente dibujo

Actividad 3.13. Determina el valor de x en los siguientes casos :



Actividad 3.14. Determina el valor de x en los siguientes casos:

Actividad 3.15. Realiza los siguientes problemas:

1. Un triángulo tiene lados 10 cm , 12 cm y 15 cm. a)Determina la medida del ángulo mayor. b) Determina el área de dicho triángulo.

2. Un poste está amarrado al suelo por dos cuerdas de 4 y 5 metros cada una, ubicadas en sentido contrario una de la otra. Si las bases de las cuerdas están colineales con la base del poste, y se encuentran a 7 m de distancia entre ellas:¿Qué ángulo forma cada cuerda con el piso?¿Cuál es la altura del poste?

3. Si miro hacia delante, observo un árbol cuya parte más alta tiene un ángulo de elevación de 40°, y se encuentra a 4 m de distancia de mí. Si miro hacia atrás, observo un poste cuya parte más alta tiene un ángulo de elevación de 60°, y se encuentra a 2 m de distancia de mí. Determina la distancia entra las partes más altas de ambos objetos. (despreciar la altura del sujeto)

4. El ángulo de elevación del tope de un edificio es de 50° desde un punto A. Desde ese mismo punto, el ángulo de elevación hasta el tope de una antena sobre el edificio es de 60°. Si la distancia desde el punto A hasta el tope de la antena es de 60 m, ¿Cuánto mide la antena, aproximada al metro?¿Cuánto mide el edificio aproximada al metro?¿Cuál es la distancia desde A a la base del edificio aproximada al metro?


45°

8cm

30°


5. Desde el puente de mando de un barco se observa un acantilado próximo con un ángulo de 40º. Si la distancia a la costa es de 500 m, calcula la altura del acantilado sabiendo que el puente de mando está a 6m y 8cm sobre el nivel del mar. ¿Con qué ángulo se observaría el acantilado, si el barco estuviese a 250 m de la costa?.

6. Si sabemos que un ángulo tiene de tangente 8/6, determina el resto de razones trigonométricas y dibuja exactamente el ángulo. Si una carretera estuviese inclinada con un ángulo igual al anterior, expresa su pendiente en % (valor de la tangente del ángulo por 100).

7. Calcula la altura del triángulo de la figura, así como el valor de los restantes lados. Si esta figura representa una parcela a escala 1: 5.000, calcula el perímetro y el área de la parcela expresada en Hectáreas (1Ha = 10.000 m2).

8. En un triángulo sabemos que dos de sus lados miden 14 y 16 m respectivamente y el ángulo que forman es de 30º. a) Calcula su altura y su área. b) Sabrías calcular el resto de ángulos y lados.

9. Un acantilado se ve desde el puente de mando de un barco bajo un ángulo de 34º, estando el punto de observación a 4m y 8cm de altura sobre el agua. Si nos aproximamos 160 m hacia la costa, el ángulo de observación es de 45º: a) Calcula la altura del acantilado. b) Distancia en línea recta al pico del acantilado desde el segundo punto de observación. c)¿Con qué ángulo se vería el pico del acantilado si el barco se retira a una distancia de 1Km de la costa?

10. El radio de un polígono regular de 6 lados mide 10 m. ¿Cuánto miden el lado y la apotema?

11. Calcula los ángulos de un rombo cuyas diagonales miden 14 cm y 8 cm.

12. Desde un barco se ve el punto más alto de un acantilado con un ángulo de 74º. Sabiendo que la altura del acantilado es de 200 m, ¿a qué distancia se halla el barco del pie del acantilado?

13. Si la sombra de un poste es la mitad de su altura, ¿qué ángulo forman los rayos del sol con el horizonte?

14. En un triángulo isósceles el lado correspondiente al ángulo desigual mide 7,4 m y uno de los ángulos iguales mide 63º. Halla la altura y el área.

15. Calcula el seno y el coseno de un ángulo cuya tangente vale 0.7.

16. Completa en tu cuaderno la siguiente tabla, haciendo uso de las relaciones fundamentales:

sen 0,94 4/5cos 0,82

tg 3,5 117. Calcula el valor exacto de las razones trigonométricas que faltan y el ángulo :



sen 1/3cos

tg 2

18. Desde la torre de control de un aeropuerto se establece comunicación con un avión que va a aterrizar. En ese momento el avión se encuentra a una altura de 1.200 m y el ángulo de observación desde la torre (ángulo que forma la visual hacia el avión con la horizontal) es de 30º. ¿A qué distancia está el avión del pie de la torre si ésta mide 40 m de alto?

Actividad 3.16. Realiza los siguientes problemas:

5. Un triángulo ABC tiene un ángulo recto C y dos ángulos agudos A y B. Los lados del triángulo AC y BC de ambos lados del ángulo recto C están dados como: (a) AC = 3 BC = 4 (b) AC = 5 BC = 12 (c) AC = 8 BC = 15

6. Conociendo A=30º, B=45º, a=1. Hallar los lados b y c y el ángulo C del triángulo7. Conociendo A=30º, B=45º, a=1. Hallar los lados b y c y el ángulo C del triángulo 8. En un triángulo isósceles ABC conocemos el lado BC=80m y el radio de la circunferencia inscrita r=24m. Calcular el área del triángulo y los lados iguales.9. Los lados de un triángulo miden respectivamente 13,14 y 15 cm. Hallar el seno de sus ángulos y el área del triángulo.



10. Hallar el área de un rectángulo sabiendo que una diagonal mide 60m y el ángulo obtuso que determinan sus diagonales es 120º. 11. Dos coches, con velocidades respectivas de 60km/h y 90km/h, toman dos carreteras que se bifurcan con un ángulo de 70º ¿Qué distancia habrá entre ellos a los 10 minutos de viaje? 12. Un viajero parte con una velocidad de 75km/h; a los 10 minutos se da cuenta de que se ha equivocado de carretera y toma otra que forma un ángulo de 130º con la anterior (a la misma velocidad) ¿A qué distancia del punto de partida se encuentra a los 20 minutos de haber tomado esta segunda carretera? 13. Tres personas están en tres puntos distintos de la orilla de un lago, la primera dista de la segunda 1 km, la segunda de la tercera 1.5km y ésta de la primera 2km ¿Qué ángulos forman entre sí dichas personas? ¿Qué superficie tiene el lago, si ésta es los 5/3 de la superficie del triángulo que forman las 3 personas? 14. Quieres encontrar el ancho de un río que no puedes cruzar. Por lo tanto, decides usar un árbol grande del otro lado del río como referencia. Desde una posición directamente opuesta al árbol, mides 50 m. a la orilla del río. Desde ese punto, el árbol está en una dirección a 37º de tu línea de 50 m. ¿Qué tan ancho es el río?15. Quieres encontrar la ubicación de una montaña tomando medidas desde dos puntos que se encuentran a 3 millas uno de otro. Desde el primer punto, el ángulo formado entre la montaña y el segundo punto es 78º. Desde el segundo punto, el ángulo formado entre la montaña y el primer punto es 53º. ¿Qué tan lejos está la montaña de cada punto?16. Calcular el área de un triángulo con lados de longitud 8 cm. y 6 cm. que forman un ángulo de 60º.

17. Está ascendiendo por un camino y ve un signo que le indica que tiene 5 grados, o sea que asciende 5 m por cada 100 m de camino. ¿Cuál es el ángulo entre el camino y la dirección horizontal? 18. Un aeroplano vuela a 170 km/s hacia el nordeste, en una dirección que forma un ángulo de 52° con la dirección este.

El viento está soplando a 30 km/h en la dirección noroeste, formando un ángulo de 20º con la dirección norte. ¿Cuál es la "velocidad con respecto a tierra" real del aeroplano y cuál es el ángulo A entre la ruta real del aeroplano y la dirección este?

19. En el triángulo ABC, la línea AB está a lo largo de una ribera estrecha. Medimos la distancia c = AB como 118 m, y los ángulos A y B tiene 63° y 55° . ¿Cuál es la distancia b = AC? 20. En un triángulo ABC, denominamos los ángulos (A,B,C) de acuerdo a sus esquinas ("vértices") y denominamos los lados (a,b,c), de tal forma que el lado a está enfrentado al ángulo A, el b con en ángulo B y el c con el C. Pruebe la "ley de los senos"

senA/a = senB/b



21. (a) Cuando un rayo de luz choca contra la superficie de una superficie plana de cristal, generalmente se desvía formando un ángulo. Dibuje una línea perpendicular al punto de la superficie donde incide el rayo. Si el rayo alcanza la superficie con una trayectoria que forma un ángulo A con la superficie, continúa dentro del cristal formando un ángulo B, donde

sen B = (sen A)/n

El número n ("índice de refracción") es una propiedad del cristal y es mayor que 1.

El problema: dando valores a A=0, 20, 40, 60, y 80 grados y n = 1.45, ¿cuál es el valor de B en cada caso?


Modulo_2[2]

Documents

Transcript of Modulo_2[2]