Op Econ Mica Parte2

Profesor: Dr. Miguel Arias Albornoz

CAP 1. Introduccin

CAP 2. Operacin en rgimen dinmico

CAP 4. Principios de Supervisin y Control

CURSO: Operacin y Control de SEE

Programa del curso

CAP 3. Operacin Econmica de SEP

Profesor : Dr. Miguel Arias Albornoz

DESPACHO ECONMICO CONSIDERANDO LAS PERDIDAS

En un sistema real la generacin debe suministrar la potencia demandada

por las cargas ms las perdidas (RI2).

Cuando se transmite energa, especialmente desde lugares alejados de los

centros de carga, las perdidas de potencia en la red de transmisin

adquieren especial relevancia.


Ejemplo 1

A) El generador G2 despacha 250 MW, considerando perdidas en la de lnea de 2%

Pg1 - 0.02Pg1 = 250 MW

0.98Pg1=250 ==>Pg1=255.1

Pc=500 MW

Pg1- 0.02Pg1 = Pc1

250 - 0.02250 = 245

Pg2=Pc-Pc =>500-245=255 MW

B) El generador G1 despacha 250 MW, considerando las perdidas en la lnea de 2%

G2

G1255.1 250

2505.1

G2

G1

250245

2555.0

Pc=500 MW, entonces:

Despacho Econmico de Carga


Formulacin Matemtica

( ) =

= m

i

i T Pg Ci minC 1

Funcin objetivo:

C L m P P Pg Pg Pg + = + + + ... 2 1 max i i min i Pg Pg Pg : _ s.a:

etc..... V (Pg f P i i L ; cos ; ; j); = Donde:

Solucin: aplicando el mtodo de Lagrange, se forma una funcin aumentada F tal que:

Condicin de optimalidad (costo mnimo de combustible):

0 =

i Pg

F Para i=1, 2, ..., m ==> m ecuaciones a resolver

)...(... 2121 CLgmggm PPPPPCCCF ++++++=



Ejemplo simplificado:

maxmin

maxmin

CCC

CL

T

PgPgPg

PgPgPg

PPP

PPPgPgas

CCminC

_22_2

_11_1

21

21

21

:..

+=

+=+

+= ( )CL PPPgPgCCF ++= 2121 De acuerdo con lo anterior: Por lo tanto:

01

=

Pg

F0

2

=

Pg

F

Condicin de optimalidad (costo mnimo):

y

G2G1

Pg1 R+jX

Pc2

Pg2

Pc1



0=

F


11

1

11

1

1

0Pg

P

Pg

C

Pg

P

Pg

C

Pg

F LL

+

==

+

=

1

11

11

1 1Pg

CL

Pg

P

Pg

C L

=

=

1

1

1

1

Pg

PL

L

=Donde:

O bien

=

+

=

22

2

22

2

2

10Pg

P

Pg

C

Pg

P

Pg

C

Pg

F LL

Anlogamente para el generador 2 se tiene:

2

22

Pg

CL

=

2

2

1

1

Pg

PL

L

=Donde:




En general, aplicando criterio de igual costo incremental, el costo de combustible

ser mnimo cuando:

m

m

mPg

CL

Pg

CL

Pg

CL

==

=

...

2

22

1

11

i

L

i

Pg

PL

=

1

1Donde: Con i =1,2,3,..,m

=

i

i

L

i

i

L

i

i

L

LPg

P

LPg

P

LPg

P

1

100

110

El trmino Li es llamado prdida incremental de la transmisin.

Se puede ver que Li varia con las prdidas:

Unidad generadora i es incrementalmente poco atractiva

Unidad generadora i es incrementalmente atractiva




Interpretacin Grfica

Consideremos un SEP con tres unidades de generacin.

3

33

2

22

1

11

Pg

CL

Pg

CL

Pg

CL

=

=

=

1

1

1

1

Pg

PL

L

=

2

2

1

1

Pg

PL

L

=

3

3

1

1

Pg

PL

L

=

Donde:

i

i

i Pg

C

L

=

Como , para graficar conviene hacer: ( )ii PgfC =



Interpretacin Grfica

Pg1 Pg2 Pg3

L3

L2

L1

Pgi

G1 G3

G2

El generador G1

tiene el mayor factor

de penalizacin, lo

cual significa que

frente a un aumento

de carga este

generador contribuye

con menor potencia

que las otras

unidades.



Ejemplo 2

04.001.0

16.004.0

32.008.0

04.01.0

jZ

jZ

jZ

jZ

d

c

b

a

+=

+=

+=

+=

12.003.0

04.001.0

16.004.0

jZ

jZ

jZ

g

f

e

+=

+=

+=

KVAV

MVAS

BASE

BASE

220

100

=

=Datos:

G1 G3G2

Pc1 Pc2 Pc3 Pc4

01=V

IaId Ig

If

78.01

1 =

Pg

C84.0

2

2 =

Pg

C86.0

3

3 =

Pg

C

Ib Ic Ie

I1 I2 I3



Ejemplo 2

3 2 23 3 1 13 2 1 12

2

3 33

2

2 22

2

1 11

2 2 2 Pg Pg B Pg Pg B Pg Pg B Pg B Pg B Pg B P L

+ + + + + =

Las prdidas en la transmisin estn dadas por:

009437 . 0

085505 . 0

12

11

=

=

B

B

019135 . 0

040993 . 0

23

22

=

=

B

B

027766 . 0

0591 . 0

13

33

=

=

B

B

Los factores Bij, llamados coeficientes de prdidas en la transmisin,

estn dados por:

Se pide: Determinar la generacin de cada unidad y el consumo total demandado

cuando del SEP es igual a 1 (US$/MWh)



Solucin

111

1 ==

+

Pg

P

Pg

C L

133

3 ==

+

Pg

P

Pg

C L

122

2 ==

+

Pg

P

Pg

C L

313212111

1

222 PgBPgBPgBPg

PL ++=

323222112

2

222 PgBPgBPgBPg

PL ++=

333223113

3

222 PgBPgBPgBPg

PL ++=

Se cumple que:



11.002766.0009437.0085505.0 321 =+ PgPgPg

08.0019135.0040993.0009437.0 321 =+ PgPgPg

07.0059100.0019135.0027766.0 321 =+ PgPgPg

Reemplazan los valores de los coeficientes Bii

( )

( )

( ) MWpuPg

MWpuPg

MWpuPg

9.304049.3

5.292925.2

3.195953.1

3

2

1

=

=

=

Resolviendo:

( ) MWpuPL 2.66662.0 =Adems:

MWPPgPgPgPc LT 5.726321 =++=

Por lo tanto el consumo total es:

TPcPcPcPcPc =+++ 4321


Solucin


Para un sistema con tres generadores, suponga conocidos los

coeficientes de prdidas. Los costos incrementales de combustible

de cada unidad estn dados por:

(US$/MWh) 7 . 1 004 . 0 1

1

1 + =

Pg Pg

C

(US$/MWh) 7 . 1 005 . 0 2 2

2 + =

Pg Pg

C

(US$/MWh) 8 . 1 006 . 0 3 3

3 + =

Pg

Pg

C

Determine la generacin de cada unidad y la potencia total demandada

cuando el valor de =2.2(US$/MWh)


Ejemplo 3


2.211

1 ==

+

Pg

P

Pg

C L

2.233

3 ==

+

Pg

P

Pg

C L

2.222

2 ==

+

Pg

P

Pg

C L 3132121111

222 PgBPgBPgBPg

PL ++=

323222112

2

222 PgBPgBPgBPg

PL ++=

333223113

3

222 PgBPgBPgBPg

PL ++=

Se cumple que:

322331132112

2333

2222

2111

222 PgPgBPgPgBPgPgB

PgBPgBPgBPL

++

+++=

Las prdidas estn dadas por:


Solucin


Reemplazando valores:

5.0122169.0041522.0380224.0 321 =+ PgPgPg

3.0084194.0185369.0041522.0 321 =+ PgPgPg

4.0266041.0084194.0122169.0 321 =+ PgPgPg

( )

( )

( ) MWpuPg

MWpuPg

MWpuPg

0.330300.3

0.265650.2

5.208085.2

3

2

1

=

=

=

Resolviendo:

( ) MWpuPL 0.69690.0 =

MWPPgPgPgPc LT 5.734321 =++=


Solucin


Ejemplo 4

Tres centrales generadoras alimentan un SEP cuya carga vara entre

100 y 300 MW. Los datos que se conocen son:

( )

( )

( )MWPKPPC

MWPKPPC

MWPKPC

ggg

ggg

gg

160408.110*4.1

100206.110*6.5

60203.2

333

2

3

3

3

222

2

2

3

2

1111

++=

++=

+=

( ) ( ) ( )

( ) ( )MWBMWBB

MWBMWBMWB

/110*0.1/110*2.1

/110*2.1/110*6.1/110*03.1

4

23

3

3322

4

23

4

12

3

11

===

===

Para operacin a igual costo marginal se pide :

El despacho econmico considerando las prdidas.



( )

( )

( )MWPKPPC

MWPKPPC

MWPKPC

ggg

ggg

gg

160408.110*4.1

100206.110*6.5

60203.2

333

2

3

3

3

222

2

2

3

2

1111

++=

++=

+=

( )

322331132112

2

333

2

222

2

111

321

321321

222

00

gggggggggL

DLggg

gi

DLggg

PPBPPBPPBPBPBPBP

PPPPPP

F

PPPPPCCCF

+++++=

=++=

++++=

Para iniciar el proceso de clculo, considerando demanda mnima, y sin

considerar prdidas, se tiene:

Pg1 = 0 ; Pg2 = 34.28 y Pg3 = 65.72 (MW).


Solucin


22

2

22

2

2

01g

L

gg

L

gg P

P

P

C

P

P

P

C

P

F

+

==

=

33

3

33

3

3

01g

L

gg

L

gg P

P

P

C

P

P

P

C

P

F

+

==

=

Adems 313112222

2

222 gggg

L PBPBPBP

P++=

323113333

3

222 gggg

L PBPBPBP

P++=


Solucin


Por lo tanto:

Considerando como valores iniciales :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 98.171.6528.34 0030

2 === MWPMWP gg

Se obtiene :

( ) ( ) ( ) 1.214.6 11 == MWPL

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k g

k

g

k

g

k k

g

k P P P P 3 1 2 2

1 12 . 0 16 . 0 2 . 1 002 . 0 6 . 1 0112 . 0 + + + =

+

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k g

k

g

k

g

k k

g

k P P P P 2 1 3 3

1 1 . 0 12 . 0 2 . 1 002 . 0 8 . 1 0028 . 0 + + + =

+

Completar el ejercicio!



Solucin computacional

Si se desea encontrar el

punto de operacin de

un conjunto de

unidades, de modo de

obtener mnimos costos

para satisfacer la

demanda, bastara

utilizar las curvas de

costo y una regla.

P1 P2 P3

Para la solucin computacional del problema de despacho econmico,

se puede implementar un algoritmo que resuelva las ecuaciones de

coordinacin en forma iterativa .



PRIMERA ITERACIN

|e|


Como se trata de procedimiento computacional iterativo, es necesario

establecer reglas de parada. Se utilizan las siguientes:

1. Es esencialmente una regla basada en el valor calculado en cada iteracin,

dentro de una tolerancia especificada.

2. Otra regla de parada es la cantidad de iteraciones. El algoritmo se detiene

cuando se excede un nmero mximo de iteraciones.

Cuando se trata de un sistema complejo, una manera de reducir el error es

utilizar el mtodo de NR para calcular el costo marginal , y disminuir la

diferencia con el valor deseado.



Factores de Participacin

P 0,003 + 2,3 = dP

dC

P 0,0015 + P 2,3 + 100 = C

MW300 = P MW, 60 = P

22

2

2222

mxmin

($/MWh) P 0,0025 + 2 = dP

dC

($/hr) P 0,00125 + 2P + 150 = C

MW 400P MW, 80 = P

11

1

2111

mxmin =

Situacin inicial de operacin: G1 : entrega 400 MW

G2 : entrega 200 MW.

$/hr. 1770 = C $/hr. 620 C

$/hr. 1150 T

2

1

C

De aqu, el costo de operacin para cada central es:

Aspectos Conceptuales


Los costos incrementales para cada generador, en esta condicin de operacin

son: dC

dP = 3 $ / MWh

dC

dP = 2,90 $ / MWh.

1

1

2

2

Modificando las condiciones para operacin a igual costo incremental,

se obtiene que:

= 2,9545 $ / MWh = dC

dP =

dC

dP

1

1

2

2

En este caso:

G 381,818 MW C = 1095,8672

G 218,182 MW C = 673, 22368 C = 1769,09

C = - 0,909 $ / hr.

1 1

2 2T

T

Esta reduccin en el costo total se hace nula para cambios incrementales

en torno a la generacin de cada unidad (con igual ).




Los factores de participacin ki determinan el porcentaje de cambio en

cada unidad de generacin, del total de cambio de carga en el sistema.

Si ki = 0, la unidad correspondiente no est disponible para aportar

incrementos de carga del sistema.

Debe cumplirse que ki = 1. As, la participacin de cualquier unidad en el

cambio de carga se determina multiplicando el cambio total de carga del

sistema por el factor de participacin correspondiente a la unidad.

Si ki=1, la unidad correspondiente aporta el total del incremento del

cambio de carga del sistema.




Si la carga aumenta, una buena estimacin para producir ese incremento

puede determinarse por el producto entre la variacin de carga y el costo

incremental (2,9545 $/hr.) en el punto de operacin anterior. As, si el

consumo aumenta en 1MWh, la nueva condicin de operacin para mnimo

costo incremental es:

$/MWh. ,955912 = con MW 218,6365 G

MW 382,3634 G

2

1

Este nuevo punto de operacin implica CT = 1772,0459 $/hrs., lo que

comparado con el punto de operacin previo implica un aumento de 2,955

$/hr. en el costo total por hora. Si una fuente externa ofrece energa a un

precio inferior a 2,955 $/MWh, sera ms econmico comprar que generar.

Si, en cambio, el precio ofrecido es mayor que 2,955 $/MWh, ser ms

conveniente generar con el propio sistema.




Para evitar estos clculos se puede tomar como valor referencial el costo marginal

en el punto de operacin anterior, en este caso 2,9545 $/MWh.

Un cambio de 0,01 $/MWh en el costo incremental correspondera a aumentos de

carga de 0,01/0,0025 (equivalente a 4 MW) en el generador G1, y 0,01/0,003

(equivalente a 3,333 MW) en el generador G2, implicando un aumento total de

7,333 MW en el consumo.

Para cambios incrementales en la generacin se observa que G1debe suministrar

4/7,333 veces (54,54%) del incremento en la carga, mientras que G2 entregar

3,333/7,333 veces (45,45%).

Estos porcentajes estn directamente relacionados con la inclinacin de las curvas

de costo incremental en el punto de operacin, para cada unidad de generacin.




Los factores de participacin son validos slo hasta que se realiza un

nuevo clculo de despacho econmico.

Los factores de participacin son tiles cuando los cambios de carga

son muy pequeos en torno al punto de operacin. En este caso la

reduccin en el costo, al aplicar criterio de igual costo marginal, resulta

insignificante.

Los costos incrementales se utilizan como un indicador para decidir

sobre la conveniencia de generar con una determinada central.

Proporcionan una estimacin de cunto costar generar un incremento de

carga, pudiendo entonces decidir entre generar o comprar la energa.




Clculo de los Factores de Participacin

1.-Se determinan los cambios de costo incremental para incrementos

pequeos de carga (dPg1,dPg2,...) en la salida de los generadores, y se

coordinan de modo que los costos incrementales sean iguales:

100

==

dPc

d

d

dPgi

dPc

dPgik i

iPgi

Ci

=

2

22

2 1

Pgi

Cid

dPgi

Pgi

Ci

dPgi

d

=

=


Dado un punto de operacin, los factores de participacin

se obtienen de la siguiente manera:

Justificacin:


2.-Encontrar el incremento requerido de generacin para el sistema:

3.-Determinar el cambio de costo incremental por cada MW de generacin

adicional requerido:

=++= dPgidPgdPgdPgdPc .........321

+

+

= .......

11

2

2

2

2

2

1

1

2

Pg

C

Pg

CddPc

+

+

=

.............11

1

2

2

2

2

2

1

1

2

Pg

C

Pg

C

dPc

d




4.- Finalmente

100

.............11

11

22

22

21

12

2

2

+

+

=

Pg

C

Pg

CPgi

CiKi

100

==

dPc

d

d

dPgi

dPc

dPgiK i




Ejemplo 3

G1: C1=150+2Pg1+0.00125Pg12[$/hr] 80Pg1400[MW]

G2: C2=100+2.3Pg2+0.0015Pg22[$/hr] 60Pg2300[MW]

Factores de participacin:

100

0015.02

1

00125.02

1

1

00125.02

11

+

=K

10011

1

1

1

11

2

2

2

2

2

1

1

22

2

+

=

Pg

C

Pg

CPg

CK



%54.54100

003.0

1

0025.0

1

1

0025.0

11 =

+

=K

%45.45100

003.0

1

0025.0

1

1

003.0

12 =

+

=K


Ejemplo 3

Op Econ Mica Parte2

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