PROGRAMACIÓ DIDÀCTICA - sergidelmoral.net · rem en tots dos cursos i des de totes les matèries...

OFERTA PÚBLICA D’OCUPACIÓ PER A PLACES DE FUNCIONARIS

DOCENTS DE LA GENERALITAT DE CATALUNYA COS DE PROFESSORS D’ENSENYAMENT SECUNDARI

Juny i juliol de 2009

PROGRAMACIÓ DIDÀCTICA Especialitat en matemàtiques

Aspirant:

Sergi del Moral Carmona

DNI 43554479T

Aquest document forma part dels requisits corresponents a la part B de les pro-

ves per a la provisió de places de funcionaris docents convocada pel Departament

d’Educació de la Generalitat de Catalunya, DOGC Núm. 5332–5.3.2009.

2009-2010

PROGRAMACIÓ DIDÀCTICA Batxillerat, modalitat en Ciències i Tecnologia

Matemàtiques II

Sergi del Moral Carmona

i Introducció

ÍNDEX

1. Introducció ........................................................................................................................................... 1

2. Contextualització ................................................................................................................................ 2

2.1. Característiques del centre i de l’alumnat ........................................................................................ 2

2.2. Recursos espacials i materials del centre .......................................................................................... 3

3. Competències ...................................................................................................................................... 3

3.1. Competències generals del batxillerat .............................................................................................. 4

3.2. Competències específiques de la matèria de Matemàtiques .................................................... 6

4. Objectius .............................................................................................................................................. 7

4.1. Objectius del curs ..................................................................................................................................... 9

5. Continguts generals del curs ............................................................................................................. 9

6. Metodologia ...................................................................................................................................... 11

6.1. On són les matemàtiques? ................................................................................................................... 12

6.2. Ús de noves tecnologies ..................................................................................................................... 14

6.3. Atenció a la diversitat ........................................................................................................................... 15

6.4. Connexions amb altres àrees ............................................................................................................ 16

6.5. Activitats complementàries ............................................................................................................... 16

7. Criteris i instruments d’avaluació ................................................................................................... 18

7.1. Criteris d’avaluació ................................................................................................................................ 18

7.2. Instruments d’avaluació ...................................................................................................................... 19

8. Unitats didàctiques ........................................................................................................................... 22

ÀLGEBRA LINEAL .................................................................................................................................................. 22

8.1. Matrius ...................................................................................................................................................... 23

8.2. Determinants .......................................................................................................................................... 26

8.3. Sistemes d’equacions lineals ............................................................................................................. 29

ii Introducció

GEOMETRIA A L’ESPAI ......................................................................................................................................... 32

8.4. Vectors a l’espai ...................................................................................................................................... 33

8.5. Rectes i plans a l’espai .......................................................................................................................... 36

8.6. Mètrica de l’espai ................................................................................................................................... 39

ANÀLISI .................................................................................................................................................................... 42

8.7. Límits ......................................................................................................................................................... 43

8.8. Continuïtat ............................................................................................................................................... 46

8.9. Derivabilitat ............................................................................................................................................. 49

8.10. Aplicació de la funció derivada: monotonia i optimització ..................................................... 52

8.11. Integral indefinida ................................................................................................................................. 55

8.12. Integral definida ..................................................................................................................................... 58

A. ON SÓN LES MATEMÀTIQUES? ....................................................................................................... 61

A.1. APROXIMACIÓ AL TRACTAMENT D’IMATGES USANT LLENGUATGE MATRICIAL ............. 61

A.2. GEOMETRIA I BOMBOLLES DE SABÓ ............................................................................................... 67

B. Calendari acadèmic per blocs de coneixement ............................................................................ 71

Referències ............................................................................................................................................... 72

1 Introducció

“La ment no és un vas que s‘hagi d’omplir, sinó un foc que s’ha d’encendre.” Plutarc, biògraf i polític grec, aprox. 50-125

1. INTRODUCCIÓ

L'educació escolar ha d'afavorir la formació integral dels i les alumnes, i atendre al seu desen-

volupament intel·lectual, físic i social. Per tant, qualsevol iniciativa educativa ha d'estar adreçada a

integrar l'alumnat en una cultura àmplia, canviant i propera a la seva experiència, així com la for-

mació d'un pensament reflexiu i crític.

El batxillerat és l’etapa de l’educació secundària post obligatòria que té com a finalitat propor-

cionar a l’alumnat formació, maduresa, coneixements i destreses que li permetin progressar en el

seu desenvolupament personal i social, amb la intenció de que aquestes capacitats garanteixin la

incorporació a la vida activa i/o a l’educació superior [2]. En aquest procés el paper del cos docent

va més enllà de la presentació de coneixements acabats, el professor/a ha de guiar el procés d'en-

senyament i aprenentatge, ha d’esdevenir un nexe motivant entre l'alumnat, el material curricular

i les activitats teòriques i pràctiques.

La programació didàctica ha de servir com a eix vertebrador de la tasca docent, afavorint

l’assoliment dels objectius del procés d’ensenyament i aprenentatge. Subjecte a millores i actua-

litzacions constants, la programació didàctica ens ajudarà a donar coherència a la pràctica docent

en relació a les nostres intencions educatives, proporcionant elements d'anàlisi, revisió, avaluació

i reflexió del projecte educatiu del centre i de la pròpia pràctica educativa.

Les idees que fonamenten aquesta programació didàctica es poden il·lustrar amb la següent

analogia. Els cossos de gran part dels éssers vius, i el nostre en particular, es componen majorità-

riament d’aigua, però es desplomarien si no fos perquè hi ha un esquelet, que a més de ser la part

2 Contextualització

més permanent, és la que dóna forma als organismes. De manera similar, les matemàtiques

s’apliquen i són presents en innombrables activitats humanes, certament en tota tecnologia, i de

forma especialment rotunda en les tecnologies més recents [10]. Destaquem però, que mentre

no hi ha ningú que desconegui quan fonamental és el paper de l’esquelet en la naturalesa, és en

canvi sorprenent la desconeixença general de la presència decisiva de la matemàtica en la vida

quotidiana i en el funcionament de la societat. D’altra banda, aquesta desconeixença és incom-

prensible si tenim en compte els inestimables beneficis docents que podem obtenir en integrar

aquesta connexió en el procés d’ensenyament i aprenentatge. En conseqüència, aquesta pro-

gramació aposta per una docència on la presència de les matemàtiques en la vida quotidiana en

sigui el fil conductor.

L’estructura del document és la que segueix. A la secció 2 es contextualitza la programació, es

descriuen les característiques del centre i l’alumnat, i els recursos disponibles al centre. A la secció

3 es presenten les competències generals del batxillerat i les específiques del l’assignatura de Ma-

temàtiques, mentre que a la secció 4 es s’enumeren els objectius de l’etapa i del curs. A la secció 5

s’exposen els continguts generals del curs i a les seccions 6 i 7 la metodologia i els criteris i ins-

truments d’avaluació respectivament. En la secció 8 es desenvolupen les unitats didàctiques.

Referent al material complementari, l’annex A és una guia per a la realització de les activitats ex-

perimentals proposades. Finalment, l’annex B és el calendari acadèmic amb la distribució

temporal del desenvolupament de les unitats didàctiques i els blocs de coneixement.

2. CONTEXTUALITZACIÓ

2.1. Característiques del centre i de l’alumnat

El centre educatiu objecte d’aquesta programació didàctica és un Institut d’Ensenyament Se-

cundari en el qual, a més de l’etapa d’Ensenyament Secundari Obligatori, s’imparteix el batxillerat

en les modalitats de Humanitats i Ciències Socials i Ciències i Tecnologia, amb un grup de entre 20 i

30 alumnes/as per modalitat.

El centre està situat al nucli urbà de la ciutat de Barcelona, en un barri perifèric de nivell socio-

econòmic mig. L’assignatura de Matemàtiques II forma part de la modalitat de Ciències i

3 Competències

Tecnologia, per tant, es tracta d’un alumnat amb perfil científico-tecnològic que dins el seu con-

text socioeconòmic té intenció d’incorporar-se a estudis posteriors. A excepció dels i les alumnes

nous, la resta prové del cicle d’ensenyament secundari impartit al centre, per tant, el nivell de co-

neixements es relativament homogeni.

2.2. Recursos espacials i materials del centre

Les instal·lacions de l’ Institut són relativament velles però disposa de recursos espacials i ma-

terials suficients per a desenvolupar l’etapa docent de batxillerat i, en particular, el curs de

Matemàtiques II dissenyat en aquesta programació.

El centre disposa d’una Aula d’Informàtica, amb ordinadors i el programari necessari per a fer

ús de les possibilitats docents que ofereixen les tecnologies de la informació (TIC), i d’un Labora-

tori Audiovisual i Plàstica, amb material i instruments per a realitzar activitats experimentals. L’ús

de tots dos espais es compartit amb la resta de departaments.

El departament de Matemàtiques compta amb un canó de projecció, calculadores científi-

ques, un petit recull de bibliografia i d’altres materials complementaris.

3. COMPETÈNCIES

“Si una persona és perseverant, malgrat sigui dura d’enteniment, es farà intel·ligent; i malgrat sigui dèbil es transformarà en forta.”

Leonardo da Vinci ,savi, artista i inventor italià, 1452-1519

En aquesta secció es descriuen les competències generals del batxillerat i les específiques de

l’assignatura de Matemàtiques. Entenem per competència l’aplicació de coneixements i destreses

en la resolució de problemes i situacions complexes.

L’assoliment de les competències avança paral·lelament a l’adquisició de coneixements, des-

treses i actituds. Per això, totes les decisions docents recollides en aquesta programació en

referència als continguts, els objectius, la metodologia i els criteris d’avaluació estan adreçades a

afavorir l’assoliment d’aquestes.

4 Competències

3.1. Competències generals del batxillerat

Les matèries del batxillerat s’orienten i estructuren en coherència amb les etapes educatives

anteriors i els ensenyaments superiors, mobilitzant recursos adquirits en diferents moments del

trajecte acadèmic, que sovint depenen de diverses disciplines o de l’experiència adquirida [2].

En el batxillerat s’identifiquen sis competències generals i comunes íntimament relacionades.

A continuació es descriuen els aspectes que, segons recull el currículum de batxillerat, exercita-

rem en tots dos cursos i des de totes les matèries per a aconseguir un aprenentatge competencial

integral:

1. Competència comunicativa

El desenvolupament de la competència comunicativa comporta el domini de les llengües,

tant oralment com per escrit, en múltiples suports i amb el complement d’altres llenguat-

ges, p. ex. audiovisual, corporal o plàstic. L’ensenyament de la matemàtica que proposa

aquesta programació, a través de la resolució de problemes, contribueix decisivament a

l’assoliment d’aquesta competència ja que parteix de l’experimentació i l’observació, i faci-

litant el descobriment s’arriba a l’establiment de conjectures.

2. Competència en gestió i tractament de la informació

La competència en gestió i tractament de la informació és el conjunt de capacitats i des-

treses que permeten mobilitzar recursos per trobar, reunir, seleccionar i analitzar

informacions procedents de fonts diverses i en diferents suports. L’adquisició d’aquesta

competència s’aborda a dos nivells:

a. El maneig de la informació. D’una banda, tenir en compte quina informació cal cer-

car i, de l’altra, desenvolupar un conjunt de procediments genèrics adequats

seguint aquests passos: (1) identificar i localitzar la informació, (2) seleccionar la in-

formació rellevant per la demanda, (3) accedir al ventall de fonts que calgui, i (4),

avaluar la qualitat i la fiabilitat.

b. La gestió de la informació obtinguda per tal de generar coneixement. Les activitats

d’ensenyament i aprenentatge segueixen una seqüència clara per tal de que

5 Competències

l’alumnat assoleixi les capacitats necessàries per a analitzar, contrastar, interpretar

la informació i, finalment, sintetitzar i comunicar els resultats obtinguts.

3. Competència digital

La competència digital és la facultat d’aplicar en situacions singulars diverses, de caràcter

acadèmic, social o personal, el conjunt de capacitats i destreses derivades dels coneixe-

ments teòrics i pràctics bàsics de la societat de la informació. Per al desenvolupament

d’aquesta competència introduïm en les activitats d’aprenentatge eines tecnològiques, ai-

xí com el tractament de la informació i l’ús de les possibilitats comunicatives i creatives de

les xarxes virtuals.

4. Competència en recerca

S’entén per competència en recerca la facultat de mobilitzar els coneixements i els recur-

sos adients per tal de trobar respostes a preguntes o per resoldre problemes rellevants

que encara no s’han solucionat en el nivell de coneixements, destreses i actituds que es

posseeixen. Els procediments lligats a la recerca —formulació d’hipòtesis i d’objectius,

tractament de la informació, interpretació i argumentació, redacció de conclusions i expo-

sició oral dels resultats— són presents i s’exerciten globalment en les activitats

d’aprenentatge.

5. Competència personal i interpersonal

La competència personal i interpersonal és la facultat d’aplicar el conjunt de capacitats i

destreses que permeten, d’una banda, l’autoconeixement i el coneixement dels altres i, de

l’altra, treballar en entorns col·laboratius. La competència personal i interpersonal es cons-

trueix:

a. A través d’activitats d’aprenentatge que ajuden més a cultivar la intel·ligència

emocional, és a dir, l’autoconeixement, la comprensió dels sentiments propis,

l’habilitat de reflexionar sobre les pròpies experiències i la capacitat de fer-se una

imatge ajustada de si mateix.

b. Per mitjà d’activitats que mobilitzen la capacitat de treballar en equip i de fer pro-

jectes en comú, la capacitat assertiva i dialògica, la mediació en la resolució

6 Competències

pacífica de conflictes, l’acceptació de la diferència i de la diversitat cultural, la ca-

pacitat d’escoltar, de comunicar i d’aprendre dels altres.

6. Competència en el coneixement i la interacció amb el món

Aquesta competència mobilitza capacitats que, d’una banda, afavoreixen la interacció en-

tre les persones i la naturalesa, i de l’altra, fan referència a la societat i als valors de la

ciutadania per tal de dirigir reflexivament les accions cap a la seva millora. El tractament

d’aquesta competència ha de permetre que l’alumnat comprengui críticament la realitat

social que l’envolta, i analitzi els problemes socials des d’un punt de vista local i alhora

global.

3.2. Competències específiques de la matèria de Matemàtiques

La competència matemàtica és l’habilitat per a desenvolupar i aplicar el raonament matemàtic

amb la finalitat de resoldre problemes en situacions diverses. Ser competent en matemàtiques

requereix tenir uns coneixements, capacitats i habilitats que han de facilitar que l’alumna/e pugui

i vulgui afrontar els reptes que se li plantegen.

Són objectiu d’atenció del treball docent a l’aula els cinc vessants següents de l’activitat ma-

temàtica:

1. Resoldre problemes matemàtics

2. Comunicar-se matemàticament

3. Raonar matemàticament

4. Valorar la matemàtica i la seva construcció

5. Tenir confiança en la pròpia capacitat matemàtica

Ser matemàticament competent requereix, entre altres coses, l'assoliment gradual de la capa-

citat i la voluntat per pensar en la recta, el pla i l'espai, cercar arguments que aportin solidesa als

patrons descoberts, representar construccions, gràfics o diagrames, construir, interpretar i emprar

adequadament fórmules. En resum, copsar la naturalesa de la matemàtica i dels objectes amb

què treballa aquesta ciència.

7 Objectius

La competència matemàtica es treballa paral·lelament en els vessants següents:

1. Competència en modelització

La competència en modelització matemàtica s'entén com el procés pel qual s'interpreta

matemàticament una determinada situació per tal de conèixer el seu comportament i con-

trolar-la. Aquesta programació proposa seqüències d'aprenentatge en els quals la

resolució de problemes forci l’alumne/a a fixar l'atenció en la situació plantejada, cercar re-

lacions entre les variables implicades i descobrir patrons generals per tal d'obtenir un

model que, amb un nivell de sofisticació gradual, permeti interpretar el problema plante-

jat.

2. Competència en contextualització

La competència en contextualització és essencial en l’etapa educativa del batxillerat i con-

sisteix en que l’alumnat sigui capaç de reconèixer els diferents àmbits d’aplicació de les

matemàtiques i, en particular, dels coneixements adquirits. Les seqüències d'aprenentatge

i recursos didàctics faciliten que les vinculacions amb la realitat de l'estudiant donin lloc a

resultats útils més enllà dels models concrets emprats.

3. Competència en experimentació

La competència en experimentació impregna tot el treball científic. Si l’alumna/e no crea

no genera coneixement. Mitjançant la resolució de problemes, la matemàtica ensenya a

saber actuar quan ens equivoquem, i a no mantenir una postura inflexible a causa de no

voler assumir els errors comesos. Les noves tecnologies contemplen l'experimentació i la

comunicació de les idees matemàtiques per donar pas al raonament matemàtic i a la co-

municació oral i escrita de les idees.

4. OBJECTIUS

“El perill de les matemàtiques, si es prenen seriosament, és que són extremadament divertides”

Pilar Bayer, catedràtica d’Àlgebra de la Universitat de Barcelona

Un cop superada la fase més instrumental, que prioritza l’aprenentatge d’uns certs continguts

fonamentals per a la vida en la nostra societat, la formació en l’etapa del batxillerat prioritza la

formació humana i creativa dels i de les alumnes, així com el seu pensament crític.

8 Objectius

Són objectiu de la matèria de matemàtiques del batxillerat el desenvolupament de les capaci-

tats següents:

1. Reconèixer situacions reals concretes on la matemàtica és un instrument necessari per orga-

nitzar i interpretar informació, i per prendre decisions ben fonamentades.

2. Aplicar i relacionar els conceptes i procediments apresos, en diferents àmbits de les ciències

i de la tecnologia, resolent situacions-problema que facin palesa la interconnectivitat de

les diferents parts de la matemàtica i els diferents rols que aquesta pot tenir.

3. Decidir quins models matemàtics, entre els estudiats, s’ajusten millor a determinades situaci-

ons que es puguin plantejar en la vida quotidiana de l’alumnat, saber representar-los

simbòlicament, aplicar-los i extreure’n conclusions.

4. Usar les eines tecnològiques com ara els fulls de càlcul, programes de càlcul simbòlic i de

representació gràfica que permetin l’exploració, la simulació i la representació per tal de

fer emergir i entendre conceptes i procediments matemàtics.

5. Consolidar la idea que la matemàtica és un bon instrument per a l’aplicació del mètode cien-

tífic, explorant situacions que comportin planificació, experimentació, formulació de

conjectures i la seva consolidació.

6. Reconèixer diferents tipus de raonaments propis de les matemàtiques: analogia, inducció,

deducció i reducció a l’absurd. En particular, incorporar al propi bagatge cultural tot el

que suposen les demostracions deductives.

7. Saber fer càlculs senzills, tant aritmètics com algèbrics per, entre altres, poder fer estimaci-

ons raonables i controlar possibles errors en l’aplicació dels nous procediments apresos.

8. Distingir entre fenòmens certs i probables, i caracteritzar-los quantitativament amb la con-

següent capacitat d’anàlisi i estructuració de la informació continguda en un conjunt de

dades.

9. Valorar la potència dels recursos i models estadístics per analitzar i interpretar dades, i conèi-

xer que cal tenir en compte les seves limitacions i ser crític amb el seu mal ús.

9 Continguts generals del curs

10. Incorporar al propi vocabulari elements propis del llenguatge matemàtic per tal de transme-

tre missatges en contextos on és especialment necessària la comunicació científica.

4.1. Objectius del curs

Els objectius específics per al segon curs del batxillerat que planteja aquesta programació di-

dàctica es detallen en cada una de les unitats didàctiques (veure secció 8).

5. CONTINGUTS GENERALS DEL CURS

"Educació és el que queda després d’oblidar el que s’ha après a l’escola" Albert Einstein

Els continguts de la matèria de matemàtiques expressen els aspectes més rellevants pel que

fa als conceptes que cal que l’alumne/a aprengui, als processos matemàtics que orienten com

l’alumne/a ha de desenvolupar l’aprenentatge i a les actituds que cal desenvolupar en l’alumnat.

En el currículum del Batxillerat LOE els continguts de Matemàtiques II és divideixen en tres

blocs de coneixement: àlgebra lineal, geometria a l’espai i anàlisi. Els continguts actitudinals són,

majoritàriament, transversals al desenvolupament dels continguts conceptuals i procedimentals.

Al bloc d’àlgebra lineal es treballa el llenguatge matricial com a eina per a expressar i resol-

dre problemes relacionats amb l’organització de dades. Com per exemple l’ús de les matrius per a

resoldre sistemes d’equacions lineals o representar transformacions geomètriques. Es treballen

doncs operacions matricials, els conceptes de determinant i rang, i el càlcul de la inversa d’una

matriu. I s’estén el llenguatge matricial al plantejament i la resolució de problemes de context

tecnològic i/o científic.

El bloc de geometria a l’espai s’ocupa de donar les eines necessàries per a ser capaços inter-

pretar geomètricament els sistemes d’equacions lineals amb tres incògnites. Es defineixen

conceptes com el de vector lliure, dependència i independència lineal, equacions de la recta i el

pla, i posicions relatives. Així mateix és donen les eines necessàries per a plantejar i resoldre pro-

blemes mètrics a l’espai com el càlcul d’angles, distàncies, àrees i volums fent ús de conceptes tals

10 Continguts generals del curs

com producte escalar, vectorial i mixt. Finalment, el bloc d’anàlisi tracta, (1) l’estudi local i global

d’una funció i (2) el càlcul d’àrees planes.

En l’estudi local i global de funcions s’introdueix formalment el concepte de límit, i es treba-

llen aspectes fonamentals com són la continuïtat i derivabilitat de les funcions. Amb aquestes

eines, es presenten resultats teòrics referents a la derivabilitat d’una funció i diverses aplicacions

de la funció derivada com els problemes d’optimització, l’estudi de la monotonia i la representa-

ció gràfica d’una funció. Finalment es tracta el problema del càlcul d’àrees planes mitjançant el

càlcul integral, introduint la integral indefinida i la integral definida, així com la utilitat d’aquesta

última per a calcular àrees de figures planes i volums de cossos de revolució.

Els blocs de coneixement es divideixen en unitats didàctiques (veure Taula 1), i l’estructura de

les unitats didàctiques és la que segueix. S’inicien amb un breu comentari per tal de donar una

perspectiva general contextualitzada de la unitat dins el procés d’ensenyament. Orientativament

es dóna una estimació del nombre de sessions que, tenint en compte la distribució d’hores del

currículum de batxillerat, és recomanable dedicar al desenvolupament de cada unitat.

S’enumeren els objectius d’aprenentatge principals i a continuació es presenten els continguts de

la unitat segons la seva naturalesa conceptual, procedimental o actitudinal. Finalment es descri-

uen els aspectes metodològics diferenciant la seqüència d’aprenentatge i els recursos didàctics

específics de cada unitat.

Àlgebra lineal 1. Matrius

2. Determinants

3. Sistemes d’equacions lineals

Geometria a l’espai 4. Vectors a l’espai

5. Rectes i plans a l’espai

6. Mètrica de l’espai

Anàlisi 7. Límits

8. Continuïtat

9. Derivabilitat

10. Aplicació de la funció derivada:

monotonia i optimització

11. Integral indefinida

12. Integral definida

Taula 1: Estructura dels blocs de coneixement i de les unitats didàctiques

11 Metodologia

6. METODOLOGIA

"A teacher is one who makes himself progressively unnecessary." Thomas Carruthers,

Subratllem quatre principis bàsics per tal d’aconseguir un aprenentatge significatiu amb im-

portants implicacions metodològiques en la tasca docent:

1. Assimilació activa dels coneixements

El procés d'aprenentatge serà òptim si l'alumnat participa individual i col·lectivament en

la construcció del seu propi coneixement. Per tal d’incentivar aquesta participació (1) es

proposen experiències rellevants respecte als coneixements apressos, com les connexi-

ons amb altres àrees (veure 6.4), les activitats On són les matemàtiques? (veure 6.1) o l’ús

de noves tecnologies (veure 6.2), (2) es revisen els coneixements previs a cada unitat, i

(3), es fomenta la interacció entre l’alumnat, els docents i els continguts a partir de la par-

ticipació a l’aula i la creació d’espais de treball col·lectiu tant presencials com virtuals.

2. Construcció, organització i modificació dels coneixements

Construir i organitzar els coneixements són aspectes metodològics amb una repercussió

crítica en l’èxit del procés d’aprenentatge. En aquesta programació didàctica els proces-

sos d’aprenentatge parteixen dels continguts, tant conceptuals com procedimentals o

actitudinals, i dels objectius didàctics, garantint una construcció i organització lògica dels

coneixements i facilitant la modificació dels mateixos en funció de les necessitats especí-

fiques de l’alumnat (veure 6.3).

3. Diferenciació progressiva dels continguts

Cal que l’enriquiment dels coneixements previs a l’aprenentatge sigui progressiu. La or-

ganització prèvia del material docent així com la presentació lògica dels continguts

afavoreixen el procés d’aprenentatge significativament. Els continguts d’aquesta pro-

gramació segueixen una seqüència lògica de tal manera que l’alumne/a els pugui

relacionar amb el seu esquema cognitiu previ.

4. Promoció de l’esforç i el treball personal

Totes les consideracions metodològiques estan condemnades al fracàs si no aconseguim

12 Metodologia

que l’alumne/a participi i, en certa manera, es faci càrrec del seu procés d’aprenentatge.

En aquest sentit, la transmissió de l’esperit de sacrifici i esforç, així com a saber valorar-ne

les recompenses, ha d’estar present en les iniciatives i actuacions docents.

Els objectius d’aprenentatge, la distribució temporal de les unitats didàctiques, els continguts,

les seqüències d’activitats i els recursos didàctics tenen en compte aquestes consideracions me-

todològiques per tal d’optimitzar els resultats de la tasca educativa i de l’aprenentatge de les i

dels alumnes.

A continuació es detallen un seguit d’iniciatives, eines i activitats que tenen en compte trans-

versalment en major o menor grau els aspectes metodològics citats anteriorment.

6.1. On són les matemàtiques?

Gran part de les branques de la matemàtica tenen presència en alguna aplicació, l’activitat

matemàtica és present arreu, diàriament i en incomptables ocasions, però sovint aquesta presèn-

cia no és desprèn de l’ensenyament a l’aula. Encara que només sigui accessòriament, o fins i tot

accessòriament, és crític transmetre la presència decisiva de la matemàtica en la vida quotidiana i

en el funcionament de la societat, amb especial interès per aquells àmbits que siguin propers a

l’alumnat.

Per tal de vincular els entorns d’aprenentatge amb la realitat de l’estudiant aquesta progra-

mació didàctica proposa tres activitats experimentals anomenades On són les matemàtiques?. En

aquestes activitats educatives l’alumnat pot aplicar allò que ha aprés en contextos diferents i en

relació a qüestions diverses, significatives i funcionals. La durada de les activitats és, depenen del

cas, de no més de tres sessions, i es poden comprimir/estendre en funció de les capacitats de

l’alumnat i al ritme d’assoliment dels objectius generals.

A la pàgina següent es descriuen breument els objectius, els continguts i els aspectes logístics

de cada una de les activitats On són les matemàtiques? proposades (veure els annexos A.1 i A.2 per

a una descripció més completa).

13 Metodologia

BLOC I: ÀLGEBRA LINEAL

APROXIMACIÓ AL TRACTAMENT D’IMATGES DIGITALS USANT LLENGUATGE MATRICIAL

Objectiu Establir un lligam entre la matemàtica teòrica i el tractament d’imatges digitals. Posar

en pràctica conceptes i procediments apressos amb anterioritat. Facilitar eines neces-

sàries per a que l’alumne sigui capaç de reproduir i ampliar les tècniques apresses.

Contingut Àlgebra lineal. Representació d’una imatge matricialment. Operacions matricials.

Tractament digital d’imatges. Aplicacions: mèdica, fotografia, ...

Logística • Aula d’ordinadors amb el software GNU Octave

• Guió orientatiu (veure A.1)

BLOC II: GEOMETRIA A L’ESPAI

GEOMETRIA I BOMBOLLES DE SABÓ

Objectiu Constatar d’una manera lúdica i divertida les possibilitats que ofereixen les matemà-

tiques per a descriure i predir processos naturals i, en particular, la geometria del

comportament de les bombolles de sabó tot entrellaçant-hi diversos conceptes tre-

ballats a l’aula.

Contingut Geometria a l’espai. Posicions relatives de plans i rectes, àrees, volums, angles, etc.

Descripcions verbals usant vocabulari geomètric. Descripcions gràfiques de represen-

tacions planes d’objectes tridimensionals.

Logística • Aigua, sabó, glicerina i una galleda

• Filferro tou o canyetes (estructures)

• Guió orientatiu (veure A.2)

BLOC III: ANÀLISI

OPTIMALITAT DEL TETRABRIK

Objectiu Són nombrosos els àmbits, procediments i productes on hi ha involucrat d’una o altra

manera un procés d’optimització. En són la llauna o el tetrabrik, el pla Cerdà,

l’aprenentatge automàtic o les bombolles). Aquesta activitat pretén crear un lligam

entre aquests àmbits, procediments i productes amb els conceptes d’optimització i

representació de funcions desenvolupats durant aquest curs.

Contingut Anàlisi. Optimització. Representació gràfica de funcions.

Logística • Projector

• Col·lecció d’objectes optimitzats (llauna, tetrabrik, mapa Barcelona, ... )

14 Metodologia

6.2. Ús de noves tecnologies

Cal incidir en la comprensió dels processos matemàtics però procurant no caure en l’execució

de rutines que amb tanta facilitat poden inundar el temps disponible dels alumnes. Una manera

d’evitar-ho és fer ús de l’experimentació amb les aplicacions que ens ofereixen les tecnologies de

la informació (TIC). En la realitat d’aquest moment, l’alumne empra aparells tecnològics amb faci-

litat i freqüència; per tant, i a fi que en faci un ús correcte cal que disposi de la guia i l’orientació

del professorat. El programari que permet efectuar càlculs numèrics o simbòlics pot conduir a

incrementar l’exposició de resultats tancats, ja que les seves aplicacions poden ser exemples reals

que, tot i ser rutinaris, requereixen gran potència de càlcul.

A la Taula 2 es descriu la selecció dels recursos tecnològics que s’utilitzen, en major o menor

mesura, per a l’assoliment dels objectius contemplats en aquesta programació.

GeoGebra

GeoGebra és un software de matemàtica especialment indicat per a

l’ensenyament secundari i el batxillerat que reuneix aplicacions de geometria,

àlgebra i càlcul [6].

Descartes

Descartes és una iniciativa del govern espanyol per a promoure noves for-

mes d’ensenyament de les matemàtiques integrant les TIC a l’aula. Es tracta

d’un conjunt d’applets (programa en llenguatge Java) configurables dissenyats

per a presentar interaccions educatives amb nombres, funcions i gràfiques [7].

WIRIS

WIRIS és una plataforma online per a realitzar càlculs matemàtics dissenya-

da per a l’ensenyament de les matemàtiques. Consisteix en una pàgina web

html amb una barra d’eines que permet, per citar alguns exemples, calcular

integrals i límits, representar funcions planes i a l’espai i manipular matrius [8].

GNU Octave

GNU Octave és un llenguatge de programació pensat per a fer càlculs nu-

mèrics. A través d’una línia de comanda es poden resoldre grans quantitats de

problemes [9]. Es tracta d’una eina complexa per al nivell de batxillerat però el

seu ús estarà curosament tutoritzat.

Taula 2: Selecció de recursos tecnològics usats en el desenvolupament de continguts i assoliment objectius

15 Metodologia

6.3. Atenció a la diversitat

L’atenció a la diversitat de l’alumnat s’ha de fonamentar en tots els elements que constituei-

xen el currículum, principalment en la planificació i l’aplicació d’estratègies metodològiques i

organitzatives i en la provisió de les ajudes tècniques necessàries per facilitar l’accessibilitat als

aprenentatges a tot l’alumnat [2]. Per aquest motiu es proposen actuacions a tres nivells:

1. Atenció a la diversitat de preparació prèvia

L’estructura piramidal del coneixement matemàtic i, en particular, la del contingut sistè-

mic del currículum del batxillerat fa especialment rellevant tenir en compte la preparació

prèvia de l’alumnat en iniciar cada unitat didàctica. Cada unitat didàctica inclou els con-

ceptes previs necessaris per a afrontar-la.

2. Atenció a la diversitat d’aptituds i ritmes d’aprenentatge

Els alumnes han de disposar en tot moment d’eines i recursos adequats al seu propi ritme

d’aprenentatge sense perdre de vista els objectius generals del batxillerat. Les seqüències

d’aprenentatge i els recursos didàctics proposats a les unitats són prou rics, extensos i ex-

haustius per tal d’atendre satisfactòriament la diversitat d’aptituds i ritmes d’aprenentatge

de l’alumnat.

3. Atenció a la diversitat cultural i plurinacional

Dins la nostra societat, cada cop més diversificada, és indispensable assegurar una interac-

ció harmònica entre persones i grups d’identitats culturals plurals, variades i dinàmiques

[3, 4]. A pesar de que en el batxillerat aquest tipus de diversitats no representen un pro-

blema de dimensió similar al d’etapes educatives prèvies, és imprescindible incloure

actituds i iniciatives que afavoreixin la inclusió i la participació de totes les i els alumnes. En

la pràctica educativa hauria de fer-se evident la varietat social, cultural i ètnica dels grups

humans, des d’una perspectiva mundial, en els suports visuals, en les explicacions, les

converses i en tota la informació que circuli pel centre i, en particular, el departament de

Matemàtiques [5].

16 Metodologia

6.4. Connexions amb altres àrees

Qualsevol espai comú amb altres matèries pot proporcionar entorns d’aprenentatge propers i

significatius que es necessiten per a l’activitat matemàtica. Les sinergies que es puguin generar

impulsaran la millora de l’aprenentatge tant de la matemàtica com de l’altra matèria que ens for-

neixi l’entorn d’aprenentatge.

El caràcter vertebrador i instrumental de les matemàtiques facilita la relació de molts dels con-

tinguts de la matèria de Matemàtiques amb continguts d’altres matèries del batxillerat. A l’apartat

Recursos didàctics de cada unitat (veure secció 8) es recullen tant aquestes connexions com les

referents a d’altres àmbits de la vida.

6.5. Activitats complementàries

La programació d’activitats complementàries al desenvolupament del currículum a batxillerat

pot esdevenir una eina potent per a aconseguir que l’alumnat es faci càrrec del seu propi procés

d’aprenentatge. Hom podria pensar que el segon curs de batxillerat no es l’etapa més propicia

per a invertir temps en activitats complementàries a la formació curricular exigida, tot i així, ente-

nem que aquesta part de la formació entronca una línia didàctica en la qual la constatació de la

presència de les matemàtiques és part fonamental.

Per tal de garantir l’èxit d’aquesta inversió de temps i recursos és precís procurar que els en-

senyaments que es desprenguin de les activitats complementàries estiguin tan estretament

relacionats com sigui possible als continguts i objectius d’aquesta etapa. A continuació es sugge-

reix un llistat orientatiu del tipus d’activitats complementàries que es poden dur a terme:

Conferències de divulgació de les matemàtiques i trobades matemàtiques

• Cicle de conferències a CosmoCaixa (programació periòdica)

• Dissabtes de les Matemàtiques, Universitat Autònoma de Barcelona

http://www.uab.cat/servlet/Satellite/divulgacio/dissabtes-de-les-matematiques-

1195630210586.html

Jornades de portes obertes, programes d’acollida, sessions informatives (per a alumnes i per a pares)

• Jornades de portes obertes de les diferents universitats catalanes:

17 Metodologia

Al Gener i Febrer les universitats organitzen jornades de portes obertes.

• Camí de la ciència, Universitat Autònoma de Barcelona: http://www.uab.es/servlet/Satellite?cid=1095784557695& pagename=UAB%2FPage%2FTemplatePageLevel2

• Visites de docents universitaris al centre

- L’Autònoma et visita, Universitat Autònoma de Barcelona http://www.uab.es/servlet/Satellite/futurs-estudiants/orientacio-universitaria/l-autonoma-et-visita-1095784557684.html

- Anem al teu centre, Universitat Politècnica de Catalunya http://www.upc.edu/lapolitecnica

• Futurs Estudiants, Universitat de Barcelona (consultar activitats i dates) http://www.ub.edu/futursinousestudiants

Proves Cangur, www.cangur.org

Literatura i lectures vinculades a les matemàtiques

Proposta de tres títols especialment indicats per al batxillerat i disponibles en català i castellà . Al

repositori de Divulgamat hi ha moltes altres propostes vàlides:

• El tío Petros y la conjetura de Goldbach, Apostolos Dioxiadis

• L’enigma de Fermat, Simon Singh

• Carta a una joven matemàtica, Ian Stewart

• Divulgamat, http://divulgamat.ehu.es/weborriak/PublicacionesDiv/PublikIndex.asp

Visionat de pel·lícules, documentals i vídeos

• Recull de material audiovisual de diferents tipus del professor Antonio Pérez Sanz http://platea.pntic.mec.es/aperez4/

• Divulgamat, centre virtual de divulgació de les matemàtiques de la RSME http://divulgamat.ehu.es/weborriak/PublicacionesDiv/BideoakDenak.asp

Activitats On són les matemàtiques? incloses en aquesta programació (veure secció 6.1)

Propostes de treballs de recerca de matemàtiques

Exposicions, espectacles i tallers

Taula 3: Llistat d’activitats complementàries classificades en funció del caràcter individual o col·lectiu, del temps de dedicació i del lloc de realització

Per a facilitar l’elecció d’activitats complementàries pertinents la Figura 1 és una classifica-

ció en funció de tres criteris: el caràcter personal o col·lectiu (eix X), la durada de l’activitat, el lloc

de realització, dins/fora del centre (eix Y) i la durada de l’activitat (radi de la bola).

18 Criteris i instruments d’avaluació

Figura 1: Classificació de les activitats complementàries en funció de (1) lloc de realització (eix X), (2) individual o col·lectiva (eix Y) i (3) durada (radi de la bola).

7. CRITERIS I INSTRUMENTS D’AVALUACIÓ

Establerts els objectius i els continguts dels i les alumnes han d’assolir, així com la metodolo-

gia a seguir, els criteris d’avaluació han de ser un instrument mitjançant el qual s’analitzi tant el

grau de preparació de l’alumnat com la pròpia pràctica docent.

7.1. Criteris d’avaluació

Els criteris d’avaluació de l’alumnat, que fan referència tant a l’adquisició de tant de conceptes

com de procediments i actituds, són els següents [2]:

1. Utilitzar el llenguatge matricial i els determinants com a eina per representar i identificar

estructures de dades. Fer servir les matrius amb destresa per organitzar informació i per

transformar-la mitjançant les operacions corresponents.

2. Resoldre i interpretar geomètricament el significat de sistemes d’equacions lineals, i sa-

ber aplicar-los a situacions concretes, i fer servir les tècniques de resolució de sistemes

Conferències

Jornades de Portes Obertes i Trobades

Proves Cangur

Pel·licules i documentals

On són les matemàtiques?

Treball de recerca

Exposicions i espectacles

Literatura i lectures

Visites al centre

INDIVIDUAL

DINS DEL CENTRE

COL·LECTIVA

FORADEL CENTRE


d’equacions lineals per resoldre problemes del context real, i per calcular posicions rela-

tives de rectes i plans.

3. Desenvolupar els coneixements de geometria plana per comprendre, interpretar i resol-

dre situacions vectorials tridimensionals, comprendre els conceptes de perpendicularitat

i angle de dues direccions, i aplicar els conceptes bàsics de geometria de l’espai a la reso-

lució de problemes de distància i perpendicularitat.

4. Aplicar els conceptes de límit i de derivada per conèixer en profunditat les funcions, i

aplicar aquests coneixements a problemes reals; interpretar i aplicar a situacions concre-

tes la informació obtinguda de l’estudi de les funcions. Específicament, analitzar de

manera detallada el comportament local i global d’una funció.

5. Modelitzar i resoldre problemes de la vida real lligats a la derivació. Mostrar destresa en el

plantejament i resolució de problemes lligats a la vida real en què es facin servir els con-

ceptes lligats a la derivació, en particular problemes d’optimització, i interpretar els

resultats que s’obtinguin.

6. Reconèixer situacions que requereixin el càlcul integral per a la seva matematització. In-

terpretar la integral com a àrea, i aplicar aquesta interpretació a situacions concretes.

Dominar tècniques senzilles d’integració i utilitzar-les per mesurar l’àrea d’una regió pla-

na senzilla.

7. Usar amb soltesa la calculadora i l’ordinador per facilitar càlculs, fer representacions grà-

fiques, i explorar i simular situacions. Fer servir intel·ligentment les TIC, i interpretar els

resultats d’una operació automàtica en el context del problema que s’està resolent.

7.2. Instruments d’avaluació

L’avaluació del procés aprenentatge de l’alumnat es realitzarà de forma contínua tenint en

compte els diferents aspectes exposats en aquesta programació didàctica, així com els criteris

d’avaluació del currículum vigent de batxillerat [2].


En el procés d’avaluació es tindran en compte el domini dels contingut conceptuals i proce-

dimentals, i es valoraran aspectes relacionats amb actituds i hàbits, com l’interés i l’esforç, la

constància, la continuïtat i la claredat organitzativa que l’alumnat mostra.

La nota final de l’alumna/e serà el resultat de l’avaluació continua de l’assoliment dels objec-

tius generals del curs analitzats en el tres plans paral·lels següents:

1. Exàmens escrits

Per valorar l’aprenentatge de cada alumne/a i el desenvolupament del procés

d’ensenyament es farà, almenys, un o dos exàmens escrits trimestrals en funció de

l’extensió del bloc de coneixement, el nivell del curs i els pactes i acords a que alumnat i

professor arribin. Els exàmens escrits tenen per objectiu obtenir una valoració individual

del grau d’assimilació conceptual i de la capacitat per a raonar críticament i utilitzar per-

tinentment els procediments prèviament treballats a l’aula.

Cada alumna/e obtindrà una nota trimestral d’aquesta part, Xi amb i = 1;2;3, resultant

de fer la mitja aritmètica entre les notes dels exàmens parcials. El pes específic en la nota

trimestral final serà, al menys, de 6 (sobre 10).

2. Tasques i activitats

La nota trimestral es complementarà amb activitats d’avaluació semiformals o informals.

S’avaluarà la resolució de problemes fora de les hores lectives, la participació activa en les

diferents iniciatives docents i l’elaboració informes puntuals sobre les activitats On són les

matemàtiques?

Cada alumna/e obtindrà una nota trimestral d’aquesta part, Yi amb i = 1;2;3, resultant

de la valoració dels aspectes citats anteriorment. El pes específic d’aquesta en la nota

trimestral final serà, al menys, de 1.5 (sobre 10).

3. Actitud

Finalment, aspectes relacionats amb l’actitud també es tindran en compte en l’avaluació

integral del alumnes. A partir de la intervenció dels i les alumnes en les diferents activi-

tats dins i fora de l’aula s’avaluaran aspectes relacionats amb l’actitud com el

comportament i l’interés en les diferents activitats que es realitzin dins i fora de l’aula,


l’aptitud per a treballar en equip, així com la progressió de cada alumne/a de forma indi-

vidual en els diferents plans d’avaluació.

Cada alumna/e obtindrà una nota trimestral d’aquesta part, Zi amb i = 1;2;3, resultant

la valoració dels aspectes citats anteriorment. El pes específic d’aquesta en la nota tri-

mestral final serà, al menys, de 0.5 (sobre 10).

Considerem clau que l’alumnat sàpiga què s’espera d’ells, que aprovi els criteris i els instru-

ments d’avaluació i que entengui amb claredat a on ha d’arribar, això afavorirà que els i les

alumnes participin, es facin càrrec del seu procés d’aprenentatge i es responsabilitzin de la seva

pròpia avaluació. En conseqüència, es dedicarà una sessió per a presentar al grup classe els pro-

cediments i instruments d’avaluació deixant clar el sistema d’avaluació i, en aquesta sessió, es

deixarà que el propi alumnat decideixi, per consens i de manera col·lectiva, com repartir un pes

específic de 2 sobre 10 entre els tres notes parcials Xi; Yi; Zi, que els denotem per ®; ¯; ° . En cas

de no arribar a un acord el professor serà qui decideixi el pesos que seran comunicats a l’alumnat.

La nota final de cada trimestre (Ti) serà doncs,

Ti = Xi ¢ (6 + ®) + Yi ¢ (1:5 + ¯) + Zi ¢ (0:5 + °) i = 1;2;3

on ® + ¯ + ° = 2

I la nota final de curs (NF ),

NF =T1 + T2 + T3

3

22 Unitats didàctiques

8. UNITATS DIDÀCTIQUES

ÀLGEBRA LINEAL

Els continguts d’aquest bloc són:

El llenguatge matricial com a eina per expressar i resoldre problemes relacionats

amb l'organització de dades

� Les matrius com a eina per resoldre sistemes, representar algunes transfor-

macions geomètriques i, en general, per treballar amb dades estructurades

en taules.

� Operacions amb matrius. Aplicació a contextos reals.

Els sistemes lineals, una eina per plantejar i resoldre problemes

� Determinants d'ordre 2 i 3. Rang d'una matriu. Càlcul de la matriu inversa.

� Discussió i resolució de sistemes d'equacions lineals (amb un paràmetre

com a màxim). Plantejament de problemes.

El bloc es divideix en tres unitats didàctiques amb la distribució de sessions següents:

Àlgebra lineal 1. Matrius

2. Determinants

3. Sistemes d’equacions lineals

11 sessions

10 sessions

10 sessions

Taula 4: Distribució temporal de les unitats didàctiques del bloc d’Àlgebra lineal

Al final de la primera unitat didàctica o al final d’aquest primer bloc de coneixement, segons

consideri el professor, es realitzarà l’activitat Aproximació al tractament d’imatges usant llenguatge

matricial recollit a On són les matemàtiques? (veure 6.2 i annex A.1)


8.1. Matrius1

Un dels objectius principals d’aquest bloc de coneixement és introduir el llenguatge matricial

com a eina per a expressar i resoldre problemes relacionats amb l’organització de dades, en

aquest context aquesta unitat didàctica hi col·labora com a mínim en dos plans diferenciats: (1)

assentar el llenguatge i les propietats associades a càlcul matricial necessàries per a resoldre sis-

temes d’equacions lineals, i (2), veure com aquest llenguatge i altres llenguatges matricials són

útils per a resoldre problemes de naturaleses diverses: moviments geomètrics, problemes associ-

ats a grafs, tractament de grans quantitats de dades, etc.

Distribució temporal

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Objectius d’aprenentatge

1. Conèixer el concepte de matriu com a taula ordenada de nombres, el concepte de

matriu numèrica i la notació associada (dimensió, fila, columna, diagonal, ...)

2. Conèixer i identificar els diferents tipus de matrius segons la seva dimensió i els seus

elements

3. Saber calcular la suma i el producte de matrius, i el producte d’una matriu per un nú-

mero real i conèixer les propietats d’aquestes operacions

4. Conèixer el concepte de rang d’una matriu i calcular-lo mitjançant transformacions

elementals

5. Conèixer el concepte de matriu inversa d’una matriu i la seva representació, i calcular-

la usant diversos mètodes

6. Saber calcular la trasposta d’una matriu i conèixer les propietats de la transposició de

matriu

7. Obtenir la potència n-èsima d’una matriu senzilla

8. Plantejar i resoldre problemes usant llenguatge matricial en context científic i/o tec-

nològic

9. Saber representar un graf en forma de matriu

10. Fer servir la calculadora o l’ordinador per a efectuar operacions amb matrius

1 El número de secció correspon al número d’unitat didàctica.


Continguts

CONCEPTUALS PROCEDIMENTALS ACTITUDINALS

• Matriu, matriu numèrica

• Dimensió i ordre d’una matriu

• Tipus de matrius: quadrada, fila,

columna, triangular, diagonal,

identitat, nul·la, trasposta, simè-

trica, esglaonada, etc

• Dependència lineal de files i

columnes

• Rang d’una matriu

• Transformacions elementals

• Mètode de Gauss (càlcul del

rang)

• Suma de matrius i producte per

un número

• Propietats de la suma de matrius

i del producte d’una matriu per

un número

• Producte de matrius

• Propietats del producte de ma-

trius

• Matriu inversa i matriu singular

• Mètode Gauss-Jordan (càlcul de

la inversa)

• Graf i matriu associada a un graf

• Moviments geomètrics i matriu

associada a un moviment geo-

mètric

• Representació, identificació i clas-sificació de matrius

• Conèixer i utilitzar la notació ma-

tricial bàsica

• Càlcul la suma de dues matrius, el

producte d’una matriu per un nú-

mero i el producte de dues

matrius

• Obtenció del rang d’una matriu

• Utilització de la calculadora o l’ordinador per a treballar amb

matrius

• Càlcul de la matriu inversa a partir

de la definició d’una matriu senzi-

lla

• Determinació de la regularitat

d’una matriu d’ordre menor o

igual a 3

• Càlcul de la matriu inversa pel

mètode de Gauss-Jordan

• Obtenció de la matriu transposada

d’una matriu

• Càlcul de la potència n-èsima

d’una matriu senzilla

• Associació d’una matriu a cert

tipus de grafs

• Representació de moviments

geomètrics mitjançat matrius

• Ús de la calculadora per a efectuar operacions amb matrius.

• Valoració de la utilitat de les

matrius com a eina per a orga-

nitzar informació,

representacions, ...

• Apreciació de com les matemà-

tiques són un llenguatge que

ens ajuda a descriure la natura.

No és imposat, és interpretat!

• Valoració de la precisió, simplici-

tat i utilitat del llenguatge

matricial

• Valoració de la necessitat i utili-

tat d’eines (TIC) que faciliten el

càlcul matricial

• Adquisició progressiva d’hàbits

de treball adequats en la realit-

zació d’activitats utilitzant

llenguatge matricial: ordre, cla-

redat i precisió


Metodologia

SEQÜÈNCIA D’APRENENTATGE RECURSOS DIDÀCTICS

• Preparació prèvia: cap

• Motivació: presència de les matrius en diferents àmbits (su-

doku, travessa, ponts de Königsberg, tractament d’imatges,

bases de dades, etc) i motivació de l’estudi d’un tipus de ma-

trius en particular (les que representaran sistemes

d’equacions lineals, enunciar que aquest és un dels nostres

objectius principals)

1. Definir matriu i les seves parts, donant especial importància

als conceptes fila, columna i diagonal

2. Explicar la classificació de matrius en funció dels seus ele-

ments, la seva forma i les seves propietats, donar exemples

3. Introduir el concepte de rang d’una matriu motivat per la de-

pendència lineal de les files o columnes de la matriu (no és un

concepte senzill, exemplificar-ho a partir de matrius esglao-

nades)

4. Explicar les transformacions elementals (rang invariable res-

pecte les transformacions elementals) posposant la seva

posterior utilitat en l’aplicació del mètode de Gauss i d’altres

5. Explicar el mètode de Gauss per a calcular el rang d’una ma-

triu

6. Suma de matrius i producte d’una matriu per un número:

presentar la operació (una manera de fer-ho és generalitzant

a qualsevol dimensió la suma de vectors a R2 de Matemàti-

ques I), donar un exemple resolt i estudiar les propietats de la

suma i exemplificar-les

7. Producte de matrius: seguir el mateix esquema (presentació,

exemplificació i propietats) que en la suma de matrius sent

curosament gradual per la dificultat del concepte. Presentar

exemples de dimensions reduïdes (vector fila per vector co-

lumna, 2x2, etc..)

8. Identificar la matriu identitat com a neutre del producte de

matrius i usar-la per a introduir la matriu inversa d’una matriu.

Subratllar la no commutabilitat del producte de matrius i la

condició de singularitat.

9. Calcular la inversa d’una matriu pel mètode de Gauss-Jordan

10. Transposició de matrius: mateix esquema que amb la suma

de matrius, i.e. presentar la definició, exemplificar-la i enunci-

ar propietats principals

11. Presentar el procediment per a calcular potències n-èsimes

de matrius senzilles

12. Altres aplicacions de les matrius: veure com podem associar

una matriu a un graf (exemple: ponts de Königsberg) o a un

moviment al pla (cinemàtica d’un robot, veure Recursos Di-

dàctics)

• Selectivitat: calcular la potència 2, 3 i 60124 d’una matriu d’ordre 3x3

(2008-Set-S4-Q2)

• Selectivitat: resoldre una equació matricial

d’ordre 2 i calcular la potència d’ordre 2

d’una matriu (2008-Jun-S2-Q2)

• Selectivitat: calcular el rang d’una matriu

pendent d’un paràmetre (2007-Set-S3-

Q2a)

• Selectivitat: resoldre equació matricial

pendent d’un paràmetre i potència 2

d’una matriu d’ordre 2 (2007-Set-S3-Q3)

• Selectivitat: potències d’una matriu (2008-

Jun-S5-Q2)

• TIC (Wiris): la calculadora Wiris permet

realitzar càlculs matricials (inversa, ad-

junts, transposar, potències,

determinants, rang)

• TIC (web): web amb diferents applets

sobre el problema dels ponts de Kö-

nigsberg, www.aulademate.com/

contentid-200.html

• Connexió: ús de la notació matricial per al

tractament d’imatges digitals amb, per

exemple, aplicacions mèdiques

• Connexió: ús de la notació matricial en la

resolució de problemes d’aprenentatge

de robots

• Connexió: qualsevol moviment del pla o

l’espai es pot expressar com una matriu,

ús d’aquestes matrius en cinemàtica de

robots, robot Nao:

http://www.youtube.com/

wach?v=rSKRgasUEko

• On són les matemàtiques?: activitat Apro-

ximació al tractament d’imatges digitals

usant llenguatge matricial


8.2. Determinants

A la unitat anterior ens hem familiaritzat amb el llenguatge matricial i, entre d’altres contin-

guts, hem vist com calcular el rang i la inversa d’una matriu a partir de transformacions

elementals, això és, el Mètode de Gauss i el Mètode de Gauss-Jordan. En aquesta unitat introduïm

el concepte de determinant com a eina per a facilitar aquests dos importants procediments dins

de l’àlgebra lineal i, en la pròxima unitat, per a la discussió i resolució de sistemes d’equacions

lineals mitjançant el teorema de Rouché-Fröbenius i el mètode de Cramer.

La complexitat de la definició clàssica de determinant d’ordre n aconsella utilitzar-la només

per a determinants d’ordre 2 i 3, i enunciar propietats del determinants per facilitar el càlcul de

determinants d’ordre superior.


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13


1. Conèixer i comprendre el concepte de determinant d’una matriu quadrada

2. Distingir entre el concepte de matriu i de determinant

3. Calcular determinants d’ordre 2 i 3 directament a partir de la seva expressió

4. Calcular determinants d’ordre n desenvolupant per una fila o columna

5. Conèixer i aplicar les propietats dels determinants per a simplificar el càlcul

6. Comprendre la definició de rang com a ordre del menor no nul més gran i saber-lo

trobar

7. Usar els determinants per calcular el rang d’una matriu

8. Obtenir la matriu inversa d’una matriu a partir de la matriu d’adjunts de la transposada

9. Utilitzar la calculadora o l’ordinador per a efectuar operacions amb determinants


Continguts


• Determinants d’ordre 2 i

3

• Determinant d’ordre su-

perior

• Propietats dels determi-

nants

• Regla de Sarrus

• Menor d’ordre k d’una

matriu

• Adjunt d’un element aij

• Matriu adjunta

• Matriu inversa

• Càlcul de determinants d’ordre 1, 2 i 3

(regla de Sarrus)

• Càlcul de determinants d’ordre 3 mit-

jançant la regla de Sarrus

• Ús de transformacions elementals per

simplificar el càlcul del determinant

d’una matriu

• Obtenció la matriu adjunta d’una ma-

triu

• Càlcul de la matriu inversa d’una matriu

• Determinació del rang d’una matriu

• Càlcul de rang d’una matriu mitjançant

determinants

• Determinació del rang d’una matriu

depenent d’un paràmetre

• Determinació de la regularitat o singu-

laritat d’una matriu

• Resolució d’equacions matricials utilit-

zant matrius inverses

• Valoració de la utilitat dels de-terminants per calcular el rang i

la inversa d’una matriu en vers

els mètodes de Gauss i Gauss-

Jordan

• Desenvolupar una actitud positi-va en el respecte a la veritat i en

la voluntat de trobar arguments i

avaluar-ne la validesa

• Valoració de la precisió i rapidesa d’eines com l’ordinador o la cal-

culadora en càlculs matricials i

de determinants


Metodologia


• Preparació prèvia: convé refrescar les definicions de ma-

triu, matriu quadrada, diagonal principal, equivalència de

matriu, transformacions elementals, rang i inversa d’una

matriu

• Motivació: el càlcul del rang o la inversa d’una matriu són

feixucs, els determinants són una eina per, entre d’altres co-

ses, simplificar aquests processos

1. Definir determinant d’ordre 2 i 3 i donar exemples

2. Explicar la Regla de Sarrus que simplifica el càlcul dels de-

terminants d’ordre 3

3. Raonar la necessitat de calcular determinants d’ordre n a

partir del d’ordre n ¡ 1 enlloc de amb la definició

4. Raonar la necessitat de calcular el mínim complementari i

l’adjunt d’un element de la matriu d’ordre motivant la de-

finició

5. Demostrar el càlcul de determinants per adjunts a partir del

d’ordre 3 i comprovar-ho en un exemple concret per dife-

rents files o columnes. Donar la definició recurrent general i

utilitzar-la per al càlcul d’un determinant concret d’ordre 4

6. Exemplificar i exercitar el càlcul de determinants pendents

d’un paràmetre pels dos mètodes apressos

7. Enunciar i demostrar numèricament (en dimensió 3) les

principals propietats dels determinants. Evidenciar la utilitat

de les propietats dels determinants per a facilitar-ne el seu

càlcul

8. Introduir el Mètode de Gauss per al càlcul de determinants:

És convenient fer-ho a partir de matrius triangulars, enunci-

ant els passos per a calcular un determinant pel Mètode de

Gauss i finalment donar un exemple

9. Definir el concepte de menor d’ordre k d’una matriu mos-

trant els menors d’una matriu concreta. Exemplificar el

procés d’orlar un menor partir d’un menor d’ordre 2

10. Enumerar els passos del procediment general per a calcular

el rang d’una matriu resseguint-los en un exemple

11. Calcular la matriu inversa mitjançant determinants: enunci-

ar la fórmula del càlcul de la matriu inversa i fer un exemple

de dimensió 3x3

12. Resoldre equacions matricials senzilles que impliquin el càl-

cul d’inverses i l’aplicació de la no commutabilitat del

producte de matrius

• TIC (Wiris): la calculadora Wiris permet rea-

litzar càlculs matricials (inversa, adjunts,

transposar, potències, determinants, rang)

• TIC (Excel): Excel també incorpora eines de

càlcul matricial

• TIC(Descartes): Exercicis sobre determi-

nants (propietats, càlcul de rang, càlcul

d’inverses, equacions matricials, determi-

nants pendents de paràmetres):

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_di

dacticos/ determinantes_api/ejercicios.htm

• Selectivitat: calcular el rang d’una matriu

pendent d’un paràmetre (2007-Set-S3-Q2a)


8.3. Sistemes d’equacions lineals

Els sistemes d’equacions lineals (SEL) vinculats al pla formen part del temari de Matemàtiques

I, per tant, els conceptes i la interpretació geomètrica del sistemes no els és aliè. En aquesta unitat

didàctica es generalitza l’estudi a SEL de dimensió , amb especial interès per l’espai, i.e. per SEL

de tres equacions amb tres incògnites. L’expressió matricial d’un SEL, i els conceptes de matriu

inversa, rang i determinant d’una matriu estudiants a les dues unitats precedents ens permetran

aquesta generalització.

Es repassa la interpretació geomètrica dels sistemes de dues equacions amb dues incògnites

amb la intenció de connectar amb els continguts del bloc de geometria de l’espai, i més concre-

tament, amb l’estudi de la posició relativa de plans i rectes a l’espai.


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13


1. Conèixer els conceptes d’equació lineal, SEL, incògnita, coeficient, terme independent,

equació homogènia

2. Comprendre el concepte de conjunt solució d’una equació i d’un SEL

3. Saber classificar els SEL en funció del seu conjunt solució

4. Conèixer els criteris d’equivalència de SEL

5. Conèixer i aplicar diferents mètodes de resolució de SEL: mètode de Gauss, mètode de

la matriu inversa i regla de Cramer

6. Plantejar i resoldre SEL

7. Aplicar el mètode de Gauss per discutir SEL dependents d’un paràmetre

8. Resoldre problemes amb enunciat textual usant SEL i saber analitzar la validesa de les

solucions en el context del problema


Continguts


• Equacions lineals, incòg-

nita, coeficient, terme

independent

• SEL

• Classificació de SEL se-

gons el seu conjunt

solució

• SEL equivalents, homo-

genis i esglaonats

• Matrius associades a un

sistema

• Teorema de Rouché-

Fröbenius

• Mètode de Cramer

• Expressió d’un SEL en llenguatge matri-

cial

• Classificació de SEL en funció del con-

junt solució

• Resolució de SEL, pendent d’un paràme-

tre o no, mitjançant el mètode de Gauss

• Classificació de SEL en funció del con-

junt solució usant el mètode de Gauss

• Interpretació geomètrica de la solució

d’un SEL de dues equacions i dues in-

cògnites

• Discussió d’un SEL, pendent d’un parà-

metre o no, mitjançant el teorema de

Rouché-Fröbenius

• Resolució d’un SEL, pendent d’un parà-

metre o no, mitjançant el mètode de

Cramer

• Plantejament i resolució problemes de

context científic i/o tecnològic amb

enunciat textual usant SEL

• Valoració de la utilitat dels de-

terminants en la resolució i

discussió de SEL

• Valoració de la versatilitat

d’aplicació del llenguatge matri-

cial

• Desenvolupar una actitud positi-

va en el respecte a la veritat i en



• Sensibilitat per la presentació

clara i ordenada dels procés se-

guit i els resultats obtinguts


Metodologia


• Preparació prèvia: convé tenir clars els conceptes de

matriu inversa, transformacions elementals, rang d’una

matriu i determinant d’una matriu, en aquesta unitat

són eines indispensables per a resoldre sistemes

d’equacions lineals

• Motivació: en aquesta unitat aplicarem els conceptes

apressos a les dos primeres unitats didàctiques, els SEL

ens permeten resoldre problemes de diversos contexts

1. Definir equació lineal amb n incògnites i les seves parts:

incògnita, coeficient, terme independent i solució.

2. Definir SEL, introduint la notació usual, i conjunt solució.

3. Presentar la classificació dels SELs segons el conjunt so-

lució (SCD, SCI, SI) i repassar/exemplificar el cas d’un

sistema de dues equacions i dues incògnites estudiat a

Matemàtiques I

4. Explicar el mètode de Gauss per a resoldre SEL. És con-

venient usant-lo inicialment en un SEL esglaonat i

generalitzar-ho després a qualsevol SEL

5. Analitzar els diferents casos que podem trobar en resol-

dre un SEL pel mètode de Gauss, identificant cada cas

amb el tipus de sistema. Donar exemples resolts de cada

cas

6. Enunciar el teorema de Rouché-Fröbenius i explicar el

procediment d’utilització per a la classificació de SEL.

Exemplificar el procés amb SEL amb diferents conjunts

solució

7. Resoldre SEL usant la matriu inversa: transformar el sis-

tema en forma matricial, comprovar les condicions de

regularitat i comprovar que la solució es pot trobar cal-

culant la matriu inversa que defineix el SEL. Donar un

exemple

8. Per acabar la unitat, presentar el mètode de Cramer per

trobar solucions en el cas de que el SEL sigui regular,

fent notar la senzillesa de la solució. Exemplificar-ho

amb un sistema de dimensió 3

9. Plantejar i resoldre problemes de context científic i/o

tecnològic amb enunciat textual usant SEL

10. Repassar lleugerament la interpretació geomètrica de

SEL de dues equacions amb dues incògnites

• On són les matemàtiques?: activitat Aproxima-

ció al tractament d’imatges digitals usant

llenguatge matricial

• Context històric: mètodes numèrics xinesos en

la resolució d’equacions. El mètode de Horner

• Context històric: Karl Friedrich Gauss i la reso-lució de sistemes lineals d'equacions. La

resolució de SEL en la matemàtica xinesa

• TIC (WIRIS): permet resoldre SEL

• Selectivitat: un SEL de dues equacions i tres incògnites pot ser SI o SCI (2008-Set-S4-Q3)

• Selectivitat: resoldre una equació matricial

d’ordre 2 (2008-Jun-S2-Q2a)

• Selectivitat: discutir un sistema en funció d’un

paràmetre (2008-Jun-S2-Q3)

• Selectivitat: discutir un sistema en funció d’un

paràmetre (2008-Jun-S5-P5)


GEOMETRIA A L’ESPAI

El continguts d’aquest bloc són:

La interpretació geomètrica dels sistemes lineals amb tres incògnites

� Vectors lliures a l'espai. Dependència i independència lineal.

� Equacions del pla i de la recta. Posicions relatives. Interpretació geomètrica

de sistemes lineals amb tres incògnites.

El plantejament i la resolució de problemes mètrics a l'espai

� Producte escalar. Perpendicularitat i angles.

� Producte vectorial i mixt. Interpretació geomètrica i aplicacions al càlcul d'à-

rees i volums.

� Càlcul de distàncies.

El bloc es divideix en tres unitats didàctiques amb la distribució de sessions que segueix:

Geometria a l’espai 4. Vectors a l’espai

5. Rectes i plans a l’espai

6. Mètrica de l’espai

9 sessions

10 sessions

10 sessions

Taula 5: Distribució temporal de les unitats didàctiques del bloc de Geometria a l’espai

Al principi o final d’aquest segon bloc de coneixement, a criteri del professor, es realitzarà

l’activitat Geometria i bombolles de sabó recollit a On són les matemàtiques? (veure 6.2 i annex B)


8.4. Vectors a l’espai

Sense els vectors resultaria de tot impossible explicar l’univers tal i com l’entenem des de fa

segles, la importància de l’estudi del càlcul vectorial queda doncs més que justificat.

L’objectiu d’aquesta unitat didàctica és presentar els protagonistes principals de l’espai, els

vectors, així com les seves propietats i relacions més significatives. És contingut de Matemàtiques

I es treball amb vectors al pla així que, en cas que sigui possible, serà recomanable presentar els

conceptes com a generalitzacions dels coneixements previs.


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13


1. Entendre el concepte de vector lliure

2. Conèixer les operacions suma i multiplicació per un escalar de vectors lliures

3. Comprendre i fer servir correctament els conceptes de dependència o independència

lineal i de combinació lineal

4. Comprendre el concepte de base d’un espai

5. Expressió d’un vector en diferents bases d’un mateix espai

6. Definir el producte escalar de dos vectors lliures

7. Conèixer la interpretació geomètrica del producte escalar i usar-la per a resoldre pro-

blemes d’ortogonalitat, calcular el mòdul d’un vector i l’angle de dos vectors

8. Definir el producte vectorial i mixt de vectors lliures

9. Conèixer la interpretació geomètrica del producte vectorial


Continguts


• Els conjunts R2 i R3

• Vector fix a l’espai

• Vector lliure a l’espai

• Equipol·lència

• Operacions amb vectors

lliures i propietats

• Dependència i indepen-

dència lineal, combinació

lineal

• Base de R3

• Coordenades d’un vector

en una base

• Producte escalar: expres-

sió algebraica i

interpretació geomètrica

• Vectors ortogonals

• Angle entre vectors

• Producte vectorial: ex-

pressió algebraica

• Producte mixt: expressió

algebraica

• Caracterització d’un vector lliure (ori-

gen, extrem, direcció, sentit i mòdul)

• Càlcul d’un vector unitari en una direc-

ció determinada

• Efectuar operacions amb vectors analí-

tica i gràficament a R2 i R

3

• Expressió de vectors en funció de la

base canònica i altres bases

• Determinació de la dependència lineal

de dos vectors

• Càlcul i anàlisi geomètric dels productes

escalar, vectorial i mixt de vectors lliures

a l’espai

• Multiplicació escalar de vectors

• Obtenció de l’angle determinat per dos

vectors lliures, incloent la ortogonalitat

• Càlcul del producte vectorial de dos o

més vectors

• Càlcul del producte mixt de tres vectors

lliures a partir del producte vectorial

• Càlcul del producte mixt de tres vectors

lliures a partir de l’expressió analítica

• Valoració de la utilitat dels vec-

tors i les operacions amb vectors

• Valoració de la utilitat de la base

canònica per operar amb vectors

a l’espai

• Interès per la representació grà-

fica clara i precisa de vector i

punts de l’espai

• Interès per la interpretació geo-

mètrica dels productes escalar,

vectorial i mixt





• Valoració del caràcter universal

de les matemàtiques, reconei-

xent la capacitat unificadora

envers altres cultures i/o religi-

ons


Metodologia


• Preparació prèvia: revisar els conceptes de Matemàtiques I

relacionats amb els vectors al pla: vector fix, equipol·lència

de vectors fixos, vector lliure, operacions amb vectors lliures

del pla, combinació lineal, base de R2 i components d’un

vector en una certa base. També usarem el concepte de de-

terminant i el mètode de Gauss per discutir la dependència

lineal de vectors

• Motivació: sense els vectors resultaria impossible explicar

l’univers tal i com l’entenem actualment, a nosaltres ens servi-

rà per a fonamentar la geometria de l’espai i definir-hi una

mètrica que ens permeti, per exemple, calcular angles o dis-

tàncies

1. Definir vector fix i vector lliure a l’espai i les seves característi-

ques principals. Explicar el concepte d’equipol·lència de

vectors. Introduir el concepte de coordenades d’un vector en

una base ortonormal, per exemple en la base canònica de R3

2. Explicar i exemplificat tant analítica com gràficament la ope-

ració suma de vectors de R3 i el producte per nombres reals.

La representació gràfica fa més comprensible el concepte de

combinació lineal

3. Definir la condició de dependència lineal i explicar com ex-

pressar un vector com a combinació lineal d’altres vectors

diferenciant els tres casos possibles (expressió única, expres-

sions infinites o quan no és possible

4. Explicar com comprovar la dependència lineal a partir de

determinants o del mètode de Gauss

5. Definir el concepte de base de R3 i donar exemples de bases

ortonormals i no ortonormals. Expressar un vector en funció

de diferents bases

6. Definir el producte escalar de dos vectors justificant el seu

nom. És important que la l’expressió analítica del producte

escalar justifiqui la definició, i no al revés. Donar la interpreta-

ció geomètrica

7. Definir el producte vectorial justificant el seu nom. Donar la

seva interpretació geomètrica

8. Enunciar les propietats del producte vectorial fent especial

èmfasi la no commutabilitat i la no associativitat

9. Definir l’angle entre dos vectors i l’expressió per calcular-lo.

Relacionar el signe del resultat amb l’angle corresponent. Ex-

plicar les diferencies d’ortogonalitat a l’espai respecte el pla

10. Definir el producte mixt de tres vectors a l’espai. Donar la

justificació geomètrica. Explicar la relació entre producte mixt

i dependència lineal

NOTA: l’aplicació geomètrica dels productes vectorial i mixt

per a calcular àrees i volums s’inclou a la unitat 6.

• TIC (Wiris): útil per a representar vectors

tant al pla com a l’espai

• Connexió: ús de la notació vectorial en cinemàtica, camps gravitatoris o camp

elèctrics a Física I

• Connexió: ús del producte vectorial i pro-ducte mixt en electromagnetisme de

Física II

• Material: pot ser útil material de dibuix

com la regla, esquadres i cartabó, compàs

i paper mil·limetrat, ...


8.5. Rectes i plans a l’espai

A Matemàtiques I s’estudia la geometria del pla, en afegir una dimensió al pla obtenim l’espai,

on sorgeixen nous elements geomètrics elementals i les seves propietats són més riques i interes-

sants. En aquesta unitat estudiem les propietats geomètriques d’aquests elements elementals: el

punt, la recta i el pla.

Per altra banda, els conceptes explicats a la unitat anterior són necessaris per a determinar les

equacions de rectes i plans, eines com el teorema de Rouché-Fröbenius o la discussió de sistemes

d’equacions lineals també seran necessàries per a determinar les posicions relatives de rectes i

plans.


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13


1. Comprendre el concepte de vector director d’una recta

2. Comprendre el concepte de vectors directors i vector normal d’un pla

3. Identificar rectes i plans a partir de les seves equacions, extreure els elements que els

determinen, i viceversa

4. Comprendre las diferents maneres de determinar un recta i un pla

5. Expressar una recta i un pla mitjançant qualssevol de les seves equacions

6. Comprendre el concepte de vector perpendicular a un pla i saber extreure’l donada

l’equació implícita

7. Determinar la posició relativa de dues rectes, de dos o tres plans, o d’una recta i un pla

a partir de les seves equacions implícites o generals a partir de la discussió de sistemes

d’equacions lineals

8. Entendre el concepte de feix de plans i resoldre problemes geomètrics relacionats

amb feixos de plans

9. Valorar la utilitat de representar gràficament les dades d’un problema abans de resol-

dre’l analíticament


Continguts


• Sistemes de referència

• Punt mig d’un segment

• Dimensió

• Graus de llibertat

• Vector director

• Vector normal

• Equacions de la recta

(vectorial, paramètriques,

contínues i implícites)

• Equacions del pla (vecto-

rial, paramètriques i

general)

• Pla per tres punts

• Posicions relatives de

recta i pla

• Posicions relatives de dos

i tres plans

• Posicions relatives de

dues rectes

• Feix de plans

• Determinació de les coordenades d’un

punt en un sistema de referència

• Càlcul del punt mig d’un segment

• Dividir un segment en parts iguals i/o pro-

porcionals

• Obtenció de l’equació o equacions d’una

recta a partir d’un punt i un vector director,

o dos punts, i viceversa

• Determinació de les diferents tipus

d’equacions de la recta a partir de les altres

• Obtenció de l’equació o equacions d’una

recta a partir d’un punt i dos vectors direc-

tor, o tres punts, o un punt i un vector

normal

• Determinació de les diferents tipus

d’equacions del pla a partir de les altres

• Determinació de la pertinença d’un punt a

una recta

• Determinació de la pertinença d’un punt o

una recta a un pla

• Estudi de la posició relativa de dues rectes

• Estudi de la posició de dos o tres plans

• Estudi de la posició relativa d’una recta i un

pla

• Discussió de la posició relativa d’una recta i

un pla

• Determinació d’una pla per un punt i que

pertany a un feix de plans secants

• Determinació de la projecció d’un punt

sobre una recta i sobre un pla

• Obtenció de les interseccions de rectes,

plans i, rectes i plans

• Assoliment gradual de la

capacitat i la voluntat per

pensar en la recta, el pla i

l’espai

• Desenvolupar una actitud

positiva en el respecte a la ve-

ritat i en la voluntat de trobar

arguments i avaluar-ne la va-

lidesa

• Valoració de la inestimable

ajuda de les noves tecnologi-

es per a representar i analitzar

problemes geomètrics a

l’espai


Metodologia


• Preparació prèvia: coneixements previs de Matemàtiques I,

equacions de la recta al pla, posicions relatives de rectes al

pla, vector director i dependència lineal, així com el teorema

de Rouché-Fröbenius i el rang d’un sistema

• Motivació: en afegir una dimensió al pla obtenim l’espai, on

sorgeixen nous elements geomètrics elementals i les seves

propietats són més riques i interessants, en aquest unitat es-

tudiem els protagonistes de l’espai!

1. Definir sistema de referència a l’espai. Fer notar i exemplificar

que el sistemes de referència no tenen perquè ser ortonor-

mals i evidenciar perquè els ortonormals faciliten els càlculs.

Situar un punt, un recta i un pla en el sistema de referència

2. Veure que dos punts defineixen un vector i calcular el punt

mig i punts proporcionals del segment que formen

3. Estendre la noció de recta al pla a l’espai, fent notar que un

punt i un vector determinen unívocament una recta

4. Fer notar que amb un punt i un vector director determina

unívocament una recta. Explicar la determinació de la recta

mitjançant dos punts

5. Partir de la equació vectorial per explicar els diferents tipus

d’equacions de la recta

6. Exemplificar com estudiar la relació de pertinença d’un punt

o un vector a una recta concreta

7. Fer notar que amb un punt i dos vectors directors linealment

independents es determina unívocament un pla. Explicar la

resta de determinacions del pla

8. Partir de la equació vectorial per explicar els diferents tipus

d’equacions del pla.

9. Exemplificar com estudiar la relació de pertinença d’un punt

o d’una recta a un pla concret

10. Explicar el mètode de determinació de la posició relativa de

dues rectes, de dos o tres plans, i d’una recta i un pla a partir

dels rangs de la matriu i la matriu associades a les equacions

implícites i generals. Donar en forma de taula la casuística de

rangs i posicions relatives. Discutir la posició relativa pendent

d’un paràmetre

11. Explicar, en el cas de dues rectes i d’una recta i un pla, el mètode de determinació de la posició relativa a partir de la

dependència o independència lineal dels vectors directors

12. Explicar les equacions de feixos de plans paral·lels i feixos de plans secants, com determinar el pla per un punt i pertanyent

a un feix de plans secants o paral·lels

13. Determinar la projecció d’un punt sobre una recta i un pla, i

d’una recta sobre un pla. Calcular interseccions de rectes,

plans i rectes i plans

• TIC (Wiris): útil per a representar vectors

tant al pla com a l’espai

• TIC(Descartes): eina molt visual per a re-

presentar posicions relatives qualssevol http://descartes.cnice.mec.es/ materia-

les_didacticos/Puntos_rectas_planos_

d3/index.htm

• Connexió: ús del producte escalar per a calcular el treball i l’energia a Física I

• Selectivitat: posició relativa de dues rectes pendent de paràmetres (2008-Set-S4-P6)

• Selectivitat: trobar la recta perpendicular a una recta per un cert punt (2008-Jun-S2-

Q4)

• Selectivitat: determinar posicions relatives

entre rectes i plans (2008-Jun-S2-P6)

• Selectivitat: intersecció entre pla i recta (2008-Jun-S5-Q4)

• Selectivitat: trobar plans paral·lels a certa distància d’un donat (2007-Set-S3-Q1)

• Selectivitat: calcular posició relativa de tres plans pendent d’un paràmetre (2007-Set-

S3-Q2b)

• Selectivitat: calcular l’equació d’un pla determinat per dues rectes, la intersecció

d’un pla amb una recta, l’equació d’una

certa recta (2007-Set-S3-P5)

• Selectivitat: trobar d’equació d’un pla per-pendicular a certa recta i que passa per

l’origen de coordenades (2007-Jun-S2-Q1)

• Selectivitat: posició relativa de plans pen-dent d’un paràmetre (2007-Jun-S2-P6)


8.6. Mètrica de l’espai

Per completar l’estudi dels elements geomètrics elementals de l’espai, i aprofitant el càlcul

vectorial de la unitat 4, en aquesta unitat didàctica estudiem les relacions mètriques entre ells:

angles, distàncies, projeccions, àrees i volums.

Aquest tipus d’estudi mètric és familiar per a l’alumnat en el pla i és recomanable recordar

aquests coneixements previs. Al final de la unitat reprendrem els productes vectorial i mixt per a

calcular àrees i volums de diferents figures, també serà per tant convenient refrescar els coneixe-

ments de la unitat 4.


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13


1. Comprendre el concepte de vector director d’una recta

2. Conèixer les equacions vectorial, paramètrica i contínua de la recta a l’espai

3. Conèixer l’equació general d’un pla a l’espai

4. Comprendre el concepte de vector perpendicular a un pla i saber extreure’l donada

l’equació implícita

5. Discutir la posició relativa de rectes i plans a l’espai a partir de qualsevol representació

6. Aplicar el teorema de Rouché-Fröbenius per discutir les posicions relatives

7. Determinar les equacions de rectes i plans a l’espai

8. Definir i calcular l’angle entre rectes, entre rectes i plans, i entre plans

9. Definir i calcular distàncies entre punts, rectes i plans

10. Càlcul d’àrees i volums a partir del producte vectorial i mixt


Continguts


• Angle entre dues rectes

• Angle entre dos plans

• Angle entre recta i pla

• Projeccions ortogonals

sobre recta i pla

• Distància entre dos punts

• Distància d’un punt i a un

pla

• Distància entre plans

• Distància d’un punt a una

recta

• Distància entre rectes

• Distància d’una recta a un

pla

• Distància entre rectes

• Pla mediador i pla bisec-

tor

• Perpendicular comuna

• Punts simètrics respecte

un punt, una recta o un

pla

• Àrea de paral·lelograms i

triangles

• Volums de pa-

ral·lelepípedes i

tetràedres

• Càlcul de l’angle entre dues rectes, dos

plans, i una recta i un pla

• Determinació de les projeccions orto-

gonals sobre recta i pla

• Càlcul de la distància entre dos punts,

dos plans, un punt i un pla, un punt i

una recta, una recta i un pla, i dues rec-

tes

• Comprensió de la interpretació geomè-

trica del producte vectorial

• Determinació del pla mediador d’un

segment coneguts els seus extrems

• Determinació dels plans bisectors de

dos plans coneguts

• Obtenció de l’equació de la recta per-

pendicular comuna a dues rectes que

s’encreuen

• Obtenció del punt simètric a un altre

punt respecte d’un tercer punt, d’una

recta i d’un pla

• Càlcul d’àrees de paral·lelograms i trian-

gles coneguts els vèrtexs

• Càlcul del volum d’unt tetraedre cone-

guts els vèrtexs

• Assoliment gradual de la capaci-

tat i la voluntat per pensar en la

recta, el pla i l’espai





• Valoració de la inestimable ajuda

de les noves tecnologies per a

representar i analitzar problemes

geomètrics a l’espai

• Interès per arribar de diferents

maneres a resoldre problemes

geomètrics

• Valoració de la utilitat de la re-

presentació gràfica per a

resoldre problemes geomètrics a

l’espai


Metodologia


• Preparació prèvia: cal revisar contingut de la unitat 4 com

l’ expressió analítica del producte escalar, vectorial i mixt i

recordar lleugerament les seves interpretacions geomètri-

ques de l’angle entre dos vectors

• Motivació: en aquesta unitat completem l’estudi dels ele-

ments geomètrics elementals de l’espai, l’univers i l’espai

seran una mica més comprensibles a partir d’ara

1. Representar les possibles posicions relatives entre dues rec-

tes i definir l’angle que formen en cada cas. Deduir la

fórmula per a calcular l’angle de dues rectes que es creuen i

generalitzar-la a la resta de casos. Exemplificar-ho amb un

cas concret

2. Definir la perpendicularitat entre rectes i exemplificar com

determinar-la

3. Seguir el mateix procediment (representació gràfica, justifi-

cació, exemplificació) per a les posicions relatives entre dos

plans i l’angle entre una recta i un pla

4. Definir la perpendicularitat entre plans i entre recta i pla i

exemplificar com determinar-la

5. Definir la distància entre dos punts i enunciar les propietats.

Calcular la distància entre dos punts concrets

6. Per determinar la distància d’un punt a una recta diferenci-

em les posicions relatives gràficament i deduïm la fórmula

per a calcular la distància en el cas de que el punt no perta-

nyi a la recta. Donar un exemple resolt

7. Seguir el mateix procés (representar posicions, deduir fór-

mula en cada cas, donar exemple) per la distància d’un punt

a un pla, entre dues rectes, entre dos plans i entre recta i pla

8. Utilitzar la fórmula de la distància d’un punt a un pla per

trobar la fórmula general de la distància d’un pla a l’origen

de coordenades

9. Explicar i exemplificar el procediment per trobar el pla me-

diador d’un segment

10. Explicar i exemplificar el procediment per trobar el pla bi-

sector de dos plans

11. Explicar i exemplificar el procediment per trobar la recta

perpendicular comuna a dues rectes donades

12. Introduir els conceptes de centre de simetria i pla de sime-

tria necessaris per a calcular el punt simètric d’un punt

respecte d’un altre punt, d’una recta o d’un pla. Donar un

exemple concret

13. Recordem els productes vectorial i mixt i les seves respecti-

ves interpretacions geomètriques. Deduir a partir

d’aquestes com podem calcular l’àrea d’un paral·lelogram i

d’un triangle, i el volum d’un tetraedre

• TIC (Wiris): útil per a representar vectors tant

al pla com a l’espai

• TIC(Descartes): applets molt visuals per a

comprendre propietats mètriques i de sime-

tries, i per a calcular distàncies i angles:

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_dida

cticos/ Geometria_metrica_d3/index.htm

• Connexió: ús del producte escalar per a calcu-lar el treball i l’energia a Física I

• On són les matemàtiques?: en finalitzar aquesta

unitat és bon moment per a realitzar l’activitat

Geometria i bombolles de sabó (veure A.2)

• Selectivitat: calcular distàncies entre punts, rectes i plans (2008-Set-S4-Q4)

• Selectivitat: trobar els punts d’una recta que equidisten d’una recta i un pla (2007-Jun-S2-

Q4)

• Selectivitat: posició relativa de tres plans pen-dent d’un paràmetre (2007-Jun-S2-P6)

• Selectivitat: distància d’un punt a una recta i posició relativa (2007-Jun-S1-P5)


ANÀLISI

El continguts d’aquest bloc són:

L'aplicació de l'estudi local i global d'una funció a situacions geomètriques, cientí-

fiques i tecnològiques

� Una aproximació al concepte de límit d'una funció en un punt i a l'infinit. Asímptotes verticals i horitzontals.

� Continuïtat. Classificació dels punts de discontinuïtat.

� El teorema de Bolzano: un mètode per aproximar arrels.

� Estudi, amb ordinador, dels punts de no derivabilitat d'una funció.

� Estudi de funcions. Representacions gràfiques.

� Ús de calculadores i/o programes informàtics que faciliten tant el càlcul simbòlic com la representació gràfica.

� Problemes d'optimització.

El càlcul d'àrees planes, una de les situacions que requereixen el càlcul integral

� Antiderivades o primitives d'una funció. Càlcul de primitives quasi immedia-tes que es puguin fer directament aplicant les dues regles bàsiques del càlcul integral o amb canvis de variable senzills, i el mètode d'integració per parts.

� Introducció al concepte d'integral definida a partir de l'aproximació del càl-cul de l'àrea sota una corba. Aplicació al càlcul d'àrees.

El bloc es divideix en sis unitats didàctiques amb la distribució de sessions que segueix:

Anàlisi 7. Límits

8. Continuïtat

9. Derivabilitat

10. Aplicacions de la funció derivada: monotonia i optimització

11. Integral indefinida

12. Integral definida

11 sessions

11 sessions

10 sessions

11 sessions

11 sessions

10 sessions

Taula 6: Distribució temporal de les unitats didàctiques del bloc d’Anàlisi

Al final de la unitat didàctica 10. Aplicacions de la funció derivada: monotonia i optimització o al

final d’aquest tercer bloc de coneixement, segons consideri el professor, es realitzarà l’activitat

Optimalitat del tetrabrik o recollit a On són les matemàtiques? (veure 6.2)


8.7. Límits

Des de l’últim curs de l’etapa de secundària s’ha tractat accessòriament la tendència que pre-

senta una funció quan la variable independent s’apropa a una certa quantitat finita o infinita. En

aquesta primera unitat del bloc d’anàlisi formalitzarem aquesta idea intuïtiva, el concepte límit.

És important dedicar el temps que sigui necessari per tal que l’alumnat comprengui i assimili

els conceptes clau que en aquesta, i les dues properes unitats, s’aborden.


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13


1. Comprendre el concepte de funció real de variable real

2. Comprendre intuïtiva i visualment el concepte de límit, conèixer la definició formal de

límit d’una funció en punt i a l’infinit

3. Entendre el concepte de límit lateral i la relació amb el límit d’una funció en un punt

4. Conèixer les propietats i les operacions amb límits

5. Resoldre límits de funcions utilitzant les propietats pertinentment, amb especial èmfa-

si per les funcions racionals

6. Entendre el concepte d’indeterminació, saber distingir i resoldre els diferents tipus

d’indeterminacions

7. Conèixer el concepte d’infinitèsim i infinit

8. Conèixer el concepte d’asímptota d’una funció i reconèixer els diferents tipus

d’asímptotes

9. Obtenir les equacions de les asímptotes d’una funció a partir de la seva expressió al-

gebraica

10. Valorar la importància del càlcul infinitesimal per a l’estudi de funcions


Continguts


• Funció real de variable

real

• Límit finit d’una funció en

un punt

• Límits laterals finits d’una

funció en un punt

• Propietats dels límits

• Indeterminacions

• Límit infinit d’una funció

en un punt

• Límits laterals infinits

d’una funció en un punt

• Límit finit d’una funció en

l’infinit

• Límit infinit d’una funció

en l’infinit

• Operacions amb límits

• Infinitèsims i infinits.

Equivalències

• Asímptota horitzontal

d’una funció

• Asímptota vertical d’una

funció

• Càlcul de límits de funcions en un punt

mitjançant taules de valors

• Càlcul de límits de funcions en un punt

a partir de la seva gràfica

• Càlcul de límits de funcions en un punt utilitzant propietats pertinents

• Càlcul de límits en un punt de funcions definides a trossos

• Càlcul de límits infinits de funcions ra-cionals en un punt

• Càlcul de límits de funcions en l’infinit mitjançant taules de valors

• Càlcul de límits de funcions racionals en l’infinit

• Resolució de les indeterminacions 00, 11,

1¡1, 0 ¢ 1 i 11 • Obtenció de les asímptotes verticals

d’una funció • Obtenció de les asímptotes horitzontals

d’una funció

• Apreciació de la utilitat dels pro-

cediments de càlcul de límits per

resoldre indeterminacions






Metodologia


• Preparació prèvia: és convenient recordar el concepte

d’entorn i el de funció real de variable real

• Motivació: des de fa anys que donem voltes a la ten-

dència que presenta una funció quan la variable

independent s’apropa a una certa quantitat finita o infi-

nita, en aquesta primera unitat afrontem el problema de

cara

1. Introduir el concepte de límit d’una funció en un punt

mitjançat una taula de valors i de la gràfica d’una funció

elemental senzilla en l’entorn d’un punt. Definir formal-

ment el concepte de límit, limx!a f(x)

2. Anàlogament explicar el concepte de límit lateral d’una

funció en un punt (intuïció gràfica → formalització). Ex-

plicar relació entre el límit i els límits laterals,

limx!a¡ f(x) i limx!a+ f (x)

3. Enunciar les propietats bàsiques dels límits i exemplifi-

car com estén nombre de límits funcionals resolubles

4. Exemplificar el càlcul de límits d’altres funcions (polinò-

miques, racionals, trigonomètriques, a trossos, etc)

5. Introduir el concepte d’indeterminació partint de 00 i

exemplificar la resolució analítica d’aquest cas

6. Procedir anàlogament (intuïció gràfica → formalització)

per a explicar el concepte de límit infinit d’una funció en

un punt, limx!a f(x) = §1

7. Observar i exemplificar per a calcular aquest tipus de

límit

8. Procedir anàlogament per a explicar el concepte de límit

finit en l’infinit, limx!§1 f (x) = b

9. Finalment explicar el concepte de límit infinit d’una fun-

ció en l’infinit, limx!§1 f (x) = 1

10. Estendre les propietats de límits als nous límits introdu-

ïts

11. Observar les indeterminacions que poden sorgir en ope-

rar límits finits i infinits.

12. Explicar i exemplificar els mètodes per a resoldre algu-

nes d’aquestes indeterminacions

13. Introduir el concepte d’infinitèsims equivalents exempli-

ficant infinitèsims equivalents prop del zero i observar la

utilitat d’aquest per a resoldre indeterminacions. Recor-

dar el nombre e per a resoldre la indeterminació 11

14. Presentar les asímptotes horitzontals i verticals. A partir

de la gràfica d’una funció donar la idea intuïtiva

d’asímptota. Definir formalment

• Connexió: ús de funcions polinòmiques i de pro-

porcionalitat inversa en la llei dels gasos de Gay-

Lussac o llei de Boyle-Mariotte, Química I

• TIC (WIRIS): permet calcular límits, pot ser una

bona eina de comprovació o guia

• TIC(Descartes): eina visual per a comprendre i

calcular límits de funcions:

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didactic

os/ Limites_de_funciones/index.htm

• Acudit: ¿Qué sucede cuando x tiende a infinito? Que infinito se seca.

• Selectivitat: calcular un límit (2008-Setembre-S4-

P5d)


8.8. Continuïtat

El concepte de continuïtat és possiblement un dels més importants del càlcul, en aquesta uni-

tat en donarem la definició formal i estudiarem les propietats i els resultats més rellevants de les

funcions contínues.

A partir d’exemples curosament escollits, cal fer notar la importància de l’estudi de la continuï-

tat en el comportament de molts fenòmens de la naturalesa.


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13


1. Comprendre el concepte de funció contínua en un punt

2. Conèixer les condicions per a que una funció sigui contínua en un punt

3. Comprendre el concepte de continuïtat lateral d’una funció en un punt i la relació que

s’estableix entre aquesta i la continuïtat

4. Conèixer les propietats de les operacions amb funcions contínues

5. Saber determinar els domini de continuïtat d’una funció

6. Discutir la continuïtat d’una funció depenent de paràmetres

7. Classificar i reconèixer els punts de discontinuïtat d’una funció, tant visualment com

analíticament, i saber-los classificar

8. Conèixer l’enunciat i el significat dels teoremes més elementals relacionats amb la

continuïtat.

9. Conèixer la continuïtat de les funcions elementals i aplicar-la per a estudiar la continu-

ïtat de funcions obtingudes a partir d’operacions amb funcions elementals

10. Conèixer les condicions de continuïtat en un interval tancat

11. Entendre i aplicar el teorema de Bolzano per aproximar arrels de funcions

12. Valorar la importància que té l’estudi de la continuïtat en el comportament de molts

fenòmens de la naturalesa


Continguts


• Funció continua en un

punt

• Funció continua lateral

en un punt

• Suma, resta, producte,

divisió i composició de

funcions contínues

• Discontinuïtat d’una

funció en un punt

• Tipus de discontinuïtats:

evitable, de salt, essencial

i asimptòtica

• Teorema de conservació

del signe en funcions

contínues

• Teorema de Bolzano

• Teorema de Weierstrass

• Teorema del Valor Mig

• Aplicació de les condicions de continuï-

tat d’una funció en un punt i en la recta

real

• Estudi de la continuïtat lateral d’una

funció en un punt

• Determinació del domini de continuïtat

d’una funció

• Determinació i classificació dels tipus de

discontinuïtat d’una funció

• Discussió de la continuïtat d’una funció

depenent de paràmetres

• Verificació de les hipòtesis del teorema

de Bolzano

• Càlcul per aproximació de les solucions

de l’equació f (x) = 0 usant el teorema

de Bolzano

• Aplicació dels teoremes associats a la

continuïtat d’una funció en un interval

• Valoració de la utilitat del càlcul

de límits per a l’estudi de la con-

tinuïtat d’una funció

• Interès pels processos de demos-

tració dels teoremes






Metodologia


• Preparació prèvia: cal recordar els conceptes previs de

màxim i mínim absolut d’una funció en un punt i la defi-

nició de zero d’una funció a partir de la cerca d’arrels de

f (x) = 0

• Motivació: els continguts d’aquesta unitat són de gran

importància per a representar i deduir el comportament

de molts fenòmens naturals, quotidians o del món de la

informació

1. Introduir la idea intuïtiva de continuïtat d’una funció en

un punt a partir de representacions gràfiques de funci-

ons

2. Donar la definició formal i observar les tres condicions

necessàries.

3. Donar la definició de discontinuïtat

4. Introduir el concepte de continuïtat lateral d’una funció

en un punt i observar la relació entre aquests i el límits

d’una funció en un punt.

5. Definir la continuïtat d’una funció en un interval tancat i

semitancat

6. Classificar els diversos tipus de discontinuïtats d’una

funció, observant quines condicions de la definició de

continuïtat no es verifiquen. Donar exemples de cada ti-

pus de discontinuïtat

7. Deduir les propietats de les funcions contínues a partir

de les propietats dels límits de la unitat anterior

8. Estudiar la continuïtat en el seu domini de les funcions

elementals amb ajudar de la representació gràfica

9. Enunciar el teorema de conservació del signe i justificar-

lo gràficament

10. Enunciar el teorema de Bolzano i justificar de manera

intuïtiva la demostració.

11. Exemplificar la utilitat d’aquest resultat per determinar

zeros de funcions (veure Recursos Didàctics),

12. Enunciar el teorema del valor mig i observar que es trac-

ta d’una generalització del teorema de Bolzano

13. Enunciar el teorema de Weierstrass i justificar de maner

intuïtiva la demostració. Explicar els resultats que es de-

riven

• Connexió: Demostració de que sempre existeix

un parell de punts a la Terra amb la mateixa tem-

peratura (aplicació del teorema de Bolzano)

• TIC (Descartes): classificació de discontinuïtats molt visual:


os/ Continuidad_clasificacion_ discontinuidades/

index.htm

• Selectivitat: operacions amb funcions (2008-Set-

S4-P5ac)


8.9. Derivabilitat

Els conceptes de derivada d’una funció en un punt i de funció derivada van ser tractats durant

el curs anterior, tot i així la dificultat intrínseca i pes específic dels mateixos dins el currículum de

Matemàtiques al batxillerat aconsella incloure’ls altra vegada en aquest segon i últim curs.

L’objectiu d’aquesta unitat és donar una fonamentació teòrica suficient per a que l’alumnat

sigui capaç d’assimilar amb cert grau de profunditat el concepte de derivada, amb especial èmfasi

per la seva significació geomètrica i física.


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13


1. Comprendre el significat de la taxa de variació mitjana (TVM) d’una funció en un inter-

val i la seva interpretació geomètrica

2. Comprendre el concepte de derivada d’una funció en un punt i la seva interpretació

geomètrica i física

3. Comprendre el càlcul de derivades aplicant la definició formal

4. Calcular l’equació de la recta tangent a una funció en un punt

5. Comprendre el concepte de derivada lateral per l’esquerra i per la dreta d’una funció, i

també la relació existent entre la derivada i les derivades laterals.

6. Diferenciar quan és necessari calcular derivades laterals d’una funció en un punt per

comprovar l’existència de la derivada en aquest punt

7. Relacionar la continuïtat i la derivabilitat d’una funció en un punt

8. Comprendre el concepte de funció derivada d’una funció i calcular derivades succes-

sives

9. Conèixer les principals regles de derivació i les derivades de funcions elementals

10. Conèixer el concepte de diferencial d’una funció en un punt, la seva interpretació ge-

omètrica i la seva aplicació per a efectuar càlculs aproximats

11. Valorar la importància de la derivada en l’estudi de la variació d’una funció i la seva

aplicació en diferents contextos


Continguts


• TVM d’una funció en un

interval

• Recta tangent a una fun-

ció en un punt

• Derivada d’una funció en

un punt

• Derivades laterals d’una

funció en un punt

• Funció derivada

• Propietats de la derivada

• Regla de la cadena

• Derivades de funcions

elementals

• Derivades de qualsevol

ordre

• Càlcul de la TVM d’una funció en un

interval

• Determinació del pendent de la recta

secant a la gràfica d’una funció per dos

punts

• Càlcul de la derivada d’una funció en un

punt a partir de la definició

• Càlcul de les derivades laterals d’una

funció en un punt

• Derivació de funcions mitjançant les

regles de derivació, utilitzant si és ne-

cessari, la regla de la cadena

• Obtenció de la recta tangent a la gràfica

d’una funció en un punt

• Estudi de la derivabilitat d’una funció en

un punt mitjançant l’estudi de la seva

continuïtat, i a través del càlcul de les

derivades laterals

• Càlcul de les derivades successives

• Obtenció de la derivada de la funció

suma, del producte d’una constant per

una funció, de la funció producte i de la

funció quocient

• Obtenció de les derivades de funcions

elementals

• Valorar la necessitat del concep-

te de derivada per resoldre

problemes de caire geomètric o

físic

• Copsar la naturalesa del concep-

te de derivada i dels objectes

amb què es treballa

• Copsar la importància de les

implicacions físiques de la deri-

vada (veure Recursos Didàctics)





• Participació en els processos que

impliquen treball col·lectiu, dis-

posició a la col·laboració

Metodologia

SEQÜÈNCIA D’APRENENTATGE

• Preparació prèvia: és recomanable recordar la defin

ció de pendent d’una recta, les operacions amb

funcions, la definició de funció composta, la definició de

funció inversa, la condició d’invertibilitat, la definició de

límit i continuïtat d’una funció en un punt

• Motivació: junt amb el concepte de límit (continuïtat),

la derivabilitat és un dels conceptes més importants del

càlcul i ha de ser-ho també per a alumnes de perfil cie

tífico-tecnològic

1. Introduir el concepte de TVM d’una funció en un interval

(veure Recursos didàctics). Exemplificar com la

una mesura de la rapidesa (velocitat) amb què varia la

funció en un interval. Notar que aquesta informació pot

expressar el comportament d’un fenomen natural

2. Donar la definició formal de TVM d’una funció en un i

terval. Donar la interpretació geomètrica de la

(pendent de la recta secant) A partir d’una funció el

mental senzilla calcular el límit de la TVM

tendeix a zero. Observar que si l’interval es redueix a un

punt la TVM coincideix amb el pendent de la

gent en aquest punt

3. Definir formalment la derivada d’una funció en un punt

(veure Recursos didàctics)

4. Deduir l’equació de la recta tangent a la funció en un

punt

5. Introduir el concepte de derivada lateral d’una funció en

un punt. Observar la relació entre les derivades laterals

de la funció i la derivada de la funció en el punt

6. Evidenciar la relació entre continuïtat i derivabilitat a

partir de funcions no contínues donada la no existència

de recta tangent en els punts de discontinuïtat

7. Introduir el concepte de funció derivada. Exemplificar el

càlcul en varis punts concrets, estendre a un punt gen

ric

8. Definir la derivada segona i a continuació la derivada de

qualsevol ordre

9. Deduir les fórmules de les derivades de funcions el

mentals (constant, potencial, ...)

10. Deduir les propietats de la derivada de la funció suma,

quocient i composta. Exemplificar les propietats amb

funcions concretes (polinòmiques)

11. Estudiar la derivació de funcions inverses a partir de la derivada de la funció inversa i la reg

nar un exemple


recomanable recordar la defini-

ció de pendent d’una recta, les operacions amb

funcions, la definició de funció composta, la definició de

funció inversa, la condició d’invertibilitat, la definició de

límit i continuïtat d’una funció en un punt

nt amb el concepte de límit (continuïtat),

la derivabilitat és un dels conceptes més importants del

ho també per a alumnes de perfil cien-

d’una funció en un interval

Exemplificar com la TVM és

una mesura de la rapidesa (velocitat) amb què varia la

funció en un interval. Notar que aquesta informació pot

expressar el comportament d’un fenomen natural

d’una funció en un in-

la interpretació geomètrica de la TVM

A partir d’una funció ele-

mental senzilla calcular el límit de la TVM quan l’interval

. Observar que si l’interval es redueix a un

punt la TVM coincideix amb el pendent de la recta tan-

Definir formalment la derivada d’una funció en un punt

Deduir l’equació de la recta tangent a la funció en un

Introduir el concepte de derivada lateral d’una funció en

relació entre les derivades laterals

de la funció i la derivada de la funció en el punt

Evidenciar la relació entre continuïtat i derivabilitat a

partir de funcions no contínues donada la no existència

de recta tangent en els punts de discontinuïtat

uir el concepte de funció derivada. Exemplificar el

càlcul en varis punts concrets, estendre a un punt genè-

Definir la derivada segona i a continuació la derivada de

Deduir les fórmules de les derivades de funcions ele-

Deduir les propietats de la derivada de la funció suma,

quocient i composta. Exemplificar les propietats amb

funcions concretes (polinòmiques)

Estudiar la derivació de funcions inverses a partir de la

derivada de la funció inversa i la regla de la cadena. Do-

• Selectivitat: determinar els paràmetres tal que

certa recta sigui tangent en un polinomi de grau

dos (2008-Set-S4-Q1)

• Selectivitat: calcular un límit (2008

• Selectivitat: determinar dos paràmetres de man

ra que les gràfiques de dues funcions siguin

tangents en un cert punt i trobar la recta tangent

(2007-Set-S3-P6ab)

• Selectivitat: recta tangent i posició relativa (2007Jun-S1-Q1)

• Connexió: en les equacions que donen la posició d’un mòbil i la seva velocitat

en un MRU la velocitat mitjana en un interval de

temps considerat és la TVM

• Connexió: ús de la derivació de funcions relacinades amb el corren altern,

• TIC (GeoGebra): applet sobre el concepte de dervada, visualització molt clara de la definició

geomètrica (variació del pendent de la recta ta

gent): http://www.geogebra.org/en/examples/

function_slope/function_slope1.html

• TIC(Descartes): applets per a comprendre el d

mini de derivabilitat:


os/Funcion_derivada/derivada_indice.htm

• Connexió: senyalitzant caraterístiques del trànsit i ca

reteres amb la derivada


RECURSOS DIDÀCTICS

determinar els paràmetres tal que

certa recta sigui tangent en un polinomi de grau

calcular un límit (2008-Set-S4-P5b)

determinar dos paràmetres de mane-

que les gràfiques de dues funcions siguin

tangents en un cert punt i trobar la recta tangent

recta tangent i posició relativa (2007-

en les equacions que donen la posició

d’un mòbil i la seva velocitat en funció del temps

en un MRU la velocitat mitjana en un interval de

és la TVM, Física

ús de la derivació de funcions relacio-

nades amb el corren altern, Electrotècnia

sobre el concepte de deri-

visualització molt clara de la definició

geomètrica (variació del pendent de la recta tan-

http://www.geogebra.org/en/examples/

function_slope/function_slope1.html

applets per a comprendre el do-

cnice.mec.es/materiales_didactic

os/Funcion_derivada/derivada_indice.htm

senyalitzant carac-

ques del trànsit i car-


8.10. Aplicació de la funció derivada: monotonia i optimització

En la unitat anterior hem introduït la fonamentació teòrica de la derivació, en aquesta unitat

farem ús de la funció derivada i estudiarem algunes de les seves propietats.

D’una banda utilitzarem la funció derivada per a la determinació de la monotonia i la curvatu-

ra d’una funció i, junt als coneixements previs de l’estudi d’una funció, l’aplicarem per a obtenir la

seva representació gràfica. De l’altra usarem l’estudi de la monotonia i, en particular, l’existència

d’extrems relatius per a plantejar i resoldre problemes d’optimització. Finalment, presentarem

mètodes per a trobar zeros de funcions i per a la resolució d’un cert tipus d’indeterminacions grà-

cies a propietats de les funcions derivables.


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13


1. Estudiar la monotonia d’una funció en un punt i en un interval a partir de la seva fun-

ció derivada

2. Determinar l’existència d’extrems relatius d’una funció

3. Estudiar curvatura d’una funció en un punt i en un interval a partir de la seva funció

derivada segona

4. Determinar l’existència de punt d’inflexió d’una funció

5. Representar gràficament una funció a partir de l’estudi de la seva expressió analítica

6. Usar calculadores i/o programes informàtics que faciliten la representació gràfica de

funcions

7. Conèixer els teoremes de Rolle i de Lagrange i saber interpretar el significat geomètric

8. Conèixer i aplicar la regla de l’Hôpital per a resoldre indeterminacions

9. Resoldre problemes d’optimització

10. Valorar l’aplicació de les derivades en l’estudi de funcions i en la resolució de proble-

mes d’altres camps


Continguts


• Relació entre la monotonia

de f(x) i el signe de f0(x)

• Extrems relatius

• Relació entre la curvatura

de f(x) i el signe de f00(x)

• Punts d’inflexió

• Representació gràfica de

funcions

• Teorema de Rolle

• Teorema de Lagrange

• Regla de l’Hôpital

• Estudi de la monotonia d’una funció

en un punt i en un interval a partir de

la funció derivada

• Determinació dels extrems relatius

d’una funció

• Estudi de la curvatura d’una funció en

un punt i en un interval a partir de la

funció derivada segona

• Determinació dels punts d’inflexió

• Representació gràfica d’una funció a

partir de l’anàlisi de característiques

principals (punts de tall, simetries,

asímptotes, monotonia, curvatura, ...)

• Plantejament i resolució de problemes

d’optimització

• Utilització de la calculadora i/o pro-

grames informàtics per a la

representació gràfica de funcions

• Aplicació del teorema de Rolle per a

detectar i obtenir zeros de funcions

• Aplicació del teorema de Lagrange

per a obtenir punts on la recta tangent

té el pendent desitjat

• Utilització de la regla de l’Hôpital per a

resoldre indeterminacions

• Valoració la representació gràfica

de funcions per avaluar el com-

portament del fenomen que

representen





• Valoració de la calculadora i els

recursos informàtics a l’hora de

representar amb precisió la grà-

fica d’una funció


Metodologia


• Preparació prèvia: evocar la definició i la interpretació geomètrica

de la derivada, el teorema de Bolzano i el de Weierstrass. Recordar

els conceptes de Matemàtiques relacionats amb l’estudi de funcions

elementals: punts de tall, simetria, periodicitat, ...

• Motivació: en aquesta unitat farem ús de la funció derivada per a

estudiar funcions fàcilment i per a resoldre problemes

d’optimització

1. Enunciar la definició de derivada d’una funció en un punt i obtenir la

relació entre monotonia i signe de la derivada. Donar un exemple

2. Justificar la condició necessària d’extrem relatiu, f 0(x0) = 0 i obser-

var que no és condició suficient. Considerar el signe de la funció

derivada als laterals del candidat a extrem relatiu i raonar la seva

existència a partir del pendent de la recta tangent. Donar un exem-

ple

3. Establir el procediment per a determinar intervals monotonia

4. Explicar com utilitzar la calculadora gràfica i/o l’ordinador per a re-

presentar funció (veure Recursos Didàctics)

5. Definir els conceptes de convexitat i concavitat en un punt

6. Deduir les condicions que ha de complir la segona derivada per a

que la funció sigui convexa o còncava en un punt. Donar un exem-

ple

7. Definir punt d’inflexió d’una funció en un punt i justificar la condició

necessària de punt d’inflexió, f 00(x0) = 0 . Considerar el signe de la

segona derivada als laterals del candidat a punt d’inflexió i raonar la

seva existència. Donar un exemple

8. Establir els procediment per a determinar intervals de convexitat i

concavitat

9. Evocar l’estudi de les característiques principals d’una funció: domi-

ni, punts de tall amb els eixos, signe, simetries, periodicitat,

asímptotes, monotonia, extrems relatius, curvatura i punts d’inflexió

10. Representar gràficament un funció a partir de tota la informació re-

collida. Donar exemples del procediment ordenat de representació

11. Observar la utilitat per a resoldre problemes d’optimització a partir

de l’estudi de monotonia i d’extrems relatius. Donar nombrosos

exemples reals (veure Recursos Didàctics)

12. Enumerar els passos per a resoldre problemes d’optimització. Donar

diversos exemples resolts relacionats amb altres àmbits

13. Enunciar i demostrar el teorema de Rolle. Donar la interpretació ge-

omètrica i donar un exemple concret

14. Enunciar i demostrar el teorema de Lagrange. Notar la equivalència

al teorema de Rolle

Enunciar la regla de l’Hôpital. Observar la utilitat per a calcular límits

amb indeterminacions del tipus 00 i 11. Donar un exemple

• Selectivitat: determinar extrems rela-

tius, monotonia, esbós de la derivada

a partir de la gràfica d’una funció

(2008-Jun-S2-P5)

• Selectivitat: donar l’expressió analítica d’una funció a partir de la representa-

ció gràfica de la funció derivada

(2007-Set-S3-Q4)

• Selectivitat: petites qüestions sobre una funció a partir de la gràfica de la

funció derivada (2007-Jun-S2-Q2)

• Selectivitat: determinar un paràmetre

tal que les tangents en els punts

d’inflexió de certa corba siguin per-

pendiculars (2007-Jun-S2-Q3)

• Selectivitat: continuïtat i derivabilitat pendent de dos paràmetres (2008-

Jun-S5-Q1)

• Selectivitat: optimització (2007-Jun-

S2-P5)

• Selectivitat: optimització (2008-Jun-

S5-P6)

• TIC(GeoGebra, Wiris): tant el GeoGe-

bra com la calculadora Wiris són eines

molt útils per a la representació de

funcions

• TIC (GeoGebra): applet de la optimit-

zació del volum d’un cilindre inscrit

en una piràmide:

http://www.iespravia.com/rafa/ escu-

ela_MG/derivada/42b.htm

• TIC (GeoGebra): optimització del

preu d’una llauna de Coca-Cola en

base a la seva superfície:

http://www.recursos.pnte.cfnavarra.e

s/

~msadaall/geogebra/figuras/o3lata.h

tm

• TIC (WIRIS): la calculadora Wiris per-

met calcular integrals definides i

indefinides

• On són les matemàtiques?: en finalitzar

aquesta unitat pot ser bon moment

per a realitzar l’activitat Optimalitat

d’un tetrabrik


8.11. Integral indefinida

En aquesta unitat es resol el problema de recuperar una funció coneguda la seva derivada.

S’exposen els conceptes i les tècniques per a trobar aquesta funció que no és única anomenada

integral indefinida. Introduirem doncs els fonaments bàsics del càlcul integral i abordarem el càl-

cul de primitives quasi immediates que es puguin fer directament aplicant les dues regles

bàsiques del càlcul integral o amb canvis de variable senzills, i el mètode d'integració per parts.


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13


1. Entendre la integració com a operació inversa de la derivació

2. Conèixer el concepte de primitiva d’una funció i d’integral d’una funció, i la relació en-

tre tots dos

3. Determinar la integral indefinida com el conjunt de les primitives d’una funció

4. Calcular integrals indefinides immediates

5. Conèixer les propietats de la integral indefinida i utilitzar-les per a calcular integrals

indefinides senzilles mitjançant el mètode de descomposició

6. Calcular integrals indefinides mitjançant diferents mètodes: canvi de variable, per

parts i d’integració de funcions racionals

7. Conèixer i utilitzar els principals mètodes d’integració: canvi de variable, integració per

parts, integració de funcions racionals i de funcions trigonomètriques

8. Analitzar i triar adequadament quin mètode d’integració utilitzar en cada cas


Continguts


• Primitiva d’una funció

• Integral indefinida

• Propietats de la integral

indefinida

• Integrals immediates

• Mètode d’integració per

canvi de variable

• Mètode d’integració per

parts

• Integració de funcions

racionals senzilles

• Integració de funcions

trigonomètriques

• Càlcul de les integrals immediates i

quasi immediates

• Aplicació de les propietats de la integral

indefinida per a calcular integrals de

funcions senzilles pel mètode de des-

composició

• Càlcul d’integrals aplicant el mètode de

canvi de variable

• Càlcul d’integrals aplicant el mètode

d’integració per parts

• Càlcul d’integrals de funcions racionals

senzilles (arrels reals simples)

• Càlcul d’integrals de funcions trigono-

mètriques

• Copsar la naturalesa del concep-

te de integral i dels objectes amb

què es treballa





• Comunicació emprant el llen-

guatge matemàtic

• Valoració de la inestimable ajuda

de les noves tecnologies pel càl-

cul de primitives

• Interès per comprovar el resul-

tats obtinguts

• Valorar la importància del càlcul

integral en la resolució de pro-

blemes pràctics i en la seva

aplicació en l’àmbit de la ciència

i de la tècnica (veure Recursos

Didàctics)


Metodologia


• Preparació prèvia: refrescar el teorema del valor mitjà i les

seves conseqüències geomètriques

• Motivació: què és una integral? en aquesta unitat abordem

un concepte totalment nou que junt amb la propera unitat

ens donaran uns coneixements d’estudi de funcions gens

menyspreable

1. Plantejar el problema invers a l’obtenció de la derivada. Do-

nar un exemple concret resolt.

2. Donar la definició de primitiva i fer notar i demostrar que si

existeix una primitiva aleshores existeixen infinites

3. Demostrar a partir del teorema del valor mitjà que una funció

definida en un interval tancat no pot tenir altres primitives

llevat de l’addició d’una constant

4. Definir el concepte d’integral indefinida presentant perti-

nentment la notació associada (explicar context històric,

veure Recursos Didàctics)

5. Enunciar i demostrar les propietats més rellevants de les inte-

grals indefinides. Donar exemples d’aplicació

6. Donar una taula d’integrals immediates. Donar exemples d’ús

7. Explicar com calcular integrals on l’integrant és de la forma

f (g(x)):g0(x) sent f (x) l’integrant d’una integral indefinida

immediata. Donar un exemple

8. Generalitzar la taula d’integrals immediates procurant que

l’alumnat comprengui el procés de generalització

9. Presentar el mètode d’integració per descomposició. Donar

varis exemples d’aplicació

10. Presentar el mètode d’integració per canvi de variable. Expli-

car el procediment d’aplicació i mostrar exemples resolts

11. Presentar el mètode d’integració per parts procurant justificar

la fórmula corresponent. Donar varis exemples d’aplicació

12. Presentar el mètode d’integració de funcions racionals. Intro-

duir el mètode general de descomposició en fraccions

simples. Donar exemples d’aplicació

13. Finalment, presentar les tècniques d’integració d’algunes

funcions trigonomètriques

14. Observar la dimensió del conjunt de funcions integrables en-

front del conjunt de funcions no integrables

• Context històric: informació sobre el sím-

bol integral R

:

http://es.wikipedia.org/wiki/S_larga

• TIC (WIRIS): permet calcular integrals defi-

nides i indefinides i representar la funció

que estem integrant

• Selectivitat: calcular una integral indefi-nida (2008-Jun-S2-Q1a)


8.12. Integral definida

En aquesta última unitat del bloc i del curs s’introdueix el concepte d’integral definida a partir

de l’aproximació del càlcul de l’àrea sota una corba, la integral de Riemann. Un cop formalitzats

aquests càlculs i estudiades les propietats principals, s’explica el teorema fonamental de càlcul i la

regla de Barrow.

Finalment, els continguts del curs es tanquen amb l’aplicació d’aquests resultats per al càlcul

d’àrees de recintes plans i del volum de cossos de revolució.


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13


1. Comprendre el concepte d’integral definida d’una funció contínua en l’interval [a; b] i

identificar-lo amb l’àrea sota una corba

2. Conèixer les propietats principals de les integrals definides

3. Enunciar el teorema del valor mitjà del càlcul integral, i comprendre la seva interpre-

tació geomètrica

4. Enunciar el teorema fonamental del càlcul, i aplicar-lo a la derivació de funcions

definides per una integral definida

5. Calcular integrals definides a partir de la regla de Barrow

6. Determinar àrees de diverses figures planes aplicant el càlcul integral

7. Calcular el volum d’un sòlid de revolució a partir del càlcul integral

8. Valorar la utilitat de les integrals definides per a abordar una gran varietat de proble-

mes d’aplicació en altres àrees


Continguts


• Àrea sota una corba

• Sumes de Riemann

• Integral definida

• Propietats de la integral

definida

• Teorema del valor mig

• Regla de Barrow

• Funció integral

• Teorema fonamental del

càlcul

• Àrees de recintes plans

• Volum d’un sòlid de revo-

lució

• Càlcul d’àrees sota funcions lineals

• Càlcul de les sumes de Riemann de

l’àrea de la figura plana que limita una

funció en l’interval [a; b], l’eix

d’abscisses i les rectes x = a i x = b

• Càlcul d’integrals definides a partir de la

regla de Barrow

• Càlcul de l’àrea limitada per la gràfica

d’una funció contínua, l’eix d’abscisses i

les rectes x = a i x = b

• Càlcul de l’àrea limitada per la gràfica de

dues funcions contínues i les rectes

x = a i x = b

• Determinació del punt mig d’una inte-

gral definida quan el teorema del valor

mig garanteix l’existència

• Càlcul del volum d’un sòlid de revolució

• Valoració de la utilitat de les

integrals definides en la resolu-

ció de diferents problemes

d’aplicació a la geometria





• Confiança en les pròpies capaci-

tats per a abordar, individual o

col·lectivament, diferents pro-

blemes, respectant opinions i

plantejaments aliens


Metodologia


• Preparació prèvia: és convenient recordar les fórmules

d’algunes àrees i volums (area del rectangle, volum de

l’esfera, ...)

• Motivació: hem arribat al final, aquesta unitat tanca el

curs de Matemàtiques II, i ho fem per la porta gran, uti-

litzant la potència de les eines de la unitat anterior per a

calcular àrees de recintes plans i cossos de revolució

1. Plantejar el problema de calcular l’àrea de la regió plana

limitada per la gràfica d’una funció i l’eix d’abscisses en

un interval

2. Calcular geomètricament l’àrea limitada per una funció

lineal en [a; b]. Generalitzar el procediment a funcions

més complexes mitjançant aproximacions de rectangles

3. Presentar un exemple concret i aproximar l’àrea, prèvi-

ament sabuda, amb una certa precisió. Explicar la

construcció formal de la integral de Riemann

4. Definir amb rigor la integral definida en [a; b] d’una fun-

ció contínua en [a; b]

5. Enunciar les principals propietats de la integral definida

en [a; b]. Justificar les propietats gràfica o intuïtivament

6. Presentar el teorema del valor mitjà del càlcul integral.

Donar la interpretació geomètrica en un cas concret

7. Enunciar el teorema fonamental del càlcul i la seva utili-

tat per a calcular la derivada d’una funció definida per

una integral definida

8. Deduir la regla de Barrow a partir del teorema fonamen-

tal del càlcul. Notar la utilitat de la regla de Barrow per a

calcular integrals definides

9. Presentar el procediment ordenat per a calcular inte-

grals definides

10. Explicar la relació entre les integrals definides i el càlcul d’àrees de figures planes

11. Calcular l’àrea limitada per un funció contínua i l’eix

d’abscisses en [a; b]. Donar exemples en cas que

f (x) > 0 i f (x) < 0 en [a; b]

12. Calcular l’àrea limitada per dues funcions i l’eix

d’abscisses en [a; b]. Donar la casuística en funció del

signe de les funcions en [a; b]. Donar varis exemples con-

crets

13. Deduir el mètode per a calcular el volum d’un sòlid de

revolució generat per una funció contínua en [a; b] en gi-

rar al voltant de l’eix d’abscisses

• TIC (GeoGebra): applet de la construcció de la integral de Riemann

http://www.geogebra.org/en/examples/integral/l

oweruppersum.html

http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/ Geo

Gebra/SumasRiemann.html

• TIC (WIRIS): permet calcular integrals definides i

indefinides i representar la funció que estem in-

tegrant

• On són les matemàtiques?: en finalitzar aquesta

unitat pot ser bon moment per a realitzar

l’activitat Optimalitat del tetrabrik

• Context històric: el mètode dels indivisibles de

Bonaventura Cavalieri per al càlcul d’àrees

• Exemplificar del principi de Cavalieri a partir d’una

pila de monedes

• Aplicacions del càlcul integral en la resolució de problemes pràctics i científics

• Selectivitat: calcular l’àrea entre certa funció i l’eix d’abscisses en un interval concret (2008-Jun-S2-

Q1b)

• Selectivitat: calcular l’àrea sota certa funció i l’eix d’abscisses en un interval concret (2007-Set-S3-

P6c)

• Selectivitat: trobar extrem relatius i càlcul d’una

àrea (2007-Jun-S1-Q3)


A. ON SÓN LES MATEMÀTIQUES?

Els documents que es presenten en aquesta secció no són guions didàctics complets de les

activitats On són les matemàtiques? sinó material orientatiu sobre alguns dels aspectes conceptu-

als, didàctics i logístics més rellevants. Les orientacions, junt amb la bibliografia proposada, són

material suficient per a preparar les activitats a l’aula.

A.1. APROXIMACIÓ AL TRACTAMENT D’IMATGES USANT LLENGUATGE MATRICIAL

A.1.1. Introducció i motivació

L’objectiu d’aquesta activitat és exemplificar de manera clara i concisa com és possible el trac-

tament d’imatges digitals o digitalitzades a través de l’ordinador utilitzant conceptes i

procediments apressos al bloc d’Àlgebra lineal. En particular, a través de la matematització

d’imatges en llenguatge matricial i a partir operacions matricials realitzarem algunes de les trans-

formacions més usuals en el tractament d’imatges digitals.

La utilitat i la utilització del tractament d’imatges avui dia és aclaparador. Des d’aplicacions

mèdiques com la detecció de patologies (veure imatge), fins a radars policials, generació de ma-

pes a partir de fotografies com el Google Maps i un llarg etcètera.

Imatge 1: Noticia d'actualitat d'una aplicació sanitària del tractament d'imatges


A.1.2. Objectius

Els objectius que en major o menor mesura podem treballar són els següents:

• Connectar el llenguatge matricial, les operacions matricials i el tractament d’imatges

digitals

• Provocar descripcions verbals en les quals s'utilitzi el vocabulari algebraic

• Il·lustrar com el llenguatge algebraic és present en aplicacions tecnològiques

A.1.3. Conceptes bàsics

Una matriu de dimensió elements a es una objecte de la forma

0

B

B

B

@

a11 a12 ¢ ¢ ¢ a1m

a21 a22

.... . .

a1n anm

1

C

C

C

A

on els elements de la matriu aij 2 R i les dimensions n; m 2 Z . Més compactament ens referim

una matriu simplement per [aij ].

Forma part del contingut de batxillerat operacions matricials com la suma de matrius, el pro-

ducte per escalars i el producte de matrius.

Suma de matrius

A = [aij ] de dimensió

B = [bij ] de dimensió

A + B = S on S = [sij ] de dimensió i

sij = aij + bij per

Producte per un escalar


k 2 Z

k ¢ A = E on E = [eij ] de dimensió nxm i

eij = k ¢ aij per i = 1; : : : ; n j = 1; : : : ; m


Producte de matrius


B = [bij ] de dimensió

on de dimensió i

pij =

nX

k=1

aikbkj per i = 1; : : : ; n j = 1; : : : ; q

A.1.4. Què és una imatge digital?

Una imatge digital és una cel·la dividida en píxels. Els píxels són els components més petits

d’una imatge digital, com els àtoms de la matèria. Cada píxel és un espai de la memòria de

l’ordinador on s’emmagatzema la definició de color d’una petita porció de la imatge.

Qualsevol color es pot obtenir com a combinació de tres colors: vermell, verd, blau (contingut

de Dibuix Tècnic). És el que anomenem escala RGB, aquesta escala consisteix en tres xifres entre 0

i 256 on cada una indica el nivell de cada color bàsic. Existeixen altres maneres de representar el

color, com l’escala CYMK, però no les farem servir en aquesta activitat.

Podem representar doncs una imatge digital (RGB) a partir d’una matriu de dimensió on

cada element de la matriu aij és un vector de tres components (x1; x2; x3) representant els nivells

de cada color bàsic que suposarem valors enters l’interval [0; 255].

A.1.5. Algunes operacions (filtres) amb imatges

Suposarem que representa la matriu que defineix la imatge a la qual aplicarem una trans-

formació, serà la matriu de transformació i la matriu resultat, totes elles de dimensió .

Exemple:

Aquesta imatge és l’ampliació d’una zona de dimensió 3x3 d’una imatge digital. La matriu corresponent a aquest tros de la imatge és

0

@

(151;198;255) (167;202;250) (178;207;249)(176;220;255) (190;223;254) (197;220;253)(209;224;245) (216;229;247) (217;228;246)

1

A


Ajust de canals

Consisteix en manipular la intensitat d’un únic canal a la vegada, ja sigui el vermell, el verd o el blau, independentment. Per exemple, si volem ajustar el canal verd amb una variació fem:

M + T = R

0

B

B

B

@

m11 m12 ¢ ¢ ¢ m1m

m21 m22 m2m

......

. . ....

m1n m2n ¢ ¢ ¢ mnm

1

C

C

C

A

+

0

B

B

B

@

(0; p; 0) (0; p; 0) ¢ ¢ ¢ (0; p; 0)(0; p; 0) (0; p; 0) (0; p; 0)

......

. . .

(0; p; 0) (0; p; 0) ¢ ¢ ¢ (0; p; 0)

1

C

C

C

A

= R

on mij és un vector (rij ; gij ; bij) corresponent a la imatge original

Ajust de lluentor

L’ajust de lluentor és una de les transformacions més usades i, alhora, de les més elementals. La lluentor és el percentatge de luminescència o obscuritat d’un color, el 0% significa negre i el 100% significa blanc. La transformació equivalent a un canvi de lluentor és la següent:

M + T = R

0

B

B

B

@

m11 m12 ¢ ¢ ¢ m1m

m21 m22 m2m

......

. . ....


1

C

C

C

A

+

0

B

B

B

@

(p; p; p) (p; p; p) ¢ ¢ ¢ (p; p; p)(p; p; p) (p; p; p) (p; p; p)

......

. . .

(p; p; p) (p; p; p) ¢ ¢ ¢ (p; p; p)

1

C

C

C

A

= R

on mij és un vector (rij ; gij ; bij) corresponent a la imatge original i p 2 [¡100; 100] és el paràmetre d’ajust de lluentor

Inversió de colors (negatiu)

Aquest operació consisteix en invertir els tres canals RGB, i.e. convertint-los en el seu negatiu. Un procés similar és el que té lloc en el revelat de negatius fotogràfics. La transformació equivalent a un canvi de lluentor és la següent:

T ¡M = R

0

B

B

B

@

(255;255; 255) ¢ ¢ ¢ (255; 255; 255)(255;255; 255) (255; 255; 255)

.... . .

...(255;255; 255) ¢ ¢ ¢ (255; 255; 255)

1

C

C

C

A

¡

0

B

B

B

@

m11 m12 ¢ ¢ ¢ m1m

m21 m22 m2m

......

. . ....


1

C

C

C

A

= R

on mij és un vector (rij ; gij ; bij) corresponent a la imatge original


Ajust de Contrast

El contrast és refereix a la diferència entre les zones obscures i les clares d’una imat-ge. És la transformació més complexa que de les aquí presentades. La transformació equivalent a un canvi de lluentor és la següent:

kc(1

255M ¡ T ) + 255T = R

kc

0

B

B

B

@

1

255

0

B

B

B

@

m11 m12 ¢ ¢ ¢ m1m

m21 m22 m2m

......

. . ....


1

C

C

C

A

¡

0

B

B

B

@

t11 t12 ¢ ¢ ¢ t1t

t21 t22 t2t

......

. . ....

t1n t2n ¢ ¢ ¢ tnt

1

C

C

C

A

1

C

C

C

A

+

+ 255

0

B

B

B

@

t11 t12 ¢ ¢ ¢ t1t

t21 t22 t2t

......

. . ....

t1n t2n ¢ ¢ ¢ tnt

1

C

C

C

A

= R

on és un vector (rij ; gij ; bij) corresponent a la imatge original, tij = ( 1

2; 1

2; 1

2) i

kc = 100+p

100 on és un paràmetre d’ajust de contrast escollit per l’usuari

A part d’aquestes transformacions també seria interessant aplicar altres transformacions estu-

diades a classe, com la inversa o la trasposta, i analitzar els resultats obtinguts en la imatge.

A.1.6. Alguna consideració referent a la implementació de l’activitat

La dificultat conceptual de l’activitat és molt adient al nivell de continguts de matèria de Ma-

temàtiques II, tot i així, per tal d’implementar l’activitat cal un software prou potent per a realitzar

operacions matricials i, sobretot, tractament d’imatges.

De les opcions disponibles actualment, es suggereix GNU Octave donat que es tracta d’un

programa de lliure distribució usat en estudis superiors i en recerca. A pesar de ser un software

que no està pensat per a l’ensenyament, a partir d’una bona preparació prèvia de la sessió per

part del professor i una guia de seguiment per l’alumnat adaptada al temps i les capacitats po-

dem aconseguir que l’alumnat sigui capaç d’aplicar els tractaments a la imatge amb èxit i fluïdesa.

A.1.7. Material

Per a realitzar aquesta pràctica és necessari:

• Aula d’ordinadors amb el software matemàtic gratuït GNU Octave (o equivalent)


• Imatges en format digital o paper (cada alumne pot portar la seva)

A.1.8. Duració de l’activitat

L’activitat té una durada mínima d’una sessió. Tot i així, en cas de que fos necessari, variant la

profunditat d’implementació per part de l’alumnat la llargada de l’activitat pot allargar-se un pa-

rell de sessions més.

Crèdits

Adaptació a partir del treball de Hector Zárate Aplicación de las Matrices en el Procesamiento de

Imágenes, Universidad Nacional Autónoma de México, Facultad de Ingeniería. Llicència Creative

Commons 3.0.


A.2. GEOMETRIA I BOMBOLLES DE SABÓ

A.2.1. Introducció i motivació

L’objectiu d’aquesta activitat és constatar d’una manera lúdica i divertida les possibilitats que

ofereixen les matemàtiques per a descriure i predir processos naturals i, en particular, per a expli-

car el geometria del comportament de les bombolles de sabó entrellaçant-hi conceptes treballats

a l’aula.

Motivacions per a dur a terme aquesta activitat a l’aula hi ha moltes, al llarg d’aquesta pro-

gramació se n’ha citat algunes i a la Imatge 2 se’n veuen moltíssimes més.

Imatge 2: Una senzilla i perfecte bombolla de sabó.

A.2.2. Objectius

Els objectius que en major o menor mesura podem treballar són els següents:

• Estimular la percepció espacial

• Provocar descripcions verbals en les quals s'utilitzi el vocabulari geomètric com el pro-

ducte mixt o vectorial, la unicitat de solucions, ...


• Provocar descripcions gràfiques en les quals es treballi la representació plana d'objec-

tes tridimensionals

• Il·lustrar propietats de figures i relacions entre objectes matemàtics: longituds, àrees i

volums, posicions relatives i interseccions de plans i rectes a l'espai o simetries

A.2.3. Lleuger marc teòric, una mica de física

La tensió superficial dels líquids tendeix a fer mínima la superfície exterior que mostren. Per

això, quan cauen lliurement formen gotes esfèriques (l'esfera és la figura que, per un volum donat

presenta menys superfície exterior). D’altra banda, el sabó té l'efecte de disminuir la tensió super-

ficial i, en conseqüència, permetre la laminació en superfícies mínimes. La glicerina augmenta la

consistència d'aquestes superfícies. Tanmateix, a mesura que les pel·lícules sabonoses van per-

dent aigua, es fan més fines i acaben per trencar-se.

A.2.3. Experiències proposades

En relació als continguts de l’assignatura Matemàtiques II les experiències que ens permetran

assolir els objectius proposats són les següents (poden ampliar-se!):

1. Comprovació de la tendència del líquid a generar superfícies mínimes

2. Comprovació de la tensió superficial de l’aigua amb sabó

3. Construcció d’una esfera

4. Construcció d’una banda de Moëbius

5. Construcció d’un tetraedre regular

6. Construcció d’un cub

Les experiències estan molt ben explicades a [1,2] de la secció Crèdits i referències d’aquest an-

nex.


A.2.4. Alguna consideració referent a la implementació de l’activitat

Si bé el coneixement que es despendrà d’aquesta activitat no està íntimament relacionat amb

els continguts del curs, la dificultat conceptual de l’activitat no comportarà problemes de segui-

ment.

Per a incrementar les possibilitats d’èxit de l’activitat és convenient testejar la qualitat de la

mescla i provar les experiències proposades amb les mateixes estructures amb les que posterior-

ment es realitzarà l’activitat. Així mateix, la preparació d’una guia de seguiment per a l’alumnat

adaptada al temps i les capacitats en facilitarà un millor seguiment.

A.2.5. Material

La recepta de la mescla de líquid proposada pel professor Eduard Gallego és la següent:

- 1 part de sabó líquid de cuina (Fairy o similar)

- 10 parts d’aigua (millor destil·lada)

- 1/4 part de glicerina

Per a fer les bombolles necessitarem estructures que podem construir fàcilment amb fils, fil-

ferro tou i/o palletes per beure. Les estructures variaran en funció de les experiències que

realitzem [1].

A.2.6. Duració de l’activitat

L’activitat té una durada mínima d’una sessió però donat el caràcter fortament experimental

es recomana dedicar-hi al menys dues sessions. Així mateix, la durada de l’activitat es pot allargar

enriquint o escurçant el nombre experiències proposades.

Crèdits i referències

L’activitat Geometria i bombolles de sabó proposada en aquesta programació està basada en

els diferent material relacionat elaborat per part dels professors Anton Aubanell i Eduard Gallego.


El treball “Geometry with soap bubbles” del professor Anton Aubanell va ser premiat al con-

curs europeu Physics on Stage 3 de 2003 cel·lebrat a l’Agència Espacial Europea a Nooordwijk

(Holanda)

[1]. Geometria i bombolles de sabó, A. Aubanell, Llicència d’estudis retribuïts “Recursos mate-

rials i activitats experimentals en l’educació matemàtica a secundària”, Fitxa F77.

[2]. Superfícies d’àrea mínima i bombolles de sabó, E. Gallego


B. CALENDARI ACADÈMIC PER BLOCS DE CONEIXEMENT

Aquest calendari acadèmic presenta la distribució temporal del desenvolupament dels blocs

de coneixement. La distribució és orientativa i les dates de selectivitat, avaluacions i exàmens fi-

nals aproximades a partir d’anys anteriors.

2009-2010

SETEMBRE

DL DM X DJ DV 1 2 3 4 7 8 9 10 11

14 15 16 17 18

21 22 23 24 25 28 29 30

OCTUBRE

DL DM X DJ DV 1 2 5 6 7 8 9 12 13 14 15 16 19 20 21 22 23 26 27 28 29 30

NOVEMBRE

DL DM X DJ DV 2 3 4 5 6 9 10 11 12 13 16 17 18 19 20 23 24 25 26 27 30

DESEMBRE

DL DM X DJ DV 1 2 3 4 7 8 9 10 11 14 15 16 17 18 21 22 23 24 25 28 29 30 31 1

GENER

DL DM X DJ DV 4 5 6 7 8 11 12 13 14 15 18 19 20 21 22 25 26 27 28 29

FEBRER

DL DM X DJ DV 1 2 3 4 5 8 9 10 11 12 15 16 17 18 19 22 23 24 25 26

MARÇ

DL DM X DJ DV 1 2 3 4 5 8 9 10 11 12 15 16 17 18 19 22 23 24 25 26 29 30 31

ABRIL

DL DM X DJ DV 1 2

5 6 7 8 9 12 13 14 15 16 19 20 21 22 23 26 27 28 29 30

MAIG

DL DM X DJ DV 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14 17 18 19 20 21 24 25 26 27 28 31

JUNY

DL DM X DJ DV 1 2 3 4 7 8 9 10 11 14 15 16 17 18

21 22 23 24 25

28 29 30

Àlgebra lineal Dies sense alumnes Final classes regulars

Geometria a l’espai Festius Setmana selectivitat

Anàlisi Inici/final curs regular Exàmens de recuperació

Repàs selectivitat Avaluació Final


REFERÈNCIES

[1]. Convocatòria de proves per a la provisió de places de funcionaris docents. Diari Oficial de

la Generalitat de Catalunya, Núm. 5332 – 5.3.2009. Dept. d’Educació, Resolució

EDU/530/2009, 26 de febrer de 2009.

[2]. Ordenació dels ensenyaments del batxillerat. Diari Oficial de la Generalitat de Catalunya,

Núm. 5183 – 29.7.2008. Dept. d’Educació, DECRET 142/2008, de 15 de juliol de 2008.

[3]. UNESCO Universal Declaration on Cultural Diversity. Records of the General Conference,

31st Session. Paris, 15 October to 3 November 2001.

[4]. Declaració Universal de la UNESCO sobre la diversitat cultural. Versió catalana, Comissió

Nacional Andorrana per a la UNESCO i per Unescocat – Centre UNESCO de Catalunya

[5]. Interculturalitat i educació. Aportacions per a un debat entre l’antropologia social i la pe-

dagogia. Carrasco, S.. Educar 22–23, 1998 217–227.

[6]. GeoGebra, http://www.geogebra.org/cms/. Visitada el 04/05/2009.

[7]. Projecte Descartes, http://descartes.cnice.mec.es/. Visitada el 04/05/2009.

[8]. WIRIS calculadora, http://www.wiris.com/ i

http://calculadora.edu365.cat/wiris/ca/index.html. Visitades el 04/05/2009.

[9]. GNU Octave, http://www.gnu.org/software/octave/. Visitada el 04/05/2009.

[10]. Les matemàtiques i les seves aplicacions científiques i tècniques, F. Hurtado, 19 de juny del

2000, Any Mundial de les matemàtiques, TAULA RODONA LES MATEMÀTIQUES, EINES

ESSENCIALS PER AL DESENVOLUPAMENT

PROGRAMACIÓ DIDÀCTICA - sergidelmoral.net · rem en tots dos cursos i des de totes les matèries...

Documents

Transcript of PROGRAMACIÓ DIDÀCTICA - sergidelmoral.net · rem en tots dos cursos i des de totes les matèries...