Resumen para Certamen 1FIS- 140

Sergey Kovalenko

MOVIMIENTO ONDULATORIO (Repaso)

es la propagación de una perturbación producida en un lugar del espacio a otro. En el movimiemto ondulatorio se propaganenergía y momentum sin transmición de materia.

Ondas ( )f x vtξ = ±

x

( )f x vtξ• = − v

vt

x

( )f x vtξ• = +

vvt−

RESUMEN:

2 2

2 2 2

1( , ) ( , )x t x tx v tξ ξ± ±

∂ ∂=

∂ ∂• Ecuación de onda (EO)

• Solución de EO ( , ) ( ),x t f x vtξ± = ±Dirección

de propagación

• Onda armónica ( , ) sin( ),y x t A kx tω= −

•El número de onda: 2 / ,k π λ=

2 / ,τ π ω=•El periodo de Onda:

•La ferecuencia angular: vkω = → relación de disperción

es velocidad de fase.En mediosv → ( )v k

•La ferecuencia numérica: 1/f vk τ= = → es el número de ciclos/tiempo

Ecuaciones(Leyes) de Maxwell. Resumen.

Ley de Gauss para E:

Ley de Gauss para B:

Interacción electromagnética: LF q BvE⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

0

0 0 0

0S

S

C S

C S

QdS

dS

ddl dSdt

dd

E

B

B

l dSt

E

dB EI

ε

µ µ ε

=

=

=−

= +

∫∫

∫∫

∫ ∫∫

∫ ∫∫

i

i

i i

i i

,B

C

ddl dtE Φ=−∫ i

.0 0 0E

C

ddl dtB Iµ µ ε Φ= +∫ i

Ley de Faraday:

Ley de Ampère-Maxwell:

= + × la Fuerza de Lorentz

Ley de conservación de la carga eléctrica:

dI dtq=−

Con estas ecuaciones se pueden describir todos los fenómenos electromagnéticos.

Las constantes naturales involucradas:

Permitividad del vacío.12 2 1 20

7 20

8,854 10

4 10

C N m

NA

ε

µ π

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

− − −

− −

= ×

= × Permeabilidad del vacío.

Ondas Planas en el vacío

Consideremos que la onda se propaga en una dirección bien definida y hagamos coincidir al eje X con dicha dirección.

Si además los campos solo dependen funcionalmente de la coordenada de propagación X y el tiempo t, entonces se dirá que los campos son planos y la onda que se propaga será plana; explícitamente sería:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

, , , ,ˆ ˆ ˆ

, , , ,ˆ ˆ ˆ zx y

zx yx t x x t y x t z x t

x t x x t y x t z x

E E E E E

B B B tB B

= = + +

= = + +

Este tipo de campos se utilizan para modelar la propagación de las ondas en puntos alejados de sus fuentes.

Este tipo de onda se puede estudiar usando las formas integrales de las ecuaciones de Maxwell. La forma de ellas en el vacío ya la conocemos:

0 0

0 ; 0

;S S

C S C S

dS dS

ddl dS dl dStd

B

B B

E

tEE µ ε

= =

∂=− = ∂

∫∫ ∫∫

∫ ∫∫ ∫ ∫∫

i i

i i i i

Con estas dos ecuaciones se pueden deducir un par de ecuaciones de onda:

2 2

0 02 2, ,z zB Bx t x t

x tµ ε

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∂ ∂=

∂ ∂De las ecuaciones de Maxwell en el vasío 2 2

0 02 2, ,y yE Ex t x t

x tµ ε

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∂ ∂=

∂ ∂

Ecuaciones de onda electromagnética

Las anteriores son ecuaciones de onda, donde la velocidad de propagación es:

1212 2 1 2 7 2 8 1

0 0

1 8,854 10 4 10 3 10c C N m NA msπµ ε⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠

−− − − − − −= = × ⋅ × ≈ ×

Las soluciones son cualquier par de funciones que satisfagan:

( ) ( )( ) ( )

, ,, ,

y

z z

y

Bx t x ct tx t x c

EBE

t t= −

= −

Las Ondas planas estan descritas por las expresiones:

( ) ( )( ) ( )

, ,ˆ

, ,ˆy

z

x t y x ct t

x t z x ctB

E

tB

E = −

= −

cEE

c

B

B

⊥⊥⊥

Onda Armónica Plana (OAP).

Una clase de soluciones son exponenciales complejas. Se pueden hacer fácilmente los cálculos de derivadas e integrales y tomar la parte real de ella como la onda física.

, sinˆ

, sinˆ o

ox t y kx t

B

E E

x t kx tBz

ω

ω

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= −

= −Los campos Oscilan en fase

kcω =Donde:

ooE cB=De la Ley de Faraday:

Transporte de energía en una OEM.

La densidad volumetíca de energía total de la onda puede escribirse como:

220 0 0E B c

B EE Bη η η ε µ µ= + = = =

La Intencidad I es la energía que incide sobre una superficie por unidad de tiempo por unidad de área

21 dUI c E

dA tε= =

Emisión de Ondas Electromagnéticas.

Las cargas que se mueven aceleradamente generan ondas electromagnéticas.

La dirección de mayor emisión es perpendicular a la aceleración .

La formula de Larmour predice cuál es la potencia de emisión:

a

2 23

06q adU

dt cπε=

Ejemplo 1: Antena.

Óptica Física

Interferencia de dos Fuentes Puntuales

1θ

2θ

θd

L

P

( )Pf t

1r

2r

S1

S2

Obs: Aquí r1 y r2 son distancias entre la fuente S1 con P y la S2 con P, respectivamente.

( ) 0 20 01 2 c...sin sinn si o 2sP EE t krf t t t krE rkr kω ωω ⎛ ⎞⎜ ⎟

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⎟⎠

⎠⎠

⎜⎝

⎝ ⎝−= − + −∆= =

, .1 21 2

2; 2r krr r rr πλ

+ =∆ = =−

Amplitud Oscilación

Identidad trigonométrica:

sin sin 2 cos sin2 2A B A BA B

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− ++ =

La amplitud tiene valores absolutos máximos y mínimos de acuerdo con las condiciones:

02 2k rE cos

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∆=

212k rcos r nk

π⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∆ = →∆ =

2 102 2k rcos r nk

π⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

∆ = →∆ = +

máximo

0,1,2,.....,n =Amplitud

mínimo

Cuando la pantalla esté lejos de las fuentes

Con esta aproximación se encuentran las posiciones angularesde máximos y mínimos.

L d

1θ

2θ

θd

L

P

( )Pf t

1r

2r

S1

S2

2 12min nkd

πθ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

= +

2 ,max nkdπθ =

r∆

1 2 1θ θ θ≈ ≈

sinθ θ≈

sinr d dθ θ∆ = ≈

se tiene aproximadamente

2r nkπ∆ =

2 12r nk

π ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∆ = +

Intensidad luminosa en la pantalla

La intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitud de los campos:

02 2kdA E cosθ θ

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

=2

I Aθ θ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∼

2k πλ=

( ) 20 2

kdI I cosθ θ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

=

θ1

2

I

Patrón de interferencia

0I I ndλθ→= =

12

0I ndλθ ⎛ ⎞→ ⎜ ⎟⎝ ⎠

= = +

Máximos:las franjas brillantes.

Mínimos:las franjas oscuras

El número de onda en términos de la longitud de onda: 2k πλ=

20

dI cos π θλ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

=

Reflexión y refracción. Índice de refracción

0medio n

cc =Rapidez de la luz en un medio:01 mediovacíoc cn c= >⇒>

82,99 10vacíomc s⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

≈ × 1; 1,0029; 1,33; 1,50aguaairevacío vidrion n n n= = ≈ ≈Algunos valores:

( ),if r t

( ),tf r t( ),rf r t Reflexión

Incidencia

Transmisión

( ), sini i i if r t A k r tω⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= −Onda Incidente:

2i

ik π

λ= i i ik cω = 0i

i

cc n=

( ), sinr r r r rf r t A k r t φω⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

+= −Onda Reflejada:

Onda Transmitida:

;0,

0 , ,tirii ti

c n nc n n nπφ⎧ ⎫⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

>= = <

r ik k= r iω ω=

( ), sint t t tf r t A k r tω⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= −

i i i tt i

t ti i

c nk kc c c nω ω= = =t iω ω=

r if f=−

it i t

nnλ λ=

in tn

Interferencia por películas delgadas.

1n

2n

3n

2 0 1 21

0

1

21 2

0 s

2 2 2sin

in 2sin

2 cos 2 2

D f A k r

A k d

f A k r kf

k r t

d

k d

tt

π

ω π

ω π

ω⎛ ⎞⎜ ⎟

⎛ ⎞⎜

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎠

⎠

⎟⎝ ⎠ ⎝

= + = +

− +

− +

+=

+ −

1f 2f

{ }2 1 3,n n n>

Máximos:( ) ( )

{ }

2 2

22

2

2 12 12

2 42

0,1,2,3,...

Nd NkN d

k

N

k dπ

π π λπλ

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭

+= +

= → → ==

=

−

Mínimos:

{ }22 2 2 2

0,1,2,3,...

PP d

P

k d π ππ λ= − → =

=

−

r

d

Máximos:

, ,1 21 2

12 1

2

2 2k k

nn

π πλ λ

λ λ

= =

=Amplitud en el detector 0 22 cos 2A k d π⎛ ⎞

−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

=

Mínimos:

Difracción por una sola rendija.

Una rendija iluminada, por el lado trasero, puede representarse, por el otro lado[AB], como un conjunto continuo de fuentes puntuales. (El principio de Huygens, 1629-1695). Consideremos que la rendija tiene un ancho finito a, el cual de todas maneras es mucho menor a la distancia L hacia la pantalla.

a L

θ

Patrón de Difracción.Distribución de la intensidad en una pantalla lejana, producida por una rendija.

Por lo que la difracción (apertura del haz) se hace manifiesta cuando el ancho a de la rendija es pequeño: a λ∼

Ancho del máximo central: 2 aλθ∆ =

2ak aθ θπ λ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

= =

y

x

2x∆ =

Mínimos:

{ }; 1,2,3,...2ak n na

λθ π θ=± ⇔ = =( )

( )2

sin0

I xy xIθ π

π

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

= =

Poder de resolución.Los instrumentos ópticos consisten básicamente de una lente incrustada sobre una abertura en una pared logrando que una imagen se forma en la pantalla colocada a continuación.Ejemplos de ello son las cámaras fotográficas y el mismo ojo humano(donde la pupila es la abertura y la retina hace de pantalla).Cuando la luz proveniente desde la fuente atraviesa hasta la pantalla, su imagen sufrirá algún grado de difracción; dependiendo de cual sea la longitud de onda que tenga y el tamaño de la rendija.

S1

I1

S2

I2

a

θ

Las imágenes de dos fuentes puntuales se puede distinguir si los máximos de las dos imágenes están separados entre sí

mín aλθ ≈

θ

θ

θ

mín aλθ θ≥ =

Se puede resolver

mín

No se puede resolver

θ θ≤

El criterio de Rayleigh

1.22× Apertura circular

2 aλθ = 2 a

λθ =

PolarizaciónLa onda electromagnética no solo por la magnitud del campo eléctrico y magnético sino tambien por sus direcciones.

Se denomina “dirección de polarización” a la dirección en que apunta el campo . Al plano que contiene a E y a la dirección de propagación, se le llamará Plano de Polarización.

E B

E

Ondas linealmente or plana-polarizadas

Polarización Circular

y

y

E

E

Observación en un punto fijo sobre el eje x

gira con la frecuencia angular constante: E

zOnda circularmente polarizada a derechas(en el sentido de las agujas del reloj)

x const=

zOnda circularmente polarizada a izquierdas(en el sentido contrario al del gido de las agujas del reloj)

La luz no polarizada

Dirección de es aleatoriaE Fuentes naturales

PolaroidesSon artefactos ópticos. En ellos existe una dirección llamada Eje de Transmisión.

Una OEM incidente, que tenga una polarización orientada en dirección del eje óptico, se transmitirá completamente hacia el otro lado(el polarizador es transparente para las OEM con polarización paralela a su eje óptico

Por otro lado, una OEM incidente, con polarización perpendicular al eje óptico, será absorbida completamente por el polarizador. En esta situación el polarizador es opaco a la onda.

Para situaciones intermedias se puede descomponer la onda incidente en una con polarización paralela al eje óptico más otra con polarización perpendicular al eje óptico.

La onda transmitida tendrá su polarización paralela al eje óptico. Su magnitud será igual a la de la componente paralela al eje óptico:

costrans incE E θ=2

I E∼ Ley de Malus2costransm incidI I θ=

La otra componente de la onda incidente

será completamente absorbida sinincE θ

Polarización por reflexión

Haz incidente

Haz reflejado parcialmente polarizado

Haz refractado Haz refractado

Haz reflejado completamente polarizado

Haz incidente

290op θθ = −

ángulo de Brewster

2

1

tan pnn

θ = Ley de Brewster

Óptica Geométrica

Leyes de la Óptica Geométrica

Los índices de refracción: ;1 1

cn c= 2 2

cn c=

En un medio homogéneo e isótropo, los rayos son líneasrectas.

Al encontrar alguna discontinuidad (cambio de mediointerfase) el rayo incidente se desdobla en unRayo Reflejado y otro Refractado(Transmitido).

El rayo incidente, el reflejado y el refractado están contenidos en un mismo plano de incidencia perpendicular a la interfase.

;einc r fθθ =

1 2sin sininc transn n θθ =la ley de Snell:

Leer derivación de la ley de Snell en R.A. Serway & R.J. Beichner: Sec. 35.6

Reversibilidad de la óptica: Si la dirección del rayo se invierte, este seguirá la trayectoria de incidencia.

Percepción de un haz de luz divergente: El cerebro interpreta la información que los ojos le envían. La intersección de las proyecciones de los rayos en el espacio, da lugar a un objeto, el cual puede ser real o virtual. Cuando este coincide con la fuente se dirá que es real, de otro modo será virtual.

S

1P

12P2P

P

Lente Delgada

Es un medio transparente limitado por dos superfícies esféricas con los radios de curvatura R1 y R2 mucho mayores que su espesor. El eje óptico principal es la línea que contiene los centros geometricos C1 y C2 de ambas esferas.

Eje óptico principal

2n

1n1n

Lente convergente

Lente divergente

Distancia Focal. Corresponde al lugar donde convergeun rayo que se aproxima en forma paralela al eje óptico:

0f >21 2 1

1 1 11nn R Rf

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∴ = − + Ecuación del Fabricante de la Lente.

0f <

Convención de signos yEjemplos de Curvatura:

1n

2n

1

2

00

RR>>

1

2

00

RR><

1

2

00

RR<<

1

2

01 0

R

R

>

=

O : Centro Óptico.AB : Superficie Focal.

Trazado de Rayos

Lente Convergente.

f

Lente Divergente.f

1 2

1 1 1r r f+ = Fórmula de la Lente.

convergente

1r 2r

S 'S

Lente Delgada: RESUMEN

ff

1r2r

S'S

f

f1 2

1 1 1r r f− = − Fórmula de la Lente

divergente

1 2

1 1 1r r f+ = Fórmula de la Lente:

Generalización.

0f >

1n

2n

0f <

Lente Divergente.

2n

Lente Convergente.

2 0r >

2 0r <

Imagen Real

Imagen Virtual

Objeto Real1 0r >

1 0r < Objeto Virtual

1 2

1 1 1r r f+ = 1

21

f rr r f= −Regla de signos para la Imagen

1r 2r

S 'Sff

1 2, 0r f r> >

1r f=

Im Real

2r → ∞

S 'Sf

f

1r

2r

S 'S

f

f

1 2, 0r f r< <

Im Virtual

1 2

1 1 1r r f+ = 2

12

f rr r f= −Regla de signos para el objeto

1r 2r

S 'Sff

1 2, 0r f r> >

2r f=

1r∞←

S 'S

ff

Objeto Real

2r f<

'Sf

SObjeto Virtual

2 1, 0r f r< <

1 0r <

0

1 1 1ir r f+ =Imágenes formadas por lentes.

0ir >

or f>

Imagen Real Invertida.

0ir <or f<

f

f

0h

orir

0h

ih

ih

or

ir

ff

Imagen Virtual Derecha.

ioi o

rh hr=Tamaño de la Imagen:

iioo

rhm rh= =El aumento lineal

io o

h fm h r f= =−

0

1 1 1ir r f+ =

Relatividad EspecialEs la teoría del espacio y tiempo que se basa en dos postulados fundamentales de la física (AlbertEinstein, 1905):

Las leyes de la naturaleza no dependen del Sistema de Referencia Inercial (en que se hagan experimentos y observaciones).

La velocidad de la luz en el vacío es una constante universal que no depende del SRI.

Transformaciones de Lorentz (TL). Para el caso simplificado del movimiento a lo largo del eje x se tiene

2

2 22 2

; ; ;1 1

ut xc x utt x y y z zu u

c c

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

−−= = = =′ ′ ′ ′

− −

Donde (t,x,y,z) y (t’,x’,y’,z’) representan las coordenadas y el instante tiempo de un evento respecto a dos sistemas inerciales distintos y en movimiento relativo con velocidad . Los relojes asociados con y estan sincronizados en el instante del tiempo en el cual coinciden los orígenes y . En este momento las coordenadas medidas en dos sistemas son iguales .

A 'Au const= A 'A

' 0t t= = O 'O'x x=

Propiedades de la Transformación de Lorentz (TL).

2

22

22

1

1

u c

ut xctu t t

c x x utx ut y yx

z zuc

y yz z

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎪ ⎪ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎯⎯⎯⎯⎯→⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎩ ⎭⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

−=′

=′−= −′− =′=′ =′−

=′=′

GalileoLorentz

De todas formas las leyes de Newton siguen siendo válidas a bajas velocidades donde funciona bien la TG, este es el límite no relativista y la TL converge a ella cuando u c

u c≤Existe una velocidad límitedel movimiento relativo Es la condición física de que lascoordenadas espaciotiempo sean reales.

Simultaneidad de eventos.Consideremos dos eventos y que ocurren simultáneamente en el sistema , el cual se se mueve con velocidad respecto al sistema . Consideremos y de los puntos de vista de los dos observadores y .

1 1 2 2: , ,A S t x S t x⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

′=′ ′ ′ ′=

Las Transformaciones de Lorentz relacionan los resultados de las mediciones realizadas por los dos observadores y

2 1 0x x t≠ ∆ =′ ′ ′

1

2

2

2222

22

22

1

2 12

1

2

10

1

1

uc

uuccu

t

tu ccu

c

t x

tt xt

t

xx

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟⎝ ⎠⎪ ⎪

⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎝ ⎠⎨ ⎬ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠

⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

+=

−→∆ = − = − ≠

−+=

−

′ ′

′ ′′ ′

Los eventos que en un sistema eran simultáneos no lo serán en otro si ocurren en puntos distintos del espacio

A'A

u

1 1 1 2 2 2: , ,A S t x S t x⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= =

1S 2S1S 2S

A 'AEventos Simultaneos

¿?

A 'A

1 2' 'x x≠

1 2t t≠

1 1( ' , ')S x t 2 2( ' , ')S x t

A 'A

' 0t∆ =

u

0t∆ ≠

Dilatación del Tiempo.El observador se mueve con una velocidad u constante con respecto al observador .

'AA

Dos eventos que observan dos observadores y .A 'A

( ) ( )( ) ( )1 1 1 2 2 2

1 1 1 2 2 2: , 0 , 0',

': ,A S

A S t x S tx S x

xt t

′ ′ ′ ′ ′= = = == =

2

1

1

2

t t tt t t

∆ = −∆ =

′−

′ ′

1 1 1( ' , ' 0)S t x =

A 'A

u'A

2 2 2( ' , ' 0)S t x =

1 2 12

2 21

1 uc

t t tt t⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∆ = − = −−

′ ′2

21 uc

t tt t∆∆ = ⇒∆ >∆−

′ ′ Dilatación del Tiempo.

Contracción de la longitud.Consideremos una barra orientada en el eje X y que se mueve respecto al sistema con velocidad a lo largo del eje X. Con la barra se asocia un sistema movildonde la bara esta en reposo.

uA'A

La longitud de la barra es la diferencia entre las coordenadasde sus extremos medidas Simultáneamente.

0 2 1L x x′ ′= −( ') :A

2 1L x x= −( ) :A

Por medio de la Transformaciones de Lorentz, se pueden relacionar estas longitudes:

1 22 2 2

2

2 11

21 1

22 2 2;

1 1 1x xx t x t xu u

u uxt t xt

uc c c

x− − −= = → = = → − =− − −

′ ′ ′ ′ 0 221

LLu

c=

−

Dado que reposo la barra en movimiento es más corta que la en221 1u

c− ≤

02

2 01 uL L Lc= − ≤ Contracción de la longitud.

La longitud propia resulta ser la mayor medida posible de la longitud de un objeto.0L

En la Mecánica Clasica(Diferenciandolas Transformaciones de Galileo ):

Transformación de velocidades.'x xv v u= − Esta regla no es consistente co las TL.

¿Cual es la regla Relativista?

2 22 2

2 2 2

1 1; ;

1 1 1z

zyx yx

x x x

u uu dd dc cd d du u u

c c c

v vyx zv v vt vtv

v vt

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

− −−= = = = =′′ ′′ ′ ′′ ′ ′

=− − −

En la teoria de relatividad espesial(Diferenciandolas Transformaciones de Lorentz):

Dinámica Relativista

Momentum relativistaLa solución de este problema consiste enintroducción del momentum relativista:

221

vmvp mvv

cγ= =

−Se conserva en todos los sistemas inersiales.

2 2 2 22

2

11

zx y vv v v vv

cγ= + + =

−Donde:

Este momento relativista converge al límite clásico cuando la velocidad del objeto es pequeña en comparación a la de la luz:

221

mvpv

c

=−

p mv=v c

dpF madt

= ≠La II Ley de Newton relativista:

Energía Relativista de una partícula

T K PE E U= +

Energía cinética

En la Mecánica Clásica se conserva la energía total de una partícula definida como

Energía potencial

A altas velocidades esta cantidad en general no se conserva aun con definición relativista de energía cinética. Se conserva la energía total relativista de una partícula en la forma:

Se conserva en todos los procesos físicos

T PE E U= +La energía del cuerpode masa con velocidad

22 22

21vK

mcE E mc mcv

cγ= + = =

−mv

Consecuencia: En reposo, cuando la energía cinética ,la partícula tiene la energía asociada con la masa 2

0E mc=0KE =

se denomina energía en reposo:¡ La masa es la forma de energía !

Energía Relativista de un sistema de partículas

( ) ( )K i ii i

TE E U+=∑ ∑

Energía potencialEnergía cinética

En la Mecánica Clásica se conserva la energía total del sistema definida como

A altas velocidades esta cantidad en general no se conserva aun con definición relativista de energía cinética. Se conserva la energía total relativista del sistema en la forma:

( )( )

( )( ) ( ) ( )2

22 2

21i

i

iK i i iv

m cE E m c m cv

c

γ= + = =−

Se conserva en todos los procesos físicos

La energía del cuerpode masa con velocidad

( )imv

( ) ( )i ii i

TE E U+=∑ ∑

Colisiones de partículas

1 2 3 1 2 3... ...i i i f f fP P P P P P+ + + → + + +

En un sistema cerrado, tanto el momento como la energía se conservan:

2 2f ffi i i

n nn n n nn n n n

f f f fi i i in n n n n n n n

n n n n

mE E c m c

p p m v m v

γγ

γ γ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= → =

= → =

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

energía

Conservación de

momentum

Donde el factor de Lorentz depende de cada partícula:

( )

( )( )( )

( )( )2 2

2 2

1 1;

1 1

i fn n

i fn nv v

c c

γ γ= =

− −

En contraste con la mecánica clásica, se permite que la masa se cambie:

( ) ( )( ) 0i fn n

n

M m m∆ = − ≠∑ El defecto de masa

Si ( ) ( )( )i fn n

n

Q M m m=∆ = −∑( ) ( )( ) 0i fn n

n

M m m∆ = − >∑ Es la energía Liberada en el proceso

Hay dos casos distinguibles de colisiones de particulas:

Colisiones Elásticas, donde tanto la masa como la energía cinética se conserva por separado:

m KE

( ) ( )( ) ( )

i fK n K n

n n

E E=∑ ∑( ) ( )( ) 0i fn n

n

M m m∆ = − =∑

1m

2m

1m

2m

1iv

2iv

1fv

2fv

Colisiones Inelásticas, donde tanto la masa total como la energía cinética total son diferentes antes y después del experimento:

( ) ( )( ) ( )

i fK n K n

n n

E E≠∑ ∑( ) ( )( ) 0i fn n

n

M m m∆ = − ≠∑

Relaciones entre la Energía y el Momentum2

222 2 2 2 2

22

1

1 INVARIANTE de LORENTZ

mcEv

c E c p mcmvpv

c

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎛ ⎞⎨ ⎬ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

=−

⇒ − ==

−

Una ecuación útil es la expresión de la energía E, en términos de la masa y la cantidad de movimiento:

22 2 2E c p mc⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

= +

De las ecuaciones anteriores también es posible encontrar la velocidad de la partícula:2c pv E=

¿Qué hay de partículas sin masa? Las ecuaciones anteriores, con m=0, predicen que mientras posean energía (o cantidad de movimiento), igual pueden tener cantidad de movimiento (o energía) diferente a cero:

E cp=0m =

Lo interesante es que la velocidad predicha es igual a la velocidad de la luz c.

2 2c p c pE cp v ccpE= → = = =

En forma reciproca, si una partícula tiene una velocidad igual a la de la luz, su masa habrá de ser cero, de acuerdo con las ecuaciones anteriores.

22 2 2( ) 0cpc pv c c E cp E mc mE⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= → = → = → = + → = (El Fotón)

Ahora, la razón por la cual ninguna partícula material puede moverse a la rapidez de la luz, es que la cantidad de energía necesaria para conseguirlo es infinita:

( )2

22

lim lim1v c v c

mcE vv

c

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

→ →= →∞−

En conclusión: solo las partículas sin masa, como fotones, pueden alcanzar la velocidad de la luz.

Electrón y Fotón

Electrones Libres y electrones ligados.Normalmente los electrones se encuentran como constituyentes de la materia, formando estados ligados. En metales se forma el gas de electrones casi libres pero ligados al interior de una muestra metalica. Para liberar un electrón hay que realizar un trabajo.

PintF d

xEd=−

2 4 eVφ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠→∼

Esta es la cantidad de energía mínima para extraer electrones. Se le llama función de trabajo.

Superficie

0PE =

La energía total del electrón es:

0 :T K PE E E e ligado= − < →

Para extraer electrones, tenemos que incrementar la energía:

( ) ( )K P P KE E E Eε− + = ∞ + ∞

0

Energía del electrón en el exterior del metal, infinitamente lejos.

Energía del electrón al interior del material.

El mínimo requerido lleva al electrón hasta el infinito y lo deja allí en reposo:

( ) 0 minKE ε φ∞ = → =

La energía total del electrón es:

0 :T K PE E E e ligado= − < →

Para extraer electrones, tenemos que incrementar la energía:

( )K P KE E Eε− + = ∞

Energía del electrón al interior del material. Energía del electrón en

el exterior del metal, infinitamente lejos.

El mínimo requerido lleva al electrón hasta el infinito y lo deja allí en reposo:

( ) 0 minKE ε φ∞ = → =

P kmin E Eε −=

Efecto Fotoeléctrico

Resumen de las Observaciones experimentales:

La luz incide con frecuencia:

Y con intensidad:

νI

Existe una frecuencia umbral tal que:Cν

Cν ν< No hay emisión de electrones

Cν ν> Hay emisión de electrones

La energía cinética máxima de los electrones emitidos dependerá linealmente de la frecuencia.

K maxE hν φ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= −

El número de electrones emitidos por unidad de tiempo (flujo o corriente) aumenta con la intensidad

ee

NI nt

∆∆

∼

Explicación Cuántica

(Albert Einstein 1905)

Punto Clave: La energía de la radiación EM (luz) se transfiere en cuantos (porciones). Así considerando que el haz de luz es el flujo de partículas, los fotones, cada uno vendrá con una energía dada por:

E hγ ν=

Donde la constante de Planck toma el valor: 346,63 10h J s⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

−= × ⋅

Efecto fotoeléctrico: Un fotón transmite su energía a un electrón.La conservación de la energía predice que:

KE E Eγ φ− = +∆

0E∆ ≥

Cuando tendremos que la máxima energía cinética será:

Cuando habrá una pérdida de energía.

0E∆ =K maxE Eγ φ⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

= −

ee

e

e

e

γ

E∆KE

Eγ

K maxE hν φ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= − La Ecuación de Einstein para el efecto fotoelectrico.

Notemos que la hipótesis anterior explica todas las observaciones hechas para el efecto fotoeléctrico:

Si no habrá emisión de electrones, ya que

contradice a la condición

La intensidad en terminos de fotones

De ello resultará la predicción, que el flujo de electrones es proporcional a la intensidad de la luz.

cvhφν < ≡ 0K maxE hν φ⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

= − <

0K maxE⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

≥

( )1 1 1dE d N h dNI h n hA A Adt dt dtγ γγ

γν ν ν= = = =

en n Iγ∼ ∼

Experimento para medir la constante de Planck h y la función de trabajo .

Se aplica una diferencia de potencial entre dos placas. A la placa con mayor potencial se le hace incidir radiación electromagnética de frecuencia .

φ

νPor la conservación de la energía:

Si

los con dicha energía no contribuyen a la corriente I.

Es decir, si , el electrón se detiene justo en el ánodo A.

KKE eV E= + ′

e0KE eV− ≤e

K maxKE E hν φ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

≤ = −

0KE ′ =

Si , no alcanza

a llegar hasta A.

0KE ′ <

Si , ningún electrón

va a contribuir a la corriente I. O sea:

K maxE eV⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

≤

0K maxE eV I⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

≤ → =

La condición de corte de la corriente:

0 0eh eV Vh h

φν φ ν= + → = +

0 0K maxE eV I⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= → = 0K maxE hν φ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= − <

0V es el potencial de frenado

Haciendo un experimento en el cual para una serie de las frecuencias de luz utilizada se encuentran los respectivo potenciales de frenado. Así se obtiene los puntos sobre una recta.

En ella el intercepto y la pendiente darían la información para obtener la función de trabajo y la constante de Planck.

Cah e hb φ ν= =→