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Tema 4: MORFOLOGÍA (Parte I)

I N G E N I E R Í A I N F O R M Á T I C A

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• La morfología matemática se basa en operaciones de teoría de conjuntos. En el caso de imágenes binarias, los conjuntos tratados son subconjuntos de Z2 y en el de las imágenes en escala de grises, se trata de conjuntos de puntos con coordenadas en Z3. • La morfología matemática se puede usar, entre otros, con los siguientes objetivos:

- Pre-procesamiento de imágenes: supresión de ruidos, simplificación de formas, etc.

- Destacar la estructura de los objetos: extraer el esqueleto, detección de objetos, envolvente convexa, ampliación, reducción, etc. - Descripción de objetos: área, perímetro, etc.

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• Operaciones básicas sobre conjuntos:

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Unión Intersección

Complementario Diferencia

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- Traslación de B por z:

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- Reflexión de B:

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• Elementos estructurales:

- Conjuntos pequeños o subimágenes usadas para estudiar propiedades interesantes de una imagen.

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Morfología

Imágenes binarias

Operaciones morfológicas

Dilatación, erosión, transformada de

Hit-or-Miss, apertura y cierre.

Aplicaciones

Extracción de fronteras y componentes

conexas, rellenado de regiones,

adelgazamiento y engrosamiento,

esqueleto y poda.

Imágenes en escala de grises

Operaciones morfológicas

Dilatación, erosión, apertura y cierre.

Aplicaciones

Gradiente morfológico,

trasformada Top-Hat, texturas y

granulometrías.

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• DILATACIÓN: Definición

Dada una imagen A, y un elemento estructural B, (ambos imágenes binarias con fondo blanco), la dilatación de A por B se define como: Tengamos en cuenta que, para la intersección sólo consideramos los píxeles negros de A y B. El primer elemento de la dilatación, A, está asociado con la imagen que se está procesando y el segundo es el elemento estructural que actúa sobre A .

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• DILATACIÓN: Ejemplo

Observación: Es importante tener en cuenta que el sistema de coordenadas que se usará en este tema es (fila, columna).

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0,0 1,0

B

A

origen

0,0 1,0 2,0 3,0

0,1 1,1 2,1 3,1

0,2 1,2 2,2 3,2

0,3 1,3 2,3 3,3

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• DILATACIÓN: Ejemplo

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B

A

origen

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• DILATACIÓN: Idea geométrica

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• DILATACIÓN: Idea geométrica

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• DILATACIÓN: Ejemplo de aplicación

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Imagen original

Elemento estructural

Los segmentos de los caracteres rotos se han unido.

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• DILATACIÓN: Propiedades

1. Se cumple que: 2. Propiedad conmutativa: 3. La dilatación por el trasladado de un elemento estructural es el trasladado de la dilatación: 4. Propiedad distributiva respecto a la unión:

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• DILATACIÓN: Propiedades

5. Asociatividad: 6. La dilatación es decreciente:

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• EROSIÓN: Definición

Dada una imagen A, y un elemento estructural B, (ambos imágenes binarias con fondo blanco), la erosión de A por B se define como: Tengamos en cuenta que sólo consideramos los píxeles negros de A y B. La erosión es la propiedad morfológica dual a la dilatación. La erosión se concibe usualmente como una reducción de la imagen original.

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• EROSIÓN: Ejemplo

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B

A

origen

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• EROSIÓN: Ejemplo

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B

A

origen

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• EROSIÓN: Interpretación geométrica

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• EROSIÓN: Interpretación geométrica

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• Ejemplo: Erosión seguida de dilatación

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Erosión con un elemento estructural cuadrado de 1s de

tamaño 13 x 13.

Imagen con cuadrado de tamaños 1, 3, 5, 7, 9 y 15.

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tamaño 13 x 13.


- Los cuadrados de lados menor que 15 desaparecen mientras que el de lado 15 pasa a ser de lado 3.

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tamaño 13 x 13.


Dilatación de la imagen central con el mismo elemento estructural.

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tamaño 13 x 13.


- Los cuadrados vuelven a ser de tamaño 15.

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• Teorema de dualidad:

La dilatación y la erosión son muy similares en el sentido de que lo que uno hace al objeto el otro lo hace al fondo. Esta relación puede formularse como una relación de dualidad:

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• EROSIÓN: Propiedades

1. Mientras que la dilatación se podía representar como la unión de los trasladados, la erosión se puede representar como la intersección de los trasladados negativos: 2. La erosión no es conmutativa.

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3. Propiedad distributiva respecto a la intersección: 4. Al igual que la dilatación, la erosión es también creciente:

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5. La erosión por un elemento estructural mayor produce un resultado mejor. Si , entonces 6. Finalmente, con respecto a la descomposición de elementos estructurales, una regla de la cadena para la erosión se verifica cuando el elemento estructural se puede descomponer mediante dilatación.

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• Aplicación 1: EXTRACCIÓN DE FRONTERAS La frontera de un conjunto A se puede obtener primero erosionando A por un elemento estructural apropiado, B, y realizando posteriormente la diferencia entre A y su erosión. Es decir, El elemento estructural B usado más frecuentemente es el cuadrado 3 x 3. Usando otros tamaños, por ejemplo 5 x 5, se ampliaría el grosor de la frontera a dos o tres píxeles.

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• Aplicación 1: EXTRACCIÓN DE FRONTERAS

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A

B


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A

B

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A

B

F(A)

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A

B

F(A)

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• Aplicación 2: RELLENADO DE REGIONES

Partimos del borde 8-conexo de una región A y de un punto p del interior de A. El siguiente procedimiento rellena el interior de A: donde B es el siguiente elemento estructural: El algoritmo termina en la iteración k si Xk = Xk+1. La unión de Xk y A define la frontera y la región rellena de A.

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• Aplicación 3: EXTRACCIÓN DE COMPONENTES CONEXAS

Supongamos que Y representa una componente conexa contenida en un conjunto A y supongamos que conocemos un punto p que pertenece a dicha región. Entonces, el siguiente procedimiento puede utilizarse para extraer Y: donde B es el siguiente elemento estructural: El algoritmo termina en la iteración k si Xk-1 = Xk. Con Y = Xk.

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• EJERCICIO: Dado un conjunto de pixeles negros A en una imagen binaria, se realiza la operación

Para que el resultado sea el borde de A con la (8,4)-adyacencia, ¿qué elemento estructural debemos tomar?

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• TRANSFORMADA HIT-OR-MISS (ganancia o pérdida):

Herramienta básica para la detección de formas. Se usa para buscar una determinada configuración en los píxeles negros y blancos. Sea B = (J, K) la configuración que queremos buscar, donde - J = conjunto formado por los píxeles negros de B (elementos asociados al objeto). - K = conjunto formado por los píxeles negros de Bc

(elementos asociados al fondo). El resultado es una imagen con el punto o puntos donde se encuentra la configuración B.

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Imagen A

Configuración que queremos encontrar

en la imagen


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Imagen A


en la imagen


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Imagen A


en la imagen

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Esta transformada se define como: Utilizando la definición de diferencia de conjuntos y la relación dual entre la erosión y la dilatación, podemos escribir la ecuación anterior como:

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A


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A


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A

Ac


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A

Ac


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A

Ac

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• Aplicación 1: DETECCIÓN DE ESQUINA

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B J K

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B J K

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B J K


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B J K


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B J K


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• Aplicación 2: ADELGAZAMIENTO

El adelgazamiento de un conjunto A por un elemento estructural B puede ser definido en términos de la transformación ganancia-pérdida como:

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Una definición más útil para el adelgazamiento de A simétrico está basado en una sucesión de elementos estructurales: { B } = { B1, B2, …, Bn } donde Bi es una versión rotada de Bi-1. Usando este concepto definimos el adelgazamiento por una sucesión de elementos estructurales como:

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Elementos estructurales usados comúnmente en el proceso de adelgazamiento:

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Como hemos visto hasta ahora, cuando el elemento estructural contiene al origen, la dilatación expande la imagen mientras que la erosión la reduce. - APERTURA: Generalmente suaviza los contornos de una imagen y elimina pequeños salientes. También puede eliminar franjas o zonas de un objeto que sean “más estrechas” que el elemento estructural. - CLAUSURA: La clausura elimina pequeños huecos (rellenándolos) y une componentes conexas cercanas.

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• APERTURA: Definición

La apertura de A por un elemento estructural K se define como la erosión de A por K, seguido de la dilatación del resultado por K: Si A no cambia al realizarle una apertura con K, diremos que A es abierto respecto a K. Ejercicio: Da un ejemplo de un conjunto A y un elemento estructural K de más de un píxel de manera que A sea abierto respecto a K.

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• APERTURA: Teorema de caracterización

La apertura de A por K selecciona los puntos de A que pueden ser cubiertos por alguna traslación del elemento estructural K que esté contenida completamente en A. En otras palabras, la apertura A o K se obtiene pasando el elemento estructural K dentro de A y no permitiéndole que salga. Además, de la fórmula anterior se deduce que A o K = A o Kx, para cualquier x.

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• APERTURA: Interpretación geométrica

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• APERTURA: Ejemplo. Aquí se ilustra cómo podemos usar la apertura para descomponer objetos. Supongamos un cuadrado unido a un asa. El procedimiento descrito en la figura nos sirve para separar las dos partes.

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• APERTURA: Ejemplo. Aquí se ilustra cómo podemos usar la apertura para descomponer objetos. Supongamos un cuadrado unido a un asa. El procedimiento descrito en la figura nos sirve para separar las dos partes.

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• APERTURA: Propiedades

1. La apertura es antiextensiva: 2. La apertura es idempotente: 3. Si tomamos un disco como elemento estructural, la apertura suaviza contornos, rompe uniones estrechas entre partes de conjuntos y elimina salientes estrechos.

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• CLAUSURA: Definición

La clausura de A por un elemento estructural B se define como la dilatación de A por K, seguido de la erosión del resultado por K: Si A no cambia con la clausura por K, diremos que A es cerrado respecto a K. Ejercicio: Da un ejemplo de un conjunto A y un elemento estructural K de más de un píxel de manera que A sea cerrado respecto a K. ¿Es también abierto? Si no lo es, busca un ejemplo de conjunto cerrado y abierto respecto a un mismo elemento estructural.

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• CLAUSURA:

- Dualidad entre apertura y cierre:

- Teorema de caracterización: La clausura de A incluye todos los puntos que cumplen la condición de que cuando son cubiertos por un trasladado del reflejado del elemento estructural, este trasladado y A deben tener intersección no vacía. De nuevo esta transformación es invariante por traslaciones del elemento estructural.

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• CLAUSURA: Interpretación geométrica

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• CLAUSURA: Propiedades

1. La clausura es extensiva: 2. La clausura es idempotente: 3. Si tomamos un disco como elemento estructural, la clausura tiende a suavizar las secciones de contornos pero en sentido inverso: une separaciones estrechas, elimina golfos estrechos y elimina huecos.

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• APERTURA Y CLAUSURA: Ejemplo

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La apertura suaviza los contornos, rompe uniones estrechas entre partes de

conjuntos y elimina salientes estrechos.

La clausura tiende a suavizar las secciones de contornos pero en

sentido inverso: une separaciones estrechas, elimina golfos estrechos

y elimina huecos.

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• Aplicación 1: FILTRO MORFOLÓGICO Filtro morfológico para la eliminación de ruido sal y pimienta: El elemento de estructural B debe ser físicamente mayor que todos los elementos de ruido.

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(+) El ruido del fondo se ha eliminado completamente al erosionar. (-) El ruido contenido en las huella dactilar (puntos negros) aumenta de tamaño al erosionar.

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(+) Reducimos o incluso eliminamos el ruido de la huella aplicando una dilatación a la imagen erosionada (apertura). (-) Nuevas separaciones en las huellas dactilares han sido creadas.

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(+) Los cortes de las huellas se han restaurado. (-) Engrosamiento.

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(+) Adelgazamos la huella con la erosión de la dilatación (clausura).

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• Aplicación 2: ESQUELETO El esqueleto de un conjunto A puede ser expresado en términos de erosiones y aperturas. Si S(A) denota el esqueleto de A, entonces K es el último paso iterativo antes de que A se erosione a un conjunto vacío.

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El esqueleto obtenido es más grueso de lo esperado y tiene 3 componentes conexas!

Tema 6: Descriptores de la imagen

Algoritmo para calcular el esqueleto de una imagen lo más

delgado posible, conexo y mínimamente erosionado.

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• Aplicación 3: PODA

Los métodos de poda constituyen un esencial complemento de los algoritmos de adelgazamiento y cálculo del esqueleto ya que limpian la imagen, eliminando elementos parásitos. Asumimos que la longitud de los elementos parásitos no excede de tres píxeles. Mostramos en qué consisten los métodos de poda con un ejemplo.

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La siguiente imagen muestra el esqueleto de la letra “a”.

Queremos eliminar los tres píxeles marcados en rojo.

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Paso 1: Eliminación de elementos parásitos Si {B} denota una sucesión de elementos estructurales dada por Entonces adelgazando la imagen con dichos elementos estructurales tres veces obtenemos un conjunto X1.

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Paso 1: Eliminación de elementos parásitos

Problema: También puede que se eliminen elementos de la imagen (puntos finales).

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Paso 2: Reconstrucción de la imagen a) Buscamos los elementos finales usando la transformada de Hit- or-Miss:

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Paso 2: Reconstrucción de la imagen b) Para reconstruir la imagen a partir de los puntos finales, en primer lugar, dilatamos tres veces para recuperar los puntos de la imagen que hemos perdido: donde H es el elemento estructural 3 x 3 con todos los píxeles en negro.

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Paso 2: Reconstrucción de la imagen b)

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Paso 3: Imagen podada

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Paso 3: Imagen podada

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• Bibliografía básica:

R.C. González, R.E. Woods, Digital Image Processing, Pearson Prentice Hall, 2008

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