TP 1 Reales.doc

7/26/2019 TP 1 Reales.doc

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Matemática. 2do añoTrabajo Práctico 1

Hasta ahora hemos trabajado en el conjunto de los números racionales que indicamos con ¤ .

Un número p es racional si y sólo si existen dos números enteros a y b

(b 0) tales quea

p =b

La expresión decimal de un número racional puede ser finita o infinita periódica.Ejemplos:

♦ 2 35 235100

4720

, = = (expresión decimal finita)

♦ 2 353535 2 35 235

99

198 35

99

233

99, .... ,= = + =

+

=

∩

(expresión decimal periódica pura)

♦45

106

45

1690

45

162

90

322

90

335 25 3 ,2...35555 ,2 =

+=+=+=

−+==

(expresión decimal periódica

mixta)

Se erifican las si!uientes propiedades:

") Entre dos números racionales siempre ha# otro racional. (Se dice que $ es un conjunto denso )

%) & cada número racional le corresponde un punto de la recta' pero existen puntos en la rectaque no se corresponden con nin!ún número racional.

or ejemplo' si se dibuja un trin!ulo rectn!ulo isósceles con cateto "' su hipotenusa' por el

*eorema de it!oras' es 1 1 22 2

+ = . Se puede probar que 2 no puede escribirse como

cociente de dos números enteros' lue!o no es un número racional. Sin embar!o existe un punto enla recta que se corresponde con 2 . *ambi+n podemos representar en la recta puntos que se

correspondan con 3 ' 5 ' etc.

Si intentamos obtener las cifras decimales de 2 ' eremos que no se repiten periódicamente.

&qu, les presentamos "-- decimales de 2 ' obtenidos con el pro!rama athematica .

1

0 1

Números reales




"./"/%"012%030-41-/55-"2553%/%-4245-3512423"5310324/5-30"3223430344-30%/35/2%"-3-0551-05310/0%32/"13%3

Existen otros números cu#a expresión decimal consta de infinitas cifras que no se repitenperiódicamente. or ejemplo:6btenemos 3 con "-- decimales

".30%-1-5-3125533%401%3//20/"1-153%0224/%5-1%105"-05-2%5-115-2434/1"400-"24-55---03-5""/2"52313%/51313

5 con "-- decimales

%.%02-23433/44354242/-4"3022530"%32%01//-2"50142""1%13%/%3-543%/1/"-1%-4%12035-/544/"//"//-503535%%31

π con %-- decimales

0."/"14%210154340%05/2%2/0050%341-%55/"43"24044031"-15%-43/4//14%0-35"2/-2%52%-54452%5-0/5%10/%""3-2345%"/5-521"0%5%0-22/3-405//2-411-15%%0"3%1014/-5"%5/5"""3/1-%5/"-%3-"4051%""-11142//2%%4/541/40-05"42

Los números que lleados a la forma decimal tienen infinitas cifras decimales que 76 se repitenperiódicamente no pueden escribirse como la ra8ón de dos números enteros' es decir' no son

racionales. Estos números constitu#en el conjunto de los números irracionales que indicaremoscon I.

Llamaremos conjunto de números reales # lo indicaremos con R a la unión del conjunto delos racionales con los irracionales.

R= I Q ∪

Se cumple que:

A cada número real le corresponde un punto de la recta y a cada punto de la recta le

corresponde un número real.

1.1. 9escubrir la re!la de !eneración de los si!uientes números irracionales # escrib, las seiscifras si!uientes:

-'"%""%%................. 1'"-%--0---/............. -'"%0/12354"-""..........

2.2. roponer un número racional # otro irracional entre %'0 # %'000.

3.3. dem para 5 # %'%.

2




4.4. ndicar cules de las si!uientes expresiones representan números reales: a) 6 b); 9 c); −25 d) 1 68−

e) ; −325 f) −164 !) 5 1+

5.5. <bicar los números que se dan a continuación en el dia!rama de =enn:

134 1 53; ; ; ; 8; 0; 3 5; 9; 3,14159; 0,09

9 2π −+− − − −

6.6. a) 6rdenar de menor a ma#or:

; 23 > π >1 1

22 2

− + > 0'% >1 1

22 2

− + % 2 > ;7

5 > ; 2 > 0'" >

2 1

2

+

b) Se?alar entre los números que se ordenaron' aquellos que sean irracionales. c) ndicar si entre los anteriores existen pares de números opuestos.

7.7. 9ecidir si las si!uientes afirmaciones son erdaderas o falsas. ndicar un ar!umento quefundamente la respuesta.

a) La suma de dos números irracionales es irracional.b) El producto de dos números irracionales es irracional.c) La suma de un número racional # de uno irracional es irracional.d) El producto de un número racional # de uno irracional es irracional.

8.8. Los si!uientes números irracionales son conocidos como números metlicos de aplicación enel arte # el dise?o. @epresentarlos en la recta num+rica en forma exacta utili8ando encada caso una unidad adecuada.

7úmero de plata: 1 2 Ag

σ = +

7úmero de oro:1 5

2φ

+=

7úmero de bronce:3 13

2 Br σ

+=

N

Z QR

3




Fomo los números reales pueden ponerse en correspondencia con los puntos de una recta #rec,procamente' podemos interpretar que un se!mento representa un conjunto de números reales.

Si a ∈@' b ∈ @ # a B b' llamaremos intervalo cerrado a,b # lo indicaremos [a,b al conjunto denúmeros reales ma#ores o i!uales que a # menores o i!uales que b.Grficamente un interalo cerrado corresponde a un se!mento.

a'bIJ Kx ∈ @ a ≤ x ≤ b

*ambi+n se han establecido nombres # notaciones para otros conjuntos de números reales:

Nombre Notación !efinición Representaciónnteralo abierto a'b (a'b) Kx ∈ @ a B x B b

nteralo semiabierto a derecha osemicerrado a i8quierda

a'b) Kx ∈ @ a ≤ x B b

anteralo semiabierto a i8quierda osemicerrado a derecha

(a'bI Kx ∈ @ a B x ≤ b

b

El concepto de interalo se !enerali8a para representar semirrectas con o sin su ori!en.

Notación !efinición Representación

a 'C∞) K x ∈ @ a ≤ x

( a 'C∞) K x ∈ @ a B x

(; ∞ ' bI K x ∈ @ x ≤ b

(; ∞ ' b) K x ∈ @ x B b

6bseraciones:

♦ El s,mbolo M ∞ N se lee MinfinitoN # no representa un número. Fuando se escribe MC ∞ N se est expresandoque dado un número cualquiera' en el conjunto ha# otro ma#or. Si se escribe M; ∞ N' se quiere indicar quedado un número cualquiera' en el conjunto ha# uno menor.

♦ or conención' cuando trabajamos con el s,mbolo M ∞ O' colocamos un par+ntesis

11.11. I"ndicar a qu+ conjunto de números reales nos referimos al escribir:

5

ab

a

a

a

!b

aa

b

a

b

! b

! b




( ) ( ] ( ) ( )) 0, ) ,0 ) , ) ,0a b c d +∞ −∞ −∞ +∞ −∞

II" @esoler:) ) ) )+∩∅ = ∩ = ∅ ∪ = ∩ =¡ ¡ ¤ ¡ ¤a b c d I

12.12. @epresentar aproximadamente en la recta # expresar el resultado utili8ando interalos:

[ ) ( ) [ )

( ] [ ] ( ) ( )

( ] [ ] ( ) ( )

[ ] ( ) ( [ ]

( ] [ ) ( [ )

) 1,5 ) , ,

) 1,4 3,6 ) , 1 0,

) 1,4 3,6 ) , 1 0,

) 3,3 0, ) , 2 ;1,4

) , ,5 ) , 2 ;1,4

a f

b g

c h

d i

e j

π π

π π

π π π π

+− ∩ = −∞ ∩ − +∞ =

− ∩ = −∞ − ∪ +∞ =

− ∪ = −∞ − ∩ +∞ =

− ∩ +∞ = − ∪ − =

−∞ ∩ = − ∩ − =

¡

Radicación en el con#unto de números reales

13.13. ndicar en qu+ subconjunto de @ (mximo en el sentido de la inclusión) son lidas cada unade las si!uientes afirmaciones

a) x x2

= Fonclusión:

b) x x

2

= − ∀x ∈ ¡ : xnn

= .......... si n es natural par

c) x x33 =

∀x ∈ ¡ : x nn = .......

d) x x33 = − si n es natural impar

e) ( ) x x2

2

=

f) ( ) x x33 33

=

Fomo sólo se puede simplificar exponente e ,ndice de una ra,8 de ,ndice par si se sabe que elradicando es no ne!atio' debemos recordar que:

x x x x x x x x2 2 2= = = = =. .

"

#omo $2 ≥0%

resulta&$2 &' $2

(e)iniciónde cuadrado

*l módulode unproducto es' alproducto delos módulos

(e)iniciónde cuadrado +uedo simpli)icar

e$ponente e ,ndice porqueel radicando es no negati-o




14.14. Escribir sin radicales: ( x ∈@)

a) ( )x− 1

2 b) ( )2 2

− π c) (x+ 6)

55 d) ( )4 33

−x

15.15. @esoler sin calculadora. Expresar el resultado en forma exacta.(Sin aproximaciones)

a) ( )1 2 12

,4 ,4− + − = b) ( ) ( )3 1 8 3 1 82 33

− + − =, ,

c) sabiendo que 3a a∈ ∧ >¡ ( ) ( )2 3

33 3a a− + − =

d) sabiendo que 3a a∈ ∧ <¡ ( ) ( )2 3

33 3a a− + − =

16.16. Expresar utili8ando interalos' el conjunto de alores de x para el cual las si!uientesexpresiones corresponden a números reales.

a) 3x b) x− 23

c) x−1 d)

1

1 2−x

e) − x5 f) ( )−x 2

!) x3 h) x3

i) ( )1 4

−x j) ( )1 3

− x

17.17. Resolver las siguientes ecuaciones y expresar el conjunto solución, en ¢ en ¤ y en ¡ :

{ }

{ }{ }

{ }

{ }

( ) { }

( ) ( ) { }

3

3

2

2

3 3

2

2

) 0 1;0;1

) 2 2;0; 2

) 6 9 0 3

) 6 9 16 1;7

) 1 4 5

) 1 5 0 1 5; 5 1

) 3 . 7 0 7; 7;3

1) 2 0

2

− = = −

= = −

+ + = = −

− + = = −+ = − = −

+ − = = − − −

− − = = −

− + = = ∅

¡

¡

¡

¡

¡

¡

¡

¡

a x x S

b x x S

c x x S

d x x S

e x S

f x S

g x x S

h x S

.




{ }

{ }

{ }

{ }

2

2

1 1) 1 1 2

4 2) 1

5) 1 1 1

4

) 5 1 4

) 21 12 14 5 4

) 2 5 3

i x x S

j x S

k x x S

l x x S

m x S

n x x x S

− = + = −

= − = ∅

+ − − = =

+ = + =

+ + + = =

− − + = =

¡

¡

¡

¡

¡

¡

18.18. Se pide expresar cada uno de los si!uientes conjuntos de números reales utili8andointeralos' siempre que sea posible:

{ } [ ] [ )

{ } ( ) ( )

{ } ( ] [ ]

{ } ( ) ( )

{ } [ ) { }

{ } ( ) ( )

{ }

3

3

3

3

3 2

3 2

2

2

:

/ 0 1;0 1;

/ 0 1;0 1;

/ 0 ; 1 0;1

/ 0 ; 1 0;1

/ 1; 0

/ 0 ;0 0;1

1/ 0 1

3/ 0 ;π

π

= ∈ − ≥ = − ∪ +∞

= ∈ − > = − ∪ +∞

= ∈ − ≤ = −∞ − ∪

= ∈ − < = −∞ − ∪

= ∈ ≥ = +∞ ∪

= ∈ − < = −∞ ∪

+ = ∈ ≤ = −

−= ∈ > = − − +

¡

¡

¡

¡

¡

¡

¡

¡

Soluciones

A x x x A

B x x x B

C x x x C

D x x x D

E x x x E

F x x x F

xG x G

x

x H x H

x ( ) ( )

( )

2

2

3 3;

/ 01

1 2 2/ 0 ; ;1 1;

3 2 3 3

∪ +∞

= ∈ < = ∅ + − = ∈ > = −∞ ∪ ∪ +∞ ÷ ÷−

¡

¡

x I x I

x

x J x J

x

Potencia de e$ponente fraccionario

/

Si a ∈ +¡ yp

q es una fracción, se dene:

p q p q a a =




19.19. a)@esoler aplicando propiedades de la potenciación:

i) 3 1

81

1

27

3

23

25

−

−

−

. @ta: %3 ii)

( )

( )

2

4

12

15

21

101

2

12

2

8

x

x

x

x

−

−

.

.

@ta: 2. x

iii) a b

a b

a b

a b

−

−

−− −

⋅

2 3

3 25

13 3

3 3

1

.

. (aA-' bA- ) @ta:

7a

b

b" @educir ambos miembros a expresiones ms simples utili8ando propiedades de la potenciación

# resoler la ecuación resultante:

2.

23 2

0,5

1

32

3

2−

=−

−

x

x

x.

.

%$&'" @ta: x J %

Para operar con radicales

20.20. @educir a la m,nima expresión:

( )

) 45 80 5 : 0

) 12 4 75 6 48 : 2 3

) 108 3 192 2 243

a !a

b !a

c

− + =

+ − = −

− − =

( ) ( )

( )

3 5

2

8 44

3

: 0

) 10 10 10 :111 10

1 600 7) 6 5. 0, 06 : 6

4 5 4

) 2. 5 3 3 3 3 2 3. 2 3 : 1

) 2 2. 4 32 : 2

2) 2 54 : 3 18 : 48

3

!a

d !a

e !a

f !a

g !a

h !a

+ + =

+ − =

− − − + − + = −+ − =

− = − 6 6

(). El número de oro" 1

%

+Φ = que #a era conocido por los pita!óricos como número

m,stico' se obtiene a partir de calcular la ra8ón entre la dia!onal de un pent!ono re!ular # ellado del mismo. 9emostrar que el cuadrado del número de oro es i!ual al número de oro

aumentado en una unidad.




22.22. @acionali8ar los denominadores de las si!uientes expresiones # en los casos en los queaparecen ariables' hacer las restricciones necesarias para que existan dichas

expresiones.

3 23

3 3 3 2) ) ) )

2 3 1 3 5

1) ) ) )

5

aa b c d

a

x " x a b a be f g h

x " a b a b x "

−+ −

− + − − =+ + + −

23 @acionali8ar los numeradores de las si!uientes expresiones:

%.( ) % " "

) )x h x x h x

a b h h

+ − + + − +

24.24. Falcular:

( )

2

1

1 3 22) 12 : 3

3 25 15

3

2 1 13 12) : 214 71 8

1 7 7) 1 :

6 67

1 2 8)

2 3 49

a !a

b !a

c !a

d

−

+ − = −

− − = −−

− + ÷

− − =

2

3 1 : 2 6

14 3

3 11

2 2 31 11

) : 3104 1041 27

!a

e !a

−

− − ÷ ÷

= −−

25.25. =erificar las si!uientes identidades:

10




7 2 9)

52 7 2 71 10

) 3. 3327

2 2) 2 1

2 2

+ = −

− + + = ÷

− = −+

a

b

c

26. 9ada la fórmula21

x A

x x=

+ + calcular A si:

a) 2 x = 3 2

: 27 7

!a − b)1

2 x =

3 2: 2

7 7 !a −

(*. Falcular el alor de a sabiendo que 3 1− es una solución de la ecuación: #$ x% xa &

=+−

3: 2 3

2 !a a = +

(+. 9ecidir si las si!uientes pueden ser las medidas de los lados de un trin!ulo rectn!ulo:

( 3 1) ; ( 3 1) 8cm cm " cm− + . Pustificar.

(. Falcular el per,metro # el rea de un trapecio isósceles sabiendo que cada uno de los lados

paralelos miden 18 cm # 2 cm # que la altura del mismo es de 7 .cm

( ) 2: 6 4 2 2 14 !a cm " cm+

-'. Falcular la superficie de un rectn!ulo cu#a base mide 18 cm # la dia!onal 5 2 .cm @ta: %/cm%

-). QEn cunto aumenta la dia!onal de un cuadrado cuando su lado aumenta una unidadR

@ta: 2

-(. a) <n cuadrado tiene lado b> Qpor qu+ factor habr que multiplicar a b para que el rea del

cuadrado sea el dobleR

b) <n cubo tiene arista b> Qpor qu+ factor habr que multiplicar a b para que el olumendel cubo sea el dobleR @ta: a) 2 b) 23

33.33. Falcular la medida de la arista de un cubo que tiene el mismo olumen que una esfera de

radio 1 cm. @ta:35

. 363

π

34.34. En una circunferencia de radio r se inscriben un cuadrado' un trin!ulo equiltero # unhex!ono re!ular.

Hallar el lado # la apotema de cada uno en función del radio de la circunferencia. Fompletarla si!uiente tabla:

11




pol./ono re/ular lado apotema per.metro 0rea

tri0n/ulo

cuadrado

1e$0/ono

-2. Falcular el per,metro # el rea de un hex!ono re!ular inscripto en una circunferencia de

rea "2π cm%. Expresar el resultado en función de 0 @ta: %/ cm > %/

3 cm%

36.36. Hallar el rea total # el olumen del cono que se obtiene al !irar un trin!ulo rectn!uloalrededor de su cateto menor' sabiendo que la hipotenusa mide "-cm # que un cateto es los del otro.

Rta 1πc!"# 1"$πc!%

37.37. @esoler en ¡ :

( ) ( )2

) 2. 3 3 5 22 : 3 6;0

25 5) 5 125 0 : 5;

4 4

a x !a

b x x !a

− + + > − −

− − < − − +∞ ÷

12

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