Trabajo de estadística

Universidad tecnológica de torreón

TRABAJO DE ESTADÍSTICA

FERMÍN CHAVEZ REYES

2.C

DISTRIBUCION DE BERNOULLI

EJEMPLO 1

Un jugador de basquetbol está a punto de tirar hacia la parte

superior del tablero. La probabilidad de que anote el tiro es de

0.55

a) Sea x=1, si anota el tiro sino lo hace x=0 determine la

media y la varianza de x formulas

b) Si anota el tiro, su equipo obtiene dos puntos; si lo fallo

su equipo no recibie puntos sea el número de puntos

anotados ¿Tiene una distribución de Bernoulli? Si es asi,

encuentre la probabilidad de éxito sino

c) Determine la media y la varianza de “y”

1.) X=1 tiro X=0 sino anota

P(x=1) es igual a 0.55 por tanto Bernoulli 0.55

µx (0) (1-0.55)+ (1-0.55)2 (0.55)=.2475

σ2x (0.55)2 (1-0.55)+(1.55)(.55)= .2475

2.) No porque una variable aleatoria de Bernoulli

tiene valores posibles 0y1 los valores de y son 0y2

3.) (0)(1-.0.55)+c

EJEMPLO 2

Hay una urna con 342 boletos, para ganar un automóvil, al

momento de sacar alguno de ellos ¿Qué probabilidad hay

para que pueda salir premiado el boleto número 342?

° La probabilidad de que saque el boleto número 342.

P(x=1) = (1/342) 1

* (341/342) 0 = 1/342 = 0.00292

° La probabilidad de que NO seleccione al alumno numero

342.

P(x=0) = (1/342)0 * (341/342)

1 = 341/342 = 0.99707

EJEMPLO 3

Tenemos cartas que están enumeradas del 1 al 9 ¿Cuál es la

probabilidad de sacar la carta 9?

° La probabilidad de que obtengamos la carta 9.

P(x=1) = (1/9) 1

* (8/9) 0 = 1/9 = 0.111

° La probabilidad de que NO obtengamos la carta 9.

P(x=0) = (1/9)0 * (8/9)

1 = 8/9 = 0.888

EJEMPLO 4

Lanzar una moneda, probabilidad de conseguir que salga

cruz".

Se trata de un solo experimento, con dos resultados posibles:

el éxito (p) se considerará sacar cruz. Valdrá 0,5. El fracaso

(q) que saliera cara, que vale (1 - p) = 1 - 0,5 = 0,5.

La variable aleatoria X medirá "número de cruces que salen

en un lanzamiento", y sólo existirán dos resultados posibles: 0

(ninguna cruz, es decir, salir cara) y 1 (una cruz).

Por tanto, la v.a. X se distribuirá como una Bernoulli, ya que

cumple todos los requisitos.

° La probabilidad de obtener cruz.

P(x=1) = (0.5) 1

* (0.5) 0 = 0.5 = 0.5

° La probabilidad de no obtener cruz.

P(x=0) = (0.5)0 * (0.5)

1 = 0.5 = 0.5

EJEMPLO 5

Una maestra enumera a sus alumnos del 1 al 16, para así

poder darles un premio, pero la maestra los seleccionará con

los ojos cerrados, ¿Cual es la probabilidad de que salga el

alumno numero 16?

° La probabilidad de que seleccione al alumno numero 16.

P(x=1) = (1/16) 1

* (15/16) 0 = 1/16 = 0.0625

° La probabilidad de que NO seleccione al alumno numero 16.

P(x=0) = (1/9)0 * (15/16)

1 = 15/16 = 0.9375

DISTRIBUCCION POISSON

EJEMPLO 1

El 8% de los registros contables de una empresa presentan

algún problema, si un auditor toma una muestra de 40

registros ¿Calcular probabilidad de que existan 5 registros

con problemas?

n=40

P=0.08 P(X=5)(e^3.2)(3.2^5)/5!=0.1139793

=3.2

X=5

EJEMPLO 2

Se calcula que la ciudad el 20% de las personas tiene defecto

de la vista si tomamos una muestra de 50 personas al azar

¿Calcular Probabilidad que existan 5 registros con

problemas?

n=40

P=0.08

=10

EJEMPLO 3

Si ya se conoce que solo el 3% de los alumnos de

contabilidad son muy inteligentes ¿Calcular la probabilidad de

que si tomamos 100 alumnos al azar 5 de ellos sean muy

inteligentes

n= 100

P=0.03

=100*0.03=3

x=5

EJEMPLO 4

Una jaula con 100 pericos 15 de ellos hablan ruso calcular la

probabilidad de que si tomamos 20 al azar 3 de ellos hablan

ruso

n=20

P=0.15 P (x=3)= (e^-8) (3^3)/3!=0.2240418

X=3

=3

EJEMPLO 5

La producción de televisores en Samsung trae asociada una

probabilidad de defecto del 2%, si se toma un lote o muestra

de 85 televisores, obtener la probabilidad que existan 4

televisores con defectos.

n=85

P=0.02

P(x5)=(e^-17)(1.7^4)/4!=0.0635746

X=4

=1.7

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

EJEMPLO 1

En un examen formado por 20 preguntas, cada una de las cuales se responde declarando “verdadero” o “falso”, el alumno sabe que, históricamente, en el 75% de los casos la respuesta correcta es “verdadero” y decide responder al examen tirando dos monedas, pone “falso” si ambas monedas muestran una cara y “verdadero” si al menos hay una cruz. Se desea saber qué probabilidad hay de que tenga al menos 14 aciertos. Hay que proporcionarle a Epidat 3.1 los parámetros de la distribución y el punto k a partir del cual se calculará la probabilidad. En este caso n=20, p=0,75 y el punto k=14. Resultados con Epidat 3.1Cálculo de probabilidades. Distribuciones discretas Binomial (n, p)

N: Número de pruebas 20

p: Probabilidad de éxito 0,7500

Punto K 14

Probabilidad Pr [X=k] 0,1686

Cola Izquierda Pr [X<=k] 0,3828

Cola Derecha Pr [X>k] 0,6172

Media 15,0000

Varianza 3,7500

La probabilidad de que el alumno tenga más de 14 aciertos

se sitúa en 0,61.

DISTRIBUCCION GAMMA

EJEMPLO 1

El número de pacientes que llegan a la consulta de un médico sigue una distribución de Poisson de media 3 pacientes por hora. Calcular la probabilidad de que transcurra menos de una hora hasta la llegada del segundo paciente.

Debe tenerse en cuenta que la variable aleatoria “tiempo que transcurre hasta la llegada del segundo paciente” sigue una distribución Gamma (6, 2).

Resultados con Epidat 3.1

Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuas

Gamma (a, p)

a : Escala 6,0000

p : Forma 2,0000

Punto X 1,0000

Cola Izquierda Pr [X<=k] 0,9826

Cola Derecha Pr [X>=k] 0,0174

Media 0,3333

Varianza 0,0556

Moda 0,1667

La probabilidad de que transcurra menos de una hora hasta que llegue el segundo paciente es 0,98.

EJEMPLO2

El tiempo de reparación, en horas, de una pieza es una g (0.5, 2). El precio de venta de la misma es de 5 mil euros y el de fabricación de mil euros. ¿A cuánto debemos cobrar la hora de reparación para obtener un beneficio medio de 3 mil euros?

Se nos pide una cantidad K, de modo que el beneficio medio,

E (B), sea 3.

El beneficio es B=5- (K X +1), entonces, E(B)= 4 - K* E(X) = 4

- K* (2 / 0.5) lo igualamos a 3, de donde se deduce que

K=1/4, es decir 250 euros, para obtener un beneficio de 3 mil

euros.

EJEMPLO3

Suponiendo que el tiempo de supervivencia, en años, de pacientes que son sometidos a una cierta intervención quirúrgica en un hospital sigue una distribución Gamma con parámetros a=0,81 y p=7,81, calcúlese:

1. El tiempo medio de supervivencia.

2. Los años a partir de los cuales la probabilidad de supervivencia es menor que 0,1.

Resultados con Epidat 3.1

Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuas

Gamma (a,p)

a : Escala 0,8100

p : Forma 7,8100

Cola Izquierda Pr[X<=k] 0,9000

Cola Derecha Pr[X>=k] 0,1000

Punto X 14,2429

Media 9,6420

Varianza 11,9037

Moda 8,4074

El tiempo medio de supervivencia es de, aproximadamente, 10 años.

DISTRIBUCCION T STUDENT

EJEMPLO1

La longitud de los tornillos fabricados en una fábrica tienen media

μ=10 mm y desviación s=1 mm, calcular la probabilidad de que en

una muestra de tamaño n=25, la longitud media del tornillo sea

inferior a 20.5 mm:

P (μ<20.5)

Estandarizamos T=(X-μ)/(s/√n) que sigue una distribución t de n-1

grados de libertad

T=(20.5-20)/(1/√25) = 2.5

P (μ<20.5) --> P (T<2.5) ~ t(24)

P (T<2.5) = 0.9902

P (μ<20.5)=0.9902

La probabilidad que la longitud media de la muestra de 25 tornillos

sea inferior a 20.5 mm es del 99.02%

EJEMPLO 2

El profesor Pérez olvida poner su despertador 3 de cada 10 días.

Además, ha comprobado que uno de cada 10 días en los que pone

el despertador acaba no levantándose a tiempo de dar su primera

clase, mientras que 2 de cada 10 días en los que olvida poner el

despertador, llega a tiempo adar su primera clase.

(a) Idéntica y da nombre a los sucesos que aparecen en el

enunciado.

(b) ¿Cual es la probabilidad de que el profesor Pérez llegue a

tiempo a dar su primera clase?

SOLUCIÓN:

En primer lugar conviene identificar el experimento aleatorio que

estamos realizando. Este consiste en tomar un día al azar en la vida

del profesor Pérez y analizarlo en base a los siguientes sucesos.

(a) Para un día al azar decimos que se ha dado el suceso:

O ≡ cuando el profesor ha olvidado poner el despertador

T ≡ cuando el profesor ha llegado tarde a su primera clase.

Notemos que tanto {O, O} como {T, T} forman un sistema completo

de sucesos. A continuación traducimos en términos de probabilidad

de los sucesos anteriores todos los datos que nos dan en el

enunciado.

P(O) = , P (T |O) = , P(O) = , P(T |O) = .

(b) El suceso”llegar a tiempo a su clase” es el complementario de T ,

por tanto nos piden que calculemos P(T¯). Puesto que {O, O} es un

sistema completo de sucesos, podemos aplicar la formulas de la

probabilidad total, de donde tenemos que:

P (T¯) = P (T |O¯) P(O) + P (T | ¯ O¯) P (O¯).

En la expresión anterior aparecen varios de los datos que nos ha

proporcionando el enunciado, sin embargo no conocemos

directamente el valor de P(T |¯ O¯). Para calcularlo utilizamos que

P(T |¯ O¯) = 1 − P(T |O¯) = 1 − = De esta forma, la expresión

anterior se puede escribir como: P(T¯) = + =0.69

EJEMPLO3

Un fabricante de focos afirma que su producto durará un

promedio de 500 horas de trabajo. Para conservar este

promedio esta persona verifica 25 focos cada mes. Si el valor

y calculado cae entre –t 0.05 y t 0.05, él se encuentra

satisfecho con esta afirmación. ¿Qué conclusión deberá él

sacar de una muestra de 25 focos cuya duración fue?:

SOLUCIÓN.

t= x -μ

SI n α = 1- Nc = 10%

v = n-1 = 24

t = 2.22

Enseguida se muestra la distribución del problema según

el grafico sig.

520 521 511 513 510 µ=500 h

513 522 500 521 495 n=25

496 488 500 502 512 Nc=90%

510 510 475 505 521 X=505.36

506 503 487 493 500 S=12.07

EJEMPLO4

Calcular el percentil w0=95 y w0=25 en cada uno de los

siguientes casos:

1. En una distribución t-Student con 3 grados de libertad.

2. En una distribución t-Student con 30 grados de libertad.

Solución.

1. Recordemos que w0=95 es aquel número real que verifica:

S [W · w0=95] = 0=95

Para encontrar este valor en la tabla de la distribución t-

Student bastará:

- ) Localizar en la primera columna los grados de libertad, en

este caso: 3.

- ) Localizar en la primer fila la probabilidad acumulada, en

nuestro caso: 0=95=

- ) Movernos horizontal y verticalmente desde las posiciones

anteriores hasta cruzarnos en el punto w0=95.

Por tanto el percentil w0=95, en una t-Student con 3 grados

de libertad será el valor:

w0=95 = 2=3534

Es decir, si desde el valor 2.3534 nos movemos

horizontalmente hasta la primera columna, llegaremos al valor

3 (grados de libertad), y si lo hacemos verticalmente hacia la

primera fila la llegaremos al valor 0.95 (probabilidad

acumulada).

Como en la tabla únicamente tenemos tabulada la t-Student

para colas probabilísticas que van desde 0=75 hasta 0=999,

para calcular el percentil w0=25, tendremos que realizar la

siguiente consideración:

S [W · w0=25] = 1 ¡ s[W ¸ w0=25]

Como la distribución t-Student es simétrica, se verifica:

w0=25 = ¡w0=75

Y resulta: s[W · w0=25] = 1 ¡ s[W · w0=75]

Por tanto, buscando en la tabla con los datos:

Grados de libertad: 3

Cola de probabilidad: 0.75

Tenemos: w0=25 = ¡w0=75 = ¡0=7649

2. En el caso de 30 grados de libertad actuaremos de modo

similar al caso anterior, pero buscando en la fila 30 de la

tabla. Resultando:

w0=95 = 1=6973

Y w0=25 = ¡w0=75 = ¡0=6828

EJEMPLO 5

Calcular los percentiles I8>7;0=99 y I8>7;0=01

Solución.

Para buscar en la tabla de la F-Snedecor el percentil I8>7;

0=99 hemos de tener en cuenta que:

df_1 = 8 (1d Fila de la tabla)

df_2 = 7 (1 d Columna de la tabla)

0=99 = Probabilidad acumulada (Última columna de la tabla)

El valor donde se cruzan todos estos datos será el percentil

buscado.

Por tanto: I9>7; 099 = 6=840

DISTRIBUCCION NORMAL

EJEMPLO 1

Una población normal tiene una media de 80 una desviación

estándar de 14.0 µ = 80

σ = 14 z

a) Calcule la probabilidad de un valor localizado entre 75.0 y

90.0

p (75 ≤ x ≤ 90)

z =

z =

p (75 ≤ x ≤ 90) = 0.7611 – 0.3594 = 0.4017

b) Calcule la probabilidad de un valor de 75.0 ó menor.

p(x ≤ 75)

z

p(x ≤ 75) = 0.3594

c) Calcule la probabilidad de un valor

localizado entre 55.0 y 70.0

p (55 ≤ x ≤ 70)

Probabilidad acumulada.

0.7611

0.3594


0.3594

75 80 μ


0.2389

0.0367

z =

z =

p (55 ≤ x ≤ 70) = 0.2389 – 0.0367= 0.2022

EJEMPLO 2

Los montos de dinero que se piden en las solicitudes de

préstamos en Down River Federal Savings tiene una

distribución normal, una media de $70,000 y una

desviación estándar de $20,000. Esta mañana se recibió

una solicitud de préstamo. ¿Cuál es la probabilidad de que:

µ= $70,00

σ =$20,0 z

a) El monto solicitado sea de $80,000 o superior?

p(x ≥ 80,000)

z =

p(x ≥ 80,000) = 1 – 0.6915= 0.3085

b) El monto solicitado oscile entre $65,000 y $80,000?

p(65,000 ≤ x ≤ 80,000)

z =

z =

p(65,000 ≤ x ≤ 80,000) = 0.6915 – 0.4013 = 0.2902


0.6915


0.6915

0.4013

c) El monto solicitado sea de $65,000 o superior.

p(x ≥ 65,000)

z =

p(x ≥ 65,000) = 1 –0.4013 = 0.5987


0.4013

EJEMPLO 3

Entre las ciudades de Estados Unidos con una población de

más de 250,000 habitantes, la media del tiempo de viaje de ida

al trabajo es de 24.3 minutos. El tiempo de viaje más largo

pertenece a la ciudad de Nueva York, donde el tiempo medio

es de 38.3 minutos. Suponga que la distribución de los

tiempos de viaje en la ciudad de Nueva York tiene una

distribución de probabilidad normal y la desviación estándar es

de 7.5 minutos.

µ = 38.3 min.

σ = 7.5 min. z

a) ¿Qué porcentaje de viajes en la ciudad de Nueva York

consumen menos de 30 minutos?

p( x ≤ 30)

z =

p( x ≤ 30) = 0.1335 = 13.35%

b) ¿Qué porcentaje de viajes consumen entre 30 y 35 minutos?

p(30 ≤ x ≤ 35)

z =

z =


0.1335

30 38.3 μ


0.3300

0.1335

p(30 ≤ x ≤ 35) = 0.3300 – 0.1335 = 0.1965 = 19.65%

c) ¿Qué porcentaje de viajes consumen entre 30 y 40 minutos?

p(30 ≤ x ≤ 40)

z =

z =

p(30 ≤ x ≤ 40) = 0.5910 – 0.1335 = 0.4575 = 45.75%


0.5910

0.1335

EJEMPLO 4

Las ventas mensuales de silenciadores en el área de

Richmond, Virginia, tiene una distribución normal, con una

media de $1,200 y una desviación estándar de $225. Al

fabricante le gustaría establecer niveles de inventario de

manera que solo haya 5% de probabilidad de que se agoten

las existencias. ¿Dónde se deben establecer los niveles de

inventario?

1 - 0.0500 = 0.9500 Valor z = 1.65

1.65

x = 1,571.25

5% ó 0.0500

z

X = 1,571.25

EJEMPLO 5

En 2004 y 2005, el costo medio anual para asistir a una

universidad privada en Estados Unidos era de $20,082.

Suponga que la distribución de los costos anuales se rigen

por una distribución de probabilidad normal y que la

desviación estándar es de $4,500. El 95% de los estudiantes

de universidades privadas paga menos de ¿Qué cantidad?

1.64

x = 27,462.

z

µ = 20,082 σ = 4,500

Probabilidad Valor acumulada. de z

95% = .9500 =

z

X = 27,46275

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