Trabajo Final Estadística II

Universidad de El Salvador

Facultad Multidisciplinaria Paracentral

Departamento de Ciencias Económicas

Estadística II

“Aplicación de muestreo estratificado, estimación de

intervalos y prueba de hipótesis en las ventas netas

emitidas por la empresa ‘Servicio de Encomiendas

Sonia Delmy’ en la ciudad de San Vicente para el

período facturado de Enero 2006 a Diciembre 2012”

Catedrática: Msc. Licda. Elida Consuelo Figueroa.

Estudiantes: DUE:

Br. Henríquez Corvera; Fátima Guadalupe HC07022

Br. Navarro Ayala; José Fernando NA11005

Br. Pereira Zavala; Francisco Alberto PZ09009

Br. Rivera Herrera; José Rigoberto RH10043

Br. Sosa Rivas; Sergio Calixto SR10033

Ciclo II/2015

San Vicente 14 de Diciembre de 2015

“SERVICIO DE ENCOMIENDAS SONIA DELMY” 2

TRABAJO FINAL ESTADÍSTICA II

Índice Introducción ................................................................................................................................ 3

Objetivos de la investigación ....................................................................................... 4

Diseño muestral ......................................................................................................................... 5

Planteamiento del problema........................................................................................... 5

Objetivos ................................................................................................................................... 6

Determinación de la población ................................................................................... 7

Formulación de hipótesis ............................................................................................... 7

Marco de referencia ........................................................................................................... 8

Método de recolección a utilizar ............................................................................ 8

Estudio de la muestra ...................................................................................................... 8

Calculo del tamaño de la muestra ................................................................................ 9

Método de muestreo a utilizar ..................................................................................... 10

Selección de los elementos de la muestra ........................................................... 12

Análisis de los resultados obtenidos por cada estrato ............................ 14

Análisis de los resultados obtenidos aplicando el muestreo

estratificado ............................................................................................................................ 15

Estimación por intervalo. ............................................................................................... 15

Estimación por intervalo para la media. ......................................................... 16

Estimación por intervalo para proporciones en muestras grandes. 17

Prueba de hipótesis ............................................................................................................. 18

Prueba de hipótesis para la media ........................................................................ 18

Prueba de hipótesis para la proporción ............................................................ 20

Análisis de los resultados............................................................................................. 23

Conclusiones .............................................................................................................................. 25

Recomendaciones ....................................................................................................................... 26

Bibliografía .............................................................................................................................. 27

Anexos ............................................................................................................................................ 28



Introducción

La presente investigación se ha desarrollado con el fin de

aplicar los conocimientos prácticos y teóricos previamente

adquiridos en la materia de Estadística ll.

Dicha investigación se ha aplicado a la empresa “Servicio de

Encomiendas Sonia Delmy”, ya que la estadística se adapta a

cualquier empresa, en este caso, el equipo investigador decidió

adaptar dichos conocimientos adquiridos en una empresa de

servicios, ya que esta emite facturas a consumidor final y

declara IVA y Renta. Cabe destacar que esta investigación esta

aplicada a la realidad de la empresa. El equipo investigador

tomó a bien observar el comportamiento de las ventas netas, ya

que las ventas netas son ingresos que capta sin el impuesto al

valor agregado (IVA).

El marco muestral se conformaba en un principio por 938

elementos, de los cuales 3 elementos tienen datos muy atípicos

que no fueron consideras en la investigación, por ellos se tomó

a bien restar esos 3 elementos al marco muestral, por lo que

ahora se conforma de 935 ventas netas facturadas por “Servicio

de Encomiendas Sonia Delmy” en el periodo comprendido de enero

2006 a diciembre de 2012, del cual se ha obtenido una muestra

de 214 elementos que a su vez está dividido en dos estratos el

primero comprende las ventas menores a $150 y el segundo las

ventas mayores o iguales a $150 pero menores o iguales a $400.

Para el análisis de datos como grupo llegamos a la conclusión

que el modelo que utilizaríamos será el modelo estratificado

ya que los elementos no son homogéneos.

Para la conclusión del trabajo se muestran las diferentes

conclusiones extraídas de los resultados en su totalidad, como

también se presentan los anexos, en los cuales se encuentran

el marco muestral de la investigación, la prueba piloto, los

estratos formados, la muestra de cada estrato y también los

procedimientos estadísticos para la determinación de los

parámetros. Además se presenta el análisis respectivo de cada

estrato para poder realizar conclusiones y elaborar

recomendaciones a “Servicio de Encomiendas Sonia Delmy” para

su mayor desarrollo en el mercado.



Objetivos de la investigación

OBJETIVO GENERAL

Aplicar conocimientos teóricos y prácticos obtenidos

desde el punto de vista de la estadística inferencial a

las ventas netas facturadas por “Servicio de Encomiendas

Sonia Delmy” a los consumidores finales.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Aplicar las técnicas de muestreo apropiadas de acuerdo a

las características del diseño muestral.

Establecer técnicas que nos permita elegir correctamente

los elementos que formaran la muestra de estudio de

acuerdo al marco muestral de referencia.

Determinar el método de estimación para aproximar los

parámetros de la población.

Concluir los resultados obtenidos.



Diseño muestral

Planteamiento del problema

En un entorno económico cada vez más competitivo, como el

actual, las empresas necesitan disponer de un control interno

aplicado a las ventas, así como un sistemas de información

que constituyan un instrumento útil para controlar su

eficiencia y que proporcionen un alto grado de visibilidad de

las distintas actividades que se realizan en sus procesos

productivos o de prestación de servicios.

Esto ayudara a la administración a evaluar los porcentajes

de ventas que obtienen en determinados períodos y a determinar

cuáles han sido las causas que pueden existir si es que han

disminuido sus ventas, además esto facilitara a la toma de

decisiones

Toda empresa de servicio está enfocada a la calidad de servicio

que se le da al cliente ya que este es el factor más importante

para mantenerse en el mercado y así poder ser competitivo

dentro del ámbito de las empresas

Debemos de tomar en cuenta en cuenta que la principal fuente

generadora de ingresos para las empresas, son sus ventas, ya

que generan mayores utilidades al negocio.

Por tanto las ventas necesitan ser analizadas desde el punto

de vista estadístico, porque estas muestran la situación

económica en que se encuentra la empresa con respecto a sus

ingresos, gastos y costos en un periodo determinado.

Además la aplicación de las técnicas estadísticas es muy

importante en el presupuesto que realiza toda empresa, esto

permite determinar de una manera estimada el valor de las

ventas requeridas para alcanzar la estabilidad económica en el

mercado. Es por ello que nuestro trabajo de investigación está

encaminado a:

“Determinar el comportamiento de las ventas netas a

consumidores finales realizas por “Servicio de Encomiendas

Sonia Delmy” desde Enero de 2006 hasta Diciembre de 2012, las

cuales sirven de base para la administración en la toma de

decisiones”



Objetivos

OBJETIVO GENERAL:

Analizar la información obtenida mediante el estudio de

la muestra, del registro de las ventas netas mensuales de

“Servicio de Encomiendas Sonia Delmy” para obtener

resultados que nos ayuden a establecer conclusiones

validas respecto a la población que se está estudiando.

Objetivos Específicos:

Determinar el método de muestreo probabilístico que más

se adecue a la población en estudio.

Establecer el nivel de confianza y el error muestral de

acuerdo al parámetro que se desea estimar.

Calcular el tamaño de la muestra de las ventas netas que

se encuentran en el marco muestral.

Encontrar el promedio, proporción, el total y desviación

estándar de las ventas netas diarias a consumidor final

realizadas por “Servicio de Encomiendas Sonia Delmy”.

Analizar los resultados de la muestra para poder inferir

a los parámetros de la población



Determinación de la población

Se hace necesario entender primeramente que población, desde

el punto de vista estadístico es aquella que conforma los

conjuntos de todos los elementos homogéneos y bien delimitados

en tiempo, espacio y unidades de observación. Esta puede estar

constituida por personas, objetos; cosas tangibles e

intangibles, operaciones y registros contables, entre otros.

Para el caso de la investigación, la población que a estudiar

está conformada por 935 facturas a consumidor final emitidas

por “Servicio de Encomiendas Sonia Delmy”, para el período

comprendido de Enero de 2006 ha Diciembre de 2012. Estas ventas

se encuentran registradas en las facturas de venta a consumidor

final

Formulación de hipótesis

Con origen en el término latino hypothesis, que a su vez deriva

de un concepto griego, una hipótesis es algo que se supone y a

lo que se le otorga un cierto grado de posibilidad para extraer

de ello un efecto o una consecuencia. Su validez depende del

sometimiento a varias pruebas, partiendo de las teorías

elaborada.

La esencia o el interés de probar una hipótesis estadística es

el decidir si la afirmación se encuentra apoyada por la

evidencia que se obtiene de una muestra aleatoria.

Para ello se establecen una hipótesis nula y una hipótesis

alternativa; la hipótesis nula que aquella que consiste en

hacer una afirmación respecto al valor del parámetro de la

población, mientras que la hipótesis alternativa es una

afirmación que se acepta si los datos de la muestra

proporcionan evidencia suficiente para que la hipótesis nula

sea falsa. Si se acepta la nula se rechaza la alternativa y

viceversa.

Las hipótesis que el equipo investigador son las que se

presentan a continuación:



Los investigadores toman un población de 935 facturas de

“Servicio de Encomiendas Sonia Delmy”, de las cuales la

media poblacional es de $70.00 y una desviación estándar

de $15.00. Al igual propone un promedio de $125.00 en

ingresos mensuales.

Los investigadores suponen que el 35% de los ingresos

mensuales son menores a $100.00. Para ello se toma una

muestra de 214 elementos, de las cuales se encontró que

66 de las ventas registradas son menores $100.00 en el

período comprendido de enero 2006 a diciembre 2012

Marco de referencia

El marco de referencia estará compuesto por todas las facturas

desde el 23 de enero del año 2006 hasta el 23 de diciembre del

año 2012, esto corresponde a los ingresos que “Servicio de

Encomiendas Sonia Delmy” obtuvo en esos 6 años; y está

conformado por 935 elementos.

Método de recolección a utilizar

Teniendo en cuenta las ventajas y desventajas que presenta cada

una de las técnicas de recolección de datos y teniendo un marco

muestral de 935 el equipo de investigación se ve en la necesidad

de utilizar el método de la observación. Ya que este método

permitirá al equipo observar el comportamiento de las ventas

en las diferentes facturas proporcionadas por “Servicio de

Encomiendas Sonia Delmy” en el periodo de enero de 2006 a

diciembre de 2012, para lo cual al equipo se les proporcionó

una población de 935 facturas.

Estudio de la muestra

Se entiende por muestra una porción o parte de la población de

interés. Lo que se busca con esta muestra es la

representatividad que pueda tener. Una buena muestra es la que

refleja o representa las características esenciales de una

población y a la vez con la representatividad que esta muestra



presenta se hace más fácil inferir para toda la población en

sí.

En este sentido Douglas Lind establece algunas razones por las

cuales estudiar una muestra son:

Establecer contacto con toda la población requiere de

mucho tiempo.

El costo de estudiar todos los elementos de una población

se hace muy elevado.

Es imposible verificar de manera física todos los

elementos de la población.

Los resultados de la muestra son adecuados.

Cálculo del tamaño de la muestra

Para el cálculo del tamaño de la muestra que va en relación a

“Servicio de Encomiendas Sonia Delmy” se hará uso de la fórmula

para encontrar poblaciones finitas y conocidas dado que el

número de facturas con las que se cuentan es de 935 elementos

emitidos por “Servicio de Encomiendas Sonia Delmy” en el

periodo de Enero de 2006 hasta Diciembre de 2012.

(Ver anexo 1)

Para el cálculo de la muestra se cuenta con la siguiente

información:

DATOS:

N= 935 (Ventas Netas Facturadas)

Nivel de confianza: 97%

Error muestral: Dado la variabilidad de las ventas se tomó a

bien considerar un error del 5% del promedio de las ventas.

Ɛ = $112.64 (0.05) = $5.63

Desviación típica: S = $42.77

Solución:

Par encontrar el valor de Z, se utilizara el nivel de confianza.

Este valor se obtendrá dividiendo el nivel de confianza entre

dos, para luego buscarlo en la tabla de los valores de Z así:

0.97

2= 0.485



Al buscar este valor en la tabla de áreas bajo la curva se

tiene que 𝑍 = 2.17

Para el cálculo de la muestra se utilizara la siguiente

formula:

𝑛 =𝑍2𝑁𝑆2

(𝑁 − 1)𝐸2 + 𝑍2𝑆2

Sustituyendo en la expresión se obtiene:

𝑛 =𝑍2𝑁𝑆2

(𝑁 − 1)𝐸2 + 𝑍2𝑆2

𝑛 =(2.17)2(935)(42.77)2

(935 − 1)(5.63)2 + (2.17)2(42.77)2

𝑛 =(4.7089)(935)(1,829.2729)

(934)(31.6969) + (4.7089)(1,829.2729)

𝑛 =8,173,687.965

(29,604.9046) + (8,613.863159)

𝑛 =8,173,687.965

38,218.76776

𝑛 = 213.8658163

𝑛 ≈ 214 𝑉𝑒𝑛𝑡𝑎𝑠 𝑛𝑒𝑡𝑎𝑠 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑢𝑟𝑎𝑑𝑎𝑠.

De una población de 935 facturas y utilizando un nivel de

confianza del 97%, al aplicar la fórmula para calcular el

tamaño de la muestra se obtiene que la muestra o el tamaño de

esta será de 214 facturas del total de la población de elementos

emitidos por “Servicio de Encomiendas Sonia Delmy”, determinado

por el equipo investigador y con un error muestral del 5% sobre

el valor de la media de la prueba piloto. (Ver anexo 2)

Método de muestreo a utilizar

La teoría da a conocer tres métodos de muestreo; los cuales

son:

El Muestreo Aleatorio Simple

El muestreo Sistemático



El Muestreo Estratificado

Para esta investigación el método de muestreo a aplicar será

el muestreo estratificado, ya que al hacer un análisis de toda

la información con la que se cuenta se dictaminó que cumple

con las características o requisitos para aplicar dicho método.

Para ello, se hace especial mención del autor Douglas Lind, el

cual nos menciona que una muestra aleatoria estratificada es

aquella donde “la población se divide en subgrupos llamados

estratos”, para ello la información debe cumplir con las

siguientes características.

Para el caso de “Servicio de Encomiendas Sonia Delmy”, el marco

muestral que presenta las distintas encomiendas entregadas a

sus diversos clientes, que en este caso se denominarán

consumidores finales, durante el periodo del 23 de enero del

año 2006 hasta el 23 de diciembre del año 2012, presenta las

siguientes características:

Las encomiendas se encuentran emitidas en facturas con su

respectivo número correlativo y fecha de emisión.

Existe variabilidad entre los precios de las encomiendas,

por lo cual son heterogéneos, en el sentido de que se

alejan unos valores de otros, ya que en el marco muestral

proporcionado hay ventas netas menores a $7.00 y mayores

a $700

Contando con las características antes descritas y

estableciendo un análisis respectivo de los requisitos que se

deben de cumplir para la elección del método, se tomó a bien

el utilizar el método estratificado, ya que la teoría dice que

hay que aplicar este tipo de muestreo cuando las

características de los elementos de la población son

heterogéneos y en el marco muestral existe gran diversidad de

valores, lo cual lo hace el tipo de muestreo adecuado para este

caso.

Se formaran los estratos y así se tendrá representatividad de

los distintos estratos formados, ya que los elementos de

estudio cuentan con variaciones altamente significativas. Esto

ayudara a la dueña de “Servicio de Encomiendas Sonia Delmy” a

verificar en que temporada del año es que las ventas aumentan,

si el negocio rinde o deja que desear, o si necesita aumentar

más sus viajes, bajar costos, incrementar precios, entre otras



muchas decisiones que se podrían tomar al tener esta

información y con base a esto mejorar los niveles de ingresos.

Selección de los elementos de la muestra

Del total de las ventas netas que ha facturado “Servicio de

Encomiendas Sonia Delmy” se han establecido 2 estratos, debido

a que dentro de cada estrato los valores de las ventas son

homogéneas pero entre cada estrato los valores son

heterogéneos, es decir dentro de cada estrato existe una

diferencia mínima en los valores de cada factura, pero entre

cada estrato existe una diferencia bastante marcada.

Para poder representar cada estrato se tomara en cuenta de que

“X” es el total de las ventas netas facturadas por “Servicio

de Encomiendas Sonia Delmy”.

Al formarlos se tiene que:

Estrato 1. (𝑋 < $150)

Estrato 2. ($150 ≤ 𝑋 ≤ $400)

Nota: Debido a que existen ventas netas mayores a $400.00 y

que estas son muy pocas se ha tomado a bien no considerarlas

en estratos. Estas ventas, que son en total 3, se restaran del

total de la población de ventas netas, quedando una población

de 935 ventas netas totales facturadas.

Al aplicar el muestreo estratificado al marco muestral, para

determinar el tamaño de cada uno de los estratos, el resultado

queda de la siguiente manera:

Estrato 1: 650 Elementos = 𝑁1

Estrato 2: 285 Elementos = 𝑁2

Una vez establecido el tamaño de los estratos se procede ahora

a calcular el tamaño de la muestra de cada uno de los estratos.

Para ello se tienen los siguientes datos:

Datos:

N= 935 Elementos (Ventas netas facturadas)

n= 214

Para calcular el tamaño de la muestra de los estratos se

utilizara la fórmula siguiente:



𝑛𝑖 =𝑁𝑖

𝑁(𝑛)

Se obtienen los resultados siguientes:

Estrato (∈𝒊) Estrato (𝑵𝒊) Estrato (𝒏𝒊)

Estrato 1 𝑁1 = 650 𝑛1 =𝑁1

𝑁(𝑛) =

650

935(214) ≈ 149


𝑁(𝑛) =

285

935(214) ≈ 65

Comprobación:

Para su respectiva comprobación la suma del tamaño de la

muestra de cada estrato será igual al tamaño de la muestra de

la población, esto quiere decir que:

𝑛 = 𝑛1 + 𝑛2

𝑛 = 149 + 65

𝑛 = 214 𝐸𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠

Ahora bien, el resultado de la suma nos muestra un total de

214 ventas netas facturadas.

Para elegir los elementos de la muestra de cada estrato se

tomara a bien utilizar el muestro aleatorio simple. Para ello

se seleccionamos cada uno de los elementos al azar considerando

que cumplen con las características siguientes:

Cada uno de los elementos tienen igual probabilidad de

ser incluidos en una muestra.

Todas las combinaciones de n elementos tomados de la

población son posibles muestras.

Todas las muestras tienen igual probabilidad de ser

seleccionadas.

Para la selección de la muestra que conforman cada uno de los

estratos se determinó haciendo uso del muestreo aleatorio



simple con ayuda de una calculadora que nos proporcionó números

aleatorios

Análisis de los resultados obtenidos por cada

estrato

Estrato N° 1

Promedio: el promedio de ventas netas facturadas menores a

$150.00 por “Servicio de Encomiendas Sonia Delmy” en el periodo

comprendido de enero 2006 a diciembre 2012 es de $93.69.

Variabilidad: la variabilidad de ventas netas facturadas

menores a $150.00 por “Servicio de Encomiendas Sonia Delmy” en

el periodo comprendido de enero 2006 a diciembre 2012 es de

$1, 298,861.96 dólares al cuadrado.

Desviación estándar: la desviación estándar de ventas netas

facturadas menores a $150.00 por “Servicio de Encomiendas Sonia

Delmy” en el periodo comprendido de enero 2006 a diciembre 2012

es de $81.97.

Promedio total: el promedio total de ventas netas facturadas

menores a $150.00 por “Servicio de Encomiendas Sonia Delmy” en

el periodo comprendido de enero 2006 a diciembre 2012 es de

$60,898.50.

Estrato N° 2

Promedio: el promedio de ventas netas facturadas mayores o

iguales a $150.00 y menores o iguales a $400.00 por “Servicio

de Encomiendas Sonia Delmy” en el periodo comprendido de enero

2006 a diciembre 2012 es de $181.44.

Variabilidad: la variabilidad de ventas netas facturadas

mayores o iguales a $150.00 y menores o iguales a $400.00 por

“Servicio de Encomiendas Sonia Delmy” en el periodo comprendido

de enero 2006 a diciembre 2012 es de $2,106,812.36 dólares al

cuadrado.

Desviación estándar: la desviación estándar de ventas netas

facturadas mayores o iguales a $150.00 y menores o iguales a

$400.00 por “Servicio de Encomiendas Sonia Delmy” en el periodo

comprendido de enero 2006 a diciembre 2012 es de $159.41.



Promedio total: el promedio total de ventas netas facturadas

mayores o iguales a $150.00 y menores o iguales a $400.00 por

“Servicio de Encomiendas Sonia Delmy” en el periodo comprendido

de enero 2006 a diciembre 2012 es de $51,710.40. (Ver

anexo 3)

Análisis de los resultados obtenidos aplicando

el muestreo estratificado

Promedio:

Para una muestra de 214 elementos facturados por “Servicio de

Encomiendas Sonia Delmy” en el período comprendido de enero

2006 ha diciembre 2012 es de $120.44

Variabilidad:

Para una muestra de 214 elementos facturados por “Servicio de

Encomiendas Sonia Delmy” en el período comprendido de enero

2006 ha diciembre 2012 es de $0.4912 dólares al cuadrado, por

lo que se concluye que todos los elementos en relación a su

media varían en $0.4912

Total:

Se esperaría que las ventas netas facturadas por “Servicio de

Encomiendas Sonia Delmy” en el período de enero 2006 a

diciembre 2012 sean de $112,608.90 (Ver anexo 4)

Estimación por intervalo.

Se entiende por intervalo de confianza o estimación por

intervalo al conjunto de valores que se forman a partir de una

muestra de datos de forma que exista la posibilidad de que el

parámetro poblacional ocurra dentro de dicho conjunto. Para

realizar la estimación por intervalo se hace necesario conocer

el nivel de confianza con el que se va a trabajar y el error

estándar.

Para estimar el intervalo de confianza de las ventas netas

facturadas por “Servicio de Encomiendas Sonia Delmy” se va a

utilizar la estimación por intervalo de la media de una

población y para proporciones de muestras grandes, haciendo

uso de la distribución normal, dado que la muestra en estudio



es de 214 elementos así mismo se utilizara un nivel de confianza

del 97% tanto para media como para proporción.

Estimación por intervalo para la media.

Para el caso de la estimación por intervalo para la media que

se va a calcular se utiliza la siguiente fórmula:

�̅� ± 𝑍𝛼2

𝜎2 => �̅� ± 𝑍𝛼2

𝑆

√𝑛

Datos:

𝑛 = 214 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑢𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠

�̅�𝐸𝑆𝑇 = $120.44

𝑆2 = $0.4913

√𝑆2 = √0.4912

𝑆 = $0.70

Sustituyendo en la expresión anterior

= 120.44 ± 2.17 (0.70

√214)

= 120.44 ± 2.17(0.047851014)

= 120.44 ± 0.103836702

= 120.44 ± 0.10

($120.34 − $120.54)

Con un nivel de confianza del 97%, se espera que el valor

promedio de 935 ventas facturadas en el periodo de enero 2006

a diciembre 2012 por “Servicio de Encomiendas Sonia Delmy” se

encuentra entre $120.34 y $120.54.



Estimación por intervalo para proporciones en muestras

grandes.

Para este caso, al estimar los intervalos para proporciones en

muestras grandes se utilizara la siguiente fórmula:

�̂� ± 𝑍𝛼2

√�̂��̂�

𝑛

En este caso, como nuestra muestra es mayor a 30 nos

auxiliaremos de la distribución normal

Se tiene que las ventas menores a $100.00 son 66 de una muestra

de 214, para realizar el cálculo se hará con un nivel de

confianza del 97%

Datos


𝑋 = 66 𝑉𝑒𝑛𝑡𝑎𝑠 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑎 $100.00

�̂� =66

214 0.308411215 ≈ 0.31

�̂� = 0.69

Solución:

Encontrando el valor de Z en la tabla de la distribución normal

se tiene

Z = 2.17

Sustituyendo en la fórmula

= 0.31 ± 2.17 (√(0.31)(0.69)

214)

= 0.31 ± 2.17(0.031615387)

= 0.31 ± 0.06860539

= 0.31 ± 0.07

(0.24 − 0.38)



La proporción de las ventas netas facturadas menores a $100.00

emitidas por “Servicio de Encomiendas Sonia Delmy” para el

periodo de enero 2006 a diciembre 2012 se encuentran en el

intervalo del 0.24 y 0.38, esto, traducido a un lenguaje más

entendible quiere decir que entre 224 y 355 ventas netas

facturadas son menores a $100.00

Prueba de hipótesis

Una prueba de hipótesis estadística es cualquier regla para

decidir si se rechaza la hipótesis nula con base a la muestra

elegida de manera aleatoria a la población.

Prueba de hipótesis para la media

Datos


𝜇 = $70.00 𝑇𝑜𝑚𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 ℎ𝑖𝑝ó𝑡𝑒𝑠𝑖𝑠 𝑛𝑢𝑙𝑎

�̅� = $120.44 𝑇𝑜𝑚𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜

𝑆 = 0.700856618

Para realizar la prueba de hipótesis se utilizara el

procedimiento siguiente:



1. Formulación de hipótesis

2. Seleccionar el método de prueba

3. Calcular el estadístico

4. Determinar el nivel de significancia

5. Establecer la región de aceptación o de prueba de la

hipótesis nula

6. Toma de decisión

Paso 1: Formulación de Hipótesis

Ho: μ = $28.00 (Ho: 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎𝑠 𝑛𝑒𝑡𝑎𝑠 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑢𝑟𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑒𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 $28.00)

Ha: μ > $28.00 (Ha: 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎𝑠 𝑛𝑒𝑡𝑎𝑠 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑢𝑟𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑒𝑠 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑎 $28.00)

Paso 2: Selección del método de prueba

Se utiliza la prueba de hipótesis para el promedio en muestras

grandes, utilizando la distribución normal, dado que la muestra

está conformada por 214 elementos.

Paso 3: Calculo del estadístico de prueba

𝑍 =�̅� − 𝜇

𝑆

√𝑛

𝑍 =$120.44 − $70.00

0.700856618

√214

𝑍 =$120.44 − $70.00

0.700856618

√214

𝑍 =50.44

0.700856618

√214

𝑍 =50.44

0.047909572

𝑍 = 1,052.82

𝑍𝑐 = $1,052.82

Paso 4: Selección del nivel de significancia

E = [0.01, 0.05]

Se tomará a bien utilizar un nivel de significancia del 0.05



Paso 5: Establecer la región de aceptación o rechazo de la

hipótesis nula

𝑍𝝈 = 𝑍0.05 Buscando en la tabla de la distribución normal

Z = 1.645

𝑍𝑐 < −𝑍𝛼

1,052.82 ≮ −1.645

Paso 6: Toma de decisión

Trabajando con una muestra de 214 ventas netas facturadas por

“Servicio de Encomiendas Sonia Delmy” y un nivel de

significancia de 0.05, el estadístico de prueba no cae en la

región de rechazo de la hipótesis nula, por lo tanto se concluye

que no existen suficientes evidencias para creer o aceptar que

el promedio de ventas netas facturadas es menor o inferior a

$70.00

Prueba de hipótesis para la proporción

Datos


𝑋 = 66 𝑉𝑒𝑛𝑡𝑎𝑠 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑎 $100.00



�̂� =66

214 0.308411215 ≈ 0.31

�̂� = 0.69

Para realizar la prueba de hipótesis para la proporción se

utilizara el procedimiento anterior ya que son los mismos pasos

que se siguen:

1. Formulación de hipótesis

2. Seleccionar el método de prueba

3. Calcular el estadístico

4. Determinar el nivel de significancia

5. Establecer la región de aceptación o de prueba de la

hipótesis nula

6. Toma de decisión

Paso 1: Formulación de Hipótesis

Ho: �̂� = 0.35 (Ho: 𝐸𝑙 35% 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎𝑠 𝑛𝑒𝑡𝑎𝑠 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑢𝑟𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑠𝑜𝑛 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑎 $100)

Ha: �̂� < 0.35 (Ha: 𝐸𝑙 35% 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎𝑠 𝑛𝑒𝑡𝑎𝑠 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑢𝑟𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑠𝑜𝑛 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑎 $100)

Paso 2: Selección del método de prueba

Se utiliza la prueba de hipótesis para una proporción en

muestras grandes, utilizando la distribución normal, dado que

la muestra está conformada por 214 elementos.

Paso 3: Calculo del estadístico de prueba

𝑍 =�̂� − 𝑝0

√�̂��̂�𝑛

𝑍 =0.31 − 0.35

√(0.31)(0.69)214

𝑍 =−0.04

0.316153872

𝑍 = −0.12652067

𝑍 = −0.13

𝑍𝑐 = −0.13

Paso 4: Selección del nivel de significancia

E = [0.01, 0.05]



Se tomará a bien utilizar un nivel de significancia del 0.05

Paso 5: Establecer la región de aceptación o rechazo de la

hipótesis nula

𝑍𝝈 = 𝑍0.05 Buscando en la tabla de la distribución normal

Z = 1.645

𝑍𝑐 < −𝑍𝛼

−0.13 ≮ −1.645

Paso 6: Toma de decisión

Trabajando con una muestra de 214 ventas netas facturadas por

“Servicio de Encomiendas Sonia Delmy” y un nivel de

significancia de 0.05, el estadístico de prueba no cae en la

región de rechazo de la hipótesis nula, por lo tanto se concluye

que no existen suficientes evidencias para creer o aceptar que

el 35% de las ventas netas facturadas son inferiores a $100.00



Análisis de los resultados

La empresa “Servicio de Encomiendas Sonia Delmy” obtuvo un

total de ventas netas en el periodo comprendido de enero 2006

a diciembre 2012 de $25,752.87, las cuales están compuestas de

la manera siguiente:

Se obtuvieron 3 resultados muy atípicos, arriba de

$700.00, los cuales se restaron del marco muestral total,

quedando así nuestro marco muestral de 935 elementos a

estudiar.

Estrato 1: En el estrato 1, las ventas a estudiar fueron

las ventas menores a $150.00, de las cuales se encontró

650 elementos, de esta cantidad se obtuvo una muestra de

149 elementos a estudiar. El total de las ventas netas

facturadas menores a $150.00 para la muestra es de $

13,959.15 y para la población del estrato total es de

$59,086.05.

Estrato 2: En el estrato 2 de igual manera, se estudiaron

las ventas netas mayores a o iguales a $150.00 pero

menores o iguales a $400.00, de las cuales se encontraron

285 elementos, de esta cantidad, así como en el estrato

1, se obtuvo una muestra de 65 elementos a estudiar.

Quedando así que el total de las ventas netas facturadas

mayores o iguales a $150.00 pero menores o iguales a

$400.00 para la muestra es de $11,793.72 y para la

población del estrato total es de $51,208.20.

De los resultados anteriores se destaca que:

De acuerdo con los resultados obtenidos de “Servicio de

Encomiendas Sonia Delmy” podemos ver que la mayor

cantidad de ventas netas obtenidas en el periodo

comprendido de enero 2006 a diciembre 2012 se encuentran

en el estrato 1 el cual cuenta con 650 operaciones y una

muestra de 149 elementos, en el cual se reflejan las

ventas menores a $150.00.



Por otra parte las ventas mayores o iguales a $150.00 pero

menores o iguales a $400.00 se encuentran en el estrato 2

son 285 operaciones y una muestra de 65 elementos.

Por lo anterior se puede decir que la mayor cantidad de

ventas netas facturadas son las que tienen un valor por

debajo de los $150.00.

Los elementos, (tres) que no han sido estudiados tienen

una variabilidad muy amplia, arriba de $700.00, no se

consideraron tomarlos en cuenta en el trabajo por tener

datos muy atípicos, pero si se analizan detalladamente

son tres elementos que dan ingresos muy superiores a la

empresa. Esto nos muestra que las ventas si pueden

incrementarse y si se aplican estrategias de mercadeo

pueden llegar a ser superiores. Todo está en la forma en

cómo hacer publicidad a la empresa.

Las hipótesis se aceptan porque al aplicar los métodos de

prueba estas caen en la zona de aceptación.



Conclusiones

Luego de haber analizado las ventas netas realizadas por

“Servicio de Encomiendas Sonia Delmy” en el periodo de Enero

de 2006 a Diciembre de 2012, a través de un estudio estadístico

y auxiliándonos del muestreo estratificado, el equipo

investigador concluye que:

Haciendo uso de los métodos de muestreo probabilísticos

se facilita el estudio de poblaciones grandes.

Dentro de la información que posee “Servicio de

Encomiendas Sonia Delmy” sobre las ventas netas, se

encontraron datos muy atípicos por lo que se concluye la

empresa tiene variedad de clientes que demandan este

servicio.

Para alcanzar las metas y objetivos es necesario estudiar

el comportamiento de las ventas en un periodo determinado,

y así lograr un éxito rotundo dentro y/o fuera de la

organización.

Las ventas que ayudan a obtener los mayores niveles de

ingresos en “Servicio de Encomiendas Sonia Delmy” son las

ventas mayores o iguales a $150.00 y menores o iguales

$400.00 y es acá precisamente donde se están registrando

menos operaciones.

Que la administración no realiza un análisis de los

resultados que está obteniendo en los periodos

determinados.



Recomendaciones

Al finalizar el estudio las ventas netas por “Servicio de

Encomiendas Sonia Delmy” en el periodo comprendido de Enero de

2006 a Diciembre de 2013, el equipo investigador, determino

que a través de los resultados obtenidos se plasman las

siguientes recomendaciones.

Se recomienda que se deben implementar estrategias de

mercadeo para generar más demanda por parte de los

clientes que utilizan este servicio en moderado valor, es

decir ingresos que van desde $8.00 a $24.00 y de esta

manera incrementar sus ventas para obtener una mayor

rentabilidad

Se debe hacer uso de métodos de muestreo probabilístico

para que se facilite estudiar los datos de las operaciones

que realiza para poder determinar las variaciones en las

ventas netas y así poder tomar decisiones más acertadas y

de beneficio para la empresa

A medida que los ingresos se incrementan a raíz de las

ventas, la administración puede proyectarse mejores metas

y objetivos con el fin de alcanzarlos en menos tiempo.

La administración puede realizar análisis de resultados

de cada período, auxiliándose de los procedimientos

estadísticos a modo que le permita establecer conclusiones

válidas.



Bibliografía

Lind, Douglas A. y otros, Estadística Aplicada a los

negocios y la economía, MCGRAW-HILL/INTERAMERICANA,

EDITORES, decimoquinta edición, México DF, año 20008.

Material para el desarrollo de las clases teóricas de la

cátedra de Estadística II



Anexos

Anexo 1: Marco Muestral

N° Fecha de venta N° de factura Valor de la venta Venta Neta IVA Débito Fiscal

1 23/1/2006 503 $100.00 $87.00 $13.00

2 23/1/2006 504 $120.00 $104.40 $15.60

3 23/1/2006 505 $120.00 $104.40 $15.60

4 23/1/2006 506 $100.00 $87.00 $13.00

5 23/1/2006 507 $120.00 $104.40 $15.60

6 23/1/2006 508 $120.00 $104.40 $15.60

7 23/1/2006 509 $120.00 $104.40 $15.60

8 23/1/2006 510 $48.00 $41.76 $6.24

9 6/2/2006 511 $24.00 $20.88 $3.12

10 6/2/2006 512 $60.00 $52.20 $7.80

11 6/2/2006 513 $40.00 $34.80 $5.20

12 6/2/2006 514 $120.00 $104.40 $15.60

13 6/2/2006 515 $120.00 $104.40 $15.60

14 21/2/2006 516 $100.00 $87.00 $13.00

15 21/2/2006 517 $120.00 $104.40 $15.60

16 21/2/2006 518 $120.00 $104.40 $15.60

17 21/2/2006 519 $40.00 $34.80 $5.20

18 21/2/2006 520 $60.00 $52.20 $7.80

19 12/3/2006 521 $32.00 $27.84 $4.16

20 12/3/2006 522 $48.00 $41.76 $6.24

21 12/3/2006 523 $32.00 $27.84 $4.16

22 12/3/2006 524 $56.00 $48.72 $7.28

23 12/3/2006 525 $84.00 $73.08 $10.92

24 12/3/2006 526 $60.00 $52.20 $7.80

25 12/3/2006 527 $80.00 $69.60 $10.40

26 12/3/2006 528 $108.00 $93.96 $14.04

27 12/3/2006 529 $80.00 $69.60 $10.40

28 12/3/2006 530 $24.00 $20.88 $3.12

29 12/3/2006 531 $80.00 $69.60 $10.40

30 12/3/2006 532 $40.00 $34.80 $5.20

31 12/3/2006 533 $72.00 $62.64 $9.36

32 12/3/2006 534 $40.00 $34.80 $5.20

33 26/3/2006 535 $108.00 $93.96 $14.04

34 26/3/2006 536 $80.00 $69.60 $10.40



35 26/3/2006 537 $100.00 $87.00 $13.00

36 26/3/2006 538 $60.00 $52.20 $7.80

37 26/3/2006 539 $80.00 $69.60 $10.40

38 26/3/2006 540 $72.00 $62.64 $9.36

39 26/3/2006 541 $200.00 $174.00 $26.00

40 26/3/2006 542 $50.00 $43.50 $6.50

41 11/4/2006 543 $40.00 $34.80 $5.20

42 11/4/2006 544 $80.00 $69.60 $10.40

43 11/4/2006 545 $72.00 $62.64 $9.36

44 11/4/2006 546 $80.00 $69.60 $10.40

45 11/4/2006 547 $60.00 $52.20 $7.80

46 11/4/2006 548 $96.00 $83.52 $12.48

47 24/4/2006 549 $60.00 $52.20 $7.80

48 24/4/2006 550 $100.00 $87.00 $13.00

49 24/4/2006 551 $80.00 $69.60 $10.40

50 24/4/2006 552 $36.00 $31.32 $4.68

51 24/4/2006 553 $80.00 $69.60 $10.40

52 24/4/2006 554 $48.00 $41.76 $6.24

53 8/5/2006 555 $60.00 $52.20 $7.80

54 8/5/2006 556 $120.00 $104.40 $15.60

55 8/5/2006 557 $60.00 $52.20 $7.80

56 8/5/2006 558 $100.00 $87.00 $13.00

57 8/5/2006 559 $120.00 $104.40 $15.60

58 8/5/2006 560 $84.00 $73.08 $10.92

59 8/5/2006 561 $120.00 $104.40 $15.60

60 8/5/2006 562 $160.00 $139.20 $20.80

61 29/5/2006 563 $128.00 $111.36 $16.64

62 29/5/2006 564 $120.00 $104.40 $15.60

63 29/5/2006 565 $160.00 $139.20 $20.80

64 29/5/2006 566 $120.00 $104.40 $15.60

65 29/5/2006 567 $104.00 $90.48 $13.52

66 29/5/2006 568 $48.00 $41.76 $6.24

67 29/5/2006 569 $120.00 $104.40 $15.60

68 12/6/2006 570 $160.00 $139.20 $20.80

69 12/6/2006 571 $120.00 $104.40 $15.60

70 12/6/2006 572 $84.00 $73.08 $10.92

71 12/6/2006 573 $120.00 $104.40 $15.60

72 12/6/2006 574 $100.00 $87.00 $13.00

73 12/6/2006 575 $60.00 $52.20 $7.80

74 12/6/2006 576 $120.00 $104.40 $15.60

75 12/6/2006 577 $60.00 $52.20 $7.80



76 27/6/2006 578 $48.00 $41.76 $6.24

77 27/6/2006 579 $80.00 $69.60 $10.40

78 27/6/2006 580 $36.00 $31.32 $4.68

79 27/6/2006 581 $80.00 $69.60 $10.40

80 27/6/2006 582 $60.00 $52.20 $7.80

81 27/6/2006 583 $36.00 $31.32 $4.68

82 27/6/2006 584 $120.00 $104.40 $15.60

83 17/7/2006 585 $120.00 $104.40 $15.60

84 17/7/2006 586 $96.00 $83.52 $12.48

85 17/7/2006 587 $120.00 $104.40 $15.60

86 17/7/2006 588 $60.00 $52.20 $7.80

87 17/7/2006 589 $40.00 $34.80 $5.20

88 19/7/2006 590 $40.00 $34.80 $5.20

89 19/7/2006 591 $36.00 $31.32 $4.68

90 19/7/2006 592 $200.00 $174.00 $26.00

91 19/7/2006 593 $16.00 $13.92 $2.08

92 4/9/2006 594 $160.00 $139.20 $20.80

93 4/9/2006 595 $180.00 $156.60 $23.40

94 4/9/2006 596 $120.00 $104.40 $15.60

95 4/9/2006 597 $120.00 $104.40 $15.60

96 4/9/2006 598 $100.00 $87.00 $13.00

97 4/9/2006 599 $40.00 $34.80 $5.20

98 4/9/2006 600 $120.00 $104.40 $15.60

99 4/9/2006 601 $160.00 $139.20 $20.80

100 4/9/2006 602 $200.00 $174.00 $26.00

101 4/9/2006 603 $80.00 $69.60 $10.40

102 4/9/2006 604 $108.00 $93.96 $14.04

103 4/9/2006 605 $120.00 $104.40 $15.60

104 4/9/2006 606 $80.00 $69.60 $10.40

105 4/9/2006 607 $112.00 $97.44 $14.56

106 2/10/2006 608 $84.00 $73.08 $10.92

107 2/10/2006 609 $192.00 $167.04 $24.96

108 2/10/2006 610 $96.00 $83.52 $12.48

109 2/10/2006 611 $64.00 $55.68 $8.32

110 2/10/2006 612 $40.00 $34.80 $5.20

111 2/10/2006 613 $60.00 $52.20 $7.80

112 2/10/2006 614 $160.00 $139.20 $20.80

113 2/10/2006 615 $120.00 $104.40 $15.60

114 2/10/2006 616 $48.00 $41.76 $6.24

115 2/10/2006 617 $24.00 $20.88 $3.12

116 2/10/2006 618 $200.00 $174.00 $26.00



117 2/10/2006 619 $30.00 $26.10 $3.90

118 2/10/2006 620 $32.00 $27.84 $4.16

119 2/10/2006 621 $100.00 $87.00 $13.00

120 2/10/2006 622 $120.00 $104.40 $15.60

121 2/10/2006 623 $160.00 $139.20 $20.80

122 16/10/2006 624 $96.00 $83.52 $12.48

123 16/10/2006 625 $100.00 $87.00 $13.00

124 16/10/2006 626 $80.00 $69.60 $10.40

125 16/10/2006 627 $80.00 $69.60 $10.40

126 16/10/2006 628 $40.00 $34.80 $5.20

127 16/10/2006 629 $200.00 $174.00 $26.00

128 16/10/2006 630 $80.00 $69.60 $10.40

129 16/10/2006 631 $80.00 $69.60 $10.40

130 16/10/2006 632 $96.00 $83.52 $12.48

131 16/10/2006 633 $192.00 $167.04 $24.96

132 16/10/2006 634 $120.00 $104.40 $15.60

133 16/10/2006 635 $42.00 $36.54 $5.46

134 16/10/2006 636 $200.00 $174.00 $26.00

135 16/10/2006 637 $160.00 $139.20 $20.80

136 16/10/2006 638 $60.00 $52.20 $7.80

137 16/10/2006 639 $64.00 $55.68 $8.32

138 16/10/2006 640 $40.00 $34.80 $5.20

139 16/10/2006 641 $60.00 $52.20 $7.80

140 16/10/2006 642 $120.00 $104.40 $15.60

141 12/11/2006 643 $144.00 $125.28 $18.72

142 12/11/2006 644 $100.00 $87.00 $13.00

143 12/11/2006 645 $160.00 $139.20 $20.80

144 12/11/2006 646 $160.00 $139.20 $20.80

145 12/11/2006 647 $120.00 $104.40 $15.60

146 12/11/2006 648 $180.00 $156.60 $23.40

147 6/12/2006 649 $120.00 $104.40 $15.60

148 6/12/2006 650 $64.00 $55.68 $8.32

149 6/12/2006 651 $120.00 $104.40 $15.60

150 6/12/2006 652 $200.00 $174.00 $26.00

151 6/12/2006 653 $128.00 $111.36 $16.64

152 6/12/2006 654 $120.00 $104.40 $15.60

153 6/12/2006 655 $160.00 $139.20 $20.80

154 6/12/2006 656 $192.00 $167.04 $24.96

155 18/12/2006 657 $64.00 $55.68 $8.32

156 18/12/2006 658 $100.00 $87.00 $13.00

157 18/12/2006 659 $27.00 $23.49 $3.51



158 18/12/2006 660 $8.00 $6.96 $1.04

159 18/12/2006 661 $240.00 $208.80 $31.20

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778 27/11/2011 280 $200.00 $174.00 $26.00

779 27/11/2011 281 $160.00 $139.20 $20.80

780 27/11/2011 282 $860.00 $748.20 $111.80

781 4/12/2011 283 $160.00 $139.20 $20.80

782 4/12/2011 284 $180.00 $156.60 $23.40

783 4/12/2011 285 $200.00 $174.00 $26.00

784 4/12/2011 286 $200.00 $174.00 $26.00

785 4/12/2011 287 $160.00 $139.20 $20.80

786 4/12/2011 288 $120.00 $104.40 $15.60

787 11/12/2011 289 $200.00 $174.00 $26.00

788 11/12/2011 290 $160.00 $139.20 $20.80

789 11/12/2011 291 $120.00 $104.40 $15.60

790 11/12/2011 292 $192.00 $167.04 $24.96

791 11/12/2011 293 $200.00 $174.00 $26.00

792 11/12/2011 294 $180.00 $156.60 $23.40

793 11/12/2011 295 $200.00 $174.00 $26.00

794 11/12/2011 296 $200.00 $174.00 $26.00

795 12/12/2011 297 $132.00 $114.84 $17.16

796 23/1/2012 298 $180.00 $156.60 $23.40

797 23/1/2012 299 $160.00 $139.20 $20.80

798 23/1/2012 300 $200.00 $174.00 $26.00

799 23/1/2012 301 $160.00 $139.20 $20.80

800 23/1/2012 302 $200.00 $174.00 $26.00

801 23/1/2012 303 $180.00 $156.60 $23.40

802 24/1/2012 304 $132.00 $114.84 $17.16

803 5/2/2012 305 $100.00 $87.00 $13.00

804 5/2/2012 306 $160.00 $139.20 $20.80

805 5/2/2012 307 $200.00 $174.00 $26.00

806 5/2/2012 308 $100.00 $87.00 $13.00

807 5/2/2012 309 $160.00 $139.20 $20.80

808 5/2/2012 310 $200.00 $174.00 $26.00

809 5/2/2012 311 $200.00 $174.00 $26.00

810 19/2/2012 312 $160.00 $139.20 $20.80

811 19/2/2012 313 $100.00 $87.00 $13.00

812 19/2/2012 314 $200.00 $174.00 $26.00

813 19/2/2012 315 $80.00 $69.60 $10.40



814 19/2/2012 316 $120.00 $104.40 $15.60

815 19/2/2012 317 $120.00 $104.40 $15.60

816 19/2/2012 318 $100.00 $87.00 $13.00

817 19/2/2012 319 $160.00 $139.20 $20.80

818 19/2/2012 320 $80.00 $69.60 $10.40

819 4/3/2012 321 $160.00 $139.20 $20.80

820 4/3/2012 322 $200.00 $174.00 $26.00

821 4/3/2012 323 $192.00 $167.04 $24.96

822 4/3/2012 324 $192.00 $167.04 $24.96

823 4/3/2012 325 $120.00 $104.40 $15.60

824 4/3/2012 326 $200.00 $174.00 $26.00

825 19/3/2012 327 $120.00 $104.40 $15.60

826 19/3/2012 328 $60.00 $52.20 $7.80

827 19/3/2012 329 $160.00 $139.20 $20.80

828 19/3/2012 330 $100.00 $87.00 $13.00

829 19/3/2012 331 $80.00 $69.60 $10.40

830 19/3/2012 332 $240.00 $208.80 $31.20

831 15/4/2012 333 $200.00 $174.00 $26.00

832 15/4/2012 334 $240.00 $208.80 $31.20

833 15/4/2012 335 $240.00 $208.80 $31.20

834 15/4/2012 336 $180.00 $156.60 $23.40

835 15/4/2012 337 $240.00 $208.80 $31.20

836 15/4/2012 338 $200.00 $174.00 $26.00

837 15/4/2012 339 $160.00 $139.20 $20.80

838 15/4/2012 340 $160.00 $139.20 $20.80

839 22/4/2012 341 $200.00 $174.00 $26.00

840 22/4/2012 342 $0.00 $0.00 $0.00

841 22/4/2012 343 $240.00 $208.80 $31.20

842 22/4/2012 344 $200.00 $174.00 $26.00

843 22/4/2012 345 $200.00 $174.00 $26.00

844 22/4/2012 346 $120.00 $104.40 $15.60

845 22/4/2012 347 $180.00 $156.60 $23.40

846 6/5/2012 348 $200.00 $174.00 $26.00

847 6/5/2012 349 $120.00 $104.40 $15.60

848 6/5/2012 350 $200.00 $174.00 $26.00

849 6/5/2012 351 $100.00 $87.00 $13.00

850 6/5/2012 352 $160.00 $139.20 $20.80

851 21/5/2012 353 $200.00 $174.00 $26.00

852 21/5/2012 354 $180.00 $156.60 $23.40

853 21/5/2012 355 $160.00 $139.20 $20.80

854 21/5/2012 356 $200.00 $174.00 $26.00



855 21/5/2012 357 $160.00 $139.20 $20.80

856 21/5/2012 358 $160.00 $139.20 $20.80

857 21/5/2012 359 $160.00 $139.20 $20.80

858 17/6/2012 360 $200.00 $174.00 $26.00

859 17/6/2012 361 $160.00 $139.20 $20.80

860 17/6/2012 362 $200.00 $174.00 $26.00

861 17/6/2012 363 $180.00 $156.60 $23.40

862 17/6/2012 364 $160.00 $139.20 $20.80

863 17/6/2012 365 $192.00 $167.04 $24.96

864 17/6/2012 366 $180.00 $156.60 $23.40

865 17/6/2012 367 $120.00 $104.40 $15.60

866 17/6/2012 368 $100.00 $87.00 $13.00

867 2/7/2012 369 $100.00 $87.00 $13.00

868 2/7/2012 370 $120.00 $104.40 $15.60

869 2/7/2012 371 $160.00 $139.20 $20.80

870 2/7/2012 372 $120.00 $104.40 $15.60

871 2/7/2012 373 $160.00 $139.20 $20.80

872 17/7/2012 374 $80.00 $69.60 $10.40

873 17/7/2012 375 $40.00 $34.80 $5.20

874 17/7/2012 376 $160.00 $139.20 $20.80

875 17/7/2012 377 $120.00 $104.40 $15.60

876 17/7/2012 378 $80.00 $69.60 $10.40

877 17/7/2012 379 $132.00 $114.84 $17.16

878 13/8/2012 380 $120.00 $104.40 $15.60

879 13/8/2012 381 $180.00 $156.60 $23.40

880 13/8/2012 382 $176.00 $153.12 $22.88

881 13/8/2012 383 $120.00 $104.40 $15.60

882 13/8/2012 384 $160.00 $139.20 $20.80

883 13/8/2012 385 $200.00 $174.00 $26.00

884 13/8/2012 386 $200.00 $174.00 $26.00

885 27/8/2012 387 $80.00 $69.60 $10.40

886 27/8/2012 388 $100.00 $87.00 $13.00

887 27/8/2012 389 $80.00 $69.60 $10.40

888 27/8/2012 390 $100.00 $87.00 $13.00

889 27/8/2012 391 $80.00 $69.60 $10.40

890 9/9/2012 392 $96.00 $83.52 $12.48

891 9/9/2012 393 $100.00 $87.00 $13.00

892 9/9/2012 394 $80.00 $69.60 $10.40

893 9/9/2012 395 $100.00 $87.00 $13.00

894 9/9/2012 396 $24.00 $20.88 $3.12

895 9/9/2012 397 $160.00 $139.20 $20.80



896 9/9/2012 398 $80.00 $69.60 $10.40

897 23/9/2012 399 $160.00 $139.20 $20.80

898 23/9/2012 400 $120.00 $104.40 $15.60

899 23/9/2012 401 $120.00 $104.40 $15.60

900 7/10/2012 402 $100.00 $87.00 $13.00

901 7/10/2012 403 $100.00 $87.00 $13.00

902 7/10/2012 404 $120.00 $104.40 $15.60

903 7/10/2012 405 $80.00 $69.60 $10.40

904 21/10/2012 406 $100.00 $87.00 $13.00

905 21/10/2012 407 $160.00 $139.20 $20.80

906 21/10/2012 408 $80.00 $69.60 $10.40

907 21/10/2012 409 $120.00 $104.40 $15.60

908 11/11/2012 410 $120.00 $104.40 $15.60

909 11/11/2012 411 $160.00 $139.20 $20.80

910 11/11/2012 412 $200.00 $174.00 $26.00

911 11/11/2012 413 $200.00 $174.00 $26.00

912 11/11/2012 414 $160.00 $139.20 $20.80

913 11/11/2012 415 $120.00 $104.40 $15.60

914 11/11/2012 416 $120.00 $104.40 $15.60

915 26/11/2012 417 $120.00 $104.40 $15.60

916 26/11/2012 418 $160.00 $139.20 $20.80

917 26/11/2012 419 $100.00 $87.00 $13.00

918 26/11/2012 420 $120.00 $104.40 $15.60

919 26/11/2012 421 $80.00 $69.60 $10.40

920 26/11/2012 422 $180.00 $156.60 $23.40

921 26/11/2012 423 $80.00 $69.60 $10.40

922 26/11/2012 424 $480.00 $417.60 $62.40

923 26/11/2012 425 $0.00 $0.00 $0.00

924 10/12/2012 426 $176.00 $153.12 $22.88

925 10/12/2012 427 $120.00 $104.40 $15.60

926 10/12/2012 428 $160.00 $139.20 $20.80

927 10/12/2012 429 $180.00 $156.60 $23.40

928 10/12/2012 430 $160.00 $139.20 $20.80

929 10/12/2012 431 $200.00 $174.00 $26.00

930 23/12/2012 432 $180.00 $156.60 $23.40

931 23/12/2012 433 $200.00 $174.00 $26.00

932 23/12/2012 434 $160.00 $139.20 $20.80

933 23/12/2012 435 $200.00 $174.00 $26.00

934 23/12/2012 436 $180.00 $156.60 $23.40

935 23/12/2012 437 $120.00 $104.40 $15.60

936 23/12/2012 438 $160.00 $139.20 $20.80



937 23/12/2012 439 $300.00 $261.00 $39.00

938 23/12/2012 440 $300.00 $261.00 $39.00

$128,595.00 $111,877.65 $16,717.35

Nota* Una de las políticas de la empresa es: cuando se tengan

registradas 1,000 facturas, el correlativo de la siguiente

factura (Factura número 1,001) vuelve a ser el número 1. Esa

es la razón por la cual el marco muestral muestra ese corte en

la factura número 1,000 y vuelve a iniciar con la factura

número 1.



Anexo 2: Prueba Piloto

Para el cálculo de la prueba piloto es necesario tomar un

porcentaje no tan alto de la población en estudio para

determinar promedio y varianza, para ello, como la población

es de 935 elementos se tomará un 2% de la población en estudio

(Ventas netas facturadas por “Servicio de Encomiendas Sonia

Delmy”). Cabe mencionar que los elementos para la prueba piloto

se eligieron aleatoriamente con ayuda de una calculadora

935 (0.02) = 18.70 ≈ 19 𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎𝑠 𝑛𝑒𝑡𝑎𝑠 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑢𝑟𝑎𝑑𝑎𝑠.

N° Fecha de Venta

N° de Factura

Valor de la venta

Venta Neta IVA Débito Fiscal

569 24/4/2010 71 $180.00 $156.60 $23.40 $1,932.48

395 23/11/2008 897 $120.00 $104.40 $15.60 $67.90

465 19/7/2009 967 $80.00 $69.60 $10.40 $1,852.44

847 2/7/2012 369 $100.00 $87.00 $13.00 $657.41

287 16/12/2007 789 $160.00 $139.20 $20.80 $705.43

373 21/9/2008 875 $60.00 $52.20 $7.80 $3,652.99

892 9/9/2012 394 $80.00 $69.60 $10.40 $1,852.44

34 23/6/2006 536 $80.00 $69.60 $10.40 $1,852.44

72 12/6/2006 574 $100.00 $87.00 $13.00 $657.41

690 5/4/2011 192 $200.00 $174.00 $26.00 $3,765.05

685 13/3/2001 187 $160.00 $139.20 $20.80 $705.43

590 4/7/2010 92 $120.00 $104.40 $15.60 $67.90

352 22/6/2008 854 $140.00 $121.80 $18.20 $83.91

506 9/11/2009 8 $120.00 $104.40 $15.60 $67.90

480 16/8/2009 982 $240.00 $208.80 $31.20 $9,246.75

906 21/10/2012 408 $80.00 $69.60 $10.40 $1,852.44

626 24/10/2010 128 $120.00 $104.40 $15.60 $67.90

805 5/2/2012 307 $200.00 $174.00 $26.00 $3,765.05

554 28/2/2006 56 $120.00 $104.40 $15.60 $67.90

$2,460.00 $2,140.20 $319.80 $32,921.17

(𝒙 − �̅�)𝟐



Media:

�̅� = ∑ 𝑋𝑖

𝑘

𝑖=1

�̅� =2,140.20

19

�̅� = 112.6421053

�̅� ≈ $112.64

El promedio de ventas netas realizadas a consumidores finales

realizada por medio de la prueba piloto, considerando un 2% de

la población en sí, facturadas por “Servicio de Encomiendas

Sonia Delmy”, para el periodo de enero de 2006 a Diciembre de

2012 es de aproximadamente $112.64

Desviación típica:

𝑆 = √(𝑋 − �̅�)2

𝑛 − 1

𝑆 = √32,921.17

19 − 1

𝑆 = √32,921.17

18

𝑆 = √1,828.953889

𝑆 = 42.76627046

𝑆 ≈ $42.77

La variabilidad de las ventas realizada a través de la prueba

piloto tomando en consideración un 2% de la población total,

facturadas por “Servicio de Encomiendas Sonia Delmy” para el

periodo de Enero 2006 a Diciembre 2012 es de aproximadamente

$42.77



Anexo 3: Formación de Estratos.

Estrato 1: Ventas facturadas a consumidor final registradas

por “Servicio de Encomiendas Sonia Delmy” menores a $150.00

de Enero 2006 a Diciembre 2012

Número N° Fecha de venta

N° de factura

Valor de la venta


1 1 23/1/2006 503 $100.00 $87.00 $13.00

2 2 23/1/2006 504 $120.00 $104.40 $15.60

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575 823 4/3/2012 325 $120.00 $104.40 $15.60

576 825 19/3/2012 327 $120.00 $104.40 $15.60

577 826 19/3/2012 328 $60.00 $52.20 $7.80

578 827 19/3/2012 329 $160.00 $139.20 $20.80

579 828 19/3/2012 330 $100.00 $87.00 $13.00

580 829 19/3/2012 331 $80.00 $69.60 $10.40

581 837 15/4/2012 339 $160.00 $139.20 $20.80

582 838 15/4/2012 340 $160.00 $139.20 $20.80

583 840 22/4/2012 342 $0.00 $0.00 $0.00

584 844 22/4/2012 346 $120.00 $104.40 $15.60

585 847 6/5/2012 349 $120.00 $104.40 $15.60

586 849 6/5/2012 351 $100.00 $87.00 $13.00

587 850 6/5/2012 352 $160.00 $139.20 $20.80

588 853 21/5/2012 355 $160.00 $139.20 $20.80

589 855 21/5/2012 357 $160.00 $139.20 $20.80

590 856 21/5/2012 358 $160.00 $139.20 $20.80

591 857 21/5/2012 359 $160.00 $139.20 $20.80

592 859 17/6/2012 361 $160.00 $139.20 $20.80

593 862 17/6/2012 364 $160.00 $139.20 $20.80

594 865 17/6/2012 367 $120.00 $104.40 $15.60

595 866 17/6/2012 368 $100.00 $87.00 $13.00

596 867 2/7/2012 369 $100.00 $87.00 $13.00

597 868 2/7/2012 370 $120.00 $104.40 $15.60

598 869 2/7/2012 371 $160.00 $139.20 $20.80

599 870 2/7/2012 372 $120.00 $104.40 $15.60

600 871 2/7/2012 373 $160.00 $139.20 $20.80

601 872 17/7/2012 374 $80.00 $69.60 $10.40

602 873 17/7/2012 375 $40.00 $34.80 $5.20

603 874 17/7/2012 376 $160.00 $139.20 $20.80

604 875 17/7/2012 377 $120.00 $104.40 $15.60

605 876 17/7/2012 378 $80.00 $69.60 $10.40

606 877 17/7/2012 379 $132.00 $114.84 $17.16

607 878 13/8/2012 380 $120.00 $104.40 $15.60

608 881 13/8/2012 383 $120.00 $104.40 $15.60



609 882 13/8/2012 384 $160.00 $139.20 $20.80

610 885 27/8/2012 387 $80.00 $69.60 $10.40

611 886 27/8/2012 388 $100.00 $87.00 $13.00

612 887 27/8/2012 389 $80.00 $69.60 $10.40

613 888 27/8/2012 390 $100.00 $87.00 $13.00

614 889 27/8/2012 391 $80.00 $69.60 $10.40

615 890 9/9/2012 392 $96.00 $83.52 $12.48

616 891 9/9/2012 393 $100.00 $87.00 $13.00

617 892 9/9/2012 394 $80.00 $69.60 $10.40

618 893 9/9/2012 395 $100.00 $87.00 $13.00

619 894 9/9/2012 396 $24.00 $20.88 $3.12

620 895 9/9/2012 397 $160.00 $139.20 $20.80

621 896 9/9/2012 398 $80.00 $69.60 $10.40

622 897 23/9/2012 399 $160.00 $139.20 $20.80

623 898 23/9/2012 400 $120.00 $104.40 $15.60

624 899 23/9/2012 401 $120.00 $104.40 $15.60

625 900 7/10/2012 402 $100.00 $87.00 $13.00

626 901 7/10/2012 403 $100.00 $87.00 $13.00

627 902 7/10/2012 404 $120.00 $104.40 $15.60

628 903 7/10/2012 405 $80.00 $69.60 $10.40

629 904 21/10/2012 406 $100.00 $87.00 $13.00

630 905 21/10/2012 407 $160.00 $139.20 $20.80

631 906 21/10/2012 408 $80.00 $69.60 $10.40

632 907 21/10/2012 409 $120.00 $104.40 $15.60

633 908 11/11/2012 410 $120.00 $104.40 $15.60

634 909 11/11/2012 411 $160.00 $139.20 $20.80

635 912 11/11/2012 414 $160.00 $139.20 $20.80

636 913 11/11/2012 415 $120.00 $104.40 $15.60

637 914 11/11/2012 416 $120.00 $104.40 $15.60

638 915 26/11/2012 417 $120.00 $104.40 $15.60

639 916 26/11/2012 418 $160.00 $139.20 $20.80

640 917 26/11/2012 419 $100.00 $87.00 $13.00

641 918 26/11/2012 420 $120.00 $104.40 $15.60

642 919 26/11/2012 421 $80.00 $69.60 $10.40

643 921 26/11/2012 423 $80.00 $69.60 $10.40

644 923 26/11/2012 425 $0.00 $0.00 $0.00

645 925 10/12/2012 427 $120.00 $104.40 $15.60

646 926 10/12/2012 428 $160.00 $139.20 $20.80

647 928 10/12/2012 430 $160.00 $139.20 $20.80

648 932 23/12/2012 434 $160.00 $139.20 $20.80

649 935 23/12/2012 437 $120.00 $104.40 $15.60



650 936 23/12/2012 438 $160.00 $139.20 $20.80

$67,915.00 $59,086.05 $8,828.95



Estrato 2: Ventas netas mayores o iguales a $150.00 pero

menores o iguales a $400.00 emitidas por “Servicio de

Encomiendas Sonia Delmy” en el periodo de Enero 2006 a

Diciembre 2012

Número N° Fecha de venta

N° de factura Valor de la venta


1 39 26/3/2006 541 $200.00 $174.00 $26.00

2 90 19/7/2006 592 $200.00 $174.00 $26.00

3 93 4/9/2006 595 $180.00 $156.60 $23.40

4 100 4/9/2006 602 $200.00 $174.00 $26.00

5 107 2/10/2006 609 $192.00 $167.04 $24.96

6 116 2/10/2006 618 $200.00 $174.00 $26.00

7 127 16/10/2006 629 $200.00 $174.00 $26.00

8 131 16/10/2006 633 $192.00 $167.04 $24.96

9 134 16/10/2006 636 $200.00 $174.00 $26.00

10 146 12/11/2006 648 $180.00 $156.60 $23.40

11 150 6/12/2006 652 $200.00 $174.00 $26.00

12 154 6/12/2006 656 $192.00 $167.04 $24.96

13 159 18/12/2006 661 $240.00 $208.80 $31.20

14 161 18/12/2006 663 $200.00 $174.00 $26.00

15 163 18/12/2006 665 $200.00 $174.00 $26.00

16 168 21/1/2007 670 $200.00 $174.00 $26.00

17 178 27/2/2007 680 $200.00 $174.00 $26.00

18 199 15/3/2007 701 $180.00 $156.60 $23.40

19 248 14/10/2007 750 $200.00 $174.00 $26.00

20 249 14/10/2007 751 $192.00 $167.04 $24.96

21 250 14/10/2007 752 $184.00 $160.08 $23.92

22 251 14/10/2007 753 $200.00 $174.00 $26.00

23 252 14/10/2007 754 $200.00 $174.00 $26.00

24 255 28/10/2007 757 $200.00 $174.00 $26.00

25 257 28/10/2007 759 $200.00 $174.00 $26.00

26 258 28/10/2007 760 $240.00 $208.80 $31.20

27 259 28/10/2007 761 $240.00 $208.80 $31.20

28 262 28/10/2007 764 $200.00 $174.00 $26.00

29 265 11/11/2007 767 $192.00 $167.04 $24.96

30 269 11/11/2007 771 $240.00 $208.80 $31.20

31 270 26/11/2007 772 $240.00 $208.80 $31.20

32 271 26/11/2007 773 $240.00 $208.80 $31.20

33 273 26/11/2007 775 $200.00 $174.00 $26.00

34 276 10/12/2007 778 $200.00 $174.00 $26.00

35 281 10/12/2007 783 $240.00 $208.80 $31.20



36 283 10/12/2007 785 $200.00 $174.00 $26.00

37 285 16/12/2007 787 $180.00 $156.60 $23.40

38 286 16/12/2007 788 $200.00 $174.00 $26.00

39 289 16/12/2007 791 $240.00 $208.80 $31.20

40 290 16/12/2007 792 $240.00 $208.80 $31.20

41 291 20/1/2008 793 $200.00 $174.00 $26.00

42 293 20/1/2008 795 $240.00 $208.80 $31.20

43 294 20/1/2008 796 $200.00 $174.00 $26.00

44 296 3/2/2008 798 $240.00 $208.80 $31.20

45 297 3/2/2008 799 $200.00 $174.00 $26.00

46 298 3/2/2008 800 $200.00 $174.00 $26.00

47 299 24/2/2008 801 $216.00 $187.92 $28.08

48 300 24/2/2008 802 $240.00 $208.80 $31.20

49 301 24/2/2008 803 $200.00 $174.00 $26.00

50 302 24/2/2008 804 $240.00 $208.80 $31.20

51 303 17/3/2008 805 $200.00 $174.00 $26.00

52 306 17/3/2008 808 $200.00 $174.00 $26.00

53 308 17/3/2008 810 $200.00 $174.00 $26.00

54 309 17/3/2008 811 $180.00 $156.60 $23.40

55 324 25/4/2008 826 $180.00 $156.60 $23.40

56 326 25/4/2008 828 $200.00 $174.00 $26.00

57 327 25/4/2008 829 $200.00 $174.00 $26.00

58 328 25/4/2008 830 $180.00 $156.60 $23.40

59 329 11/5/2008 831 $240.00 $208.80 $31.20

60 330 11/5/2008 832 $200.00 $174.00 $26.00

61 341 25/5/2008 843 $176.00 $153.12 $22.88

62 343 9/6/2008 845 $200.00 $174.00 $26.00

63 350 22/6/2008 852 $184.00 $160.08 $23.92

64 372 21/9/2008 874 $200.00 $174.00 $26.00

65 379 12/10/2008 881 $200.00 $174.00 $26.00

66 380 12/10/2008 882 $200.00 $174.00 $26.00

67 384 26/10/2008 886 $200.00 $174.00 $26.00

68 389 9/11/2008 891 $200.00 $174.00 $26.00

69 392 23/11/2008 894 $180.00 $156.60 $23.40

70 393 23/11/2008 895 $200.00 $174.00 $26.00

71 394 23/11/2008 896 $200.00 $174.00 $26.00

72 396 23/11/2008 898 $200.00 $174.00 $26.00

73 399 7/12/2008 901 $200.00 $174.00 $26.00

74 401 7/12/2008 903 $200.00 $174.00 $26.00

75 402 7/12/2008 904 $200.00 $174.00 $26.00

76 403 7/12/2008 905 $200.00 $174.00 $26.00



77 404 7/12/2008 906 $180.00 $156.60 $23.40

78 405 7/12/2008 907 $200.00 $174.00 $26.00

79 406 7/12/2008 908 $200.00 $174.00 $26.00

80 407 7/12/2008 909 $192.00 $167.04 $24.96

81 408 7/12/2008 910 $200.00 $174.00 $26.00

82 409 7/12/2008 911 $200.00 $174.00 $26.00

83 411 21/12/2008 913 $192.00 $167.04 $24.96

84 412 21/12/2008 914 $200.00 $174.00 $26.00

85 413 21/12/2008 915 $200.00 $174.00 $26.00

86 414 21/12/2008 916 $200.00 $174.00 $26.00

87 415 21/12/2008 917 $180.00 $156.60 $23.40

88 416 21/12/2008 918 $200.00 $174.00 $26.00

89 417 18/1/2009 919 $200.00 $174.00 $26.00

90 419 18/1/2009 921 $200.00 $174.00 $26.00

91 421 18/1/2009 923 $184.00 $160.08 $23.92

92 424 8/2/2009 926 $200.00 $174.00 $26.00

93 425 8/2/2009 927 $200.00 $174.00 $26.00

94 426 8/2/2009 928 $180.00 $156.60 $23.40

95 429 8/2/2009 931 $200.00 $174.00 $26.00

96 430 8/3/2009 932 $180.00 $156.60 $23.40

97 431 8/3/2009 933 $200.00 $174.00 $26.00

98 433 8/3/2009 935 $180.00 $156.60 $23.40

99 435 22/3/2009 937 $200.00 $174.00 $26.00

100 436 22/3/2009 938 $240.00 $208.80 $31.20

101 437 22/3/2009 939 $240.00 $208.80 $31.20

102 438 5/4/2009 940 $200.00 $174.00 $26.00

103 439 5/4/2009 941 $200.00 $174.00 $26.00

104 441 5/4/2009 943 $240.00 $208.80 $31.20

105 442 5/4/2009 944 $200.00 $174.00 $26.00

106 443 5/4/2009 945 $200.00 $174.00 $26.00

107 444 5/4/2009 946 $240.00 $208.80 $31.20

108 445 25/5/2009 947 $200.00 $174.00 $26.00

109 447 25/5/2009 949 $240.00 $208.80 $31.20

110 448 25/5/2009 950 $200.00 $174.00 $26.00

111 450 25/5/2009 952 $200.00 $174.00 $26.00

112 454 8/6/2009 956 $192.00 $167.04 $24.96

113 459 22/6/2009 961 $240.00 $208.80 $31.20

114 461 22/6/2009 963 $200.00 $174.00 $26.00

115 463 6/7/2009 965 $200.00 $174.00 $26.00

116 466 19/7/2009 968 $200.00 $174.00 $26.00

117 468 19/7/2009 970 $200.00 $174.00 $26.00



118 478 16/8/2009 980 $180.00 $156.60 $23.40

119 479 16/8/2009 981 $200.00 $174.00 $26.00

120 480 16/8/2009 982 $240.00 $208.80 $31.20

121 484 30/8/2009 986 $240.00 $208.80 $31.20

122 485 30/8/2009 987 $200.00 $174.00 $26.00

123 486 30/8/2009 988 $200.00 $174.00 $26.00

124 492 29/9/2009 994 $240.00 $208.80 $31.20

125 497 12/10/2009 999 $200.00 $174.00 $26.00

126 503 26/9/2009 5 $200.00 $174.00 $26.00

127 512 23/11/2009 14 $200.00 $174.00 $26.00

128 516 6/12/2009 18 $180.00 $156.60 $23.40

129 517 6/12/2009 19 $200.00 $174.00 $26.00

130 521 13/12/2009 23 $200.00 $174.00 $26.00

131 523 13/12/2009 25 $200.00 $174.00 $26.00

132 524 22/12/2009 26 $240.00 $208.80 $31.20

133 526 22/12/2009 28 $200.00 $174.00 $26.00

134 527 22/12/2009 29 $240.00 $208.80 $31.20

135 528 22/12/2009 30 $240.00 $208.80 $31.20

136 529 22/12/2009 31 $180.00 $156.60 $23.40

137 530 17/1/2010 32 $240.00 $208.80 $31.20

138 531 17/1/2010 33 $240.00 $208.80 $31.20

139 532 17/1/2010 34 $240.00 $208.80 $31.20

140 533 17/1/2010 35 $240.00 $208.80 $31.20

141 534 17/1/2010 36 $200.00 $174.00 $26.00

142 535 17/1/2010 37 $300.00 $261.00 $39.00

143 536 14/2/2010 38 $180.00 $156.60 $23.40

144 547 28/2/2010 49 $180.00 $156.60 $23.40

145 560 25/4/2010 62 $200.00 $174.00 $26.00

146 565 25/4/2010 67 $200.00 $174.00 $26.00

147 568 25/4/2010 70 $200.00 $174.00 $26.00

148 569 25/4/2010 71 $180.00 $156.60 $23.40

149 573 23/5/2010 75 $200.00 $174.00 $26.00

150 578 6/6/2010 80 $200.00 $174.00 $26.00

151 597 3/8/2010 99 $200.00 $174.00 $26.00

152 598 3/8/2010 100 $200.00 $174.00 $26.00

153 600 15/8/2010 102 $200.00 $174.00 $26.00

154 605 12/9/2010 107 $200.00 $174.00 $26.00

155 606 12/9/2010 108 $240.00 $208.80 $31.20

156 611 26/9/2010 113 $200.00 $174.00 $26.00

157 616 10/10/2010 118 $200.00 $174.00 $26.00

158 617 10/10/2010 119 $176.00 $153.12 $22.88



159 619 10/10/2010 121 $200.00 $174.00 $26.00

160 620 24/10/2010 122 $200.00 $174.00 $26.00

161 623 24/10/2010 125 $180.00 $156.60 $23.40

162 624 24/10/2010 126 $400.00 $348.00 $52.00

163 628 1/11/2010 130 $200.00 $174.00 $26.00

164 634 1/11/2010 136 $180.00 $156.60 $23.40

165 635 1/11/2010 137 $200.00 $174.00 $26.00

166 637 22/11/2010 139 $200.00 $174.00 $26.00

167 639 22/11/2010 141 $192.00 $167.04 $24.96

168 642 5/12/2010 144 $200.00 $174.00 $26.00

169 644 5/12/2010 146 $200.00 $174.00 $26.00

170 649 13/12/2010 151 $200.00 $174.00 $26.00

171 650 13/12/2010 152 $200.00 $174.00 $26.00

172 654 19/12/2010 156 $200.00 $174.00 $26.00

173 655 19/12/2010 157 $200.00 $174.00 $26.00

174 656 19/12/2010 158 $192.00 $167.04 $24.96

175 657 19/12/2010 159 $192.00 $167.04 $24.96

176 659 19/12/2010 161 $400.00 $348.00 $52.00

177 660 19/12/2010 162 $240.00 $208.80 $31.20

178 661 19/12/2010 163 $280.00 $243.60 $36.40

179 662 19/12/2010 164 $400.00 $348.00 $52.00

180 668 24/1/2011 170 $240.00 $208.80 $31.20

181 671 6/2/2011 173 $200.00 $174.00 $26.00

182 672 6/2/2011 174 $180.00 $156.60 $23.40

183 673 6/2/2011 175 $240.00 $208.80 $31.20

184 676 10/3/2011 178 $240.00 $208.80 $31.20

185 677 10/3/2011 179 $240.00 $208.80 $31.20

186 678 10/3/2011 180 $200.00 $174.00 $26.00

187 681 13/3/2011 183 $200.00 $174.00 $26.00

188 683 13/3/2011 185 $200.00 $174.00 $26.00

189 688 13/3/2011 190 $288.00 $250.56 $37.44

190 690 5/4/2011 192 $200.00 $174.00 $26.00

191 691 5/4/2011 193 $200.00 $174.00 $26.00

192 692 5/4/2011 194 $200.00 $174.00 $26.00

193 693 5/4/2011 195 $180.00 $156.60 $23.40

194 694 5/4/2011 196 $192.00 $167.04 $24.96

195 697 11/4/2011 199 $200.00 $174.00 $26.00

196 698 11/4/2011 200 $200.00 $174.00 $26.00

197 699 11/4/2011 201 $200.00 $174.00 $26.00

198 700 11/4/2011 202 $180.00 $156.60 $23.40

199 703 11/4/2011 205 $200.00 $174.00 $26.00



200 704 11/4/2011 206 $240.00 $208.80 $31.20

201 705 11/4/2011 207 $300.00 $261.00 $39.00

202 706 11/4/2011 208 $216.00 $187.92 $28.08

203 707 1/5/2011 209 $180.00 $156.60 $23.40

204 708 1/5/2011 210 $200.00 $174.00 $26.00

205 710 1/5/2011 212 $200.00 $174.00 $26.00

206 711 1/5/2011 213 $180.00 $156.60 $23.40

207 712 1/5/2011 214 $200.00 $174.00 $26.00

208 713 23/5/2011 215 $200.00 $174.00 $26.00

209 714 23/5/2011 216 $180.00 $156.60 $23.40

210 715 23/5/2011 217 $200.00 $174.00 $26.00

211 716 23/5/2011 218 $200.00 $174.00 $26.00

212 717 23/5/2011 219 $200.00 $174.00 $26.00

213 718 23/5/2011 220 $240.00 $208.80 $31.20

214 725 6/6/2011 227 $200.00 $174.00 $26.00

215 726 10/7/2011 228 $200.00 $174.00 $26.00

216 743 11/9/2011 245 $240.00 $208.80 $31.20

217 744 11/9/2011 246 $192.00 $167.04 $24.96

218 745 11/9/2011 247 $200.00 $174.00 $26.00

219 746 11/9/2011 248 $200.00 $174.00 $26.00

220 747 11/9/2011 249 $180.00 $156.60 $23.40

221 752 25/9/2011 254 $200.00 $174.00 $26.00

222 753 25/9/2011 255 $240.00 $208.80 $31.20

223 771 13/11/2011 273 $200.00 $174.00 $26.00

224 773 13/11/2011 275 $180.00 $156.60 $23.40

225 776 27/11/2011 278 $200.00 $174.00 $26.00

226 778 27/11/2011 280 $200.00 $174.00 $26.00

227 782 4/12/2011 284 $180.00 $156.60 $23.40

228 783 4/12/2011 285 $200.00 $174.00 $26.00

229 784 4/12/2011 286 $200.00 $174.00 $26.00

230 787 11/12/2011 289 $200.00 $174.00 $26.00

231 790 11/12/2011 292 $192.00 $167.04 $24.96

232 791 11/12/2011 293 $200.00 $174.00 $26.00

233 792 11/12/2011 294 $180.00 $156.60 $23.40

234 793 11/12/2011 295 $200.00 $174.00 $26.00

235 794 11/12/2011 296 $200.00 $174.00 $26.00

236 796 23/1/2012 298 $180.00 $156.60 $23.40

237 798 23/1/2012 300 $200.00 $174.00 $26.00

238 800 23/1/2012 302 $200.00 $174.00 $26.00

239 801 23/1/2012 303 $180.00 $156.60 $23.40

240 805 5/2/2012 307 $200.00 $174.00 $26.00



241 808 5/2/2012 310 $200.00 $174.00 $26.00

242 809 5/2/2012 311 $200.00 $174.00 $26.00

243 812 19/2/2012 314 $200.00 $174.00 $26.00

244 820 4/3/2012 322 $200.00 $174.00 $26.00

245 821 4/3/2012 323 $192.00 $167.04 $24.96

246 822 4/3/2012 324 $192.00 $167.04 $24.96

247 824 4/3/2012 326 $200.00 $174.00 $26.00

248 830 19/3/2012 332 $240.00 $208.80 $31.20

249 831 15/4/2012 333 $200.00 $174.00 $26.00

250 832 15/4/2012 334 $240.00 $208.80 $31.20

251 833 15/4/2012 335 $240.00 $208.80 $31.20

252 834 15/4/2012 336 $180.00 $156.60 $23.40

253 835 15/4/2012 337 $240.00 $208.80 $31.20

254 836 15/4/2012 338 $200.00 $174.00 $26.00

255 839 22/4/2012 341 $200.00 $174.00 $26.00

256 841 22/4/2012 343 $240.00 $208.80 $31.20

257 842 22/4/2012 344 $200.00 $174.00 $26.00

258 843 22/4/2012 345 $200.00 $174.00 $26.00

259 845 22/4/2012 347 $180.00 $156.60 $23.40

260 846 6/5/2012 348 $200.00 $174.00 $26.00

261 848 6/5/2012 350 $200.00 $174.00 $26.00

262 851 21/5/2012 353 $200.00 $174.00 $26.00

263 852 21/5/2012 354 $180.00 $156.60 $23.40

264 854 21/5/2012 356 $200.00 $174.00 $26.00

265 858 17/6/2012 360 $200.00 $174.00 $26.00

266 860 17/6/2012 362 $200.00 $174.00 $26.00

267 861 17/6/2012 363 $180.00 $156.60 $23.40

268 863 17/6/2012 365 $192.00 $167.04 $24.96

269 864 17/6/2012 366 $180.00 $156.60 $23.40

270 879 13/8/2012 381 $180.00 $156.60 $23.40

271 880 13/8/2012 382 $176.00 $153.12 $22.88

272 883 13/8/2012 385 $200.00 $174.00 $26.00

273 884 13/8/2012 386 $200.00 $174.00 $26.00

274 910 11/11/2012 412 $200.00 $174.00 $26.00

275 911 11/11/2012 413 $200.00 $174.00 $26.00

276 920 26/11/2012 422 $180.00 $156.60 $23.40

277 924 10/12/2012 426 $176.00 $153.12 $22.88

278 927 10/12/2012 429 $180.00 $156.60 $23.40

279 929 10/12/2012 431 $200.00 $174.00 $26.00

280 930 23/12/2012 432 $180.00 $156.60 $23.40

281 931 23/12/2012 433 $200.00 $174.00 $26.00



282 933 23/12/2012 435 $200.00 $174.00 $26.00

283 934 23/12/2012 436 $180.00 $156.60 $23.40

284 937 23/12/2012 439 $300.00 $261.00 $39.00

285 938 23/12/2012 440 $300.00 $261.00 $39.00

$58,860.00 $51,208.20 $7,651.80



Anexo 4: Muestra para cada Estrato

Muestra para el Estrato 1: Ventas netas facturadas por

“Servicio de Encomiendas Sonia Delmy” menores a $150.00 para

el periodo de Enero 2006 a Diciembre 2012

N° Fecha de venta

N° de factura

Valor de la venta


2 23/1/2006 504 $120.00 $104.40 $15.60 $94.39 $100.20

12 6/2/2006 514 $120.00 $104.40 $15.60 $94.39 $100.20

13 6/2/2006 515 $120.00 $104.40 $15.60 $94.39 $100.20

14 21/2/2006 516 $100.00 $87.00 $13.00 $94.39 $54.61

16 21/2/2006 518 $120.00 $104.40 $15.60 $94.39 $100.20

18 21/2/2006 520 $60.00 $52.20 $7.80 $94.39 $1,780.00

21 12/3/2006 523 $32.00 $27.84 $4.16 $94.39 $4,428.90

24 12/3/2006 526 $60.00 $52.20 $7.80 $94.39 $1,780.00

38 26/3/2006 540 $72.00 $62.64 $9.36 $94.39 $1,008.06

47 24/4/2006 549 $60.00 $52.20 $7.80 $94.39 $1,780.00

49 24/4/2006 551 $80.00 $69.60 $10.40 $94.39 $614.54

50 24/4/2006 552 $36.00 $31.32 $4.68 $94.39 $3,977.82

53 8/5/2006 555 $60.00 $52.20 $7.80 $94.39 $1,780.00

63 29/5/2006 565 $160.00 $139.20 $20.80 $94.39 $2,007.94

71 12/6/2006 573 $120.00 $104.40 $15.60 $94.39 $100.20

72 12/6/2006 574 $100.00 $87.00 $13.00 $94.39 $54.61

73 12/6/2006 575 $60.00 $52.20 $7.80 $94.39 $1,780.00

74 12/6/2006 576 $120.00 $104.40 $15.60 $94.39 $100.20

75 12/6/2006 577 $60.00 $52.20 $7.80 $94.39 $1,780.00

78 27/6/2006 580 $36.00 $31.32 $4.68 $94.39 $3,977.82

80 27/6/2006 582 $60.00 $52.20 $7.80 $94.39 $1,780.00

88 19/7/2006 590 $40.00 $34.80 $5.20 $94.39 $3,550.97

89 19/7/2006 591 $36.00 $31.32 $4.68 $94.39 $3,977.82

92 4/9/2006 594 $160.00 $139.20 $20.80 $94.39 $2,007.94

98 4/9/2006 600 $120.00 $104.40 $15.60 $94.39 $100.20

109 2/10/2006 611 $64.00 $55.68 $8.32 $94.39 $1,498.46

114 2/10/2006 616 $48.00 $41.76 $6.24 $94.39 $2,769.92

121 2/10/2006 623 $160.00 $139.20 $20.80 $94.39 $2,007.94

124 16/10/2006 626 $80.00 $69.60 $10.40 $94.39 $614.54

128 16/10/2006 630 $80.00 $69.60 $10.40 $94.39 $614.54

129 16/10/2006 631 $80.00 $69.60 $10.40 $94.39 $614.54

130 16/10/2006 632 $96.00 $83.52 $12.48 $94.39 $118.16

135 16/10/2006 637 $160.00 $139.20 $20.80 $94.39 $2,007.94

139 16/10/2006 641 $60.00 $52.20 $7.80 $94.39 $1,780.00

�̅� (𝑋𝑖 − �̅�)2



140 16/10/2006 642 $120.00 $104.40 $15.60 $94.39 $100.20

148 6/12/2006 650 $64.00 $55.68 $8.32 $94.39 $1,498.46

164 21/1/2007 666 $80.00 $69.60 $10.40 $94.39 $614.54

166 21/1/2007 668 $120.00 $104.40 $15.60 $94.39 $100.20

174 11/2/2007 676 $120.00 $104.40 $15.60 $94.39 $100.20

176 11/2/2007 678 $120.00 $104.40 $15.60 $94.39 $100.20

182 27/2/2007 684 $80.00 $69.60 $10.40 $94.39 $614.54

183 27/2/2007 685 $120.00 $104.40 $15.60 $94.39 $100.20

188 11/3/2007 690 $80.00 $69.60 $10.40 $94.39 $614.54

190 11/3/2007 692 $60.00 $52.20 $7.80 $94.39 $1,780.00

191 11/3/2007 693 $96.00 $83.52 $12.48 $94.39 $118.16

198 15/3/2007 700 $160.00 $139.20 $20.80 $94.39 $2,007.94

202 15/3/2007 704 $100.00 $87.00 $13.00 $94.39 $54.61

215 20/5/2007 717 $120.00 $104.40 $15.60 $94.39 $100.20

218 20/5/2007 720 $80.00 $69.60 $10.40 $94.39 $614.54

226 3/6/2007 728 $120.00 $104.40 $15.60 $94.39 $100.20

227 3/6/2007 729 $100.00 $87.00 $13.00 $94.39 $54.61

229 17/6/2007 731 $160.00 $139.20 $20.80 $94.39 $2,007.94

230 17/6/2007 732 $64.00 $55.68 $8.32 $94.39 $1,498.46

237 1/7/2007 739 $144.00 $125.28 $18.72 $94.39 $954.19

246 23/9/2007 748 $80.00 $69.60 $10.40 $94.39 $614.54

266 11/11/2007 768 $80.00 $69.60 $10.40 $94.39 $614.54

277 10/12/2007 779 $120.00 $104.40 $15.60 $94.39 $100.20

318 13/4/2008 820 $120.00 $104.40 $15.60 $94.39 $100.20

322 13/4/2008 824 $80.00 $69.60 $10.40 $94.39 $614.54

325 25/4/2008 827 $160.00 $139.20 $20.80 $94.39 $2,007.94

333 11/5/2008 835 $168.00 $146.16 $21.84 $94.39 $2,680.13

337 11/5/2008 839 $160.00 $139.20 $20.80 $94.39 $2,007.94

340 25/5/2008 842 $160.00 $139.20 $20.80 $94.39 $2,007.94

348 9/6/2008 850 $120.00 $104.40 $15.60 $94.39 $100.20

351 22/6/2008 853 $160.00 $139.20 $20.80 $94.39 $2,007.94

359 13/7/2008 861 $64.00 $55.68 $8.32 $94.39 $1,498.46

364 24/8/2008 866 $160.00 $139.20 $20.80 $94.39 $2,007.94

490 13/9/2009 992 $40.00 $34.80 $5.20 $94.39 $3,550.97

371 7/9/2008 873 $120.00 $104.40 $15.60 $94.39 $100.20

374 21/9/2008 876 $80.00 $69.60 $10.40 $94.39 $614.54

383 26/10/2008 885 $120.00 $104.40 $15.60 $94.39 $100.20

385 26/10/2008 887 $160.00 $139.20 $20.80 $94.39 $2,007.94

386 26/10/2008 888 $160.00 $139.20 $20.80 $94.39 $2,007.94

387 9/11/2008 889 $120.00 $104.40 $15.60 $94.39 $100.20

390 9/11/2008 892 $120.00 $104.40 $15.60 $94.39 $100.20



395 23/11/2008 897 $120.00 $104.40 $15.60 $94.39 $100.20

420 18/1/2009 922 $120.00 $104.40 $15.60 $94.39 $100.20

423 18/1/2009 925 $160.00 $139.20 $20.80 $94.39 $2,007.94

427 8/2/2009 929 $120.00 $104.40 $15.60 $94.39 $100.20

434 22/3/2009 936 $120.00 $104.40 $15.60 $94.39 $100.20

440 5/4/2009 942 $120.00 $104.40 $15.60 $94.39 $100.20

482 30/8/2009 984 $120.00 $104.40 $15.60 $94.39 $100.20

501 26/9/2009 3 $120.00 $104.40 $15.60 $94.39 $100.20

709 1/5/2011 211 $160.00 $139.20 $20.80 $94.39 $2,007.94

507 9/11/2009 9 $120.00 $104.40 $15.60 $94.39 $100.20

515 23/11/2009 17 $120.00 $104.40 $15.60 $94.39 $100.20

537 14/2/2010 39 $160.00 $139.20 $20.80 $94.39 $2,007.94

541 28/2/2010 43 $80.00 $69.60 $10.40 $94.39 $614.54

543 28/2/2010 45 $160.00 $139.20 $20.80 $94.39 $2,007.94

544 28/2/2010 46 $120.00 $104.40 $15.60 $94.39 $100.20

552 28/2/2010 54 $120.00 $104.40 $15.60 $94.39 $100.20

557 1/3/2010 59 $0.00 $0.00 $0.00 $94.39 $8,909.47

562 25/4/2010 64 $160.00 $139.20 $20.80 $94.39 $2,007.94

570 23/5/2010 72 $160.00 $139.20 $20.80 $94.39 $2,007.94

571 23/5/2010 73 $120.00 $104.40 $15.60 $94.39 $100.20

572 23/5/2010 74 $120.00 $104.40 $15.60 $94.39 $100.20

576 23/5/2010 78 $100.00 $87.00 $13.00 $94.39 $54.61

577 23/5/2010 79 $25.00 $21.75 $3.25 $94.39 $5,276.57

579 6/6/2010 81 $100.00 $87.00 $13.00 $94.39 $54.61

588 4/7/2010 90 $60.00 $52.20 $7.80 $94.39 $1,780.00

589 4/7/2010 91 $40.00 $34.80 $5.20 $94.39 $3,550.97

599 3/8/2010 101 $60.00 $52.20 $7.80 $94.39 $1,780.00

607 12/9/2010 109 $60.00 $52.20 $7.80 $94.39 $1,780.00

609 13/9/2010 111 $60.00 $52.20 $7.80 $94.39 $1,780.00

643 5/12/2010 145 $120.00 $104.40 $15.60 $94.39 $100.20

651 13/12/2010 153 $100.00 $87.00 $13.00 $94.39 $54.61

667 24/1/2011 169 $160.00 $139.20 $20.80 $94.39 $2,007.94

674 6/2/2011 176 $120.00 $104.40 $15.60 $94.39 $100.20

685 13/3/2011 187 $160.00 $139.20 $20.80 $94.39 $2,007.94

695 5/4/2011 197 $168.00 $146.16 $21.84 $94.39 $2,680.13

701 11/4/2011 203 $160.00 $139.20 $20.80 $94.39 $2,007.94

709 1/5/2011 211 $160.00 $139.20 $20.80 $94.39 $2,007.94

722 6/6/2011 224 $160.00 $139.20 $20.80 $94.39 $2,007.94

723 6/6/2011 225 $160.00 $139.20 $20.80 $94.39 $2,007.94

736 10/7/2011 238 $80.00 $69.60 $10.40 $94.39 $614.54

742 24/7/2011 244 $120.00 $104.40 $15.60 $94.39 $100.20



749 25/9/2011 251 $60.00 $52.20 $7.80 $94.39 $1,780.00

767 23/10/2011 269 $0.00 $0.00 $0.00 $94.39 $8,909.47

769 13/11/2011 271 $120.00 $104.40 $15.60 $94.39 $100.20

770 13/11/2011 272 $160.00 $139.20 $20.80 $94.39 $2,007.94

779 27/11/2011 281 $160.00 $139.20 $20.80 $94.39 $2,007.94

795 12/12/2011 297 $132.00 $114.84 $17.16 $94.39 $418.20

804 5/2/2012 306 $160.00 $139.20 $20.80 $94.39 $2,007.94

813 19/2/2012 315 $80.00 $69.60 $10.40 $94.39 $614.54

816 19/2/2012 318 $100.00 $87.00 $13.00 $94.39 $54.61

817 19/2/2012 319 $160.00 $139.20 $20.80 $94.39 $2,007.94

819 4/3/2012 321 $160.00 $139.20 $20.80 $94.39 $2,007.94

826 19/3/2012 328 $60.00 $52.20 $7.80 $94.39 $1,780.00

840 22/4/2012 342 $0.00 $0.00 $0.00 $94.39 $8,909.47

855 21/5/2012 357 $160.00 $139.20 $20.80 $94.39 $2,007.94

856 21/5/2012 358 $160.00 $139.20 $20.80 $94.39 $2,007.94

862 17/6/2012 364 $160.00 $139.20 $20.80 $94.39 $2,007.94

870 2/7/2012 372 $120.00 $104.40 $15.60 $94.39 $100.20

872 17/7/2012 374 $80.00 $69.60 $10.40 $94.39 $614.54

873 17/7/2012 375 $40.00 $34.80 $5.20 $94.39 $3,550.97

874 17/7/2012 376 $160.00 $139.20 $20.80 $94.39 $2,007.94

886 27/8/2012 388 $100.00 $87.00 $13.00 $94.39 $54.61

881 13/8/2012 383 $120.00 $104.40 $15.60 $94.39 $100.20

888 27/8/2012 390 $100.00 $87.00 $13.00 $94.39 $54.61

892 9/9/2012 394 $80.00 $69.60 $10.40 $94.39 $614.54

896 9/9/2012 398 $80.00 $69.60 $10.40 $94.39 $614.54

897 23/9/2012 399 $160.00 $139.20 $20.80 $94.39 $2,007.94

899 23/9/2012 401 $120.00 $104.40 $15.60 $94.39 $100.20

903 7/10/2012 405 $80.00 $69.60 $10.40 $94.39 $614.54

906 21/10/2012 408 $80.00 $69.60 $10.40 $94.39 $614.54

908 11/11/2012 410 $120.00 $104.40 $15.60 $94.39 $100.20

925 10/12/2012 427 $120.00 $104.40 $15.60 $94.39 $100.20

935 23/12/2012 437 $120.00 $104.40 $15.60 $94.39 $100.20

936 23/12/2012 438 $160.00 $139.20 $20.80 $94.39 $2,007.94

$16,045.00 $13,959.15 $2,085.85 $94.39 $192,231,569.86



Media, varianza, desviación y total para la muestra del

estrato 1

𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎 (�̅�)

�̅� =𝑋1 + 𝑋2 + ⋯ + 𝑋𝑛

𝑛

�̅� =$13,959.15

149

�̅� = 93.69

𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 (𝑆2)

𝑆2 =1

𝑛 − 1∑(𝑋𝑖 − �̅�)2

𝑛

𝑖=1

𝑆2 =1

149 − 1($192,231,569.86)

𝑆2 =1

148($192,231,569.86)

𝑆2 = $1,298,861.96

𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑇í𝑝𝑖𝑐𝑎 (𝑆�̅�)

𝑆�̅� = √𝑆2

𝑛(1 −

𝑛

𝑁)

𝑆�̅� = √$1,298,861.96

149(1 −

149

650)

𝑆�̅� = √$8,717.194352(1 − 0.229230769)

𝑆�̅� = √$8,717.194352(0.77076923)

𝑆�̅� = √$6,718.945185

𝑆�̅� = $81.96917216

𝑆�̅� ≈ $81.97



𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 (�̂�)

�̂� =𝑁

𝑛(𝑋1 + 𝑋2 + ⋯ + 𝑋𝑛) = 𝑁�̅�

�̂� = 𝑁�̅�

�̂� = 650($93.69)

�̂� = $60,898.50



Muestra para el Estrato 2: Ventas netas facturadas por

“Servicio de Encomiendas Sonia Delmy” mayores o iguales a

$150.00 pero menores o iguales a $400.00

N° Fecha de venta

N° de factura Valor de la venta

Venta Neta

IVA Débito Fiscal

93 4/9/2006 595 $180.00 $156.60 $23.40 $181.83 $636.55

100 4/9/2006 602 $200.00 $174.00 $26.00 $181.83 $61.31

116 2/10/2006 618 $200.00 $174.00 $26.00 $181.83 $61.31

127 16/10/2006 629 $200.00 $174.00 $26.00 $181.83 $61.31

131 16/10/2006 633 $192.00 $167.04 $24.96 $181.83 $218.74

154 6/12/2006 656 $192.00 $167.04 $24.96 $181.83 $218.74

161 18/12/2006 663 $200.00 $174.00 $26.00 $181.83 $61.31

168 21/1/2007 670 $200.00 $174.00 $26.00 $181.83 $61.31

252 14/10/2007 754 $200.00 $174.00 $26.00 $181.83 $61.31

255 28/10/2007 757 $200.00 $174.00 $26.00 $181.83 $61.31

296 3/2/2008 798 $240.00 $208.80 $31.20 $181.83 $727.38

297 3/2/2008 799 $200.00 $174.00 $26.00 $181.83 $61.31

299 24/2/2008 801 $216.00 $187.92 $28.08 $181.83 $37.09

300 24/2/2008 802 $240.00 $208.80 $31.20 $181.83 $727.38

303 17/3/2008 805 $200.00 $174.00 $26.00 $181.83 $61.31

372 21/9/2008 874 $200.00 $174.00 $26.00 $181.83 $61.31

379 12/10/2008 881 $200.00 $174.00 $26.00 $181.83 $61.31

399 7/12/2008 901 $200.00 $174.00 $26.00 $181.83 $61.31

415 21/12/2008 917 $180.00 $156.60 $23.40 $181.83 $636.55

426 8/2/2009 928 $180.00 $156.60 $23.40 $181.83 $636.55

429 8/2/2009 931 $200.00 $174.00 $26.00 $181.83 $61.31

433 8/3/2009 935 $180.00 $156.60 $23.40 $181.83 $636.55

435 22/3/2009 937 $200.00 $174.00 $26.00 $181.83 $61.31

441 5/4/2009 943 $240.00 $208.80 $31.20 $181.83 $727.38

445 25/5/2009 947 $200.00 $174.00 $26.00 $181.83 $61.31

448 25/5/2009 950 $200.00 $174.00 $26.00 $181.83 $61.31

450 25/5/2009 952 $200.00 $174.00 $26.00 $181.83 $61.31

484 30/8/2009 986 $240.00 $208.80 $31.20 $181.83 $727.38

485 30/8/2009 987 $200.00 $174.00 $26.00 $181.83 $61.31

503 26/9/2009 5 $200.00 $174.00 $26.00 $181.83 $61.31

516 6/12/2009 18 $180.00 $156.60 $23.40 $181.83 $636.55

534 17/1/2010 36 $200.00 $174.00 $26.00 $181.83 $61.31

565 25/4/2010 67 $200.00 $174.00 $26.00 $181.83 $61.31

578 6/6/2010 80 $200.00 $174.00 $26.00 $181.83 $61.31

600 15/8/2010 102 $200.00 $174.00 $26.00 $181.83 $61.31

616 10/10/2010 118 $200.00 $174.00 $26.00 $181.83 $61.31

�̅� (𝑋𝑖 − �̅�)2



620 24/10/2010 122 $200.00 $174.00 $26.00 $181.83 $61.31

624 24/10/2010 126 $400.00 $348.00 $52.00 $181.83 $27,612.47

642 5/12/2010 144 $200.00 $174.00 $26.00 $181.83 $61.31

644 5/12/2010 146 $200.00 $174.00 $26.00 $181.83 $61.31

649 13/12/2010 151 $200.00 $174.00 $26.00 $181.83 $61.31

656 19/12/2010 158 $192.00 $167.04 $24.96 $181.83 $218.74

659 19/12/2010 161 $400.00 $348.00 $52.00 $181.83 $27,612.47

661 19/12/2010 163 $280.00 $243.60 $36.40 $181.83 $3,815.53

683 13/3/2011 185 $200.00 $174.00 $26.00 $181.83 $61.31

692 5/4/2011 194 $200.00 $174.00 $26.00 $181.83 $61.31

693 5/4/2011 195 $180.00 $156.60 $23.40 $181.83 $636.55

694 5/4/2011 196 $192.00 $167.04 $24.96 $181.83 $218.74

710 1/5/2011 212 $200.00 $174.00 $26.00 $181.83 $61.31

718 23/5/2011 220 $240.00 $208.80 $31.20 $181.83 $727.38

725 6/6/2011 227 $200.00 $174.00 $26.00 $181.83 $61.31

747 11/9/2011 249 $180.00 $156.60 $23.40 $181.83 $636.55

798 23/1/2012 300 $200.00 $174.00 $26.00 $181.83 $61.31

800 23/1/2012 302 $200.00 $174.00 $26.00 $181.83 $61.31

809 5/2/2012 311 $200.00 $174.00 $26.00 $181.83 $61.31

821 4/3/2012 323 $192.00 $167.04 $24.96 $181.83 $218.74

846 6/5/2012 348 $200.00 $174.00 $26.00 $181.83 $61.31

848 6/5/2012 350 $200.00 $174.00 $26.00 $181.83 $61.31

852 21/5/2012 354 $180.00 $156.60 $23.40 $181.83 $636.55

860 17/6/2012 362 $200.00 $174.00 $26.00 $181.83 $61.31

861 17/6/2012 363 $180.00 $156.60 $23.40 $181.83 $636.55

864 17/6/2012 366 $180.00 $156.60 $23.40 $181.83 $636.55

910 11/11/2012 412 $200.00 $174.00 $26.00 $181.83 $61.31

929 10/12/2012 431 $200.00 $174.00 $26.00 $181.83 $61.31

938 23/12/2012 440 $300.00 $261.00 $39.00 $181.83 $6,267.89

$13,556.00 $11,793.72 $1,762.28 $181.83 $134,835,989.37



Media, varianza, desviación y total para la muestra del

estrato 2

𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎 (�̅�)

�̅� =𝑋1 + 𝑋2 + ⋯ + 𝑋𝑛

𝑛

�̅� =$11,793.72

65

�̅� = 181.44

𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 (𝑆2)

𝑆2 =1

𝑛 − 1∑(𝑋𝑖 − �̅�)2

𝑛

𝑖=1

𝑆2 =1

65 − 1($134,835,989.37)

𝑆2 =1

64($134,835,989.37)

𝑆2 = $2,106,812.33

𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑇í𝑝𝑖𝑐𝑎 (𝑆�̅�)

𝑆�̅� = √𝑆2

𝑛(1 −

𝑛

𝑁)

𝑆�̅� = √$2,106,812.33

64(1 −

65

285)

𝑆�̅� = √$32,918.94272(1 − 0.228070175)

𝑆�̅� = √$32,918.94272(0.771929824)

𝑆�̅� = √$25,411.11368

𝑆�̅� = $159.4086374

𝑆�̅� ≈ $159.41



𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 (�̂�)

�̂� =𝑁

𝑛(𝑋1 + 𝑋2 + ⋯ + 𝑋𝑛) = 𝑁�̅�

�̂� = 𝑁�̅�

�̂� = 285($181.44)

�̂� = $51,710.40



Para estimar el promedio, el total, desviación estándar y la

varianza por cada uno de los estratos, se hizo mediante el

muestreo aleatorio simple. Dado que los elementos se encuentran

desordenados y las características de los elementos son

homogéneos. Para ello se presenta el siguiente cuadro resumen.

Información Estrato 1 Estrato 2

𝒏𝒊 149 65

�̅�𝒊 $93.69 $181.44

�̂� $60,898.50 $51,710.40

𝑺�̅� $81.97 $159.41

𝑺𝒊𝟐

$1,298,861.96 $2,106,812.33

𝑵𝒊 650 285

Aplicación del muestreo estratificado

Estimación de promedio, total, varianza y desviación mediante

el muestreo estratificado.

Promedio.

�̅� =1

𝑁(𝑁1�̅�1 + 𝑁2�̅�2 + ⋯ + 𝑁𝐿�̅�𝐿)

�̅� =1

𝑁∑ 𝑁𝑖�̅�𝑖

𝐿

𝑖=1

�̅� =1

𝑁(𝑁1�̅�1 + 𝑁2�̅�2)

�̅� =1

935[650(93.69) + 285(181.44)]



�̅� =1

935(112,608.90)

�̅� =112,608.90

935

�̅� = 120.4373262

�̅� = $120.44

Varianza

�̂��̂� =1

𝑁2[∑ 𝑁𝑖

2 (𝑁𝑖 − 𝑛𝑖

𝑁𝑖) + (

𝑆𝑖2

𝑛𝑖)

𝐿

𝑖=1

]

�̂��̂� =1

(935)2[(650)2 (

650 − 149

650) + (

1,298,861.96

149) + (285)2 (

285 − 65

285) + (

2,106812.33

65)]

�̂��̂� =1

(935)2[422,500(0.77076923) + (8,717.194362) + 81,225(0.771929824) + (32,412.49738)]

�̂��̂� =1

(935)2[334,367.194 + 95,135.65523]

�̂��̂� =1

(935)2(429,502.8492)

�̂��̂� =429,502.8492

874,225

�̂��̂� = 0.491295546

�̂��̂� = 0.4912

Desviación

𝑆 = √0.4912

𝑆 = 0.700856618



Total

�̂�𝐸𝑆𝑇 = 𝑁�̅�𝐸𝑆𝑇

�̂�𝐸𝑆𝑇 = 𝑁 [1𝑁

∑ 𝑁𝑖�̅�𝑖

𝐿

𝑖=1

]

�̂�𝐸𝑆𝑇 = ∑ 𝑁𝑖�̅�𝑖

𝐿

𝑖=1

�̂�𝐸𝑆𝑇 = (𝑁1�̅�1 + 𝑁2�̅�2)

�̂�𝐸𝑆𝑇 = [650(93.69) + 285(181.44)]

�̂�𝐸𝑆𝑇 = $112,608.90



Anexo 5: Gráficas

Gráfica 1: Intervalo para la media.

Gráfica 2: Intervalo para la proporción



Gráfica 3: Aceptación o rechazo para la hipótesis nula para

la media.

Gráfica 4: Aceptación o rechazo para la hipótesis nula para

la proporción.



Anexo 6: Tabla para determinar las muestras para los

estratos.

Estrato (∈𝒊) Estrato (𝑵𝒊) Estrato (𝒏𝒊)


𝑁(𝑛) =

650

935(214) ≈ 149


𝑁(𝑛) =

285

935(214) ≈ 65

Trabajo Final Estadística II

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