Walter Orlando Gonzales Caicedo - WordPress.com · 2011-03-27 · Walter Orlando Gonzales Caicedo x...

Walter Orlando Gonzales Caicedo

www.goncaiwo.wordpress.com

SISTEMA DE NÚMEROS REALES

1.1. NÚMEROS REALES

El conjunto de los números

reales está formado por los

llamados números naturales,

Enteros, Racionales e Irracionales.

La característica, quizá la más

importante, es poder representar

cualquier número real sobre una

recta y a su vez, saber que cada

punto de una recta puede ser

designado por un número real. A

esta correspondencia se le llama

“RELACIÓN BIUNÍVOCA” porque

para cada número real hay un punto

en la recta y para cada punto en la

recta hay un número real.

Denominamos número real a:

Todo número racional (número decimal finito o número decimal infinito periódico), y

A todo número irracional (número decimal infinito no periódico)

Observaciones:

Denotaremos el conjunto de los

números reales por R

Tenemos que:

R = Q U I

Q R , I R

Q I =

A. Axiomas de Igualdad de los

Números Reales:

Consideremos los siguientes

axiomas de igualdad válidos en

todo conjunto numérico:

a. Reflexividad: Para todo

número real x : x x

b. Simetría: Cualesquiera sean los

números reales x e y :

, .Si x y entonces y x

c. Transitividad: Cualesquiera

sean los números reales , ,x y z :

.Si x y y z entonces x z

B. Axiomas de la Adición y

Multiplicación en R

Veamos los números reales

conformando un sistema; es

decir, como un conjunto provisto

de dos operaciones (adición y

multiplicación) y de una relación

de orden ( ), que gozan de

ciertas propiedades básicas o

axiomas, que admitiremos como

verdaderas. De los axiomas se

deducen o demuestran otras

propiedades que denominaremos

teoremas. Al emplear un conjunto

de axiomas para caracterizar los

números reales como sistema,

decimos que el sistema de los

números reales es construido

siguiendo el método axiomático.

Escribiremos (R, +; .), cuando

tengamos que referirnos al

sistema algebraico de los

números reales.

C. Axiomas de la Adición

A1. La adición en R goza de la

propiedad de clausura:

x y es un número real A2. La adición en R es

asociativa:

x y z x y z

A3. Existe en R un elemento

neutro aditivo 0 (el cero real) tal

que:



0 0x x x A4. Todo número real x admite

un inverso (aditivo) u opuesto

x , que satisface:

( ) 0x x x x A5. La adición en R es

conmutativa: x y y x

D. Axiomas de la Multiplicación

M1. La multiplicación en R goza

de la propiedad de clausura:

·x y es un número real

M2. La multiplicación en R es

asociativa:

( · )· ·( · )x y z x y z M3. Existe en R un elemento

neutro multiplicativo 1 (el uno

real, diferente de cero) tal que:

·1 1·x x x M4. Todo número real no nulo x

admite un inverso (multiplicativo)

o recíproco 1x que satisface:

1 1· 1 ·x x x x

M5. La multiplicación en R es

conmutativa:

· ·x y y x E. Axioma de Distributividad

D1. En R, la multiplicación es

distributiva con respecto a la

adición, es decir:

·( ) · ·x y z x y x z

1.2. ORDEN EN LOS NÚMEROS

REALES

A. Axiomas de la Relación de

Orden

Ley de la Tricotomía: Dados x,

y R entonces, se cumple una

solamente una de las relaciones:

x < y, x = y ó y < x.

Ley Transitiva: x, y, z R,

se cumple que:

Si x < y y < z x < z

Si x < y entonces x+ z < y +

z, para todo z R

Si x < y entonces 0 < z

entonces:

x.z < y.z

Observación: El sistema de

números reales es ordenado con

respecto a la relación (<), es

decir: Si a y b son números

reales cualesquiera, decimos

que:

1. a es menor que b , y

escribimos ,a b si b a es

positivo. 2. a es mayor que b , y escribimos

,a b si b es menor que a .

1.3. INTERVALOS

Si a,b Є R son tales que a b ,

llamaremos intervalo abierto de

extremo a y b al conjunto de

números reales, que

representamos por ,a b , y

definimos por :

}:{[,] bxaRxba

Nótese que si a b , entonces

[,] ba

Si Rba, son tales que a b ,

llamaremos intervalo cerrado de

extremos a y b al conjunto de

números reales que

representamos por ,a b , y se

define por }:{],[ bxaRxba

Si }:{],[ bxaRxba son

tales que a b , llamaremos:



o Intervalo abierto por la

izquierda de extremos a y b al

conjunto }:{[,] bxaRxba

o Intervalo abierto por la

derecha de extremos a y b al

conjunto }:{[,[ bxaRxba

o Intervalo infinito abierto por la

derecha en a

}:{[,] axRxa

o Intervalo infinito cerrado por

la derecha en a

}:{[,] axRxa

o Intervalo infinito abierto por la

izquierda en a

}:{[,] axRxa

o Intervalo infinito cerrado por

la izquierda en a

}:{[,[ axRxa

ACTIVIDADES DE

SISTEMATIZACIÓN

I. Aplicando los axiomas de la multiplicación y adición en R, resolver:

1. Para qué valor de "x" se cumplirá

la igualdad: 149

x

49

56

a) 5 b) 6 c)7 d)8 e) 9

2. Hallar el valor de "p x q" sabiendo

que la fracción:

q

1p

12

13

29

a) 15 b) 14 c) 13 d) 12 e) 10

3. Se tiene:

a) 3. 2 es un número real. b) 1.78205028 es un número

racional.

c) Si a R+, entonces - a R+

d) 3+ 5 es un número irracional.

e) Si a, b R y 0 < a < b entonces 1/b >1/a

Indica cuáles son verdaderos: a) a, b y c b) a y b c) b, c y e d) c y e e) a, b y d

4. Determinar el número irracional

en:

...

12

12

12

11m

a) 2 b) 5 c) 3 d) 7

e) 8

5. Un alumno de la universidad perdió su carné y no se acordaba su código; pero solo recordaba que era de 4 cifras divisibles por 99 y 5 además la primera y la última cifra eran iguales ¿Cuál era el código de dicho alumno? Dar como respuesta la suma de sus cifras. a) 15 b) 14 c) 1

d) 20 e) 18

6. Hallar el valor de "m" si los números racionales:

0 m ; iguales Son 1m

3;

2

3

a) 5 b) 4 c) 3 d)2

e) 6

7. Un número entero “p” se compone de dos dígitos que son de izquierda a derecha a y b respectivamente, entonces el inverso aditivo de “p” es: a) 10a + b b) -10a + b

c) 10b+ a d) -10a - b



e) -10b – a

8. Si m y n son números naturales impares, entonces es (son) siempre un número par: I. m + n II. m - n III. m.n IV. m + 1 a) Solo I b) Solo II y IV c) Solo I y IV d) Solo III y IV e) I, II y IV

9. Si se duplica la expresión 24 se obtiene: a) 25 b) 28 c) 42 d) 45 e) 46

10. Si “n” es un número tal que n Є Z, entonces ¿cuál(es) de las siguientes expresiones representa(n) tres números pares consecutivos? I. 2n, 2n + 1, 2n + 2 II. 4n, 4n + 2, 4n + 4 III. 2n − 4, 2n − 2, 2n a) Solo III b) I y II c) I y

III d) II y III e) Todas

11. ¿Cuál de las siguientes expresiones no es racional? a) 30/0 b) 2/6 c) 0.3 d) 2/-5 e) -1/-(-100)

12. Si m = 4(1/3), p = 8(1/6) y q = 6(1/8), entonces ¿cuál de las siguientes relaciones es verdadera? a) m > p b) q > m c) p > m d) q > p e) m > q

13. Si a = 1/2 y b = 1/3, entonces , es:

a) 1/2 b) 6/5 c)1/6

d) 6 e)5

14. A que es igual: 11 + 22 + 33 a) 25 b) 26 c) 35 d) 39 e) 66

15. Si a la mitad de la unidad se le

resta la unidad se obtiene: a) 0 b) -3 c) -1 d) 3 e)1

16. Hallar el valor de:

17. 35

35

35

35W

a) 9 b) 8 c) 7 d) 6 e) 5

18. Simplificar:

21

.

)(1

yxyx

yxyxP

a) y b) 0 c) -1 d) 3 e) –x

19. Calcular el valor de :

)1(

2

11...

4

11

3

11

2

11

11...

4

11

3

11

2

11

2

nn

nn

n

nE

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) ½

20. Si el numerador de una fracción aumenta en 2, la fracción resultante es 1/4. Si disminuye el denominador en 6, la fracción es 1/6. ¿Cuál es la fracción inicial? a) 1/12 b) 3/2 c)-2/3 d) 5/6 e) -1/12



21. ¿Cuál es la fracción que dividida por los 2/3 de su inversa de por cociente 24/25? a) 4/5 b) 6/5 c) 5/4 d) 3/8 e) 1/5

22. Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

a) a.0 = 0

b) (-a) (-b) = - (a.b)

c) a + ( -b + c) = a - b + c

d) a:( b + c) = (a : b) + (a : c) , siendo b+c ≠ 0 ; b≠0 y c ≠0

e) a - ( b + c) = a - b + c

f) a.( -b) = a . b

g) a.( b -c) = a.b - a.c

h) La ecuación 2 x = 1 tiene

solución en Z

i) - ( - a ) = a 23. Considere los siguientes

intervalos: A = [-3, 3] ; B = (-3, 3) ; C = [-1, 4] ; D = (-4, 5]. Dibujar sobre la recta real y escribir con notación de intervalo el resultado de las siguientes operaciones: a) A U D b) A ∩ C c) B – C d) A ∩ (B U C) e) B´ (el complemento de B) f) C´(el complemento de C)

24. Si tienes los intervalos: U=<-4,7> A = <3,7> B = [0,6] y C = [-1,6] Determina el intervalo solución

de (A’ ∩ C) ∩ B’

25. Teniendo los conjuntos:

A = {x ∈ R / 1 ≤ x ≤8}

B = {x ∈ R / -5 < x ≤ 5}

C = {x ∈ R / -7 ≤ x < 2}

Determina el intervalo que indica

la intersección de A, B y C.

26. Dados los conjuntos: A = {x ∈ R / -5 < x ≤ 4}

B = {x ∈ R / (-7 ≤ x ≤ 5) ∩ (0 < x

8)}

C = {x ∈ R / (-9 < x < -4) ∪

(4 ≤ x < 11)}

Determina A ∩ B ∩ C’

POLINOMIOS

NOTACIÓN FUNCIONAL

Se utiliza para indicar las

variables en una expresión

algebraica. Par ello emplearemos

letras como P, F, G,..., etc.

Ejemplo:

P(x) se lee P de x: x

variable

F(x;y) se lee F de xy: x, y

variable

x, y, z variables

a, b, c constantes

VALOR NUMÉRICO

Es el número que se obtiene al

reemplazar las letras de una

expresión por valores

determinados.

Ejemplos:

1. Hallar el V.N. de: E = x2 + y3 + 3z

Para x = 3; y = 2; z = 5

Solución:



V.N. “E” = (3)2 + (2)3 + 3(5) = 32

2. Hallar P(3,2), si P(x,y) = x2 + 5y

+ 20

Resolución:

P(3,2) es el V.N. de P(x,y)

Para x = 3; y = 2

P(3,2) = 32 + 5(2) + 20 = 39

GRADO DE EXPRESIONES

ALGEBRAICAS

El grado es una característica de

las expresiones algebraicas,

relacionado con los exponentes,

que en una ecuación indica el

número de valores que debe

tener la incógnita.

El grado es absoluto si se refiere

a todas las variables y relativo si

se refiere a una de las variables.

Grado en un Monomio

1. Grado Absoluto (G.A.)

Se obtiene al sumar los

exponentes de las variables.

2. Grado Relativo (G.R.)

El grado relativo a una variable

es el exponente de dicha

variable.

Ejemplo: F(x,y) = a4x5y8

G.R.(x) = 5

G.R.(y) = 8

Grado en un Polinomio

1. Grado Absoluto

Está dado por el mayor grado de

sus términos.

2. Grado Relativo

El grado relativo de una variable

es el mayor exponente de dicha

variable.

Ejemplo:

P(x,y) = 6x8y – 3x7y3 + 2xy5

G.R.(x) = 8

G.R.(y) = 5

G.A.(P) = 10

3. Cálculo de Grados en

Operaciones

1. En la adición o sustracción se

conserva el grado del mayor.

Ejemplo:

Si P(x) es de grado: a

Si Q(x) es de grado: b

tal que: a > b

Grado [P(x) Q(x)] = a

2. En la multiplicación los

grados se suman

Ejemplo:

(x4 + x5y + 7) (x7y + x4y5 + 2)

Solución:

Grado: 6 + 9 = 15



3. En la división los grados se

restan

Ejemplo: 3334

7338

yxyzx

xyxxy

Solución:

Grado: 9 – 6 = 3

4. En la potenciación el grado

queda multiplicado por el

exponente

Ejemplo:

(x3y – x2y6 + z9)10

Solución:

Grado: 9 . 10 = 90

5. En la radicación el grado

queda dividido por el índice

del radical.

Ejemplo:

3 12637 72 xyxxy

Solución.

Grado 43

12

POLINOMIOS ESPECIALES

1. Polinomios Homogéneos

Son aquellos en los que todos

los términos tienen igual grado.

Ejemplo: x3y2 – x5 + x2yz2

Es un homogéneo de grado 5.

2. Polinomios Ordenados

Un polinomio será ordenado con

respecto a una de sus variables,

si los exponentes de dicha

variable están aumentando o

disminuyendo según sea el

orden ascendente o

descendente.

Ejemplo: x4y7 – x8y10 + x5y24

Está ordenado ascendentemente

con respecto a y.

3. Polinomios Completos

Un polinomio será completo con

respecto a una de sus variables

si contiene todos los elementos

de dicha variable desde el mayor

hasta el cero inclusive.

Ejemplo: xy8 – y8 + x3y7 + x2y8

Es completo con respecto a x.

Propiedad:

En todo polinomio completo y de

una sola variable, el número de

términos es equivalente al grado

aumentado en uno. Es decir:

Número de términos = Grado + 1

Ejemplo:

P(x) = x3 – x4 + 2x – 7x2 + 11x5 +

2

Como es completo:

Número de términos = 6



4. Polinomios Idénticos

Dos polinomios son idénticos si

tienen el mismo valor numérico

para cualquier valor asignado a

sus variables. En dos polinomios

idénticos los coeficientes y sus

términos semejantes son

iguales.

Ejemplo:

ax + by + cz = 8z + 2x – 5y

a = 8; b = –5, c = 2

5. Polinomios Idénticamente

Nulos

Son aquellas expresiones que

son equivalentes a cero.

Estando reducidas se cumple

que cada coeficiente es igual a

cero.

Ejemplo: ax + by + cz = 0

a = 0; b = 0; c = 0

6. Polinomios Mónico

Es aquel cuyo coeficiente

principal es 1

Ejemplo: P(x) = x2 + 3x + 1

Es mónico porque el coeficiente

de x2 es igual a 1

ACTIVIDADES DE SISTEMATIZACIÓN

1. Factorización por Factor

Común

48563.8

)1(21.7

)2(2)2(3.6

124-6293-5.

4024816.4

-2.

7035 .1

22232

223223

3244223

753

332

mabbxabaabba

xax

xyxx

xayxayxa

yxyxyxyx

xxx

mnm

2. Factorización por diferencia de

cuadrados

25

1.8

81

49.7

)2()(.6

)(4.5

9

14.4

49.3

12125.2

.1

42

1210

22

22

2

121062

42

282

nn

xn

n

ba

ba

xxa

yxx

x

azyx

yx

cba

3. Factorización por cuadrado

perfecto

242

44222

126

42236

49141 )4

14424 )3

81198121 )2

257049 )1

yxyx

xmxama

xx

nanamm

4 8)

)(4)(4 )7

)()(2 )6

336

25

25

1 )5

2224

22

22

24

bbaa

mnmmnm

babaaa

xx

4. Factorización de Trinomios de

la forma cbxx2



3013 )4

406 )3

2928 )2

4013 )1

2

2

2

2

mm

nn

nn

aa

352 )8

365 )7

3314 )6

607 )5

2

2

2

2

aa

xx

aa

aa

5. Factorización por

Completación de Cuadrados

108066 )4

2166 )3

8

7

4

15 )2

64854 )1

2

2

2

2

aa

xx

xx

xx

33650 )8

40041 )7

43243 )6

10088 )5

2

2

2

2

xx

mm

mn

mm

6. Factorización de cocientes de

Potencia Iguales

44

66

88

8116 )3

72966 )2

)1

a

nm

555

7

66

)6

128 )5

)4

cba

x

yx

7. Resuelve los siguientes

ejercicios

1 (x + 1) (2x + 5) 2 ( 2x + 3 )( x – 4)

3 5

1)

3

2(

5

1)

4

23(

3

4)

6

12(

5

3 xxx

4 22 )2()4(2 xx

5 22 )3(2)1( xx

6 22 )()( axax

8. Hallar el valor numérico de:

2)

44(

2)

44(

2)

22(4

2]

2)(

2)[(

baba

bababaP

Si a = 2 + 1 y b = 2 - 1

9. Siendo:

A(x)= 122 xx B(x)= 22

21 x

C(x)=2

2332 xx D(x)=

21x

Calcular:

a. A(x). B(x) b. B(x). C(x). c. A(x).(- D(x) ) d. 2(A(x) – B(x) ) – B(x).C(x) e. A(x) – B(x) +C(x) f. A(x).D(x) – C(x)

10. Efectuar:

1. 2x + 4 + (3x - 4) - 3x + 12

2. 4(3x + 2) - 5(2x + 3) + 5

3. 4(3x + 2) - 8 + 5(2x + 3) + 5

4. 4(3x + 2) - 8 - 5(2x + 3) + 5

5. 16 - ( - 2x - 4) - (5x - 3x + 2) - 4x

- ( - 8x + 2)

6. - (7x - 2 + 12) + ( - 5x - 3x + 4) - (

- x + 7) - (6x - 4 - 7)

11. Una empresa de productos

químicos determina que, su

producción de x unidades de un

artículo sus funciones de ingreso y

de costo son, respectivamente:

I(x) = 3x2 + 60x

C(x) = 2x2 + 550

Calcular: La función utilidad (U);

dada por U(x) = I(x) - C(x)

12. Una empresa exportadora

determina que en la fabricación y

venta de x unidades de un producto,

sus funciones de ingreso y de costo

son:

I(x) = x(800 + 2x)



C(x) = x2 + 750x – 600

Calcular: La función utilidad (U);

dada por U(x) = I(x) - C(x)

ECUACIONES POLINOMIALES

Ecuación:

Una ecuación es una igualdad entre

dos expresiones en las que aparece

una o varias incógnitas. Cuando la

igualdad entre las dos expresiones se

verifica para cualquier valor numérico

de las incógnitas se llama identidad y

no se considera una ecuación.

Ejemplo 1:

a) -2x = 8 es una ecuación con una

incógnita

b) x2 - 2x = y – 1 es una ecuación con

dos incógnitas

c) La igualdad 3x + 6 = 3(x+2) no se

considera una ecuación sino una

identidad porque se verifica para

cualquier valor de la variable x. En

concreto, esta igualdad es cierta para

cualquier valor de x debido a la

propiedad distributiva del producto

respecto de la suma.

Asimismo la igualdad (x+1)2 = x2 + 2x

+ 1 es una identidad.

En toda la unidad se trabaja en el

conjunto de los números reales.

Una solución de una ecuación es un

valor numérico de cada una de las

incógnitas para los que se verifica la

igualdad.

Clases de Ecuaciones

Las ecuaciones pueden ser:

A. Polinómicas: Cuando las potencias de las variables son números naturales.

Ejemplos:

x – 12 = 23

3x2 – 5x + 13 = 6

5x3 – 6x + 7 = 3x2

x4 – 5x + 6 = 0

B. Racionales. Cuando hay variables en el denominador. Ejemplos:

22

112

2

32

xx

x

82

1

1

3

xx

C. Irracionales. Cuando hay variables dentro de radicales. Ejemplos:

63223 xx

121

312

xx

D. Exponenciales. Cuando las bases son números y en los exponentes hay variables. Ejemplos:

642 x

82 432 xx

E. Trigonométricas. Cuando en la ecuación hay funciones trigonométricas. Ejemplos:

senxxxsen 4cos3 22

5,021 xsen

F. Logarítmicas. Cuando en la ecuación hay funciones logarítmicas. Ejemplos:

16log4log 22x

xx ln5ln1



Clasificación de las Ecuaciones

Polinomiales.

Ecuaciones Polinómicas de Primer

Grado o Lineales: Una ecuación de

primer grado es siempre reducida a la

forma típica: ax + b = 0; cuya solución

es: x = -a

b; siendo a y b coeficientes

(números reales o expresiones

algebraicas que no contienen a x).

Si a 0, entonces la solución es

determinada y única.

Si a = 0 y b 0, entonces no hay

solución; la ecuación es imposible.

Si a = 0 y b = 0, entonces la solución es

infinita: cualquier número; la ecuación

es indeterminada.

Ejemplo 1.

Resolver la ecuación: 6x – 5 = 2x + 7

Solución:

6x – 5 = 2x + 7

6x – 2x = 7 + 5

4x = 12 → x = 4

12

x = 3 → S. = 3

Ejemplo 2. Resolver la ecuación:

5

3

4

52

2

3 xx

Solución:

Hallando el M.C.M. a los

denominadores de cada sumando,

siendo el número 20; desarrollando se

obtiene:

30x - 40 = 25x+12

30x -25x = 12+40

5x = 52

x = 5

52 → S. =

5

52

Ejemplo 3. Resolver 2x+3=2x+5

Solución:

2x-2x = 5-3

0.x = 2 → x = 0

2

No hay solución, debido a que la

ecuación es imposible.

Ejemplo 4:

Resolver 9x-2x+16=7x+14+2

Entonces:

9x-2x-7x = 14+2-16

0.x = → x = 0

0

Tiene infinitas soluciones, la ecuación

es indeterminada.

Ejemplo 5. Resolver:

(x+5x)(x+2) – 3(4x-3) = (5-x)2

Solución:

2)5()34(3)2)(5( xxxx

22 1025912107 xxxxx

910251012722 xxxxx

5x = 6

x = 6/5 → S = 6/5

Ecuaciones Polinómicas de

Segundo Grado: Una ecuación de

segundo grado puede ser siempre

reducida a la forma ax2 + bx + c = 0;

donde a es diferente de 0; a, b y c son

coeficientes (números reales o

expresiones algebraicas que no

contienen a x).

La resolución de una ecuación

cuadrática puede realizarse ya sea por

factorización, completando



x=2a

4acbb 2

cuadrados o aplicando la fórmula

general.

A. Método de Factorización:

consideremos el siguiente:

Ejemplo

Resolver x2 – 8x + 15 = 0

Solución:

x2 – 8x + 15=0

(x-5)(x-3)=0

x-5= 0 x-3=0

x= 5 x=3

→ S. = 5, 3

B. Método de Completar

Cuadrados: consideremos el

siguiente:

Ejemplo

Resolver: x2-6x+6=0

Solución:

x2-6x+6=0

x2-6x=-6

x2-6x+9=-6+9

(x-3)2=3

x-3= 3

x=3 3

Entonces:

x=3+ 3 x=3- 3

→ S. = 3+ 3 , 3- 3

C. Método de la Fórmula General:

La solución de la ecuación de

segundo grado es:

Estudio de las soluciones: ax2 + bx +

c = 0, a 0 {a, b, c} R.

Donde:

= b2 - 4ac es el discriminante

de la ecuación cuadrática.

Caso I: Si, = b2 - 4ac = 0; la

ecuación tiene dos raíces reales e

iguales a (-b/2a) pero tiene una única

solución real.

Ejemplo:

Sea x2 - 12x + 36 = 0

Tenemos que su:

= (-12) 2 - 4(1)( 36) = 144 - 144 = 0

Luego: Se tiene sus dos raíces iguales

a -12/2(1) = - 6 siendo esta una única

solución.

Caso II: Si; = b2 - 4ac > 0 la

ecuación tiene dos raíces reales y

diferentes.

Si el discriminante es cuadrado

perfecto entonces existen dos raíces

reales racionales.

Ejemplo: x2 - 7x + 12 = 0

Tenemos: = (-7) 2 - 4(1) (12) = 49 -

48 = 1

Luego:

Si el discriminante no es cuadrado

perfecto entonces existen dos raíces

reales irracionales conjugadas.

Ejemplo: 2x2 - 13x + 10 = 0

Tenemos: = (-13) 2 - 4(2)(10) = 169 -

80 = 89

Luego:

3 x,4x2

17

2

1)7(x 21

1 2

( 13) 89 13 89 13 89 13 89 , x

2 2 2 2x x



Caso III: Si; = b2 - 4ac < 0 la

ecuación tiene dos raíces complejas y

conjugadas.

Ejemplo: x2 + x + 1 = 0

Tenemos: = (1) 2 - 4(1)(1) = - 3 < 0

entonces la ecuación admite 2 raíces

complejas conjugadas.

Luego:

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE

LAS RAÍCES DE LA ECUACIÓN

CUADRÁTICA CON COEFICIENTES

REALES

Sean las funciones:

y = f(x) = ax2 + bx + c; a 0

y = g(x) = 0

Si: f(x) = g(x)...... ( )

Se obtiene la ecuación cuadrática:

ax2 + bx + c = 0; a 0

De la igualdad de funciones ( ), se

deben calcular aquellos x (x1 y x2) para

los cuales las ordenadas de ambas

funciones (y1 y y2) son las mismas; es

decir, geométricamente, hallar los

puntos de intersección de las gráficas

de estas funciones, como se muestra

en la figura:

Donde y1 = y2 = 0 y x1 x2

Siendo las abcisas de los puntos de

intersección (x1; 0) y (x2, 0) de las

gráficas de f y g, las raíces de la

ecuación cuadrática: ax2 + bx + c = 0;

a 0

Ejemplo

Resolver gráficamente:

2x2 – x – 15 = 0

Solución:

Tenemos la gráfica de la función

cuadrática

y = f(x) = 2x2 – x – 15

Las abcisas de los puntos P y Q de

intersección de la gráfica de F y el eje

horizontal, nos representan las raíces

o soluciones de la ecuación.

Observar que; para:

)0;3(Q

0;2

5P

:puntoslosgeneranSe

0Fy3x

02

5y

2

5x

)3(

INTERPRETACION GEOMÉTRICA

DE LA DISCUSIÓN DE LAS RAÍCES

DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA

DE COEFICIENTES REALES.

1 2

1 3 1 3 1 3 , x

2 2 2

i ix x

Y

y =f(x)

y = g(x)

X

(x1,y1) (x2,y2)

Y

y =f(x)

F

P Q X

(-5/2,0) (3,0)



En la ecuación cuadrática: ax2 + bx + c

= 0; a 0 sabemos que la naturaleza

de sus raíces viene dada por el valor

del discriminante « ». Según esto,

geométricamente, se obtienen

gráficamente lo siguiente:

OBSERVACION: Dada la ecuación

cuadrática con coeficientes racionales:

ax2 + bx + c = 0; a 0

Si su discriminante es un número

cuadrado perfecto, las raíces de dicha

ecuación siempre serán racionales. Si

no es así, serán irracionales y

conjugados.

Ejemplo:

Resolver: 2x2 – x – 6 = 0

• Cálculo del discriminante

= (-1)2 – 4(2)(-6)= 49 (cuadrado

perfecto)

Luego reemplazando en la solución

general:

X = ;)2(2

49)1( de la cual se obtienen:

X1 = 2 ó x2 = -3/2

Las cuales son números racionales.

Si x1 y x2 son raíces de la ecuación

cuadrática:

ax2 + bx + c = 0; a 0

Entonces, se verifica las siguientes

propiedades:

CARACTERISTICAS

DEL DESCRIMINANTE

COEFICIENTE

PRINCIPAL

REPRESENTACIÓN

GEOMETRICA

NATURALEZA DE LAS

RAICES

> 0

a > 0 LOS RAÍCES SON

REALES Y DIFERENTES

X1 X2

a < 0

= 0

a > 0

LAS RAÍCES SON

REALES E IGUALES

X1 = X2 O UNA RAÍZ

REAL DOBLE a < 0

< 0

a > 0 LAS RAÍCES SON

IMAGINARIAS Y

CONJUGADAS

a < 0

X1 X2

X1 X2

X1 = X2

X1 = X2



PROPIEDADES DE LAS RAÍCES DE

LA ECUACIÓN CUADRÁTICA

(Teoremas de Viéte)

TEOREMA 1: Suma de Raíces

x1 + x2 = -a

b

TEOREMA 2: Producto de Raíces

x1 • x2 = a

c

TEOREMA 3: Diferencia de Raíces

X1 – x2 = a

Las anteriores propiedades se verifican

en una ecuación cuadrática con

coeficientes de naturaleza arbitraria

(reales o complejos).

Ejemplo:

Si x1 y x2 son raíces de la ecuación

cuadrática: 2x2 + 6x + 3 = 0

Se cumplen las relaciones de Viéte:

• x1 + x2 = –2

6= –3

• x1 • x2 = 2

3

Tenemos: =(6)2–4(2)(3)=12; entonces:

• x1 – x2 = 32

32

2

12

OBSERVACION:Propiedades

auxiliares :

TEOREMA 4:

(X1 + X2)2 + (X1 – X2)

2 = 2(X12 + X2

2)

TEOREMA 5:

(X1 + X2)2 – (X1 – X2)

2 = 4X1X2

FORMACIÓN DE UNA ECUACIÓN

CUADRÁTICA A PARTIR DE SUS

RAÍCES (Teorema Recíproco de

Viéte).

Demostración Inductiva:

Sean x1 y x2 las raíces de cierta

ecuación cuadrática de incógnita x; es

decir:

x = x1 ó x = x2

Por transposición de términos, se

tienen:

x – x1 = 0 ó x – x2 = 0

Los cuales se obtienen a partir de:

(x – x1) (x – x2) =0

Efectuando: x2 – (x1 + x2)x +x1 x2 = 0

Llamando

a: x1 + x2 = S

y: x1 • x2 = P

Se obtiene: x2 – Sx + P = 0

(A esta ecuación se le denomina

canónica, normalizada u ordinaria,

debido a que su coeficiente principal es

la unidad).

CALCULAR LAS RAICES DE CADA

UNA DE LAS ECUACIONES

BICUADRADAS

Son ecuaciones de cuarto grado sin

términos de grado impar:

ax 4 + bx2 + c = 0

Para resolver ecuaciones

bicuadradas , efectuamos el

cambio x 2 = t , x 4 = t 2 ; con lo

que genera una ecuación de

segundo grado con la incógni ta

t :

at 2 + bt + c = 0

Por cada valor posit ivo de t

habrá dos valores de x:

Ejemplo:

Solución:



Sea:

Tenemos:

Entonces:

Luego:

OBSERVACIÓN: El mismo

procedimiento podemos ut i l izar

para resolver las ecuaciones

del t ipo:

ax6 + bx3 + c = 0

ax8 + bx4 + c = 0

ax1 0 + bx5 + c = 0

ACTIVIDADES DE SISTEMATIZACIÓN

I. RESOLVER LAS SIGUIENTES

ECUACIONES LINEALES CON UNA Y DOS VARIABLES 1. x + 4 = 28

2. y - 6.5 = 31

3. 8z = 40 + 3z

4. 10x = - 5x + 60

5. - 15y + 3 = - 36 - 18y

6. 2x + 4 + (3x - 4) = 3x + 12

7. 4(3x + 2) - 8 = 5(2x + 3) + 5

8. 4(3x + 2) - 8 = 5(2x + 3) + 5

9. 4(3x + 2) - 8 = 5(2x + 3) + 5

10. 16 - ( - 2x - 4) - (5x - 3x + 2) = - 4x

- ( - 8x + 2)

11. - (7x - 2 + 12) + ( - 5x - 3x + 4) = - (

- x + 7) - (6x - 4 - 7)

12. - 18 - [ 3(x + 2) + 4] = 21 - [ 6( - 2x - 2) + 1]

13. 5x(8-x)-3x(5-3x)= -26-2x(7-2x)

14. x+3(x-1)= 6-4(2x+3)

15. (x+1)(2x+5)=(2x+3)(x-4)

16. 420

45

12

83

315

710 2

x

xx

x

x

17. 2)5(2)3()73(6)1(5 22 xxxxxxx

18.

19. –

20.

21. –

22. – –

23.

II. RESUELVE LOS SIGUIENTES

PROBLEMAS 24. Un número multiplicado por 5

sumado con el mismo número multiplicado por 6 da 55. ¿Cuál es el número?

25. ¿Qué número se debe restar de p+2 para obtener 5?

26. El doble de un número aumentado en 12 es igual a su triple disminuido en 5. ¿Cuál es el número?

27. Hállense dos números cuya diferencia sea 11, y un quinto de cuya suma sea 9.

28. Hállense dos números cuya suma sea 34 y cuya diferencia sea 10.

29. La suma de dos números es 73, y su diferencia, 37; hállense los números.

30. Un tercio de la suma de dos números es 14, y la mitad de su diferencia es 4; hállense los números.



31. La mitad de la suma de dos números es 20 y el triple de su diferencia es 18; hállense los números.

32. Tres números impares consecutivos suman 81. ¿Cuáles son los números?

33. El doble de un número más el triple de su sucesor, más el doble del sucesor de éste es 147. Hallar el número.

34. La diferencia entre los cuadrados de dos números consecutivos es 103. ¿Cuáles son los números?

35. Si el lado de un cuadrado se duplica, su perímetro aumenta 40 m. Calcular la medida del lado del cuadrado.

36. Las dimensiones de un terreno tiene la forma de un rectángulo están en la razón 3:5 y su perímetro es 140 m. Calcular el largo y en ancho.

37. Si el lado de un cuadrado es aumentado en 8 unidades, su perímetro se triplica. ¿Cuánto mide el lado?

38. Un padre tiene 20 años más que su hijo. Dentro de 12 años, el padre tendrá el doble de la edad del hijo. ¿Cuántos años tiene cada uno actualmente?

39. La edad de Pedro excede a la de su amigo Santiago en 4 años y a la de su amigo Juan en 2 años. Hace 6 años la razón entre sus edades era de 2, 3 y 4. ¿Qué edad tienen actualmente?

40. Un padre tiene 52 años y su hijo 16. ¿Hace cuántos años el hijo tenía la séptima parte de la edad del padre?

41. El ingreso obtenido al vender x artículos a un precio p es I = x.p Resuelva: En una ferretería hay 500 bolsas de cemente de dos marcas diferentes cuyos precios son S/ 22 y S/ 20. Si la venta de todas las bolsas produjo ingresos de S/ 10.672 ¿Cuántos bolsas de diferente marca había?

42. El costo total de producción corresponde los costos fijos más los costos variables, es decir: C =

CF + CV, aplicando la definición resuelva el problema: Una fábrica de ladrillos paga S/ 140.000 en arriendo, el costo del material es la mitad de la mano de obra ¿Cuanto paga por materiales y cuánto por mano de obra si el costo total asciende a S/ 500.000?

43. Se define como utilidad a la diferencia entre los ingresos totales recibidos y los costos totales, es decir: U= I - C , Resuelva: Un fabricante de materiales para la construcción produce semanalmente 150 artículos los que vende al doble del costo menos S/ 100,00 ¿Cuánto es el costo de cada artículo si sus utilidades son de S/ 36.000?

44. En una fábrica se producen dos artículos diferentes, los que se venden a US$ 3.200 y US$ 4.500 respectivamente. Si se venden 400 artículos de las dos clases y los ingresos obtenidos son de US$ 1.579.200. ¿Cuántos artículos se vendieron de cada clase?

III. CALCULAR LAS RAICES DE CADA UNA DE LAS ECUACIONES

1. 25x2 - 1 = 0

2. x3 + 10x2 + 25x = 0

3. x3 + x2 - 6x - 6 = 0

4. x2 + 2x - 5 = 0

5. x4 + x3 -9x2 - 9x = 0 6. x2 = 81 7. 14x2 - 28 = 0 8. (x + 6)(x - 6) = 13 9. (2x - 5)(2x + 5) - 119 = 0 10. (x + 11)(x - 11) = 23 11. x2 = 7x 12. 21x2 + 100 = - 5 13. 2x2 - 6x = 6x2 - 8x 14. (x - 3)2 - (2x + 5)2 = - 16 15. (4x - 1)(2x + 3) = (x + 3)(x -

1)

IV. RESUELVE LAS SIGUIENTES PROBLEMAS:

1. La edad de un padre es el cuadrado de la de su hijo. Dentro



de 24 años la edad del padre será el doble de la del hijo. ¿Cuántos años tiene ahora cada uno?

2. La edad de Liliana era hace 6 años la raíz cuadrada de la edad que tendrá dentro de 6 años. Determina la edad actual.

3. Una persona compró cierto número de objetos en S/300. Podría haber comprado 10 objetos más, si cada uno hubiese costado S/ 5 menos. ¿Cuántos objetos compró?

4. Los integrantes de una agrupación juvenil compraron un tostador de pan por $240. El dinero que pagó cada integrante equivale al número de personas aumentado en 14. ¿Entre cuántos integrantes compraron el tostador?

5. Una excursión para bucear costó $300. Si hubieran sido 3 miembros menos en el club, el costo por persona habría sido de $5 más. ¿Cuántos miembros hay en el club?

6. Gabriel Jesús compró cierto número de lapiceros por S/ 24.00. Si cada lapicero le hubiera costado S/ 1.00 menos, pudo haber comprado 4 lapiceros más por el mismo dinero. ¿Cuántas lapiceros compró y a qué precio?

7. Halla dos enteros consecutivos impares cuyo producto es 255

8. Pedro Antonio compró cierto número de relojes por $192. Si el precio de cada reloj es ¾ del número de relojes, ¿cuántos relojes compró?

9. Una fábrica de artículos de cerámica produce los tipos “A” y “B”. El costo de producir la cerámica “A” es de S/.2 más que de la cerámica “B”. Los costos de producción de “A” y “B”, son de S/ 1.500 y S/ 1.000 respectivamente, y se hacen 25 unidades más de “A” que de “B”. ¿Cuántas unidades de cada producto se fabrican?

10. El gerente de una fábrica de muebles sabe que el costo de vender “x” juegos de dormitorios es C=20x+60 y el ingreso de vender “x” juegos de dormitorios es I=x2-

8x. Encuentre el punto de equilibrio de “x” (igualar los ingresos y los costos).

11. Construye una ecuación de segundo grado, sabiendo que el cociente de sus dos soluciones es 5 y la diferencia entre las mismas es 12.

12. Un contratista compró 4000 m3 de piedra y los vendió por S/ 11.250. ¿Cuánto pagó él por la piedra si ganó en relación a lo que pagó un tanto por ciento igual a 5 veces el número de soles que a él le costó el metro cúbico de piedra?

13. Dadas las ecuaciones (7a-2)x2-(5a-3)x+1=0 y 8bx2-(4b+2)x+2=0, averigua qué valores deben tener a y b para que las dos ecuaciones tengan las mismas soluciones.

14. La distancia entre dos estaciones ferroviarias es de 96 km. El tren rápido recorre este camino dos tercios más rápidamente que el tren ordinario. Halle la velocidad de cada tren, si se sabe que la diferencia entre sus velocidades es de 12 km/h.

15. Si usted quiere exportar un cierto producto y desea saber que dimensiones debe tener una caja cuyo volumen es 1500cm3, sabiendo que debe tener 5 cm de altura y de ancho cinco cm. más que de largo. Calcular la longitud y la anchura.

V. RESUELVE:

16. 17. x4 − 10x2 + 9 = 0

18. 19. x4 − 61x2 + 900 = 0 20. x4 − 25x2 + 144 = 0 21. x4 − 16x2 − 225 = 0

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