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Universidad Católica de Santa María de ArequipaFacultad de Ciencias e Ingenierías Físicas y Formales
27/03/2015Ing. Christiam G. Collado Oporto
UNIVERSIDAD CATÓLICA DE SANTA MARÍAUNIVERSIDAD CATÓLICA DE SANTA MARÍAUNIVERSIDAD CATÓLICA DE SANTA MARÍAUNIVERSIDAD CATÓLICA DE SANTA MARÍA
FACULTAD:FACULTAD:FACULTAD:FACULTAD:Ciencias e Ingenierías Físicas y Formales.
PROGRAMA PROFESIONAL:PROGRAMA PROFESIONAL:PROGRAMA PROFESIONAL:PROGRAMA PROFESIONAL:Ingeniería Mecánica, Mecánica-Eléctrica
y Mecatrónica
SISTEMAS AUTOMÁTICOS DE CONTROLSISTEMAS AUTOMÁTICOS DE CONTROLSISTEMAS AUTOMÁTICOS DE CONTROLSISTEMAS AUTOMÁTICOS DE CONTROL
Ing. Christiam G. Collado Oporto
Arequipa – Perú 2015
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Agenda
� Conceptos fundamentales
� Modelos matemáticos
� El espacio de estados
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ConceptosFundamentales
4
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Los sistemas automáticos surgen por la necesidad del hombre de mejorar su estándar de vida y de que algunas tareas sean realizadas en forma automática , es decir no requieran intervención directa del hombre.
Proceso Sistema
Control
Planta
Definiciones
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Conjunto de fases consecutivas en un fenómeno natural, en un área o en una actividad, que tiene cambios de estado de acuerdo a condiciones dadas. Ejemplo: procesos eléctricos, mecánicos, de manufactura, de alimentos, de energía, de hidrocarburos, de transporte, de comunicaciones, entre otros.
Proceso:
Fabrica de Manufactura
Planta:Conjunto de equipos o elementos de maquinas que actúan juntos con el propósito de realizar una operación en particular. Ejemplo: plantas eléctricas, de gas, químicas, hidroeléctricas, de energía nuclear, de fabricación, entre otros.
Planta de Hidrocarburos
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Sistema:Conjunto de elementos y reglas que organizados e interrelacionados entre si,contribuyen a generar un resultado. Poseen características propias que los definen, que pueden ser constantes (parámetros del sistema ) y cambiantes en el tiempo (variables del sistema ) las cuales permiten determinar su comportamiento.
SISTEMAEntrada Salida
Elementos y ReglasControl:Estrategia que verifica lo que ocurre (realidad ) con respecto a lo que debería ocurrir (objetivo ) y de no existir concordancia se toman acciones para corregir la diferencia.
CONTROLObjetivo
AcciónRealidad
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Sistemas Automáticos de Control:
Sistemas que permiten que los procesos se ejecuten bajo ciertas condiciones corrigiendo desviaciones, a través de parámetros establecidos como referencia y aplicando diversos métodos y acciones de regulación para garantizar las condiciones deseadas y que se lleven a cabo sin la intervención humana
Mide el Nivel
TanqueAbre Válvula
Salida de Fluido
Regula el Nivel
Acelerador
VelocidadReal
VelocidadDeseada
Medidor
VehículoConductor Acción
Control de nivel en un tanque
Control de velocidad en un vehículo
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Proceso : Es el objeto o elemento a regular, es decir donde se aplicarán los cambios.
Variables:Variable Controlada: variable a mantener dentro de ciertas condiciones.Variable Manipulada: variable modificada intencionalmente para influir en la variable
controlada.Valor Deseado: valor de referencia al cual se quiere llevar la variable
controlada. Variable de Perturbación: variable que produce desviación entre la variable controlada y
el valor deseado.
Instrumentos:Medidor: elemento a través del cual se visualiza el comportamiento
de las variables.Controlador: dispositivo que permite evaluar las condiciones para emitir
las acciones de control.Actuador: dispositivo que ejecuta la acción de control directa sobre el
proceso.
Elementos básicos de un sistema de control
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Ejemplo de un sistema de control: Sistema de contro l de nivel
Tanque de Agua
Flotador
Proceso : Tanque
Variable controlada : Nivel Tanque
Variable manipulada : Flujo entrada
Valor deseado : Altura del tanque
Variable de perturbación : Filtración Medidor : Flotador
Actuador : Flotador
Controlador : Flotador
Proceso : Tanque
Variable controlada : Nivel Tanque
Variable manipulada : Flujo salida
Valor deseado : Altura del tanque
Variable de perturbación : Filtración
Medidor : Observador (persona) Actuador : Válvula Manual
Controlador : Operador (persona)
Tanque de Agua
Válvula
V-1
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Son representaciones graficas utilizadas para expresar a través de bloques las conexiones funcionales de los elementos del sistema de control.
Flechas : representan las variables controladas y no controladas (Señales).
Bloques : representan los elementos de control (medidores, controladores, proceso y demás dispositivos.
Comparadores : compara las señales del sistema, dando como resultado la adición o diferencia de señales. También se les dice puntos de suma o diferencia.
Los elementos utilizados para construir los diagramas de bloques son:
Diagramas de bloques de un sistema de control
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�Proceso : objeto en el cual se desea implementar el control�Variable Controlada : variable real del proceso que se va a controlar�Variable de Referencia : valor deseado para la variable a controlar�Medidor: mide el valor real de la variable controlada�Controlador: ejecuta el método y algoritmo para controlar�Actuador: realiza la acción directa sobre el proceso�Error: diferencia entre le valor real y el valor deseado de la variable controlada�Señal de Regulación: salida del controlador�Señal Regulada: salida del Actuador�Señal de Perturbación: variable no controlada que afecta al proceso�Señal Medida : salida del medidor
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Un contenedor con flujo constante de un cierto líquido va a regularse de tal forma que la temperatura de salida del mismo (T2), se mantenga constante. Dibuje un diagrama de bloques, de manera que muestre como funciona el sistema de control. La temperatura ambiental del líquido es T1.
RESISTENCIA DE CALENTAMIENTO AMPLIFICADOR
+ - +OPAMP
MEDIDOR DE TEMPERATURA
T1
T2
R
-
POTENCIOMETRO
Ejemplo:
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1. Control Manual
2. Control Automático
Interviene directamente la mano del hombre en la acción de control. Ejemplo: Válvula manual a la salida del tanque de riego.
No se requiere la intervención ni la supervisión del hombreEjemplo: Control de Temperatura del contenedor de agua caliente.
Es aquel en el que la salida no influye sobre la acción de control. Su esquema básico es:
3. Control a Lazo Abierto
SISTEMA DE REGULACION PROCESO, OBJETO
SALIDAENTRADA
Influencia
Señal de Regulación
Modos de control
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Se produce cuando la salida del sistema vuelve a ingresar al sistema para la acción de control. Este esquema se llama retroalimentación permite el control automático de un sistema.
SISTEMA DE REGULACION
SISTEMA, PROCESO, OBJETO
SALIDAENTRADA
Perturbaciones
Observación
Señal de Medición
Influencia
Señal de Regulación
4. Control a Lazo Cerrado
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Ejemplo:Diseñar un diagrama de bloques que muestre el sistema de control para los procesos de control denivel con y sin flotador, identificando los cuatro elementos básicos del control y las variablesprincipales (referencia, controlada, disturbio), así como el tipo de control.
Caso sin flotador: CONTROL MANUALA LAZO CERRADO
Caso con flotador: CONTROL AUTOMATICO
A LAZO CERRADO
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Ejemplo:Diseñar un diagrama de bloques que muestre el sistema de control para un aire acondicionado integral de una vivienda, identificando los cuatro elementos básicos del control y las variables principales (referencia, controlada, disturbio). Dibujar un diagrama a lazo abierto y otro a lazo cerrado
LAZO ABIERTO
LAZO CERRADO:
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Algebra de bloques
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El conjunto de reglas que permiten simplificar la estructura de un diagrama de bloques se denomina álgebra de bloques; debe indicarse que, al aplicar dichas reglas, el diagrama resultante es más simple, pero los nuevos bloques individuales son más complejos.
Características :� Es una representación gráfica del flujo de señales y de la función realizada por
cada componente de un sistema.� Refleja una característica unilateral (salida/entrada).� Dado un diagrama de bloques, el sistema al cual representa no es único, ya
que contiene información respecto a su comportamiento dinámico y no sobre su constitución interna.
� El diagrama de bloques de un sistema dado no es único (depende de la definición de variables internas); sin embargo, la función de transferencia resultante sí es única.
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� Bloques en serie:
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� Bloques en paralelo:
Propiedades:
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Transposición de sumadores y puntos de bifurcación
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Transposición de sumadores y puntos de bifurcación
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Sistemas de lazo cerrado:
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Reglas de simplificaciónDiagrama de
bloques
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G1 G2
E EG1 EG1G2
G1G2
E EG1G2
1. Agrupación en serie o 1. Agrupación en serie o 1. Agrupación en serie o 1. Agrupación en serie o en cascada:en cascada:en cascada:en cascada:
S= (G1�G2) � ES= (G1�G2) � ES= (G1�G2) � ES= (G1�G2) � E
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G1
G2
E EG1
EG2
EG1+ EG2
G1+G2
E EG1+EG2
2. Agrupación en 2. Agrupación en 2. Agrupación en 2. Agrupación en paralelo o en derivación paralelo o en derivación paralelo o en derivación paralelo o en derivación
S= (G1+G2) � ES= (G1+G2) � ES= (G1+G2) � ES= (G1+G2) � E
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SEG1
G2
SG
21
1
GG1
G
+
E
3. Bucle de 3. Bucle de 3. Bucle de 3. Bucle de RetroalimentaciónRetroalimentaciónRetroalimentaciónRetroalimentaciónNegativa:Negativa:Negativa:Negativa:
S = S = S = S = EEEE21
1
GG1
G
+
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SG
21
1
GG1
G
−
E
4. Bucle de 4. Bucle de 4. Bucle de 4. Bucle de RetroalimentaciónRetroalimentaciónRetroalimentaciónRetroalimentaciónPositiva:Positiva:Positiva:Positiva:
S = S = S = S = EEEE21
1
GG1
G
−
EG1
S
G2
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EG
S
SG
G1
G
+
E
5. Bucle de 5. Bucle de 5. Bucle de 5. Bucle de RetroalimentaciónRetroalimentaciónRetroalimentaciónRetroalimentaciónDirecta (unidad) Directa (unidad) Directa (unidad) Directa (unidad) negativa:negativa:negativa:negativa:
S = S = S = S = EEEEG1
G
+
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SG
G1
G
−
E
6.Bucle de 6.Bucle de 6.Bucle de 6.Bucle de RetroalimentaciónRetroalimentaciónRetroalimentaciónRetroalimentaciónDirecta (unidad) Directa (unidad) Directa (unidad) Directa (unidad) positiva:positiva:positiva:positiva:
S = S = S = S = EEEEG1
G
−
EG
S
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SG+1
G
E
7. Sumador paralelo:7. Sumador paralelo:7. Sumador paralelo:7. Sumador paralelo:
S = (G+1)� ES = (G+1)� ES = (G+1)� ES = (G+1)� E
E SG
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SG-1
G
E
8. Restador paralelo:8. Restador paralelo:8. Restador paralelo:8. Restador paralelo:
S = (GS = (GS = (GS = (G----1)� E1)� E1)� E1)� E
E SG
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B C
A A-B A-B+C
A A+C A-B+C
C B
9. Cambio de posición9. Cambio de posición9. Cambio de posición9. Cambio de posiciónde dos comparadores consecutivos
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GE EG
B
EG-B
EG
EG-B
BG
110. Trasposición de un sumador a la izquierdaizquierdaizquierdaizquierdade un bloque
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A
B
A-BG
AG-BG
AG
GB
AG-BGAG
BG11. Trasposición de un sumador a la derechaderechaderechaderechade un bloque
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AG
AG
AG
AG
AG
AGG
12. Trasponer una bifurcación bifurcación bifurcación bifurcación a la a la a la a la izquierda de un bloqueizquierda de un bloqueizquierda de un bloqueizquierda de un bloque
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AG
AG
A
AG
AG
AG
1
13.Trasponer una bifurcación bifurcación bifurcación bifurcación a la derecha a la derecha a la derecha a la derecha de un bloque de un bloque de un bloque de un bloque
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Ejemplos de simplificación
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EG1 G2 G3
S
Agrupación en serie
Ejemplo 1
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EG1 G2G3 S
Bucle de realimentación directa (unidad) negativa
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EG1
SG
32
32
GG1
GG
+
Agrupación en serie
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E SG
32
321
GG1
GGG
+
Bucle de realimentación directa (unidad) negativa
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E SG
32
321
32
321
GG1GGG
1
GG1GGG
++
+
Una vez simplificado el diagrama de bloques, sólo queda simplificar la
función de transferencia del bloque resultante
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32132
321
32
32132
32
321
32
321
32
321
GGGGG1
GGG
GG1GGGGG1
GG1GGG
GG1GGG
1
GG1GGG
++=
+++
+=
++
+
E SG
32132
321
GGGGG1
GGG
++
La simplificación del diagrama de bloques queda finalmente así:
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Ejemplo 2
1s
1
+ s
1)2s(K +
2s
1
+
2s
1
+
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E S1s
1
+ s
1)2s(K +
2s
1
+
2s
1
+
Agrupación en serie
)1s(s
)2s(K
++
2s
1
+
2s
1
+
E S
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)1s(s
)2s(K
++
2s
1
+
2s
1
+
SE
Según la trasposición de un bloque a la izquierda de un nudo
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Según la trasposición de un bloque a la izquierda de un nudo
)1s(s
)2s(K
++
2s
1
+
2s
1
+ 2s11
+
SE
Agrupación en serie. Se multiplican las funciones y, en este caso, sale 1
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)1s(s
)2s(K
++
2s
1
+
S
Agrupación en serie
)1s(s
K
+
SE
E
Retroalimentación negativa (unidad)
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E
)1s(sK
1
)1s(sK
++
+
S
)1s(sK
Kndosimplifica
)1s(sK
1
)1s(sK
++==
++
+
E
)1s(sK
K
++
S
Retroalimentación negativa (unidad)
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K2ss
Kndosimplifica
)1s(sKK
1
)1s(sKK
2 ++==
+++
++
E S
)1s(sKK
1
)1s(sKK
+++
++
E S
K2ss
K2 ++
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Ejemplo: Halle la FT del sistema de control:
51
Solución:
Desplazamos el punto de suma del lazo negativo de realimentación que contiene H2 fuera del lazo positivo de realimentación que contiene a H1:
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Eliminamos el lazo de realimentación positiva:
Eliminamos el lazo que contiene el bloque H2 / G1:
Finalmente eliminamos el lazo de realimentación:
G1G2
1 - G1G2H1
R C
+-
+-
G3
H2
G1
27/03/2015Ing. Christiam G. Collado Oporto 52
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53
Ejercicio: Halle la FT del sistema de control:
Solución:
27/03/2015Ing. Christiam G. Collado Oporto 53
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Modelos Matemáticos
54
27/03/2015Ing. Christiam G. Collado Oporto 54
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MODELO MATEMATICO
Es una expresión que permite representar el comportamiento de un proceso físico en funciónde las variables que intervienen en dicho proceso.La aplicación de las leyes que rigen los procesos generan modelos matemáticos basados enecuaciones diferenciales (E.D)
Modelo de un sistema lineal:
E.D. LINEALu(t) y(t)
u(t) � variable de estimulo o entrada
y(t) � variable de respuesta o salida
t � variable independiente: tiempo
E.D. Lineal: ���� ecuación diferencial lineal o de primer grado, don de la derivada de mayor orden tiene exponente igual a 1
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FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA
Es la relación que existe entre la variable de salida y la variable de entrada de lastransformadas de un Sistema Lineal, donde los valores iniciales son iguales a cero.
G(s)U(s) Y(s) Y(s)
G(s) = U(s)
Función de TransferenciaG(s)
Transformada al Dominio s de y(t)Y(s)
Transformada al Domino s de u(t)U(s)
Para realizar la transformación se utilizan las Transformadas de LAPLACE , con el propósitode simplificar los modelos matemáticos, convirtiendo las ecuaciones diferenciales enecuaciones algebraicas.
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Transformadas de LAPLACE:Sea f(t) una función continua en el tiempo t ≥ 0, la transformada de Laplace se define por:
L {f(t)} = F(s)donde L es el operador de Laplace y s es la variable de Laplace, siendo f(t) la función en eldominio del tiempo (t) y F(s) la función en el domino de Laplace (s).
L
L--1
Aplicación de la Transformada de Laplace
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ANALISIS DEL MODELO BASADO EN FUNCIÓN DE TRANSFEREN CIA
G(s)U(s) Y(s) Y(s)
G(s) = U(s)
Y(s) = U(s) . G(s)
U(s) es el estimulo de valor conocido e Y(s) es la respuesta del sistema en el dominio s, por lo queaplicando la antitransformada L-1 se puede obtener la respuesta real del sistema en el tiempo
L-1 { Y(s) } = L-1 { U(s) G(s) } = y(t) Respuesta real del sistema en el dominio real del tiempo
Para encontrar G(s), se aplican:- Funciones típicas de estimulo (Función Escalón)- Transformadas de Laplace de Funciones Básicas- Propiedades de las transformadas de Laplace
Según las Leyes Físicas que se apliquen, los proces os pueden ser:- Sistemas Eléctricos: resistencias, inductancias, capacitancias, leyes de Ohm, Kirchhoff.- Sistemas de Nivel: tanques válvulas, ley de balance de masas- Sistemas Mecánicos: masas, resortes, amortiguadores, leyes de newton- Otros sistemas: térmicos, químicos, velocidad, reactores, entre otros
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MODELOS MATEMÁTICOS DE ELEMENTOS DE SISTEMAS FISICO S
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TRANSFORMADAS, PROPIEDADES Y FUNCIONES TIPICAS DE E STIMULO EN SISTEMAS DE CONTROL
Transformadas de LAPLACE:
Funciones Típicas de Estimulo:
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Ejemplo: Determinar la FT del circuito, considerando como salida VC:
61
Solución:
Ecuaciones para Ve y Vs en función del tiempo:
Pasar al dominio de La Place:
Aplicar definición de FT:
Definir constante τ = R.C y reemplazar:
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62
Ejercicio: En el circuito anterior, determinar la FT considerando como
salida VR
Solución:
Para τ = R.C
27/03/2015Ing. Christiam G. Collado Oporto 62
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63
Ejercicio: En un circuito RL serie, determinar la FT considerando como
salida VL
Solución:
Para τ = L/R
Tarea: En un circuito RL serie, determinar la FT considerando como
salida VR
27/03/2015Ing. Christiam G. Collado Oporto 63
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64
Ejercicio: Para el circuito RLC serie, determinar la FT considerando como
salida VC
27/03/2015Ing. Christiam G. Collado Oporto 64
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El espacio de estados
65
27/03/2015Ing. Christiam G. Collado Oporto 65
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Control clásico y control moderno
� El control clásico usa el concepto de función de transferencia. Se realiza el
análisis y diseño en el dominio complejo y/o de la frecuencia.
� La tendencia actual en la ingeniería es hacia una mayor complejidad,
debido a los requerimientos de tareas complejas y de buena precisión.
� Los sistemas complejos pueden tener múltiples entradas y múltiples
salidas, ser variables en el tiempo y ser lineales o no lineales.
� Para afrontar ello se aplica un nuevo procedimiento para el análisis y
diseño de sistemas de control complejos basado en el concepto de estado
y que ha dado lugar a la teoría de control moderna. Esta teoría usa el
análisis vectorial-matricial además de que el análisis y diseño se realizan
en el dominio del tiempo
66
27/03/2015Ing. Christiam G. Collado Oporto 66
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Método del espacio de estados
67
� Estado:
El estado de un Sistema dinámico es el conjunto mas pequeño de variables
(denominadas variables de estado) tal que el conocimiento de estas variables
en t = t0,
junto con el conocimiento de la entrada para t ≥ t0
determinan
completamente el comportamiento del sistema en cualquier tiempo t ≥ t0.
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Método del espacio de estados
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� Variables de Estado:
Las variables de estado de un sistema dinámico son las variables que
constituyen el conjunto mas pequeño de variables de estado.
Se requieren al menos n variables x1 , x2, …, xn para describir completamente el
comportamiento dinámico del sistema de orden n. Estas son las n variables de
estado.
Conocidas estas variables n variables en el instante de tiempo inicial y las
evoluciones de las entradas para tiempos t ≥ t0 , el estado futuro del sistema
queda completamente determinado. Es importante aclarar que las variables de
estado pueden ser medibles o no, que representen magnitudes físicas o solo
matemáticas. Pero deben ser las mínimas n ( equivalentes a los n elementos de almacenamiento
de energía hablando de sistemas dinámicos físicos para un sistema de orden n).
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Método del espacio de estados
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� Espacio de estado
El espacio de n-dimensiones cuyos ejes coordenados consisten en el eje x1 , el
eje x2 , … , el eje xn , se denomina Espacio de Estado. Cualquier estado se
puede representar por un punto en el espacio de estado.
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Método del espacio de estados
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� Ecuaciones en el espacio de estado:
Para la representación del modelo dinámico de sistemas en el espacio de
estado se usan tres tipos de variables.
� Las variables de entradas,
� las variables de salida
� las variables de estado.
La ventaja del uso en representación en espacio estado es que éste puede en
su modelado representar sistemas tanto continuos como discretos, lineales o
no lineales variables o invariantes en el tiempo y generalmente usados en
notación matricial.
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�u: vector que contiene cada una de las p entradas al sistema,
�y: vector que contiene cada una de las q salidas del sistema,
�x: vector que contiene cada una de las n variables de estado del sistema
Esto es:
Ecuaciones de Espacio de Estado:
Las ecuaciones son de primer orden y operan sobre los vectores de estado y tienen la
forma:
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Las ecuaciones anteriores pueden linealizarse en el entorno del punto de
operación lo que da lugar a:
ecuación de estado del sistema
ecuación de salida
Donde:
U: Vector entrada (también denominado de control) de dimensión
A: Matriz de estado del orden nxn
B: Matriz de entrada del orden pxn
C: Matriz de salida del orden qxn
D: Matriz de transmisión directa qxn
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siendo x’ el vector derivada en el tiempo de las variables de estado de dimensión n
por uno ( Columna)
siendo y el vector de salida de dimensión q por uno ( columna)
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Si se considera para cada par entrada_salida se tendrá una función de trasferencia,
las que se pueden obtener si se aplica Transformada de Laplace y considerando
condiciones iniciales nulas.
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A las ecuaciones anteriores se les puede aplicar la transformada de Laplace
y relacionarlas entre sí, de modo que se pueda obtener la función de
transferencia:
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Ejemplo: Hallar las matrices de estado del circuito considerando como salidas
vR e iL:
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Solución:
Aplicando Kirchoff:
Definiendo las variables de estado iL y vc y considerando que:
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Podemos expresar las ecuaciones que describen el comportamiento del circuito, es
decir, las ecuaciones de estado:
En forma matricial:
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Como se requiere las variables vR(t) e iL(t) entonces se consideran como variables de
salida por lo que podemos expresar en forma matricial:
Las dos matrices conforman las ecuaciones del circuito, que son de la forma:
En donde:
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Pudiéndose obtener las matrices:
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Ejemplo: Obtener la FT para el sistema definido por las ecuaciones de estado:
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Solución:
Podemos extraer los valores de las matrices:
Considerando la ecuación:
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Donde I es la matriz identidad, entonces:
Resolviendo la inversa de la matriz:
Operando:
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Tarea: Usando el espacio de estados, determinar la FT del circuito RC serie
considerando como salida, primero VC y luego VR
Similarmente halle la FT del circuito RL serie.
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