Ejercicios Clases Estadistica Aplicada

8/17/2019 Ejercicios Clases Estadistica Aplicada

1/25

Dos sucesos son independientes entre sí, si la ocurrencia de uno de

ellos no afecta para nada a la ocurrencia del otro:

Ejemplo: el suceso estatura de los alumnos de una clase y el color delpelo son independientes: el que un alumno sea más o menos alto no va

a influir en el color de su cabello, ni viceversa.

Para que dos sucesos sean independientes tienen que verificar al menos

una de las siguientes condiciones:

P (B/A) = P (B) es decir, que la probabilidad de que se de el suceso B,

condicionada a que previamente se haya dado el suceso A, es

eactamente igual a la probabilidad de B.

Ejemplo: la probabilidad de que al tirar una moneda salga cara !suceso

B", condicionada a que haga buen tiempo !suceso A", es igual a la

propia probabilidad del suceso B.

P (A/B) = P (A) es decir, que la probabilidad de que se de el suceso A,

condicionada a que previamente se haya dado el suceso B, es

eactamente igual a la probabilidad de A.

Ejemplo: la probabilidad de que haga buen tiempo !suceso A",

condicionada a que al tirar una moneda salga cara !suceso B", es igual a

la propia probabilidad del suceso A.

P (A # B) = P (A) * P (B) es decir, que la probabilidad de que se de el

suceso con$unto A y B es eactamente igual a la probabilidad del suceso

A multiplicada por la probabilidad del suceso B.


2/25

Ejemplo: la probabilidad de que haga buen tiempo !suceso A" y salga

cara al tirar una moneda !suceso B", es igual a la probabilidad del

suceso A multiplicada por la probabilidad del suceso B

%i el suceso A es independiente del suceso B, entonces el suceso

Btambi&n es independiente del suceso A.

Ejemplo 1º: analicemos dos sucesos:

Suceso A: la probabilidad de que haga buen tiempo es del ',(

Suceso B: la probabilidad de tener un accidente es del ',)

Suceso intersección: la probabilidad de que haga buen tiempo y tener

un accidente es del ','*

+eamos si se cumple alguna de las condiciones sealadas:

P !B-A" P !A # B" - P !A" ','* - ',( ',/ !que no es igual a P !B""

P !A-B" P !A # B" - P !B" ','* - ',0 ',)11 !que no es igual a P

!A""

P !A # B" ','* !que no es igual a P !A" multiplicado por P !B""

Por lo tanto, no se cumple ninguna de las tres condiciones sealadas por

lo queestos dos sucesos no son independientes, sino que eiste

alg2n grado de dependencia entre ellos.

Ejemplo 2º: analicemos dos sucesos:

Suceso A: la probabilidad de que haga buen tiempo es del ',(

Suceso B: la probabilidad de salir cara al lan3ar una moneda es del ',4


3/25

Suceso intersección: la probabilidad de que haga buen tiempo y que

salga cara es ',/

+eamos si se cumple alguna de las condiciones sealadas:

P !B-A" P !A # B" - P !A" ',/ - ',( ',4 !igual que P !B""

P !A-B" P !A # B" - P !B" ',/ - ',0 ',( !igual que P !A""

P !A # B" ',/ !igual a P !A" multiplicado por P !B""

Por lo tanto, estos dos sucesos s son independientes.

Distribuci5n de Probabilidades 6Distribuciones discretas: Bernoulli

!istri"uciones discret#s $ continu#s

#as distri"uciones discret#s son aquellas en las que la variable puedepude tomar un n2mero determinado de valores:

Ejemplo: si se lan3a una moneda al aire puede salir cara o cru37 si setira un dado puede salir un n2mero de ) al 07 en una ruleta el n2meropuede tomar un valor del ) al 1/.

#as distri"uciones continu#s son aquellas que presentan un n2meroinfinito de posibles soluciones:

Ejemplo: 8l peso medio de los alumnos de una clase puede tomarinfinitos valores dentro de cierto intervalo !(/,19 g, (/,190( g,

(/,1904()g, etc"7 la esperan3a media de vida de una poblaci5n !9/,4aos, 9/,4)1 aos, 9/,4)/1( aos".

+amos a comen3ar por estudiar las principales distribuciones discretas.

http://www.aulafacil.com/cursos/l11239/ciencia/estadisticas/estadisticas/distribucion-de-probabilidades-distribuciones-discretas-bernouillihttp://www.aulafacil.com/cursos/l11239/ciencia/estadisticas/estadisticas/distribucion-de-probabilidades-distribuciones-discretas-bernouillihttp://www.aulafacil.com/cursos/l11239/ciencia/estadisticas/estadisticas/distribucion-de-probabilidades-distribuciones-discretas-bernouillihttp://www.aulafacil.com/cursos/l11239/ciencia/estadisticas/estadisticas/distribucion-de-probabilidades-distribuciones-discretas-bernouilli


4/25

!istri"uciones discret#s: Bernouilli

8s aquel modelo que sigue un eperimento que se reali3a una sola ve3 yque puede tener dos soluciones: acierto o fracaso:

;uando es #cierto la variable toma el %#lor 1

;uando es &r#c#so la variable toma el %#lor '

Ejemplo: Probabilidad de salir cara al lan3ar una moneda al aire !salecara o no sale"7 probabilidad de ser admitido en una universidad !o teadmiten o no te admiten"7 probabilidad de acertar una quiniela !oaciertas o no aciertas"

Al haber 2nicamente dos soluciones se trata de sucesoscomplement#rios:

A la probabilidad de &ito se le denomina p

A la probabilidad de fracaso se le denomina

+erificándose que:

p = 1

+eamos los ejemplos #nteriores :

Ejemplo 1: Probabilidad de salir cara al lan3ar una moneda al aire:

Probabilidad de que salga cara: p ',4

Probabilidad de que no salga cara: q ',4

p < q ',4 < ',4 )

Ejemplo 2: Probabilidad de ser admitido en la universidad:

Probabilidad de ser admitido: p ',/4


5/25

Probabilidad de no ser admitido: q ',94

p < q ',/4 < ',94 )

Ejemplo +: Probabilidad de acertar una quiniela:

Probabilidad de acertar: p ','''')

Probabilidad de no acertar: q ',=====

p < q ','''') < ',===== )

#as distri"ución "inomi#l parte de la distribuci5n de Bernouilli:

#a distri"ución de Bernouiili se aplica cuando se reali3a una sola ve3

un eperimento que tiene 2nicamente dos posibles resultados !&ito o

fracaso", por lo que la variable s5lo puede tomar dos valores: el ) y el '.

#a distri"ución "inomi#l se aplica cuando se reali3an un n2mero>n> de

veces el eperimento de Bernouiili, siendo cada ensayo independiente

del anterior. #a variable puede tomar valores entre:

': si todos los eperimentos han sido fracaso

n: si todos los eperimentos han sido &itos


6/25

Ejemplo: se tira una moneda )' veces: ?cuantas caras salen@ %i no ha

salido ninguna la variable toma el valor '7 si han salido dos caras la

variable toma el valor /7 si todas han sido cara la variable toma el valor

)'

#a distri"ución de pro"#"ilid#d de este tipo de distribuci5n sigue el

siguiente modelo:

?Alguien entiende esta f5rmula@ +amos a tratar de eplicarla con une$emplo:

Ejemplo 1: ?;uál es la probabilidad de obtener 0 caras al lan3ar una

moneda )' veces@

, es el n2mero de aciertos. 8n este e$emplo > > igual a 0 !en cada

acierto decíamos que la variable toma el valor ): como son 0 aciertos,

entonces 0"

n es el n2mero de ensayos. 8n nuestro e$emplo son )'

p es la probabilidad de &ito, es decir, que salga c#r# al lan3ar la

moneda. Por lo tanto p ',4

#a f5rmula quedaría:

#uego,


7/25

P (- = ) = '2'0

8s decir, se tiene una probabilidad del /',4 de obtener 0 caras al

lan3ar )' veces una moneda.

Ejemplo 2: ?;uál es la probabilidad de obtener cuatro veces el n2mero

1 al lan3ar un dado ocho veces@

, !n2mero de aciertos" toma el valor (

n toma el valor *

p !probabilidad de que salga un 1 al tirar el dado" es ) - 0 !

',)000"

#a f5rmula queda:

#uego,

P (- = ) = ''2

8s decir, se tiene una probabilidad del /,0 de obtener cuatro veces el

n2meros 1 al tirar un dado * veces.


8/25

Distribuciones discretas: Poisson

#as distri"ución de Poisson parte de la distribuci5n binomial:

;uando en una distribuci5n binomial se reali3a el eperimento unn2mero >n> muy elevado de veces y la probabilidad de &ito >p> en cadaensayo es reducida, entonces se aplica el modelo de distri"ución dePoisson:

%e tiene que cumplir que:

p ',)'

p * n )'

#a distri"ución de Poisson sigue el siguiente modelo:

+amos a eplicarla:

8l n2mero e es /,9)*/*

l n C p !es decir, el n2mero de veces > n > que se reali3a eleperimento multiplicado por la probabilidad > p > de &ito en cadaensayo"

, es el n2mero de &ito cuya probabilidad se está calculando

http://www.aulafacil.com/cursos/l11241/ciencia/estadisticas/estadisticas/distribuciones-discretas-poissonhttp://www.aulafacil.com/cursos/l11241/ciencia/estadisticas/estadisticas/distribuciones-discretas-poisson


9/25

+eamos un ejemplo:

#a probabilidad de tener un accidente de tráfico es de ','/ cada ve3 quese via$a, si se reali3an 1'' via$es, ?cual es la probabilidad de tener 1accidentes@

;omo la probabilidad > p > es menor que ',), y el producto > n C p > esmenor que )', entonces aplicamos el modelo de distribuci5n de Poisson.

#uego,

P ! 1" ','*=/

Por lo tanto, la probabilidad de tener 1 accidentes de tráfico en 1''via$es es del *,=

tro ejemplo:

#a probabilidad de que un nio na3ca pelirro$o es de ',')/. ?;uál es laprobabilidad de que entre *'' reci&n nacidos haya 4 pelirro$os@

#uego,

P ! 4" (,0'/

Por lo tanto, la probabilidad de que haya 4 pelirro$os entre *'' reciennacidos es del (,0.


10/25

Distribuciones discretas:

Eipergeom&trica#as distri"ución iper3eom4tric# es el modelo que se aplica eneperimentos del siguiente tipo:

8n una urna hay bolas de dos colores !blancas y negras", ?cuál es laprobabilidad de que al sacar / bolas las dos sean blancas@

%on eperimentos donde, al igual que en la distribuci5n binomial, encada ensayo hay tan s5lo dos posi"les result#dos: o sale blanca o nosale. Pero se diferencia de la distribuci5n binomial en que los distintosens#$os son dependientes entre sí:

%i en una urna con 4 bolas blancas y 1 negras en un primer ensayo sacouna bola blanca, en el segundo ensayo hay una bola blanca menos porlo que las probabilidades son diferentes !hay dependencia entre losdistintos ensayos".

#a distri"ución iper3eom4tric# sigue el siguiente modelo:

Donde:

http://www.aulafacil.com/cursos/l11242/ciencia/estadisticas/estadisticas/distribuciones-discretas-hipergeometricahttp://www.aulafacil.com/cursos/l11242/ciencia/estadisticas/estadisticas/distribuciones-discretas-hipergeometricahttp://www.aulafacil.com/cursos/l11242/ciencia/estadisticas/estadisticas/distribuciones-discretas-hipergeometricahttp://www.aulafacil.com/cursos/l11242/ciencia/estadisticas/estadisticas/distribuciones-discretas-hipergeometrica


11/25

+amos a tratar de eplicarlo:

5: es el n2mero total de bolas en la urna

51: es el n2mero total de bolas blancas52: es el n2mero total de bolas negras

,: es el n2mero de bolas blancas cuya probabilidad se está calculando

n: es el n2mero de ensayos que se reali3a

+eamos un ejemplo: en una urna hay 9 bolas blancas y 4 negras. %esacan ( bolas ?;uál es la probabilidad de que 1 sean blancas@

8ntonces:

F )/7 F) 97 F/ 47 17 n (

%i aplicamos el modelo:

Por lo tanto, P ! 1" ',1414. 8s decir, la probabilidad de sacar 1bolas blancas es del 14,1.

Pero este modelo no s5lo se utili3a con eperimentos con bolas, sino quetambi&n se aplica con eperimentos similares:


12/25

Ejemplo: en una fiesta hay /' personas: )( casadas y 0 solteras. %eeligen 1 personas al a3ar ?;uál es la probabilidad de que las 1 seansolteras@

Por lo tanto, P ! 1" ',')94. 8s decir, la probabilidad de que las 1

personas sean solteras es tan s5lo del ),94.

Distribuciones discretas: Gultinomial

#a distri"ución multinomi#l es similar a la distribuci5n binomial, conla diferencia de que en lugar de dos posibles resultados en cada ensayo,puede haber m2ltiples resultados:

Ejemplo de distri"ución "inomi#l: a unas elecciones se presentaron/ partidos políticos: el PP obtuvo un 9' de los votos y el H8H8 el1' restante. ?;uál es la probabilidad de que al elegir 4 ciudadanos ala3ar, ( de ellos hallan votado al H8H8@

Ejemplo de distri"ución multinomi#l: a esas elecciones sepresentaron ( partidos políticos: el PP obtuvo un (' de los votos, elH8H8 el 1', el GIGI el /' y el #A#A el )' restante. ?;uál es laprobabilidad de que al elegir 4 ciudadanos al a3ar, 1 hayan votado alPP, ) al GIGI y ) al #A#A@

#a distri"ución multinomi#l sigue el siguiente modelo:

Donde:

http://www.aulafacil.com/cursos/l11243/ciencia/estadisticas/estadisticas/distribuciones-discretas-multinomialhttp://www.aulafacil.com/cursos/l11243/ciencia/estadisticas/estadisticas/distribuciones-discretas-multinomial


13/25

61 = -1: indica que el suceso J) apare3ca ) veces !en el e$emplo, queel partido PP lo hayan votado 1 personas"

n: indica el n2mero de veces que se ha repetido el suceso !en ele$emplo, 4 veces"

n7: es factorial de n !en el e$emplo: 4 C ( C 1 C / C )"

p1: es la probabilidad del suceso J) !en el e$emplo, el ('"

+eamos el ejemplo:

#uego:

P = ''20

8s decir, que la probabilidad de que las 4 personas elegidas hayanvotado de esta manera es tan s5lo del /,40

Fota: 'K es igual a ), y cualquier n2mero elevado a ' es tambi&n igual a)

+eamos otro ejemplo:

8n una fiesta, el /' de los asistentes son espaoles, el 1' franceses,el (' italiano y el )' portugueses. 8n un pequeo grupo se hanreunido ( invitados: ?cual es la probabilidad de que / sean espaoles y

/ italianos@

Aplicamos el modelo:


14/25

#uego

P = ''+8

Por lo tanto, la probabilidad de que el grupo est& formado por personasde estos países es tan s5lo del 1,*(.

Distribuciones discretas:Gultihipergeom&trica

#a distri"ución multiiper3eom4tric# es similar a la distribuci5nhipergeom&trica, con la diferencia de que en la urna, en lugar de haber2nicamente bolas de dos colores, hay bolas de diferentes colores.

Ejemplo: en una urna hay 9 bolas blancas, 1 verdes y ( amarillas:?cuál es la probabilidad de que al etraer 1 bolas sea cada una de uncolor distinto@

#a distri"ución multiiper3eom4tric# sigue el siguiente modelo:

Donde:

61 = -1: indica que el suceso J) apare3ca ) veces !en el e$emplo, queuna de las bolas sea blanca"

51: indica el n2mero de bolas blancas que hay en la urna !en ele$emplo, 9 bolas"

5: es el n2mero total de bolas en la urna !en el e$emplo, )( bolas"

n: es el n2mero total de bolas que se etraen !en el e$emplo, 1 bolas"

http://www.aulafacil.com/cursos/l11244/ciencia/estadisticas/estadisticas/distribuciones-discretas-multihipergeometricahttp://www.aulafacil.com/cursos/l11244/ciencia/estadisticas/estadisticas/distribuciones-discretas-multihipergeometricahttp://www.aulafacil.com/cursos/l11244/ciencia/estadisticas/estadisticas/distribuciones-discretas-multihipergeometricahttp://www.aulafacil.com/cursos/l11244/ciencia/estadisticas/estadisticas/distribuciones-discretas-multihipergeometrica


15/25

+eamos el ejemplo:

#uego:

P = '2+'9

8s decir, que la probabilidad de sacar una bola de cada color es del/1,'9.


8n una ca$a de lápices hay )' de color amarillo, 1 de color a3ul y ( decolor ro$o. %e etraen 9 lápices, ?cual es la probabilidad de que 4 seanamarillos y / ro$os@

Aplicamos el modelo:

#uego

P = ''999

Por lo tanto, la probabilidad de que los 4 lápices sean de los coloresindicados es del 9,99.


16/25

Distribuciones continuas: Iniforme

#a distri"ución uni&orme es aquella que puede tomar cualquier valordentro de un intervalo, todos ellos con la misma probabilidad.

8s una distri"ución continu# porque puede tomar cualquier valor y no2nicamente un n2mero determinado !como ocurre en las distribucionesdiscretas".

Ejemplo: el precio medio del litro de gasolina durante el pr5imo aose estima que puede oscilar entre )(' y )0' ptas. Podría ser, por tanto,de )(1 ptas., o de )(1,( ptas., o de )(1,(4 ptas., o de )(1,(44 ptas,

etc. Eay infinitas posibilidades, todas ellas con la misma probabilidad.

%u &unción de densid#d aquella que nos permite conocer laprobabilidad que tiene cada punto del intervalo, viene definida por:

Donde:

": es el etremo superior !en el e$emplo, )0' ptas."

#: es el etremo inferior !en el e$emplo, )(' ptas."

Por lo tanto, la funci5n de distribuci5n del ejemplo sería:

8s decir, que el valor final est& entre )(' ptas. y )() ptas. tiene un 4de probabilidad, que est& entre )() y )(/, otro 4, etc.

8l valor medio de esta distribuci5n se calcula:

http://www.aulafacil.com/cursos/l11245/ciencia/estadisticas/estadisticas/distribuciones-continuas-uniformehttp://www.aulafacil.com/cursos/l11245/ciencia/estadisticas/estadisticas/distribuciones-continuas-uniforme


17/25

8n el e$emplo:

Por lo tanto, el precio medio esperado de la gasolina para el pr5imoao es de )4' ptas.


8l volumen de precipitaciones estimado para el pr5imo ao en la ciudadde %evilla va a oscilar entre ('' y 4'' litros por metro cuadrado.;alcular la funci5n de distribuci5n y la precipitaci5n media esperada:

8s decir, que el volumen de precipitaciones est& entre ('' y (') litrostiene un ) de probabilidades7 que est& entre (') y ('/ litros, otro), etc.

8l valor medio esperado es:

8s decir, la precipitaci5n media estimada en %evilla para el pr5imo aoes de (4' litros.


18/25

5) DISTRIBUCIÓN DE POISSON. Características:En este tipo de experientos !os "xitos #$scados son expresados por $nidadde %rea& tiepo& pie'a& etc& etc&:

( de de*ectos de $na te!a por +( de a,iones -$e aterri'an en $n aerop$erto por día& ora& in$to& etc& etc.( de #acterias por c+ de c$!ti,o( de !!aadas te!e*/nicas a $n con$tador por ora& in$to& etc& etc.( de !!e0adas de e#arcaciones a $n p$erto por día& es& etc& etc.Para deterinar !a pro#a#i!idad de -$e oc$rran x "xitos por $nidad detiepo& %rea& o prod$cto& !a */r$!a a $ti!i'ar sería:

donde:p1 x & ) 2 pro#a#i!idad de -$e oc$rran x "xitos& c$ando e! n3ero proediode oc$rrencia de e!!os es

2 edia o proedio de "xitos por $nidad de tiepo& %rea o prod$cto

2 +.46 x 2 ,aria#!e -$e nos denota e! n3ero de "xitos -$e se desea -$e oc$rra 7a8 -$e acer notar -$e en esta distri#$ci/n e! n3ero de "xitos -$eoc$rren por $nidad de tiepo& %rea o prod$cto es tota!ente a! a'ar 8 -$ecada inter,a!o de tiepo es independiente de otro inter,a!o dado& así coocada %rea es independiente de otra %rea dada 8 cada prod$cto esindependiente de otro prod$cto dado. E9ep!os:

1. Si $n #anco reci#e en proedio ce-$es sin *ondo por día& ;c$%!es son !aspro#a#i!idades de -$e reci#a& a) c$atro ce-$es sin *ondo en $n día dado& #) <ce-$es sin *ondos en c$a!-$iera de dos días consec$ti,os=

So!$ci/n:a)

x 2 ,aria#!e -$e nos de*ine e! n3ero de ce-$es sin *ondo -$e

!!e0an a! #anco en $n día c$a!-$iera 2 & .....& etc.& etc.

2 ce-$es sin *ondo por día

2 +.46


19/25

#)x2 ,aria#!e -$e nos de*ine e! n3ero de ce-$es sin *ondo -$e!!e0an a! #anco en dos días consec$ti,os 2 & ......& etc.& etc.

2 x + 2 + ce-$es sin *ondo en proedio -$e !!e0an a! #ancoen dos días consec$ti,osNota: siepre de#e de estar en *$nci/n de x siepre o dico deotra *ora& de#e ?a#!ar@ de !o iso -$e x.

2. En !a inspecci/n de o9a!ata prod$cida por $n proceso e!ectro!ítico contin$o& seidenti*ican in$tos& #) a! enosdos iper*ecciones en 5 in$tos& c) c$ando %s $na iper*ecci/n en 5in$tos.

So!$ci/n:a) x 2 ,aria#!e -$e nos de*ine e! n3ero de iper*ecciones en !a

o9a!ata por cada > in$tos 2 & ....& etc.& etc.

2 2 in$tos en!a o9a!ata

#)

x 2 ,aria#!e -$e nos de*ine e! n3ero de iper*ecciones en !ao9a!ata por cada 5 in$tos 2 & ....& etc.& etc.

2


20/25

2(14A64A6) 2


21/25


22/25


23/25


24/25


25/25

Ejercicios Clases Estadistica Aplicada

Documents

Transcript of Ejercicios Clases Estadistica Aplicada