Estadística I-03

Ms. Ylder Heli Vargas Alva

Universidad

Católica de

Trujillo

BENEDICTO XVI

Estadística IMedidas de Resumen.

• Medidas de Tendencia Central: Media, mediana, moda, media

geométrica, cuartiles y percentiles.

Ms. Ylder Helí Vargas Alva

[email protected]


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Católica de

Trujillo

BENEDICTO XVIObjetivos

Al finalizar la clase deberían saber :

o Calcular la media aritmética, la mediana y las moda.

o Explicar las características, empleo, ventajas y desventajas de

cada promedio.

o Identificar la posición de la media aritmética, la mediana, la

moda, tanto para distribuciones simétricas como asimétricas o

sesgadas.


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BENEDICTO XVIMEDIDAS DE RESUMEN

¿Por qué resumir?

Para simplificar la comprensión y la comunicación de los datos.

Las medidas resúmenes son útiles para comparar conjuntos de datos

cuantitativos y para presentar los resultados de un estudio y se clasifican

en:

Medidas de tendencia central posición o localización ⇒ Una medida

de posición es un número que pretende indicar dónde se encuentra el

centro de la distribución de un conjunto de datos. Son: Media aritmética,

mediana, moda, media geométrica, cuartiles y percentiles

Medidas de dispersión o escala ⇒ Describen cuán cercanos se

encuentran los datos entre ellos, o cuán cerca se encuentran de alguna

medida de posición. Son: Varianza, desviación estándar y coeficiente de

variación.

Medidas de Asimetría ⇒ Miden la mayor o menor simetría de la

distribución. asimetría y apuntamiento.


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BENEDICTO XVIMEDIDAS DE RESUMEN

MEDIDAS DE POSICIÓN:

Una medida de posición es un número que pretende indicar dónde

se encuentra el centro de la distribución de un conjunto de datos.

Media aritmética

Mediana

Moda

Media Geométrica

Cuartiles

Percentiles


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BENEDICTO XVIMEDIA ARITMETICA

Datos Agrupados:

x: Media Aritmética

Xi :Marca de Clase o i-ésimo valor observado

k : N° de clases

fi : Frecuencia absoluta de la clase i

n : Tamaño de la muestra

nx

k

iii fx

1

*

La media aritmética es la clase que determina el centro de gravedad

de un conjunto de datos, es decir es el valor más representativo


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Cuadro Nº 03

Ingreso mensual promedio de las familias del Distrito de Moche.

li ls

1 320 - 413 366,50 4 1.466,00

2 413 - 506 459,50 5 2.297,50

3 506 - 599 552,50 6 3.315,00

4 599 - 692 645,50 11 7.100,50

5 692 - 785 738,50 15 11.077,50

6 785 - 878 831,50 5 4.157,50

7 878 - 971 924,50 4 3.698,00

50 33.112,00

x= 662,24

Intervalos xi fi xifi

Fuente: Encuestada realizada por empresa xxxxx xxx

Datos Agrupados:


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BENEDICTO XVI

En la Empresa Industrialito S.A., se realizaron estudios

respecto al tiempo que demora cada una de las máquinas en

producir cierto producto. Los valores se tabularon en una

distribución de frecuencias de 6 intervalos de igual amplitud.

Si se tienen marcas de clase: m2 = 40 y m4 = 80, Frecuencias:

h1 = h6; h3 = h5; h4 = 0,25; h2 = h4 - h1; h3 = h1+0,10 y F6 =60.

• Elaborar el cuadro de distribución de frecuencias

• Interpretar h1; h3; H5; F6.

• Hallar la media aritmética, la mediana y la moda


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BENEDICTO XVI


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BENEDICTO XVI

Datos NO Agrupados:

MEDIA ARITMETICA

nx

n

iix

1

x : Media Aritmética

n : Tamaño de la Muestra

xi : i-ésimo valor observado


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BENEDICTO XVI

Datos NO Agrupados:

Se ha efectuado la medición de cuanto demora la atención a los

clientes en un Supermercado. Se ha tomado una muestra de 10

clientes y los resultados obtenidos son :

Calcular el promedio de las atenciones.

MEDIA ARITMETICA


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BENEDICTO XVI

Datos NO Agrupados:

Se ha efectuado la medición de cuanto demora la atención a los

clientes en un Supermercado. Se ha tomado una muestra de 10

clientes y los resultados obtenidos son :

MEDIA ARITMETICA


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BENEDICTO XVI

Media de una Población

MEDIA ARITMETICA


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BENEDICTO XVIMEDIA ARITMÉTICA - PROPIEDADES


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BENEDICTO XVILA MEDIANA

Es la medida de tendencia central que corresponde al valor de la variable

que divide a la frecuencia total en dos partes iguales .

Me

a) MEDIANA DE DATOS NO AGRUPADOS

En este caso se procede de la siguiente manera :

1º Se ordena el conjunto de valores en orden creciente

2º Se halla el valor que ocupa la posición media

3º Si el número es impar, el valor central es la mediana

4º Si el número es par, el promedio de los dos centrales es la mediana


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BENEDICTO XVI

Datos NO Agrupados:

Ejemplo:

LA MEDIANA


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BENEDICTO XVI

Datos Agrupados:

LA MEDIANA

Donde :

li : limite inferior del intervalo de la clase que contiene a la Me

c : Tamaño del intervalo de clase (amplitud del intervalo)

n : Total de frecuencias absolutas (numero de datos)

Fi-1 : Frecuencia absoluta acumulada anterior a la clase que contiene a la Me

fi : frecuencia absoluta de la clase que contiene a la Me

f

Fl

i

i

i

n

cMe12*


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Ejemplo :

La gerencia de mercadeo de un

Hotel ha decidido realizar un

estudio acerca de la edad

promedio de los clientes del

Café Bar “El Sol”. Se ha elegido

una muestra de 300 clientes

recogida durante todo un mes

típico . Aplicada la encuesta se

han obtenido los siguientes

resultados :

Datos Agrupados:


Universidad

Católica de

Trujillo


Ejemplo :

La gerencia de mercadeo de un

Hotel ha decidido realizar un

estudio acerca de la edad

promedio de los clientes del

Café Bar “El Sol”. Se ha elegido

una muestra de 300 clientes

recogida durante todo un mes

típico . Aplicada la encuesta se

han obtenido los siguientes

resultados :

Datos Agrupados:

El valor de n/2 es = 300/2 = 150, este valor se encuentra ubicado en el 6º intervalo

El 50% de los asistentes al Café Bar “El Sol” está en el

intervalo de 19 a 39.55 años y el 50% restante está en el

intervalo de 39.55 a 55 años.


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BENEDICTO XVI

Datos agrupados:

LA MODA

Es la medida de tendencia central que corresponde al valor de la clase cuya

frecuencia es la que más repite (fi mayor).

Donde :

li : limite inferior del intervalo de la clase que contiene a la Moda

c : Tamaño del intervalo de clase (amplitud)

n : Total de frecuencias absolutas (Tamaño de la muestra)

fi+1 : Frecuencia absoluta posterior a la clase que contiene a la Moda

fi-1 : frecuencia absoluta anterior de la clase que contiene a la Moda

ff

fl

ii

i

icMo

11

1*


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BENEDICTO XVI

Datos agrupados:

LA MODA

Ejemplo :

La gerencia de mercadeo de un Hotel ha

decidido realizar un estudio acerca de la

edad más frecuente de los clientes del Café

Bar “El Sol”. Se ha elegido una muestra de

300 clientes recogida durante todo un mes

típico . Aplicada la encuesta se han obtenido

los siguientes resultados :


Universidad

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Trujillo

BENEDICTO XVI

Datos agrupados:

LA MODA

ff

fl

ii

i

icMo

11

1*

Ejemplo :

La gerencia de mercadeo de un Hotel ha

decidido realizar un estudio acerca de la

edad más frecuente de los clientes del Café

Bar “El Sol”. Se ha elegido una muestra de

300 clientes recogida durante todo un mes

típico . Aplicada la encuesta se han obtenido

los siguientes resultados :

La frecuencia mayor se encuentra ubicada en el 5º intervalo = 67 clientes

La edad más frecuente de los asistentes al

Café Bar “ El Sol ” es de 37.19 años.


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BENEDICTO XVI

Datos NO Agrupados:

Es el valor que ocurre con mayor frecuencia: el valor más

común.

• Puede que no exista moda.

• Puede que exista más de un valor Modal

LA MODA


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BENEDICTO XVILA MODA


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BENEDICTO XVI

Relación empírica entre Media, Mediana y Moda :

x=Me=Mo x Me Mo Mo Me x

Simetrica Asimétrica a la Derecha Asimétrica a la Izquierda


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BENEDICTO XVI

Relación empírica entre Media, Mediana y Moda :

La asimetría también se puede calcular de la siguiente, manera :

x=Me=Mo x Me Mo Mo Me x

Simetría Asimétrica a la Derecha Asimétrica a la Izquierda

Me


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BENEDICTO XVI

0,0000

0,0500

0,1000

0,1500

0,2000

0,2500

0,3000

0,3500

0,4000

0,4500

0,5000

4 5 6 70 1 2 3

Q1 Q2 Q3 Q4

Moda

Media

Aritmética

Mediana

Rango

Medidas de Tendencia


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BENEDICTO XVI

En muchas ocasiones los valores de la distribución no son de naturaleza

propiamente aditiva como ocurre en los casos de los números índices o

porcentajes que representan la evolución de una característica con

respecto al valor que tiene en un periodo o situación que llamamos

base.

Cuando se desea obtener promedios de magnitudes tales como tipos de

interés, tasas, porcentajes, números índices, etc., la media aritmética

pierde la propiedad de tener un claro significado ya que la suma de

dichas magnitudes no representa un total de recursos como en las

magnitudes de naturaleza aditiva. En estos casos debe de emplearse la

media geométrica como la medida de posición central mas

representativa cuando la variable presenta variaciones acumulativas.

LA MEDIA GEOMÉTRICA


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BENEDICTO XVI

La media geométrica es otro estadígrafo de

tendencia central, pero de poca utilización. El

cálculo de la media geométrica se puede

hacer en datos con frecuencia y datos sin

frecuencias

Datos sin Frecuencias

Media geométrica

Intervalos Cerrados

Datos Con Frecuencias

Inter. Cerrados / Abiertos

MEDIA GEOMÉTRICA I


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BENEDICTO XVI

Para el cálculo de la media geométrica

sin frecuencias se aplica la siguientes

expresión:

nn321 x ·.......·· ·x xxG

MEDIA GEOMÉTRICA II


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BENEDICTO XVI

30

34

11

13

3

7

Su media geométrica

sería:

Si los datos fueran los siguientes:

MEDIA GEOMÉTRICA III

11,267 · 2 · 13 ·11· 43 ·03 6 G


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BENEDICTO XVIMedia Geométrica IV

Para datos en tablas Frecuencias

fi ni

30 2

34 4

11 5

13 6

2 3

7 4

)n Log f ...........n Log f n (1

kk2211 LogfN

G

Se aplica la

siguiente

expresión:

1,05 7313113430 G 24 426542


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BENEDICTO XVIMedia Geométrica V

Para intervalos

cerrados, se considera la

marca de clase de cada

intervalo por su

frecuencia absoluta.

Intervalos Cerrados xi ni

60 64 62 30

64 68 66 34

68 72 70 11

72 76 74 13

76 80 78 3

80 84 82 7

La media Geométrica se calculará con el valor

de la Marca de clase de los intervalos

multiplicados con la frecuencias absoluta.

1,178 827874706662G 98 7313113430


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BENEDICTO XVI

Se llaman cuantiles de orden k a aquellas que dividen a la distribución

en k partes, de tal forma que en cada una de esas partes haya el mismo

número de elementos.

De entre todas las medidas de posición destacan los Cuartiles, los

deciles y los percentiles.

Los cuartiles dividen a la distribución en cuatro partes iguales,

Los deciles en diez y

Los percentiles en cien.

Habrá, por tanto:

Tres (3) cuartiles: Q1, Q2, Q3

Nueve (9) deciles: D1, D2, D3, … , D8,D9 y,

Noventa y nueve percentiles (99) :P1, P2, P3, … ,P99.

El 2º cuartil, el 5º decil y el 50º percentil son iguales y coinciden con la

mediana.

CUANTILES


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BENEDICTO XVICUANTILES


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BENEDICTO XVICUARTILES

a) Q1 = 1 (N/4)

El valor obtenido al realizar el cálculo en una serie de datos nos proporciona el valor que

representa el 25 % de esa serie de datos. También, nos indica que el 25% de de la serie de

datos está bajo él y sobre él, se encuentra el 75% de los datos de la serie.

b) Q2 = 2 (N/4)

Para el cuartil 2, se tiene como caso especial, primero porque su valor representa la mitad de la serie

de datos, igual que la mediana. Segundo, bajo esté valor se encuentra el 50% de la serie de datos y

tercero, sobre ese valor calculado se encuentra el otro 50% de la serie de datos.

c) Q3 = 3 (N/4)

El cuartil 3, nos indica que el valor obtenido representa bajo sí el 75 % de la distribución de los datos

y sobre sí, se encuentra el 25 % de la distribución de datos.

d) Q4 = 4 (N/4)

El cuartil 4, nos indica que el valor obtenido tiene bajo sí el 100% de la distribución de datos. Por lo

general no se calcula, ya que es un hecho que el último valor de la distribución él lo representa


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BENEDICTO XVICUARTILES


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BENEDICTO XVI


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BENEDICTO XVI

Datos NO Agrupados:

En este caso el cálculo es idéntico al de la mediana, siendo ahora (rn/k) el

valor de discusión.

Se procede de la siguiente manera :

1º Se ordena el conjunto de valores en orden creciente

2º Se halla el valor que ocupa la posición (rn/k)

r: Número de cuartil, decil o percentil a hallar.

k: 4 para cuartiles, 10 para deciles y 100 para percentiles.

n: Número de datos (elementos de la muestra)

Si (rn/k) no es entero, se redondea. El valor entero inmediato mayor que (rn/k) indica la

posición del k-ésimo cuantil.

Si (rn/k) es entero, el k-ésimo percentil es el promedio de los valores de los datos ubicados

en los lugares (rn/k) e (rn/k) +1.

CUANTILES


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1. En 20 pruebas de evaporación, de la

sustancia MW008, se registran las

siguientes variaciones de temperaturas

a presión atmosférica: 41°, 50°, 29°,

33°, 40°, 42°, 53°, 35°, 28°, 39°, 37°,

43°, 34°, 31°, 44°, 57°, 32°, 45°, 46°,

48°.


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Calculando el valor del cuartil 1:

Paso 1: Ordenar los datos de menor a mayor.

28°, 29°, 31°, 32°, 33°, 34°, 35°, 37°, 39°, 40°, 41°, 42°, 43°, 44°, 45°, 46°, 48°, 50°, 53°, 57°.

Paso 2: Ubicar la posición del valor que le corresponde al Q1:

Q1 = k (N/4) = 1 (20/4) = 1(5) = 5

Al revisar la serie de datos la posición 5 le corresponde a 33°

Paso 3: El valor para el Q1 es 33°

Nos dice: que los valores entre 28° y 33° representan el 25 % de la serie de datos.


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Católica de

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28°, 29°, 31°, 32°, 33°, 34°, 35°, 37°, 39°, 40°, 41°, 42°, 43°, 44°, 45°, 46°, 48°, 50°, 53°, 57°.


Q2 = k (N/4) = 2 (20/4) = 2 (5) = 10



Nos dice: que la temperatura que deja bajo si el 50 % de la serie de datos es 40°.


Universidad

Católica de

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28°, 29°, 31°, 32°, 33°, 34°, 35°, 37°, 39°, 40°, 41°, 42°, 43°, 44°, 45°, 46°, 48°, 50°, 53°, 57°.


Q3 = k(N/4) = 3 (20/4) = 3 (5) = 15



Nos dice: que los valores entre 28° y 45 representan el 75 % de la serie de datos.


Universidad

Católica de

Trujillo




28°, 29°, 31°, 32°, 33°, 34°, 35°, 37°, 39°, 40°, 41°, 42°, 43°, 44°, 45°, 46°, 48°, 50°, 53°, 57°.


Q4 = k (N/4) = 4(20/4) = 4(5) = 20



Nos dice: la temperatura que deja bajo si el 100 % de la serie de datos es 57°.


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BENEDICTO XVI

Ejemplo

Se ha realizado una encuesta a 10 estudiantes de la UCT respecto a su edad.

CUANTILES

Para esto, primero ordenamos:

Encontrar los cuartiles 1,2, y 3

x 23 19 24 18 19 22 21 24 20 20 26 22

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

x 18 19 19 20 20 21 22 22 23 24 24 26

Q1=19

Q2=21

Q3=23

Significa que el 25% de los alumnos tiene menos de 19 años

Que el 75% es mayor de 19 años

Que el 50% de alumnos son mayores que 21 y el otro 50% menores que 21

Que el 25% de alumnos es mayor 23 años


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Trujillo


2. La estatura en centímetros de los integrantes de un

equipo de fútbol es: 175, 168, 171, 178, 181, 176,

174, 165, 169, 170, 172, 172, 167, 166, 170, 165,

177.

Determinar:

a) ¿Cuál es la estura que deja bajo sí el 25 %?

b) ¿Entre que estaturas está el 75 % de la serie de

datos?


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Católica de

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3. Cierto profesor de la universidad, a la hora de la

puntuación, califica a sus alumnos mediante el

siguiente criterio: Suspendidos 40 %, Aprobados 30

%, Notables 15 %, Sobresalientes 10 % y Matriculas

de Honor 5 %. Si las notas que se obtuvieron en un

examen fueron:

Calcula la mínima nota para obtener un aprobado,

notable, sobresaliente, y matricula de honor


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BENEDICTO XVI

Datos Agrupados:

Donde:

k : Número de cuartil(1,2,3), decil (1,2,3,4…9) o percentil(1,2,3,…99) a hallar.

n : Número de datos (elementos de la muestra)

fi: : Frecuencia absolutas i de la clase del cuartil, decil o percentil.

Fi-1: : Frecuencia absolutas acumuladas anterior a la clase cuartil, decil o percentil)

li : Limite inferior del intervalo de la clase cuartil, decil o percentil.

CUANTILES

f

FlQ

i

i

iK

nk

c14

*

*

Cuartiles

f

FlD

i

i

ik

nk

c110

*

*

Deciles

f

FlP

i

i

ik

nk

c1100

*

*

Percentiles

Identificamos primero la clase en la que se encuentra el cuartil, decil o percentil. Esta clase

es aquella que acumula por primera vez un porcentaje mayor o igual a …..%.


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Católica de

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BENEDICTO XVI

Datos NO Agrupados:

Ejemplo

Calcule el percentil 75 de los siguientes datos.

CUANTILES


Universidad

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Calcule el sueldo mínimo para estar en el 15% de los trabajadores mejores pagados.

Ejemplo:

La siguiente tabla corresponde a la distribución de frecuencias de los 200 salarios del último

mes de los empleados de una empresa.


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Calcule la nota mínima para estar en el quinto superior.

Calcule la nota máxima para estar en el 5% de las notas más bajas.

Calcule el porcentaje de personas que tuvo notas menores o iguales a 13.

Ejemplo:

Las notas de un curso se muestran en la siguiente distribución de frecuencias.


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BENEDICTO XVI

Cuadro Nº 03

Ingreso mensual promedio de las

familias del Distrito de Moche.


Ejemplo

CUANTILES

Hallar el segundo cuartil, el quinto decil y el

quincuagésimo percentil

li ls

1 320 - 413 366.50 4 4

2 413 - 506 459.50 5 9

3 506 - 599 552.50 6 15

4 599 - 692 645.50 11 26

5 692 - 785 738.50 15 41

6 785 - 878 831.50 5 46

7 878 - 971 924.50 4 50

50

Intervalosi xi fi Fi


Universidad

Católica de

Trujillo

BENEDICTO XVI

Cuadro Nº 03

Ingreso mensual promedio de las

familias del Distrito de Moche.


Ejemplo

CUANTILES

Hallar el segundo cuartil, el quinto decil y el

quincuagésimo percentil

55.68311

1525*93599

11

154

50*2

*935992

Q

55.68311

1525*93599

11

15100

50*50

*9359950

P

55.68311

1525*93599

11

1510

50*5

*935995

D

li ls

1 320 - 413 366.50 4 4

2 413 - 506 459.50 5 9

3 506 - 599 552.50 6 15

4 599 - 692 645.50 11 26

5 692 - 785 738.50 15 41

6 785 - 878 831.50 5 46

7 878 - 971 924.50 4 50

50

Intervalosi xi fi Fi

PDQ 5052


Universidad

Católica de

Trujillo

BENEDICTO XVI

Ejemplo

Para hallar la nota de una evaluación, se hace la media de cuatro exámenes. Si en

los tres primeros tengo una media de 9.50. ¿qué nota tengo que sacar en el último

para aprobar?

EJERCICIOS


Universidad

Católica de

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BENEDICTO XVI

Ejemplo

Para hallar la nota de una evaluación, se hace la media de cuatro exámenes. Si en

los tres primeros tengo una media de 9.50. ¿qué nota tengo que sacar en el último

para aprobar?

EJERCICIOS

=10.5 = 42

= 9.50 = 9.50*3

28.50+

28.50

= 42 42 - 28.50 13.50

13.50 para aprobar.


Universidad

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BENEDICTO XVI

Ejemplo

Los ingenieros industriales realizan periódicamente análisis de la “medición de

trabajo" con el fin de determinar el tiempo requerido para generar una unidad de

producción. En una planta de procesamiento se registró durante 50 días el número

total de horas-obrero necesarias por día para realizar cierta tarea.

Efectúa un análisis descriptivo supuesto que los datos obtenidos fueron los

siguientes:

EJERCICIOS


Universidad

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BENEDICTO XVI

Ejemplo

Una empresa de alimentación se dedica a enviar pizzas a domicilio. El número

de pizzas enviadas en cada uno de los 30 días del mes de Abril son:

47 63 66 58 32 61 57 44 44 56

38 35 76 58 48 59 67 33 69 53

51 28 25 36 49 78 48 42 72 52

1. Construir una tabla de frecuencia relativa y de frecuencia acumulada e

intervalos de clase con una amplitud de 5 pizzas.

2. Calcular la media en los siguientes casos: a)Usando todos los datos,

b)Usando solamente los valores de la tabla de frecuencias construida

3. Calcular la mediana, moda y la desviación típica usando los valores de

la tabla

4. Determinar los tres cuartiles a partir de la tabla de frecuencias

5. Construir el histogramas de frecuencias

EJERCICIOS


Universidad

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BENEDICTO XVIEJERCICIOS

Hallar la Media Aritmetica, la mediana, la moda.

Los cuartiles, el decil 9, el percentil 23,


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BENEDICTO XVIEJERCICIOS

Estadística I-03

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