INGENIERIA DE GESTION

ESTADSTICA IIProfesor: MBA. Cristian Villar Navarro

FACULTAD DE INGENIERIA DE SISTEMAS, CMPUTO Y TELECOMUNICACIONESCARRERA PROFESIONAL DE INGENIERA DE SISTEMAS Y CMPUTOUNIDAD I: DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

UNIDAD II: DISTRIBUCIONES MUESTRALES

UNIDAD III: ESTIMACIN CON INTERVALOS DE CONFIANZA

UNIDAD IV: PRUEBA DE HIPTESIS

SUMILLA1.Webster Allen L. (2000). Estadstica aplicada a los negocios y la economa. Bogot, Irwin - Mc Graw Hill. Tercera Edicin.2.Walpole R. y Myer R. (1996). Probabilidades y Estadstica para Ingenieros y Cientficos. Mxico, Editorial McGraw-Hill.3.Luis Ruiz-Maya Prez (2010). Estadstica II: Inferencia. Mxico, Editorial AC-Thomson.4.Luis Ruiz-Maya Prez (2010). Fundamentos de Inferencia Estadstica. Mxico, Editorial Thomson-Paraninfo.5.Montenegro Daz, Edwin (2010). Estadstica II. Lima. Fondo Editorial de la UIGV.

BIBLIOGRAFADonde:EP: Examen ParcialEF: Examen FinalPP: Promedio de Prcticas y TrabajosEVALUACIN

UNIDAD I: DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD PROBABILIDADES - RECORDATORIODefinicin: Rama de las matemticas que estudian la frecuencia de acontecimientos determinados (experimentos), bajo condiciones normales y siguiendo parmetros al azar (aleatorio).Ejemplo de experimentos aleatorios:Lanzar un dadoLanzar una monedaComprar loteraResponder al azar un examen.PROBABILIDADESEn los experimentos aleatorios NO SE PUEDE saber el resultado, hasta despus que se realice.Cuando se realiza un experimento aleatorio, llamamos ESPACIO MUESTRAL (E), al conjunto de todos los posibles resultados del experimento.Lanzar una monedaE = {C, S}Lanzar un dado y obtener el nmero de la cara superiorE = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

PROBABILIDADES

Cul es el espacio muestral de obtener 7 en el lanzamiento de 2 dados?Cul es el espacio muestral de lanzar 2 monedas al aire?Cul es el espacio muestral de lanzar 3 monedas al aire?Determinar el espacio muestral de lanzar 2 monedas y obtener figuras iguales

PROBABILIDADESA los elementos del Espacio Muestral se les llama SUCESOS.Matemticamente las probabilidades en su forma ms simple se pueden expresar como:

PROBABILIDADES

Ejemplos:Calcular la probabilidad de obtener una carta de corazones en una baraja.Se tiene un recipiente con las siguientes fichas: 5 fichas rojas, 8 fichas verdes y 4 fichas rosadas.Calcular la probabilidad de sacar 1 ficha rojaCalcular la probabilidad de sacar 1 ficha verde o 1 ficha rosadaCalcular la probabilidad de sacar 2 fichas verdesPROBABILIDADESSe van a retirar dos cartas de una baraja (una carta a la vez), calcular la probabilidad de obtener una carta de flor y una carta de corazn (respetar el orden de los palos solicitados).Una lotera un premio de $ 1,000,000 si se aciertan 5 nmeros de un total de 40. Cul es la probabilidad de ganar el premio?

PROBABILIDADESUn alumno va a rendir un examen que consta de 10 preguntas de igual puntaje. Cada pregunta consta de 4 alternativas para marcar. Calcular la probabilidad que el alumno saque 20 en el examen.PROBABILIDADESDEFINICIN: Una variable aleatoria es una funcin que asocia a cada resultado del espacio muestral un nmero real, es decir, el valor de la variable aleatoria depende del resultado del experimento realizado.

Ejemplo: Se lanza una moneda el aire. Construimos el espacio muestral del resultado de experimento: E ={Cara, Sello}.Asociamos una Variable Aleatoria al ExperimentoX (Cara) = 1X (Sello) = 0

X es la VARIABLE ALEATORIAVARIABLE ALEATORIAAsigne Variables Aleatorias a los siguientes experimentos:Comprar la loteraTirar los dados y obtener como suma 7

VARIABLE ALEATORIAVariable Aleatoria Discreta: Toman un conjunto finito de valores, se pueden contar.

Variable Aleatoria Continua: Su espacio muestra est formado por un nmero infinito de valores, no se pueden contarTIPOS DE VARIABLES ALEATORIASLa Distribucin de Probabilidad de una variable aleatoria es una funcin que asigna a cada suceso definido sobre la variable aleatoria, la probabilidad de que dicho suceso ocurra. La distribucin de probabilidad est definida sobre el conjunto de todos los sucesos, cada uno de los sucesos es el rango de valores de la variable aleatoria.

F(x) = Probabilidad (Xx)P(Xx) = 1 P(Xx)

DISTRIBUCIN DE PROBABILIDADLa Distribucin Binomial o de Bernoulli es una distribucin de probabilidad discreta que cuenta el nmero de xitos en una secuencia de n ensayos independientes entre s, con una probabilidad fija p de ocurrencia del xito entre los ensayos.

DISTRIBUCIN BINOMIALCumple con las siguientes caractersticas:Se realiza n veces cierto experimento en el que se considera slo la posibilidad de xito o fracaso.

La obtencin de xito o fracaso en cada ocasin es independiente de la obtencin de xito o fracaso en las dems ocasiones.

La probabilidad de obtener xito o fracaso siempre es la misma en cada ocasin.

DISTRIBUCIN BINOMIALEjemplo del Dado:Tiramos un dado 5 veces y contamos el nmero de cincos que obtenemos. Cul es la probabilidad de obtener tres cincos?.

xito: Sacar un 5Probabilidad de xito P(E) = 1/6

Fracaso: No sacar un 5Probabilidad de Fracaso P(F) = 5/6

P(E) + P(F) = 1

DISTRIBUCIN BINOMIALSi se realiza n veces un experimento en el que se puede obtener xito E, con probabilidad p y Fracaso F, con probabilidad q (q = 1 p), se dice que estamos ante una distribucin binomial de parmetros n y p, y lo representa por Bin(n;p). En este caso la probabilidad de obtener k xitos viene dada por: DISTRIBUCIN BINOMIAL

Donde:

DISTRIBUCIN BINOMIAL

Ejemplo 1:Tiramos un dado 5 veces y contamos el nmero de cincos que obtenemos. Cul es la probabilidad de obtener tres cincos?Ejemplo 2:Suponga que la probabilidad de que una pareja tenga un hijo o una hija es igual. Calcular la probabilidad de que una familia con 6 descendientes tenga 2 hijos.DISTRIBUCIN BINOMIALEjemplo 3:La probabilidad de que un alumno de 2 de Secundaria apruebe las Matemticas es de 0,7. Si consideramos un grupo de 8 alumnos, cul es la probabilidad de que cinco de ellos aprueben las Matemticas?DISTRIBUCIN BINOMIALUSO DE TABLAS:Ejemplo 2: Suponga que la probabilidad de que una pareja tenga un hijo o una hija es igual. Calcular la probabilidad de que una familia con 6 descendientes tenga 2 hijos.

Ejemplo 3: La probabilidad de que un alumno de 2 de Secundaria apruebe las Matemticas es de 0,7. Si consideramos un grupo de 8 alumnos, cul es la probabilidad de que cinco de ellos aprueben las Matemticas?DISTRIBUCIN BINOMIALEJERCICIOS EN CLASE:E1: Un alumno va a rendir un examen que consta de 10 preguntas de igual puntaje. Cada pregunta consta de 4 alternativas para marcar. Calcular probabilidad que el alumno saque:10 puntos 12 puntos20 puntos

COMPARAR RESPUESTAS CON VALORES DE LA TABLA

DISTRIBUCIN BINOMIALE2: Dentro de los juegos que hay en una tmbola, est el Juego del Cuy. Se sabe que el cuy tiene 10 posibles orificios en los cuales puede ingresar. Si un joven juega 8 veces el juego, cul es la probabilidad que gane 3 veces? cul es la probabilidad que no gane?

COMPARAR RESULTADOS CON LA TABLA

DISTRIBUCIN BINOMIALEs posible que nos pidan no slo la probabilidad de que ocurran un cierto nmero de xitos en concreto, sino que ocurran como mucho k xitos o preguntas similares. En estos casos la distribucin binomial se acumula.

Tomamos el ejemplo : La probabilidad de que un alumno de 2 de Secundaria apruebe las Matemticas es de 0,7. Si consideramos un grupo de 8 alumnos, cul es la probabilidad de que aprueben como mucho 2 personas?

DISTRIBUCIN BINOMIAL ACUMULADAA qu se refiere como mucho 2 personas?

P(X2)

P(X2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)

Del Ejemplo anterior:Cul es la probabilidad de que aprueben entre 3 y 6 alumnos inclusive?Cul es la probabilidad de que aprueben mas de 2 alumnos?

DISTRIBUCIN BINOMIAL ACUMULADAEJERCICIOS:Los alumnos de cierta clase se encuentran en una proporcin del 67% que estudian ingls y el resto francs.Se toma una muestra de 15 alumnos de la clase, calcular:a) Probabilidad de que al menos encontremos tres alumnos de ingls.b) Probabilidad de que los 15 alumnos estudien ingls.c) Probabilidad de que estudien ingls entre 7 y 10 alumnos inclusive.

DISTRIBUCIN BINOMIAL ACUMULADAMEDIA: Se refiere al nmero esperado de xitos.

VARIANZA: Se refiere a lo alejados que estn los datos de la media.

DISTRIBUCIN BINOMIAL: MEDIA Y VARIANZA

31Es una distribucin de probabilidad discreta donde los ensayos no son independientes entre s. Presenta las siguientes caractersticas:La poblacin del conjunto de N unidades elementos es de orden finito, de los cuales una parte: N1 "son xitos", y otra parte: N2son "fracasos".Cada elemento puede ser caracterizado como xito fracaso.Se obtiene una muestra aleatoria de nelementos todos a la vez (sin reemplazamiento) y no de forma independiente. No son pruebas repetidas.

DISTRIBUCIN HIPERGEOMTRICASu notacin es:H(x;N,N1,n)

Donde:N: Tamao de poblacin.N1: Nmero de elementos de N con una caracterstica propiedad especfica (xitos).n: Tamao de muestra aleatoria extrada.

N = N1 + N2

DISTRIBUCIN HIPERGEOMTRICA

33Media:

X = N1.n NVarianza:

DISTRIBUCIN HIPERGEOMTRICA

Ejemplo 1:En una urna hay 7 bolas blancas y 5 negras. Se sacan 4 bolas al mismo tiempo Cul es la probabilidad de que 3 sean blancas? Cul es el valor esperado?

Ejemplo 2:En una fiesta hay 20 personas: 14 casadas y 6 solteras. Se eligen al mismo tiempo 3 personas al azar Cul es la probabilidad de que las 3 sean solteras?

DISTRIBUCIN HIPERGEOMTRICAEJERCICIOS:En una empresa industrial diariamente se producen 90 unidades de producto, de las cuales generalmente 5 salen defectuosas. Se examina en un da cualquiera una muestra de 5 unidades tomadas a la misma vez. Calcular la probabilidad de obtener 2 productos defectuosos. Calcular el valor esperado y la varianza.

DISTRIBUCIN HIPERGEOMTRICAEs una generalizacin de la Distribucin Binomial, se utiliza cuando el nmero de experimentos n es muy grande y la probabilidad de xito p es relativamente pequea. A estos sucesos con probabilidad de ocurrencia pequea se les conoce como sucesos raros.En este tipo de experimentos, los xitos buscados estn dados por unidad de tiempo, volumen, longitud, rea, etc.

DISTRIBUCIN DE POISSONN de llamadas por hora, daN de clientes por horaN de defectos por m2N de piezas procesadas por hora, daN de pacientes atendidos por hora, da.

DISTRIBUCIN DE POISSONCaractersticas:El nmero de ocurrencias de resultados en el intervalo de medida, es independiente de los dems intervalos.La probabilidad de que un solo resultado ocurra en un intervalo de medida muy corto o pequeo es la misma para todos los dems intervalos de igual tamao y es proporcional a la longitud del mismo al tamao del mismo.La probabilidad de que ms de un resultado ocurra en un intervalo o corto es tan pequea que se considera insignificante (cercana o igual a cero).Para poder usar la Distribucin de Poisson, se tiene que cumplir: p < 0.10 y n x p < 10 (No siempre).

DISTRIBUCIN DE POISSONDonde:K: es el nmero de ocurrencias del evento o fenmeno que se est buscando: es un parmetro positivo que representa el nmero de veces que se espera que ocurra el fenmeno durante un intervalo dado. e: es la base de los logaritmos naturales (e = 2,71828...)

DISTRIBUCIN DE POISSON

EJEMPLOS:E1: La probabilidad de tener un accidente de trfico es de 0,02 cada vez que se viaja, si se realizan 300 viajes, cual es la probabilidad de tener 3 accidentes? E2: Del ejemplo anterior calcule la probabilidad de tener 0, 1, 2, 3, 410 y luego grafique.

DISTRIBUCIN DE POISSONE3: La probabilidad de que un nio nazca pelirrojo es de 0,012. Cul es la probabilidad de que entre 800 recin nacidos haya 5 pelirrojos.E4: El 2% de los libros encuadernados en cierto taller tiene encuadernacin defectuosa, obtener la probabilidad de que 5 de 400 libros encuadernados en este taller tengan encuadernaciones defectuosas.

USO DE TABLAS!DISTRIBUCIN DE POISSONEJERCICIOS:E1: Se sabe que una fuente radiactiva emite partculas alfa a un ritmo de 1.5 por minuto. Si medimos el nmero de partculas alfa emitidas en dos minutos Cul es el resultado promedio esperado?Cul es la probabilidad de observar x = 0,1,2,3,4 ?

E2: En promedio, cada una de las 18 gallinas de un gallinero pone un huevo al da. Si se recogen los huevos cada hora Cul es el nmero medio de huevos que se recogen en cada visita? Con qu probabilidad encontraremos x huevos, para x = 0,1,2,3?DISTRIBUCIN DE POISSONE3: En un fastfood llega 1 cliente cada 4 minutos. Cul es nmero medio de clientes que llegan en una hora? Calcular:La probabilidad que nadie llegue al fastfood (en el lapso de una hora).La probabilidad que lleguen 2 personas

DISTRIBUCIN DE POISSONEJERCICIOS:E1: Se sabe que una fuente radiactiva emite partculas alfa a un ritmo de 1.5 por minuto. Si medimos el nmero de partculas alfa emitidas en dos minutos. Cul es el resultado promedio esperado?Cul es la probabilidad de observar mas de 4 partculas?Cul es la probabilidad de observar ms de 8 partculas?

E2: En promedio, cada una de las 18 gallinas de un gallinero pone un huevo al da. Si se recogen los huevos cada hora Cul es el nmero medio de huevos que se recogen en cada visita? Cul es la probabilidad de encontrar entre 5 y 8 huevos? Cul es la probabilidad de encontrar entre 4 y 6 huevos inclusive? Cul es la probabilidad de encontrar mas de 30 huevos?DISTRIBUCIN DE POISSON ACUMULADA