Estadística II - 02
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Universidad Católica de Trujillo BENEDICTO XVI Ms. Ylder Heli Vargas Alva Estadística II • Técnicas de Conteo: Principio de Adición y Multiplicación, Permutaciones y Combinaciones. • Probabilidad: Definición clásica, Probabilidad de un evento o suceso. Teoremas de probabilidad. Teorema de la Adición, de la complementación y probabilidad condicional. Probabilidad Total y Teorema de Bayes. Ms. Ylder Helí Vargas Alva [email protected]
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Estadística II• Técnicas de Conteo: Principio de Adición y Multiplicación, Permutaciones y Combinaciones.
• Probabilidad: Definición clásica, Probabilidad de un evento o suceso. Teoremas de
probabilidad. Teorema de la Adición, de la complementación y probabilidad condicional.
Probabilidad Total y Teorema de Bayes.
Ms. Ylder Helí Vargas Alva
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INTRODUCCION
FACTORIAL
El factorial de n se representa por n! , esto es:
n!=n.(n-1).(n-2)...3.2.1
Ejemplos 01:
Calcular:
5! 1! 8!
3!/2! 4!/5! 50!/49!
0! (334,567!)/ (334,568!)
Tener en cuenta:
Si n = 1, se define 1!=1
Si n = 0 se define 0!=1
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TÉCNICAS DE CONTEO
Las técnicas de conteo estudian los métodos que permite encontrar el
número de resultados posibles de algunos experimentos. Nos dice
cuántos son y no necesariamente cuáles son esos resultados.
Ejemplos en los que definitivamente haremos uso de las técnicas de conteo
serían:
¿Cuántas comisiones por limpieza de la UCT se pueden formar si hay 50
alumnos que desean ayudar en esta tarea y se desea formar comisiones de
CINCO alumnos?
¿Cuántas representaciones de alumnos pueden ser formadas:
a) si se desea que estas consten solo de alumnos de Ingeniería
Industrial?,
b) Se desea que el presidente sea un alumno de Ingeniería Industrial?,
c) Se desea que el presidente y tesorero sean de Industrial?
Para todos los casos, se desea que las representaciones consten de once
alumnos.
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TÉCNICAS DE CONTEO
1.- PRINCIPIO DE ADICIÓN
Sean los eventos A1, A2,...Ak definidos en Ω, si el evento A1 se
puede realizar de n(A1) formas posibles, el evento A2 se puede
realizar de n(A2) formas posibles, y así sucesivamente, el evento
Ak se puede realizar de n(Ak) formas posibles, entonces el evento
o proceso (A1 ó A2 ó... ó Ak) se puede realizar de:
n(A1) + n(A2) + ... + n(Ak) formas posibles.
Los eventos A1, A2,...Ak son mutuamente excluyentes, no ocurren
simultáneamente.
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TÉCNICAS DE CONTEO
1.- PRINCIPIO DE ADICIÓN
Ejemplo 02:
Un estudiante debe elegir un microscopio para hacer un análisis
químico. En una mesa del laboratorio hay 15 microscopios, en
otra mesa hay 20 y en otra 10.
¿Cuántos microscopios tiene el estudiante para elegir?
Solución
Tiene para elegir cualquiera de los microscopios de cada mesa,
es decir:
15 + 20 + 10 = 45 opciones
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TÉCNICAS DE CONTEO
2.- PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN
Si un proceso completo consiste en k diferentes etapas A1,
A2,...Ak de los cuales :
• el primero se puede realizar de n(A1) formas posibles,
• el evento A2 se puede realizar de n(A2) formas posibles,
• ... y el evento Ak se puede realizar de n(Ak) formas
posibles,
entonces el proceso completo se puede realizar de:
n(A1) x n(A2) x ... x n(Ak) formas posibles.
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2.- PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN
Ejemplo 03:
Un análisis químico completo requiere de un reactivo tipo A,
un reactivo tipo B y un reactivo tipo C.
En el laboratorio hay :
• 5 reactivos tipo A
• 8 reactivos tipo B
• 10 reactivos tipo C
¿De cuántas formas posibles puede hacer el análisis
químico?
Solución
5 x 8 x 10 = 400 formas posibles
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3.- PERMUTACIÓN
Son arreglos lineales de los elementos de un conjunto
teniendo en cuenta el orden que ocupa en cada arreglo, es
decir, interesa el orden.
Tenemos:
A. Permutación de n elementos (todos distintos)
tomados todos a la vez (de n en n)
! nPn
n
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3.- PERMUTACIÓN
Ejemplo 04:
Un mecanismo electrónico de control requiere de 5 chips de
memoria iguales.
¿De cuántas maneras puede ensamblarse este mecanismo
colocando los cinco chips en las cinco posiciones dentro del
controlador?
Solución:
!5 5
5P maneras 120
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3.- PERMUTACIÓN
B. Permutación de n elementos (todos distintos)
tomados de r en n.
r) - (
!
n
nP
n
r
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3.- PERMUTACIÓN
Ejemplo 05:
¿Cuántos números (todos distintos) de tres cifras se pueden
formar con los dígitos 5; 3; 4; 6; 9?
Solución:
)!3 - (5
!5
5
3P cifras tres de números 60
!2
120
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3.- PERMUTACIÓN
C. Permutación de n elementos (no todos distintos)
tomados todos a la vez (de n en n).
n n ...,n n donde ! n ... !n !n
!n r21
r21n ... ,n , n P r21
n
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TÉCNICAS DE CONTEO
3.- PERMUTACIÓN
Ejemplo 06.
¿Cuántas palabras diferentes se pueden formar con todas
las letras de la palabra LABORATORIO?
Solución:n = 11n(L) = 1 n(A) = 2 n(B) = 1 n(O) = 3 n(R) = 2 n(T) = 1 n(I) = 1
1! 1! 2! 3! 1! 2! 1!
!11 P
11
12,1,3,2,1, , 1 1 663 200
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4.- PERMUTACIÓN CIRCULAR
Cuando los elementos se disponen en forma circular
(puede ser una mesa redonda, una rueda, etc.), entonces el
número de permutaciones circulares de n elementos
tomados todos a la vez, se calcula:
Pcir, n = (n -1)!
Esta fórmula se obtiene cuando se fija uno de los n objetos
en el arreglo circular, los restantes (n – 1) se consideran
como una permutación lineal, la cual se realiza de (n - 1)!
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4.- PERMUTACIÓN CIRCULAR
Ejemplo 07.
En el laboratorio hay una gran mesa circular y 10
estudiantes se sientan alrededor de la mesa ¿De
cuantas maneras se pueden sentar los 10
estudiantes alrededor de la mesa circular?
Solución:Hay n= 10 elementos para permutar, y se fija un estudiante
y se permuta el resto, entonces se tiene:
(10 – 1)! = 9! = 362 880 formas de sentarse alrededor de la
mesa circular los 10 estudiantes.
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5.- COMBINACIÓN
Son arreglos lineales de los elementos de un conjunto sin
considerar el orden en cada arreglo, es decir, no interesa el
orden.
Tenemos:
Combinación de n elementos (todos distintos) tomados de r
en n
r)! - (n r!
!n C r
n
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5.- COMBINACIÓN
Ejemplo 08
De un conjunto de seis estudiantes hombres y cinco estudiantes mujeres
se desea formar comités de 8 estudiantes ¿Cuántos comités se pueden
formar? ¿Cuántos comités si cada uno de ellos debe contener por lo
menos tres estudiantes mujeres?
Solución
A: Comités de 8 estudiantes B: Comités con al menos 3 mujeres
n(A) = = 165
n(B) = 6*10 + 15*5 + 20*1 = 155
8)! - (11 8!
!11 C
11
8
CCCCCC5
5
6
3
5
4
6
4
5
3
6
5
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TÉCNICAS DE CONTEO
COMBINACIÓN:
Es todo arreglo de elementos
en donde no nos interesa el
lugar o posición(orden) que
ocupa cada uno de los
elementos que constituyen
dicho arreglo.
PERMUTACIÓN:
Es todo arreglo de elementos
en donde nos interesa el
lugar o posición (orden) que
ocupa cada uno de los
elementos que constituyen
dicho arreglo.
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TÉCNICAS DE CONTEO
MISCELÁNEA:
1. En la cerradura de un casillero, hay 10
números para elegir (0,1,...,9) y eliges
3 de ellos. ¿De cuantas formas se
puede elegir?:
10 × 10 × ... (3 veces) = 103 = 1,000
permutaciones
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TÉCNICAS DE CONTEO
MISCELÁNEA:
2. Un músico desea escribir una partitura basada solamente
en cinco notas (la, si, do, re y mi). Sin embargo, solo tres
notas de las cinco se utilizarán en sucesión, como do, la y
mi. Se permitirán repeticiones como la, la y mi.
Hay 60 permutaciones sin repetición de tres notas
¿Cuantas permutaciones son posibles si se permiten las
repeticiones?
5P3 = 53 = 125
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MISCELÁNEA:
2.- Un músico desea escribir una partitura basada solamente
en cinco notas (la, si, do, re y mi). Sin embargo, solo tres
notas de las cinco se utilizarán en sucesión, como do, la y
mi. No se permitirán repeticiones como la, la y mi.
a) ¿Cuantas permutaciones de las cinco notas, tomadas trescada vez, son posibles?
= 5*4*3 = 60
b) Utilizando la formula para permutaciones, ¿Cuántaspermutaciones son posibles?
5P3 = 5! (5 – 3)!
= 60
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MISCELÁNEA:
3. ¿cómo podrías ordenar 16 bolas de billar?.
Solución
Después de elegir por ejemplo la "14" no puedes elegirla otra vez.
Así que la primera elección tiene 16 posibilidades, y tu siguiente
elección tiene 15 posibilidades, después 14, 13, etc. Y el total de
permutaciones sería:
16 × 15 × 14 × 13 ... = 20.922.789.888.000
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MISCELÁNEA:
4. De 16 bolas de billar. Quieres elegir 3 de ellas ¿De
cuantas maneras diferentes puedes elegirlas?. Y si
desearías, 4, 5 o 8.
Solución
16 × 15 × 14 = 3,360
Es decir, hay 3,360 maneras diferentes de elegir 3 bolas de
billar de entre 16.
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MISCELÁNEA:
5. Se desea ensamblar tres elementos electrónicos en
cualquier orden. ¿de cuantas formas diferentes se
pueden reunir?:
nPr = n!
(n – r)!
3!
(3 – 3)! =
= 6
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6.- Un operador debe realizar 4 verificaciones de
seguridad antes de activar una máquina. No
importa el orden en que se realicen las
verificaciones. ¿De cuantas formas diferentes se
puede realizar las verificaciones el operador?
4P4 = 4!
(4 – 4)! = 24
MISCELÁNEA:
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7.- Utilizar 10 números del 0 al 9 para crear grupos de código de 4 cifras
fin de identificar un articulo de ropa. El código 1083 podría ser una
blusa azul, talla media. El grupo código 2031 podría identificar unos
pantalones, talla 18,etc. No se permiten repeticiones de los números.
Es decir, el mismo número no puede utilizarse dos veces o mas en
una secuencia total. Por ejemplo 2256, 2562, o 5559 no se permitirán
¿Cuántos grupos de distintos códigos pueden establecerse?
10P4 = 10!
(10 – 4)! = 5040
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MISCELÁNEA:
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MISCELÁNEA:
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8.- Un campo pequeño cuenta con 87 pozos perforados, de
los cuales 62 están en producción. La empresa
operadora esta pensando en realizar labores de
estimulación para los pozos no productores, pero desea
hacer las operaciones en grupos de 5 pozos. ¿ cuántos
grupos de pozos distintos están disponibles para la
estimulación?
𝐶𝑟𝑛 =𝑛!
𝑛 − 𝑟 ! ∗ 𝑟!
Rta. = 53130
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MISCELÁNEA:
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9.- Con los 20 alumnos de una clase, ¿cuántos equipos de baloncesto se pueden formar?
Resolución:
No importa el orden en que seleccionemos los cinco alumnos para formar un equipo …
CUIDADO: Alguien podría pensar en hacer 20 / 5 = 4 equipos me salen.
Efectivamente salen 4 equipos diferentes REALES.
Si intercambiamos ( permutamos ) dos alumnos de uno a otro equipo, nos salen dos equipos más que podemos hacer.
Vemos que son MUCHOS MÁS los equipos POSIBLES.
Al no importar el ORDEN no son permutaciones.
Luego serán COMBINACIONES.
Y como ningún jugador se puede duplicar… COMBINACIONES ORDINARIAS.
C20,5 = 20! / 5! (20-5)! = 20! / 5!. 15! = 20.19.18.17.16 / 120 =
= 19.3.17.16 = 15.504 equipos diferentes.
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INTRODUCCIÓN PROBABILIDADES
En la actualidad y cada vez mayor las aplicaciones de la teoría de
probabilidad en una amplia variedad de campos Científicos se da así
por ejemplo en:
Los cálculos de la densidad de tráfico telefónico
El nivel de calidad de los artículos manufacturados
Transmisión de señales en presencia de ruido (Problema
que afrontan los ingenieros en el diseño de sistemas de
comunicaciones y control automático)
Los Estudios del ruido térmico en los circuitos eléctricos y
del movimiento Browniano de las partículas sumergidas
en un líquido o gas (física).
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INTRODUCCIÓN PROBABILIDADES
• ¿Qué es, entonces lo que estudia la teoría de probabilidad que da lugar
a diversas aplicaciones?
Para contestar a esta pregunta simplemente se considera en los ejemplos
anteriores sus respectivos fenómenos aleatorios los cuales generan sus
respectivos espacios muéstrales, dentro de los cuales se definen los
eventos aleatorios, para luego calcular su probabilidad la cual se
encuentra entre cero y uno.
• Otras preguntas que afrontaremos en probabilidad
¿Qué queremos decir al afirmar que la probabilidad de un evento es
0.50, 0.25, 0.80 en un determinado experimento aleatorio?
¿Cómo se determinan o miden en la práctica los números que
llamamos probabilidad?
¿Cuáles son las reglas matemáticas que las rigen?
Secuencialmente responderemos a estas preguntas según vayamos
desarrollando el curso.
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INTRODUCCIÓN PROBABILIDADES
• La teoría de probabilidades proporciona los modelos para estudiar
los fenómenos que se caracterizan por la variabilidad de sus
resultados.
Estos modelos se llaman modelos aleatorios.
En general un modelo describe las propiedades fundamentales de un
fenómeno sin describir todos sus detalles.
Existen diferentes modelos:
- modelos físicos : (máquinas en general)
- modelos analógicos : (mediciones de voltaje, continuidad)
- modelos abstractos : (en general, ciencia)
Los modelos abstractos se clasifican en:
- determinísticos (es lo que siempre ocurre). Ej: si se suelta una tiza,
ésta cae.
- aleatorios ó estocásticos (al azar). Ej.: un terremoto
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PROPIEDADES EN OPERACIÓN DE SUCESOS
Es inmediato comprobar las siguientes propiedades, que son idénticas a las
del Algebra de Boole de Conjuntos.
1. Conmutativa: A ∪ B = B ∪ A; A ∩ B = B ∩ A
2. Asociativa: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) ; (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
3. Distributiva (A ∪ B)∩C=(A ∩ C)∪(B ∩ C); (A ∩ B)∪C = (A ∪ C)∩(B ∪ C)
4. Doble complementación ó Involutiva: (A′)′ = A
5. Idempotente: A ∪ A = A; A ∩ A = A
6. Elemento neutro: A ∪ ∅ = A; A ∩ = A
7. De absorción: A ∪ (A ∩ B) = A; A ∩ (A ∪ B) = A
8. Leyes de De Morgan: (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′; (A ∩ B)′ = A′ ∪ B′
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PROBABILIDAD
Es un número real que expresa la confianza oincertidumbre en la ocurrencia de un evento o sucesocuyo resultado no se puede predecir con certeza.
La probabilidad expresa el grado de certeza de que
ocurrirá un determinado suceso al hacer un
determinado experimento aleatorio.
Cuanto más alta es la probabilidad de un suceso,
mayor es el grado de certeza de que ocurrirá al hacer
el experimento aleatorio.
Dado un suceso A, escribimos su probabilidad como
P(A).
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CONCEPTO CLÁSICO DE LA PROBABILIDAD
El enfoque clásico o a priori de la probabilidad está
basado en la suposición de que todos los resultados del
experimento son igualmente posibles. La probabilidad se
calcula de la siguiente manera:
=
Probabilidad del
evento
Número de posibles resultados del
evento
Número total de resultados
posibles del experimento
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Ejemplo
El experimento es lanzar un dado. ¿Cuál es la probabilidad
de que se observe un dos en la cara superior?
P( se observe un 2 ) = 1/6= 0.166
Cuando solo puede ocurrir un evento a la vez se dice que
son eventos mutuamente exclusivos.
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Ejemplo
1. Calcular la probabilidad de sacar un número múltiplo de tres en el lanzamiento de un
dado
2. Calcular la probabilidad de sacar un número menor que 4 en una baraja española.
3. Se lanza 3 monedas. Calcular la probabilidad de obtener exactamente tres caras.
4. El vicerrector académico informa que de 200 desaprobados, 30 son de Matemática,
50 de Estadística y 10 de Métodos Cuantitativos. ¿Cuál es la probabilidad de que un
estudiante elegido azar desapruebe Estadística?
5. Una urna contiene bolillas numeradas del 1 al 5. Se sacan sucesivamente al azar las
5 bolillas (sin reposición). Hallar la probabilidad de que juntando los números de
cada bolilla según el orden de extracción resulte el número 53412.
6. Una urna contiene 8 bolillas rojas y 10 bolillas verdes. Se sacan al azar 3 bolillas,
¿cuál es la probabilidad de que todas ellas sean verdes?
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CONCEPTO FRECUENTISTA DE PROBABILIDAD
La probabilidad de que suceda un evento es determinada
observando como sucede el evento en el pasado. En
términos de fórmula:
=Probabilidad de que
suceda un evento
número de veces que sucedió el evento
en el pasado
número total de observaciones
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Ejemplo
Se sabe que una moneda está cargada. Para determinar la
probabilidad de que la cara superior se observe sello, se
lanza 60 veces la moneda al aire, de las cuales 25 veces
se observa sello en la cara superior. Si aplicamos la
fórmula:
P( sale sello ) 25/60 = 0.41
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CONCEPTO SUBJETIVO DE LA PROBABILIDAD
Si no hay experiencia anterior o hay muy poca sobre la cual
basar una probabilidad, esta se fundamenta en la intuición,
opiniones, creencias personales y otra información indirecta.
Este tipo de probabilidad es el enfoque subjetivo de la
probabilidad.
Concepto subjetivo de probabilidad. La
probabilidad de que un evento en particular
suceda es asignada por un individuo basado en
cualquier información disponible, como intuición,
opiniones etc.
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40
Ejemplo: Hay una probabilidad del 0.05 de que la
Selección clasifique al Mundial 2016.
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41
Ejemplo: Hay una probabilidad del 90% de que las ventas de autos
mejoren el año próximo.
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Ejemplo: Hay una alta probabilidad de sacarme un 11.
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Sea un experimento aleatorio E con espacio muestral
y A un evento o suceso cualquiera de . El número
real P(A) es llamado probabilidad de ocurrencia del
evento A, si satisface las siguientes condiciones:
1. 0 ≤ P(A) ≤ 1
2. P() = 1
3. Si A y B son mutuamente excluyentes (A∩B = Ø),
se cumple que: P(A U B) = P(A) + P(B)
DEFINICIÓN AXIOMÁTICA DE PROBABILIDAD
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Dados tres eventos A, B y C contenidos en el espacio muestral
se cumple:
a) P(ϕ) = 0
b) La probabilidad del complementario de un suceso A es:
P(A') = 1 – P(A)
c) La probabilidad de todo suceso A es un número entre 0 y 1 :
0≤P(A) ≤1
d) Si dos sucesos son tales que A ⊂B, entonces P(A) <P(B)
PROPIEDADES Y TEOREMAS BÁSICOS DE
PROBABILIDADES
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Intersección de dos eventos es el conjunto de
resultados de un experimento que pertenece a los
dos eventos dados. El operador de la intersección
es ∩
Unión de dos eventos es el conjunto de resultados
de un experimento que pertenece a alguno de los
dos eventos dados. El operador de la unión es U.
REGLA DE ADICIÓN
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La probabilidad de que alguno de dos eventospertenecientes a un mismo espacio muestral ocurrase determina mediante la siguiente ecuación:
P( A U B ) = P( A ) + P( B ) – P( A ∩ B )
Ejemplo:
Si el experimento es lanzar un dado una vez, elespacio muestral es:
S = 1, 2, 3, 4, 5, 6
Si el evento A: “cae un número par”
A = 2, 4, 6
Si el evento B: “cae un número menor de 3”
B = 1, 2
REGLA DE ADICIÓN
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¿Cuál será la probabilidad de que suceda alguno de estos
dos eventos?
Entonces la probabilidad de A y la probabilidad de B es:
P(A) =3/6= 0.50 P(B) =2/6= 0.3366
Para aplicar el teorema es necesario conocer la
probabilidad de la intersección de estos dos eventos, es
decir, la probabilidad de que caiga un número par y menor
de 3.
A ∩ B = 2 P(A ∩ B) =1/6= 0 .166
Si aplicamos la regla de adición:
P( A U B ) = P( A ) + P( B ) – P( A ∩ B )
P( A U B ) = 0.50 + 0.33 – 0.16 = 0.67
REGLA DE ADICIÓN
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¿Cual en la probabilidad de que una carta elegida al azarde una baraja de 52 naipes sea un rey o una decorazones?
Solución:
Carta Probabilidad Explicación
Rey P(A) = 4/52 Hay 4 reyes en una baraja
De corazones P(B) = 13/52 Hay 13 corazones en una baraja
Rey de corazones P(A∩B)=1/52 Hay un rey de corazones en una
baraja
Resolviendo:
P(AUB)=P(A)+P(B)- P(A∩B)
= 4/52 + 13/52 - 1/52 = 0.3077
REGLA DE ADICIÓN
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EJEMPLO
1. Una clase consta de 18 hombres y de 15 mujeres,
de los cuales la mitad de los hombres y la tercera
parte de las mujeres han desaprobado el curso de
Estadística II. Se elige un estudiante al azar y se
pide la probabilidad.
a) De que sea hombre o haya desaprobado el curso
de Estadística y Probabilidades.
b) De que no sea mujer y no haya desaprobado el
curso de Estadística II.
Solución
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Ejemplo
2. Entre cinco generadores portátiles producidos en una línea de
montaje en un día, hay dos defectuosos. Si se seleccionan dos
generadores para su venta, determinar la probabilidad de que
ninguno de los dos tenga defecto. Suponer que la selección de los
dos generadores para la venta se hizo de modo que todas las
muestras posibles sean del mismo tamaño tengan la misma
probabilidad de ser seleccionado.
3. La probabilidad de que una industria peruana se ubique en
Venezuela es 0.7; de que se localice en Argentina, de 0.4 y de que se
encuentre en Venezuela o Argentina, de 0.8 ¿Cuál es la probabilidad
de que la industria se localice:
a) En ambos países?
b) En ninguno de ellos?
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Ejemplo
4. De un grupo de 100 estudiantes universitarios del último año, 60
estudiaron biología, 20 geología y 10 astronomía. 15 estudiaron
biología y geología siete biología y astronomía y tres; geología y
astronomía. Tres de los estudiantes cursaron las 3 materias. Si se
selecciona al azar un estudiante del último año:
¿cuál es la probabilidad de que haya estudiado:
a) Por lo menos una de estas materias?
b) Biología y geología pero no astronomía?
c) Astronomía pero no biología o geología?
d) Ninguno de los tres?
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5. Cierto tipo de motor eléctrico falla por obstrucción de cojinetes, por
combustión del embobinado o por desgaste de las escobillas.
Suponga que la probabilidad de una obstrucción es doble que la de la combustión, la
cual es cuatro veces mas probable que la inutilización de las escobillas. ¿Cuál es la
probabilidad de que la falla sea por cada uno de estos mecanismos?
Solución:
De acuerdo a las hipótesis definamos los siguientes eventos.
O: e. obstrucción de los cojinetes C: e. combustión del embobinado
D: e. desgaste de las escobillas
• Condiciones del enunciado: P(O)=2P(C) y P(C)=4P(D)
EJEMPLO
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6. Se ha cargado un dado para que la probabilidad de obtener 1, 2, 3, 4, 5 y 6
sea de 1/3, 1/4, 1/6, 1/12, 1/12 y 1/12, respectivamente. Suponga que las
propiedades usuales de la probabilidad son válidas todavía en esta situación
donde los sucesos no tienen la misma probabilidad. Busque la probabilidad
de obtener:
a) Un número par
b) Un número menor que cinco
c) Un número par o menor que cinco
EJEMPLO
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REGLA DE ADICIÓN ESPECIAL
Para dos eventos mutuamente excluyentes, esdecir A∩B= ϕ :
P(AUB)=P(A)+P(B)
Para tres eventos:
P(AUBUC)=P(A)+P(B) + P(C)
Si son mutuamente excluyentes
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7. Una máquina automática Shaw llena bolsas de plástico con una
mezcla de frijoles, brócoli y otras legumbres. La mayoría de las bolsas
contiene el peso correcto, pero debido a ligeras variaciones en el
tamaño de las verduras, un paquete puede tener un peso ligeramente
menor o mayor. Una verificación de 4000 paquetes llenados en el mes
pasado indicó:
PESO EVENTO Nº PAQUETE PROBABILIDAD DE
OCURRENCIA
Con peso menor A 100 0.025
Satisfactorio B 3600 0.900
Con peso mayor C 300 0.075
4000 1.000
REGLA DE ADICIÓN ESPECIAL
¿Cuál es la probabilidad de que un paquete en especial tenga un pesomenor o mayor ?
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REGLA DE ADICIÓN ESPECIAL
El resultado “peso menor” es el evento A. El
resultado “peso mayor” es el evento C. Aplicando la
regla especial de la adición:
P(A o C) = P(A) + P(C)
= 0.025+0.075
= 0.10
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REGLA DE ADICIÓN ESPECIAL
Partición finita: Ai, i=1,...,n
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En muchas situaciones la ocurrencia de ciertos eventos o
procesos afectan la ocurrencia de otro evento dado cuya
probabilidad deseamos evaluar, esto es, la ocurrencia del
nuevo evento está condicionado a un evento previo por lo
que el valor de la probabilidad ya no es una simple
probabilidad sino que se restringe al evento ocurrido.
Esto sucede con mucha frecuencia en análisis en
laboratorio, cuando se desea realizar un nuevo proceso,
hay algunos que dependen de otros procesos que ya
ocurrieron.
PROBABILIDAD CONDICIONAL
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Definición
Sean los eventos A y B definidos en Ω, entonces, la probabilidad de que
ocurra el evento A dado que ha ocurrido el evento B, se denota P(A/B), y
es aquella probabilidad de A condicionada a B, o probabilidad de A
sabiendo que pasa B.
Se calcula:
También se puede definir con base en el número de elementos:
PROBABILIDAD CONDICIONAL
)(
)()/(
BP
BAPBAP
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Propiedades
Sean A, B y C eventos definidos en Ω entonces.
1. 0 ≤ P(A/B) ≤ 1
Esto es:
(i) P(A/B) = 0 <—> A ∩ B = φ
(ii) P(A/B) = 1 <—> B =A
2. P(A/B) ≠ P(B/A)
3. P (A/Ω) = P(A)
4. P(Ω/B) = 1
5. P(A ∪ B / C) = P(A/C) + P(B/C) <—> A ∩ B = φ
6. P(A/B) + P(A'/B) = 1
PROBABILIDAD CONDICIONAL
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PROBABILIDAD CONDICIONAL
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PROBABILIDAD CONDICIONAL
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PROBABILIDAD CONDICIONAL
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PROBABILIDAD CONDICIONAL
Ejemplo:
Hallar la probabilidad que en un solo lanzamiento de un
dado resulte un número menor que 4, si nos dicen que
resulto un número impar.
(a) suceso A = un número menor que 4
A = 1,2 3
(b) suceso B = resulto un número impar
B = 1,3,5
AB = 1,3 P(AB) = 2/6 = 1/3
P(B) = 3/6 = 1/2
3
2
2
13
1
)(
)()(
BP
BAPB
AP
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PROBABILIDAD CONDICIONAL
Ejemplo:
En el laboratorio de química hay 20 instrumentos para medir el volumen, 5
son tubos de prueba de los cuales 2 están fallados, 10 son probetas de los
cuales 4 no tienen fallas y el resto son pipetas; del total de instrumentos 12
están con fallas. Si se escoge un instrumento al azar:
a. ¿Cuál es la probabilidad de que sea tubo de prueba si se observa que
está fallado?
b. Si no está fallado ¿Cuál es la probabilidad de que sea pipeta?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que no sea probeta dado que no está
fallado?
d. Si es tubo de prueba ¿Cuál es la probabilidad de que este fallado?
e. ¿Cuál es la probabilidad de que no sea probeta ni esté fallado?
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INDEPENDENCIA DE SUCESOS
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SISTEMA EXHAUSTIVO Y EXCLUYENTE DE
SUCESOS
A1 A2
A3 A4
Son una colección de sucesos
A1, A2, A3, A4… = Ω
Tales que la unión de todos ellos forman
el espacio muestral, y sus intersecciones
son disjuntas.
Suceso
seguro
A1
A2
A3
A4
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DIVIDE Y VENCERÁS
A1 A2
A3 A4
B
Todo suceso B, puede ser
descompuesto en
componentes de dicho
sistema.
B = (B∩A1) U (B∩A2 ) U ( B∩A3 ) U ( B∩A4 )
Nos permite descomponer el
problema B en
subproblemas más simples.
Suceso
seguro
A1
A2
A3
A4
B
B
B
B
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TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL
A1 A2
A3 A4
B
Si conocemos la probabilidad de B en
cada uno de los componentes de un
sistema exhaustivo y excluyente de
sucesos, entonces…
… podemos calcular la probabilidad de B.
P(B) = P(B∩A1) + P(B∩A2 ) + P( B∩A3 ) + P( B∩A4 )
=P(A1) P(B|A1) + P(A2) P(B|A2)+ …
Suceso
seguro
A1
A2
A3
A4
B
B
B
B
P(A1)
P(A2)
P(A3)
P(A4)
P(B|A1)
P(B|A2)
P(B|A3)
P(B|A4)
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Ejemplo (I): En este aula el 70% de los alumnos son mujeres. De ellas el 10%
son fumadores. De los hombres, son fumadores el 20%.
¿Qué porcentaje de fumadores hay? P(F) = P(M∩F) + P(H∩F)
= P(M)P(F|M) + P(H)P(F|H)
=0,7 x 0,1 + 0,3 x 0,2
= 0,13 =13%
T. Prob. Total.
Hombres y mujeres forman un sist. Exh. Excl. de sucesos
Estudiante
Mujer
No fuma
Hombre
Fuma
No fuma
Fuma
0,7
0,1
0,20,3
0,8
0,9
•Los caminos a través de nodos representan
intersecciones.
•Las bifurcaciones representan uniones
disjuntas.
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EJEMPLO
El volumen diario de producción en tres plantas diferentes de una fábrica textil es
de 1000 chompas en la primera; 2000 chompas en la segunda y 3000 chompas en
la tercera. El porcentaje de chompas defectuosas producidas en las tres plantas
son 2%, 3% y 5% respectivamente. Si una persona extrae al azar una chompa de
cualquiera de las plantas ¿Cuál es la probabilidad de que sea defectuosa?
Solución
Sean los eventos:
C1: chompa fabricada en la primera planta
C2: chompa fabricada en la segunda planta
C3: chompa fabricada en la tercera planta
D: chompa defectuosa
Según los datos
P(C1) = 1/6 P(C2) = 2/6 P(C3) = 3/6
P (D/C1) = 0,02 P(D/C2) = 0,03 P(D/C3) = 0,05
Entonces la probabilidad de que la chompa sea defectuosa es:
P(D) = P(C1) P(D/C1) + P(C2) P(D/C2) + P(C3) P(D/C3) =1/6*(0,02) + 2/6*
(0,03) + 3/6*(0,05)= 0,038
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TEOREMA DE BAYES
A1 A2
A3 A4
B
Si conocemos la probabilidad de B en
cada uno de los componentes de un
sistema exhaustivo y excluyente de
sucesos, entonces…
…si ocurre B, podemos calcular la
probabilidad (a posteriori) de ocurrencia
de cada Ai.
donde P(B) se puede calcular usando el teorema de la probabilidad
total:
P(B)=P(B∩A1) + P(B∩A2 ) + P( B∩A3 ) + ( B∩A4 )
=P(B|A1) P(A1) + P(B|A2) P(A2) + …
P(B)
Ai) P(B B)|P(Ai
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TEOREMA DE BAYES
n
k
ii
iiii
ABPAP
ABPAP
BP
BAPBAP
1
)/(*)(
)/(*)(
)(
)()/(
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Ejemplo : En este aula el 70% de los alumnos son mujeres. De ellas el 10% son fumadoras. De los varones, son fumadores el 20%.
¿Qué porcentaje de fumadores hay?
P(F) = 0,7 x 0,1 + 0,3 x 0,2 = 0,13
(Resuelto antes)
Se elije a un individuo al azar y es… fumador¿Probabilidad de que sea un hombre?
Estudiante
Mujer
No fuma
Hombre
Fuma
No fuma
Fuma
0,7
0,1
0,20,3
0,8
0,9
46,013,0
2,03,0
)(
)|()(
)(
)()|(
FP
HFPHP
FP
FHPFHP
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EJEMPLO
Una fábrica produce cierto tipo de productos usados en experimentos
industriales con tres máquinas distintas, las cantidades de producción
diaria de cada máquina son:
Máquina 1: 3 000 unidades
Máquina 2: 2 500 unidades
Máquina 3: 4 500 unidades
La experiencia nos demuestra que el 1% de las unidades producidas por la
máquina 1 son defectuosas, los correspondientes porcentajes para las
otras dos máquinas son 1,2% y .02% respectivamente. Se selecciona un
artículo cualquiera al azar de la producción total de un día y se pide:
a. Si el artículo seleccionado es defectuoso, calcule la probabilidad de
que haya sido producido:
i. Por la máquina 1
ii. Por la máquina 2
iii. Por la máquina 3
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SOLUCIÓN
Sean los eventos:
M1: artículo producido por la máquina 1 M2: artículo producido por la máquina 2
M3: artículo producido por la máquina 3 D: artículo defectuoso
Según los datos: producción total 10,000 unidades
P (M1) = 0,3 P(M2) = 0,25 P(M3) = 0,45
P (D/M1) = 0,01 P(D/M2) = 0,012 P(D/M3) = 0,02
a) Se calcula la probabilidad de que el artículo seleccionado sea defectuoso, para eso
se utiliza el teorema de la probabilidad total:
P(D) = P(M1) P(D/M1) + P(M2) P(D/M2) + P(M3) P(D/M3)
P(D) = (0,3) (0,01) + (0,25) ( 0,012) + (0,45) ( 0,02) = 0,015
b) Ahora como ya el artículo seleccionado es defectuoso, se calcula la probabilidad de
que ha sido producido por cada una de las máquinas, entonces:
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Ejemplo :
Tres máquinas, A, B y C, producen el 45%, 30% y 25%, respectivamente, del total de las piezas producidas en una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas son del 3%, 4% y 5%. Seleccionamos una pieza al azar;
a. calcula la probabilidad de que sea defectuosa.
b. Tomamos, al azar, una pieza y resulta ser defectuosa; calcula la probabilidad de haber sido producida por la máquina B.
c. ¿Qué máquina tiene la mayor probabilidad de haber producido la citada pieza defectuosa?.
Solución:
1.- Sea D = "la pieza es defectuosa" y N = "la pieza no es defectuosa".
La información del problema se expresa en el diagrama de árbol adjunto
a. Para calcular la probabilidad de que la pieza elegida
sea defectuosa, P(D), por la propiedad de la
probabilidad total,
P(D) = P(A) · P(D/A) + P(B) · P(D/B) + P(C) · P(D/C) =
0.45 · 0.03 + 0.30 · 0.04 + 0.25 · 0.05 = 0.038
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Solución:
b) Debemos calcular P(B/D), Por el teorema de Bayes,
c) Calculamos P(A/D) y P(C/D), comparándolas con el valor de P(B/D) ya
calculado. Aplicando el teorema de Bayes, obtenemos:
La máquina con mayor probabilidad de haber producido la pieza defectuosa es A:
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Ejemplo :
La textilera “Ecotexa”, compra un cargamento de telas de tres casas proveedoras. Un 30% de las telas se adquieren en “Casa Ochoa”, 20% a “Casa Textiles del Sur”, y el 50% sobrante a “Tituanatex”. Ecotexa posee información de las tres casas y sabe que 3% de la mercadería de “Casa Ochoa” son defectuosas, 5% de telas de “Casa Textiles del Sur” no son aceptables, y que 4% de telas de “Tituanatex” tienen algún tipo de defecto. Al llegar a bodega no son seleccionados y se toma un paquete de telas que resultan ser defectuosas. Cuál es la probabilidad de que esta mercadería sea de “Casa Ochoa”?.
Solución:
Existen tres eventos mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos, que son las tres casas:
A1: mercadería de compro en “Casa Ochoa”,
A2: mercadería de compro en “Casa Textiles del Sur”,
A3: mercadería de compro en “Tituanatex”.
Las probabilidades a priori son:
P(A1) =(30/100)= 0.30 probabilidad de mercadería adquirida por “Casa Ochoa”.
P(A2) =(20/100)= 0.20 probabilidad de mercadería adquirida por “Casa Ochoa”.
P(A3) =(40/100)= 0.40 probabilidad de mercadería adquirida por “Casa Ochoa”.
PROBABILIDADES CONDICIONALES:
P(B|A1) = (3/100)= 0.03 mercadería de “Casa Ochoa ”, sea defectuosa.
P(B|A2) = (5/100)= 0.05 mercadería de “Textiles de Sur ”, sea defectuosa.
P(B|A3) = (4/100)= 0.04 mercadería de “Tituanatex ”, sea defectuosa.
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Solución:
Existen tres eventos mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos, que son las
tres casas:
A1: mercadería de compro en “Casa Ochoa”,
A2: mercadería de compro en “Casa Textiles del Sur”,
A3: mercadería de compro en “Tituanatex”.
Las probabilidades a priori son:
P(A1) =(30/100)= 0.30 probabilidad de mercadería adquirida por “Casa Ochoa”.
P(A2) =(20/100)= 0.20 probabilidad de mercadería adquirida por “Casa Ochoa”.
P(A3) =(40/100)= 0.40 probabilidad de mercadería adquirida por “Casa Ochoa”.
PROBABILIDADES CONDICIONALES:
P(B|A1) = (3/100)= 0.03 mercadería de “Casa Ochoa ”, sea defectuosa.
P(B|A2) = (5/100)= 0.05 mercadería de “Textiles de Sur ”, sea defectuosa.
P(B|A3) = (4/100)= 0.04 mercadería de “Tituanatex ”, sea defectuosa.
La probabilidad de que un paquete de telas que resultan ser defectuosas sea de “Casa
Ochoa”, lo podemos encontrar aplicando el Teorema de Bayes.
Se desea calcular P(A1|B1) , donde A1 se refiere a Casa Ochoa, y B1 de que la
mercadería resulte defectuosa.
P(A1 |B1) = P(A1)P(B1|A1) / ( P(A1)P(B1|A1) + P(A2) P(B1|A2) + P(A3) P(B1|A3) )
= (0.30)(0.03)
= (0.30)(0.03)/((0.20)(0.02)(0.50)(0.05))
= 0.009/0.039 = 0.2308
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Ejemplo: En un experimento de
condicionamiento se sitúa a una rata en el
centro de un laberinto como el de la figura. En
cada uno de los ensayos la rata elige siempre
uno de los tres caminos (A1, A2, A3) con igual
probabilidad (P(A1)=P(A2)=P(A3)=1/3). El suelo
de cada uno de estos tres caminos es una rejilla
eléctrica que dispensa una descarga (D) de 5V
a la rata, una vez que lo ha pisado, con distinta
probabilidad : ¾ para A1, ¼ para A2 y 0 para A3.
En un determinado ensayo la rata no recibió la
descarga eléctrica. ¿Cuál es la
probabilidad de que haya elegido el camino A1
?. ¿Y el A2 ?. ¿Y el A3 ?
A2
A1
A3
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Ejemplo: En un experimento de condicionamiento se sitúa a una rata en el
centro de un laberinto como el de la figura. En cada uno de los ensayos la rata
elige siempre uno de los tres caminos (A1, A2, A3) con igual probabilidad
(P(A1)=P(A2)=P(A3)=1/3). El suelo de cada uno de estos tres caminos es una
rejilla eléctrica que dispensa una descarga (D) de 5V a la rata, una vez que lo
ha pisado, con distinta probabilidad : ¾ para A1, ¼ para A1 y 0 para A1.
En un determinado ensayo la rata no recibió la descarga eléctrica. ¿Cuál es la
probabilidad de que haya elegido el camino A1 ?. ¿Y el A1 ?. ¿Y el A3 ?
A3
f
A2
A1
A3
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Ejemplo: A un sospechoso se le aplica una prueba de la verdad que se sabe quees confiable en 90% cuando la persona es culpable y en 99% cuando la personaes inocente. En otras palabras el 10% de los culpables se consideran inocentescuando se usa la prueba y el 1% de los inocentes se juzgan culpables. Si elsospechoso se escogió de un grupo del cual solo 5% han cometido alguna vez uncrimen y la prueba indica que la persona es culpable, ¿cuál es la probabilidad deque sea inocente?
Solución: Sean los eventos
DC= “Declarado culpable” DI= “Declarado Inocente” C= “Culpable” I= “Inocente”
La probabilidad de que la persona declarada culpable sea inocente es del 0.174
174,0)01,0*95,0()9,0*05,0(
01,0*95,0
P(DC/C)= 90% = 0,9 P(DC/I)= 1% = 0,01 P(C)= 5% = 0,05 P(I)= 95% = 0,95
)/(*)()/(*)(
)/(*)(
)()(
)/(*)(
)(
)()/(
IDCPIPCDCPCP
IDCPIP
IDCPCDCP
IDCPIP
DCP
DCIPDCIP
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Ejemplo:
Una caja contiene 6 tubos de radio de los cuales tres son
defectuosos. Se prueban los tubos unos tras otro hasta que
se descubren dos defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de
que se suspenda el proceso en la:
a. Segunda prueba,
b. En la tercera prueba?
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Ejemplo:
Un ingeniero tiene en su mano dos cajas de resistores, cada una con cuatro de
éstos. Los resistores de la primera caja están etiquetados con 10Ω (ohms), pero,
de hecho, sus resistencias son de 9, 10, 11 y 12 Ω. Los resistores de la segunda
caja tienen la etiqueta de 20Ω, pero sus resistencias son de 18, 19, 20 y 21 Ω. El
ingeniero elige un resistor de cada caja y determina la resistencia de cada uno.
Sea:
• A, el evento para el cual el primer resistor tiene una resistencia mayor a 10,
• B el evento en el que el segundo resistor tiene una resistencia menor a 19 y
• C el evento en el cual la suma de las resistencias es igual a 28.
Determine un espacio muestral para este experimento y especifique los
subconjuntos que corresponden a los eventos A, B y C.
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Ejemplo:
En un proceso que fabrica latas de aluminio, la probabilidad de que una
lata tenga alguna fisura en su costado es de 0.02, la de que otra la tenga
en la tapa es de 0.03 y de que una presente una fisura en el costado y en
la tapa es de 0.01. ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir una lata, en
forma aleatoria, tenga una fisura? ¿Cuál es la probabilidad de que no la
tenga?.
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Ejemplo:
En muchas áreas industriales es común que se utilicen máquinas para llenar las
cajas de productos. Esto ocurre tanto en la industria de comestibles como en otras
que fabrican productos de uso doméstico, como los detergentes. Dichas maquinas
no son perfectas y, de hecho, podrían:
• Cumplir las especificaciones de llenado de las cajas (A),
• Llenarlas por debajo del nivel especificado (B) o
• Rebasar el límite de llenado (C).
Por lo general, lo que se busca evitar es la práctica del llenado insuficiente.
Sea P(B) = 0.001, mientras que P(A) = 0.990.
a) Determine P(C).
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la maquina no llene de manera suficiente?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que la maquina llene de más o de menos?
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La probabilidad de que un accidente de
aviación sea correctamente previsto debido a
fallas mecánicas es 0.85 y la probabilidad que
un accidente de aviación sea correctamente
previsto debido a fallas no mecánicas es 0.35.
Encontrar la probabilidad que un accidente de
aviación sea por fallas mecánicas, dado que
fue previsto correctamente, si el 30% de
accidentes de aviación es debido a fallas
mecánicas
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A los obreros de las fábricas se les motiva constantemente a practicar la tolerancia cero
para prevenir accidentes en el lugar de trabajo. Los accidentes pueden ocurrir porque el
ambiente o las condiciones laborales son inseguros. Por otro lado, los accidentes
pueden ocurrir por negligencia o fallas humanas. Además, los horarios de trabajo de
7:00 a.m. a 3:00 p.m.(turno matutino), de 3:00 p.m. a 11:00 p.m. (turno vespertino)y de
11:00 p.m. a 7:00 a.m. (turno nocturno)podría ser un factor. El año pasado ocurrieron
300 accidentes.
Los porcentajes de los accidentes por la combinación de condiciones son los que
siguen:
Si se elige aleatoriamente un reporte de accidente de entre los 300 reportes,
a. ¿Cuál es la probabilidad de que el accidente haya ocurrido en el turno nocturno?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que el accidente haya ocurrido debido a una falla humana?
¿Cuál es la probabilidad de que el accidente haya ocurrido debido a las condiciones
inseguras? ¿Cuál es la probabilidad de que el accidente haya ocurrido durante los turnos
vespertino o nocturno?
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Una compañía está estudiando la posibilidad de construir una
granja en un cierto sector agropecuario. La compañía
considera de gran importancia la construcción de un
reservorio en las cercanías del lugar. Si el gobierno aprueba
este reservorio la probabilidad de que la compañía construya
la granja es 0.9, de otra manera la probabilidad es de sólo
0.2. El presidente de la compañía estima que hay una
probabilidad de 0.6 de que el reservorio sea aprobado.
a. Hallar la probabilidad de que la compañía construya la
granja.
b. Si la granja fue construida, hallar la probabilidad de que el
reservorio haya sido aprobado.
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En la Empresa PRODUCCIÓN DE CALIDAD, se
implementa un sistema de seguridad donde hay
instalada una alarma. La probabilidad de que se
produzca un peligro es 0.2. Si se produce, la
probabilidad de que la alarma funcione es 0.94. La
probabilidad de que la alarma funcione sin haber
peligro es 0.03. Hallar:
a. La probabilidad de que funcione la alarma
b. Probabilidad de que haya un peligro y, para
colmo, la alarma no funcione.
