Estadística II Semana 2

Estadstica II

Semana 2 Ing. Coralia Zavala.

Estadstica para

Administracin

Estadstica Aplicada a los Negocios y a la Economa. Lind/Marchal, Estadstica para Administracin y Economa/ Anderson Sweey.

Distribucin de Probabilidad

Hipergeomtrica La distribucin de probabilidad hipergeomtrica est estrechamente relacionada con la distribucin binomial. Pero difieren en dos puntos: en la distribucin hipergeomtrica los ensayos no son independientes y la probabilidad de xito vara de ensayo a ensayo.

En la notacin usual en la distribucin hipergeomtrica, r denota el nmero de elementos

considerados como xitos que hay en una poblacin de tamao N, y N - r denota el nmero de elementos considerados como fracasos que hay en dicha poblacin.

Estadstica Aplicada a los Negocios y a la

Economa. Lind/Marchal, Estadstica para

Administracin y Economa/ Anderson

Sweey.

Al aplicar una distribucin binomial, la

probabilidad de que ocurra un xito deber

permanecer igual en cada prueba. Por

ejemplo, la probabilidad de adivinar una

respuesta de verdadero es la misma de una

respuesta de falso, 0.50.

En la probabilidad binomial cuando

selecciona un elemento de la muestra este

despus regresa a la poblacin para volver

a elegir nuevamente.




Sweey.

Sin embargo en muchos casos parte del

muestreo se realiza sin reemplazos, es decir

que en poblaciones reducidas como n=20

despus de una primera muestra con

probabilidad de 1/20 solo quedan 19

elementos para la seleccin es decir su

probabilidad es de 1/19, en y una tercera

seria 1/18

Esto sucede en poblaciones finitas donde

conocemos el nmero de elementos de

una poblacin.




Sweey.

Probabilidad binomial (Probabilidad de xito

igual para todas).

Probabilidad hipergeomtrica.(Probabilidad de

xito distinta debido a muestras sin reemplazos).




Sweey.

Requisitos para aplicar la distribucin

de pruebas hipergeomtricas.

1. Los resultados de una prueba se clasifican en xito o fracaso.

2. La variable aleatoria es el nmero de xitos de un nmero fijo de pruebas.

3. Las pruebas no son independientes, es decir que si se selecciona una muestra de una poblacin finita no se vuelve a reemplazar.

4. El tamao de la muestra n es mayor que 5% del tamao de la poblacin.




Sweey.

Frmula de probabilidad

hipergeomtrica.

Donde:

N representa el tamao de la poblacin.

S es el nmero de xitos de la poblacin.

X el nmero de xitos de la prueba.

n es el tamao de la muestra y

C es el smbolo de combinacin.

P(x)= ( )(

)




Sweey.

Ejercicio:

Play Time Toys Inc., tiene 50 empleados en el departamento de ensamble. Cuarenta empleados pertenece a un sindicato, y diez no. Se eligen al azar cinco empleados para formar un comit que hablar con la empresa sobre los horarios de inicio de los turnos. cul es la probabilidad de que cuatro de los cincos empleados elegidos para formar parte del comit pertenezcan a un sindicato?




Sweey.

Solucin.

En este caso la poblacin son todos los

empleados de ensamble (50), solo se

puede elegir una vez a un empleado

para formar parte del comit es decir una

vez elegido no se puede volver a

seleccionar, de ah que cada nueva

prueba cambia la probabilidad.




Sweey.

Los datos del problema son:

N=50, nmero total de empleados.

S=40, nmero de empleados sindicalizados.

X=4, el nmero de empleados elegidos sindicalizados.

n=5 nmero de empleados elegidos.

Sustituyendo los valores obtenemos:

P(x)= ( )(

)

= P(x)=

(40 4 )(50 40 5 4

)

505

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Sweey.

P(4)= (

40!

4!36!)(

10!

1!9!)

50!

5!45!

= (91390)(10)

2118760=0.431

Este quiero decir que la probabilidad de

elegir al azar a 5 trabajadores de ensamble

de los 50 trabajadores y encontrar que 4 de

5 son sindicalizados es del 0.431




Sweey.

Uso de tablas para probabilidades

hipergeomtricas.

Tarea: Capitulo 6: 25,27 y 29




Sweey.

Distribucin de Probabilidad

de Poisson. Este tipo de distribucin describe el nmero de veces

que se presenta un evento durante un intervalo especifico. En esta seccin estudiar una variable aleatoria discreta que se suele usar para estimar el nmero de veces que sucede un hecho determinado (ocurrencias) en un intervalo de tiempo o de espacio.

Por ejemplo, la variable de inters va desde el nmero de automviles que llegan (llegadas) a un lavado de coches en una hora o el nmero de reparaciones necesarias en 10 millas de una autopista hasta el nmero de fugas en 100 millas de tubera. Si se satisfacen las condiciones siguientes, el nmero de ocurrencias es una variable aleatoria discreta, descrita por la distribucin de probabilidad de Poisson.




Sweey.

PROPIEDADES DE UN EXPERIMENTO DE

POISSON

1. La probabilidad de ocurrencia es la

misma para cualesquiera dos intervalos

de la misma magnitud.

2. La ocurrencia o no-ocurrencia en

cualquier intervalo es independiente de

la ocurrencia o no-ocurrencia en

cualquier otro intervalo




Sweey.

Frmula

La distribucin de Poisson se describe

matemticamente de la siguiente

manera.




Sweey.

Media y varianza

La media de nmero de xitos, puede determinarse con n; en este caso n es el nmero de total de pruebas y la probabilidad de xito.

La varianza de Poisson es igual a su media.




Sweey.

La media de una distribucin de Poisson

=

Diferencias En una distribucin binomial, existe una

cantidad fija de pruebas, por ejemplo en una

prueba de seleccin mltiple de cuatro

preguntas, la variable aleatoria x solo puede

tomar valores de 0,1,2,3 y 4 xitos(preguntas

respondidas correctamente),sin embargo la

variable aleatoria x para una probabilidad de

Poisson pueden adoptar una infinidad de

valores, es decir 0,1,2,3,4,5 Aunque las probabilidades se van reduciendo despus de

las primeras veces que se presenta un evento.




Sweey.

Ejemplo: Suponga que desea saber el nmero de llegadas, en un lapso de 15 minutos, a la rampa del cajero automtico de un banco. Si se puede suponer que la probabilidad de llegada de los automviles es la misma en cualesquiera dos lapsos de la misma duracin y si la llegada o nollegada de un automvil en cualquier lapso es independiente de la llegada o nollegada de un automvil en cualquier otro lapso, se puede aplicar la funcin de probabilidad de Poisson. Dichas condiciones se satisfacen y en un anlisis de datos pasados encuentra que el nmero promedio de automviles que llegan en un lapso de 15 minutos es10.

La administracin desea conocer la probabilidad que 5 automviles lleguen en 15 minutos.




Sweey.

Solucin

Aqu la variable aleatoria es x nmero de

automviles que llegan en un lapso de 15

minutos, y = 10. Si la administracin desea saber la probabilidad de que lleguen

exactamente cinco automviles en 15

minutos, x = 5, y se obtiene:

P(x)=

!=

10510

5! =0.03783

Puede verificarlo con la tabla del apndice

B.5




Sweey.

La media de la distribucin de Poisson en el

ejemplo anterior fue =10 llegadas en un lapso de 15 minutos. Una propiedad de la distribucin

de Poisson es que la media y la varianza de la

distribucin son iguales. Por tanto, la varianza

del nmero de llegadas en un lapso de 15

minutos es 2 = 10. La desviacin estndar es

2 = 10 =3.16.




Sweey.

En el ejemplo anterior se us un lapso de 15 minutos, pero tambin se usan otros lapsos. Suponga que desea calcular la probabilidad de una llegada en un lapso de 3 minutos. Como 10 es el nmero esperado de llegadas en un lapso de 15 minutos: 10/15= 2/3 es el nmero esperado de llegadas en un lapso de un minuto y que (2/3)(3 minutos)= 2 es el nmero esperado de llegadas en un lapso de 3 minutos. Entonces, la probabilidad de x llegadas en un lapso de 3 minutos con =2 est dada por la siguiente funcin de probabilidad de Poisson.

P(x)=

!=

212

1! =0.2707




Sweey.

Ejercicios del Capitulo

37,38,41,43,45,49,51,55,57,63,65

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