TEMA 2

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA PARA UNA VARIABLE

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TÉCNICAS ESTADÍSTICAS

❚ Las técnicas de estadística descriptiva que pueden aplicarse sobre las tablas de datos dependen de la naturaleza de las variables implicadas:

❙ Técnicas para variables cualitativas❙ Técnicas para variables cuantitativas

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VARIABLES CUALITATIVAS

❚ Lo único que podemos hacer con las variables cualitativas es “contar cuántas veces aparece cada una de sus modalidades en un conjunto de individuos”.

❚ Sólo cabe hacer RECUENTOS y CÁLCULO DE PORCENTAJES.

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FRECUENCIAS ABSOLUTAS Y RELATIVAS

❚ Frecuencias absolutas: recuento del número de individuos que pertenecen a cada una de las modalidades de la variable.

❚ Frecuencias relativas: cálculo del porcentaje de individuos que pertenecen a cada una de las modalidades de la variable.

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FRECUENCIAS ACUMULADAS

❚ Sólo tienen sentido en el caso de variables de tipo ordinal.

❚ Pueden ser absolutas o relativas.❚ Representan el número (o porcentaje) de

pertenecientes “a cada modalidad de la variable ordinal o a las anteriores”.❙ Ejemplo: Personas de clase media o menos,

es decir de clase baja o clase media.

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REPRESENTACIONES GRÁFICAS

❚ La fundamental es el gráfico de barras

(no confundir con un histograma).

❚ Caben otras representaciones como

pictogramas, gráficos de sectores,

etcétera.

VARIABLES CUANTITATIVAS

◆ Medidas de posición.◆ Medidas de dispersión◆ Medidas de simetría◆ Representaciones gráficas

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LAS MEDIDAS RESUMEN

❚ Nos dan una idea de cómo son los valores de la variable que estamos estudiando.

❚ Veremos tres tipos:❙ Medidas de posición o de tendencia central❙ Medidas de dispersión❙ Medidas de asimetría

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MEDIDAS DE POSICIÓN

❚ Nos dan una idea acerca de los valores centrales de la variable, aquellos alrededor de los cuales se acumulan los demás.

❚ Hay tres medidas de posición fundamentales:❙ Media aritmética❙ Mediana❙ Moda

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MEDIA ARITMÉTICA

❚ Es la medida de posición más “popular”❚ Es muy sensible a la existencia de datos

extremos (menos robusta que la mediana).

N

XN

ii

X

∑== 1µ

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MEDIANA

❚ Es aquel valor de la variable que es mayor que la mitad de las observaciones y menor que la otra mitad.

❚ En caso de que el número de observaciones sea par, es la media aritmética de los dos valores centrales.

❚ Es una medida muy robusta, esto es, poco sensible a la existencia de valores extremos.

Es un caso particular del concepto de PERCENTIL

Mediana vs. media

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MODA

❚ Es el valor de la variable que más se repite

❚ Se habla de variables unimodales y multimodales

❚ Es la menos empleada de las medidas de posición

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MEDIDAS DE DISPERSIÓN

❚ Nos dan una idea acerca de la heterogeneidad de la variable.

❚ Estudiamos tres medidas de dispersión:❙ Varianza❙ Desviación estándar o típica❙ Coeficiente de variación

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VARIANZA

❚ Es la medida de dispersión más “popular” junto con la desviación estándar.

❚ Siempre toma valores no negativos.❚ Cuanto mayor sea su valor mayor es la heterogeneidad

de la variable.

( )N

XN

iXi

X

∑=

−= 1

2

2

µσ

MENOS VARIANZA MÁS VARIANZA

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DESVIACIÓN ESTÁNDAR

❚ La varianza está en unidades “al cuadrado”.

❚ Por eso se calcula su raíz cuadrada, la desviación estándar (o desviación típica).

( )N

XN

iXi

XX

∑=

−== 1

2

2

µσσ

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COEFICIENTE DE VARIACIÓN

❚ Ni la varianza ni la desviación estándar están acotadas.

❚ Es necesario contar con un coeficiente relativo: el coeficiente de variación.❙ Ejemplo: elefantes y gatos:

❚ Un CV superior a 1 indica heterogeneidad

X

XCVµσ=

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MEDIDAS DE ASIMETRÍA

❚ Asimetría positiva: cuando existen unos pocos valores extremadamente elevados y la mayoría son bajos.❙ El índice de asimetría es positivo❙ La media es mayor que la mediana

❚ Asimetría negativa: cuando existen unos pocos valores extremadamente bajos y la mayoría son altos.❙ El índice de asimetría es negativo❙ La media es menor que la mediana

❚ Variable simétrica:❙ Índice de asimetría cero❙ La media coincide con la mediana

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MEDIDAS DE ASIMETRÍA

ASIMETRÍA POSITIVA

ASIMETRÍA NEGATIVA

SIMETRÍA

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REPRESENTACIONES GRÁFICAS

❚ La representación gráfica básica es el histograma❙ “Agrupamos” los valores en clases, intervalos (de la

misma longitud) de la variable inicial.❙ Sobre cada intervalo dibujamos un rectángulo de

altura proporcional a la frecuencia absoluta o relativa.

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FUNCIÓN DE DENSIDAD

❚ Si el histograma de la variable representa frecuencias relativas, el área que recoge es 1.

❚ En el límite, cuando el número de clases tiende a infinito, las irregularidades del histograma se suavizan y llegamos al concepto de función de densidad.

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FUNCIÓN DE DENSIDAD (II)

❚ Para ser función de densidad, una función R->R debe cumplir dos propiedades:❙ Tomar siempre valores positivos.❙ El área que encierra bajo ella vale 1.

❚ Un ejemplo muy común de función de densidad es la distribución NORMAL.

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LA DISTRIBUCIÓN NORMAL

• Es unimodal, y la moda y la mediana coinciden con la media.

• Es simétrica alrededor de la media.

• Nunca “toca” el eje de abscisas (es asintótica)

• El área bajo la función es 1.

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LA DISTRIBUCIÓN NORMAL (II)

❚ Tiene dos parámetros que la determinan inequívocamente:❙ Media ❙ Varianza

❚ Por tanto, existen infinitas distribuciones normales.

❚ La tipificación nos permite emplear una única tabla.

µ2σ

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TIPIFICACIÓN

❚ Es el proceso de convertir una variable normal cualquiera en una normal estándar

❚ La puntuación Z mide la lejanía de un individuo respecto a la media y la compara con la lejanía respecto a la media del conjunto de todos los individuos.

❚ A partir de la tipificación (y consultando las tablas adecuadas) podemos calcular probabilidades.

ZX

X

X ≈−σ

µ