Practica 3

Representaciones graficas

Introduccion y objetivos

Cualquier experimento tiene por finalidad, o bien verificar experimentalmente un mo-delo predicho teoricamente, o bien estudiar un fenomeno y obtener informacion experimen-tal que es usada para elaborar un modelo que describa el fenomeno. Para ello, usualmentedeben medirse distintas cantidades fsicas y relacionarlas para establecer una dependenciafuncional (relacion matematica que mejor describe al fenomeno). En comparacion con lastablas, esta informacion experimental se pone de manifiesto mediante una representaciongrafica de una forma mas eficiente. Ademas, estas representaciones nos permiten predecirpor interpolacion o por extrapolacion el comportamiento de valores o regmenes no ex-plorados por el experimento mismo. De forma general, las graficas son una ayuda visualmuy efectiva las cuales nos permiten resaltar tendencias y relaciones entre datos experi-mentales, probar teoras, buscar evidencia de errores sistematicos y extraer parametrosadicionales que caracterizan el conjunto de datos.

En esta practica se examinaran los criterios necesarios para la buena elaboracion einterpretacion de un grafico de datos experimentales, los diferentes tipos de graficos yel metodo de ajuste de curva por el metodo de los mnimos cuadrados, todo esto conel objetivo de que al finalizar la lectura de este captulo usted debera poder hacer losiguiente:

1. Representar graficamente una data experimental.

2. Analizar cualitativamente una grafica de datos experimentales.

3. Determinar los parametros de la recta en una grafica lineal (pendiente e intercep-cion).

4. Determinar cuando conviene utilizar escalas logartmicas para linealizar una grafica.

5. Ajustar rectas mediante regresion lineal por el metodo de mnimos cuadrados.

Consideraciones generales

En las practicas que hemos realizado hasta ahora se ha abordado el problema demedir una sola cantidad fsica. La incapacidad de reproducir la medida exactamente y la

5

6 PRACTICA 3. REPRESENTACIONES GRAFICAS

apreciacion finita de los instrumentos llevaron a la necesidad de repetir la medida hastadisponer de un conjunto sobre el cual se aplican metodos estadsticos.

En las practicas siguientes vamos estudiar como se comporta una cantidad fsica alvariar otros parametros; el objetivo es establecer la dependencia funcional, esto es, larelacion matematica que mejor describe al fenomeno. De manera recproca, el interespodra ser tambien el de verificar experimentalmente un modelo predicho teoricamente oincluso, proponer otra teora que explica mejor el fenomeno.

En estos casos, la informacion experimental se pone de manifiesto al representarla demanera visual mediante el uso de graficos. De los mismos se puede deducir la relacionmatematica que vincule las variables involucradas. Tambien es posible de un grafico pre-decir por interpolacion o por extrapolacion comportamientos en valores o regmenes noexplorados por el experimento mismo.

Para observar la relacion entre dos cantidades variables se procede a dibujar un parde ejes mutuamente perpendiculares, donde generalmente se representa a la variable in-dependiente a lo largo del eje horizontal o abscisa y a la variable dependiente a lo largodel eje vertical u ordenada. En cada eje se asigna una escala que dan los posibles valoresde las variables correspondientes; esta asignacion depende de las necesidades de la repre-sentacion grafica. El par de ejes perpendiculares y las escalas constituyen un sistema decoordenadas cartesianas.

Criterios para elaborar una grafica de data experimen-

tal

Para observar la relacion entre dos cantidades variables usualmente son representadasen un sistema de coordenadas cartesianas, el cual consistes en un par de ejes mutuamenteperpendiculares: el horizontal o eje x y el vertical o eje y. La coordenada x es tambienllamada la abscisa y la coordenada y como la ordenada. Por convencion la variable inde-pendiente (el parametro que el experimentador esta variando) es representada en el eje xy la variable dependiente (el parametro que esta midiendo) en el eje y.

A continuacion son presentados un grupo de instrucciones para una buena representargraficamente datos experimentales:

1. Considerar la linealizacion los datos para generar un grafico lineal.

2. Use escalas apropiadas para los ejes tales que la mayor parte del area de la graficasea utilizada. Un problema comun consiste en definir el valor mnimo del rango deleje, el cual en ocasiones es ajustado a 0 sin una justificacion.

3. Etiquete cada eje con la cantidad fsica correspondiente y su unidad de medida; yasea escribiendo la unidad entre parentesis despues de la cantidad longitud (m),o la unidad separada de la cantidad con una barra invertida longitud/m. Useunidades del SI y prefijos o notacion cientfica para los numeros muy grandes o muypequenos.

4. El grafico tiene que estar acompanado con su respectivo ttulo.

75. Agregue los puntos experimentales con su respectivo error mediante el uso de barrasque acotan la extension del error alrededor del punto (Ver figura 3.1). En muchoscasos se suele indicar los puntos mediante un pequeno crculo (). Esto es practica-mente util cuando el error es irrepresentable.

xy

Figura 3.1: Region de incerteza alrededor de un punto.

6. Agregue una lnea de ajuste o de tendencia, ya sea una lnea recta o una curva suave,continua y sin quebraduras para distinguir la tendencia del conjunto de datos, o delmodelo teorico adecuado. La curva debe pasar por la mayora de las zonas de error,tratando de minimizar sus desviaciones y en lo posible, que los puntos experimentalesqueden uniformemente distribuidos a ambos lados de la curva.

Una buena grafica le permite al lector asimilar rapidamente los puntos claves de los datos.Como tal, es necesita que sea simple, clara y que contenga toda informacion pertinente.

En la figura 3.2 se muestra un ejemplo de una buena representar graficamente datosexperimentales.

Lnea de ajusteo de tendencia

Ttulo

x

y

3

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 2 4 6 8 10

Mas

a (g)

Volumen (cm )

Figura 3.2: Ejemplo de una buena representar graficamente datos experimentales.

Linealizacion de los datos

Cuando construimos una grafica, lo primero que salta a la vista es la tendencia quesigue el conjunto de los puntos experimentales. Podra suceder que haya algun punto queno sigue la tendencia global de los demas, en estos casos se deberla revisar si el punto hasido dibujado en el lugar correcto o si es el producto de una medida realizada en formaincorrecta. En las situaciones mas sencillas, los puntos podran quedar alineados en una

8 PRACTICA 3. REPRESENTACIONES GRAFICAS

recta. Ahora, en el caso de que la tendencia sea curvilnea, es aconsejable siempre tratarde mostrar una relacion lineal entre las variables dependientes e independientes. Estoes porque el analisis de la curva para hallar la ecuacion emprica que mejor se ajusta alos datos experimentales, podra resultar complicado. Existen varias maneras de lograrlo,segun sea el caso. Si no disponemos de un modelo hipotetico, podramos probar conalgunas funciones de ocurrencia muy comun en fenomenos fsicos, como lo son la funcionexponencial y la funcion potencial. En todo caso, la linealizacion se efectua haciendotransformaciones matematicas de la o las variables medidas. Por ejemplo, se sabe queel perodo T de un pendulo simple depende en la longitud L por medio de la siguienterelacion:

T = 2pi

L

g

donde la g es la aceleracion debido a la gravedad. Si se obtienen un conjunto de longitudesdel pendulo (la variable independiente) y se experimentan para obtener medidas multiplesdel perodo (la variable dependiente), al graficar el perodo T en el eje vertical (eje y)versus L en el eje horizontal (eje x) se obtiene una curva. Ahora, estos mismos datos sepuede linealizar mediante un cambio apropiado de variable, en el cual se puede graficarlos valores del perodo elevado al cuadrado (T 2) en el eje vertical (eje y) versus L enel eje horizontal (eje x), donde deberamos conseguir una lnea recta que pase a travesdel origen, y de esta forma poder extraer un valor para g y con su respectivo error deuna forma sencilla por medio de la pendiente de dicha recta. Note que la terminologaconvencional es llamar a esta como una grafica de T 2 en funcion de L.

Agregando una lnea de ajuste o de tendencia

Hay dos tipos de lnea de ajuste o de tendencia, que se le podemos anadir a una grafica:lineal y no-lineal. Si una inspeccion visual de la grafica confirma una dependencia lineal,podemos agregar una lineal recta de tendencia. En caso contrario, donde el modelo teoricono pueda ser linearizado, se puede agregar la funcion no lineal apropiada.

Ajuste lineal

Los experimentos a menudo estan disenados de tal forma que la variable dependienteexhibe una dependencia lineal con la variable independiente. Hay resultados analticossimples para calcular la mejor lnea recta de ajuste para un conjunto de datos.

Para un buen ajuste esperamos que la lnea de tendencia pase por dentro de las barrade error estandar de las dos terceras partes de los puntos de datos.

Si los datos son bien modelados por una lnea recta dada por la expresion y = mx+ b,es posible conocer la pendiente (m), la interseccion (b) y sus respectivas incertidumbres,usando un proceso conocido como el metodo de mnimos cuadrados, derivando expresionesanalticas para cada una de las cuatro variables. Los resultados son:

b =

i x

2i

i yi

i xi

i xiyi

(3.1)

y

m =N

i xiyi

i xi

i yi

(3.2)

9con el error en la interseccion y el de la pendiente,

b = CU

i x

2i

, m = CU

N

(3.3)

donde

= Ni

x2i (

i

xi

)2(3.4)

y la llamada incertidumbre comun CU definida como

CU =

1

N 2i

(yi mxi b)2 (3.5)

La incertidumbre comun esencialmente representa una aproximacion para la magnitudde la incertidumbre en las medidas de y, asumidas como comunes para todos los puntosde datos, suponiendo que la lnea recta es el modelo teorico apropiado para describir losdatos.

Interpolar y extrapolar

Al incluir una lnea de tendencia a un conjunto discreto de datos, obtenemos unmodelo subyacente del fenomeno con una cierta confianza. Sin embargo, debemos sermuy cuidadosos con la sobre-interpretacion de los datos, ya que en realidad solo tenemosnuestros pares de medidas discretas de las variables dependiente e independiente, y susincertidumbres.

El proceso de usar la lnea de ajuste o de tendencia, ya sea lineal o una curva suave,para inferir un valor desconocido de la variable dependiente para un valor de la variableindependiente entre dos puntos medidos se llama interpolar. El proceso de predecir unvalor para la variable dependiente cuando la variable independiente esta fuera del rango demedidas se llama extrapolar; ambos procesos deberan ser usados con cautela. Hay muchosejemplos de fenomenos fsicos donde el comportamiento lineal para valores pequenos de lavariable independiente resulta mal para valores mas altos: Por ejemplo, un resorte muestraun comportamiento lineal como una funcion de la fuerza aplicada solo hasta el lmite deelasticidad.

Diferentes tipos de graficos

A continuacion se analiza el uso de tres tipos de papel grafico:

Papel milimetrado

Este papel es el de uso mas comun para hacer una representacion grafica. Las dosescalas son lineales lo cual permite la realizacion de graficos de forma muy sencilla.

Consideremos entonces el siguiente ejemplo: Mediante una balanza analtica se deter-minan las masas correspondientes a diferentes volumenes de una sustancia contenida enun envase. Los diferentes resultados estan dados en la siguiente tabla:

10 PRACTICA 3. REPRESENTACIONES GRAFICAS

Volumen (cm3) Masa (g)1, 5 0, 1 19 12, 1 0, 1 25 13, 2 0, 2 28 14, 0 0, 2 35 24, 8 0, 3 40 26, 0 0, 4 46 26, 9 0, 4 52 38, 0 0, 5 58 39, 2 0, 6 64 49, 9 0, 6 70 4

Tabla 3.1: Datos de un ejemplo con comportamiento lineal.

Si queremos hacer la representacion grafica en esta hoja, observamos primero quepodemos disponer de 15 cm de ancho por 12 cm de alto (media pagina). Dado que lavariable independiente cubre un rango de (2 a 10) cm3 resulta razonable escoger comoescala 1 cm: 1 cm3. Asimismo, para la variable dependiente que abarca (25 a 70) g sepuede escoger la escala 1 cm: 10 g El sistema de coordenadas cartesianas queda entoncescomo se muestra en la figura 3.3.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10

20

40

60

70

80

30

50

= Interseccinb

= Pendientea

Mas

a (g)

3Volumen (cm )

y = ax + b

x , y( )1 1

2x , y( )2

x

y

Figura 3.3: Grafica del ejemplo sobre papel milimetrado.

Debe senalarse que si bien en este caso la interseccion de los dos ejes correspondecon el cero de cada variable, no siempre ocurre as, y en muchos casos la interseccioncorresponde a valores numericos diferentes de cada variable. Asimismo, la eleccion de

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las escalas se hace de manera de poder ubicar rapidamente cualquier valor sobre el eje.Una vez representados los puntos experimentales con sus correspondientes barras de erroren ambos ejes, determinamos alrededor de cada punto una zona de error (o region deobservacion) definida por un rectangulo. Note que los tamanos de las barras de error notienen por que ser iguales pues las magnitudes de los errores pueden ser diferentes paracada medida experimental.

De la figura 3.3 podemos ver que la curva descrita por los puntos experimentales esuna recta. Es decir, la relacion y = f(x) entre las variables es una funcion lineal:

y = ax+ b (3.6)

Donde x es la variable independiente, y es la variable dependiente, a es la pendiente de larecta y b es la interseccion. La determinacion de la relacion funcional entre las variablesse reduce a la determinacion de las constantes a y b.

Dado que b es la ordenada en el origen, puede ser determinada extrapolando la rectahasta cortar el eje de las ordenadas cuando este ultimo corresponde al cero del eje de lasabscisas. En nuestro ejemplo, para V = 0 se obtiene m = 11 g, valor que denotaremoscomo m0.

La pendiente a se determina tomando dos puntos cualesquiera de la recta (no dospuntos experimentales) y evaluando la relacion:

a =y2 y1x2 x1 (3.7)

Volviendo a nuestro ejemplo, podramos seleccionar como puntos (m; V): (61 g; 8,6 cm3)y (32 g; 3,6 cm3), por lo cual:

m

V=

(61, 0 32, 0)g(8, 6 3, 6)cm3 = 5, 8g/cm

3 (3.8)

valor que denotaremos como .La ecuacion resultante es entonces:

m = m0 + V m = 11g + (5, 8g/cm3)V (3.9)

la pendiente corresponde a la densidad de la sustancia usada, y la ordenada en el origenm0 a la masa del envase vaco.

Ahora bien, las constantes a y b que hemos determinado cuentan con sus respectivoserrores asociados, dado que esta abierta la posibilidad de trazar mas de una recta para elconjunto de puntos experimentales. Estos errores a y b se pueden determinar trazandolas dos rectas extremas de maxima y mnima pendientes que esten dentro de las zonas deerror de los puntos experimentales (Ver figura 3.4). Los valores de las constantes a y b,correspondientes a cada una de estas rectas se obtienen siguiendo el procedimiento antesexpuesto.

De esta manera quedan determinados los errores asociados a las constantes:

a =amax amn

2, b =

bmax bmn2

(3.10)

12 PRACTICA 3. REPRESENTACIONES GRAFICAS

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10

20

40

60

70

80

30

50

a mx

a mn

b mn

b mx

Mas

a (g)

3Volumen (cm )

x

y

Figura 3.4: Rectas de maxima y mnima pendiente para determinar los errores.

En el ejemplo mostrado se observa que:

m =(14, 0 9, 0)g

2 3g

y

max =(65, 0 40, 0)g(8, 5 4, 7)cm3 6, 3g/cm

3 , mn =(65, 0 19, 0)g(10, 0 1, 0)cm3 5, 1g/cm

3

=(6, 5 5, 1)g/cm3

2 0, 6g/cm3

La relacion final es entonces:

m = [(11 1)g] + [(5, 8 0, 5)g/cm3]VEn conclusion, tenemos que una representacion grafica en papel milimetrado nos puedeservir para poner de manifiesto si entre dos variables existe una dependencia lineal ono. En caso afirmativo se puede tambien obtener los valores de las constantes de esadependencia.

Papel semi-log

En muchas ocasiones al hacer una representacion grafica en papel milimetrado no seobtiene una recta sino una curva, tal como lo ilustra el siguiente ejemplo:

Sea una funcion del tipo exponencial y = A 10Bx (o bien y = A eBx). Al tomarlogaritmos en ambos lados se tiene la ecuacion de una recta:

log y = logA+ Bx (3.11)

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Esto sugiere usar una grafica de log y en funcion de x (grafico semi-log).Consideremos los datos mostrados en la tabla siguiente:

x 0 1 2 3 4 5 5 7 8 9 10y 1,040 2,012 3,893 7,532 14,57 28,19 54,55 105,5 204,2 395,1 764,4

Tabla 3.2: Datos un ejemplo de una funcion tipo exponencial.

En la figura 3.5 se muestra la representacion de la data en una escala lineal o papelmilimetrado.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

100

200

300

400

500

600

700

800

x

y

Figura 3.5: Grafica de un ejemplo de una funcion tipo exponencial sobre un papel milime-trado.

La inspeccion de esta data revela que los valores extremos de la variable dependiente,son ymn = 1 y ymax = 764, 4; y cubren 3 decadas (desde 10

0 hasta 103). La figura 3.6presenta el resultado de graficar los mismos datos haciendo uso de una escala logartmicapara el eje de las ordenadas y una escala lineal para el eje x (notese que la escala lo-gartmica ya esta indicada en el papel y por lo tanto no se puede cambiar; lo unico quepodemos hacer es indicar a cual potencia de 10 corresponde cada ciclo).

El grafico revela ahora una dependencia lineal entre las variables. Siguiendo los pro-cedimientos descritos y teniendo en cuenta que las ordenadas son ahora logaritmo de lavariable y, podemos determinar la ecuacion de la recta. La constante A es el valor de y(x = 0) y se determina por extrapolacion de la recta hasta cortar el eje de las ordenadas(logartmico) cuando este pasa por el punto cero del eje de abscisas (lineal). En nuestroejemplo tenemos directamente para x = 0, y = 1.

Para determinar la constante B se usa un procedimiento analogo al calculo de pendien-te en papel milimetrado pero cuidando de tomar el logaritmo de la variable dependiente.

14 PRACTICA 3. REPRESENTACIONES GRAFICAS

x

y

7

2

3

4

56

89

10

7

2

3

4

56

89

10

7

2

3

4

56

89

10

x10

2x

101

x10

0

0 3 4 5 6 7 8 9 10 111 2

Figura 3.6: Grafico de un ejemplo de una funcion tipo exponencial sobre un papel semilo-gartmico o semi-log de tres ciclos.

Tomando como base la ecuacion 3.11 de donde es inmediato determinar B como:

B = log y

x=

log y2 log y1x2 x1 (3.12)

siendo (y2, x2) y (y1, x1) dos puntos cualesquiera de la recta. En el caso particular queestamos considerando podemos seleccionar como puntos (y, x): (1000, 10,4) y (2, 1)

log y

x=

log 1000 log 110, 4 1 = 0, 288

La ecuacion es entonces (sin calculo de errores)

y = 1 100,28x

El calculo de errores para las constantes se realiza por el mismo procedimiento de rec-tas extremas de maxima y de mnima pendiente, realizado en el caso lineal en papelmilimetrado, y se deja como ejercicio.

Papel Log-Log

Tal como lo indica su nombre, el papel log-log tiene los dos ejes con escalas represen-tativas del logaritmo decimal de cada variable, y la construccion de cada escala es analogaal caso discutido en la subseccion anterior.

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T (K) con 2% R (W/m2) con 2%1200 1, 68 1041500 5, 51 1041800 1, 40 1052100 2, 98 1052400 5, 57 1052700 9, 58 1053000 1, 53 1063300 2, 41 1063600 3, 57 106

Tabla 3.3: Datos un ejemplo de una funcion potencial correspondiente a la Ley de Stefan-Boltzmann.

Supongamos una experiencia donde se mide la energa total radiada por unidad detiempo y por unidad de area de la superficie de un alambre de tungsteno como funcionde su temperatura absoluta (Ver tabla 3.3).

Al hacer la correspondiente representacion en papel milimetrado (Ver figura 3.7) y enpapel semi-log se obtienen curvas.

26R x10 (W/m )

x

y

T x10 (T)30

1

2

3

4

1 2 3 4

Figura 3.7: Grafico con escallas lineales en sus dos ejes de un ejemplo de comportamientode una funcion potencial.

Notese que los errores son irrepresentables.Podemos probar entonces representar tanto a la variable independiente como a la

dependiente en escala logartmica, para lo cual usamos un papel de (3x1) ciclos. Llevandodirectamente los valores obtenemos la siguiente grafica.

16 PRACTICA 3. REPRESENTACIONES GRAFICAS

x

y

2R

(W/m

)

2

4

3

56789

10

2

4

3

56789

10

2

4

3

56789

10

2 3 4 5 6 7 1098

x10

4x

105

x10

6

T x10 (T)3

Figura 3.8: Grafico logartmico (log-log) de un ejemplo de comportamiento de una funcionpotencial.

Una recta en papel log-log corresponde a una funcion de forma:

y = A xB (3.13)donde x es la variable independiente, y es la variable dependiente, A y B son constan-

tes.La constante A es el valor de y (x = 1) y se obtiene extrapolando la recta hasta

cortar el eje de ordenadas cuando este pasa por el valor 1 del eje de abscisa. Notese quees diferente de los casos anteriores donde se considera el valor 0 de la abscisa. En el papellog-log no existe cero, ya que log 0 = . En nuestro ejemplo no podemos extrapolar,por lo cual debemos primero calcular la otra constante B.

La determinacion del exponente B vuelve a ser un calculo de pendiente, pero donde setoma logaritmo decimal tanto a la variable dependiente como a la independiente, lo cualconduce a

log y = logA+ B log x (3.14)

de donde resulta obvio que:

B = log y

log x=

log y2 log y1log x2 log x1 =

log (y2/y1)

log (x2/x1)(3.15)

Para nuestro caso tomamos los puntos (R, T): (6, 5 105; 2500) y (2, 25 105; 2000) log R

log T=

log 6, 5 105 log 2, 25 105log 2500 log 2000 = 4, 75

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y el exponente es adimensional.Retornando a la constante A, esta debe ser determinada mediante la expresion analti-

ca 3.13. Para el punto (6, 5 105; 2500) tenemos

A =R

TB=

6, 5 105W/m2(2500K)4,75

= 4, 7065 1011 Wm2K4,75

La ecuacion de la recta representada es entonces:

R =(4, 7065 1011T4,75) W

m2

Nuevamente la consideracion de las rectas extremas de maxima y de mnima pendientepermite obtener los errores de las constantes y se deja como ejercicio.

Actividades a realizar durante la sesion de practica

El profesor hara un breve resumen de los criterios que se utilizan para las representa-ciones graficas de una data experimental y los metodos cualitativos para su analisis. Luegohara una demostracion en la computadora sobre la elaboracion de graficos mediante elprograma Excel. A continuacion damos una seleccion de ejercicios y actividades, algunasde las cuales podran ser seleccionadas para realizar durante la sesion de practica.

Verifiquemos la secunda lev de Kealer

En 1602, Kepler con los datos astronomicos de Tycho Brahe, pudo establecer que elcuadrado del periodo de cualquier planeta alrededor del Sol es proporcional al cubo dela distancia media del planeta al Sol. La siguiente tabla muestra para cada planeta, elsemieje mayor de la orbita elptica, a, y el correspondiente periodo T . Al lado se muestrauna grafica para ilustrar como quedara representada esta tabla de datos despues de lastransformaciones apropiadas. Utilizando la tabla nos proponemos verificar esta ley.

Planeta Semieje mayor a(1010 m) Perodo T (anos)Mercurio 5,79 0,241Venus 10,8 0,615Tierra 15,0 1,00Marte 22,8 1,88Jupiter 77,8 11,9Saturno 143 29,5Urano 287 84,0Neptuno 450 165Pluton 590 248

1. En papel milimetrado, haga la grafica de a3 en funcion de T 2. Halle la pendiente.

2. En papel logartmico, haga la grafica de log a en funcion de log T . Halle la pendiente.

18 PRACTICA 3. REPRESENTACIONES GRAFICAS

3. Con la relacion teorica de la segunda ley de Kepler:

a3 =

(GM

4pi2

)T 2 (3.16)

Siendo M la masa del Sol y G la constante de gravitacion universal. Compare losresultados obtenidos en los pasos anteriores Se verifica la tercera ley de Kepler?

4. Utilizando la computadora, inserte los datos de la tabla en una hoja de calculo ygrafique la distancia a en funcion del periodo T . Realice el ajuste de tendencia parauna funcion potencial, obtenga la ecuacion emprica y comparela con la relacionteorica Se verifica la tercera ley de Kepler?

Variacion lineal de velocidad en funcion del tiempo

El conductor de un automovil ve un obstaculo en la va y aplica los frenos. En lasiguiente tabla se da el registro de la velocidad v (m/s) en funcion del tiempo t(s):

t(s) 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0v(m/s) 19 16 14 13 10 7,5 5,0 2,4 1,1

Considere que los errores relativos son de 5% para t y de 10% para v.

1. Obtenga por metodos graficos los parametros de la recta con sus errores.

2. Obtenga los parametros de la recta por el metodo de los mnimos cuadrados.

3. Compare los resultados de los apartes previos.

Variacion exponencial de la conductividad electrica con la tem-peratura

La conductividad electrica (1/cm) de un cristal semiconductor de germanio dopadocon impurezas, aumenta con la temperatura T (K) de acuerdo a la siguiente tabla:

T(K) 250 267 287 310 337 366 405 452 513(1/cm) 0,001 0,003 0,009 0,033 0,092 0,319 0,916 3,251 8,831

Los errores relativos en las mediciones de T son de 5% y de son de 10%.

1. Haga un grafico de (log vs (1/T ) utilizando papel milimetrado. No incluya lasbarras de error en esta oportunidad.

2. Repita el grafico utilizando papel semi-logaritmico: ahora si debera incluir las barrasde error, ajustar la recta por el metodo de los mnimos cuadrados y trazar la rectade acuerdo a los parametros del ajuste.

3. Determine la ecuacion(T )

4. Repita los graficos y ajustes previos haciendo uso de la computadora.

Referencias

[1] Escalona, I., & Chocron, P. (1995) Laboratorio de Fsica (Volumen 1). Caracas:Imprenta UCV.

[2] Figueroa, D., Guerrero, L. E., Sanchez, A., Suarez, N., Escalona, R., & Sanjines, D.(2001) Laboratorio 1 de Fsica. Caracas: EQUINOCCIO.

[3] Hughes, Ifan G. & Hase, Thomas P. A. (2010) Measurements and their Uncertainties:A practical guide to modern error analysis. Oxford: Oxford University Press.

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