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Representaciones Gráficas —

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Representaciones Gráficas

02 ASTURIAS CORPORACIÓN UNIVERSITARIA® Nota Técnica preparada por Asturias Corporación Universitar ia. Su difusión, reproducción o uso total o parcial para cualquier otro propósito queda prohibida. Todos los derechos reservados.

Índice 1 Introducción ............................................................................................................................................................ 3

2 Diagrama de Torta .............................................................................................................................................. 3

3 Diagrama de Puntos........................................................................................................................................... 4

4 Diagrama de Barras ............................................................................................................................................ 4

5 Histograma .............................................................................................................................................................. 5

6 Medidas Descriptivas ........................................................................................................................................ 5

6.1 Medidas de Centralidad .................................................................................................................... 6

7 Medidas de Dispersión .................................................................................................................................... 9

7.1 Rango ........................................................................................................................................................... 9

7.2 Desviación Media ................................................................................................................................ 10

7.3 Varianza ..................................................................................................................................................... 10

7.4 Desviación Estándar............................................................................................................................ 11

7.5 Coeficiente de Variación .................................................................................................................. 11

8 Medidas de Posición ........................................................................................................................................ 12

9 Medidas de Asimetría y Apuntamiento................................................................................................. 12

9.1 Grado de Asimetría .............................................................................................................................. 12

9.2 Grado de Apuntamiento ................................................................................................................... 13

10 Resumen ................................................................................................................................................................. 13

11 Referencias Bibliográficas ............................................................................................................................ 13



Objetivos

Objetivo: Conocer las diferentes formas de representación estadística.

1 Introducción

En función de la naturaleza de los datos y de la forma en que estos se presenten, existen distintos tipos de representaciones. Veamos aquí las más interesantes:

2 Diagrama de Torta

Se emplea para representar atributos. Ejemplo 1: Se necesita escoger un representante de la comunidad. Se tienen 4 candidatos y se han obtenido los siguientes resultados:

Candidato Votación

A B C D

520 378 245 172

Tabla 1: Ejemplo 1



Figura 1: Diagrama de torta

3 Diagrama de Puntos

Se emplea en una distribución dada por extensión cuando la variable es continua de escala de razón. Ejemplo 5: En un estudio sobre el peso y la estatura de un grupo de siete estudiantes, se han obtenido las siguientes mediciones: (73, 1.87), (67, 1.75), (75, 1.80), (66, 1.67), (80, 1.95), (64, 1.78), (83, 1.77). La representación gráfica mediante un diagrama de puntos es la que se muestra a continuación.

Figura 2: Dispersograma

4 Diagrama de Barras

Se emplea para representar atributos y variables cuantitativas de tipo discretas. Para los datos del ejemplo 4. El diagrama de barras vendría dado por:



Figura 3: Diagrama de barras

5 Histograma

Es uno de los gráficos más utilizados, ya que puede relacionar el número de observaciones con el área dentro de cada rectángulo. Para los datos del ejemplo 3, un histograma vendría dado por:

Figura 4: Histograma.

6 Medidas Descriptivas

Son valores que caracterizan las observaciones de un conjunto de datos. Estas medidas pueden ser: centralidad, dispersión o variabilidad, posición, asimetría y apuntamiento.



6.1 Medidas de Centralidad

Son valores que representan un valor central, hacia el cual, tiene tendencia a concentrarse el conjunto de datos.

Media aritmética: Es la medida más utilizada en un conjunto de datos, es un valor central que toma en cuenta todos los valores que aparecen en el conjunto de datos, y las distancias relativas a estos valores. Los valores tienen la misma importancia en el grupo de datos.

Sean 𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑘 los valores de una variable 𝑋, de una muestra de tamaño 𝑛, con (𝑘 ≤

𝑛), con frecuencias absolutas 𝑛1 , 𝑛2 , … , 𝑛𝑘 respectivamente. La media aritmética se define como:

�̅� =1

𝑛(𝑛1𝑋1 + 𝑛2𝑋2 + ⋯ + 𝑛𝑘𝑋𝑘) =

1

𝑛∑ 𝑛𝑖𝑋𝑖

𝑘

𝑖=1

Si la variable 𝑋 tiene 𝑛 valores diferentes, digamos 𝑋1 , 𝑋2, … , 𝑋𝑛 , entonces la media aritmética se escribe como:

�̅� =1

𝑛(𝑋1 + 𝑋2 + ⋯ + 𝑋 ) =

1

𝑛∑ 𝑋𝑖

𝑘

𝑖=1

Ejemplo: Considerando los siguientes datos: 3, 8, 4, 10, 6,2. ¿Cuál es su media?

Propiedades de la media

1. La suma de las desviaciones de los datos con respecto a la media es cero, esto es:

∑(𝑋𝑖 − �̅�) = 0

𝑛

𝑖=1

“Media aritmética: valor central que

toma en cuenta todos los valores que

aparecen en el conjunto de datos, y las

distancias relativas a estos valores”



2. La suma de los cuadrados de las desviaciones a partir de la media aritmética es menor, que la suma de los cuadrados de las desviaciones a partir de cualquier otro valor, esto es:

∑(𝑋𝑖 − �̅�)2

𝑛

𝑖=1

Es mínima. 3. Si cada uno de los datos de la variable es constante, la media será igual al valor

de la constante, es decir, 𝑋1 = 𝑘, 𝑋2 = 𝑘, …, 𝑋𝑛 = 𝑘 entonces:

�̅� =1

𝑛∑ 𝑋𝑖 = 𝑘

𝑘

𝑖=1

4. Si cada uno de los datos de una variable es afectado aditivamente (negativamente) por una constante 𝑘, la media aritmética de la nueva variable es equivalente a sumar (restar) la constante a la media de la variable original . Es decir, si

𝑌𝑖 = 𝑋𝑖 ± 𝑘 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 1 = 1,2, … , 𝑛 entonces 𝑦 = �̅� ± 𝑘.

Si cada uno de los datos de una variable es afectado multiplicativamente por una constante 𝑘, la media aritmética de la nueva variable es equivalente a multiplicar la constante a la media de la variable original. Es decir, si 𝑌𝑖 = 𝑘𝑋𝑖 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 1 =1,2, … , 𝑛 entonces 𝑦 = 𝑘�̅�.

Mediana: Es la segunda medida más utilizada después de la media aritmética, y es útil para estimar el centro de un conjunto de datos. La mediana es el elemento central del conjunto de datos, es una medida de posición y hay el mismo número de observaciones a la derecha y a la izquierda del valor de la mediana.

Sean 𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑘, los valores de una variable 𝑋 con frecuencias absolutas 𝑛1 , 𝑛2, … , 𝑛𝑘, de una muestra de tamaño 𝑛, con (𝑘 ≤ 𝑛), Los valores ordenados de 𝑋 son 𝑋(1), 𝑋(2), … , 𝑋(𝑘). La mediana se calcula como:

�̃� = 𝐿𝑖 +𝐴𝑖

𝑛𝑖(

𝑛

2− 𝑁𝑖−1)

Donde: - 𝐿𝑖 es el límite inferior de la clase mediana. - 𝐴𝑖 es la amplitud de la clase mediana. - 𝑁𝑖−1 es la diferencia absoluta acumulada de la clase anterior a la clase mediana.

- 𝑛 es el tamaño de la muestra.

“Mediana: es una medida de posición, y hay

el mismo nº de observaciones tanto a la

derecha como a la izquierda del valor de la

mediana”



Si la variable 𝑋 tiene 𝑛 valores diferentes, digamos 𝑋1 , 𝑋2, … , 𝑋𝑛 , entonces la mediana se escribe como:

�̃� = {

𝑋(

𝑛+12

), 𝑠𝑖 𝑛 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟;

𝑋(

𝑛2

)𝑋

(𝑛+1

2)

2, 𝑠𝑖 𝑛 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟

Moda: Representa el valor o valores que tienen la mayor frecuencia dentro del conjunto de datos. La moda puede o no existir. En el evento en que exista, puede no ser única, ya que una distribución puede eventualmente tener una o varias modas.

𝑀𝑜 = 𝐿𝑖 + 𝐴𝑖

∆1

∆1 + ∆2

Donde: 𝐿𝑖 es el límite inferior de la clase modal. 𝐴𝑖 amplitud de clase de la clase modal. ∆1= 𝑛𝑖 − 𝑛𝑖−1 es la diferencia entre la frecuencia absoluta de la clase modal y

la frecuencia absoluta de la clase anterior a la clase modal. ∆2= 𝑛𝑖 − 𝑛𝑖+1 es la diferencia entre la frecuencia absoluta de la clase modal y

la frecuencia absoluta de la clase posterior a la clase modal. Media Geométrica: Es una medida de centralidad que se utiliza, generalmente,

cuando los valores dependen del tiempo. Varían de manera no lineal o cuando existe un alto grado de heterogeneidad en el conjunto de datos.

Sean 𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑘 los valores de una variable 𝑋, de una muestra de tamaño 𝑛, con (𝑘 ≤𝑛), con frecuencias absolutas 𝑛1 , 𝑛2 , … , 𝑛𝑘 respectivamente. La media geométrica se define como:

�̅�𝑔 = √𝑋1𝑛1 × 𝑋2

𝑛2 × ⋯ × 𝑋𝑘

𝑛𝑘𝑛

Si la variable 𝑋 tiene 𝑛 valores diferentes, digamos, 𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑛, entonces la media geométrica se escribe como:

�̅�𝑔 = √𝑋1 × 𝑋2 × ⋯ × 𝑋𝑘

𝑛

“Moda: representa el valor o valores que

tienen la mayor frecuencia dentro del

conjunto de datos”

“Media geométrica: medida de centralidad

que se utiliza cuando los valores dependen

del tiempo”



Media Armónica: Aunque su campo de aplicación es muy restringido, es útil para promediar velocidades, volúmenes de ventas y cuando la variable crece en progresión armónica.

Sean 𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑘 los valores de una variable 𝑋, de una muestra de tamaño 𝑛, con (𝑘 ≤

𝑛), con frecuencias absolutas 𝑛1 , 𝑛2 , … , 𝑛𝑘 respectivamente. La media armónica se define como

�̅�ℎ =1

∑1𝑋𝑖

𝑛𝑖=1

𝑛

=𝑛

∑1𝑋𝑖

𝑛𝑖=1

Media Ponderada: Cuando se conoce la media de varios grupos de datos y el número de datos en cada grupo, se puede calcular la media global que se conoce como media ponderada.

�̅�𝑝 =𝑛1�̅�1 + 𝑛2�̅�2 + ⋯ + 𝑛𝑘�̅�𝑘

𝑛1 + 𝑛2 + ⋯ + 𝑛𝑘

7 Medidas de Dispersión

Permiten generar criterios sobre el grado de homogeneidad o heterogeneidad del conjunto de datos que se está analizando, en relación con una medida de centralidad, o con respecto a datos entre sí.

7.1 Rango

Diferencia entre al valor máximo y el valor mínimo del conjunto de datos. Mide la longitud en la cual se encuentran los datos. En general, a mayor longitud mayor dispersión de los datos.

𝑅 = 𝑋(𝑛) − 𝑋(1)

“Media armónica: útil para promediar

velocidades, volúmenes de ventas y

cuando la variable crece en progresión

armónica”

“Media ponderada: cuando se conoce la

media de varios grupos de datos y los

números de datos en cada grupo”



7.2 Desviación Media

Es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones de los datos, con respecto a la media. En el cálculo de esta medida, intervienen todos los valores en el conjunto de datos, por lo tanto, permite una información relativa de todos ellos, y da un mejor conocimiento del grado de variabilidad de la distribución de los datos que el rango.

Sean 𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑘 los valores de una variable 𝑋, de una muestra de tamaño 𝑛, con (𝑘 ≤𝑛), con frecuencias absolutas 𝑛1 , 𝑛2 , … , 𝑛𝑘 respectivamente. La desviación media se define como:

𝑑𝑚 =1

𝑛∑ 𝑛𝑖|𝑋𝑖 − �̅�|

𝑘

𝑖=1

Si la variable 𝑋 tiene 𝑛 valores diferentes, digamos, 𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑛, entonces la desviación media se escribe como:

𝑑𝑚 =1

𝑛∑|𝑋𝑖 − �̅�|

𝑘

𝑖=1

7.3 Varianza

La varianza mide las variaciones del conjunto de datos con respecto a su media aritmética. Se define como la media aritmética de los cuadrados de las desviaciones de cada dato a la media aritmética. Sean 𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑘 los valores de una variable 𝑋, de una muestra de tamaño 𝑛, con (𝑘 ≤

𝑛), con frecuencias absolutas 𝑛1 , 𝑛2 , … , 𝑛𝑘 respectivamente. La varianza muestral se define como:

𝑆2 =1

𝑛∑ 𝑛𝑖(𝑋𝑖 − �̅�)2

𝑘

𝑖=1

Si la variable 𝑋 tiene 𝑛 valores diferentes, digamos, 𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑛, entonces la varianza muestral se escribe como:



𝑆2 =1

𝑛∑(𝑋𝑖 − �̅�)2

𝑘

𝑖=1

Propiedades de la Varianza 1. El valor de la varianza es siempre positivo o igual a cero, esto es 𝑆2 ≥ 0,

para cualquier conjunto de datos. 2. Si cada uno de los datos de la variable es constante, la varianza igual a

cero, es decir, si 𝑋1 = 𝑘, 𝑋2 = 𝑘, …, 𝑋𝑛 = 𝑘, entonces

𝑆2 =1

𝑛∑(𝑋𝑖 − �̅�)2

𝑘

𝑖=1

= 0

Si cada uno de los datos de una variable es afectado aditivamente (negativamente) por una constante 𝑘, la varianza de la nueva variable es igual a la varianza de la variable original. Es decir, si 𝑌𝑖 = 𝑋𝑖 ± 𝑘, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 = 1,2, … , 𝑛, entonces 𝑆𝑦

2 = 𝑆𝑥2.

Si cada uno de los datos de una variable es afectado multiplicativamente por una constante 𝑘, la varianza de la nueva variable es igual al cuadrado de la constante por la varianza de la variable original. Es decir, si 𝑌𝑖 = 𝑘𝑋𝑖 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 = 1,2, … , 𝑛, entonces 𝑆𝑦

2 = 𝑘2𝑆𝑥2

7.4 Desviación Estándar

Una de las limitaciones de la varianza son sus unidades al cuadrado. Para superar esto, se usa la raíz cuadrada de la varianza, dando origen al concepto de desviación estándar. Que se calcula tomando raíz cuadrada a la varianza de la siguiente forma:

𝑆 = √1

𝑛∑(𝑋𝑖 − �̅�)2

𝑘

𝑖=1

7.5 Coeficiente de Variación

Permite estimar la relación porcentual entre el valor de la media y la desviación estándar. A medida que se presenta mayor heterogeneidad en el conjunto de datos, el valor del coeficiente de variación es mayor.

𝐶𝑉 =𝑆

�̅�× 100%



8 Medidas de Posición

Se llaman medidas de posición o cuantiles de orden 𝑘 aquellas que dividen a la distribución en 𝑘 partes, de tal forma que en cada una de esas partes, haya el mismo número de elementos. De entre todas las medidas de posición destacan los cuartiles, los deciles y los percentiles.

Los cuartiles dividen a la distribución en cuatro partes iguales, los deciles en diez y los percentiles en cien. Habrá, por tanto, tres cuartiles (𝑄1, 𝑄2, 𝑄3), nueve deciles (𝐷1 , 𝐷2 , … ,𝐷9) y, noventa y nueve percentiles (𝑃1, 𝑃2, . . . , 𝑃99). El segundo cuartil, el quinto decil y el quincuagésimo percentil son iguales y coinciden con la mediana. En distribuciones puntuales, el cálculo es idéntico al de la mediana, siendo ahora 𝑟𝑛

𝑘 el valor de discusión.

En distribuciones por intervalos, la forma general de cálculo para un cuantil, al que se denota por 𝐶𝑟𝑛

𝑘

, 𝑘 = 4, 10, 100,. . ., es la siguiente:

𝐶𝑟𝑛𝑘

= 𝐿𝑖−1 +

𝑟𝑛𝑘 − 𝑁𝑖−1

𝑛𝑖𝐴𝑖

9 Medidas de Asimetría y Apuntamiento

Un conjunto de datos puede ser simétrico o asimétrico. Las medidas de asimetría permiten evaluar tal grado, (sesgo negativo, positivo o cero). La curtosis es el grado de agudeza en la cima de la curva de un conjunto de datos. Una distribución puede ser achatada o platicúrtica, normal o mesocúrtica, o apuntada o leptocúrtica. Las características anteriores pueden ser cuantificadas mediante las siguientes expresiones.

9.1 Grado de Asimetría

𝑔1 =𝑚3

𝑆3

Donde: 𝑚3 = ∑ 𝑛𝑖(𝑋𝑖 − �̅�)3𝑛

𝑖=1 y 𝑆 es la desviación estándar del conjunto de datos.

Si 𝑔1 = 0 se dice que la distribución del conjunto de datos es simétrica. Si 𝑔1 < 0 se dice que la distribución es asimétrica negativa y Si 𝑔1 > 0 se dice que la distribución es asimétrica positiva.

“Medida de posición: dividen a la

distribución en k partes, de tal forma que

en cada una de esas partes, haya el mismo

nº de elementos”



9.2 Grado de Apuntamiento

𝑔2 =𝑚4

𝑆4

Donde 𝑚4 = ∑ 𝑛𝑖(𝑋𝑖 − �̅�)4𝑛

𝑖=1 y 𝑆 es la desviación estándar del conjunto de datos.

Si 𝑔2 = 3 se dice se dice que la distribución del conjunto de datos es normal o mesocúrtica. Si 𝑔2 < 3 se dice que la distribución es achatada o platicúrtica y Si 𝑔2 > 3 se dice que la distribución es apuntada o leptocúrtica.

10 Resumen

Media aritmética: valor central que toma en cuenta todos los valores que aparecen en el conjunto de datos, y las distancias relativas a estos valores.

Media geométrica: medida de centralidad que se utiliza cuando los valores dependen del tiempo.

Media armónica: útil para promediar velocidades, volúmenes de ventas y cuando la variable crece en progresión armónica.

Media ponderada: cuando se conoce la media de varios grupos de datos y los números de datos en cada grupo.

11 Referencias Bibliográficas

Montgomery, D. C y Runger, R. (2008). Probabilidad y Estadística Aplicadas a la Ingeniería. 2da. Edición. Limusa Wiley. Mexico.

Rincón. L. (2010). Curso Elemental de Probabilidad y Estadística. 1ra Edición. Circuito Exterior de CU. México D.F.

Walpole, R. E., Myers, R. H., Myers,S. L. y Ye, K. (2007). Probabilidad y Estadística para Ingeniería y Ciencias. 8va. Edición. Pearson. Mexico

I. Espejo Miranda, F. Fernández Palacín, M. A. López Sánchez, M. Muñoz Márquez, A. M. Rodríguez Chía, A. Sánchez Navas, C. Valero Franco. (2006). Estadística Descriptiva y Probabilidad. 3ra. Edición. Servicio de Publicaciones de la Universidad de Cádiz.



Devore, J. (2008). Probabilidad y Estadística para Ingeniería y Ciencias. 7ma. Edición. Cengace Learning Editores. México

Canavos, G. Probabilidad y Estadística. Métodos y Aplicaciones.

Daniel, W. (2009). Bioestadística. Base para el análisis de las ciencias de la salud. Cuarta edición. Limusa Wiley. México.

Mendenhall, W., Wackerly, D. y Scheaffer, R. (1994). Estadística Matemática con Aplicaciones. Grupo Editorial Iberoamericana. México.

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