NÚMEROS COMPLEJOS

• Concepto

• Operaciones

El término número complejo describe la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i). Los números complejos son una extensión de los números reales, cumpliéndose que . Los números complejos representan todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales.

Llamaremos a la unidad imaginaria. Un número complejo se define como u= a + bi (forma binómica) donde a se llama parte real y b se llama parte imaginaria. En su representación gráfica el extremo del vector se llama afijo del nº complejo.Definiremos cada complejo z como un par ordenado de números reales (a, b) ó (Re(z), Im(z)), en el que se definen las siguientes operaciones:

SumaProducto por escalarMultiplicaciónIgualdad

A partir de estas operaciones podemos deducir otras como las siguientes:

RestaDivisión

Al primer componente (que llamaremos a) se le llama parte real y al segundo (que llamaremos b), parte imaginaria.

Para cada número complejo z, la primera componente, x, se denomina parte real y la segunda, y, se denomina parte imaginaria.Obviamente, dos números complejos son iguales si y sólo si lo son simultáneamente sus partes reales y sus partes imaginarias. Usando este tipo de representación, la suma de complejos se corresponde con la suma de vectores.

Algunas veces, la representación de números complejos en la forma z = a + i b (coordenadas ortogonales) es menos conveniente que otra representación, usando coordenadas polares.Representamos el número complejo z en el plano de números complejos como un punto con coordenadas (a, b), denominado vector de posición.Trazamos la distancia desde el punto (0,0) hasta (a, b), a la que llamaremos r, y, que como se ha visto antes, es igual al módulo de z, expresado | z | .Esta distancia forma, con respecto al eje real positivo, un ángulo.

Cambio de forma binómica a polar y viceversa:

Cambio de polar a binómicaCambio de binómica a polar

Suma y resta de números complejos.

1.- ( 3+5i ) - ( 5-3i ) = -2+8i

2.- ( 9+7i ) - ( -9+7i )+( -18+i ) = 3.-( 9+9-18 )+( 7-7+1 )i = i

Multiplicación de números complejos.

1.- ( 3+5i ) ( 5+3i ) ( 2-i ) = 15+9i+6-3i+25i+15i +10i-5t = 34+64i

2.- ( 3-2i ) ( 2+i ) ( 1-i ) = ( 6+3i-4i-2i ) ( 1-i ) = ( 8-i ) = 8-8i-i+i = 7-9i

División de números complejos.

a) (3+i) + (1-3i)

b) (-5+3i) - (6+4i)

c) (0.5-4i)+(-1.5-i)

d) (-3.8+2.4i) - (1.3+0.5i)

Multiplicaciones:

a) (-2-2i)(1+3i) b) (2+3i)(5-6i) c) (2+3i)(-2-3i) d) (-1-2i)(-1+2i)

a)

b)

c)

d)

Divisiones: