Master de Estadística Aplicada

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  • J.Muro(14/4/2004) 2

    Modelos de eleccin simple y mltiple. Regresin logit y

    probit. Modelos multilogit y multiprobit.

    Siga

  • J.Muro(14/4/2004) 3

    Modelos de eleccin discreta.

    Modelos de eleccin simple. Modelos de eleccin mltiple.

    Final

  • J.Muro(14/4/2004) 4

    Modelos de eleccin discreta.(Alternativas binarias)

    Siga

  • J.Muro(14/4/2004) 5

    Modelos de eleccin simple. Introduccin. Planteamiento. Modelos probit y logit.

    Atrs

  • J.Muro(14/4/2004) 6

    Introduccin.

    Referencias. Anlisis aplicado. Relevancia.

    Atrs

  • J.Muro(14/4/2004) 7

    Referencias.

    Goldberger, A. S. (2001), Introduccin a la Econometra. Ariel. Captulo 17, pgs. 175-190.

    Maddala, G. S. (1996), Introduccin a la Econometra, 2 ed. Prentice Hall. Captulo 8.

    Atrs

  • J.Muro(14/4/2004) 8

    Anlisis aplicado Muro, J. e I. Senra (2002), Ensayo 3.

    Influye el tamao de una empresa sobre la probabilidad de acceder a la financiacin bancaria? Cambia el sentido de la influencia a partir de un tamao determinado?

    Atrs

  • J.Muro(14/4/2004) 9

    Relevancia. Tablas multidimensionales con condicin

    ceteris paribus. Mecanismos de seleccin muestral. Modelos no lineales para datos de panel. Mtodos discretos para modelos de

    duracin. Atrs

  • J.Muro(14/4/2004) 10

    Planteamiento. Construccin del modelo a partir de una

    forma reducida. Modelizacin de la probabilidad asociada a

    la variable dicotmica a travs de las expresiones derivadas de una formulacin estructural.

    Funcin ndice (forma estructural de v. latente). Utilidad aleatoria.

    Atrs

  • J.Muro(14/4/2004) 11

    Modelo en forma reducida. Analoga con el modelo de regresin (v.

    objetivo con 0 y 1). Probabilidad es una funcin de la matriz de

    caractersticas X y de los parmetros a estimar .

    Hiptesis de linealidad: el argumento de la funcin anterior es una combinacin lineal de las caractersticas y de los parmetros.

    Siga

  • J.Muro(14/4/2004) 12

    Modelo en forma reducida. Probabilidad de que ocurra un suceso (se tome una

    decisin)

    Probabilidad de que no ocurra un suceso (no se tome la decisin)

    [[[[ ]]]]).'(

    ),(,|1

    i

    iiii

    XGXGXyProbP

    ====================

    [[[[ ]]]] (.).1,|0 GXyProb ii ======== Siga

  • J.Muro(14/4/2004) 13

    Modelo en forma reducida. El valor esperado de la variable a estudio,

    yi, es

    Cules pueden ser las candidatas para la funcin G(.)?

    modelo lineal de probabilidad. modelo probit. modelo logit.

    (((( )))) (((( )))) .GP=P-1*0+P*1=yE iiii (.)====

    Atrs

  • J.Muro(14/4/2004) 14

    Modelo lineal de probabilidad.

    La funcin identidad, es decir G(.) = 1. Expresin formal es

    .,...2,1' NiXy iii ====++++====

    Atrs(((( )))) .'1 iii XyProbP ============

  • J.Muro(14/4/2004) 15

    Modelo probit. La funcin de distribucin normal, es decir G(.) =

    F(.). Expresin formal es

    (((( )))) (((( )))).'1 iii XFyProbP ============

    Atrs

  • J.Muro(14/4/2004) 16

    Modelo logit. La funcin de distribucin logstica, es decir G(.) = (.).

    Expresin formal es

    (((( )))) (((( )))) .'111

    iii Xexp

    yProbP++++

    ============

    Atrs

  • J.Muro(14/4/2004) 17

    Planteamiento de funcin ndice.

    La variable observada toma unos valores que responden al comportamiento de una variable ndice (latente o inobservable).

    Si el ndice supera un determinado nivel la variable discreta toma el valor uno y, si no lo supera, toma el valor cero.

    La variable latente est relacionada con las caractersticas a travs de un modelo estructural.

    .,...2,1'* NiXy iii ====++++==== Siga

  • J.Muro(14/4/2004) 18

    Planteamiento de funcin ndice.

    Segn establezcamos el supuesto de que la perturbacin aleatoria se distribuya como una Normal o una Logstica, el modelo generado ser un probit o un logit, respectivamente.

    Los valores de la variable a estudio, observados, se relacionan con los de la variable latente en la forma

    (((( )))) (((( )))).0'10*1 >>>>++++====>>>>==== iiii Xyy Siga

  • J.Muro(14/4/2004) 19

    Planteamiento de funcin ndice.

    La probabilidad asociada a la realizacin del suceso tiene la expresin

    [[[[ ]]]] [[[[ ]]]][[[[ ]]]] [[[[ ]]]]).'(

    00*,|1

    i

    iiii

    iiii

    XGXProbXProb

    yProbXyProbP

    ========++++========>>>>============

    Siga

  • J.Muro(14/4/2004) 20

    Planteamiento de funcin ndice. El hacer la varianza del modelo igual a uno es el

    resultado de un mero proceso de normalizacin, ya que el modelo no se altera porque se multiplique por cualquier cantidad.

    El umbral considerado a superar por el ndice puede ser cero o cualquier otro valor.

    Atrs

  • J.Muro(14/4/2004) 21

    Modelos probit y logit.

    Expresin de la funcin de verosimilitud. Ecuaciones de verosimilitud. Hessiano. Presentacin e interpretacin de resultados. Contrastes. Bondad del ajuste.

    Atrs

  • J.Muro(14/4/2004) 22

    La funcin de verosimilitud de los modelos probit y logit es:

    Atrs

    (((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]]

    (((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]]{{{{ }}}}.'1ln)1('lnln

    .'1'),|(1

    1

    ++++====

    ========

    iiiii

    N

    i

    yi

    yiii

    XGyXGyL

    XGXGXyL ii

  • J.Muro(14/4/2004) 23

    Las ecuaciones de verosimilitud de los modelos probit y logitson:

    Siga

    (((( ))))

    [[[[ ]]]] .0(.)(.)1(.)(.)

    .0(.)1(.))1(

    (.)(.)

    .0ln

    ====

    ====

    ++++

    ====

    ii

    i

    iiiii

    XgGG

    Gy

    XG

    gyXGgy

    L

  • J.Muro(14/4/2004) 24

    Que se concretan en

    Atrs

    [[[[ ]]]] .0(.)1(.)

    ====iiXF

    f

    [[[[ ]]]] .0(.) ====i

    ii Xy

    Modelo probit

    Modelo logit

  • J.Muro(14/4/2004) 25

    Atrs

    (((( )))) .'' ++++====i

    iiiii XXXH

    [[[[ ]]]] .'(.)1(.) ====i

    ii XXH

    Modelo probit

    Modelo logit

    El hessiano es definido negativo en ambos modelos y tiene la forma:

  • J.Muro(14/4/2004) 26

    El hessiano es definido negativo en ambos modelos y tiene la forma:

    Atrs

    (((( ))))

    [[[[ ]]]] .0(.)(.)1(.)(.)

    .0(.)1(.))1(

    (.)(.)

    .0ln

    ====

    ====

    ++++

    ====

    ii

    i

    iiiii

    XgGG

    Gy

    XG

    gyXGgy

    L

  • J.Muro(14/4/2004) 27

    Presentacin e interpretacin de resultados.

    Presentacin: Habitual (estimaciones parmetros). Razn de probabilidades (odds ratio).

    Efectos marginales. Predicciones.

    Atrs

  • J.Muro(14/4/2004) 28

    Contrastes.

    Especificacin. Especificacin errnea.

    Atrs

  • J.Muro(14/4/2004) 29

    Contrastes de especificacin errnea. Anlisis de residuos generalizados. Contrastes de momentos condicionales.

    Pagan-Vella (1989). Contraste de heteroscedasticidad. Davidson

    y McKinnon (1993).

    Atrs

  • J.Muro(14/4/2004) 30

    Pagan, A.R. y F. Vella (1989), Diagnostic Tests for Models Based on Individual Data: A Survey. Journal of Applied Econometrics, 4, S29-59.

  • J.Muro(14/4/2004) 31

    Davidson, R. y J. MacKinnon (1993), Estimation andInference in Econometrics. Oxford University Press.

    Contraste de heteroscedasticidad. Harvey (1976). Modelo probit.

    Hiptesis nula. H0: Var(ui)= cte; H1: Var(ui)=exp(2*var).

    Regresin auxiliar. La suma de los cuadrados explicada de dicha regresin se distribuye asintticamente bajo la hiptesis nula como una 2 con 1 grado de libertad (situacin particular debida a que slo hay una variable que cause la heteroscedasticidad, si hubierams variables los grados de libertad seran iguales a su nmero).

    La regresin auxiliar tiene la forma:

    .*)1()'(*)'('

    )1()'(

    )1(

    21 iii

    iii

    ii

    i

    ii

    ii vvarpp

    XXfXpp

    Xfpp

    py++++

    ++++

    ====

    Las p son predicciones, la X es la matriz de variables del lado derecho (que incluye la variable var) y, finalmente, f(.) es la funcin de densidad de probabilidad de una variable N(0,1).

    Atrs

  • J.Muro(14/4/2004) 32

    Bondad del ajuste. Contraste de la razn de verosimilitud. Seudo R2. Tabla de predicciones.

    Atrs

  • J.Muro(14/4/2004) 33

    Contraste de la razn de verosimilitud.Compara de la forma habitual el modelo estimado con el modelo ingenuo (modelo que contiene slo una constante).

    Hiptesis nula. H0: =0.

    (((( )))) )(~lnln2 200

    rLLLRH

    ====

    Atrs

    [[[[ ]]]].)1ln()1(lnln 0 PPPPNL ++++====

  • J.Muro(14/4/2004) 34

    Seudo R2.

    Dificultades en crear un consenso sobre cul es el modelo de comparacin.

    .lnln1

    0LL

    Atrs

    [[[[ ]]]].)1ln()1(lnln 0 PPPPNL ++++====

  • J.Muro(14/4/2004) 35

    Tabla de predicciones.Compara los resultados muestrales con los predichos para cada observacin y suministra el nmero de aciertos y fallos.

    Caractersticas de equilibrio de la muestra analizada.

    Regla de construccin habitual.

    Atrs

    .

    0=yque implica 0.5 P

    1;=yque implica 0.5 >P

    ii

    ii

  • J.Muro(14/4/2004) 1

    Modelos de eleccin discreta.(Mltiples alternativas)

    Siga

  • J.Muro(14/4/2004) 2

    Modelos de eleccin discreta con mltiples alternativas.

    Introduccin. Los temas.

    Caractersticas comunes. Cules son las causas de la aleatoriedad? Problemas que nacen del diseo muestral.

    Los modelos.

  • J.Muro(14/4/2004) 3

    Introduccin.

    Referencias. Thurstone, L. (1927), A Law of

    Comparative Judgement. Psychological Review, 34, pgs. 273-286.

    Luce, D. (1959), Individual Choice Behaviour. Wiley.

    Atrs

  • J.Muro(14/4/2004) 4

    Referencias Greene, W. H. (1997), Econometric

    Analysis. 3 ed. Macmillan. Captulo 19, pgs. 871-931.

    Wooldridge, J. M. (2002), Econometric Analysis of Cross Section and Panel Data, The MIT Press. Captulo 15, pgs. 453-509.

    Atrs

  • J.Muro(14/4/2004) 5

    Modelos de eleccin discreta con mltiples alternativas.

    Introduccin. Los temas.

    Caractersticas comunes. Cules son las causas de la aleatoriedad? Problemas que nacen del diseo muestral.

    Los modelos.Final

  • J.Muro(14/4/2004) 6

    Los temas.1. Compras de bienes duraderos (bienes

    indivisibles). Automviles. Cragg y Uhler (1970). Fecundidad. Becker (1960).

    2. Demanda de caractersticas (bien heterogneo). Transporte. McFadden (1974.1984). Vivienda; educacin; ocupacin

    3. Eleccin discreta como abstraccin de demanda de un bien continuo.

    Oferta de trabajo. Muro et al. (1986).

    4. Otros temas. Sentido del voto; construccin de autopistas. Atrs

  • J.Muro(14/4/2004) 7

    Caractersticas comunes.

    Comparacin de utilidades. Hiptesis RUM (random utility

    maximization). IIA (Supuesto de independencia de las

    alternativas irrelevantes).

    Atrs

  • J.Muro(14/4/2004) 8

    Causas de la aleatoriedad

    Heterogeneidad. Deficiencias de informacin.

    Atrs

  • J.Muro(14/4/2004) 9

    Diseo muestral

    Exogeneidad. Endogeneidad.

    Referencia til: Pudney (1989).

    Atrs

  • J.Muro(14/4/2004) 10

    Los modelos.1. La informacin disponible.2. Planteamiento general.3. Modelos para datos no ordenados.4. Modelos para datos ordenados.5. Lneas de investigacin.

    Atrs

  • J.Muro(14/4/2004) 11

    La informacin disponible. Individuos y alternativas.

    n individuos; i = 1,2,3,,n. J alternativas; j = 0,1,2,3,.. ,J-1.

    Caractersticas de los individuos. Wi es un vector (K x 1).

    Atributos de las alternativas. Xij es un vector (L x 1).

    En suma: Zij= (Xij Wi). Atrs

  • J.Muro(14/4/2004) 12

    Utilidad estocstica Uij = Sij + ij. Donde Sij = Zij. = ( ).

    El individuo i escoge la alternativa que maximiza su utilidad. Prob (yi = j) =Pij = prob (Uij > Uik) k j.

    Si la distribucin del trmino de error es Normal modelo probit; Weibull modelo logit.

    Atrs

  • J.Muro(14/4/2004) 13

    Modelos para un conjunto no ordenado de alternativas.

    1. Modelo logit multinomial.2. Modelo logit condicional.3. Modelos anidados.4. Por qu especificaciones logit?

    Atrs

  • J.Muro(14/4/2004) 14

    Modelo logit multinomial. McFadden (1973). Datos de caractersticas de los individuos (pero

    no de atributos de las alternativas). Planteamiento del modelo. Identificacin. Razn de probabilidades (odds ratio). Estimacin. Contrastes. Ejemplo 1; ejemplo 2. Atrs

  • J.Muro(14/4/2004) 15

    .)(Prob ''

    ===

    k

    W

    W

    iji ki

    ji

    eePjy

    Donde i representa individuos y k corre para las alternativas (J).

    Atrs

  • J.Muro(14/4/2004) 16

    Si *j = j + 0.

    Una mera traslacin no altera el valor de las probabilidades (indeterminacin).

    Manifestacin de la propiedad de suma unitaria del conjunto de probabilidades.

    .)(Prob *'*'

    )*('

    )*('

    0

    0

    ====

    k

    W

    W

    k

    W

    W

    iji ki

    ji

    ki

    ji

    ee

    eePjy

    Siga

  • J.Muro(14/4/2004) 17

    La expresin normalizada queda (se hace la medida relativa a la alternativa cero, por lo que los coeficientes 0 de la alternativa cero se hacen nulos):

    .1

    )(Prob

    0

    '

    '

    +===

    k

    W

    W

    iji ki

    ji

    eePjy

    Atrs

  • J.Muro(14/4/2004) 18

    .'

    ';

    '

    0 kiWe

    jiWeikPijPjiWe

    iPijP

    ========

    Si calculamos la relacin en logaritmos (log odds ratio).

    ).('ln;'0

    ln kjiWikPijP

    jiWiPijP ========

    Atrs

  • J.Muro(14/4/2004) 19

    .0

    ;1:

    jysidjysid

    Hacemos

    iij

    iij

    =

    ==

    La funcin de verosimilitud del modelo ser:

    [[[[ ]]]]

    .1

    lnln

    .)1(...)|,....2,1,(

    0

    '

    '

    1 0

    ++++====

    ============

    ==== ====

    i jk

    W

    W

    ij

    n

    i

    dJ

    jijij

    ki

    ji

    ij

    eedL

    dprobWJjL

    Atrs

  • J.Muro(14/4/2004) 20

    El trmino entre corchetes se puede utilizar para realizar contrastes oportunos por el mtodo de los contrastes de momentos condicionales.

    Atrs

    Las ecuaciones de verosimilitud del modelo son:

    [[[[ ]]]] .0ln ========

    i

    iijij

    jWPdL

  • J.Muro(14/4/2004) 21

    Modelo logit condicional. McFadden (1974). Datos de atributos de las alternativas y/o

    caractersticas de los individuos. Planteamiento. Identificacin. Razn de probabilidades (odds ratio). IIA. Estimacin. Logit para datos de panel con

    efectos fijos? Contrastes de especificacin (IIA). Ejemplo 1; ejemplo 2.

    Atrs

  • J.Muro(14/4/2004) 22

    .'

    )(Prob '

    ============

    kkikZe

    jijZeijPjiy

    Donde i representa individuos y k corre para las alternativas (J).

    La mayor parte de los ejemplos de logit condicional se construyen con solo atributos de las alternativas.

    Es conveniente observar que la misma expresin se obtiene de considerar nuestra muestra como el resultado de un logit para datos de panel con efectos fijos, Chamberlain (1980).

    Atrs

    El calificativo condicional se deriva de que elegimos una alternativa concreta condicionada al hecho de que alguna de las alternativas se elige.

  • J.Muro(14/4/2004) 23

    Supongamos que j = = + . Entonces,

    Los parmetros de las caractersticas de los individuos desaparecen.

    La identificacin se produce por medio de trminos de interaccin que permiten recuperar los parmetros asociados con las caractersticas.

    Lo mismo ocurre con el trmino independiente del modelo.

    .)(Prob ''

    ''

    ''

    ================ ++++

    ++++

    k

    X

    X

    k

    WX

    WX

    iji ik

    ij

    iik

    iij

    ee

    eePjy

    Atrs

  • J.Muro(14/4/2004) 24

    .'

    '

    ikXe

    ijXeikPijP ====

    Si calculamos la relacin en logaritmos (log odds ratio).

    .''ln

    ====ik

    Xij

    XikPijP

    Atrs

    Se cumple el supuesto IIA (restriccin implcita en el modelo).

  • J.Muro(14/4/2004) 25

    .0

    ;1:

    jysidjysid

    Hacemos

    iij

    iij

    =

    ==

    La funcin de verosimilitud del modelo ser:

    [[[[ ]]]]

    .lnln

    .)1(...)|(

    '

    '

    1 1

    ====

    ============ ====

    i jk

    X

    X

    ij

    n

    i

    dJ

    jijij

    ik

    ij

    ij

    eedL

    dprobXL

    Atrs

  • J.Muro(14/4/2004) 26

    El contraste del supuesto IIA, Hausman y McFadden (1984), es un contraste de tipo Hausman. El modelo sin restricciones es el que contiene todas las alternativas y el restringido el mismo modelo estimado sin una de las alternativas.Bajo IIA ambos estimadores son consistentes y el del modelo restringido eficiente. Bajo la alternativa slo el del modelo sin restricciones es consistente.

    (((( )))) [[[[ ]]]] (((( )))) .~ .2H

    1'2

    0restsrrsrrsrr VV ====

    Atrs

    Donde:r significa modelo restringido; sr modelo sin restricciones; V matriz de varianzas y covarianzas de los modelos respectivos; rest. = nmero de restricciones implcitas en el supuesto IIA (ambos modelos proporcionan los mismos resultados; n parmetros del modelo restringido).

  • J.Muro(14/4/2004) 27

    Modelo logit anidado. McFadden (1984). Relajacin del supuesto IIA. Modelo jerrquico. Construccin de un rbol

    de decisiones. Planteamiento del modelo. Estimacin. Contrastes de especificacin (logit

    condicional). Ejemplo 1; ejemplo 2.

    Atrs

  • J.Muro(14/4/2004) 28

    Supongamos que la eleccin se produce entre J alternativas, donde J = 3.

    Ej. Mercado de trabajo: inactividad, paro y empleo.

    Suponemos que la jerarqua (rbol de decisiones) se establece de la forma siguiente:

    Atrs

    Individuo

    Parado

    Activo

    Ocupado

    Inactivo

    Llamamos ramas a cada una de las alternativas del primer nivel. Alternativas de cada rama a las que cuelgan de cada una de ellas.

    Se admite que las ramas del rbol sean heteroscedsticas.

  • J.Muro(14/4/2004) 29

    Como informacin disponemos de los atributos de las ramas Zl y de los atributos de las alternativas incluidas en cada rama Xjl.

    Para el caso de un modelo para dos niveles, con L ramas en el primer nivel y con Jl alternativas en cada rama del segundo nivel, la probabilidad no condicionada de elegir la alternativa j que pertenece a la rama l es

    Siga

    Esta probabilidad puede descomponerse en el producto de la condicional por la marginal. Es decir,

    .''''

    ++++

    ++++

    ====

    l j

    ZX

    ZX

    jl ljl

    ljl

    eeP

    .'

    '

    '

    '

    ''

    ''

    |

    ++++

    ++++

    ========

    l

    Zl

    Z

    j

    Xj

    X

    l j

    ZX

    ZX

    lljjl l

    l

    jl

    jl

    ljl

    ljl

    e

    e

    e

    e

    eePPP

  • J.Muro(14/4/2004) 30

    Se define el valor inclusivo, o de dentro de la rama, como

    Siga

    Y tambin la probabilidad de la alternativa j condicionada a encontrarse en la rama l como

    .ln '====j

    Xl

    jleI

    .''

    |

    ====

    j

    X

    X

    lj jl

    jl

    eeP

    Y la probabilidad marginal de la rama l como

    .''

    ++++

    ++++

    ====

    l

    IZ

    IZ

    l lll

    lll

    eeP

  • J.Muro(14/4/2004) 31

    En definitiva, de las definiciones anteriores se deriva que un modelo logit anidado tiene un doble comportamiento:

    1. Modelo logit condicional interno para la eleccin de las alternativas de la rama correspondiente.

    2. Modelo logit condicional para el conjunto de las ramas. En este logit condicional se consideran como atributos de las ramas no slo las Zl sino tambin los valores inclusivos Il.

    Atrs

  • J.Muro(14/4/2004) 32

    1. Procedimiento maximoverosmil. Aplicacin directa de la maximizacin de la funcin

    de verosimilitud (producto de la contribucin de cada observacin de la muestra).

    2. Procedimiento en dos etapas. Estimacin del modelo logit condicional intrarrama. Clculo del (o de los) valor inclusivo. Estimacin del modelo logit condicional de las

    ramas.

    Atrs

  • J.Muro(14/4/2004) 33

    Cabe realizar un contraste de especificacin que es equivalente al contraste del supuesto IIA.

    En efecto, si en un modelo anidado la probabilidad condicional de elegir una alternativa dentro de una rama coincide con la no condicional el modelo se reduce a un modelo logit condicional de todas las alternativas contempladas (al margen de su pertenencia o no a una rama concreta)

    Matemticamente se reduce al contraste de que el parmetro, o parmetros, que afectan a los valores inclusivos son iguales a 1.

    Atrs

  • J.Muro(14/4/2004) 34

    Otras especificaciones distintas a las logsticas.

    Facilidad de clculo. Imposibilidad de calcular integrales

    multidimensionales implcitas en modelos probit. Mximo J=3.

    Probit multinomial. Simulacin. Nuevas investigaciones.

    Atrs

  • J.Muro(14/4/2004) 35

    Probit multinomial

    Debera llamarse probit condicional. Alternativa al logit condicional que evita la

    IIA. Las J perturbaciones aleatorias se

    distribuyen como una distribucin normal J-variante, que admite correlaciones para ij.

    Atrs.

  • J.Muro(14/4/2004) 36

    Modelos para un conjunto ordenado de alternativas.

    Planteamiento general. No se conocen los lmites de los intervalos. Se conocen los lmites de los intervalos:

    Variable dependiente agrupada.

    Atrs

  • J.Muro(14/4/2004) 37

    Planteamiento general. Los datos dan informacin de dos cuestiones:

    de la alternativa escogida; y de la ordenacin de las alternativas posibles .

    Modelizacin de la informacin discreta y ordenada a travs de una funcin ndice inobservable.

    Siga

    .+X=y ii*i '

  • J.Muro(14/4/2004) 38

    La conversin de los valores de la funcin ndice en los valoresdiscretos ordenados sigue la regla siguiente:

    Siga

    .y< si J=y

    ,y< si 2=y

    ,y

  • J.Muro(14/4/2004) 39

    En general, el modelo se representa como:

    Atrs

    Cuando G(.) es la funcin de distribucin de una normal el modelo ser un probit; cuando es la logstica ser un logit.

    .......),G(-X-)X-G(

    =)y

  • J.Muro(14/4/2004) 40

    Si los parmetros j son desconocidos, los modelos probit y logit ordenados son los oportunos.

    Modelo probit (logit) ordenado.

    Dado que los lmites del intervalo son desconocidos podemos hacer estndar el modelo y suponer que las perturbaciones aleatorias del modelo son N(0,1).

    Expresin formal del modelo.

    Para la estimacin empleamos el mtodo de la mxima verosimilitud. La funcin de verosimilitud es

    Donde,

    Atrs

    [[[[ ]]]]

    [[[[ ]]]].''lnln''

    )X-G(-)X-G(=L

    .

    ii 1-jjijji

    i1-jijd

    J

    1=j

    N

    1=ij

    d

    )X-G(-)X-G(=),L( ij

    casos. losde resto el en0 =d

    ,y< si 1=d

    ij

    j*i1-jij

  • J.Muro(14/4/2004) 41

    Si los parmetros j son conocidos, el modelo apropiado es el de variables dependientes agrupadas.

    Modelo de variable dependiente agrupada.

    Al conocer los lmites del intervalo, el modelo no se puede hacer estndar y los parmetros a estimar sern y 2.

    Expresin formal del modelo.

    La funcin de verosimilitud del modelo es

    Donde las equivalencias con la expresin anterior son inmediatas.

    Atrs

    .X-G-X-G ii 1-jjijji

    d=L

    ''lnln