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Valoración de opciones reales en proyectos de construcción inmobiliaria en Colombia: Caso de estudio Parque Heredia Eduardo Cerón Restrepo Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Ingeniería Industrial Departamento de Ingeniería Civil Bogotá, Colombia Diciembre 2019
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Valoración de opciones reales en proyectos
de construcción inmobiliaria en Colombia:
Caso de estudio Parque Heredia
Eduardo Cerón Restrepo
Universidad de los Andes
Facultad de Ingeniería
Departamento de Ingeniería Industrial
Departamento de Ingeniería Civil
Bogotá, Colombia
Diciembre 2019
2
Valoración de opciones reales en proyectos
de construcción inmobiliaria en Colombia:
Caso de estudio Parque Heredia
Eduardo Cerón Restrepo
201423308
Proyecto de Grado para obtener el título de Ingeniero Industrial e
Ingeniero Civil
Asesores:
Mauricio Sánchez Silva PhD
Julio Villareal Navarro M.Sc.
Universidad de los Andes
Facultad de Ingeniería
3
Departamento de Ingeniería Industrial
Bogotá, Colombia
Diciembre 2019
Tabla de contenido
1. Introducción ........................................................................................................... 8
1.1. Objetivo general............................................................................................. 10
1.2. Objetivos específicos ...................................................................................... 10
2. Revisión bibliográfica .......................................................................................... 11
2.1. Opciones Reales ............................................................................................. 11
2.1.1. Opciones de Timming ............................................................................. 12
2.1.2. Opciones de Producto .............................................................................. 14
2.2. Modelos proyección financiera y simulación ................................................. 15
2.2.1. Flujo de Caja Descontado ....................................................................... 15
2.2.2. Simulación de Monte Carlo ..................................................................... 16
2.3. Modelo de valoración de opciones reales ....................................................... 17
2.3.1. Arboles de decisión dinámicos ................................................................ 18
3. Caracterización del caso de estudio .................................................................... 21
3.1. Descripción de megaproyecto de Parque Heredia......................................... 22
3.2. Identificación de las principales fuentes de riesgo e incertidumbre ............ 24
3.2.1. Fuentes de Riesgo ................................................................................... 24
3.2.2. Fuentes de Incertidumbre ...................................................................... 24
3.3. Definición de variables relevantes ................................................................ 25
3.3.1. Variables de Desempeño ......................................................................... 25
3.3.2. Variables de Decisión .............................................................................. 25
3.3.3. Variables Aleatorias................................................................................ 25
4
3.4. Definición de opciones reales a modelar ....................................................... 25
3.4.1. Opción de construcción por fases (Alternativa 1) ................................... 25
3.4.2. Opción de construcción modular (Alternativa 2) .................................... 25
3.4.3. Opción de mezcla de producto dentro del estrato VIS (70-135 SMMLV)
(Alternativa 3) ..................................................................................................... 26
3.4.4. Opción de Posponer un proyecto (Alternativa 4) .................................... 26
3.5. Identificación y definición de los criterios para la evaluación de las
alternativas ............................................................................................................. 26
3.6. Fuentes y recolección de información ........................................................... 27
3.6.1. Fuentes Primarias .................................................................................. 27
3.6.2. Fuentes Secundarias ............................................................................... 27
4. Análisis de los datos ............................................................................................ 28
4.1. Análisis de Entrada información de ventas .................................................. 28
4.1.1. Pruebas de Homogeneidad ..................................................................... 29
4.1.2. Pruebas de Bondad de Ajuste ................................................................. 31
4.2. Construcción del modelo ................................................................................ 33
4.2.1. Opción de construcción por fases (Alternativa 1) ................................... 36
4.2.2. Opción de construcción modular (Alternativa 2) .................................... 37
4.2.3. Opción de mezcla de producto dentro del estrato VIS (70-135 SMMLV)
(Alternativa 3) ..................................................................................................... 38
4.2.4. Opción de Posponer un proyecto (Alternativa 4) .................................... 39
5. Análisis de Resultados ........................................................................................ 40
5.1. Resultados ADD ............................................................................................ 40
5.1.1. Escenario inflexible ................................................................................. 42
5.1.2. Opción de construcción por fases (Alternativa 1) ................................... 43
5
5.1.3. Opción de construcción modular (Alternativa 2) .................................... 45
5.1.4. Opción de mezcla de producto dentro del estrato VIS (70-135 SMMLV)
(Alternativa 3) ..................................................................................................... 46
5.1.5. Opción de Posponer un proyecto (Alternativa 4) .................................... 48
6. Discusión y Conclusiones .................................................................................... 50
6.1. Comparación entre las alternativas .............................................................. 50
6.2. Aplicación en otros tipos de infraestructura ................................................. 52
6.3. Conclusiones y recomendaciones .................................................................. 55
7. Anexos.................................................................................................................. 59
7.1. Código Caso inflexible ................................................................................... 59
7.1.1. Importo los datos de cada proyecto desde Excel ..................................... 59
7.1.2. Gráfico las PDF de cada partición .......................................................... 59
7.1.3. Genero la serie de valores aleatorios para cada simulación .................. 60
7.1.4. Se genera el flujo de caja para cada mes en la proyección del proyecto 64
7.1.5. Creo el histograma de la serie del VPN .................................................. 65
8. Bibliografía .......................................................................................................... 67
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Índice de tablas
Tabla 1. Base de datos de proyectos ........................................................................... 28
Tabla 2. Particiones de ventas en VIS ....................................................................... 30
Tabla 3. Distribuciones Ajustadas a particiones ....................................................... 32
Tabla 4. Parámetros modelo (OBYCON, 2019) ......................................................... 35
Tabla 5. Resumen de resultados ADD ....................................................................... 49
7
Índice de figuras
Figura 1. Diagrama de proceso. ................................................................................. 10
Figura 2. Estructura básica de un árbol de decisión (Castillo, 2006) ....................... 19
Figura 3. Diagrama de flujo de la metodología .......................................................... 21
Figura 4. Implantación Parque Heredia .................................................................... 23
Figura 5. Ventas promedio por mes en VIS ............................................................... 30
Figura 6. Prueba de bondad de ajuste para la partición 1 ........................................ 31
Figura 7. Distribuciones tipo Kernel ......................................................................... 33
Figura 8. Árbol de decisión alternativa 1 .................................................................. 36
Figura 9. Árbol de decisión alternativa 2 .................................................................. 37
Figura 10. Árbol de decisión alternativa 3 ................................................................ 38
Figura 11. Árbol de decisión alternativa 4 ................................................................ 39
Figura 12. Histograma de VPN para escenario inflexible ......................................... 42
Figura 13. Histograma de VPN para alternativa 1 ................................................... 43
Figura 14. Alternativa 1 vs escenario inflexible ........................................................ 44
Figura 15. Histograma de VPN para alternativa 2 ................................................... 45
Figura 16. Alternativa 2 vs caso inflexible ................................................................ 46
Figura 17. Histograma del VPN para la alternativa 3 .............................................. 46
Figura 18. Alternativa 3 vs. caso inflexible ............................................................... 47
Figura 19. Histograma del VPN para la alternativa 4 .............................................. 48
Figura 20. Alternativa 4 vs. caso inflexible ............................................................... 49
Figura 21. Frontera eficiente de Markowitz con alternativas .................................. 51
Figura 22. Diagrama de proceso de identificación de opciones reales (Cardin & de
Neufville, 2008, pág. 6) ............................................................................................... 53
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1. Introducción
En cualquier proyecto de construcción, existe una gran labor de planeación y
proyección para la buena ejecución de este. Particularmente, en los proyectos de
desarrollo de bienes raíces de gran escala, como lo son aquellos que involucran planes
parciales. La incertidumbre asociada a las ventas puede llegar ser un factor
determinante para definir el cronograma de ejecución. Por ejemplo, modificando la
programación original. Para entender cómo afecta la incertidumbre a un proyecto es
fundamental entender el concepto de flexibilidad.
David Geltner y Richard De Neufville, en su libro Flexibility and Real Estate
Valuation Under Uncertainty (2018), sostienen que cada proyecto de construcción
tiene un tomador de decisiones que reacciona a los escenarios a medida que estos
suceden a través de las posibles acciones disponibles. Lo anterior, es luego definido
como la flexibilidad del proyecto. Sin embargo, en el sector de la construcción en
Colombia existe una inconsistencia entre la realidad de ejecución del proyecto y la
forma en que se evalúa su viabilidad financiera. Actualmente, el sector lleva a cabo
la viabilidad financiera por medio de un modelo de flujos de caja libres descontados a
una tasa de descuento pertinente. Si bien este modelo incorpora el riesgo por medio
del costo de oportunidad, sigue siendo un modelo determinístico ignorando aspectos
relevantes de la realidad. Por un lado, el modelo no contempla la incertidumbre en
los flujos de caja de cada periodo. Por otro lado, no tiene en cuenta la flexibilidad
gerencial durante la ejecución del proyecto.
Este tipo de limitaciones en los métodos tradicionales de valoración han dado cabida
a la popularización de nuevos modelos, como la valoración de opciones reales. Dichos
modelos son una adaptación de la valoración de opciones financieras (como la fórmula
de Black-Scholes y los Árboles Binomiales) al sector real. Una opción financiera es un
activo derivado que le otorga al dueño la opción mas no la obligación de comprar o
vender un activo subyacente a un precio determinado en un momento dado de tiempo.
De modo similar, una opción real se crea a partir de la posibilidad de actuar sobre un
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proyecto subyacente. Es decir, que según el escenario en que se encuentre el proyecto
la gerencia tiene opciones propias para direccionar el curso del proyecto.
Con este proyecto de grado se pretende encontrar el valor de las estrategias
modeladas como opciones reales en proyectos de construcción inmobiliaria en
Colombia. Tomando como caso base el megaproyecto inmobiliario del patrimonio
autónomo OBYCON – AMARILO (OA) conocido como Parque Heredia, de aquí en
adelante PH, en la ciudad de Cartagena. Dicho patrimonio lo compone OBYCON como
promitente constructor y AMARILO como promitente gerente y vendedor, dos
empresas con más de 25 años de experiencia. Además, se quiere hacer un análisis
comparativo que permita determinar cuál es la mejor estrategia para ejecutar en el
megaproyecto. A grandes rasgos, el escrito presenta una revisión bibliográfica e
investigación que permitan al lector familiarizarse con las opciones reales en el sector
de la construcción y la actualidad de PH. Luego, se detalla la metodología de
recolección de datos para la construcción del modelo probabilístico para el proyecto
PH. Con base en los datos se genera un modelo de simulación de Monte Carlo que
permita obtener los datos de entrada para la valoración de las opciones reales y
valorarlos por medio del modelo de árboles de decisión dinámicos. Posteriormente, se
llevará a cabo una análisis cuantitativo y cualitativo de los resultados obtenidos.
Luego, se discutirá la aplicabilidad de las opciones reales en otros tipos de
infraestructura. Finalmente, se llegará a unas conclusiones y se darán las
recomendaciones pertinentes al patrimonio autónomo OA.
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Figura 1. Diagrama de proceso.
1.1. Objetivo general
El objetivo general de este proyecto es crear una estructura de decisión completa y
replicable que le permita a OA escoger la mejor alternativa al momento de llevar
acabo sus proyectos de desarrollo inmobiliario.
1.2. Objetivos específicos
• Realizar una revisión bibliográfica de las opciones reales en el sector de la
construcción junto con los modelos de simulación, proyección y valoración más
comunes.
• Construir una base de datos con información de proyectos similares a PH en
Colombia que permita la construcción de un modelo de simulación de Monte
Carlo.
• Construir un modelo de simulación que permita comparar las diferentes
opciones reales dentro de un proyecto inmobiliario frente al caso inflexible.
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• Construir un modelo de valoración de opciones reales por medio de árboles de
decisión dinámicos.
• Analizar los resultados obtenidos de los modelos de simulación y valoración de
opciones reales.
• Presentar recomendaciones al cliente con base en los resultados obtenidos de
los modelos de decisión aplicados.
2. Revisión bibliográfica
Esta sección pretende explicarle al lector el concepto de opciones reales,
particularmente aquellas que existen el sector de la construcción. Además, se dará
un marco teórico sobre modelos de simulación de Montecarlo, el modelo de flujos de
caja descontados y el modelo de valoración de Arboles de decisión dinámicos (ADD).
2.1. Opciones Reales
El termino de Opciones Reales es uno que cada vez se escucha más en el pensamiento
estratégico de las empresas a nivel mundial. Sin embargo, en el sector de la
construcción en Colombia se han utilizado de forma escaza. Por un lado, esto se debe
al poco conocimiento sobre las opciones financieras en Colombia. Por otro lado, a la
falta de compresión sobre el cálculo estocástico detrás de los modelos típicos de Black-
Scholes y los Árboles Binomiales. De esta manera las opciones reales se convierten
en un modelo de caja negra que pierde validez para su implementación en la práctica
de las organizaciones.
Las compañías se pueden analizar como un portafolio de proyectos en los que tienen
un poder de decisión. Dado que por naturaleza estos proyectos no son determinísticos,
existen oportunidades a lo largo de la ejecución de los proyectos. Estas oportunidades
son en esencia opciones reales. Así mismo, las opciones reales son similares a las
opciones financieras, las cuales le dan al dueño de esta la opción mas no la obligación
de vender o comprar un activo subyacente a un precio de ejercicio antes de una fecha
establecida. “De forma similar una opción real le da a la compañía el derecho, pero no
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la obligación, de hacer una acción en el futuro. La opción es “real” debido a que los
activos subyacentes son usualmente físicos y humanos en vez de financieros.” (Li,
James, Madhavan, & Mahoney, 2007, p. 35) Al conceder el derecho sobre las acciones
futuras de la compañía es que las opciones reales crean valor dentro del proyecto.
A continuación, se muestra un listado de los principales tipos de opciones reales en
un desarrollo inmobiliario según Gentler y de Neufville (2018)
2.1.1. Opciones de Timming
Este tipo de opciones son las más comunes dentro los proyectos de desarrollo
de bienes raíces. A groso modo afectan la decisión de cuando empezar y como
ejecutar el proyecto.
I. Posponer el Proyecto
Al comprar un lote el desarrollador tiene la opción, pero no la obligación
de desarrollar el proyecto inmobiliario. Es decir, que esta opción es
prácticamente un call option sobre el proyecto. De esta manera el dueño
del lote puede iniciar el proyecto y aprovechar condiciones favorables del
mercado o posponer el proyecto y esperar un escenario más favorable.
En la realidad un desarrollador invierte cierta cantidad de recursos para
poder empezar un proyecto. Por ejemplo, la definición de un plan parcial,
la obtención de una licencia de urbanismo, y una licencia de construcción
requieren de tiempo y dinero. Usualmente se decide empezar el proyecto
cuando se finaliza dicha etapa preliminar para mantener la viabilidad
financiera del proyecto. Sin embargo, en la mayoría de los casos este
inicio del proyecto (salida a ventas) es realmente flexible y se puede
posponer.
II. Opción de construcción modular
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Con la construcción modular se pretende que el desarrollador puede
empezar el proyecto en cualquier momento, así como posponerlo y luego
retomarlo. Es decir, que tiene las propiedades de una opción de
abandono americana en vez de una europea. También se puede
abandonar el proyecto en cualquier momento. En la realidad, se toma
como “cualquier momento” el tiempo de construcción de la unidad
funcional más pequeña de un proyecto. Por ejemplo, en un conjunto de
apartamentos dicha unidad seria en principio una torre. En el caso
colombiano abandonar el proyecto es posible siempre y cuando no se
haya llegado al punto de equilibrio de la unidad funcional, ya que luego
de este punto existe una obligación legal con el cliente de terminar el
proyecto.
El caso que mejor ejemplifica una construcción modular es aquel en el
que se está construyendo un conjunto inmobiliario de casas. El
desarrollador tiene la potestad de no empezar un subconjunto de casas
si el anterior subconjunto no se ha vendido. Por lo tanto, este tipo de
opciones son más viables para proyectos que se desarrollen de forma
horizontal. Lo anterior debido a que las unidades funcionales en
proyectos horizontales son más pequeñas y facilitan la ejecución de esta
opción.
III. Opción de construcción por fases
Esta opción consiste principalmente es una modificación de la
construcción modular. Su única diferencia es que no se puede ejercer en
cualquier momento, ya que se especifican ciertos momentos en los que
se puede o no ejercer el derecho a esta opción. Por lo tanto, esta opción
tiene las características de una opción de abandono europea. Por
ejemplo, en un proyecto de 8 torres y dos etapas se podría decir que el
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momento de ejecución de la segunda fase es cuando se llega al punto de
equilibrio en las primeras 4 torres.
2.1.2. Opciones de Producto
Este tipo de opciones contemplan las capacidades que tiene la gerencia de
decidir sobre la escala y tipo de producto que se pretende ofrecer al cliente. Con
el fin de poder explicar este tipo de opciones se define como plan base el alcance
original que tiene una empresa en cuestión del tamaño y tipo de producto.
I. Opción de expansión de producto
En cuanto a esta opción existen dos tipos: expansión vertical y
horizontal. La primera consiste en crear más estructura sobre la
estructura estimada en el caso base. Con el fin de poder ejercer esta
opción el desarrollador debe incurrir en unos costos normativos y
estructurales que le permitan hacer la expansión viable. Por ejemplo,
más ascensores y mayor especificación en las columnas
respectivamente. Lo anterior con el fin de construir parte del edificio
ahora y la otra parte cuando el mercado se muestre más favorable al
producto. De igual modo, una expansión horizontal busca lo mismo en el
mercado, pero consiste en construir más edificación sobre el lote
aumentando la vista en planta del proyecto.
II. Opción de mezcla de producto
Esta opción consiste en cambiar el producto que se ofrece en un proyecto.
Por ejemplo, si se tiene un área útil por piso de 200 m2 se pueden ofrecer
cuatro apartamentos de 50 m2 o dos de 100 m2. Con la mezcla de producto
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el desarrollador busca encontrar la proporción optima que le maximice
el valor a su proyecto.
Finalmente, vale aclarar que la variable que genera que se ejerza una opción
real en el ámbito de la construcción son las condiciones de mercado en momento
de la toma de decisión. De la misma manera, la modelación financiera del
proyecto se llevará acabo como un modelo sales driven. Lo anterior significa
que: “en lo posible la mayoría de las variables de los estados financieros son
asumidos como funciones de las ventas de la firma.” (Benninga, 2008, p. 103)
2.2. Modelos proyección financiera y simulación
A continuación, se muestran los diferentes modelos utilizados para hacer la
proyección financiera y simulación de escenarios para el proyecto PH.
2.2.1. Flujo de Caja Descontado
El flujo de caja descontado, de ahora en adelante FCD, es un método de valoración de
una inversión con base en sus flujos de caja futuros. Es decir, que este modelo intenta
encontrar el valor del proyecto hoy basándose en las proyecciones de cuánto va a
generar en el futuro. Partiendo de la premisa que el dinero tiene valor en el tiempo
el FCD pretende encontrar el valor presente neto (VPN) de un proyecto por medio de
una tasa de descuento apropiada (Brandão & Dyer, 2003, p. 3). Actualmente, el FCD
es método más utilizado para encontrar el valor de un proyecto de infraestructura.
(Martins, Marques, & Cruz, 2013) La siguiente ecuación describe el modelo de FCD.
VPN=-I+ ∑FCLt
(1+i)t
T
t=1
Donde,
I = La inversión inicial
T = duración del proyecto
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i = la tasa de descuento
FCLt = el flujo de caja libre en el periodo t ∈ T
La tasa de descuento es uno de los parámetros más importantes en el modelo de FCD,
ya que en esta se incorpora el riesgo de la inversión. Para estimarlo existen dos
metodologías: primero, el costo de capital promedio ponderado o WACC por sus siglas
en inglés; segundo, el capital asset pricing model (CAPM). (Brandão & Dyer, 2003, p.
3) El más utilizado en la práctica es el WACC. Sin embargo, muchas empresas
utilizan un costo de capital arbitrario, conocido en la literatura con hurdle rate. Dicha
tasa se puede interpretar como la “mínima tasa interna de retorno exigida por la
gerencia.” (Investopedia, 2019) Particularmente, OA utiliza un costo de capital igual
10% EA para evaluar la viabilidad de sus proyectos (Cerón de Sousa, 2019).
Una de las mayores limitaciones que tiene el FCD es que es un modelo determinístico.
Es decir, que solamente considera uno de los posibles escenarios que pueden ocurrir
en los años de proyección. (Brandão & Dyer, 2003, p. 4) No obstante, este modelo si
incorpora cierta cantidad de riesgo por medio del costo de oportunidad. Sin embargo,
“se necesita modelar de manera explícita la incertidumbre con el fin desbloquear y
cuantificar el valor agregado de la flexibilidad gerencial.” (Geltner & de Neufville,
2018, p. 26)
2.2.2. Simulación de Monte Carlo
La simulación de Monte Carlo tiene su origen el Proyecto Manhattan entre 1942-
1946. “Jhon von Neumann y Stanislaw Ulam lo sugirieron como un método para
investigar las propiedades de como un neutrón viaja a través de un escudo de
radiación, lo nombraron en honor al casino Monte Carlo en Mónaco.” (Harrison, 2010).
Particularmente, se le conoce como un método de “fuerza bruta” debido a su gran
carga computacional. Sin embargo, es ampliamente utilizado para resolver problemas
que son analíticamente indescifrables debido a su complejidad.
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Las simulaciones Monte Carlo son utilizadas para modelar los diferentes escenarios
que pueden llegar a ocurrir en un proceso a través de variables aleatorias. Lo anterior
con el fin de poder obtener la distribución de probabilidad de una variable de
desempeño. (Harrison, 2010) Particularmente, este escrito utilizara la simulación de
Monte Carlo con el fin de poder introducir explícitamente la incertidumbre en el
modelo FCD del proyecto PH.
A continuación, se muestra la metodología utilizada para la implementación de
simulación de Monte Carlo (Geltner & de Neufville, 2018, p. 120):
I. Modelación de modelo de FCD de forma determinística
II. Evaluación de variables aleatorias significativas para el modelo
III. Estimación de funciones de probabilidad de las variables aleatorias
con base en datos históricos y pruebas de bondad de ajuste.
IV. Introducción de variables aleatorias al modelo determinístico de FCD
V. Definición de variable de desempeño, en este caso el VPN del proyecto.
Luego, de introducir la incertidumbre dentro del modelo determinístico se procede a
modelar las diferentes flexibilidades que se obtienen por medio de las opciones reales.
2.3. Modelo de valoración de opciones reales
Existen varios modelos de valoración de opciones reales, en general son adaptaciones
de modelos utilizados para la valoración de las opciones financieras. Los más comunes
son la fórmula de Black-Scholes y Arboles Binomiales. Sin embargo, Galvis (2006)
sostiene que la mayor limitante de estos modelos es que fallan cuando el valor del
proyecto subyacente es negativo. Lo anterior debido a que estos modelos suponen que
el valor de un activo subyacente, en el caso de opciones financieras, no puede ser
menor a cero. Por lo tanto, Galvis propone la utilización de Arboles de Decisión
Dinámicos como una alternativa practica a los métodos tradicionales.
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2.3.1. Arboles de decisión dinámicos
En su libro Toma de decisiones en las empresas: Entre el arte y la técnica (2006),
Castillo define un árbol de decisión como:
[U]n modelo de decisión probabilístico que, mediante la estructuración de un
problema de decisión a través de una secuencia acorde con la lógica del proceso
de decisión, permite evaluar un conjunto de alternativas de decisión, teniendo en
cuenta los eventos probabilísticos relevantes para la toma de la decisión y el
comportamiento de cada alternativa con respecto a la variable de desempeño.
(Castillo, 2006, p. 149)
El modelo tiene como objetivo seleccionar la estrategia que produzca el mejor valor
esperado en la variable de desempeño.
Un árbol de Decisión se conforma a partir de los siguientes componentes del
problema:
I. Las alternativas de decisión: las diferentes rutas que tiene disponible el
decisor cuando está parado en un nodo de decisión.
II. Los eventos probabilísticos: aquellos eventos que el decisor no controla,
pero influyen al momento de tomar una decisión en los nodos aleatorios.
III. La información económica relevante: Como afectan las acciones del
decisor la variable de desempeño.
IV. La secuencia del proceso de decisión: el orden cronológico en el que
suceden y la estructura en la que están relacionadas las decisiones.
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Figura 2. Estructura básica de un árbol de decisión (Castillo, 2006)
La Figura 2, muestra la estructura básica de un árbol de decisión. La anterior está
compuesta de nodos de decisión, nodos aleatorios, nodos terminales (sin sucesores)
mostrados como triángulos azules y un nodo raíz (sin predecesores).
Luego, con el proyecto modelado bajo una estructura de un árbol de decisión, se
procede a evaluarlo. Lo anterior con el fin de encontrar el valor esperado de la variable
de desempeño, así como un mapa de la estrategia optima del proyecto. Dicho proceso
es descrito por Castillo (2006) como “Repliegue del Árbol”, el cual consiste al computar
los beneficios y costos desde los nodos terminales hasta el nodo raíz y ponderados por
las probabilidades en los nodos aleatorios. El criterio de selección de estrategia debe
ser de acorde a la naturaleza del problema, es decir, de maximización o minimización
de la variable de desempeño según corresponda.
Finalmente, los árboles de decisión sirven como una herramienta para modelar las
opciones reales dentro de los proyectos. Lo anterior debido a que incorporan la
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flexibilidad a través de los nodos de decisión. (Brandão & Dyer, 2003, p. 2) Por
consiguiente, el valor de la opción real es aquel que se obtiene como la diferencia entre
el valor del proyecto que incluye un proceso de decisión, la opción real, y el modelo
rígido sin ninguna flexibilidad por parte de la gerencia, bajo una misma tasa de
descuento. (Geltner & de Neufville, 2018, p. 136)
Valor Opcióni = VPNi-VPN0
Donde,
VPNi = es el valor presente neto del proyecto con la opción i ∈ Opciones
VPN0 = el valor presente del proyecto bajo el escenario inflexible
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3. Caracterización del caso de estudio
A continuación, la Figura 3, muestra un diagrama de flujo de la metodología
implementada en este proyecto de grado. Dicha metodología es una adaptación de la
metodología utilizada en el análisis de decisiones de Mario Castillo (2006).
Figura 3. Diagrama de flujo de la metodología
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3.1. Descripción de megaproyecto de Parque Heredia
El proyecto de Parque Heredia es un megaproyecto de un patrimonio autónomo entre
dos empresas de construcción colombianas OBYCON y AMARILO que inicio ventas
en enero del año 2016. El proyecto cuenta con su propio plan parcial que abarca un
área bruta de 52 ha, 30 ha útiles, 26 lotes desarrollables y una edificabilidad de hasta
10,000 unidades de vivienda. Se encuentra ubicado en la ciudad de Cartagena de
Indias en la salida a Turbaco. A continuación, la Figura 4 muestra la ubicación del
proyecto.
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Figura 4. Implantación Parque Heredia
24
Como se puede visualizar en la Figura 4, el proyecto cuenta con unas 5 etapas de
urbanismo. Con base en esas cinco etapas de urbanismo se estableció la programación
de desarrollo de los proyectos inmobiliarios. Inicialmente, el proyecto Parque Heredia
se planteó como un proyecto multi estrato, con proyectos de estrato 4 y de vivienda de
interés social (VIS) de entre 70 SMMLV y 135 SMMLV. Además, contiene dentro de
su plan un centro comercial local y una torre de parqueaderos para los residentes del
todo el megaproyecto.
Cerca del 70% de los ingresos previstos por el proyecto PH provienen del desarrollo y
venta de los productos de VIS. Además, la información de ventas disponible de
proyectos comparables es de proyectos tipo VIS. Con base en lo anterior y de acorde
con la ley de Pareto, este escrito se centrará en modelar esta parte del megaproyecto.
3.2. Identificación de las principales fuentes de riesgo e
incertidumbre
3.2.1. Fuentes de Riesgo
• Proceso de ventas en un proyecto de desarrollo de VIS de OA en la ciudad de
Cartagena.
• Costos directos e indirectos en un proyecto de desarrollo de VIS de OA en la
ciudad de Cartagena.
3.2.2. Fuentes de Incertidumbre
• Condiciones políticas o económicas que no le permitan dar continuidad al
proyecto o que lleven a un colapso en el sector de la construcción.
• Condiciones políticas que finalicen programas como MI CASA YA o la
devolución del IVA en el sector de VIS que afecten la viabilidad financiera del
proyecto.
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3.3. Definición de variables relevantes
3.3.1. Variables de Desempeño
I. VPN del proyecto: hace referencia al valor presente neto del proyecto,
el cual se quiere maximizar
II. Desviación estándar del VPN del proyecto: hace referencia a la
volatilidad del valor presente neto del proyecto, la cual se quiere
minimizar.
III. VAR del proyecto: hace referencia al valor en riesgo del proyecto con
una confianza del 95%.
3.3.2. Variables de Decisión
I. Selección de la mejor alternativa: hace referencia a si se escoge como
mejor estrategia la alternativa 1,2,3 o 4.
3.3.3. Variables Aleatorias
I. Proceso de Ventas: hace referencia al proceso de ventas mes a mes de
un proyecto vendido por AMARILO en el sector VIS en la región caribe de
la costa colombiana.
3.4. Definición de opciones reales a modelar
A continuación, se muestra una lista de las diferentes opciones que se modelaron:
3.4.1. Opción de construcción por fases (Alternativa 1)
Esta opción consta de poder dividir cada proyecto que se desarrolle en cada uno
de los 19 lotes VIS de PH en 3 subetapas. Por lo tanto, esta opción se puede
interpretar como una opción de abandono europea.
3.4.2. Opción de construcción modular (Alternativa 2)
Esta opción se trata de poder dividir el cada uno de los 19 lotes VIS de PH en
el mayor número de subetapas. Es decir, en la unidad terminada más pequeña
de construcción que en este caso es una torre de apartamentos. Por lo tanto,
esta opción se puede interpretar como una opción de abandono americana.
26
3.4.3. Opción de mezcla de producto dentro del estrato VIS (70-135 SMMLV)
(Alternativa 3)
Esta opción se trata de poder cambiar el producto inicial de 135 SMMLV por
un producto más económico de 90 SMMLV en cada uno de los 19 lotes VIS de
PH. Lo anterior sucedería si no se llega al punto de equilibrio antes de 24 meses
y si se lleva por lo menos 6 meses vendiendo el producto de 135 SMMLV.
Además, se asume que si se empieza a vender producto de 90 SMMLV se
elimina el producto de 135 SMMLV en ese lote.
3.4.4. Opción de Posponer un proyecto (Alternativa 4)
Esta opción se trata de poder posponer cada uno de los 19 lotes VIS de PH por
una máxima duración que permita construir y entregar el proyecto en el
periodo de proyección. El proyecto solamente comienza hasta que se cumpla la
siguiente condición:
• Si el VPN del proyecto resulta positivo con el promedio de las ventas de
los últimos 3 proyectos que se han lanzado.
3.5. Identificación y definición de los criterios para la evaluación
de las alternativas
• Desempeño económico: hace referencia al VPN del proyecto con la
opción real.
• Volatilidad: hace referencia a la desviación estándar del VPN del
proyecto con la opción real.
• Valor: hace referencia al valor de la opción real por medio del método
de ADD.
• C.O.V: hace referencia coeficiente de variación de Pearson del proyecto
con la opción real.
• VAR (95%): hace referencia al valor en riesgo con una confiabilidad del
95% para el proyecto con la opción real.
27
3.6. Fuentes y recolección de información
Con el fin de mantener la relevancia de los resultados se procuró utilizar la
información más reciente disponible. Por un lado, en el caso de la información
obtenida de construcciones OBYCON esta tiene fecha de abril del 2019. Por otro
lado, en las demás fuentes se utilizó información hasta septiembre del 2019.
3.6.1. Fuentes Primarias
• Federico Cerón de Sousa – Gerente general de construcciones OBYCON
Al tener más de 30 años de experiencia en el sector de la construcción de
proyectos inmobiliarios, aportó en la modelación del decisor. Es decir, los
criterios necesarios para poder modelar las opciones reales. Además, participo
en el proceso de creación del modelo financiero.
• Diego González Cabanzo – Gerente de construcciones en construcciones
OBYCON
Serie histórica de las ventas mes a mes de los proyectos en Parque Heredia de
OA.
• Andrés José Iguarán – Director de proyectos en construcciones OBYCON
Serie histórica de las ventas mes a mes de los proyectos en Valledupar y
Branquilla de OA.
• Viviana Fuquen Garzón – Auxiliar Financiero en construcciones OBYCON
Factibilidades de todos los proyectos tipo VIS de la empresa en la región caribe
de Colombia. Esto con el fin de poder determinar los parámetros necesarios
para modelar los ingresos, costos directos, costos indirectos y costos financieros
de los proyectos.
3.6.2. Fuentes Secundarias
• Ministerio de Vivienda de Colombia
28
El ministerio de vivienda establece los montos para que una vivienda clasifique
como vivienda VIS. Además, establece políticas como Mi Casa Ya que
directamente afectan las ventas del sector VIS.
• CAMACOL – Cámara Colombiana de la Construcción
Desempeño y crecimiento del sector de la construcción específicamente de
vivienda de interés social.
• DANE – Departamento Administrativo Nacional de Estadística
Información macroeconómica que afecte la construcción en Colombia, así como
las series históricas de las siguientes variables:
o ICCV – Índice de costos de la construcción de la vivienda
o SMMLV – Salario Mínimo
• DIAN – Dirección de Impuestos y Aduanas Nacionales
Actualmente, existe ciertos beneficios tributarios, como la devolución de IVA
en ciertos costos de la construcción de VIS. Lo anterior es importante, ya que
dicha “devolución de IVA de los costos puede llegar a duplicar la utilidad de los
proyectos de VIS.” (Cerón de Sousa, 2019)
4. Análisis de los datos
Dado que solo existe una variable aleatoria (el proceso de ventas) solo se hizo un
análisis de datos para la información sobre esta.
4.1. Análisis de Entrada información de ventas
La Tabla 1 muestra los proyectos que se utilizaron para el cálculo de la distribución
de ventas por mes.
Tabla 1. Base de datos de proyectos
ID Nombre de
Proyecto Ubicación Tipo de Vivienda
Número de
Unidades
1 NÍSPERO 1 Soledad
(Barranquilla) VIP 360
2 NÍSPERO 2 Soledad
(Barranquilla) VIP 220
29
ID Nombre de
Proyecto Ubicación Tipo de Vivienda
Número de
Unidades
3 PALMA Soledad
(Barranquilla) VIS 306
4 YARUMO Soledad
(Barranquilla)
T-VIS (135
SMMLV) 390
5 CEIBA Soledad
(Barranquilla) VIS 632
6 SALAMANDRA Cartagena T-VIS (135
SMMLV) 376
7 MANATÍ Cartagena T-VIS (135
SMMLV) 392
8 CALAMARI Cartagena T-VIS (135
SMMLV) 392
9 MALIBU 1 Cartagena VIS 308
10 MALIBU 2 Cartagena VIS 352
11 CORAL Cartagena T-VIS (135
SMMLV) 396
12 CANDIL Cartagena T-VIS (135
SMMLV) 384
13 CARACOLI Cartagena T-VIS (135
SMMLV) 396
14 FLAMENCO Cartagena T-VIS (135
SMMLV) 396
Como nos podemos dar cuenta los proyectos son similares entre ellos. Sin embrago,
con el fin de poder comparar las ventas mes a mes, estas se trasformaron de la
siguiente manera:
Porcentajept=Ventaspt
Numero de Unidadesp
∀ p ∈ Proyectos, t ∈ Meses
Con la información normalizada se procedió a calcular la homogeneidad de los datos
a lo largo del tiempo.
4.1.1. Pruebas de Homogeneidad
Es necesario hacer pruebas de homogeneidad, ya que para poder ajustar una serie de
datos a una distribución de probabilidad esta debe ser homogénea. Particularmente,
el proceso de ventas en un proyecto de VIS no es homogéneo a través del tiempo. La
30
Figura 5 muestra el comportamiento del promedio de las ventas en todos los proyectos
analizados en cada mes desde que se salió a ventas.
Figura 5. Ventas promedio por mes en VIS
La Figura 5 muestra como efectivamente el proceso de ventas de una VIS en la costa
comercializada por AMARILO no es un proceso homogéneo a lo largo de todo el
periodo de venta. Por lo tanto, se procedió con un algoritmo iterativo con una
significancia del 5 % con el fin de encontrar el menor número de particiones en el que
el proceso de ventas si fuera homogéneo.
Debido a que no se conocían las particiones a priori se eliminaba los valores atípicos
cada vez que se hacia una partición. Específicamente, se utilizó como criterio de
eliminación cualquier dato que estuviera por fuer a del intervalo [μ̂±2σ̂] de cada
partición. Sintetizando, se obtuvieron las siguientes particiones:
Tabla 2. Particiones de ventas en VIS
Partición Mes
Inicio Mes final n μ σ
1 1 2 23 10.37% 13.48%
2 3 6 47 5.37% 5.33%
3 7 11 52 3.33% 3.72%
4 12 16 45 1.00% 1.63%
5 17 21 40 0.61% 1.73%
-2,00%
0,00%
2,00%
4,00%
6,00%
8,00%
10,00%
12,00%
1 6 11 16 21 26 31 36 41 46Pro
me
dio
de
un
ida
de
s
ve
nd
ida
s
Mes desde inicio de ventas
Ventas promedio por mes en VIS
Promedio mu1 = 0,047 mu2 = 0,008
31
Partición Mes
Inicio Mes final n μ σ
6 22 50 85 0.77% 1.98%
La Tabla 2. Particiones de ventas en VIS muestra los intervalos de ventas definitivos
con los que se procedió a hacer las pruebas de bondad de ajuste. Además, muestra
algunas estadísticas descriptivas como el número de observaciones (n), la media
muestral (µ) y la desviación muestral (σ).
4.1.2. Pruebas de Bondad de Ajuste
Las pruebas de bondad de ajuste se utilizan para estimar las distribuciones y los
parámetros con los que se distribuye una serie de datos. Particularmente, se utilizó
la prueba de Kolmogorov-Smirnov para las particiones con menos de 30 observaciones
y la prueba de Chi-cuadrado para las de más de 30 observaciones ambas con una
significancia del 5 %.
Figura 6. Prueba de bondad de ajuste para la partición 1
La Figura 6 muestra el ajuste de los datos de la primera partición a una distribución
Lognormal. A continuación, la Tabla 3 muestra los ajustes de cada una de las
particiones.
32
Tabla 3. Distribuciones Ajustadas a particiones
Partición Distribución Parámetros
1 LOGNORMAL Ubicación =-0.03, Media=0.08, Desviación =
0.09
2 WEIBULL Ubicación = 0, Escala 0.05, Forma = 1.17
3 GAMMA Ubicación = -0.01, Escala = 0.02, Forma =
1.99
4 WEIBULL Ubicación = -0.03, Escala 0.04, Forma = 3.65
5 MAX EXTREME
VALUE Probabilidad = 0; Escala = 0.01
6 MAX EXTREME
VALUE Probabilidad = 0; Escala = 0.01
Sin embargo, no se utilizaron estos ajustes debido a que muchas de las distribuciones
obtenidas, como la Lognormal y Weibull, no pueden modelar valores negativos. Lo
anterior es importante, ya que los valores negativos se traducen en desistimientos no
despreciables. Por lo tanto, se utilizaron distribuciones empíricas o también conocidas
como Kernels. La siguiente ecuación muestra el estimador utilizado para la
construcción de las curvas de densidad para cada partición.
f̂h(x)=1
nh∑ ϕ (
x-xi
h)
n
i=1
Donde,
n = número de datos
h = tamaño de la banda
ϕ(∙) = la función de densidad normal estándar
La Figura 7 muestra un esquema de las distribuciones de densidad tipo Kernel
obtenidas utilizando una función de Kernel normal.
33
Figura 7. Distribuciones tipo Kernel
Con base en la Figura 7, nos podemos dar cuenta que las distribuciones se ajustan a
la serie histórica de ventas. Por lo tanto, esta aproximación contempla los valores
negativos que las distribuciones anteriores omitían.
4.2. Construcción del modelo
Para la implementación del modelo se utilizó el software de Matlab (ver código en
anexos p. 59). Lo anterior debido a su versatilidad para modelar las condiciones que
conllevan las diferentes opciones reales. A continuación, se muestra una lista de los
supuestos que contempla el modelo.
• Para iniciar la construcción de un proyecto se necesita llegar al punto de
equilibrio, si no se llega se devuelve la plata a los clientes.
• La tolerancia de la gerencia para llegar a punto de equilibrio es de 24 meses,
si no se llega se les devuelve la plata a los compradores.
• Existen 19 lotes dentro de PH destinados a la construcción de VIS.
• La densidad de viviendas por área útil del proyecto es de 440 viviendas por
hectárea.
• El punto de equilibrio de cada proyecto, etapa o torre es igual al 60% de los
apartamentos que los componen.
34
• Se asume que el inicio de cada proyecto es aquel que se establece en el
cronograma del megaproyecto. Lo anterior con el fin de conservar el orden
constructivo del urbanismo del proyecto.
• Los recursos de la obra se distribuyen uniformemente a lo largo de su duración.
• Se empiezan a entregar los apartamentos cuando se han consumido el 90% de
los recursos de la obra.
• Los apartamentos vendidos en el mes que comienzan entregas se entregan
uniformemente en los siguientes 3 meses.
• La cuota inicial corresponde al 30% del valor del apartamento (Cerón de Sousa,
2019).
• La subrogación corresponde al 70% del valor del apartamento (Cerón de Sousa,
2019).
• El crecimiento de los costos de construcción para el periodo 2016-2021 es igual
al promedio geométrico de variación del ICCV del 2011-2016 igual al 3.2%
anual (DIAN, 2019).
• El crecimiento de los costos de construcción del 2022 en adelante es del 3%
anual correspondiente a las proyecciones de inflación a largo plazo del Banco
de la República de Colombia (Banco de la Republica de Colombia, 2019).
• El crecimiento en los ingresos de PH está ligado al crecimiento del SMMLV en
Colombia. Es decir, 4.88% (promedio geométrico 2011-2015 (Banco de la
Republica de Colombia, 2019)) en el periodo 2016-2021 y 5% del 2022 en
adelante.
• El periodo de evaluación del proyecto se toma como el 31 de diciembre del 2015
(Cerón de Sousa, 2019).
• Se asume que la duración máxima del megaproyecto es de 18 años desde que
se comenzó en el 2016 (Cerón de Sousa, 2019).
• El costo de oportunidad para el proyecto es igual al 15% EA obtenido con el
promedio del hurdle rate de la gerencia de OBYCON (Cerón de Sousa, 2019) y
el utilizado por Deloitte (Uribe, 2019) en proyectos similares.
35
• Se asume la continuidad del programa “Mi Casa Ya” hasta el final del
megaproyecto PH.
• El 3.8% del total de los ingresos es devuelto como devolución de IVA (Cerón de
Sousa, 2019).
• Se asume un comportamiento de la demanda en el sector de VIS en Colombia
constante o creciente durante la proyección. Lo anterior debido al gran déficit
cuantitativo de 1.5 millones de viviendas y déficit cualitativo de 800 mil
viviendas en Colombia (DANE, 2005).
• En las opciones de división por etapas, en la primera etapa se construyen el
80% de los equipamientos del proyecto y el 20% restante se construye
uniformemente en las etapas restantes.
• El flujo de caja libre en un proyecto VIS es exento de impuesto de renta durante
la duración de PH (DIAN, 2005) (Instituto Colombiano de Investogación
Contable y Análisis Tributario, 2019)
• La Tabla 4, muestra los parámetros utilizados en el modelo.
Tabla 4. Parámetros modelo (OBYCON, 2019)
TIPO de UND ITEM Valor en 2016 (M)
135 SMMLV
INGRESO/UND $ 93,076.29
COSTO DIRECTO/UND $ 57,130.09
COSTO INDIRECTO/UND $ 17,407.09
LOTE/UND $ 14,165.33
90 SMMLV
INGRESO/UND $ 62,050.86
COSTO DIRECTO/UND $ 43,418.87
COSTO INDIRECTO/UND $ 8,703.55
LOTE/UND $ 9,443.55
Sala de Ventas $ 150,217.57
A continuación, se muestran los diferentes arboles de decisión utilizados para
modelar cada una de las opciones reales.
36
4.2.1. Opción de construcción por fases (Alternativa 1)
Figura 8. Árbol de decisión alternativa 1
La Figura 8, muestra la estructura de decisión para la opción de etapas secuenciales
que se implementó en Matlab. Los nodos de decisión muestran el momento en que el
decisor tiene la opción de empezar la etapa n+1 o acabar el proyecto solamente cuando
se llega al punto de equilibrio en la etapa n en el plazo de 8 meses desde que se salió
a ventas en la etapa n. Es decir, que el momento de toma de decisión es consistente
con el de una opción de abandono europea, ya que solo se puede ejercer en
determinados momentos del tiempo. Existe una restricción referente a que si se
decide empezar una etapa se procede a terminarla. Lo anterior se evidencia en los
nodos de decisión cuando no se decide no continuar con la etapa n+1.
37
Las ventas del proyecto se ven afectadas por la cantidad de etapas que se han decidido
comenzar. En la Figura 8, esto se ve representado en nodos aleatorios, donde se tienen
en cuenta el número de viviendas disponibles en función de las etapas empezadas.
4.2.2. Opción de construcción modular (Alternativa 2)
Figura 9. Árbol de decisión alternativa 2
Como se puede observar en la Figura 9, la estructura utilizada para la construcción
de la alternativa 2 es muy similar a la de la alternativa 1. Lo anterior debido a que
también funciona como una opción de abandono que se puede ejercer al completar el
punto de equilibrio de una torre. Sin embargo, los nodos de decisión son más
frecuentes a través de este árbol de decisión (máximo cada 3 meses). Por consiguiente,
la estructura del árbol es consistente con una opción de abandono americana. Al igual
que en la alternativa 1, esta opción tiene la restricción de terminar cada torre cuando
se ha decidido iniciarla.
38
4.2.3. Opción de mezcla de producto dentro del estrato VIS (70-135 SMMLV)
(Alternativa 3)
Figura 10. Árbol de decisión alternativa 3
La alternativa 3 tiene como objetivo modelar la opción de cambiar el producto ofrecido
en un proyecto. Particularmente, la Figura 10 muestra gráficamente la estructura de
decisión de la gerencia. Primero, el nodo raíz muestra la decisión de empezar el
proyecto en el mes previsto en el cronograma, lo cual siempre es afirmativo. Sin
embargo, si en el mes 24 desde que se salió a ventas no se ha llegado a punto de
equilibrio se tiene la opción de cambiar el producto por apartamentos más pequeños
de 90 SMMLV. Esto, afecta tanto el ingreso por unidad como los costos directos por
unidad. Los costos directos no disminuyen proporcionalmente a los ingresos por
unidad. Lo anterior debido a que el metro cuadrado más caro en un proyecto VIS es
la cocina y baño, los cuales aumentan en cantidad cuando se incrementa el número
de apartamentos.
39
Segundo, si las ventas si llegan al punto de equilibrio la gerencia permite la
continuación de la venta de producto de 135 SMMLV. Finalmente, los nodos
terminales muestran el resultado aleatorio con base en las ventas del proyecto según
las decisiones de la gerencia.
4.2.4. Opción de Posponer un proyecto (Alternativa 4)
Figura 11. Árbol de decisión alternativa 4
La opción de posponer un proyecto se puede entender como un call option sobre el
proyecto. Es decir, que al comprar un lote la gerencia tiene la opción, pero no la
obligación de hacer el proyecto. Lo anterior se puede evidenciar en el único nodo de
decisión en la Figura 11. Por lo tanto, al momento de tomar la decisión la gerencia
tiene en cuenta el desempeño de los proyectos anteriores dentro de PH.
Particularmente, el algoritmo desarrollado tiene en cuenta los últimos 3 proyectos
con el fin de simular una toma de decisión conservadora. Por un lado, el decisor
solamente toma la decisión de iniciar un proyecto si el proyecto es rentable
pronosticando las ventas como el promedio de ventas por mes de los últimos 3
proyectos. Por otro lado, el decisor siempre decide no iniciar el proyecto cuando el este
no es rentable con las proyecciones. Esta opción se puede ejercer repetidamente a lo
40
largo del megaproyecto. Es decir, que la información sobre los proyectos anteriores se
actualiza cada mes y se vuelve a evaluar la viabilidad del proyecto.
5. Análisis de Resultados
5.1. Resultados ADD
A continuación, se muestran los histogramas del VPN con un costo de oportunidad
del 15% EA obtenidos para cada una de las alternativas, así como para el escenario
inflexible. En cada caso se hicieron 10,000 simulaciones de Montecarlo con el fin de
que el resultado fuera estable. Además, se calcularon los siguientes indicadores:
I. Probabilidad de que el VPN sea menor a 0
Para el cálculo de la probabilidad de que el VPN sea menor o igual a cero
se utilizó la siguiente formula
F(x=0)→F(x)= ∫ f̂h(y) dy
x
-∞
Donde,
f̂h(y) = función de densidad del ajuste por Kernel de la serie del VPN
F(x) = función de probabilidad acumulada del ajuste por Kernel
II. La desviación estándar muestral de la serie
Financieramente, la desviación estándar es una medida de volatilidad. Es
decir, que muestra que tan dispersos están los datos de una serie con
respecto a la media. La siguiente ecuación muestra cómo se calculó la
desviación estándar de cada serie de VPN.
σ̂=√∑ (xi-x̅)2N
i=1
N-1
Donde,
N = el número total de datos en una serie
x̅ = la media de la muestra
41
III. El coeficiente de variación de Pearson (C.O.V)
C.O.V=σ̂
|μ̂|
Donde,
σ̂ = la desviación estándar de la muestra
μ̂ = la media de la muestra, donde μ̂≠0
Este coeficiente pretende normalizar la desviación estándar con el fin de
poder compara más fácilmente entre dos series de datos.
IV. El valor en riesgo con una confiabilidad del 95 %
El valor en riesgo o VAR por sus siglas en ingles es una medida estadística
que cuantifica el nivel de riesgo financiero de una posición durante un
tiempo. Particularmente, el VAR en esta ocasión se calculó con una
confiabilidad del 95 %. Por lo tanto, el VAR cuantifica cuánto dinero puede
llegar a perder o ganar OA si todo llegará a salir mal. La siguiente
ecuación muestra cómo se calcula el VAR con una confiabilidad del 95%.
VAR (95%)=F-1(0.05)
Donde,
F -1(p) = función inversa de probabilidad del ajuste por Kernel del VPN
42
5.1.1. Escenario inflexible
Figura 12. Histograma de VPN para escenario inflexible
En principio, la Figura 12, nos muestra que la valoración del proyecto sin considerar
ningún tipo de flexibilidad por parte de la gerencia resulta negativa en el 99% de los
escenarios. Este sesgo hacia lo negativo muestra la importancia de un proceso de
decisión dinámico frente a los escenarios desfavorables de un proyecto. Así mismo,
las opciones reales pretenden cuantificar el valor las decisiones enfocadas en
disminuir los escenarios de perdida e incrementar los de ganancia.
En segundo lugar, la media del proyecto subyacente es negativa lo que hace que la
valoración de las opciones reales por métodos tradicionales no sea trivial. Lo anterior
debido a que los modelos como la fórmula de Black-Scholes y los árboles binomiales
suponen que el mínimo valor del subyacente es 0. Por lo tanto, es evidente la
aplicabilidad de los ADD como método de valoración en el caso de opciones reales.
Finalmente, la Figura 12 muestra el resultado de los principales indicadores para el
caso inflexible. Por un lado, un C.O.V mayor al 20% nos muestra que existe una alta
variabilidad dentro del VPN del proyecto, lo cual es consistente con el alto riesgo
asociado a proyectos de VIS. Por otro lado, el VAR del proyecto inflexible es $-42.85
millones de pesos lo cual cuantifica la alta exposición financiera del proyecto.
43
5.1.2. Opción de construcción por fases (Alternativa 1)
Inicialmente, uno de los mayores beneficios de la opción de construcción por fases es
que ayuda a diversificar el riesgo de la compra de un lote. Particularmente, la opción
de abandonar un proyecto cuando este no está siendo rentable ayuda a cubrir la
pérdida del desarrollador en momentos de desfavorables del mercado.
Figura 13. Histograma de VPN para alternativa 1
Como se puede ver en la Figura 13 , la distribución de los datos del valor del proyecto
tiene un sesgo hacia la derecha. Lo anterior es consistente con la naturaleza
protectora de esta opción, disminuyendo la probabilidad de escenarios con VPN
negativo a 0.12%. Por lo tanto, esta alternativa es muy llamativa para los
inversionistas conservadores. De igual modo, la opción de construcción en tres fases
tiene un VAR positivo lo cual demuestra la poca exposición financiera del proyecto
bajo esta opción.
Por otra parte, lo más significativo de esta estrategia es que es más eficiente que el
caso inflexible. Es decir, que alcanza un mayor retorno en el proyecto y disminuye el
riesgo en cerca de 200 puntos básicos con respecto al coeficiente de variación. A
44
continuación, la Figura 14 compara la distribución de resultados de la alternativa 1
frente al caso inflexible.
Figura 14. Alternativa 1 vs escenario inflexible
Con base en la Figura 14, nos podemos dar cuenta que al implementar la alternativa
1 existen modificaciones en el primer y segundo momento del VPN. Es decir, que la
media aumenta y la desviación estándar disminuye, respectivamente. Al aumentar
la media nos podemos dar cuenta que el valor de la opción es positivo e igual a $48.54
mil millones de COP.
45
5.1.3. Opción de construcción modular (Alternativa 2)
Figura 15. Histograma de VPN para alternativa 2
Como se puede ver en la Figura 15, la distribución de los datos del valor del proyecto
tiene un sesgo hacia la derecha. Además, al poder ejercerse más esta alternativa
muestra mejoras significativas frente a la alternativa 1. Por un lado, la probabilidad
de un VPN negativo disminuye a un 0 %. Por otro lado, el VAR del proyecto es positivo
y superior a la media del proyecto bajo la alternativa 1. Lo anterior es consistente
con lo descrito por Geltener y De Neufville (2018), ya que los autores sostienen que el
aumento en fases aumenta el valor de la opción con un cambio marginal decreciente.
En otras palabras, la primera división en dos etapas genera mayor valor esperado
que la enésima división en n+1 etapas de proyecto
Por otra parte, esta estrategia muestra mayor eficiencia que el caso inflexible y la
alternativa 1. Es decir, que alcanza un mayor retorno en el proyecto y disminuye el
riesgo en cerca de 1800 pb y 1600 pb frente al coeficiente de covariación,
respectivamente. A continuación, la Figura 16 compara la distribución de resultados
de la alternativa 2 frente al caso inflexible.
46
Figura 16. Alternativa 2 vs caso inflexible
La Figura 16 muestra la diferencia significativa que existe entre el caso inflexible y
el caso de construcción modular. En cuanto al primer y segundo momento nos
podemos dar cuenta que aumentan y disminuyen respectivamente. Con base en lo
anterior se puede calcular el valor de esta opción como $63.38 mil millones de COP.
5.1.4. Opción de mezcla de producto dentro del estrato VIS (70-135 SMMLV)
(Alternativa 3)
Figura 17. Histograma del VPN para la alternativa 3
En principio la mezcla de venta de producto dentro del estrato VIS se basa en la
premisa que “menor valor de venta por m2 se traduce en una menor rentabilidad sobre
la tierra” (Cerón de Sousa, 2019). Esto, puede llevar a la conclusión errónea de que
47
con la alternativa 3 se busca encontrar el producto optimo con el cual salir a ventas.
Lo anterior no tiene sentido práctico debido a que dicho ejercicio requeriría de un
“bola de cristal” para predecir el futuro. En cambio, con la alternativa 3 se quiere
valorar la flexibilidad que tiene un desarrollador al momento de cambiar el producto.
En segundo lugar, la Figura 17 nos muestra cambios significativos dentro del
comportamiento del VPN de PH. Por un lado, la media del proyecto aumenta con
respecto al caso inflexible, pero se mantiene negativa. Lo anterior se debe a que los
escenarios negativos se ven potencializados cuando se cambia de producto y este no
es acogido por el mercado. Por otro lado, la variabilidad del proyecto aumenta a 266%
lo cual hace que esta opción no sea muy atractiva para los inversionistas
conservadores. A continuación, la Figura 18 muestra visualmente la alternativa 3
frente al caso inflexible.
Figura 18. Alternativa 3 vs. caso inflexible
Como se puede ver en la Figura 18, tanto la cola negativa como la positiva crecen bajo
esta estrategia. Por un lado, la cola negativa crece debido a que existen escenarios en
que se decide cambiar a un producto más económico y este no es bien recibido por el
mercado. Lo anterior se traduce en mayores costos directos y menor ingreso. Por otro
48
lado, la cola positiva del proyecto aumenta por medio de una acogida positiva del
mercado al nuevo producto de menor valor, cuando el producto inicial no tuvo éxito.
Finalmente, podemos concluir que bajo la alternativa 3 el primer y segundo momento
del VPN aumentan. Lo anterior se traduce en un valor de la opción de $23.99 mil
millones de COP.
5.1.5. Opción de Posponer un proyecto (Alternativa 4)
Figura 19. Histograma del VPN para la alternativa 4
En primer lugar, la Figura 19 nos muestra que el valor esperado del VPN teniendo
en cuenta la alternativa 4 es negativo al igual que en el caso inflexible. Esto se debe
a que si los proyectos anteriores hayan sido exitosos no garantiza que el proyecto
actual sea rentable. Por lo tanto, la distribución del VPN muestra un sesgo
significativo hacia la izquierda con respecto al 0. Sin embrago, la Figura 19 muestra
mejoras con respecto al caso inflexible. Por un lado, la probabilidad de que el VPN sea
mayor a cero aumenta a casi el 15% lo cual es mayor que el caso inflexible en 1400
pb. Por otro lado, el VAR de esta opción es 3.8 mil millones de COP mayor que el caso
inflexible, lo cual muestra que el riesgo financiero del proyecto es menor gracias a la
alternativa 4.
A primera vista, esta opción aumenta la variabilidad del proyecto en casi 6522 pb
según el C.O.V. lo cual se puede interpretar negativamente. No obstante, esto no es
49
correcto, ya que este aumento en variabilidad se debe a que aumentan la cantidad de
escenarios positivos, pero se mantienen los escenarios negativos del caso inflexible
con menor probabilidad. Lo anterior se puede evidenciar en la Figura 20 en donde los
dos histogramas del VPN se sobreponen.
Figura 20. Alternativa 4 vs. caso inflexible
La Figura 20 muestra el incremento en el upside el proyecto gracias a la alternativa
4. Particularmente, es evidente que tanto el primero como el segundo momento de la
serie aumentan. Lo anterior se traduce en un valor de la opción de $14.84 mil
millones de COP.
A continuación, la Tabla 5 muestra un resumen de los resultados obtenidos por medio
de la valoración de las alternativas con ADD.
Tabla 5. Resumen de resultados ADD
Opción Real Desviación (MM COP) Valor (MM COP) VAR 95% (MM COP)
A1 $ 4.29 $ 48.54 $ 10.99
A2 $ 2.34 $ 63.38 $ 28.88
A3 $ 17.06 $ 23.99 $ -37.21
A4 $ 14.18 $ 14.84 $ -39.05
50
6. Discusión y Conclusiones
6.1. Comparación entre las alternativas
Con el fin de poder analizar de manera más visual los resultados obtenidos del modelo
se procede a la estimación de una frontera eficiente de Markowitz con un portafolio
compuesto de las cuatro alternativas. A continuación, se muestra el proceso que se
implementó.
En primer lugar, se calculó la matriz de covarianzas entre las cuatro alternativas.
Mcov=
A1
A2
A3
A4
A1 A2 A3 A4
[
18.43 1.32 31.41 23.281.32 5.47 2.29 2.09
31.41 2.29 291.12 223.5323.28 2.09 223.53 201.12
]
Luego, con el fin de poder estimar la frontera eficiente de Markowitz se procede a
solucionar el siguiente problema de optimización para 20 valores de retorno en el
rango [0 – 130] mil millones de COP.
min {∑ wi2σi
2+ ∑ ∑ Mcovij
4
j=1
4
i=1
4
i=1
}
s.a,
∑ wi
4
i=1
=1
∑ wiRi
4
i=1
=Retronoj
Donde,
wi = al peso de la alternativa i ∈{1,…,4}
σi = desviación estándar de la alternativa i∈{1,…,4}
51
Ri = valor de la alternativa i ∈{1,…,4}
Retronoj = el valor arbitrario de retorno del punto j∈{1,…, 20}
Como se puede ver, Figura 21 muestra la frontera eficiente de Markowitz para un
mercado compuesto por las cuatro opciones reales modeladas. La frontera eficiente
significa que cualquier estrategia que se ubique sobre ella domina a las estrategias
que se ubique debajo ella. Con base en esa premisa se puede concluir que la estrategia
más eficiente es la opción de construcción modular.
Figura 21. Frontera eficiente de Markowitz con alternativas
Actualmente, esta opción carece de viabilidad técnica, ya que la cimentación típica de
las torres en PH es una placa flotante que comparten dos torres a la vez. Por lo tanto,
no es posible de construir una sola torre a la vez, ya que la placa flotante necesita que
la carga este equilibrada durante el proceso constructivo. Sin embargo, al ser la mejor
alternativa de las cuatro seria significativo investigar cuanto puede llegar a valer un
52
cambio de cimentación en los costos directos para analizar la viabilidad económica de
la implementación de esta opción.
6.2. Aplicación en otros tipos de infraestructura
Según el reporte de competitividad global (GCR), del foro económico mundial (WEF),
la infraestructura es uno de los doce pilares para calcular la competitividad de un de
un país. Proyectos como carreteras, aeropuertos, hidroeléctricas y hospitales son
inversiones a largo plazo y requieren de una gran inversión inicial. Además, el
contexto en el que operan es altamente incierto. (Martins, Marques, & Cruz, 2013, p.
2). Por lo tanto, existe una necesidad de utilizar métodos nuevos y más sofisticados
para el análisis de inversión de estos proyectos. También, se observa una tendencia a
que los nuevos proyectos de infraestructura deben incorporar flexibilidad en su diseño
para disminuir el riesgo asociado a la incertidumbre.
A lo largo de este escrito, se ha hecho evidente la igualdad que existe entre la
flexibilidad y las opciones reales. Sin embargo, no se ha hecho explicita la diferencia
entre las opciones “sobre” el proyecto (options “on” the project) y “dentro” del proyecto
(options “in” the project). Por un lado, Wang y de Neufville (2005) sostienen que las
opciones “sobre” el proyecto son aquellas que incorporan únicamente la flexibilidad
gerencial del proyecto. Por otro lado, los autores argumentan que las opciones
“dentro” del proyecto se basan en la flexibilidad del diseño técnico del proyecto. Por
ejemplo, una opción de posponer un proyecto es una opción “sobre” el proyecto, ya que
no afecta técnicamente el diseño de este. En cambio, una opción de construcción
modular si lo afecta, por lo tanto, es una opción “dentro” del proyecto.
Los proyectos de infraestructura de gran escala necesitan opciones “dentro” de ellos.
Lo anterior debido a que una opción de este tipo puede llegar a mejora del 20% al 80%
el valor del proyecto. (Cardin & de Neufville, 2008, p. 1) Además, es un tipo de opción
hecha a la medida para el sector de infraestructura, mientras que las opciones “sobre”
el proyecto son más generales. Por lo tanto, esta sección propondrá una metodología
53
para identificar opciones reales “dentro” de los proyectos de infraestructura y un
listado de ejemplos de estas.
Figura 22. Diagrama de proceso de identificación de opciones reales (Cardin & de Neufville,
2008, pág. 6)
Cardin y de Neufville (2008), proponen un proceso que se divide en dos partes (ver
Figura 22) .Primero, en la etapa de investigación, se debe crear un acercamiento a
través de entrevistas cualitativas a candidatos con experiencia en diseño y/o gerencia
de proyectos de infraestructura. Lo anterior con el fin de determinar los siguiente:
• Como se maneja la incertidumbre y el riesgo en el diseño, construcción y
operación del proyecto.
• Como se incorpora la flexibilidad en el diseño, construcción y operación del
proyecto.
• Que recomendaciones existen para estimular discusiones sobre la
incertidumbre y la flexibilidad dentro del diseño del proyecto.
• Definir las mejores opciones reales que se puedan incorporar en los diseños del
proyecto.
Segundo, en la etapa detallada de diseño, se debe trabajar en conjunto con el equipo
de diseño del proyecto de infraestructura. Por lo tanto, se debe crear un modelo
simulación de Monte Carlo con el fin evaluar las diferentes alternativas de proyecto
54
desde un punto de vista económico. El propósito de este punto es calcular el valor de
las opciones reales y determinar cuál es la mejor alternativa.
A continuación, se muestran dos ejemplos que ilustran al lector en cómo aplicar las
opciones reales en otros tipos de infraestructura.
Ejemplo 1 (Infraestructura Vial)
Dentro de todas las obras de infraestructura vial los puentes pueden llegar a ser de
los proyectos con mayor inversión inicial. Uno de los parámetros de diseño de un
puente es la demanda vehicular que tendrá en un futuro. Particularmente, esto
también es una de las principales fuentes de incertidumbre del proyecto. Por un lado,
una subestimación de la demanda puede resultar en un mal nivel de servicio. Por
otro, una sobre estimación haría que se inviertan más recursos de los necesarios. Con
base en lo anterior los diseñadores del puente 25 de abril sobre el rio Tagus en Lisboa
llegaron a una solución para minimizar el riesgo en 1966. “El diseño original del
puente era más resistente que lo requerido, lo suficiente para soportar un segundo
nivel si se necesitaba.” (Wang & de Neufville, 2005, p. 5). Lo anterior le otorgaba la
opción al gobierno de las siguientes configuraciones:
• Puente de un solo piso para tráfico vehicular.
• Puente de doble piso para tráfico vehicular.
• Puente de doble piso para tráfico vehicular y férreo.
(de Neufville, Hodota, Sussman, & Scholtes, 2008)
A mediados de los años 90 el gobierno portugués decidió utilizar la tercera
configuración. Esto debido a que con la adhesión de Portugal a la Unión Europea
existían los recursos para la creación de un sistema de metro. Dicho escenario no era
posible de predecir en la etapa de diseño. Sin embargo, al tener la opción los
portugueses pudieron aprovechar el upside y aumentar los beneficios del proyecto.
Ejemplo 2 (Hospitales)
55
Usualmente a un proyecto de alianza publico privada (APP) se le otorga una concesión
de entre 25 – 35 años. (de Neufville, Lee, & Scholtes, 2007, p. 1) Por lo tanto, este tipo
de proyectos requieren de proyecciones a largo plazo para determinar su viabilidad,
las cuales usualmente se equivocan. Con el fin de disminuir el riesgo proyectos
hospitalarios como el Royal Victoria Infirmary en Inglaterra incorporan opciones
reales en su diseño. Particularmente, el hospital tiene la opción de incrementar el
espacio de habitaciones incrementando su altura, con una expansión lateral, o
convirtiendo el parqueadero en nuevos edificios y creando una torre de
estacionamiento nueva. (de Neufville, Lee, & Scholtes, 2007, p. 6) Dado que este
hospital hace parte de una APP, dicha opción le da una ventaja estratégica a lo largo
de su vida útil. Además, le permite al estado como al privado cubrir el riesgo de un
escenario desfavorable y aprovechar los escenarios favorables.
Finalmente, se puede decir que las opciones reales son aplicables a todo el espectro
de proyectos de infraestructura. Por un lado, esta flexibilidad podría aumentar los
costos iniciales. Por otro, puede reducir los costos totales, ya que permite iniciar los
proyectos de infraestructura con una escala relativamente pequeña, pero teniendo la
opción de expandir. Dada la gran presión de minimizar las inversiones iniciales de
los proyectos y maximizar el valor obtenido por dinero invertido, las opciones reales
son una forma de articular los diseños flexibles para requerimientos inciertos en el
futuro.
6.3. Conclusiones y recomendaciones
A continuación, se muestran las principales conclusiones y recomendaciones a las que
se llegó durante el desarrollo de este proyecto de grado.
I. Existe un valor intrínseco de la flexibilidad cuando se considera un
mundo incierto. Por ejemplo, es evidente que la media del VPN en el caso
inflexible del proyecto aumenta con la introducción de la flexibilidad. Sin
embargo, el valor de las opciones reales está en su adopción como
pensamiento organizacional. Lo cual requiere de cambios en la forma en
56
que las empresas de construcción estructuran y ejecutan sus proyectos
para introducir la flexibilidad.
II. Actualmente, la competencia al momento de comprar un lote en Colombia
para el desarrollo inmobiliario es muy grande. Como en cualquier
transacción, existe una valoración por el comprador y otra por el
vendedor. La introducción de opciones reales dentro de la estructuración
del proyecto puede llevar a una empresa a ver valor donde nadie más lo
ve. Lo anterior se traduce en una ventaja competitiva frente a los otros
posibles compradores de un lote.
III. De la muestra de 14 proyectos inmobiliarios de vivienda VIS se encontró
que el proceso de ventas es totalmente diferente a los supuestos por
cuenta de OA. Actualmente, la sociedad asume una venta mensual
promedio del 10% de los apartamentos de un proyecto por una duración
de 10 meses. Sin embargo, los datos históricos muestran un
comportamiento completamente diferente. Por lo tanto, se le recomienda
a OA introducir modelos como el planteado en este proyecto. Lo anterior
con el fin de estimar de manera más realista de las ventas y calcular de
forma más precisa la viabilidad financiera de un proyecto VIS.
IV. La Figura 21, sirve como una forma visual de entender cuál es la mejor
alternativa individual para PH. Lo anterior debido a que considera tanto
los beneficios como volatilidad de cada estrategia. Además, le permite a
OA caracterizar nuevas alternativas, así como una combinación de las
actuales. Por ejemplo, si la gerencia decide permitir una volatilidad de 5
mil millones de COP, no se debería conformar por una estrategia que
retorne menos de 80 mil millones de COP en valor esperado con respecto
al caso inflexible.
57
V. La mejor alternativa para aplicar en el megaproyecto PH es la de
construcción modular. Normalmente, la mayoría de las opciones reales en
la construcción tiene un precio despreciable. Simplemente dependen de
estructurar el desarrollo del proyecto de tal manera en que se puedan
ejecutar. Por ejemplo, el desarrollo de un proyecto por etapas solamente
necesita que el proceso constructivo permita la construcción y las ventas
se puedan hacer por etapas. Sin embargo, a medida que se aumenta el
número de etapas, como con la alternativa 2, empiezan a aparecer
restricciones constructivas que afectan la viabilidad de su ejecución. Con
el fin de eliminar estas restricciones, resulta necesario cuantificar el costo
constructivo de implantación. Por lo tanto, se le recomienda a OA
cuantificar el costo constructivo de implementar la alternativa 2.
VI. Se recomienda hacer un análisis que incluya los otros productos que
ofrece el megaproyecto PH el cual construya sobre la base de datos y
resultados de este documento. Lo anterior con el fin de poder hacer un
análisis más completo que involucre todos los aspectos del proyecto.
Adicionalmente, es pertinente mantener una base de datos histórica que
permita aplicar la metodología descrita en este proyecto de grado en la
estructuración de proyectos de desarrollo inmobiliario.
VII. Las opciones reales prometen brindarle una solución a los proyectos de
infraestructura que no generan el beneficio esperado, comúnmente
denominados como “elefantes blancos”. Usualmente los proyectos de este
tipo no generan los retornos esperados debido a la subutilización.
Opciones reales dentro del diseño de infraestructura permiten empezar
con versiones reducidas de los proyectos conservando la opción de
expandirlos en el futuro. Por lo tanto, la flexibilidad que otorgan las
58
opciones puede llevar a que los proyectos de infraestructura dejen de ser
sistemas rígidos y se vuelvan dinámicos.
59
7. Anexos
7.1. Código Caso inflexible
7.1.1. Importo los datos de cada proyecto desde Excel
aux = readtable('Datos Matlab.xlsx');
DATOS_proyectos=readtable('DATOS_Proyectos.xlsx');
P1=aux{:,1};
P2=aux{:,2};
P3=aux{:,3};
P4=aux{:,4};
P5=aux{:,5};
P6=aux{:,6};
%con Kernel
x_p1 = fitdist(P1,'Kernel');
x_p2 = fitdist(P2,'Kernel');
x_p3 = fitdist(P3,'Kernel');
x_p4 = fitdist(P4,'Kernel');
x_p5 = fitdist(P5,'Kernel');
x_p6 = fitdist(P6,'Kernel');
7.1.2. Gráfico las PDF de cada partición
aux1 = -0.1:0.001:0.5;
aux2 = -0.1:0.001:0.2;
aux3 = -0.1:0.001:0.1;
aux4 = -0.05:0.001:0.06;
y1 = pdf(x_p1,aux1);
y2 = pdf(x_p2,aux1);
y3 = pdf(x_p3,aux2);
y4 = pdf(x_p4,aux4);
y5 = pdf(x_p5,aux3);
y6 = pdf(x_p6,aux3);
t = tiledlayout(2,3);
nexttile
plot(aux1,y1,'linewidth',1.5)
hold on
histogram(P1,'FaceAlpha',0.1)
title('PDF P1 (Kernel)')
hold off
nexttile
plot(aux1,y2,'linewidth',1.5)
hold on
histogram(P2,'FaceAlpha',0.1)
title('PDF P2 (Kernel)')
hold off
nexttile
plot(aux2,y3,'linewidth',1.5)
hold on
histogram(P3,'FaceAlpha',0.1)
60
title('PDF P3 (Kernel)')
hold off
nexttile
plot(aux4,y4,'linewidth',1.5)
hold on
histogram(P4,'FaceAlpha',0.1)
title('PDF P4 (Kernel)')
hold off
nexttile
plot(aux3,y5,'linewidth',1.5)
hold on
histogram(P5,'FaceAlpha',0.1)
title('PDF P5 (Kernel)')
hold off
nexttile
plot(aux3,y6,'linewidth',1.5)
hold on
histogram(P6,'FaceAlpha',0.1)
title('PDF P6 (Kernel)')
hold off
title(t,'Distribuciones de Probabilidad')
xlabel(t,'Porcentaje de Ventas')
ylabel(t,'Probabilidad')
7.1.3. Genero la serie de valores aleatorios para cada simulación
%establezco el número de simulaciones, el número de meses a simular y el
61
%número de proyectos
nsim = 10000;
numeroMeses = 100;
numProy = 19;
%Porcentajes_SIMU(Proyecto,Meses a proyectar, simulación
Porcentajes_SIMU = zeros(numProy,numeroMeses,nsim);
%asigno un porcentaje de ventas a cada escenario
for j=1:numProy
for i = 1:numeroMeses
if i <= 2
Porcentajes_SIMU(j,i,:)=random(x_p1,1,nsim);
elseif i <= 6
Porcentajes_SIMU(j,i,:)=random(x_p2,1,nsim);
elseif i <= 11
Porcentajes_SIMU(j,i,:)=random(x_p3,1,nsim);
elseif i <= 16
Porcentajes_SIMU(j,i,:)=random(x_p4,1,nsim);
elseif i <= 21
Porcentajes_SIMU(j,i,:)=random(x_p5,1,nsim);
else
Porcentajes_SIMU(j,i,:)=random(x_p6,1,nsim);
end
end
end
%Inicializo el número de viviendas por cada proyecto
NumViviendas=zeros(numProy,1);
NumViviendas(:,1) = DATOS_proyectos{:,6};
%Establezco una matriz de ventas y ventas acumuladas por mes
Ventas_SIMU = zeros(numProy,numeroMeses,nsim);
VentasAcum_SIMU = zeros(numProy,numeroMeses,nsim);
%Se llena las matrices con los valores pertinentes
for j=1:numProy
for i = 1:numeroMeses
for k = 1:nsim
aux1 = floor(Porcentajes_SIMU(j,i,k)*NumViviendas(j));
%pregunto si es el primer mes de ventas del proyecto
if i>1
% si ya se vendieron todas las unidades no hay más ventas o
% desistimientos en el proyecto
if VentasAcum_SIMU(j,i-1,k)==NumViviendas(j)
Ventas_SIMU(j,i,k)=0;
else
%se mira si las ventas son mayores a las unidades
%disponibles
if VentasAcum_SIMU(j,i-1,k)+aux1<NumViviendas(j)
Ventas_SIMU(j,i,k) = aux1;
elseif VentasAcum_SIMU(j,i-1,k)+aux1>=NumViviendas(j)
Ventas_SIMU(j,i,k) = NumViviendas(j)-VentasAcum_SIMU(j,i-1,k);
end
end
% se contabiliza el número de ventas acumuladas hasta el
% mes actual
VentasAcum_SIMU(j,i,k)=VentasAcum_SIMU(j,i-1,k)+ Ventas_SIMU(j,i,k);
else
% en el primer mes de ventas se asume que no hay
% desistimientos
if aux1>0
Ventas_SIMU(j,i,k) = aux1;
VentasAcum_SIMU(j,i,k)=aux1;
else
Ventas_SIMU(j,i,k) = 0;
end
end
62
end
end
end
%leo el inicio de cada uno de los proyectos
%Se asume como fecha inicial el mes de enero del 2016
inicioProy=zeros(numProy,1);
inicioProy(:)= DATOS_proyectos{:,3}+1;
% se asume que la duración máxima del proyecto es de 18 anos
Meses = 1:12*18;
n = length(Meses);
%establezco el punto de equilibrio como el 60% de las unidades disponibles
porPE = 0.6;
PuntoEquilibrio = ceil(NumViviendas*porPE);
%tolerancia máxima para llegara punto de equilibrio
tolPE = 24; %meses
PE_SIMU = zeros(numProy,nsim);
for i = 1:numProy
for j = 1:nsim
%Si se llega a punto de equilibrio en el primer mes en que las
%ventas acumuladas menos el punto de equilibrio es mayor o igual a 0
if VentasAcum_SIMU(i,tolPE,j)>=PuntoEquilibrio(i)
PE_SIMU(i,j) = find((VentasAcum_SIMU(i,:,j)-PuntoEquilibrio(i))>=0,1);
else
% si el proyecto no llega a PE se pone su valor como 0 para
% referencia
PE_SIMU(i,j) = 0;
end
end
end
% se ponen las ventas en el tiempo
%tolerancia para llegar a punto de equilibrio
tolPE = 24; %meses
VentasProgramcion=zeros(numProy,n,nsim);
for j=1:numProy
for i = 1:n
for k = 1:nsim
%se verifica que el proyecto llega a punto de equilibrio
if PE_SIMU(j,k)<=tolPE && PE_SIMU(j,k)>0
% se pone el valor de ventas en el tiempo según el inicio
% de cada proyecto
if i>=inicioProy(j) && i < inicioProy(j)+numeroMeses
VentasProgramcion(j,i,k) = Ventas_SIMU(j,i-inicioProy(j)+1,k);
else
% si el proyecto no se ha iniciado o si ya se vendió
% las ventas son iguales a 0
VentasProgramcion(j,i,k) = 0;
end
else
% sin o llega a punto de equilibrio se plantean las ventas
if i>=inicioProy(j) && i < inicioProy(j)+tolPE
VentasProgramcion(j,i,k) = Ventas_SIMU(j,i-inicioProy(j)+1,k);
elseif i == inicioProy(j)+tolPE
% en mes de tolerancia de llegar al punto de equilibrio
% se devuelven las ventas hechas hasta eses punto
VentasProgramcion(j,i,k) = -VentasAcum_SIMU(j,tolPE,k);
else
% si el proyecto no se ha iniciado o si ya abandono
VentasProgramcion(j,i,k) = 0;
end
end
end
63
end
end
% inicializo la duración de la obra de cada proyecto
mesesObra=zeros(numProy,1);
mesesObra(:)=DATOS_proyectos{:,4};
ObraProgramacion =zeros(numProy,n,nsim);
for j=1:numProy
for i = 1:n
for k = 1:nsim
% se verifica si el proyecto llega a punto de equilibrio
if PE_SIMU(j,k)<tolPE && PE_SIMU(j,k)>0
if i>=inicioProy(j)+PE_SIMU(j,k) && i <
inicioProy(j)+PE_SIMU(j,k)+mesesObra(j)
% se contabiliza uniformemente los costos durante los
%meses de obra
ObraProgramacion(j,i,k) = NumViviendas(j)/mesesObra(j);
else
%dlc el costo de obra es 0
ObraProgramacion(j,i,k) = 0;
end
else
%si no se llega a punto de equilibrio el costo de obra es 0
ObraProgramacion(j,i,k) = 0;
end
end
end
end
%Creo las Entregas en el tiempo
%se empieza a entregar cuando el avance de la obra es del 90% y el numero
%de meses de entregas es igual 3
porEntregas =0.9;
mesesEntregas = 3;
mesHastaEntregas=zeros(numProy,1);
mesHastaEntregas(:)= ceil(mesesObra(:)*porEntregas);
EntregasProgramacion =zeros(numProy,n,nsim);
for j=1:numProy
for i = 1:n
for k = 1:nsim
% se verifica que el proyecto llegue a PE
if PE_SIMU(j,k)<tolPE && PE_SIMU(j,k)>0
%calculo el mes en que empiezan las entregas
aux6 =PE_SIMU(j,k)+mesHastaEntregas(j)+1;
%si el número de mes en el que empiezan las entregas se pone
%como el último mes de la proyección.
if aux6>numeroMeses
aux6 = numeroMeses-mesesEntregas;
end
aux7 = 0;
aux8 = 0;
%se verifica si estamos en el mes un mes de entrega
if i>=inicioProy(j)+PE_SIMU(j,k)+mesHastaEntregas(j)&& i <
inicioProy(j)+PE_SIMU(j,k)+mesHastaEntregas(j)+mesesEntregas
aux7 = VentasAcum_SIMU(j,aux6,k)/mesesEntregas;
end
% se verifica si estamos en un mes posterior al mes en que
% empiezan entregas
if i>=inicioProy(j)+PE_SIMU(j,k)+mesHastaEntregas(j)+1
aux8 = VentasProgramcion(j,i,k);
end
EntregasProgramacion(j,i,k) = aux7 +aux8;
else
% si el proyecto no llega a PE no se hacen entregas
EntregasProgramacion(j,i,k) = 0;
64
end
end
end
end
%Genero el gasto de la sala de ventas y lote en el tiempo
LoteProgramacion =zeros(numProy,n,nsim);
SalaProgramacion =zeros(numProy,n,nsim);
for j=1:numProy
for i = 1:n
for k = 1:nsim
%verifico si estoy en un mes antes de que se empiecen las
%ventas del proyecto
if i == inicioProy(j)-1
% se contabiliza el gasto de la sala de ventas y compra del lote
LoteProgramacion(j,i,k)=NumViviendas(j);
SalaProgramacion(j,i,k)= 1;
end
end
end
end
%Genero los factores para incrementar los ingresos y los egresos ano a ano
gIng1 = 0.0488;
gIng2 = 0.05;
gCostos1 = 0.0316;
gCostos2 = 0.03;
mesLargoP = 60;
fIngresos = zeros(n,1);
fCostos =zeros(n,1);
j = 0;
%se contabiliza el crecimiento de los costos e ingresos cada 12 meses
for i = 1:n
if mod(i,12)==1
j = j+1 ;
end
if i <= mesLargoP
fIngresos(i) = (1+gIng1)^(j-1);
fCostos(i) = (1+gCostos1)^(j-1);
else
fIngresos(i) = (1+gIng2)^(j-1);
fCostos(i) = (1+gCostos2)^(j-1);
end
end
%Genero los ingresos por mes de todo el proyecto
Ingresos =zeros(n,nsim);
Costos =zeros(n,nsim);
%Establezco los parámetros (Miles de COP), El ingreso incluye la devolución de IVA
IngresoUnd = 96613.18902;
CDUnd = 57130.0871453673;
CIUnd = 17407.0932236742;
LoteUnd = 14165.330064802;
SV = 150217.574599623;
pCuota = 0.3;
pSubro = 0.7;
7.1.4. Se genera el flujo de caja para cada mes en la proyección del proyecto
for k = 1:nsim
for i = 1:n
sum1 = 0;
sum2 = 0;
sum3 = 0;
65
sum4 = 0;
sum5 = 0;
for j = 1:numProy
%INGRESOS
sum1 = sum1+VentasProgramcion(j,i,k)*pCuota*IngresoUnd*fIngresos(i);
sum2 = sum2+EntregasProgramacion(j,i,k)*pSubro*IngresoUnd*fIngresos(i);
%COSTOS
sum3 = sum3 + ObraProgramacion(j,i,k)*(CDUnd+CIUnd)*fCostos(i);
sum4 = sum4 + LoteProgramacion(j,i,k)*LoteUnd*fCostos(i);
sum5 = sum5 + SalaProgramacion(j,i,k)*SV*fCostos(i);
end
Ingresos(i,k) = sum1+sum2;
Costos(i,k) = sum3+sum4+sum5;
end
end
FCL = Ingresos - Costos;
%Tasa de descuento
CO_AV = 0.15;
CO_MV = (1+CO_AV)^(1/12)-1;
PV =zeros(n,nsim);
PV1 = zeros(n-1,nsim);
for k = 1:nsim
for i = 1:n
PV(i,k) = FCL(i,k)/(1+CO_MV)^i-1;
end
end
% se calcula el VPN del proyecto para cada simulación
VPN = sum(PV,1);
VPN =transpose(VPN);
%Calculo las estadísticas Descriptivas
VPN=VPN_RIGIDO;
fitVPN = fitdist(VPN,'kernel');
mn = mean(VPN);
stdv =std (VPN);
% calculo los índices del proyecto
prob_falla=cdf(fitVPN,0);
Media =mean(VPN);
Desviacion = std(VPN);
COV = abs(Desviacion/Media);
VAR_95 = icdf(fitVPN,0.05);
7.1.5. Creo el histograma de la serie del VPN
prob_falla_LABLE = strcat('P(VPN<0) = ',sprintf('%.2f%%',prob_falla*100));
Desviacion_LABLE = strcat('Std deviation = ',sprintf('$%.2fMM',Desviacion/10^6));
COV_LABLE = strcat('C.O.V = ',sprintf('%.2f%%',COV*100));
VAR_95_LABLE = strcat('VAR(95%) = ',sprintf('$%.2fMM',VAR_95/10^6));
h = annotation('textbox',[0.7 0.75 0.1 0.1]);
%grafico el histograma del VPN
VPNneg =VPN(VPN<0);
VPNpos =VPN(VPN>=0);
valor= strcat('Mean = ',sprintf('$%.2fMM',mn/10^6));
t1 = tiledlayout(1,1);
nexttile
y5 = histogram(VPNneg,'EdgeColor', 'red', 'FaceColor', 'red');
hold on
y6 = histogram(VPNpos,'EdgeColor', 'blue', 'FaceColor', 'blue');
xline(mn,'LineWidth',1.5,'label',valor,'color','w','LabelVerticalAlignment','middle')
xtickformat('usd');
66
ylabel('Frecuencia')
xlabel('VPN');
set(h,'String',{prob_falla_LABLE,COV_LABLE,VAR_95_LABLE,Desviacion_LABLE});
hold off
%Guardo el VPN del Proyecto
VPN_RIGIDO=VPN;
Published with MATLAB® R2019b
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