Post on 27-Jun-2015
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Cátedra Alfonso Reyes - CIDHEM
Una invitación a laMatemática Recreativa
Mat. Renato Galicia Brito(México)
A fin de cuentas…
¿A quién se le ocurrió todo lo que aparece en mi libro de matemáticas?
Evariste Galois (1811-1832)
Siméon Denis Poisson1781 - 1840
Augustin Louis Cauchy1789 - 1857
Una ecuación irreducible de grado primo es resoluble por radicales si y solo si todas sus raíces son funciones racionales de dos cualesquiera de las raíces
Srinivasa Aiyangar Ramanujan1887 - 1920
Legislando el valor de π(la ley 246 del año de 1897)
Pi: Proyecto de ley en 1897
En el estado de Indiana, hacia el final de la sección 2, de la iniciativa de ley No. 246, podemos leer:
“La razón del diámetro a la circunferencia es de
cinco cuartos a cuatro”
Es decir:
π ≡ 3.2
Indiana State Capitol
¿En verdad puede no ser aburrida la matemática?
Henry Ernest Dudeney(1857-1930)
Samuel Loyd(1841-1911)
http://www.librosmaravillosos.com/
Yakov Isidorovich Perelman(1882-1942)
Júlio César de Mello Souza“Malba Tahan”
(1895-1974)
Martin Gardner(n. 1914)
La diversión es uno de los campos de la matemática aplicada.
William F. White
Jugando con los números
Los números se pelearon
Sobre el diagrama adjunto, colocar los números del 1 al 8 de tal manera que dos números consecutivos NO sean adyacentes (i.e. que no queden unidos por una línea)
Los números se pelearon
(solución)
13
2
4
5 6
7
8
El juego de los cuatro cuatros
Aparece por vez primera a finales de 1881 en la revista londinen-se “An illusrated magazine of science, plainly worded and exactlydescribed”. Se cuenta que este pasatiempo causó tanto furor, que debió ser prohibido en las oficinas públicas.
Expresar tantos números como sea posible, utilizando sólo cuatro cuatros y cualquier símbolo matemático:•Operaciones elementales: +, −, ×, ÷•Potencias y Raíces:^, √•Factoriales: n!= 1·2·3··· n(n-1)(n-2)•Dobles Factoriales: 2n!!=2·4·6···(2n-2)·2n•Signos de Agrupación: ( ), { }, [ ], { }, etc.
A continuación podemos intentarlo, organizados en equipos de cuatro integrantes, con los números del 1 al 20.
=1 =2 =3
=15
=644447 −+=
=9
=14
=8
=11=10
=4
=12
=13
=5
=20=19
444416 +++=
=17 =18
44441=
44
442 +=
44443 ++
=
444415 +=
44446 +
+= 44
447 −=
44449 ++=
444414 +++=
44448 −++=
444411+
=4
44410 −=
( ) 44444 +−=
444412 +
=
44
4413 +=
( )4
4445 +⋅=
444420 ++⋅=444!419 −−=
444416 ⋅+⋅=
444417 +⋅= 444418 −+⋅=
Enriqueciendo el juego de los cuatro cuatros
Existen 64 formas de escribir 64 usando cuatro cuatros
Si introducimos la notación: L222222.02.04.0 ==p
Entonces: 4.04
4.0!4113 += p
Si aceptamos que: ( ) 322444 554.0 25
====
Entonces:4.0
4.041454.0 +
=
Una peculiaridad del número 19:
4.04.04419 −+
=5.0
5.05519 −+=
1.01.01119 −+
=
3.23.2232319 −+
=
¿por qué?
y así indefinidamente
067.0067.067.067.019 −+
=
DUCCIO di Buoninsegna(1308-11)
Aparición en el lago TiberiasTempera sobre madera,
36,5 x 47,5 cmMuseo dell'Opera del Duomo,
Siena
Juan 21:11 “Subió Simón Pedro y trajo la red a tierra, llena de grandes peces, ciento cincuenta y tres: y siendo tantos, la red no se rompió.”
153 peces
San Agustín
“Tratados sobre el Evangelio según San Juan”
10 mandamientos+ 7 dones del espíritu17
15317321 =++++ L
153 peces
153 pecesSólo existen cuatro números que son iguales a la suma de los cubos de sus dígitos, y 153 es el menor de ellos:
343064704407134327173371034327073370
271251351153
333
333
333
333
++=++=
++=++=
++=++=
++=++=
Adicionalmente:
12024621!5!4!3!2!1153 ++++=++++=
153 pecesPhill Kohn, descubrió otra propiedad del 153:
70285411458 3333 =+++→
351207702 333 =++→
153153351 333 =++→
• Consideramos cualquier entero que sea múltiplo de 3.• Se suman los cubos de sus dígitos para obtener unsegundo número.
• Repetimos el procedimiento cuanto sea necesario.• Tras un número finito de pasos, se llega siempre al 153.
Ejemplo:
153 peces(sometiendo a prueba el método de Kohn)
Es importante partir de un múltiplo de 3 (sin importar su magnitud).
Recordemos que un múltiplo de 3 se caracteriza por que la suma de sus dígitos es múltiplo de 3.
Adjuntamos una tabla de cubos para facilitar el trabajo a quien no traiga calculadora.
x x3
1 12 83 274 645 1256 2167 3438 5129 729
Raíz Cúbica “extra-fácil”
Extraer la raíz cúbica de un número cualquiera es la cosa más sencilla del mundo: Basta con sumar sus dígitos.
Por ejemplo:
82155123 =++=
17319449133 =+++=
18238558323 =+++=
2667571175763 =++++=
¿Será posible?
2738691196833 =++++=
En Root Extraction, Henry Dudeney, nos presenta a un profesor jubilado en el asilo de Colney Hatch, quien propone este “método general” para la extracción de la raíz cúbica.
Estos números son muy escasos:1 = 1 x 1 x 1 ; 1 = 1 512 = 8 x 8 x 8 ; 8 = 5 + 1 + 2 4913 = 17 x 17 x 17 ; 17 = 4 + 9 + 1 + 3 5832 = 18 x 18 x 18 ; 18 = 5 + 8 + 3 + 2 17576 = 26 x 26 x 26 ; 26 = 1 + 7 + 5 + 7 + 6 19683 = 27 x 27 x 27 ; 27 = 1 + 9 + 6 + 8 + 3
Los números de DudeneyUn número de Dudeney es un cubo perfecto, con la propiedad adicional de que la suma de sus dígitos da como resultado la raíz cúbica del número.
Wells p. 77
1729 = 13+123 = 93+103
1 + 7 + 2 + 9 = 19 19 · 91 = 1729
Masahiko Fujiwara (n. 1943)
Dattathreya Ramachandra Kaprekar
6174constante de Kaprekar
Tómese un número de cuatro cifras(no todas iguales). Por ejemplo, 3251.
Entonces:1. Se reorganizan sus cifras para
formar el máximo y el mínimo números posibles:5321 y 1235.
2. Restamos ambos números:5321 − 1235 = 4086.
3. Con el número obtenido, repetimos el proceso cuantas veces sea necesario: 8640 − 0468 = 8172
8721 − 1278 = 74437443 − 3447 = 39969963 − 3699 = 62646462 − 2466 = 41767641 − 1467 = 6174
¡Lo mismo sucede sin importar cual sea nuestra elección!8643 − 3468 = 5175 ⇒ 7551 − 1557 = 5994 ⇒ 9954 − 4599 = 5355
⇒ 5553 − 3555 = 1998 ⇒ 9981 − 1899 = 8082 ⇒ 8820 − 0288 = 8532⇒ 8532 − 2358 = 6174 ⇒ 7641 − 1467 = 6174 (máximo 7 iteraciones)
Lo Shu 洛書2800 a.n.e.
Números Localización Color Elemento
1 Norte Blanco Agua
2 Suroeste Negro Tierra
3 Este Verde puro Madera
4 Sureste Verde claro Madera
5 Central Amarillo Tierra
6 Noroeste Blanco Metal
7 Oeste Rojo Metal
8 Noreste Blanco Tierra
9 Sur Morado Fuego
Fu Hsi
Sator: sembradorArepo: nombre propioTenet: sostenerOpera: trabajo, esfuerzoRotas: ruedas, arado
“El gran sembrador sostiene en su mano todo trabajo”
Cuadrado Mágicode Alberto Durero
Melencolia I, 1514Grabado, 239 x 189 mmKupferstichkabinett, Staatliche
Kunsthalle, Karlsruhe
16 3 2 13
5 10 11 8
9 6 7 12
4 15 14 11. La suma de cada renglón, columna o diagonal es 34.2. La suma de los elementos del cuadrado central interiores 34.3. No sólo en el cuadrado principal, sino también en los cuatro cuadrados
interiores, la suma de los elementos es 34.4. La suma de los números en las esquinas es 34.5. La suma de los números simétricos con respecto al centro es 17 (34÷2).6. Los dos números del centro, en la parte inferior del cuadrado, indican la
fecha de la obra de Durero: 1514.
Claude-Gaspard Bachet de Méziriac(1581-1638)
3
2 6
1 5 9
4 8
7
2 7 6
9 5 1
4 3 8
5
4 10
3 9 15
2 8 14 20
1 7 13 19 25
6 12 18 24
11 17 23
16 22
21
3 16 9 22 15
20 8 21 14 2
7 25 13 1 19
24 12 5 18 6
11 4 17 10 23
El método de Bachet en un cuadrado de 5 × 5 casillas
Un método de construcción para cuadrados de 4n × 4n casillas
1. Colocar los números en el orden natural.2. Subdividir el cuadrado de 8×8 en cuatro subcuadrados de 4 ×4.3. Trazar las diagonales de cada uno de estos subcuadrados.4. Desplazar cada número a la casilla simétrica con respecto al origen.5. Verificar que el cuadrado obtenido tiene constante mágica 260.
Franklin jugó con la construcción de cuadrados mágicos entre 1736 y 1737 mientras ejercía sus tareas políticas en Pennsylvania.Estos dos cuadrados de orden ocho se reproducen en las páginas 394 y 395 del volumen 3 de sus obras completas.
Ninguno de estos cuadrados es hiper-mágico, como en el caso de Euler, pero el esquema lógico con el que fueron creados por Franklin, se revela si los coloreamos adecuadamente.La constante mágica es 260.
Los Cuadrados Mágicos de Benjamín Franklin
Poligrafías de las piezas de ajedrez
18 35 64 13 60 37 22 11
63 14 17 36 21 12 59 38
16 19 34 61 40 57 10 23
33 62 15 20 9 24 39 58
50 3 32 45 56 41 26 7
31 46 49 4 25 8 55 42
48 51 2 29 44 53 6 27
1 30 47 52 5 28 43 54
Euler y el recorrido del caballo
Cuadrado Hipermágico (k = 260)
Leonhard Euler(1707-1783)
Evitando tres en raya(fichas sobre el tablero de ajedrez)
Dos jugadores colocan fichas por turno sobre un tablero de n×n. Pierde el que coloque por primera vez una ficha alineada con otras dos.
Los participantes deberán:1. Determinar el número
máximo de movimientos.2. Proponer una estrategia
ganadora.
Evitando tres en rayaejemplo de una configuración con un número
máximo de fichas sobre un tablero de 8×8
Evitando tres en raya
Existe una estrategia ganadora (para el segundo jugador):
Limitar las posibilidades del contrincante, tirando de tal modo que se completen siempre dos fichas sobre un renglón, columna o diagonal cuidándose, a la vez, de no poner tres en raya.
Por definición, el juego nunca puede alcanzar los 2n+1 movimientos, así que…
Este bicho se pasea por un paralelepípedoy se quiere desplazar del vértice A al vértice B
1. ¿Cómo podemos sugerirle el camino más corto?
2. ¿Podemos probar que el camino propuesto es, efectivamente, el más corto?
3. Si las medidas están dadas en centímetros, ¿qué longitud tiene este camino?
cmAC 40= cmBC 30=
cmAB 50=∴
º90=∠BCA222 CBACAB +=⇒
22 3040 +=⇒ AB
¿Cuánto mide el ángulo entre las dos diagonales sobre este cubo?
¿Cuánto mide el ángulo entre las dos diagonales sobre este cubo?
Si completamos con eltrazo adecuado…
… es fácil convencersede que mide 60 grados.
Q
P
R
Con lo aprendido en el ejemplo anterior…¿Cuánto mide el ∠PQR?P, Q y R son los puntos medios de las aristas indicadas.
Q
P
R
Q R
P
60,0 °
60,0 °
¿Ensamble imposible?
¿Ensamble imposible?(Solución)
¿Qué caja pesa más?
• Ambas cajas tienen las mismas dimensiones.• El material de las esferas es homogéneo.• El diámetro de cada esfera es igual a la longitud dela arista del cubo (o sub-cubo) que la contiene.
Tapón Múltiple I
Tapón Múltiple I(Solución)
Tapón Múltiple II
Tapón Múltiple II(Solución)
Tapón Múltiple III
Tapón Múltiple III(Solución)
12 1 2 4 5 6 8 9 10 1 2 4 5 6 8 9 10 12
B 3 A B 7 A B 11 A3 A B 7 A B 11 A B
HexaflexágonosEmplear una cinta larga de papel con bordes paralelos.Trazar una serie de 19 triángulos equiláteros adyacentes.Etiquetar con números y letras precisamente como se indica.Doblar Δ1 sobre Δ1, Δ2 sobre Δ2, etc.Pegar cuando coincidan las caras marcadas con .Colorear y disfrutar.
4-8-12 3-7-11
B A B 1-5-9
3-7-11
2-6-10 A
Probar mediante geometría elemental (sin trigonometría) que
CBA ∠=∠+∠
¡Parece Fácil!
DB ∠=∠(por ser homólogos en triángulos semejantes)
CDA ∠=∠+∠(correspondientes)
CBA ∠=∠+∠∴
Hacen falta trazos adicionales…
Según Mª Luz Callejo, los juegos de estrategia favorecen:1. Trabajo en grupo. 2. Comunicación de ideas. 3. Capacidad de interrogarse nuevas situaciones. 4. Contraste de observaciones y conjeturas. 5. Registro del proceso de resolución por parte de los jugadores. 6. Revisión y reflexión sobre el proceso de resolución.
Como metodología, propone cinco fases:1. Orientación del trabajo. 2. Trabajo en grupo. 3. Confrontación de ideas. 4. Puesta en común . 5. Aplicación.
http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/taller/taller.htm
Gómez Chacón propone esta metodología general:
1. Familiarizarse con el juego. 2. Exploración inicial: buscar varias estrategias de resolución. 3. Llevar a cabo la estrategia: selección de posiciones ganadoras,
examinar la validez de nuevas conjeturas... 4. Reflexionar sobre el proceso seguido.
Luis Ferrero aporta algunas sugerencias didácticas para la práctica de juegos:
1. Graduar la dificultad del juego en función de los alumnos a los que va dirigido.
2. Sobre un mismo material de juego se pueden idear juegos distintos modificando adecuadamente las normas.
3. Cuando dominen un juego hay que animarles a que lo adapten a su gusto variando alguna norma.
4. Cuando la estrategia ganadora resulte difícil, es aconsejable que ensayen casos más simples.
http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/taller/taller.htm
Existe bastante literatura sobre resolución de problemas. En función del ámbito más o menos profundo o del nivel de especificación encontraremos esquemas que se centran
en pocos criterios señalados de forma general (Polya, Bransford y Stein,...), o que detallan más las diversas estrategias ( Fernández, Schoenfeld,...).
Mª Luz Callejo resalta las siguientes capacidades en resolu-ción de problemas, que son estimuladas por los juegos:
1. Establecer analogías entre problemas.2. Empezar por el final.3. Resolver primero un problema más sencillo.4. Hacer una representación gráfica.
Fernando Corbalán resalta los siguientes:1. Empezar por el final.2. Experimentar y extraer pautas.3. Sacar partido de la simetría.4. Utilizar modelos adecuados de expresión (verbales, gráficos,
algebraicos, numéricos).5. Resolver problemas análogos.6. Empezar por resolver un problema más sencillo.
http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/taller/taller.htm
Algunas recomendaciones para navegar
http://www.librosmaravillosos.com/
http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/taller/taller.htm
http://mathworld.wolfram.com/KnightsTour.html
http://descartes.cnice.mecd.es/matemagicas/index.htm
http://johnrausch.com/SlidingBlockPuzzles/
La siguiente anécdota ocurrió en la ocupación de Francia por los alemanes, durante la Segunda Guerra Mundial.
Cuatro personas subían en el ascensor de un hotel. Uno de los ocupantes era un oficial alemán, de uniforme; otro, un civil francés, enrolado en la
Resistencia. La tercera ocupante era una atractiva joven, y la cuarta, una dama de edad. Ninguno conocía a los demás.
Hubo de pronto un corte de energía. El ascensor se detuvo, las luces se fueron, y todo quedó en profunda oscuridad. Se oyó el chasquido de un beso, seguido por el restallar de un bofetón. Un instante después volvieron las luces.
El oficial lucía un enorme chichón junto a un ojo. La señora mayor pensó: “¡Bien merecido lo tiene!, menos mal que las jóvenes
de hoy saben hacerse respetar”. La joven pensó: “¡Vaya gustos raros que tienen estos alemanes!, en lugar de
besarme a mí ha debido besar a esta señora mayor o a este joven tan atractivo. ¡No me lo explico!”.
El alemán pensó: “¿Pero qué ha pasado?, ¡Yo no he hecho nada!, quizás el francés ha querido abusar de la joven y ésta me ha pegado por error”
Sólo el francés conocía exactamente lo ocurrido. ¿Sabrías deducirlo?
Bibliografía de Matemáticas Recreativas
Autor Año Título Editorial Ciudad
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Alem, Jean Pierre 1984 Juegos de ingenio y entretenimiento matemático Gedisa ed. Barcelona
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666El número de la bestia
DUX CLERICapitán de los clérigos
D = 500U = 5X = 10
C = 100L = 50E = 0R = 0I = 1--------------------
666
LUDOVICUSVicario de la corte
L = 50U = 5D = 500O = 0V = 5I = 1C = 100U = 5S = 0--------------------
666
ROMIITHReino Romano
ROMITIHombre Romano
R = 200 reshO = 6 waw (vav)M = 40 memI = 10 yodI = 10 yodTH = 400 taw
666
R = 200 reshO = 6 waw (vav)M = 40 memI = 10 yodT = 400 tawI = 10 yod
666
666El número de la bestia
EL 50L 50ENA
AL 50BA
V 5OX 10
D 500EI 1
666
E 0L 50L 50E 0N 0
G 0O 0U 5L 50D 0
W 10H 0I 1T 0E 0
666
Ellen Gould White(1827-1915)
Solía llamarse a sí mismaLa voz de Dios
666El número de la bestia
666El número de la bestia
En el libro Tercero (9ª parte, capítulo 19) de “La Guerra y la Paz”de León Tolstoi, se cita el Apocalipsis (13:18), donde dice:
“Aquí está la sabiduría. El que tenga inteligencia que cuente el nombre de la bestia porque es un nombre de hombre y su número es seiscientos sesenta y seis.”
1 2 3 4 5a b c d e6 7 8 9 10f g h i k
20 30 40 50 60l m n o p
70 80 90 100 110q r s t u
120 130 140 150 160v w x y z
L'empereur Napoleon = 666
Quarante-deux = 666
666El número de la bestia
Hexakosioihexekontahexafobia
H 107
I 108
T 119
L 111
E 104
R 117
666a=100b=101c=102, etc.
B 66I 73L 76L 76
G 71A 65T 84E 69S 83
III 3666
En código ASCII