Cátedra Alfonso Reyes - CIDHEM

Una invitación a laMatemática Recreativa

Mat. Renato Galicia Brito(México)

A fin de cuentas…

¿A quién se le ocurrió todo lo que aparece en mi libro de matemáticas?

Evariste Galois (1811-1832)

Siméon Denis Poisson1781 - 1840

Augustin Louis Cauchy1789 - 1857

Una ecuación irreducible de grado primo es resoluble por radicales si y solo si todas sus raíces son funciones racionales de dos cualesquiera de las raíces

Srinivasa Aiyangar Ramanujan1887 - 1920

Legislando el valor de π(la ley 246 del año de 1897)

Pi: Proyecto de ley en 1897

En el estado de Indiana, hacia el final de la sección 2, de la iniciativa de ley No. 246, podemos leer:

“La razón del diámetro a la circunferencia es de

cinco cuartos a cuatro”

Es decir:

π ≡ 3.2

Indiana State Capitol

¿En verdad puede no ser aburrida la matemática?

Henry Ernest Dudeney(1857-1930)

Samuel Loyd(1841-1911)

http://www.librosmaravillosos.com/

Yakov Isidorovich Perelman(1882-1942)

Júlio César de Mello Souza“Malba Tahan”

(1895-1974)

Martin Gardner(n. 1914)

La diversión es uno de los campos de la matemática aplicada.

William F. White

Jugando con los números

Los números se pelearon

Sobre el diagrama adjunto, colocar los números del 1 al 8 de tal manera que dos números consecutivos NO sean adyacentes (i.e. que no queden unidos por una línea)

Los números se pelearon

(solución)

13

2

4

5 6

7

8

El juego de los cuatro cuatros

Aparece por vez primera a finales de 1881 en la revista londinen-se “An illusrated magazine of science, plainly worded and exactlydescribed”. Se cuenta que este pasatiempo causó tanto furor, que debió ser prohibido en las oficinas públicas.

Expresar tantos números como sea posible, utilizando sólo cuatro cuatros y cualquier símbolo matemático:•Operaciones elementales: +, −, ×, ÷•Potencias y Raíces:^, √•Factoriales: n!= 1·2·3··· n(n-1)(n-2)•Dobles Factoriales: 2n!!=2·4·6···(2n-2)·2n•Signos de Agrupación: ( ), { }, [ ], { }, etc.

A continuación podemos intentarlo, organizados en equipos de cuatro integrantes, con los números del 1 al 20.

=1 =2 =3

=15

=644447 −+=

=9

=14

=8

=11=10

=4

=12

=13

=5

=20=19

444416 +++=

=17 =18

44441=

44

442 +=

44443 ++

=

444415 +=

44446 +

+= 44

447 −=

44449 ++=

444414 +++=

44448 −++=

444411+

=4

44410 −=

( ) 44444 +−=

444412 +

=

44

4413 +=

( )4

4445 +⋅=

444420 ++⋅=444!419 −−=

444416 ⋅+⋅=

444417 +⋅= 444418 −+⋅=

Enriqueciendo el juego de los cuatro cuatros

Existen 64 formas de escribir 64 usando cuatro cuatros

Si introducimos la notación: L222222.02.04.0 ==p

Entonces: 4.04

4.0!4113 += p

Si aceptamos que: ( ) 322444 554.0 25

====

Entonces:4.0

4.041454.0 +

=

Una peculiaridad del número 19:

4.04.04419 −+

=5.0

5.05519 −+=

1.01.01119 −+

=

3.23.2232319 −+

=

¿por qué?

y así indefinidamente

067.0067.067.067.019 −+

=

DUCCIO di Buoninsegna(1308-11)

Aparición en el lago TiberiasTempera sobre madera,

36,5 x 47,5 cmMuseo dell'Opera del Duomo,

Siena

Juan 21:11 “Subió Simón Pedro y trajo la red a tierra, llena de grandes peces, ciento cincuenta y tres: y siendo tantos, la red no se rompió.”

153 peces

San Agustín

“Tratados sobre el Evangelio según San Juan”

10 mandamientos+ 7 dones del espíritu17

15317321 =++++ L

153 peces

153 pecesSólo existen cuatro números que son iguales a la suma de los cubos de sus dígitos, y 153 es el menor de ellos:

343064704407134327173371034327073370

271251351153

333

333

333

333

++=++=

++=++=

++=++=

++=++=

Adicionalmente:

12024621!5!4!3!2!1153 ++++=++++=

153 pecesPhill Kohn, descubrió otra propiedad del 153:

70285411458 3333 =+++→

351207702 333 =++→

153153351 333 =++→

• Consideramos cualquier entero que sea múltiplo de 3.• Se suman los cubos de sus dígitos para obtener unsegundo número.

• Repetimos el procedimiento cuanto sea necesario.• Tras un número finito de pasos, se llega siempre al 153.

Ejemplo:

153 peces(sometiendo a prueba el método de Kohn)

Es importante partir de un múltiplo de 3 (sin importar su magnitud).

Recordemos que un múltiplo de 3 se caracteriza por que la suma de sus dígitos es múltiplo de 3.

Adjuntamos una tabla de cubos para facilitar el trabajo a quien no traiga calculadora.

x x3

1 12 83 274 645 1256 2167 3438 5129 729

Raíz Cúbica “extra-fácil”

Extraer la raíz cúbica de un número cualquiera es la cosa más sencilla del mundo: Basta con sumar sus dígitos.

Por ejemplo:

82155123 =++=

17319449133 =+++=

18238558323 =+++=

2667571175763 =++++=

¿Será posible?

2738691196833 =++++=

En Root Extraction, Henry Dudeney, nos presenta a un profesor jubilado en el asilo de Colney Hatch, quien propone este “método general” para la extracción de la raíz cúbica.

Estos números son muy escasos:1 = 1 x 1 x 1 ; 1 = 1 512 = 8 x 8 x 8 ; 8 = 5 + 1 + 2 4913 = 17 x 17 x 17 ; 17 = 4 + 9 + 1 + 3 5832 = 18 x 18 x 18 ; 18 = 5 + 8 + 3 + 2 17576 = 26 x 26 x 26 ; 26 = 1 + 7 + 5 + 7 + 6 19683 = 27 x 27 x 27 ; 27 = 1 + 9 + 6 + 8 + 3

Los números de DudeneyUn número de Dudeney es un cubo perfecto, con la propiedad adicional de que la suma de sus dígitos da como resultado la raíz cúbica del número.

Wells p. 77

1729 = 13+123 = 93+103

1 + 7 + 2 + 9 = 19 19 · 91 = 1729

Masahiko Fujiwara (n. 1943)

Dattathreya Ramachandra Kaprekar

6174constante de Kaprekar

Tómese un número de cuatro cifras(no todas iguales). Por ejemplo, 3251.

Entonces:1. Se reorganizan sus cifras para

formar el máximo y el mínimo números posibles:5321 y 1235.

2. Restamos ambos números:5321 − 1235 = 4086.

3. Con el número obtenido, repetimos el proceso cuantas veces sea necesario: 8640 − 0468 = 8172

8721 − 1278 = 74437443 − 3447 = 39969963 − 3699 = 62646462 − 2466 = 41767641 − 1467 = 6174

¡Lo mismo sucede sin importar cual sea nuestra elección!8643 − 3468 = 5175 ⇒ 7551 − 1557 = 5994 ⇒ 9954 − 4599 = 5355

⇒ 5553 − 3555 = 1998 ⇒ 9981 − 1899 = 8082 ⇒ 8820 − 0288 = 8532⇒ 8532 − 2358 = 6174 ⇒ 7641 − 1467 = 6174 (máximo 7 iteraciones)

Lo Shu 洛書2800 a.n.e.

Números Localización Color Elemento

1 Norte Blanco Agua

2 Suroeste Negro Tierra

3 Este Verde puro Madera

4 Sureste Verde claro Madera

5 Central Amarillo Tierra

6 Noroeste Blanco Metal

7 Oeste Rojo Metal

8 Noreste Blanco Tierra

9 Sur Morado Fuego

Fu Hsi

Sator: sembradorArepo: nombre propioTenet: sostenerOpera: trabajo, esfuerzoRotas: ruedas, arado

“El gran sembrador sostiene en su mano todo trabajo”

Cuadrado Mágicode Alberto Durero

Melencolia I, 1514Grabado, 239 x 189 mmKupferstichkabinett, Staatliche

Kunsthalle, Karlsruhe

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 11. La suma de cada renglón, columna o diagonal es 34.2. La suma de los elementos del cuadrado central interiores 34.3. No sólo en el cuadrado principal, sino también en los cuatro cuadrados

interiores, la suma de los elementos es 34.4. La suma de los números en las esquinas es 34.5. La suma de los números simétricos con respecto al centro es 17 (34÷2).6. Los dos números del centro, en la parte inferior del cuadrado, indican la

fecha de la obra de Durero: 1514.

Claude-Gaspard Bachet de Méziriac(1581-1638)

3

2 6

1 5 9

4 8

7

2 7 6

9 5 1

4 3 8

5

4 10

3 9 15

2 8 14 20

1 7 13 19 25

6 12 18 24

11 17 23

16 22

21

3 16 9 22 15

20 8 21 14 2

7 25 13 1 19

24 12 5 18 6

11 4 17 10 23

El método de Bachet en un cuadrado de 5 × 5 casillas

Un método de construcción para cuadrados de 4n × 4n casillas

1. Colocar los números en el orden natural.2. Subdividir el cuadrado de 8×8 en cuatro subcuadrados de 4 ×4.3. Trazar las diagonales de cada uno de estos subcuadrados.4. Desplazar cada número a la casilla simétrica con respecto al origen.5. Verificar que el cuadrado obtenido tiene constante mágica 260.

Franklin jugó con la construcción de cuadrados mágicos entre 1736 y 1737 mientras ejercía sus tareas políticas en Pennsylvania.Estos dos cuadrados de orden ocho se reproducen en las páginas 394 y 395 del volumen 3 de sus obras completas.

Ninguno de estos cuadrados es hiper-mágico, como en el caso de Euler, pero el esquema lógico con el que fueron creados por Franklin, se revela si los coloreamos adecuadamente.La constante mágica es 260.

Los Cuadrados Mágicos de Benjamín Franklin

Poligrafías de las piezas de ajedrez

18 35 64 13 60 37 22 11

63 14 17 36 21 12 59 38

16 19 34 61 40 57 10 23

33 62 15 20 9 24 39 58

50 3 32 45 56 41 26 7

31 46 49 4 25 8 55 42

48 51 2 29 44 53 6 27

1 30 47 52 5 28 43 54

Euler y el recorrido del caballo

Cuadrado Hipermágico (k = 260)

Leonhard Euler(1707-1783)

http://www.borderschess.org/KnightTour.htm

Evitando tres en raya(fichas sobre el tablero de ajedrez)

Dos jugadores colocan fichas por turno sobre un tablero de n×n. Pierde el que coloque por primera vez una ficha alineada con otras dos.

Los participantes deberán:1. Determinar el número

máximo de movimientos.2. Proponer una estrategia

ganadora.

Evitando tres en rayaejemplo de una configuración con un número

máximo de fichas sobre un tablero de 8×8

Evitando tres en raya

Existe una estrategia ganadora (para el segundo jugador):

Limitar las posibilidades del contrincante, tirando de tal modo que se completen siempre dos fichas sobre un renglón, columna o diagonal cuidándose, a la vez, de no poner tres en raya.

Por definición, el juego nunca puede alcanzar los 2n+1 movimientos, así que…

Este bicho se pasea por un paralelepípedoy se quiere desplazar del vértice A al vértice B

1. ¿Cómo podemos sugerirle el camino más corto?

2. ¿Podemos probar que el camino propuesto es, efectivamente, el más corto?

3. Si las medidas están dadas en centímetros, ¿qué longitud tiene este camino?

cmAC 40= cmBC 30=

cmAB 50=∴

º90=∠BCA222 CBACAB +=⇒

22 3040 +=⇒ AB

¿Cuánto mide el ángulo entre las dos diagonales sobre este cubo?

¿Cuánto mide el ángulo entre las dos diagonales sobre este cubo?

Si completamos con eltrazo adecuado…

… es fácil convencersede que mide 60 grados.

Q

P

R

Con lo aprendido en el ejemplo anterior…¿Cuánto mide el ∠PQR?P, Q y R son los puntos medios de las aristas indicadas.

Q

P

R

Q R

P

60,0 °

60,0 °

¿Ensamble imposible?

¿Ensamble imposible?(Solución)

¿Qué caja pesa más?

• Ambas cajas tienen las mismas dimensiones.• El material de las esferas es homogéneo.• El diámetro de cada esfera es igual a la longitud dela arista del cubo (o sub-cubo) que la contiene.

Tapón Múltiple I

Tapón Múltiple I(Solución)

Tapón Múltiple II

Tapón Múltiple II(Solución)

Tapón Múltiple III

Tapón Múltiple III(Solución)

12 1 2 4 5 6 8 9 10 1 2 4 5 6 8 9 10 12

B 3 A B 7 A B 11 A3 A B 7 A B 11 A B

HexaflexágonosEmplear una cinta larga de papel con bordes paralelos.Trazar una serie de 19 triángulos equiláteros adyacentes.Etiquetar con números y letras precisamente como se indica.Doblar Δ1 sobre Δ1, Δ2 sobre Δ2, etc.Pegar cuando coincidan las caras marcadas con .Colorear y disfrutar.

4-8-12 3-7-11

B A B 1-5-9

3-7-11

2-6-10 A

Probar mediante geometría elemental (sin trigonometría) que

CBA ∠=∠+∠

¡Parece Fácil!

DB ∠=∠(por ser homólogos en triángulos semejantes)

CDA ∠=∠+∠(correspondientes)

CBA ∠=∠+∠∴

Hacen falta trazos adicionales…

Según Mª Luz Callejo, los juegos de estrategia favorecen:1. Trabajo en grupo. 2. Comunicación de ideas. 3. Capacidad de interrogarse nuevas situaciones. 4. Contraste de observaciones y conjeturas. 5. Registro del proceso de resolución por parte de los jugadores. 6. Revisión y reflexión sobre el proceso de resolución.

Como metodología, propone cinco fases:1. Orientación del trabajo. 2. Trabajo en grupo. 3. Confrontación de ideas. 4. Puesta en común . 5. Aplicación.

http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/taller/taller.htm

Gómez Chacón propone esta metodología general:

1. Familiarizarse con el juego. 2. Exploración inicial: buscar varias estrategias de resolución. 3. Llevar a cabo la estrategia: selección de posiciones ganadoras,

examinar la validez de nuevas conjeturas... 4. Reflexionar sobre el proceso seguido.

Luis Ferrero aporta algunas sugerencias didácticas para la práctica de juegos:

1. Graduar la dificultad del juego en función de los alumnos a los que va dirigido.

2. Sobre un mismo material de juego se pueden idear juegos distintos modificando adecuadamente las normas.

3. Cuando dominen un juego hay que animarles a que lo adapten a su gusto variando alguna norma.

4. Cuando la estrategia ganadora resulte difícil, es aconsejable que ensayen casos más simples.

http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/taller/taller.htm

Existe bastante literatura sobre resolución de problemas. En función del ámbito más o menos profundo o del nivel de especificación encontraremos esquemas que se centran

en pocos criterios señalados de forma general (Polya, Bransford y Stein,...), o que detallan más las diversas estrategias ( Fernández, Schoenfeld,...).

Mª Luz Callejo resalta las siguientes capacidades en resolu-ción de problemas, que son estimuladas por los juegos:

1. Establecer analogías entre problemas.2. Empezar por el final.3. Resolver primero un problema más sencillo.4. Hacer una representación gráfica.

Fernando Corbalán resalta los siguientes:1. Empezar por el final.2. Experimentar y extraer pautas.3. Sacar partido de la simetría.4. Utilizar modelos adecuados de expresión (verbales, gráficos,

algebraicos, numéricos).5. Resolver problemas análogos.6. Empezar por resolver un problema más sencillo.

http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/taller/taller.htm

Algunas recomendaciones para navegar

http://www.librosmaravillosos.com/

http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/taller/taller.htm

http://mathworld.wolfram.com/KnightsTour.html

http://descartes.cnice.mecd.es/matemagicas/index.htm

http://johnrausch.com/SlidingBlockPuzzles/

La siguiente anécdota ocurrió en la ocupación de Francia por los alemanes, durante la Segunda Guerra Mundial.

Cuatro personas subían en el ascensor de un hotel. Uno de los ocupantes era un oficial alemán, de uniforme; otro, un civil francés, enrolado en la

Resistencia. La tercera ocupante era una atractiva joven, y la cuarta, una dama de edad. Ninguno conocía a los demás.

Hubo de pronto un corte de energía. El ascensor se detuvo, las luces se fueron, y todo quedó en profunda oscuridad. Se oyó el chasquido de un beso, seguido por el restallar de un bofetón. Un instante después volvieron las luces.

El oficial lucía un enorme chichón junto a un ojo. La señora mayor pensó: “¡Bien merecido lo tiene!, menos mal que las jóvenes

de hoy saben hacerse respetar”. La joven pensó: “¡Vaya gustos raros que tienen estos alemanes!, en lugar de

besarme a mí ha debido besar a esta señora mayor o a este joven tan atractivo. ¡No me lo explico!”.

El alemán pensó: “¿Pero qué ha pasado?, ¡Yo no he hecho nada!, quizás el francés ha querido abusar de la joven y ésta me ha pegado por error”

Sólo el francés conocía exactamente lo ocurrido. ¿Sabrías deducirlo?

Bibliografía de Matemáticas Recreativas

Autor Año Título Editorial Ciudad

1994 De la má de multifin aprende organització ACV Barcelona

Alem, Jean Pierre 1984 Juegos de ingenio y entretenimiento matemático Gedisa ed. Barcelona

Alem, Jean Pierre 1984 Nuevos Juegos de ingenio y entretenimiento matemático Gedisa ed. Barcelona

Alsina, A.; Fortuny, J.M. - La Matemática I el medi ambient a Catalunya Generalitat de Catalunya Barcelona

Alsina, Claudi 1998 Contar bien para vivir mejor Rubes Barcelona

Argüelles Rodríguez, J. A. 1994 Matemática recreativa y otros juegos de ingenio Alcal ed. Madrid

Assoc. Prof. Mat. Portugal 1995 Investigaçoes Matemáticas na Sala de Aula - Lisboa

Balbuena C. & de la Coba G 1991 La Matemática Recreativa vista por los alumnos Proyecto Sur Tenerife

Balbuena C. & de la Coba G 2003 Geometría de los calados canarios Cajacanarias S/C Tnfe.

Balbuena Castellano, Luis 1999 Naciones y banderas Proyecto Sur Granada

Balbuena, Cutillas & Coba 2000 Palillos, aceitunas y refrescos matemáticos Rubes Barcelona

Barnette, David 1983 Map coloring, Polyhedra and the four-color problem Math. Assoc of America USA

Beeney et al 1982 Geometric images ATM UK

Bell, Rooke & Wigley - Creative geometry Shell Centre UK

Bell, Rooke & Wigley 1978 Journey into Maths: Teacher´s Guide 1 Thomson Londres

Bell,E.Love,D.Rooke,M.Swan - Geometry Shell Centre UK

Bolt, Brian 1988 Actividades matemáticas Labor Barcelona

Brandreth, Gyles 1999 Juegos con números Gedisa Barcelona

Bunch, Bryan H. 1997 Matemática insólita, paradojas y paralogismos Reverté México

Callejo, Mª Luz 1994 Un club Matemático para la diversidad Narcea Madrid

Bibliografía de Matemáticas Recreativas

Autor Año Título Editorial CiudadCamous, Henri 1995 Problemas y juegos con la matemática Gedisa ed. Barcelona

Carcavilla & Fernández 1994 Aventuras topológicas Rubes Barcelona

Centre, Bell & Swan 1984 Problems with Patterns and Numbers Univers. Nottingham Nottingham (UK)

Corbalán, Fernando 1994 Juegos Matemáticos para secundaria y bachillerato Síntesis Madrid

D. Lingard 1980 Mathematical investigations in the classroom ATM UK

D.Hale,P.Wells (editors) 1972 Turning the tables ATM UK

Davis, Morton D. 1979 Teoría de juegos Alianza Ed. Madrid

De Guzmán, Miguel 1997 Aventuras Matemáticas, una ventana hacia el caos y otros episodios. Pirámide Madrid

De Guzmán, Miguel 1986 Aventuras matemáticas Labor Barcelona

De Guzmán, Miguel 1976 Mirar y ver Alhambra Madrid

Deulofeu, Jordi 2003 Gimnasia mental Mtnz. Roca Barcelona

Easterday, Kenneth E. 1981 Activities for junior high school and middle school mathematics Nat. Council Teach. Math. Virginia

Falletta, Nicholas 1986 Paradojas y juegos Gedisa Barcelona

Fielker, David S. 1986 Usando las calculadoras con niños de 10 años Generalitat Valenciana Valencia

Filipiak, Anthony S. 1978 Mathematical Puzzles (and other brain twisters) Bell publishing company Nueva York

Fox Dunn, Angela 1983 Second book of Mathematical Bafflers Dover publications, inc. Nueva York

Frabetti,Carlo 2002 El libro del genio matemático Mtnz. Roca Barcelona

Frohlichstein, Jack 1967 Mathematics fun, games and puzzles Dover New York

Bibliografía de Matemáticas Recreativas

Gardner, Martin 1978 Festival Magico-Matemático Alianza ed. Madrid

Gardner, Martin 1979 Circo Matemático Alianza ed. Madrid

Gardner, Martin 1983 Carnaval Matemático Alianza Ed. Madrid

Gardner, Martin 1983 Paradojas, Paradojas que hacen pensar Labor Barcelona

Gardner, Martin 1985 Máquinas y diagramas lógicos Alianza ed. Madrid

Gardner, Martin 1987 Rosquillas anudadas y otras amenidades matemáticas Labor Barcelona

Gardner, Martin 1990 La nueva era Alianza de bolsillo Madrid

Gardner, Martin 2000 Juegos y enigmas de otros mundos Gedisa Barcelona

Gardner, Martin 2000 Los mágicos números del Doctor Matrix Gedisa Barcelona

Gardner, Martin 2002 Damas, parábolas y más mistificaciones matemáticas Gedisa Barcelona

Gardner, Martin 2002 Huevos, nudos y otras mistificaciones matemáticas Gedisa Barcelona

Gardner, Martín 1981 ¡AJÁ! Labor Barcelona

Garfunkel, Solomon 1998 Las matemáticas en la vida cotidiana Addison- Wesley Madrid

Gaulin, Claude 1980 Explorations Géométriques I Univ. Laval Quebec, Canadá

Graham, L.A. 1955 Ingenious mathematical problems and methods Dover New York

Gutierrez, Santiago 1996 La Matemáticas en los sellos de correos SM Madrid

Guzmán Ozamiz, Miguel de 1984 Cuentos con cuentas Labor Barcelona

Guzmán Ozamiz, Miguel de 2002 La experiencia de descubrir en geometría Nivola Madrid

H.J. Jabobs 1982 Mathematics. A human endeavor (I) Freeman and company New York

H.J. Jabobs 1982 Mathematics. A human endeavor (II) Freeman and company New York

H.J. Jabobs 1982 Mathematics. A human endeavor (III) Freeman and company New York

Bibliografía de Matemáticas Recreativas

Hardy, Haworth & Love - Points of departure 2 ATM UK

Hardy, Haworth, et al - Points of departure 1 ATM UK

Honsberger, Ross 1994 El Ingenio en la Matemáticas DLS-Euler, editores Madrid

Hunter, J.A.H. 1983 Entertaining mathematical teasers & how solver them. Dover New York

IREM - APMEP 1989 Horizons Matemàtics La Villette Paris

IREM - APMEP 1989 Mosaico Matemático La Villette Paris

Jakubovic, José 1990 Vivendo a matemática, par ou ímpar Editora Scipione Sâo Paulo

Lahoz, Primitivo 1928 Curiosidades matemáticas Imprenta artística Sáez Madrid

Lovitt, Charles; Clark, Doug 1992 Activity Bank Vol. 1 - Australia

Lovitt, Charles; Clark, Doug 1992 Activity Bank Vol.2 - Australia

M. Walter - Geometry ATM UK

Mala, Matthias 2000 Juegos de ingenio III Víctor Barcelona

Maletsky, Hirsch & Christian 1993 Activities from the Mathematics Teachers Nat. Council Teach. Math. Reston, Va USA

Mitchell, Merle 1993 Mathematical History: Activities, Puzzles, Stories, and Games Nat. Council Teach. Math. Reston, Va USA

Mora, J. A. y Rodrigo, J. 1993 :2Puntos (cuadernos para el Aula de Matemáticas) Proyecto Sur Granada

Mora, J. A. y Rodrigo, J. 1993 :2Puntos (cuadernos para el Aula de Matemáticas) Proyecto Sur Granada

Nelson, Roger B. 2001 Demostraciones sin palabras Proyecto Sur Granada

Niederman, Derrick 2003 Juegos matemáticos. Rompecabezasdecifras y números para agudizar el ingenio Víctor Barcelona

Norman, L.C. 2000 El país de las mates para expertos Nivola Madrid

Norman, L.C. 2000 El país de las mates para novatos Nivola Madrid

Packel, Edward 1981 The mathematics of games and gambling Math. Associat. US Washington

Bibliografía de Matemáticas Recreativas

Pedoe, Dan 1958 The gentle art of mathematics Dover New York

Perelman, Yakov 2000 Matemáticas recreativas Mtnez. Roca Barcelona

Phillips, Hubert 1961 My best puzzles in mathemtics Dover New York

Ranucci, Ernest R. 1988 Imaginative ideas for the teachers of Mathematics grades K-12 Nat. Council Teach. Math. Reston, Va, USA

Rodríguez Vidal, R. 1983 Diversiones Matemáticas Reverté Barcelona

Russell, Ken y Carter, Philip 1994 Juegos de ingenio, rompecabezas de figuras geométricas Víctor Londres

Sem. Mat. Nervión - Sevilla 1992 El laboratorio de Matemáticas - Sevilla

Smullyan, Raymond 1995 Juegos por siempre misteriosos Gedisa ed. Barcelona

Smullyan, Raymond 2001 El enigma de Scherezade Gedisa Barcelona

Soret los Santos, I. 2003 Matemágicas Esic Madrid

Steinhous, Hugo 1964 One Hundred problems in elementary mathematics Dover New York

Stewart, Ian 2000 Ingeniosos encuentros entre juegos y matemática Gedisa Barcelona

Sundara Row, T. 1966 Geometric exercises in paper folding Dover New York

Vagam Pérez y otros 1986 Las matemáticas en el ábaco NAU Valencia

VanCleave, Janice 2002 Matemáticas para niños y jóvenes Limusa.wiley México

Venttsel, E. S. 1973 Introducción a la teoría de los juegos Limusa Wiley México

Verdes, Paulus 1990 Desenhos da África Scipione Sao Paulo

Vives, Pablo 2003 Juegos de ingenio Mtnz. Roca Barcelona

Wells, P. 1971 Sticks - Nottingham

Willis, Norman D. 2003 Juegos de ingenio VII, rompecabezas de cifras, letras y geometría Víctor Barcelona

Word, Larry E. 1987 Estrategias de pensamiento Labor Barcelona

666El número de la bestia

DUX CLERICapitán de los clérigos

D = 500U = 5X = 10

C = 100L = 50E = 0R = 0I = 1--------------------

666

LUDOVICUSVicario de la corte

L = 50U = 5D = 500O = 0V = 5I = 1C = 100U = 5S = 0--------------------

666

ROMIITHReino Romano

ROMITIHombre Romano

R = 200 reshO = 6 waw (vav)M = 40 memI = 10 yodI = 10 yodTH = 400 taw

666

R = 200 reshO = 6 waw (vav)M = 40 memI = 10 yodT = 400 tawI = 10 yod

666

666El número de la bestia

EL 50L 50ENA

AL 50BA

V 5OX 10

D 500EI 1

666

E 0L 50L 50E 0N 0

G 0O 0U 5L 50D 0

W 10H 0I 1T 0E 0

666

Ellen Gould White(1827-1915)

Solía llamarse a sí mismaLa voz de Dios

666El número de la bestia

666El número de la bestia

En el libro Tercero (9ª parte, capítulo 19) de “La Guerra y la Paz”de León Tolstoi, se cita el Apocalipsis (13:18), donde dice:

“Aquí está la sabiduría. El que tenga inteligencia que cuente el nombre de la bestia porque es un nombre de hombre y su número es seiscientos sesenta y seis.”

1 2 3 4 5a b c d e6 7 8 9 10f g h i k

20 30 40 50 60l m n o p

70 80 90 100 110q r s t u

120 130 140 150 160v w x y z

L'empereur Napoleon = 666

Quarante-deux = 666

666El número de la bestia

Hexakosioihexekontahexafobia

H 107

I 108

T 119

L 111

E 104

R 117

666a=100b=101c=102, etc.

B 66I 73L 76L 76

G 71A 65T 84E 69S 83

III 3666

En código ASCII